65

5 Funktionen

5.1 Hintereinanderausfuhrung von Funktionen, Umkehr-

funktion

Sind f : M → N und g : N → K Funktionen, so kann man diese hintereinander ausfuhren, d.h.

(i) zuerst fur x ∈ M die Funktion f auswerten; das liefert f(x) ∈ N ;

(ii) dann fur f(x) ∈ N die Funktion g auswerten; das liefert g(f(x)) ∈ K.

(iii) Dies liefert eine neue Funktion M → K (da jedem x ∈ M genau ein g(f(x)) ∈ K zugewiesen wird;wir schreiben diese Funktion

g ◦ f (lies “g nach f”)

mit(g ◦ f)(x) := g(f(x)).

Definition 5.1.1 Fur Funktionen f : M → N und g : N → K heißt

g ◦ f : M → K mit(g ◦ f

)(x) := g

(f(x)

)fur alle x ∈ M

Komposition oder Hintereinanderausfuhrung von f und g.

Bemerkungen 5.1.2 (1) Fur

f : IR → IR mit f(x) := x+ 5, g : IR → IR mit g(x) := x2

ist(g ◦ f

)(x) = (x+ 5)2,

(f ◦ g

)(x) = x2 + 5.

Die Komposition zweier Funktionen ist also nicht kommutativ.

(2) Fur

f : IR → IR mit f(x) := x+ 5, g : IR \ {0} → IR mit g(x) :=1

x

ist(g ◦ f

)(x) =

1

x+ 5nicht definiert fur x = −5,

(f ◦ g

)(x) =

1

x+ 5 nicht definiert fur x = 0.

(3) Man kann auch die Komposition beliebig endlich vieler Funktionen bilden. So ist z.B. die Funktion

f : {x ∈ IR; x ≤ −2

3} → IR mit f(x) :=

√

2

x+ 3

Komposition der Funktionen

f1 : IR\{0} → IR mit f1(x) :=2

x, f2 : IR → IR mit f2(x) := x+3, f3 : IR

+0 → IR mit f3(x) :=

√x,

d.h. es giltf = f3 ◦ f2 ◦ f1.

5. Funktionen 66

(4) Ist f : M → N bijektiv, g : N → M die Umkehrfunktion von f und idM : M → M bzw.idN : N → N die identischen Funktionen auf M bzw. N , d.h. mit id(x) = x fur alle x, dann gilt

g ◦ f = idM , f ◦ g = idN .

5.2 Reelle Funktionen

Wir beschranken uns nun auf Funktionen mit reellen Definitionsbereichen und Werten. Weiter sei furjede Funktion der maximal zulassige Definitionsbereich gewahlt.

Ublicherweise stellt man solche Funktionen in einem (x, y)-Koordinatensystem durch ihren Graphen,d.h. die Menge der Zuordnungspaare, dar. Bei auf IQ definierten Funktionen ist ein solcher Graph wegender Nichtvollstandigkeit von IQ, d.h. den vielen

”Definitionslucken“ auf der x-Achse, keine durchgehende

Linie. Nur bei reellen Funktionen kann diese Linie durchgehend sein, muss aber nicht, wie die Dirichlet-Funktion zeigt.

Aus der Zeichnung kann man sofort Eigenschaften der Funktion f : X → Y mit Definitionsgebiet X

und Wertebereich Y erkennen:

- f ist eine Funktion, d.h. die Zuordnung ist eindeutig. Fur jedes x ∈ X schneidet daher die Parallelezur y-Achse durch (x|0) den Graphen in genau einem Punkt.

- Schneidet fur jedes y ∈ Y die Parallele zur x-Achse durch (0|y) den Graphen in hochstens einemPunkt, dann ist die Zuordnung injektiv.

- Schneidet fur jedes y ∈ Y die Parallele zur x-Achse durch (0|y) den Graphen in mindestens einemPunkt, dann ist die Zuordnung surjektiv.

- Schneidet fur jedes y ∈ Y die Parallele zur x-Achse durch (0|y) den Graphen in genau einemPunkt, dann ist die Zuordnung bijektiv.

Liegt bei einer bijektiven Funktion die Funktionsvorschrift in Form einer Formel y = f(x) vor, dannerhalt man die Umkehrfunktion durch Auflosen der Gleichung nach x, und man erhalt die Formelx = f−1(y). Die in den Graphen von f und f−1 dargestellten Paare sind gleich, d.h. f und f−1

haben denselben Graphen, nur die Bedeutung von x und y als unabhangiger bzw. abhangiger Variablerunterscheiden sich.Will man in der Formel der Umkehrfunktion, wie gewohnt, die unabhangige Variable wieder mit x

bezeichnen, dann entspricht das bei der zeichnerischen Darstellung der Umkehrfunktion einer Vertau-schung der Koordinatenachsen bzw. einer Spiegelung des Graphen von f an der 1. Winkelhalbierendeny = x.

Die folgende Zeichnung zeigt die Graphen der Funktion

f : IR+0 → [−2;∞) mit y = f(x) =

x2

4− 2

und ihrer Umkehrfunktion

in der Form x = f−1(y) =√

4y + 8 bzw. y = f−1(x) =√4x+ 8.

5. Funktionen 67

Man kann aus der zeichnerischen Darstellung einer reellen Funktion durch ihren Graph weitere wichtigeEigenschaften erkennen.

Durchlauft man z.B. die beiden Kurven der obigen Zeichnung von links nach rechts, d.h. mit wach-sendem x, dann wird der zugehorige y-Wert immer großer. Ein solches Verhalten von Kurven ist z.B.aussagekraftig bei Fieberkurven oder Kurven, die einen Aktienindex in Abhangigkeit von der Zeit dar-stellen.

Definition 5.2.1 Es sei I ein Intervall (oder ganz IR), f : I → IR eine Funktion. Gilt fur alle x1, x2 ∈ I

mit x1 < x2

(a) f(x1) ≤ f(x2), dann heißt f monoton wachsend,

(b) f(x1) ≥ f(x2), dann heißt f monoton fallend,

(c) f(x1) < f(x2), dann heißt f streng monoton wachsend,

(d) f(x1) > f(x2), dann heißt f streng monoton fallend.

Bemerkungen 5.2.2 (1) In der Literatur findet man findet auch”steigend“ bzw.

”zunehmend“ statt

”wachsend“ und

”abnehmend“ statt

”fallend“.

(2) Jede konstante Funktion ist sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend.

(3) Wenn nichts weiter angemerkt wird, gilt eine Monotonie-Aussage fur den ganzen Definitionsbe-reich. Es ist aber auch sinnvoll, Monotonie auf Teilintervallen des Definitionsbereichs zu untersu-chen.

Beispiele 5.2.3 (1) Die Funktion f : IR → IR mit f(x) := a · x ist

- konstant und damit sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend fur a = 0,

- streng monoton wachsend fur a > 0,

- streng monoton fallend fur a < 0.

5. Funktionen 68

(2) Die Funktion f : IR → IR mit f(x) := x2 ist

- streng monoton fallend im Intervall (−∞, 0],

- streng monoton wachsend im Intervall [0,∞).

Monotonie und Injektivitat sind keine voneinander unabhangige Eigenschaften:

Satz 5.2.4 Jede streng monotone Funktion f : I → IR (wachsend oder fallend) ist injektiv.

Bemerkungen 5.2.5 (1) Auf das Wort”streng“ kann in der Voraussetzung nicht verzichtet werden.

Z.B. ist eine konstante Funktion monoton, aber nicht injektiv.

(2) Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.Z.B. ist die Funktion

f : IR → IR mit f(x) =

x fur x < −1

−x fur − 1 ≤ x ≤ 1

x fur x > 1

injektiv (sogar bijektiv), aber weder monoton steigend noch monoton fallend.

(3) Gelegentlich ist es hilfreich, das Vorzeichen der Differenz f(x2) − f(x1) fur alle x1, x2 ∈ I mitx1 < x2 zu betrachten.Z.B. gilt fur die Funktion

f : [0, 5;∞) → IR mit f(x) := x2 − x− 6

und beliebige x1, x2 ∈ [0, 5;∞) mit x1 < x2

f(x2)− f(x1) = (x22 − x2 − 6)− (x21 − x1 − 6)

= x22 − x2 − 6− x21 + x1 + 6

= (x22 − x21)− (x2 − x1)

= (x2 − x1)︸ ︷︷ ︸

>0

· [( x2︸︷︷︸

>0,5

+ x1︸︷︷︸

≥0,5

)− 1]

︸ ︷︷ ︸

>0

> 0.

Also ist f streng monoton wachsend.

in Naturwissenschaft und Technik, aber auch im normalen Leben, mochte man mit Hilfe von Funktionenzukunftige Situationen auf Grund der derzeitigen Situation bestimmen, z.B. wie lang eine Tankfullungreicht oder wann ein Kredit abgezahlt ist. Allerdings sind die Großen, die als Grundwerte fur die Berech-nung des Funktionswertes dienen, meist keine exakten Werte, sondern Werte mit Meßungenauigkeitenoder Schatzwerte. Man kann also auch keine genaue Voraussage erwarten.

Die Berechnung ist aber nur dann sinnvoll, wenn die Voraussagen wenigstens im wesentlichen stim-men, also der auf Grund der nicht exakten Eingangswerte berechnete Funktionswert vom

”richtigen“

Funktionswert auch nur wenig abweicht. Zum Beispiel kann man fur einen Regentropfen, der in einem

5. Funktionen 69

bestimmten Gebiet der Schwabischen Alb (Wasserscheide) auf den Boden fallt, nicht voraussagen, ober in der Nordsee oder im Schwarzen Meer landet.

Um Funktionen zu beschreiben, die fur diese Zwecke geeignet sind, mussen wir sowohl in der Definitions-menge als auch in der Wertemenge einen

”Abstand“ zweier Elemente definieren. Bei reellen Funktionen

nimmt man den Betrag der Differenz |x− y| und bezeichnet ihn in der Definitionsmenge oft mit δ undin der Wertemenge oft mit ǫ.

Definition 5.2.6 Seien X,Y j IR, f : X → Y eine Funktion. f heißt stetig im Punkt x0 ∈ X, wenngilt:

Zu jedem ǫ ∈ IR mit ǫ > 0 gibt es ein δ ∈ IR mit δ > 0, so dass fur alle x mit |x− x0| < δ gilt

|f(x)− f(x0)| < ǫ.

Bemerkungen 5.2.7 (1) Obige Definition wird oft als”Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit“ be-

zeichnet. Man kann naturlich auch fur Funktionen, die nur auf rationalen Zahlen definiert sind,untersuchen, ob sie stetig sind. Allerdings konnen diese Funktionen Eigenschaften haben, die un-serer Anschauung sehr stark zuwiderlaufen.

(2) Ist X ′ j X und f in jedem x0 ∈ X ′ stetig, dann nennt man f stetig in X′.

(3) Bei stetigen Funktionen ist garantiert, dass man fur die Funktionswerte eine vorgegebene Maxi-malabweichung bzw. Toleranz einhalten kann, wenn man bei den Urbildern um weniger als daszugehorige δ abweicht.

Beispiele 5.2.8 (1) Jede konstante Funktion f : IR → IR mit f(x) := a fur alle x ∈ IR ist stetig in IR.

(2) Jede lineare Funktion f : IR → IR mit f(x) := a · x fur alle x ∈ IR ist stetig in IR.

(3) Die quadratische Funktion f : IR → IR mit f(x) = x2 fur alle x ∈ IR ist stetig in IR.

(4) Die Funktion f(x) :=1

xist nur fur x0 6= 0 definiert. Sie ist in ihrem Definitionsgebiet stetig.

Legt man allerdings fur x = 0 einen beliebigen Funktionswert fest (z.B. f(0) := 5), dann ist f inx = 0 unstetig.

(5) Die Funktion f(x) :=x

xist ebenfalls nur fur x0 6= 0 definiert. Sie ist in ihrem Definitionsgebiet

stetig.Legt man fur x = 0 den Funktionswert geeignet fest mit f(0) := 1, dann ist f (mit erweiterterDefinitionsmenge) in IR stetig.

(6) Die Funktion

f(x) :=

−1 fur x < 0

0 fur x = 0

1 fur x > 0

ist in x0 = 0 unstetig.

(7) Die Dirichlet-Funktion ist fur kein x0 ∈ IR stetig, denn fur ǫ < 1 gibt es kein geeignetes δ > 0.Dies liegt an der Dichtheit der rationalen Zahlen in IR: In jedem noch so kleinen Intervall reellerZahlen liegen auch rationale Zahlen.

5. Funktionen 70

Wir durchlaufen den Graphen einer Funktion f(x) von links nach rechts oder von rechts nach linksbis jeweils zu einem festen x0. Wenn die Funktion stetig ist, dann sollten wir jeweils ohne abzusetzenim Punkt (x0|f(x0)) ankommen. Um dieses Annahern zu beschreiben, betrachten wir eine Folge von

”Momentaufnahmen“ (xn|f(xn)) mit n ∈ IN, wobei sich die Urbilder mit wachsendem Index immermehr dem Wert x0 nahern sollten.

Wir wollen dieses Vorgehen mathematisch exakt beschreiben:

Definition 5.2.9 Sei Y eine nichtleere Menge.Eine Funktion f : IN → Y heißt Folge, eine Funktion f : IN → Y j IR reelle Zahlenfolge.Der Funktionswert f(n) heißt n-tes Folgenglied und wird oft in der

”Indexschreibweise“ mit an be-

zeichnet.Fur die gesamte Folge sind die Schreibweisen

(a1, a2, a3, . . .) oder (an)n∈IN bzw. kurz (an)

ublich. Dabei werden die Folgenglieder von runden Klammern eingeschlossen, um die Folge von derBildmenge

f(IN) = {a1, a2 . . .}zu unterscheiden.

Bemerkungen 5.2.10 (1) Im Unterschied zur Bildmenge ist bei der Folge die Reihenfolge der Fol-genglieder wesentlich und es darf ein Element mehrfach auftreten. Zum Beispiel wird die kon-stante Folge

f : IN → IR mit f(n) := 1 mit (1, 1, 1, . . .)

bezeichnet, und die Bildmenge ist f(IN) = {1}.

(2) Da die reellen Zahlen-Folgen als spezielle reellwertige Funktionen definiert sind, konnen wir Begriffewie monoton, beschrankt bzw. Infimum und Supremum ubernehmen.

Eine reelle Zahlenfolge kann man sich anschaulich vorstellen, indem man die Folgenglieder nacheinanderauf der reellen Zahlengeraden einzeichnet. Eine zweite Moglichkeit ist, die Zahlenfolge als reellwertigeFunktion zu betrachten und ihren Graph zu zeichnen.

5. Funktionen 71

Beispiel 5.2.11 Um das mogliche Verhalten von Folgen zu beobachten, betrachten wir die Graphenfolgender reeller Zahlenfolgen fur jeweils die ersten 100 Glieder:

(an) =( 1

n

)

,

(bn) =(

(1 +(−1)n

n)n)

,

(cn) =(

(−1)n n2)

,

dn+1 = q · dn · (1− dn) mit q = 2, 5; 3, 2; 3, 5; 4, 0.

Die Folge (an) ist monoton fallend, die Folgen (an), (bn), und (dn) sind beschrankt.Die Folgenglieder konnen sich um genau einen Punkt

”haufen“ (wie bei Folge (an) oder bei (dn) fur

q = 2, 5) oder an zwei oder mehr Punkten (wie bei den Folgen (bn) und bei (dn) fur q = 3, 2 oderq = 3, 5.Ist eine Folge nicht nach oben beschrankt, dann sagt man, die Folgenglieder haufen sich um den Punkt∞ (∞ ist keine Zahl!), und bei nach unten nicht beschrankten Folgen um −∞. Beides ist bei Folge (cn)der Fall.

5. Funktionen 72

Eine Folge kann anscheinend sogar ein ganzes Intervall”ausfullen“, d.h. um jeden Punkt haufen sich

Folgenglieder, wie das Beispiel der Folge der rationalen Zahlen im Intervall [0, 1] zeigt, die das ganzeIntervall ausfullt.

Das fuhrt zu folgender

Definition 5.2.12 Sei (an) eine beliebige reelle Zahlenfolge, a ∈ IR. Gibt es zu jedem beliebig vorgege-benen (kleinen) Abstand ǫ > 0 einen Index n0, so daß alle Folgenglieder an mit großerem Index n > n0

zu a einen Abstand |an − a| kleiner als ǫ haben, dann heißt die Folge konvergent gegen a. a heißtGrenzwert oder Limes der Folge.

Schreibweise: an → a fur n → ∞ oder limn→∞

an = a.

Eine nicht konvergente Zahlenfolge heißt divergent.

Bemerkung 5.2.13 Eine Folge (an)n∈IN ist also dann konvergent gegen a, wenn in jeder ǫ-Umgebungvon a alle Folgenglieder mit hochstens endlich vielen Ausnahmen liegen.Stellt man die Folge als Funktion grafisch dar, und zeichnet (fur ein beliebig gewahltes ǫ > 0) um y = a

symmetrisch einen Streifen parallel zur x–Achse mit Breite 2ǫ, dann mussen ab n0 alle Folgenglieder indiesem Streifen liegen.

Mit Hilfe von Folgen ergibt sich als aquivalente Charakterisierung stetiger Funktionen:

Satz 5.2.14 Eine Funktion f : X → Y ist genau dann stetig in x0, wenn fur jede Folge(xn

), die gegen

x0 konvergiert, die Folge(f(xn)

)gegen f(x0) konvergiert.

Bemerkungen 5.2.15 (1) Kurz ausgedruckt gilt fur eine stetige Funktion:

limn→∞

f(xn) = f(limn→∞

xn).

(2) Hat eine Funktion an der Stelle x0 eine Sprungstelle, dann ist sie dort sicher unstetig. Das sindaber nicht die einzigen Arten von Unstetigkeitsstellen, wie folgendes Beispiel zeigt:Wir betrachten die Funktion f : [−1; 1] → IR mit den Funktionswerten

f(0) := 0, f(± 1

2n

):= 0 fur n ∈ IN, f

(± 1

4n+ 1

):= 1 und f

(± 1

4n+ 3

):= −1 fur n ∈ IN0,

und zwischen solchen benachbarten Punkten verlaufe die Funktion linear.

Die Folgen

(1

2n

)

,

(1

4n+ 1

)

und

(1

4n− 1

)

haben den gemeinsamen Grenzwert x0 = 0, und

andererseits erhalt man fur die Folgen der zugehorigen Funktionswerte von f

(f(

1

2n))

n∈IN= (0, 0, 0, . . .) mit Grenzwert 0 = f(x0),

(f(

1

4n+ 1))

n∈IN= (1, 1, 1, . . .) mit Grenzwert 1 6= f(x0),

(f(

1

4n− 1))

n∈IN= (−1,−1,−1, . . .) mit Grenzwert − 1 6= f(x0).

Die Funktion ist also nicht stetig in x0 = 0.

5. Funktionen 73

Ein wichtiger Satz in der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz bzw. als wesentlicher Spezialfall derNullstellensatz:

Satz 5.2.16 Sei [a, b] ein reelles Intervall und f : [a, b] → IR stetig in [a, b].

(a) Gilt f(a) < 0 < f(b), dann gibt es mindestens ein x0 ∈ [a, b] mit f(x0) = 0. (Nullstellensatz)

(b) Fur jedes y0 ∈ (a, b) gibt es ein x0 mit f(x0) = y0. (Zwischenwertsatz)

Bemerkung 5.2.17 In einer rationalen Analysis ist diese Aussage nicht allgemein richtig, wie man amBeispiel der stetigen Funktion

f : {x ∈ IQ; 1 ≤ x ≤ 2} → IQ mit f(x) := x2 − 2

erkennt.

5.3 Proportionale, antiproportionale und quadratische Funk-

tionen

Bemerkung 5.3.1 Die Diskussion der in den nachsten Abschnitten betrachteten sogenannten elemen-taren Funktionen werden wir nach dem (PAT)-Modell vornehmen:

(P) Die phanomenologische Ebene: Man erkennt, dass dieser Funktionstyp auftritt. Fur bestimmteAnwendungen dient diese Funktionenklasse als Standardmodell.

(A) Die algorithmische Ebene: Wie geht man technisch mit diesem Funktionstyp um und welchenutzlichen Formeln gibt es zur Handhabung dieser Funktionenklasse?

(T) Die theoretische Ebene: Was charakterisiert diesen Funktionstyp und wie konnte eine Definitionaussehen?

PAT ist ein Modell fur das genetische Verstehen der elementaren Funktionen im Unterricht.

5.3.1 Proportionale Zuordnungen - lineare Funktionen

(P) Die phanomenologische Ebene

Aufgabe 5.3.2 Anneke kauft in einer Zoohandlung besonderes Vogelfutter, das dort abgepackt wird.Der Preis ist 2, 80 e fur 100 g. Wieviel kosten 300 g, 150 g, 600 g und 120 g dieses Futters?Berechne die Preise im Kopf und lege eine Tabelle an, in der du mit Pfeilen verdeutlichst, wie du diePreise berechnest.

Losung:

Zur doppelten Futtermenge gehort der doppeltePreis.Zur dreifachen Futtermenge gehort der dreifachePreis.Zur vierfachen Futtermenge gehort der vierfachePreis,. . .Kauft man andererseits nur die Halfte (ein Drit-tel, ein Viertel,. . . ), so bezahlt man auch nurdie Halfte (ein Drittel, ein Viertel,. . . ) des Aus-gangspreises.

5. Funktionen 74

Definition 5.3.3 (a) Eine Zuordnung heißt proportional, wenn die folgenden Regeln gelten:

(P 1) Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) man eine Ausgangsgroße, so verdoppelt (verdrei-facht, vervierfacht, ...) sich auch die zugeordnete Große.

(P 2) Halbiert (drittelt, viertelt, ...) man eine Ausgangsgroße, so halbiert (drittelt, viertelt, ...) sichauch die zugeordnete Große.

(b) Seien X,Y j IR, f : X → Y ein Funktion. Gibt es Zahlen m, b ∈ IR mit f(x) := m · x+ b fur allex ∈ X, dann heißt f linear.

Bemerkungen 5.3.4 (1) Formelmaßig ergibt sich fur die Zuordnung aus der Aufgabe 5.3.2

f(x) =2, 80

100· x = m · x mit Proportionalitatsfaktor m =

2, 80

100.

(2) Fur ein proportionale Zuordnung gilt

f(k · x) = m(kx) = k(mx) = k · f(x).Beispiele 5.3.5 Handelt es sich bei folgenden Zuordnungen um eine

”Je mehr-desto mehr“-Zuordnung?

Ist sie auch proportional?

(1) Wassermenge → Wassergeld:Das Entgeld fur das Leitungswasser wird folgendermaßen bestimmt: Monatlich 2 e Grundgebuhrplus 2, 55 e pro Kubikmeter Wasser.

(2) Anzahl der geleerten Weinflaschen a 0, 7 l → Volumen des getrunkenen Weins.

(3) Gewicht eines Pakets → notwendiges Porto.

(4) Kilometerzahl einer Dienstreise → Erstattungsbetrag des Arbeitgebers (bei 30 ct fur jedengefahrenen Kilometer).

(5) Seitenlange eines Quadrats → Flacheninhalt.

(6) Kantenlange eines Wurfels → Volumen.

(A) Die algorithmische Ebene

Bemerkungen 5.3.6 (1) Jede proportionale Funktion ist linear. Die lineare Funktion f mitf(x) := m · x+ b ist genau dann proportional, wenn b = 0.

(2) Proportionale Zuordnungen kann mit Hilfe des Dreisatzes berechnen.

Aufgabe 5.3.7Dorit hat ihre Freundinnen zum Mittagessen eingeladen undwill ihr Lieblingsessen kochen. Wieviel Sechskorn muß sie fur7 Personen abwiegen?Dorit uberlegt: Das Rezept legt fur jede Person die gleicheMenge einer Zutat zugrunde und ist fur 4 Personen ausge-legt. Also gehort z.B. zur doppelten Personenzahl die dop-pelte Menge der Zutaten.

Folglich ist die Zuordnung

Anzahl der Personen → Sechskorngewicht

proportional.

5. Funktionen 75

Dorit rechnet in 3 Schritten(Proportionalitat f(x) = mx: Dreisatz):

• 4 Personen benotigen 140g

• 1 Person benotigt 140g : 4 = 35g

• 7 Personen benotigen 35g · 7 = 245g

Ergebnis: Fur 7 Personen werden 245g Sechskorn benotigt.

Darstellung in einer Tabelle:

(3) Bei einer linearen Funktion mit f(x) := m · x+ b gehoren zu gleichen Zuwachsen c im Argumentimmer der gleiche Wachstumssummand d = mc:

Fur alle x, c gilt f(x+ c) = m(x+ c) + b = mx+ b+mc = f(x) + d.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.Die Funktionsvorschrift erhalt man aus Steigung m und 1 Punkt (x1|y1) mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form bzw. aus 2 Punkten (x1|y1), (x2|y2) mit Hilfe der Zwei-Punkte-Form.

Punkt-Steigungs-Form

y − y1

x− x1= m

Zwei-Punkte-Form

y − y1

x− x1=

y2 − y1

x2 − x1

5. Funktionen 76

(T) Die theoretische Ebene

Das Ziel ist, lineare Funktionen durch ihre Grundeigenschaften zu charakterisieren

Satz 5.3.8 Jede streng monoton wachsende Funktion f : IR → IR mit der Grundeigenschaft”Zu gleichen

Zuwachsen im Argument gehort immer der gleiche Wachstumssummand“ ist notwendig von der Form

f(x) = mx+ b mit festen m, b ∈ IR.

Bemerkung 5.3.9 Im Spezialfall b = 0 (Proportionalitaten) ist die charakterisierende Funktional-gleichung

f(x+ y) = f(x) + f(y) fur alle x, y ∈ IR.

Bis auf f(x) = m · x erfullt keine andere streng monotone Funktion f diese Funktionalgleichung.Typische Fehler beim Rechnen mit Formeln ist die Anwendung dieser Funktionalgleichung auf anders-artige Funktionen, z.B.

(x+ y)2 ist nicht gleich x2 + y2,

√x+ y ist nicht gleich

√x+

√y,

sin(x+ y) ist nicht gleich sinx+ sin y.

Satz 5.3.10 Sei f eine beliebige lineare Funktion mit Steigung m, d.h.

f(x) = m · x+ b.

Dann gilt:

(a) f ist fur alle x ∈ IR definiert.

(b) f ist monoton, und zwar

(i) streng monoton wachsend fur m > 0,

(ii) konstant fur m = 0 und

(iii) streng monoton fallend fur m < 0.

(c) f : IR → IR ist fur m 6= 0 bijektiv. f hat dann die Umkehrfunktion

f−1 : IR → IR mit f−1(x) =x

m− b

m.

Diese ist ebenfalls linear. Ihr Graph ist das Spiegelbild des Graph von f an der 1. Winkelhalbie-renden.

(d) f ist in IR stetig.

5. Funktionen 77

5.3.2 Quadratische Funktionen

(P) Die phanomenologische Ebene

Beispiele:Bruckenkonstruktion und Springbrunnen

Luftwiderstand

5. Funktionen 78

Bremsweg von Autos

Berechnung des Flacheninhalts eines Quadrats bzw. eines Kreises in Abhangigkeit vonSeitenlange bzw. Radius:

f(x) = x2 f(x) = πr2

Aufgabe 5.3.11

Um einen oben offenen Karton herzustellen,werden aus einem quadratischen Stuck Pappevon 45 cm Seitenlange vier

”Ecken“ herausge-

schnitten. Der Karton soll außen mit Klebefoliebeklebt werden.Gib eine moglichst einfache Vorschrift an, mitder du die zu beklebende Flache (in cm2) inAbhangigkeit von x (in cm) berechnen kannst.

Losung: f(x) = 452 − 4x2.

5. Funktionen 79

(A) Die algorithmische Ebene

Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel. Je nach Vorzeichen des Koeffizientenvon x2 ist sie

”nach oben“ oder

”nach unten“ geoffnet. Sie ist symmetrisch zu einer Parallelen zur

y-Achse und hat einen Scheitelpunkt, d.h. einen Punkt, der Maximum bzw. Minimum darstellt.

Im Prinzip ist der Graph einer beliebigen quadratischen Funktion g(x) eine Abwandlung (eine”affine

Transformation“) der Normalparabel, dem Graphen der Funktion f(x) = x2. Dabei entspricht

g(x) = f(x− b) = (x− b)2 einer horizontalen Verschiebung um b nach rechts (fur b > 0) oder nachlinks (fur b < 0),

g(x) = f(x) + c = x2 + c einer vertikalen Verschiebung um c nach oben (fur c > 0) oder nachunten (fur c < 0),

g(x) = a · f(x) = a · x2 einerStreckung (fur a > 1), einer Stauchung (fur 0 < a < 1) bzw. einerSpiegelung an der x-Achse (fur a < 0).

Je nach Anwendung ist es sinnvoll, eine der folgenden verschiedene Darstellungsmoglichkeiten zu wahlen:

(1) Die allgemeine Form f(x) = ax2 + bx+ c,

(2) die Scheitelpunktform f(x) = a(x− x0)2 + y0 mit dem Scheitelpunkt (x0|y0) oder,

(3) wenn moglich, die faktorisierte Form f(x) = a(x− x1)(x− x2).

5. Funktionen 80

Beispiele 5.3.12 (1) Losung quadratischer Gleichungen:Die Losung einer quadratischen Gleichung

ax2 + bx+ c = 0

ist gleichbedeutend mit der Bestimmung der Nullstellen der Funktion

f(x) = ax2 + bx+ c.

Wie man an den Beispielen erkennt, muss eine quadratische Funktion keine Nullstelle haben, siekann eine Nullstelle oder zwei Nullstellen haben, aber nicht mehr.Liegt die Funktion in faktorisierter Form vor, dann sind (die moglicherweise gleichen) Werte x1, x2gerade die Nullstellen.Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form, z.B. die Funktion

f(x) = −0, 5x2 − 2x+ 4

formt man mit Hilfe der quadratischen Erganzung in Scheitelpunktform um:

f(x) = −0, 5x2 − 2x+ 4 = −0, 5(x2 + 4x) + 4 = −0, 5(x2 + 4x+ 4− 4) + 4

= −0, 5(x2 + 4x+ 4) + 6 = −0, 5(x− (−2)

)2+ 6.

Die Parabel ist also nach unten geoffnet mit Scheitelpunkt (−2|6), also um 2 nach links und um6 nach oben verschoben.Die Nullstellen erhalt man, indem die Scheitelpunktsform gleich Null setzt und nach x auflost:

−0, 5(x− (−2)

)2+ 6 = 0 ⇔

(x− (−2)

)2= 12 ⇔ x1,2 = −2±

√12.

Fuhrt man diese Rechnung fur die Funktion

f(x) = ax2 + bx+ c

durch, dann erhalt man die Nullstellen (wenn sie existieren) durch die”p-q-Formel“:

x1,2 = − b

2a± 1

2a

√

b2 − 4ac = −p

2±

√

p2

4− q mit p =

b

a, q =

c

a.

Der Ausdruck unter der Wurzel D :=p2

4− q heißt Diskriminante der Gleichung

x2 + px+ c = 0

und ihr Vorzeichen gibt Auskunft daruber, wie viele (reelle) Losungen es gibt. Fur

D < 0 hat die Gleichung keine Losung,

D = 0 hat die Gleichung genau eine Losung, namlich x1 = −p

2,

D > 0 hat die Gleichung zwei Losungen x1,2 = −p

2±

√

p2

4− q.

5. Funktionen 81

Addiert man die Nullstellen, dann erhalt man immer −p und durch Multiplikation immer q, d.h.die Nullstellen einer quadratischen Gleichung der Form

x2 + px+ q = 0

sind die beiden (moglicherweise gleichen) Zahlen, deren negative Summe p und deren Produkt qergibt (Satz von Vieta).In Spezialfallen (z.B. wenn die Nullstellen ganzzahlig sind) kann man daher die Nullstellen aucherraten.

(2) Losung quadratischer Ungleichungen:Die Losung einer quadratischen Ungleichung

ax2 + bx+ c < 0

ist gleichbedeutend mit der Bestimmung der x-Werte, fur die die zugehorigen Werte der Funktion

f(x) = ax2 + bx+ c

negativ sind.Bei der Ungleichung

x2 + 2x− 3 < 0

sind das die Werte zwischen den beiden Nullstellen x1 = −3 und x2 = 1 der Funktion

f(x) = x2 + 2x− 3,

also alle x-Werte aus dem (offenen) Intervall zwischen −3 und 1.Bei der Ungleichung

−x2 + x+ 6 < 0

sind das die Werte links von der Nullstelle x1 = −2 sowie rechts von der Nullstelle x2 = 3 derFunktion

f(x) = −x2 + x+ 6,

also alle reellen Zahlen außer den Werten aus dem (abgeschlossenen) Intervall zwischen −2 und 3.

(3) Fur Extremwertprobleme ist die Scheitelpunktform die am besten geeignete.

Aufgabe 5.3.13 Mit 120 m Zaun soll ein rechteckiger Auslauf fur Huhner abgegrenzt werden.Wie erhalt man eine moglichst große Flache, wenn der Auslauf(a) auf offenem Gelande (b) an einer Hauswand

angelegt werden soll?

5. Funktionen 82

Losung:

Die zu maximierende Flache istA = a · b,

der vorgegebene Umfang, der durch den Zaun abgedeckt wird,

120 = U1 = 2a+ 2b bzw. 120 = U2 = 2a+ b.

Lost man die Formel fur U nach b auf und setzt dies in die Flachenformel ein erhalt man A alsquadratische Funktion von a, namlich

A = f1(a) = a(60− a) = 60a− a2 = −(a− 30)2 + 900

bzw.A = f2(a) = a(120 − 2a) = 120a− 2a2 = −2(a− 60)2 + 1800.

Die Scheitelpunkte der zugehorigen Parabeln sind (30|900) bzw. (30|1800), der gesuchte maximaleFlacheninhalt ergibt sich also im ersten Fall bei a = b = 30, d.h. wenn die Flache ein Quadrat ist,und betragt 900. Im zweiten Fall ergibt sich a = 30, b = 60, also als Flache ein halbes Quadrat,und der maximale Flacheninhalt ist 1800.

(T) Die theoretische Ebene

Parabeln lassen sich (außer als Graph einer quadratischen Funktion) als Schnitte eines (unendlich aus-gedehnten) geraden Kreis(doppel)kegels mit einer geeigneten Ebene, d.h. als Kegelschnitt, charakte-risieren.

Eine andere Charakterisierung ist als geometrischer Ort:

Wir betrachten den Punkt F = (0|b) und die Gerade g parallel zur x-Achse durch (0| − b) und suchendie Menge M aller Punkte (x|y), die von F und g denselben Abstand haben.

Der Abstand zu g ist y + b, der Abstand zu F ist√

x2 + (y − b)2.Gleichsetzen ergibt als Gleichung fur die Punkte von M

y =1

4bx2,

sie liegen also auf einer Parabel.

5. Funktionen 83

Satz 5.3.14 Sei F ein fester Punkt, g eine Gerade in der Ebene mit f 6∈ g. Dann bilden alle Punkte derEbene, die von F und g gleichen Abstand haben, eine Parabel. F heißt Brennpunkt und g Leitgeradeder Parabel.

Bemerkungen 5.3.15 (1) Umgekehrt hat jede Parabel einen Brennpunkt und eine Leitlinie.

(2) Man nutzt diese Eigenschaft bei Parabolspiegeln aus. Zum Beispiel werden bei Satellitenschusselndie praktisch parallelen Satellitensignale auf den LNB im Brennpunkt gebundelt.

Satz 5.3.16 Sei f(x) = ax2 + bx+ c eine beliebige quadratische Funktion mit a > 0 und Scheitelpunkt(x0|y0). Dann gilt:

(a) f ist fur alle x ∈ IR definiert.

(b) f ist in Teilintervallen monoton, und zwar

(i) streng monoton fallend fur −∞ < x ≤ x0,

(ii) streng monoton wachsend fur x0 ≤ x < ∞.

(c) f : [x0,∞) → [y0,∞) ist bijektiv. f hat dann die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

f−1 : [y0,∞) → [x0,∞) mit f−1(x) =

√

x− y0

a+ x0.

Ihr Graph ist das Spiegelbild des Graph von f an der 1. Winkelhalbierenden.

(d) f ist in IR stetig.

Bemerkung 5.3.17 Fur a < 0 ist die Funktion zuerst streng monoton wachsend und dann strengmonoton fallend.

5.4 Exponential- und Logarithmusfunktion

5.4.1 Exponentialfunktion

Menschen zahlen zeitlebens wie ABC-Schutzen: 400, 402, 403, ..., viele.

Die Natur zahlt anders, z.B. bei Zellteilungen, : 400, 800, 1600, 3200, ..., sehr viele. Der zugehorigeFunktionsterm ist dafur

N(t) = 400 · 2t, t ≥ 0.

(P) Die phanomenologische Ebene

Angenommen, einer Ihrer Vorfahren hatte vor genau 300 Jahren 1 e mit 8% pro Jahr festverzinslichangelegt.Seine Weitsicht hatte sich bezahlt gemacht! Jahr fur Jahr ware die Einlage um den Faktor 1,08 gewach-sen:

1 · 1, 08 · 1, 08 · . . . · 1, 08 = 1, 08300 ≈ 10, 6 Milliarden.

Hinter dem erstaunlichen Anwachsen der bescheidenen Einlage steht die Exponentialfunktion

f(x) = 1, 08x.

Sie genugt, wie wir aus der Potenzrechnung wissen, der Funktionalgleichung

f(x+ y) = f(x) · f(y).

5. Funktionen 84

Diese Gleichung besagt insbesondere, daß immer dann, wenn das Argument um den gleichen Wert (+y)vergroßert wird, der Funktionswert um den gleichen Faktor (·f(y)) zunimmt.Und genau dies bewirkt, daß exponentielles Wachstum so unerwartet explodiert.

Aufgabe 5.4.1 lineares und exponentielles WachstumIn einer Flußniederung wird Kies ausgebaggert. Ein anfangs 500m2 großer Teich vergroßert sich durchdie Baggerarbeiten jede Woche um 200m2.

Da der See spater als Wassersportflache genutzt werden soll, wird die Wasserqualitat regelmaßig unter-sucht. Besonders genau wird eine Algenart beobachtet, die sich sehr schnell vermehrt.Die von den grunen Algen bedeckte Flache ist zu Beginn der Baggerarbeiten 10 m2 groß, sie verdoppeltsich jede Woche.

5. Funktionen 85

(a) Setze die Wertetabellen bis zu 8 Wochen fort. Ermittle auch die zugehorigen Funktionsterme f1(x)und f2(x).

(b) Zeichne die Graphen der Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem.

(c) Wann ungefahr ist der ganze See mit Algen bedeckt?

Losung: Als Funktionsterme ergeben sich f1(x) = 500 + 200x und f2(x) = 10 · 2x.Wie sich aus den Funktionsgraphen ergibt, ist nach ungefahr 71

2 Wochen die ganze Seeflache mit Algenbedeckt.

Aufgabe 5.4.2 Angenommen, die jahrliche Inflationsrate eines Landes liegt uber 10 Jahre hinweg bei6%. Wieviel Prozent betragt nach dieser Zeit die Kaufkraft?

Die Kaufkraft eines Euro nach 1 Jahr betragt 0, 94 Euro. Entsprechend gilt

Kaufkraft nach x Jahren = 0, 94x, also Kaufkraft nach 10 Jahren = 0, 9410 ≈ 0, 54.

Der Geldwert verfallt um 46%, das Geld ist nur noch gut die Halfte wert.

5. Funktionen 86

(A) Die algorithmische Ebene

Gegenuberstellung des Verhaltens linearer und exponentieller Funktionen:

Furf(x) = b · ax mit b ∈ IR, a > 0,

und c ∈ IR beliebig gilt

f(x+ c) = b · ax+c = b · ax · ac = f(x) · ac bzw.f(x+ c)

f(x)= ac = const.,

d.h. bei gleichem Zuwachs c im Argument ist der relative Zuwachs konstant. Anders ausgedruckt:

Zu gleichen Zuwachsen im Argument gehort (unabhangig von x) immer der gleiche Wachstumsfaktor.

Fur verschiedene Werte von a > 0 ergeben sich folgende Graphen:

Spiegelt man den Graph von ax an der y-Achse, dann erhalt man den Graph von

(1

a

)x

.

5. Funktionen 87

Eigenschaften von f(x) = ax

Fall a > 1 0 < a < 1

Monotonie streng wachsend streng fallend

Definitionsmenge IR IR

Wertemenge IR+ IR+

Asymptote negative x-Achse positive x-Achse

f(0) = 1 1

Exponentielle(s/r) Wachstum Zerfall

(T) Die theoretische Ebene

Ziele:

(1) Konstruktive Definition der Exponentialfunktion ax mit Hilfe der Potenzrechnung (10. Klasse) furx ∈ IQ und Erweiterung auf x ∈ IR.

(2) Charakterisierung von ax durch die Grundeigenschaft exponentiellen Wachstums bzw. axiomati-sche Kennzeichnung durch die zugehorige Funktionalgleichung.

(1) Konstruktive Definition der Exponentialfunktion

Wir folgen dem Aufbau des Zahlensystems IN ⊂ ZZ ⊂ IQ ⊂ IR.

1. Schritt x ∈ IN: ax := a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸

x-mal

. (induktiv)

2. Schritt x ∈ ZZ: a0 := 1, a−n :=1

an. (Permanenzprinzip!)

3. Schritt x ∈ IQ+0 : Wegen

a = a1 = a1

3+ 1

3+ 1

3 = a1

3 · a 1

3 · a 1

3

setze a1

3 := 3√a. (Permanenzprinzip!)

Allgemein fur m,n ∈ IN: a1

n := n

√a, a

m

n :=(

a1

n

)m

.

4. Schritt x ∈ IR:

5. Funktionen 88

Sei x ∈ IR \ IQ. Dann gibt es Folgen rationaler Zahlen (rn), (sn) mit x ∈ [rn, sn] fur alle n ∈ IN undlimn→∞

(sn − rn) = 0. Weiter gilt limn→∞

(asn − arn

)= 0. Wir definieren

ax := limn→∞

arn .

Satz 5.4.3 Sei a > 0, f(x) = ax die zugehorige Exponentialfunktion. Dann gilt:

(a) f ist fur alle x ∈ IR definiert.

(b) f ist in IR monoton, und zwar

(i) streng monoton fallend fur 0 < a < 1,

(ii) konstant = 1 fur a = 1,

(iii) streng monoton wachsend fur a > 1.

(c) f : IR → (0,∞) ist bijektiv und hat eine Umkehrfunktion f−1 : (0,∞) → IR.

(d) f ist in IR stetig.

(e) f genugt der Funktionalgleichung f(x+ y) = f(x) · f(y).

(2) Charakterisierung von ax durch die Funktionalgleichung

Satz 5.4.4 Eine streng monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion

f : IR → IR+,

bei der”zu gleichen Zuwachsen im Argument stets der gleiche Wachstumsfaktor gehort“, d.h. fur die

die Funktionalgleichungf(x+ y) = f(x) · f(y) fur alle x, y ∈ IR

gilt, ist (bis auf einen konstanten Faktor) notwendig von der Form

f(x) = ax mit a > 1 bzw. 0 < a < 1.

5.4.2 Logarithmusfunktion

Wir untersuchen in diesem Abschnitt die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen.

Definition 5.4.5 Sei a > 0, a 6= 1. Die Umkehrfunktion f−1 der Exponentialfunktion f(x) = ax heißtLogarithmusfunktion.Schreibweise f−1(x) = loga.

Bemerkungen 5.4.6 (1) Bei der Bestimmung von r = loga p (mit a, p > 0)wird danach gefragt, mitwelcher Zahl r man a potenzieren muss, um p zu erhalten.

(2) Die Logarithmusfunktion ist nur fur positive x definiert.

(3) Da die Logarithmusfunktion loga y und die Exponentialfunktion ax Umkehrfunktionen jeweilsUmkehrfunktionen der anderen sind, gilt

aloga(x) = x und loga(ax) = x.

5. Funktionen 89

(4) Die Graphen der Exponentialfunktion ax und der zugehorigen Logarithmusfunktion loga sindsymmetrisch zur 1. Winkelhalbierenden.

(5) Die Logarithmusfunktion loga zur Basis a ist

• streng monoton wachsend fur a > 1,

• streng monoton fallend fur 0 < a < 1.

(6) Aus den Rechenregeln fur die Exponentialfunktion ergeben sich Rechenregeln fur Logarith-musfunktion:

Fur a, r, s ∈ IR+, a 6= 1, gilt:

• loga(r · s) = loga(r) + loga(s)

• loga(r

s

)= loga(r)− loga(s)

• loga(rs) = s · loga(r)

(7) Fur verschiedene Werte der Basis a erhalt man folgende Graphen:

5. Funktionen 90

Taschenrechner beherrschen haufig nur den Logarithmus zur Basis 10

lg(x) := log10(x)

und den”naturlichen Logarithmus“ zur Basis e (der

”eulerschen Zahl“)

ln(x) = loge(x).

Die Umrechnung auf Werte der Logarithmusfunktion mit Basis a zur Logarithmusfunktion mitBasis b erfolgt mit folgender Formel:

loga(x) =logb(x)

logb(a).

Zum Schluss ein Vergleich von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion:

Exponentialfunktion ax Logarithmusfunktion loga(x)

IR → IR+ IR+ → IR

a0 = 1 loga(1) = loga(a0) = 0

Der Punkt (0 | 1) ist Element des Graphen jederExponentialfunktion

Der Punkt (1 | 0) ist Element des Graphen jederLogarithmusfunktion

Die x-Achse ist waagerechte Asymptote an denGraphen von ax

Die y-Achse ist senkrechte Asymptote an denGraphen von loga

Anwendungen der Logarithmusfunktion

1. RechenschieberDen Rechenschieber haben wir bei Einfuhrung der naturlichen Zahlen als Hilfsmittel zur Additionkennengelernt. Schreibt man als Skalenwerte statt der Abstande x vom Nullpunkt jeweils z.B. die Werte10x, dann erhalt man wegen der Rechenregeln

loga(r · s) = loga(r) + loga(s) und loga(r

s) = loga(r)− loga(s)

ein Hilfsmittel zur Multiplikation von reellen Zahlen, das vor der Einfuhrung der digitalen Taschenrech-ner fur technische Berechnungen sehr oft benutzt wurde.

5. Funktionen 91

Beispielrechnungen:

(1) 2 · 3 =? bzw. log10(2 · 3) = log10(2) + log10(3) = log10(6)

(2) 1, 7 · 2, 5 =? bzw. log10(1, 7 · 2, 5) = log10(1, 7) + log10(2, 5) = log10(4, 25)

(3) 12 : 3 =? bzw. log10(12 : 3) = log10(12) − log10(3) = log10(4)

2. Zinseszins

Ein Kapital K0 wird zu einem Zinssatz p% pro Jahr angelegt. Die anfallenden Zinsen werden am Endedes Jahres ebenfalls dem Sparkonto gutgeschrieben. Wie viele Jahre muss man sparen, bis sich dasKapital ver-m-facht hat?LosungGesucht ist die Anzahl der Jahre n mit

K(n) = K0 ·(

1 +p

100

)n

= m ·K0.

Aus m =(

1 +p

100

)n

, d.h. ln(m) = n · ln(

1 +p

100

)

ergibt sich

n =ln(m)

ln(1 + p

100

) .

Wird z.B. gefragt, wann sich ein mit 4% verzinstes Kapital verdreifacht hat, ergibt sich mit m = 3 undp = 4

n =ln(3)

ln(1 + 4

100

) =ln(3)

ln(2625

) ≈ 1, 098612289

0, 039220713≈ 28, 011022875.

5.5 Antiproportionale Zuordnungen

(P) Die phanomenologische Ebene

Beispiele 5.5.1 (1) Ein Lottogewinn von 300.000e soll unter einer Tippgemeinschaft aufgeteilt wer-den. Wieviel bekommt jeder Mitspieler, wenn die Tippgemeinschaft aus 3, 5, 6, 10 bzw. 30 Personenbesteht?

Personenzahl 3 5 6 10 30

Gewinn pro Person in e 100.000 60.000 50.000 30.000 10.000

(2) Ein Schiffskoch hat 300 kg Kartoffeln eingekauft. Wie lang reicht der Vorrat, wenn jedes Be-satzungsmitglied am Tag 250 g Kartoffeln benotigt und die Besatzung aus 10, 12, 16, 24 bzw. 30Personen besteht?

Personenzahl 10 12 16 24 30

Tage 120 100 75 50 40

5. Funktionen 92

Wie rechnet man das?Im ersten Beispiel rechnet man jeweils Gesamtgewinn K durch Anzahl der Personen x:

g(x) =K

x.

Im zweiten Beispiel rechnet man am besten zunachst die 300 kg in”Mann-Tagesrationen“ um (Dreisatz):

0, 25 kg = 1 Ration ⇒ 300 kg = 1200 Rationen.

Dann rechnet man die Anzahl 1200 der Tagesrationen durch die Anzahl der Personen x:

t(x) =1200

x.

In beiden Fallen gilt:

Das Produkt aus Argument und Funktionswert ist konstant. (Produktgleichheit)

In einem solchen Fall spricht man von einer antiproportionalen Zuordnung.(Ungenauer formuliert:

”je großer x, desto kleiner f(x)“ - aber nicht jede streng monoton fallende

Funktion ist eine antiproportionale Zuordnung.)

Graphen antiproportionaler Zuordnungen:

Das Bild zeigt die Losungsmenge der Gleichung

y =a2

2x,

- eine (gleichseitige) Hyperbel. (Fur a =√2 ergibt sich die

ubliche Kehrwertfunktion.)

Die Flache des Rechtecks aus x- und y-Koordinate der Punk-te der Hyperbel ist konstant (Produktgleichheit!).

Der Graph hat sowohl x-Achse als auch y-Achse als Asym-ptoten.

Gegenuberstellung proportionaler und antiproportionaler Zuordnungen:

Proportionale Zuordnung antiproportionale Zuordnung

f(x) = ax mit (a > 0) f(x) =a

xmit (a > 0)

Quotientengleichheit Produktgleichheit

(d.h.f(x)

x= a fur alle x) (d.h. f(x) · x = a fur alle x)

”je großer x, desto großer f(x)“

”je großer x, desto kleiner f(x)“

Graph: Gerade Graph: Hyperbel

5. Funktionen 93

(T) Die theoretische EbeneHyperbeln treten wie Parabeln und Ellipsen als Schnitt eines geraden Kreisdoppelkegels mit einer Ebeneauf - sie sind Kegelschnitte.

Eine weitere geometrische Charakterisierung istals Menge aller Punkte, fur die die Differenz derAbstande von zwei gegebenen (Brenn-)PunktenF1, F2 konstant ist. Nach geeigneter Koordina-tentransformation erhalt man die Hyperbel alsMenge aller Punkte (x|y), deren Koordinatendie quadratische Gleichung

x2

a2− y2

b2= 1

erfullen.

Der Graph ist punktsymmetrisch und hat zwei Asymptoten, die sich im Symmetriezentrum schneiden;sie bilden die Diagonalen eines Rechtecks mit Seitenlangen 2a und 2b, wobei 2a die konstante Differenzist. Gilt a = b (gleichseitige Hyperbel), dann stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander.

5.6 Trigonometrische Funktionen

5.6.1 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

Man kann dieWinkelfunktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens) auf verschiedene Weisen einfuhren:

• Uber Langenverhaltnisse der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks,

• als spezielle Potenzreihen im Zusammenhang mit der Exponentialfunktion oder

• als Umkehrfunktion von speziellen Kurvenintegralfunktionen.

Nachteil der beiden letzteren Methoden ist, dass sie unanschaulich sind und viel mehr Mathematikvoraussetzen als in der Schule zur Verfugung steht. Nachteil der ersten Methode ist die Schwierigkeit,den Winkelbegriff exakt zu definieren.

Wir wahlen die erste Methode. Dazu betrachten wir einrechtwinkliges Dreieck mit den Ecken A,B und C, den Win-keln α, β und γ bei A,B bzw. C, und setzen voraus, dass derrechte Winkel bei C liegt. Die Seite c = AB heißt dann Hy-pothenuse, die anderen beiden Seiten Katheten des Drei-ecks, speziell a = BC Gegenkathete von α und b = AC

Ankathete von α.

5. Funktionen 94

Da die Winkelsumme eines Dreiecks in der eukli-dischen Ebene 180◦ betragt, sind die Großen allerWinkel durch Vorgabe z.B. des Winkels α festge-legt. Und da Dreiecke, deren entsprechende Winkelgleich groß sind, zueinander ahnlich sind, sind dieLangenverhaltnisse entsprechender Seiten bei allendiesen ahnlichen Dreiecken gleich.

Daher wird folgende Definition sinnvoll:

Definition 5.6.1 Gegeben sei das Dreieck ABC mit γ = 90◦. Die Funktion

(a) f : (0, 90◦) → IR mit f(α) :=Gegenkathete

Hypothenuse=

a

cheißt Sinusfunktion,

(Schreibweise: sinα),

(b) f : (0, 90◦) → IR mit f(α) :=Ankathete

Hypothenuse=

b

cheißt Kosinusfunktion,

(Schreibweise: cosα),

(c) f : (0, 90◦) → IR mit f(α) :=Gegenkathete

Ankathete=

a

bheißt Tangensfunktion,

(Schreibweise: tanα),

(d) f : (0, 90◦) → IR mit f(α) :=Ankathete

Gegenkathete=

b

aheißt Kotangensfunktion,

(Schreibweise: cotα).

Bemerkungen 5.6.2 (1) Hypothenuse, Ankathete und Gegenkathete sind Strecken und von diesenkann man naturlich keine Quotienten bilden. Gemeint sind in der vorigen Definition naturlich dieLangen der entsprechenden Strecken.

(2) Aus der Definition, β = 90◦ − α und dem Satz von Pythagoras folgt

(i) sin β = cosα, cos β = sinα, tan β = cotα, cot β = tanα,

(ii) tanα =sinα

cosα, cotα =

cosα

sinα,

(iii) sin2 α+ cos2 α = 1, 1 + tan2 α =1

cos2 α, 1 + cot2 α =

1

sin2 α.

5.6.2 Erweiterung des Definitionsbereichs

Die Winkelfunktionen sind bisher nur fur α ∈ (0◦, 90◦) definiert.Betrachtet man nur rechtwinklige Dreiecke mit Hypothenusenlange 1, dann ist sinα gleich der Langeder Gegenkathete und cosα gleich der Lange der Ankathete.Wir betrachten nun in einem Koordinatensystem den Kreis um den Ursprung mit Radius 1 (Einheits-kreis) und definieren Sinus und Kosinus durch mit Vorzeichen versehene Streckenlangen:

5. Funktionen 95

✲

✻y

x

☛❞

❞

❞

❞

❞

❞

❞

A

B

P

C

D

E

F

O

α

P ist ein beliebiger Punkt des Einheitskreises und α der Winkel zwischen der positiven x-Achse (−→OA)

und dem Ortsvektor−−→OP zu P .

Da der Winkel α und die Lange AP des zugehorigen Kreisbogens proportional sind, misst man denWinkel oft im Bogenmaß.

Es entsprechen also

• 90◦ dem Bogenmaßπ

2,

• 180◦ dem Bogenmaß π und allgemein

• α in Grad dem Bogenmaß α · π

180◦.

Wir definieren sinα und cosα als y- bzw. y-Koordinate von P .

D hat die y-Koordinate tanα (fur α 6= π

2, α 6= 3π

2), F hat die x-Koordinate cotα (fur α 6= 0, α 6= π).

Wir erweitern damit den Definitionsbereich der Funktionen auf das Intervall [0|2π) und setzen

Definition 5.6.3

(a) sin 0 := sinπ := tan 0 := cosπ

2:= cos

3π

2:= cot

π

2:= 0,

sinπ

2:= cos 0 := 1, sin

3π

2:= cosπ := −1.

(b) Furπ

2< x < π sei

sinx = sin(π − x), cos x = − cos(π − x), tanx = − tan(π − x), cot x = − cot(π − x).

(c) Fur π < x <3π

2sei

sinx = − sin(x− π), cos x = − cos(x− π), tanx = tan(x− π), cot x = cot(x− π).

(d) Fur3π

2< x < 2π sei

sinx = − sin(2π−x), cosx = cos(2π−x), tan x = − tan(2π−x), cot x = − cot(2π−x).

5. Funktionen 96

Fur die Vorzeichen der Winkelfunktionen ergibt sich

1. Quadrant 2. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant

α ∈(0, π2

)α ∈

(π2 , π

)α ∈

(π, 32 π

)α ∈

(32 π, 2π

)

sinα + + − −cosα + − − +

tanα + − + −cotα + − + −

Fur spezielle Winkel ergeben sich aus der Betrachtung des halben gleichseitigen Dreiecks und des gleich-schenkligen rechtwinkligen Dreiecks folgende Funktionswerte:

α 0 π6

π4

π3

π2

sinα 0 12

12

√2 1

2

√3 1

cosα 1 12

√3 1

2

√2 1

2 0

tanα 0 13

√3 1

√3 nicht definiert

cotα nicht definiert√3 1 1

3

√3 0

Es fehlt die Erweiterung des Definitionsgebietes der Funktionen auf IR:

Definition 5.6.4 Sei x ∈ IR beliebig.

(a) Fur k ∈ ZZ, x∗ ∈ [0|2π) mit x = x∗ + 2kπ setzen wir

sinx = sin(x∗ + 2kπ) := sinx∗, cos x = cos(x∗ + 2kπ) := cos x∗.

(b) Fur k ∈ ZZ, x∗ ∈ [0|π) mit x = x∗ + kπ, x∗ 6= π

2setzen wir

tan x = tan(x∗ + kπ) := tanx∗.

(c) Fur k ∈ ZZ, x∗ ∈ [0|π) mit x = x∗ + kπ, x∗ 6= π setzen wir

cot x = cot(x∗ + kπ) := cot x∗.

Bemerkung 5.6.5 Damit ergibt sich fur alle x im Definitionsbereich der entsprechenden Funktionen

(1) sin(π − x) = sinx, cos(π − x) = − cosx, tan(π − x) = − tanx, cot(π − x) = − cot x,

(2) sin(x+ π2 ) = cos x, cos(x+ π

2 ) = − sinx, tan(x+ π2 ) = − cot x, cot(x+ π

2 ) = − tanx,

(3) sin(x+ π) = − sinx, cos(x+ π) = − cos x, tan(x+ π) = tanx, cot(x+ π) = cot x,

(4) sin(−x) = − sinx, cos(−x) = cos x, tan(−x) = − tanx, cot(−x) = − cot x.

5. Funktionen 97

5.6.3 Graphen und Eigenschaften von sin, cos und tan

sin : IR → [−1, 1]:−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

x

y

cos : IR → [−1, 1]:−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

x

y

tan : IR \ {(2k + 1)π

2; k ∈ ZZ} → IR:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Bemerkungen 5.6.6 (1) Wegensin2 x+ cos2 x = 1

fur alle x ∈ IR liegen die Funktionswerte sowohl von sin als auch von cos im Intervall [−1|1].

(2) Sinus- und Kosinusfunktionen sind (2π)-periodisch, Tangens- und Kotangensfunktion π-periodisch,d.h. es gilt fur alle x aus dem Definitionsbereich und alle k ∈ ZZ

sin(x+k·2π) = sin(x), cos(x+k·2π) = cos(x), tan(x+k·π) = tan(x), cot(x+k·π) = cot(x).

Insbesondere gilt fur alle k ∈ ZZ:

sin(kπ) = 0, sin(π

2+ k · 2π

)

= 1, sin(3π

2+ k · 2π

)

= −1

cos(π

2+ kπ

)

= 0, cos(k · 2π) = 1, cos(π + k · 2π) = −1.

sin und cos sind fur die x maximal bzw. minimal, fur die f(x) = 1 bzw. f(x) = −1 gilt.

(3) sin, tan und cot sind punktsymmetrisch zum Ursprung - sie sind ungerade. Die Funktion cosist achsensymmetrisch zur y-Achse, d.h. gerade. Es gilt also

sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x), tan(−x) = − tanx, cot(−x) = − cot x.

5. Funktionen 98

(4) Durch eine (Phasen-) Verschiebung umπ

2nach links geht sin in cos uber:

sin(

x+π

2

)

= cos(x).

Entsprechend geht durch eine (Phasen-) Verschiebung umπ

2nach rechts cos in sin uber:

cos(

x− π

2

)

= sin(x).

(5) Die Auswirkungen von Faktoren bzw. Summanden bei Argument von Funktionswert erkennt manan folgender Zeichnung, in der Graphen verschiedener Abwandlungen der Sinusfunktion dargestelltsind:

• Ein Vorfaktor a vor dem Funktionswert (hier: a = 2 bei g(x) = 2 sinx) fuhrt zur Ver-a-fachung der Amplitude (Maximalabstand zwischen zwei verschiedenen Funktionswerten).

• Ein Vorfaktor a vor dem Argument (hier: a = 2 bei h(x) = sin 2x) fuhrt zur Ver-a-fachungder Frequenz (dem Kehrwert der Periode).

• Summanden im Argument (hier +1 bei i(x) = sin(x + 1) + 1, 5) fuhren zu waagerechten,Summanden am Funktionswert (hier +1, 5 bei i(x) = sin(x+1)+1, 5) fuhren zu senkrechtenVerschiebungen.

(6) Die Tangensfunktion hat Polstellen in x = (2k + 1)π2 , k ∈ ZZ. Die Parallelen zur y-Achse durchdiese Punkte sind Asymptoten.

Die trigonometrischen Funktionen sind weder linear noch multiplikativ. Entsprechende Funktionalglei-chungen sind die Additionstheoreme:

Satz 5.6.7 Fur alle x, y ∈ IR gilt

(1) sin(x+ y) = sinx cos y + cos x sin y, sin(x− y) = sinx cos y − cos x sin y,

speziell sin(2x) = 2 sin x cos y,

5. Funktionen 99

(2) cos(x+ y) = cos x cos y − sinx sin y, cos(x− y) = cosx cos y + sinx sin y,

speziell cos(2x) = cos2 y − sin2 x,

(3) sinx+ sin y = 2 sinx+ y

2cos

x− y

2, sinx− sin y = 2 cos

x+ y

2sin

x− y

2,

(4) cos x+ cos y = 2 cosx+ y

2cos

x− y

2, cos x+ cos y = −2 sin

x+ y

2sin

x− y

2.

(5) Fur alle geeigneten x, y ∈ IR gilt tan(x+ y) =tan x+ tan y

1− tanx tan y.

5.6.4 Monotonieintervalle und Umkehrfunktionen

Man entnimmt den Graphen, dass

• sin im Intervall[

− π

2,π

2

]

streng monoton wachsend ist;

• cos im Intervall [0, π] streng monoton fallend ist;

• tan im Intervall(

− π

2,π

2

)

streng monoton wachsend ist.

Da die Funktionen auf diesen Intervallen jeweils auch surjektiv als Funktionen nach [−1, 1] bzw. nachIR (tan) sind, besitzen sie Umkehrfunktionen

arcsin : [−1, 1] →[

− π

2,π

2

]

:−2 −1 1 2

−1

1

x

y

arccos : [−1, 1] → [0, π]:

−1 1

1

2

3

x

y

5. Funktionen 100

arctan : IR →(

− π

2,π

2

)

]:−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

x

y

5.6.5 Winkelfunktionen im nichtrechtwinkligen Dreieck

Man kann auch mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen Beziehungen zwischen den Winkrln einesnicht rechtwinkligen Dreiecks beschreiben.

Es gilt namlich

Satz 5.6.8 Gegeben sei ein (im allgemeinen) nicht rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlangen a, b, cund den Winkeln α, β und γ.

(a)sinα

a=

sin β

b=

sin γ

c(Sinussatz)

(b) a2 = b2 + c2 − 2bc cosα . (Kosinussatz)

Bemerkung 5.6.9 Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras fur nicht-rechtwinklige Dreiecke.

101

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 11.1 Der Mengenbegriff, Schreibweisen, Spezielle Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Entwicklung des Zahlbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Naturliche Zahlen 102.1 Die naturlichen Zahlen als Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Die naturlichen Zahlen als Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Darstellung naturlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Rechnen im Stellenwertsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Bruche, Rationale Zahlen 323.1 Bruche und Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Rechnen mit Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Dezimalbruche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Negative ganze und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5 Ein alternatives Modell zur Einfuhrung von ZZ und IQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Reelle Zahlen 504.1 Unvollstandigkeit der Menge der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.1 Die Zahlengerade, Inkommensurabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.2 Losung von Polynom-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.3 Eigenschaften stetiger und differenzierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Einfuhrung der reellen Zahlen durch Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Vollstandigkeit von IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 Anordnung und Rechenoperationen in IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5 Wurzeln als spezielle irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.6 Kettenbruche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.7 Machtigkeit von IQ und IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Funktionen 655.1 Hintereinanderausfuhrung von Funktionen, Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Proportionale, antiproportionale und quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3.1 Proportionale Zuordnungen - lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4.2 Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.5 Antiproportionale Zuordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.6 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.6.1 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.6.2 Erweiterung des Definitionsbereichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

INHALTSVERZEICHNIS 102

5.6.3 Graphen und Eigenschaften von sin, cos und tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.6.4 Monotonieintervalle und Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.6.5 Winkelfunktionen im nichtrechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Index

ℵ0, 63∈, 16∈, 1∅, 16j, 2j, 2$, 2P(M), 2∪, 2∩, 2\, 2×, 2M , 3∼, 7<, 8, 14, 19≤, 8, 14>, 14≥, 14|, 25IN, 4, 11IN0, 4ZZ, 4, 43ZZ−, 43IQ, 4, 43IQ+, 4, 33IQ+0 , 43

IQ−, 43IR, 5, 54IC, 5cos, 94–96cot, 94–96sin, 94–96tan, 94–96a−1, 46e, 55ggT, 30kgV, 30

abzahlbar, 18, 63Addition, 36Additionstheoreme, 98Aquivalenzklasse, 9Aquivalenzrelation, 9alternierende Quersummenregel, 27Anfangsstuck, 63Ankathete, 93

antisymmetrisch, 8Archimedisches Axiom, 54arithmetisches Mittel, 58Assoziativgesetz, 14Aussageform, 12Axiomensystem

Peanosches, 11

Bundelungsprinzip, 20Basis, 21Baumdiagramm, 29beschrankt, 37bijektiv, 7Binarsystem, 23Bogenmaß, 95Brennpunkt, 83Bruch, 32

aquivalent, 33erweitern, 34gleichnamig, 34kurzen, 34vollstandig gekurzt, 34

Bruchzahl, 33

Cantorsches Diagonalverfahren, 63

Definitionsmenge, 5Dezimalbruch, 39

abbrechender, 39endlicher, 39periodischer, 40unendlicher, 39

Dezimalsystem, 23dicht, 37Differenz, 18, 44Dirichlet-Funktion, 6Dirichletsches Schubfachprinzip, 16disjunkt, 3diskret, 37Diskriminante, 80Distributivgesetz, 14Division mit Rest, 20Dreisatz, 74Durchschnitt, 2

e, 55Ein-Ausschließungsprinzip, 19

103

INDEX 104

Einheit, 27Einselement, 46Element, 1Elementzahl, 63endlich, 17, 63Endstellenregel, 27Eratosthenes

Sieb des, 27erweitern, 34Euklid, 28euklidischer Algorithmus, 30Eulersche Zahl, 55Eulersche Zahl e, 55

Folge, 70divergente, 72konvergente, 72

Funktion, 5bijektiv, 7injektiv, 6Kosinus-, 94Kotangens-, 94linear, 74Sinus-, 94stetig, 69surjektiv, 6Tangens-, 94Winkel-, 94

Funktionswert, 5

Gegenkathete, 93gemischtperiodisch, 40geometrisches Mittel, 58gleichmachtig, 18, 63gleichnamig, 34Goldener Schnitt, 51Grenzwert

einer Folge, 72Gruppe, 45

kommutative, 45

Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, 29Hexadezimalsystem, 23Hintereinanderausfuhrung, 65Hypothenuse, 93

Induktionsaxiom, 12injektiv, 6inkommensurabel, 50Intervallschachtelung, 53

Intervallschachtelungs-Axiom, 53irrational, 53

Korper, 46angeordneter, 48

kurzen, 34Kardinalzahl, 10, 17, 63

Differenz, 18Kleiner-Relation, 19Produkt, 18Subtraktion, 18Summe, 18

kartesisches Produkt, 2Kathete, 93Kernbruch, 34Kettenbruch, 61Kettenprinzip, 16kleiner, 14Kleiner-Relation, 15, 19kommensurabel, 50Kommutativgesetz, 14Komplement, 3Komplementarteiler, 25Komposition, 65Kosinus, 94–96Kosinussatz, 100Kotangens, 94–96

Leitgerade, 83linear, 74Linkseindeutigkeit, 15

Machtigkeit, 18Menge, 1

endliche, 63leere, 1unendliche, 63vollstandig geordnet, 8

Mengendifferenz, 2Monotoniegesetz, 15Monotoniekriterium, 52Multiplikation, 35

Nenner, 32neutrales Element, 14, 45Normalparabel, 79Nullelement, 46

Obermenge, 2Ordinalzahl, 10

INDEX 105

Ordnungsrelation, 8, 14nicht strenge, 8nicht strenge Halbordnung, 8strenge, 8vollstandig, 8

p-q-Formel, 80Parabel, 79

Offnung, 79allgemeine Form, 79faktorisierte Form, 79Normal-, 79Scheitelpunkt, 79Scheitelpunktform, 79

Peanosches Axiomensystem, 11Pentagramm, 51periodisch, 40Potenzmenge, 2prim, 27Primfaktorzerlegung, 28Primzahl, 27Primzahlzwillinge, 28Prinzip des kleinsten Elements, 16Produkt, 14, 18, 35proportional, 74Punkt-Steigungs-Form, 75Pythagoraer, 51

quadratische Erganzung, 80Quersumme, 27

alternierende, 27Quersummenregel, 27Quotient, 46

Rechtseindeutigkeit, 15reflexiv, 8reinperiodisch, 40Relation, 7

antisymmetrisch, 8reflexiv, 8symmetrisch, 9transitiv, 8Trichotomie, 8

Schranke, 37Sinus, 94–96Sinussatz, 100Stellenwertsystem, 21

Basis, 21stetig

in X ′, 69in x0, 69

Subtraktion, 18, 44Summe, 14, 18, 36Supremum, 55surjektiv, 6symmetrisch, 9

Tangens, 94–96Teilbarkeitsrelation, 26Teiler, 20, 25

großter gemeinsamer, 30trivialer, 27

Teilmenge, 2transitiv, 8Trichotomie, 8, 15

uberabzahlbar, 18Umgebung, 72Umkehrfunktion, 7unendlich, 17, 63Urbild, 5

Venn-Diagramm, 3Vereinigung, 2Vielfaches, 20, 25

kleinstes gemeinsames, 30Vieta

Satz von, 81vollstandig, 8vollstandig geordnet, 8vollstandige Induktion, 12Vollstandigkeitsaxiom, 56

Wertebereich, 5

Zahler, 32Zahlreihe, 10Zahl

ganze, 43irrationale, 53naturliche, 10negative, 43rationale, 43reelle, 54

Zahlengeraden, 42zusammengesetzt, 27Zwei-Punkte-Form, 75