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Japanische TempelgeometrieEin Beitrag über das Lösen geometrischer Problemeim Zeitalter von PC und Internet von Ingmar Rubin

2008 – Jahr der Mathematik

Seite 2 2008 – Jahr der Mathematik Japanische Tempelgeometrie

Agenda

persönliche Vorstellung,Mathematikzeitschriften und Bücher5000 Jahre Geometrie,Die Elemente des Euklid,historischer Hintergrund zur Edo Zeit in Japan,Sangaku Tafeln im Internet,Definition: Berührungsproblem,Dynamische Geometrie – Was ist das?,zur Wiederholung: zwei Sätze aus der Kreisgeometriefünf Aufgaben aus der TempelgeometrieAufgabensammlung zur TempelgeometrieQuellen im Internet


Persönliche Vorstellung

Ingmar Rubin, Jahrgang 1962, geb. in Berlin1969 - 1979 Besuch der Oberschule, 1979 - 1982 Berufsausbildung als Maschinenbauer mit Abitur1984 – 1989 Studium der theoretischen Elektrotechnik an der TH Ilmenau,ab 1991 bei der Siemens AG beschäftigt,Softwareentwicklung für elektronische Zugbeeinflussungssysteme,Nahverkehrsprojekte in Stockholm, Athen, Oslo und Bangkok,Seit 1999 verheiratet, zwei Töchter 3 und 8 Jahre alt,Freizeitinteressen: Mathematik, Wandern, Fotografie,WEB Seite www.matheraetsel.de ,Mitarbeit im Arbeitskreis ZUM – Zentrale für Unterrichtsmedien im Internet www.zum.de ,Veröffentlichung von mathematischen Beiträgen in der „Wurzel“ FSU Jena.

http://www.matheraetsel.de/

http://www.zum.de/


Mathematische Zeitschriften

Die Wurzel – mathematische Zeitschrift der Friedrich Schiller Universität Jenawww.wurzel.org

MONOID - Mathematikblatt für Mitdenker http://wwwalt.mathematik.uni-mainz.de/monoid/

http://www.wurzel.org/

http://wwwalt.mathematik.uni-mainz.de/monoid/

http://wwwalt.mathematik.uni-mainz.de/monoid/


Fünf Minuten Mathematik – lesenswerte Mathematikbücher

Im Zeitalter von PC und Internet sollte man das Lesen von Büchern nicht vernachlässigen. Im folgenden möchte ich auf einige, lesenwerte Mathematikbücher hinweisen: (siehe auch „Rezessionen“ auf www.mathematik.de )

Ehrhard Behrends: „Fünf Minuten Mathematik – 100 Beiträge der Mathematik- Kolumne der Zeitung Die Zeit“, www.vieweg.de

Gero von Randow: „Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten“ Rowohlt Taschenbuch

Marcus du Sautoy: „Die Musik der Primzahlen – auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik“, C.H. Beck Verlag

A.G. Konforowitsch: „ Guten Tag Herr Archimedes“, Verlag Harri Deutsch Frankfurt a.M.Monika Noack: „Mathe mit dem Känguru – Die schönsten Aufgaben von 1995-2005“,

Hanser VerlagN.Hermann: „Mathematik ist überall“, Oldenbourg Verlag München - Wien

http://www.mathematik.de/

http://www.vieweg.de/


5000 Jahre Geometrie

Die Geometrie zählt neben der Algebra zu den ältesten Teilgebieten der Mathematik. Das Buch 5000 Jahre Geometrie gibt einen interessanten Überblick über die Meilensteine der Geometrie. Von Pythagoras bis zur algebraischen Geometrie der Neuzeit werden die zahlreichen Facetten dieser Wissenschaft vorgestellt. Jedes Kapitel ist mit zahlreichen Grafiken illustriert und enthält interessante Aufgaben-stellungen.


Die Elemente des Euklid von Alexandria

Euklids Elemente oder Die Elemente (im Original Στοιχεῖα Stoicheia) war bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meist verbreitete Werk der Weltliteratur. Es gibt uns einen guten Überblick über den mathematischen Kenntnisstand der Griechen gegen Ende des 4. Jahrhunderts v. Chr.Bei den Elementen handelt es sich um ein Lehrbuch der Mathematik, das aus 13 Büchern besteht. Heute weiß man, dass ein großer Teil der Inhalte der Elemente keine Entdeckungen von Euklid selbst waren, sondern dass er das Wissen anderer Mathematiker zusammengefasst und systematisiert hat.


Inhalt der „Elemente“

Buch 1-6: Flächengeometrie, u. a. kongruente und ähnliche Figuren Buch 1: Von den Definitionen bis zum Satz des PythagorasBuch 2: Geometrische AlgebraBuch 3: KreislehreBuch 4: VieleckeBuch 5: Irrationale Größen Buch 6: Proportionen

Buch 7-9: Arithmetik, u. a. Zahlentheorie und ProportionenlehreBuch 7: Teilbarkeit und PrimzahlenBuch 8: Quadrat-/Kubikzahl und geometrische Reihen Buch 9: Gerade und ungerade Zahlen, u. a. auch der Satz von Euklid

Buch 10: Geometrie für inkommensurable Größen Buch 11-13: Raumgeometrie (Stereometrie), u. a. die fünf gleichmäßigen Körper (platonische Körper) http://www.mathematik.ch/mathematiker/euklid.phphttp://www.antike-griechische.de/Euklid.pdf

http://www.mathematik.ch/mathematiker/euklid.php

http://www.antike-griechische.de/Euklid.pdf


Historischer Hintergrund der Edo Zeit in Japan

Als Edo-Zeit (jap. 江戸時代 edo jidai) wird der Abschnitt der japanischenGeschichte von 1603 bis 1868 bezeichnet, benannt nach dem damaligen Namen der Hauptstadt, Edo. Er beinhaltet die längste ununterbrochene Friedensperiode eines Landes in der Neuzeit weltweit. Während der Edo Zeit war Japan von den Einflüssen der westlichen Welt abgeschnitten. In dieser Zeit der selbst auferlegten Isolation entstand die WASAN Mathematik. Intellektuelle Samurais schufen zahlreiche Theoreme in euklidischer Geometrie.

ehemalige japanische Hauptstadt Edo

http://de.wikipedia.org/wiki/Japanische_Schrift

http://de.wikipedia.org/wiki/Edo


Sangaku Tafeln

Diese Theoreme erschienen als wunderbar farbige Zeichnungen auf hölzernen Tafeln. Die Tafeln hingen unter den Dächern von Buddhisten, in Tempeln und Shinto Schreinen.Viele von ihnen zeigen eine außergewöhnliche Schönheit und könnten für Kunst gehalten werden.Die Tafel wurde ein Sangaku genannt, was soviel wie Mathematiktafel auf japanisch bedeutet. Viele Geometer widmeten ein Sangaku, um dem Gott für die Entdeckung eines Theorems zu danken.


Sangakus im Internet

Der Beweis des vorgeschlagenen Theorems wurde selten gegeben. Dies wurde als eine Herausforderung für andere Geometer interpretiert, 'seht her, ob ihr dies beweisen könnt'. In zweihundert Jahren sind einige Schreine und Tempel verlassen oder zerstört worden, und damit auch die Sangaku-Tafeln. Heute existieren noch 820 Sangaku's über Japan verteilt.Im Internet findet man unter www.wasan.jp/englisheine Landkarte mit japanischen Städten und den dort gefundenen Sangaku-Tafeln.


Berührungsprobleme

Definition Berührungsproblem:Aufgabenstellung bei der wenigstens zwei geometrische Objekte sich in einem gemeinsamen Punkt berühren.

Bei den Sangakus handelt es sich in der Mehrzahl um Berührungsprobleme zwischen Kreisen, Kreisbögen, Dreiecken, Vierecken und Geraden in der Ebene. Seltener trifft man auf räumliche Probleme oder Aufgaben mit Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln.


Mathematisches Handwerkszeug zum Lösen von Berührungsproblemen

Die Lösung von Berührungsproblemen erfordert eine geschickte Kombination der bekannten Sätze aus der Dreiecks- und Kreis-geometrie. Im Einzelnen werden benötigt:

Satz des PythagorasHöhensatz im rechtwinkligen Dreieck Ähnlichkeitssatz (bei Dreiecken mit gleichen Innenwinkeln können die Seiten ins Verhältnis gesetzt werden - Strahlensatz)Satz vom gemeinsamen Tangentenabschnitt an einen KreisSehnensatz Sehnen-TangentensatzPeripheriewinkelsatzSatz des Thales


Dynamische Geometrie – Was ist das?

die klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal wird mit Hilfe eines Computerprogramms ausgeführt,geometrische Objekte können beliebig gedehnt, gestaucht werden (Vorteil gegenüber der statischen Konstruktion auf dem Papier)Punkte können entlang von Linien, Kreisen geführt werden,Schnittpunkte von Objekten können verfolgt werden (Ortskurven)nicht zur verwechseln mit CAD Programmen!es handelt sich zumeist um Sharewareprogramme die von Mathematiklehrern für Schüler erschaffen wurden Entwicklung seit ca. 15 Jahren, wichtige Vertreter:EUKLID: Roland Mechling www.dynageo.de (29 €)Z.u.L: Rene Grothmann (kostenfrei, Java Applet)GeoGebra: Markus Hohmeier (kostenfrei)Cynderella (49 €)

http://www.dynageo.de/


Satz vom gemeinsamen Tangentenabschnitt

Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt in M und Radius r. Sei P ein Punkt außerhalb von k, d.h. MP > r. Von P werden die Tangenten an k gelegt. Die Berührungspunkte auf k seien Q1 und Q2. Es gilt nun stets: PQ1 = PQ2, d.h. die Länge der Tangentenabschnitte von einem äußeren Punkt an einen Kreis sind stets gleich lang.

Q1

Q2

M

rk

P


Beweis zum Satz vom gemeinsamen Tangentenabschnitt

Der Beweis folgt unmittelbar, wenn man sich die Verbindungslinie MP einzeichnet und die Dreiecke MQ1P und MQ2P betrachtet. Die Dreiecke MPQ1 und MPQ2 besitzen beide einen rechten Winkel und stimmen in zwei Seiten überein.

Q1

Q2

M

r

k

P


Sehnensatz

Gegeben sei der Kreis k mit Mittelpunkt in M und Radius r.Im inneren des Kreises befinde sich der Punkt P. Durch P laufen zwei Sehnen g, h. Ihre Schnittpunkte auf k seien A, B, C, D. Es gilt nun stets: AP * PB = CP * PD

M

Pg

h

A

B

k

C

D


Aufgabe 1

Einem Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a ist ein Kreis einbeschrieben, der zwei Seiten des Quadrates und dessen Diagonale AC in je einem Punkt berührt.

Bestimme den Radius vom Kreis.

A B

CD

a


Lösungsweg zur Aufgabe 1

Der Kreismittelpunkt M muss sich auf der Diagonalen BD befinden, da stets r = ME = MF gilt. Die Tangentenabschnitte vom Punkt C an den Kreis sind gleich lang:CG = CF. Die Strecke CF berechnet sich aus: CF = CB - BF = a – r. CG entspricht der halben Diagonale des Quadrates.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=→⋅=−

221

22 arara

A B

C

a

D

a-

r

M

E

Fr

r

0.5*sq

rt(2)*

a

r

r

G


Aufgabe 2

Gegeben sei das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Über der Seite CD liegt ein Halbkreis k1innerhalb vom Quadrat. Weiterhin ist dem Quadrat ein Kreis k2 einbeschrieben, der die Seiten AB und BC sowie den Halbkreis über CD in je einem Punkt berührt.

Bestimme den Radius vom Kreis k2.

A B

CD

a

k1

k2 M


Lösungsweg zur Aufgabe 2

Der Radius DG = GH = GC vom Halbkreis k1 beträgt a/2. Weiterhin gilt r = ME=FC und damit GF = a/2 - r. Die Strecke CE ergibt sich aus der Differenz a-r. Da FM parallel zu CE liegt gilt:FM=CE=a-r. Im rechtwinkligen Dreieck GFM gilt der Satz des Pythagoras:

( )

( )32

4022

22

22

2

−⋅=

+⋅⋅−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ar

arar

rarara

A

D

a

B

C

k1

k2r

r

a-r

M

a/2

r

E

FG

r

H

a-r

ra/2-ra/2

K


Aufgabe 3

Gegeben sei das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Dem Quadrat sind die Kreisbögen AC und BD einbeschrieben. Über der Seite AB ist das Quadrat EFGH errichtet, das die Kreisbögen in den Punkten G, H berührt. Berechne den Radius der beiden eingezeichneten Kreise k1 und k2.

A B

CD

a

E F

GH

k1

k2


Lösungsweg zur Aufgabe 3, Teil I

Wie beginnen mit dem Radius u für Kreis k2. Im Dreieck BKM erhalten wir mit dem Satz des Pythagoras:

Für die Bestimmung von r im Kreis k1

benötigen wir die Seitenlänge b vom Quadrat EFGH.

( ) ( )162

222 auauaua =→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=+

53

2

222 abbabba ⋅

=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=

A B

CD

a

E F

GH

u

ba

(a-b)/2(a-b)/2 K

M

r

a+u

L

u

a-u


Lösungsweg zur Aufgabe 3, Teil II

Den Radius r im Kreis k1 können wir aus dem rechtwinkligen Dreieck BKLbestimmen:

( ) ( )

( )

arraa

arara

arbra

⋅=→⋅⋅=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=−

3203932039

253

2

2

222

222

A B

CD

a

E F

GH

a-r

r

b

(a-b)/2(a-b)/2 K

M

L

u

a-u

r


Aufgabe 4

Einem Trapez ABCD mit den Seitenlängen

sind zwei Kreise k1 und k2

einbeschrieben. Beider Kreise berühren sich in einem Punkt und jeder Kreis tangiert je drei Seiten des Trapezes (Abbildung rechts).

Bestimme die Radien r, R der beiden Kreise in Abhängigkeit der Seitenlängen a und c.

CDcABa =⋅=⋅ 2,2

A B

CD

2 a

2 c

R

R

r

r

k1

k2


Konstruktion mit EUKLID, Aufgabe 4

Die Mittelpunkte beider Kreise befinden sich auf der Mittellinie EF des Trapezes.

Der Mittelpunkt von k1 muss auf der Winkelhalbierenden vom Winkel ABCliegen. Folglich ist der Schnittpunkt aus dieser Winkelhalbierenden und der Mittellinie EF der gesuchte Punkt M1.

Analog gilt für k2, dass M2 auf der Winkelhalbierenden des Winkels BCDliegen muss.

Gesucht ist eine bestimmte Länge EF, so dass sich die beiden Kreise in einem gemeinsamen Punkt berühren.

A B

CD

M1

k1

k2

M2

E

F


Lösungsweg Aufgabe 4

Die Tangentenabschnitte von den Punkten B,K,C an k1 bzw. k2 müssen gleich lang sein. Die Dreiecke BGK und KHC sind einander ähnlich (gleiche Innenwinkel).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 34 3

222

222

,

22:

:

:

caRcar

rcb

RbaHKCGBK

rrcbcbHKC

RRbabaGBK

==

+=

+Δ≈Δ

++−=+Δ

++−=+Δ

A B

CD

a

b

R

R

r

r

a

c

c

b

R

r

b

a-b

b-c

E

F

K

G

H

M1

M2


Lösungsweg Aufgabe 4 mit CAS Mathematica

In[12]:= gl1 = Simplify@Ha + bL^ 2 Ha − bL ^ 2 + HR + RL^ 2DOut[12]= a b R2

In[13]:= gl2 = Simplify@Hb + cL^ 2 Hb − cL ^ 2 + Hr + rL^ 2DOut[13]= b c r2

In[14]:= gl3 = Ha + bL ê R Hb + cL ê r

Out[14]=a + b

Rb + c

r

In[15]:= Simplify@Solve@8gl1, gl2, gl3<, 8b, r, R<D, 8a > 0, b > 0, c > 0<DOut[15]= 99b → −

è!!!!!!!a c , r → − Ha c3L1ê4, R → Ha3 cL1ê4=,9b → −è!!!!!!!a c , r → Ha c3L1ê4, R → − Ha3 cL1ê4=,9b →

è!!!!!!!a c , r → −Ha c3L1ê4, R → −Ha3 cL1ê4=,9b →è!!!!!!!a c , r → Ha c3L1ê4, R → Ha3 cL1ê4==


Aufgabe 5, Gumma Prefecture 1824

Die Kreise k1, k2 und k3berühren die Gerade g in je einem Punkt A, B, C.

Weiterhin berühren sich die Kreise k1, k2 und k3 in je einem gemeinsamen Punkt.

Bestimme den Radius von k3 wenn die Radien von k1und k2 gegeben sind.

a

b

c

A BC

k2

k3

k1

g


Lösung zur Aufgabe 5, Gumma Prefecture 1824

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

cbcaba

cbcaba

vuw

cbv

cbvcb

cau

cauca

baw

bawba

⋅+⋅=⋅

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

+=

⋅⋅=

−+=+

⋅⋅=

−+=+

⋅⋅=

−+=+

222

2

2

2

222

222

222

ab

c

A BC

k1

k2

k3g

u v

w

M1

M2a-b

b-ca-cc c

a b


Lösung zur Aufgabe 5 mit Mathematica

In[1]:= gleichung1 = Sqrt@a bD Sqrt@a cD + Sqrt@b cDOut[1]= è!!!!!!!a b è!!!!!!!a c +

è!!!!!!!b c

In[2]:= loesung = Simplify@Solve@gleichung1, cDDOut[2]= 99c →

a bIè!!!!a +è!!!!b M2 =, 9c →

a bIè!!!!a −è!!!!b M2 ==

In[3]:= c1 = c ê. loesung@@1DDOut[3]=

a bIè!!!!a +è!!!!b M2

In[4]:= c2 = c ê. loesung@@2DDOut[4]=

a bIè!!!!a −è!!!!b M2


Zusatzaufgaben:Bestimme die Radien aller eingezeichneten Kreise!


Aufgabensammlung zu Sangaku Problemen

Ein besonders schöne und umfangreiche Sammlung von Sangakuproblemen findet man unter http://www.wasan.jp/english/

Das rechts stehende Buch kann in Form von vier PDF Files kostenfrei aus dem Internet geladen werden.Es enthält über 200 Aufgaben mit Lösungsweg.

Auf den folgenden Folien habe ich eine kleine Auswahl dargestellt.


Sangaku Beispiele I


Weitere Sangaku Beispiele II


Literatur

Im englischen Sprachraum sind einige Bücher zur Tempelgeometrie erschienen. Bei der Suche in Amazon.com fand ich:


Quellen im Internet

Wer an den Sangaku Problemen Gefallen gefunden hat, findet im Internet zahlreiche Aufgaben und Artikel. Bei einer Suche unter Google nach sangakuproblems, japanese temple geometry oder wasan fand ich folgende Seiten:

http://www.wasan.jp/english/http://www.cut-the-knot.org/proofs/jap.shtmlhttp://www.ethnomath.org/resources/okumura2001.pdfhttp://www.hojm.fsnet.co.uk/edo.htmhttp://mathworld.wolfram.com/SangakuProblem.htmlhttp://www.arsetmathesis.nl/sangatekst.htmhttp://interactive-mathvision.com/PaisPortfolio/Sangaku/SangakuFrames.htmlhttp://www.paginar.net/matias/articles/Sangaku/Sangaku.htmlhttp://www.matheraetsel.dehttp://www.matheraetsel.de/sangaku.html

http://www.wasan.jp/english/

http://www.cut-the-knot.org/proofs/jap.shtml

http://www.ethnomath.org/resources/okumura2001.pdf

http://www.hojm.fsnet.co.uk/edo.htm

http://mathworld.wolfram.com/SangakuProblem.html

http://www.arsetmathesis.nl/sangatekst.htm

http://interactive-mathvision.com/PaisPortfolio/Sangaku/SangakuFrames.html

http://www.paginar.net/matias/articles/Sangaku/Sangaku.html

http://www.matheraetsel.de/

http://www.matheraetsel.de/sangaku.html

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