3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

• 3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen

• 3.2 Die Grundaufgaben: Das 1+1 und 1x1

• 3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen

• 3.4 Die schriftlichen Rechenverfahren

3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

• Die Behandlung des Rechnens erfolgt in der Grundschule in 3 Etappen:

• I. Inhaltliches Verständnis für die Operation sichern

• II.Lösungsverfahren bzw. Lösungsstrategien bewusst machen

• III. Lösungsverfahren bzw. Lösungsstrategien aneignen

3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen

• 3.1.1 Inhaltliches Verstehen von Addition und Subtraktion

• 3.1.2 Inhaltliches Verstehen von Multiplikation und Division

3.1.2 Inhaltliches Verstehen von Multiplikation und Division

• Fachlicher Hintergrund

• Didaktische Modelle

• Methodisches Vorgehen

Fachlicher Hintergrund der Multiplikation

• Die Multiplikation kann auf eine Addition gleicher Summanden zurückgeführt werden:

• Sind M1, M2, M3, ..., Mb paarweise zueinander disjunkte Mengen, die alle dieselbe Kardinalzahl a haben, so ist das Produkt a b gleich der Kardinalzahl der Vereinigungsmenge M1 M2 M3 ... Mb.

• a und b heißen Faktoren. • Mitunter werden auch a als Multiplikand (zu vervielfachende

Zahl) und b als Multiplikator (Vervielfacher) bezeichnet.

Fachlicher Hintergrund der Multiplikation

• Definition der Multiplikation (bzw. des Produkts) mit Hilfe des Kreuzprodukts:

• Das Produkt m n zweier natürlicher Zahlen m und n ist die Kardinalzahl des Kreuzprodukts (A B) von zwei Mengen A und B mit den Kardinalzahlen m und n.

• m n = card (A B), falls card A = m und card B = n.

Fachlicher Hintergrund der Multiplikation

• Multiplikation und Division am Zahlenstrahl:

• Multiplikationsaufgaben kann man durch wiederholtes Aneinandersetzen von Pfeilen gleicher Länge am Zahlenstrahl lösen.

• 3 Pfeile der Länge 4 werden aneinandergesetzt:

12840

Grundmodelle zur Multiplikation

• Mengenvereinigung

• Kartesisches Produkt

Mengenvereinigung

• Die Mengenvereinigung bildet das wichtigste Grundmodell zur Einführung der Multiplikation

• Von der anschaulichen Mengenvereinigung aus führt über die Anzahlbestimmung der Vereinigungsmenge ein direkter Weg zur Deutung der Multiplikation als wiederholte Addition gleicher Summanden

Mengenvereinigung

Dynamische Situation

Mengenvereinigung

Statische Situation

Mengenvereinigung

• Zwei verschiedene Teilaspekte beim Weg über die Mengenvereinigung:

• zeitlich-sukzessiver Aspekt (dynamisch)

• räumlich-simultaner Aspekt (statisch)

Mengenvereinigung

• Zeitlich-sukzessiver Aspekt:

• Die Gesamtmenge entsteht Schritt für Schritt durch mehrmalige Wiederholung des gleichen Vorgangs.

• Bei Beispielen dieser Art wird durch Handlungen (bzw. durch vorgestellte Handlungen) an die Multiplikation herangeführt.

• Die dynamische Komponente der Multiplikation wird betont.

Mengenvereinigung

• räumlich-simultaner Aspekt:

• Es wird keine Handlung (mehr) durchgeführt.

• Die Vereinigungsmenge liegt von Anfang an schon vollständig vor.

• Die statische Komponente der Multiplikation wird betont.

Kartesisches Produkt

• Kartesisches Produkt:

• Alle möglichen Kombinationen (das Kreuzprodukt) zwischen den Elementen zweier Mengen werden bestimmt.

• Wird auch als kombinatorischer Aspekt der Multiplikation bezeichnet.

• Die Einführung der Multiplikation über diesen Weg ist nicht sinnvoll.

Kartesisches Produkt

Kartesisches Produkt

• Nachteile des Weges über das Kartesische Produkt:• Das gesamte Kartesische Produkt kann nicht auf einmal mit

material gelegt werden.• Veranschaulichungen durch Strichdiagramme sind kompliziert.• Kinder besitzen weniger Erfahrungen als mit der

Mengenvereinigung• geringerer (einseitiger) Anwendungsbezug• Zurückführen auf einfachere Additionsaufgaben ist schwierig.• Beziehungen zwischen Multiplikation und Division als

Umkehroperation leuchten bei der Mengenvereinigung besser ein.

Grundmodelle zur Multiplikation

• Weitere multiplikative Kontextaufgaben:• Multiplikativer Vergleich

• Multiplikatives Ändern

• Proportionalität

• Verkettung von Vervielfältigungsoperatoren

• Formelhafte Multiplikation von Größen

Multiplikativer Vergleich

• Katja hat 6€ gespart. Ihre große Schwester hat schon 5mal so viel Geld in ihrer Spardose. Wie viel Geld hat ihre große Schwester?

Multiplikatives Ändern

• Eine Lotterie lockt mit folgendem Versprechen: Im Fall eines Gewinns verdreifacht sich ihr Einsatz. Wie hoch ist die Auszahlung bei einem Einsatz von 10€?

Proportionalität

• In einer Minute laufen 7 Liter aus einem Wasserhahn. Wie viel Liter laufen in 9 Minuten aus dem Hahn?

Verkettung von Vervielfältigungsoperatoren

• Der Elefant Otto verdreifacht im ersten Jahr sein Geburtsgewicht. Im zweiten Lebensjahr verdoppelt er sein Gewicht. Das Wievielfache seines Geburtsgewichtes hat er am Ende des zweiten Lebensjahres?

Operatoren

• Multiplikationsoperatoren werden meist durch Maschinen konkretisiert:

Formelhafte Multiplikation von Größen

• Ein kleines rechteckiges Gartengrundstück ist 6m lang und 11m breit. Wie groß ist das Flächenstück?

Grundmodelle zur Division

• Zerlegen von Mengen in gleichmächtige Teilmengen

• Umkehroperation

• Wiederholte Subtraktion / Rückwärtszählen

• Multiplikativer Vergleich

• Operatoren

Zerlegen von Mengen in gleichmächtige Teilmengen

• Zerlegen von Mengen in gleichmächtige Teilmengen

• zwei Grundmodelle:

• Aufteilen

• Verteilen

Aufteilen

• Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen

• Gesucht ist die Anzahl der Teilmengen• Gegeben sind die Elementanzahl der Menge M und

die Elementanzahl je Teilmenge

• Beispiel:• Kinder spielen mit Karten. Zum Spiel gehören 32 Karten. Jedes

Kind soll vier Karten erhalten. Wie viele Kinder können mitspielen?

Verteilen

• Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen

• Gesucht ist die Anzahl der Elemente je Teilmenge• Gegeben sind die Elementanzahl der Menge M sowie

die Anzahl der Teilmengen

• Beispiel:• Vier Kinder spielen mit Karten. Uwe verteilt die 32 Karten. Jeder

bekommt gleich viele. Wie viele Karten bekommt Jeder?

Verteilen und Aufteilen

• Beispiel: Zerlegung der Zahl 12

Verteilen:Zerlegung einer Mengemit 12 Elementen in 3gleichmächtige disjunkteTeilmengen.

Gesucht ist als Quotient12 : 3 die Anzahl derElemente jederTeilmenge

Aufteilen:Zerlegung einer Mengemit 12 Elementen indisjunkte Teilmengen, diejeweils 4 Elementeenthalten sollen.

Gesucht ist als Quotient12 : 4 die Anzahl derentstehendengleichmächtigenTeilmengen

Aufteilen

Verteilen

Umkehroperation

• Man kann die Division auch als Umkehroperation der Multiplikation einführen, ohne auf die Aspekte des Aufteilens und Verteilens zurückzugreifen.

• Mit 20 : 5 bezeichnen wir dann die Zahl, die mit 5 multipliziert 20 ergibt.

• 20 : 5 = x x · 5 = 20

Wiederholte Subtraktion

• Die Division wird als wiederholte Subtraktion des Divisors eingeführt.

• Beispiel: • 8 Birnen werden in Tüten verpackt. Immer zwei in eine Tüte

• 8 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0

• 8 : 2 = 4

Wiederholte Subtraktion

• Veranschaulichung ist am Zahlenstrahl gut möglich.• Beispiel: 18 : 6• Vom Dividenden 18 ausgehend werden wiederholt

Pfeile der Länge 6 abgezogen

122

-6 -6 -6

1860

Multiplikativer Vergleich

• Aufteilen:• Anna und ihre Freundin Vanessa sparen ihr

Taschengeld. Anna hat 5€ gespart, Vanessa schon 45€. Wie mal so viel Geld wie Anna hat Vanessa schon gespart?

• Verteilen:• Max und sein Freund Tim sparen ihr Taschengeld. Max

hat 5 mal so viel Geld gespart wie sein Freund Tim. Max hat 35€ gespart. Wie viel Euro hat Tim gespart?

Operatoren

• Rückwärtslaufen des Programms einer Maschine:• „Für 2 gib 1“

Rechengesetze

• Kommutativgesetz (Tauschaufgabe)

Rechengesetze

• Distributivgesetz:• a(b + c) = ab + ac

• Beispiel:• 3 ·(4 + 2) = 3 ·4 + 3 · 2

Rechengesetze

• Assoziativgesetz:• (a · b) · c = a ·(b · c) • Beispiel:• (2 · 3) · 4 = 2 ·(3 · 4)

Behandlung im Unterricht

Rahmenplan Hessen (1995)S. 154:

Vom ersten Schuljahr an werden Handlungen und Situationen aus dem Umfeld der Kinder und aus ihrem Erlebnisbereich aufgegriffen und nachgespielt, die multiplikative Strukturen beinhalten: Verdoppeln, Halbieren, Verteilen, Aufteilen, mehrfach die gleiche Anzahl hinlegen usw.“

S. 155:

„Im 2. Schuljahr lernen die Kinder die arithmetischen Operationen der Multiplikation und der Division mit den entsprechenden Glei-chungs- und Operatorschreibweisen sowie den Operationszeichen für „mal“ und „geteilt durch“, auch das Dividieren mit Rest.“

Methodisches Vorgehen beim Einführen der Multiplikation

• Vereinigen gleichmächtiger Teilmengen• Rechengeschichten spielen (zeitlich sukzessiv)• Abbildungen besprechen (räumlich - simultan)• Additionsgleichungen zuordnen• Anregen zum Vergleichen der Gleichungen• 6 + 6 + 6 = 18• 3 + 3 + 3 + 3 + 12• Was fällt auf? Summanden sind immer gleich• Übergang zur Multiplikation• 3 6 = 18 4 3 =12• Sprechweise: 3 mal 6 ist gleich 18

Methodisches Vorgehen beim Einführen der Multiplikation

• Übungen:

• Aufgaben zu Situationen und Bildern finden

• Multiplikationsaufgaben darstellen durch Material am Punktefeld, mittels Rechtecken oder am Zahlenstrahl

• Kreuzprodukte bilden

Methodisches Vorgehen beim Einführen der Multiplikation

Methodisches Vorgehen beim Einführen der Division

• Zwei Fragen:

• In welchem zeitlichen Abstand von der Multiplikation wird die Division eingeführt?

• Mit welchem der Grundmodelle (Aufteilen - Verteilen) wird begonnen?

Methodisches Vorgehen beim Einführen der Division

• Zerlegen in gleichmächtige Teilmengen• Verteilsituationen spielen• Dinge in gleichmächtige Mengen aufteilen

• Aufschreiben von Divisionsgleichungen: • 18 : 3 = 6, 24 : 8 = 3• Sprechweise: 18 geteilt durch 3 ist (sind) gleich 6

• Beziehung zur Multiplikation bewusst machen• 18 = 3 6: Wenn ich 18 (Äpfel) habe, kann ich jedem von 3

Kindern 6 (Äpfel) geben.

• Beziehung zur Subtraktion an Sachsituationen kennzeichnen

Methodisches Vorgehen beim Einführen der Division

• Übungen:

• Situationen vorgeben: Aufgaben zuordnen und lösen• Divisionsaufgaben stellen: Situationen bzw.

Handlungen zuordnen (und so die Aufgabe lösen) • Divisionsaufgabe stellen, mit Hilfe der Multiplikation

lösen• Multiplikationsaufgabe geben und Umkehraufgabe(n)

zuordnen