Approximationstheorie 71

2 Tschebyscheff-Approximation durch Polyno-me

2.1 Tschebyscheff-Polynome

In diesem Abschnitt: explizit losbare Tschebyscheff-Approximationsproblemedurch Polynome.

Bezeichnungen:

p, q : Polynome

x : unabhangige Variable im Reellen,

z : unabhangige Variable im Komplexen,

Pn : Menge der Polynome vom Grad n,

En[a, b](f) : Minimalabstand von Pn zu f auf dem Intervall [a, b].

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Approximationstheorie 72

Folgendes Invarianzprinzip gilt fur das symmetrische Intervall [a, b].

Satz 2.1 Sei f in [−1, 1] symmetrisch bzw. antisymmetrisch, d.h. es gelte

f(−x) = f(x) bzw. f(−x) = −f(x).

Dann ist auch die Bestapproximation an f aus Pn symmetrisch bzw. antisymme-trisch.

Eine Verallgemeinerung hiervon ist

Satz 2.2 (Meinardus, 1963) Sei E ein normierter Raum, V eine konvexe Existenz-menge in E und ι : E → E eine lineare involutorische Abbildung, d.h. ι ◦ ι sei dieidentische Abbildung. Ferner sei ι(V ) = V und ‖ιf‖ = ‖f‖ fur alle f ∈ E:

(a) Ist u eine Bestapproximation an f aus V , so ist ιu dort eine Bestapproximationan ιf .

(b) Ist f invariant unter ι, also ιf = f , dann gibt es eine invariante Bestapproxima-tion u∗ an f aus V , also u∗ = ιu∗.

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Approximationstheorie 73

Wir fassen hier die (eigentlich bekannten) wichtigsten Eigenschaften derTschebyscheff-Polynome zusammen.

Satz 2.3

(a) DurchTn(x) = cos(n arccosx), x ∈ [−1, 1],

ist fur jedes n ∈ N0 ein Polynom mit Grad n mit fuhrendem Koeffizient2n−1 definiert.

(b) Die Polynome genugen der Rekursionsbeziehung

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x), n ≥ 1,

T0(x) = 1,

T1(x) = x.

(c) Die Polynome erfullen die Symmetrierelation

Tn(−1) = (−1)nTn(x).

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Approximationstheorie 74

Satz 2.4 Sei n ≥ 1 und p die Bestapproximation an f(x) = xn aus Pn−1

uber I = [−1, 1]. Dann ist die zugehorige Fehlerkurve gegeben durch

xn − p(x) = 2−n+1Tn(x)

und es giltEn−1(xn) = ‖xn − p(x)‖∞ = 2−n+1.

Mit derselben Methode laßt sich fur jedes Polynom aus Pn die Bestappro-ximation aus Pn−1 auf [−1, 1] bestimmen.

Beispiel 19: Man bestimme die Bestapproximation aus P4 uber [−1, 1] andas Polynom

p(x) = 2x5 − x3 + 3x2 − 1.

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Approximationstheorie 75

Auch die Bestapproximation analytischer Funktionen laßt sich mit Tscheby-scheff-Polynomen bestimmen.

Beispiel 20:

Man zeige, dass die Bestapproximation aus Pn an die Funktion

f(x) =∞∑

k=0

bk T3k(x)

unter den Voraussetzungen bk > 0 und∑bk < ∞ in [−1, 1] stets die

Partialsumme bis k = m mit 3m ≤ n < 3m+1 ist. Außerdem zeige man

En(f) =∑

k3k>n

bk.

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Approximationstheorie 76

Zusammenhang mit trigonometrischen Polynomen

Die Transformation x = cosϑ induziert mittels

f(x)↔ g(ϑ) = f(cosϑ)

eine bijektive Abbildung

C[−1, 1]↔{g ∈ C[0, 2π] : g(ϑ) = g(−ϑ), g 2π-periodisch

}.

Insbesondere ergibt sich die Zuordnung

Tn(x)↔ cos(nϑ).

Tn besitzt genau den Grad n, daher bilden {T0, T1, . . . , Tn} eine Basis vonPn. Dem algebraischen Polynom

p(x) =n∑

k=0

αkxk =

n∑k=0

akTk(x) entsprichtn∑

k=0

ak cos(kϑ).

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Approximationstheorie 77

Satz 2.5 Die Tschebyscheff-Polynome genugen den Orthogonalitatsrela-tionen

2π

∫ 1

−1

Tn(x)Tm(x)dx√

1− x2=

2 fur n = m = 0,

1 fur n = m 6= 0,

0 fur n 6= m.

Beweis: Substituiere x = cosϑ,√

1− x2 = −dx/dϑ:

2

π

Z 1

−1

Tn(x)Tm(x)dx√

1− x2= − 2

π

Z 0

π

cos(nϑ) cos(mϑ) dϑ

=1

π

Z π

−πcos(nϑ) cos(mϑ) dϑ =

1

π

Z π

−π

1

2[cos((n−m)ϑ) + cos((n+m)ϑ)] dϑ.

DaR π−π cos(kϑ) dϑ = 0 fur k ∈ Z \ {0} liefert der erste Term im letzten Integral nur

fur n = m, der zweite nur fur n = m = 0 einen Beitrag. �.

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Approximationstheorie 78

Bemerkung 2.6 Eine explizite Darstellung der Tschebyscheff-Polynomeergibt sich aus der Identitat

cos(nϑ)± i sin(nϑ) = (cosϑ± i sinϑ)n,

aus welcher sich durch Addition der Beziehung mit verschiedenen Vorzei-chen

cos(nϑ) = 12 [(cosϑ+ i sinϑ)n + (cosϑ− i sinϑ)n]

ergibt. Mit x = cosϑ und i sinϑ =√x2 − 1 wird daraus

Tn(x) =12

[(x+

√x2 − 1)n + (x−

√x2 − 1

)n].

Die Wurzeln fallen nach Ausmultiplizieren (binomische Formel) weg. Fernererlaubt diese Darstellung die Auswertung im Reellen fur |x| > 1.

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Approximationstheorie 79

Erganzung: Die Polynome {Tn} bezeichnet man auch als Tschebyscheff-Polynome erster Art, um sie von den durch

Un(x) :=1

n+ 1d

dxTn+1(x) =

sin((n+ 1) arccosx)sin(arccosx)

definierten Tschebyscheff-Polynomen zweiter Art zu unterscheiden. Letz-tere spielen bei der L1-Approximation eine ahnliche Rolle wie hier die vonerster Art. Außerdem eignen sich die Polunome {Un} zur Abschatzung derAbleitungen von Polynomen.

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Approximationstheorie 80

2.2 Approximation von 1x−a

Satz 2.7 Die Bestapproximation an

f(x) =1

x− a , a > 1, x ∈ [−1, 1],

durch p ∈Pn ist beschrieben durch

1

x− a − p(x) =M

2

vn

α− v1− αv + v−n

1− αvα− v

ff. (2.1)

Dabei ist v ∈ C, |v| = 1,

x =1

2

„v +

1

v

«= Re v,

a =1

2

„α+

1

α

«mit α = a−

pa2 − 1 < 1,

M = En

„1

x− a

«=

4αn+2

(1− α2)2=

(a−√a2 − 1)n

a2 − 1.

2.2 Approximation von 1x−a

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