2 = 360°1° = /180

6 Ebene Geometrie (S. 45ff)

180°

= s/r Einheit Radiant (rad) 360° = 2 rad Winkelgrad (°) = /180

abc

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

Satz des Pythagoras

ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2

sin = ca

sin = cos = cos(2 - )

sin2 + cos2 = 1

cos = cb

tan =

ba =

cossin

7 Trigonometrie (S. 51ff)

(S. 4)

sin0 = 0 sin2 = 1 cos0 = 1 cos

2 = 0

sin(-) = -sin cos(-) = cos

(S. 227ff)

Für "kleine" Winkel gilt sin tan

aber nur im Bogenmaß!

Raumwinkel

Einheit: Steradiant (sr)Vollwinkel = 4 sr

Maß für den Anteil am Gesichtsfeld(S. 179)

A =

z

y

x

aaa

Allgemein ist ein Vektor ein geordnetes n-Tupel, das bestimmten Rechenregeln unterliegt. Wir beschränken uns auf den dreidimensionalen euklidischen Raum 3. Dort ist ein Vektor A ein geordnetes Tripel, dessen Komponenten reelle Zahlen sind.

Ortsvektor oder Polarvektor

8 Vektoren (S. 55ff)

A = B a1 = b1 a2 = b2 a3 = b3

|A| = 23

22

21 aaa

A + B = C

3

2

1

aaa

+

3

2

1

bbb

=

33

22

11

bababa

3

2

1

aaa

8.2 Skalarmultiplikation

A = |A| = | |23

22

21 aaa

f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten

eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.

)´(:d

)(d:Δ

)()Δ(lim

0Δxf

xxf

xxfxxf

x

23 Differentialrechnung (S. 205ff)

f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten

eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.

)´(:d

)(d:Δ

)()Δ(lim

0Δxf

xxf

xxfxxf

x

f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten

eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.

)´(:d

)(d:Δ

)()Δ(lim

0Δxf

xxf

xxfxxf

x

f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten

eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.

)´(:d

)(d:Δ

)()Δ(lim

0Δxf

xxf

xxfxxf

x

Isaac Newton (1643 – 1727)

Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646 – 1716)

xf

dd

f‘

fxxx

fx d

ddd

dd

dd

f‘‘

2

22

dd)

dd(

xff

x

fxdd

Differentialoperator

xcmxcxxmxf

x

][])([ )´( lim0Δ

xx

xxxx

xxxxfxx

2)(2 )( )´(2

0Δ

22

0Δlimlim

23.1 Ableitungen einfacher Funktionen

lineare Funktion f(x) = mx + c

insbesondere gilt für f(x) = c, d.h. m = 0: f´(x) = 0

mxxm

x

lim0Δ

quadratische Funktion f(x) = x2

(f + g)´ = f´ + g´ (fm)´ = f´m

x

f(x)

xx

xxxx

xxxxfxx

2)(2 )( )´(2

0Δ

22

0Δlimlim

quadratische Funktion f(x) = x2

121

0Δ0Δ

)R( )( )´( limlim

r

r

x

rr

xrx

xxxrx

xxxxxf

f(x) = xr mit r , r 0:

Produktregel: (f.g)´ = f´g + fg´

Man zeige mit der Produktregel: (mf)´ = mf´ für m = const.

(x3)´ = (x2.x)´ = 2x.x + x2.1 = 3x2

Man zeige mit der Produktregel: dx3/dx = 3x2

dsinx

dx = cosx d2sinx

dx2 = dcosx

dx = -sinx

d3sinx

dx3 = d2cosx

dx2 = - dsinx

dx = -cosx d4sinx

dx4 = d3cosx

dx3 = - d2sinx

dx2 = - dcosx

dx = sinx

xcosΔxxsinxcosΔxsinΔxcossinx

ΔxsinxΔx)sin(x

dxxsind

0Δx0Δx

limlim

xsinΔxxcosΔxsinxsinΔxcoscosx

ΔxsxcoΔx)cos(x

dxxcosd

0Δx0Δx

limlim

Satz (Kettenregel): Seien g(y) und f(x) auf diffbare Funktionen mit y = f(x), dann gilt:

dg dg dy=dx dy dx (wie in der Bruchrechnung)

d dsin(ωt) d(ωt)sin(ωt) cos(ωt) ωdt d(ωt) dt

Partielle Differentiation f(x,y) = 2x2y

xy4xf

2x2

yf

xy4dxdf

consty

2

constxx2

dydf

28. Funktionen mehrerer Variablen (S. 249ff)

d(k x)sin(ω t - k x) sin(ω t - k x)x (k x) dx

-k cos(ω t - k x)

f(x, t) = sin(t - kx)

2

2

2

2

sin(ω t - k x) [-k cos(ω t - k x)]x x

-k sin(ω t - k x)]

-k f(x,t)

2

2

2

2

sin(ω t - k x) [ω cos(ω t - k x)]t t

-ω sin(ω t - k x)]

-ω f(x,t)

Δx→0 Δx→0

F( x+Δx)= [F( x)+Δx f( x)]lim lim

Δx→0F( x+Δx)-F( x)f( x) = =F(́ x)lim Δx

a

bf(x)dx = F(b) - F(a)

29-33 Integralrechnung (S. 255ff)

3 2d x = 3xdx

32 xx dx = + C

3