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Vorlesung 20:

Roter Faden:

Heute: Schwingungen mit Dämpfung

Versuche: Computersimulation

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Formale Einführung der Zahl i

Zahlenpaare sind extrem nützlichum Schwingungen zu beschreiben,da eine Schwingung durch ZWEI Zahlen beschrieben wird, nämlichAmplitude und Phase!

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Darstellung der komplexen Zahlen

x+iy = r (cos + i sin) = r e i

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Rechenregel

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Ungedämpfte Schwingungen

Lösung mit complexen Zahlen:

x(t)=A e it+. Einsetzen ergibt:

-m2 Ae it+= -k Ae it+

x(t) = A e i(k/m) t+

Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl:x(t) = A cos (k/m) t+

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Ungedämpfte Schwingungen

Lösung mit complexen Zahlen:

x(t)=A e it+. Einsetzen ergibt:

-m2 Ae it+= -k Ae it+

x(t) = A e i(k/m) t+

Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl:x(t) = A cos (k/m) t+

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Energieerhaltung bei ungedämpften Schwingungen

Was passiert wenn Energieverlustedurch Reibung auftreten? Reibungi.A. proportional vn, oft n1

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Gedämpfte Schwingungen

Addiere Reibungskraft –bv zur Federkraft –kx:

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Gedämpfte Schwingungen

AperiodischerGrenzfall

Kriechfall

ExponentiellerAbfall

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x(t)=A et Einsetzen in mx+bx+kx=0 ergibt:

m2 - b +k =0 oder = -b/2m 1/(2m)(b2-4mk)

x(t) = A e –bt/2m e (b2/4m2-k/m) t =A e –bt/2m e i t

= (b2/4m2-k/m)

Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl:

x(t) = A cos t (Anfangsphase 0 gesetzt)

Lösung mit komplexen Zahlen:

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Energie der gedämpften Schwingungen

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Berechnung des Q-Faktors

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Schwingungssimulator

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Zum Mitnehmen

Gedämpfte Schwingungen beschrieben durchexponentieller Abfall der Amplitude