1

-119-

2. Der elektrische Strom

Grundlagen der Elektrotechnik GET 1

• Einteilung der Materialien

• Ladungsbewegung im Vakuum

• Ladungsbewegung im leitenden Festkörper

• Elektrische Stromstärke und elektrische Stromdichte

• Das Ohm‘sche Gesetz

• Ladungstransport im Elektrolyten

• Ladungstransport im Halbleiter

• Energie und Leistung im Strömungsfeld[Buch Seite 103-142]

• Aussenelektronen nur teilweise an Atome gebunden (je nach Temperatur); ein Teil ist frei beweglich.

• Silizium (Si), Germanium (Ge), sowieVerbindungen aus III und V Gruppe(z.B. GaAs, InP), bzw. aus IV und VIGruppe (z.B. PbSe, PbTe).

Kern

e–

e–

e–

e–

e–

e–

e–

e– e–

e–e–

Einteilung der Materialien IKatergorienbildung nach der Elektronenkonfiguration

(1) Isolatoren (Nichtleiter):

• Aussenelektronen an Atome gebunden.

• Dielektrika: (z.B. Bernstein, Teflon, Alu- miniumoxid Al2O3).

(2) Halbleiter:

(3) Leiter:

Die Aussenelektronen bestimmen daschemische und das elektrische Verhaltender Materialien.

• Aussenelektronen frei beweglich.

• Metalle: (z.B. Au, Ag, Cu, Al).

• Oder: Atome werden in Ionen dissoziiertund diese sind frei beweglich.

• Elektrolyte: z.B. CuSO4 Cu++ + SO4– –.

Mg

-120-

2

Ladungsbewegung im Vakuum ILadungsträger im homogenen elektrischen Feld

W = F ds1( )

2( )

= q E ds1( )

2( )

= q E d =Wkin

+ + + + + ++ + +

d

q, m

U

x

- --------

E

v,F

(1) Voraussetzungen:

• Freie Ladungsträger durchErhitzen der Elektroden.

• Es seien positive und negative Ladungsträger vorhanden.

• Bei t = 0 existiere ein ruhendesgeladenes Teilchen q > 0 ander Stelle x = 0.

• Es gilt zudem:

F = q E

E= E ex E =U

d

v = v ex Wkin =m

2v2

(2) Energiebilanz (Feld leistet Arbeit!):

-121-

-122-

Ladungsbewegung im Vakuum IIGeschwindigkeit und Weg eines Elektrons(3) Geschwindigkeit:

Merke: Es treten keine relativistischen Effekte auf für SpannungenU bis ungefähr 10 000 V, d.h. die Teilchengeschwindigkeit ist dannimmer noch viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit.

m

2v2= q E d v =

2 q E d

m=2 q U

m

v

km s= 593.1

U

V

(4) Beschleunigung:

F=m a =q E a =F

m=q E

mv = a t =

q E t

m=ds

dtalternativ:

Für ein Elektron gilt:

3

s =q E 2

2 m:= d

=2 m d

q Ev = a =

2 q E d

m=2 q U

m

Ladungsbewegung im Vakuum IIIGeschwindigkeit und Weg eines Elektrons

(5) Weg:

(6) Zeit:

v = a t =q E t

m=ds

dt

s = a t dt =a t 2

2=

0

t q E t 2

2 m

Vergleiche Folie 122

-123-

Ladungsbewegung im Vakuum IVGeschwindigkeit und Weg eines Elektrons

(7) Grafische Darstellung: U = 1 V; d = 1 cm; E = 1V/m; = 337 ns; vend = 593.1 km/s.

-124-

4

Ladungsbewegung in Leitern ITemperatur- und Driftbewegung(1) Zylindrischer Leiter:

Nur statistisch ungeordneteTemperaturbewegung: Im Zeit-mittel kein Ladungstransport.

q

a)

q

b)

q

E U

x

s result.

Ungeordnete Temperaturbewegung wird durcheine feldinduziierte Driftbewegung überlagert:Im Zeitmittel findet ein Ladungstransport statt.

(Quellen -spannung)

Es sei: T > 0q > 0

-125-

Ladungsbewegung in Leitern IITemperatur- und Driftbewegung(1) Qualitative Darstellung des Driftverhaltens eines Elektrons:

(2) MikroskopischesBewegungsmodell:

e E

m

v

v

1 2 3 4 50 t

1 2 3… …

:

:

mittlere freie Laufzeit

mittlere freie Weglänge

vxmax

=q E

m=

e E

m

(stark idealisierter Verlauf der in x-Richtung aufrtetende Zusatzgeschwindigkeit)

x

x

-126-

5

v =1 e E t

mdt

0

=e E

2 m

= vth

v :=q

m* E =e

m* E

Ladungsbewegung in Leitern IIITemperatur- und Driftbewegung(3) Mittlere Geschwindigkeit:

mittlere freie Weglänge

(vergl. geometrischeInterpretation vonFolie 126)

m* : effektive Masse

(4) Das Konzept der effektiven Masse:

• Ein freier Ladungsträger mit Masse m* soll im Vakuum die gleiche Beschleuni-gung in einem Kraftfeld erfahren wie ein realer Ladungsträger mit der Masse m,welcher durch Stösse am periodischen Ionengitter im Leitermaterial noch eine zusätzliche Verzögerung erfährt.

• Die effektive Masse m* wird unter Zuhilfenahme der Quantenmechanik ermittelt.

v

th

Quanten-mechanik

-127-

Ladungsbewegung in Leitern IVDie Beweglichkeit von Ladungsträgern

(5) Der stationäre Fall der Ladungsträgerbewegung:

Im stationären Zustand stellt sich eine mittlereGeschwindigkeit ein: die Driftgeschwindigkeit vD.

v =q

m* E =e

m* E := vD

vD = b E

b =e

m*

b[ ] =e

m* =Assm2

VAs3=m2

Vs=m s

V m

(6) Die Beweglichkeit:

Die Driftgeschwindigkeit vD ist proportional zurelektrischen Feldstärke E. Wir schreiben neu:

b: Beweglichkeit

-128-

6

Ladungsbewegung in Leitern V

Fazit(1) Dem Leiter wird durch die Spannungsquelle ein elektrisches

Feld (zwangsweise) von Aussen aufgeprägt. Somit ist das Innere des Leiters nicht mehr feldfrei (cf. Folie 49 ff.) und esfindet eine kontinuierliche Ladungsbewegung statt.

(2) Mikroskopisch gesehen erfahren die Ladungsträger (indiesem Fall die Elektronen) zahlreiche Stösse an den Atom-

rümpfen (Gitterpunkten) im (kristallartigen) Leitermaterial.

(3) Makroskopisch betrachtet (und über die Zeit gemittelt) sind die Ladungsträger wegen der laufenden Zusammenstösse einer Art «Reibungsvorgang» unterworfen, welcher die beschleunigende Wirkung des elektrischen Feldes so weit

kompensiert, dass eine zeitlich konstante Ladungsträger- geschwindigkeit (sprich: Driftgeschwindigkeit) resultiert.

(4) Die Ladungsträgergeschwindigkeit (Driftgeschwindigkeit) in Leitern ist proportional zur elektrischen Feldstärke.

(5) Die Proprortionalitätskonstante heisst Beweglichkeit b.

-129-

Stromstärke und Stromdichte ILadungstransport im zylindrischen Volumenelement(1) Ladungsträgerdichte n:

• Von Aussenangelegteund aufrechterhalteneSpannung u.

• Im Innern des Leiters ergibt sich konstante

Feldstärke E.

• N positiv ge- ladene Träger q in V.

• Träger treten mit vD bei A1

ein und mit vDbei A2 hinaus.

=Q

V=N q

V=N

Vq = n q

StationäreTrägerbilanzim Volumen V

V = An[ ] = m 3

Mit:

-130-

7

Stromstärke und Stromdichte IILadungstransport im zylindrischen Volumenelement(2) Die elektrische Stromstärke i:

• Stromstärke i ist die Ladung pro Zeiteinheit, welche durch

die Fläche Aitritt.

i = limt 0

Q

t=dQ

dt

vD =t

t =vDi[ ] = Amit:

i =Q

t=n q V

vD=n q A

vD= n q A vD

b E

i=n q A b E

-131-

Stromstärke und Stromdichte IIIVeränderlicher Leiterquerschnitt

(1) Die elektrische Stromdichte j:• Es gilt die Ladungs-

erhaltung, d.h. imLeiter werden keineTräger erzeugt,vernichtet oder gargespeichert.

• Bei konstanter Drift- geschwindigkeit vD ist die Anzahl Träger pro Zeiteinheit kon-

stant.

• Stromstärke i durchdie Querschnittsflä-chen ist bei A1 undA2 gleich gross.

• Was ändert sich?

• Im Sinne einer «realen» Flussdichte wird das Vektorfeld derStromdichte definiert:

J = limA 0

i

A=di

dA J = A m2

mit:

J = J evD

evD: Driftrichtung der

positiven Träger

-132-

8

i

Stromstärke und Stromdichte IVVeränderlicher Leiterquerschnitt

(2) Stromdichte j und Stromstärke i:

: Richtungssinnfrei wählbar.

i = J n A

F

i = J n A=1

N

i = J n dAdFA

Dem elektrischen Strom i wird einZählpfeil zugeordnet (kein Vektor,zeigt Bezugsrichtung an).

n

(1) Die elektrische Stromstärke i ist eine skalare Grösse, welche je nach Wahl von positive oder negative Werte annehmen kann.

(2) Die Festlegung des Flächennormalvektorslegt auch die Richtung des Bezugspfeils fest undregelt somit das Vorzeichen der Stromstärke.

n

n

-133-

-134-

Stromstärke und Stromdichte VDer Bezugspfeil des elektrischen Stroms

Vorzeichenkonvention zwischen Strom i und Stromdichte j:

(a) Sind der Vektor der Stromdichte j und der Flächennormaleneinheitsvektor gleichge- richtet, dann wird diese Richtung mit einer

positiven Stromstärke i in Verbindung gebracht.

(b) Sind der Vektor der Stromdichte j und der Flächennormaleneinheitsvektor entgegen- gesetzt gerichtet, dann ist der Strom i negativ (in Richtung des Zählpfeils bzw. n ).

Umgekehrt:

(a’) Gegeben: Positiver Strom i und Flächen-normaleneinheitsvektor n: Zählpfeil undStromdichtevektor zeigen in Richtung n.

(b’) Gegeben: Negativer Strom i und n: Zähl-pfeil nach n und Stromdichte j umgekehrt.

9

= n q b =n q2

m*

[ ] =Asm2

m3Vs=A

Vm= Sm 1

Stromstärke und Stromdichte VIElektrische Leitfähigkeit

(1) Proportionalität der Stromdichte zur elektrischen Feldstärke:

(Folie 130)

i=n q A b E

J =di

dA(Folie 131)

J = n q b E = E

(Folie 128)

ElektrischeLeitfähigkeit

S: SiemensDie Leitfähigkeit ist wegen q2

immer positiv, d.h. die elektrischeFeldstärke und die elektrischeStromdichte weisen stets die glei-che Richtung auf.

J = E

-135-

Stromstärke und Stromdichte VIIElektrische Leitfähigkeit

(2) Mikroskopische und makroskopische Parameter der Leitfähigkeit

• Gitterabmessungen im Bereich Å (10–10 m).

• Mittlere freie Weglänge im Bereich von nm.

• Diskrepanz klassisch nicht fassbar.

• Störstellen im Leiter (z.B. Gitterversetzungen) kommen als Stossstellen wohl eher in Frage.

= vth(Folie 127)

vth : Thermische

Geschwin- digkeit.

-136-

10

Das ohm’sche Gesetz I«Grössenverhältnisse» am elektrischen Widerstand

(1) Makroskopische Beschreibung des elektrischen Stroms:

Zylindrischer Leiter(mit konstantem Querschnitt Aund der Leitfähigkeit ).

E =u

J = E

i = J A =uA = u

A

E

J

x u

i

A

u =Ai R =

A

Das ohm’scheGesetz

u = R i

Nach der Spannung u aufgelöst:

-137-

Das ohm’sche Gesetz II«Grössenverhältnisse» am elektrischen Widerstand

A

R =1

A=

A

R[ ] =V

A=

=1=

m*

n q2=

1

n q b

[ ] =Vm

A= m

(2) Parameter des elektrischen Widerstands R:

Eine stetspositiveGrösse!

R :

:

Elektrischer Widerstand

Spezifischer elektrischer Widerstand

mit:

Der elektrische Widerstand ist die positiveProportionalitätskonstante zwischen derSpannung u und der Stromstärke i.

-138-

11

Das ohm’sche Gesetz IIISpezifischer elektrischen Widerstand

Tabelle von und für verschiedene Materialien:

[ ] =mm2

m

[ ] =Sm

mm2

TechnischangepassteEinheiten:

• Querschnittin mm2.

• Länge in m

-139-

Das ohm’sche Gesetz IVLeiterelement mit nicht konstantem Querschnitt

Ansatz:«Reihenschaltung»von Leiterabschnitten.

Rx

A=1

N

Widerstandsberechnung:

R = limx 0N

x

A=1

N

=dx

A x( )0

x=1

N

-140-

12

Das ohm’sche Gesetz VTemperaturabhängigkeit des Widerstandes

• Widerstand über «Reibung» der freien Elektro-nen am festen Atomgitter des Leiters erklärt.

• Wachsende Temperatur bedeutet zunehmende Gitterschwingungen: Widerstand nimmt zu.

( ) = 0 1+ 0( )

= 0 1+[ ]

0 = 0( )

= 20°C( )

R( )=R0 1+[ ]

R0 = 0 A

-141-

Das ohm’sche Gesetz VITemperaturabhängigkeit des Widerstandes

Temperaturkoeffizientfür verschiedeneMaterialien:

Heissleiter

= 0

> 0

> 0 :

< 0 :

> 0 :

< 0 :

Kaltleiter

PTC

NTC

-142-

13

Das ohm’sche Gesetz VII

Charakteristisches Temperaturverhalten

PTC: Kaltleiter(metallische Leiter)

z.B. Konstantan,(Cu-Ni), Manganin(Cu-Ni-Mn)

NTC: Heissleiter(Kohle, Halbleiter)

-143-

Das ohm’sche Gesetz VIII

Beispiel: «Glühlampe»

Glühlampe:

• Leistung: p =100 W

• Spannung: u = 230 V

Glühwendel:

• Wolfram

• = 2900°C

Wie gross ist die Stromstärke gerade beim Einschalten?

(1) Nennbetrieb:

R0 =RN

1+RN = R 2900°C( )

iN =p

u=100W

230V= 435mA

RN =u

i=230V

435mA= 529

(2) Einschalten:

R( )=R0 1+[ ] (Folie 141)

-144-

14

Das ohm’sche Gesetz IX

Beispiel: «Glühlampe» Wie gross ist die Stromstärke gerade beim Einschalten?

(2) Einschalten:

R0 =RN

1+=

=529

1+ 0.0041 1°C 2880°C

41.3

iE =u

R0=230V

415.6A

Die Einschaltstromstärke der Glühlampeist demnach beträchtlich grösser als dieStromstärke im Betrieb!

-145-

Cu++ CuSO4

SO4--

Anode + – Katode

i

u

v+

E

+

+

+

+

--

--

v

Ladungstransport in Elektrolyten IZum StromflussElektrolytische Leiter (Ionenleitung):

• Elektrolytische Leiter(Säuren, Basen, Salze).

• In Lösungsmittel dissoziiert zu positivem Kation und negativem Anion: (CuSO4 Cu++ + SO4

– –).

• Es findet auch Massentransport statt!

• Nicht alle Moleküle zerfallen inIonen (disoziieren). Es gibt ein

festes Verhältnis der dissoziier-ten Moleküle zur Gesamtzahl

der Moleküle: Dissoziationsgrad.

• Der Dissoziationsgrad hängt von der Temperatur und der Konzen- tration der Lösung ab.

• Dissoziationsgrad nimmt zu beisteigender Temperatur und ab-nehmender Konzentration.

-146-

15

Ladungstransport in Elektrolyten IIElektrochemische Äquivalente(1) Elektrolyse:

• Anion bzw. Kation bewegt sich unter dem Einfluss des E-Feldes

zur Anode bzw. Kathode.

• Massebehafteten Ionenstrom.

• Ionen werden dort «entladen» und schlagen sich als Festkörper oder Gas nieder.

• Masse m des Niederschlags:

mä: elektrochemisches Äquivalent

• 1. Faraday’sches Gesetz gibt an, wievel Masse pro Ladung an denElektroden abgeschieden wird.

CuSO4

Cu++ SO4

- -

AnionKation

Cu++ SO4

- -

AnionKation

+–u

i

i v+

v

Kathode Anode

Dissoziation

Elektrolyse

m = mä i t = mä Q

-147-

Ladungstransport in Elektrolyten IIIElektrochemische Äquivalente(2) Elektrochemische Äquivalente bei verschiedenen Stoffen:

SO4– –

Cu++

-148-

16

Ladungstransport in Elektrolyten IVElektrochemische Äquivalente(3) Massentransport bei verschiedenen Stoffen:

Die Massen verschiedener Stoffe,welche bei gleicher transportierterLadung abgeschieden werdenverhält sich proportional zu ihrenchemischen Äquivalenten Ä. Diesist das 2. Faraday’sches Gesetz:

m1 :m2 : = Ä1 :Ä2 :

• Chemisches Äquivalent Ä (früher auch Äquivalentgewicht) eines

Stoffes ist gleich der Molmasse M des Stoffes geteilt durch dessenWertigkeit z.

Ä =M

z

Ein Mol z-wertige Ionen enthält die Ladung:

Q

mol= z e NA

F

= z 96497 Cmol

F

= z F

mä =Ä

F=M

z Fmä[ ] =

M

z F=g

C

M ist die Molmasse des Stoffes, d.h. die Masse derStoffmenge NA. [M] = g/mol.

NA: Avogadrozahl; F: Faradaykonstante

-149-

Ladungstransport in Elektrolyten VPolarisationsspannung Up

Die Strom-Spannungskennline der ionischen Stromleitung:

• Bipolarer Ladungstransport!

• Ionen bewegen sich unterschiedlichschnell (Folie 128):

• Dissoziation bildet gleich viele Ionen NIon von jeder Art mit der Wertigkeit z.

• Die Leitfähigkeit des Elektrolyten ist demnach (mit: n = NIon/V):

i

UP

u

Polarisationsspannung(elektrochemischesPotenzial)

v+= b

+E v = b E

= n e z b+b( ) = n e z b

++ b( )

q

(Bereitschaft der IonenElektronen aufzunehmenbzw. abzugeben: d.h. die entspr.«beschichteten» Elektrodenbilden galvanisches Element.)

-150-

17

Ladungstransport in Elektrolyten VIKonzentrationsabhängigkeit des Widerstandes

Zunahme der Lösungskonzentration erhöhthier nur noch die Konzentration der nichdisso-ziierten Moleküle: Leitfähigkeit nimmt ab.

n

bii= ,+

nLösg = n + nnicht dissoziiert

Dissoziationsgrad{ } =n

nLösg

0 20 40 60 80 100 %

0

2

4

6

8

10

12

R

Dissoziationsgrad

Alle Moleküle sind dissoziiert,doch bei geringer Konzentration:Leitfähigkeit ist noch gering.

Erhöhung der Konzen-tration vergrössert n abernoch mehr den Anteil dernichtdissoziierten Mole-küle. Dissoziationsgradnimmt ab: Leitfähigkeitnimmt immer noch zu.

nLösg

-151-

Ladungstransport in Elektrolyten VIISpezifische WiderständeTabellenwerte fürverschiedene wässerigeLösungen:

Elektrolyte sindNTC-Widerstände!

Minima des Dissoziations-grads und damit auchbezüglich der Konzen-tration gut ausgeprägt.

-152-

18

Ladungstransport im Halbleiter IDer Halbleiterkristall

(1) Ansichten eines freien Elektrons:

• Die für die Elektronik wichtigen Fest-körper haben die Gestalt eines Kristalls (räumlich periodische An-

ordnung hoher Symmetrie).

• Uns interessiert das Verhalten der Ladungsträger in diesem Gebilde.

• Der «Blick» in einen Silizium-Kristall:

Atomrumpf (Ion)

Gemeinsam «verwalteter» Teil der Elektonenhülle benachbarter

Atome (Elektronenpaarbindung)

«Ich» bin das freie Elektron.

-153-

Ladungstransport im Halbleiter IIDer Halbleiterkristall(2) Skizze zum Bändermodell:

Stromleitungberuhend aufElektronengeschieht hier!

- Vereinfachtes Bild zum Ladungsträgerverhalten.

- Zustände sind eine quantenmechanische Beschreibung.

-154-

19

Ladungstransport im Halbleiter IIIEigenleitung(1) Der Silizium-Kristall:

• Silizium (Si) ist ein vierwertiges Element: es hat vier Valenzelektronen (Gruppe IV).

• Thermische Gitterbewebungen bei T > 0.

a)

Si Si

Si

Si Si

--

-

-

-

- --

b)

T > 0K

• Thermische Anregung ( E = k·T), d.h. Elektronenpaarbindungen werden

aufgebrochen: Dichte der aufgebro-chenen Bindungen ni.

-155-

Elektronen-

Strom

Löcher-

Strom

e–

h+

Ladungstransport im Halbleiter IVEigenleitung

(2) Intrinsische Ladungsträgerdichte ni:

• ni ist die Dichte der aufgebrochenen Elektronenpaarbindungen.

• ni heisst intrinsische Ladungsträger- dichte: ni = ni(T = 300 K) 1013 cm–3.

• Pro aufgebrochener Elektronepaar- bindung wird ein freies Elektron e–

und ein Loch h+ erzeugt.

• Daher gilt:

• n: Ladungsträgerdichte der Elektronen.

• p: Ladungsträgerdichte der Löcher.

ni T( ) = n = p

Mechanismus der Eigenleitung(für T > 0).

-156-

20

u

+

- - - -

+++

+++

-

-

-E

J

nv

pv

Ladungstransport im Halbleiter VBipolarer Ladungstransport(1) Elektrischer Strom im Halbleiter:

J = Jn + Jp =

= qn n bn E+ qp p bp E =

= e n bn + p bp( ) E

(Folien 128, 135)

bn =e n

mn* bp = +

e p

mp*

J = e2n n

mn* +

p p

mp* E

qn = e qp = +e

J = E = e2

n n

mn* +

p p

mp*

Leitfähigkeit von Halbleitern:

-157-

Ladungstransport im Halbleiter VIBipolarer Ladungstransport

(2) Elektronen- und Löcherbeweglichkeiten:

• Beweglichkeit der Löcher ist kleiner als

die der Elektronen.

• Effektive Masse mp* der Löcher ist grösser als mn*, d.h. diejenige der Elektronen.

mp*> mn

* bp < bn

-158-

21

Ladungstransport im Halbleiter VIIStörstellenleitung(1) Einbau von Fremdatomen (Dotierung):

Donator: Gruppe V, P, As, Sb (5 Valenzelek-tronen); 5. Valenzelektron bei 300 K freibeweglich n-Leitung.

Si Si

In

3+

Si Si

--

-

-

- --

b)

-

Akzeptor

Si Si

As

5+

Si Si

--

-

-

-

- --

a)

-

Donator

Akzeptor: Gruppe III, In, B (3 Valenz-elektronen); Lücke (Loch) bei 300 K freibeweglich p-Leitung.

-159-

Ladungstransport im Halbleiter VIIIStörstellenleitung

(2) Thermodynamisches Gleichgewicht

e–

h+

e–

h+

Generation G

Im thermodynamischenGleichgewicht

Rekombination R

G = R

G: Generationsrate (Paarbildungen/Sekunde)

R: Rekombinationsrate(Vereinigungen/Sekunde)

(3) Das Massenwirkungsgesetz

R {Kollisions-WSK von e– und h+}

R n p

(i) Im reinen (intrinsischen) Halbleiter:

R ni2 n = p = ni

n p = ni2

(ii) Im dotierten Halbleiter?Vergrössern der Lochdichte p durchEinbringen von Akzeptoratomen:Scheinbare Vergrösserung von R,was wiederum zum Abbau der Elek-tronendichte n führt: Wie gross ist R?

-160-

22

Ladungstransport im Halbleiter IXStörstellenleitung

(3) Das Massenwirkungsgesetz:

n p = ni2

(ii) Im dotierten Halbleiter:

Vergrössern der Lochdichte p durchEinbringen von Akzeptoratomen

Erstmalige Vergrösserung derRekombinationsrate R was wiederumzum Abbau der Elektronendichte n führt

Dadurch resultiert eine Verkleinerungder Rekombinationsrate R.

Die Rekombinationsrate R wird somitauf einen konstanten Wert «geregelt».

Frage: Wie gross ist R?

Im thermodynamischenGleichgewicht gilt auch fürden dotierten Halbleiter:

(4) Konsequenz für die Trägerdichten:

-161-

Q

C

P1

P2 E

a) b)

u

J

v

E

q

A

i

A1 A2

n

ux

Energie und Leistung ILeistung im elektrischen Stömungsfeld(1) Arbeit, welche vom elektrische Feld aufgebracht wird:

Wf = + F dsP1

P2

=Q E ds =Q u12P1

P2

Feld leistetArbeit (aus der «Sicht» des Feldes)

Wf =N q E

u

=n VN

q u

= ex

-162-

23

Energie und Leistung IILeistung im elektrischen Stömungsfeld(2) Aufgebrachte Leistung im Volumen V:

Leistung p:

Wf =N q E

u

=n VN

q u

= n q V E

= n q A E

u

J

v

E

q

A

i

A1

A2

n

ux

p =Wf

t=n q A

tE

= n q AtE

= n q vD E A J = n q vD

Gilt anhandvon Folie 131.

-163-

Energie und Leistung IIILeistung im elektrischen Stömungsfeld(2) Aufgebrachte Leistung im Volumen V:

u

J

v

E

q

A

i

A1

A2

n

ux

p = n q vD E A

= J E V

dp

dV= J E =

1J2= J

2= E

2

Die Leistung, welche vom elektrischenStömungsfeld im Volumen aufge-bracht wird.

p= J E V p= J E V

(2) Leistungsdichte im betrach-teten Volumen:

(Folien 135, 138)

-164-

24

Energie und Leistung IVLeistung im elektrischen Stömungsfeld(2) Aufgebrachte Leistung im betrachteten Volumen:

Liegt an einem Leiterelement dieSpannung u an und fliesst in ihm einStrom mit einer Stromstärke i, dannbringt das elektrische Feld zumTransport der Ladungen dieLeistung p auf.

u

J

v

E

q

A

i

A1

A2

n

ux

p = J E V = J E A

= J A E = i u

p = u i p[ ] = AV = W

-165-

Energie und Leistung VLeistung im elektrischen Stömungsfeld

(3) Aufgebrachte Leistung im Sinne einer Verlustleistung:

p = u i = R i2 =u2

R

u = R i

Die vom Feld aufgebrachte Leistung wirdgegen die «Reibung» der Träger imWiderstand aufgewendet und daher in«Reibungswärme» umgesetzt. Der Wider-stand erwärmt sich und setzt die Leistungals sogenanten Verlustleistung in Wärme um.

Mit dem ohm’schen Gesetz (Folie 137)

ergibt sich:

(4) In Wärme umgesetzte Energie:

W = p dt =t1

t2

u i dtt1

t2

= Q u

Feld verliert irreversibel an Energie!

(Folie 162)

-166-

25

-167-

Zusammenfassung

• Vakuum: Beschleunigte freie Elektronen im Vakuum: (u = 1 V; ve = 593.1 km/s).

• Leiter: Driftbewegung der Elektronen in Kupfer: (i = 1 A; Ø = 1 mm2; vD 0.5 … 5 mm/s).

• Halbleiter: Driftgeschwindigkeit der Träger in GaAs: (typischer Wert: vD 2·107

cm/s).

• Elektrolyten: Driftgeschwindigkeit der Ionen: (E = 100 V/m; vD 0.00001 m/s).

• Stromstärke und Stromdichte: i J, Vorzeichen-konventionen.

• Ohm’sches Gesetz: u = R·i

• Halbleiter: Majoritäts und Minoritätsträger.

• Leistung: Feldenergie wird in Wärme umgewandelt. p = u·i ist demnach die sogenannte Verlustleistung.