14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 1

Kombinatorische Aspekte auf dem 9-Nagel-Geobrett

Warum Beschränkung auf 3 x 3?

Wie viele.....?Dreiecke?

Vierecke?

Längen?

Richtungen?

Winkel?

Es gibt 8 Klassen kongruenter Dreiecke

16 Klassen kongruenter Vierecke

5 Klassen gleich langer Strecken

10 (bzw. 13) Klassen gleich großer Winkels. Beiträge 1977

Wie viele „Flächeninhalte“

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 2

Die 8 Dreiecke

gleichschenklig

rechtwinklig

stumpfwinklig

Bruchteile ½ , ¼ , 1/8 , 3/8

Flächeninhalt

Umfang Wie viele....................

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 3

Die Längen auf dem GeobrettLänge: Klasse gleich langer Strecken

5 cm 10 cm (25+25) 7 200 14 125 11

12 6 8 2 8

36 Strecken

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 4

Codierung der Dreiecke durch Angabe der Seitenlängen

(10, 10, 14)

(10, 11, 11) (5, 11, 14) (7, 11, 11)

(5, 10, 11) (7, 7, 10) (5, 7, 11) (5, 5, 7)

Flächeninhalt??? ½ ¼ 1/83/8

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 5

Die 10 Klassen gleich großer Dreieckswinkel

Tim und Tom die Winkel-Wichtel

Die Winkel als Linearkombination der beiden kleinsten Winkel

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 6

Die 16 Vierecke

Und das 16. ?

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 7

Rauten aus den 11-er-Linien

1/5 1/41/3

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 8

Wie finden wir alle diese Möglichkeiten?

Können wir sicher sein, dass es nicht mehr als 16 Vierecke gibt?

Müssen wir uns mit dem „trial and error“Verfahren begnügen?

Gibt es einen mathematischeren Zugang zu diesen Anzahlproblemen?

„blindes“ Suchen die „denkende“ Hand

Anleitung zu systematischen Suchen

Festhalten einer Strecke, alle Möglichkeiten, nächste Strecke

Wie viele...? AnzahlproblemeFinde alle......!

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 9

Das Urnenmodell1 2 3

4 5 6

7 8 9

Wir ordnen dem Tastentelefon entsprechend den 9 Nägeln die Ziffern 1 bis 9 zu

Wir beschriften 9 Spielsteine mit den Ziffern 1 bis 9. Legen sie in einen Beutel und ziehen nacheinander 3 Steine (oder 2, oder 4, 5)

1 2 34

5

6

7

8

9

Ziehen wir etwa die 6, die 1 und die 8

So ist damit dieses (7, 11, 11)-Dreieck bestimmt

Jedes derartige Tripel bestimmt also ein Dreieck

Natürlich nicht jedes

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 10

Gewinnspiel Dreiecke , zwei Spieler

2 Geobretter,

Beutel mit 9 beschrifteten Steinen,

jeder Spieler 5Würfelchen (Einsatz)1 2 34

5

6

7

8

97 2 9 7 8 3

Spielregel : Einsatz: ein Würfelchen. Jeder Spieler zieht (nacheinander) 3 Spielsteine und spannt sein Dreieck. Gewonnen hat der, dessen Dreieck den größeren Flächen-inhalt hat. Bei gleichem Inhalt gewinnt der kleinere Umfang. Die 10-Strecke ist eine Niete, die 14-Strecke ein Hauptgewinn.

1 2 34

5

6

7

8

9

Benennen der Bruchteile!

Dokumentiere die Spieldauer!!!!!

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 11

Gewinnspiel „vier Nägel“

1 2 34

5

6

7

8

9

1 2 34

5

6

7

8

9

1 2 34

5

6

7

8

9

Variante: Gewonnen hat der, dessen Viereck im Haus der Vierecke weiter unten steht. Bei gleicher Höhe neues Spiel

2 4 6 8 1 2 7 9 1 4 7 9

Spielregel: größter Flächeninhalt, kleinster Umfang

Wer nennt die meisten Diagonaleigenschaften?

Die meisten Symmetrieeigenschaften?

Wer kennt die meisten Bezeichnungen?

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 12

Analyse des UrnenmodellsUmgangserfahrung mit der Urne

Aufbau einer Fragehaltung zur Wahrscheinlichkeit

Erwartungswert

Wie viele Möglichkeiten gibt es,

unter den 9 Steinen 3 auszuwählen

( 9 3 )9 über 3 Binomialkoeffizient

(a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³Binom:

(a + b) 9 = 1a9 + 9 a8b + 36 a7b² + 84 a6b³ + 126 a5b4 ....

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 13

3612

89

2

9

mögliche Strecken

5 cm 10 cm (25+25) 7 200 14 125 11

12 6 8 2 8

12 + 6 + 8 + 2 + 8 = 36 Wir haben wirklich alle möglichen Strecken

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 14

Dreiecke ?

1 2

3

4

56

7 8

9

Für den ersten Stein habe ich 9 Möglichkeiten

Für den 2. Stein habe ich noch 8 Möglichkeiten

Und für den 3. Noch 7

Also gibt es 9 * 8 * 7 = verschiedene Zahlentripel, die jeweils 3 Nägel beschreiben.

Das Dreieck 3 7 8 kann aber durch verschiedene Tripel beschrieben werden

3 7 8 3 8 7 7 3 8 7 8 3 8 3 7 8 7 3

3 * 2 * 1 = 6 Tripel beschreiben die gleiche Figur

84123

789

mögliche Figuren aus 3 Nägeln

( 9 3 ) =

( 9 3 )

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 15

Anzahl der Klassen kongruenter Dreiecke123 beschreibt eine 10-er-Strecke: es gibt 6 solche 10-er-Strecken159 beschreibt eine 14-er-Strecke: es gibt 2 solche 14-er-Strecken

Das (10, 10, 14)-Dreieck hat 4 Lagemöglichkeiten

4 4 16 8

8 4 16 16

84 Figuren aus 3 Nägeln?

6 + 2 = 8 Strecken

4+4+16+8+8+4+16+16 = 76 Dreiecke 76 + 8 = 84 Figuren!

1 2 34

5

6

7

8

9

( 9 3 )

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 16

1261*2*3*4

6*7*8*9

4

9

Figuren aus 4 Nägeln?

Es gibt zwar keine kollineare Anordnung, aber 3 Nägel können kollinear liegen.

4 + 4 + 8 + 16 + 8 = 40 Fälle

Schon falsch: das erste Dreieck hat drei Seiten mit je 3 Nägel, d.h. nicht 4 sondern 12 Fälle; also insgesamt 48 Fälle.

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 17

1 + 1 + 4 + 4

4 + 8 + 4 + 4

8 + 16 + 8 + 8

8 + 4 + 8 + 4

94 Fälle

48 + 94 = 142 Fälle?!? 16 Fälle zu viel

2579 2459

+ 48 Dreiecke

weiter

1261*2*3*4

6*7*8*9

4

9

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 18

1

2

34

5

6

7

8

9

1

2

3

4 5

67

8

9

Das Quadrupel 2579 bestimmt diese drei Figuren

Nicht-konvexe Vierecke sind durch Quadrupel nicht eindeutig zu bestimmen

Das Quadrupel 2459 bestimmt diese drei Figuren

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 19

Zwei Fehlermöglichkeiten

Nicht jede Figur wird eindeutig durch nur ein Quadrupel beschrieben:

Nicht jedes Quadrupel beschreibt eindeutig ein Figur

3579 3679

1568

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 20

Spiel mit vier Nägeln (Flächeninhalt)

Zwei Spieler, jeweils 10 Spielsteine als Einsatz. Gesetzt werden jeweils 2 Steine. Der erste Spieler zieht seine vier Ziffern. Der´zweite kann nun entscheiden, ob er noch ziehen will oder ob er zurückzieht. Spielt er, so hat der mit dem größeren Flächeninhalt (evtl. kleinerem Umfang) gewonnen und bekommt vier Spielsteine. Zieht er zurück, so bekommt er einen Stein zurück der andere bekommt 3 Steine. Wann sollte man zurückziehen?

1

2

3

4 5

67

8

9

Spielverlauf dokumentieren!

14.02.2006 Horst Steibl,

TU-Braunschweig 21

Wahrscheinlichkeiten X/1261 8 8

416 8

1

8

8

1 8 8

416 8

1 4 4 4 8 12 4

4 8 4 4 8 8 16 8

37/126

17/12628/126

60/126

424/126

48/126

17 + 24 + 37 + 48 = 126

MU 1/1984 Exemplarische Entwicklung der kombinatorischen Grundformeln

17+28+37+60=142