2.4 Entscheidung bei Risiko - swl.htwsaar.de · 72 Bernoulli-Prinzip § Bisherige Ansätze zur...

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2.4 Entscheidung bei Risiko§ Entscheidung bei Risiko nimmt an, dass für jeden ZustandSj seine Eintrittswahrscheinlichkeit P(Sj) bekannt ist

§ Eintrittswahrscheinlichkeiten bestimmbar als

§ statistische Wahrscheinlichkeiten basierend auf Erfahrungen aus der Vergangenheit (z.B. wie ofthat es an diesem Tag in den letzten100 Jahren geregnet)

§ subjektive Wahrscheinlichkeiten basierend aufden Erwartungen des Entscheiders

Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie

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Diskrete Zufallsvariable§ Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit möglichen Werten

{a1,…,an} und Wahrscheinlichkeiten P(X = ai),

§ Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X ist

§ Beispiel: Fairer Würfel mit sechs Seiten


E(X) = 1 · 16 + 2 · 1

6 + . . . 6 · 16 = 3.5

µ = E(X) =nÿ

i=1ai · P (X = ai)

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Diskrete Zufallsvariable§ Varianz einer diskreten Zufallsvariable X ist

und es gilt

§ Größe σ heißt Standardabweichung (auch: Streuung)

§ Beispiel: Fairer Würfel mit sechs Seiten


‡2 = V (X) =nÿ

i=1(ai ≠ µ)2 · P (X = ai)

V (X) = E(X ≠ E(X))2 = E(X2) ≠ (E(X))2

V (X) = (1 ≠ 3.5)2 · 16 + (2 ≠ 3.5)2 · 1

6 + . . . + (6 ≠ 3.5)2 · 16 = 2.916

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Dominanz bei Unsicherheit§ Konzept der Dominanz lässt sich auf den Fall

mehrerer Zustände erweitern

§ absolute Dominanz betrachtet nur das schlechtmöglichsteund bestmöglichste Ergebnis je Alternative

§ Zustandsdominanz vergleich die Ergebnisseder Alternativen zustandsweise

§ stochastische Dominanz (erster Ordnung) betrachtetauch die Wahrscheinlichkeiten der Zustände


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Absolute Dominanz§ Alternative Ai dominiert Alternative Aj im Sinne

absoluter Dominanz, wenn gilt

d.h. das schlechteste Ergebnis von Ai ist mindestensso gut wie das beste Ergebnis von Aj

§ Beispiel:


min

k(xik) Ø max

k(xjk)

S1 S2 S3 S4

0.20 0.50 0.20 0.10

A1 40 20 30 50A2 20 20 5 10

A1 dominiert A2

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Zustandsdominanz§ Alternative Ai dominiert Alternative Aj im Sinne der

Zustandsdominanz, wenn gilt

d.h. Ai ist in allen Zuständen mindestens so gut wie Aj

und in mindestens einem besser

§ Beispiel:


’k : xik Ø xjk : · ÷ k : xik > xjk

S1 S2 S3 S4

0.20 0.50 0.20 0.10

A1 40 20 10 20A2 40 25 10 40 A2 dominiert A1

60

Stochastische Dominanz§ Stochastische Dominanz beruht auf Vergleich der

Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Alternativen

§ Betrachte Alternative Ai als Zufallsvariable, dann sei

die Wahrscheinlichkeit, dass Ai zu einen Ergebniskleiner gleich xi führt


P (Ai Æ xi)

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Stochastische Dominanz§ Beispiel:


S1 S2 S3 S4

0.10 0.50 0.20 0.20

A1 10 20 50 100A2 10 50 100 20

P (Ai Æ 10) P (Ai Æ 20) P (Ai Æ 50) P (Ai Æ 100)

A1 0.10 0.60 0.80 1.00A2 0.10 0.30 0.80 1.00

10 20 50 100

A2

A1

62

Stochastische Dominanz§ Stochastische Dominanz (erster Ordnung) der Alternative

Ai über die Alternative Aj liegt vor, wenn

§ Beispiel: Alternative A2 dominiert Alternative A1


10 20 50 100

A2

A1

’ x : P (Ai Æ x) Æ P (Aj Æ x) · ÷ x : P (Ai Æ x) < P (Aj Æ x)

…’ x : P (Ai > x) Ø P (Aj > x) · ÷ x : P (Ai > x) > P (Aj > x)

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Risikoeinstellung des Entscheiders§ Risikoneutralität

§ Entscheider ist indifferent zwischen Alternativen mitgleichem Erwartungswert

§ Risikoaversion

§ Entscheider zieht bei zwei Alternativen mit gleichem Erwartungswert diejenige mit geringerer Streuung vor

§ Risikofreude

§ Entscheider zieht bei zwei Alternativen mit gleichem Erwartungswert diejenige mit höherer Streuung vor


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Risikoeinstellung des Entscheiders§ Beispiel: Entscheidung über Teilnahme an einfachem

Glücksspiel (z.B. Münzwurf) mit Einsatz 10€

§ A1: Teilnahme, A2: Nicht-Teilnahme

§ S1: Gewinn, S2: Kein Gewinn

§ A1 oder A2 bei Risikoneutralität§ A1 bei Risikofreude§ A2 bei Risikoaversion


S1 S2 µ ‡

0.50 0.50

A1 10 ≠10 0.0 10.0A2 0 0 0.0 0.0

65

Indifferenzkurven nach Risikoeinstellung


µ

‡

µ

‡

µ

‡

Risikoneutralität Risikoaversion Risikofreude

66

µ-Regel§ μ-Regel beurteilt Alternativen nach ihrem Erwartungswert

(ursprünglich formuliert für den Fall einer Zielgröße)

§ Risikoeinstellung des Entscheiders nicht berücksichtigt


�(Ai) = E(xij) =nÿ

j=1xij · P (Sj)

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µ-Regel§ Beispiel: Lotterie mit 5 Millionen im Jackpot und Einsatz 3€

§ A1: Teilnahme, A2: Nicht-Teilnahme

§ S1: Gewinn, S2: Kein Gewinn

§ Entscheider wird niemals an der Lotterie teilnehmen,sofern er die µ-Regel anwendet


S1 S2 µ

14 · 10≠6 1 ≠ 14 · 10≠6

A1 4, 999, 997 ≠3 ¥ ≠2.64A2 0 0 0

68

(µ,σ)-Prinzip§ (µ,σ)-Prinzip berücksichtigt neben dem Erwartungswert

die Standardabweichung der Ergebnissezur Beurteilung der Alternativen

§ Präferenzfunktion Φ(Ai) = Φ(µi, σi) z.B. als Linearkombination von Erwartungswert µi

und Standardabweichung σi definiert

mit α als Gewichtungsparameter, welcher die Risikoeinstellung des Entscheiders erfasst (α > 0 : Risikoaversion; α < 0 : Risikofreude)


�(Ai) = µi ≠ – · ‡i

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(µ,σ)-Prinzip§ Beispiel:


S1 S2 S3 µ ‡ – = +1 – = 0 – = ≠10.5 0.2 0.3

A1 40 20 10 27.00 13.45 13.55 27.00 40.45A2 120 ≠30 ≠20 48.00 72.08 ≠24.08 48.00 120.08A3 30 10 60 35.00 18.03 16.97 35.00 53.03

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(μ,σ)-Prinzip und stochastische Dominanz§ Stochastische Dominanz erster Ordnung und

(µ,σ)-Prinzip sind inkompatibel, d.h. wireliminieren u.U. optimale Alternativen

§ Beispiel:


S1 S2 µ ‡

0.50 0.50

A1 100 100 100 0.00A2 50 100 75 35.35

0 50 100

A2

A1

A2 würde eliminiert, ist aber für risikofreudige Entscheider (z.B. α = -1.0) u.U. optimal

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Petersburger Spiel§ Petersburger Spiel (auch: Petersburger Paradoxon)

§ wiederholter Wurf einer fairen Münze (Kopf oder Zahl)

§ fällt im n-ten Münzwurf erstmals Zahl, so erhält Spieler 2n

§ Erwartungswert des Petersburger Spiels

§ Ein nach der µ-Regel handelnder Entscheider wäre alsoimmer bereit, einen beliebig großen Betrageinzusetzen und am Spiel teilnehmen


µ = 2 · 12 + 4 · 1

4 + 8 · 18 + . . . = Œ

72

Bernoulli-Prinzip§ Bisherige Ansätze zur Entscheidung bei Risiko

§ betrachten nur eine Zielgröße und

§ verdichten Zielgrößenwerte in den Parametern µ und σ

§ Bernoulli-Prinzip besteht aus zwei Schritten

§ bestimme für den Entscheider eine Nutzenfunktion U(xi)(z.B. mittels Durchführung einer Bernoulli-Befragung)

§ wähle eine Alternative mit höchstem erwarteten Nutzen(auch: Bernoulli-Nutzen, Erwartungsnutzen)


�(Ai) =nÿ

j=1U(xij) · P (Sj)

73

Bernoulli-Prinzip§ Wo liegt der Unterschied zur µ-Regel und (µ,σ)-Prinzip?

§ es können mehrere Zielgrößen betrachtet werden

§ explizite Betrachtung von Nutzen anstelle von Zielgröße

§ Nutzenfunktion erfasst Risikoeinstellung des Entscheiders


74

Nutzenfunktionen und Risikoeinstellung§ Krümmung der Nutzenfunktion lässt auf die

Risikoeinstellung des Entscheiders schließen


118 5 Rationale Entscheidung bei Risiko: Das Bernoulli-Prinzip

U(x)

x0

U(x)

x0

U(x)

x0

U(x)

x0 Risikofreude

RisikoaversionRisikoneutralität0

0

Abb. 5.1 Der Verlauf unterschiedlicher Nutzenfunktionen

veranschaulicht werden (vgl. bereits Abschn. 4.4 des Kap. 4): Ein Entscheider wird vordie Entscheidung gestellt, an einem Glücksspiel teilzunehmen, bei dem er mit gleicherWahrscheinlichkeit 0,5 (z. B. durch den Wurf einer Münze) den Betrag ! gewinnen oderverlieren kann. Beträgt sein gegenwärtiges Vermögen W, so ist das Ergebnis bei Teilnahmeam Glücksspiel entweder W + ! oder W − !. Da beide Ergebnisse gleich wahrscheinlichsind, beträgt der Erwartungswert W. Ist der Entscheider risikoneutral, so zeigt er sich indif-ferent bezüglich der Teilnahme am Glücksspiel. Ist er risikoavers, so lehnt er die Teilnahmestrikt ab. Ein risikofreudiger Entscheider dagegen begrüßt die Teilnahme.

Um dieses Entscheidungsverhalten über das Bernoulli-Prinzip, d. h. über die Orien-tierung an der Präferenzfunktion (5.1) nachzubilden, muss die Nutzenfunktion folgendeEigenschaft haben:

• Ist der Entscheider risikoneutral, so ist er indifferent zwischen Teilnahme und Nicht-Teilnahme am Glücksspiel. Entsprechend muss das Bernoulli-Prinzip beim Vergleichbeider Alternativen denselben Erwartungswert des Nutzens ausweisen:

12

· U(W + !) + 12

· U(W − !) = U(W).

Diese Bedingung ist für beliebige Werte von ! und W nur für lineare Nutzenfunktionenerfüllt.


U(x)

x0

U(x)

x0

U(x)

x0

U(x)

x0 Risikofreude


0





12

· U(W + !) + 12

· U(W − !) = U(W).



U(x)

x0

U(x)

x0

U(x)

x0

U(x)

x0 Risikofreude


0





12

· U(W + !) + 12

· U(W − !) = U(W).


Quelle: Laux, Gillenkirch und Schenk-Mathes [1]

konkav konvex

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Bernoulli-Befragung§ Nutzenfunktion des Entscheiders lässt sich mittels

Bernoulli-Befragung approximieren

§ bestimme schlechtestes und bestes Ergebnis xw und xb

§ für jedes Ergebnis bestimmt man die Wahrscheinlichkeit wi,so dass der Entscheider indifferent ist zwischen§ dem sicheren Ergebnis xi

§ einer Lotterie, die mit Wahrscheinlichkeit wi das Ergebnis xb und mit Wahrscheinlichkeit (1-wi) das Ergebnis xw auszahlt

§ die ermittelten Wahrscheinlichkeiten wi könnenals Werte der Nutzenfunktion U(xi)interpretiert werden


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Bernoulli-Befragung§ Beispiel: Ergebnisse xw = 0, 20, 40, 60, 80, 100 = xb möglich

§ für x0 = 0 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w0 = 0.0 an







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Bernoulli-Befragung§ Beispiel: Ermittelte Nutzenfunktion


0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

w

RisikoaverserEntscheider

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Zusammenfassung§ Risikoeinstellung des Entscheiders spielt eine Rolle

§ risikoavers, risikoneutral oder risikofreudig

§ Entscheidung bei Risiko und einer Zielgröße

§ μ-Regel betrachtet nur Erwartungswert

§ (µ,σ)-Prinzip betrachtet Erwartungswert und Streuung

§ Bernoulli-Prinzip bei Risiko und beliebig vielen Zielgrößen

§ Bernoulli-Befragung zum Bestimmen einer Nutzenfunktion§ Auswahl der Alternative mit höchstem erwarteten Nutzen


79

Literatur[1] H. Laux, R. M. Gillenkirch und H. Y. Schenk-Mathes:

Entscheidungstheorie,Springer 2014 (Kapitel 4 und 5)

[2] Hagenloch T.: Grundzüge der Entscheidungslehre,Books on Demand GmbH 2009 (Kapitel 4)


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