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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Gliederung
• Divide and Conquer• Dynamisches Programmieren• Greedy-Algorithmen
1. Grundlagen2. Analyse der Laufzeit von Algorithmen3. Untere Schranken für algorithmische Probleme4. Sortier- und Selektionsverfahren5. Paradigmen des Algorithmenentwurfs6. Ausgewählte Datenstrukturen7. Algorithmische Geometrie8. Umgang mit algorithmisch schwierigen Problemen
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
• wir schauen uns ein Beispiel für einen Greedy-Algorithmen in der Graphentheorie genauer an
• Algorithmus von Kruskal zum Bestimmen minimal spannender Bäume in ungerichteten kantengewichteten Graphen
... weiteres Vorgehen
Gliederung
... wir wählen einen anderen Blick auf diesen bekannten Standard-Algorithmus (/* Ziel: zeigen, dass dieser Algorithmus das leistet, was er leisten soll */)
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
Grundbegriffe
• ungerichteter kantengewichteter Graph G = (V,E,w(.)), wobei gilt:
• V ist die Menge der Knoten von G• E { { u,v } | u,v V } • w(.) ist eine Funktion, die jeder Kante in e E ihr Gewicht, d.h. eine
Zahl w(e) zuordnet
• das Gewicht w(G) eines ungerichteten kantengewichteten G entspricht der Summe der Gewichte der Kanten von G
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
Grundbegriffe (cont.)
• ein ungerichteter Graph G ist zusammenhängend, wenn für jedes Knotenpaar (u,v) gilt, dass es in G einen Pfad gibt, der vom Knoten u zum Knoten v geht
• ein ungerichteter Graph G ist kreisfrei, wenn es für keinen Knoten u in G ein Pfad mit einer Länge größer 2 gibt, der vom Knoten u zum Knoten u geht
• ein ungerichteter Graph G ist ein Baum, wenn G zusammenhängend und kreisfrei ist
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
zentraler Begriff
• es sei G = (V,E) ein ungerichteter Graph • es sei G‘ = (V‘,E‘) mit V‘ V und E‘ E ein Baum
• G‘ ist ein spannender Baum in G, falls V‘ = V gilt
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
grundlegende Eigenschaft spannender Bäume
• es sei G = (V,E) ein ungerichteter Graph • es sei G‘ = (V‘,E‘) ein spannender Baum in G
• dann gilt:
... wenn G‘ weniger Kanten hat, kann G nicht zusammenhängend sein, und wenn G‘ mehr Kanten hat, kann G nicht kreisfrei sein
G‘ hat genau eine Kante weniger als es Knoten in G gibt, d.h. |E‘| = |V| - 1
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
grundlegende Eigenschaft zusammenhängender Graphen
• es sei G = (V,E) ein ungerichteter zusammenhängender Graph
• dann gilt:
... das zeigt man am besten induktiv über die Anzahl der Knoten in G
Es gibt einen spannenden Baum G‘ = (V‘,E‘) in G.
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
noch ein zentraler Begriff (cont.)
• es seien G = (V,E) ein ungerichteter Graph und w(.) eine Gewichts-funktion, d.h. (V,E,w(.)) ist ein ungerichteter Graph
• es sei G‘ = (V‘,E‘) ein spannender Baum für G
• G‘ ist ein minimal spannender Baum für G, falls es keinen spannenden Baum G‘‘ = (V‘‘,E‘‘) für G gibt, so dass w(G‘‘) < w(G‘) gilt
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
interessierendes Optimierungsproblem (/* Minimierungsproblem */)
• ungerichteter zusammenhängender Graph G = (E,V)
• Gewichtsfunktion w(.)
• einen minimal spannenden Baum G‘ in G
zulässige Eingaben:
Zulässige Ausgaben:
Beispiel – Minimal spannende Bäume
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Algorithmus von Kruskal zur Bestimmung minimal spannender Bäume
• klassischer Greedy-Algorithmus (/* aber für ein Minimierungsproblem */)
• bevor wir den Algorithmus beschreiben und analysieren, brauchen wir noch eine Hilfsbegriff und ein „kleines“ Resultat
Beispiel – Minimal spannende Bäume
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Hilfsbegriff
• es sei G = (V,E) ein ungerichteter Graph• es sei E‘ E
• dann bezeichnen wir mit V(E‘) die Menge der Knoten, die Ecken von Kanten in E‘ sind
• den ungerichteten Graphen G‘ = (V(E‘)‘,E‘) nennen wir den durch E‘ induzierten Teilgraphen von G
Beispiel – Minimal spannende Bäume
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
ein „kleines“ Resultat
• es sei G = (V,E) ein ungerichteter Graph• es sei E‘ E
• dann gilt:
Wenn E‘ genau eine Kante weniger enthält, als es Knoten in G gibt, und der durch E‘ induzierte Teilgraph G‘ = (V(E‘),E) kreisfrei ist, so ist G‘ auch zusammenhängend, d.h. G‘ ist dann auch ein spannender Baum in G.
Beispiel – Minimal spannende Bäume
... das zeigt man am besten induktiv über die Anzahl der Knoten in G
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Algorithmus von Kruskal (/* Details */)
• es sei G = (V,E) ein ungerichteter Graph• es sei w(.) eine Gewichtsfunktion, die jeder Kante e V ein Gewicht
w(e) zuordnet
1. sortiere die Kanten in G aufsteigend nach ihrem Gewicht (/* Ergebnis: e1,e2,...,en mit w(e1) ≤ w(e2) ≤ ... ≤ w(en) */)
2. setze E‘ = und i = 1
3. while ( |E‘| < |V| - 1 ):
1. teste, ob der von E‘‘ = E‘ { ei } induzierte Teilgraph G‘‘= (V(E‘‘),E) kreisfrei ist
2. falls ja, setze E‘ = E‘‘
3. setze i = i +1
4. gib den durch E‘ induzierten Teilgraphen G‘ = (V‘,E‘) aus
Beispiel – Minimal spannende Bäume
5/4, Folie 14 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
CA
D
B
E
1
2
2
2
2
1
3
3
23
Beispiel
{A,C},{B,C},{A,B},{A,E},{B,D},{C,D},{D,E},{A,D},{B,E},{C,E}
Beispiel – Minimal spannende Bäume
5/4, Folie 15 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
CA
D
B
E
1
2
2
2
2
1
3
3
23
{A,C},{B,C},{A,B},{A,E},{B,D},{C,D},{D,E},{A,D},{B,E},{C,E}
Beispiel (cont.)
E‘ = { {A,C} }
Beispiel – Minimal spannende Bäume
5/4, Folie 16 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
CA
D
B
E
1
2
2
2
1
3
3
23
Beispiel (cont.)
{A,C},{B,C},{A,B},{A,E},{B,D},{C,D},{D,E},{A,D},{B,E},{C,E}
E‘ = { {A,C},{B,C} }
Beispiel – Minimal spannende Bäume
5/4, Folie 17 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
CA
D
B
E
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2
2
2
1
3
3
23
Beispiel (cont.)
{A,C},{B,C},{A,B},{A,E},{B,D},{C,D},{D,E},{A,D},{B,E},{C,E}
E‘ = { {A,C},{B,C} }
Minimal aufspannende Bäume
5/4, Folie 18 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
CA
D
B
E
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2
2
2
2
1
3
3
23
Beispiel (cont.)
{A,C},{B,C},{A,B},{A,E},{B,D},{C,D},{D,E},{A,D},{B,E},{C,E}
E‘ = { {A,C},{B,C},{A,E} }
Beispiel – Minimal spannende Bäume
5/4, Folie 19 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
CA
D
B
E
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2
2
2
2
1
3
3
23
Beispiel (cont.)
{A,C},{B,C},{A,B},{A,E},{B,D},{C,D},{D,E},{A,D},{B,E},{C,E}
E‘ = { {A,C},{B,C},{A,E},{B,D} }
Beispiel – Minimal spannende Bäume
5/4, Folie 20 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
CA
D
B
E
1
2
2
2
2
1
3
3
23
Beispiel (cont.)
{A,C},{B,C},{A,B},{A,E},{B,D},{C,D},{D,E},{A,D},{B,E},{C,E}
E‘ = { {A,C},{B,C},{A,E},{B,D} }
Beispiel – Minimal spannende Bäume
5/4, Folie 21 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
Analyse und Diskussion
• der Algorithmus von Kruskal benötigt O(|E|*log(|E|)) + |E|*O(|V|) viele Rechenschritte, um als Ergebnis einen kreisfreien Teilgraphen von G mit höchstens |V| - 1 Kanten zu bestimmen
• O(|E|*log(|E|)) viele Rechenschritte, um die Kanten von G nach ihrem Gewicht zu sortieren
• jeweils O(|V|) viele Rechenschritte, um zu überprüfen, ob der durch E‘‘ induzierte Teilgraph G‘‘ = (V(E‘‘),E‘‘) kreisfrei ist (/* wir wissen, dass |V(E‘‘)| ≤ |V| und |E‘‘| ≤ |V| -1 gilt und dass man mit Hilfe der Tiefensuche in der Zeit O(|V‘‘|+|E‘‘|) überprüfen kann, ob G‘‘ kreisfrei ist */)
... zu zeigen bleibt, dass der Algorithmus von Kruskal einen minimal spannenden Baum in G bestimmt
5/4, Folie 22 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
das zugehörige Teilmengensystem
• es sei G = (V,E) ein ungerichteter Graph
• wir betrachten folgendes Teilmengensystem (E,U):
• die verwendete endliche Menge E ist genau die Menge der Kanten von G
• U enthält alle Teilmengen E‘ E für die gilt:
• der durch E‘ induzierte Teilgraph G‘ = (V(E‘),E‘) ist kreisfrei
5/4, Folie 23 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
Anmerkungen
• man kann sich leicht davon überzeugen, dass das Teilmengensysstem (E,U) wirklich ein Teilmengensystem ist
• wir wissen, dass es in U nur Teilmengen E‘ mit |E‘| ≤ |V| - 1 gibt
• da G = (V,E) ein zusammenhängender Graph ist, wissen wir auch, dass es in U eine bzgl. maximale Teilmenge E‘ mit |E‘| = |V| - 1 gibt
... zu zeigen bleibt, dass das Teilmengensystem (E,U) die Austauscheigenschaft hat
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Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
Nachweis der Austauscheigenschaft
• es seien E1 und E2 zwei Teilmengen aus U mit |E1| < |E2|
• es seien G1 = (V(E1),E1) und G2 = (V(E2),E2) die von E1 und E2 induzierten kreisfreien Teilgraphen von G
• wir interessieren uns für die Zusammenhangskomponenten des Teilgraphen G1
• man kann die Kanten des Teilgraphen G2 in zwei Klassen zerlegen:
• Klasse 1: alle Kanten in G2, deren Ecken Knoten einer Zusammenhangskomponente in G1 verbinden
• Klasse 2: alle anderen Kanten in G2
5/4, Folie 25 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
Nachweis der Austauscheigenschaft (cont.)
• Beobachtung: in der Klasse 1 können nur so viele Kanten enthalten sein, wie es Kanten in G1 gibt (/* andernfalls wäre G2 nicht kreisfrei */)
• da G2 mehr Kanten als G1 hat, gibt es mindestens eine Kante e in G2, die zur Klasse 2 gehört
• wir setzen nun E‘ = E1 { e }
• da die Ecken der Kante e zu unterschiedlichen Zusammenhangs-komponenten des durch E1 induzierten Teilgraphen G1 gehören, muss der von E‘ induzierte Teilgraph G‘ = (V(E‘),E‘) kreisfrei sein
• also gehört die Teilmenge E‘ zu U
5/4, Folie 26 © 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Beispiel – Minimal spannende Bäume
Zusammenfassung
• der kanonischen Greedy-Algorithmus für das Teilmengensystem (E,U) arbeitet offenbar genauso, wie der Algorithmus von Kruskal, bei Eingabe eines zusammenhängenden ungerichteten Graphen G = (V,E) und einer Gewichtsfunktion w(.)
• da das zu G gehörende Teilmengensystem (E,U) die Austauscheigen-schaft hat, bestimmt der kanonische Greedy-Algorithmus eine bzgl. w(.) gewichtsminimale Teilmenge E‘ in U
• also ist der vom Algorithmus von Kruskal bestimmte Teilgraph G‘ = (V(E‘),E‘) ein minimal spannender Baum in G