1

2.Elektrizität und Magnetismus

2.1. Physikalische Grundgrößen und Grundgesetze2.1.1. Physikalische Grundgrößen

Raumladungsdichte [] = As/m3

elektrische Ladung V

dVQ [Q] = As = C

elektrische Spannung U [U] = V

elektrische Feldstärke E

[E] = N/As = V/m

ED r

0elektrische Flussdichte,dielektrische Verschiebung

[D] = As/m2

Permittivität des Vakuums 0 = 8.854 10-12 As/Vm

relative Dielektrizitätskonstante r

elektrischer StromdtdQI [I] = A

j

A

adjI Stromdichte [j] = A/m2mit

2

Leitfähigkeit mit Ej

[] = A/Vm

magnetische Feldstärke H

(magnetisches Feld)

[H] = A/m

HB r

0magnetische Flussdichte,magnetische Induktion

[B] = Vs/m2 = T

Permeabilität des Vakuums 0 = 4 107 Vs/Am

relative Permeabilitätskonstante r

3

2.1.2. Grundgesetze

a) Kräfte

Coulomb-Kraftbeschreibt elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1, Q2:

12

122

12

21

012 4

1rrrr

rrQQF

Lorentz-Kraftbeschreibt Kraft zwischen elektrischen Strömen bzw. bewegten Ladungen und Magnetfeldern

BlIF

BvQF

4

b) Maxwellsche Gleichungen in IntegralformGrundgleichungen der Elektrodynamik

numschlosses

QadD 1. Gaussches Gesetz

0s

adB 2. Nichtexistenz magnetischer Monopole (magnetischer Ladungen)

c A

adDdtdIldH

3. Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz (Durchflutungsgesetz)

c A

adBdtdldE

4. Induktionsgesetz

Ej

BHr

0

1

c) Materialgleichungen:

ED r

0

5

2.2. Elektrostatik2.2.1. Elektrische Ladungen

Symbol Q [Q] = As = C

b) Ladung ist quantisiert

elektrische Ladungen haben Ursprung in Existenz von negativen und positivenElementarteilchen: Elektron e

Proton pElementarladung: e = 1.60219 · 10-19 As

- Ladung ist quantisiert Q = N e (N ist ganze Zahl)

Ladung Elektron: Qe = -eGesamtladung der Elektronen: Qeg = -ZeLadung Proton: Qp = +eLadung Atomkern: QK = +ZeAtom ist neutral: QAtom = Qeg + QK = -Ze + Ze = 0

a) Existenz positiver und negativer Ladungen, (+,-)

c) Ladungssumme beleibt erhalten

Die Summe der Ladungen bleibt in einem abgeschlossenen System immer erhalten: constQQi

iges

Bsp.: Kernzerfall Dissoziation – H2O OH- + H+

6

d) Kräfte zwischen Ladungen

aus Modell des Atomaufbaus folgt:- Materie ist ladungsneutral- natürlich belassene Körper haben keine

elektrostatischen Wechselwirkungen- aber Ladungsungleichgewicht kann durch

Einwirkung äußerer Kräfte entstehen

Bsp.: Reibungselektrizität(Cohns-Regel)

r(Wolle) > r(Plastik)+ + + - - -Q > 0 Q < 0

r(Porzellan) > r(Leder)+ + + - - -

Q > 0 Q < 0

Exp.: Abstoßung zwischen zwei geladenen PlastikstäbenAnziehung zwischen geladenen Plastik-und Porzellanstäben

Ergebnis:Anziehung zweier ungleicher Ladungen (+,-)Abstoßung zweier gleichartiger Ladungen (+,+) oder (-,-)

7

Experiment: Kraft in Abhängigkeit vom Abstand, F=F(r)

Ergebnis:Abhängigkeit der elektrostatischen Kraft zwischen zwei Ladungen: F r-2

Coulomb-Kraftbeschreibt elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1, Q2:

r

C

er

QQrr

rQQ

rrrr

rrQQF

221

0

221

0

12

122

12

21

012,

41

41

41

mit 0 = 8.854 10-12 As/Vm(Permittivität des Vakuums)(00 =1/c0

2)

Q2Q1

12,CF

1r

2r12 rrr

re

Q1 Q2 < 0

Q1 Q2 < 0: Q1 Q2 > 0: rG eF

12,

rG eF 12, Anziehung

Abstoßung

12

122

12

21rrrr

rrmmFG

Vergleiche mit Newtonschen Gravitationsgesetz Coulomb-Kraft ist auch

konservative Kraft

4010G

CFFVergleich Coulombkraft und Gravitationskraft zwischen zwei Elektronen:

FC entscheidend für mikroskopische Objekte (Elektron, Kerne, Atome, Ionen)(FG zu klein und kann werden)

8

Beispiel: Blättchenelektroskop

Experiment: Blättchenelektroskop- Coulomb-Kraft- Ladung schaufeln

9

2.2.2. Das elektrische Feld

Coulomb-Kräfte sind additiv

i i

i

i

iC rr

rrrr

QqrF

204

1

- Punktadungen Q1, Q2, …, Qi an den Orten Coulomb-Kraft die von Ladungen Qi auf Probeladung q am Ort ausgeübt wird:r

irrr ,...,, 21

dVr

rrrr

rrq

dQrrrr

rrqrF

V

QC

´´´

´1

41

´´´

´1

41

20

20

- Kontinuierliche Ladungsverteilung mit differentiellen Teilladungen und LadungsdichteCoulomb-Kraft die von Ladungsverteilung auf Probeladung q am Ort ausgeübt wird:r

´´ rdQ ´r ´r

Coulombkraft hängt nur von Ladungsverteilung und Ort der der Probeladung q abr

elektrische Feld: q

rFrE C

[E] = N/C = V/m

rEqrFC

Qr

'r'rr

q

dVdQ = dV

0

10

Interpretation:

Ladungsverteilung erzeugt eine Eigenschaft des Raumes, die darin besteht,dass auf Probeladung q eine Kraft wirkt!

Diese Raumeigenschaft heißt elektrisches Feld.

+q

-Q1

-Q2

-Q3

-Q4

Schirm, Vorhang

rFC

rE

q

rFrE C

Veranschaulichung von

- entsprechen Kraftlinien entlang deren Coulomb-Kraft wirkt- sind von + nach – gerichtet, entlang Coulomb-Kraft auf positive Probeladung- Dichte ist Maß für Stärke des Feldes- entsprechen Symmetrie der Ladungsanordnung

rE

durch Feldlinien

11

Beispiele für Feldlinien des elektrischen Feldes

positive Punktladung

re

rQ

qrFrE

2

041

Kugelsymmetrie resultiert ineinem radialen elektrischen Feld

zwei Punktladungen +Q, +Q zwei Punktladungen +Q, -Q

elektrischer Dipol mitDipolfeld

Experiment: Elektrisches Feld von Punktladungen (+Q, +Q+Q, +Q –Q)

i

ii

i

iii e

rQrErE

2

041

12

Experiment: Millikan-Versuch (quantitativ)

Beachte:

auf geladene Öltröpfchen wirkende Kräfte : Coulomb-Kraft, Reibung in Luft, Auftrieb in Luft

konstante Sink-oder Steiggeschwindigkeit der Öltröpfchen ist abhängig von Masse (Radius) undLadung Z = Ne der Öltröpfchen sowie vom elektrischen Feld

Bestimmung der Elementarladung

Anwendung: Millikan-Versuch zur Bestimmung der Elementarladung

13

2.2.3. Berechnung elektrischer Felder – Das Gaussche Gesetz

V

numschlosses

dVQadD Gaussches Gesetz (1. Maxwellsche Gleichung)

ist Grundlage für die Berechnung von elektrischenFeldern, die im allgemeinen durch die Ladungsdichte verursacht werden

ED r

0mit elektrische Flussdichte (dielektrische Verschiebung) [D] = As/m2

und r = 1 für Vakuum folgt: V

numschlossess

dVQadEadD

0

+Qumschlossen

s – Oberfläche von eingeschlossenenVolumen V

s V

rE

- wir sehen D

hat physikalische Bedeutungeiner Flächenladungsdichte

14

Beispiel für die Berechnung elektrischer Felder:

Geladene Hohlkugel mit Radius R im Vakuum, r = 1

a) r > R

E

r

E

ad

umsQA

adEA

adD

0

umsQrE 240

204 r

QRrE ums

rr

rQRrE ums

2

04

besitzt radiale Symmetrie: ||

Integrationsoberfläche ist Kugelschale mit Radius r: ||

analoges Ergebnis ergibt sich für Punktladung Qums

E

Symmetrie

b) r < R

00 A

adEA

adD (da Hohlkugel)

0 RrE

r

E

R

21r

0Experiment: Elektrisches Feld von geladener

Hohlkugel bei r > R und r < R

rE

ad

r+++

++++ +

15

2.2.4. Elektrisches Potential und Spannung- Coulomb-Kraft ist konservative Kraft: 0 rdF 0 rdE

- potentielle Energie Epot der Probeladung q am Ort im elektrischen Feld der Ladung Q bezüglichReferenzpunkt :

r E

0r

''''0

00

, rdrEqrdrFrrEr

r

r

rpot

- elektrisches Potential V der Ladung Q am Ort bezüglich Referenzpunkt :r 0r

'00

,,

qrrE

rrV pot

''

00

, rdrErrVr

r

mit VAsNmV (Volt)

Beispiel: elektrisches Potential einer Punktladung Q:

''0

0

, rdrErrVr

r

mit '

'

2'0

'

4 rr

rQrE

00

'2'

00

1144

1,0

rrQdr

rQrrV

r

r

mit Referenzpunkt im unendlichen 0r

elektrische Potential potentielle Energie = Coulombenergie:und

r

QrV04

rqV

rqQrEpot

04

'rE

'rd

Q > 0

folgt:

gilt ebenfalls für geladenen Kugel bei r > R ,rV rEpot

16

- Berechnung des elektrischen Feldes aus elektrischen Potential V : rE

rdrdV

zrV

yrV

xrVrE

,,

constrV

0rdrdVrE

Beispiel: Äquipotentialoberfläche

Bedingung:

rd ist entlang Äquipotentialoberfläche gerichtet

0 rdrErdV

rdrE

(Skalarprodukt)

E

steht senkrecht zur Äquipotentialoberfläche

rd

rE

r

Q > 0

Äquipotentialoberfläche

17

- elektrisches Spannung U21 ist Potentialdifferenz zwischen zwei Orten und 2r

1r

1221 rVrVU

''''21

1

0

2

0

rdrErdrEUr

r

r

r

''21

1

2

rdrEUr

r

VU 21

Beispiel: Beschleunigung eines Elektrons mit Ladung q = -e im elektrischen Feld rE

Beschleunigung durch Coulombkraft: geleistet Arbeit W resultiert in kinetischer Energie des Elektrons W = Ekin = ½ mv2

rdEerdEerdFWr

r

r

r

r

r

1

2

2

1

2

1

''0

0

, rdrErrVr

r

12 rVrVeW 1221 rVrVU

W = eU21 = ½mv2 hier ist Einheit für Arbeit bzw. Energie: [W] = eV

Anwendung: Elektronenstrahlröhre

18

2.2.4. Elektrische Leiter im elektrischen Feld - Influenz

Elektrische Leiter (z. Bsp. Metalle) besitzen freibewegliche Ladungsträger, z. Bsp. Elektronen mit q = -e

im -Feld wirkt auf Ladungsträger Coulomb-Kraft und verschiebt dieseE

EqF

Experiment: Verschiebung der Ladung innerhalb von elektrischen Leitern in einem elektrischen Feld

Frage 1: Wie weit verschieben sich die Ladungen im Leiter unter den Einfluss des elektrischen Feldes?

Antwort 1: Elektrischen Ladungen, die auf einem Leiter aufgebracht oder durch ein elektrisches Feld erzeugt werden, sitzen nur an der Oberfläche des Leiters. Das elektrische Feld innerhalb des

Leiters ist Null:

0E

da 00 umsQA

adEA

adD Beachte: Antwort 1 gilt nur für Leiter

im Gleichgewicht = Elektrostatik !

Experiment: - Cavendish Schalen- Faraday-Käfig- Ladungstransfer auf Faraday-Becher- Van-de-Graaff Generator

19

Van-de-Graaff Generator

20

Frage 2: Wie sind die Feldlinien des elektrischen Feldes relativ zur Oberfläche gerichtet?

Antwort 2: Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht auf der Oberfläche, d. h. die Oberfläche des Leiters ist eine Äquipotentialfläche.

Erklärung: Ladungen bewegen sich auf der Oberflächeauf Grund der Coulomb-Kraft so lang bis paralleleKomponenten des elektrische Feldes zur Oberfläche

(Tangential-Komponenten) verschwinden

Beachte: Auch Antwort 2 gilt nur für Leiter im Gleichgewicht = Elektrostatik !

Experiment: Spiegelladung

Elektrische Feldlinien treffen rechtwinklig auf leitende Plattenoberfläche!

Kraft auf geladene Kugel vor leitender Platte:

20

2

0 241

zQFz

Experimente: -Entladung an Spitzen- elektrischer Wind- Reaktionsrad

21

2.2.5. Kondensatoren

a) Prinzip:

Erde

+

+++++

------

Platte 1 Platte 2

U

+Q -Q

betrachten zwei leitende parallel Platten

rdrEU 2

1

QA

adE

0

UQC

FFaradV

sAC 111

Spannung zwischen beiden Platten:

aus

folgt für gespeicherte Ladung Q auf Platten:Q U, d. h. Q = C U

mit der Kapazität

Q = gespeicherte LadungU = angelegte SpannungC ist nur durch Anordnung der beiden Leiter (Geometrie) unddem isolierenden Medium dazwischen bestimmt

22

b) Berechnung der Kapazität des Plattenkondensators: Plattenabstand l, Plattenfläche A

Experiment: elektrisches Feld des Plattenkondensators,Feldlinien existieren nur im Raum zwischen Platten

Platte 1

Platte 2

+Q

-Q

A´

A´: Gaussche Integrationsfläche

Berechnung elektrisches Feld:oA

QadE

´

00´

AQAEadE

Az

mit Q = Qums

Berechnung Spannung: rdrEUrrUr

r

1

2

1221, 0,0,01 r lr ,0,02

lEdzEU zl

z 0

AQlU0

mit

Definition Kapazität:UQC

lAC 0 Kapazität des Plattenkondensators im Vakuum

Experiment: Plattenkondensators, Q l-1 für U = konst., U l für Q = konst.

- Flächenladungsdichte

AQEz0

23

- Kapazität ist von Geometrie abhängig

- Kapazität ist vom isolierenden Medium (dielektrisches Material) zwischen Leitern abhängig

z. Bsp. Zylinderkondensator(Koaxialkabel)

i

arr

lCln

2 0l - Länge des Zylinders (Kabels)

ra - Radius äußerer Leiterri -Radius innerer Leiter

z. Bsp. - Plattenkondensator mit VakuumlAC 0

- Plattenkondensator gefüllt mitdielektrischen Material mitrelativer Dielektrizitätskonstante r

lAC r0

Ursache: permanente oder induzierte molekulare Dipolmomente

Experiment: Isolierende Platte (Dielektrikum) zwischen Platten eines Kondensators schieben:wegen Q = C U beobachten wir

- bei Q = const, U sinkt Udiel < UVak- bei U= const, Q steigt Qdiel > QVak

ir

ar

24

c) Schaltung von Kondensatoren

U+

-

+Q1

-Q1

+Q2

-Q2

+Q3

-Q3

Parallelschaltung:

i

ii

iges CUQQ i

iges CCGesamtladung:

positiv und negativ geladene Plattenbilden jeweils Äquipotentialfläche

Spannungsabfälle Ui überKondensatoren sind gleich

Reihenschaltung:

ii

iiges CQUU 1

ii

ges CC 1

1

iiges CC 11Gesamtspannung:

Experiment: Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren

U1 U2 U3+++- - -

+

-U

in Leitersegmenten zwischen Konden-satoren gilt

Spannungsabfälle Ui überKondensatoren addieren sich

constQi

i

25

d) Energie des elektrischen Feldes

- Aufladen eines Kondensators erfordert Arbeit- diese ist in Form von elektrischer Energie im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert

Experiment: Kondensator als Energiespeicher, Energie wird frei bei Entladung

(W = qU, Q = U C)

Aufladevorgang: Transportiere differentielle Ladung +dq von negativer zur positiver Kondensatorplatte

dabei notwendige Arbeit dqqC

dqUdW 1

Q

dqqC

W0

1 CUCQW 2

2

21

21

gesamtes Aufladen

CUWEel2

21

Arbeit W ist im elektrischen Feld als elektrische Energie gespeichert:

lAC 0für Plattenkondensator mit U = E l und folgt:

Eel = ½ E2 0 l A = ½ E2 0 V = ½ E D V

Energiedichte des elektrischen Feldes: DEVEw el

el

21

Beachte: bei Kondensator mit Dielektrikum (r >1) gilt ED

0r

und somit wel(r >1) > wel(r =1) (im gefüllten, mit Spannungsquelle verbundenenKondensator ist mehr Energie gespeichert)

26

2.3. Elektrische Gleichströme2.3.1. Stromstärke und Stromdichte

Elektrischer Strom ist Ladungstransport!Wo kann Ladungstransport stattfinden?

27

a) Stromstärke:

E

E

Elektrischer Strom ist Ladungstransport!

verknüpft

wirkt Kraft auf Ladungsträger Q aus

Betrachte Leiter mit Querschnitt A und angelegter Spannung UU ist mit elektrischen Feld

Stromfluss + -

E

Definition Stromstärke I: Ladungsmenge dQ, die pro Zeit dt durchQuerschnitt des stromführenden Leiters A fließt(Stromrichtung Querschnitt) dt

dQI [I] = As/s = A = Ampere

, deshalb entspricht I Bewegung der positiven Ladungsträger (Q > 0) Beachte: I fließt entlang E

b) Stromdichte: j

aedadIj

A

adjI

Die Stromdichte ist ein Vektor in Richtung der Normalen zum Fächenelement

[j] = A/m2

ad

bzw.

hier Q > 0

''21

1

2

rdrEUr

r

(technische Stromrichtung)

28

b) Pfeilrichtung bei Strom und Spannung:

+_

+_

+

_

Bewegung der positivenLadungsträger (Q > 0)von + nach -

beliebigeStromquelle

Gleich-stromquelle

technischeStromrichtung

29

2.3.2. Elektrischer Widerstand, Leitfähigkeit und Leistung

a) Widerstand

Welcher Zusammenhang besteht zwischen I und U?

Experimente: - Strom-Spannungskennlinie eines Ohmschen Widerstande I = f(U)- I = f(A), I = f(l)

I U, : I l-1, : I AErgebnis:

Ohmsches Gesetz: U = R I mit elektrischen Widerstand: R [R] = V/A = = Ohm

AlR s mit spezifischen Widerstand s [s] = mund

s ist Materialkonstante und ist in der Regel temperaturabhängig

( s steigt mit zunehmender Temperatur für Metalle Kaltleiters sinkt mit zunehmender Temperatur für Halbleiter Heißleiter)

30

mit Stromdichte entlang - Feld:

b) Leitfähigkeit

E

j

Leitfähigkeit:RAl

s

1[] = (m)-1

jAadjIA

lErdrEU

l

0Strom: Spannung: Ohmsches Gesetz: U = R I

ERAlj E

Ej

E l = R j A

alternative Schreibweise für Ohmsches Gesetz:

31

c) Elektrische Leistung

+ -

RStrom fließt durch Widerstand R,Ladungsträger müssen Arbeit verrichten, Arbeit wird von Spannungsquelle geliefert

- Arbeit W, die geleistet wird, wenn Ladungsmenge Q Potentialdifferenz U (Spannung) durchläuft:

QUW [W] = VAs = Ws = J = Joule

Leistung (Arbeit pro Zeit): UItQU

tWP

[P] = VA = Js-1 = W = Watt

mit U = R I (ohmsches Gesetz): P = UI = I2R = U2/R

Beachte: Die Arbeit, die der Strom leistet, wird im Widerstand in Wärme („Joulesche Wärme“) umgewandeltBeispiele: Tauchsieder, elektrischer Wasserkocher

32

2.3.3. Gleichstromkreise

2.3.3.1. Kirchhoffsche Gesetzea) Knotenregel

Aus Erhaltung der Ladung Q und folgt:

IdtdQ

4321 IIII

Knotenregel: 0k

kI

Die Summe aller Ströme, die in den Knoten münden, ist Null.

Experiment: - Demonstration Knotenregel

bzw. 04321 IIII

33

b) Maschenregel

a

brdEU

1Spannungsabfall z. Bsp. über Widerstand R1:

Da die Coulomb-Kraft eine konservative Kraft ist, gilt

EqFC

0 rdFC

und mit somit 0k

kUrdE

folgt: 04321 UUUU

Maschenregel: 0k

kU

Regeln:- Strom in Uhrzeigersinn zählen (I > 0)- eingefügte (eingeprägte), gerichtete Spannung

U4 = Ue zeigt vom höheren zum niedrigerenPotential ( Ue > 0 für + -)

- Spannungsabfälle Uk = Rk Ik an Widerständenzeigen ebenfalls vom höheren zum niedrigerenPotential ( Uk > 0 für + -) entlang positivenIk > 0

Experiment: - Demonstration Maschenregel

U1

U2

U4

U3 I3R3

a

b

34

2.3.3.2. Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze

a) Reihenschaltung von Widerständen

0 UIRk

k

k

k IRU

k

kg RR

Maschenregel:

Vergleich mit Ohm‘schen Gesetz: IRU g

Experiment: Widerstände in Reihenschaltung

b) Parallelschaltung von Widerständen

Maschenregel: -R1 I1 + R2 I2 = 0-U1 + U2 = 0U1 = U2 = Uk = UIk = U/Rk

Knotenregel: k kk

k RUII 1

Vergleich mit Ohm‘schen Gesetz: gRUI /

k kg RR

11Experiment: Widerstände in Parallelschaltung

35

c) Spannungsteiler

AlR s

AxR s

x

xRx

IRUR xx IRU

lx

RR

UU x

R

x

lxU

lxUU Rx 0

Experiment: - Spannungsteiler

36

+ -

U0Ri

d) Innenwiderstand einer Spannungsquelle

U0 - Leerlaufspannung (Urspannung)Ri - Innenwiderstand U – Klemmspannung mit

U falls I 0

Spannungsquelle mit Lastwiderstand R:

UIRU i 00

RIIRUU i 0

RRUIi

0

RRRUU

i 0

Kurzschluss, R = 0:

Leerlauf, R >> Ri:iR

UI 0

0UU

Ri begrenzt Strom I

Verbraucherspannung entsprichtUrspannung

Experiment: - Innenwiderstand einer SpannungsquelleU = U0 -RiI

+ -

U0Ri

R

U

IIRUU i 0

37

aus Extremwertproblem

2

202

RRURRIRIRUP

i

iRUP4

20

max

Anpassung: Leistung an R:

bei R = Ri maximale Leistung

Experiment: - Leistungsanpassungmaximale Leistung am Verbraucherwiderstandwenn R = Ri

0dRdP

folgt

0 20 40 60 80 1000.0

0.1

0.2

0.3

P (W

)

R ()R = Ri

iRUP4

20

max

38

2.4. Magnetfelder2.4.1. Magnetfelder von Permanentmagneten

Ursache des Magnetismus in Materie: Magnetische Dipolmomente durch Bahnbewegung der Elektronen und durch Spin, d. h. Eigendrehimpuls der Elektronen.Beide magnetische Dipolmomente sind nicht teilbar!

Es gibt keine isolierten magnetischen Pole, d.h. keine magnetischen Ladungen.Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen!

Konsequenz:

2. Maxwellsche Gleichung: 0s

adB

s – Oberfläche voneingeschlossenen Volumen V

rB

s V

rB

Bsp.: Magnetfeld eines Stabmagneten

Experiment: Feldlinienbild eines stabförmigen Permanentmagneten,Demonstration mit Eisenfeilspänen

Beim Durchbrechen einesStabmagneten erhält manwieder zwei Stücke mitN-und S-Pol

39

2.4.2. Magnetfelder stationärer elektrischer Ströme

Magnetfelder werden auch durch elektrische Ströme erzeugt.

Experiment: - Feldlinienbild eines geradlinigen Stromleiter- Messung B = B(r), B = B(I) mit Hall-Sonde

Magnetfeld eines geradenstromführenden Leiters: e

rIHB 0

e

3. Maxwellsche Gleichung,Ampèresches Gesetz für stationäre Ströme:

adjIsdHAc

ad

csd

sowiead sdund

bilden Rechtsschraube

jI

, BH

,undad

sd

2.4.2.1. Die 3. Maxwellsche Gleichung – Das Ampérsche Gesetz

40

2.4.2.2. Anwendungen des Ampérschen Gesetzes

a) geradliniger stromdurchflossener Leiter (Zylinder mit Radius r0)

..,, 20

0 constr

IjconstIrr

r

IrH

2

adjIsdHAc

IrHdrconstrHsdHc

2

2

0

I

rH

r

j

c sd

ad

Ad

- geschlossene Integrationskurve c entspricht -Feldlinie um Leiter bei H

r

- geschlossene Integrationskurve c spannt Integrationsfläche A auf undumschließt hier I bzw. vollständigj

drds sdH ||

e

rIrH

2bzw.

41

b) stromdurchflossene lange Zylinderspule

L

n – Windungen, L - Länge

Experiment: Feldlinienbilder Kreisstrom und Zylinderspulen

A

BC

DABCD - geschlossene Integrationskurve c

C

B

DB

A

0...

Spulevon Abstandbeliebigem

0...en weg0...

0

C

A

D

D

C

C

B

B

A

LHsdHHsdH

InsdHsdHsdHsdHsdH

LInH

42

2.5. Magnetische Induktion2.5.1. Die 4. Maxwellsche Gleichung - Das Induktionsgesetz

4. Maxwellsche Gleichung, Induktionsgesetz c A

adBdtdldE

-magnetische Induktion mit induzierter Spannung Uind kanndargestellt werden durch Ersatzspannungsquelle mit fiktiverUrspannung indUU '

0

-Pfeile für Uind und bilden Rechtsschraubead

-Pfeile für und bilden Rechtsschraubeadld

I

HB r

0

adld

E

RA

c

'H

indind Ij ,

'0UUind

+

- 1´2´

0dtBd

-induzierte Spannung Uind und induzierter Strom Iind sind

ihrer Ursache entgegengerichtet:

Lenzsche Regel

0dtBd

0'

r

BH

43

I

HB r

0

adld

E

RA

c

'H

indind Ij ,

'0UUind

+

- 1´2´

0dtBdDiskussion der 4. Maxwellsche Gleichung:

c AadB

dtdldE

linke Seite: c

indUUldEldE'

'

2

1

'0

rechte Seite:dt

dadBdtd m

A

AA

m daBadB cos

aB ,

mit magnetischen Fluss

und [m] = Vs = Tm2

dtdadB

dtdU m

Aind

induzierte Spannung:

44

Experiment: magnetische Induktion, Induktionsspulespule mit NI - Windungen im Magnetfeld der Erregerspule mitNe-Windungen, Messung mit Galvanometer

dt

daBd

dtdadB

dtdU Am

Aind

cos

allg. Messsignal am Galvanometer: tdUR

tdISt

indt

ind 00

1

LINHB ee

roro

A

Iind adBNdtdU

cos0 A

LIN

RNS eerI

Erregerspule erzeugt magn. Flussdichte

in Induktionsspule induzierte Spannung:

beobachtetes Messsignal

Experimente: Demonstration Lenzsche Regel- leitender Ring auf Magnet- Waltenhofensches Pendel (Wirbelstrombremse)

B

45

2.5.2. Selbstinduktiona) Induktivität

- diese führt wiederum zu einer selbst-induzierten Spannung Uind,s in der Spule

- Betrachte zeitabhängigen Strom I(t) durch Spule

tBs

- I(t) resultiert in zeitabhängiger magnetischer Induktion in Spule

Selbstinduktion A

ssind adtBdtdU

,

da Bs(t) I(t) folgt: dtdILUU sind ,

mit Induktivität L[L] = Vs/A = H (Henry)

- resultierender induzierter Strom Iind,s ist seiner Ursache, d. h. zeitlicher Änderung entgegengesetzt (Lentzsche Regel) dt

dI

Experimente: Selbstinduktion mit Spule

46

Beispiel: Zylinderspule

l

Länge l, Querschnitt A << l2, Windungszahl N

lAtIN

dtdadtBN

dtdtU r

As

20

dtdI

lANU r

20

dtdILU

lANL r

20

Vergleich mit ergibt für Induktivität einer Zylinderspule

l

tINtH s

l

tINtHtB rsrs

00

zeitabhängiges Magnetfeld durch Strom I(t):

Induktionsgesetz:

- Induktivität ist von der relativen Permeabilitätskonstante r des Füllmaterial der Spule abhängig

Ursache: magnetische atomare oder molekulare Dipolmomente infolge ungepaarter Elektronenspinsund des magnetischen Bahnmomentes des Elektrons

47

b) Energie des magnetischen Feldes

- Das magnetische Feld in einer Spule wird gegen die Wirkung der Selbstinduktion, d. h. gegen die selbst-induzierteSpannung U aufgebaut.

- Dazu ist Arbeit notwendig: dILIdtdtdIILdtIUdtPdW

magI

ELIdILIW 2

0 21

- Diese Arbeit W ist als Energie Emag im magnetischen Feld gespeichert.

- mit Induktivität einer Zylinderspule l

ANL r2

0

lINH

, Magnetfeld in Zylinderspule

und Volumen der Zylinderspule V = A l folgt:

BHVAlHN

lHl

ANIl

ANLIE rrr

mag 21

21

21

21

21 2

02

22202

202

Energiedichte des magnetischen Feldes: HBwmag

21

Experimente: Energiespeicherung im Magnetfeld einer Spule

48

2.5.3. Die Lorentz-Kraft auf stromdurchflossenen Leiter

0,0,0 xvv

- rechteckige Leiterschleife in xy-Ebene

0,0,0 yll

- verschiebbarer Leiter mit

beweget sich in Zeit t mit Geschwindigkeit entlang Weg x = vx t

- magnetische Induktion 0,0,0 zBB

mit Flächenelement 0,0,0 zdaad

Berechne die Kraft auf Strom I (bewegte Ladung im Magnetfeld):

in Leiterschleife induzierte Spannung 0

dt

dadBdtdU m

Aind

xyzyzind vlB

txlBU

RvlB

RUI xyzind liefert induzierten Strom

I erzeugt im Widerstand R Wärmenergie (Joulsche Wärme): x

th vxRItRItPW

2

2

Joulsche Wärme entspricht Arbeit W die notwendig ist zur Bewegung des Leiter : l

,thWW

xlIBxF yzx zyx BlIF

Verallgemeinerung Lorentz-Kraft: BlIFL

Uind

0,,0 yll zBB ,0,0

ad

0,0,xvv

exF

xF

xx

ex v

xRIxFxF

2

Experimentatorbewegt Draht mitKraft e

xF

Gegenkraft des Drahtesnach 3. Newt. Axiom, xF

49

Experimente: Demonstration Lorentz-Kraft auf Ströme- Lorentz-Schaukel- Kraft auf zwei parallel Drähte(Definition der Stromstärke: 1A entspricht F/l = 210-7 N/m im Vakuum)

50

2.5.3. Die Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung

Lorentz-Kraft auf stromdurchflossenen Leiter mit Länge l und Querschnitt A:

BleAjBlIF AL

Dvnqj

BleAvnqF ADL

sowie n = N/V folgt für N = 1:

mit Stromdichte:

n – Ladungsträgerkonzentration

Ladung dQ die durch Querschnitt A in Zeit dt fließt:dQ = q n dV = q n A vD dt

dx = vD dt

DqnAvdtdQI Dqnv

AI

AdtdQj

- Driftgeschwindigkeit (Geschwindigkeit derLadungsträger im Leiter

Dv

leAV A

mit Leitervolumen

Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q = e im Vakuum (v = vD):

BvqFL

Experimente: Ablenkung eines Elektronenstrahl im Magnetfeld eines Stabmagneten

folgt

51

Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q = -e (Elektronenstrahl): BveBvqF

Experiment: Ablenkung eines Elektronenstrahlim Magnetfeld eines Stabmagneten

E

eUvme 2

2 222

BrU

me

e

Anwendungen: Bestimmung spezifische Ladung des Elektrons e/me

mit Spannung U=E d zwischen Kathode und Anode

Beschleunigung der Elektronen im elektrischen Feld

vBconstB ,

Kreisbahn: FL = Fz e v B = me v2 r-1

BveFL

52

Anwendungen: Massenspektrometer

B

E

BvqEqF

22

2BrU

mq

53

2.6. Wechselströme2.6.1. Erzeugung von Wechselströmen – Der Generator

B

Leiterschleife mit Fläche A rotiert in Magnetfeld mit Winkelgeschwindigkeit

A

4. Maxwellschen Gleichung (Induktionsgesetz):

c A

adBdtdldE

dt

tdU m

induzierte Spannung:

mit Um tBAt cos U – Anfangsphase der Spannung

UtBAtU sin

UtUtU sin0

induzierte Wechselspannung:

mit Amplitude U0 = -BA

U(t)

t

21 T

U0

-U0

UU sin0

in Analogie: Wechselstrom ItItI sin0

Experimente: Wechselstromgeneratoren-Prinzip- U0

54

2.6.2. Leistung in Wechselstromkreisen

- momentane Leistung: tItUtP ,sin0 UtUtU ItItI sin0mit

- Wirkleistung:

coscos21

00 effeff IUIUP

dttPT

PT

0

1(Mittelwert über Periode T )

,2

10UUeff 02

1 IIeff Effektivwerte:

IU

coscos21sinsin

dttIUT

IUPT

IU

00

0000 2cos1cos21

Wirkleistung ist die tatsächlich verbrauchte Leistung!

- Blindleistung: sin21

00 IUPBlind

Blindleistung wird nicht wirklich verbraucht, sondern von Wechselstromwiderständen aufgenommen und im elektrischen Feld (Kondensator) oder magnetischen Feld (Spule) gespeichert

es gilt: 222BlindPPP

55

2.6.3. Widerstände in Wechselstromkreisen- Impedanzen

tU

tI

RU

LU

CU

Serien RLC-Kreis (Reihenschaltung: Widerstand – Spule – Kondensator)

Generator: tUtU sin0

RcL UUUtU CLR IIItI

IRCQ

dtdILtU

RdtdI

CI

dtIdL

dttdU

2

2

Maschenregel:

inhom. Differentialgleichung 2. Ordnung

tieUtU 0 tieItI 0komplexer Ansatz:

einsetzen in Diff.-gln. liefert: IRiCIILUi 2

IC

LiRU

1 (vgl. mit Ohmschen Gesetz U = R I)

Z

IZU

CLiRZ

1

RCL ZZZZ

Wechselstromwiderstand – Komplexe Impedanz:

mit

LiZ L - induktive Reaktanz:

CiZ C

- kapazitive Reaktanz:

RZ R - ohmschen Widerstand:

56

1

CZ

rL LZ L

ANL r2

0

RZ R

Experimente: Wechselstromwiderstände an Widerstand, Spule, Kondensator Zeige:

LiZ L , da

CiZ C

RZ R

57

2.6.4. Zeigerdiagramme

in komplexer ZahlenebeneDarstellung der komplexe Impedanz Z

AB

tan 22 BAZ und als „Zeigerdiagramm“ mit

RZ R LiZ L CiZ C

Auftragung der Impedanzen:

- Phasenverschiebung zwischen und daU I

,0tieUtU tieItI 0 IZU und

- am Widerstand: = 0, und in Phase - an Spule: = +/2, eilt um /2 voraus - am Kondensator: = -/2, eilt um /2 voraus

U IU I

UI

CLiRZ

1

RA C

LB

1

Hier ist und

58

- allgemeine Darstellung von Z im Zeigerdiagramm:

C1

Betrag der komplexen Impedanz: 2

2 1

CLRZ

Phasenverschiebung:R

CL

1

tan

Eulersche Darstellungkomplexer Zahlen:

ieZZ

CLiRZ

1

59

2.6.5. Erzwungene Schwingungen im RLC-Serienschwingkreis

tU

tI

RU

LU

CU

ZUI

ZeU

eZeUI

ti

i

ti

00komplexer Strom:

Eulersche Darstellung für Z

mit2

2 1

CLRZ

ergibt sich für den Realteil von I

tIt

CLR

UItI coscos1

Re 022

0

mit Phase

RC

Lar

1

tan

frequenzabhängiger Stromamplitude 2

2

00

1

CLR

UI

und

60

2

2

00

1

CLR

UI

Diskussion von

0I hat Maximum, d. h. Stromresonanz, bei Resonanzfrequenz:LCr1

R

UI r0

0 mit

0

0U

RI

RC

Lar

1

tan

Resonanzkurve Phasenverschiebung

Linienbreite LR

Experiment: Stromresonanz im RLC-SerienschwingkreisErzwungene Schwingung

61

2.6. Elektromagnetische Wellen2.6.1. Entstehung elektromagnetischer Wellen

- Wir betrachten RLC-Serienschwingkreis mit Induktivität (Spule) L und Kapazität (Kondensator) C

LCr1

l

ANL Sr2

0

lAC Cr 0

Resonanzfrequenz: Induktivität: Kapazität:

- Verkleinerung von L und C resultiert in Vergrößerung derResonanzfrequenz r, höheren Verlusten (in Analogie) zu Widerstand R und „Energieabstrahlung“

2 Dipol

Strom- und Spannungsverlauf auf /2 -Dipol

t = 0

t = T/4

t = T/2

t = 3T/4 lccf

22- Resonanzfrequenz des /2-Dipols:

mit Phasengeschwindigkeit rr

c 00

1

c ist Lichtgeschwindigkeit im jeweiligen Ausbreitungsmedium

tzI , tzU ,- /2 Phasenverschiebung zwischen und Experiment: Visualisierung der Strom- und

Spannungsbäuche am /2-Dipolmittels Glühlampe (I) undGlimmlampe (U)

- ist analog zur Grundschwingung einer Seilwelle mit festen Enden (eingespannten Seite),stehende Welle mit /2 = l

tzI ,

62

Abstrahlung des elektrischen Feldes am Beispiel des Hertz‘schen Dipols: tptp cos0

mit Dipolmoment lQp

0

Animation Feldabschnürung

63

Elektrisches und magnetisches Feld der abgestrahlten elektromagnetischen (Fernfeld):

r

t

etd

tpdcr

trHr

2

2

41,

rr

tree

tdtpd

rctrE

r

2

2

204

1,

mit retardierter Zeit crttr

,1,r

trE

rtrH 1,

geringe Schwächung mit zunehmenden Abstand Signalübertragung

E

keine Phasenverschiebung zwischen und H

rr eHcE 0 reHE

aus folgt

Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichteist durch Pointingvektor gegeben reHES

||

Polarisation der elektromagnetischen Welle

und oszillieren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung E

H

der elektromagnetischen Welle reS

bzw.

tptp cos0

und Dipolmoment

2/100

rrcPhasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle: , im Vakuum: smc 82/1

000 10998,2 (Vakuumlichtgeschwindigkeit)

64

Experiment: Polarisation der Dipolstrahlung

65

Elektrisches und magnetisches Feld der abgestrahlten elektromagnetischen (Fernfeld):

r

t

etd

tpdcr

trHr

2

2

41,

rr

tree

tdtpd

rctrE

r

2

2

204

1,

mit retardierter Zeit crttr

,1,r

trE

rtrH 1,

geringe Schwächung mit zunehmenden Abstand Signalübertragung

E

keine Phasenverschiebung zwischen und H

rr eHcE 0 reHE

aus folgt

Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichteist durch Pointingvektor gegeben reHES

||

Polarisation der elektromagnetischen Welle

und oszillieren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung E

H

der elektromagnetischen Welle reS

bzw.

tptp cos0

und Dipolmoment

2/100

rrcPhasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle: , im Vakuum: smc 82/1

000 10998,2 (Vakuumlichtgeschwindigkeit)

66

Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichteist durch Pointingvektor gegeben reHES

||

2

2sinr

S

Energiestromdichte – „Leistung P, die von elektromagnetischer Welle durch Einheitsfläche senkrecht zurAusbreitungsrichtung, d.h. senkrecht zu Pointingvektor , transprotiert wird“S

ad

adSdP

67

2.6.2. Das elektromagnetische Spektrum

Charakter der elektromagnetischen Wellen ändert sich mit Frequenz = c/infolge der unterschiedlichen Energien der Lichtquanten E = h

68

Neben Frequenz und der Wellenlänge sind die Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes und sowie die Polarisation wichtige Parameter der elektromagnetischen Wellen.

0E

0H

Polarisationstypen:

- linear polarisiert - zirkular polarisiert - elliptisch polarisiert

- unpolarisiert

Experiment: Polarisation von Mikrowellen ( 9 GHz, 0.027 m = 2.7 cm) (linear polarisiert)