II. Arithmetik 4. Die natürlichen Zahlen 1 M n M (n + 1) M.
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II. Arithmetik
4. Die natürlichen Zahlen
1 M
n M (n + 1) M
1 M
n M (n + 1) M
(4.1)
(4.2)
Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt M (4.3)
4.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion
2
1)nn( 1 + 2 + 3 + ... + n =
2
1) (1 1
2
2
1 = =
21)nn( 1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) = + (n + 1)
(n + 1)( 2
n+ 1)
2
2)1) nn ((
2
1)( mm 1 + 2 + 3 + ... + (m - 1) + m =
=
=
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
1 + 2 + 3 + ... + 100
100 + 99 + 98 + ... + 1
101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
= 5050
Er zeigte die Divergenz der harmonischen Reihe und fand 1684 die Bernoullische Ungleichung.
Jakob Bernoulli1654 -1705
4.2b Man beweise die Bernoullische Ungleichung:
(1 + x)n 1 + nx für x 0 und n
durch vollständige Induktion.
n
k
k1
2
6
1)21) nnn ((
n
k
k1
3 2
2
1)
nn(
n
k
kq1
1-
q
qn
-1
-1
=
=
= ; q 1
4.3 Man beweise die folgenden Formeln für alle n mit vollständiger Induktion:
Geometrische Reihe: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn
- (1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q
= 1 - qn+1
1 + q + q2 + ... + qn =
Schach: 264 - 1 = 21019 Reiskörner
Erdoberfläche: 51018 cm2
1 + q + q2 + ... = für IqI < 1
unendlich viele Zahlen, endliche Summe:
q1q1 1n
q11
...16
1
8
1
4
1
2
1
1
1)
2
1(
0
n
n
4.2 Der binomische Satz
Die binomische Formel: (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)2 =
0
2 a2b0 +
1
2 a1b1 +
2
2 a0b2
Binomialkoeffizienten
0
2 = 1,
1
2 = 2 und
2
2 = 1
(a + b)n =
0
n anb0 +
1
n an-1b1 +
2
n an-2b2 + ... +
n
n a0bn
(a + b)n =
n
k k
n
0
an-kbk
k
n=
!)!(
!
kkn
n
n! = 123n 0! = 1
k
n
kk
knnnn
1)(321
1)(2)1)((
= = 1
0
n
1
n
1-n
n= n =
n
n=
4.2 Der binomische Satz
k
n
kk
knnnn
1)(321
1)(2)1)((
= = 1
0
n
1
n
1-n
n= n =
n
n=
1
n
1
n=
2
n=
21
1)(
nn
3
n=
321
2)1)((
nnn
usw.
n
n=
nn
nnnnn
1)(321
1)(2)1)((
nnn
nnn
1)2)((321
1232)1)((
=
k
n 1 =
1-k
n +
k
n
1-k
n +
k
n = 1)!-1))!-(
!
kkn
n
(( +
!)!(
!
kkn
n
= !1))!-((
!
kkn
kn
+
!)!(
!
kkn
n
= !)!1(
!
kkn
kn
+
!)!1(
)1(!
kkn
knn
= !)!1(
1)(!
kkn
nn
= !)!1(
1)!(
kkn
n
k
n 1 =
1-k
n +
k
n
1-k
n +
k
n = 1)!-1))!-(
!
kkn
n
(( +
!)!(
!
kkn
n
= !1))!-((
!
kkn
kn
+
!)!(
!
kkn
n
= !)!1(
!
kkn
kn
+
!)!1(
)1(!
kkn
knn
= !)!1(
1)(!
kkn
nn
= !)!1(
1)!(
kkn
n
k
n 1 =
1-k
n +
k
n
1-k
n +
k
n = 1)!-1))!-(
!
kkn
n
(( +
!)!(
!
kkn
n
= !1))!-((
!
kkn
kn
+
!)!(
!
kkn
n
= !)!1(
!
kkn
kn
+
!)!1(
)1(!
kkn
knn
= !)!1(
1)(!
kkn
nn
= !)!1(
1)!(
kkn
n
k
n 1 =
1-k
n +
k
n
1-k
n +
k
n = 1)!-1))!-(
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kkn
n
(( +
!)!(
!
kkn
n
= !1))!-((
!
kkn
kn
+
!)!(
!
kkn
n
= !)!1(
!
kkn
kn
+
!)!1(
)1(!
kkn
knn
= !)!1(
1)(!
kkn
nn
= !)!1(
1)!(
kkn
n
k
n 1 =
1-k
n +
k
n
k
n 1 =
1-k
n +
k
n
1-k
n +
k
n = 1)!-1))!-(
!
kkn
n
(( +
!)!(
!
kkn
n
= !1))!-((
!
kkn
kn
+
!)!(
!
kkn
n
= !)!1(
!
kkn
kn
+
!)!1(
)1(!
kkn
knn
= !)!1(
1)(!
kkn
nn
= !)!1(
1)!(
kkn
n
k
n 1
Pascalsches Zahlendreieck
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n
k k
n
0
= 2n denn (a + b)n liefert genau 2n Produkte.
k
n 1 =
1-k
n +
k
n
Blaise Pascal(1623 - 1662)
2
3
5
7
8
10
6
49
4.1 Man berechne die Binomialkoeffizienten
4.2a Man beweise die Bernoullische Ungleichung:
(1 + x)n 1 + nx für x 0 und n
mit Hilfe des binomischen Satzes.
4.3 Primzahlen Eine natürliche Zahl, die sich ohne Rest nur durch 1 und durch sich selbst teilen lässt, heißt Primzahl. Ausnahme:1
Sieb des Eratosthenes
Euklid(325 - 275)
Primzahlsatz des Euklid: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.
Sei = { p1, p2, p3, ... , pn }
P = p1 p2 p3 pn
(P ± 1) wird durch keine dieser Primzahlen geteilt.
Also ist es selbst PZ oder enthält eine PZ pn+1.
2 3 5 7 11 13 + 1 = 30031 = 59 509
2 3 5 7 11 13 - 1 = 30029
Eratosthenes(276 - 194)
Satz (Fundamentalsatz der Zahlentheorie) Jede natürliche Zahl besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Primfaktorzerlegung.
Ernst Zermelo (1871 - 1953)
Beweis (nach Zermelo). Die kleinen zusammenge-setzten natürlichen Zahlen wie 4 = 22 und 6 = 32 besitzen eindeutige Zerlegungen.
Sei pP = qQ
mit den Primfaktoren p und q die kleinste Zahl, die mehr als eine Zerlegung besitzt. Gleiche Faktoren sind in pP und qQ nicht vorhanden, sonst könnte gekürzt und eine kleinere mehrdeutige Zerlegung erzeugt werden. OBdA sei p > q, und also Q > P.
Wir bilden (p - q)P = pP - qP = qQ - qP = q(Q - P) < qQ.
(p - q) enthält nicht den Faktor q, da p und q Primzahlen sind und (p - q) = nq sofort auf p = (n + 1)q führen würde. Also gibt es eine kleinere als die als kleinste angenommene mehrdeutige Zerlegung, nämlich (p - q)P = q(Q - P).
Ist n eine Primzahl, so sind alle inneren Binomial-koeffizienten Vielfache von n, denn im Zähler von
( 1)( 2) ( 1)
1 2 3
n n n n k
k
Satz (Fermat) Ist p eine ungerade Primzahl, so ist 2p-1 - 1 = kp ein ganzzahliges Vielfaches von p.
Beweis. 2p = (1 + 1)p = 1 +
1
p +
2
p + ... +
1-p
p + 1
kann die Primzahl n nicht weggekürzt werden, bevor sie selbst im Nenner auftritt. Daraus ergibt sich eine spezielle Version des kleinen Fermatsche Satzes:
Alle Binomialkoeffizienten einer ungeraden Zahl sind doppelt vorhanden, jeder innere ist durch p teilbar, d. h.2p = 2kp + 2 und 2p-1 = kp + 1.
23-1 = 4 = 13 + 1
Pierre de Fermat(1601 - 1665)
25-1 = 16 = 35 + 1 27-1 = 64 = 97 + 1
4.4 Man beweise, dass 3 keine rationale Zahl ist.
4.5 Man beweise: Wenn u/v (gekürzt) keine ganze Zahl ist, so ist auch un/v mit n keine ganze Zahl.
Ist 210 - 1 durch 11 teilbar?
![[Gottlob Frege] Die Grundlagen Der Arithmetik. Ein(BookFi.org)](https://static.fdokument.com/doc/165x107/55cf99bd550346d0339eee0b/gottlob-frege-die-grundlagen-der-arithmetik-einbookfiorg.jpg)
