18.5.2011

18.5.2011 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 24

Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes

Beschreibung einer Ebene im Punktgitter:

a b

c

Schnittpunkte in Einheiten der Basisvektoren: m, n, o (Bsp: 3, 1, 2)

bilde Kehrwerte: h‘ = 1/m, k‘ = 1/n, l‘ = 1/o (Bsp.: 1/3, 1/1,1/2)

Multiplikation mit kleinster ganzen Zahl p, so dass teilerfremde ganzeZahlen entstehen h = p/m =ph‘, k = p/n = pk‘, l = p/o = pl‘ (Bsp.: 2, 6, 3)

(hkl) Millersche Indizes; beschreiben Lage dieser und aller dazuäquivalenter Ebenen (Ebenenschar)

Normalenvektor n = [hkl], steht senkrecht auf Ebenenschar

3.) Strukturbestimmung – Grundlagen der Beugungstheorie

Man unterscheidet:lokale Verfahren (Rastertunnelmikroskopie, Elektronenmikroskopie,…)Beugungsverfahren (nutzen Periodizität)


Beugungsverfahren

Strahlung = (E) Energie E de Broglie

Photonen = hc/E 1 keV – 100 keV 10 – 0.1 Å

Neutronen = h/(2mE)1/2 0.01 – 1 eV 3 – 0.3 Å

Elektronen = h/(2mE)1/2 10 eV – 1 keV 4 – 0.4 Å

Kriterien für Wahl der Quelle:

- geeignete Wellenlänge, insbesondere < Gitterparameter!- Wechselwirkung mit der Materie (z.B. stark für Elektronen, schwach für Photonen)

R

r

'R

r'R

0k

k

Quelle

Q

B

BeobachterP

Probeebene Wellen

3.1) Beugungstheorie


Annahmen:

1) Eben einfallende Welle2) Kohärente Streuung (einfallende Welle rege Materie an allen Punkten P zur Emission von Kugelwellen an;

es besteht feste Phasenbeziehung zwischen Primärstrahlung und angeregten Kugelwellen3) Einfachstreuung

Amplitude der einfallenden Strahlung am Ort P zur Zeit t

ti)rR(kiP eA)t(A 00

0

2

0 k

Streubeitrag der Kugelwelle des Ortes r zur Amplitude bei B

r'R

e)r()t(A)t(A

r'Rik

PB

Streudichte, enthältgesuchte Informationüber Gitterstruktur

Amplitude der auslaufendenKugelwelle am Ort B; A Abstand-1

()mit

()


Berücksichtigt man, dass und r'Rk

)r'R(kiPB e

'R)r()t(A)t(A

1

r'R

r)kk(iti)'RkRk(iB e)r(ee

'R

A)t(A

0000

Gesamte Streuamplitude durch Integration über Probe:

obePr

r)kk(itigesB rde)r(e)t(A

00

Messgröße: Streuintensität I2

20

obePr

r)kk(iB rde)r(AI

0kkK

mit dem „Streuvektor“K

k0

k

()

mit () und () ergibt sich:

elastische Streuung

k0 = k


xinkn

x)a

n(i

nn e~e~)x( 1

2

)maa

n(ix)a

n(i

n

x)a

n(i

n e~e~)x(

222

Beachte:

Streuintensität Fourier-Transformierte der Streudichte bzgl. Streuvektor2

vgl. Optik: I Fourier-Transformierte des beugenden Objektes2

3.2) Periodische Strukturen und reziprokes Gitter

Wenn (r) periodisch, kann Funktion in Fourier-Reihe entwickelt werden

für gerade Funktion in 1D:

a x

(x)

Periodizität: 1 = a = 2/k1

Atompositionen

)max(

x

wie gefordert

d‘hkl

m = 1, n = 2 h‘ = 1, k‘ = 1/2

p = 2 h = 2, k = 1

grüne Ebenen:a1

a2

blau-gestrichelte Ebenen:

gleiche Besetzungsdichte wie grüne Ebenen, also äquivalent dazu

2D Projektion des Punktgitters zur Bestimmung des Netzebenenabstandes dhkl

dhkl

dhkl = d‘hkl/p = d‘hkl/2

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