Elemente der Arithmetik, Algebra und des Sachrechnens –– WS 2010/2011.

Elemente der Arithmetik, Algebra und des Sachrechnens

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WS 2010/2011

Studienplan• Elemente der Arithmetik, Algebra und des

Sachrechnens: jeweils im Wintersemester 3-stündig (ggf. 2-stündige Übung) – Di 9.45-11.15– Do 14.00-15.30– Do 15.45-17.15Abschlussklausur (50% der Examensnote)

• Elemente der Schulgeometrie: jeweils im Sommersemester 3-stündig (ggf. 2-stündige Übung) Abschlussklausur (50% der Examensnote)

Achtung: Reihenfolge der Module ist beliebig!

ewfstudent

Einige Ziele der Veranstaltung• Vertraut machen mit den Inhalten des Grundschul-

Mathematikunterrichts (Arithmetik, Sachrechnen …)

• Eigenes Experimentieren mit Aufgaben – Muster (Phänomene) entdecken durch Explorieren – Operatives Prinzip– Phänomene begründen– Phänomene schülergemäß erklären

• Aufgaben produzieren– „Produktive Rechenübungen“– Aufgabenformate– Aufgabenvariation

• Fachliche und didaktische Aspekte anwenden– Fachliche und didaktische Analysen– Materialverwendung/Veranschaulichungen– Unterrichtliche Umsetzungen– …….

• ……….

Aus dem Bayerischen Lehrplan - Fachprofil Mathematik

• Alle Schüler erhalten Gelegenheit, in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit selbstständig Lösungsideen zu entwickeln und Lösungswege zielgerichtet zu suchen und zu erproben.

• Die unterschiedlichen Ansätze werden eingehend betrachtet, diskutiert und begründet.

• Fehler und nicht zum Erfolg führende Wege lassen sich dabei produktiv bei der Erarbeitung erfolgreicher Lösungsverfahren nutzen.

• Die Lehrkraft koordiniert die Schülerbeiträge und ergänzt sie gegebenenfalls durch gezielte Anregungen.

Aus dem Bayerischen Lehrplan - Fachprofil Mathematik (Forts.)

• Daneben kann eine gut durchdachte Lehrererklärung die Effektivität des Unterrichts sicherstellen.

• Abwechslungsreiche Übungsaufgaben dienen sowohl der Automatisierung und der Sicherheit als auch der vertieften Einsicht in Zusammenhänge und der Flexibilität.

• Dabei muss es für die Schüler zur Selbstverständlichkeit werden, die Ergebnisse selbst zu kontrollieren.

• Zunehmend erstellen die Schüler Lern- und Arbeitsmaterialien auch selbst.

Wie Kinder rechnen• Sarah (5J.) sagt die Zahlwörter bis 95 auf und fährt fort:

96, 97, 98, 99, hundert, einhundert, zweihundert, dreihundert .....

• Aufgabe:Von 63 Kindern schickt jedes einen Luftballon weg.37 bekommen Antwort. Wie viele bekommen keine Antwort?

Patrick sagt: “Das habe ich ganz einfach gemacht. Ich habe erst 63 minus 20 gerechnet, das waren 43. Und dann habe ich erst plus 5 gerechnet, das waren 38. Noch plus 1 waren 37.”

Wie Kinder rechnen• Eine Aufgabe in einer 4. Klasse:

Ein Apotheker füllt 1,750 kg Salmiakpastillen in Tüten zu je 50g. Wie viele Tüten erhält er?1,750 kg : 50 g

2 7 = 14⋅1 1 = 1⋅2 10 = ⋅ 20

35

• Es sind die Bewertungspunkte für 12 Fußballspieler zu addieren:Die Punkte: 9, 12, 10, 11, 8, 10, 9, 8, 12, 11, 10, 12

Sven (2.Kl.) findet eine Methode. Er spricht: 119, 121, 121, 122, 120, 120, 119, 117, 119, 120, 120, 122

Muster erkennen

Aufgaben variieren

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31

Aufgaben variieren

1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 3233 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48

Zählen• Grundinhalt: 1:1-Zuordnung

• Allgemein: Einem Element einer Menge wird genau ein Element einer zweiten Menge zugeordnet. Beispiel: Kokosnüsse – Hölzer (Zählen ohne Zahlen)

• Speziell: Eine Menge wird durch die geordneten Zahlwörter gebildet

• Zählprinzipien• Eindeutigkeitsprinzip• Prinzip der Irrelevanz der Anordnung• Abstraktionsprinzip• Prinzip der stabilen Ordnung• Kardinalzahlprinzip

Niveaustufen des Zählens• 1. Stufe: Zahlwörter werden als Zeichenkette ("einszweidreivier...")

gelernt. Hier besteht kein Eindeutigkeitsprinzip.

• 2. Stufe: Hier werden die Zahlwörter klar unterschieden und Gegenstände gezählt. Jedoch ist das Weiterzählen von einer Zahl aus noch nicht möglich. Lässt man z.B. 4 Gegenstände zählen und gibt 3 hinzu, so kann das Kind nicht von 4 aus weiterzählen, sondern muss wieder von 1 aus anfangen.

• 3. Stufe: Jetzt kann das Kind von einer Zahl aus weiterzählen (und auch rückwärts zählen).

• 4. Stufe: Parallel zum Weiterzählen wird auch die Anzahl der Zählschritte mitgezählt. Z.B. zählt das Kind bei der Frage "Um wie viel muss man weiter zählen, um von 6 auf 10 zu kommen?": 7,8,9,10 und gleichzeitig die Zählschritte 1,2,3,4.

• 5. Stufe: Geläufiges Vor- und Rückwärtszählen von verschiedenen Zahlen aus; Mitzählen der Zählschritte.

Zählen

• Vorkenntnisse von Schulanfängern(Untersuchung von Schmidt 1982, Stichprobenumfang: 1138 Schüler)

• Leistungen der Schüler im verbalen Zählen:– „Zähle, so weit du kannst.“– Sobald die Schüler (Schulanfänger) einen

Fehler machen - egal aus welchem Grund - wird abgebrochen. Es gilt die letzte, richtig genannte Zahl.

Erreichte Zahl Proz. d. Kinder

Kommentar

mindestens 5mindestens 10

9997

Praktisch alle Kinder können bis 10 zählen Es erfolgen hier kaum Abbrüche.

mindestens 15mindestens 20mindestens 30mindestens 40

84704533

In diesem Abschnitt erfolgt jeweils ein steiler Abfall. Es gibt hier viele Abbrüche beim Zählen.

mindestens 50mindestens 60 mindestens 70mindestens 80 mindestens 90mindestens 100

282320181615

Wer beim Zählen bis hierhin gelangt, hat das Prinzip erfasst. Daher gibt es hier nur noch relativ wenige Abbrüche.

Es konnten zählen (in %)

1909 1982bis mind. 5 91 99bis mind. 10 78 97bis mind. 20 45 70bis mind. 30 21 45bis mind. 40 13 33bis mind. 50 9 28bis mind.100

5 15

Vergleich der Zählfähigkeit 1909 / 1982

Techniken bei der Anzahlbestimmung

6337

280

255

1132

18 Würfel Richtig Falsch

7426

140

3711

2316


955


GesamtWegnehmenBerührungAugen

5

Abzählen von Gegenständen mit dem Finger

Zahlwortreihe Finger-bewegung GegenständeKoordination Koordination



Fehler zumindest im Bereich bis 10 eher selten



Typische Fehler:

Fingerbewegung:1 2 3 4 5 6Gesprochen:

Fingerbewegung:5 6 Sie-ben 8Gesprochen:

Verletzung des 1:1-Prinzips



Typische Fehler:

Auslassung:

Doppeltzählung:



Typische Fehler:

Auslassung:

Doppeltzählung:

Vor allem, wenn Gegenstände unstrukturiert, in Bewegung, nicht sortierbar, ununterscheidbar …

10 und 5 und 3

makhuwa8_2_5irisch

10 und 4_4suaheli8 überlitauisch

2 bis 20yoruba (afr.)

2 vor 20lateinisch 2

2 steigen herab zu 10

ainu (afr.)10 und 8lateinisch 1

2 von 10 im zweiten

finnisch8 und 10griechisch

15_3mexikanisch

10_8französisch

2_9walisisch8_10deutsch

3_6bretonisch8_10engl.

Probleme der Zahlwortbildungen: Beispiel 18 (acht-zehn)

Falsche Zahlwortbildungen

• Weiterzählen mit falscher Zehnerzahl:38, 39, 20, 21, 22, … oder: neunundneunzig, hundert, einhundert, zweihundert, …

• Unkonventionelle Zahlwortbildungen:neunundzwanzig, zehnundzwanzig, elfundzwanzig …

• Weiterzählen nur noch mit Zehnern:… 19, 20, 30, 40, 50, …

• Verwechseln der Endsilben „-zehn“ und „-zig“:vierzehn, fünfzehn, sechzig, siebzig, …

Übungen zur Zählfähigkeit:

Strukturen nutzen!

Strukturieren!

Material nutzen!

Wie viele Plättchen sind das?

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