4D Würfel

Ein Wagnis in eine neue Welt

4D Würfel

Darstellungsmöglichkeiten

4D Würfel

Im Schrägriss

Von der 0.Dimension bis zur 4.Dimension

Verschiebt man ein Quadrat parallel im Raum und verbindet entsprechende Ecken, so entsteht das Schrägbild eines Würfels.

Vom 2-D ins 3-Dimensionale

Verschiebt man einen Würfel parallel im Raum und verbindet entsprechende Ecken, so entsteht das Schrägbild eines Hyperkubus.

Vom 3-D ins 4-Dimensionale

Netz eines 3-D Würfels

Netz eines 4-D Würfels

Salvador Dali: Corpus

Hypercubus,1954.

Metropolitan Museum of Art

Von verschiedenen Schrägrisswinkel aus

4D Würfel

In der Zentralprojektion

Zentralprojektion eines 3-D Würfels

Von den sechs Quadraten eines Würfels erscheinen vier als Trapeze, die zwischen der vorderen Quadratfläche und hinteren Quadratfläche liegen (bedingt durch die Perspektive).

Zentralprojektion eines Hyperwürfels

Von den 8 Würfeln erscheinen 6 als Pyramidenstümpfe,  die zwischen einem kleinen und einem großen Würfel liegen.

Animation dazu

Zentralprojektion bei stetiger Änderung des Beobachtungspunktes

4D Würfel

In der isometrischen Darstellung

Isometrische Darstellung des 3D-Würfels

• Bei einer isometrischen Darstellung werden die drei Koordinatenrichtungen gleichmäßig verkürzt. Der Umriss eines Würfels erscheint als regelmäßiges Sechseck.

• Gibt es eine isometrische dreidimensionale Figur des vierdimensionalen Würfels? Eine

• Möglichkeit ist das Rhombendodekaeder. Das Rhombendodekaeder entsteht durch Aufsetzen

• von Pyramiden mit Neigungswinkel 45° auf alle Seitenflächen. Wenn wir nun die

• ehemaligen Würfelecken mit dem Mittelpunkt verbinden, erhalten wir ein isometrisches

• Bild des vierdimensionalen Hyperwürfels.

Isometrische Darstellung des 4D-Würfels über Pyramiden beim

3D-Würfel

Isometrische Darstellung bis zu einem 5-D Würfel

Isometrische Darstellung eines 3-D und 4-D Würfels

Isometrische Darstellung eines 5-D und 6-D Würfels

Isometrische Darstellung eines 7-D und 8-D Würfels

Animation:Isometrische Darstellung eines

4-D Würfels

4D Würfel

Im Koordinatensystem und als Hammingdistanz

3-D Würfel und die Koordinaten der Eckpunkte

Hyperwürfel und die Koordinaten der Eckpunkte

Die HAMMING-Distanz

• Richard Wesley HAMMING (11. Februar 1915 - 7. Januar 1998) arbeitete 1945 in Los Alamos am Projekt zur Herstellung der Atombombe.

• Problem von gestörter Übermittlung einer aus Nullen und Einsen codierten Nachricht.

Sicherheit beim Übertragen

• Statt einer Null senden wir eine Dreiergruppe von Nullen, entsprechend statt einer Eins eine Dreiergruppe von Einsen.

• Wenn mindestens zwei der drei Elemente Null sind, wird die Dreiergruppe als Null interpretiert, ansonsten als Eins.

Wahrscheinlichkeitsberechnung

• Eine Dreiergruppe wird daher mit der Wahrscheinlichkeit p3 + 3p2 (1− p) richtig interpretiert.

HAMMING-Distanz =„Quersumme“ der Koordinaten

Das Koordinatentripel der Ecken des Einheitswürfels werden als Dualzahlen gedeutet.

Berechnung für Hammag-Distanz in 4D

Zeichnen selber

Hammingdistanz gezeichnet bei Dimension 5 und 6

Hammingdistanz gezeichnet bei Dimension 7 und 8

4D Würfel

Gibt es Rekursionformeln für Bauteile?

• In der Tabelle lässt sich ein Rekursionsmuster erkennen: Jede Zahl ist die Summe des Zweifachen der Zahl unmittelbar oberhalb plus der Zahl unmittelbar links oben.

• Lediglich die oberste Eins tanzt aus der Reihe. Aber eben: Am Anfang war der Punkt.

• Die Richtigkeit dieser Rekursion lässt sich so einsehen: • Die sechs Seitenquadrate des Würfels beispielsweise

entstehen durch das ursprüngliche Frontquadrat sowie die nach hinten verschobene Kopie. Weiter hinterlassen die vier Seiten des Frontquadrates beim Verschieben je eine Spur, welche das Boden- und Deckquadrat sowie die beiden Seitenquadrate links und rechts ergeben.

• Die Zeilensummen unserer Tabelle ergeben die Potenzen zur Basis drei. Dies ist eine Folge davon, dass jede Zahl in einer bestimmten Zeile genau dreimal als Summand in der nächsten Zeile vorkommen. So findet sich beispielsweise die Eckenzahl 16 des vierdimensionalen Hyperwürfels zweimal in der Eckenzahl 32 des fünfdimensionalen Hyperwürfels und einmal in seiner Seitenzahl 80.

• Die alternierenden Zeilensummen ergeben immer 1. Dies ist die EULERsche Polyederformel.

• In der üblichen Schreibweise der EULERschen Polyederformel wird die Gesamtfigur selber nicht mitgezählt, es ergibt sich dann bei den ungeraden Dimensionen 2 und bei den geraden Dimensionen 0. Das alternierende Mitzählen der Gesamtfigur ergibt eine Formulierung ohne Fallunterscheidung hinsichtlich der Parität der Dimension.

Das Pascal‘sche Dreieck

(Binomialkoeffizientenmatrix)²=Hyperwürfelmatrix (der Anzahl Bauteile)

Hypertorus

Versetzte Dich in die Welt von Bewohnern einer 2-D Welt

„Dies ist ein und dasselbe Gebilde „,sage ich. Die Bewohner schütteln verständnislos den Kopf.

Ein Zylinder 2-D Bewohner können nur Grundriss oder Aufriss getrennt

voneinander sehen.

• http://www.uni-math.gwdg.de/bgr/wuerfel.php

• http://www.superliminal.com/cube/applet.html

• http://harmen.vanderwal.eu/hypercube/