19. Gierige Algorithmen - Informatik (Universität Paderborn) · SS 2016 DuA - Kapitel 19 1 19. ......

SS 2016 DuA - Kapitel 19 1

19. Gierige Algorithmen

Gierige Algorithmen sind eine Algorithmenmethode, um so genannte Optimierungsprobleme zu lsen.

Bei einem Optimierungsproblem gibt es zu jeder Probleminstanz viele mgliche oder zulssige Lsungen. Lsungen haben Werte gegeben durch eine Zielfunktion. Gesucht ist dann eine mglichst gute zulssige Lsung. Also eine Lsung mit mglichst kleinem oder mglichst groem Wert (Minimierungs-bzw. Maximierungsproblem).

2

Gierige Strategie fr Optimierungsprobleme:

Aufbau einer Lsung in kleinen Schritten In jedem dieser Schritte wird entsprechend eines definierten

Optimierungskriteriums eine irreversible Entscheidung getroffen

Frage 1:Wann kann eine solche Strategie zu einer optimalen Lsung fhren?

Frage 2:Wie beweist man, dass ein gieriger Algo. eine optimale Lsung liefert?

2

Gierige (Greedy) Algorithmen

DuA - Kapitel 19SS 2016 2


Gierige Algorithmen Minimale Spannbume

Beispiel: Minimale Spannbume:

1. Probleminstanz gewichteter, ungerichteteter, zusammenhngender Graph

2. Zulssige Lsungen Spannbume

3. Zielfunktion Gewicht eines Spannbaums

4. Gesucht Spannbaum minimalen Gewichts


Gierige Algorithmen Idee und Prim

1. Gierige Algorithmen bestimmen Lsung durch sukzessives Er-weitern von bereits gefundenen Teillsungen.

2. Erweitern geschieht durch lokal optimale Wahlen.

3. Analyse muss dann zeigen, dass lokal optimale Wahlen zu global optimalen Lsungen fhrt.

1. Algorithmus von Prim bestimmt minimalen Spannbaum durch sukzessives Hinzufgen von Kanten.

2. Prims Algorithmus whlt mglichst leichte Kante, die isolierten Knoten mit Teilbaum verbindet.

3. Analyse mit Hilfe von Schnitten zeigte, dass Teilbaum immer in einem minimalen Spannbaum enthalten ist.


Gierige Algorithmen Idee und Kruskal

1. Gierige Algorithmen bestimmen Lsung durch sukzessives Er-weitern von bereits gefundenen Teillsungen.

2. Erweitern geschieht durch lokal optimale Wahlen.

3. Analyse muss dann zeigen, dass lokal optimale Wahlen zu global optimalen Lsungen fhrt.

1. Algorithmus von Kruskal bestimmt minimalen Spannbaum durch sukzessives Hinzufgen von Kanten.

2. Kruskals Algorithmus whlt mglichst leichte Kante, die Zusammenhangskomponen-ten verbindet.

3. Analyse mit Hilfe von Schnitten zeigte, dass Teilbaum immer in einem minimalen Spannbaum enthalten ist.


Gieriges 1-Prozessor-Scheduling (1)

Gegeben sind n Jobs n1 j,,j mit Dauer n1 t,,t . Jeder der Jobs muss auf einem einzigen Prozessor

abgearbeitet werden. Der Prozessor kann zu jedem Zeitpunkt nur einen Job bearbeiten. Ein einmal be- gonnener Job darf nicht abgebrochen werden. Gesucht ist eine Reihenfolge, in der die Jobs abgear-

beitet werden, so dass die durchschnittliche Bearbei- tungszeit der Jobs mglichst gering ist.

Gegeben sind n Jobs

n

1

j

,

,

j

K

mit Dauer

n

1

t

,

,

t

K

.

Jeder der Jobs muss auf einem einzigen Prozessor abgearbeitet werden. Der Prozessor kann zu jedem Zeitpunkt nur einen Job bearbeiten. Ein einmal be- gonnener Job darf nicht abgebrochen werden.

Gesucht ist eine Reihenfolge, in der die Jobs abgearbeitet werden, so dass die durchschnittliche Bearbei- tungszeit der Jobs mglichst gering ist.

_1180798859.unknown

_1180798897.unknown



Bearbeitungszeit eines Jobs ist der Zeitpunkt, an dem der Job vollstndig bearbeitet wurde. Werden die Jobs in Reihenfolge ( ) ( )n1 j,,j ausgefhrt,

wobei eine Permutation ist, so ist die Bearbeitungs- zeit von Job ( )1j genau ( )1t , die Bearbeitungszeit von Job ( )2j ist ( ) ( )21 tt + , usw.

Bearbeitungszeit eines Jobs ist der Zeitpunkt, an dem der Job vollstndig bearbeitet wurde.

Werden die Jobs in Reihenfolge

(

)

(

)

n

1

j

,

,

j

p

p

K

ausgefhrt, wobei

p

eine Permutation ist, so ist die Bearbeitungs- zeit von Job

(

)

1

j

p

genau

(

)

1

t

p

, die Bearbeitungszeit von Job

(

)

2

j

p

ist

(

)

(

)

2

1

t

t

p

p

+

, usw.

_1180799283.unknown

_1180799399.unknown

_1180799418.unknown

_1180799431.unknown

_1180799351.unknown

_1180799206.unknown


Gieriges 1-Prozessor-Scheduling - Beispiel

0 15 23 26 36

Schedule Nr. 1:

Durchschnittliche Beendigung: 25

Job Laufzeit 1j 15 2j 8 3j 3 4j 10

1j 2j 4j3j

0 3 11 21 36

Schedule Nr. 2:

Durchschnittliche Beendigung: 17,75

1j4j2j3j

Job

Laufzeit

1

j

15

2

j

8

3

j

3

4

j

10

_1180693989.unknown

_1180693996.unknown

_1180694004.unknown

_1180693965.unknown



Lemma 19.1: Bei Permutation ist die durchschnittliche Bearbeitungszeit gegeben durch Lemma 19.2: Eine Permutation fhrt genau dann zu einer minimalen durchschnittlichen Bearbeitungszeit, wenn die Folge ( ) ( )( )n1 t,,t aufsteigend sortiert ist.

( ) ( )in

1it 1in

n1

= +

Lemma 19.1: Bei Permutation

(

)

(

)

i

n

1

i

t

1

i

n

n

1

p

=

+

-

ist die durchschnittliche Bearbeitungszeit gegeben durch

p

Lemma 19.2: Eine Permutation

p

fhrt genau dann zu einer minimalen durchschnittlichen Bearbeitungszeit,

wenn die Folge

(

)

(

)

(

)

n

1

t

,

,

t

p

p

K

aufsteigend sortiert ist.

EMBED Equation.3

(

)

(

)

i

n

1

i

t

1

i

n

n

1

p

=

+

-

_1180799753.unknown

_1180852040.unknown

_1180799536.unknown


Gieriges Mehr-Prozessor-Scheduling

Gegeben sind n Jobs n1 j,,j mit Dauer n1 t,,t und m identische Prozessoren. Jeder der Jobs muss auf einem einzigen Prozessor

abgearbeitet werden. Jeder Prozessor kann zu jedem Zeitpunkt nur einen Job bearbeiten. Ein einmal be- gonnener Job darf nicht abgebrochen werden. Gesucht ist eine Aufteilung der Jobs auf die

Prozessoren und fr jeden Prozessor eine Reihenfolge der ihm zugewiesenen Jobs, so dass durchschnittliche Bearbeitungszeit der Jobs mglichst gering ist. Bearbeitungszeit eines Jobs wie vorher definiert.

Gegeben sind n Jobs

n

1

j

,

,

j

K

mit Dauer

n

1

t

,

,

t

K

und m identische Prozessoren.

Jeder der Jobs muss auf einem einzigen Prozessor abgearbeitet werden. Jeder Prozessor kann zu jedem Zeitpunkt nur einen Job bearbeiten. Ein einmal be- gonnener Job darf nicht abgebrochen werden.

Gesucht ist eine Aufteilung der Jobs auf die Prozessoren und fr jeden Prozessor eine Reihenfolge der ihm zugewiesenen Jobs, so dass durchschnittliche Bearbeitungszeit der Jobs mglichst gering ist.

Bearbeitungszeit eines Jobs wie vorher definiert.

_1180798859.unknown

_1180798897.unknown


Gieriges Mehr-Prozessor-Scheduling (2)

Lemma 19.3: Die Permutation sei so gewhlt, dass die Folge (t(1),,t(n)) aufsteigend sortiert ist. Weiter werde dann Job j(i) auf dem Prozessor mitNummer i mod m ausgefhrt (wobei wir fr alle i mit i mod m = 0 Prozessorm verwenden). Das so konstruierte Scheduling minimiert dann die durchschnittliche Bearbeitungszeit.

Beweisidee:1. Hat Prozessor i mehr als einen Job mehr als Prozessor j, verbessert sich

die durchschnittliche Bearbeitungszeit, wenn ein Job von i nach jverschoben wird.

2. Der Tausch zweier Jobs an derselben Ausfhrungsposition in zweiProzessoren mit derselben Anzahl an Jobs verndert nicht die durchschnittliche Bearbeitungszeit.

3. Die durchschnittliche Bearbeitungszeit innerhalb eins Prozessors istminimal, wenn die Jobs nach aufsteigender Bearbeitungszeit ausgefhrtwerden.


Gieriges Mehr-Prozessor-Scheduling - Beispiel

0

Schedule Nr. 1 (Methode aus Lemma 19.3):


40

Job Laufzeit

1j 3 2j 5 3j 6 4j 10 5j 11 6j 14 7j 15 8j 18 9j 20

1j 4j 7j

2j 5j 8j

9j6j3j

0

Schedule Nr. 2:


38

1j 5j 9j

2j 4j 7j

8j6j3j

Job

Laufzeit

1

j

3

2

j

5

3

j

6

4

j

10

5

j

11

6

j

14

7

j

15

8

j

18

9

j

20

_1180694442.unknown

_1180694465.unknown

_1180694504.unknown

_1180694519.unknown

_1180694478.unknown

_1180694453.unknown

_1180694423.unknown

_1180694431.unknown

_1180694404.unknown


Gierig ist nicht immer optimal

Job Laufzeit

1j 3 2j 5 3j 6 4j 10 5j 11 6j 14 7j 15 8j 18 9j 20

Betrachten dasselbe Szenario wie vorher mit Jobs und Prozessoren.

Wollen aber jetzt den Zeitpunkt minimieren, an dem alle Jobs beendet sind.

Optimaler Schedule:

0 34

Greedy Scheduling (vorige Folie): 40

1j

2j3j 4j 7j

5j 8j

9j6j

Job

Laufzeit

1

j

3

2

j

5

3

j

6

4

j

10

5

j

11

6

j

14

7

j

15

8

j

18

9

j

20

_1180694442.unknown

_1180694465.unknown

_1180694504.unknown

_1180694519.unknown

_1180694478.unknown

_1180694453.unknown

_1180694423.unknown

_1180694431.unknown

_1180694404.unknown



Geht es schlimmer? Ja!Beispiel: m Prozessoren, m(m-1) Jobs der Lnge 1,

ein Job der Lnge mGreedy Schedule fr m=10:

m=10

199



m=10

10

Greedy Schedule: 2m-1 ZeiteinheitenOptimaler Schedule: m ZeiteinheitenGreedy kann also Faktor 2-1/m schlechter als OPT sein. Das ist aber fr alle Instanzen auch der worst case.



Greedy Schedule ber absteigend sortierte Jobzeiten:Kann sogar nie schlechter als 4/3OPT sein.Beweis ist sehr aufwndig.

4/3-Resultat ist bestmglich.Beispiel: m Maschinen, n=2m+1 Jobs: jeweils 2 Jobs der Lnge m+1,m+2,,2m und ein Job der Lnge mVergleich zu OPT: bung.

Anwendungsbeispiel: Intervall Scheduling


18

Intervall Scheduling: eine Ressource (Hrsaal, Parallelrechner, ...) Menge von Anfragen der Art:

Kann ich die Ressource fr den Zeitraum [ t ,t ] nutzen?

Optimierungs-Ziel: Mglichst viele Anfragen erfllen

1 2

18

Gierige Algorithmen Intervall Scheduling


19

Intervall Scheduling: eine Ressource (Hrsaal, Parallelrechner, ...) Menge von Anfragen der Art:

Kann ich die Ressource fr den Zeitraum [ t ,t ] nutzen?

Optimierungs-Ziel: Mglichst viele Anfragen erfllen

1 2

19



20

Definition: Zwei Anfragen heien kompatibel, wenn sich die

Intervalle nicht berschneiden.

20


DuA - Kapitel 19 20SS 2016

21



21



22



22



23

Generelle berlegung: Whle erste Anfrage i geschickt Ist i akzeptiert, weise alle Anfragen zurck, die nicht

kompatibel sind Whle nchste Anfrage i und weise alle Anfragen

zurck, die nicht mit i kompatibel sind Mache weiter, bis keine Anfragen mehr brig sind

1

1

2

2

23



24




1

1

2

2

24



25




1

1

2

2

25



26




1

1

2

2

26



27




1

1

2

2

27



28




1

1

2

2

28



2929


Was ist nun aber eine geschickte Auswahlstrategie ?


30

Strategie 1: Whle immer die Anfrage, die am frhesten beginnt

30



31


31



32


32



33


33



34


34



35


Optimalitt ?

35



36


Optimalitt ?

36



37


Optimalitt ? Nicht optimal, da eine optimale Lsung 4 Anfragen

erfllen kann

37



38

Strategie 2: Whle immer das krzeste Intervall

38



39


39



40


40



41


41



42


42



43


43


43SS 2016 DuA - Kapitel 19

44


44



45


Optimalitt?

45


45SS 2016 DuA - Kapitel 19

46


Optimalitt?

Ebenfalls nicht optimal, da man 2 Anfragen erfllen kann!

46



47

Strategie 3: Whle immer das Intervall mit den wenigsten nicht

kompatiblen Intervallen bei Gleichheit whle das krzeste Intervall

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48



48



49



49



50



50



51



51



52



52



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SS 2016 57DuA - Kapitel 19

58



Optimalitt?

58



59



Optimalitt?

59



60



Optimalitt?

60



61



Optimalitt?

61



62



Optimalitt?

62



63



Optimalitt?

63



64



Optimalitt?

64



65



Optimalitt?Wieder nicht

optimal!

65



66

Worauf muss man achten? Ressource muss mglichst frh wieder frei werden!

Neue Strategie: Nimm die Anfrage, die am frhesten fertig ist.

66



67



67



68



68



69



69



70



70



71



71



72



72



73



73



74



Diese Strategie ist optimal! Aber wie beweist man das?

74



75

Formale Problemformulierung: Problem: Intervall Scheduling Eingabe: Felder s und f, die die Intervalle [ s[i], f[i] ]

beschreiben Ausgabe: Indizes der ausgewhlten Intervalle

o.B.d.A. nehmen wir an: Eingabe ist nach Intervallendpunkten sortiert,

d.h.: f[1] f[2] f[n]

75



76

IntervalScheduling(s,f)1. n length[s]2. A {1}3. j 14. for i 2 to n do5. if s[i] f[j] then 6. A A {i}7. j i7. return A

s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5

76



77

IntervalScheduling(s,f)1. n length[s]2. A {1}3. j 14. for i 2 to n do5. if s[i] f[j] then6. A A {i}7. j i8. return A

s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5

77



78


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5

78



79


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j

79



80


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j

i

80



81


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j

i

f[j]

s[i]

81



82


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j

i

f[j]

s[i]

82



83


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j i

f[j]

83



84


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j i

f[j]

s[i]

84



85


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j i

f[j]

s[i]

85



86


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j

86



87


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j

i

87



88


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j

f[j]

i

s[i]

88



89


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5j

f[j]

i

s[i]

89



90


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5

j

90



91


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5

j

91



92


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5

j

i

92



93


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5

j

i

f[j]

s[i]

93



94


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5

j

i

94



95


s 1 2 4 7 5f 3 5 6 8 9

1

2

3

4

5

j

i

95



96

Wie knnen wir Optimalitt zeigen? Sei O optimale Menge von Intervallen Knnen wir A = O zeigen ?

96



97

Wie knnen wir Optimalitt zeigen? Sei O optimale Menge von Intervallen Knnen wir A = O zeigen ?

97



98

Wie knnen wir Optimalitt zeigen? Sei O optimale Menge von Intervallen u. U. viele optimale Lsungen

98



99


99



100


100



101


101



102


102



103


Wir zeigen: |A| = |O|

103



104

Beobachtung:A ist eine Menge von kompatiblen Anfragen, d.h. die Menge A bildet eine zulssige bzw. gltige Lsung.

104



105

Notation: i , , i Intervalle von A in Ordnung des Hinzufgens j ,, j Intervalle von O sortiert nach Endpunkt

i i i

ij

j

j

j

1

1

2

2

3

3 4

4

1

1

k

m

105



106

Wir zeigen: Der gierige Algorithmus liegt vorn: D.h. jedes Intervall in A gibt die Ressource mindestens so

frh wieder frei, wie das korrespondierende Intervall in O Dies ist wahr fr das erste Intervallpaar, da i1j1 und damit

f[i1] f[j1]. Zu zeigen: Dies gilt fr alle anderen Intervallpaare !

i i i

ij

j

j

j

1

1

2

2

3

3 4

4

106



107

Lemma 19.4:Fr alle rk gilt irjr (und damit f[ir] f[jr] ).

i i i

ij

j

j

j

1

1

2

2

3

3 4

4

107



108


i i i

ij

j

j

j

1

1

2

2

3

3 4

4

f[i ], f[j ]1 1

108



109


i i i

ij

j

j

j

1

1

2

2

3

3 4

4

f[i ]

2

2

f[j ]

109



110


i i i

ij

j

j

j

1

1

2

2

3

3 4

4

f[i ]3 3f[j ]

110



111


i i i

ij

j

j

j

1

1

2

2

3

3 4

4

f[i ]4

4f[j ]

111



112

Satz 19.5:Die von Algorithmus IntervalScheduling berechnete Lsung

A ist optimal.

i i i

ij

j

j

j

1

1

2

2

3

3 4

4

112



113

IntervalScheduling(s,f)1. n length[s] 2. A {1} 3. j 1 4. for i 2 to n do5. if s[i] f[j] then6. A A {i}7. j i8. return A

113



114

IntervalScheduling(s,f)1. n length[s] 2. A {1} (1)3. j 1 4. for i 2 to n do5. if s[i] f[j] then 6. A A {i}7. j i8. return A

114



115

IntervalScheduling(s,f)1. n length[s] 2. A {1} (1)3. j 1 4. for i 2 to n do5. if s[i] f[j] then 6. A A {i}7. j i8. return A

(n)

115



116

IntervalScheduling(s,f)1. n length[s] 2. A {1} (1)3. j 1 4. for i 2 to n do5. if s[i] f[j] then 6. A A {i}7. j i8. return A (1)

(n)

116



117

IntervalScheduling(s,f)1. n length[s] 2. A {1} (1)3. j 1 4. for i 2 to n do5. if s[i] f[j] then 6. A A {i}7. j i8. return A (1)

(n)

(n)117



118

Satz 19.6:Algorithmus IntervalScheduling berechnet in (n) Zeit eine

optimale Lsung, wenn die Eingabe nach Endzeit der Intervalle (rechter Endpunkt) sortiert ist. Die Sortierung kann in (n log n) Zeit berechnet werden.

118



Anwendungsbeispiel: Datenkompression


Datenkompression Reduziert Gren von Files Viele Verfahren fr unterschiedliche Anwendungen:

MP3, MPEG, JPEG, Wie funktioniert Datenkompression?

Zwei Typen von Kompression: Verlustbehaftete Kompression (Bilder, Musik, Filme,) Verlustfreie Kompression (Programme, Texte, )

120SS 2016 120

Gierige Algorithmen Datenkompression

DuA - Kapitel 19 120

Datenkompression Reduziert Gren von Files Viele Verfahren fr unterschiedliche Anwendungen:

MP3, MPEG, JPEG, Wie funktioniert Datenkompression?

Zwei Typen von Kompression: Verlustbehaftete Kompression (Bilder, Musik, Filme,) Verlustfreie Kompression (Programme, Texte, )

121SS 2016 121



Kodierung: Computer arbeiten auf Bits (Symbole 0 und 1), nutzen

also das Alphabet {0,1} Menschen nutzen umfangreichere Alphabete

(z.B. Alphabete von Sprachen) Darstellung auf Rechner erfordert Umwandlung in

Bitfolgen

122SS 2016 122



Beispiel: Alphabet ={a,b,c,d,,x,y,z, ,.,:,!,?,&} (32 Zeichen) 5 Bits pro Symbol: 2 = 32 Mglichkeiten

a b z . : ! ? &00000 00001 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111

5

123SS 2016 123



Beispiel: Alphabet ={a,b,c,d,,x,y,z, ,.,:,!,?,&} (32 Zeichen) 5 Bits pro Symbol: 2 = 32 Mglichkeiten

Fragen? Sind 4 Bits pro Symbol nicht genug ? Mssen wir im Durchschnitt 5 Bits fr jedes Vorkommen

eines Symbols in langen Texten verwenden?

a b z . : ! ? &00000 00001 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111

5

124SS 2016 124



Beobachtung: Nicht jeder Buchstabe kommt gleich hufig vor Z.B. kommen x,y und z in der deutschen Sprache viel

seltener vor als e, n oder r

125SS 2016 125




seltener vor als e, n oder rIdee: Benutze kurze Bitstrings fr Symbole die hufig

vorkommen

126SS 2016 126




seltener vor als e, n oder rIdee: Benutze kurze Bitstrings fr Symbole die hufig

vorkommen Effekt: Gesamtlnge der Kodierung einer Symbolfolge (eines

Textes) wird reduziert

127SS 2016 127



Grundlegendes Problem: Eingabe: Text ber dem Alphabet Gesucht: Eine binre Kodierung von , so dass die Lnge

des Textes in dieser Kodierung minimiert wirdBeispiel: ={0,1,2,,9} Text = 00125590004356789 (17 Zeichen)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001

128SS 2016 128





0 1 2 3 4 5 6 7 8 90000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001

Lnge der Kodierung:4 17 = 68 Bits

129SS 2016 129





0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 11000 11001 11010 11011 10 11100 11101 11110 11111

130SS 2016 130





0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 11000 11001 11010 11011 10 11100 11101 11110 11111

Lnge der Kodierung:5 1 + 3 2 + 9 5 = 56 Bits

131SS 2016 131





0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 11000 11001 11010 11011 10 11100 11101 11110 11111


132SS 2016 132





0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 11000 11001 11010 11011 10 11100 11101 11110 11111


133SS 2016 133





0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 11000 11001 11010 11011 10 11100 11101 11110 11111


134SS 2016 134



MorseCode: Elektrische Pulse ber Kabel Punkte (kurze Pulse) Striche(Lange Pulse)

Beispiele aus dem MorseCode: e ist 0 (ein einzelner Punkt) t ist 1 (ein einzelner Strich) a ist 01 (Punkt Strich)

Problem: Ist 0101 eta, aa, etet, oder aet ?

135SS 2016 135135135



Problem Mehrdeutigkeit: Ist die Kodierung eines Buchstabens ein Prfix der

Kodierung eines anderen Buchstabens, dann kann es passieren, dass die Kodierung nicht eindeutig ist.

Beispiel: e = 0, a = 01 0 ist Prfix von 01

SS 2016



Prfix-Kodierung:Eine Prfix-Kodierung fr ein Alphabet ist eine Funktion ,die jeden Buchstaben x auf eine endliche Sequenz von 0und 1 abbildet, so dass fr x,y, xy, die Sequenz (x) kein Prfix der Sequenz (y) ist.

137SS 2016 137



Prfix-Kodierung:Eine Prfix-Kodierung fr ein Alphabet ist eine Funktion ,die jeden Buchstaben x auf eine endliche Sequenz von 0und 1 abbildet, so dass fr x,y, xy, die Sequenz (x) kein Prfix der Sequenz (y) ist.

Beispiel (Prfix-Kodierung):x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(x) 00 0100 0110 0111 1001 1010 1011 1101 1110 1111

138SS 2016 138



Definition (Frequenz) Die Frequenz f[x] eines Buchstaben x bezeichnet den

Bruchteil der Buchstaben im Text, die x sind.Beispiel: = {0,1,2} Text =0010022001 (10 Zeichen) f[0] = 3/5 f[1] = 1/5 f[2] = 1/5

139SS 2016 139



Definition (Kodierungslnge)Die Kodierungslnge eines Textes mit n Zeichen bzgl.einer Kodierung ist definert als

Kodierungslnge = nf[x]|(x)|Beispiel: = {a,b,c,d} (a) = 0; (b) =101; (c)= 110; (d)=111 Text = aacdaabb Kodierungslnge = 16

x

140SS 2016 140



Definition (Kodierungslnge)Die Kodierungslnge eines Textes mit n Zeichen bzgl.einer Kodierung ist definiert als


x

Anzahl der Vorkommen von x im Text

141SS 2016 141



Definition (Kodierungslnge)Die Kodierungslnge eines Textes mit n Zeichen bzgl.einer Kodierung ist definiert als


x

Lnge der Codierung von x

142SS 2016 142



Definition (durchschn. Kodierungslnge)Die durchschnittliche Kodierungslnge eines Buchstabensin einem Text mit n Zeichen und bzgl. einer Kodierung ist

definiert als ABL() = f[x]|(x)|

Beispiel: = {a,b,c,d} (a) = 0; (b) =101; (c)= 110; (d)=111 Text = aacdaabb Durchschnittliche Kodierungslnge = 16/8 = 2

x

143SS 2016 143



Problem einer optimalen Prfix-Kodierung:

Eingabe: Alphabet und fr jedes x seine Frequenz f[x]

Ausgabe: Eine Kodierung , die ABL() minimiert

SS 2016



Binrbume und Prfix-Kodierungen:

b

a

cd

145SS 2016 145




b

a

cd

0

0

0

1

1

1

146SS 2016 146



b

a

cd

0

0

0

1

1 x (x)

a 00

b 1

c 011

d 010


1

147SS 2016 147



Prfix-Kodierungen und Binrbume:

x (x)

a 11

b 01

c 00

d 10

148SS 2016 148



Prfix-Kodierungen und Binrbume:

x (x)

a 11

b 01

c 00

d 10c b d a

0

0 0

1

1 1

149SS 2016 149



Definition:Die Tiefe eines Baumknotens ist die Lnge seines Pfadeszur Wurzel.

b

a

cd

0

0

0

1

1

1

Tiefe(c) = 3

150SS 2016 150



Neue Problemformulierung: Suche Binrbaum T, dessen Bltter die Symbole aus

sind und der ABL(T) = f[x] TiefeT(x)

minimiert.x

SS 2016



Definition:Ein Binrbaum heit voll, wenn jeder innere Knoten genauzwei Kinder hat.

b

a

cd

0

0

0

1

1

1

Ein voller Binrbaum

152SS 2016 152



Definition:Ein Binrbaum heit voll, wenn jeder innere Knoten genauzwei Kinder hat.

b

a

d

0

0

01

1

Ein nicht voller Binrbaum,da der rote innere Knoten keine zwei Kinder hat

153SS 2016 153



Lemma 19.7:Der Binrbaum, der einer optimalen Prfix-Kodierung entspricht, ist voll.

b

ad

0

0

1

1

1

154SS 2016 154



Lemma 19.7:Der Binrbaum, der einer optimalen Prfix-Kodierungentspricht, ist voll.

b

v

a

u

d

0

0

1

1

1

Beweis: Annahme: T ist optimal und

hat inneren Knoten u mit einem Kind v

Ersetze u durch v Dies verkrzt die Tiefe einiger

Knoten, erhht aber keine Tiefe Damit verbessert man die

Kodierung

155SS 2016 155



Lemma 19.7:Der Binrbaum, der einer optimalen Prfix-Kodierungentspricht, ist voll.

b

a

v

d

0

0

1

1

Beweis: Annahme: T ist optimal und

hat inneren Knoten u mit einem Kind v

Ersetze u durch v Dies verkrzt die Tiefe einiger

Knoten, erhht aber keine Tiefe Damit verbessert man die

Kodierung

156SS 2016 156



Ein Gedankenexperiment: Angenommen, jemand gibt uns den optimalen Baum T*,

aber nicht die Bezeichnung der Bltter Wie schwierig ist es, die Bezeichnungen zu finden?

SS 2016



Lemma 19.8:Seien u und v sind Bltter von T* mit Tiefe(u)

BeobachtungSei v der tiefste Blattknoten in T*. Dann hat v einen Bruder

und dieser ist ebenfalls ein Blattknoten.

d

c

ba

0

0

0

1

1

1

vw(Bruder von v)

SS 2016 165



BeobachtungSei v der tiefste Blattknoten in T*. Dann hat v einen Bruder

und dieser ist ebenfalls ein Blattknoten.

d

c

ba

0

0

0

1

1

1

vw(Bruder von v)

Beweis: Da ein optimaler Baum

voll ist, hat v einen Bruder w

Wre w kein Blatt, dannhtte ein Nachfolger vonw grere Tiefe als v

SS 2016 166



Zusammenfassende Behauptung Es gibt eine optimale Prfix-Kodierung mit zugehrigem Baum T*,

so dass die beiden Blattknoten, denen die Symbole mit denkleinsten Frequenzen zugewiesen wurden, Bruderknoten in T* sind.

167SS 2016 167



Zusammenfassende Behauptung Es gibt eine optimale Prfix-Kodierung mit zugehrigem Baum T*, so

dass die beiden Blattknoten, denen die Symbole mit den kleinsten Frequenzen zugewiesen wurden, Bruderknoten in T* sind.

d

c

ba

0

0

0

1

1

1

x f[x]a 10%b 12%c 18%d 60%

168SS 2016 168



Zusammenfassende Behauptung Es gibt eine optimale Prfix-Kodierung mit zugehrigem Baum T*, so

dass die beiden Blattknoten, denen die Symbole mit den kleinsten Frequenzen zugewiesen wurden, Bruderknoten in T* sind.

d

c

ba

0

0

0

1

1

1

x f[x]a 10%b 12%c 18%d 60%

a und b erfllen die Bedingungen der Behauptung!

169SS 2016 169



Idee des Algorithmus: Die beiden Symbole y* und z* mit den niedrigsten

Frequenzen sind Bruderknoten Fasse y* und z* zu einem neuen Symbol zusammen Lse das Problem fr die brigen n-1 Symbole

(z.B. rekursiv)

z*y*

170SS 2016 170



Idee des Algorithmus: Die beiden Symbole y* und z* mit den niedrigsten

Frequenzen sind Bruderknoten Fasse y* und z* zu einem neuen Symbol zusammen Lse das Problem fr die brigen n-1 Symbole

(z.B. rekursiv)

y*z*

171SS 2016 171



x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%

Huffmann()1. n | |2. Q /* Priority Queue bzgl. f[x] */3. for i 1 to n-1 do4. x deleteMin(Q)5. y deleteMin(Q)6. znew BinTree(x, f[x]+f[y],y)7. f[z] f[x] + f[y]8. Q Q {z}9. return deleteMin(Q)

172SS 2016 172



x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%

173SS 2016 173




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%

Q: 10% 12% 23% 55%

174SS 2016 174




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=1

Q: 10% 12% 23% 55%

175SS 2016 175




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%

10%

i=1

x:

Q: 12% 23% 55%

176SS 2016 176




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=1

x:

y:

Q: 23% 55%

10%

12%

177SS 2016 177




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=1

z:

Q: 23% 55%

10% 12%

22%

178SS 2016 178




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=1

z:

Q: 23% 55%

10% 12%

22%

179SS 2016 179




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=1

Q: 23% 55%

10% 12%

22%

180SS 2016 180




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=2

Q: 23% 55%

10% 12%

22%

181SS 2016 181




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=2

Q: 23% 55%

10% 12%

22%x:

182SS 2016 182




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=2

Q:

23%

55%

10% 12%

22%x: y:

183SS 2016 183




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=2

Q:

23%

55%

10% 12%

22%

z: 45%

184SS 2016 184




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=2

Q:

23%

55%

10% 12%

22%

z: 45%

185SS 2016 185




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=2

Q: 55%

23%

10% 12%

22%

45%

186SS 2016 186




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=3

Q: 55%

23%

10% 12%

22%

45%

187SS 2016 187




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=3

Q:

23%

10% 12%

22%

45%55%x:

188SS 2016 188




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=3

Q:

23%

10% 12%

22%

45% 55%x: y:

189SS 2016 189




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=3

Q:

23%

10% 12%

22%

45% 55%z:

100%

190SS 2016 190




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=3

Q:

23%

10% 12%

22%

45% 55%z:

100%

191SS 2016 191




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=3

Q:

23%

10% 12%

22%

45% 55%

100%

192SS 2016 192




x f[x]

a 23%

b 12%

c 55%

d 10%i=3

Q:

23%

10% 12%

22%

45% 55%

100%

193SS 2016 193




Satz 19.9Algorithmus Huffman() berechnet eine optimale Prfix-Kodierung.Beweis: Durch Induktion ber Anzahl Symbole in . ||=2: Algo Huffman() offensichtlich optimal nn+1: seien x und y die Symbole mit kleinsten Frequenzen in .

Verschmelze x und y zu einem Symbol z mit f[z]=f[x]+f[y] und sei = (\{x,y}){z}.

Betrachte einen optimalen Baum T fr und ersetze den Knoten z mit einem Knoten mit Kindern x und y. Der resultierende Baum T hat die Kosten

ABL(T) = x f[x] TiefeT(x) = ABL(T) + f[x]+f[y]. Angenommen, T sei nicht optimal fr S, aber ein Baum T ist es. Nach

Lemma 19.8 sind (o.B.d.A.) x und y Bruderknoten in T. Deren Verschmelzung zu einem Knoten mit Symbol z ergibt dann einen Baum T fr mit

ABL(T) = ABL(T)-f[x]-f[y] < ABL(T)-f[x]-f[y] = ABL(T) Wir wissen: Algo Huffman() konstruiert optimalen Baum fr . Dann

konstruiert Huffman() auch optimalen Baum fr .

SS 2016DuA - Kapitel 19 194


Widerspruch!

Kann man an einem Problem erkennen, ob ein Greedy Algorithmus eine optimale

Ausgabe liefert?

SS 2016

Gierige Algorithmen Matroide


Definition 19.10: Sei M eine endlichen Menge und T eine nichtleere Menge von Teilmengen von M.

Das Mengensystem (M,T ) heit Teilmengensystem fr alle A,BM gilt:

AT und BA BTD.h. die Teilmengen in T sind bezglich abgeschlossen.

Das zu (M,T ) gehrige Optimierungsproblem besteht darin, fr eine beliebige gegebene Gewichtsfunktion w:M eine in T maximale Menge T zu finden, deren Gesamtgewicht

w(T):=eT w(e)

maximal (bzw. minimal) ist.

SS 2016



Beispiele fr ein Teilmengensystem: T = { } { {x} | xM} T = P(M) (P(M): Potenzmenge von M)

Kein Teilmengensystem: T = { {x,y} | x,yM} Beweis: betrachte beliebige x,yM. Sei

A={x,y} und B={x}. Dann sind A,BM, AT und BA, aber BT.

SS 2016



Gegeben sei ein Teilmengensystem (M,T ) und eine Gewichtsfunktion w:M.

Greedy-Algorithmus:1. Sortiere die Elemente in M nach absteigen-

dem Gewicht (Maximierung). Sei M={x1,...,xm} mit w(x1) ... w(xm).

2. T3. Fr k1 bis m:4. Falls T{xk}T , dann TT{xk}5. Gib T aus

SS 2016



Bemerkung 19.11: Der Greedy-Algorithmus liefert nicht immer eine Menge T mit maximalem Gewicht.

Beispiel: M={a,b,c} T={, {a}, {b}, {c}, {a,b}} w(a)=w(b)=2, w(c)=3 Dafr berechnet der Greedy-Algorithmus

T={c} mit w(T)=3, aber die optimale Lsung ist T={a,b} mit w(T)=4.

SS 2016



Beispiel: Traveling Salesman Problem (TSP): Gegeben

eine Knotenmenge V mit Distanzen d:VV+, finde eine Rundtour TP(VV) ber alle Knoten mit minimaler Lnge d(T)= eT d(e), die jeden Knoten genau einmal besucht.

Teilmengensystem zum TSP:M =VVT ={ EM | ET fr eine Rundtour T}

Das TSP ist ein NP-schweres Problem, die Greedy-Methode kann also in der Regel keine optimale Lsung liefern.

SS 2016



Beispiel: Rucksack Problem: Gegeben eine Objektmenge

M mit Gewichten w:M+und ein Rucksack mit maximaler Traglast W, finde eine Teilmenge T der Objekte mit maximalem Gewicht, die in den Rucksack passt, d.h. w(T):= xT w(x) W.

Teilmengensystem zum Rucksack Problem:M wie oben definiertT ={ TM | w(T)W }

Das Rucksackproblem ist auch ein NP-schweres Problem, d.h. auch hier wird die Greedy-Methode im Allgemeinen keine optimale Lsung liefern.

SS 2016



Definition 19.12: Ein Teilmengensystem (M,T ) heit Matroid fr alle A,BT das Austauschaxiomgilt:

|A|=|B|+1 aA\B: B{a}TDie Mengen in T werden unabhngige Mengen genannt. Jede maximale (d.h. nicht erweiterbare) unabhngige Menge heit Basis.

Beispiele: Sei G=(V,E) ein Graph. Dann ist (M,T ) mit M=E

und T = { TM | (V,T) ist ein Wald} ein Matroid. Die Teilmengensysteme zum TSP und zum

Rucksackproblem sind dagegen keine Matroide.SS 2016



Satz 19.13: Sei (M,T ) ein Teilmengensystem. Der Greedy-Algorithmus lst genau dann das zu (M,T ) gehrige Optimierungsproblem (fr jede Gewichtsfunktion w), wenn (M,T ) ein Matroid ist.

Beweis:: Alle maximalen Mengen von T haben wegen des

Austauschaxioms die gleiche Kardinalitt. Sei k diese Kardinalitt und sei S={x1,...,xk} die

vom Greedy-Algorithmus berechnete Lsung. Es gelte w(x1) ... w(xk).

Sei T={y1,...,yk} eine andere maximale Menge aus T . Es gelte w(y1) ... w(yk).

SS 2016



Annahme: es existiert ein i mit w(yi)>w(xi). Sei i der kleinste solche Index, also

w(y1)w(x1),...,w(yi-1)w(xi-1). Definition 19.12 liefert mit A={y1,...,yi} und

B={x1,...,xi-1} ein yjA\B, so dass B{yj}T . Wegen w(yj)w(yi)>w(xi) htte der Greedy-

Algorithmus vor xi schon yj genommen, wir erhalten also einen Widerspruch zur Annahme.

Also ist w(yi)w(xi) fr alle 1 ik und somit w(T)w(S).

SS 2016



: Das Austauschaxiom gelte nicht. Dann gibt es A,BT mit |A|=|B|+1, so dass

B{a}T fr alle aA\B. Sei r=|A| und w:VV gegeben durch

r+1 falls xBw(x):= r falls xA\B

0 sonst Der Greedy-Algorithmus whlt dann eine Menge T

mit TB und T(A\B)= mit Gewicht w(T)=|B|(r+1) = r2-1

Whlt man stattdessen ein S mit SA, dann ergibt sich w(S)|A|r = r2 > w(T).

SS 2016



Gegeben sei eine Menge J={1,...,n} von Jobs. Jeder Job habe einen Fertigstellungstermin f(i)

und eine Strafe s(i), die bei nicht rechtzeitiger Fertigstellung gezahlt werden muss.

Pro Tag kann nur ein Job erledigt werden. Wie muss man die Jobs einplanen, so dass die

Gesamtstrafe minimiert wird?

Beispiel:

SS 2016



Job 1 2 3 4 5 6f(i) 1 1 2 3 3 6s(i) 10 9 6 7 4 2

Modellierung als Matroid: M = J T = { PJ | jP: Job j ist pnktlich planbar}

Man nehme s(i) als Gewichtsfunktion und wende den Greedy-Algorithmus an.

Terminplan:

Strafe: 13

SS 2016



Job 1 2 3 4 5 6f(i) 1 1 2 3 3 6s(i) 10 9 6 7 4 2

Reihe 1 - 3 2 - 4

Beispiel: minimale Spannbume Gegeben sei ein Graph G=(V,E) mit

Kantenkosten c:E. Finde einen Spannbaum (V,T) mit TE mit mini-malen Kosten.

Modellierung als Matroid: M = E T = { TE | (V,T) ist ein Wald }Greedy-Algorithmus identisch mit Kruskal.SS 2016



Satz 19.14: Das System (M,T ) zum Minimalen-Spannbaum-Problem ist ein Matroid.

Beweis: T : klar AT und BA BT : klar Wir mssen die Austauscheigenschaft

nachweisen.

SS 2016



Zu zeigen: fr alle A,BT gilt|A|=|B|+1 aA\B: B{a}T

Betrachte zwei kreisfreie Kantenmengen A,BE. Seien V1,...,Vk die Zusammenhangskomponenten von (V,B).

Da |B||B|, gibt es somit in A eine Kante e, die zwei

verschiedene Vi verbindet. Diese kann aber in Bkeinen Kreis schlieen, d.h. B{e}T.

SS 2016



Beispiel: maximales Matching Ein Matching ist eine Kantenmenge, in der

jeder Knoten hchstens einmal vorkommt. Gegeben sei ein bipartiter Graph G=(LR,E)

mit Knotengewichten w:L+. Finde ein Matching FE mit maximalem Gewicht w(F) = (u,v)F w(u).

Modellierung als Matroid: M=L T = { TL | T hat ein Matching in G }

SS 2016



Satz 19.15: Das System (M,T ) zum Maximalen-Matching-Problem ist ein Matroid.

Beweis: T : klar AT und BA BT : klar Wir mssen die Austauscheigenschaft

nachweisen.

SS 2016



Zu zeigen: fr alle A,BT gilt|A|=|B|+1 aA\B: B{a}T

Betrachte Knotenmengen A,BL mit |A|=|B|+1. Sei X ein Matching zu A und Y ein Matching zu B.

Betrachte den Graphen H=(LR,XY). Seien X die roten und Y die blauen Kanten. H besteht aus

isolierten Kanten, die rot, blau oder beides sein knnen, und/oder

disjunkten Wegen, die aus abwechselnd roten und blauenKanten bestehen.

H hat mehr rote als blaue Kanten. Also gibt es entweder eine isolierte rote Kante oder einen

Weg der Lnge >1 mit mehr roten als blauen Kanten.

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Also: es gibt entweder eine isolierte rote Kante (mit linkem Knoten vA\B) oder einen Weg P der Lnge >1 mit mehr roten als blauen Kanten.

Im ersten Fall: B{v}T . Im zweiten Fall: P hat ungerade Lnge, beginnt und

endet mit roter Kante.

B{v}T, da die roten Kanten ein Matching bilden.

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L

R

vA\B

Fazit: Knnen wir ein Optimierungsproblem als Matroid modellieren, wissen wir, dass der Greedy-Algorithmus eine optimale Lsung findet.

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Changelog

27.06.16: Folien 11, 12, 106, 107, 13601.07.16: Folie 194

DuA - Kapitel 19

19. Gierige AlgorithmenFoliennummer 2Gierige Algorithmen Minimale SpannbumeGierige Algorithmen Idee und PrimGierige Algorithmen Idee und KruskalGieriges 1-Prozessor-Scheduling (1)Gieriges 1-Prozessor-Scheduling (2)Gieriges 1-Prozessor-Scheduling - BeispielGieriges 1-Prozessor-Scheduling (3)Gieriges Mehr-Prozessor-Scheduling Gieriges Mehr-Prozessor-Scheduling (2)Gieriges Mehr-Prozessor-Scheduling - BeispielGierig ist nicht immer optimalGierig ist nicht immer optimalGierig ist nicht immer optimalGierig ist nicht immer optimalFoliennummer 17Foliennummer 18Foliennummer 19Foliennummer 20Foliennummer 21Foliennummer 22Foliennummer 23Foliennummer 24Foliennummer 25Foliennummer 26Foliennummer 27Foliennummer 28Foliennummer 29Foliennummer 30Foliennummer 31Foliennummer 32Foliennummer 33Foliennummer 34Foliennummer 35Foliennummer 36Foliennummer 37Foliennummer 38Foliennummer 39Foliennummer 40Foliennummer 41Foliennummer 42Foliennummer 43Foliennummer 44Foliennummer 45Foliennummer 46Foliennummer 47Foliennummer 48Foliennummer 49Foliennummer 50Foliennummer 51Foliennummer 52Foliennummer 53Foliennummer 54Foliennummer 55Foliennummer 56Gierige Algorithmen Intervall SchedulingFoliennummer 58Foliennummer 59Foliennummer 60Foliennummer 61Foliennummer 62Foliennummer 63Foliennummer 64Foliennummer 65Foliennummer 66Foliennummer 67Foliennummer 68Foliennummer 69Foliennummer 70Foliennummer 71Foliennummer 72Foliennummer 73Foliennummer 74Foliennummer 75Foliennummer 76Foliennummer 77Foliennummer 78Foliennummer 79Foliennummer 80Foliennummer 81Foliennummer 82Foliennummer 83Foliennummer 84Foliennummer 85Foliennummer 86Foliennummer 87Foliennummer 88Foliennummer 89Foliennummer 90Foliennummer 91Foliennummer 92Foliennummer 93Foliennummer 94Foliennummer 95Foliennummer 96Foliennummer 97Foliennummer 98Foliennummer 99Foliennummer 100Foliennummer 101Foliennummer 102Foliennummer 103Foliennummer 104Foliennummer 105Foliennummer 106Foliennummer 107Foliennummer 108Foliennummer 109Foliennummer 110Foliennummer 111Foliennummer 112Foliennummer 113Foliennummer 114Foliennummer 115Foliennummer 116Foliennummer 117Foliennummer 118Foliennummer 119Foliennummer 120Foliennummer 121Foliennummer 122Foliennummer 123Foliennummer 124Foliennummer 125Foliennummer 126Foliennummer 127Foliennummer 128Foliennummer 129Foliennummer 130Foliennummer 131Foliennummer 132Foliennummer 133Foliennummer 134Foliennummer 135Foliennummer 136Foliennummer 137Foliennummer 138Foliennummer 139Foliennummer 140Foliennummer 141Foliennummer 142Foliennummer 143Foliennummer 144Foliennummer 145Foliennummer 146Foliennummer 147Foliennummer 148Foliennummer 149Foliennummer 150Foliennummer 151Foliennummer 152Foliennummer 153Foliennummer 154Foliennummer 155Foliennummer 156Foliennummer 157Foliennummer 158Foliennummer 159Foliennummer 160Foliennummer 161Foliennummer 162Foliennummer 163Foliennummer 164Foliennummer 165Foliennummer 166Foliennummer 167Foliennummer 168Foliennummer 169Foliennummer 170Foliennummer 171Foliennummer 172Foliennummer 173Foliennummer 174Foliennummer 175Foliennummer 176Foliennummer 177Foliennummer 178Foliennummer 179Foliennummer 180Foliennummer 181Foliennummer 182Foliennummer 183Foliennummer 184Foliennummer 185Foliennummer 186Foliennummer 187Foliennummer 188Foliennummer 189Foliennummer 190Foliennummer 191Foliennummer 192Foliennummer 193Foliennummer 194Foliennummer 195Foliennummer 196Foliennummer 197Foliennummer 198Foliennummer 199Foliennummer 200Foliennummer 201Foliennummer 202Foliennummer 203Foliennummer 204Foliennummer 205Foliennummer 206Foliennummer 207Foliennummer 208Foliennummer 209Foliennummer 210Foliennummer 211Foliennummer 212Foliennummer 213Foliennummer 214Foliennummer 215Changelog

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