ACELERACIN

No siempre en un movimiento la velocidad permanece constante, sta puede variar y lo puedehacer a una rata constante como en el ejemplo anterior, a una rata variable.

La aceleracin es una variable cinemtica de carcter vectorial correspondiente a la razn decambio de la velocidad en el tiempo. De nuevo podemos definir los conceptos de aceleracinmedia y aceleracin instantnea como la hicimos con la velocidad.

Aceleracin media ( )

Para ste caso slo se tienen en cuenta las velocidades final e inicial del movimiento y los tiemposfinal e inicial del recorrido los valores extremos correspondientes a un intervalo de velocidades enun lapso de tiempo dado.

(2.10)

La aceleracin tendr unidades de longitud sobre el tiempo al cuadrado.

Aceleracin Instantnea

Corresponde a la variacin de la velocidad punto a punto en la trayectoria o lo que es lo mismo en

un intervalo de tiempo muy pequeo, t 0.

(2.11)

Que corresponde a la definicin de derivada del clculo, entonces:

(2.12)

Si se escribe la aceleracin en trminos de sus componentes rectangulares y se utiliza la

independencia lineal de los vectores base , se obtiene:

(2.13)

Se obtienen, tres ecuaciones independientes escalares:

(2.14)

Ahora, si se recuerda la definicin de velocidad:

Se puede volver a escribir la aceleracin como:

(2.15)

Esta ecuacin se lee: "segunda derivada de X con respecto al tiempo".

Luego se puede afirmar que la aceleracin es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo la segunda derivada de la posicin con respecto al tiempo.

Como el significado geomtrico de la derivada es "la pendiente de la recta tangente a la curva entodo punto" entonces la aceleracin se puede encontrar como la pendiente a la curva en la grficaV(t) vs t.

La aceleracin es uniforme o constante, si la velocidad del cuerpo se incrementa de manerauniforme (a la misma rata) con el tiempo, como en el caso del ejemplo anterior:

La aceleracin es constante cuando:

V V0 = a t

a = (V V0) / t

Figura 2.3 Grfica de V vs t

Donde V V0 es el incremento de la velocidad durante un tiempo t.

A lo largo de esta Unidad Modular se trata el movimiento resultante de una aceleracin uniforme(incluyendo el valor a=0, donde el cuerpo se mueve a velocidad constante). Sin embargo,posteriormente cuando se trate el movimiento armnico simple y las fuerzas que obedecen la leydel inverso del cuadrado de la distancia, la aceleracin variar con la posicin y con el tiempo.

Ejemplo 2.3

EJERCICIOS PROPUESTOS

La posicin de una partcula movindose a lo largo del eje x esta dada por: x(t) = 6t2 t3,donde x esta dado en metros y t en segundos. Cul es la posicin de la partcula cuando staalcanza su mxima rapidez en la direccin positiva?.

1.

24 m.a.

12 m.b.

32 m.c.

16 m.d.

2.0 m.e.

Una partcula movindose con aceleracin constante tiene una velocidad de 20 m/s cuandose encuentra en x = 10 cm. Su posicin 7 segundos despus es x = - 30 cm. Cul es laaceleracin de la partcula?.

2.

7.3 cm/s2.a.

8.9 cm/s2.b.

11 cm/s2.c.

15 cm/s2.d.

13 cm/s2.e.

Un cohete, inicialmente en reposo, es lanzado hacia arriba con una aceleracin de 10 m/s2. Auna altura de 0.5 km los motores del cohete se apagan. Cul es la mxima altura que alcanzael cohete?.

3.

1.9 km.a.1.3 km.b.1.6 km.c.1.0 km.d.2.1 km.e.

Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba, tal que ste tiene una rapidez de 25 m/scuando se encuentra en 2/3 de su mxima altura, arriba del punto de lanzamiento. Determineesta mxima altura.

4.

64 m.a.48 m.b.32 m.c.96 m.d.75 m.e.

5.

Una partcula partiendo del reposo en x = 0 se mueve por 10 s con una aceleracin de + 2cm/s2. Para los siguientes 20s, la aceleracin de la partcula es -1 cm/s2. Cul es la posicinfinal de la partcula?.

5.

cero.a.+ 3 m.b.1 m.c.+ 2 m.d.3 m.e.

Una partcula partiendo del origen en t = 0 s con una velocidad de:6.

(16i 12j) m/s en el plano xy con una aceleracin constante de:

(3i -6j)m/s2. Cul es la rapidez de la partcula en t = 2 s?.

52 m/s.a.39 m/s.b.46 m/s.c.33 m/s.d.43 m/s.e.

Un baln es lanzado horizontalmente desde la parte alta de un edificio de 0.1 km de altura. Elbaln golpea el suelo en un punto a 65 m horizontalmente de la base del edificio. Cul es larapidez del baln justo antes de golpear el piso?.

7.

43 m/s.a.47 m/s.b.39 m/s.c.36 m/s.d.14 m/s.e.

Una partcula movindose con una rapidez constante en una trayectoria circular de radio 2cm. Si la partcula hace 4 revoluciones cada segundo.

Cul es la magnitud de su aceleracin?.

8.

20 m/s2.a.18 m/s2.b.13 m/s2.c.15 m/s2.d.14 m/s2.e.

La rapidez de una partcula movindose en un crculo de 2 m de radio se incrementa a unarazn constante de 4.4 m/s2. En un instante cuando la magnitud de su aceleracin total es 6m/s2, cul es la rapidez de la partcula?.

9.

3,9 m/s.a.2,9 m/s.b.3,5 m/s.c.3,0 m/s.d.1,4 m/s.e.

10.

El piloto de un aeroplano vuela hacia el norte. Relativo a la tierra, un viento fluje a 40 km /hhacia el este. Si la rapidez del aeroplano relativa a la tierra es 80 km /h, cul es la rapidez delaeroplano relativa al aire?.

10.

89 km/h.a.85 km/h.b.81 km/h.c.76 km/h.d.72 km/h.e.

Solucin

CADA LIBRE Y MOVIMIENTO VERTICAL

La cada de los cuerpos "cerca" de la superficie terrestre es una de los fenmenos naturales mscotidianos producto de la interaccin gravitacional del cuerpo con la tierra. Est presente todo eltiempo en los procesos naturales y artificiales en la actividad humana y constituye uno de losfenmenos naturales ms importantes en el estudio de la fsica y de la ingeniera.

Es un hecho experimental notable, el que cerca de la superficie terrestre, cualquier objeto que sesuelte (V0=0 m/s) acelera hacia el centro de la tierra con una aceleracin de 9,8 m/s2 32 pie/s2.

Lo notable reside en que esta aceleracin es independiente de la masa, composicin velocidaddel cuerpo, si hay una resistencia del aire significativa, la aceleracin ser menor. A est valorespecial de la aceleracin se le asigna un smbolo especial, g= 9,8 m/s2 (aceleracin del campogravitacional), este valor se toma constante para alturas mucho menores que el radio terrestre,pero realmente la aceleracin del campo gravitacional es una funcin de la altura como se muestraen la siguiente tabla:

Altitud (h) km Gravedad (m/s2)

1000 7.33

5000 3.08

8000 1.93

10000 1.49

50000 0.13

0

Tabla No. 01 Variacin de g con la altura

La medida de la interaccin gravitacional entre un cuerpo de masa m y la tierra se denomina pesodel cuerpo.

Pero dos cuerpos de masas diferentes, en el vaco adquieren la misma aceleracin si se sueltandesde la misma altura, llegarn al piso al mismo tiempo.

Cada Libre

Se supone que un objeto se deja caer desde una altura h, la velocidad inicial V0 = 0m/s. Se va acolocar el sistema de referencia en el punto donde se suelta el objeto, como se muestra en lafigura: "La seleccin de las condiciones de un determinado referencial es independiente de la fsicade la partcula, pero es fundamental definir estas condiciones".

Figura 2.4 Cada libre de un cuerpo

Como ste es un movimiento rectilneo uniformemente acelerado, en las ecuaciones que sehallaron, colocando las condiciones y0 = 0, a =g, las ecuaciones de cada libre son:

(2.21)

Ejemplo 2.7

Lanzamiento Vertical

Este es otro ejemplo de Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado, donde el valor de laaceleracin es g, pero a diferencia de la cada libre, en este caso el cuerpo posee velocidad inicialV0. Podemos considerar dos casos de este movimiento: lanzamiento vertical haca abajo ylanzamiento vertical haca arriba.

Lanzamiento vertical hacia abajo

Figura 2.5 Lanzamiento hacia abajo

Ejemplo 2.8

Lanzamiento vertical hacia arriba

Figura 2.6 Lanzamiento hacia arriba

En el lanzamiento vertical hacia arriba el cuerpo asciende en contra de la gravedad, luego sumovimiento es uniformemente desacelerado, haciendo que su velocidad disminuya hasta un puntollamado altura mxima, donde momentneamente la velocidad final es cero y de aqu en adelanteel cuerpo desciende en cada libre, la velocidad final de la subida es la velocidad inicial para labajada, incrementando su velocidad hasta igualarla a la velocidad inicial de lanzamiento, si sedesprecia la resistencia del aire.

Se puede considerar este movimiento como la composicin de dos movimientos: uno rectilneodesacelerado hacia arriba y otro rectilneo acelerado hacia abajo.

La altura mxima h se alcanza cuando la velocidad final es cero entonces, de acuerdo al grfico:

En t = 0, y 0 =0 y a = -g.

Luego:

En la altura mxima, la velocidad final se hace cero.

Entonces:

Luego:

(2.23)

El tiempo de subida es igual al de bajada. Se puede demostrar que el tiempo total tiempo de vueloes igual a 2 veces cualquiera de los dos:

El tiempo de subida se calcula:

El tiempo de vuelo ser entonces:

(2.24)

Ejemplo 2.9

CINEMTICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

Se describir para el movimiento circular las variables cinemticas que caracterizan en formageneral el movimiento. Es decir: la posicin, velocidad y aceleracin vistas en forma vectorial.

Vector Posicin en el Movimiento Circular

Figura 2.22. Movimiento circular: Vector Posicin

Se va a suponer una partcula rotando en el sentido contrario a las manecillas del reloj. En uninstante t, la partcula est en el punto de coordenadas (x, y), de tal manera que el vector posicinen coordenadas rectangulares se puede definir como:

Geomtricamente:

x = r cos y y = r sen

Anteriormente se dijo que es ms prctico expresar el movimiento circular en coordenadas polares

r, .

Figura 2.23. Movimiento Circular: Vector Posicin en coordenadas Polares

(vector posicin en coordenadas polares)

el direccional unitario del vector .

Ejemplo 2.18

Vector velocidad en el movimiento circular

Para calcular la velocidad en el movimiento circular se aplica la definicin:

Figura 2.24. Movimiento Circular: Vector velocidad

Como se puede expresar como:

Entonces:

(2.37)

y como:

(2.38)

El vector velocidad en el movimiento circular es un vector cuya direccin es tangente a latrayectoria y cuya magnitud es igual a:

(2.39)

w dada por la ecuacin (2.38) se denomina velocidad angular y posee las unidades rad/s.

En el movimiento circular se definen tres casos:

Movimiento circular uniforme.a.

Movimiento circular uniformemente variado.b.

Movimiento circular variado.c.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO UTILIZANDO EL CLCULO INTEGRAL

Se aprendi como hallar por derivacin de la funcin posicin, las funciones de velocidad yaceleracin. El proceso inverso consiste en obtener la funcin posicin a partir de la velocidad o dela aceleracin utilizando la operacin inversa de la derivacin que es la integracin.

Supongamos conocida la aceleracin de un cuerpo:

Para hallar la velocidad:

Esta es una ecuacin diferencial de primer grado (solo contiene la primera derivada) que seresuelve integrando a ambos lados.

La variable de integracin a la derecha es el tiempo, entonces colocamos lmites de tiempo a laintegral, adems vamos a considerar t0 = 0, entonces:

La variable de integracin a la izquierda hace que se coloquen lmites de velocidad a la integral, porcorrespondencia (para t=0, v = v0 y para t, v = vf = v(t)).

; si a es constante sale de la integral:

En general:

En particular si la aceleracin es constante entonces a sale de la integral y obtenemos:

Esta es la ecuacin que se encontr para la velocidad en el Movimiento Uniformemente Acelerado.

Ahora se puede encontrar la posicin a partir de la velocidad en un proceso similar:

En particular para la velocidad del M.U. V.

(2.24)

Esta es la ecuacin para la posicin en el M.U.V.. El significado geomtrico de la integral es el derea bajo la curva de la funcin. Entonces el cambio de velocidad es el rea bajo la curva en unagrfica de a Vs t, y el rea bajo la curva en la grfica v Vs t representa el desplazamiento total delcuerpo.

Ejemplo 2.10

EJEMPLO 2.1

Una persona camina en lnea recta hacia la derecha del origen de coordenadas. Partiendo del

origen, hasta una posicin . Su desplazamiento es:

La distancia recorrida es:

Ahora suponga que la persona que parte del origen segn el ejemplo anterior llega a la posicin A yse devuelve a la posicin inicial. Para este caso el desplazamiento es:

La magnitud del desplazamiento total sera:

Pero si se quiere calcular la distancia total recorrida por la partcula se deben sumar lasmagnitudes de los desplazamientos parciales y esto dara 6m: 3m a la derecha y 3m hacia laizquierda.

EJEMPLO 2.10

Una partcula posee una velocidad dada por la expresin V(t)=0,5 t2, donde V est dado enm/s y t en segundos. Hallar el desplazamiento de la partcula durante el intervalo de t = 1s a t= 3s, por integracin:

La grfica de la velocidad en funcin del tiempo para una partcula que se mueve a lo largo deleje X, suponiendo que parte del origen, est representado en la siguiente figura:

Velocidad en funcin del tiempo

Encuentre la aceleracin media en el intervalo entre 0s y 2s y en el intervalo entre 4s y 6s.a.

Encuentre la aceleracin instantnea en t = 7sb.c.

b.Halle la distancia recorrida durante los 2 primeros segundos del movimiento.c.

Halle la distancia total recorrida.d.

Desarrollo

Entre los t = 0 s y t = 2 s;a.

No hay aceleracin, luego en movimiento es uniforme.

Entre los t = 4 s y t = 6 s;

La aceleracin instantnea es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.

La pendiente entre 2 s y 8 s es la misma para todos los puntos e igual a:

En particular en t = 7 s, la aceleracin es 10 .

b.

Como se vi, el desplazamiento realizado se puede hallar como el rea bajo la curva en lagrfica de V Vs t, ya que el desplazamiento es la integral de la velocidad en funcin deltiempo.

En el ejemplo particular el desplazamiento recorrido durante los 2 primeros segundos es elrea del rectngulo.

c.

d = A = 2s x

20

d = 40 m

Velocidad en funcin de Tiempo

El desplazamiento total recorrido ser el rea total bajo la curva.

dt = rea delrectngulo msrea del tringulo.

dt =8s x 20 m/s+1/2 (6s x 60 m/s)

dt =160m + 180m

dt = 340m

d.

EJEMPLO 2.11

La funcin posicin vector posicin de una partcula est dada por la expresin:

donde:

x(t) = 2t + 1 con x, y en m , y t en s

Y(t) = 4t2

Hallar la posicin de la partcula en t = 0, t = 3 s y t = 5 s.

En t = 0, Entonces la partcula en t = 0 esta en la coordenada (1,0)m

En t = 3 s,

En t = 5s,

a.

Hallar el cambio de posicin (vector desplazamiento) en el intervalo de tiempo de 3 s a 5 s.b.

:Es la magnitud del desplazamiento o la distancia entre las dos posiciones.

EJEMPLO 2.12

Para la misma funcin del ejemplo 2.11:

donde: x(t) = 2t + 1 con x, y en m

y(t) = 4t2 y t en s

Calcular:

La en el t (3, 5).a.

La velocidad instantnea en t = 3s y t = 5s.b.

Desarrollo

Para el calculo de la en el t (3,5), se aplica:a.

Para calcular la velocidad instantnea se calcula la funcin velocidad para todo t.b.

en t = 3 s

en t = 5 s

EJEMPLO 2.13

Calcular la en el intervalo t (3,5) y la aceleracin instantnea en t = 3s y t = 5s para elmovimiento de una partcula segn el ejemplo 2.11.

Para hallar la velocidad instantnea se calcula la funcin velocidad para todo instante t.

donde:

Vx (t) = 2 m/s es constante

V y (t) = 8 t m/s

Para calcular la aceleracin media en el intervalo de tiempo t = 3s y t = 5s.

En este ejemplo no existe la componente de la aceleracin en X, luego ax = 0 y ay = cte = 8m/s2,para calcular la aceleracin instantnea se define la funcin aceleracin para todo t.

Se encuentra en este caso que la aceleracin instantnea y la aceleracin media es la misma.

Generalizando el movimiento bidimensional, es el resultado de la superposicin (suma) delmovimiento desarrollado en una direccin ms el de la otra direccin.

En el ejemplo anterior, sobre el eje X no existe aceleracin, luego el movimiento es uniforme a lolargo de esta direccin, en la direccin y la aceleracin es constante, de tal manera que elmovimiento, es uniformemente variado, luego el resultado global del movimiento es la suma de unmovimiento uniforme sobre el eje x ms un movimiento uniformemente variado sobre el eje Y.

De tal manera que:

( 2.25)

Las ecuaciones de posicin, velocidad y aceleracin muestran en s, este proceso aditivo.

EJEMPLO 2.14

Para el ejemplo 2.11 hallar la ecuacin de la trayectoria.

Donde;

x(t)=2t+1

(1),con x, y dado en m

y(t)=4t2

(2),y t en s

Despejando de (1) el tiempo se obtiene:

y remplazando en (2) se obtiene:

y(t) = (X-1)2 = x2 - 2x +1

Luego la ecuacin de la trayectoria es:

y(x) = x2 - 2x + 1

Grfica de la Ecuacin de la Trayectoria

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

t 0 3 5

La grfica es una parbola y se observa que en t = 0, 3 y 5 s son las coordenadas que seevaluaron en el

Ejemplo 2.10

EJEMPLO 2.15

Un cuerpo se lanza horizontalmente desde una altura de 100 m con respecto al piso, con unarapidez de 40m/s. Calcular el tiempo que dura la partcula en el aire, el alcance horizontal y lavelocidad final.

Desarrollo

Lanzamiento horizontal:

t0 = 0

x0 = 0

y0 = 100m

V0x = V0 cos V0 = 40m/s

V0y = V0 sen = 0

ax = 0

ay = 9.81 m/s2 10 m/s2

Primero se puede calcular el tiempo que gasta el proyectil en llegar al piso.

0 = 100 + 0 5t2

5t2 = 100 \

Para calcular el alcance horizontal

X(t) = X0 + V0xt = 0 + 40 m/s (4.47s) = 188,8 m

Vector velocidad justo antes de chocar con el piso

EJEMPLO 2.16

Se golpea un baln de ftbol con una rapidez inicial de 10 m/s desde una altura de 100m conrespecto a una superficie, el vector velocidad forma un ngulo de 30 con la horizontal.

Hallar:

El tiempo de vuelo;a.

La distancia horizontal que recorre la partcula;b.

Hallar la altura mxima que alcanza el baln.c.

Desarrollo

Se elige un sistema de coordenadas con el origen en la superficie y se calculan algunascondiciones iniciales.

Vox = Vo cos 30 = 8.6 m/s

Voy = Vo sen 30 = 5,0 m/s

X0 = 0; Yf = 0; Y0 = 100 m

Para calcular el tiempo de vuelo se evala la ecuacin de Y como funcin del tiempo:a.

Donde:

y0 = 100 m; yf = 0

V0y = 5 m/s; ay = -9,8 m/s2

La ecuacin toma la forma:

- 4,9t2 + 5t + 100 = 0

resolviendo esta ecuacin de segundo grado se obtiene:

t1 = 5,05 s; t2 = - 4,03 s

La solucin es el resultado positivo (solucin fsicamente posible) t 0.

Para calcular la distancia horizontal que recorre la partcula se realiza el siguienteprocedimiento.

Se evala para t = 5,05 s

b.

Para calcular la altura mxima, primero se calcula el tiempo cuando llega a esta alturaimponiendo la condicin que Vy = 0.

c.

Se calcula la altura y para este tiempo:

EJEMPLO 2.17

Un esquiador deja la nieve a una velocidad inicial V0 = 11 m/s a 23 debajo de la horizontal, yaterriza ms adelante, sobre la pendiente de 55 como se muestra a continuacin. En qu lugar yen qu tiempo cae el esquiador sobre la pendiente y cul su velocidad.

La V0 del esquiador forma un ngulo de 23 debajo de la horizontal, se toma la ecuacin de latrayectoria para X0 = 0 y Y0 = 0:

(1)

Por geometra de la figura

(2)

Se reemplaza (2) en (1) se obtiene:

a.

Y se soluciona para X:

X = 21 m; Y = -X tan 55 = - 30 m

Luego en el punto de coordenadas (X, Y) (21, -30) m es el lugar donde cae el esquiador.

Para calcular el tiempo:

X(t) = X0 + V0x t

21 m = 0 + V0 cos 23 t V0 = 11 m/s

b.

La velocidad del esquiador al caer sobre la pendiente se calcula de:c.

donde:

Luego el vector

EJEMPLO 2.18

Hallar la posicin de una partcula que realiza un movimiento circular de radio 2m, para las

siguientes posiciones angulares = 0, /4, /2, , 3 /2 y 2 .

Si = 0, entonces

Si = /4, entonces

Si = , entonces

Si , entonces

Si = 2 , entonces

Se observa que la partcula toma posiciones sucesivas como si estuviera rotando en sentido ant -horario.

EJEMPLO 2.19

Una partcula rota con una frecuencia de 0,5 vueltas / s, en un crculo de radio r = 2 m.

Hallar:

El tiempo que toma la partcula en realizar una vuelta.a.

La velocidad angular.b.

La magnitud de la velocidad lineal.c.

La aceleracin centrpeta.d.

Desarrollo

El perodo es el tiempo que gasta una partcula en dar una vuelta, por definicin.a.

La velocidad angularb.

La magnitud de velocidad lineal o tangencial:c.

La magnitud de la aceleracin centrpeta:d.

EJEMPLO 2.2

Se supone que un cuerpo se mueve sobre el eje de las X segn la ecuacin: X(t) = 4 t2, donde X

est dado en metros y t en segundos y 4 tiene unidades de .

Realizar una tabla de datos X vs t.a.

Realizar e interpretar la grfica X vs t.b.

Encontrar la rapidez media para intervalos de 1s.c.

Hallar la expresin para Vx (t).d.

Realizar una tabla Vx vs t.e.

Realizar e interpretar la grfica Vx vs t.f.

Tabla X vs t

X (m) 0 4 16 36 64 100

t(s) 0 1 2 3 4 5

a.

Grfica X vs t

Grfica X vs t

La grfica de X vs t es una curva creciente lo que indica que la posicin crece con el tiempo.En este caso con el cuadrado del tiempo y que el cuerpo parte del origen: X (t = 0) = X0 = 0.

b.

c.

Vm = X / t

De 0 s a 1s

De 1 s a 2 s

De 2 s a 3 s

De 3 s a 4 s

De 4 s a 5 s

Se observa que la velocidad media es diferente en cada intervalo, que es creciente, pero larata de cambio es la misma, adems la razn de cambio es la misma de intervalo a intervalo,es decir, la velocidad crece en 8 m/s en 1s.

c.

La funcin velocidad instantnea la hallamos como:

La funcin velocidad no es constante, tambin depende del tiempo.

d.

Tabla V vs te.

V (m/ s) 0 8 16 24 32 40

t(s) 0 1 2 3 4 5

Grfica V vs t

Se tiene que la velocidad media y la instantnea no son iguales

La grfica de V vs t es una lnea recta que parte del origen de coordenadas, lo que indica que elcuerpo parte del reposo, velocidad inicial V0=0 m/s y crece a una rata constante de 8 m/s en cadasegundo es decir a 8 m/s2 (tiene unidades de aceleracin !), que es la pendiente de la grfica.

En este caso, la velocidad es variable, depende directamente del tiempo siendo k una constantepara este tipo de movimiento.

EJEMPLO 2.20

En algn instante de tiempo, una partcula movindose en el sentido antihorario realiza unmovimiento circular de radio r = 2 m , tiene una velocidad instantnea de 8 m/s y una aceleracincuya direccin se muestra en la figura, para ese instante determinar:

ac;a.

at;b.

aT.c.

Desarrollo

La magnitud de la aceleracin centrpeta est dada por la expresin:a.

Para calcular la aceleracin tangencial se sabe que ac y at son los componentes de laaceleracin total y son perpendiculares entonces geomtricamente:

b.

La magnitud de la aceleracin total es:c.

EJEMPLO 2.21

Un hombre camina sobre un barco a una velocidad de en la direccin positiva del eje x, es

decir . El barco gracias a su motor tiene una velocidad de respecto al ro, o sea

y el ro respecto a la playa o lo que es lo mismo respecto a la tierra es de en la

direccin positiva del eje x, luego . Cul es la velocidad relativa del hombre respecto a

la tierra?.

= Vector posicin del hombre respecto al barco.

De donde vectorialmente tenemos que:

y a su vez,

Lo que conduce a:

Si se deriva con respecto al tiempo se obtiene:

Como y son velocidades constantes se obtiene:

Si se reordenan los trminos, resulta:

De acuerdo a los datos se obtiene:

El siguiente ejemplo pretende aclarar el concepto de velocidad relativa entre dos cuerpos que semueven con una velocidad conocida respecto a tierra.

EJEMPLO 2.22

La nave A viaja en la direccin positiva de X a una velocidad de 50 m/s respecto a la tierra y la naveB viaja a 80 m/s respecto a tierra en la misma direccin se pregunta:

Cul es la velocidad relativa de B respecto a A? a.

Cul es la velocidad relativa de A respecto a B? b.

Grficamente se toma el sistema S como tierra, al sistema S la nave A y lo que se pretende esaveriguar cunto vale la velocidad de B vista desde S.

De la ecuacin (2.50) , se toma a P como la nave B, s como la nave A y S como

tierra:

Se obtiene:

de donde:

que para este problema reemplazando valores se tiene:

Lo que quiere decir que la nave A observa que la nave B se aleja de ella a una velocidad de 30 m/s

en la direccin positiva del eje X.

Es claro que , es decir que B observa que la nave A se le aleja a pero en

direccin negativa del eje X, pero si no se entiende as se puede interpretar de est forma:

De la ecuacin (2.50), , asumiendo a P como la nave A, s como la nave B y S como

tierra:

de donde:

Luego:

y para este problema, reemplazando valores se obtiene:

Si se piensa que las naves A y B viajan en sentido contrario no es difcil entender que lo que seobtendra, y sera lo siguiente:

De donde:

La nave A observa que la nave B se le acerca a una velocidad de 130 m/s en la direccin negativadel eje X.

La nave B observara que la nave A se le acerca a una velocidad de 130 m/s en la direccin positivadel eje X.

Este resultado nos hace pensar lo que ocurre cuando dos vehculos que viajan a 100 km/h ensentidos contrarios colisionan; el resultado de la colisin es "equivalente" al que ocurrira si uno delos vehculos se encuentra en reposo y el otro lo enviste a 200 km/h. Se puede pensar en mssituaciones cotidianas que se expliquen mediante el concepto de velocidad relativa.

EJEMPLO 2.23

Para el caso bidimensional tomamos el caso de un barco con una velocidad por su motor respectoal ro de 4m/s en una direccin perpendicular a la orilla, donde el ro viaja a una velocidad de 3 m/scon respecto a tierra en la direccin del eje X positivo. Cul ser la velocidad del barco respecto ala tierra?.

Nuevamente de acuerdo a la ecuacin (2.50), , si P se asume como el barco (b); Scomo tierra (T) y S ser el ro (r) se obtiene:

Donde la suma vectorial de velocidades da el resultado, veamos:

Esto indica que el hombre parado en la orilla observa al barco viajando con una velocidad de 5 m/scon una direccin de 53,13 respecto al eje X .

EJEMPLO 2.3

En el ejemplo anterior, donde el cuerpo se mova segn la ecuacin X(t)=4t2

Hallar, a partir de la tabla V vs t:

La aceleracin media en intervalos de 1sa.

La expresin para la magnitud de la aceleracin en todo el tiempob.

Graficar a Vs tc.

Interpretar los resultados.d.

Desarrollo:

V (m/s) 0 8 16 24 32 40

t(s) 0 1 2 3 4 5

Entonces:

De 0 s a 1 s

De 1 s a 2 s

De 2 s a 3 s

De 3 s a 4 s

De 4 s a 5 s

En este ejemplo se tiene que la aceleracin media es la misma en todos los intervalos,

entonces para este movimiento la aceleracin media es constante.

b.

La aceleracin instantnea y la aceleracin media son iguales, este es un resultadocaracterstico del tipo de movimiento llamado Movimiento Rectilneo UniformementeVariado.

Grfica a Vs t

Grfico a Vs t

En el movimiento uniformemente variado la grfica a Vs t es una recta paralela al ejehorizontal.

EJEMPLO 2.5

La distancia Sol Tierra es de 150 millones de kilmetros, calcular el tiempo en minutos que gastala luz en llegar a la tierra. La velocidad de la luz C = 3X10 m/s.

Si se recuerda lo visto en la Unidad Modular 1 sobre las conversiones:

dS-T = 150 millones de kilmetros = 150 X 106 km

dS-T = 1,5 X 108 Km = 1,50 X 1011 m

Como la velocidad de la luz es constante y se considera que la luz se propaga en lnea recta,entonces:

luego

EJEMPLO 2.6

Dos carros de formula 1, ambos corriendo a una velocidad constante de 300 km/h estnseparados, en una recta, 50m, que fraccin de tiempo los separa?.

EJEMPLO 2.7

Un cuerpo se deja caer desde una altura h = 20 m.

Calcular la velocidad del cuerpo, justo antes de tocar el piso.a.

Hallar el tiempo que gasta en llegar al piso (tiempo de vuelo).b.

Calcular la velocidad y el tiempo cuando ha recorrido (1/3)h.c.

Desarrollo

La distancia total recorrida es justamente h,

Entonces:

a.

Para el tiempo total de vuelo y = hb.

En y = h/3c.

EJEMPLO 2.7

Un cuerpo se deja caer desde una altura h = 20 m.

Calcular la velocidad del cuerpo, justo antes de tocar el piso.a.

Hallar el tiempo que gasta en llegar al piso (tiempo de vuelo).b.

Calcular la velocidad y el tiempo cuando ha recorrido (1/3)h.c.

Desarrollo

La distancia total recorrida es justamente h,

Entonces:

a.

Para el tiempo total de vuelo y = hb.

En y = h/3c.

EJEMPLO 2.8

Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo desde una altura de 20m con una velocidad inicial V0= 5 m/s.

Calcular la velocidad justo antes de llegar al piso.a.

Calcular el tiempo de vuelo.b.

Calcular la velocidad y el tiempo cuando ha recorrido 1/3 de su trayectoria.c.

Comparar los resultados con los obtenidos en el Ejemplo 2.7d.

Desarrollo

Como se conoce la distancia total recorrida h y la velocidad inicial Vo, entonces:a.

El tiempo de vuelo se puede calcular en la ecuacin de velocidad final, que ya se conoce, enla ecuacin de posicin, cuadrtica en el tiempo:

b.

Cuando ha recorrido 1/3h tenemos:

En este caso, Vf es la velocidad al final de (1/3)h de recorrido.

c.

d.

Con respecto al ejemplo (2.7), las velocidades se incrementaron y por supuesto al ser msrpido el movimiento, los tiempos disminuyeron.

d.

EJEMPLO 2.9

Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 8 m/s. Encontrar:

La altura a la que lleg el cuerpo.a.

Demostrar la rapidez justo antes de llegar a la tierra, es igual a la misma rapidez con que fuelanzada.

b.

Demostrar que el tiempo de subida es el mismo tiempo de bajada.c.

Desarrollo

Para encontrar la altura mxima aplicamos la ecuacin:

entonces:

Para calcular la rapidez con que la partcula regresa al piso, se halla el tiempo de vuelo de la

partcula, se evala la ecuacin , con y = y0 = 0, y se reemplaza en la

ecuacin, de donde se tiene:

(Tiempo de vuelo)

a.

Evaluando la ecuacin de velocidad para el tiempo de vuelo se tiene:

El signo negativo indica que la partcula se mueve en el sentido negativo del eje Y.

b.

Para mostrar que el tiempo que gasta la partcula en subir es igual al tiempo que gasta lapartcula en bajar, se calcula el tiempo que gasta la partcula en subir, evaluando la velocidadfinal de la partcula como cero en la altura mxima.

c.

Este tiempo corresponde a la mitad del tiempo de vuelo calculado en la parte b, lo quedemuestra que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.

MOVIMIENTO PARABLICO

Objetivos

Para el movimiento parablico del cuerpo determinar la Dependencia de la posicin vertical (y) conel tiempo.

A partir del diagrama de velocidad media en Y ( ) contra el tiempo determinar la velocidadinicial del lanzamiento.

a.

Corroborar lo que se predice tericamente para la altura mxima, el alcance horizontal y eltiempo de vuelo, con lo obtenido experimentalmente.

b.

Procedimiento

Utilizando el montaje consistente en la mesa de aire (1), un disco (2) y un sistema de disparo (3),conseguir que el disco (2), describa una trayectoria parablica.

Empleando el sensor de movimiento (4), la interfase 524010 (5) y el software cassy-lab (6),registrar el movimiento y obtener una tabla de datos como la que se suministra. ngulo delanzamiento 65o.

Y(m) 0,084 0,114 0,139 0,16 0,178 0,193 0,204 0,212 0,216 0,217 0,213 0,207 0,197

t (s) 0,301 0,351 0,401 0,451 0,501 0,551 0,601 0,651 0,701 0,751 0,801 0,851 0,901

Con base en estos datos realizar en papel milimetrado las grficas de posicin (Y) contra tiempo,velocidad media en Y contra tiempo y de ellas obtener los valores de , y cumplir los objetivostrazados, teniendo en cuenta que la aceleracin del disco est dada por a = .

Montaje

MOVIMIENTO UNIFORME

Objetivos

Para el movimiento uniforme del cuerpo analizar grficamente la Dependencia de:

La posicin como funcin del tiempo.a.

La velocidad como funcin del tiempo.b.

La aceleracin como funcin del tiempo.c.

Procedimiento

Utilizando el montaje esquematizado abajo, que consiste en la mesa de aire ( o diseando unsistema, empleando la masa (4) que permita vencer la fuerza de rozamiento entre el bloque (2) y lamesa (1)), conseguir que el bloque o vehculo (2) asignado para la prctica, viaje con velocidadconstante.

Empleando el sensor de movimiento (3), la interfase 524010 (5) y el software cassy-lab (6),registrar el movimiento y obtener una tabla de datos de posicin versus tiempo, como la que sesuministra.

X(m) 0,322 0,339 0,358 0,373 0,396 0,423 0,444 0,469 0,493 0,511 0,522 0.54 0,562

t (s) 1,001 1,201 1,401 1,601 1,801 2,001 2,201 2,401 2,601 2,801 3,001 3,201 3,401

Con base en estos datos realizar en papel milimetrado las grficas de posicin contra tiempo,velocidad contra tiempo y aceleracin contra tiempo, con sus respectivos anlisis.

Montaje

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Objetivo

Para el movimiento acelerado del cuerpo analizar grficamente la Dependencia de:

La posicin como funcin del tiempo.a.

La velocidad como funcin del tiempo.b.

La aceleracin como funcin del tiempo.c.

Procedimiento

Utilizando el montaje indicado en el esquema, compuesto por la mesa de aire (o diseando unsistema que permita eliminar al mximo la fuerza de rozamiento entre el bloque (2) y la mesa (1)),conseguir que el bloque o vehculo (2) asignado para la prctica, viaje con un movimientouniformemente acelerado, gracias al peso (4) partiendo del reposo.

Empleando el sensor de movimiento (3), la interfase 524010 (5) y el software cassy-lab (6),registrar el movimiento y obtener una tabla de datos como la que se suministra. Para m2 = 541,5 g

y m4 = 68,5 g donde aterica =

X(m) 0,034 0,046 0,06 0,075 0,092 0,111 0,131 0,154 0,178 0,203 0,231 0,260 0,291

t (s) 0,201 0,241 0,281 0,321 0,361 0,401 0,441 0,481 0,521 0,561 0,601 0,641 0,681

Con base en estos datos realizar en papel milimetrado la grfica de posicin contra tiempo,velocidad contra tiempo y aceleracin media contra tiempo, con sus respectivos anlisis. Someterla grfica de posicin contra tiempo a una linealizacin, empleando papel logartmico, indicando loque representa la pendiente y el corte.

Montaje

MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL

En esta parte de la Unidad Modular se ampliar el estudio al movimiento de una partcula en elespacio definido por dos dimensiones que la condiciona a tener una trayectoria sobre un plano. Semostrar que el movimiento bidimensional se puede interpretar como el resultado de sumar osuperponer el movimiento de la partcula sobre cada uno de los ejes; es decir, se descompone elmovimiento de la partcula sobre cada uno de los ejes referenciados, se hace la interpretacincinemtica (posicin, velocidad y aceleracin), independientemente sobre cada eje y el resultadoser la suma de estos dos movimientos.

A continuacin se analizarn los conceptos de posicin, desplazamiento, velocidad y aceleracinen el movimiento bidimensional, adems, se interpretar el concepto de la trayectoria de lapartcula y como aplicacin especial de movimiento en el plano se analizar el lanzamiento deproyectiles y el movimiento circular.

Figura 2.7 Trayectoria de una partcula

Se supone, para nuestro estudio, que el movimiento de la partcula est definido sobre el plano (x y). La figura muestra la trayectoria seguida por la partcula pasando por la posicin 0 1 2 3 45... sucesivamente a travs del tiempo de tal manera que en cualquiera de estos lugares sepuede definir la posicin, velocidad y aceleracin como funcin del tiempo. A cada una de estasposiciones se le asigna un tiempo, que es el instante en el cual la partcula se encuentra en esaposicin. Por ejemplo para la posicin 0 el tiempo t0 ; para la posicin 1 el tiempo ti ; para laposicin n el tiempo tn, etc.

Posicin, desplazamiento, velocidad y aceleracin en el movimiento bidimensional

Posicin

Figura 2.8. Posicin y desplazamiento

La partcula en el instante t1 se encuentra pasa por la posicin 1 que tiene coordenadas x1, y1,entonces, se define esta posicin como el vector posicin: , en trminos de la coordenadax1, y1, que se denotar as:

Igualmente en un tiempo posterior t2 en un intervalo de tiempo t la partcula pasa a la posicin 2,la cual se define como:

Y en forma general para cualquier instante t se puede definir la posicin de la partcula encoordenadas cartesianas como:

(x, y) son las coordenadas para la posicin de la partcula que cambian con el tiempo.

y donde:

Que representa la distancia entre el origen del referencial y la posicin de la partcula.

Desplazamiento

Se define el desplazamiento como el cambio de posicin de una partcula en un intervalo de tiempot.

En la figura 2. 8, se define el cambio de posicin entre 1 y 2 como el vector que conecta la posicin1 con la posicin 2 que vectorialmente se representa como:

Este desplazamiento esta definido en el intervalo de tiempo t entre el instante t1 al t2 de talmanera que:

Y el desplazamiento se puede expresar en forma general como:

Ejemplo 2.11

Vector Velocidad

Figura 2.9. Vector velocidad

Velocidad media

Para una partcula que en el tiempo t1, se encuentra en la posicin 1; y en el tiempo t2 est en laposicin 2, se define la velocidad media de la partcula entre estas dos posiciones como la raznentre el desplazamiento y el intervalo de tiempo.

La direccin del vector velocidad media est en la misma direccin del vector desplazamiento. (verfigura 2.9).

Velocidad instantnea

Como ya se defini anteriormente, la velocidad instantnea se evala como el lmite de la velocidadmedia cuando el intervalo de tiempo t 0.

En la figura 2.9 la direccin del vector velocidad instantnea, tiene la direccin tangente a latrayectoria en el tiempo t = t1.

Ejemplo 2.12

Aceleracin Media e Instantnea

Figura 2.10. Aceleracin media e instantnea

Aceleracin media

Se define la aceleracin media de la partcula entre la posicin 1 y 2, o entre el tiempo t1 y t2, comola razn entre el cambio de velocidad sobre el intervalo de tiempo t:

Cuya direccin esta condicionada por la direccin de segn la figura 2.10.

Aceleracin instantnea

Igualmente como ya se defini anteriormente, la aceleracin instantnea se define como el lmite dela aceleracin media cuando t 0.

La direccin de la aceleracin instantnea est dirigida hacia el interior de la curvatura en cadaposicin. (Ver figura 2.10).

Componentes de la aceleracin

Figura 2.11. Componentes de la aceleracin

El vector aceleracin se puede analizar en trminos de sus componentes: la componente aI (esparalela a la direccin del movimiento, la cual es tangente a la trayectoria ), es la que producecambios en la magnitud de la velocidad y la componente a^ (aceleracin perpendicular almovimiento, es la responsable del cambio de direccin de la velocidad.

Ejemplo 2.13

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

La caracterstica fundamental en el movimiento circular uniforme, es que la rapidez con que semueve la partcula es constante en todo instante de tiempo. Pero la direccin de su velocidad estacontinuamente cambiando de direccin.

Figura 2.25 Movimiento Circular Uniforme

Como la magnitud de la velocidad es constante V = r, y el radio de la trayectoria es constante,entonces tambin la velocidad angular es constante.

Para un Movimiento uniforme se tiene que: , luego la velocidad angular instantnea es

igual a la velocidad angular media. Esto es caracterstico de los movimientos uniformes.

Las ecuaciones correspondientes son:

(2.40)

se tiene que;

Para un movimiento circular uniforme se puede calcular el valor de w, analizando el movimiento dela partcula al dar una vuelta.

f (2.41)

T: es el periodo, (tiempo que gasta la partcula en completar una vuelta).

f: es la frecuencia (nmero de vueltas que desarrolla la partcula en la unidad de tiempo):

(2.42)

Aceleracin en el Movimiento Circular Uniforme

A pesar que en un movimiento circular uniforme la rapidez de la partcula es constante, el vectorvelocidad esta cambiando continuamente de direccin. Este hecho implica que sobre la partculaest presente una aceleracin.

para un movimiento circular uniforme r y w son constantes.

, con:

, con:

, donde:

como

(2.43)

En el movimiento circular uniforme existe una aceleracin dirigida en el sentido contrario aldireccional , es decir dirigida hacia el centro. Es la llamada aceleracin centrpeta, que es la

responsable del cambio de direccin en el vector velocidad y su magnitud es igual a:

Figura 2.26. Movimiento Circular Uniforme: Vector aceleracin

debido a que v = r

: velocidad lineal tangencial.

: aceleracin radial o centrpeta.

Ejemplo 2.19

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

Figura 2.27. Movimiento Circular Uniformemente Variado

Se considera, a continuacin, el caso de una partcula que realiza un movimiento circular, donde suvelocidad adems de cambiar de direccin tambin vara en magnitud pero en forma uniforme,llamado movimiento circular uniformemente variado, ver figura 2.27.

Si se expresan las variables cinemticas en coordenadas polares, se tiene que:

es el vector posicin. Donde = (t)

La velocidad

(2.44)

Es el vector velocidad lineal o tangencial cuya direccin es tangente a la trayectoria y vara con (t).

La magnitud del vector velocidad es: v = r , como la magnitud de la velocidad tambin estcambiando, esto quiere decir que como r es constante, la velocidad angular debe variar a medidaque rota la partcula.

Para calcular la aceleracin se aplica la definicin:

como:

(2.45)

(Aceleracin angular) (2.46)

es la velocidad angular y es variacin de la velocidad angular en el tiempo llamada aceleracinangular.

(2.47)

aT : aceleracin totalac : aceleracin centrpetaat : aceleracin tangencialaT at

Figura 2.28 Aceleracin en el mov. Circular uniformemente variado

En el movimiento circular uniformemente variado el vector aceleracin total tiene doscomponentes:

La aceleracin centrpeta: ac = 2r = v2/r, que es la que produce sobre la partcula el cambio dedireccin en el vector velocidad y la aceleracin tangencial: at = r , produce los cambios demagnitud en la velocidad.

La magnitud de la aceleracin total se calcula como:

(2.48)

La siguiente figura muestra la posicin, velocidad y aceleracin para un movimiento uniformementevariado:

Figura 2.29. Mov. Circular uniformemente variado: Posicin, velocidad y aceleracin

Ejemplo 2.20

MOVIMIENTO CIRCULAR

Figura 2.17. Movimiento circular

Se dice que una partcula realiza un movimiento circular, cuando describe una trayectoria a lo largode una circunferencia de radio r, vista desde un sistema de referencia con origen en 0, como seaprecia en la figura 2.17

El movimiento se puede analizar si se utilizan coordenadas rectangulares o polares. Pero para el

movimiento circular las coordenadas polares planas r y son ms tiles que las coordenadasrectangulares X y Y porque r permanece constante a travs del tiempo; el comportamiento en X y Yes un poco complejo.

Los dos sistemas se relacionan por medio de:

(Vector posicin en coordenadas rectangulares) (2.35)

donde la magnitud:

(2.36)

y la direccin:

(2.37)

o por las relaciones reciprocas x = r cos , y = r sen .

Figura 2.18. Movimiento circular: Coordenadas Polares

Estas relaciones nos permiten transformar coordenadas polares en rectangulares o viceversa.

En el sistema de coordenadas rectangulares se utilizan los vectores unitarios como vectores

direccionales de los ejes X y Y respectivamente, y para coordenadas polares se introducen los

vectores unitarios . ( es el vector unitario radial hacia fuera y es el vector unitario tangente a

la trayectoria).

Figura 2.19. Movimiento Circular: Vectores unitarios polares

En este modelo se supone que la partcula rota en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

El vector unitario , en cualquier punto, est dirigido radialmente hacia fuera del origen 0. El vector

unitario en cualquier instante de tiempo es siempre tangente a la trayectoria en direccin anti-

horario. y forman ngulos rectos entre s. Los vectores unitarios difieren de los unitarios

en que las direcciones de y cambian continuamente con el tiempo. (son vectores rotantes).

El vector unitario y se puede expresar en funcin de como se aprecia en la figura 2.20.

Figura 2.20 Vectores unitarios

(2.34)

igualmente

(2.35)

Se puede probar que

A medida que la partcula rota, el ngulo est variando de acuerdo a alguna dependencia con eltiempo:

El ngulo se mide desde un sistema de referencia inicial, que normalmente se toma 0 grados enla direccin positiva del eje X, y crece en sentido anti - horario.

Figura 2. 21. Movimiento Circular: Relacin entre variables angulares y lineales

El ngulo se mide en radianes de tal manera que se necesita transformar ngulos de grados a

radianes viceversa teniendo en cuenta que 360 son equivalentes a 2 radianes.

Geomtricamente todo arco (S) de una circunferencia es igual al radio por el ngulo que subtiendeel arco. Como se muestra en la figura 2.21.

(2.38)

donde,

esto quiere decir que el ngulo es igual a 1 radian ( = 1rad), cuando la longitud del arco es igualal radio de la circunferencia.

Se puede mostrar que 1 rad 57.3.

MOVIMIENTO PARABLICO: LANZAMIENTO DE PROYECTILES

Una aplicacin interesante al movimiento en dos dimensiones es la de un proyectil lanzado al aire,el cual se mover "libremente", esto es lo que normalmente decimos; pero hay que entender, queeste cuerpo puede estar afectado por la resistencia del aire, por la rotacin de la tierra y por lasvariaciones de la gravedad.

En esta parte del Mdulo se simplifica el anlisis del movimiento de una partcula que se lanza alaire, no se tienen en cuenta los efectos de la resistencia del aire, la rotacin de la Tierra y sesupondr que en la regin en la que se va a mover la partcula, la gravedad es constante.

Bajo este modelo y analizando el rango en el cual se mueve la partcula se considerar la superficiede la Tierra como superficie plana.

Como ejemplo, se considera una partcula que se lanza con una velocidad V0 que tienecomponentes vertical y horizontal con respecto a un referencial.

Figura 2.12. Tiro parablico

Se elige el eje X paralelo a la superficie de la tierra y el eje Y vertical perpendicular a la superficie(positiva hacia arriba), el proyectil estar sometido a lo largo del eje Y a una aceleracin constante:la gravedad 9,81 m/s2 9,8 m/s2 dirigida verticalmente hacia abajo.

En el movimiento de proyectiles las componentes horizontal y vertical son independientes.

Recordando que el movimiento bidimensional se puede descomponer en un movimiento en X y unmovimiento en Y, donde las componentes de la velocidad inicial se pueden expresar como:

( 2.26)

(2.27)

Son las condiciones iniciales de la velocidad en X y Y, la posicin inicial de lanzamiento ser el

punto (X0, Y0) elegido de acuerdo al referencial utilizado, el tiempo inicial de lanzamiento de lapartcula ser t0 = 0

Cuando la partcula se mueve en el espacio estar afectada por la aceleracin de la gravedad en Yy a lo largo del eje X no existe aceleracin.

aX = 0

aY = g = 9,8 m/s2

Este movimiento se puede analizar como un movimiento uniforme sobre el eje X (aX = 0) y unmovimiento uniformemente variado a lo largo del eje Y con (aY = 9,8 m/s2 ):

Para X:

Si t0 = 0

X(t) = X0 + V0xt

Vx(t) = cte = V0x = V0 cos (Movimiento Uniforme)

ax(t) = 0

Para Y:

si t0 = 0

y(t) = y0 + V0yt + ayt2

Vy(t) = V0y + ayt (Movimiento Uniformemente variado)

ay(t) = g = -9,8 m/s2

De tal manera que, si se suman (superponen) estos dos efectos se pueden definir los vectores :posicin, velocidad y aceleracin en cualquier instante de tiempo como:

(2.28)

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME

Consideremos el caso especial cuando a = 0, el movimiento se denomina MovimientoRectilneo Uniforme, ya que la velocidad permanece constante V(t) = V = V0 y t0=0.

Ecuacin del Movimiento (M.R.U) (2.20)

Si el cuerpo parte del origen: X0 = 0, entonces: X (t) = V t.

Ejemplo 2.5

Ejemplo 2.6

MOVIMIENTO RELATIVO

A todos resulta claro, que si se viaja en un vehculo A, a cierta velocidad y junto a nosotros viaja otrovehculo B, con la misma velocidad se tiene una sensacin de reposo, es decir se pensara queambos vehculos no tendran velocidad alguna. Tambin es conocido que si se viaja por unaavenida, se tiene la sensacin que son los postes los que viajan en direccin contrara a nosotros;cuando se ve un nadador atravesando un ro caudaloso se aprecia que sigue una trayectoriaoblicua respecto a la orilla y no perpendicular a ella.

Todo lo anterior hace ver que los movimientos observados dependen del marco de referenciadesde el cual se estn observando. Entendiendo como marco de referencia a cualquier objeto lugar desde el cual se miden las variables fsicas. Seran marcos de referencia: la tierra, nuestrolaboratorio, nuestro vehculo, un ro, nosotros mismos y hasta las estrellas.

Como sistemas de referencia inerciales se designarn aquellos marcos de referencia que sedesplazan unos con respecto a otros a velocidades constantes y en las cuales si la fuerzaresultante sobre una partcula es nula, sta ser observada en reposo o viajando a velocidadconstante.

Se considerar el caso general en el cual el movimiento de una partcula, observado desde dos

sistemas de referencia inercial S y S ,donde es la velocidad que un observador, en reposo, en S

vera moverse a S, es de aclarar que un observador en S vera moverse a S con una velocidad

.

En el tiempo t = 0, los orgenes de ambos sistemas coinciden.

Figura 2.30 Dos marcos de referencia inercial

En un instante de tiempo posterior t en el marco de referencia S, que est fijo respecto a tierra (esdecir a nosotros, los que observamos la pgina) permanece en su lugar, mientras que S se habrdesplazado una distancia S, la posicin de o respecto al sistema de referencia inercial S est

dado por: , en este instante de tiempo t como se muestra en la figura 2.31:

Figura 2.31 Sistemas de referencia inerciales

Para ese instante de tiempo t, la posicin de la partcula desde S estar dada por el vector posicin

, y ser el vector posicin de la partcula p visto desde S.

Figura 2.32

Vectorialmente la relacin entre y , estar dado por:

(2.49)

Si se deriva con respecto al tiempo se tiene que:

Como =cte su derivada es nula

(2.50)

Las ecuaciones (2.49) y (2.50) , junto con (concepcin newtoniana del tiempo) , se conocencomo las transformaciones de Galileo.

La ecuacin (2.50) se interpreta como que la velocidad de la partcula vista desde el sistema S,

, es igual a la velocidad de la partcula vista desde el sistema s, , ms la velocidad del

sistema s visto desde el sistema de referencia s, es decir, . Se ha incorporado una notacin de

subndices.

La convencin que se encontrar en los subndices se define as:

h : representa hombre

b : representa barco

T : representa tierra

r : representa ro

: velocidad del hombre respecto al barco

: velocidad del hombre respecto a la tierra

: velocidad del barco respecto a la tierra

: velocidad de A respecto a B

: velocidad de B respecto a A

Nota: Este tipo de convenciones vara de un autor a otro, se recomienda que cuando un texto sea

consultado lo primero que se indague es el tipo de convenciones usadas.

Si se tienen ms de dos sistemas de referencia inerciales las transformaciones Galileanas siguensiendo igualmente vlidas. Se desarrollar el siguiente ejemplo para una dimensin.

Ejemplo 2.21

Ejemplo 2.22

Ejemplo 2.23

POSICIN

En la Unidad Modular 1, se hizo referencia a la posicin para introducir algunos conceptos yoperaciones con vectores, se retomar y ampliar el tema.

La posicin representa la ubicacin de un cuerpo o partcula con respecto al origen del sistema dereferencia.

Figura 2.1 Vector posicin

La posicin se representa por medio del vector , vec tor posic in, que va del origen del sistema

de referencia al punto donde se encuentra la partcula. se puede escribir en trminos de las

coordenadas del punto o componentes rectangulares del vector de la siguiente manera:

(2.1)

posee dimensiones de longitud, luego sus unidades pueden ser m, cm, pie, etc.

SOLUCIN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Determinacin de la posicin:

La posicin de una partcula en funcin del tiempo est dada por:

La velocidad est dada por:

Para hallar el tiempo en el cual la velocidad se hace mxima, derivamos su ecuacin y laigualamos a cero:

Este es el valor de t para el cual la velocidad se hace mxima y es el valor que debemosreemplazar en la ecuacin de posicin:

X en t= 2,0 s es:

Respuesta: d

X = 16 m

1.

Determinacin de la posicin una partcula:

En el tiempo inicial , la posicin inicial = 10 cm, y la , para t= 7,0 s la

posicin de la partcula esta dada por:

2.

Respuesta: a

Altura mxima que alcanza el cohete:

El cohete parte del reposo,

con una aceleracin y recorre una altura

Cuando recorre los 500 m mientras los motores funcionan hasta apagarse, la velocidad (final)que adquiere el cohete se calcula mediante:

.

De ah en adelante se mueve bajo la accin del campo gravitacional, con la aceleracin g, ycomo lo hace un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, entonces alcanza su altura

mxima cuando , entonces de:

se tiene:

Luego la altura mxima desde el punto de lanzamiento es:

Respuesta: d

3.

Determinacin de la altura mxima del objeto:

Cuando ha recorrido el objeto tiene una velocidad de , le falta por recorrer para

parar momentneamente, entonces:

como , luego

Respuesta: d

4.

Posicin final de una partcula:

Para t = 0 s: x = 0 m y V0 = 0 m/ s.

Durante 10 s tiene una aceleracin de +2 cm/ s2 Luego su posicin al final del intervalo es.

5.

y la velocidad al final del intervalo ser:

Esta velocidad ser la inicial para el siguiente intervalo de movimiento:

Respuesta: bRapidez de una partcula:

La magnitud de la velocidad o rapidez es:

Respuesta: d

6.

Rapidez del baln antes de llegar al piso:

Si se patea horizontalmente el baln desde una cierta altura, el movimiento es semi-parablico ya que no hay componente y de la velocidad inicial, lo cual significa que elmovimiento y es de cada libre, por lo cual se puede obtener el tiempo que gasta en recorrer laaltura y conocida:

Que es el mismo tiempo que gasta en recorrer la distancia horizontal, donde el movimiento esuniforme, entonces:

7.

La componente y de la velocidad final es:

Entonces la magnitud de la velocidad final es:

Respuesta: b

Aceleracin en el movimiento circular uniforme:

Debido a que es un M.C.U., la aceleracin es slo centrpeta y se calcula de acuerdo con:

entonces

Respuesta: c

8.

Rapidez de una partcula con movimiento circular uniformemente variado:9.

El cambio en la magnitud de la velocidad lineal se debe a la aceleracin tangencial, que esuna componente de la aceleracin total:

la aceleracin total en un instante dado es la aceleracin total

est dada por: donde:

Rapidez en el movimiento relativo:10.

, en magnitud:

TIPOS DE MOVIMIENTO

Un cuerpo se puede mover en lnea recta, como en el caso de un carro que va por una carreterarecta y horizontal, su movimiento slo tiene dos direcciones posibles: positiva y negativa, es unmovimiento rectilneo (unidimensional), pero puede moverse a velocidad constante en cuyo caso elmovimiento se denominar Movimiento Rectilneo Uniforme , o con velocidad variable, en estecaso el movimiento ser Movimiento Rectilneo Uniformemente variado o Movimiento Rectilneovariado .

Las relaciones encontradas para el movimiento rectilneo se generalizarn para ser aplicadas acuerpos o partculas que se muevan en un plano, como es el caso de los proyectiles o que realicenun movimiento circular.

Los movimientos se clasifican de acuerdo con:

Nmero de coordenadas necesarias para describir el movimiento (unidimensional,bidimensional, tridimensional).

Tipo de trayectoria (rectilneo, circular, parablico, entre otros).

Si la velocidad permanece constante o no ( Movimiento uniforme o movimiento variado).

A continuacin se estudian algunos tipos de movimientos, esencialmente en una y dosdimensiones.

TRAYECTORIA EN EL MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Si se lanza un proyectil desde algn lugar determinado por con respecto a un sistema dereferencia con una rapidez V0 formando un ngulo q con la horizontal.

Figura 2.13 Movimiento parablico

El vector posicin , mide la posicin de la partcula en un instante t. Si se quiereconocer la trayectoria de la partcula (proyectil), se evala la funcin para todos los valoresposible de tiempo. Pero si se desea conocer la ecuacin de la trayectoria, se debe identificar unaecuacin que mida explcitamente el comportamiento de Y en funcin de X.

Se tiene que:

(2.29)

(2.30)

Despejando t de la ecuacin (2.29) y sustituyendo en (2.30):

Se obtiene:

(2.31)

Esta ecuacin representa la ecuacin general de una parbola de la forma:

(2.32)

La ecuacin (2.32) que representa la ecuacin de la trayectoria de la partcula, se puede analizarpara algunos casos particulares:

Si x0=0 y y0 = y0, entonces se obtiene:

(2.32a)

a.

Si la partcula (proyectil) se lanza desde: x0 = 0, y0 = 0, se obtiene:b.

(2.32b)

Las ecuaciones (2.32), (2.32a) y (2.32b) representan la ecuacin de una parbola dependiendo delos valores (X0,Y0). Es decir, representan la ecuacin de la trayectoria del proyectil.

TRAYECTORIA

El vector posicin , no muestra explcitamente la trayectoria de la partcula pero s

permite calcular las posiciones de la partcula evaluando la ecuacin para diferentes tiempos.

Si se quiere hallar la ecuacin de la trayectoria en forma explcita, se debe hallar la relacin directaentre Y y X, en otras palabras la funcin y(x). Esto se puede hacer eliminando el parmetro t, loque permite encontrar y (x) que es la ecuacin de la trayectoria.

Ejemplo 2.14

VARIABLES CINEMTICAS

Las variables que permiten describir el movimiento, se denominan variables cinemticas: Posicin,Desplazamiento, Velocidad y Aceleracin. El tiempo en mecnica se toma como un parmetro.

Para resolver los problemas de movimiento se modelar cada cuerpo como si fuera un objetopuntual, es decir, no se toma en cuenta la forma y el tamao de ste.

VECTOR DESPLAZAMIENTO

Figura 2.2 Vector desplazamiento

Cuando el cuerpo pasa (sin importar su trayectoria) de un punto P1 a P2, afirmamos que el cuerpose ha movido, y su desplazamiento lo indicamos por medio del vector que va del punto P1 al puntoP2, como:

(2.2)

es decir, la diferencia entre los dos vectores de posicin ,mide el cambio de posicin de la

partcula.

(2.2)

Y la magnitud del desplazamiento se calcula como:

(2.3)

Que representa la distancia entre las dos posiciones. La distancia es un escalar que es siemprepositiva (ya se haba determinado que la magnitud de un vector es siempre positiva).

Ejemplo 2.1

VELOCIDAD EN EL LANZAMIENTO DE PROYECTILES

Si se analiza el comportamiento de la velocidad a lo largo de la trayectoria parablica para unproyectil que se lanza desde el origen con una rapidez inicial V0 y orientado con un ngulo q con lahorizontal, en la figura 2.14 se muestra la velocidad del proyectil en funcin de sus componentes.

Se observa que el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y la velocidad en X ocomponente Vx, es constante e igual a la velocidad Vox, esto es debido a que ax = 0 , y en lacomponente de la velocidad en Y (Vy ) a medida que la partcula sube su magnitud disminuyeuniformemente, hasta hacerse nula en la altura mxima y despus vuelve a aumentaruniformemente a medida que desciende la partcula. Esto debido, a que a lo largo del eje Y existe laaceleracin de la gravedad la cual se considera constante e igual a 9,8m/s2

Figura 2.14. Comportamiento de la velocidad lo largo de la trayectoria

De tal manera que la velocidad de la partcula en cualquier instante de tiempo se da como:

Donde;

(magnitud de la velocidad)

(direccin del vector velocidad)

Otra caracterstica importante en el movimiento de proyectiles es el alcance mximo horizontal yvertical del tiro parablico.

Figura 2.15. Movimiento parablico

Para alcances horizontales sobre el mismo nivel de lanzamiento y con la misma rapidez, elalcance mximo horizontal se logra cuando el ngulo es 45 y adems existen 2 ngulos quepermiten el mismo alcance. La relacin entre esos dos ngulos debe cumplir la siguientecondicin:

1 + 2 = 90

Y en cuanto al alcance mximo vertical se logra cuando Vy = 0.

Para probar lo anterior se observa que:

Figura 2.16. Movimiento parablico: altura mxima

De:

Vy = V0y gt,

Si: Vy 0 entonces el tiempo t ts , se obtiene:

donde ts: es el tiempo que tarda la partcula en alcanzar la altura mxima (ym).

Entonces despejando se obtiene el tiempo de subida:

(tiempo de subida)

Como hay simetra, el tiempo que gasta en subir es igual al de bajar.

(tiempo de vuelo) (2.33)

Donde, tv es el tiempo que demora la partcula en el aire, y con el cual se puede obtener el alcancemximo horizontal (R = rango = alcance mximo):

(2.34)

donde

De esta expresin se puede analizar que X es mximo para = 45, debido a que el seno de 90es igual a uno (sen (2(45)=1).

Adems para los dos ngulos que logren el mismo alcance se propone el siguiente ejemplo:

1 = 30 y 2 = 60

sen 21 = sen 22

sen 60 = sen 120

Hay que aclarar que las ecuaciones (2.33) y (2.34) para tv y Xm, respectivamente, son vlidas paratrayectorias simtricas, es decir, para puntos que estn sobre el mismo nivel horizontal dellanzamiento de la partcula.

En forma general se concluye que el movimiento de proyectiles es la superposicin de dosmovimientos:

El movimiento vertical de un cuerpo que se mueve con aceleracin constante e igual al valorde la gravedad.

El movimiento uniforme en la direccin horizontal X con velocidad constante o aceleracinnula.

Ejemplo 2.15

Ejemplo 2.16

Ejemplo 2.17

VELOCIDAD

En esta era de las supermquinas (autos, motos, aviones), la velocidad es un concepto que seasimila desde la niez. El velocmetro de un auto, por ejemplo, registra la magnitud de la velocidadinstantnea en kilmetros por hora (km/h) en millas por hora (mi/h). Adems de su magnitudnecesitamos conocer la direccin de desplazamiento del auto de la partcula: 50 km/h hacia elnorte, por ejemplo, entonces la velocidad es una expresin vectorial que se designar por y querepresenta la razn de cambio de la posicin en el tiempo.

En un movimiento dado se puede preguntar cul es la velocidad del cuerpo si se tienen en cuentael desplazamiento total realizado y el tiempo total empleado en el recorrido, durante un intervalo(t) de tiempo definido dentro del tiempo total. En este caso nos vamos a referir al concepto develocidad media.

Pero si se quiere conocer qu tan rpido es el cuerpo en 1 s, en 1ms, en 1m s, es decir, se hace elintervalo de tiempo t "infinitamente" pequeo (t 0), el concepto que se necesita es el develocidad instantnea.

Velocidad Media

Se define la velocidad media como:

(2.4)

El representa la posicin final del movimiento la posicin final de un determinado intervalo detiempo, de igual manera, t2 tf representa el tiempo total empleado el final de un intervalo detiempo determinado.

En particular para un movimiento unidimensional se tiene que:

(2.5)

La velocidad tiene dimensiones de longitud / tiempo, entonces sus unidades sern de: m/s, km/h,mi/min, etc,.

Velocidad Instantnea

La velocidad instantnea o simplemente velocidad, segn lo dicho anteriormente, se puede definircomo:

(2.6)

Esta es precisamente la definicin en clculo de la primera derivada de respecto a t. En notacinde clculo la ecuacin anterior, se puede escribir como:

Se observa que para derivar con respecto a t, sta tiene que ser una funcin de t como se ver,es decir:

(2.7)

Se puede escribir el vector en trminos de sus componentes:

(2.8)

Si se utiliza la independencia lineal de los vectores base , se pueden escribir tres ecuacionesescalares independientes:

(2.9)

Ejemplo 2.2