3 PARAMETERSCHÄTZUNG: GENAUIGKEIT UND SICHERHEIT · min < c 1+ b ÆK 1 =[c 1, c 1+ b); c 2 ... mod...

W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzung_08_Text 06.11.09

39

3 PARAMETERSCHÄTZUNG: GENAUIGKEIT UND SICHERHEIT

Lernziele: - Aus Stichprobenwerten die Variation eines quantitativen Merkmals

durch eine Häufigkeitsverteilung (mit bzw. ohne Klassenbildung) darstellen können;

- univariate Statistiken (Mittelwert, Standardabweichung/Varianz, Standardfehler des Mittelwerts, Modalwert, Quantile, Schiefe) aus Stichprobenwerten bestimmen und interpretieren können;

- die Merkmalsvariation durch ein Boxplot veranschaulichen können; - eindimensionale Stichproben zentrieren und standardisieren

können; - die Verteilung des Stichprobenmittels einer normalverteilten

Zufallsvariablen kennen und die praktische Bedeutung des zentralen Grenzwertsatzes angeben können;

- Konfidenzintervalle für den Mittelwert und die Varianz einer normalverteilten Zufallvariablen, für die Erfolgswahrscheinlichkeit einer Zweipunktverteilung sowie den Mittelwert der Poisson-Verteilung berechnen und interpretieren können;

- Qualitätsregelkarten zur Überwachung des Mittelwerts und der Standardabweichung eines stetigen Merkmals erstellen und interpretieren können.

Grundgesamtheit X

Wah

rsch

einl

ichk

eits

dich

te

Xµ

2 σ

N(µ, σ2)

x1, x2, ..., xnZufallsauswahl

Zufallsstichprobe

Stichrobenmittel

Parameterschätzung:SchätzwertKonfidenzintervall

Stichprobenfunktionen

Stichproben-standardabweichung


40

3.1 DATENBESCHREIBUNG BEI EINEM MERKMAL Was ist der Zweck der Parameterschätzung? Die Merkmalsvariation wird i. Allg. durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktionen bzw. Dichtefunktionen) mit unbekannten Parametern modelliert. Für diese Parameter sind - mit Hilfe von Zufallsstichproben - Schätzwerte zu ermitteln. Wie beschreibt man die Merkmalsvariation mit Hilfe einer eindimensionalen Stichprobe? - durch eine Häufigkeitsverteilung ohne (bzw. mit) Klassenbildung, die

Aufschluss gibt über die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) eines diskreten (bzw. stetigen) Merkmals;

- durch Maßzahlen, die markante Eigenschaften der Verteilung zum Ausdruck bringen.

Wie ermittelt man eine Häufigkeitsverteilung ohne Klassenbildung? Es sei X ein quantitatives diskretes Merkmal mit k (verschiedenen) Werten a1, a2, ..., ak. Beobachtung von X an n Untersuchungseinheiten

Stichprobe x1, x2, ..., xn Abzählen der Untersuchungseinheiten mit dem Merkmalswert ai ergibt die absolute Häufigkeit Hi ;

Division der absoluten Häufigkeit Hi durch den Stichprobenumfang n ergibt die relative Häufigkeit hi = Hi /n.

Beispiel 3.1: An 40 Exemplaren einer Pflanze (Biscutella laevigata) wurde die Anzahl X der Zähne des größten Grundblattes bestimmt. Man stelle die Merkmalsvariation durch eine Häufigkeitserteilung dar.

1 2 0 5 2 2 0 3 3 4 0 2 4 3 1 2 4 5 6 4 3 2 0 3 3 0 3 2 2 4 3 2 2 3 3 3 1 3 3 4

Lösung: Die absolute Häufigkeit der Ausprägung a1=0 ist H1=5, die entsprechende relative Häufigkeit h1=5/40=0.125, usw. Alle Ausprägungen und die zugeordneten Häufigkeiten werden in der Häufigkeitstabelle zusammengefasst. Errichtet man über der Merkmalsachse „Stäbe“ mit den


41

Häufigkeiten (z.B. ausgedrückt in %) als Längen, erhält man eine grafische Darstellung der Verteilung in Form eines Stabdiagramms.

Wie ermittelt man eine Häufigkeitsverteilung mit Klassenbildung? Es sei X ein stetiges Merkmal und x1, x2, ..., xn eine Stichprobe von X; Zerlegung der Merkmalsachse in gleich lange, aneinandergrenzende Intervalle (Klassen) K1, K2, ..., Kl

Klasseneinteilung Anzahl l der Klassen und Klassenbreite b:

Klassengrenzen:

Festlegung der unteren Grenze c1 der ersten Klasse K1 derart, dass c1 < xmin < c1+ b K1 =[c1, c1+ b); c2 = c1+ b ist die untere Grenze der zweiten Klasse K2 = [c2, c2+ b); c3 = c2 + b die untere Grenze der dritten Klasse K3 = [c3, c3+ b) usw.

Abzählen der Untersuchungseinheiten in der Klasse Ki ergibt die absolute Klassenhäufigkeit H'i von Ki (= Anzahl der Merkmalswerte xi mit ci ≤ xi < ci+1); man beachte: ∑ =j j nH ' !

Division der absoluten Klassenhäufigkeit H'i durch den Stichprobenumfang n führt zur relativen Klassenhäufigkeit h'i = H'i /n; man beachte: ∑ =j jh 1' !

Division der relativen Klassenhäufigkeit h'i durch die Klassenbreite b ergibt die Häufigkeitsdichte di = h'i /b;

Histogramm: Über jede Klasse Ki wird das Rechtecke mit der Breite b und der Höhe di errichtet (dieses Histogramm heißt flächennormiert, weil die gesamte "Histogrammfläche" = 1 ist)

X abs.H. rel.H. 0 5 0,125 1 3 0,075 2 10 0,250 3 13 0,325 4 6 0,150 5 2 0,050 6 1 0,025 40 1

0%

10%

20%

30%

40%

0 1 2 3 4 5 6X (Anz. d. Zähne)

n = 40

rel.

Häu

figk.

( ) lxxbnl

/minmax −=≈


42

Beispiel 3.2: Die folgende Tabelle enthält die Blutgerinnungszeiten (in s) von 30 Probanden. Man beschreibe die Merkmalsvariation tabellarisch und grafisch durch eine geeignet gewählte Häufigkeitsverteilung.

22,7 24,0 24,4 25,8 25,9 26,0 26,4 26,6 26,6 26,8 27,0 27,7 27,8 28,0 28,0 28,1 28,7 28,7 28,8 29,0 29,0 29,0 30,0 30,1 31,1 31,8 32,0 33,0 33,7 35,0

Lösung: Anzahl der Klassen ≈ √30 ≈ 5, Klassenbreite ≈ (35,0-22,7)/5 ≈ 3, untere Grenze der ersten Klasse = 21,5<22,7<21.5+3=24,5 (=obere Grenze der ersten Klasse); erste Klasse: Klassenmitte=(21,5+24,5)/2=23; absolute Klassenhäufigkeit H’1=3; rel. Klassenhäufigkeit h’1=3/30=0.1; Häufigkeitsdichte d1=0.1/3=0.333; usw. Häufigkeitstabelle: Histogramm: Was sind die wichtigsten Verteilungskennwerte (univariate Statistiken)? Es sei X ein quantitatives Merkmal mit den an n Untersuchungseinheiten beobachteten Werten x1, x2, ..., xn; unter den Stichprobenwerten gibt es k verschiedene Werte, die mit ai bezeichnet werden.

ob.Kl.Gr. Kl.Mitte abs.Kl.H. rel.Kl.H.% H.Dichte %24,5 23 3 10,00 3,3327,5 26 8 26,67 8,8930,5 29 13 43,33 14,4433,5 32 4 13,33 4,4436,5 35 2 6,67 2,22

30 100,00

0

5

10

15

20

23 26 29 32 35

Blutgerinnungszeit in s

Häu

figk.

Dic

hte

in %


43

Lagemaß: (Arithmetischer) Mittelwert: Hinweis: Streuungsmaße: Varianz s2, Standardabweichung s: Wozu dient der Mittelwert?

a) um den "wahren" Wert µ von X zu schätzen (dabei wird angenommen, dass sich die Messwerte additiv aus dem wahren Wert und einem regellos um Null streuenden Messfehler zusammensetzen)

b) um den Mittelwert µ von X zu schätzen (dabei wird angenommen, dass X an sich zufällig variiert)

Man beachte: Je größer n, desto "besser" die Mittelwertschätzung!

( )

( )

kkk

i ii

kkk

i iin

ni

hahahaha

HaHaHanHa

xxxnxnxn

i

+++∑

+++=∑

+++=∑=

===

==

=

L

L

L

22111

22111

1

21

1

111

( )

( ) xxSQX

xx

n

ii

n

ii

==−=

=−

∑=

∑=

ξξξ für min!)( b)

0 a)

2

1

1

( )

( )

( )

2

2

1

2

1

2

1

2

1

11

)(mit 1

1 1

1

ss

hxann

Hxan

xSQXSxxn

Sn

s

ik

ii

ik

ii

xxn

iixx

=

−−

=

−−

=

=−−

=−

=

∑=

∑=

∑=


44

Standardfehler (Maß für die Zufallsstreuung des Mittelwerts): Beispiel 3.3: (Mittelwert und Standardfehler zu Beispiel 3.1): Hinweis: Messergebnisse werden oft in der Form dargestellt: Welche weiteren Lagemaße finden bei der Datenbeschreibung Anwendung? • der Modalwert xmod (häufigster Merkmalswert) • der kleinste und größte Merkmalswert xmin bzw. xmax • das p -Quantil xp (0 ≤ p < 1): unter dem p-Quantil einer (quantitativen)

Stichprobe vom Umfang n kann man sich – grob gesprochen – jenen Wert vorstellen, der von np Stichprobenwerten unterschritten und von n(1-p) Stichprobenwerten überschritten wird; ist np nicht ganzzahlig, so nehme man dafür den auf die nächste ganze Zahl gerundeten Wert. Im Folgenden wird eine genaue Definition des p-Quantils (nämlich jene, die in der R-Funktionen summary oder quantile verwendet wird) angegeben.

Wie bestimmt man das p-Quantil aus einer Stichprobe? Eine Stichprobe der Variablen X umfasse die n metrischen Werte x1, x2, ... , xn. Die Anordnung der Stichprobenwerte nach aufsteigender Größe führt auf die geordnete Stichprobe x(1), x(2), ... , x(n). Wir bestimmen die Zahl u = 1+(n-1)p und daraus die größte ganze Zahl [u] kleiner oder

ns

SE =

( )

( ) ( )[ ]

23,04045,1

45,11,2

1,2155,26555,20391

55,21625641331023150401

222

==

==

=⋅−++⋅−=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

SE

s

s

x

L

23,055,2 ±=± SEx


45

gleich u; ferner setzen wir v= u-[u]. Dann ist das p-Quantil xp der Stichprobenwerte gegeben durch Sonderfälle: p = 50% (Median x0.5)

p = 25% (unteres Quartil x0.25) p = 75% (oberes Quartil x0.75)

Beispiel 3.4: Man bestimme das 25%-, 50%- und 75%-Quantil für die Stichprobe 8, 12, 14, 22, 25, 25, 30. Was ergibt sich, wenn man die Stichprobe um den Wert 35 vergrößert?

Lösung: a) Stichprobe: 8, 12, 14, 22, 25, 25, 30 (n=7)

p=0,25: u= 1+(n-1)p=2,5; [u]=2, v=0,5 x0,25= 0,5x(2)+0,5x(3)=13; p=0,5: u= 4; [u]=4, v=0 x0,5= 1x(4)+0x(5)=22; p=0,75: u= 5,5; [u]=5, v=0,5 x0,75= 0,5x(5)+0,5x(6)=25.

b) Stichprobe: 8, 12, 14, 22, 25, 25, 30, 35 (n=8) p=0,25: u= 1+(n-1)p=2,75; [u]=2, v=0,75 x0,25= 0,25x(2)+0,75x(3)=13,5; p=0,5: u= 4,5; [u]=4, v=0,5 x0,5= 0,5x(4)+0,5x(5)=23,5; p=0,75: u= 6,25; [u]=6, v=0,25 x0,75= 0,75x(6)+0,25x(7)=26,25.

Man beachte: Es gibt mehrere Definitionen für die Quantile; sowohl Excel als auch z.B. SPSS verwenden andere Definitionen! Die speziellen Quantile für p = 25%, 50% und 75% heißen auch unteres Quartil, Median bzw. oberes Quartil. Beispiel 3.5: a) Man stelle die Variation der Blutgerinnungswerte von

Beispiel 3.2 durch ein Boxplot dar. Lösung: n= 30; p=0,25: u= 1+(n-1)p=8,25; [u]=8, v=0,25 x0,25= 0,75x(8)+0,25x(9)=26,6; p=0,5: u= 15,5; [u]=15, v=0,5 x0,5= 0,5x(15)+0,5x(16)=28,05; p=0,75: u= 22,75; [u]=22, v=0,75 x0,75= 0,25x(22)+0,75x(23)=29,75.

IQR = x075 - x0,25 = 3,15.

Whisker-Längen = 1,5 × IQR = 4,725. 332523 27 29 31 35

x0.5 x0.75x0.25

X

IQR

21

1.5 x IQR 1.5 x IQR

)1]([])([)1( ++−= uup vxxvx


46

b) Man zeige: Für ein N(µ, σ2)-verteilte Zufallsvariable X ist P= P(x0.25 –1,5IQR <X< x0.75 +1,5IQR) ≈ 99,3%, d.h. jenseits der "Whisker-Enden" liegende Werte sind unwahrscheinlich und daher "ausreißerverdächtig". Lösung: x0,75=µ+z0,75σ ; x0,25=µ+z0,25σ = µ-z0,75σ IQR=x0,75–x0,25 = 2z0,75σ x0.75+1,5IQR=µ+4z0,75σ ; x0.25–1,5IQR=µ−4z0,75σ P= P((x0.25 -1,5IQR–µ)/σ <(X-µ)/σ < (x0.75+1,5IQR-µ)/σ)= P(−4z0,75 <(X-µ)/σ <4z0,75); z0,75= (Tabelle)=0,675 P=P(-2,7< (X-µ)/σ <2,7) = Φ(2,7)-Φ(-2,7) = 2Φ(2,7)-1=(Tabelle)=2⋅0,9965-1=0,993.

Wie beschreibt man die Asymmetrie einer Häufigkeitsverteilung? Maß für die Asymmetrie: Schiefe g Das Maß für die Asymmetrie heißt Schiefe. Beispiel 3.6: Man berechne die Schiefe der Häufigkeitsverteilung von X (Anzahl der Zähne des größten Grundblattes) mit den Daten von Beispiel 3.1. Lösung (Wiedergabe der Berechnung mit Excel):

( ) ( ) ,/11

Schiefe3

13 ∑

=

−=−

=n

iixxx

xxx xxSnsn

Sg

X H X*H H*(X-m) 2̂ H*(X-m) 3̂0 5 0 32,513 -82,9071 3 3 7,208 -11,1722 10 20 3,025 -1,6643 13 39 2,633 1,1854 6 24 12,615 18,2925 2 10 12,005 29,4126 1 6 11,903 41,064

Summe 40 102,0 81,900 -5,790

Mittelwert m= 2,55Standardsabw. s = 1,4491

Schiefe g = -0,0494


47

Hinweis: Die folgende Grafik zeigt die beiden grundsätzlich möglichen Asymmetrietypen. Für symmetrische Verteilungen ist die Schiefe null. Was versteht man unter einer zentrierten Stichprobe, was unter einer standardisierten Stichprobe? 3.2 ERMITTLUNG VON SCHÄTZWERTEN FÜR VERTEILUNGS-

PARAMETER Wie schätzt man den Mittelwert µ einer N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen X? Zur Schätzung von Verteilungsparametern werden Schätzfunktionen verwendet. Es sei X1, X2, ..., Xn eine Zufallsstichprobe, in der die Variablen Xi (i = 1, 2, …, n) die Ergebnisse von n Beobachtungen ausdrücken. Die Schätzung des Mittelwerts einer normalverteilten Zufallsvariablen erfolgt mit Hilfe des Stichprobenmittels:

sieren)(Standardi

n)(Zentriere

sxXZX

xXZX

S

c

−=→

−=→

( )nXXXn

X +++= L21

1


48

Es gilt:

(ab n = 30, Zentraler Grenzwertsatz) Beispiel 3.7:

Es seien X eine 2-wertige Zufallsvariable mit P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 – p und X1, X2, ..., Xn eine Zufallsstichprobe von X. Dann gilt für jedes Xi: E[Xi] = p, Var[Xi] = p(1-p). Für große n gilt darüber hinaus die Approximation ( X = Anteil der Wiederholungen mit Xi = 1):

Wie schätzt man die Varianz einer N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen X? Zufallsstichprobe X1, X2, ... , Xn Stichprobenvarianz:

d.h. (n-1)S2/σ2 folgt einer Chiquadratverteilung mit f = n - 1 Freiheitsgraden.

)/,(),( 22 nNXNX i σµσµ ∝⇒∝

nnNX

nXVarXE

XVarXE ii

großesfür )/,( und

/][ ,][

][ und ][

2

2

2

σµ

σµ

σµ

∝

==⇒

==

( )

−

∝+++=npppNXXX

nX n

)1(,121 L

( ) ( ) ( )[ ]2

12

2

222

21

2

)1(1

1

−∝−

−++−+−−

=

n

n

Sn

XXXXXXn

S

χσ

L

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

0 1 2 3X

Dic

hte

f=1

f=3 f=5

Dichtekurven der χ2-Verteilung


49

3.3 EIN WENIG THEORIE Wie Eigenschaften sollen Schätzfunktionen haben? Schätz(Stichproben)funktion für den Verteilungsparameter π: Beurteilung der Güte von Schätzfunktionen durch mittleren quadratischen Fehler: d.h. MSE = Varianz der Schätzfunktion + Quadrat der Verzerrung (Bias) Forderungen an "gute" Schätzfunktionen:

1. Für n ∞ sollen Schätzwerte mit wachsender Wahrscheinlichkeit um π konzentriert sein; dies trifft zu, wenn die Schätzfunktion unverzerrt (erwartungstreu) ist .

2. Varianz soll für n ∞ gegen Null streben. Beispiel 3.8:

• Das Stichprobenmittel ( ) nXXXX nn /ˆ 21 +++== Kπ ist eine erwartungstreue Schätzfunktion für µ, d.h. 0][ =⇒= BiasXE µ .

Überdies gilt: 0/][ 2 →= ∞→nnXVar σ .

• Die Stichprobenvarianz ( ) )1/(ˆ1

22 −−== ∑=

nXXSn

iinπ ist eine

erwartungstreue Schätzfunktion für σ2, d.h. 0][ 22 =⇒= BiasSE σ .

Überdies gilt: 0 )1/(2][ n42 →−= ∞→nSVar σ .

Dagegen ist S ist keine erwartungstreue Schätzfunktion für σ. Es gilt nämlich:

Γ bezeichnet die Gamma-Funktion mit der Eigenschaft Γ(x+1) = x Γ(x) für alle x>0. Speziell ist Γ(1)=1 und Γ(1/2)=√π. Z.B.

),,,(ˆˆ 21 nnn XXX Kππ =

( )22 ]ˆ[]ˆ[])ˆ[( πππππ −+=−= nnn EVarEMSE

[ ] 1

21

21

2mit <

−

Γ

Γ

−==

n

n

nkkSE nnσ


50

ergibt sich damit für n=5: k5 = (1/√2 )Γ(5/2)/Γ(2) = (1/√2 )⋅1⋅(3/2)(1/2) √π = 0,94.

Wie kommt man zu guten Schätzfunktionen? Es seien:

• X eine (diskrete) Zufallsvariable mit der von dem zu schätzenden Parameter π abhängigen Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x|π)

• x1, x2, ... , xn eine Zufallsstichprobe von X Wir bilden die so genannte Likelihood-Funktion: Die Likelihood-Funktion ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X die Realisationen x1, x2,..., xn annimmt, wenn π~ der Schätzwert für π ist. Der Maximum Likelihood - Schätzer (kurz ML-Schätzer) für π ist jenes π~ , für das die Likelihood - Funktion den größten Wert annimmt, d.h. die Maximumstelle von L. Beispiel 3.9: X ~ N(µ, σ2) µ unbekannt (σ2 bekannt): Hinweise: • Bei stetigen Zufallsvariablen tritt an die Stelle der

Wahrscheinlichkeitsfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichte. • Die ML-Schätzung des Mittelwertes ist gleichwertig mit der

sogenannten Kleinsten Quadrat-Schätzung (LS-Schätzung: "optimaler" Schätzwert ist jener, der die Summe der Quadrate der Abweichungen der Beobachtungswerte vom Schätzwert minimiert)

( ) ∏=

==n

iin xfxxxL

121 )~|(,,,|~ πππ K

( )

xLdd

xnnxxxL

n

ii

n

=⇒=

−−−−=

=

∑=

µµ

σµσπ

µµ

~0ln~

/~21ln

2)2ln(

2

),,,|~(ln

1

222

21 K


51

3.4 INTERVALLSCHÄTZUNG Was sind und wie berechnet man Konfidenzintervalle? Wir bezeichnen als Konfidenzintervall für einen unbekannten Parameter π einer Verteilung das Intervall [U, O] der Zahlengeraden, das den Parameter π mit einer vorgegebenen hohen Wahrscheinlichkeit 1-α einschließt, d.h., P(U ≤ π ≤ O) = 1-α. Zusätzlich geben wir die Symmetrieforderung vor: P(U > π) = P(O < π) = α/2 Wie berechnet man ein (1-α)-Konfidenzintervall für die Varianz einer N(µ, σ2)- verteilten Zufallsvariablen? Beispiel 3.10: Es sei X normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2. Von einer Stichprobe sei bekannt: n =30, s2 = 7.93. Man bestimme ein 95%iges Konfidenzintervall (CI) für σ.

Lösung: χ2

29,0.975= (Tabelle)=45,72; χ229,0.025= (Tabelle)=16,05

95%-CI für σ2: [5,03; 14,33] 95%-CI für σ: [2,24; 3,79].

Wie berechnet man ein (1-α)-Konfidenzintervall für den Mittelwert einer N(µ, σ2)- verteilten Zufallsvariablen? Es ist d die halbe Intervallbreite und tn-1,1-α/2 das (1-α/2)-Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden.

−−

−−−2

2/,1

2

22/1,1

2 )1(,)1(

αα χχ nn

SnSn

[ ]nStddXdX n 2/1,1mit , α−−=+−


52

Dichtekurven der t-Verteilung: Beispiel 3.11: Es sei X normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2. Für den Mittelwert und die Standardabweichung von X wurden mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang n=20 die Schätzwerte 25 bzw. 5 bestimmt. Man bestimme zum Niveau 1-α =0.95 ein Konfidenzintervall (CI) für den Mittelwert von X.

Lösung: t19,0.975= (Tabelle)= 2,093; s/√n=1,118; d=2,34 95%-CI für µ: 25 ± 2.34.

Hinweis: Für „große“ Stichproben gilt die Approximation (z1-α/2 = (1-α/2 )-Quantil der N(0,1)-Verteilung): Folgerung: Faustformel für den Mindeststichprobenumfang zur Schätzung eines Mittelwerts mit der vorgegebenen Genauigkeit ±d und der vorgegebenen Sicherheit 1-α : Beispiel 3.12: Der Mittelwert µ einer N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen soll mit einer Genauigkeit von ±0,25 und einer Sicherheit von 99% bestimmt werden. Von einer Voruntersuchung sei bekannt, dass σ ≤ 1,5 ist. Wie groß ist n zu planen?

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-3 -2 -1 0 1 2 3X

Dic

hte

N(0,1)t5

t1

[ ]nSzddXdX 2/1mit , α−=+−

22/1

≈ −

dzn σα


53

Lösung: α=0,01 1-α/2=0,995 z0,995=(Tabelle)=2,58; d=0,25; σ=1,5 n≈ 239,63 ≈ 240.

Wie berechnet man ein (1-α)-Konfidenzintervall für den Parameter p (Wahrscheinlichhkeit) einer Zweipunktverteilung? Es sei X eine zweistufig skalierte Zufallsvariable mit den Werten 1 und 0, p = P(X =1) bzw. q = 1-p = P(X=0) die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Werte angenommen werden. Ferner seien x1, x2, ..., xn eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, m die Anzahl der Wiederholungen mit xi = 1 und h = m/n der Anteil der Wiederholungen mit xi = 1. Dann sind die untere und obere Grenze pu bzw. po eines (1-α) - Konfidenzintervalls für p gegeben durch (exaktes Pearson/Clopper – Intervall): Die Größen Ff1, f2, α/2 und Ff1, f2, 1-α/2 sind das α/2- bzw. (1-α/2)-Quantil der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden f1 und f2; Hinweis: Man beachte, dass Ff1, f2, α = 1/ Ff2, f1, 1-α gilt.

2/1),(2),1(2

2/1),(2),1(2

2/),1(2,2

2/),1(2,2

)1()1(

1

α

α

α

α

−−+

−−+

+−

+−

++−

+=

++−=

mnm

mnmo

mnm

mnmu

FmmnFm

p

mFmnmF

p

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3X

Dic

hte

F10,40

F5,2

Dichtekurven der F-Verteilung


54

Beispiel 3.13: Es soll die Erfolgsrate p einer neuen Behandlungsmethode, also die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer mit der neuen Methode behandelten Person eine Verbesserung eintritt, geschätzt und ein 95%iges Konfidenzintervall für p bestimmt werden. In einer Studie mit n=50 Probanden erwies sich die neue Methode bei m=35 Personen erfolgreich.

Lösung: Schätzwert für p=35/50=0,7; Berechnung von pu: F70,32,0.025= 1/ F32,70,0.975 ≈ 1/F30,70,0.975 = (Tabelle, Interpolation) = 1/1,785=0,56; pu=0,551; Berechnung von po: F72,30,0.975 ≈ F60,30,0.975 = (Tabelle) = 1,94; po=0,823; die mit den exakten Tabellenwerten berechneten Intervallgrenzen sind 0,554 bzw. 0,821.

Man beachte: Bei großem n (n >20 und 10 ≤ m ≤ n-10) verwendet man in guter Näherung das approximative (1-α)-Konfidenzintervall für p: Folgerung: Aus dem approximativen Intervall ergibt sich eine grobe Faustformel für den Mindeststichprobenumfang zur Schätzung einer Wahrscheinlichkeit mit der vorgegebenen Genauigkeit ±d und der vorgegebenen Sicherheit 1-α: Beispiel 3.14: Die Keimfähigkeit p von Blumenzwiebeln (d.h. die Wahrschein-lichkeit, dass ein ausgesetzter Zwiebel keimt) soll in einem Feldversuch mit der Genauigkeit ±0,1 und der Sicherheit 1-α= 0,95 geschätzt werden. Welcher Stichprobenumfang ist zu planen?

Lösung: d=0,1; α=0,05; 1-α/2=0,975; z0,975=1,96 (Faustformel) n ≈ 96,04 ≈ 97.

Wie berechnet man ein (1-α)-Konfidenzintervall für den Parameter λ der Poisson-Verteilung? Es seien X eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit dem Parameter λ, d.h. X ∼ Pλ und x = 0, 1, 2,… die Realisierungen von X.

[ ]nhhzddhdh )1(mit , 2/1

−=+− −α

22/1

2

≈ −

dzn α


55

Dann gilt: Ein 2-seitiges (1-α)-Konfidenzintervall λu ≤ λ ≤ λo für λ ist ein

Intervall mit der Eigenschaft P(λu ≤ λ ≤ λo) = 1-α; die Intervallgrenzen sind: 1-seitige (1-α)-Konfidenzintervalle für λ sind Intervalle der Form

λ ≤ λo bzw. λ ≥ λu mit der Eigenschaft P(λ ≤ λo) = P(λ ≥ λu) = 1-α; λo und λu heißen obere bzw. untere Vertrauensschranke für λ zur Sicherheit 1-α und sind zu berechnen aus:

Beispiel 3.15: Nach der ISO-Norm 13408-1 soll in einer Anlage zur aseptischen Abfüllung bei der Prozessüberprüfung mit nicht weniger als 3000 Einheiten der Ausschussanteil von 0,1% nicht überschritten werden (Media fill-Forderung). Bei einem Prüflauf mit 3000 Einheiten wurde eine kontaminierte Einheit festgestellt. Ist die Media fill-Forderung erfüllt, wenn bei der Schätzung der Ausschussquote der ungünstigste Wert (d.h. die zu einer vorgegebenen Sicherheit von 95% berechnete obere Vertrauensschranke) angenommen wird?

Lösung: Es sei X die Anzahl der Einheiten, die von den insgesamt n=3000 abgefüllten Einheiten kontaminiert sind. Approximativ gilt: X ∼ Pλ mit λ = np (p ist der Ausschussanteil, d.h. die Kontaminierungsrate). Von X liegt die Realisierung x=1 vor. Zu berechnen ist die 95%ige obere Vertrauensschranke λo für λ. Mit 2x+2 = 4 und 1-α = 0,95 ist χ2

2x+2,1-α = χ24, 0.95 = 9,488 λo = χ2

4, 0.95/2 = 4,744. Division durch n ergibt den Schätzwert p̂ = λo/n = 0,158% > 0,1%. Die Media Fill-Forderung ist daher nicht erfüllt.

22/1,22

22/,2 2

1 und 21

αα χλχλ −+== xoxu

2,2

21,22 2

1 bzw. 21

αα χλχλ xuxo == −+


56

3.5 EXKURS: STATISTISCHE PROZESSREGELUNG In der statistischen Prozesslenkung (SPC Statistical Process Controll) erfolgt eine laufende Überwachung eines Fertigungsprozesses hinsichtlich eines Qualitätsmerkmals X. Zu diesem Zweck werden regelmäßig Stichproben aus dem Prozesses entnommen und mit Hilfe von Kennzahlen beurteilt, ob eine „Störung“ des Prozess vorliegt. Zur Dokumentation des Prozessverlaufs werden sogenannte Qualitätsregelkarten verwendet. Wir betrachten den Einsatz von Qualitätsregelkarten zur Klärung der Frage, ob ein Prozess „beherrscht“ ist. Für einen beherrschten Prozess bleibt die Verteilung des Qualitätsmerkmals X im Laufe des Prozesses unverändert. Wenn X – wie wir annehmen wollen - normalverteilt ist, bedeutet dies, dass die Werte von X mit einer festen Fehlervarianz σ2 zufällig um einen festen Mittelwert (dem Fertigungsmittelwert) µ streuen. Große oder systematische in eine Richtung gehende Abweichungen vom Mittelwert deuten eine (unerwünschte) Änderung des Mittelwertes und/oder der Standardabweichung an, die z.B. durch Störungen in der Fertigungsanlage bedingt sein können. Zur Überwachung des Mittelwerts µ findet die x -Karte, zur Überwachung der Standardabweichung σ die s-Karte Anwendung. Mit diesen Karten wird grundsätzlich nach folgendem Schema gearbeitet:

• Man entnimmt zum Zeitpunkt t1 eine Zufallstichprobe vom Umfang n (z.B. n=5) und bestimmt damit den Stichprobenmittelwert 1x bzw. die Standardabweichung s1.

• Liegt der Stichprobenmittelwert 1x (die Standardabweichung s1 ) außerhalb des mit der unteren und oberen Eingriffsgrenze gebildeten Intervalls [UEG, OEG], wird der Prozessverlauf als gestört angesehen und eingegriffen.

• Liegt der Stichprobenmittelwert 1x (die Standardabweichung s1 ) im Intervall [UEG, OEG], wird der Prozessverlauf als ungestört interpretiert und die Überwachung mit der Entnahme einer neuerlichen Stichprobe zum Zeitpunkt t2 fortgesetzt.

Zusätzlich zur unteren und oberen Eingriffgrenze enthalten die x - und s-Karte auch noch eine untere und eine obere Warngrenze (UWG, OWG). Ein x - oder s- Wert außerhalb der Warngrenzen (aber noch innerhalb der Eingriffsgrenzen) ist im Allgemeinen Anlass zu erhöhter Aufmerksamkeit, die sich z.B. in einer Verkürzung der Zeitpunkte zwischen den Stichprobenentnahmen ausdrückt.


57

Die Eingriffsgrenzen der Mittelwertkarte ( x -Karte) werden aus der Forderung P( X < UEG) = P( X > OEG) = 0,5% bestimmt; daraus ergibt sich analog werden die Warngrenzen aus der Forderung P( X < UWG) = P( X > OWG) = 2,5%, d.h. In diesen Formeln sind µ̂ und σ̂ Schätzwerte für den Fertigungsmittel-wert µ und die Fertigungsstreuung σ, die im Allgemeinen aus einem Vorlauf mit einer großen Anzahl von Stichprobenwerten bestimmt werden. Zu diesem Zweck werden Zu diesem Zweck werden dem Fertigungsprozess in 20 bis 30 aufeinanderfolgenden Zeitpunkten Stichproben (jeweils vom Umfang n) entnommen. Den Schätzwert µ̂ gewinnt man durch Mittelung der Stichprobenmittelwerte über die Erhebungszeitpunkte; analog wird σ2 durch den Mittelwert der Stich-probenvarianzen geschätzt, die Quadratwurzel dieses Mittelwerts ist schließlich der gesuchte Schätzwert σ̂ für σ. Neben den Eingriffs- und Warngrenzen ist in der x -Karte auch der Schätzwert µ̂ für den Fertigungsmittelwert (als Mittellinie MLµ = µ̂ parallel zur Zeitachse) eingezeichnet. Die Eingriffsgrenzen der s-Karte werden aus der Forderung P(S2 < UEG2) = P(S2 > OEG2) = 0,5% bestimmt; daraus ergibt sich analog werden die Warngrenzen aus der Forderung Forderung P(S2 < UWG2) = P(S2 > OWG2) = 2,5% bestimmt, d.h.

;/ˆˆO ,/ˆˆ 995,0995,0 nzEGnzUEG σµσµ +=−=

./ˆˆOW ,/ˆˆ 975,0975,0 nzGnzUWG σµσµ +=−=

.1

ˆ , 1

ˆ2

995.0,12

005.0,1

−=

−= −−

nOEG

nUEG nn χ

σχ

σ

.1

ˆ , 1

ˆ2

975.0,12

025.0,1

−=

−= −−

nOWG

nUWG nn χ

σχ

σ


58

Für die Mittellinie der s-Karte ergibt sich die Lage Beispiel 3.16: Zur Erstellung einer x - und s-Karte zur Überwachung des Fertigungsmittelwerts bzw. der Streuung des Durchmessers eines Produktes (Nennmaß 4,5mm) werden aus einem Vorlauf 20 Stichproben vom Umfang n=5 in aufeinanderfolgenden Zeitpunkten der Fertigung entnommen und die gemessenen Durchmesser zusammen mit den Mittelwerten und Varianzen dokumentiert. Daten: Lösung: Die Mittelwerte und Varianzen der zu den vorgegebenen Zeitpunkten entnommenen Zufallsstichproben sind bereits der Datenmatrix beigefügt, ebenso der Gesamtmittelwert 4,457 (Mittelwert der Einzelmittelwerte) und die Gesamtvarianz 0,0644 (Mittelwert der Einzelvarianzen); die entsprechende Gesamt-Standardabweichung ist 0,2538. Bestimmung der Mittelwertkarte: ML = 4,457; z0,995 = 2,576; UEG = 4,457– 2,576×0,2538/√5 = 4,165; OEG = 4,749; z0,975 = 1,960; UWG = 4,457– 1,96×0,2538/√5 = 4,235; OWG = 4,680.

.

21

21

2mit ˆ][

−

Γ

Γ

−===

n

n

nkkSEML nns σ

Zeitpunkt Proben-Durchmesser Mittelwert Varianz 1 4,46 4,50 4,59 4,35 4,65 4,510 0,01362 4,91 4,32 4,39 4,59 4,88 4,618 0,07393 5,36 4,32 5,34 4,47 4,64 4,826 0,24174 4,97 5,00 4,24 4,92 4,95 4,816 0,10455 4,50 4,69 4,45 4,34 4,42 4,480 0,01726 4,20 4,35 4,44 3,98 4,56 4,306 0,05057 4,61 4,44 4,58 4,31 4,17 4,422 0,03428 4,45 4,38 4,55 4,39 4,24 4,402 0,01289 4,18 4,43 4,72 4,44 4,20 4,394 0,0483

10 4,45 4,37 4,30 3,51 4,31 4,188 0,147211 3,96 4,69 4,20 4,01 3,91 4,154 0,101812 4,52 4,21 4,58 4,33 4,84 4,496 0,058813 4,77 4,50 4,35 4,51 4,27 4,480 0,036614 4,30 4,37 4,51 4,60 4,27 4,410 0,019815 4,31 4,29 4,10 4,18 4,24 4,224 0,007316 4,26 4,65 4,54 4,88 4,68 4,602 0,051617 4,17 4,22 4,62 4,22 4,59 4,364 0,048918 4,76 4,31 4,08 4,17 4,63 4,390 0,086419 4,82 4,76 4,49 4,10 4,72 4,578 0,087020 4,52 4,82 4,42 4,40 4,24 4,480 0,0462

4,457 0,0644


59

Bestimmung der s-Karte: k5 = (1/√2 )Γ(5/2)/Γ(2) = (1/√2 )⋅ (3/2)(√π)/2 = 0,940; ML = 0,940×0,2538 = 0,2386; χ2

4,0.005 = 0,207; χ24,0.995 = 14,86; UEG = 0,2538 √(0,207/4) = 0,0577; OEG = 4892;

χ24,0.025 = 0,4844; χ2

4,0.975 = 11,143; UWG = 0,2538 √(0,0,4844/4) = 0,0883; OWG = 4236; Interpretation: In der Mittelwertkarte werden die Eingriffsgrenzen zu zwei Zeitpunkten über- bzw. unterschritten. In diesen Fällen nimmt man an, dass diese Werte nicht mehr als zufällig zu betrachten sind, d.h. auf eine systematische Änderung des Fertigungsmittelwertes hinweisen; der Vorlauf wäre abzubrechen und die ursprüngliche Lage des Mittelwertes herzustellen. Wirken nur noch zufällige Ursachen, heißt der Prozess stabil. Analog wird bei Über-/Unterschreitung der Eingriffsgrenzen in der s-Karte angenommen, dass eine systematische Veränderung der Fertigungsstreuung stattgefunden hat. Die s-Karte gibt ferner über die Größe der Streuung Auskunft Ist die Streuung zu groß, wird der Prozess als „nicht fähig“ bezeichnet; zur Beurteilung der Prozessfähigkeit existieren eigene Kennwerte.

4,000

4,200

4,400

4,600

4,800

5,000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

OEG

UEG

UWG

OWG

ML

0

0,2

0,4

0,6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

ML

OEG

OWG

UWG

UEG


60

Einfache Übungsbeispiele: 1. Die nachfolgende Tabelle enthält die Gesamtzahl der bis zum Aussterben

abgelegten Puparien für 40 (mit jeweils 15 geschlüpften Weibchen gebildete) Kohorten von Tsetsefliegen (Glossina p. palpalis). Man stelle die Verteilung der Merkmalswerte durch eine Häufigkeitstabelle und ein Histogramm dar. Ferner bestimme man das arithmetische Mittel und die Standardabweichung sowie den Median und die Quartile. (Mittelwert/Standardabw./Median/Quartile: 60.38, 9.87, 60, 53, 68)

55 79 55 61

55 55 40 72

69545148

53614462

50717251

63865257

73746266

62556372

52536559

53696754

2. Nach einer Kfz-Unfallstatistik ist die Anzahl X der Unfälle pro Versicherten

innerhalb von 20 Jahren wie folgt verteilt:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-20 rel.Häufigk.% 10 20 15 10 8 7 6 5 4 3 2 je 1

Welcher Prozentsatz der Fahrer hat eine über dem arithmetischen Mittelwert (über dem Median) von X liegende Unfallzahl?

3. Man vergleiche die durch die folgenden Stichproben gegebene Variation von X (Spaltöffnungslänge in µm) bei diploiden und tetraploiden Biscutella laevigata mit Hilfe der entsprechenden Box-Plots. (Median/Quartile 25, 23, 26; 30, 28, 32)

diploid 27, 25, 23, 27, 23, 25, 25, 22, 25, 23, 26, 23, 24, 26, 26

tetraploid 28, 30, 32, 29, 28, 33, 32, 28, 30, 31, 31, 34, 27, 29, 30

4. Die Messung der Ozonkonzentration während der Sommermonate ergab für eine

Großstadt die in der folgenden Tabelle enthaltenen Werte (Angaben in 10-2 ppm). Man stelle die Verteilung der Ozonkonzentration dar (tabellarisch, grafisch) und berechne den Mittelwert, die Standardabweichung, den Median und die Quartile. (5.21, 1.85, 5.4, 4.1, 6.5)

3.6 1.5 6.6 6.0 4.2

6.7 2.5 5.4 4.5 5.4

2.5 3.0 5.6 4.7 6.5

6.71.75.34.67.4

5.44.15.15.65.4

6.17.66.26.05.5

5.88.23.15.82.6

9.53.48.87.31.3

6.93.24.73.85.9

6.64.45.74.57.7

5. Man nehme eine geeignete Klassenbildung vor und stelle die Verteilung von X

(größte Grundblattlänge von Biscutella laevigata in mm) tabellarisch und graphisch dar. Zusätzlich bestimme man das arithmetische Mittel, den Median und die Varianz aus den klassierten Daten und vergleiche die erhaltenen


61

Ergebnisse mit den direkt aus der Beobachtungsreihe berechneten Kenngrößenwerten. (exakte Werte: 69.13, 28.86, 65)

50 48 75 90

65 50 64 91

32 26 48 52

77 8412580

65629572

85137 5167

36367824

63703958

97486670

140 63138 48

6. Die Sprosshöhe X einer Pflanze sei N(µ, σ2)-verteilt. a) Aus einer Stichprobe vom

Umfang n=25 ergibt sich die Stichprobenvarianz s2=7714. Man gebe ein Konfidenzintervall zum Niveau 1-α=0.95 für σ an. b) Für den Mittelwert und die Standardabweichung von X wurden mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang n=40 die Schätzwerte 296 und 105 für den Mittelwert bzw, die Standardabweichung bestimmt. Man bestimme zum Niveau 1-α=0.95 ein Konfidenzintervall für den Mittelwert von X. ([68.6, 122.2]; [262.4, 329.6])

7. Im folgenden wird X als N(µ, σ2)-verteilt vorausgesetzt. Welcher

Stichprobenumfang ist jeweils zu planen? a) Der mittlere Glykoalkaloidgehalt X (in mg/100 mg Frischgewicht) einer

Kartoffelsorte soll mit einer Genauigkeit von ± 0.4 bei einer Sicherheit von 99% bestimmt werden. Von einer Voruntersuchung sei bekannt, dass σ ≤ 2 ist.

b) Das Normgewicht von 10-jährigen Knaben soll auf ± 0.5 kg genau mit einer Sicherheit von 95% bestimmt werden. Für die Standardabweichung möge die Abschätzung σ ≤ 2.5 kg zutreffen. (167; 96)

8. Für den Mittelwert und die Varianz von einer als normalverteilt angenommenen Variablen X wurden mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang n=15 die Werte 40 bzw. 10 bestimmt. Man bestimme ein 95%- Konfidenzintervall für den Mittelwert von X. Um wie viel % größer ist die Intervalllänge eines 99%igen Konfidenzintervalls? ([38.25, 41.75]; [37.57, 42.43]; 38.8%)

9. Die Masse X (in mg) einer Substanz in einem Präparat soll absolut auf +/-0,5

genau mit einer Sicherheit von 95% bestimmt werden. Für die Standardabweichung möge die Abschätzung s≤2 zutreffen. Wie viele Proben müssen untersucht werden, wenn X als normalverteilt vorausgesetzt werden kann? (62)

10. Von einer Messstelle wurden die folgenden Werte der Variablen X (SO2-

Konzentration der Luft in mg/m3) gemeldet: 29, 110, 47, 35, 65, 69, 9, 10. Man bestimme ein 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert und die Standardabweichung von X. ([18.39, 75.11]; [22.43, 69.05])

11. In einer Studie wurden 33 Personen mit einem Präparat behandelt. Der

Behandlungserfolg wurde auf einer 2-stufigen Skala mit den Skalenwerten "Verbesserung" und "keine Verbesserung" dargestellt. Es ergab sich bei 13 Personen eine Verbesserung. Man bestimme ein 95%iges Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit p einer Verbesserung. Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, um die Wahrscheinlichkeit p mit einer Genauigkeit von +/- 0,1 und einer Sicherheit von 95% schätzen zu können? ([0.227, 0.561]; 97)


62

12. In einem Supermarkt wurden 100 Milchpackungen überprüft und dabei festgestellt, dass in 15 Fällen die Milch im Begriffe war, sauer zu werden. Man bestimme ein Konfidenzintervall zum Niveau 1-α=95% für den Anteil der sauren Milchpackungen. ([0.08, 0.22])

13. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Erkrankung soll in einer

Risikogruppe mit einer Sicherheit von 95% und einer vorgegebenen Genauigkeit von ± 0.05 bestimmt werden. Wie viele Probanden benötigt man für die Studie? (385)

14. Von einer Pflanze erhielt Mendel insgesamt 62 Samen, von denen 44 gelb und 18

grün gefärbt waren. Man bestimme ein 95%iges Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass ein gelber Same gebildet wird. Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, um die Wahrscheinlichkeit p mit einer Genauigkeit von +/- 0,05 und einer Sicherheit von 90% schätzen zu können? ([0.597, 0.823]; 271)

Anspruchsvollere Übungsbeispiele: 15. Rutherford und Geiger studierten die Emission von α-Teilchen, indem sie die

Anzahl X der in Zeitintervallen der Länge 7,5s emittierten α-Teilchen zählten. Die Auswertung von 2608 Zeitintervallen ergab die in der folgenden Tabelle zusammengefassten Häufigkeiten H. Unter der Annahme, dass X Poisson-verteilt ist, schätze man den Verteilungsparameter λ und bestimme die erwarteten Häufigkeiten E. (λ = 3.867, E-Werte: siehe Tabelle)

X H E0 57 54.541 203 210.942 383 407.893 525 525.814 532 508.375 408 393.216 273 253.447 139 140.028 45 67.699 27 29.0910 16 11.25

>10 0 5.75

16. An sieben Patienten wurde der systolische Blutdruck im Sitzen (in mm Hg) vor einer Behandlung (Variable Xv) und nachher (Variable Xn) gemessen; es ergaben sich die in der folgenden Tabelle angeführten Werte. Man bestimme den Mittelwert und die Varianz des durch die Differenz Xn - Xv ausgedrückten Behandlungseffektes. Wie hängen diese Statistiken mit den Mittelwerten bzw. Varianzen von Xv und Xn zusammen? (-21, 190)

Xv 175 155 195 173 154 180 178Xn 140 143 157 170 133 150 170


63

17. In einer Studie über die Behandlung von akuten Herzinfarktpatienten wurden 151 Patienten mit Heparain therapiert, von denen 19 innerhalb von 28 Tagen verstarben. Man schätze die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Patient innerhalb von 28 Tagen nach Herzinfarkt stirbt, und bestimme für p ein 95%-Konfidenzintervall. (approx. 0.0729, 0.1787; exakt: 0.0775, 0.1895)

18. Nach der ISO-Norm 13408-1 soll in einer Anlage zur aseptischen Abfüllung

bei der Prozessüberprüfung mit nicht weniger als 3000 Einheiten der Ausschussanteil von 0,1% nicht überschritten werden (Media fill-Forderung). Bei einem Prüflauf mit 10000 Einheiten wurden drei kontaminierte Einheiten festgestellt. Ist die Media fill-Forderung erfüllt, wenn bei der Schätzung der Ausschussquote der ungünstigste Wert (d.h. die zu einer vorgegebenen Sicherheit von 95% berechnete obere Vertrauensschranke) angenommen wird? (0,078% < 0,1%, Forderung erfüllt)

Verständnisfragen über Begriffe und Methoden: 1. Wann ist zur tabellarischen oder grafischen Darstellung der Häufigkeitsverteilung

eines Merkmals X jedenfalls eine Klassenbildung vorzunehmen? Geben Sie an, unter welchen Bedingungen Sie die Häufigkeitsverteilung mit den relativen Klassenhäufigkeiten beschreiben! Wann würde Sie die relativen Klassenhäufigkeitsdichten verwenden? Antwort: Bei einem quantitativen, diskreten Merkmal ist eine Klassenbildung vorzunehmen, wenn es viele verschiedene Merkmalswerte gibt. Bei einem stetigen Merkmal ist jedenfalls eine Klassenbildung vorzunehmen. In beiden Fällen erhält man nur dann Aufschluss über die Verteilung des Merkmals, wenn der Stichprobenumfang nicht zu klein ist (Richtwert: n>15). Eine Darstellung mit relativen Klassenhäufigkeiten erlaubt den Vergleich von Verteilungen bei unterschiedlichen Stichprobenumfängen; die Summe der relativen Klassenhäufigkeiten ist stets 1 (bzw. 100%). Die relative Klassenhäufigkeitsdichte ist so normiert, dass ihre mit der Klassenbreite multiplizierte Summe gleich 1 ergibt. Ein mit der relativen Klassenhäufigkeitsdichte erstelltes Histogramm kann wegen dieser Normierung direkt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte eines theoretischen Verteilungsmodells (z.B. Normalverteilung) verglichen werden. Der Vergleich erlaubt eine Einschätzung, ob die Merkmalsvariation durch ein bestimmtes Verteilungsmodell erfasst werden kann.

2. Unter welcher Bedingung würden Sie zur Beschreibung der Häufigkeitsverteilung

eines Merkmals als Lage- und Streuungsmaß den arithmetischen Mittelwert bzw. die Standardabweichung empfehlen? Welche Alternative dazu gibt es, die zentrale Lage und die „Breite“ der Verteilung zu kennzeichnen? Antwort: Der arithmetische Mittelwert und die Standardabweichung eignen sich als gute Kennwerte zur Beschreibung der zentralen Lage und der Streuung von Merkmalswerten, wenn das Merkmal stetig oder quantitativ-diskret vom Typ eines Zählmerkmals ist und die Häufigkeitsverteilung keine zu „stark“ Asymmetrie erkennen lässt. Bei starker Asymmetrie verwendet man besser den Median, der


64

in diesem Fall besser den „mittleren“ Wert einer Messreihe wiedergibt; das entsprechende Streuungsmaß ist der Interquartilabstand, also die Differenz aus dem oberen Quartil (75%-Quantil) und dem unteren Quartil (25%). Die Asymmetrie einer Häufigkeitsverteilung wird numerische durch die sogenannte Schiefe ausgedrückt; diese besitzt den Wert null für eine symmetrische Verteilung, ist positiv für eine „linkssteile“ Verteilung und negativ für eine „rechtssteile“ Verteilung. Für eine linkssteile Verteilung ist der Median kleiner als der Mittelwert, für eine rechtsteile Verteilung größer; für eine symmetrische Verteilung fallen der Median und der Mittelwert zusammen.

3. Was versteht man unter Zentrieren einer Messreihe, was unter Standardisieren?

Antwort: Unter einer Messreihe versteht man eine Stichprobe, die durch wiederholtes Messen eines metrischen Merkmals X gewonnen wurde. Die Stichprobe heißt „zentriert“, wenn der arithmetische Mittelwert der Stichprobenwerte gleich null ist. Dies erreicht man so, dass von jedem Einzelwert der arithmetische Mittelwert subtrahiert wird. Werden die so gebildeten Abweichungen vom Mittelwert überdies noch durch die Standardabweichung der Messreihe dividiert, erhält man die standardisierten Werte der Messreihe. Eine standardisierte Messreihe hat den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1. Messreihen werden standardisiert, um sie – durch Normierung der zentralen Lage und der Streuung – in anderen Verteilungseigenschaften (z.B. der Asymmetrie) vergleichbar zu machen.

4. Mit welcher Stichprobenfunktion wird der Mittelwert einer N(µ, σ2)-verteilten

Zufallsvariablen X geschätzt? Warum sind Stichprobenmittelwerte „gute“ Schätzwerte? Antwort: Zur Schätzung des Verteilungsparameters µ benötigt man eine Zufallsstichprobe von X, die man durch wiederholtes Messen der Größe X erhält. Wenn wir insgesamt n-mal messen, können die Ergebnisse der Messvorgänge von X durch die Zufallsvariablen Xi (i=1,2,...,n) ausgedrückt werden. In diesem Sinne ist z.B. X1 das Ergebnis des Zufallsexperimentes „1. Messung von X“ usw. Wenn die Messvorgänge knapp hintereinander erfolgen, kann man annehmen, dass sich die Verteilung von X nicht verändert hat, d.h. alle Zufallsvariablen sind - wie X – als normalverteilt mit den Parametern µ und σ2 anzunehmen. Der (arithmetische) Mittelwert X = (X1 + X2 + ... + Xn)/n der Zufallsvariablen X1, X2, ..., Xn ist eine sogenannte Stichprobenfunktion, die als Stichprobenmittel bezeichnet wird; durch die Bezeichnung „Stichprobenfunktion“ wird die Abhängigkeit von den Messergebnissen zum Ausdruck gebracht. Das Stichprobenmittel ist eine „gute“ Schätzfunktion für µ; von einer guten Schätzfunktion für einen Verteilungsparameter erwartet man, dass die Werte der Schätzfunktion mit hoher Wahrscheinlichkeit eng um den zu schätzenden Parameter verteilt sind. Tatsächlich trifft dies auf das Stichprobenmittel in so ferne zu, als man zeigen kann, dass X normalverteilt ist mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung σ/√n, die mit wachsendem n gegen Null strebt. Die Standardabweichung von X heißt Standardfehler von X. Setzt man die konkret gemessenen Werte x1, x2, ..., xn für X1, X2, ... , Xn in das Stichprobenmittel ein, ergibt sich ein Schätzwert x für µ.


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5. Mit welcher Stichprobenfunktion wird die Varianz einer N(µ, σ2)-verteilten

Zufallsvariablen X geschätzt? Antwort: Wie bei der Mittelwertschätzung bezeichnen die Zufallsvariablen X1, X2, ..., Xn die Ergebnisse der n Messungen von X. Bildet man damit die Zufallsvariable

( ) ( ) ( )[ ] )1/(... 22

2

2

12 −−++−+−= nXXXXXXS n erhält man die als

Stichprobenvarianz bezeichnete Schätzfunktion für die Varianz σ2 der normalverteilten Zufallsvariablen X. Die Wurzel aus der Stichprobenvarianz ist die Stichprobenstandardabweichung S. Man kann zeigen, dass der Mittelwert von S2

mit dem zu schätzenden Verteilungsparameter σ2 zusammenfällt und die Varianz von S2 mit wachsendem n gegen null strebt. Durch Einsetzen der konkret gemessenen Werte x1, x2, ..., xn für X1, X2, ... , Xn in die Stichprobenvarianz, erhält man die empirische Varianz s2, die ein Schätzwert für σ2 ist.

6. Wie berechnet man ein 95%iges Konfidenzintervall für den Mittelwert einer

N(µ,σ2)-verteilten Zufallsvariablen? Wie ist das Intervall zu interpretieren? Antwort: Das (1-α)-Konfidenzintervall für den Mittelwert µ einer normalverteilten Zufallsvariablen ist ein symmetrisches Intervall um das Stichprobenmittel X . (Im Falle 1-α=95% spricht man von einem 95%igem Konfidenzintervall.) Die Breite 2d des Intervalls ist ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung; man erwartet, dass das Intervall mit wachsendem Stichprobenumfang kleiner wird; die halbe Breite d des Intervalls ist gleich dem Produkt des Standardfehlers nSSE /= und dem (1-α/2)-Quantil tn-1, 1-α/2 der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden; man beachte beim Standardfehler SE, dass die Standardabweichung σ durch die Stichproben-standardabweichung ersetzt wurde, die eine Zufallsvariable darstellt. Die untere Grenze des (1-α)-Konfidenzintervalls für µ ist UG= X - d, die obere Grenze OG= X + d. Die Grenzen UG und OG sind Stichprobenfunktionen (also Zufallsvariablen) mit der Eigenschaft, dass sie mit der Wahrscheinlichkeit 1-α den Mittelwert µ einschließen. Für eine konkrete Zufallsstichprobe sind die Grenzen feste Zahlenwerte; die Wahrscheinlichkeit, mit diesen Zahlenwerten ein Intervall zu haben, das den Mittelwert µ einschließt, beträgt gerade 1-α.

7. Wodurch erreicht man bei einem Konfidenzintervall für den Mittelwert µ einer

N(µ,σ2)-verteilten Zufallsvariablen eine höhere Genauigkeit (d.h. eine kleinere Intervallbreite)? Antwort: Die halbe Intervallbreite ist verkehrt proportional zu n , d.h. mit wachsendem Umfang der Zufallsstichprobe wird die Genauigkeit größer. Bei größerem n (etwa ab n=20) kann mit für die Praxis ausreichender Näherung das Quantil tn-1, 1-α/2 durch das entsprechende (1-α/2)- Quantil z1-α/2 der Standardnormalverteilung ersetzt werden, so dass ( ) 2/1/ α−= znsd gilt. Durch Auflösen nach n erhält man

die Formel ( )22/1 / dszn α−= , mit der man näherungsweise den erforderlichen


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Mindeststichprobenumfang zur Erreichung einer vorgegebenen Genauigkeit d und einer vorgegebnen Sicherheit 1-α bestimmen kann. Im Besonderen erkennt man nun, dass eine kleines d (hohe Genauigkeit) ein großes n impliziert; in die gleiche Richtung wirkt eine große Sicherheit (kleines α).

8. Mit welcher Stichprobenfunktion wird die Wahrscheinlichkeit p einer

Zweipunktverteilung geschätzt? Wodurch erreicht man eine hohe Genauigkeit der Schätzung? Antwort: Es sei X ein zweistufiges Merkmal und a die interessierende Merkmalsaus-prägung (z.B. Verbesserung nach einer Behandlung). Die Beobachtung dieses Merkmals an n Untersuchungseinheiten möge m Untersuchungseinheiten mit der Ausprägung a (Verbesserung) ergeben. Wiederholt man die Beobachtung von X an n Untersuchungseinheiten, so ergibt sich i. Allg. ein anderer Wert für die absolute Häufigkeit, mit der X den Wert a annimmt. Die absolute Häufigkeit m ist wie die relative Häufigkeit h=m/n eine Stichprobenfunktion. Letztere wird zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit p = P(X=a) verwendet. Für große n (n > 20) und nicht zu große oder kleine Werte von m (10 ≤ m ≤ n-10) ist die relative Häufigkeit h näherungsweise normalverteilt mit dem Mittelwert p und der Standardabweichung npph /)1( −=σ , die durch den Standardfehler

( ) nhhSEh /1−= geschätzt wird. Mit wachsendem n geht hSE gegen null, so dass die Schätzwerte für p (die Werte der Stichprobenfunktion h) bei großem n mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe bei p liegen. Unter den angeführten Voraussetzungen ist die halbe Breite d des (1-α)-Konfidenzintervalles für die Wahrscheinlichkeit p durch hSEzd 2/1 α−= und die Intervallgrenzen durch UG=h-d bzw. OG= h+d gegeben.

9. Wie bestimmt man einen Näherungswert für den Mindestumfang n einer

Stichprobe, mit der eine Wahrscheinlichkeit p so geschätzt werden soll, dass eine vorgegebene Sicherheit 1-α und vorgegebene Genauigkeit d (halbe Breites des (1-α)-Konficenzintervalls) eingehalten wird? Antwort: Die halbe Intervallbreite d des (1-α)-Konfidenzintervalls für p ist durch

nhhzSEzd h /)1(2/12/1 −== −− αα gegeben. Auflösen nach n ergibt wegen

h(1-h)≤ ½ (0 ≤ h ≤ 1) die Abschätzung 2

2

2

2

4)1( 2/12/1

dz

hhdz

n αα −− ≤−= für den

Mindesstichprobenumfang.

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