2.5.2 Multivariate Monte Carlo-Simulation

Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1

2.5.2 Multivariate Monte Carlo-Simulation

in der Realität besteht zwischen der zeitlichen Entwicklung der verschiedenen Risikofaktoren ein Zusammenhang

Berücksichtigung derartiger Abhängigkeiten durch die jeweilige Korrelation zwischen den Risikofaktoren

Vorgehensweise

Festlegung der Prämissen

Simulation der Marktparameter durch (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen

Ableitung der korrelierten Zufallszahlen S

Transformation der Zufallszahlen gemäß der zugrunde gelegten hypothetischen Verteilung der Marktparameter

Bewertung des Portfolios für die verschiedenen Simulationen

Berechnung des VaR unter Berücksichtigung des Konfidenzniveaus


Ableitung der korrelierten Zufallszahlen S

gegeben: positiv semidefinite Varianz-Kovarianz-Matrix !!

Cholesky-Faktorisierung: Ableitung einer oberen Dreiecksmatrix A für die (MM)-Kovarianz-

Matrix , für die gilt:

Für einen Vektor mit M normalverteilten, unabhängigen Zufallsvariablen z‘= (z1, z2,...,zM) erhält man einen Vektor s‘= (s1, s2,...,sM) mit korrelierten Zufallsvariablen bezüglich der Kovarianzmatrix durch

s = A z< 2.9 > (22)-Kovarianz-Matrix

'AAΣ

22,22,22,1

2,22,12

2,12

1,1

2,21,2

1,1

2,2

2,11,1

1,2

2,1

aaa

aaaa

aa

0a

a0

aa

1

1

( bezeichnet die Kovarianz zwischen den Zufallszahlen z1und z2 )


Sukzessive Ableitung der Matrix A:

1a1a 2,22

2,2

1,22,12,11,22,12,22,1 aaa

22,11,1

22,1

21,1 1(a1aa

2

2,11,22

2,1

2,1

1,2

2,11(

01

1(0

1

1

1

2

1

2

12

2,1

1,2

s

s

z

z

1(0

1

korrelierte Zufallszahlen

22,22,22,1

2,22,12

2,12

1,1

2,21,2

1,1

2,2

2,11,1

1,2

2,1

aaa

aaaa

aa

0a

a0

aa

1

1


Ermittlung der Matrix A für eine (MM)-Kovarianz-Matrix :

M,M1,M

M,22,21,2

M,12,11,1

rekursive Bestimmung der Diagonalelemente

1i

1k

2i,ki,ii,i aa

M,M1,M

2,21,2

1,1

M,M1,M

M,22,2

M,12,11,1

aa

0aa

00a

a00

aa0

aaa

Bestimmung der Elemente der 1. Zeile1,1

j,1j,1 a

a

1i

1kj,ki,kj,i

iiij aa

a1

a M,...,3i,2i,1ijfür

Bestimmung der Elemente rechts von der Diagonalen


< 2.10 > 3 Marktparameter (Zufallsvariablen) sind gemeinsam normalverteilt mit

Generierung von 1.000 Zufallszahlen für jeden Marktparameter: 1.000 31-Vektoren mit unabhängigen, gleichverteilten Zufallszahlen,

z.B. Z’ = (0,46; 0,60; 0,45)

9,07,05,0

7,06,04,0

5,04,03,0

Σ

Bestimmung des zugehörigen Vektors S der korrelierten Zufallszahlen


Zusammenfassung der Vektoren in Simulations-Matrix, die Korrelationen zwischen Daten

M,D

M,1

1,D

1,1

s

s

s

s

Bewertung des Portfolios

Vektor der möglichen Portfoliowerte auf der Basis der Zufallszahlen der ausgewählten D Durchführungen

TD1 )V,...,V()(f V

Anpassung der Zufallszahlen gemäß der Verteilungsannahme (evtl. Berücksichtigung des Drifts) und der Bewertungsfunktion


Berechnung des Value at Risk (vgl. Historische Simulation)

Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten Portfoliowert

Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert

empirische Häufigkeitsverteilung

Berechnung des VaR durch Quantilsbildung (aufgrund der hohen Stichprobe ist simulierte Verteilung

wesentlich robuster als Verteilung nach der historischen Simulation)

D

1

t

t

D

1

V

V

V

V

V

V

)f

0

0

0tV(ΔV


hohe Zahl der Simulationen macht Schätzung des VaR wesentlich robuster

Vor-/Nachteile

Verteilungsannahme wird vorausgesetzt, allerdings nicht auf Normalverteilung beschränkt

sehr hoher Rechenaufwand durch häufige Neubewertung des Portfolios

Verteilungsannahme aber nur für Risikofaktoren, nicht für die simulierten Wertveränderungen des Portfolios Nichtlinearitäten der einzelnen Positionen werden voll berücksichtigt


Varianz-Kovarianz-Ansatz

HistorischeSimulation

Monte Carlo-Simulation

Linearisierung derPreis-Risikofaktoren-Beziehung anhandvon Sensitivitäten

Beziehung zwischenPreis und Risikofak-toren anhand einesBewertungsalgorith-mus

Beziehung zwischenPreis und Risikofak-toren anhand einesBewertungsalgorith-mus

Charakterisierung derVerteilung des Port-foliowertes aufgrundder Verteilung der Ri-sikofaktoren

Simulation der Risiko-faktoren anhand his-torischer Daten undentsprechende Simu-lation der Preisverän-derungen

Simulation der Risiko-faktoren und entspre-chende Simulation derPreisveränderun-gen

Annahme der (Stan-dard)Normalverteilungder Risikofaktoren

Keinerlei Verteilungs-annahme

Annahme der (Stan-dard)Normalverteilungder Risikofaktoren

2.6 Vergleich der VaR-Methoden


Varianz-Kovarianz-Ansatz

Historische Simula-tion

Monte Carlo-Simulation

Niedriger Rechenauf-wand

Hoher Rechenauf-wand

Hoher Rechenauf-wand

Nichtlinearitäten wer-den nicht berück-sichtigt

Nichtlinearitäten wer-den berücksichtigt

Nichtlinearitäten wer-den berücksichtigt

Verwendung der Kor-relation und damit deslinearen Zusammen-hangs zwischen Risi-kofaktoren

Verwendung tatsäch-lich beobachteter(auch nicht linearer)Zusammenhänge zwi-schen Risikofaktoren

Verwendung der Kor-relation und damit deslinearen Zusammen-hangs zwischen Risi-kofaktoren

Nur in der Historie be-obachtete Szenarienwerden berücksichtigt

Nur in der Historie be-obachtete Szenarienwerden berücksichtigt

Per Zufallsziehungenwerden auch Konstel-lationen einbezogen,die nicht in der Historieenthalten sind


Varianz-Kovarianz-Ansatz basiert auf Normalverteilungsannahme tatsächliche Verteilung weist i.d.R. eine höhere Kurtosis, insbesondere fat tails auf Risiko wird tendenziell unterschätzt

Vergleichende Bewertung des VaR

Historische Simulation verzichtet auf Normalverteilung theoretisch das genaueste Risikomaß höheres Risiko

Monte Carlo-Simulation erfaßt Optionsrisiken genauer deswegen genauere Risikozahl, aber auch Normalverteilungsannahme Risiko tendenziell auch zu niedrig

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