3.1 Beispiele 3.3 Hauptkomponentenmethode 3.4 Kennwerte ... · Strukturgleichungsmodelle (Rudolf &...

Folie Nr. 1Dr. Matthias Rudolf: M3 – Multivariate Statistik – Vorlesung FA

3.1 Beispiele3.2 Modell und Voraussetzungen3.3 Hauptkomponentenmethode3.4 Kennwerte der Faktorenanalyse3.5 Bestimmung der Anzahl der Faktoren3.6 Varimax-Rotation3.7 Interpretation der Faktorenlösung3.8 Analyse der Kommunalitäten3.9. Gütebeurteilung

Prüfungsliteratur: Rudolf & Müller S. 307-335

Ausführlichere Darstellung:Bühner (2006) S. 179-234 (ebenfalls mit direktem SPSS-Bezug)


Beispiel 1 (Rudolf & Müller S. 307ff):

Anwendungsbeispiel: Adjektive gruppieren (Lexikalischer Ansatz)

Einschätzung ihnen bekannter Personen hinsichtlich vorgegebener Adjektive durch die Probanden (n=30) auf einer neunstufigen Skala (1 = trifft überhaupt nicht zu, 9 = trifft voll zu).

Liste der Variablen zum Beispiel Lexikalischer Ansatz:

Variablen Adjektive Variablen Adjektive X1 angriffslustig X7 akkuratX2 penibel X8 gewissenhaftX3 streitbar X9 kleinlichX4 kämpferisch X10 übergenauX5 grimmig X11 herausforderndX6 gründlich X12 hitzig


Datenausschnitt:


Korrelationsmatrix:


Beispiel 2: FABA (Richter, Rudolf & Schmidt, 1996)Fragebogen zur Analyse belastungsrelevanter Anforderungsbewältigung477 Datensätze und ausführliche Lösungshinweise siehe Rudolf & Müller (2012):

Website zum Buch (psychlehrbuchplus auf www.hogrefe.de)

Kurzcharakteristik der Items:

Faba1 erledige Arbeit rechtzeitig Faba2 will besser als andere seinFaba3 bin ruhelos durch Arbeit Faba4 habe Schlafprobleme wegen ArbeitFaba5 plane genau vor größ. Arbeiten Faba6 habe wenig Zeit für persönliche DingeFaba7 plane sorgfältig unter Zeitdruck Faba8 kann im Urlaub nicht loslassenFaba9 bin pünktlich bei Verabredungen Faba10 organisiere mein LebenFaba11 bin hektisch bei Termindruck Faba12 hab Drang zu überstürztem HandelnFaba13 übernehme gerne die Führung Faba14 stehe häufig im MittelpunktFaba15 überanstrenge mich bei Arbeit Faba16 reagiere unbeherrscht auf StörungenFaba17 handle häufig überstürzt Faba18 kann schwer abschaltenFaba19 werde leicht ungeduldig Faba20 will mich unter Kontrolle haben

Faktoren: exzessives Arbeitsengagement/Erholungsunfähigkeit exzessive Planungsambitionen Ungeduld Dominanzstreben (vgl. Richter et al., 1996, Rotheiler et al., 1997).


Allgemeine Aufgaben der Faktorenanalyse:• Faktoren aus der Korrelationsmatrix der beobachteten Variablen so zu

extrahieren, dass möglichst wenig Information über die Beziehungen der gemessenen Variablen untereinander verloren geht und

• die Faktoren so zu strukturieren, dass sich eine möglichst einfache, sinnvolle und interpretierbare Struktur ergibt und dass die Faktoren bezüglich der gemeinsamen Anteile der Ausgangsvariablen identifiziert und benannt werden können (vgl. Diehl & Kohr, 1999).

Charakteristik der Vorgehensweise:• exploratorisches, Hypothesen generierendes Verfahren• datenreduzierendes Verfahren• Verfahren zur Überprüfung der Dimensionalität komplexer Merkmale (zum

Beispiel Intelligenz, Persönlichkeitsmerkmale)

Möglichkeit statistischer Aussagen zu Hypothesen über Faktorenstrukturen:• konfirmatorische Faktorenanalyse, vgl. Analyse linearer

Strukturgleichungsmodelle (Rudolf & Müller (2012) S. 337-390, ausführlicher Bühner (2006) S. 235-283.


Voraussetzungen:

• Skalenniveau der Variablen

• Stichprobengröße (Konkrete Empfehlungen siehe Bühner, 2006, S. 192-193)

• Beachtung eventueller nichtlinearer“ Zusammenhänge

• Eignung der Korrelationsmatrix (Korrelationsmatrix darf nicht nur aus vielen „kleinen“ Korrelationen bestehen (verschiedene Prüfgrößen in SPSS, vgl. Rudolf & Müller (2012), Kapitel 9.6 bzw. ausführlicher Backhaus et al. (2003), Kapitel 5.2.1.2, Bühner (2006) S. 206 ff, Jansen & Laatz (2005), Kapitel 21.4))


Wichtige Modelle der Faktorenanalyse:Ausführlich vgl. Diehl & Kohr, (1999), Bühner (2006):

• Hauptkomponentenanalyse

– Ziel: Datenreduktion– Modell geht davon aus, dass Varianz der Items vollständig durch

Hauptkomponenten erklärt werden kann– Optimal, aber nicht zwingend notwendig: Normalverteilung,

Intervallskalenniveau– Sehr häufig angewendete Methode– Bei sehr enger Betrachtung keine faktorenanalytische Methode im

engeren Sinne– Methode liefert immer eine Lösung, Berechnung von Faktorwerten

ist unproblematisch



• Hauptachsenmethode

– Ziel: Zusammenhänge zwischen Items auf latente Variablen zurückführen

– Optimal, aber nicht zwingend notwendig: Normalverteilung, Intervallskalenniveau

– Analyse nur derjenigen Varianz eines Items, die es mit den restlichen Items gemeinsam hat

– Methode liefert nicht immer eine Lösung, Berechnung von Faktorwerten ist nicht immer unproblematisch

– Hauptachsenmethode entspricht rechnerisch weitgehend der Hauptkomponentenanalyse und führt in der Regel zu sehr ähnlichen Ergebnissen



• Maximum-Likelihood-Methode

– Ziel: Suche nach Ursachen, die für die Korrelationen der Items verantwortlich sind

– Rückschlüsse auf Zusammenhänge in der Population möglich– Schätzung der Populationskorrelationsmatrix aus der

beobachteten Stichprobenkorrelationsmatrix, aus der sukzessive Faktoren extrahiert werden, die maximale Varianz aufklären

– Modelltests möglich– ML-Methode nur bei ausreichend großen Stichprobenumfängen

durchführen, multivariate Normalverteilung erforderlich!– Methode liefert nicht immer eine Lösung, Berechnung von

Faktorwerten ist nicht immer unproblematisch– „beste“ Methode, falls Voraussetzungen für ihre Anwendung erfüllt

sind


Modell der Hauptkomponentenanalyse:

zik = ai1 · f1k + ai2 · f2k + ... + aim · fmk (i = 1,…,p; k = 1,…,n)

zik: Wert des k-ten Probanden in der i-ten Variablen aij: Faktorladung des j-ten Faktors auf die i-te Variable (j = 1,...,m)fjk: Wert des k-ten Probanden im j-ten Faktor (j = 1,...,m)p: Anzahl der Variablenm: Anzahl der Faktoren (m ≤ p)n: Anzahl der Probanden

Modellannahme der Hauptkomponentenanalyse: vollständige Beschreibung der Varianzen und Korrelationen der Variablen durch die Faktoren

Bei faktorenanalytischen Ansätzen (z.B. Hauptachsenmethode) zusätzlicher variablenspezifischer Fehlerterm ei im Modell enthalten


Mögliches Ergebnis:Addierenk = .91 · f1k + .13 · f2k + .01 · f3k + .01 · f4kMultiplizierenk = .94 · f1k + .13 · f2k + .02 · f3k + .01 · f4kGrammatikk = .14 · f1k + .93 · f2k + .01 · f3k + .03 · f4kRechtschreibungk = .17 · f1k + .96 · f2k + .02 · f3k + .01 · f4k

Mögliche Interpretation:F1: Numerische Intelligenz; F2: Verbale Intelligenz

Neu!


Faktorwert fjk des k-ten Probanden im j-ten Faktor (j = 1,...,m). Ein hoher Faktorwert drückt eine hohe Ausprägung der durch den Faktor repräsentierten nicht messbaren bzw. nicht beobachtbaren Eigenschaft aus.

Faktorladung aij: Faktorladung des j-ten Faktors auf die i-te Variable (j = 1,...,m) aus dem Modell der Hauptkomponentenanalyse (Abschnitt 3.2) entspricht der Korrelation zwischen der i-ten Variablen und dem j-ten Faktor.

Eigenwert λj des j-ten Faktors gibt an, welcher Anteil der Gesamtvarianz aller Variablen durch diesen Faktor aufgeklärt wird.

0 ≤ λj = ≤ p (j = 1,...,m)

Kommunalität hi2 der i-ten Variablen gibt den Anteil der Varianz dieser Variablen an,

der durch alle Faktoren gemeinsam aufgeklärt wird.

0 hi2 = 1 (i = 1,...,p)

Faktorgewichte: Koeffizienten zur Berechnung der Faktorwerte aus den Variablenwerten bezeichnet. Sie sind nicht mit den Faktorladungen identisch.

p

1i

2ija

m

j 1

2ija


Bedingungen an zu ermittelnde Hauptkomponenten: Die Faktoren (Hauptkomponenten) sind wechselseitig unabhängig. Die Faktoren (Hauptkomponenten) klären sukzessive maximale

Varianz auf.


Im Beispiel

λ1=

λ2=


Varianzaufklärung der Hauptkomponenten im kleinen Beispiel:

Neu!


Varianzaufklärung der Hauptkomponenten im Beispiel:Hauptkomponente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Varianzaufklärung 4.9 4.2 .9 .7 .5 .3 .2 .2 <.1 <.1 <.1 <.1 12


Im Beispiel

a11= aVariable1 Faktor1





Im Beispiel

a11 = aVariable1 Faktor1 ≈




Zusammenhang Eigenwerte - Faktorladungenλ1 ≈ 1.82 ≈ a11

2 + a212 ≈ 0.952 + 0.952

λ2 ≈ 0.18 ≈ a122 + a22

2 ≈ 0.302 + 0.302


Faktorladungen der vier Hauptkomponenten im kleinen Beispiel:


Faktorladungen der ersten vier Hauptkomponenten:

Viele „mittelmäßig“ hohe Faktorladungen Keine eindeutigen Zuordnungen möglich


Scree-Test„Knick“ im Eigenwertediagramm (Scree-Plot)

Parallel-AnalyseVergleich des Eigenwertediagramms mit dem Eigenwertediagramm bei zufälligen

(normalverteilten) Variablen

MAP-Test (O‘Conner, 2000, dargestellt bei Bühner, 2006)Minimum-Average-Partial-Test von Velicer; basiert auf Partialkorrelationen der

jeweiligen extrahierten Komponenten aus der ursprünglichen Korrelationsmatrix

Signifikanztestsweniger gebräuchlich, siehe z.B. Bortz (2005), Kapitel 15.4

(Kaiser-Guttman-Kriterium)Eigenwerte größer 1

Inhaltliche InterpretierbarkeitNur inhaltlich interpretierbare Faktorenlösungen sind verwertbar


Parallel-Analyse


Gute Interpretierbarkeit der Faktoren ist gegeben, wenn • auf jedem Faktor einige Variablen möglichst hoch und

andere möglichst niedrig laden und wenn • auf verschiedenen Faktoren unterschiedliche Variablen

hohe Faktorladungen aufweisen.

Prinzip der (orthogonalen) Varimax-Rotation: Maximierung der Varianz der quadrierten Faktorladungen

orthogonale Rotationsverfahren: führen zu unkorreliertenFaktoren; einfach interpretierbar

Oblique (schiefwinklige) Rotationsverfahren (z.B. Promax): führen zu korrelierten Faktoren; flexibler als orthogonale Rotationsverfahren


unrotierteFaktorladungen vor Varimax-Rotation


rotierte Faktorladungen nach Varimax-Rotation


Faktorladungen vor bzw. nach Varimax-Rotation


Summe der quadrierten Faktorladungen pro Item (Kommunalität) bleibt gleich Summe der quadrierten Faktorladungen je Faktor (Eigenwert) ändert sich Summe aller quadrierten Faktorladungen bleibt gleich Summe der quadrierten Faktorladungen des ersten Faktors kann nicht größer

werden

Faktorladungen vor bzw. nach Varimax-Rotation im kleinen Beispiel:


Empfehlungen für die Interpretation von Faktorlösungen nach Guadognoli &Velicer (1976), zitiert bei Bortz (2005):

Wenn pro Faktor wenigstens zehn Variablen zugeordnet werdenkönnen, ist ein Stichprobenumfang von ca. 150 Probanden für eineInterpretation ausreichend.

Wenn auf jeden Faktor wenigstens vier Variablen mit Ladungen über.60 entfallen, kann die Faktorenstruktur ungeachtet derStichprobengröße interpretiert werden.

Wenn auf jeden Faktor wenigstens zehn bis zwölf Variablen mitLadungen über .40 entfallen, kann die Faktorenstruktur ungeachtet derStichprobengröße interpretiert werden.

Faktorenstrukturen, in denen auf Faktoren nur wenige Variablen mitgeringen Ladungen entfallen, sollten nur bei Stichprobenumfängengrößer 300 interpretiert werden. Bei geringeren Stichprobenumfängensollte die Interpretation von den Ergebnissen einerWiederholungsuntersuchung an einer anderen Stichprobe abhängiggemacht werden.

Hauptkriterium: inhaltliche Interpretierbarkeit


Interpretation im Beispiel (mit Faktorladungen):


Im Beispiel

h12 =

h22 =

Bei Extraktion nur der ersten HK:

h12 ≈

h22 ≈


Kommunalitäten der 2-Faktorenlösung im kleinen Beispiel:


Kommunalitäten der 2-Faktorenlösung im Beispiel:


Mögliche Überlegungen bei niedrigen Kommunalitäten(Zitat Rudolf & Müller, S. 323)

Die Variablen mit niedriger Kommunalität werden durch die ermittelten Faktorennicht erfasst, die Ausprägungen dieser Variablen werden möglicherweise durchandere Faktoren beeinflusst. Es kann somit versucht werden, ob ein zusätzlich inder Analyse berücksichtigter Faktor die Varianz dieser Variablen aufklärt.

In der Entwicklungsphase von Fragebögen oder Tests ist es möglich, dassItems oder Aufgaben nicht eindeutig oder unscharf formuliert werden. Ebenso istes möglich, dass sich die in der Planungsphase getroffene Annahme, dieVariablen werden von den zu untersuchenden Faktoren beeinflusst, durch dieempirischen Daten nicht bestätigt werden kann. In der Entwicklungsphase sollteman die entsprechenden Variablen überarbeiten, umformulieren bzw. präziserformulieren oder gegebenenfalls aus der Variablenmenge ausschließen.

Wenn die aktuelle Untersuchung sich auf einen bereits entwickelten Fragebogenoder einen veröffentlichten Test bezieht, dessen Faktorenstruktur anhand vongroßen Stichproben untersucht und ermittelt worden ist, können kleineKommunalitäten besonders bei kleinen Stichproben gelegentlich durch den Zufallbedingt auftreten. Hier empfiehlt sich die Replikation der Untersuchung an einergrößeren Stichprobe.


• Inhaltliche Interpretierbarkeit

• Stabilität in unterschiedlichen Stichproben

• Varianzaufklärung– Eigenwerte der Faktoren– Gesamtvarianzaufklärung durch die Faktoren– Kommunalitäten der Variablen

3.1 Beispiele 3.3 Hauptkomponentenmethode 3.4 Kennwerte ... · Strukturgleichungsmodelle (Rudolf &...

Documents

Transcript of 3.1 Beispiele 3.3 Hauptkomponentenmethode 3.4 Kennwerte ... · Strukturgleichungsmodelle (Rudolf &...