H.J. Oberle Differentialgleichungen I WiSe 2012/13

7. Lineare DGLen hoherer Ordnung

A. Allgemeines.

Wir betrachten eine skalare, lineare DGL n–ter Ordnung:

L [y] := y(n)(t) + an−1(t) y(n−1)(t) + . . .+ a0(t) y(t) = b(t).(7.1)

Wir sagen: L :=n∑

k=0

ak(t)dk

dtk, an ≡ 1 , (7.2)

ist ein linearer Differentialoperator der Ordnung n.

Die ak(t), k = 0,1, . . . , n− 1, seien stetige Funktionen auf einemoffenen Intervall I ⊂ R.

Vermoge der Definition yk(t) := y(k−1)(t), k = 1, . . . , n, lasst sichdie DGL (7.1) in ein aquivalentes DGL-System erster Ordnungtransformieren. Man erhalt

116

d

dt

y1y2......yn

=

0 1 0

0 1.. . . . .

0 0 1−a0 −a1 . . . . . . −an−1

y1y2......yn

+

00...0b(t)

.

(7.3)

Die Matrix in (7.3) wird auch Begleitmatrix genannt. Damit

lassen sich die Ergebnisse aus Abschnitt 6 auf den Fall einer

skalaren, linearen DGL n–ter Ordnung ubertragen. An einigen

Stellen ergeben sich Besonderheiten, die auf die spezielle

Struktur der Begleitmatrix zuruck zu fuhren sind.

Nachfolgend geben wir die wesentlichen Resultate fur lineare

DGLn n–ter Ordnung an.

117

B. Die homogene DGL.

Ein Funktionensystem (y1, . . . , yn), yk ∈ Cn(R), heißt ein Funda-

mentalsystem der DGL L[y] = b, falls die folgenden Eigen-

schaften gelten:

a) yk lost die homogene DGL, L [yk] = 0, k = 1, . . . , n.

b) Die Wronski–Determinante verschwindet nicht

w(t) := det

y1(t) . . . yn(t)y′1(t) . . . y′n(t)... ...

y(n−1)1 (t) . . . y

(n−1)n (t)

6= 0. (7.4)

Nach (6.10) genugt w(t) der DGL w′(t) = −an−1(t) ·w(t) und

besitzt daher die Darstellung

118

w(t) = w(t0) · exp

− t∫t0

an−1(τ) dτ

. (7.5)

Ist also w(t) an einer Stelle t0 von Null verschieden, so verschwin-

det w(t) nirgends. Die Bedingung (7.4) braucht also nur an einer

Stelle t0 uberpruft zu werden.

Ein Fundamentalsystem (y1, . . . , yn) lasst sich durch Losung von

n AWAen gewinnen:

L [yk] = 0, (k = 1, . . . , n)

y(i)k (t0) =

{0, i 6= k − 11, i = k − 1

(i = 0,1, . . . , n− 1) .(7.6)

Satz: Ist (y1, . . . , yn) ein Fundamentalsystem, so lautet die all-

gemeine Losung der inhomogenen linearen DGL (7.1):

119

y(t) = yp(t) +n∑

k=1

Ck yk(t), Ck ∈ R. (7.7)

Dabei ist yp(t) eine partikulare Losung der inhomogenen DGL.

Beispiel (7.8)

Gegeben sei die homogene DGL y′′(t)−1

ty′(t)−

3

t2y(t) = 0, t > 0.

Man stellt fest, dass y1(t) = t3 und y2(t) = 1/t Losungen dieser

DGL sind (Ansatz: y = tα). Wegen

w(t) = det

(y1(t) y2(t)y′1(t) y′2(t)

)6= 0 (t > 0)

ist (y1, y2) auch ein Fundamentalsystem und die allgemeine

Losung der DGL lautet somit y(t) = C1 t3 + C2 (1/t).

120

Das Reduktionsverfahren.

Wir beschreiben das Verfahren wiederum nur fur den Fall einer

linearen DGL zweiter Ordnung. Sei u 6= 0 eine Losung der

homogenen DGL

L [y] = y′′(t) + a1(t) y′(t) + a0(t) y(t) = 0.

Zur Bestimmung einer weiteren, linear unabhangigen Losungen

verwenden wir den Produktansatz

y(t) := u(t) · z(t) . (7.9)

Differentiation ergibt:

y = u z, y′ = u′ z + u z′, y′′ = u′′ z + 2u′ z′+ u z′′.

Dieser Ausdruck wird nun in L [y] = y′′+ a1 y′+ a0 y eingesetzt.

121

Man erhalt:

L [y] = [u′′+ a1 u′+ a0 u] z + (2u′+ a1 u) z′ + u z′′

=: 0 z + b0 z′ + b1 z

′′, b1 6= 0 .

Setzt man nun w := z′, so wird aus L [y] = 0: b1w′+b0w = 0.

Dies ist eine homogene DGL erster Ordnung, deren Losungen

sich durch Trennung der Variablen bestimmen lasst. Mit einer

beliebigen Losung w 6= 0 erhalt man mit

z(t) :=

t∫t0

w(τ) dτ

das Fundamentalsystem (u, z u) der Ausgangsgleichung L [y] = 0.

Beispiel (7.10)

Die DGL y′′+ t y′+ y = 0 besitzt die Losung u(t) = e−t2/2.

122

Mit dem Produktansatz (7.9) finden wir

y = u z, y′ = u′ z + u z′, y′′ = u′′ z + 2u′ z′ + u z′′ .

Dies in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt:

y′′+ t y′+ y = (u′′+ t u′+ u) z + (2 u′+ t u) z′+ u z′′ = 0

⇒ u w′+ (2 u′+ t u) w = 0, w = z′

⇒ (w′ − t w) e−t2/2 = 0

⇒ w = e t2/2, z =

t∫0

e τ2/2 dτ .

Damit haben wir das folgende Fundamentalsystem der DGL

y1(t) = e−t2/2, y2(t) = e−t

2/2t∫

0

e τ2/2 dτ .

123

C. Die inhomogene DGL.

Zur Konstruktion einer partikularen Losung der DGL (7.1) ver-

wenden wir die Methode der Variation der Konstanten. Dazu

sei (y1, . . . , yn) ein Fundamentalsystem.

Ansatz: yp(t) =n∑i=1

Ci(t) yi(t) . (7.11)

Fur die unbekannten Funktionen Ci(t) fordern wir:

C′1(t) y1(t) + . . . + C′n(t) yn(t) = 0

C′1(t) y′1(t) + . . . + C′n(t) y′n(t) = 0

... ... ...

C′1(t) y(n−2)1 (t) + . . . + C′n(t) y(n−2)

n (t) = 0 .

(7.12)

124

Damit folgt:

y(k)(t) =n∑i=1

Ci(t) y(k)i (t), k = 0,1, . . . , n− 1

y(n)(t) =n∑i=1

C′i(t) y(n−1)i (t) +

n∑i=1

Ci(t) y(n)i (t) ,

und somit

L [y] =n∑

k=0

ak(t) y(k)(t)

=n∑i=1

Ci(t)

n∑k=0

ak(t) y(k)i (t)

︸ ︷︷ ︸

= 0

+n∑i=1

C′i(t) y(n−1)(t)

= b(t) .

125

Zusammen mit (7.12) hat man somit das folgende lineare Glei-

chungssystem fur die C′i = C′i(t) , i = 1, . . . , n :y

(0)1 (t) . . . y

(0)n (t)

y(1)1 (t) . . . y

(1)n (t)

... ...

y(n−1)1 (t) . . . y

(n−1)n (t)

C′1(t)

C′2(t)...

C′n(t)

=

00...0b(t)

. (7.13)

Die Koeffizientenmatrix ist regular, vgl. (7.4). Somit ist das Glei-

chungssystem (7.13) eindeutig losbar.

Durch Integration der Losung erhalt man schließlich die

C1, . . . , Cn. Man beachte, dass es hierbei genugt, eine beliebi-

ge Stammfunktion der C′i zu bestimmen. Mit (7.11) hat man

dann eine partikulare Losung gefunden.

126

Beispiel (7.14) y′′ − 2 y′ + y =et

t2

Ein Fundamentalsystem der zugehorigen homogenen DGL ist ge-geben durch y1(t) = et, y2(t) = tet . (Wir man hierauf kommt,wird in Abschnitt D erlautert.)

Fur die inhomogene Differentialgleichung liefert die Variation derKonstanten das lineare Gleichungssystem (7.12): et t et

et (1 + t) et

(C′1C′2

)=

0

et/t2

.

Die Losung hiervon ergibt C′1 = −1/t, C′2 = 1/t2, und daher(eine Stammfunktion genugt) C1 = − ln |t| und C2 = −1/t.

Eine partikulare Losung der inhomogenen DGL lautet damit

yp(t) = −(ln |t|+ 1) et .

127

D. Systeme mit konstanten Koeffizienten.

i) Die homogene DGL.

Wir betrachten die homogene, lineare DGL

L [y] =n∑

k=0

ak y(k)(t) = 0

mit konstanten Koeffizienten ak ∈ R und an = 1.

Mit dem Ansatz y(t) := eλt folgt

L[y] =

n∑k=0

ak λk

eλt = 0.

Der Ansatz liefert also eine Losung der homogenen DGL, wennλ eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist:

p(λ) :=n∑

k=0

ak λk = 0 . (7.15)

128

Sind λ1, . . . , λm die (paarweise verschiedenen) Nullstellen der cha-rakteristischen Gleichung, so gilt der folgende Satz:

Satz (7.16)

a) Ist λk eine rk–fache reelle Wurzel, so hat man die folgendenLosungen der homogenen Gleichung:

yk,1(t) := eλkt, yk,2(t) := t · eλkt, . . .

yk,rk(t) := trk−1 · eλkt .

b) Ist λk eine rk–fache komplexe Wurzel, λk 6∈ R, so ist auchλk = λ` eine weitere rk–fache Wurzel. Reelle Losungen sind dann:

yk,j(t) = tj−1 eαkt cos(βkt), j = 1, . . . , rk,

y`,j(t) = tj−1 eαkt sin(βkt), λk =: αk + iβk .

c) Die gemaß a) und b) konstruierten Losungen bilden einFundamentalsystem der DGL L [y] = 0.

129

Man beachte, dass hier – im Gegensatz zu DGL-System erster

Ordnung – lediglich die Eigenwerte und deren algebraische Viel-

fachheiten benotigt werden (keine Eigenvektoren).

Beispiel (7.17) y′′ − 2 y′ + y = 0

Die charakteristische Gleichung p(λ) = λ2 − 2 λ + 1 = 0

hat die Nullstellen λ1,2 = 1.

Ein Fundamentalsystem lautet daher y1(t) = et, y2(t) = t et,

vgl. (7.13).

Beispiel (7.18) y(4) + 2 y′′ + y = 0

Die charakteristische Gleichung p(λ) = λ4 + 2 λ2 + 1 = 0

hat die Nullstellen λ1,2 = i, λ3,4 = −i.130

Ein Fundamentalsystem lautet daher

y1(t) = cos t, y3(t) = t · cos t

y2(t) = sin t, y4(t) = t · sin t .

ii) Die inhomogene DGL., Grundlosungsverfahren.

Zur Bestimmung einer partikularen Losung einer inhomogenenGleichung lasst sich (neben der Variation der Konstanten) im Fallkonstanter Koeffizienten das folgende Grundlosungsverfahrenoder die Methode der Greenschen Funktion anwenden.

Satz (7.19)

Sei w die Losung der folgenden Anfangswertaufgabe

L [w] = 0, w(k)(t0) =

{0, k = 0,1, . . . , n− 21, k = n− 1

.

131

Dann ist eine partikulare Losung yp gegeben durch

yp(t) :=

t∫t0

G(t, τ) b(τ) dτ, G(t, τ) := w(t− τ + t0) .

G(t, τ) heißt Greensche Funktion der DGL.

Beispiel (7.20) y′′ − 2 y′ + y =et

t2,

vgl. auch (7.14) und (7.17). Zur Anwendung des Grundlosungs-

verfahrens hat man die folgende homogene AWA zu losen:

L [w] = 0, w(1) = 0, w′(1) = 1 .

132

Mit (7.16) findet man w(t) = (t− 1) et−1. Damit folgt fur die

Greensche Funktion:

G(t, τ) = w(t− τ + 1) = (t− τ) et−τ

und somit fur eine partikulare Losung

yp(t) =

t∫1

et−τ (t− τ)eτ

τ2dτ = et (−1 + t− ln |t|) .

iii) Spezielle Inhomogenitaten.

Hat die Inhomogenitat b eine spezielle Form, so lasst sich eine

partikulare Losung yp mitunter durch einen geeigneten Ansatz

finden.

133

Hat die Inhomogenitat die Form b(t) =

m∑j=0

βj tj

eµ t, so

lasst sich der folgende Ansatz verwenden:

a) Falls µ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms p ist:

yp(t) =

m∑j=0

γj tj

eµ t , γj : Parameter ; (7.21)

b) Falls µ eine r–fache Nullstelle von p ist:

yp(t) =

m∑j=0

γj tj

tr eµ t . (7.22)

Beispiel (7.23) y′′ − y = t et ,

Man findet: µ = 1 ist eine einfache Nullstelle des charakteristi-schen Polynoms p(λ) = λ2 − 1.

134

Wir verwenden daher den Ansatz: yp(t) = (γ0 + γ1 t) t et .

Setzt man diesen in die Differentialgleichung ein, so folgt:

γ1 = −γ0 =1

4, also: yp(t) =

t

4(t− 1) et .

Das Superpositionsprinzip (7.24).

Gegeben sei eine inhomogene lineare DGL der Form

L [y] = b(t) = b1(t) + b2(t) .

Sind y1 bzw. y2 partikulare Losungen der DGLen L [y] = b1 bzw.

L [y] = b2, so ist yp(t) := y1(t) + y2(t) eine partikulare Losung

von L [y] = b.

135

Komplexe Differentialgleichungen (7.25).

Ist b Real– oder Imaginarteil einer komplexwertigen Funktion,also b(t) = Re (c(t)) bzw. b(t) = Im (c(t)), und ist z eine (kom-plexe) Losung der DGL L[z] = c, so ist x := Re z bzw. y := Im zeine (reelle) Losung der DGL L[x] = b bzw. L[y] = b.

Beispiel (7.26) y′′+ 2y′+ 5y = e−t (cos t+ sin(2t)) .

Wir wenden das Superpositionsprinzip an und losen zunachst:

a) y′′+ 2y′+ 5y = e−t cos t = Re{

e(−1+i)t}

.

µ = −1+i lost nicht die charakteristische Gleichung p(λ) = λ2+2λ+5 = 0; daher verwenden wir den Ansatz zp(t) = C0e(−1+i)t.Diesen in die DGL z′′ + 2z′ + 5z = e(−1+i)t eingesetzt, liefertC0 = 1/3. Man hat also

zp(t) =1

3e(−1+i)t , yp1(t) =

1

3e−t cos t .

136

b) y′′+ 2y′+ 5y = e−t sin(2t) = Im{

e(−1+2i)t}

.

µ = −1 + 2i ist eine einfache Nullstelle von p(λ); wir verwenden

daher den Ansatz zp = C0 t e(−1+2i)t. Diesen in die komplexe

Differentialgleichung z′′+2z′+5z = e(−1+2i)t eingesetzt, liefert:

C0 = − i/4, also zp = − i/4 t e(−1+2i)t.

Damit lautet eine partikulare Losung der zweiten DGL

yp2(t) = −t

4e−t cos(2t) .

Das Superpositionsprinzip liefert nun die folgende partikulare

Losung fur die Ausgangs-DGL

yp(t) = e−t(

1

3cos t−

1

4t cos(2t)

).

137