Numerische Methoden der Thermo- und Fluiddynamik · 1 1 Einleitung Dieses Skript stellt die...

Technische Universitat Berlin

HERMANN–FOTTINGER–INSTITUT

FUR STROMUNGSMECHANIK

Numerische Methoden der

Thermo- und Fluiddynamik

von

T. Rung, L. Xue, J. Yan, M. Schatz, F. Thiele

vorlaufige Version2002

Redaktion: Dr.rer.nat. L. Jehring, M. SchatzIllustrationen: E. KulzerLayout und Satz: S. Nordt

INHALTSVERZEICHNIS I

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Klassifizierung partieller Differentialgleichungen 22.1 Lineare und nichtlineare PDG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Physikalische Klassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Mathematische Klassifizierung PDG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Formulierungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Finite Differenzenmethoden 203.1 Herleitung finiter Differenzenformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Taylorreihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.2 Polynomgestutzte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 Nichtaquidistante Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Gemischte partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Zeitapproximation – parabolische Differentialgleichungen 334.1 Explizite und implizite Differenzenformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1 Behandlung von diskreten Storungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.2 Matrizenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.3 Fourier-Neumann Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Modifizierte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Differenzenformeln zur Diskretisierung der Warmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . 45

4.4.1 Explizite Formulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.2 Implizite Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 Anwendung auf Navier-Stokes Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6 Konsistenz und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6.1 Konsistenz der finiten Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6.2 Konsistenz bei Konvektionsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.7 Approximation zweidimensionaler parabolischer DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7.1 ADI–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.7.2 Fractional Step Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8 Erweiterung auf dreidimensionale Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.9 Einbau von Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.9.1 Dirichlet Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.9.2 Neumann Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.9.3 Robinbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.9.4 Zyklische oder periodische Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.10 Linearisierung parabolischer PDG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Behandlung linearer Gleichungssysteme 665.1 LU–Zerlegung von tridiagonalen Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Iterative Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.1 Die Jacobische Iterationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.2 Punkt-Gauß-Seidel-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.3 Konvergenzbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

II INHALTSVERZEICHNIS

5.2.4 Linien-Gauß-Seidel Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.5 Sukzessive Relaxationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.6 Die implizite Methode der alternierenden Richtungen . . . . . . . . . . . . . 775.2.7 Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.8 Bemerkungen zum Konditionsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3 Die Methode der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4 Methode der Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.5 Mehrgitterverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Numerische Gittergenerierung 946.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.1.1 Metrikkomponenten und Jakobideterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.2 Derivativa des Rechengebiets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3 Grundklassen von Rechengittern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4 Anforderungen des numerischen Verfahrens an das Rechengitter . . . . . . . . . . . . 1076.5 Mathematische Modellierung von Kurven und Flachen im Raum . . . . . . . . . . . 1086.6 Die Punkteverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.6.1 Verteilung auf einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.6.2 Punkteverteilung auf der Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.7 Das strukturierte Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.7.1 ”Computational domain” und ”physical domain” der Grundgittertypen . . . 1246.7.2 Algebraische Gittergenerierung mit der Transfiniten Interpolation . . . . . . . 124

6.8 Numerische Gittergenerierung mit dem ”elliptischen Gittergenerator” . . . . . . . . 1316.8.1 Die Grundgleichung des elliptischen Gittergenerators . . . . . . . . . . . . . . 1326.8.2 Bestimmung der Kontrollfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.8.3 Losungsverfahren der elliptischen DGL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.9 Das dynamisch adaptive Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7 Turbulente Stromungen 1457.1 Ubersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.2 Direkte Numerische Simulation (DNS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3 Large–Eddy–Simulation (LES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.4 Die Reynolds-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.4.1 Herleitung der Reynolds-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.4.2 Die Reynoldsspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.5 Das Reynolds-Spannungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.6 Das Wirbelviskositatsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.7 Mischungsweghypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.8 Nullgleichungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.9 Eingleichungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.10 Zweigleichungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.10.1 Das k-ε Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.10.2 Das k-ω Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.11 Wandturbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8 Literaturubersicht 161

1

1 Einleitung

Dieses Skript stellt die Lerninhalte der zugehorigen Lehrveranstaltung ”Grundlagen der Nume-rischen Thermofluiddynamik” an der Technischen Universitat Berlin zusammen. Es lehnt sichin weiten Teilen an das Buch von K.A. Hoffmann [1] an. Dieses entspricht weitgehend den The-matiken der ersten 5 Kapitel. Zunachst wird ein Uberblick uber die mathematisch-physikalischenEigenschaften relevanter Gleichungen der Thermofluiddynamik gegeben (Kapitel 2). Danach wer-den die Grundlagen numerischer Approximationstechniken am Beispiel der Finite-Differenzen-Methode erlautert. Es folgt ein Abschnitt uber die Anwendung dieser Methode auf parabolischeDifferentialgleichungen (Kapitel 4), in dem auch auf Randbedingungen und Linearisierung einge-gangen wird. Verfahren zur Losung der hierbei auftretenden linearen Gleichungssysteme werden inKapitel 5 vorgestellt. Die Ausfuhrungen uber numerische Gittergenerierung in Kapitel 6 stammenaus L. Xues Skript zur Vorlesung ”Numerische Gittergenerierung in der Thermofluiddynamik”, dienicht mehr am HFI angeboten wird. Im letzten Kapitel wird ein Einblick in die Methoden zurSimulation turbulenter Stromungen mit Hilfe statistischer Turbulenzmodelle gegeben.Ziel ist es dabei vor allem, das theoretisch numerische Hintergrundwissen zur Verfugung zu stellen,das heute in der ingenieurtechnischen Praxis zwar kaum noch zur Erstellung komplett neuer Si-mulationsprogramme verwendet wird, bei der Anwendung kommerzieller Programmpakete fur denBenutzer aber nach wie vor von fundamentaler Bedeutung bei der Einschatzung der Machbarkeitsowie bei der Bewertung der Ergebnisse bleibt.

Die Entwicklungen auf dem Gebiet der numerischen Stromungsmechanik (engl. ComputationalFluid Dynamics, CFD), deren Geburtsstunde in die 50er Jahre gelegt werden kann, sind engverknupft mit den enormen Kapazitatssteigerungen elektronischer Rechenanlagen. Diese Entwick-lungen fuhrten zu einer Vergroßerung der Bedeutung dieser Methoden im Vergleich zu analytischenund experimentellen Verfahren, so daß deren Vor- und Nachteile neu beurteilt werden mussen.Der großte Vorteil der numerischen Stromungsberechnung liegt darin, daß sich relativ schnell undkostengunstig Ergebnisse erzielen lassen. Im Gegensatz zu analytischen Untersuchungen sind kei-ne Beschrankungen auf lineare Probleme notwendig, und es konnen komplexe stromungsmechani-sche Probleme behandelt werden. Numerische Methoden lassen sich auch auf solche Stromungenanwenden, die beispielsweise wegen extremer Temperaturen oder Drucke keiner experimentellenUntersuchung zuganglich sind. Als Ergebnis liegen die vollstandigen Stromungsfelder vor, d.h. Ge-schwindigkeiten, Druck, Temperatur und Turbulenzgroßen an allen Orten des untersuchten Gebiets.Es treten keine Skalierungsprobleme auf, und Parameterstudien lassen sich schnell durchfuhren. DieKosten einer numerischen Losung werden auf Grund der Entwicklungen bei den elektronischen Re-chenanlagen immer niedriger. Daneben weisen Numerische Simulationsverfahren jedoch auch heutenoch einige Nachteile auf: Die heute im allgemeinen noch notwendigen Modellannahmen (z.B. Tur-bulenzmodelle, Verbrennungsmodelle, u.a.) stellen eines der Hauptprobleme bei der Verwendungnumerischer Verfahren dar. Meistens sind die Modellannahmen durch eingeschrankte Rechnerka-pazitat bedingt. Diese fuhrt auch dazu, daß bei ingenieurtechnischen Anwendungen die Losungauf einem relativ groben numerischen Gitter bestimmt werden muß und damit Diskretisierungs-fehler auftreten. Fur numerische Berechnungen mussen Anfangsbedingungen (bei zeitabhangigenProzessen) sowie Randbedingungen am Ein- und Austritt vorgegeben werden, die im allgemeinenmaßgeblichen Einfluß auf die Losung haben, deren Bestimmung aber oft mit erheblichen Unsicher-heiten behaftet ist. Sie mussen entweder aus experimentellen Untersuchungen bekannt sein odermit Hilfe analytischer Korrelationen approximiert werden.

2 Klassifizierung partieller Differentialgleichungen


Die mathematische Formulierung physikalischer Probleme fuhrt oftmals auf das Gebiet der partiel-len Differentialgleichungen (PDG). Spezielle Falle der linearen zweidimensionalen Gleichung zweiterOrdnung

A∂2Φ∂x2

+ B∂2Φ∂x∂y

+ C∂2Φ∂y2

+ D∂Φ∂x

+ E∂Φ∂y

+ FΦ + G = 0 (2.1)

treten (vor allem in der Thermo- und Fluiddynamik) haufiger als irgendwelche anderen auf. Zumbesseren Verstandnis der Probleme, die bei der Entwicklung von Naherungslosungen fur diese Dif-ferentialgleichungen auftreten, wird es daher eine kurze mathematische Einfuhrung geben.

2.1 Lineare und nichtlineare PDG

Differentialgleichungen konnen in lineare und nichtlineare gegliedert werden. Bei einer linearen Dif-ferentialgleichung tritt die abhangige Variable und ihre Ableitung nur linear auf, Produkte zwischenihr und/oder ihren Ableitungen sind also ausgeschlossen. Fur diesen Typ gilt das Uberlagerungs-prinzip, wonach sich zwei Losungen der homogenen Ausgangsgleichung zu einer dritten superpo-nieren lassen.Die eindimensionale Wellengleichung

∂2u

∂t2= a2 ∂2u

∂x2

ist beispielsweise eine lineare Differentialgleichung.Demgegenuber enthalt eine nichtlineare Differentialgleichung Produkte der abhangigen Variablenund/oder ihrer Ableitungen. Ein Beispiel ist die reibungsfreie Burgers Gleichung

∂u

∂t= −u

∂u

∂x.

Zu den nichtlinearen Differentialgleichungen zahlt beispielsweise auch die Navier-Stokes-Gleichung,deren konvektiver Anteil∇·(c c)1 die nichtlinearen Glieder u∂u

∂x , v ∂v∂y , w ∂w

∂z enthalt. Manche Losungs-strategien lassen innerhalb der nichtlinearen auch die sog. quasilinearen Dgl. zu. Hierunter verstehtman i.a. Linearitat bezuglich der hochsten Ableitung (was fur die N-S Gleichung zutrifft).

2.2 Physikalische Klassifizierung

Hinsichtlich der physikalischen Klassifizierung unterscheidet man zwischen Gleichgewichts- undAusbreitungsproblemen.Gleichgewichtsprobleme hangen im allgemeinen mit der Beschreibung stationarer Zustande zu-sammen. Anhand einer stationar stromenden inkompressiblen Flussigkeit wollen wir die Zusam-menhange von physikalischer (Gleichgewichtsproblem) und mathematischer Gestalt (Integrations-bedingungstyp) kurz benennen. Fur verschwindend geringe Zahigkeit laßt sich der Bewegungszu-stand einer solchen Flussigkeit aus dem Gradienten eines Geschwindigkeitspotentials Φ ermitteln.

c = ∇ Φ . (2.2)

1Man beachte: c = Geschwindigkeit =

uvw

2.2 Physikalische Klassifizierung 3

Eine solche Stromung muß selbstverstandlich auch den klassischen Erhaltungssatzen, wie etwa demSatz von der Erhaltung der Masse (m = 0) genugen. Dieser lautet in seiner Feldgleichungsformu-lierung

∂%

∂t+∇ · (%c) =

D%

Dt+ %∇ · c = 0 2 (2.3)

also im hier betrachteten Fall eines inkompressiblen Mediums

∇ · c = 0 . (2.4)

Die Gleichungen (2.4) und (2.1) ergeben schließlich eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnungfur die abhangige Variable Φ, die sog. Laplace-Gleichung

∆Φ =∂2Φ∂x2

+∂2Φ∂y2

= 0 . (2.5)

Es handelt sich dabei immer noch um eine, wenn auch spezielle Form des Massenerhaltungssatzes.Hiernach ruft die in der Zeiteinheit durch die gerichtete geschlossene Oberflache eines Kontrollvo-lumens abfließende Masse

(∫O(V ) n · c%dO

)eine entsprechende Massenverminderung (− ∫

V∂%∂t dV )

innerhalb der Bereichsgrenzen hervor.3

Fur inkompressible Medien verschwinden die Glieder veranderlicher Dichte. Deshalb ist der Zustandeiner solchen Flussigkeit beim Eintritt in irgendein vorgegebenes Integrationsgebiet der gleiche wiebeim Verlassen des Gebietes. Da man aber letztlich vor der Aufgabe steht, die physikalischenVerhaltnisse innerhalb eines Gebietes vorherzusagen, muß man fur die Losbarkeit dieser Aufgabein umgekehrter Weise folgern: Die innerhalb eines Gebietes ablaufenden Prozesse werden eindeuti-ger Weise dadurch festgelegt, daß sie den Geschehnissen entlang der Berandung das Gleichgewichthalten. Gleichgewichtsprobleme sind im mathematischen Sinne also Randwertprobleme. Losungs-versuche ohne die vollstandige Kenntnis der Berandung waren sinnlos, da diese ja der Formulierungdes Problems bereits zu Grunde liegen. Die Losung Φ ist eine Funktion der beiden unabhangigenVeranderlichen x und y, bezieht sich aber nur auf Variablenkombinationen, welche innerhalb ei-ner ebenen geschlossenen Kurve “C” liegen. Mit C bezeichnet man die Kurve der Randwerte, diezur eindeutigen Bestimmung der Losung Φ dienen. Handelt es sich um einen mehrfach zusam-menhangenden Bereich S, wie dies z.B. bei einer Profilumstromung gegeben ist, erweitert sich dieKurve C um alle inneren Rander.4

Ausbreitungsprobleme behandeln oftmals Aufgaben, die die Zeit t als unabhangige Veranderlicheenthalten. Die eindimensionale Wellengleichung

∂2u

∂t2= a2 ∂2u

∂x2

2Man beachte: substantielle Ableitung: D%Dt

= ∂%∂t

+ c · ∇% .3Man beachte: n = Normalenvektor zum Flachenelement dO; O(V ) = geschl. Oberflache des Kontrollvolumens V

4In einem einfach zusammenhangenden Bereich S laßt sich jede beliebige geschlossene Kurve C aus S in ir-gendeinem Punkt des Integrationsgebietes (evt. durch gleichzeitiges Verschieben) zusammenziehen, ohne dabei dieBereichsgrenzen zu durchschneiden. Die Kurven C gehoren dann der Klasse der sog. reduziblen Umlaufe an. Beiebenen Problemen fallen Zusammenhangszahl und Begrenzungszahl zusammen. Besitzt ein ebenes Integrationsgebieteinen außeren und (n − 1) innere Rander (deren Flachenanteile nicht zum Definitionsbereich gehoren), so sprichtman von einem n-fach zusammenhangenden Integrationsgebiet. Das Zusammenziehen geschlossener Kurven ist dannnicht generell moglich. Immer, wenn eine geschlossene Kurve einen inneren Flachenanteil umschreibt, wurden beimZusammenziehen innere Rander durchwandert. Es existieren n − 1 Klassen solcher Kurven, je eine zu jeder innerenFlache. Den Reprasentanten einer solchen Klasse nennt man irreduziblen Umlauf.


C 1

C = C + C

C 2

1 2

Abbildung 1:

ist ein bekanntes Ausbreitungsproblem. Daneben existieren gerade in der Thermo- und Fluiddy-namik Ausbreitungsprobleme, die sich zeitlich unabhangig (stationar) verhalten. Hierzu zahlen dieImpulsgleichung der ebenen Grenzschicht

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

%

dp

dx+ ν

∂2u

∂y2(2.6)

sowie die linearisierte ebene Potentialgleichung der Gasdynamik

∂2Φ∂y2

+ (1−M2)∂2Φ∂x2

= 0 (M > 1) .

Letztere geht fur M → 0 (inkompressible Medien) in die Gleichung (2.5), also in ein Gleichge-wichtsproblem uber.Herausragendes Merkmal der Ausbreitungsprobleme ist die Existenz von Anfangswerten. Hiermitsind diejenigen Werte der abhangigen Variablen Φ gemeint, welche den physikalischen Prozeß einlei-ten, beispielsweise die anfangliche Temperaturverteilung eines schlanken Stabes vor dem Wasserbad.Die Losung Φ(x, y) breitet sich ausgehend von den Anfangswerten (unter Beachtung der Randbe-dingungen) schrittweise aus. Welche Richtung dabei in der Ebene der unabhangigen Veranderlicheneingeschlagen werden muß, laßt sich errechnen.

c cs

T0

l

x(l,0)0

(bekannte Temp.)j-te Zeitlinie

(j+1)-te Zeitlinie

c

beka

nnte

Ran

dwer

te v

on T

bekannte Anfangswerte T

beka

nnte

Ran

dwer

te v

on T (unbekannte Temp.)

t

Abbildung 2:


Das Integrationsgebiet ist also offen. Im skizzierten Falle (Abb. 2) der Temperaturverteilung desschlanken Stabes

∂T

∂t= κ

∂2T

∂x2

fallt die Ausbreitungsrichtung trivialer Weise mit der Zeitachse zusammen. Die Richtungen, in dersich die Losungen fortsetzen, heißen charakteristische Richtungen. Sie vermogen nicht die bereitserrechneten Losungen zu ruckwartigen Stellen (nachtraglich) zu beeinflussen. Wir wollen dies amBeispiel der linearisierten ebenen Potentialgleichung der Gasdynamik illustrieren.

P

.

.x

yαRuhe

c

c t

a tc > a

0

0

Abbildung 3:

Abb. 3 zeigt die Ausbreitung einer schwachen Storung bei einer punktformigen Schallquelle, die sichmit konstanter Uberschallgeschwindigkeit −c = (−c

0 ) bewegt. Der Vorgang ist (leider) instationar.Zur Zeit t0, an dem die Schallquelle den Punkt P erreicht hat, liegen alle fruher ausgesandtenSignale innerhalb des sogenannten Machschen Kegels. Dieser ist das Einflußgebiet der Storung.Außerhalb herrscht Ruhe. Fur den Machwinkel α gilt:

sinα =a

c=

1M

, a = Schallgeschwindigkeit,

tanα =a√

c2 − a2=

1√M2 − 1

.

Um zu einer stationaren Stromung zu gelangen, wird die Geschwindigkeit c uberlagert. Das Me-dium stromt nun mit c > a stationar auf die Storquelle zu. An der Skizzierung des Problemsandert sich dadurch nichts. Storungen konnen sich nur im Innern des stromab geoffneten Machke-gels im sogenannten Abhangigkeitsgebiet bemerkbar machen. Das ebene Geschwindigkeitsfeld setztsich zusammen aus der Anstromgeschwindigkeit c = ( c

0) sowie den Storgroßen (uv ) innerhalb des

Abhangigkeitsgebietes. Zur Beschreibung der Storgeschwindigkeit in der x-y Ebene wird die volle(nichtlineare, ebene, reibungsfreie) gasdynamische Grundgleichung

(u2 − a2)∂u

∂x+ uv

(∂u

∂x+

∂v

∂x

)+ (v2 − a2)

∂v

∂y= 0

fur den Fall v ¿ u ¿ c notiert. Unter Vernachlassigung der von hoherer Ordnung kleinen Gliederin v erhalt man (

1−M2∞

) ∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

sowie fur rotationsfreie Stromungen((u

v

)= ∇Φ) die PDG 2. Ordnung

(1−M2

∞) ∂2Φ

∂x2+

∂2Φ∂y2

= 0 . (2.7)


y

c

Q

sc(s)

P

ξ

ξ

x

η

η

Q

P

Q

P

R

Abbildung 4:

Die Gleichung (2.7) beschreibt die Ausbreitung einer in P auftretenden Storung (uv ) des Geschwin-

digkeitsfeldes ( c0). Der Wert Φ in P ist der Anfangswert des Problems. Die Storung breitet sich

entlang der Machlinien (= Charakteristiken) aus. Die Linien haben ihren Ursprung in P und en-den im Unendlichen. Als Bahnlinien der Storung sind sie physikalisch ausgezeichnet und somit dienaturlichen Koordinaten des Problems. Wir wollen die naturlichen Koordinaten ξ und η nennen,wobei

(dy

dx

)

η=konst

= tanα =1√

M2 − 1(

dy

dx

)

ξ=konst

= tan(−α) = − tan(α) = − 1√M2 − 1

.

Mit Ausnahme des Sonderfalles c = a, in dem beide Charakteristiken ineinander ubergehen, habenξ- und η-Charakteristiken einen Schnittpunkt. Charakteristiken gleichen Ursprungs schneiden sichin ihrem Storungszentrum, Charakteristiken verschiedenen Ursprungs hochstens einmal in einemFernpunkt stromab. Hierzu betrachten wir nochmals das oben beschriebene Beispiel, wobei dieStorung jetzt linienhaft entlang PQ verteilt sei (Abb. 4).Wir werden nun zeigen, daß sich eine Losung in R von P und Q aus eindeutig bestimmen laßt,sofern:

a) die Randwerte Φ(P ) und Φ(Q) bekannt sind,

b) fur die partiellen Ableitungen ∂Φ∂x entlang x = 0 Anfangswerte gegeben sind.

Integriert man die Vorschrift (mathematisch = den “Differentialoperator”)

L(Φ) =∂2Φ∂y2

− σ2 ∂2Φ∂x2

= 0 ; σ =√

M2∞ − 1 , M∞ > 1


in seinem Bestimmungsgebiet unter Verwendung des Gaußschen Satzes auf, so erhalt man:∫

s

∫(L(Φ))dx dy =

∫

s

∫ ∂

∂y

(∂Φ∂y

)− ∂

∂x

(σ2 ∂Φ

∂x

)dx dy

=∮

c(s)

∂Φ∂y

dx + σ2 ∂Φ∂x

dy

= 0 .

Das Problem laßt sich erheblich vereinfachen, in dem man den Rand C aufgrund der oben gestelltenUberlegungen

C =−→PQ(→dx=0) +

−→QR(→dy= 1

σdx) +

−→RP (→dy=− 1

σdx)

wahlt.Das Umlaufintegral zerfallt in drei Teilintegrale und es ergibt sich

∮... = σ2

Q∫

P

∂Φ∂x

dy + σ[Φ(R)− Φ(Q)] + σ[Φ(R)− Φ(P )]

schließlich

Φ(R) = −σ

2

Q∫

P

∂Φ∂x

dy +12[Φ(R)− Φ(Q)] .

Zum Abschluß dieses Beispiels sollen zwei wichtige Begriffe nochmals erlautert werden:

Einflußgebiet: Da die Charakteristiken die Bahnkurven der Storungen sind, beeinflußt eineStorung in A nur das durch seine Charakteristiken eingeschlossene Gebiet.Punkt B bleibt z.B. unbeeinflußt (siehe Abb. 5).

Abhangigkeitsgebiet: Der Zustand A ist nur von den Zustanden auf einer Datenkurve I → IIabhangig, unabhangig dagegen von Punkt C da dieser stromab liegt.

Abbildung 5:


x

y

j

i

P

P

P P

P1,3

i,j1,2

1,1 2,1

0

S

C

Abbildung 6:

Wie sich spater zeigen wird, ist die Losung von Gleichgewichtsproblemen im Unterschied zu An-fangswertproblemen aufwendiger. Die geringe Anzahl aller bis heute bekannt gewordenen analyti-schen Losungen ist Ausdruck der Tatsache, welche Schwierigkeiten es bereitet, die Randbedingungenbei beliebig geformten Randern zu erfullen. Oftmals sind numerische Naherungsverfahren daher dereinzige Weg zur Losung. An dieser Stelle sei unter Hinweis auf Abb. 6 bereits die Organisation derNaherungslosung skizziert.Zur Integration der Dgl. uberdeckt man das in Frage kommende Gebiet S z.B. mit einem recht-winkligen Gitternetz aus aquidistanten Linien, die parallel zur x- bzw. y-Achse verlaufen. EineNaherungslosung findet man an den Schnittpunkten dieser Linien, indem man die PDG uber denBereich S durch n algebraische Gleichungen approximiert. Die Approximation wird so durchgefuhrt,daß samtliche partiellen Ableitungen der Dgl. in einem Punkt Pij durch gewichtete Differenzen vonΦ in benachbarten Punkten angenahert werden. Notiert man gemaß dieser Vorgehensweise die ap-proximierende, algebraische Gleichung fur alle n inneren Punkte, so ergibt sich ein geschlossenesGleichungssystem mit n Gleichungen fur n Unbekannte.

Grenzschichtaußenrand

usw.

Abbildung 7:

Offensichtlich hangt die Gute der Naherung von der Fahigkeit des Gleichungssystems respektivedes Kontrollpunktgitters ab, steile Gradienten physikalischer Großen aufzulosen. Derlei Probleme

2.3 Mathematische Klassifizierung PDG 9

werden im Kapitel 6 erlautert. Die Anwendung von endlichen Differenzenmethoden zur Integrationder Dgl. unterscheidet sich im Falle von Ausbreitungsproblemen prinzipiell nicht von der vorange-stellten Methodik. Der Losungsalgorithmus ist jedoch nicht so komplex wie bei Randwertproble-men. Beispielsweise erfordert die Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes einer sich ausbreitendenPlattengrenzschicht (Abb. 7) gleichzeitiges Losen der Grenzschichtgleichung nur in Richtung derauftretenden zweiten Ableitung (Glg. 2.6). Die so gewonnenen Geschwindigkeitsprofile sind An-fangswerte fur die stromab anschließenden Nachbarpunkte.

2.3 Mathematische Klassifizierung PDG

Abbildung 8:

Wir beschranken uns auf die Diskussion der linearen partiellen Dgl. 2. Ordnung

A∂2Φ∂x2

+ B∂2Φ∂x∂y

+ C∂2Φ∂y2

+ D∂Φ∂x

+ E∂Φ∂y

+ FΦ + G = 0 , (2.8)

deren Koeffizienten A, B, C, D, E, F , G alleine Funktionen der unabhangigen Variablen (x, y)sind. Es soll untersucht werden, unter welchen Umstanden man mit Hilfe bekannter LosungenΦi = Φ(xi, yi) zu weiteren vielleicht sogar samtliche Losungen eines Integrationsgebietes gelangt.Die Integration von gewohnlichen Dgl. 2. Ordnung erzeugt bekanntermaßen zwei Integrationskon-stanten Φ und Φ′. Sind diese in Form von sogenannten Anfangsbedingungen an einer Stelle x = xo

gegeben, so laßt sich Φ in der Umgebung von xo aus der Dgl. berechnen. Es ist daher klar, daßzur Integration einer partiellen Dgl. 2. Ordnung in einer Umgebung von Po(xo, yo) die drei GroßenΦ(Po), Φx(Po), Φy(Po) notwendig sind. (Mit der Anzahl der unabhangigen Veranderlichen hat sichim Vgl. zu gewohnlichen Differentialgleichungen auch die Anzahl der Integrationsrichtungen umeins vermehrt.)Angenommen Φ = Φ(x, y) sei die allgemeine Losung der partiellen Differentialgleichung. Die-se Losung beschreibt eine Flache im Variablenraum, auf der sich Raumkurven auftragen lassen(Abb. 8).


Einen ersten “Losungsstreifen” Γ auf dieser Flache erhalt manzu einer Kurve C = ((x, y)|y = y(x)), an deren Punkten die dreiGroßen Φ, Φx, Φy gegeben sind. Der Streifen darf naturlich keineKnicke enthalten, weswegen die Werte der partiellen AbleitungenΦx und Φy uber C stetig ineinander ubergehen sollen.Γ(c)

Das bedeutet, daß Φx und Φy auf C stetig differenzierbar sind,man verfugt also zusatzlich uber bekannte Werte

d

dxΦx(x, y(x)) sowie

d

dxΦy(y, y(x)) .

Nach der Kettenregel sind hiermit die rechten Seiten der Glei-chungen

∂2Φ∂x2

+∂2Φ∂x∂y

∂y

∂x=

d

dxΦx(x, y(x)) , (2.9)

∂2Φ∂x∂y

+∂2Φ∂y2

∂y

∂x=

d

dxΦy(x, y(x)) (2.10)

bekannt. Die Gleichungen (2.8) bis (2.10) stellen ein lineares Glei-chungssystem (2.11) zur Bestimmung der Unbekannten partiellenAbleitung 2. Ordnung (Φxx, Φxy, Φyy) dar.

A B C1 y′ 00 1 y′

·

Φxx

Φxy

Φyy

=

H︷︸︸︷−[DΦx + EΦy + FΦ + G]ddxΦxddxΦy

. (2.11)

R

Solch ein Gleichungssystem ist naturlich nur dann eindeutig losbar, wenn die Determinante derKoeffizientenmatrix von null verschieden ist. Andernfalls sind die Zeilen- bzw. Spaltenvektorendieser Matrix linear abhangig und es treten ganze Scharen von Losungen auf.Die Werte Φ(x0, y0), Φx(x0, y0) ... Φyy(x0, y0), zu einem Punkt R′(x0, y0) bestimmen ein Flachen-element 2. Ordnung zum Konvergenzpunkt R(x0, y0, Φ0)

Φ = Φ0 + (x− x0)Φx(x0, y0) + (y − y0)Φy(x0, y0)

+ (x− x0)2Φxx(x0, y0) + (y − y0)2Φyy(x0, y0)

+ (x− x0)(y − y0)Φxy(x0, y0) .

Durch sukzessives aneinanderreihen solcher “Losungscluster” von Γ aus ergibt sich eine Naherungder Losungsflache.


Eine noch genauere Fortsetzung der Losung von einem PunktR′ ∈ Γ zu einem Punkt außerhalb von Γ erhalt man durch dieTaylorreihenentwicklung von Φ. Sofern die Stetigkeit der Funkti-on Φ hoherer Ordnung gegeben ist, notiert man

Φ(x0 + dx, y0 + dy) = Φ(x0, y0) +∂Φ∂x

dx +∂Φ∂y

dy

+12

[∂2Φ∂x2

dx2 + 2∂2Φ∂x∂y

dxdy +∂2Φ∂y2

dy2

]

+16

[∂3Φ∂x3

dx3 + 3∂3Φ

∂x2∂ydx2dy + 3

∂3Φ∂x∂y2

dxdy2 +∂3Φ∂y3

dy3

]

+ ...

Alle darin auftretenden hoheren Ableitungen von Φ lassen sich dann in Analogie zu (2.11) durchschrittweise Differentiation der partiellen Dgl. finden. Man benotigt lediglich die Werte Φxx, Φxy,Φyy aus dem vorhergehenden Schritt (2.11).

Nochmaliges partielles Ableiten nach x fuhrt beispielsweise auf das Gleichungssystem:

A(Φx)xx + B(Φx)xy + C(Φx)yy = Hx −AxΦxx −BxΦxy − CxΦyy

Φxxx + Φxxyy′ =

d

dxΦxx

Φxxy + Φxyyy′ =

d

dxΦxy

A B C1 y′ 00 1 y′

·

Φxxx

Φxxy

Φxyy

=

HddxΦxxddxΦxy

. (2.12)

Die Koeffizientenmatrix ist stets dieselbe. Daher reduziert sich die Aufgabe auf die Formulierung derBedingungen, unter denen bekannte Werte Φ, Φx, Φy zur Bestimmung der partiellen Ableitungen2. Ordnung ausreichen.

Verwendet man die Cramerregel, so stellen sich die Losungen des Gleichungssystems wie folgt dar:

Φxx

∆1=

Φxy

∆2=

Φyy

∆3=

1∆4

, (2.13)


wobei

∆1 =

∣∣∣∣∣∣

H B CddxΦx y′ 0ddxΦy 1 y′

∣∣∣∣∣∣

∆2 =

∣∣∣∣∣∣

A H C

1 ddxΦx 0

0 ddxΦy y′

∣∣∣∣∣∣

∆3 =

∣∣∣∣∣∣

A B H

1 y′ ddxΦx

0 1 ddxΦy

∣∣∣∣∣∣

∆4 =

∣∣∣∣∣∣

A B C1 y′ 00 1 y′

∣∣∣∣∣∣

Man unterscheidet zunachst zwischen den Fallen:

a) ∆4 6= 0 Es existiert fur (2.11) in jede Richtung (dx, dy) von R′ aus genau eine Losung. DerPunkt R′ heißt dann elliptischer Punkt. Sollten zudem alle anderen Punkte des Integrati-onsgebietes elliptische Punkte sein (z.B. fur konstante Koeffizienten A, B, C), so nennt mandie Differentialgleichung elliptisch. Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß die Gestalt desLosungsvektors (Φxx, Φxy, Φyy) von der Richtung (dy

dx) abhangt, in der man die Losung fort-setzen will, und fur gewohnlich in alle Richtungen eine andere ist. Deutlich ist zu erkennen,daß sich die in einem Punkt P (etwa in Form einer Anfangsbedingung) gespeicherte Informa-tion in alle Richtungen zur Fortsetzung der Losung eignet. Sie breitet sich uber das gesamteIntegrationsgebiet S aus und erzeugt dadurch in jedem Punkt ihren Anteil der GesamtlosungΦ. Die Gesamtlosung zu einem festen Punkt (xi, yj) aus S erhalt man durch Auswerten derSuperposition aller (durch Rand- und Anfangsbedingung) induzierten Losungsanteile an die-sem Punkt. Hieraus folgt, daß eine “unendlich lange” Randbedingungskurve C (= offenesIntegrationsgebiet) unendlich viele Losungsanteile erzeugen wurde. Eine eindeutige Losungware in keinem Punkt außerhalb der Randkurve zu ermitteln.

Sc

S c

Die Existenz eindeutiger Losungen setzt also voraus, daß sich die Orte gegebener Randbe-dingungen zu einer endlich langen somit geschlossenen Kurve C aufreihen. Die in Kapitel 2.2besprochenen Gleichgewichtsprobleme werden also durch elliptische Dgl. wiedergegeben.

b) ∆4 = 0. Das Verschwinden der Koeffizientendeterminante ist verknupft mit der Existenz re-


eller Nullstellen der in dy/dx quadratischen Gleichung

A(y′)2 −B(y′) + C = 0 bzw. y′1,2 =B ±√B2 − 4AC

2A. (2.14)

In Abhangigkeit des Wurzelarguments heißt eine partielle Differentialgleichung:

1. Elliptisch: B2 − 4AC < 0 → (y′1 = y′2) ∈ C

2. Parabolisch: B2 − 4AC = 0 → (y′1 = y′2) ∈ R

3. Hyperbolisch: B2 − 4AC > 0 → (y′1 6= y′2) ∈ R

Im parabolischen und hyperbolischen Fall existieren also ausgezeichnete Richtungen y′1,2 ∈ R,fur die die Koeffizientendeterminante aus (2.11) den Wert null annimmt.

Dringt man von irgendeinem Punkt R′ auf C aus in dieser Richtung in das Integrationsgebietein, so ist das Gleichungssystem (2.11) nicht mehr eindeutig losbar. Eventuelle mehrdeutigeLosungen sind an Nullstellen aller Zahlerdeterminanten nach (2.13) gebunden. Hierbei genugtes, die Nullstellen von nur einer weiteren Determinante aufzusuchen.

∆4 = 0 ist gleichbedeutend mit der linearen Abhangigkeit der Spaltenvektoren.

λ

A10

+ µ

C0y′

=

By′

1

,

kurzλa + µc = b .

Aus ∆2 = 0 folgt analog

κ

A10

+ ξ

C0y′

=

HddxΦxddxΦy

↔ κa + ξc = h .

Hiermit schließt man fur ∆3 = |a b x| mit b = f(a; c) und x = g(a; c)

∆3 = |a b x| = |a f(a; c)g(a; c)| = 0 ,

und ebenso ∆1 = 0.

Wir wollen das von uns gewahlte Beispiel ∆1 = 0 ∧ ∆2 = 0 genauer ausfuhren. Hierzu losenwir zunachst das Gleichungssystem (2.11) auf:

I : AΦxx + BΦxy + CΦyy = H

II : Φxx + y′Φxy =d

dxΦx

III : Φxy + y′Φyy =d

dxΦy

II :−→ Φxx = ddxΦx − y′Φxy =

d

dxΦx − y′

[d

dxΦy − y′Φyy

]

III :−→ Φxy = ddxΦy − y′Φyy −↑

I :→ Φyy [A(y′)2 −By′ + C]︸︷︷︸=∆4=0

+d

dxΦxA +

d

dxdy[B −Ay′] = H


also

Ad

dxΦx + (B −Ay′)

d

dxΦy = −DΦx − EΦy − FΦ−G , (2.15)

sowie aus ∆2 = 0

Ad

dxΦxy′ + C

d

dxΦy = [−DΦx −EΦy − FΦ−G]y′ . (2.16)

Das Gls. (2.17) enthalt keine weiteren Unbekannten, da samtliche Glieder uber dem Bereichs-rand C bekannt sind (s.o.). Um einen Widerspruch zu vermeiden, mussen (2.15) und (2.16)identisch erfullt sein. Der Beweis ist leicht. Man fuhrt zunachst formal die beiden UnbekanntenddxΦx und d

dxΦy ein und notiert (2.17) vektoriell.

(−)

(A (B −Ay′)

Ay′ C

) (ddx Φx

ddx Φy

)=

(H

Hy′

)·y′(2.17)

−→ d

dxΦy [−Ay′2 + By′ − C]︸︷︷︸

=∆4=0

= 0

Das Gls. (2.17) ist also unter der Voraussetzung ∆2 = 0 (→ 2.16) tatsachlich identisch erfullt.Die gesuchten Bestimmungsstucke Φxx, Φxy, Φyy des Losungsclusters erhalt man wie ublichaus

d

dxΦx = Φxx + Φxyy

′

d

dxΦy = Φxy + Φyyy

′ .

Hierbei kann eine der partiellen Ableitungen 2. Ordnung stets frei gewahlt werden, da dieDgl. in dieser Richtung keine zusatzliche Bedingung an die Wahl der Φxx, Φxy, Φyy stellt.Weist man der frei wahlbaren Große vorab einen konstanten Wert (z.B. null) zu, so verbleibtim parabolischen Fall eine Losung. Fur hyperbolische Differentialgleichungen besitzt (2.11)wegen y′1 6= y′2 zwei verschiedene Losungen.

Abbildung 9:

Man erhalt somit von einem Punkt R′ auf C aus zwei Clusterketten (Abb. 9), die in das In-tegrationsgebiet eindringen; eine in Richtung (dx; y′1 dx), die zweite in Richtung (dx; y′2 dx).


Abbildung 10:

In der Praxis benutzen wir die Gesetzmaßigkeit, wonach sich Information entlang der Cha-rakteristiken ausbreitet, zur Fortsetzung einer Losung.

Da sich typengleiche (ηi − ηj) Charakteristiken nicht schneiden, typenverschiedene (η − ξ)jedoch einen Schnittpunkt besitzen, sind zur Bestimmung der Losung im Punkte A lediglichdie beiden dort zur Deckung kommenden Cluster zu uberlagern (siehe auch Kapitel 2.2).Sollte die Kurve, auf der die Anfangswerte gegeben sind, selbst eine Charakteristik sein, ist dieLosung nur uber C selbst eindeutig. In diesem Falle laßt sich zu den gegebenen Anfangswertenkein “Informationsschnittpunkt” finden.

c= ξj

ξ

η

Abbildung 11:

Es ist sinnvoller, die mathematische Klassifizierung einer PDG direkt auf die unabhangigen Varia-blen zu beziehen. Die Impulsgleichungen der ebenen Grenzschicht (2.6) beschreiben ein Ausbrei-tungsproblem von parabolischem Typ. Ihre Charakteristiken verlaufen entlang der Linien (dy

dx) = ∞senkrecht zur Hauptstromungsrichtung.Der Grenzschichtaußenrand ist Anfangs- und Randbedingungskurve zugleich, die Plattenflache istdagegen nur Randbedingungskurve.Das Geschwindigkeitsprofil an einer Stelle xs berechnet sich aus den Anfangswerten in den strom-auf liegenden Punkten (·) auf dem Grenzschichtaußenrand und den Randbedingungen (2) quer


Abbildung 12:

zur Hauptstromungsrichtung. Die hieran anschließenden Profile haben keinen Einfluß. Die Losungpflanzt sich in Hauptstromungsrichtung vom GS-Außenrand beginnend senkrecht zu den charakteri-stischen Linien zu stromab liegenden Profilen fort. Man bezeichnet x auch als die einseitig gerichteteKoordinate des Problems. Eine Storung in S erreicht das Geschwindigkeitsprofil zu x0 im Punkt Qund breitet sich von dort aus entlang der zweiseitig gerichteten Koordinate y uber das ganze Profilaus. Praziser formuliert ist die DGL parabolisch in Richtung der Hauptstromungskoordinate x undelliptisch in Richtung der Querkoordinate y.Die Zeit ist immer eine einseitig gerichtete Variable, zukunftige Ereignisse vermogen gegenwarti-ge nicht mehr zu beeinflussen. Eine einseitig gerichtete Raumkoordinate erscheint zunachst un-sinnig. Mit ihr ließen sich zwar die einseitig gerichteten konvektiven Prozesse beschreiben, nichtjedoch diffusive Prozesse, da diese a priori zweiseitig gerichtet sind. Wir erinnern daran, daß dieGlg. (2.6) nicht die vollstandige Impulsbilanz wiedergibt, sondern nur eine Naherung, deren Gutemit wachsender Reynoldszahl steigt. In diesem Fall spielen nach dem Grenzschichtkonzept samt-liche Zahigkeitskrafte mit Ausnahmen von ν ∂2u

∂y2 dV eine untergeordnete Rolle, weshalb die Haupt-stromungskoordinate x zur einseitig gerichteten Koordinate wird. Die Strategie einer sich von denAnfangswerten der Geschwindigkeit am GS-Außenrand entlang der einseitig gerichteten Koordinatex ausbreitenden Losung scheitert jedoch offensichtlich fur Grenzschichten mit Ablosung.

Abbildung 13:

Es treten partielle Ruckstromgebiete im wandnahen Bereich auf, womit ein derartiges Profil gewis-sermaßen zwei Hauptstromungsrichtungen besitzt.


Beispiel: Charakteristikenverfahren

Vorausgesetzt die Glg. (2.8) sei hyperbolisch, so sind die Wurzeln der Glg. (2.14) reell und ver-schieden. Wir wollen diese Wurzeln in Zukunft mit f und g abkurzen. Die Kurve C sei eine nichtcharakteristische Kurve, auf der Anfangswerte fur Φ, Φx und Φy bekannt sind.

TP Q C

S

Rf

Z

U

Vfg

12

Abbildung 14:

Sind P und Q zwei verschiedene Punkte von C, so soll die f -Charakteristik durch P die g-Charakteristik durch Q in R schneiden. Da sich nirgends zwei Charakteristiken von ein und demselben Typ schneiden, wird die Losung in einem Punkt S, der innerhalb des Dreiecks PQR liegt,durch die Anfangsbedingungen in den Punkten P und Q festgelegt. Analog bestimmt sich dieLosung an einem Zwischenpunkt U innerhalb des Streifens aus der Anfangsbedingung in einemPunkt auf dem Bogen TP (die sich entlang einer f -Charakteristik ausbreitet) und der Anfangs-bedingung in einem Punkt auf dem Bogen PR (die sich auf einer g-Charakteristik ausbreitet).Wenn sich die Anfangsbedingungen auf TP von PQ unterscheiden, dann ist die Losung in demStreifen PRV T verschieden von der Losung innerhalb des Kurvendreiecks PQR. Strebt T gegenP , so geht der Streifen in die Charakteristik PR uber. Die Unstetigkeit in den Anfangsbedingun-gen bei P pflanzt sich also langs einer Charakteristik fort. Die Charakteristik vermag verschiedeneLosungen zu trennen. Eine außerst wichtige Eigenart von PDG zweiter Ordnung besteht darin, daßbeide Losungen zusammen mit ihren ersten Ableitungen stetig sein konnen, wohingegen die Ablei-tungen zweiter und hoherer Ordnung dieselbe Charakteristik unstetig uberschreiten. Das ist leichteinzusehen, wenn man bedenkt, daß entlang der Charakteristiken eine der partiellen Ableitungen2. Ordnung frei wahlbar war.Wir wollen nun versuchen, einen ungefahren Wert fur Φ im unbekannten Charakteristikenschnitt-punkt R zu ermitteln. In erster Naherung konnen wir die Bogen PR und QR als Geraden mit denSteigungen fP und gQ ansehen. Dann laßt sich die Anderung der y-Koordinate beim Ubergang zumPunkt R naherungsweise durch

yR − yP = fP (xR − xP ) (2.18)

bzw.yR − yQ = gQ(xR − xQ) (2.19)

bestimmen.Aus den Gleichungen (2.18) und (2.19) erhalt man zunachst die unbekannten Koordinaten (xR, yR)des neuen Punktes.Aus (2.16)

A(Φx)′y′ + C(Φy)′ = Hy′


erhalt man in erster Naherung die beiden Gleichungen

AΦx(R)− Φx(P )

(xR − xP )y′ + C

Φy(R)− Φy(P )(xR − xP )

= Hy′ , (2.20)

AΦx(R)− Φx(Q)

(xR − xQ)y′ + C

Φy(R)− Φy(Q)(xR − xQ)

= Hy′ . (2.21)

Dies sind zwei Gleichungen fur die beiden Unbekannten Φx(R) und Φy(R). Bricht man die Taylor-reihenentwicklung nach dem ersten Glied ab, so erhalt man:

Φ(R) = ΦP +12

[Φx(P ) + Φx(R)] · (xR − xP )

+12

[Φy(P ) + Φy(R)] · (yR − yP ) ,

(2.22)

wobei die Gradienten durch ihre Mittelwerte ersetzt wurden.Die Approximation laßt sich verbessern, indem man in den Gleichungen (2.18) und (2.19) einegemittelte Steigung verwendet. Die Gleichungen fur verbesserte Werte xR und yR lauten dann:

(yR − yP ) =12(fR + fP )(xR − xP ) ,

(yR − yQ) =12(gR + gP )(xR − xP ) .

Hieraus erhalt man mit (2.20) und (2.21) verbesserte Werte fur Φx(R) und Φy(R) und schließlichvermoge (2.22) Φ(R). In gleicher Weise berechnet man einen Losungswert in U . Anschließendverwendet man die so gewonnenen Ergebnisse zur Berechnung der Losungen in Z, usw.

2.4 Anfangs- und Randbedingungen

Bei der Integration partieller Dgl. fallen (ahnlich den Integrationskonstanten fur gewohnliche Dgl.)Funktionen an. Eine geschlossene Losung erhalt man nur sofern diese durch zusatzliche Bedingungenbestimmbar werden. Hierbei unterscheidet man zwischen Anfangs- und Randbedingungen.

Anfangsbedingungen sind Vorschriften an den Wert der abhangigen Variablen im Ausgangszu-stand.

Randbedingungen sind Vorschriften an den Wert der abhangigen Variablen oder ihrer Ableitungauf dem Bereichsrand.

Folgende Randbedingungen sind namentlich bekannt:

1. Dirichletbedingung: Der Wert der anhangigen Variablen Φ ist entlang des Bereichsrandesgegeben.

2. Neumannbedingung: Die Normalenableitung der unabhangigen Variablen Φ entlang des Ran-des ist vorgegeben.

3. Gemischte (Cauchy-)Randbedingungen

An einem Teil der Berandung sind Dirichletrandbedingungen gege-ben, an einem anderen Neumannbedingungen.

2.5 Formulierungsmethoden 19

4. Robinbedingung: Hiermit sind Linearkombinationen von Dirichlet- und Neumannbedin-gungen gemeint.

Achtung: Reine Gradientenbedingungen konnen das Problem nicht eindeutig losen, da das Niveaunicht festgelegt ist.

2.5 Formulierungsmethoden

Die Formulierung einer PDG heißt konservativ, wenn die Ableitungen einer Variablen nicht explizitaufgefuhrt sind. Die Gleichungen

∇ · (%c) = 0 bzw.∂

∂x(%u) +

∂

∂y(%v) = 0

sind konservativen Formulierungen des Massenerhaltungssatzes fur stationare Stromungen. Dienichtkonservative Form lautet

%∂u

∂x+ %

∂v

∂y+ u

∂%

∂x+ v

∂%

∂y= 0 .

Notiert man eine Bilanzgleichung mit Hilfe der “ursprunglichen” Variablen (u, v, p, T ), so sprichtman auch von einer Formulierung auf der Basis primitiver Variablen. Fur die zweidimensionaleinkompressible Navier-Stokes-Gleichung lautet diese:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

%

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

),

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

%

∂p

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

),

oder∂ui

∂t+

∂

∂xk(uiuk) = −1

%

∂p

∂xi+ ν

∂2ui

∂x2k

. (2.23)

In der Regel bevorzugt man jedoch Formulierungen auf der Basis abgeleiteter Großen (ω, ψ, H),wie z.B. die Wirbelstarke - Stromfunktion - Formulierung der 2-dimensionalen N-S-Gleichung

∂ω

∂t+

∂ψ

∂y

∂ω

∂x− ∂ψ

∂x

∂ω

∂y=

1Re

(∂2ω

∂x2+

∂2ω

∂y2

)

−ω =∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂y2=

∂u

∂y− ∂v

∂x.

20 Finite Differenzenmethoden


Der Einsatz digitaler Rechenautomaten beschrankt sich auf algebraische Probleme. Um eine PDGmit numerischen Methoden zu losen, mussen daher alle auftretenden partiellen Ableitungen durchalgebraische Ausdrucke ersetzt werden. Solche Ausdrucke heißen endliche bzw. finite Differenzenfor-meln. Die Idee der finiten Differenzenformeln geht auf die Einfuhrung der Ableitung fur stetigeFunktionen f zuruck:

∂f

∂x= lim

∆x→0

f(x + ∆x, y)− f(x, y)∆x

. (3.1)

Erfahrungsgemaß stellt schon der Differenzenquotient

f(x + ∆x, y)− f(x, y)∆x

(3.2)

eine befriedigende Naherung fur ∂f∂x dar, sofern die Schrittweite ∆x “hinreichend”, jedoch nicht

unendlich klein gewahlt wird. Ersetzt man samtliche partielle Ableitungen der PDG durch geeig-nete Formeln der Gestalt (3.2), so reduziert sich das ursprunglich kontinuierlich gestellte Problemauf wenige Kontrollpunkte. Man spricht daher von Diskretisierung der DGL auf der Basis finiterDifferenzen.Die Stutzstellen der Differenzenformeln werden nicht explizit, sondern durch die Knotenpunkteeines automatisch erzeugten Gitters bestimmt (Abb. 15).

Abbildung 15: Kontrollpunktgitter.

Die Generierung solcher Gitter wird nicht behandelt, trotzdem wollen wir hier einiges zur Beschaf-fenheit des Gitters und zur Wahl geeigneter Koordinaten erwahnen. Zufriedenstellende Losungenerhalt man nur, wenn das zugrunde gelegte Gitter sowohl innerhalb des Integrationsgebietes als auchentlang seiner Berandung physikalische Bindung behalt. Wichtige Kriterien sind das Auflosungs-vermogen des Gitters bezuglich der im Integrationsgebiet auftretenden Gradienten und der Inte-grationsbedingungen.In Kapitel 2 wurde gezeigt, wie sich die Losung der PDG entlang naturlicher Koordinaten vereinfa-chen kann. Die naturlichen Koordinaten verlaufen im kartesischen Bezugssystem meist krummlinig.In diesem System ist die Formulierung der finiten Differenzengleichung (FDG) fur ein an naturli-chen Koordinaten orientiertes Gitter unzweckmaßig. Die Ausdrucke werden unnotig kompliziertund fuhren wegen der unregelmaßigen Schrittweite zu Schwierigkeiten bei der Losung der PDG.Die Probleme konnen uberwunden werden, wenn man anstelle des kartesischen Bezugssystems eine

3.1 Herleitung finiter Differenzenformeln 21

naturliche (ξ − η) Basis verwendet. Der Zusammenhang zwischen beiden Basissystemen ist durchTransformationsformeln wiedergegeben

ξ = g(x, y)

η = h(x, y) .

Letztere sind so zu bestimmen, daß das ursprunglich vorgegebene Integrationsgebiet in einer Recht-eckstruktur der ξ − η Ebene abgebildet wird (Abbildung 16). Auf die erforderliche Koordinaten-transformation wird in Kapitel 6 im Detail eingegangen.

Abbildung 16: Nomenklatur des Rechengitters in der ξ − η-Ebene

Die Lage der Gitterpunkte wollen wir fortan mit i in ξ-Richtung bzw. j in η-Richtung bezeich-nen. Die Anzahl der betrachteten Punkte in ξ- bzw. η-Richtung seien IM und JM . Die finiteDifferenzenformulierung der partiellen DGL wird fur jeden Gitterpunkt notiert, das entstehendeGleichungssystem hangt vom Typ der DGL ab (siehe Kapitel 2). Wahrend Gleichgewichtsproblemeauf ein System simultan zu losender finiter Differenzengleichungen fuhren, konnen die FDG einesAusbreitungsproblems hintereinander gelost werden. Das Ergebnis beider Falle sind die Werte derabhangigen Variablen an allen Gitterpunkten.

3.1 Herleitung finiter Differenzenformeln

Fur die Entwicklung finiter Differenzenformeln stehen alternative Verfahren wie z.B.:

• Taylorreihenentwicklung

• Polynomgestutzte Methoden

• Integralmethoden

• Kontrollraumverfahren

zur Verfugung. Wir beschranken uns in diesem Kapitel auf die ersten beiden Verfahren und kommenzu gegebener Zeit auf die anderen zuruck. Die Bezeichnung der unabhangigen Variablen in denBeispielen ist beliebig.


3.1.1 Taylorreihenentwicklung

Fur eine analytische Funktion f(x) laßt sich der Funktionswert an einer zu x benachbarten Stelle(x + ∆x) in einer Taylorreihe entwickeln:

f(x + ∆x) = f(x) + (∆x)∂f

∂x+

(∆x)2

2!∂2f

∂x2+

(∆x)3

3!∂3f

∂x3+ ...

= f(x) +∞∑

n=1

(∆x)n

n!∂nf

∂xn.

(3.3)

Lost man (3.3) nach ∂f∂x auf, so erhalt man

∂f

∂x=

f(x + ∆x)− f(x)∆x

− ∆x

2!∂2f

∂x2− (∆x)2

3!∂3f

∂x3+ ... (3.4)

Bricht man die rechte Seite der Glg. (3.4) nach dem ersten Glied ab und druckt den Abschneidefehlerdurch den fur ∆x < 1 fuhrenden Fehlerterm aus, so erhalt man

∂f

∂x=

f(x + ∆x)− f(x)∆x

+O(∆x) .

Eine erste finite Differenzenformulierung der ersten Ableitung ergibt sich somit aus dem bekanntenvorwartigen Differenzenquotienten

f ′i =fi+1 − fi

xi+1 − xi+O(∆x) . (3.5)

BC

f(x)

x

f

∆x+ x

f(x+ x)∆

x

Abbildung 17: Veranschaulichung der Gleichung 3.5.

Die ruckwartige Entwicklung der Funktion f ergibt analog aus der Entwicklung

f(x + (−∆x)) = f(x) +∂f

∂x(−∆x) +

(−∆x)2

2!∂2f

∂x2+

(−∆x)3

3!∂3f

∂x3+ ...

= f(x) +∞∑

n=1

[±(∆x)n

n!

]∂nf

∂xn

+ gerade n− ungerade n

,

(3.6)


den sogenannten ruckwartigen Differenzenquotient

f ′i =fi − fi−1

xi − xi−1(+O(∆x)) . (3.7)

Subtrahiert man Glg. (3.6) von Glg. (3.3), dann verschwinden fur gleiche Schrittweiten alle Termemit geraden Exponenten, und man erhalt eine genauere Naherung der ersten Ableitung in Gestaltdes zentralen Differenzenquotienten (3.8)

f(x + ∆x)− f(x−∆x) = 2∆x∂f

∂x+ 2

(∆x)3

3!∂3f

∂x3+ ...

f ′i =fi+1 − fi−1

2∆x+O(∆x)2 .

(3.8)

BC

f

x

A

ii-1 i+1

Abbildung 18: Veranschaulichung der Gleichung 3.8.

Fur die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich die algebraischen Naherungen ebenfalls aus derLinearkombination verschiedenartiger Taylorreihenentwicklungen finden. Eine finite Differenzenfor-mulierung der zweiten Ableitung findet man beispielsweise aus

f(x + 2∆x) = f(x) +∂f

∂x2∆x +

∂2f

∂x2

(2∆x)2

2+

∂3f

∂x3

(2∆x)3

6+ ...

(−) f(x + ∆x) = f(x) +∂f

∂x∆x +

∂2f

∂x2

(∆x)2

2+

∂3f

∂x3

(∆x)3

6+ ...

∣∣∣∣∣∣∣∣·(2)

−2f(x + ∆x) + f(x + 2∆x) = −f(x) + (∆x)2∂2f

∂x2+ (∆x)3

∂3f

∂x3+ ... (3.9)

Lost man Glg. (3.9) nach ∂2f∂x2 auf, so erhalt man den vorwartigen Differenzenquotienten fur zweite

Ableitungen (3.10)∂2f

∂x2

∣∣∣∣i

=fi+2 − 2fi+1 + fi

(∆x)2+O(∆x) . (3.10)


Analog erhalt man aus den ruckwartigen Entwicklungen f(x−∆x) bzw. f(x−2∆x) den ruckwarti-gen Differenzenquotienten fur zweite Ableitungen (3.11)

∂2f

∂x2

∣∣∣∣i

=fi−2 − 2fi−1 + fi

(∆x)2+O(∆x) . (3.11)

und durch Zusammenziehen von (3.3) und (3.6) den entsprechenden zentralen Differenzenquotienten(3.12)

∂2f

∂x2

∣∣∣∣i

=fi+1 − 2fi + fi−1

(∆x)2+O(∆x)2 . (3.12)

Naherungen fur hohere Ableitungen werden in gleicher Weise formuliert. Die grundlegenden Opera-tionen der finiten Differenzenformulierung lassen sich ein wenig schematisieren, wenn man folgendeAbkurzungen einfuhrt:

∆fi := fi+1 − fi

∇fi := fi − fi−1

δfi := fi+ 12− fi− 1

2(3.13)

δ∗fi := fi+1 − fi−1 = ∆fi +∇fi .

Bekanntermaßen lassen sich lineare Differentialgleichungen, die hohere Ableitungen in einer Verander-lichen enthalten, auf ein Differentialgleichungssystem reduzieren, in dem nur noch erste Ableitungenauftreten. Die Anzahl der Gleichungen in diesem System entspricht der Ordnung der Ausgangs-differentialgleichung. Diskretisiert man in solch einem System von n − 1 Differentialgleichungen1. Ordnung alle Ableitungen einheitlich (vorwarts, ruckwarts oder zentral), so ergibt sich fur dien− te Ableitung der Funktion

∂nf

∂xn

∣∣∣∣i

=∆nfi

(∆x)n+O(∆x) , (3.14)

∂nf

∂xn

∣∣∣∣i

=∇nfi

(∆x)n+O(∆x) , (3.15)

∂nf

∂xn

∣∣∣∣i

=∆nfi−n

2+∇nfi+n

2

2(∆x)n+O(∆x)2

∂nf

∂xn

∣∣∣∣i

=∆nfi−n−1

2+∇nfi+n−1

2

2(∆x)n+O(∆x)2

gerade n

ungerade n(3.16)

Die hierin auftretenden n-ten Potenzen der Operatoren ∆, ∇ berechnet man zuruckkehrend bis aufbekannte Werte (, “rekursiv”) durch

∆nfi = ∆n−1(∆fi) bzw. ∇nfi = ∇n−1(∇fi) . (3.17)

3.1.2 Polynomgestutzte Methoden

Polynomgestutzte Methoden bieten eine zweite Moglichkeit zur Entwicklung finiter Differenzenfor-meln. Sie basieren auf der Annahme, daß der Verlauf der abhangigen Variablen in dem betrachtetenBereich durch ein Polynom wiedergegeben wird. Hierzu betrachten wir das Polynom 2. Ordnung

f(x) = Ax2 + B x + C , (3.18)


dessen zunachst unbekannte Koeffizienten durch die Funktionswerte an drei aquidistanten Stutz-stellen xi = 0, xi+i = ∆x und xi+2 = 2∆x

fi = Ax2i + Bxi + C = C ,

fi+1 = Ax2i+1 + Bxi+1 + C = A(∆x)2 + B(∆x) + C ,

fi+2 = Ax2i+2 + Bxi+2 + C = A(2∆x)2 + B(2∆x) + C .

bestimmt werden. Die Auflosung des Gleichungssystems liefert die Werte

C = fi ,

B =−fi+2 + 4fi+1 − 3fi

2(∆x),

A =fi+2 − 2fi+1 + fi

2(∆x)2.

Hiermit lassen sich die partiellen Ableitungen

∂f

∂x= 2Ax + B ,

∂2f

∂x2= 2A .

auswerten.Beispielsweise erhalt man fur ∂f

∂x

∣∣∣xi=0

die finite Differenzenformulierung

∂f

∂x

∣∣∣∣i

=−fi+2 + 4fi+1 − 3fi

2(∆x),

also den vorwartigen Differenzenquotienten von der Ordnung (∆x)2. Die Naherung der zweitenAbleitung

∂2f

∂x2

∣∣∣∣i

= 2A =fi+2 − 2fi+1 + fi

(∆x)2,

entspricht ebenfalls einem schon bekannten vorwartigen Differenzenquotienten (3.10).

Am Beispiel der vorwartigen Differenzenformulierung 1. Ordnung fur ∂3f∂x3 lassen sich die unter-

schiedlichen Entwicklungsmethoden vergleichen.


f

f f

fi

i

i+1

i+1

i+2

i+2

f

i+3

i+3

x x x

x

∆ ∆ ∆

x x x x

Abbildung 19: Veranschaulichung der Gleichung (3.19).

a) Die Taylorreihenentwicklungen zu den Schrittweiten ∆x, 2∆x, 3∆x lauten:

f(x + ∆x) =

f(x) + ∆x∂f

∂x+

(∆x)2

2!∂2f

∂x2+

(∆x)3

3!∂3f

∂x3+O(∆x)4 , (3.19)

f(x + 2∆x) =

f(x) + 2∆x∂f

∂x+

(2∆x)2

2!∂2f

∂x2+

(2∆x)3

3!∂3f

∂x3+O(2∆x)4 , (3.20)

f(x + 3∆x) =

f(x) + 3∆x∂f

∂x+

(3∆x)2

2!∂2f

∂x2+

(3∆x)3

3!∂3f

∂x3+O(3∆x)4 , (3.21)

[→ 3 · (3.19)− (3.21)]

3fi+1 − fi+3 = 2fi − 3(∆x)2∂2f

∂x2− 4(∆x)3

∂3f

∂x3+O(∆x)4 , (3.22)

[→ (3.20)− 2 · (3.19)]

fi+2 − 2fi+1 = −fi + (∆x)2∂2f

∂x2− (∆x)3

∂3f

∂x3+O(∆x)4 . (3.23)

Aus [(3.22) + 3 · (3.23)] erhalt man aufgelost nach der dritten partiellen Ableitung

∂3f

∂x3

∣∣∣∣i

=fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1 − fi

(∆x)3+O(∆x) . (3.24)

b) Schreibt man die Rekursionsformel

∂3f

∂x3

∣∣∣∣i

=∆3fi

(∆x)3+O(∆x)


aus, so ergibt sich

∆3fi = ∆2(∆fi) = ∆2(fi+1 − fi) = ∆(∆fi+1 −∆fi)

= ∆[(fi+2 − fi+1)− (fi+1 − fi)] = ∆(fi+2 − 2fi+1 + fi)

= ∆fi+2 − 2∆fi+1 + ∆fi = (fi+3 − fi+2)− 2(fi+2 − fi+1) + (fi+1 − fi)

= fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1 − fi

und somit∂3f

∂x3

∣∣∣∣i

=fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1 − fi

(∆x)3+O(∆x) .

c) Betrachtet wird das Polynom dritter Ordnung

f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D . (3.25)

Fur 4 aquidistante Stutzstellen xi = 0, xi+n = xi + n∆x; n = 1...3 berechnen sich dieKoeffizienten gemaß

fi+3 = A(3∆x)3 + B(3∆x)2 + C(3∆x) + D ,

fi+2 = A(2∆x)3 + B(2∆x)2 + C(2∆x) + D ,

fi+1 = A(∆x)3 + B(∆x)2 + C(∆x) + D ,

fi = D ,

zu

D = fi ,

C =2fi+3 − 9fi+2 + 18fi+1 − 11fi

6∆x,

B =−3fi+3 + 12fi+2 − 15fi+1 + 6fi

6(∆x)2,

A =fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1 − fi

6(∆x)3.

Die partiellen Ableitungen des Polynoms sind bestimmt durch

∂f

∂x= 3Ax2 + 2Bx + C ,

∂2f

∂x2= 6Ax + 2B ,

∂3f

∂x3= 6A ,

womit die gesuchte finite Differenzenformulierung wiederum

∂3f

∂x3=

fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1 − fi

(∆x)3+O(∆x)


lautet. Zusatzlich wollen wir hier noch bemerken, daß die Naherung der ersten partiellenAbleitung in xi mit dem Koeffizienten C zusammenfallt

C =∂f

∂x

∣∣∣∣x=xi

=2fi+3 − 9fi+2 + 18fi+1 − 11fi

6(∆x)+O(∆x)3 . (3.26)

Fur die am Ende des Kapitels tabellarisch wiedergegebenen finite Differenzenformulierungen hoher-er partieller Ableitungen sei hier exemplarisch eine ruckwartige Formulierung der ersten partiellenAbleitung hergeleitet. Hierzu formulieren wir zunachst eine erste ruckwartige Entwicklung der ana-lytischen Funktion f(x) zur Schrittweite ∆x

f(x−∆x) = f(x)−∆x∂f

∂x+

(∆x)2

2∂2f

∂x2− (∆x)3

6∂3f

∂x3+

(∆x)4

24∂4f

∂x4+ ... (3.27)

Im gewahlten Beispiel soll die gesuchte Differenzenformel die erste partielle Ableitung einschließlichder in der Schrittweite von 2. Ordnung kleinen Gliedern genau annahern. Die obige Entwicklung(3.13) wird daher nach dem vierten Summanden abgebrochen und man notiert fur die Auflosungnach ∂f/∂x

∂f

∂x

∣∣∣∣i

=1

∆xfi − fi−1+

12(∆x)

∂2f

∂x2

− 1

6(∆x)2

∂3f

∂x3

+O(∆x)3 . (3.28)

Um die geforderte Genauigkeit zu erreichen, mussen die beiden verbleibenden partiellen Ableitungen∂2f∂x2

und

∂3f∂x3

durch finite Differenzen von der Ordnung O(∆x)2 bzw. O(∆x) ersetzt werden.

Diese Differenzenformeln erhalt man aus zwei weiteren ruckwartigen Entwicklungen

f(x− 2∆x) = f(x)− 2∆x∂f

∂x+ 2(∆x)2

∂2f

∂x2− 8

6(∆x)3

∂3f

∂x3+O(∆x)4 , (3.29)

f(x− 3∆x) = f(x)− 3∆x∂f

∂x+

92(∆x)2

∂2f

∂x2− 27

6(∆x)3

∂3f

∂x3+O(∆x)4 . (3.30)

Eliminiert man die Glieder der gesuchten ersten Ableitung durch geeignete Linearkombinationen(3· (3.27) - (3.30) bzw. 2· (3.27) - (3.29)), so ergeben sich zwei Bestimmungsgleichungen fur die zuersetzenden partiellen Ableitungen

3fi−1 − fi−3 = 2fi − 3(∆x)2∂2f

∂x2+ 4(∆x)3

∂3f

∂x3+O(∆x)4 ,

2fi−1 − fi−2 = fi − (∆x)2∂2f

∂x2+ (∆x)3

∂3f

∂x3+O(∆x)4 .

Diese fuhren auf die Differenzenformeln

∂3f

∂x3

∣∣∣∣i

=1

∆x3[fi − 3fi−1 + 3fi−2 − fi−3] +O(∆x) ,

∂2f

∂x2

∣∣∣∣i

=1

∆x2[2fi − 5fi−1 + 4fi−2 − fi−3] +O(∆x)2 ,

womit man anstelle (3.28)

∂f

∂x

∣∣∣∣i

=−2fi−3 + 9fi−2 − 18fi−1 + 11fi

6∆x+O(∆x)3 (3.31)

notiert.


3.1.3 Nichtaquidistante Gitter

Abschließend erweitern wir die o.a. Methoden auf Rechengitter deren Schrittweitenfolgen dem Bil-dungsgesetz

hi

hi−1=

∆xi

∆xi−1= α (→ aquidistant : α ≡ 1)

genugen. Wir werden uns der besseren Ubersicht halber auf das Beispiel des zentralen Differenzen-quotienten 2. Ordnung fur ∂f/∂x beschranken.

ff

x

x

∆ α∆

i-1 i+1

i-1

i+1

x

xx

f

f i

xi

Abbildung 20: Nichtaquidistantes Gitter.

Die Entwicklungen der Funktion f um x lauten

f(x−∆x) = f(x)−∆x∂f

∂x+

(∆x)2

2!∂2f

∂x2− (∆x)3

3!∂3f

∂x3+O(∆x)4 (3.32)

f(x + α∆x) = f(x) + α∆x∂f

∂x+

α2(∆x)2

2!∂2f

∂x2

+α3(∆x)3

3!∂3f

∂x3+O(∆x)4 (3.33)

[→ (3.33) +α· (3.32) ] : fi+1 − (1 + α)fi + αfi−1 = (1 + α)α (∆x)2

2∂2f∂x2 +O(∆x)3

bzw.

∂2f

∂x2=

fi+1 − (1 + α)fi + αfi−112α(1 + α)(∆x)2

+O(∆x) . (3.34)

Setzt man diese Naherung der zweiten Ableitung in (3.32) ein und lost nach ∂f/∂x auf, so ergibtsich schließlich an der Stelle xi

∂f

∂x=

fi+1 − (1− α2)fi − α2fi−1

α(1 + α)∆x+O(∆x)2 (3.35)


ein Ergebnis, das man auch aus der Betrachtung des quadratischen Polynoms (Abb. 20)

f(x) = Ax2 + Bx + C

an den Stutzstellen xi = 0, xi−1 = −∆x, xi+1 = α∆x erhalt. Aus

fi−1 = A(−∆x)2 + B(−∆x) + C

fi = C

fi+1 = A(α∆x)2 + B(α∆x) + C

bestimmt man die Koeffizienten zu

A =fi+1 − (α + 1)fi + αfi−1

α(α + 1)(∆x)2,

B =fi+1 + (α2 − 1)fi − α2fi−1

α(α + 1)(∆x),

C = fi ,

womit sich fur ∂f∂x

∣∣∣i(= 2Axi + B) wiederum die Naherung

∂f

∂x=

fi+1 + (α2 − 1)fi − α2fi−1

α(1 + α)∆x+O(∆x)2 (3.36)

ergibt.

3.2 Gemischte partielle Ableitungen

Algebraische Naherungen fur gemischte partielle Ableitungen leitet man unmittelbar von den vor-angestellten Uberlegungen zu gewohnlichen Differentiationsprozessen ab. Eine finite Differenzen-formulierung von quadratischer Fehlerordnung fur

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

[∂f

∂y

]

findet man etwa, indem man den Ausdruck ∂f(x, y)/∂y zunachst zentral in y diskretisiert

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

[∂f

∂y

]=

∂

∂x

[fi,j+1 − fi,j−1

2∆y

]+O(∆y)2 .

Wegen der Unabhangigkeit der Variablen x, y formuliert man weiter

∂2f

∂x∂y=

12∆y

[∂f

∂x

∣∣∣∣i,j+1

− ∂f

∂x

∣∣∣∣i,j−1

]+O(∆y)2 ,

und erhalt nach erneuter Verwendung zentraler Differenzenquotienten

∂2f

∂x∂y=

fi+1,j+1 − fi−1,j+1 − fi+1,j−1 + fi−1,j−1

4(∆x)(∆y)+O[(∆x)2(∆y)2] . (3.37)

Der Vollstandigkeit halber sei erwahnt, daß man dasselbe Ergebnis auch aus Taylorreihenentwick-lungen der Funktion f(x, y) um das Entwicklungszentrum (xi, yi) errechnen kann.

3.2 Gemischte partielle Ableitungen 31

fi−2 fi−1 fi fi+1 fi+2

2(∆x)∂f∂x - 1 0 1

(∆x)2 ∂2f∂x2 1 - 2 1

2(∆x)3 ∂3f∂x3 -1 2 0 -2 1

(∆x)4 ∂4f∂x4 1 -4 6 -4 1

Tabelle 1: Zentrale Differenzenquotienten O(∆x)2

fi fi+1 fi+2 fi+3 fi+4 fi+5

2(∆x)∂f∂x -3 4 -1

(∆x)2 ∂2f∂x2 2 -5 4 - 1

2(∆x)3 ∂3f∂x3 -5 18 -24 -14 -3

(∆x)4 ∂4f∂x4 3 -14 26 -24 11 - 2

Tabelle 2: Vorwartige Differenzenquotienten O(∆x)2

fi−5 fi−4 fi−3 fi−2 fi−1 fi

2(∆x)∂f∂x 1 -4 3

(∆x)2 ∂2f∂x2 -1 4 -5 2

2(∆x)3 ∂3f∂x3 3 -14 24 -18 5

(∆x)4 ∂4f∂x4 -2 11 -24 -26 -14 3

Tabelle 3: Ruckwartige Differenzenquotienten O(∆x)2


fi−3 fi−2 fi−1 fi fi+1 fi+2 fi+3

12(∆x)∂f∂x 1 -8 0 8 -1

12(∆x)2 ∂2f∂x2 -1 16 -30 16 -1

8(∆x)3 ∂3f∂x3 1 -8 13 0 -13 8 - 1

6(∆x)4 ∂4f∂x4 -1 12 -39 56 -39 12 - 1

Tabelle 4: Zentrale Differenzenquotienten O(∆x)4

fi fi+1 fi+2 fi+3 fi+4

(∆x)∂f∂x -1 1

(∆x)2 ∂2f∂x2 1 -2 1

(∆x)3 ∂3f∂x3 -1 3 -3 1

(∆x)4 ∂4f∂x4 1 -4 6 -4 1

Tabelle 5: Vorwartige Differenzenquotienten O(∆x)

fi−4 fi−3 fi−2 fi−1 fi

(∆x)∂f∂x -1 1

(∆x)2 ∂2f∂x2 1 -2 1

(∆x)3 ∂3f∂x3 -1 3 -3 1

(∆x)4 ∂4f∂x4 1 -4 6 -4 1

Tabelle 6: Ruckwartige Differenzenquotienten O(∆x)

33

4 Zeitapproximation – parabolische Differentialgleichungen

Die Diskussion unterschiedlicher zeitlicher Approximationsverfahren soll am Beispiel der Warmelei-tung erfolgen. Die Bilanzgleichung der (ebenen) Warmeleitung leitet sich aus dem (auf thermisch-mechanische Umsetzungen beschrankten) Energiesatz

Aa + Qa = E + U ˙( )=d

dt

ab. Hiernach wird der an einem Korper (in Form von mechanischer Arbeit Aa und zugefuhrterWarmemenge Qa) geleistete (außere) Energieaufwand sofern er nicht zur Veranderung seiner kine-tischen Energie E dient in Form von innerer Energie U gespeichert. Wir vereinfachen diese Bilanz,indem wir versuchen ‘mechanisches’ und ‘thermisches’ Gleichgewicht zu entkoppeln. Beschranktman sich auf die Betrachtung eines idealen (S = −pE), inkompressiblen (% = 0) Fluids, verschwin-den ahnlich wie bei einem starren Korper alle Spannungsleistungen As, weswegen der Arbeitsansatzder Mechanik die Identitat

Aa = E(+As)

liefert. In diesem Falle ist die gesonderte Betrachtung des thermischen Gleichgewichts

Qa = U (4.1)

moglich. Die in der Zeiteinheit zugefuhrte Warmemenge sei ausschließlich leistungsbedingt

Qa = −∮

q · dA = −∫

V

∇ · qdV ,

so daß wir anstelle (4.1) die massenspezifische Bilanz

u = −1%∇ · q (4.2)

erhalten. Berucksichtigt man den Zusammenhang

u = (%, T ) −→ u =∂u

∂%% +

∂u

∂TT ;

(% = 0,

∂u

∂T= c

),

dann tritt in (4.2) unter Verwendung der kapazitiven Konstante c und des Fourierschen Material-gesetzes (q = λ · ∇T ) nur noch eine abhangige Variable (T ) auf, und man erhalt

∂T

∂t=

λ

%c∆T = κ

(∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2

); κ =

λ

%c. (4.3)

Die partielle Differentialgleichung (4.3) ist elliptisch in Raum und parabolisch in der Zeit. Wir wen-den uns nun einem einfachen Beispiel, der Temperaturverteilung in einem dunnen gleichformigenStab, dessen Schwerachse mit der Raumkoordinate x zusammenfallen moge, zu. Zusatzlich setzenwir voraus, daß der Stab an seinem Mantel warmeisoliert ist, also die Temperaturveranderungendurch Warmeleitung in Langenrichtung und durch Warmeubertragung an den Enden eintreten.Das Problem wird durch die partielle Differentialgleichung

∂T

∂t= κ

∂2T

∂x2(4.4)

beschrieben.


4.1 Explizite und implizite Differenzenformeln

Eine erste finite Differenzenformulierung der Gleichung (4.4) reprasentiert die sogenannte FTCS(forward time-central space) Approximation.

Tm+1i − Tm

i

∆t= κ

Tmi+1 − 2Tm

i + Tmi−1

(∆x)2. (4.5)

Dabei wird folgende Nomenklatur fur die diskretisierten Temperaturen verwendet:

Tmi

m : t− Index, Zeitstufe

i : x− Index, Ort

Der partiellen Ableitung nach der Zeit nahert man sich wegen

∂T

∂t

∣∣∣∣t=tm

x=xi

=Tm+1

i − Tmi

∆t+O(∆t)

von erster Ordnung genau, wahrend dessen die raumliche Ableitung gemaß

∂2T

∂x2

∣∣∣∣m

i

=Tm

i+1 − 2Tmi + Tm

i−1

(∆x)2+O(∆x)2

von zweiter Ordnung genau ist. In der Gestalt

Tm+1i = Tm

i + d(Tmi+1 − 2Tm

i + Tmi−1) ; d = κ

∆t

∆x2(4.6)

liefert die Gleichung (4.5) eine explizite Formel zur Berechnung der unbekannten Temperatur imGitterpunkt (i, m + 1) aus bekannten Temperaturen der m-ten Zeitlinie.Ausgehend von den Anfangswerten zur Zeit to = 0 (→ m = 1) lassen sich mit (4.6) die unbekanntenWerte der zweiten Zeitlinie (to + ∆t) berechnen, die wiederum die Werte der dritten Zeitlinie(to +2∆t) bestimmen, usw. Eine finite Differenzenformel ist also genau dann explizit, wenn sie nureine Unbekannte beinhaltet.

unbekannt "m+1"

bekannt "m"

i-1 i i+1

Abbildung 21: Differenzenmolekul der FTCS Diskretisierung.

Die Losung der Warmeleitungsgleichung durch FTCS Diskretisierung des Problems erscheint wegender einfachen programmiertechnischen Umsetzung gunstig. Gleichzeitig weist sie jedoch das fur alleexpliziten Formeln typische Merkmal der Entkopplung von physikalisch einander zugeordnetenGroßen auf. Zwischen den Temperaturwerten einer Zeitlinie besteht nach (4.6) kein funktionalerZusammenhang. Dieser Sachverhalt sollte zumindest Mißtrauen gegenuber den Ergebnissen einersolchen Berechnung erwecken.

4.1 Explizite und implizite Differenzenformeln 35

unbekannt "m+1"

bekannt "m"

i-1 i i+1

Abbildung 22: Differenzenmolekul der BTCS Diskretisierung.

Die analoge implizite Formulierung erhalt man aus der sog. BTCS (backward time - centralspace) Diskretisierung der Differentialgleichung (4.4)

Tm+1i − Tm

i

∆t= κ

Tm+1i+1 − 2Tm+1

i + Tm+1i−1

(∆x)2. (4.7)

Nach der einzig bekannten Große aufgelost erhalt man die Gestalt

−Tmi = dTm+1

i+1 − (1 + 2d)Tm+1i + dTm+1

i−1 , (4.8)

weshalb eine simultane Losung fur alle (IM − 2) inneren Gitterpunkte einer Zeitlinie notwen-dig ist. Trotz dieses vergleichsweise hoheren Losungsaufwandes besitzen implizite Formulierungenentscheidende Vorteile hinsichtlich der Stabilitat. Fur die hier gegenubergestellten finiten Differen-zenformulierungen (FTCS bzw. BTCS) der Gleichung (4.4) wollen wir dies anschaulich machen.Das bezuglich der zweiseitig gerichteten Ortskoordinate x elliptische Problem verlangt die Existenzzweier Randbedingungen fur jede Zeitlinie m. Die Linien t = konst sind die charakteristischenKurven des Problems. Sie sind die Einflußlinien fur jede Art von Storungen, zu denen wir formalauch die Randbedingungen zahlen konnen.Anhand der Abb. 23 ist deutlich zu erkennen, daß im Falle der expliziten Formulierung von (4.4) beider Berechnung der aktuellen Zeitlinie (m + 4) die dazugehorigen Randbedingungen nicht beruck-sichtigt werden. Dieser Umstand widerspricht somit der Physik des Problems.

x

m+4

m+3

m+2

m+1

mi−4 i−3 i−2 i−1 i+1 i+2 i+3 i+4i

Abbildung 23: Randbedingungseinfluß bei expliziter Formulierung.

Die implizite BTCS-Formulierung (4.8) vermag dagegen aufgrund der Bauart ihrer ‘Differenzenmo-lekule’ ein besseres Abbild der Physik zu geben. Durch die Verknupfung dreier benachbarter Punkteder aktuellen Zeitlinie wird der elliptische Charakter formelhaft wiedergegeben. Die aktuelle Tempe-ratur eines Massenpunktes hangt sicherlich auch von den Momentanwerten in benachbarten Punk-ten ab. Punktuelle Storungen der finiten Losungen, die sich aus nur endlicher Rechengenauigkeitergeben, werden durch die Einbindung in das lokale Gleichgewicht zeitlich unmittelbar gedampft.


4.2 Stabilitat

Der absolute Fehler eines numerischen Verfahrens setzt sich aus dem Diskretisierungsfehler unddem meist rundungsbedingten Stabilitatsfehler zusammen.Diskretisierungsfehler sind kontrollierbar, man bestimmt sie im Sinne von Großenordnungsabschatz-ungen aus dem Vergleich mit Reihenentwicklungen. Rundungsfehler konnen dagegen in ungun-stigen Fallen außer Kontrolle geraten und instabile Losungen erzeugen. Es gibt mehrere Wegezur Untersuchung des Wachstums der Fehler bei den Operationen, die zum Losen der endlichenDifferenzengleichung benotigt werden.Einleitend werden wir die Entwicklung von diskreten Storungen behandeln und daran anschließendein Matrizenkriterium formulieren. Zusatzlich wird ein auf von Neumann zuruckgehendes Stabi-litatskriterium diskutiert.

4.2.1 Behandlung von diskreten Storungen

Die FTCS Diskretisierung der PDG∂T

∂t= κ

∂2T

∂x2

lautetTm+1

i − Tmi

∆t= κ

Tmi+1 − 2Tm

i + Tmi−1

(∆x)2. (4.9)

Wir wollen nun die Auswirkung einer in (i, m) eingeleiteten Storung εmi auf den Knotenpunkt

(i, m + 1) untersuchen. Hierzu notieren wir

(Tm+1i + εm+1

i )− (Tmi + εm

i )∆t

= κTm

i+1 + 2(Tmi + εm

i ) + Tmi−1

(∆x)2. (4.10)

Die Subtraktion von (4.9) und (4.10) liefert

εm+1i − εm

i

∆t= κ

−2εmi

(∆x)2

bzw.εm+1i = εm

i − 2κ∆t

(∆x)2︸︷︷︸d

εmi = εm

i (1− 2d) mit d =κ∆t

(∆x)2.

und damitεm+1i

εmi

= (1− 2d)

Die mathematische Formulierung der Stabilitat, wonach eine relative Vergroßerung der Storungdem Betrage nach vermieden werden muß, lautet also

|(1− 2d)| ≤ 1 −→ d ≤ 1 . (4.11)

Als nachstes wenden wir uns der im Knoten (i + 1,m + 1) induzierten Storung zu. Hierzu notierenwir

Tm+1i+1 − Tm

i+1

∆t= κ

Tmi+2 − 2Tm

i+1 + Tmi

(∆x)2, (4.12)

sowie(Tm+1

i+1 + εm+1i+1 )− Tm

i+1

∆t= κ

Tmi+2 − 2Tm

i+1 + (Tmi + εm

i )(∆x)2

, (4.13)

4.2 Stabilitat 37

Subtrahiert man Gleichung (4.12) von Gleichung (4.13), dann erhalt man

εm+1i+1 = dεm

i ,

und analog fur den Knoten (i− 1, m + 1)

εm+1i−1 = dεm

i .

(Der Fall d = 1 zeigt somit deutlich, wie sich eine Storung entlang der charakteristischen Kurvenausbreitet.) Die letzten beiden Ergebnisse benutzen wir, um die Induktion in dem Knoten (i,m+2),der zwei Zeitschritte oberhalb der Storquelle liegt, zu erfassen.

Tm+2i − Tm+1

i

∆t= κ

Tm+1i+1 − 2Tm+1

i + Tm+1i−1

(∆x)2, (4.14)

[Tm+2i + εm+2

i ]− [Tm+1i + (1− 2d)εm

i ]∆t

=

= κ[Tm+1

i+1 + dεmi ]− 2[Tm+1

i + (1− 2d)εmi ] + [Tm+1

i−1 + εmi d]

(∆x)2. (4.15)

Die stabile Losung ermittelt man aus

εm+2i = εm

i (1− 2d) + d[εmi d− 2εm

i (1− 2d) + εmi d]

bzw.εm+2i = εm

i (6d2 − 4d + 1)

zu

|6d2 − 4d + 1| < 1 −→ d ≤ 23

. (4.16)

Schreitet man zu hoheren Zeitlinien fort, so ergeben sich zunehmend restriktivere Bedingungen furd. Die Abbildungen 24 und 25 veranschaulichen das Stabilitatsverhalten der FTCS Formulierung.Fur d = 1.5 erkennt man eine oszillierende Instabilitat, die man daher auch dynamische Insta-bilitat nennt. Wachst die Amplitude ohne einen Vorzeichenwechsel, so nennt man dies statischeInstabilitat. Wir wollen nun versuchen, den Grenzwert von d, der durch

limk→∞

∣∣∣∣εm+k

εm

∣∣∣∣ ≤ 1

festgelegt ist, zu ermitteln. Hierzu formulieren wir im nachsten Abschnitt ein Matrizenkriterium.

4.2.2 Matrizenkriterium

Das in der Folge beschriebene Verfahren besteht im wesentlichen darin, die finiten Differenzen-gleichungen durch Matrizen auszudrucken und dann die Eigenwerte einer assoziierten Matrix zuuntersuchen.Wir betrachten die Gleichung

∂T

∂t= κ

∂2T

∂x2, 0 < x < 1


Abbildung 24: FTCS Diskretisierung von (4.4). Dampfung einer im Knoten (i,m) aufgebrachten Storungε durch hinreichend kleines d (d = 0.25).

Abbildung 25: Illustration zur Fehlervergroßerung bei der FTCS Diskretisierung von (4.4) fur (d = 1.5)(→ dynamische Instabilitat).

mit T = 0 bei x = 0 und 1 sowie bekannten Anfangstemperaturen fur t0 = 0. Die explizite FTCSFormulierung (4.6) lautet in Matrix-Vektor Schreibweise

Tm+11

Tm+12

Tm+13

...

Tm+1IM−1

=

(1− 2d) d

d (1− 2d) d

d (1− 2d) d

. . .

d (1− 2d)

·

Tm1

Tm2

Tm3

...

TmIM−1

,

kurzTm+1 = A · Tm . (4.17)

Hiermit lassen sich die Temperaturen zu einer beliebigen Zeitlinie m auf die bekannten Anfangs-temperaturen T 0 zuruckfuhren

Tm = A · Tm−1 = A · [A · Tm−2] = A · [A(A · Tm−3)] = ... = A(m) · T 0 .

Die endlichen Differenzenformeln unterscheiden nicht zwischen akkuraten und rundungsfehler-be-hafteten Werten. Fassen wir die anfangliche Storungsverteilung in einen Vektor e zusammen, dann

4.2 Stabilitat 39

summieren sich die tatsachlichen Anfangswerte

T 0∗ zu T 0∗ = T 0 + e

und weiterTm∗ = A(m) · (T 0∗) = A(m) · (T 0 + e) = A(m) · T 0 + A(m) · e ,

bzw.Tm∗ = Tm + em .

Die endliche Differenzenformel ist dann stabil, wenn der Fehler em auch fur m → ∞ beschranktbleibt. Diese Stabilitat laßt sich untersuchen, wenn man den Fehlervektor durch die Eigenvekto-ren von A ausdruckt. Angenommen die symmetrische Matrix A verfugt uber IM − 1 paarweiseverschiedene Eigenwerte λs, dann sind die dazugehorigen Eigenvektoren vs linear unabhangig. DerFehlervektor e ergibt sich durch Linearkombinationen der Eigenvektoren von A zu

e =IM−1∑

s=1

csvs . (4.18)

Fur den Vektor der induzierten Fehler auf einer Zeitlinie notieren wir

em = A(m) · e = A(m−1) · [A · e] = A(m−1) ·[

IM−1∑

s=1

csλsvs

]= . . . =

IM−1∑

s=1

csλ(m)s vs , (4.19)

was besagt, daß die Fehler mit m nicht exponentiell anwachsen, sobald kein Eigenwert dem Betragnach großer 1 ist.Zunachst noch eine Bemerkung uber die Eigenwerte einer gewohnlichen tridiagonalen n×n Matrix

a c

b a c

. . .

b a c

b a

,

wobei b und c reell und von gleichem Vorzeichen sein wollen. Die Eigenwerte lauten in diesem Fall

λs = a + 2c

√b

ccos

s · πIM + 1

, s = 1 . . . IM . (4.20)

Zerlegen wir die Matrix A fur die FTCS Formulierung aus Gleichung (4.17) in zwei Teilmatrizen

(1− 2d) d

d (1− 2d) d

. . .

d (1− 2d)

=

1 0

0 1 0. . .

0 1

+ d

−2 1

1 −2 1. . .

1 −2

,


kurz A = E + dB. Damit erleichtert sich die Suche nach den Eigenwerten

λs = 1 + d

[−4 sin2 sπ

2(IM + 1)

]. (4.21)

Das explizite Verfahren ist stabil fur∣∣∣∣1− 4d sin2 sπ

2(IM + 1)

∣∣∣∣ <1 ,

bzw.

−1 ≤ 1− 4 d sin2

(sπ

2(IM + 1)

)≤ 1 ,

d ≤ 12

sin−2 sπ

2(IM + 1)

→ d ≤ 12

. (4.22)

Fur die implizite BTCS Formulierung (4.8)

−(1 + 2d) d

d −(1 + 2d) d

. . .

d −(1 + 2d)

·

Tm+11

Tm+12

...

Tm+1IM−1

= −

Tm1

Tm2

...

TmIM−1

,

kurzA · Tm+1 = −Tm

oderTm+1 = −A−1 · Tm bzw. Tm = −A−1 · Tm−1

ergibt sich mit B = A−1 die zu (4.19) analoge Beziehung

A · em+1 = −em = −A(−1) ·A(−1) · em−2 = −B ·B · em−2 . . .

em = B(m) · e = . . . =IM−1∑

s=1

csλ(m)s vs . (4.23)

Die Eigenwerte von B lauten

λs =1

−1− 4d sin2 sπ2(IM+1)

. (4.24)

Sie sind in jedem Falle betragsmaßig kleiner eins und das implizite Verfahren damit generell stabil.

4.2.3 Fourier-Neumann Kriterium

Die Methode nach Fourier-Neumann druckt eine zu Beginn vorhandene Fehlerzeile durch eineendliche Fourierreihe aus und verfolgt mittels der bekannten Methode der Trennung der Variablendas Anwachsen einer Funktion, die sich fur t = 0 auf diese Reihe reduziert.

4.2 Stabilitat 41

Die Fourierreihe kann mit Sinus- und Cosinus-Gliedern aufgebaut werden, wird jedoch aus re-chentechnischen Grunden in exponentieller Schreibweise notiert. Man ersetzt

∑an cos nπx

l und∑bn sin nπx

l durch das aquivalente∑

AneJnπx

l , wobei J2 = −1 und l der Definitionsbereich derFunktion ist.Wir bezeichnen die Fehler in den Gitterpunkten auf t = 0 zwischen x = 0 und l = IM · h mitE(ih). Die IM + 1 Gleichungen

Ei =IM∑

n=0

AneJβnih ; i = 0 . . . IM, βn =nπ

l(4.25)

genugen zur eindeutigen Bestimmung der IM +1 unbekannten Koeffizienten A0 ... AIM und zeigen,daß sich eine beliebige Verteilung der Anfangsfehler in dieser komplexen Form darstellen laßt.Um die Ausbreitung dieses Fehlers mit wachsendem t zu untersuchen, mussen wir zunachst eineLosung der endlichen Differenzengleichung finden, die sich fur t = m · k = 0 auf eJβnih reduziert.Wir machen den Separationsansatz

Ei,m =IM∑

n=0

AneJβn

x︷︸︸︷ih · eαn

t︷︸︸︷mk =

IM∑

n=0

AneJβnih · ξmn (4.26)

mit den im allgemeinen komplexen Konstanten αn und ξn = eαnk. Der Fehler wachst offensichtlichnicht mit t, wenn |ξ| ≤ 1 ist.Da die finiten Differenzenformulierungen der zu untersuchenden PDG stets linear sein werden,lassen sich samtliche Losungen (auch die Fehlerbehafteten) uberlagern. Wir betrachten daher inder Folge lediglich einen einzigen, jedoch beliebigen Term der Reihe (4.25), um an diesem zuuntersuchen, unter welchen Voraussetzungen er zeitlich nicht wachst. Wenn wir tatsachlich keinerleiEinschrankungen bezuglich n machen, so wird auch die Uberlagerung mehrerer beliebiger Termeaus (4.25) zeitlich beschrankt bleiben. Fur ein Element der Summe lautet der Separationsansatz:

ein Element von Ei,m = eJβih · eαmk = eJβihξm . (4.27)

Hierzu betrachten wir erneut die FTCS Diskretisierung (4.5) der eindimensionalen Warmeleitungs-gleichung

Tm+1i − Tm

i

∆t= κ

Tmi+1 − 2Tm

i + Tmi−1

(∆x)2; ∆x = h , ∆t = k ;

Da die Fehlerfunktion E dieselben Beziehungen wie die abhangige Variable erfullt, notieren wir

eJβihξm+1 − eJβihξm = d [eJβ(i+1)hξm − 2eJβihξm + eJβ(i−1)hξm] .

Die Division durch eJβih fuhrt auf

ξm+1 = ξm + dξm[eJβh − 2 + e−Jβh] ,

woraus man unter Verwendung von cos(βh) = eJβh+e−Jβh

2 folgert

ξm+1

ξm:= G(=Vergroßerungsfaktor) = 1− 2d[1− cos(βh)] .

Die stabile Losung zeichnet sich durch die fur beliebige Phasenwinkel θ = βh gultige Beziehung

|G | ≤ 1 bzw. |1− 2d(1− cos θ)| ≤ 1


aus. Hieraus ergibt sich erneut die Stabilitatsbedingung

1− 4d ≥ −1 , genauer d ≤ 12

.

Die Ergebnisse einer derartigen Stabilitatsuntersuchung werden haufig in Form einer Grafik fur dieKurvenschar G(θ) mit dem Scharparameter d wiedergegeben. Alternativ findet man Darstellungenauf der Basis von kartesischen- und Polarkoordinaten.

d = 0.25d = 0.5d = 0.625R = 1

(a) polar

0o

60o

120o

180o

240o

300o

360o

(THETA)

−2.

0−

1.5

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

G

d = 0.25d = 0.375d = 0.5d = 0.625

(b) kartesisch

Abbildung 26: Vergroßerungsfaktor der FTCS Diskretisierung (4.5) a) Polarkoordinaten, b) kartesischeKoordinaten.

Fur die implizite BTCS Formulierung (4.7) berechnet sich der Vergroßerungsfaktor gemaß

eJβihξm+1 − eJβihξm = d [eJβ(i+1)hξm+1 − 2eJβihξm+1 + eJβ(i−1)hξm+1] .

Die Division durch eJβihξm fuhrt auf die Gleichung

ξ − 1 = dξ (e−Jβh + eJβh

︸︷︷︸↓

−2)

→ ξ − 1 = dξ(2 cosβh− 2)

→ ξ = 1− 4dξ sin2

(βh

2

),

und somit zu

ξ =ξm+1

ξm= G =

1

1 + 4d sin2(

βh2

) .

Die Stabilitatsbedingung |G| ≤ 1 ist hierbei fur alle positiven Werte von d erfullt, weshalb manG in diesem Falle als Dampfungs- oder Abklingfaktor deuten kann.Ein weiteres Kriterium zur Beurteilung der (stabilen) Diskretisierung einer partiellen Differential-gleichung ergibt sich aus dem Vergleich ihres Dampfungsverhaltens mit dem Dampfungsverhaltender Ausgangsgleichung. Der Abklingfaktor des kontinuierlich gestellten Problems soll im folgendenberechnet werden. Zunachst ist die im Separationsansatz (4.27)

E = eJβx · eαt

4.2 Stabilitat 43

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0(THETA)

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

G

FTCSexakt d = 0.5

d= 0.166

Abbildung 27: Vergleich der Dampfungsfaktoren.

auftretende Konstante α zu bestimmen. Eine Befriedigung der Ausgangsgleichung (4.4) durch denAnsatz (4.27) verlangt

∂

∂t(eJβxeαt) = κ

∂2

∂x2(eJβxeαt) ,

alsoα = −κβ2 .

Der exakte Abklingfaktor berechnet sich hiermit aus

Gexakt =E(t + ∆t)

E(t)=

eJβxe−κβ2(t+∆t)

eJβxe−κβ2t= e−κβ2∆t , (4.28)

bzw. mit d = κ∆t(∆x)2

sowie β∆x = θ zu

Gexakt = e−dθ2.

Abbildung 27 veranschaulicht den Vergleich zweier stabiler FTCS Formulierungen mit den entspre-chenden exakten Resultaten. Hierbei stellt man fest, daß sich fur explizite Formulierungen eineVerringerung von d gunstig auf Stabilitat und Dampfungsahnlichkeit auswirkt. Fur wachsende dzeigt die explizite Formulierung eine ausgepragte Dampfungs- oder Dissipationseigenschaft.

Abschließende Bemerkungen zur Stabilitat

• Sowohl das Matrizen als auch das Fourier-Neumann Kriterium setzen Linearitat der Glei-chung voraus. Die meisten technisch interessanten Probleme fuhren jedoch auf nichtlineareGleichungen, deren linearisierte Gestalt sich aufgrund ihrer Komplexitat einer Stabilitatsun-tersuchungen verschließt.

• Bei der Verwendung des Matrizenkriteriums kann die Bestimmung der Eigenwerte unterUmstanden problematisch werden. Daneben verlangt diese Methode die lineare Unabhangig-keit samtlicher Eigenvektoren.

• Uber den Einfluß der Randbedingungen auf die Stabilitat kann keine Aussage gemachtwerden.

• Fur unubersichtliche Zusammenhange G = G(d, θ) empfiehlt sich eine graphische Losung.


• Das Neumann Kriterium ist leicht auf raumlich mehrdimensionale Probleme auszudehnen.

• Die Diffusionszahl d = 12 · 1

n ist ein Anhaltswert fur instationare n-dimensionale Probleme.

4.3 Modifizierte Gleichungen

Bislang haben wir den Diskretisierungsfehler einer endlichen Differenzenformel nur der Großenord-nung nach angegeben. Ziel dieses Abschnittes ist die Prazisierung von Diskretisierungsfehlern nacheiner von Warming und Hyett 1974 vorgestellten Methode. Wir werden uns wieder auf die FTCSund BTCS Formulierung der eindimensionalen instationaren Warmeleitungsgleichung stutzen. Eineanaloge Betrachtung anderer Probleme ist leicht. Der grundlegende Gedanke zur Entwicklung dermodifizierten Gleichungen ist die Ruckfuhrung der FDG in eine partielle Differentialgleichungs-formulierung. Hierzu betrachten wir exemplarisch die bekannte BTCS Formulierung

Tm+1i − Tm

i

∆t= κ

Tm+1i+1 − 2Tm+1

i + Tm+1i−1

(∆x)2.

Entwickelt man ausgehend vom Punkt Tm+1i die Ausdrucke Tm+1

i+1 und Tm+1i−1 in einer Taylorreihe

nach der Raumkoordinate x

Tm+1i+1 = Tm+1

i + ∆x

(∂T

∂x

)+

∆x2

2

(∂2T

∂x2

)+

∆x3

6

(∂3T

∂x3

)+ ... ,

Tm+1i−1 = Tm+1

i −∆x

(∂T

∂x

)+

∆x2

2

(∂2T

∂x2

)− ∆x3

6

(∂3T

∂x3

)+ ... ,

sowie Tmi nach der Zeitkoordinate t

Tmi = Tm+1

i −∆t

(∂T

∂t

)+

∆t2

2

(∂2T

∂t2

)− ∆t3

6

(∂3T

∂t3

)+ ... ,

dann erhalt man anstelle der FDG(

∂T∂t = Tt bzw. ∂T

∂x = Tx

)

Tt +∆t

2Ttt +

∆t2

6Tttt + ... = κ(Txx + Txxxx

∆x2

12+ ...) . (4.29)

In der Gestalt

Tt − κTxx = κTxxxx∆x2

12− ∆t

2Ttt − ∆t2

6Tttt + ... (4.30)

lassen sich die Glieder der rechten Seite als Abschneidefehler der FDG interpretieren. Wir ver-suchen nun den Abschneidefehler in Abhangigkeit von partiellen Ableitungen in einer Variablenauszudrucken. Nochmaliges Ableiten von (4.30) nach t bzw. x2 fuhrt auf

Ttt − κTxxt = κTxxxxt∆x2

12− ∆t

2Tttt − ∆t2

6Ttttt

(+) Txxt − κ2Txxxx = κT(6)x∆x2

12− ∆t

2Tttxx − ∆t2

6Txxttt

∣∣∣∣∣∣∣∣ (·κ)

Ttt = κ3Txxxx + (κ2T(6)x + κTxxxxt)∆x2

12

−∆t

2(Tttxx + Tttt)− ∆t2

6(Ttttxx + Ttttt) (4.31)

4.4 Differenzenformeln zur Diskretisierung der Warmeleitungsgleichung 45

kurzTtt = κ2Txxxx +O[(∆t), (∆x2)] ,

analog durch Hinzufugen einer weiteren Zeitableitung

Tttt =κ∆x2

12Txxxx +O[(∆t2), (∆x2)] usw.

Durch Einsetzen ergibt sich schließlich die aquivalente modifizierte Gleichung:

Tt − κTxx =[12κ2∆t +

κ(∆x)2

12

]Txxxx

+[13κ3(∆t)2 +

112

κ2∆t(∆x)2 +1

360κ(∆x)4

]T(6)x + ...

(4.32)

Die zugegebenermaßen muhselige Rechnung erscheint kaum lohnenswert. Gleichung (4.32) ist zwarpraziser in Hinblick auf den Diskretisierungsfehler, jedoch sehr unubersichtlich. Konkrete Verbesse-rungen der Approximationseigenschaften ergeben sich jedoch aus der modifizierten Gleichung derFTCS Formulierung

Tt − κTxx =[−1

2κ2∆t +

κ(∆x)2

12

]Txxxx

+[13κ3(∆t)2 − 1

12κ2∆t(∆x)2 +

1360

κ(∆x)4]

T(6)x + ...(4.33)

Fur die Diffusionszahl d := κ∆t∆x2 = 1

6 verschwindet der Koeffizient der 4. Ableitung, woraus maneinen Abbruchfehler O[(∆x2), (∆t2)] ableitet.

4.4 Differenzenformeln zur Diskretisierung der Warmeleitungsgleichung

4.4.1 Explizite Formulierungen

4.4.1.1 Forward-time-central-space Methode.

Tm+1i = Tm

i +κ∆t

(∆x)2(Tm

i+1 − 2Tmi + Tm

i−1) +O[(∆t), (∆x2)] . (4.34)

Die Methode ist rechnerisch leicht zu handhaben, hat jedoch den schwerwiegenden Nachteil, daßdie Zeitschrittweite aus Stabilitatsgrunden sehr klein

[≤ 12κ(∆x)2

]gehalten werden muß. Die mo-

difizierte Gleichung lautet

Tt − κTxx =[−1

2κ2∆t +

κ(∆x)2

12

]Txxxx

+[13κ3(∆t)2 − 1

12κ2∆t(∆x)2 +

1360

κ(∆x)4]

Txxxxxx + ...


4.4.1.2 Richardson Methode. Richardson schlug 1910 das folgende explizite Berechnungs-schema vor

Tm+1i − Tm−1

i

2∆t= κ

Tmi+1 − 2Tm

i + Tmi−1

(∆x)2. (4.35)

Im Unterschied zur FTCS Formulierung wird auch die zeitliche Ableitung durch den zentralen Dif-ferenzenquotienten genahrt, weshalb der Diskretisierungsfehler von der Ordnung [(∆t)2, (∆x)2] ist.Aufgrund ihrer uneingeschrankt geltenden numerischen Instabilitat hat sie praktisch keine Bedeu-tung.

4.4.1.3 DuFort-Frankel Methode. Ersetzt man den Ausdruck Tmi des Diffusionsterms von

(4.35) durch sein zeitliches Mittel, so gelangt man zu einem ganzlich stabilen Algorithmus (DuFortund Frankel 1953).

Tm+1i − Tm−1

i

2∆t= κ

Tmi+1 − 2T m+1

i +T m−1i

2 + Tmi−1

(∆x)2+O

[(∆t)2, (∆x)2,

(∆t

∆x

)2]

. (4.36)

i-1 i i+1∆ ∆x x

∆ t

∆ t

m+1

m

m-1

Abbildung 28: Differenzenmolekul nach DuFort-Frankel.

Nach der einzig Unbekannten Tm+1i aufgelost erhalt man

[1 +

2κ∆t

(∆x)2

]Tm+1

i =[1− 2

κ∆t

(∆x)2

]Tm−1

i +2κ∆t

(∆x)2[Tm

i+1 + Tmi−1] . (4.37)

Die modifizierte Gleichung ist bestimmt durch den Ausdruck

Tt − κTxx =[

112

κ(∆x)2 − κ3 (∆t)2

(∆x)2

]Txxxx

+[

1360

κ(∆x)4 − 13κ3(∆t)2 + 2κ5 (∆t)4

(∆x)4

]Txxxxxx + ... ,

fur den Vergroßerungsfaktor notiert man

G =2d cos θ ±√1− 4d2 sin θ

1 + 2d. (4.38)

Die Methode verlangt das Abspeichern von zwei kompletten zuruckliegenden Zeitlinien, ein Um-stand, der wegen der zunehmenden Entscharfung des Speicherplatzproblems weniger Problemeverursachen mag als die Notwendigkeit einer Startprozedur. Hierdurch verschlechtert sich oftmalsdie Genauigkeit des Verfahrens!

4.4 Differenzenformeln zur Diskretisierung der Warmeleitungsgleichung 47

4.4.2 Implizite Methoden

Als implizit bezeichnet man Diskretisierungen, in denen mehr als eine Unbekannte auftritt. Hierausresultiert ein hoherer Aufwand zur Losung des algebraischen Gleichungssystems. Implizite Metho-den verhalten sich im Unterschied zu expliziten numerisch stabil, weswegen man in der Regel großereSchrittweiten verwenden kann. Die geringere Anzahl von Gitterpunkten fuhrt zu Rechenzeit- undSpeicherplatzeinsparungen.

4.4.2.1 Laasonen (BTCS) Methode. Die einfachste implizite Differenzenformulierung derWarmeleitungsgleichung (4.4) geht auf Laasonen (1949) zuruck.

Tm+1i − Tm

i

∆t= κ

Tm+1i+1 − 2Tm+1

i + Tm+1i−1

(∆x)2+O[∆t, (∆x)2] . (4.39)

G = [1 + 2d(1− cos θ)]−1 .

Die modifizierte Gleichung lautet

Tt − κTxx =[12κ2∆t +

κ(∆x)2

12

]Txxxx

+[13κ3(∆t)2 +

112

κ2∆t(∆x)2 +1

360κ(∆x)4

]T(6)x + ...

(4.40)

4.4.2.2 Crank-Nicolson Methode. Crank und Nicolson (1947) ersetzen den Diffusionstermder Gleichung (4.4) durch zentrale Differenzen zum Zeitpunkt m bzw. m + 1.

Tm+1i − Tm

i

∆t= κ

(12

)[Tm+1

i+1 − 2Tm+1i − Tm+1

i−1

(∆x)2+

Tmi+1 − 2Tm

i + Tmi−1

(∆x)2

]+O[(∆t)2, (∆x)2] .

i-1 i i+1

m+1/2

m+1

m ∆ ∆x x

1/2 ∆

1/2 ∆ t

t

A

Abbildung 29: Differenzenmolekul nach Crank-Nicolson.

Der Algorithmus ist weit verbreitet. Das resultierende algebraische Gleichungssystem ist tridia-gonal. Man beachte, daß die Diskretisierung der zeitlichen Ableitung zentral zu einem virtuellenZwischenpunkt t = m + 1

2 erfolgt:∂T

∂t=

Tm+1i − Tm

i

2(

∆t2

) . (4.41)

Die rechte Seite kann als arithmetisches Mittel der Diffusionsterme im Punkt A(m+ 12 , i) angesehen

werden. Fur den Vergroßerungsfaktor und die modifizierte Gleichung notiert man

G =1− d(1− cos θ)1 + d(1− cos θ)

(4.42)


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0(THETA)

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

G

Dufort−FrankelexaktLaasonenCrank−Nicolson

d = 0.5

Abbildung 30: Vergleich der Vergroßerungsfaktoren fur d = 12 .

Tt − κTxx =κ(∆x)2

12Txxxx +

[112

κ3(∆x)2 +1

360κ(∆x)4

]T(6)x + ...

4.4.2.3 Verallgemeinerte Formulierung. FTCS, BTCS und Crank-Nicolson Methode sindspezielle Formulierungen der allgemeinen Diskretisierung

Tm+1i − Tm

i

∆t= κ

[β

Tm+1i+1 − 2Tm+1

i + Tm+1i−1

(∆x)2+ (1− β)

Tmi+1 − 2Tm

i + Tmi−1

(∆x)2

], (4.43)

welche fur 0< β < 12 nur bedingt stabil ist (G = d(2− 4θ)).

Außer den bereits untersuchten Spezialfallen:

β = 0 −→ FTCS Methodeβ = 1

2 −→ Crank-Nicolson Methodeβ = 1 −→ Laasonen Methode

ist der Abschneidefehler von der Ordnung [∆t, (∆x)2].

4.5 Anwendung auf Navier-Stokes Gleichung

• Wir betrachten ein Fluid zwischen zwei Platten. Die Platten erstrecken sich unendlich weit,so daß keine Endeffekte wirksam werden.

Bilanzgleichung und Randbedingungen:

– eindimensionale Navier-Stokes Gleichung:

∂u

∂t= ν

∂2u

∂y2(4.44)

– Anfangsbedingung:

t = 0, u = U0 fur y = 0u = 0 fur 0 < y ≤ h

4.5 Anwendung auf Navier-Stokes Gleichung 49

h

xz

y Fluid mit ν=2.17.10−4m2/s

U0=40m/s

– Randbedingungen:

t ≥ 0, u = U0 fur y = 0u = 0 fur y = h

• Geometrie und Gitter

h = 0.07m ∆y = 0.001 IM = 41

• Es werden Simulationen mit unterschiedlichen Parametern durchgefuhrt, die tabellarisch auf-gelistet sind. Dabei ist NM die Anzahl der Zeitschritte und d die Diffusionszahl und damitdas Maß, ob das Stabilitatskriterium d = ν∆t/∆y2 ≤ 0.5 erfullt wird.

– explizit FTCS

(I) ∆t = 0.002 NM = 541 d = 0.434

(II) ∆t = 0.00232 NM = 541 d = 0.503

– explizit DF

(I) ∆t = 0.002 NM = 541 d = 0.434

(II) ∆t = 0.003 NM = 361 d = 0.651

– implizit BTCS

(I) ∆t = 0.002 NM = 541

(II) ∆t = 0.010 NM = 109

– implizit CN

(I) ∆t = 0.002 NM = 541

(II) ∆t = 0.010 NM = 109

• Fur FTCS, Fall I ist das Stabilitatskriterium erfullt: d = ν∆t/∆y2 ≤ 1/2 (Abbildung 31links).


−10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0U [m/s]

−0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Y [m

]

T=0.00sT=0.18sT=0.36sT=0.54sT=0.72sT=1.08s

−10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0U [m/s]

−0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Y [m

]

T=0.00sT=0.18sT=0.36sT=0.54sT=0.72sT=1.08s

Abbildung 31: Rechnung mit FTCS Schema und erfulltem (links) bzw. nicht erfulltem (rechts) Stabilitats-kriterium

• Fur FTCS, Fall II uberschreitet die Diffusionszahl das Stabilitatskriterium. Es fuhrt zu einerinstabilen oszillierenden Losung (dynamische Instabilitat, Abbildung 31 rechts).

• DuFort–Frankel ermoglicht großere Zeitschritte, da es unbedingt stabil ist. Es ist jedoch Vor-sicht geboten, da großere Zeitschrittweiten den Fehler erhohen. Benotigt werden jeweils zweiruckwartige Zeitschrittebenen.

• Die impliziten Methoden BTCS und CN sind unbegrenzt stabil und erlauben großere Zeit-schrittweiten. Es mussen jedoch Gleichungssysteme gelost werden. Dem Zeitgewinn durchgroßere Zeitschrittweiten steht jedoch der hohere numerische Aufwand gegenuber, der fur dieLosung des Gleichungssystems erforderlich ist.

Fehleranalyse

Das betrachtete Problem hat eine analytische Losung u. Der Fehler ist definiert durch

ER =u− um

i

u· 100 ,

und laßt sich fur unterschiedliche Approximationsverfahren bestimmen (vergleiche Abbildung 32und Abbildung 33 links und rechts).

Schlußfolgerungen aus der Fehlerbetrachtung:

• CN hat den geringsten Fehler.

• Der Fehler reduziert sich mit fortschreitender Zeit.

4.6 Konsistenz und Konvergenz 51

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0ERROR

−0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Y [m

]

DT=0.2DT=0.1DT=0.01DT=0.005

Abbildung 32: Rechnung mit BTCS Schema

• Beim BTCS hat die Zeitschrittweite Einfluß auf den Fehler.

4.6 Konsistenz und Konvergenz

Die Approximation einer Differentialgleichung mit finiten Differenzen ist konsistent, wenn die Dif-ferenzengleichungen sich mit kleiner werdender Schrittweite auf die ursprungliche Differentialglei-chung reduzieren. Der Unterschied zwischen beiden Ausdrucken, der sog. Abschneidefehler, mußfur ein konsistentes Differenzenschema in diesem Fall gegen Null streben.Die finite Differenzenapproximation wird als konvergent bezeichnet, wenn der Diskretisierungsfeh-ler, d.h. die Differenz zwischen der Losung der Differenzengleichung und der Losung der Differen-tialgleichung mit kleiner werdender Schrittweite verschwindet.Diese Uberlegungen fuhren auf das sogenannte Lax-Aquivalenz-Theorem:

Das Differenzenschema einer linearen Differentialgleichung bzw. eines Anfangswertproblems istgenau dann konvergent, wenn es sowohl stabil als auch konsistent zur Differentialgleichung ist.

4.6.1 Konsistenz der finiten Differenzengleichungen

Die FTCS Approximation der Warmeleitungsgleichung ∂T/∂t = κ∂2T/∂x2

Tn+1i − Tn

i

∆t= κ

Tni+1 − 2Tn

i + Tni−1

(∆x)2

fuhrt mit der Taylorreihenentwicklung um Tni gerade auf:


−0.06 −0.03 0.00 0.03 0.06 0.09ERROR

−0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Y [m

]

FTCSDufort−FrankelLaasonenCrank−Nicolson

−0.06 −0.03 0.00 0.03 0.06 0.09ERROR

−0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Y [m

]

FTCSDufort−FrankelLaasonenCrank−Nicolson

Abbildung 33: links: Ergebnis nach t = 0.18; rechts: Ergebnis nach t = 1.08

Tn+1i = Tn

i +∂T

∂t(∆t) +

∂2T

∂t2(∆t)2

2!+O(∆t)3

Tni+1 = Tn

i +∂T

∂x(∆x) +

∂2T

∂x2

(∆x)2

2!+

∂3T

∂x3

(∆x)3

3!+O(∆x)4

Tni−1 = Tn

i −∂T

∂x(∆x) +

∂2T

∂x2

(∆x)2

2!− ∂3T

∂x3

(∆x)3

3!+O(∆x)4 .

Durch Einsetzen und Umordnen erhalt man

1∆t

[Tn

i +∂T

∂t(∆t) +

∂2T

∂t2(∆t)2

2!+O(∆t)3 − Tn

i

]

=κ

(∆x)2

[Tn

i +∂T

∂x(∆x) +

∂2T

∂x2

(∆x)2

2!+

∂3T

∂x3

(∆x)3

3!+O(∆x)4 − 2Tn

i

+ Tni −

∂T

∂x(∆x) +

∂2T

∂x2

(∆x)2

2!− ∂3T

∂x3

(∆x)3

3!+O(∆x)4

], (4.45)

oder

[∂T

∂t+

∂2T

∂t2∆t

2+O(∆t)2

]= κ

[∂2T

∂x2+O(∆x)2

]

∂T

∂t= κ

∂2T

∂x2− ∂2T

∂t2∆t

2+O [

(∆t)2, (∆x)2]

. (4.46)


Bei der FTCS–Methode ist offensichtlich Konsistenz gewahrleistet, weil fur den Grenzfall, daß Zeit-und Ortschrittweite gegen null gehen, die finite Differenzengleichung gleich der Differentialgleichungist.

∆x → 0

∆t → 0

FDG → PDG .

Betrachten wir nun die DuFort–Frankel–Methode mit d = κ∆t/∆x2

(1 + 2d)Tn+1i = (1− 2d)Tn−1

i + 2d(Tni+1 + Tn

i−1) .

Die Taylorreihenentwicklung fur Tn+1i , Tn−1

i , Tni+1, T

ni−1 um Tn

i und Einsetzen fuhrt auf:

(1 + 2d)[Tn

i + ∂T∂t (∆t) + ∂2T

∂t2(∆t)2

2! + ∂3T∂t3

(∆t)3

3! +O(∆t)4]

=

(1− 2d)[Tn

i − ∂T∂t (∆t) + ∂2T

∂t2(∆t)2

2! − ∂3T∂t3

(∆t)3

3! +O(∆t)4]

+2d[

Tni + ∂T

∂x (∆x) + ∂2T∂x2

(∆x)2

2! + ∂3T∂x3

(∆x)3

3! +O(∆x)4]

+[Tn

i − ∂T∂x (∆x) + ∂2T

∂x2(∆x)2

2! − ∂3T∂x3

(∆x)3

3! +O(∆x)4]

.

Durch Reduktion kommt man zu

∂T

∂t(∆t) + (d)

∂2T

∂t2(∆t)2 +O(∆t)3 = (d)

∂2T

∂x2(∆x)2 + (d)

[O(∆x)4]

∂T

∂t(∆t) +

κ∆t

(∆x)2∂2T

∂t2(∆t)2 +O(∆t)3 =

κ∆t

(∆x)2

(∂2T

∂x2

)(∆x)2 +

κ∆t

(∆x)2[O(∆x)4]

∂T

∂t+ κ

∂2T

∂t2

(∆t

∆x

)2

= κ∂2T

∂x2+O [

(∆t)2, (∆x)2]

∂T

∂t= κ

∂2T

∂x2+O

[(∆t)2, (∆x)2,

(∆t

∆x

)2]

. (4.47)

Wir prufen die Konsistenz:

bei ∆t → 0, ∆x → 0 mußte ∆t/∆x → 0

aber∆t → 0;

∆x → 0;⇒ ∆t

∆x→ k ⇒ ∂T

∂t+ κk2 ∂2T

∂t2= κ

∂2T

∂x2.

Die DuFort–Frankel–Methode ist demnach nicht konsistent.


4.6.2 Konsistenz bei Konvektionsproblemen

Konsistenz hat jedoch nicht immer auch Konvergenz zur Folge, denn es kann durchaus sein, daßdas Differenzenschema zwar aus der Differentialgleichung hervorgegangen ist, die Losung der finitenApproximation aber dennoch nicht gegen die Losung der Differentialgleichung konvergiert. WelcheKriterien erfullt sein mussen, damit Konvergenz vorliegt, soll an einem Beispiel verdeutlicht werden.Betrachten wir die Warmetransportgleichung mit Konvektion:

u∂T

∂x︸︷︷︸Konv.

−κ∂2T

∂x2︸︷︷︸Diff.

= 0 . (4.48)

mit den Randbedingungen

T (x = 0) = T0 ; T (x = 1) = T1 ; x ∈ [0; 1] .

Die analytische Losung fur diese Differentialgleichung lautet:

T (x) = T0 + (T1 − T0)e

uxκ − 1

euκ − 1

. (4.49)

Approximiert man die in (4.48) auftretenden Differentialquotienten auf einem aquidistanten Re-chengitter durch

(∂T

∂x

)

i

=1

2∆x[−(1 + γ) Ti−1 + 2γ Ti + (1− γ) Ti+1] +O [γ∆x] +O [

(1− γ) ∆x2]

, (4.50)

mit dem sog. Flux-blending Faktor γ ∈ [−1; 1] fur die erste Ableitung (γ = 0 entspricht einerzentralen Approximation), bzw.

(∂2T

∂x2

)

i

=1

∆x2Ti−1 − 2Ti + Ti+1+O(∆x2) ,

fur die zweite Ableitung, so ergibt sich das folgende Differenzenschema der DGL:

[2− u∆x

κ(1− γ)

]Ti+1 − 2

[2 +

u∆x

κγ

]Ti +

[2 +

u∆x

κ(1 + γ)

]Ti−1 = 0 i = 1 . . . N

[2− (1− γ)P ] Ti+1 − 2 [2 + γP ] Ti + [2 + (1 + γ)P ] Ti−1 = 0 . (4.51)

Der auftretende Ausdruck P = u∆xκ bestimmt das lokale Verhaltnis von konvektivem zu diffusivem

Transport. Man nennt ihn daher auch Peclet-Zahl oder Zellreynoldszahl. Anhand dieser Kennzahllaßt sich beurteilen, inwieweit die Transporteigenschaften der Ausgangs-Differentialgleichung mitdenen des Differenzenschemas ubereinstimmen. Die analytische Losung der Differenzengleichung(4.51), bestimmt mit Hilfe des Ansatzes Ti = C0 + C1σ

i, lautet

T (x) = T0 + (T1 − T0)σi − 1

σN+1 − 1; mit σ =

2 + (1 + γ)P2− (1− γ)P

. (4.52)

Sollte das Differenzenschema (4.51) konsistent zur DGL (4.48) sein, so muß der Abschneidefehler furverschwindende Schrittweiten gegen Null streben. Die Bestimmung des Abschneidefehlers geschiehtdurch Taylorreihenentwicklung von Ti+1 bzw. Ti−1:


Ti+1 = Ti + ∆x∂T

∂x

∣∣∣∣i

+12∆x2 ∂2T

∂x2

∣∣∣∣i

+16∆x3 ∂3T

∂x3

∣∣∣∣i

+124

∆x4 ∂4T

∂x4

∣∣∣∣i

+ · · ·+ . . .

Ti−1 = Ti −∆x∂T

∂x

∣∣∣∣i

+12∆x2 ∂2T

∂x2

∣∣∣∣i

− 16∆x3 ∂3T

∂x3

∣∣∣∣i

+124

∆x4 ∂4T

∂x4

∣∣∣∣i

− · · ·+ . . .

Ersetzt man in der Differenzenformel (4.51) die Funktionswerte Ti+1 und Ti−1 durch ihre Reihen-entwicklungen

0 = [2− P (1− γ)][Ti + ∆x

∂T

∂x

∣∣∣∣i

+∆x2

2∂2T

∂x2

∣∣∣∣i

+∆x3

6∂3T

∂x3

∣∣∣∣i

+∆x4

24∂4T

∂x4

∣∣∣∣i

+ . . .

]

− 2 [2 + Pγ] Ti (4.53)

+ [2 + P (1 + γ)][Ti −∆x

∂T

∂x

∣∣∣∣i

+∆x2

2∂2T

∂x2

∣∣∣∣i

− ∆x3

6∂3T

∂x3

∣∣∣∣i

+∆x4

24∂4T

∂x4

∣∣∣∣i

− . . .

]

und subtrahiert davon die zu losende Differentialgleichung, so erhalt man den Abschneidefehler Θ

Θ = −γu∆x

2

(∂2T

∂x2

)+

∆x2

6

(u

∂3T

∂x3− κ

2∂4T

∂x4

)+O(∆x3) . (4.54)

Die Bestimmungsgleichung des Abschneidefehlers zeigt, daß das Differenzenschema konsistent zurDGL ist. Die Konsistenz ist von der Ordnung O (γ ∆x) und hat aufgrund des damit verbunde-nen Gliedes γu∆x∂2T

∂x2 ”dissipativen” Charakter. Verallgemeinert bezeichnet man den Charaktereines Abschneidefehlers als ”dissipativ”, falls der fuhrende Summand von gerader Ordnung ist,bzw. als ”dispersiv”, falls er von ungerader Ordnung ist. Im Falle γu > 0 spricht man auch vonnumerischer Diffusion.Zur Konvergenzuntersuchung betrachten wir die analytische Losung der Differenzengleichung. FurParameterwerte σ < 0 erhalt man positive Werte σi im Falle gerader Exponenten und negativeWerte im Falle ungerader Exponenten. Diese Tatsache erklart, warum es zu Oszillationen in dernumerischen Losung kommen kann, die ein divergentes Losungsverhalten hervorrufen konnen. DieDifferenzenformel ist dagegen konvergent, wenn der Parameter σ > 0 ist. Daraus folgt:

γ > 1− 2|P | fur P > 0 und γ < −1 +

2|P | fur P < 0 , (4.55)

In diesem Fall ist der Koeffizient der zentralen Stellen ”i” des Schemas (4.51) dominant gegenuberdenen der außeren Stellen ”i−1” bzw. ”i+1”. Die konvergente Differenzenformel (4.51) fuhrt daherauch auf eine gunstige diagonaldominante Koeffizientenmatrix.

Fur den Parameter γ seien zwei Spezialfalle unterschieden:

γ = 0: zentrale Differenzenapproximation (CDS) von(

∂u∂x

)i; Konsistenz und Konvergenz-

ordnung O(∆x2), diagonaldominante Koeffizientenmatrix fur |P | < 2.

γ = sign(P ): Upwind-Differenzenapproximation (UDS) von(

∂u∂x

)i; Konsistenz und Konvergenz-

ordnung O(∆x), Diagonaldominanz und somit auch Konvergenz fur alle P .

Die Wahl des Parameters γ zu einer bekannten Peclet-Zahl gemaß (4.55) sichert die Diagonal-dominanz des Gleichungssystems und stellt ein gewichtetes Mittel der beiden oben erwahnten


Extremfalle dar (→ ”upwinding”). Der Differenzenquotient des konvektiven Terms folgt der Stro-mungsrichtung. Fur positive Geschwindigkeiten verwendet man demnach ruckwartige Differenzen-quotienten, fur negative Geschwindigkeiten vorwartige Differenzenquotienten zur Approximationder partiellen Ableitungen. Durch den konvektiven Anteil der DGL (4.48) wird eine Impulsgroßeoder Storung lediglich stromab, d.h. entlang der Bahnlinien transportiert. Diese nichtsymmetrischeEigenschaft sollte bei der finiten Approximation moglichst erhalten bleiben. Sie ist bei der Ver-wendung zentraler Differenzen nicht erfullt und fuhrte einerseits zur Entwicklung sog. Lagrange-Verfahren, bei denen der konvektive Term (physikalisch richtig) entlang der Bahnlinien integriertwird, sowie andererseits zu einer ganzen Reihe von richtungsabhangigen Upwind-Strategien.Das Hauptproblem bei der Diskretisierung von (Eulerschen-) Transportgleichungen besteht in derApproximation der konvektiven Terme, da diese haufig nichtlinear sind und ihre Differentialope-ratoren keine Symmetrieeigenschaften besitzen. Im Falle stark konvektionsbehafteter Probleme(P →∞) ist ein ”Upwinding” haufig unausweichlich. Bei Verwendung von Zentraldifferenzen wurdedas Integrationsgebiet dann in zwei voneinander nahezu unabhangige Bereiche zerfallen. Diese sindaufgrund des Verlusts der Hauptdiagonalwerte in der Koeffizientenmatrix schachbrettartig zueinan-der angeordnet. Der exakten Losung des Differenzenschemas konnen dann beliebige alternierendeWertefolgen uberlagert werden, die das Differenzenschema ebenfalls erfullen.Der Nachteil einer Upwind-Diskretisierung liegt in der verringerten Genauigkeit der Approximation.Sie erzeugt aufgrund der Zusammensetzung des fuhrenden Fehlergliedes numerische Diffusion. Furstark konvektionsbehaftete Probleme dominiert dann nicht nur der konvektive Term sondern auchder fuhrende Fehler der Approximation den Diffusionsterm des Problems. Die diffusiven Transpor-teigenschaften der Differentialgleichung werden durch die numerische Diffusion der Approximationuberlagert.

4.7 Approximation zweidimensionaler parabolischer DGL

Wir betrachten die instationare Warmeleitungsgleichung im zweidimensionalen Raum:

∂T

∂t= κ

[∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2

](4.56)

FTCS Approximation fuhrt auf:

Tn+1i,j − Tn

i,j

∆t= κ

[Tn

i+1,j − 2Tni,j + Tn

i−1,j

(∆x)2+

Tni,j+1 − 2Tn

i,j + Tni,j−1

(∆y)2

]+O[∆t,∆x2,∆y2] (4.57)

mit den Diffusionszahlen:

dx =κ∆t

(∆x)2, bzw. dy =

κ∆t

(∆y)2.

Das Stabilitatskriterium ist: [κ∆t

(∆x)2+

κ∆t

(∆y)2

]≤ 1

2. (4.58)

Fur konstante Schrittweiten ∆x = ∆y ist das Stabilitatskriterium wesentlich restriktiver:

d ≤ 14

. (4.59)

Die implizite Formulierung BTCS fuhrt auf:

Tn+1i,j − Tn

i,j

∆t= κ

[Tn+1

i+1,j − 2Tn+1i,j + Tn+1

i−1,j

(∆x)2+

Tn+1i,j+1 − 2Tn+1

i,j + Tn+1i,j−1

(∆y)2

]

4.7 Approximation zweidimensionaler parabolischer DGL 57

oder mit den Diffusionszahlen

dxTn+1i+1,j + dxTn+1

i−1,j − (2dx + 2dy + 1)Tn+1i,j + dyT

n+1i,j−1 + dyT

n+1i,j+1 = −Tn

i,j .

Abbildung 34: Schematische Darstellung der BTCS–Methode

Wir betrachten die Approximation auf einem 5× 5 Gitter, die auf neun algebraische Gleichungenfuhrt.

ai,jTn+1i+1,j + bi,jT

n+1i−1,j + ci,jT

n+1i,j + di,jT

n+1i,j−1 + ei,jT

n+1i,j+1 = fn

i,j i, j = 2, . . . , 4 .

Die impliziten finiten Differenzengleichungen lauten:

a2,2T3,2 + c2,2T2,2 + e2,2T2,3 = f2,2 − b2,2T1,2 − d2,2T2,1

a2,3T3,3 + c2,3T2,3 + d2,3T2,2 + e2,3T2,4 = f2,3 − b2,3T1,3

a2,4T3,4 + c2,4T2,4 + d2,4T2,3 = f2,4 − b2,4T1,4 − e2,4T2,5

a3,2T4,2 + b3,2T2,2 + c3,2T3,2 + e3,2T3,3 = f3,2 + d3,2T3,1

a3,3T4,3 + b3,3T2,3 + c3,3T3,3 + d3,3T3,2 + e3,3T3,4 = f3,3

a3,4T4,4 + b3,4T2,4 + c3,4T3,4 + d3,4T3,3 = f3,4 − e3,4T3,5

b4,2T3,2 + c4,2T4,2 + e4,2T4,3 = f4,2 − a4,2T5,2 − d4,2T4,1

b4,3T3,3 + c4,3T4,3 + d4,3T4,2 + e4,3T4,4 = f4,3 − a4,3T5,3

b4,4T3,4 + c4,4T4,4 + d4,4T4,3 = f4,4 − a4,4T5,4 − e4,4T4,5 ,


oder in Matrixschreibweise:

c2,2 e2,2 0 a2,2 0 0 0 0 0

d2,3 c2,3 e2,3 0 a2,3 0 0 0 0

0 d2,4 c2,4 0 0 a2,4 0 0 0

b3,2 0 0 c3,2 e3,2 0 a3,2 0 0

0 b3,3 0 d3,3 c3,3 e3,3 0 a3,3 0

0 0 b3,4 0 d3,4 c3,4 0 0 a3,4

0 0 0 b4,2 0 0 c4,2 e4,2 0

0 0 0 0 b4,3 0 d4,3 c4,3 e4,3

0 0 0 0 0 b4,4 0 d4,4 c4,4

·

T2,2

T2,3

T2,4

T3,2

T3,3

T3,4

T4,2

T4,3

T4,4

=

f2,2 − b2,2T1,2 − d2,2T2,1

f2,3 − b2,3T1,3

f2,4 − b2,4T1,4 − e2,4T2,5

f3,2 − d3,2T3,1

f3,3

f3,4 − e3,4T3,5

f4,2 − a4,2T5,2 − d4,2T4,1

f4,3 − a4,3T5,3

f4,4 − a4,4T5,4 − e4,4T4,5

4.7.1 ADI–Methode

Die Losung des aus der BTCS–Approximation resultierenden pentadiagonalen Gleichungssystemsist sehr aufwendig. Stattdessen soll die ADI –Methode (alternating direction implicit) verwendetwerden. Dieses Verfahren umgeht die mit direkten Verfahren verbundene Ineffizienz durch Aufsplit-ten der Zeitdiskretisierung in zwei Einzelschritte, die sich als tridiagonale Gleichungssysteme sehreffizient losen lassen.

Abbildung 35: Schematische Darstellung der ADI–Methode

4.8 Erweiterung auf dreidimensionale Probleme 59

Tn+ 1

2i,j − Tn

i,j

(∆t2 )

= κ

T

n+ 12

i+1,j − 2Tn+ 1

2i,j + T

n+ 12

i−1,j

(∆x)2+

Tni,j+1 − 2Tn

i,j + Tni,j−1

(∆y)2

x-sweep

(4.60)

Tn+1i,j − T

n+ 12

i,j

(∆t2 )

= κ

T

n+ 12

i+1,j − 2Tn+ 1

2i,j + T

n+ 12

i−1,j

(∆x)2+

Tn+1i,j+1 − 2Tn+1

i,j + Tn+1i,j−1

(∆y)2

y-sweep

mit O[∆t2, ∆x2,∆y2]

Diese Gleichungen konnen in tridiagonaler Form mit d1 = dx/2 = κ∆t/∆x2 und d2 = dy/2 =κ∆t/∆y2 geschrieben werden als:

−d1Tn+ 1

2i−1,j + (1 + 2d1)T

n+ 12

i,j − d1Tn+ 1

2i+1,j = d2T

ni,j+1 + (1− 2d2)Tn

i,j + d2Tni,j−1

und

−d2Tn+1i,j+1 + (1 + 2d2)Tn+1

i,j − d2Tn+1i,j−1 = d1T

n+ 12

i−1,j + (1− 2d1)Tn+ 1

2i,j + d1T

n+ 12

i+1,j .

Anstelle eines pentadiagonalen Gleichungssystems wird jeder Zeitschritt in zwei Teilzeitschritten(Sweeps) jeweils in Form eines wesentlich gunstigeren tridiagonalen Gleichungssystems gelost. Aufdieses Weise kann der numerische Aufwand erheblich vermindert werden. Die zweidimensionaleADI-Methode verhalt sich dabei immer stabil.

4.7.2 Fractional Step Method

Eine weitere Moglichkeit der effizienten Behandlung mehrdimensionaler Probleme liefert die soge-nannte Fractional Step Method. Wir betrachten wiederum die zweidimensionale Warmeleitungs-gleichung (4.56)Die Vorgehensweise ist ahnlich wie bei der ADI–Methode: Mehrdimensionale Gleichungen werden ineindimensionale Einzelschritte zerlegt, die dann nacheinander gelost werden. Die Aufteilung erfolgtdurch zweimalige Anwendung der Crank–Nicolson–Methode.

Tn+ 1

2i,j − Tn

i,j

(∆t2 )

= κ12

T

n+ 12

i+1,j − 2Tn+ 1

2i,j + T

n+ 12

i−1,j

(∆x)2+

Tni+1,j − 2Tn

i,j + Tni−1,j

(∆x)2

(4.61)

Tn+1i,j − T

n+ 12

i,j

(∆t2 )

= κ12

T

n+ 12

i,j−1 − 2Tn+ 1

2i,j + T

n+ 12

i,j+1

(∆y)2+

Tn+1i,j−1 − 2Tn+1

i,j + Tn+1i,j+1

(∆y)2

Das Verfahren ist in jedem Fall stabil und von der Fehlerordnung[(∆t)2, (∆x)2, (∆y)2

].

4.8 Erweiterung auf dreidimensionale Probleme

Die implizite Approximation der dreidimensionalen Warmeleitungsgleichung

∂T

∂t= κ

[∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2+

∂2T

∂z2

], (4.62)


fuhrt auf große, sehr ungunstig besetzte Gleichungssysteme. Einen Ausweg bietet die dreidimen-sionale Variante der ADI–Methode:Die Approximation fur die Zeitschritte n, n + 1

3 , n + 23 , n + 1 nach ADI–Vorgehensweise fuhrt auf

Tn+ 1

3i,j,k − Tn

i,j,k

(∆t3 )

= κ

δ2

xTn+ 1

3i,j,k

(∆x)2+

δ2yT

ni,j,k

(∆y)2+

δ2zT

ni,j,k

(∆z)2

Tn+ 2

3i,j,k − T

n+ 13

i,j,k

(∆t3 )

= κ

δ2

xTn+ 1

3i,j,k

(∆x)2+

δ2yT

n+ 23

i,j,k

(∆y)2+

δ2zT

n+ 13

i,j,k

(∆z)2

O[∆t,∆x2, ∆y2, ∆z2]

Tn+1i,j,k − T

n+ 23

i,j,k

(∆t3 )

= κ

δ2

xTn+ 2

3i,j,k

(∆x)2+

δ2yT

n+ 23

i,j,k

(∆y)2+

δ2zT

n+1i,j,k

(∆z)2

dabei sind die δx, δy und δz eine kompakte Formulierung fur die Differenzenformeln:

δ2xTi,j,k = Ti+1,j,k − 2Ti,j,k + Ti−1,j,k

δ2yTi,j,k = Ti,j+1,k − 2Ti,j,k + Ti,j−1,k

δ2zTi,j,k = Ti,j,k+1 − 2Ti,j,k + Ti,j,k−1 ,

Diese Variante der ADI-Methode ist stabil fur: (dx + dy + dz) ≤ 32

4.9 Einbau von Randbedingungen

In Abschnitt 2.4 wurden unterschiedliche Randbedingungen fur Differentialgleichungen definiert.Wir wollen nun die numerische Umsetzung dieser Randbedingungen am Beispiel der eindimensio-nalen Warmeleitungsgleichung betrachten.

i=1 . . . . i=IM1 i=IM

linker Rand rechter Rand

i=2 i=3 i=4

fiktiverRandpunkt

i=0 i=IM+1

fiktiverRandpunkt

Abbildung 36: Exemplarisches eindimensionales Rechengebiet

4.9.1 Dirichlet Randbedingung

Wird die abhangige Variable auf dem Rand direkt vorgegeben, liegt eine ”Dirichlet Randbedin-gung” vor. Sie tritt vor allem an Einstromrandern und festen Wanden auf. Explizite oder impliziteDiskretisierung der Warmeleitungsgleichung fuhrt auf die Losung Tm

i . Die vorgegebenen Randwertelauten:

T1 = TL und TIM = TR . (4.63)

4.9 Einbau von Randbedingungen 61

Explizite Verfahren erlauben die diskrete Berechnung der unbekannten TemperaturverteilungTm+1

i an den Gitterpunkten. Im Fall einer Dirichlet Randbedingung wird diese Prozedur ausgesetztund stattdessen direkt der Randwert vorgegeben:

Tm+11 = TL und Tm+1

IM = TR . (4.64)

Implizite Verfahren fuhren auf algebraische Gleichungssysteme fur die Temperaturverteilung.Die Randbedingung muß deshalb in das Gleichungssystem eingearbeitet werden. Die algebraischenGleichungen an allen inneren Punkten lauten fur das BTCS (4.7):

aiTi−1 + biTi + ciTi+1 = Di i = 2, IM1 mit IM1 = IM − 1 . (4.65)

Die Randbedingung kann nun auf zwei verschiedene Arten implementiert werden:

Methode I: An den Randpunkten werden sehr einfache Gleichungen generiert, die die Einhaltungder Randbedingung sicherstellen:

i = 1 : T1 · CL = TL · CL

i = IM : TIM · CR = TR · CR ,

oder in Matrixschreibweise:

CL

a2 b2 c2

a3 b3 c3

. . .

aIM1 bIM1 cIM1

CR

·

T1

T2

T3

...

TIM1

TIM

=

TL · CL

D2

D3

...

DIM1

TR · CR

CL und CR sind hier beliebige Konstanten, in der Regel wird CL = CR = 1 gesetzt.

Methode II: Der Vektor der unbekannten Temperaturen wird um die beiden Randpunkte reduziertauf i = 2, . . . IM1 und die Randbedingung auf der rechten Seite eingebracht:

b2 c2

a3 b3 c3

. . .

aIM2 bIM2 cIM2

aIM1 bIM1

·

T2

T3

...

TIM2

TIM1

=

D2 − a2TL

D3

...

DIM2

DIM1 − cIM1TR


4.9.2 Neumann Randbedingung

Wird nicht der Wert sondern eine ortliche Ableitung normal zur Berandung vorgegeben, liegt eineNeumann Randbedingung vor. Dies ist z.B. bei der Vorgabe des Randwarmeflusses der Fall:

−κ∂T

∂x= qw . (4.66)

An einer adiabatischen Wand gilt hier qw = 0. Neumann Randbedingungen werden außerdeman Symmetrie- und Ausflußrandern verwendet. Im folgenden sollen an beiden Randern NeumannRandbedingungen herrschen mit

links: qw = qL rechts: qw = qR . (4.67)

Der Ableitungsterm muß diskretisiert werden. Hier sollen Diskretisierungen erster und zweiter Ord-nung fur aquidistante Gitter am linken Rand betrachtet werden:

Erster Ordnung:∂T

∂x

∣∣∣∣1

=T1 − T0

∆x+ O(∆x) , (4.68)

Zweiter Ordnung:∂T

∂x

∣∣∣∣1

=T2 − T0

2∆x+ O(∆x)2 . (4.69)

Dabei stellt T0 die Temperatur an einem fiktiven Punkt außerhalb des Rechengebiets dar, der sichgleich weit von i = 1 befindet wie die Stelle i = 2.Bei der Realisierung der Randbedingung ist es sehr wichtig, mindestens die gleiche Approximati-onsordnung zu verwenden, wie im Rest des Rechengebietes.

Bei expliziten Verfahren ergibt sich die Bestimmungsgleichung fur einen neuen unbekanntenWert Tm+1

i . Am linken Randpunkt (i = 1) lautet sie bei FTCS-Methode (4.6):

Tm+11 = Tm

1 + d(Tm2 − 2Tm

1 + Tm0 ) . (4.70)

Der hier auftretende unbekannte Wert Tm0 wird nun mit Hilfe einer der Diskretisierungsgleichungen

(4.68) oder (4.69) bestimmt:

Tm0 = Tm

1 − qL∆x (erster Ordnung) Tm0 = Tm

2 − 2qL∆x (zweiter Ordnung) . (4.71)

Auch fur implizite Verfahren laßt sich die Diskretisierungsgleichung direkt fur den Randpunktformulieren. BTCS (4.65) liefert am linken Rand:

a1T0 + b1T1 + c1T2 = D1 . (4.72)

Die Randbedingung kann nun wiederum auf zwei verschiedene Arten implementiert werden, wobeientweder die Approximation erster oder zweiter Ordnung (4.71) zur Bestimmung von T0 verwen-det wird. Die Gleichungssysteme werden fur Neumann Bedingungen am linken und rechten Randangegeben:

4.9 Einbau von Randbedingungen 63

Erster Ordnung

a1 + b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

. . .

aIM1 bIM1 cIM1

aIM bIM + cIM

·

T1

T2

T3

...

TIM1

TIM

=

D1 + a1qL∆x

D2

D3

...

DIM1

DIM + cIMqR∆x

Zweiter Ordnung

b1 a1 + c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

. . .

aIM1 bIM1 cIM1

aIM + cIM bIM

·

T1

T2

T3

...

TIM1

TIM

=

D1 + 2a1qL∆x

D2

D3

...

DIM1

DIM + 2cIMqR∆x

4.9.3 Robinbedingung

Die Robinbedingung stellt eine Kombinationen der ersten beiden Typen von Randbedingungen dar.Am Rand gilt hier:

AT + B∂T

∂x= C , (4.73)

wobei A, B und C beliebige Konstanten sein konnen. Ahnlich wie bei der Neumann Bedingungkann auch hier durch Approximation eine Bestimmungsgleichung fur den fiktiven Randwert T0 bzw.TIM+1 ermittelt werden:

erster Ordnung: T0 = T1

(1 +

A∆x

B

)− C∆x

B,

(4.74)

Zweiter Ordnung: T0 = T2 + T12A∆x

B− 2C∆x

B.

4.9.4 Zyklische oder periodische Randbedingung

Zyklische Randbedingungen konnen dann eingesetzt werden, wenn im Stromungsfeld Ebenen oderLinien gefunden werden konnen, die paarweise die gleiche Verteilung der Stromungsgroßen aufwei-sen. Mit dieser Randbedingung konnen beispielsweise ”unendliche” Abfolgen von Turbinenschaufelnoder Kanale von ”unendlicher” Lange simuliert werden.Abbildung 37 zeigt einen Ring, bei dem Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Es gilt T1 = TIM .Das resultierende Gleichungssystem hat dann folgende Form:


i=1

. . . .

i=IM1

i=IM

i=IM2

. . . .

i=2

i=3

zyklischer Rand

Abbildung 37: Zyklische Randbedingung am Beispiel eines Rings

b1 c1 a1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

. . .

aIM2 bIM2 cIM2

cIM1 aIM1 bIM1

·

T1

T2

T3

...

TIM2

TIM1

=

D1

D2

D3

...

DIM2

DIM1

4.10 Linearisierung parabolischer PDG

Bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen mit Hilfe numerischer Approximationsverfahrenmuß beachtet werden, daß effiziente Loser nur fur lineare Gleichungssysteme zur Verfugung stehen.Da die Diskretisierung nichtlinearer Differentialgleichungen auch auf nichtlineare Gleichungssyste-me fuhrt, mussen derartige Systeme linearisiert werden.Viele Stromungsbilanzgleichungen sind nichtlinear (z.B. Konvektion). Wir betrachten exemplarischden Term u∂u

∂x aus der Impulsbilanz fur 2d-Stromungen. Die ruckwartige FD-Approximation inpositiver x-Richtung fuhrt dabei auf:

u∂u

∂x

∣∣∣∣i+1

= ui+1,jui+1,j − ui,j

∆x+O(∆x) . (4.75)

Diese Differenzengleichung ist nichtlinear fur den unbekannten Term ui+1,j . Zur Linearisierungstehen unterschiedliche Methoden zur Verfugung:

• Beim Lagging wird der Koeffizient von der bekannten Station genommen:

u∂u

∂x≈ ui,j

ui+1,j − ui,j

∆x

• Bei der iterativen Methode wird der zuruckliegende Wert (zeitlich bzw. iterativ) solange durch

4.10 Linearisierung parabolischer PDG 65

neue Losungen verbessert, bis ein Konvergenzkriterium erfullt ist.

u∂u

∂x≈ u

(k)i+1,j

u(k+1)i+1,j − ui,j

∆x

• Newton–Linearisierung des Terms (A)(B) mit Anderung zweier aufeinanderfolgender Itera-tionen.

δA = A(k+1) −A(k) δB = B(k+1) −B(k)

Fur den nichtlinearen Term erhalt man:

A(k+1)B(k+1) = (A(k) + δA)(B(k) + δB) = A(k)B(k) + B(k)δA + A(k)δB + δAδB

und ohne den von hoherer Ordnung kleinen Term δAδB

A(k+1)B(k+1) ≈ A(k)B(k) + B(k)(A(k+1) −A(k)) + A(k)(B(k+1) −B(k))

≈ A(k)B(k+1) + A(k+1)B(k) −A(k)B(k)

Die Anwendung auf den konvektiven Term fuhrt auf:

u∂u

∂x≈ u(k)

(∂u

∂x

)(k+1)

+ u(k+1)

(∂u

∂x

)(k)

− u(k)

(∂u

∂x

)(k)

Damit lautet die Approximation:

u∂u

∂x≈ u

(k)i+1,j

u(k+1)i+1,j − ui,j

∆x+ u

(k+1)i+1,j

u(k)i+1,j − ui,j

∆x− u

(k)i+1,j

u(k)i+1,j − ui,j

∆x

u∂u

∂x≈ u

(k+1)i+1,j

2u(k)i+1,j − ui,j

∆x−

(u

(k)i+1,j

)2

∆x.

Bei der Newton Linearisierung muß der Startwert in der Nahe der Losung liegen. Bei para-bolischen PDG ist dies durch Fortschreiten in der parabolischen Richtung moglich.

• Bei der Linearisierung mit Hilfe einer Taylorreihe wird ausgehend von einem bekannten Wertder Iterationsstufe k eine Reihenentwicklung durchgefuhrt:

F (A(k+1), B(k+1)) = F (A(k), B(k)) +∂F

∂A

∣∣∣∣A(k),B(k)

(δA) +∂F

∂B

∣∣∣∣A(k),B(k)

(δB) +O(δA2, δB2) .

Angewandt auf Gleichung (4.75) ergibt das

u∂u

∂x≈ F (u(k)

i+1,j) +∂F

∂(ui+1,j)

∣∣∣∣u(k)i+1,j

(δui+1,j)

u∂u

∂x≈ u

(k)i+1,j

u(k)i+1,j − ui,j

∆x+

2u(k)i+1,j − ui,j

∆x

(u

(k+1)i+1,j − u

(k)i+1,j

)

u∂u

∂x≈ u

(k+1)i+1,j

2u(k)i+1,j − ui,j

∆x−

(u

(k)i+1,j

)2

∆x.

66 Behandlung linearer Gleichungssysteme


In diesem Kapitel befassen wir uns mit der Aufgabe, die linearen Gleichungssysteme, welche manaus der diskretisierten Differentialgleichung erhalt, unter Berucksichtigung ihrer speziellen Strukturmoglichst effizient zu losen. Diese Gleichungssysteme haben besondere Eigenschaften: Die Koeffi-zientenmatrizen sind meist sehr groß, aber einfach strukturiert. Sie sind ‘schwach besetzt’, die vonNull verschiedenen Elemente treten in regelmaßiger ‘bandartiger’ Weise in bestimmten charakteri-stischen Großenverhaltnissen auf. Um einen ersten Eindruck zu vermitteln, wollen wir im folgendenzunachst den Prototyp einer elliptischen Differentialgleichung 2. Ordnung, die sogenannte Poisson-gleichung betrachten.

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= f(x, y) . (5.1)

Der Einfachheit halber beschranken wir uns auf ein quadratisches Integrationsgebiet S und Dirich-letsche Randbedingungen. Gesucht ist die Losung u(x, y), welche im Gebiet S die PDG (C − 1)erfullt und auf dem Gebietsrand C die vorgegebenen Werte

u = g(x, y)

annimmt. Zur Diskretisierung der Randwertaufgabe legen wir ein quadratisches Rechengitter derSchrittweite h zugrunde. Die Anzahl N der Unbekannten verhalt sich dann wie 1

h2 , was bei einerUnterteilung von h = 1

256 ca. N = 65.000 Unbekannte ergibt. Die Gestalt der Koeffizienten-Matrixhangt von dem gewahlten Differenzenquotienten fur ∂2u

∂x2 bzw. ∂2u∂y2 ab. Wahlt man zur Approxima-

tion der zweiten partiellen Ableitung jeweils den zentralen Differenzenquotienten (3.12), so ergibtsich das folgende Gleichungssystem

ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 − 4ui,j = h2fi,j (5.2)

oder mit h2fi,j = ri,j auf der rechten Seite das System, das im folgenden abgedruckt ist.

Auf dieses Gleichungssystem laßt sich jedes Verfahren zur Losung linearer Probleme anwenden.Die Effizienzunterschiede sind jedoch betrachtlich. So fuhrt z.B. die Cramersche Regel auf ein10204.000 Jahre wahrendes Geduldspiel, wohingegen moderne Verfahren bereits nach ca. 8 Sekundenzu einer Losung gelangen. Entscheidend fur die Effizienz eines Verfahrens ist der zu bewaltigendeRechenaufwand, also die Anzahl der arithmetischen Operationen zur Bestimmung der Losung.Einen ersten vergleichenden Uberblick kann man sich anhand der Tabelle 7 verschaffen, die sichauf das oben skizzierte Problem bezieht.

Grundsatzlich wird zwischen direkten Losungsmethoden, welche auf der sukzessiven Eliminati-on der Unbekannten basieren, und iterativen Prozessen, die die gesuchte Losung als Folge vonNaherungen bestimmen, unterschieden. Der bekannteste Vertreter, der hier nicht naher disku-tierten direkten Methode, ist das herkommliche Gaußsche Eliminationsverfahren. Daneben seiendas Cholesky-Verfahren zur Dreieckszerlegung symmetrisch positiver Bandmatrizen, der Thomas-Algorithmus usw. in Erinnerung gerufen.

67

−4 1 0 0 . . . 0 1 0

1 −4 1 0 0 1 0

0 1 −4 1 0 0 1. . . . . .

1 −4 1 0 0 0 1 0

1 −4 0 0 0 1

1 0 0 −4 1 1 0

0 1 0 1 −4 1 0 1. . . . . . . . .

1 0 1 −4 1 0 0 1 0

0 0 0 0 1 1 −4 0 0 0 1

1 0 −4 1 1 0

0 1 1 −4 1 0 1. . . . . . . . .

0 1 1 −4 0 1

u1,1

u1,2

u1,3

··

u1,n

u2,1

u2,2

u2,3

··

u2,n

u3,1

··

u3,n

u4,1

··

=

r1,1

r1,2

r1,3

··

r1,n

r2,1

····

r2,n

···

r3,n

r4,1

··

Verfahren asymptotischer ungefahre Rechenzeit

Rechenaufwand

Gauß-Verfahren fur Bandmatrizen −N2 ca. 20.000 sec (geschatzt)

Gauß-Seidel∗) −N2 ca. 10.000 sec (geschatzt)

SOR∗) −N1,5 ca. 1.200 sec

ADI∗) −N log N ca. 130 sec

Mehrgitterverfahren −N ca. 8 sec

Tabelle 7: Rechenzeiten fur die diskretisierte Poisson-Gleichung im Einheitsquadrat (h = 1/256), das heißt,N = 2552 = 65025 Unbekannte); fur die iterativen Verfahren∗) wurde eine feste relative Genauigkeit von−104 zugrunde gelegt.

Die direkten Losungsmethoden erfordern die Speicherung der gesamten Koeffizientenmatrix, wo-durch es leicht zur Erschopfung des zur Verfugung stehenden Arbeitsspeichervolumens kommenkann. Die Rechenzeit wird in der Folge zu einem nicht unerheblichen Teil fur die Datenkommuni-kation mit Hilfsspeichermedien verbraucht, weshalb sich die Losung vor allem bei niedriger Uber-tragungsgeschwindigkeit erheblich verzogern kann. Mittlerweile existieren jedoch Algorithmen, die


solchen Nachteilen durch sukzessive Zusammensetzung der linearen Gleichungssysteme in Verbin-dung mit gleichzeitiger Elimination begegnen (sog. Frontlosungsmethoden). Daneben zeichnen sichdie direkten Verfahren durch die unangenehme Eigenschaft aus, die numerischen Storungen derexakten Losung (z.B. Rundungsfehler) zu akkumulieren. Den entscheidenden Parameter zur Be-stimmung der Empfindlichkeit gegenuber Storungen stellt die Konditionszahl einer Matrix (alsodas Produkt ||A|| · ||A−1|| nach beliebiger Norm) dar, fur die man folgende ‘Faustregel’ findet:

‘Wird ein lineares Gleichungssystem Au = r mit n-stelliger dezimaler Gleitkommarech-nung gelost, und betragt die Konditionszahl der Koeffizientenmatrix κ ≈ 10m, so sindaufgrund der im allgemeinen unvermeidlichen Eingangsfehler nur (n−m− 1) Dezimal-stellen der auf die betragsmaßig großte Komponente bezogene Losung sicher.’

Zur Senkung der Konditionszahl verfugt die Numerik uber moglicherweise Abhilfe verschaffendeMethoden, wie Equilibrieren, Pivotisieren, Vorkonditionieren, usw.Im allgemeinen sind direkte Methoden wirkungsvoller als iterative Methoden, sobald

a) die Koeffizentenmatrix fur eine schnelle Abschatzung des optimalen Relaxationsfaktors zuumfangreich ist;

b) die Matrix fast singular ist, so daß kleine Reste keine kleinen Fehler in die Losung implizieren,wie spater in diesem Kapitel gezeigt wird;

c) verschiedene Gleichungssysteme mit denselben Koeffizienten, aber mit verschiedenen rechtenSeiten gelost werden mussen.

5.1 LU–Zerlegung von tridiagonalen Matrizen

Zur Losung von tridiagonalen Matrizen, wie sie beispielsweise bei der Behandlung eindimensionalerWarmeleitungsprobleme auftreten, bietet sich ein einfacher direkter Loser an: die LU–Zerlegung.Wegen der Relevanz dieses Verfahrens fur iterative Methoden soll die LU–Zerlegung hier nahererlautert werden.

• Fur ein System von Differentialgleichungen laßt sich durch die Approximation ein block-tridiagonales Gleichungssystem fur den Unbekanntenvektor u in der allgemeinen Form auf-stellen. r ist die rechte Seite.

A u = r

Matrix A : A =

a1 c1 . . . 0

b2 a2 c2...

b3 a3 c3

. . .... bIM1 aIM1 cIM1

0 . . . bIM aIM

5.1 LU–Zerlegung von tridiagonalen Matrizen 69

Die Matrix A wird in eine obere und eine untere Teilmatrix zerlegt:

A = L U =

as1 . . . 0

b2 as2...

b3 as3

. . .... bIM1 asIM1

0 . . . bIM asIM

1 cs1 . . . 0

1 cs2...

1 cs3

. . .... 1 csIM1

0 . . . 1

mit den Koeffizienten,

as1 = a1

cs1 = c1 · (as1)−1

asi = ai − bi · csi−1 fur i = 2, 3, . . . , IM

csi = ci · (asi)−1 fur i = 2, 3, . . . , IM1(5.3)

• Zu losen ist jetzt das System

L y = r mit U u = y

as1 . . . 0

b2 as2...

. . .... bIM1 asIM1

0 . . . bIM asIM

·

y1

y2

...

yIM1

yIM

=

r1

r2

...

rIM1

rIM

mit

y1 = (as1)−1 r1

yi = (asi)−1(ri − biyi−1) fur i = 2, 3, . . . , IM.

Außerdem erhalt man U u = y

1 cs1 . . . 0

1 cs2...

. . .... 1 csIM1

0 . . . 1

·

u1

u2

...

uIM1

uIM

=

y1

y2

...

yIM1

yIM

woraus sich die Losung ergibt:

uIM = yIM

ui = yi − csiui+1 fur i = IM1, IM2, . . . , 2, 1


5.2 Iterative Methoden

Iterative Methoden zur Losung von algebraischen Gleichungssystemen werden im allgemeinen an-gewandt, wenn die Anzahl der Unbekannten groß ist, jede Gleichung aber nur einige wenige davonenthalt. Die Koeffizientenmatrix besteht dann hauptsachlich aus Nullen. Die Iterationsverfahrenbesitzen die Eigenschaft, daß sie die schwache Besetzung der Koeffizientenmatrix voll ausnutzenkonnen und die Matrix unverandert lassen. Dies erlaubt eine bedeutend konzentriertere Speiche-rung der von Null verschiedenen Matrixelemente, so daß der dazu benotigte Speicherbedarf imVergleich zu den Eliminationsmethoden bedeutend geringer ist. Bei jeder iterativen Methode be-ginnt man mit einem bekannten und oft beliebigen Anfangsvektor u(0). Auf diesem aufbauendberechnet man eine Folge von Approximationen u(k), die mit wachsender Iterationszahl gegen dieexakte Losung des diskretisierten Gleichungssystems (5.1)

A u = r(x, y)

konvergieren. Wenn jede Komponente u(k)i eines Losungsvektors u(k) aus vorhandenen Schatzungen

anderer Komponenten explizit berechnet wird, bezeichnet man die Prozedur als Punktmethode.Demgegenuber nennt man Prozeduren, bei denen ganze Komponentengruppen u

(k)i , u

(k)j , ... in

impliziter Manier gleichzeitig berechnet werden, Linien- oder Blockmethoden. Die Teilsystemezur Bestimmung einer Komponentengruppe lost man gewohnlich direkt, sie konnen jedoch ihrer-seits auch wieder iterativ gelost werden. Den Terminus ‘Linienmethode’ verwendet man, wenn dieElemente einer Gruppe sich zu einer kompletten Gitterlinie im Integrationsgebiet aufreihen. EinIterationsverfahren wird als stationar bezeichnet, wenn die Losungsvektoren u(k) aus bekanntenApproximationen fur alle Iterationsstufen n mit dem gleichen Operationszyklus berechnet werden.Die iterativen Verfahren wollen wir an leicht unterschiedlichen Modellgleichungen erlautern:

(1) Die Laplacegleichung∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0 . (5.4)

(2) Die Poissongleichung∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= f(x, y) . (5.5)

Wir beschranken uns wiederum auf Dirichletsche Randbedingungen in einem kartesischen Rechen-gebiet, wollen jedoch verschieden große Schrittweiten ∆x und ∆y zulassen. Die finite Differenzen-formulierung der beiden Modellgleichungen ergibt sich mit zentralen Differenzenquotienten zu

(1)ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

(∆x)2+

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1

(∆y)2= 0 , (5.6)

(2)ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

(∆x)2+

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1

(∆y)2= f(x, y) , (5.7)

bzw. mit β = ∆x∆y

(1) ui+1,j + ui−1,j + β2ui,j+1 + β2ui,j−1 − 2(1 + β2)ui,j = 0 , (5.8)(2) ui+1,j + ui−1,j + β2ui,j+1 + β2ui,j−1 − 2(1 + β2)ui,j = r(x, y) . (5.9)

Verwendet man dagegen zur Naherung der zweiten partiellen Ableitung eine 9-Punkte-Formel von

5.2 Iterative Methoden 71

∆

∆

i,j i+1,ji-1,j

i,j+1

i,j-1y

x

Abbildung 38: Veranschaulichung der 5-Punkte-Formel (5.7).

4. Genauigkeitsordnung (Tabelle 4), so erhalt man anstelle (5.7) die Beziehung

−ui−2,j + 16ui−1,j − 30ui,j + 16ui+1,j − ui+1,j

12(∆x)2

+−ui,j−2 + 16ui,j−1 − 30ui,j + 16ui,j+1 − ui,j+2

12(∆y)2= 0 (= r(x, y)) , (5.10)

und somit

− ui−2,j + 16ui−1,j + 16ui+1,j − ui+2,j + β2[ui,j−2 + 16ui,j−1 + 16ui,j+1 − ui,j+2]

− 30ui,j [1 + β2] = 0 (= r(x, y)) .(5.11)

Hieraus ergibt sich eine Koeffizientenmatrix von viel großerer Bandbreite und somit auch ein gestei-

i, j i+1,j i+2,ji-1,ji-2,j

i,j+1

i,j+2

i,j-1

i,j-2

Abbildung 39: Veranschaulichung der 9-Punkte-Formel (5.10).

gerter Rechenzeitbedarf. Wendet man die einfachere 5-Punkteformel (5.9) auf das in Abbildung 40skizzierte 6× 6-Punkte-Rechengitter mit den Randbedingungen

x = 0 u = u2 y = 0 u = u1

x = L u = u4 y = H u = u3

an, so ergibt sich fur die inneren Gitterpunkte das folgende Gleichungssystem


u

u

u

2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

4

1

3

i=1

u2

j=1

Abbildung 40: Skizze eines 6× 6-Punkte-Rechengitters.

u3,2 + u1,2 + β2u2,3 + β2u2,1 − 2(1 + β2)u2,2 = 0

u4,2 + u2,2 + β2u3,3 + β2u3,1 − 2(1 + β2)u3,2 = 0

u5,2 + u3,2 + β2u4,3 + β2u4,1 − 2(1 + β2)u4,2 = 0

u6,2 + u4,2 + β2u5,3 + β2u5,1 − 2(1 + β2)u5,2 = 0 (5.12)

u3,3 + u1,3 + β2u2,4 + β2u2,2 − 2(1 + β2)u2,3 = 0

u4,3 + u2,3 + β2u3,4 + β2u3,2 − 2(1 + β2)u3,3 = 0

u5,3 + u3,3 + β2u4,4 + β2u4,2 − 2(1 + β2)u4,3 = 0

u6,3 + u4,3 + β2u5,4 + β2u5,2 − 2(1 + β2)u5,3 = 0

u3,4 + u1,4 + β2u2,5 + β2u2,3 − 2(1 + β2)u2,4 = 0

u4,4 + u2,4 + β2u3,5 + β2u3,3 − 2(1 + β2)u3,4 = 0

u5,4 + u3,4 + β2u4,5 + β2u4,3 − 2(1 + β2)u4,4 = 0

u6,4 + u4,4 + β2u5,5 + β2u5,3 − 2(1 + β2)u5,4 = 0

u3,5 + u1,5 + β2u2,6 + β2u2,4 − 2(1 + β2)u2,5 = 0

u4,5 + u2,5 + β2u3,6 + β2u3,4 − 2(1 + β2)u3,5 = 0

u5,5 + u3,5 + β2u4,6 + β2u4,4 − 2(1 + β2)u4,5 = 0

u6,5 + u4,5 + β2u5,6 + β2u5,4 − 2(1 + β2)u5,5 = 0

bzw. mit α = −2(1 + β2)

α 1 0 0 β2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 α 1 0 0 β2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 α 1 0 0 β2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 α 0 0 0 β2 0 0 0 0 0 0 0 0

β2 0 0 0 α 1 0 0 β2 0 0 0 0 0 0 0

0 β2 0 0 1 α 1 0 0 β2 0 0 0 0 0 0

0 0 β2 0 0 1 α 1 0 0 β2 0 0 0 0 0

0 0 0 β2 0 0 1 α 0 0 0 β2 0 0 0 0

0 0 0 0 β2 0 0 0 α 1 0 0 β2 0 0 0

0 0 0 0 0 β2 0 0 1 α 1 0 0 β2 0 0

0 0 0 0 0 0 β2 0 0 1 α 1 0 0 β2 0

0 0 0 0 0 0 0 β2 0 0 1 α 0 0 0 β2

0 0 0 0 0 0 0 0 β2 0 0 0 α 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 β2 0 0 1 α 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 β2 0 0 1 α 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 β2 0 0 1 α

u2,2

u3,2

u4,2

u5,2

u2,3

u3,3

u4,3

u5,3

u2,4

u3,4

u4,4

u5,4

u2,5

u3,5

u4,5

u5,5

−u1,2 − β2u2,1

−β2u3,1

−β2u4,1

−u6,2 − β2u5,1

−u1,3

0

0

−u6,3

−u1,4

0

0

−u6,4

−u1,5 − β2u3,6

−β2u3,6

−β2u4,6

−u6,5 − β2u5,6

(5.13)


5.2.1 Die Jacobische Iterationsmethode

Gelost werden soll ein lineares Gleichungssystem mit N -dimensionalem Losungsvektor vom Typ:

A u = r bzw.N∑

m=1

alm um = rl bzw.

a11 a12 a13 . . . a1N

a21 a22 a23...

a21 a22 a33

.... . .

...

aN1 aN2 . . . . . . aNN

u1

u2

...

uN−1

uN

=

r1

r2

...

rN−1

rN

Man beachte, daß die Indizes l, m hier nicht fur die beiden Gitterrichtungen einer zweidimensionalenDifferenzengleichung stehen, sondern fur die Zeilen und Spalten des linearen Gleichungssystems.Die iterative Berechnung eines neuen Elements (k + 1) des Unbekanntenvektors geschieht bei derJacobischen Iterationsmethode durch Auswertung der entsprechenden Zeile des Gleichungssystemsunter Verwendung von Nachbarwerten, die stets vom vorherigen Iterationsschritt (k) genommenwerden:

u(k+1)l =

rl −

N∑

m=1, m6=l

alm u(k)m

1

all. (5.14)

Angewendet auf die Losung der diskretisierten Laplacegleichung (5.9) fur alle inneren Punkte lautetdie Jacobische Iterationsmethode:

u(k+1)i,j =

12(1 + β2)

[u

(k)i+1,j + u

(k)i−1,j + β2(u(k)

i,j+1 + u(k)i,j−1)

]. (5.15)

Die hier verwendete Vorgehensweise wird auch als Gesamtschrittverfahren bezeichnet, weil dasgesamte ”neue” Feld auf der Basis von ”alten” Unbekanntenwerten bestimmt wird. Sie wird inder Praxis wenig benutzt, weil die hierbei vektorweise iterierten Werte u(k) langsamer gegen dieexakte Losung u konvergieren als bei dem noch zu erlauternden Gauß-Seidel Verfahren. Die Jacobi-Methode ist vor allem von theoretischem Wert. Sie bietet eine gute Vergleichsmoglichkeit zur Be-urteilung und Regulierung des Konvergenzverhaltens anderer Methoden.Bevor wir zu einem weiteren iterativen Verfahren kommen, betrachten wir die FTCS-Diskretisierungder in der Zeit parabolischen PDG (analog zu (4.57) markiert n die Zeitstufe)

∂u

∂t=

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2, (5.16)

−→ u(n+1)i,j − u

(n)i,j

∆t=

u(n)i−1,j − 2u

(n)i,j + u

(n)i+1,j

(∆x)2+

u(n)i,j−1 − 2u

(n)i,j + u

(n)i,j+1

(∆y)2, (5.17)

fur die man mit β = 1 und d = ∆t(∆x)2

= 14 die folgende Darstellung erhalt:

u(n+1)i,j = u

(n)i,j +

14

[u

(n)i+1,j + u

(n)i−1,j − 4u

(n)1,j + u

(n)i,j+1 + u

(n)i,j−1

]

u(n+1)i,j =

14

[u

(n)i+1,j + u

(n)i−1,j + u

(n)i,j+1 + u

(n)i,j−1

]. (5.18)


Die Analogie zwischen der iterativen Losung von stationaren und instationaren elliptischen Proble-men wird hier offenkundig. Obwohl die beiden Gleichungen (5.15) und (5.18) zwei vollig verschie-dene physikalische Phanomene beschreiben, fuhren sie fur den Sonderfall β = 1, d = 1/4 auf dieselbe Losungsvorschrift. Den Jacobischen Iterationsprozeß zur Losung der Laplacegleichung startetman mit einer beliebigen Anfangsverteilung u(0). Die Zwischenlosung der nicht auskonvergiertenVerteilungen u(k) (siehe Abbildung 43) haben keine physikalische Bedeutung. Bei der Losung desinstationaren Problems (5.16) ist die Anfangsverteilung u(0) dagegen durch die dazugehorigen An-fangsbedingungen festgelegt. Im Falle stationarer Randbedingungen streben die Werte u

(n)i,j gegen

einen stationaren Wert, der mit der auskonvergierten Losung des Jacobischen Iterationsprozessesubereinstimmt.

5.2.2 Punkt-Gauß-Seidel-Verfahren

Im Gegensatz zur Jacobischen Methode werden beim Punkt-Gauß-Seidel-Verfahren (PGS) wahrendder Abarbeitung einer Iterationsstufe alle neu ermittelten Elemente (k+1) des Unbekanntenvektorsbenutzt, um die weiteren Elemente zu bestimmen:

u(k+1)l =

(rl −

l−1∑

m=1

alm u(k+1)m −

n∑

m=l+1

alm u(k)m

)1all

. (5.19)

Diese Vorgehensweise wird auch als Einzelschrittverfahren bezeichnet. Aufgrund der Verwen-dung von neuen Werten konvergiert das PGS-Verfahren schneller als das Jacobische Verfahren. Dazudem nur ein Unbekanntenvektor gespeichert werden muß, der dann sukzessive aktualisiert wird,ist auch der Speicherplatzbedarf geringer.Betrachten wir wiederum die Auflosung von (5.9): Angenommen, der (k + 1)-te Iterationszyklushabe bereits die ersten (j−1) Reihen abgearbeitet und befinde sich nun in der j-ten Reihe, um denWert der Unbekannten u

(k+1)i,j zu bestimmen. Das Losungsverfahren kann nun auf die im aktuellen

Zyklus bereits errechneten ruckwartigen Werte u(k+1)i,j−1 sowie u

(k+1)i−1,j zuruckgreifen, und lautet somit

u(k+1)i,j =

12(1 + β2)

[u

(k)i+1,j + u

(k+1)i−1,j + β2(u(k)

i,j+1 + u(k+1)i,j−1 )

]. (5.20)

k

kk+1

k+1

k+1

i,j i+1,j

i,j+1

i,j-1

i-1,j

Abbildung 41: Gitterpunkte der Gleichung (5.20)


5.2.3 Konvergenzbedingung

Jacobische Methode und PGS tasten die Gitterpunkte systematisch in den aufeinanderfolgendenReihen von links nach rechts ab. Damit solche Verfahren zu einer korrekten Losung fuhren alsokonvergieren, mussen jedoch die Hauptdiagonalenelemente der Koeffizentenmatrix dominieren, sodaß das sog. Zeilensummenkriterium erfullt ist:

N∑

m=1, m 6=l

|alm| ≤ |all| (5.21)

Außerdem muß fur mindestens eine Zeile gelten:N∑

m=1, m 6=l

|alm| < |all| (5.22)

5.2.4 Linien-Gauß-Seidel Verfahren

Hierbei wird die Beziehung (5.9) nach allen Punkten einer Gitterlinie aufgelost, so daß wir alternativzu (5.9)

u(k+1)i−1,j − 2(1 + β2)u(k+1)

i,j + u(k+1)i+1,j = −β2(u(k)

i,j+1 + u(k+1)i,j−1 ) (5.23)

formulieren konnen. Zur Schließung mussen samtliche Beziehungen (5.23) einer Linie zu einemtridiagonalen System zusammengefaßt und gelost werden . Die Abarbeitung der Linien erfolgt z.B.wie in Abbildung 42 dargestellt, von unten nach oben.

x x x x x

aktuelle zu berechnende Gitterlinie

xRandbedingungen

bekannte Werte d. k-ten Iterationszyklus

bekannte Werte d. (k+1)-ten Iterationszyklus

unbekannte Werte der zu berechnenden Gitterlinie,welche auf ein tridiagonales Gleichungssystemführen

Abbildung 42: Veranschaulichung des Gauß-Seidel-Linienverfahrens

Das Verfahren konvergiert ungefahr um einen Faktor 0.5 schneller als das entsprechende Punktver-fahren. Es benotigt jedoch eine hohere Rechenzeit fur jeden Iterationsschritt. Bemerkenswert istdie der impliziten Formulierung von parabolischen DGL ahnliche Eigenschaft, Randbedingungenunmittelbar mit den Losungen aller Punkte der dazugehorigen Gitterlinien zu verknupfen (sieheauch Kapitel 4).


5.2.5 Sukzessive Relaxationsverfahren

Diese Verfahren werden durch Iterationsprozesse motiviert, bei denen sich eine stetige (monotone)Entwicklung der berechneten Werte einstellt. In solchen Fallen ist man versucht, der Korrektur derLosung zwischen zwei Iterationsschritten

∆u(k) = u(k+1) − u(k)

einen großeren Einfluß zuzumessen, um so den Iterationsprozeß zu beschleunigen (Abbildung 43unten). Aber auch der umgekehrte Ansatz, den Einfluß der Korrektur ∆u(k) bei der Bestimmungder nachstfolgenden Losung zu dampfen, ist denkbar, etwa wenn der Iterationsprozeß zu starkenSchwingungen neigt (Abbildung 43 oben). Eine sehr simple verallgemeinerte Rechenvorschrift erhaltman, in dem die Korrektur der k-ten Losung mit einem konstanten Relaxationsfaktor 2 < ω < 0multipliziert und zur ruckwartigen Losung u(k) addiert wird.

Anzahl der Iterationen

Ui,j

stationaereLoesung

Anzahl der Iterationen

Ui,j

stationaereLoesung

instationaerer Anlauf

Abbildung 43: Unterschiedlicher Verlauf der Iteration bzw. der zeitlichen Losung

u(k+1) = ωu(k+1) + (1− ω)u(k) . (5.24)

Konkret ergibt sich anstelle von (5.20) die sukzessive Relaxationsvorschrift fur das Punkt-Gauß-Seidel-Verfahren

u(k+1)i,j =

ω

2(1 + β2)

[u

(k)i+1,j + u

(k+1)i−1,j + β2(u(k)

i,j+1 + u(k+1)i,j−1 )

]+ (1− ω)u(k)

i,j . (5.25)

bzw. anstelle von (5.23) die entsprechende Formulierung der Linienmethode

−2(1 + β2)u(k+1)i,j + ω

[u

(k+1)i−1,j + u

(k+1)i+1,j

]= −ωβ2

[u

(k)i,j+1 + u

(k+1)i,j−1

]− (1− ω)[2(1 + β2)]u(k)

i,j . (5.26)

In Abhangigkeit vom Relaxationsfaktor ω spricht man von

• Uberrelaxation falls 1 < ω < 2,

• Unterrelaxation falls 0 < ω < 1.

Der Fall ω = 1 fuhrt wieder auf die Beziehungen (5.20) bzw. (5.23).Die Schwierigkeit bei der Anwendung sukzessiver Relaxationsverfahren besteht in der Vorhersageoptimaler Relaxationsfaktoren. Gewohnlich sind zur Bestimmung von ω numerische Experimentenotwendig, lediglich in Ausnahmefallen findet man Empfehlungen zur Wahl des optimalen Fak-tors. Ein solcher Fall liegt bei der Losung einer Laplace-DGL in einem rechteckigen Gebiet mit


Dirichletschen Randbedingungen vor. Diskretisiert man das Problem auf ein Gitter mit konstantenSchrittweiten, so gilt

ωopt =2− 2

√1− α

α, (5.27)

α =

cos

(π

IM−1

)+ β2 cos

(π

JM−1

)

1 + β2

2

. (5.28)

5.2.6 Die implizite Methode der alternierenden Richtungen

Eine weitere Verbesserungsmoglichkeit liegt in der Methode der alternierenden Richtungen, nachseiner englischen Bezeichnung (alternating direction implicit method) auch hierzulande ADI-Metho-de genannt. Dieses Verfahren eignet sich sowohl zur Losung instationarer (vergleiche Kapitel 4.7.1)als auch zur iterativen Losung elliptischer Gleichungen. Im Falle der iterativen Losung des ellipti-schen Problems (5.9) alterniert die Iteration zwischen Seidelschen Linienschritten in x-Richtung unddaran anschließenden Schritten in y-Richtung (sog. sweeps). Beginnt man den Zyklus beispielsweisemit der Losung aller Linien y = konstant, so hat man zunachst das tridiagonale System

u(k+1/2)i−1,j − 2(1 + β2)u(k+1/2)

i,j + u(k+1/2)i+1,j = −β2

(u

(k)i,j+1 + u

(k+1/2)i,j−1

), (5.29)

und hierauf das analoge System fur alle Linien x = const.

β2u(k+1)i,j−1 − 2(1 + β2)u(k+1)

i,j + β2u(k+1)i,j+1 = −u

(k+1/2)i,j+1 − u

(k+1)i−1,j (5.30)

zu losen. Wie wir bereits festgestellt haben, handelt es sich bei den beiden letztgenannten Glei-chungen um implizite Formeln, da sie mehr als eine Unbekannte enthalten, jedoch fur alle Punkteeiner Linie als System, in unserem Beispiel als tridiagonales System, geschlossen zu losen sind.Ein Iterationszyklus ist beendet, sobald jede Linie x = konst. und jede Linie y = konst. erfaßtwurde.

Randbedingungx zuletzt berechnete Werte

Werte der zurückliegenden Iterationaktuelle Werte k+1

k+1/2

k

i-1 i i+1

x sweep

y sweep

j

j+1

j-1 x x x x

x

x

x

x

Abbildung 44: Illustration der Beziehungen (5.29) und (5.30).

Im Vergleich zu dem einfachen Linien-Gauß-Seidel Verfahren kann die Konvergenz mit Hilfe derADI Methode in vielen Fallen verbessert werden, da die implizite Behandlung und damit ein schnel-ler Informationstransport in beiden Richtungen gewahrleistet ist. Andert sich bei Anwendung einesLinien-Gauß-Seidel Verfahren, das immer in Schleifen von unten nach oben durchlaufen wird, die


Randbedingung am oberen Rand, so kann sich die Storung in jedem Iterationsschritt nur um eineGitterlinie nach unten ausbreiten. Der Informationsfluß und damit die Konvergenz ist deshalb lang-sam. Beim ADI-Verfahren ware im gleichen Fall durch den y-sweep immer ein impliziter Halbschrittin vertikaler Richtung vorhanden, und das Verfahren konvergiert damit schneller.

Der Iterationsprozeß laßt sich moglicherweise beschleunigen, wenn man gemaß den oben stehendenAusfuhrungen einen Relaxationsfaktor ω einfuhrt. Die Systeme (5.29) und (5.30) lauten dann

ωu(k+1/2)i−1,j − 2(1 + β2)u(k+1/2)

i,j + ωu(k+1/2)i+1,j = −(1− ω)

[2(1 + β2)

]u

(k)i,j − ωβ2

(u

(k)i,j+1 + u

(k+1/2)i,j−1

),

(5.31)

ωβ2u(k+1)i,j−1 − 2(1 + β2)u(k+1)

i,j + ωβ2u(k+1)i,j+1 = −(1− ω)

[2(1 + β2)

]u

(k+1/2)i,j+1 − ω

(u

(k+1)i+1,j + u

(k+1)i−1,j

).

(5.32)

5.2.7 Konvergenzkriterium

In der Regel bricht man den Iterationsprozeß zur Bestimmung der Losung des Systems A u = r

ab, wenn jede Komponente der Naherungslosung u(k) von der entsprechenden Komponente derexakten Losung u um weniger als eine vorgegebene Toleranz δ abweicht. Da u jedoch nicht bekanntist, verfahrt man in der Praxis so, daß man die Iterationen beendet, wenn der Restvektor, das sog.Residuum R, kleiner als eine vorgegebene Toleranz ist.

R = r −A u(k) . (5.33)

Dabei kann man entweder den Betrag des Residuenvektors betrachten

‖ R ‖=‖ r −A u(k) ‖ < ε (5.34)

oder die maximale Komponentemax (|Ri|) < ε. (5.35)

Die vom Benutzer gewahlte Schranke ε bestimmt dann die Genauigkeit der Losung.

5.2.8 Bemerkungen zum Konditionsproblem

Die Konditionszahl der Systemmatrix A ist fur die direkten Losungsverfahren bei gegebener Stel-lenzahl des verwendeten Rechners maßgebend fur die Genauigkeit der berechneten Losungen, dahierdurch der Verlust an sicheren Stellen bestimmt ist (siehe Einleitung des Kapitels 5). Fur dieiterativen Verfahren ist die Konditionszahl entscheidend fur das Konvergenzverhalten, indem einegroße Konditionszahl schlechtes Konvergenzverhalten nach sich zieht.Wie in Abschnitt 5.2.7 beschrieben, bricht man den Iterationsprozeß zur Bestimmung der Losungdes Systems A u = r ab, wenn das Residuum R bzw. eine seiner Komponenten eine vorgegebeneSchranke unterschreitet:

R = r −A u(k)

A−1R = A−1r − u(k) = u− u(k) = e(k) . (5.36)

Fur schlecht konditionierte Matrizen(∣∣‖ A ‖ · ‖ A−1 ‖∣∣ >> 1

)kann e(k) noch recht große Kompo-

nenten haben. Dies trifft beispielsweise fur ‘nahezu’ singulare Matrizen A zu, fur die det(A) gegenNull geht, weswegen die Elemente der inversen von A zu großen Werten tendieren.

5.3 Die Methode der konjugierten Gradienten 79

Grundsatzlich empfiehlt sich eine Uberprufung der Kondition der Systemmatrix A, gegebenenfallssollte man dann den Aufwand zur ‘Vorkonditionierung’ nicht scheuen. Dabei kommt es vor allemauf die geschickte Wahl einer symmetrischen positiv definiten Matrix C an, welche sich als Produkteiner regularen Matrix H mit ihrer Transponierten darstellt:

C = H ·HT .

Mit Hilfe der Matrix H wird das zu losende Gleichungssystem Au = r in die aquivalente Form

H−1 ·A ·H−T

︸︷︷︸A∗

·HT · u︸︷︷︸u∗

= H−1 · r︸︷︷︸r∗

bzw.A∗ · u∗ = r∗

gebracht. Die Matrix H sollte so beschaffen sein, daß die Konditionszahl κ(A∗) kleiner als κ(A) ist.Die Ahnlichkeitstransformation von A∗

H−T ·A∗ ·HT = H−T ·H−1 ·A ·H−T ·HT = C−1 ·Azeigt, daß fur ein optimales C = A die Matrix A∗ ahnlich zur Einheitsmatrix ist und folglich dieKonditionszahl Eins ware.Detaillierte Anleitungen zur Konditionsverbesserung gehen uber den augenblicklich moglichen Um-fang dieser Unterlagen hinaus. Wir verweisen hierzu auf die entsprechende Fachliteratur aus demBereich der numerischen Mathematik. Fur symmetrische Matrizen A = L + E + R findet manbeispielsweise den Vorschlag

H = E + βL → HT = E + βR

mit einem noch geeignet zu wahlenden Parameter β.Vorkonditionierung (engl. pre-conditioning) ist wie bereits erwahnt vor allem bei schlecht kondi-tionierten Matrizen erforderlich. Dies tritt in der praktischen Stromungsmechanik beispielsweisedann auf, wenn die Navier-Stokes-Gleichungen mit einem Verfahren betrachtet werden, das dieKontinuitatsgleichung zur Berechnung der Dichte verwendet:

% aus∂%

∂t=

∂%uj

∂xj. (5.37)

Bei kleinen Mach-Zahlen, werden die hieraus resultierenden Gleichungen wegen der nahezu konstan-ten Dichte singular. Durch Vorkonditionierung lassen sich jedoch auch fur sehr kleine Mach-Zahlennoch Losungen erzielen.

5.3 Die Methode der konjugierten Gradienten

Die Idee dieses Verfahrens ist, daß die Losung des symmetrisch definierten Systems

A u + r = 0 (5.38)

zugleich das Funktional

F (u) =12uT Au + rT u (5.39)

wegen

grad F (u) =12(A + AT )u + r = A u + r (5.40)


minimiert. Man versucht also anstelle der sonst ublichen ‘gezielten’ Losung von (5.38) das Mini-mum des quadratischen Funktionals F zu finden. Im Laufe des Verfahrens der konjugierten Gra-dienten wird dieses Minimum iterativ bestimmt, wobei man zur schrittweisen Verbesserung deraktuellen Losung u(k) den Gradienten von F verwendet.Bekanntlich weist der Gradient einer Funktion immer in Richtung der lokal starksten Zunahmedes Funktionswertes. Weil das Funktional zu minimieren ist, zeigt die Auswertung der Beziehung(5.40) fur u(k) daher den denkbar ungunstigsten Weg zur Verbesserung der aktuellen Losung an. Esist deshalb sehr naheliegend, die dem Gradienten entgegengesetzte Richtung zur Festlegung einersogenannten Relaxationsrichtung zu verwenden. In dieser unternimmt man dann eine noch zuermittelnde Anzahl ω von Einheitsschritten zur Verbesserung der aktuellen Losung.Zu Beginn der Iteration bestimmt man aus einer beliebigen Startlosung u(0) eine erste, bessereNaherung u(1) gemaß

u(1) = u(0) − ω(1) grad F (u(0))︸︷︷︸−v(1)=r(0)

(5.41)

mit v(i+k) = Verbesserungsvektor k → (k + 1)R(i) = Residuenvektor von (5.38) .

Die Schrittweite ergibt sich ebenfalls aus der Losung einer Extremalaufgabe. Sie paßt die Beziehung(5.41) an die Minimumbedingung fur F an:

F (u(1)) = F (u(0) + ωv(1)) = Min

→ 12ω2v(1)T

Av(1) − ωv(1)T

v(1) + F (u) = Min .

Differenziert man diesen Ausdruck nach ω, so erhalt man aus der fur extreme F notwendigenBedingung ∂F/∂ω = 0 die Relation

ω(1) =v(1)T

v(1)

v(1)TAv(1)

=R(o)TR(o)

v(1)TAv(1)

, (5.42)

bzw. allg.: ω(k) =R(k−1)TR(k−1)

v(k)TAv(k)

. (5.43)

Die nun folgenden Iterationsschritte unterscheiden sich ein wenig von dem ersten Schritt. Hierzubetrachte man die folgenden Beziehungen

R(k−1) + ωAv(k)(= A u(k−1) + ωAv(k) + r) = R(k)

analog

R(k) + ωAv(k+1)(= Au(k) + ωA v(k+1) + r = A u(k+1) + r) = R(k+1)

−→ R(k−1) + ωAv(k) + ωAv(k+1) = R(k+1) . (5.44)

Aus der letzten Gleichung laßt sich R(k+1) bereits ohne die Kenntnis von v(k+1) analysieren. Vonentscheidender Bedeutung ist dabei der zweite Summand Av(k), der den Anteil der zuletzt gewahl-ten Relaxationsrichtung an dem ”zukunftigen” Residuum (= Rest) beziffert. Nun ist es sinnlos,einen Anteil des Residuums nochmals zu erzeugen, indem man v(k+1) ahnlich v(k) wahlt. Falls derAnteil der k-ten Verbesserung am Gradienten von F (u(k)) von Null verschieden ist, sollte man

5.3 Die Methode der konjugierten Gradienten 81

diese Information dahingehend nutzen, die Losung in der zu diesem Anteil senkrechten Richtungzu verbessern. Wir fordern also

v(k+1) ⊥ A v(k) −→ v(k+1)A v(k) = 0 , (5.45)

worunter die Mathematiker die Konjugiertheit von v(k) und v(k+1) verstehen.Naturlich verwendet man zur Bestimmung der Verbesserung (Relaxationsrichtung) v(k) auch daszuletzt berechnete Residuum R(k−1), die Konjugiertheit von v(k) und v(k−1) stellt lediglich eine zuerfullende Nebenbedingung fur den Ansatz

v(k) = R(k−1) + t(k−1)v(k−1) (k ≥ 2) | ·A v(k−1) (5.46)

mit

v(k)Av(k−1) = 0

−→ R(k−1)A v(k−1) + t(k−1)v(k−1)T Av(k−1) = 0 ,

also

t(k−1) =R(k−1)T

Av(k−1)

v(k−1)T A v(k−1)(5.47)

dar.Die Schrittweite ω(k) ergibt sich wieder aus (5.42). Der Algorithmus vereinfacht sich, wenn man(5.44)

ω(k−1)Av(k−1) = R(k−1) −R(k−2)

sowieR(k) ⊥ R(k−1)

R(k) ⊥ v(k)

∣∣∣∣∣∣Beweis durch vollstandige Induktion

beachtet. Hieraus erhalten wir

R(k−1)TA v(k−1) =

1ω(k−1)

[R(k−1)TR(k−1)]

v(k−1)TA v(k−1) =

1ω(k−1)

[v(k−1)TR(k−2)]

=1

ω(k−1)[(−R(k−2) + t(k−2)v(k−2))TR(k−2)]

=1

ω(k−1)[R(k−2)TR(k−2)] (→ 5.43)

und schließlich fur alle k ≥ 2 den allgemeinen Relaxationsschritt

- t(k−1) =R(k−1)TR(k−1)

R(k−2)TR(k−2)

v(k) = −R(k−1) + t(k−1)v(k−1)

ω(k) =R(k−1)TR(k−1)

v(k)T A v(k)

u(k) = u(k−1) + ω(k)v(k)

R(k) = R(k−1) + ω(k)A v(k) .


Abschließend wollen wir noch die Beschrankung auf symmetrische, definite Koeffizientenmatrizenaufgeben. Zumindest fur die Losung stromungsmechanischer Probleme ist die Erweiterung aufnichtsymmetrische Probleme geboten, weil die finite Approximation von Konvektionstermen stetsunsymmetrische Beitrage zur Systemmatrix liefert.Die einfachste Idee, ein Problem mit unsymmetrischer, nicht positiv definiter Koeffizientenmatrixmit Hilfe des CG-Verfahrens zu losen, ist, anstelle des ursprunglichen Problems

A u = r | Aij 6= Aji

ein mit AT erweitertes Problem

AT A u = AT r → B u = r

zu losen. Das Produkt AT A = B ist fur jede nicht singulare reelle Matrix A

1. quadratisch,2. positiv definit.

Hieraus ergibt sich eine zweite Anwendungsmoglichkeit dieses Gedankenspiels, namlich seine Ver-wendung auf uberbestimmte Probleme wie sie z.B. bei der Wirbelstarke-Geschwindigkeitsformu-lierung der Navier-Stokes Gleichung auftreten:

A(n×m)u(m) = r(n) ; m < n .

Die Erweiterung mit AT fuhrt dann auf ein quadratisches Gleichungssystem zur Bestimmung der munbekannten Komponenten von u. Das Ergebnis ist ein Unbekanntenvektor, der das ursprunglicheProblem nicht exakt lost. Die Verteilung des Fehlers auf die einzelnen Komponenten verlauft jedochso ausgeglichen, daß der quadratische Fehler |RTR| minimal wird.Die faktische Quadrierung der Koeffizientenmatrix ist jedoch extrem rechenintensiv, weswegen mandie Koeffizienten von B in der Praxis nicht vorab explizit berechnet, sondern die Erweiterung desursprunglichen Problems direkt in die CG-Prozedur einarbeitet (CG-Ausgleichsverfahren):

Aijuj + ri = 0 |AT

AilAijuj + Ailri = 0Bljuj + rl = 0 .

Main wahlt eine Startlosung u(0)j , bestimmt den Residuenvektor des unsymmetrischen Systems

s(0)i = ri + Aiju

(0)j ,

sowie eine Verbesserung

R(0)l = −v

(1)l = Ails

(0)i

= riAil + AilAiju(0)j

und steigt damit in die zweite Position der Prozedur ein.

5.4 Methode der Fourierreihen 83

- t(k−1) =R(k−1)TR(k−1)

R(k−2)TR(k−2)

v(k) = −R(k−1) + t(k−1)v(k−1)

ω(k) =R(k−1)TR(k−1)

q(k)T q(k)(= Ailv

(k)l Aijv

(k)j = vk

l AijAijv(k)j = v

(k)l Bljv

(k)j )

u(k) = u(k−1) + ω(k)v(k)

s(k) = s(k−1) + ω(k)v(k)

R(k) = As(k)(= Ails(k−1) + Aijω

(k)v(k)i

= Aijri + AijAilu(k−1)l︸︷︷︸ +Aijω

(k)v(k)i

= R(k−1)j + Aijω

(k)v(k)i

k = k + 1

5.4 Methode der Fourierreihen

Zur effizienten Losung der bei der Approximation zweidimensionaler elliptischer Probleme typi-scherweise auftretenden pentadiagonalen Gleichungssysteme (vgl. Gleichung (5.13)) kann alternativdie direkte Methode der Fourierreihen verwendet werden. Sie ist mathematisch mit einer Eigenwert-Eigenvektor-Transformation vergleichbar. Eine verstandliche Herleitung des Verfahrens ist von LeBail [21] angegeben. Das Prinzip der Methode der Fourierreihen wird im folgenden am Beispiel desnumerischen Losungswegs der Poisson-Gleichung

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= r(x, y) (5.48)

mit Dirichlet-Randbedingungen fur ein rechteckiges Gebiet verdeutlicht.

.

.

.

.

1

j=0IM11i=0 IM

JM

JM1

Pi,j ∆y

∆x

. . .

Die zentrale Differenzenapproximation der Poisson-Gleichung fuhrt fur jeden Punkt Pi,j auf die


bekannte 5-Punkte-Differenzenformel:

ui−1,j + ui+1,j +∆x2

∆y2(ui,j−1 + ui,j+1)− (2 + 2

∆x2

∆y2)ui,j = ∆x2ri,j . (5.49)

Die Randbedingungen seien durch die entsprechenden Werte u0,j , uIM,j , ui,0 sowie ui,JM gegeben.Da die Methode der Fourier-Reihen (Sinus-Reihen) als Randwerte immer den Wert Null benotigt,bestimmen wir nun eine neue Unbekannte u∗i,j mit u∗i,j = ui,j fur i = 1, · · · , IM1 und u∗i,j = 0 furi = 0 und i = IM . Es gilt fur alle Zeilen j = 1, · · · , JM1:

u∗i−1,j + u∗i+1,j +∆x2

∆y2(u∗i,j−1 + u∗i,j+1)− (2 + 2

∆x2

∆y2)u∗i,j = ∆x2ri,j , i = 2, · · · , IM2

u∗0,j + u∗2,j +∆x2

∆y2(u∗1,j−1 + u∗1,j+1)− (2 + 2

∆x2

∆y2)u∗1,j = ∆x2r1,j − u0,j

u∗IM2,j + u∗IM,j +∆x2

∆y2(u∗IM1,j−1 + u∗IM1,j+1)− (2 + 2

∆x2

∆y2)u∗IM1,j = ∆x2rIM1,j − uIM,j .

Im folgenden wird u anstatt u∗ geschrieben.Die allgemeine Form von Differenzengleichungen, die sich mit Hilfe der Fourierreihenmethode be-handeln lassen lautet:

A(ui−1,j + ui+1,j) + Bjui,j−1 + Cjui,j+1 + Djui,j = Γi,j , (5.50)

fur i = 1, · · · , IM1, j = 1, · · · , JM1mit A = const., Bj = B(yj), Cj = C(yj), Dj = D(yj); u0,j = uIM1,j = 0 ,

und ist fur konstantes j eindeutig darstellbar durch die Fourier-Sinus-Reihe (Fourier-Synthese):

ui,j =IM1∑

k=1

φk,j sinπik

IMi = 1, · · · , IM1, j = 1, · · · , JM1

(5.51)

Γi,j =IM1∑

k=1

Ωk,j sinπik

IMi = 1, · · · , IM1, j = 1, · · · , JM1 .

Die erste Reihe beschreibt eine periodische Funktion mit den Randwerten u0,i = uIM,j = 0. DieFourier-Koeffizienten einer Sinus-Reihe sind nachfolgend angegeben (Fourier-Analyse):

φk =2l

∫ l

0u(x) sin

πkx

ldx fur k = 1, 2, · · · ,∞ . (5.52)

Bei endlicher Anzahl von Funktionswerten u(x) = ui,j fur konstantes j fuhrt die Trapezregel auf:

φk,j =2

IM

IM1∑

i=1

ui,j sinπik

IMfur k = 1, · · · , IM1, j = 1, · · · , JM1

(5.53)

Ωk,j =2

IM

IM1∑

i=1

Γi,j sinπik

IMfur k = 1, · · · , IM1, j = 1, · · · , JM1 .

5.4 Methode der Fourierreihen 85

Fur j = 0 und JM ist φk,j mit bekannten Funktionswerten ui,j nun bekannt.Setzt man die Fourier-Sinus-Reihe fur ui,j und Γi,j in die Differenzengleichung ein

A

[IM1∑

k=1

φk,j sinπ(i− 1)k

IM+

IM1∑

k=1

φk,j sinπ(i + 1)k

IM

]+ Bj

IM1∑

k=1

φk,j−1 sinπik

IM

+Cj

IM1∑

k=1

φk,j+1 sinπik

IM+ Dj

IM1∑

k=1

φk,j sinπik

IM=

IM1∑

k=1

Ωk,j sinπik

IM,

so kann die eckige Klammer mit der trigonometrischen Summenformel

sinα + sinβ = 2 cosα− β

2sin

α + β

2

umgeschrieben werden:

A

[IM1∑

k=1

φk,j sinπ(i− 1)k

IM+

IM1∑

k=1

φk,j sinπ(i + 1)k

IM

]=

IM1∑

k=1

Aφk,j2 cosπk

IMsin

πik

IM.

Klammern wir in der Gleichung den Term sin πikIM aus, folgt:

IM1∑

k=1

[Aφk,j2 cos

πk

IM+ Bjφk,j−1 + Cjφk,j+1 + Djφk,j − Ωk,j

]sin

πik

IM= 0 . (5.54)

Dieser Ausdruck ist identisch mit dem linearen System eindimensionaler Differenzengleichungen iny-Richtung zur Bestimmung der Fourier-Koeffizienten φk,j fur jeweils konstantes k:

Bjφk,j−1 +[2A cos

πk

IM+ Dj

]

︸︷︷︸A∗j

φk,j + Cjφk,j+1 = Ωk,j ; k = 1, · · · , IM1; j = 1, · · · , JM1

A∗1 C1

B2 A∗2 C2

. . . . . . . . .

Bj A∗j Cj

. . . . . . . . .

BJM2 A∗JM2 CJM2

BJM1 A∗JM1

φk,1

φk,2

· · ·φk,j

· · ·φk,JM2

φk,JM1

=

Ωk,1 −B1φk,0

Ωk,2

· · ·Ωk,j

· · ·Ωk,JM2

Ωk,JM1 − CJM1φk,JM

Es sind hier nun IM1 tridiagonale Gleichungssysteme mit jeweils JM1 Unbekannten zu losen. DieWerte der gesuchten Funktion ui,j an den Gitterpunkten werden dann durch Fourier-Synthese ge-liefert.

Die Methode der Fourier-Reihen setzt sich demnach fur zweidimensionale Probleme aus drei Schrit-ten zusammen:


1. Fourier-Analyse in x-Richtung.Die Nicht-Nullrandbedingung in x-Richtung muß vorher im Γ1,j , ΓIM1,j

eingearbeitet werden. Γi,j −→ Ωk,j

2. Losung IM1 tridiagonaler Gleichungssystememit jeweils JM1 Unbekannten in y-Richtung. Ωk,j −→ φk,j

3. Fourier-Synthese in x-Richtung. φk,j −→ ui,j

Der Vorteil der Methode besteht darin, daß das pentadiagonale Gleichungssystem (5.50) auf ein-dimensionale tridiagonale Systeme zuruckgefuhrt werden kann, die rekursiv mit geringem Rechen-aufwand losbar sind. Dieser Vorgang wird auch als Faltung bezeichnet. Eine wesentliche Ein-schrankung des Verfahrens beruht auf dem Koeffizienten A = konst in Gleichung (5.50). DerEinfluß des rechten und linken Nachbarn muß hier jeweils gleich sein.Bei der elementaren Durchfuhrung der Transformation (5.53) fur die rechte Seite der Differenzen-gleichung (Fourier-Analyse) und Gleichung (5.51) zur Bestimmung der Losung (Fourier-Synthese)werden fur jede der j Zeilen M2 Multiplikationen und ebensoviele Additionen benotigt. Die fur dieBrauchbarkeit des Verfahrens wesentliche Verbesserung war, daß sich die Anzahl der Operationendurch einen Algorithmus, der unter dem Namen Fast Fourier Transforms (FFT) bekannt wur-de, entscheidend verringern laßt. FFT benotigt etwa 0.721 × IM × ln(IM) Multiplikationen furkonstantes j und ist durchfuhrbar fur alle IM = 2n, n ∈ N .

5.5 Mehrgitterverfahren

Es ist seit langem bekannt, daß bestimmte iterative Verfahren (zum Beispiel das oben besprocheneGauß-Seidel-Verfahren) bei elliptischen Randwertaufgaben eine ”fehlerglattende” Wirkung haben.Wir benutzen fur solche Verfahren im folgenden den im Mehrgitterkontext gebrauchlichen AusdruckRelaxationsverfahren.Das Gauß-Seidel-Verfahren vermag z.B. die hochfrequenten Schwingungen bei der Losung der La-placegleichung mit jedem Iterationsschritt um einen Faktor 0.5 zu reduzieren. Langwellige Schwin-gungen werden dagegen, was wir in diesem Abschnitt zeigen wollen, um einen Faktor 1−O(h2) redu-ziert – bei kleinem h also extrem langsam. Anhand von Abbildung 45 verdeutlicht sich die ”glatten-de” Wirkung dieser Verfahren. Bereits nach wenigen Iterationen besteht der Fehler hauptsachlichaus niederfrequenten Anteilen. Man hat also insgesamt keine gute Fehlerverkleinerung – und daherlangsame Konvergenz – aber sehr gute Fehlerglattung (Abbildung 46). Das Konvergenzverhalteniterativer Gleichungsloser muß daher genaugenommen in Abhangigkeit von der Fehlerfrequenz be-urteilt werden.Auf einem groben numerischen Gitter ”GH” der Maschenweite H kann eine finite Differenzenap-proximation mit sehr viel weniger Rechenaufwand gelost werden, als auf einem feinen, knoten-punktarmeren Gitter ”Gh” der Maschenweite h. Allerdings ergibt sich auf dem groben H-Gitterim allgemeinen auch eine geringere Genauigkeit. Die Approximation einer h-diskretisierten Auf-gabe durch eine H-diskretisierte ist daher mit einem deutlichen Informationsverlust verbunden.Hochfrequente Komponenten der Fourierreihenentwicklung vermag das grobe Gitter nicht mehraufzulosen. Die niederfrequenten Komponenten lassen sich dagegen auf dem H-Gitter gut erfassen.Hat man durch die vorangegangene Relaxation auf einem feinen Gitter Gh eine Fehlerglattungerreicht, dann setzt sich der Fehler auf diesem Gitter im wesentlichen aus niederfrequenten Antei-len zusammen. Die Approximation des h-diskretisierten Problems durch ein H-diskretisiertes istsomit nun ohne wesentlichen Informationsverlust moglich. Im einfachsten Falle handelt sich um einiteratives Verfahren, das auf einer Sequenz von mehreren Gittern ablauft. Auf jedem Gitter wird

5.5 Mehrgitterverfahren 87

0 20 40 60 80 100Anzahl der Iterationen

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Feh

ler

α=6πα=3πα=π

Abbildung 45: Residuenverlauf in Abhangigkeit der Iterationsanzahl

relaxiert, um die dort hochfrequenten Fehlerkomponenten zu verkleinern. Die Verbindung zwischenden verschiedenen Gittern wird durch ”Interpolations-” und ”Restriktionsoperatoren” hergestellt.

Die voranstehenden Aussagen uber die glattende Wirkung eines Relaxationsverfahren wollen wirin einem kurzen Beispiel herleiten. Betrachtet wird dazu die PDG

a∂2u

∂x2+ b

∂2u

∂y2= f(x, y), (a, b > 0)

welche wir auf einem quadratischen Gitter der Maschenabmessung (h×h) durch zentrale Differen-zenquotienten (3.12) diskretisieren wollen.

aui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

h2+ b

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j+1

h2= fi,j (5.55)

Verwenden wir zur Glattung das Punkt-Gauß-Seidel-Verfahren, so ergibt sich fur den k-ten Rela-xationsschritt:

auk−1

i+1,j − 2uki,j + uk

i−1,j

h2+ b

uk−1i,j+1 − 2uk

i,j + uki,j−1

h2= fi,j (5.56)

Subtrahiert man (5.56) von (5.55) dann erhalt man

a[ek−1i+1,j − 2ek

i,j + eki−1,j

]+ b

[ek−1i,j+1 − 2ek

i,j + eki,j−1

]= 0, (5.57)

wobei mit eki,j der lokale Fehler zwischen der jeweiligen Naherung uk

i,j und der diskreten Losungui,j gemeint ist. Wir definieren die Relation der Fehlerverstarkung

G :=|ek||ek−1| =

|u− uk||u− uk−1| ,


−1

0

Feh

ler

Ausgangsverteilung5 Iterationen10 Iterationen

x

Abbildung 46: Raumlicher Residuenverlauf beim Gauß–Seidel–Verfahren, Ausgangsverteilung sowie Ver-teilung nach 5 und 10 Iterationen

analog zu den in Kapitel 4 gemachten Aussagen, und erhalten aus der lokalen Entwicklung desFehlers in einer diskreten Fourierreihe fur randferne Gitterpunkte (mit J2 = −1)

ekr,s =

∑Ak

neJ(nπ rh

l1+nπ sh

l2)

mit

(α) = (α1, α2); l1 = hN ; l2 = hM

α1 = nπh

l1α2 = nπ

h

l2

|α| = max(|α1|, |α2|) ≤ π

ekr,s =

∑Ak

neJ(rα1n+sα2n) (5.58)

Fuhrt man (5.58) in (5.57) ein, so erhalt man nur ein Summenglied

aAk−1eJ [α1(i+1)+α2j] − 2aAkeJ [α1i+α2j]

+aAkeJ [α1(i−1)+α2j] + bAk−1eJ [α1i+α2(j+1)]

−2bAkeJ [α1i+α2j] + bAkeJ [α1i+α2(j−1)] = 0 (5.59)

bzw.


0 = Ak−1[aeJ [α1(i+1)+α2j] + beJ [α1i+α2(j+1)]

]

+Ak[aeJ [α1(i−1)+α2j] − 2aeJ [α1i+α2j]

+beJ [α1i+α2(j−1)] − 2beJ [α1i+α2j]]. (5.60)

Kurzt man nun noch den Ausdruck eJ [α1i+α2j], dann erhalt man fur den Fehlervergroßerungsfaktor

G =∣∣∣∣

Ak

Ak−1

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

aeJα1 + beJα2

2a + 2b− ae−Jα1 − be−Jα2

∣∣∣∣ . (5.61)

Unter Verwendung der Eulerbeziehung eJα = cosα + Jsinα laßt sich G besser abschatzen:

G =∣∣∣∣

a[cosα1 + Jsinα1] + b[cosα2 + Jsinα2]a[2− cosα1 + Jsinα1] + b[2− cosα2 + Jsinα2]

∣∣∣∣ . (5.62)

Man beachte, daß fur (α) = (α1, α2) → (0, 0), G gegen 1 strebt, in diesem Falle also keine Konver-genz mehr vorliegt. Die erste nicht triviale Kombination α1, α2 6= 0 liegt fur n = 1 vor. Beschrankenwir uns der Einfachheit halber auf ein Integrationsgebiet vom Durchmesser O(1), dann sind α1 bzw.α2 im ersten nicht trivialen Fall von gleicher Großenordnung.

α1 = α2 = O(h); n = 1; l1 = l2 = O(1) .

Fur gewohnlich ist die Schrittweite (des feinsten Gitters) h wesentlich kleiner als eins, so daß wirdie Reihenentwicklung der trigonometrischen Glieder in (5.62) fruhzeitig abbrechen konnen. Zudemunterdrucken wir im Sinne einer Großenordnungsabschatzung die Nennerfakultaten:

G ≈∣∣∣∣(a + b)[1 + ih + h4 − h2 − ih3](a + b)[1 + ih + h2 − h4 − ih3

∣∣∣∣

=∣∣∣∣1−

2(h2 − h4)1 + ih + h2 − h4 − ih3

∣∣∣∣ . (5.63)

Schatzt man den verbliebenen Nenner gegen eins ab, so ergibt sich tatsachlich fur den niederfre-quenten Fehler die auf einem feinen Gitter außerst ungunstige Glattungsrate

G ≈ 1−O(h2).

Im folgenden werden solche Schwingungskomponenten als ”hochfrequent” auf einem Gitter derSchrittweite h bezeichnet, wenn ihnen ein Wert π/2 ≤ (α) ≤ π zugeordnet ist. Dies sind geradediejenigen Frequenzen, welche auf den nachstgroberen Gitter der Schrittweite H = 2h nicht mehrapproximiert werden konnen und demzufolge auf Gh geglattet werden mussen.

Mehrgitterprinzip

Betrachten wir eine beliebige Gleichung, fortan bezeichnet mit

L(φ) = f . (5.64)


nach Relaxation

hochfrequente Fehlerkomponentevor Relaxation

nach Relaxation

schwachfrequente Fehlerkomponentevor Relaxation

(starke Amplitudenverkleinerung) (geringe Amplitudenverkleinerung)

Abbildung 47: Fehlerglattung durch Relaxation

Dabei stellt L einen Operator dar, der alle funktionalen Zusammenhange der Unbekannten φ re-prasentiert und f die von φ unabhangige rechte Seite der Gleichung. Eine finite Approximation derGleichung fur samtliche diskretisierten Punkte fuhrt zu einem Gleichungssystem

L(φ) = f , (5.65)

das normalerweise iterativ gelost wird. Bei einer linearen Gleichung ist L von φ unabhangig. Manerhalt nach einigen Iterationszyklen eine Naherungslosung φ, fur die die Gleichung bis auf einResiduum R erfullt ist:

L(φ) = f + R (5.66)

Zur Verbesserung der Losung muß φ um eine Korrektur δφ erganzt werden, mit der die Gleichungexakt erfullt wird:

L(φ + δφ) = f . (5.67)

Die Bestimmungsgleichung fur die Korrektur δφ erhalt man durch Subtraktion dieser beiden Glei-chungen:

L(φ + δφ) = L(φ)−R , (5.68)

wobei sich die Bestimmungsgleichung fur δφ vereinfacht, wenn L ein linearer Operator ist:

L(δφ) = −R . (5.69)

Das Grundelement eines Mehrgitterverfahrens ist das sogenannte Zweigitterbeschleunigungsverfah-ren. Dabei wird nach einigen Feingitteriterationen die Korrektur δφ auf einem Grobgitter, dessenMaschenweite gegenuber dem Feingitter verdoppelt wird, bestimmt. Der niederfrequente Fehleran-teil kann dadurch schneller reduziert werden. Danach erfolgen einige Nachiterationen auf dem Fein-gitter.


Zweigitterbeschleunigungsverfahren

Der Berechnungsalgorithmus bei der Zweigitterbeschleunigung setzt sich wie folgt zusammen:

1) VorrelaxationAuf dem Feingitter, gekennzeichnet mit dem hochgestellten Index h, wird eine Naherungslo-sung φ berechnet, die die Gleichung bis auf ein Residuum R erfullt:

Lh(φh) = fh + Rh (5.70)

2) Bestimmung der Grobgitterkorrektur (zwei verschiedene Verfahren)

2a) Full Approximation Scheme (FAS) fur nichtlineare GleichungenBeim FAS werden die Naherungslosung und das Residuum des Feingitters auf das Grob-gitter (H) restringiert. In der folgenden Gleichung bezeichnet [IH

h ] den Restriktionsope-rator fur die Gittervariablen, [IH

h ] bezeichnet den Restriktionsoperator fur das Residuum.

φH = [IH

h ]φh, R

H = [IHh ]Rh (5.71)

Auf dem Grobgitter wird die Grobgitterlosung φH

der Gleichung mit:

LH(φH

) = LH(φH)−RH (5.72)

berechnet, wobei φH die Startwerte auf dem Grobgitter sind.

Aus der Grobgitterlosung wird die Grobgitterkorrektur berechnet:

δφH = φH − φ

H (5.73)

2b) Correction Scheme (CS) fur lineare GleichungenWenn L ein linearer Operator ist, wird nur das Residuum vom feinen Gitter auf dasGrobgitter restringiert. Die Grobgitterkorrektur kann dann direkt berechnet werden:

LH(δφH) = −RH (5.74)

3) ProlongationDie Grobgitterkorrektur wird auf das Feingitter prolongiert und dort zu der Nahungslosungφ addiert. Hier bezeichnet [Ih

H ] den Prolongationsoperator vom Grob– auf das Feingitter. DieKorrektur der Feingitterlosung wird wie folgt bestimmt:

δφh = [IhH ]δφH , φ

h= φ

h + δφh , (5.75)

4) NachrelaxationDie so korrigierte Losung fur das Feingitter erfullt in der Regel die Gleichung noch nicht,da durch die Prolongation neue Fehler eingefuhrt werden. Das Residuum ist allerdings hoch-frequent und kann daher leicht durch einige zusatzliche Iterationszyklen auf dem Feingitterreduziert werden.


Mehrgitterverfahren mit V– und W–Zyklus

Da die Grobgitterkorrektur normalerweise ebenfalls iterativ bestimmt werden muß, wird das obenbeschriebene Zweigitterbeschleunigungsverfahren rekursiv angewendet, d.h. die Losung auf demGrobgitter kann berechnet werden, indem zunachst eine Naherungslosung bestimmt und diese nachdem gleichen Verfahren mit der Korrektur eines noch groberen Gitters verbessert wird. Wenn aufjeder Gitterstufe das Zweigitterverfahren nur einmal angewendet wird, erzeugt es einen sogenanntenV–Zyklus. Bei zweimaliger rekursiver Anwendung des Zweigitterverfahrens wird das entstandeneMehrgitterverfahren W–Zyklus genannt. In Abbildung 48 wird das Zweigitterbeschleunigungsver-fahren und das Mehrgitterverfahren mit V– und W– Zyklus fur 3-stufige Gitter schematisch dar-gestellt.

h

H

1

2

3

Gitterebene

Grobgitterkorrektur

-malige Vorrelaxationen

-malige Nachrelaxationen

grob

fein

Gitterebene

W-ZyklusV-Zyklus

Zweigitterbeschleunigungsverfahren

ν 1ν

0ν

1ν

1ν

0 νν

1ν

0

1ν

νν2

ν

2

2

ν2

ν

2

2

1ν1

ν

ν2 ν2

Abbildung 48: Mehrgitterverfahren mit V– und W– Zyklus

Der Pfeil symbolisiert den Ubergang vom Fein– zum Grobgitter und beinhaltet die Berechnungder Residuen auf dem Feingitter Rh, die Restriktionen und die Berechnung der rechten Seite derGrobgittergleichung fH . Das Symbol verkorpert den Ubergang vom Grob– zum Feingitter inklu-sive der Berechnung der Korrektur auf dem Grobgitter, ihre Prolongation und die Losungskorrekturauf dem Feingitter. Solche Zyklen werden hintereinander durchgefuhrt, bis das Residuum auf demfeinsten Gitter eine vorgegebene Grenze unterschreitet.

Full multigrid (FMG) Algorithmus

Bei den bislang besprochenen Mehrgitter (MG) -Zyklen war die Wahl der Startlosung φ0 beliebig(schlecht). Die FMG-Methode benutzt eine die Verfahrenseffizienz steigernde Strategie beschleu-nigter Anfangsgenauigkeiten. Das Verfahren startet auf dem grobsten Gitter einen umgekehrten V-Zyklus mit einer immer noch beliebigen Startlosung. Nachdem die Losung auf dem grobsten Gittervorliegt, extrapoliert man sie zu einer Startlosung des nachst feineren Gitters. Mit Beendigung derGlattungsoperationen auf diesem Gitter wechselt man nochmals auf das grobste Gitter. Der erste


Zyklus umfaßt somit nur zwei verschieden große Gitter und daher nur jeweils einen Restriktions-und einen Interpolationsschritt. Der nachste, hieran anschließende umgekehrte V-Zyklus startetmit der so ermittelten ”verbesserten Startlosung”, beinhaltet jedoch ein weiteres verfeinertes Git-ter. Will man Frequenzanteile eines Fehlers mit einer Sequenz von m verschiedenen feinen Gitternauflosen, so hat man (m − 1) V-Zyklen ineinander zu legen, weshalb man auch von ”geschachtel-ter Iteration” spricht (siehe Abb. 49). Diese Strategie wird haufig nicht bis zum Iterationsabbruchfortgefuhrt, sondern nur zu Beginn einer Iteration angewandt.

Abbildung 49: Geschachtelte Iteration zum Prozedurstart

Abbildung 50: Full Multigrid -Algorithmus

Abschließend sei bemerkt, daß sich die richtige Wahl der auf den einzelnen Gitterebenen durch-zufuhrende Glattungsoperationen bei der Berechnung von instationaren Problemen außerst schwie-rig gestaltet. Eine fur einen bestimmten Zeitschritt gefundene optimale Abstimmung kann furandere Zeitschritte vollig ineffizient sein. Ahnliche Probleme treten auch bei der potentialtheo-retischen Berechnung von transsonischen Profilumstromungen auf, wo die einer bestimmten An-stromgeschwindigkeit angepaßte Konfiguration im Falle geringfugiger Machzahlvarianten oftmalsnicht mehr zu konvergieren vermag. Die veranderte Stoßlage bewirkt in diesem Falle anstelle derKorrektur des Geschwindigkeitsfeldes eine großere Veranderung der Variablenwerte auf dem grobenGitter, wodurch sich das Konvergenzverhalten erheblich verschlechtert.

94 Numerische Gittergenerierung


Die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen verlangt eine Diskretisierung des ur-sprunglich kontinuierlich gestellten Problems. Dies geschieht beispielsweise durch finite Differen-zenformeln. Ublicherweise stutzen sich finite Approximationsverfahren auf die Knotenpunkte einesdurch Parameterlinienscharen gebildeten Rechengitters. Die Gestalt des Rechengitters ist von ent-scheidender Bedeutung fur die Effizienz eines Losungsverfahrens und die erreichbare Genauigkeitder Losung. Wichtige Kriterien sind das Auflosungsvermogen der im Integrationsgebiet auftreten-den Gradienten physikalischer Großen durch das Rechengitter.Als Folge der stetig wachsenden Verfugbarkeit von Computerkapazitaten, die es ermoglichten, kom-plexe physikalische Vorgange, wie z.B. Stromungen mit chemischen Reaktionen, auf der Grundlagekontinuumstheoretischer Bilanzgleichungen (Euler–, Navier–Stokes–Gleichungen, usw.) zu erfassen,erlangte die automatische Erzeugung von Rechengittern in den letzten Jahren eine immer wichtigereBedeutung. In diesem Kapitel sollen Kriterien und Techniken aufgezeigt werden, die es ermoglichen,weitestgehend ohne manuelles Eingreifen moglichst optimale Gitter in komplexen 3D–Geometrienim Sinne einer genauen Approximation der Physik zu erzeugen.

6.1 Koordinatentransformation

Betrachtet man anhand von Abbildung 51 samtliche Großen bezogen auf ein kartesisches Bezugs-system, so wird deutlich, daß die Vorgabe der Randwerte fur die abhangigen Variablen und derenerste Ableitungen außerst schwierig ist. Eine beliebige Korperkontur kann vom kartesischen Gitternur im Rahmen einer Stufenapproximation wiedergegeben werden. Fur das in Abbildung 51 skiz-zierte Beispiel der Umstromung eines Fahrzeugs liegen sehr wenige Kontrollpunkte des kartesischenGitters auf der Korperkontur, die die naturlichen Randbedingungen des Problems (z.B. u, v = 0)beherbergt. Zur Anpassung der Losung an die Randbedingungen bedarf es daher aufwendiger Inter-polationen, die zudem stets Ungenauigkeiten mit sich fuhren. Daneben stellt sich die Frage, welcheWerte man den abhangigen Variablen an den im Inneren des Korpers gelegenen Knotenpunktenzuweist.

Abbildung 51: Stufenformige Approximation einer Korperkontur (Fahrzeug)

Wir ziehen daraus die Schlußfolgerung, daß ein auf den Parameterlinien x = const und y =const des kartesischen Bezugssystems basierendes Gitter zur Beschreibung der Umstromung ei-nes beliebigen Korpers ungeeignet ist. Demgegenuber schmiegt sich das in Abbildung 52 skizziertekorperangepaßte Gitter an den Verdrangungskorper an und ist augenscheinlich besser zur Dis-kretisierung der Stromungsdifferentialgleichung geeignet. Die Basis des korperangepaßten Gitters

6.1 Koordinatentransformation 95

bezieht sich auf die Parameter ξ und η wobei die Korperkontur per Definition mit einer Parameterli-nie η = const zusammenfallen soll. Hierdurch wird ein stromlinienahnlicher Verlauf der Scharlinienη erzwungen. Die (ξ, η) Parameterlinien verlaufen im kartesischen Bezugssystem krummlinig, wes-halb man vereinfacht auch von ”krummlinigen Koordinaten” spricht. Die Scharlinien x = constbzw. y = const verlaufen im (ξ, η) Bezugssystem (Rechengebiet) jedoch nicht weniger krummlinig,wohingegen das korperangepaßte Gitter im Rechengebiet einen geradlinigen Verlauf nimmt.

Abbildung 52: Korperangepaßtes Gitter fur eine Profilumstromung

In dem korperangepaßten Koordinatensystem sind die Punkte einer bestimmten Gitterlinie naturli-che Randpunkte des Problems. Eine gute Auflosung der Randbedingungen durch das diskrete Sys-tem ist somit gewahrleistet. Fur die numerische Losung des Differentialgleichungssystems auf demkorperangepaßten Rechengitter wird die Verwendung von an kartesische Koordinaten orientierterDifferenzenquotienten sehr aufwendig. Es ist daher angebracht, das ganze Problem nicht im ur-sprunglichen System (sog. ”physical domain”), sondern in einem korperangepaßten Rechengebiet(”computational domain”) zu betrachten. Dazu muß man die das Problem beschreibenden Diffe-rentialgleichungen in Abhangigkeit der neuen unabhangigen Veranderlichen ξ und η formulieren. Imfolgenden sollen deshalb die Transformationsbeziehungen zwischen den beiden Sets unabhangigerVariablen hergeleitet werden.

Der Einfachheit halber betrachten wir hier nur instationare Prozesse in den unabhangigen kartesi-schen Veranderlichen x, y und t. Die Erweiterung auf raumlich dreidimensionale Probleme bereitetlogisch keinerlei Schwierigkeiten. Es fallen lediglich Terme an, deren Vielzahl und Kompliziert-heit haufig die Verwendung formelreduzierender Programme verlangt. Will man (x, y, t) in einenanderen Variablenraum transformieren, dessen explizite Parameterdarstellung

ξ = ξ(x, y, t)η = η(x, y, t) (6.1)τ = τ(t)

lautet, so hat man lediglich die Kettenregel zu beachten:(

∂

∂x

)

y,t

=(

∂

∂ξ

)

η,τ

(∂ξ

∂x

)

y,t

+(

∂

∂η

)

ξ,τ

(∂η

∂x

)

y,t

+(

∂

∂τ

)

ξ,η

(∂τ

∂x

)

y,t

(6.2)


Die Indizes der obigen Beziehung bezeichnen die bei der partiellen Ableitung festgehaltenen Varia-blen, werden jedoch im folgenden wieder fallengelassen. Zusammengefaßt erhalt man :

(∂

∂x

)=

(∂

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)+

(∂

∂η

) (∂η

∂x

)

(∂

∂y

)=

(∂

∂ξ

)(∂ξ

∂y

)+

(∂

∂η

)(∂η

∂y

)(6.3)

(∂

∂t

)=

(∂

∂ξ

)(∂ξ

∂t

)+

(∂

∂η

) (∂η

∂t

)

Die Gleichungen (6.3) geben an, welche Gestalt eventuell auftretende partielle Ableitungen durchdie Transformation erhalten. Die dabei auftretenden Richtungsableitungen der neuen unabhangigenVeranderlichen (ξ, η, τ) nach den ursprunglichen Variablen (x, y, t) wollen wir Metrikkomponentennennen. Man bestimmt sie aus den Parameterdarstellungen (6.1). Sollten die Parameterdarstel-lungen geschlossene analytische Ausdrucke sein, dann lassen sich die Metrikkomponenten ebenfallsgeschlossen angeben. Andernfalls sind die Metrikkomponenten numerisch z.B. durch zentrale Dif-ferenzenformeln zu bestimmen. Analog erhalt man die zweiten partiellen Ableitungen

(∂2

∂x2

)=

(∂

∂x

)(∂

∂x

)=

(∂

∂x

)[(∂

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)+

(∂

∂η

)(∂η

∂x

)]

=(

∂

∂ξ

)(∂ξ2

∂x2

)+

(∂ξ

∂x

)(∂2

∂x∂ξ

)+

(∂

∂η

)(∂η2

∂x2

)+

(∂η

∂x

)(∂2

∂η∂x

)(6.4)

Fur die in (6.4) auftretenden gemischten Differentiationen notiert man unter erneuter Verwendungvon (6.3)

(∂2

∂x∂ξ

)=

(∂

∂x

)(∂

∂ξ

)=

(∂2

∂ξ2

)(∂ξ

∂x

)+

(∂2

∂η∂ξ

)(∂η

∂x

)(6.5)

(∂2

∂x∂η

)=

(∂

∂x

)(∂

∂η

)=

(∂2

∂η∂ξ

)(∂ξ

∂x

)+

(∂2

∂η2

)(∂η

∂x

)(6.6)

und erhalt schließlich(

∂2

∂x2

)=

(∂

∂ξ

) (∂ξ2

∂x2

)+

(∂

∂η

)(∂η2

∂x2

)+

(∂2

∂ξ2

)(∂ξ

∂x

)2

+(

∂2

∂η2

)(∂η

∂x

)2

+

2(

∂2

∂η∂ξ

)(∂η

∂x

)(∂ξ

∂x

). (6.7)

Die Transformation der zweiten partiellen Ableitung nach y ergibt(

∂2

∂y2

)=

(∂

∂y

)(∂

∂y

)=

(∂

∂y

)[(∂

∂ξ

)(∂ξ

∂y

)+

(∂

∂η

)(∂η

∂y

)]

=(

∂

∂ξ

)(∂ξ2

∂y2

)+

(∂ξ

∂y

)(∂2

∂y∂ξ

)+

(∂

∂η

)(∂η2

∂y2

)+

(∂η

∂y

)(∂2

∂η∂y

), (6.8)

bzw. mit(

∂2

∂y∂η

)=

(∂

∂y

)(∂

∂η

)=

(∂2

∂η∂ξ

) (∂ξ

∂y

)+

(∂2

∂η2

)(∂η

∂y

), (6.9)

(∂2

∂y∂ξ

)=

(∂

∂y

)(∂

∂ξ

)=

(∂2

∂ξ2

)(∂ξ

∂y

)+

(∂2

∂η∂ξ

)(∂η

∂y

), (6.10)


schließlich(

∂2

∂y2

)=

(∂

∂ξ

)(∂ξ2

∂y2

)+

(∂

∂η

)(∂η2

∂y2

)+

(∂2

∂ξ2

)(∂ξ

∂y

)2

+(

∂2

∂η2

)(∂η

∂y

)2

+

2(

∂2

∂η∂ξ

)(∂ξ

∂y

)(∂η

∂y

). (6.11)

Zum Schluß soll noch die gemischte partielle Ableitung(

∂2

∂x∂y

)transformiert werden.

(∂2

∂x∂y

)=

(∂

∂x

)(∂

∂y

)=

(∂

∂x

)[(∂

∂ξ

) (∂ξ

∂y

)+

(∂

∂η

)(∂η

∂y

)]

=(

∂

∂ξ

)(∂ξ2

∂x∂y

)+

(∂ξ

∂y

)(∂2

∂ξ∂x

)+

(∂

∂η

)(∂η2

∂x∂y

)+

(∂η

∂y

) (∂2

∂η∂x

)(6.12)

Fuhrt man hierin (6.5) bzw. (6.6) ein, dann ergibt sich(

∂2

∂x∂y

)=

(∂

∂ξ

) (∂ξ2

∂x∂y

)+

(∂

∂η

)(∂η2

∂x∂y

)+

(∂2

∂ξ2

) (∂ξ

∂x

)(∂ξ

∂y

)+

(∂2

∂η2

)(∂η

∂x

)(∂η

∂y

)+

(∂2

∂η∂ξ

)[(∂η

∂x

)(∂ξ

∂y

)+

(∂ξ

∂x

)(∂η

∂y

)](6.13)

Unangenehmerweise erhoht sich der Rechenaufwand durch die Transformation. Die transformierteLaplace Gleichung ∆Φ = 0 beispielsweise lautet im ξ − η System

∆Φ =(

∂Φ2

∂ξ2

)(∂ξ

∂x

)2

+ 2(

∂Φ2

∂ξ∂η

)(∂η

∂x

)(∂ξ

∂x

)+

(∂Φ2

∂η2

)(∂η

∂x

)2

+(

∂Φ∂ξ

) (∂ξ2

∂x2

)

+(

∂Φ∂η

)(∂η2

∂x2

)+

(∂Φ2

∂ξ2

)(∂ξ

∂y

)2

+ 2(

∂Φ2

∂η∂ξ

) (∂η

∂y

)(∂ξ

∂y

)+

(∂Φ2

∂η2

)(∂η

∂y

)2

+(

∂Φ∂ξ

)(∂ξ2

∂y2

)+

(∂Φ∂η

)(∂η2

∂y2

)= 0. (6.14)

Die Umformung von (6.14) ergibt

(∂Φ2

∂ξ2

) [(∂ξ

∂x

)2

+(

∂ξ

∂y

)2]

+(

∂Φ2

∂η2

) [(∂η

∂x

)2

+(

∂η

∂y

)2]

+

2(

∂Φ2

∂ξ∂η

)[(∂η

∂x

)(∂ξ

∂x

)+

(∂η

∂y

)(∂ξ

∂y

)]+

(∂Φ∂ξ

)[(∂ξ2

∂x2

)+

(∂ξ2

∂y2

)]+

(∂Φ∂η

)[(∂η2

∂x2

)+

(∂η2

∂y2

)]= 0. (6.15)

Die o.a. Beziehungen unterstutzen die korperorientierte Diskretisierung eines ursprunglich in kar-tesischen Koordinaten formulierten Differentialgleichungsproblems. Gleichung (6.1) bildet in einemersten Schritt die bezuglich der kartesischen Basis krummlinig verlaufenden Parameternetzlinienauf ein rechtwinkliges Rechengitter (mit einheitlichen Schrittweiten) in der ξ − η Ebene ab. Diedarauf folgenden Gleichungen dienen zur Ubertragung der das Problem beschreibenden Differenti-algleichungen in das neue Bezugssystem. Die transformierten Differentialgleichungen konnen nunbeispielsweise durch finite Differenzen in der ξ−η Ebene diskretisiert werden. Danach bestimmt mandie Werte der abhangigen Variablen an allen Gitterpunkten in der transformierten Ebene. Hierzu


benutzt man einen geeigneten Losungsalgorithmus, in dem lediglich noch die im ξ− η System sehrnaturlich gegebenen Randbedingungen zu berucksichtigen sind. Das Ergebnis der Berechnung istdann durch inverse Uberlegungen in das Ausgangssystem ubertragbar. Die nun folgenden Abschnit-te beschaftigen sich mit einzelnen Abbildungsstrategien der Form (6.1). Zunachst wollen wir jedochkurz auf die inverse Formulierung der Parameterdarstellung eingehen, die fur die Eindeutigkeit derZuordnung zwischen ”physical” und ”computational domain” von Bedeutung ist.

6.1.1 Metrikkomponenten und Jakobideterminante

Bei der Transformation der partiellen Ableitung traten im vorangegangenen Abschnitt Faktorender Art ξx, ξy, ηy usw. auf, die wir Metrikkomponenten der Transformation (x, y) → (ξ, η) nannten.Ihre geometrische Deutung ist naheliegend, sofern man naherungsweise

ξx =(

∂ξ

∂x

)=

∆ξ

∆x

setzt. Offensichtlich handelt es sich bei den Metrikkomponenten um eine vergleichende Große, diedie Bogenlange einander zugeordneter Abschnitte in Relation setzt.Tatsachlich laßt sich z.B. die Große eines Flachenelements des Rechengebiets dA = (dξ · dη) durchdie Metrikkomponenten mit derjenigen des dazugehorigen Elements dx× dy im Integrationsgebietvergleichen. Von

dx =

∂ξ∂x

∂η∂x

dx, dy =

∂ξ∂y

∂η∂y

dy (6.16)

folgt

dx× dy =

∣∣∣∣∣∣ξx ξy

ηx ηy

∣∣∣∣∣∣dx dy

→ dA = (ξxηy − ηxξy) dA (6.17)

oder aber fur den Fall der inversen Abbildung

dA = (xξyη − xηyξ) dξ dη︸︷︷︸dA

Haufig findet man anstelle der Parameterdarstellung (6.1) die inverse Abbildungsvorschrift (x, y) ←(ξ, η)

x = x(ξ, η) ,

y = y(ξ, η) , (6.18)t = t(τ) ,

deren unabhangige Variablen ξ, η, τ lauten. Betrachtet man z.B. die x-Komponente eines ebenenGeschwindigkeitsfeldes, so erhalt man wegen

u = u(x, y, t) = u[x(ξ, η), y(ξ, η), t(τ)]


xη

xξ

yη

yξ

ηy

ηx

yξ dA

~

xξ

y

xxξ

ξ

η

η

y

dA

Abbildung 53: Veranschaulichung der Metrikkomponenten a) (ξ, η) → (x, y) Transformation, b) (x, y) →(ξ, η) Transformation

mit Hilfe des totalen Differentials

du =(

∂u

∂x

)dx +

(∂u

∂y

)dy +

(∂u

∂t

)dt

⇒(

∂u

∂ξ

)=

(∂u

∂x

)(∂x

∂ξ

)+

(∂u

∂y

)(∂y

∂ξ

)

(∂u

∂η

)=

(∂u

∂x

)(∂x

∂η

)+

(∂u

∂y

)(∂y

∂η

). (6.19)

Die Gleichungen (6.19) stellen ein gekoppeltes System von zwei Gleichungen fur die beiden unbe-kannten partiellen Ableitungen ∂u/∂x und ∂u/∂y dar. Die Auflosung dieses Systems unter Ver-wendung der Cramer’schen Regel ergibt:

(∂u

∂x

)=

∣∣∣∣∣∣

∂u∂ξ

∂y∂ξ

∂u∂η

∂y∂η

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

∣∣∣∣∣∣

;(

∂u

∂y

)=

∣∣∣∣∣∣

∂x∂ξ

∂u∂ξ

∂x∂η

∂u∂η

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

∣∣∣∣∣∣

(6.20)

Die Nennerdeterminante der Beziehung (6.20) nennt man Determinante der Jakobimatrix

J =

∣∣∣∣∣∣xξ yξ

xη yη

∣∣∣∣∣∣(6.21)

mitdetJ = J =

∂(x, y)∂(ξ, η)

= (xξyη − yξxη) , (6.22)

so daß wir alternativ zu (6.20) auch

∂u

∂x=

1J

[(∂u

∂ξ

)(∂y

∂η

)−

(∂u

∂η

)(∂y

∂ξ

)],

∂u

∂y=

1J

[(∂u

∂η

)(∂x

∂ξ

)−

(∂u

∂ξ

)(∂x

∂η

)](6.23)


verwenden konnen. Die Ausdrucke (6.23) geben Aufschluß uber den Wert der partiellen Ableitungennach den freien Parametern des kartesischen Systems in Abhangigkeit der partiellen Ableitungenin der transformierten Ebene und inverser Metrikkomponenten xξ, xη, yξ etc. Der Fall J = 0 ent-zieht sich unserer Kenntnis. Es handelt sich dabei um eine nicht eindeutig umkehrbare Abbildung(x, y) → (ξ, η), fur die keine Rucktransformation der Ergebnisse ins Ursprungssystem moglich ist.Schließt man derartig pathologische Falle einmal aus, so laßt sich leicht zeigen, auf welche Weiseman die Metrikkomponenten aus einer gegebenen inversen Abbildung gewinnt.Die Abbildungen

dξ

dη

=

ξx ξy

ηx ηy

dx

dy

dx

dy

=

xξ xη

yξ yη

dξ

dη

sind offensichtlich zueinander invers, woraus ξx ξy

ηx ηy

=

xξ xη

yξ yη

−1

zu schließen ist. Die Invertierung einer 2×2 Matrix ist durch das einfache Schema A−1 = 1detA(adjA)

beschrieben, weshalb man

ξx =1J

yη ,

ξy = − 1J

xη ,

ηx = − 1J

yξ ,

ηy =1J

xξ , (6.24)

findet.Die Bogenlange ds eines differentiellen Linienelementes ds = (dx; dy) der Ausgangskonfigurationwird durch die Beziehung

(ds)2 = dx2 + dy2

bzw. mit x = x(ξ, η) sowie y = y(ξ, η)

ds2 =(

∂x

∂ξdξ +

∂x

∂ηdη

)2

+(

∂y

∂ξdξ +

∂y

∂ηdη

)2

= (x2ξ + y2

ξ )︸︷︷︸g11

dξ2 + 2 (xξxη + yξyη)︸︷︷︸g12

dξdη + (x2η + y2

η)︸︷︷︸g22

dη2

ds2 = g11dξ2 + 2g12dξdη + g22dη2 (6.25)

beschrieben. Die darin auftretenden Metrikkoeffizienten

g11 = (x2ξ + y2

ξ ) = rξ · rξ ,

g12 = (xξxη + yξyη) = rξ · rη ,

g22 = (x2η + y2

η) = rη · rη (6.26)


nennt man auch die drei Gauß’schen Fundamentalgroßen erster Ordnung. Diese lassen sich zu einerMatrix G zusammenfugen

G =

g11 g12

g12 g22

, (6.27)

deren Determinante durchdetG = J2 (6.28)

festgelegt ist.

dξ

xξ

dξ

dη

xη

dη

yη

yξ

dξ

dη

y

x

ξds

η

Abbildung 54: Darstellung eines differentiellen Linienelements

Metrikterme wie Gauß’sche Fundamentalgroßen dienen insbesondere zur Beschreibung der Gestaltdes korperangepaßten Gitters in kartesischen Bezugssystem. Als erstes wollen wir in diesem Zu-sammenhang herausfinden, welcher Bedingung die Metrik im Falle orthogonaler Scharlinien (ξ, η)genugen muß. Der ortliche Verlauf einer Parameterlinie im (x− y) System wird durch den kartesi-schen Gradienten vektorwertig beschrieben. Die Orthogonalitatsrelation lautet somit

∇ξ · ∇η = |∇ξ| |∇η| cosϕξ,η = 0 ,

ξxηx + ξyηy =[(ξ2

x + ξ2y)(η2

x + η2y)

]1/2cosϕξ,η = 0 .

(6.29)

Unter Berucksichtigung von (6.24) erhalten wir eine aquivalente Formulierung auf der Basis inverserMetrikkomponenten,

(xηxξ + yηyξ) = − [(x2

η + y2η)(x

2ξ + y2

ξ )]1/2

cosϕξ,η = 0 , (6.30)

aus der man die (lokale) Orthogonalitatsbedingung (cosϕξ,η = 0)

g12 = 0 , (6.31)

gewinnt. Haufig wunscht man sich einen glatten Verlauf der Parameterlinien im kartesischen Sy-stem. Die Parameterwerte durfen sich dann beim Fortschreiten in x bzw. y -Richtung nur geringfugigandern. Ein geeigneter skalarer Richtwert ist durch die zu minimierende Beziehung (6.32) gegeben

(∇ξ)2 + (∇η)2 (6.32)

→ ξ2x + ξ2

y + η2x + η2

y = min . (6.33)


Die Verwendung inverser Metrikkomponenten fuhrt alternativ zu (6.33) auf

1J2

(x2ξ + y2

ξ + x2η + y2

η) = min (6.34)

bzw.1J2

(g11 + g22) = min . (6.35)

Einheitliche Maschen- (bzw. Volumenzellen-) weiten enthalt man aus√

detG = J = konst . (6.36)

Hierdurch wird eine gleichmaßige Genauigkeit im Feld gewahrleistet.

6.2 Derivativa des Rechengebiets

Die im vergangenen Abschnitt diskutierten Zusammenhange zwischen den Metrikkomponentenzweier, zueinander inverser Abbildungsvorschriften ermoglichen die Darstellung der kartesischenAbleitungen im Rechengebiet als alleinige Funktion der inversen Abbildung (x, y) → (ξ, η).Fur die ersten kartesischen Ableitungen wiederholen wir zunachst von (6.3)

∂f

∂x= fx = ξxfξ + ηxfη (6.37)

∂f

∂y= fy = ξyfξ + ηyfη .

Verwendet man anstelle der darin auftretenden Richtungsableitungen der neuen unabhangigenVeranderlichen (ξ, η) nach den ursprunglichen Parametern (x, y) inverse Metrikkomponenten, soergibt sich von (6.24)

fx = J−1[yηfξ − yξfη] (6.38)fy = J−1[xξfη − xηfξ] .

Die Formulierung der zweiten kartesischen Ableitungen geschieht analog, z.B. fur

∂2f

∂x2=

∂

∂x(fx) =

(ξx

∂

∂ξ+ ηx

∂

∂η

)(ξxfξ + ηxfη)

= ξx∂

∂ξ(ξxfξ + ηxfη) + ηx

∂

∂η(ξxfξ + ηxfη)

= ξ2xfξξ + ξx(ξx)ξfξ + ξxηxfηξ + ξx(ηx)ξfη

+ηxξxfξη + ηx(ξx)ηfξ + η2xfηη + ηx(ηx)ηfη . (6.39)

In einem ersten Schritt ersetzt man wiederum samtliche Metrikkomponenten durch die aquivalentenAusdrucke auf der Basis inverser Metrikterme und erhalt

∂2f

∂x2= J−2[y2

ηfξξ + 2yξyηfξη − y2ξfηη]

+J−1yη[fξ(ξx)ξ − fη(ηx)ξ]−J−1yξ[fξ(ξx)η − fη(ηx)η] . (6.40)

6.2 Derivativa des Rechengebiets 103

Analog bestimmen sich die beiden anderen zweiten kartesischen Ableitungen zu

∂2f

∂x∂y= J−2[fηξ(xηyξ + xξyη)− fξξxηyη − fηηxξyξ]

−J−1xη[fξ(ξx)ξ + fη(ηx)ξ]+J−1xξ[fξ(ξx)η + fη(ηx)η] . (6.41)

∂2f

∂y2= J−2[fξξx

2η − 2xξxηfξη + fηηx

2ξ ]

−J−1xη[fξ(ξy)ξ + fη(ηy)ξ]+J−1xξ[fξ(ξy)η + fη(ηy)η] . (6.42)

In diesen Ausdrucken treten zusatzlich noch Ableitungen der Metrikkomponenten auf. In Kenntnisder Funktionaldeterminante ergeben sich die Beziehungen

(ξx)ξ = (J−1yη)ξ =∂

∂ξ

[yη

xξyη − xηyξ

]

= J−2 [yξη(xξyη − xηyξ)− yη(yηxξξ + xξyξη − xηyξξ − yξxξη)]

(ηx)ξ = (−J−1yξ)ξ =∂

∂ξ

[ −yξ

xξyη − xηyξ

]

= −J−2 [yξξ(xξyη − xηyξ)− yξ(yηxξξ + xξyξη − xηyξξ − yξxξη)]

(ξx)η = (J−1yη)η =∂

∂η

[yη

xξyη − xηyξ

]

= J−2 [yηη(xξyη − xηyξ)− yη(xξyηη + yηxξη − yξxηη − xηyξη)]

(ηx)η = (−J−1yξ)η =∂

∂η

[ −yξ

xξyη − xηyξ

]

= −J−2 [yξη(xξyη − xηyξ)− yξ(xξyηη + yηxξη − yξxηη − xηyξη)]


(ξy)ξ = (−J−1xη)ξ =∂

∂ξ

[ −xη

xξyη − xηyξ

]

= −J−2 [xξη(xξyη − xηyξ)− xη(yηxξξ + xξyξη − yξxξη − xηyξξ)]

(ηy)ξ = (J−1xξ)ξ =∂

∂ξ

[xξ

xξyη − xηyξ

]

= J−2 [xξξ(xξyη − xηyξ)− xξ(yηxξξ + xξyξη − yξxξη − xηyξξ)]

(ξy)η = (−J−1xη)η =∂

∂η

[ −xη

xξyη − xηyξ

]

= −J−2 [xηη(xξyη − xηyξ)− xη(yηxξη + xξyηη − yξxηη − xηyξη)]

(ηy)η = (J−1xξ)η =∂

∂η

[xξ

xξyη − xηyξ

]

= J−2 [xξη(xξyη − xηyξ)− xξ(yηxξη + xξyηη − yξxηη − xηyξη)] . (6.43)

Aus den so gewonnenen Ausdrucken

∂2f

∂x2= J−2[y2

ηfξξ − 2yξyηfξη + y2ξfηη]

+J−3[(fξxη − fηxξ)(y2ηyξξ − 2yηyξyξη + y2

ξyηη)]

+J−3[(fηyξ − fξyη)(y2ηxξξ − 2yηyξxξη + y2

ξxηη)] (6.44)

∂2f

∂y2= J−2[x2

ηfξξ − 2xξxηfξη + x2ξfηη]

+J−3[(fξxη − fηxξ)(x2ηyξξ − 2xηxξyξη + x2

ξyηη)]

+J−3[(fηyξ − fξyη)(x2ηxξξ − 2xηxξxξη + x2

ξxηη)] (6.45)

erhalt man mit Hilfe der Metrikkoeffizienten (6.26) beispielsweise die Laplacegleichung im Rechen-gebiet

∆f = J−2[g22fξξ − 2g12fξη + g11fηη]+J−3[(g22yξξ − 2g12yξη + g11yηη)(xηfξ − xξfη)]+J−3[(g22xξξ − 2g12xξη + g11xηη)(yξfη − yηfξ)] .

(6.46)

bzw.∆f = J−2[g22fξξ − 2g12fξη + g11fηη + afη + bfξ] , (6.47)

6.3 Grundklassen von Rechengittern 105

wobei

a := J−1(yξα− xξβ)b := J−1(xηβ − yηα)

α := g22xξξ − 2g12xξη + g11xηη

β := g22yξξ − 2g12yξη + g11yηη . (6.48)

6.3 Grundklassen von Rechengittern

Prinzipiell unterscheidet man zwei Klassen von Rechengittern. In der ersten Klasse, den struk-turierten Gittern (Abb. 55), werden die Raumpunkte in direkter Weise auf die Elemente einerMatrix abgebildet (Abb. 56), so daß benachbarte Punkte im physikalischen Raum auch benachbarteElemente in der Punktematrix sind. Der Vorteil dieser Anordnung liegt in der schnellen Implemen-tierung und Abarbeitung auf einem Rechner und erlaubt die Benutzung von richtungsorientiertenLosungsverfahren, wie z.B. das ADI–Verfahren oder das Linien–Gauß–Seidel–Verfahren usw...

Abbildung 55: Grundtypen strukturierter Gitter (von links nach rechts: C–Gitter, O–Gitter, H–Gitter)

Abbildung 56: Abbildung eines strukturierten Gitters vom physikalischen Gebiet auf eine Matrix

Demgegenuber benotigt ein unstrukturiertes Gitter (Abb. 57) das Mitfuhren einer sog. ”connec-tivity matrix”, in der die Verbindung eines jeden Punktes zu seinen jeweiligen Nachbarpunktenexplizit festgelegt wird. Der Vorteil der unstrukturierten Gitter liegt darin, daß einerseits komplexe


Geometrien sehr leicht modelliert werden konnen und andererseits in Bereichen starker Gradien-ten der Approximationsfehler durch einfaches lokales Hinzufugen von Punkten reduziert werdenkann. Durch das Fehlen einer globalen Struktur und das damit verbundene standige Zugreifen aufdie ”connectivity matrix” wahrend des Losungsprozesses kann dieser jedoch erheblich verlangsamtwerden, was wiederum zu hoheren Rechenzeiten fuhrt.

Grid-Plot grid

2/09/95 16:10:44 x

y

-0.50 -0.10 0.30 0.70 1.10 1.50 -1.00

-0.60

-0.20

0.20

0.60

1.00

Abbildung 57: Unstrukturiertes Gitter und dessen ”connectivity matrix”

Eine Vorgehensweise, die mittlerweile weitestgehend etabliert ist, und die die Vorteile beider Git-ternetztypen in sich vereinigt, ist die Multi–Block–Methode (das blockstrukturierte Gitter).Dabei wird zunachst eine komplexe Geometrie in angemessene Blocke aufgeteilt, die untereinanderdurchaus unstrukturiert vorliegen konnen (Abb. 58). Im Inneren eines jeden Blockes wird anschlie-ßend ein strukturiertes Gitternetz erzeugt.

Eine andere Moglichkeit, komplexe Geometrien auf vergleichsweise einfache Art zu vernetzen, stel-len uberlappende Gitter, sog. Chimera Gitter dar. Hier werden voneinander unabhangigeTeilgitter erstellt, die sich gegenseitig uberlappen. Ein Beispiel ist in Abbildung 59 gezeigt. Ins-besondere bei der Vernetzung von Mehrkorperproblemen bietet dieses Verfahren Vorteile, weil furjeden Einzelkorper ein optimal angepaßtes Gitter aus einem oder mehreren Blocken erstellt unddiese dann mit Hilfe der Chimeratechnik verbunden werden konnen.Uberlappende Gitter sind einfach zu erzeugen, erfordern jedoch aufwendige Interpolationen imVerfahren zur Losung der stromungsmechanischen Grundgleichungen. Des weiteren stellt sich dieFrage, inwiefern auf Grund der Interpolationen bei steilen Gradienten Genauigkeitsverluste auftre-ten. Wichtig ist in diesem Zusammenhang vor allem sicherzustellen, daß das Interpolationsverfahren

6.4 Anforderungen des numerischen Verfahrens an das Rechengitter 107

Abbildung 58: Blockstrukturiertes Gitter

Abbildung 59: Uberlappendes Gitter (Chimera)

konservativ ist, d.h. globale Erhaltung von Masse, Energie, usw. auch im uberlappenden Bereichsichergestellt ist.

6.4 Anforderungen des numerischen Verfahrens an das Rechengitter

Zur Losung eines gegebenen Problems konnen sehr unterschiedliche numerische Gitter erzeugtwerden. Es stellt sich somit die Frage, welche Anforderungen an ein Gittergenerierungsverfahrenzu stellen sind und wie die Qualitat eines erzeugten Gitters beurteilt werden kann.

Die Anforderungen an ein Gittergenerierungsverfahren sind hauptsachlich durch die Eigenschaftendes numerischen Verfahrens zur Losung der stromungsmechanischen Grundgleichungen bedingt undkonnen wie folgt unterteilt werden:

• Das generierte Gitter muß nicht–uberschneidende Gitterlinien besitzen, d.h. durch das Verfah-ren muß eine eindeutige Abbildung zwischen der physikalischen Ebene und der Rechenebenegewahrleistet sein.

• Es sollte moglich sein, Gitterpunkte und Gitterlinien in beliebig wahlbaren Bereichen zukonzentrieren, in denen steile Gradienten der Losung der stromungsmechanischen Grundglei-chungen und damit große Losungsfehler erwartet werden.


• Die Lage der Punkte auf der Berandung sollte vorgebbar sein, um eine moglichst genaueWiedergabe der Geometrie zu gewahrleisten. Wahrend der Gittergenerierung sollten sich diePunkte entlang der Berandung moglichst nicht verschieben.

• Das generierte Gitter sollte glatt sein, um allzu große Fehler bei Interpolationen und Metrik-berechnungen zu vermeiden.

• Starke Gitterverzerrungen sollten vermieden werden, d.h. moglichst orthogonale Gitter sindwunschenswert.

• Die Schnittwinkel entlang der Berandung sollten vorgegeben werden konnen. Dadurch ist zumeinen die Erzeugung randorthogonaler Gitter moglich, mit denen z.B. Wandgrenzschichtengenau aufgelost werden konnen, und zum anderen kann ein glatter Ubergang beim blockstruk-turierten Gitter erreicht werden.

• Wunschenswert sind kurze Rechenzeiten bei der Gittergenerierung, um einerseits ein inter-aktives Arbeiten zu ermoglichen oder andererseits das Verfahren zur Generierung adaptiverGitter einsetzen zu konnen.

• Es sollte moglichst nur eine geringe Zahl von Spezifikationen notwendig sein, damit das Ver-fahren auch von weniger erfahrenen Anwendern eingesetzt werden kann.

• Das Gittergenerierungsverfahren sollte auch bei dreidimensionalen Problemen eingesetzt wer-den konnen.

Welcher der genannten Punkte als unbedingt erforderlich oder als wunschenswert angesehen werdenmuß, hangt vom gestellten Problem ab. Zwingend ist sicherlich die erste Forderung; die in denweiteren Punkten genannten Anforderungen beeinflussen die Qualitat des erzeugten Gitters.

Ein optimales Gitter schon beim ersten Versuch zu generieren, ist im allgemeinen kaum moglich.Es ist somit notwendig, die Qualitat eines erzeugten Gitters zu prufen, zum einen, um es eventuellzu verbessern und zum anderen, um das endgultig generierte Gitter zu beurteilen. Dies erfolgtmeist optisch, indem das Gitter gezeichnet wird und vom Anwender hinsichtlich der Gitterver-zerrung und –orthogonalitat, der Linien– und Punktkonzentration sowie der Glattheit des Gittersuberpruft wird. Solche Uberprufungen sind auch numerisch moglich, erfordern jedoch umfangreicheBerechnungen.

6.5 Mathematische Modellierung von Kurven und Flachen im Raum

Die genaue Darstellung der Rechengebietsberandung (bei blockstrukturierten Gittern zusatzlichdie Blockgrenze) ist die Voraussetzung fur die weiteren Arbeitsschritte der Gittergenerierung.Die Berandung des Rechengebietes besteht aus Kurven (2–D) oder Flachen (3–D), die im allgemei-nen gekrummt sind. Die inneren Gitterpunkte konnen als Schnittpunkte von zwei Kurvenscharenoder von drei Flachenscharen angesehen werden. Die Kontrolle solcher Kurven– oder Flachenscha-ren ist eine wichtige Moglichkeit zur Beeinflussung der Gitterpunkte.In diesem Kapitel werden die gangigen Methoden zur Darstellung von Kurven und Flachen im3D–Raum und ihre Kontrollmoglichkeit dargestellt.

6.5 Mathematische Modellierung von Kurven und Flachen im Raum 109

Die Lagrangesche und Hermitesche Interpolation von Kurven

Eine Kurve im physikalischen Raum ist in jedem Punkt durch den Ortsvektor x in der Parame-terdarstellung x(τ) definiert. Dabei ist τ der Kurvenparameter, der entlang der Kurve monotonansteigt, und x ist durch die drei kartesischen Koordinaten xi des entsprechenden Kurvenpunktesbestimmt. Ein Einheitskreis in der Ebene (z = 0) kann z.B. wie folgt dargestellt werden:

x = x(τ) = cos τ ;

y = y(τ) = sin τ ; 0 < τ < 2π

z = z(τ) = 0 .

Oft ist nur eine endliche Anzahl von Punkten x(τk) fur diskrete Werte τk (k = 0, ..., n) des Kur-venparameters gegeben, und der Verlauf der Kurve zwischen diesen Stutzpunkten wird durch ent-sprechende Interpolationspolynome approximiert. Ist n+1 die Anzahl der gegebenen Punkte, dannkann ein Polynom PL(τ) vom Grade n konstruiert werden, das genau durch diese Punkte lauft.Die allgemeine Form von PL(τ) ist durch die Lagrangesche Interpolationsformel

PL =n∑

i=0

Li(τ) x(τi) = x(τ) (6.49)

gegeben, mit den Lagrange–Polynomen

Li(τ) =n∏

j=0(j 6=i)

(τ − τj

τi − τj

). (6.50)

Man realisiert leicht, daß Gleichung (6.49) fur τi = τ die gegebenen Punkte x(τi) reproduziert.Eine alternative Methode zur Lagrangeschen Interpolation ist die Hermitesche Interpolation. Inihr wird zusatzlich zu den diskreten Kurvenpunkten auch die Steigung der Kurve in diesen Punk-ten vorgeschrieben. Die Steigung im Punkte x(τi) ist ihrerseits durch die partielle Ableitung desOrtsvektors nach dem Kurvenparameter und damit durch x′(τi) bestimmt.

Die allgemeine Form der Hermiteschen Interpolation lautet:

PH =n∑

i=0

[ Hi(τ) x(τi) + Ki(τ) x′(τi) ] = x(τ) (6.51)

mit den Hermiteschen Polynomen

Hi(τ) = [ 1− 2L′i(τi) (τ − τi)] L2i (τ) (6.52)

Ki(τ) = (τ − τi) L2i (τ)

Obwohl die Hermitesche Interpolation Vorteile aufweist, ist sie aufgrund ihrer Sensitivitat ge-genuber leichten Anderungen in den Steigungswerten x′(τi) nur sehr schwierig zu handhaben.

Der Hauptnachteil sowohl der Lagrangeschen als auch Hermiteschen Interpolation liegt letztlichdarin, daß beide bei Verwendung mehrerer Punkte zu starken Oszillationen neigen (Abb. 60).Ein wichtiger Spezialfall, der in der algebraischen Gittergenerierung eine große Rolle spielt, folgt ausGleichung (6.49) bzw. Gleichung (6.51) fur n = 1, d.h. wenn nur der linke und rechte Randpunkt


Abbildung 60: Kurve, die nach Lagrange oder Hermite gemaß Gleichung (6.49) bzw. Gleichung (6.51)interpoliert ist; • vorgegebene Kurvenpunkte; interpolierte Kurvenpunkte; — oszillierender Verlauf derInterpolationskurve.

in die Interpolation eingehen. In diesem Fall konnen naturlich keine Oszillationen auftreten. Hiergilt allgemein:

m = 0, 1

Lm = τ−τ1−m

τm−τ1−m

∂Lm∂τ = 1

τm−τ1−m

∂2Lm∂τ2 = 0

Hm = 3L2m − 2L3

m∂Hm∂τ = 6Lm(1−Lm)

τm−τ1−m

∂2Hm∂τ2 = 6(1−2Lm)

(τm−τ1−m)2

Km = (τm − τ1−m)(L3m − L2

m) ∂Km∂τ = 3L2

m − 2Lm∂2Km∂τ2 = 6Lm−2

τm−τ1−m

(6.53)

Unter der Annahme, daß τ0 = 0 und τ1 = 1 ist, folgt dann fur die Lagrangesche Interpolation

PL = L0(τ) x0 + L1(τ) x1 (6.54)

mit : L0(τ) = 1− τ und L1(τ) = τ .

Gleichung (6.53) wird auch als Scherungstransformation bezeichnet. Fur die Hermitesche Interpo-lation gilt analog

PH = H0(τ) x0 + H1(τ) x1 + K0(τ) x′0 + K1(τ) x′1 (6.55)

mit : H0(τ) = (1 + 2τ)(τ − 1)2 ; K0(τ) = τ(τ − 1)2

und H1(τ) = (3− 2τ)τ2 ; K1(τ) = τ2(τ − 1) .

In Abb. 61 sind die Verlaufe der Lagrangeschen bzw. Hermiteschen Polynome dargestellt. DasInterpolationspolynom kann als Einflußfaktor des einzelnen Stutzwertes auf den gesamten Funkti-onsverlauf interpretiert werden.Der Kurvenparameter τ kann seinerseits eine beliebige Funktion einer neuen Variablen ξ sein, wo-durch entsprechend dem gewahlten funktionalen Zusammenhang die Punkteverteilung auf der Inter-polationskurve manipuliert werden kann. τ(ξ) wird deshalb auch als Verteilungs– oder Streckungs-funktion bezeichnet.


Abbildung 61: Funktionsverlaufe der Lagrangeschen bzw. Hermiteschen Polynome fur zwei Stutzstellen

Die Splinefunktion und ihre Anwendung in der Kurveninterpolation

Einerseits sind die Lagrangeschen und Hermiteschen Interpolationen wegen ihres oszillierendenCharakters nicht geeignet, Kurven durch mehrere Stutzpunkte zu interpolieren, andererseits fuhrtein einfacher Polygonzug als Kurveninterpolation schon bei der ersten Ableitung zur Unstetigkeit.Eine Abhilfe schafft hier die sogenannte ”Splinefunktion”, die auch in der Praxis vielfach angewen-det werden. Sie ist ein Kompromiß zwischen Polygonzug und Interpolation mit Polynomen hohererOrdnung. Dabei wird das Interpolationspolynom intervallweise konstruiert und die Glattheit oder,mathematisch ausgedruckt, die stetige Differenzierbarkeit, an der Intervallgrenze verlangt.

Kubische Splinefunktion

Betrachtet wird zunachst eine Funktion f(τ), die an den n Stutzstellen τi (i = 1, ..., n) durch dieStutzwerte fi = f(τi) gegeben ist.Der Funktionsverlauf innerhalb der einzelnen Intervalle wird durch Polynome 3. Grades interpoliert:

Pi(τ) = fi + bi(τ − τi) + ci(τ − τi)2 + di(τ − τi)3 ; τ ∈ [τi, τi+1] , i = 1, .., n− 1 (6.56)

Es wird verlangt, daß die Interpolationsfunktionen an der Intervallgrenze zweifach stetig differen-zierbar sind:

Pi(τi+1) = fi+1 , i = 1, .., n− 1 ; (6.57)

P ′i (τi+1) = P ′

i+1(τi+1) ,

P ′′i (τi+1) = P ′′

i+1(τi+1) , i = 1, .., n− 2.

Die Bestimmung der Polynomkoeffizienten erfolgt nach den Gleichungen furci:

c1 = f ′′1 /2; cn = f ′′n/2 (6.58)

hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(fi+1 − fi)

hi− 3(fi − fi−1)

hi−1, i = 2, .., n− 1 .

mit hi = τi+1 − τi

bi:

bi =fi+1 − fi

hi− hi(ci+1 + 2ci)

3; i = 1, .., n− 1 . (6.59)


di:

di =ci+1 − ci

3hi; i = 1, .., n− 1 . (6.60)

Die Koeffizienten von Gleichung (6.58) bilden eine tridiagonale Matrix. Durch LU–Zerlegung oderGauss–Elimination lassen sich die ci effizient berechnen. Danach folgt die Auswertung von bi, di

nach den Formeln (6.59) und (6.60). Somit sind alle Koeffizienten des Interpolationssplines festge-legt.

Eine alternative Methode mittels Hermitescher Interpolation

Im letzten Abschnitt haben wir festgestellt, daß die Interpolation mit kubischen Splines, d.h. stuck-weise mit Polynomen 3. Grades, eine sehr glatte Kurve erzeugt. Erinnern wir uns, daß die intervall-weise hermitesche Interpolation ebenso Polynome 3. Grades verwendet. Zusatzlich verlauft minde-stens die 1. Ableitung an der Intervallgrenze stetig. Wenn nun die ersten Ableitungen f ′i an derStutzstellen τi, i = 1, ..n so bestimmt werden, daß die 2. Ableitungen dort auch stetig sind, kommenwir zu gleichen Polynomen 3. Grades wie bei der Spline–Interpolation.Der Funktionsverlauf im Intervall τ ∈ [τi, τi+1] ist vorgegeben durch:

Pi(τ) = H0ifi + H1ifi+1 + K0if′i + K1if

′i+1 (6.61)

Es wird verlangt, daß die Interpolation f(τ) = Pi(τ); τ ∈ [τi, τi+1] zweimal stetig differenzierbarist, d.h.

P ′′i−1(τi) = P ′′

i (τi) ; i = 2, .., n− 1 (6.62)

oderH ′′

0i−1(τi)fi−1 + H ′′

1i−1(τi)fi + K ′′

0i−1(τi)f ′i−1 + K ′′

1i−1(τi)f ′i (6.63)

= H ′′0i

(τi)fi + H ′′1i

(τi)fi+1 + K ′′0i

(τi)f ′i + K ′′1i

(τi)f ′i+1

Aus den Gleichungen (6.53) und (6.63) folgt nun die Bestimmungsgleichung fur f ′i :

−6(fi − fi−1)h2

i−1

+2

hi−1f ′i−1 +

4hi−1

f ′i =6(fi+1 − fi)

h2i

− 4hi

f ′i −2hi

f ′i+1

oder nach f ′i sortiert:

2hi−1

f ′i−1 +(

4hi−1

+4hi

)f ′i +

2hi

f ′i+1 =6(fi − fi−1)

h2i−1

+6(fi+1 − fi)

h2i

; i = 2, .., n− 1 (6.64)

Das Gleichungssystem wird entweder durch die Vorgabe der 1. Ableitungen f ′1, f′n oder durch die

Vorgabe der 2. Ableitungen f ′′1 , f ′′n an den Randpunkten mit der Beziehung:

f ′′1 =6(f2 − f1)

h21

− 2(f ′2 + 2f ′1)h1

(6.65)

f ′′n = −6(fn − fn−1)h2

n−1

+2(2f ′n + f ′n−1)

hn−1

geschlossen.


Parameter–Spline–Interpolation

Die Kurve in einer Ebene kann mit der im vorigen Abschnitt beschriebenen Methode interpoliertwerden, wenn wir die Funktion f durch y und die unabhangige Variable τ durch x ersetzen. Die-se Methode setzt leider den monotonen Anstieg von x voraus und kann z.B. eine geschlosseneKurve nicht interpolieren. Eine allgemeinere Methode, mit der man auch die Kurve im 3D–Rauminterpolieren kann, ist die sogenannte ”Parameter–Spline–Interpolation”.Hier werden die Komponenten der Kurvenkoordinaten einzeln mit Splinefunktionen interpoliert.Der gewonnene Kurvenverlauf ist somit zweimal stetig nach dem Kurvenparameter τ differenzierbar,was eine gute Glattheit verspricht.

Von der zu interpolierenden Kurve x(τ) seien die Ortsvektoren xi an den n Stutzstellen τi (i =1, .., n) gegeben. Dann gilt:

x(τ) = P i(τ) = xi + bi(τ − τi) + ci(τ − τi)2 + di(τ − τi)3 , τ ∈ [τi, τi+1] , i = 1, .., n− 1 (6.66)

Die Komponenten der Koeffizienten ci, bi, di werden nach den Formeln (6.58) bis (6.60) berechnet,indem man jeweils die Komponenten xi, yi, zi der Stutzpunkte xi als Stutzwerte fi der Funktioneinsetzt.

Als Kurvenparameter τi kann entweder der Laufindex,

τi = i− 1 , (6.67)

die resultierende Sekantenlange

τ1 = 0 ; τi = τi−1 + |xi − xi−1| , i = 2, .., n (6.68)

oder eine beliebige monoton steigende Funktion verwendet werden.Fur eine geschlossene Kurve wird der Punkt x1 zusatzlich als xn+1 = x(τn+1) definiert.Anstelle der Schließungsgleichung an den Randern verlangen wir wiederum die zweimal stetigeDifferenzierbarkeit auch an dem Punkt x1 bzw. xn+1:

Pn(τn+1) = P 1(τ1)

P ′n(τn+1) = P ′

1(τ1)

P ′′n(τn+1) = P ′′

1(τ1)

Statt der Gleichungen (6.58)–(6.60) gilt dann:ci:

hncn + 2(hn + h1)c1 + h1c2 =3(x2 − x1)

h1− 3(x1 − xn)

hn;

hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(xi+1 − xi)

hi− 3(xi − xi−1)

hi−1, i = 2, .., n− 1 ; (6.69)

hn−1cn−1 + 2(hn−1 + hn)cn + hnc1 =3(x1 − xn)

hn− 3(xn − xn−1)

hn−1.

bi:

bi =xi+1 − xi

hi− hi(ci+1 + 2ci)

3, i = 1, .., n− 1 ; (6.70)


bn =x1 − xn

hn− hn(c1 + 2cn)

3.

di:

di =ci+1 − ci

3hi, i = 1, .., n− 1 ; dn =

c1 − cn

3hn. (6.71)

Die Kurve wird dann aus den folgenden Segmenten zusammengesetzt:

x(τ) = P i(τ) = xi + bi(τ − τi) + ci(τ − τi)2 + di(τ − τi)3 , τ ∈ [τi, τi+1] , i = 1, .., n (6.72)

Man kann hier auch die alternative Methode (vgl. vorherigen Abschnitt) einsetzen. Es wird danndie Ableitung des Ortsvektors x′i nach dem Kurvenparameter τ gesucht. x′ zeigt in die gleicheRichtung wie die Tangente der interpolierten Kurve.Analog zur Gleichung (6.64) bestimmt man x′i aus dem folgenden Gleichungssystem:

2hi−1

x′i−1 +(

4hi−1

+4hi

)x′i +

2hi

x′i+1 =6(xi − xi−1)

h2i−1

+6(xi+1 − xi)

h2i

; i = 2, .., n− 1 (6.73)

mit der Schließungsbeziehung:

x′1 = x′(τ = τ1) ; x′n = x′(τ = τn)

oder6(x2 − x1)

h21

− 2(x′2 + 2x′1)h1

= x′′(τ = τ1) ,

−6(xn − xn−1)h2

n−1

+2(2x′n + x′n−1)

hn−1= x′′(τ = τn)

oder fur eine geschlossene Kurve:

2hn

x′n +(

4hn

+4h1

)x′1 +

2h1

x′2 =6(x1 − xn)

h2n

+6(x2 − x1)

h21

; (6.74)

2hn−1

x′n−1 +(

4hn−1

+4hn

)x′n +

2hn

x′1 =6(xn − xn−1)

h2n−1

+6(x1 − xn)

h2n

.

Es ist zu beachten, daß hier 3 Gleichungssysteme zu losen sind.Der Kurvenverlauf der einzelnen Intervalle ergibt sich aus:

x(τi < τ < τi+1) = P i(τ) = H0ixi + H1ixi+1 + K0ix′i + K1ix

′i+1 (6.75)

mit i = 1, .., n− 1 fur die offene und i = 1, .., n fur die geschlossene Kurve.

Der kubische Bezier–Spline zur Approximation von Kurven

Der kubische Bezier–Spline verwendet Polynome 3. Grades und approximiert den Kurvenverlaufdurch vier sogenannte ”Bezier–Punkte” in jedem Intervall.Seien vier Bezier–Punkte Bki (bki; k = 0, 1, 2, 3) im Intervall i (τ ∈ [τi, τi+1]) gegeben, dann wirdder Kurvenverlauf zwischen den Punkten B0i und B3i wie folgt approximiert:

xi(τ) = L30ib0i + 3L2

0iL1ib1i + 3L0iL21ib2i + L3

1ib3i , (6.76)


Abbildung 62: Bezier–Punkte und kubischer Bezier–Spline

mit den Lagrangeschen Polynomen 1. Ordnung L0i, L1i:

L0i =τ − τi+1

τi − τi+1; L1i =

τ − τi

τi+1 − τi.

Das Resultat dieser Approximation ist, daß die Kurve durch die Punkte B0i (τ = τi) und B3i (τ =τi+1) lauft und die Tangenten an den Stellen τ = τi bzw. τ = τi+1 in die gleiche Richtung wieB0iB1i bzw. B2iB3i zeigen.Das laßt sich leicht durch die Bildung der 1. Ableitung der Kurve zeigen:

x′i =3L2

0i

hi(b1i

− b0i) +

6L0iL1i

hi(b2i

− b1i) +

3L21i

hi(b3i

− b2i) ; mit hi = τi+1 − τi (6.77)

Daraus folgt:

x′i(τ = τi) =3hi

(b1i− b0i

) ; x′i(τ = τi+1) =3hi

(b3i− b2i

)

Die 2. Ableitung lautet:

x′′i =6L0i

h2i

(b2i− 2b1i

+ b0i) +

6L1i

h2i

(b3i− 2b2i

+ b1i) (6.78)

Verlangt wird hier, wie bei der kubischen Spline–Interpolation, daß die Kurve sowie ihre 1. und2. Ableitung an den Intervallgrenzen (τ = τi; i = 2, .., n − 1) stetig sind. Betrachten wir nun 2Intervalle, i-1 und i:

xi−1(τi) = xi(τi) : b3i−1= b0i

x′i−1(τi) = x′i(τi) :3(b3i−1

− b2i−1)

hi−1=

3(b1i− b0i

)hi

x′′i−1(τi) = x′′i (τi) :6(b3i−1

− 2b2i−1+ b1i−1

)

h2i−1

=6(b2i

− 2b1i+ b0i

)h2

i

Die 3 Bedingungen fuhren auf folgende Gleichung:

b1i−1+

(hi

hi−1+ 1

)(b2i−1

− b1i−1) = b2i

−(

hi−1

hi+ 1

)(b2i

− b1i) = vi , (6.79)


was nichts anderes bedeutet, als daß die Punkte B1i−1 , B2i−1 und B1i , B2i in einem bestimmtenVerhaltnis zum Schnittpunkt Vi (vi) der Verlangerungslinien von den Strecken B1i−1B2i−1 undB2iB1i liegen mussen. Das Verhaltnis hangt von der Wahl des Kurvenparameters τ ab.Bei der Bezier-Spline-Approximation werden normalerweise die Schnittpunkte Vi (vi; i = 1, .., n),die auch Gewichtspunkte genannt werden, vorgegeben. Daraus werden zunachst die Bezier–PunkteB1i, B2i nach der Beziehung (6.79):

vi = b2i−

(hi−1

hi+ 1

)(b2i

− b1i) ; vi+1 = b1i

+(

hi+1

hi+ 1

)(b2i

− b1i)

bestimmt:b1i

= vi +hi−1

hi−1 + hi + hi+1(vi+1 − vi) (6.80)

b2i= vi +

hi−1 + hi

hi−1 + hi + hi+1(vi+1 − vi) , i = 2, .., n− 2 .

Bei der offenen Kurve werden die Bezier–Punkte B0i=1 und B3i=n−1 mit den Gewichtspunkten V1

und Vn gleichgesetzt. Die Positionen von B1i=1 , B2i=1 und von B1i=n−1 , B2i=n−1 bestimmt man ausden Formeln (6.79) und der Vorgabe von x′(τ1), x′(τn) oder x′′(τ1), x′′(τn). Z.B. gilt fur x′′(τ1) = 0(dies wird zusammen mit x′′(τn) = 0 meistens fur eine offene Kurve eingesetzt):

x′′(τ1) = x′′1(τ1) =6(b21

− 2b11+ v1)

h21

= 0

b11+

(h2

h1+ 1

)(b21

− b11) = v2

oderb11

= v1 +h1

2h1 + h2(v2 − v1) ; b21

= v1 +2h1

2h1 + h2(v2 − v1) .

Hinweis:Wenn man in den Gleichungen (6.80) formal i = 1 und h0 = h1 einsetzt, ergeben sich die gleichenFormeln wie oben. Analog gilt es fur x′′(τn) = 0 mit i = n− 1 und hn = hn−1:

b1n−1= vn−1 +

hn−2

hn−2 + 2hn−1(vn − vn−1) ; b2n−1

= vn−1 +hn−2 + hn−1

hn−2 + 2hn−1(vn − vn−1)

Fur eine geschlossene Kurve werden die Bezier–Punkte in dem Intervall 1 (τ1 < τ < τ2) bzw.n (τn < τ < τn+1) genauso erzeugt wie in dem inneren Intervall, indem man in der Gleichungen(6.80) fur i = 1 h0 durch hn und fur i = n hn+1 durch h1 und vn+1 durch v1 ersetzt:

b11= v1 +

hn

hn + h1 + h2(v2 − v1) ; b21

= v1 +hn + h1

hn + h1 + h2(v2 − v1) (6.81)

bzw.

b1n= vn +

hn−1

hn−1 + hn + h1(v1 − vn) ; b2n

= vn +hn−1 + hn

hn−1 + hn + h1(v1 − vn) . (6.82)

Danach konnen die Punkte B0i bzw. B3i−1 nach der Formel:

3(b0i− b2i−1

)hi−1

=3(b1i

− b0i)

hi


oder

b0i= b3i−1

=hi−1b1i

+ hib2i−1

hi−1 + hi; i = 2, .., n− 1 (6.83)

berechnet werden. Bei einer geschlossenen Kurve gilt obige Gleichung zusatzlich noch fur i = n:Die Positionen von B01 bzw. B3n werden mit der folgenden Formel bestimmt:

b01= b3n

=hnb11

+ h1b2n

hn + h1.

Durch die Anwendung der Bezier–Approximationsformel (6.76) in jedem Intervall (i = 1, .., n − 1fur die offene und i = 1, .., n fur die geschlossene Kurve) entsteht schließlich eine zweimal stetigdifferenzierbare Kurve. Ihr Verlauf approximiert die exakte Kurve, die durch die Punkte Vi geht.

Der Vorteil der Bezier–Spline–Interpolation liegt zunachst darin, daß aus den gegebenen Gewichts-punkten die Bezier–Punkte fur jedes Intervall direkt bestimmt werden konnen, womit die gesamteApproximationskurve festgelegt ist. Außerdem beeinflußt die Anderung oder das Hinzufugen vonGewichtspunkten nur wenige lokale Kurvensegmente.

Die Erzeugung von Flachen im 3D–Raum

Die parametrische Darstellung von Flachen wird gegeben durch

x = x(ξ, η) (6.84)

Man kann z.B. eine Einheitskugel wie folgt darstellen:

x = cos(ξ) sin(η)

y = sin(ξ) sin(η) 0 < ξ < 2π

z = cos(η) 0 < η < π

Im allgemeinen Fall, insbesondere bei unregelmaßigen Geometrien, werden nur diskrete Punktevorgegeben. Der Verlauf der Flachen im Raum muß daher interpoliert werden. Hier wird eineeinfache Methode vorgestellt, die die Flachen zellenweise hermitesch interpoliert.Seien die diskreten Punkte xij = x(ξi, ηj) (i = 1, .., I; j = 1, .., J) vorgegeben, dann wird der Verlaufder Flache in der Zelle ij (ξi < ξ < ξi+1; ηj < η < ηj+1) wie folgt interpoliert:

x(ξi < ξ < ξi+1, ηj < η < ηj+1) = P ij = (6.85)

1∑

l,m=0

(Hlmijxi+l,j+m + K1lmij

∂x

∂ξ i+l,j+m

+ K2lmij

∂x

∂η i+l,j+m

+ K12lmij

∂2x

∂ξ∂η i+l,j+m

)

mitHlmij (ξ, η) = Hli(ξ)Hmj (η) (6.86)

K1lmij (ξ, η) = Kli(ξ)Hmj (η)

K2lmij (ξ, η) = Hli(ξ)Kmj (η)

K12lmij(ξ, η) = Kli(ξ)Kmj (η) .


Die zweimal stetige Differenzierbarkeit wird dadurch erreicht, daß man die Ableitungen des Orts-vektors

∂x

∂ξ ij

,∂x

∂η ij

und∂2x

∂ξ∂η ij

nach folgender Prozedur bestimmt:1. Schritt : Fur j (j = 1, .., J) wird ∂x/∂ξij nach den Gleichungen (6.73)–(6.74) bestimmt. Dabeisetzen wir den Kurvenparameter ξ anstelle von τ ein.2. Schritt : Fur i (i = 1, .., I) wird ∂x/∂ηij nach den Gleichungen (6.73)–(6.74) bestimmt. Dabeisetzen wir den Kurvenparameter η anstelle von τ ein.3. Schritt : Fur j (j = 1 und J) wird ∂2x/∂η∂ξij nach den Gleichungen (6.73)–(6.74) bestimmt.Hier wird nicht nur der Kurvenparameter τ durch ξ ersetzt, sondern auch x durch ∂x/∂η und x′

durch ∂2x/∂η∂ξ . Dieser Schritt dient zur Erzeugung von Randwerten des nachsten Schritts undwird nur bei Bedarf einbezogen.4. Schritt : Fur i (i = 1, ..I) wird ∂2x/∂ξ∂ηij nach den Gleichungen (6.73)–(6.74) bestimmt. Hierwird der Kurvenparameter τ durch η , x durch ∂x/∂ξ und x′ durch ∂2x/∂ξ∂η ersetzt.

Die obige Prozedur mag auf den ersten Blick kompliziert erscheinen. Sie ist aber im Grunde nureine wiederholte Anwendung der im Abschnitt 6.5 beschriebenen alternativen Methode bezuglichbeider Kurvenparameter.

Es ist festzustellen (ohne Beweis), daß die so interpolierte Flache auf allen Zellengrenzen (nicht nuran den vorgegebenen Stutzpunkten) zweimal stetig differenzierbar ist. Damit ist die Anforderungder zweimal stetigen Differenzierbarkeit in jedem Punkt der Flache sichergestellt.

Die selben Flachen konnen naturlich auch durch klassische Spline–Interpolation erzeugt werden,indem man folgenden kubischen Polynomansatz fur jede Zelle macht:

P ij =3∑

l,m=0

almij(ξ − ξi)l(η − ηj)m .

Die Berechnung der Koeffizienten almijerfolgt ebenso aus der Bedingung der zweifach stetigen

Differenzierbarkeit. Außer dem unubersichtlichen Bestimmungsvorgang der Koeffizienten ist einschwerwiegender Nachteil dieser Methode der 4-fach großere Speicherbedarf gegenuber der zellen-weisen Hermiteschen Interpolation.

Bezier–Spline–Approximation von Flachen

Die kubische 2D–Bezier–Spline–Approximation stutzt sich auf 16 Bezier–Punkte Blmij (l, m =0, 1, 2, 3) pro Zelle ij (ξi < ξ < ξi+1, ηj < η < ηj+1):

P i,j(ξ, η) = L30i(ξ)t0i,j

+ 3L20i(ξ)L1i(ξ)t1i,j

+ 3L0i(ξ)L21i(ξ)t2i,j

+ L31i(ξ)t3i,j

(6.87)

mit (m = 0 , 1 , 2 , 3)

tli,j (η) = L30j(η)bl0i,j

+ 3L20j(η)L1j(η)bl1i,j

+ 3L0j(η)L21j(η)bl2i,j

+ L31j(η)bl3i,j

.

Die gesamte Flache wird dann zellenweise zusammengestellt:

x(ξ, η) = P i,j(ξ, η) , ξ ∈ [ξi, ξi+1] , η ∈ [ηj , ηj+1] ; i = 1, .., I − 1 or I; j = 1, .., J − 1 orJ (6.88)

6.6 Die Punkteverteilung 119

Bei gegebenen Gewichtspunkten Vij (i = 1, .., I; j = 1, .., J) werden die Bezierpunkte ohne nahereBeweisfuhrung (das gleiche Prinzip wie im 1D–Fall) wie folgt berechnet:1. Schritt: Bestimmung der Bezier–Zwischenpunkte wie im Fall der 1D–Bezier–Approximation ini– bzw. ξ–Richtung fur alle Linien η = ηj (j = 1, ..., J ; jeweils einzeln betrachtet):

vi,j , ξi → bzli,j

; l = 0, 1, 2, 3; i = 1, .., I − 1 oder I .

2. Schritt: Die Zwischenpunkte bzli,j

werden als Gewichtspunkte der 1D–Bezier–Approximation inj– bzw. η–Richtung fur alle li–Linien ( l = 0,1,2,3; i=1,..,I-1 oder I; jeweils einzeln betrachtet)eingesetzt. Die erzeugten Bezier–Punkte der 1D–Approximation sind gleichzeitig die gesuchten2D–Bezier–Punkte:

bzli,j

, ηj → blmi,j; m = 0, 1, 2, 3; j = 1, .., J − 1 oder J .

Das folgende Bild verdeutlicht den Bestimmungsprozeß:

Abbildung 63: Bestimmungsschritte der Bezier–Punkte der 2D–Approximation.

6.6 Die Punkteverteilung

Sinn und Zweck der exakten Beschreibung von Kurven oder Flachen ist es, daß fur einen belie-big gewahlten Kurven–/Flachenparameter der Punkt exakt auf der festgelegten Kontur liegt. Diegewahlten Punkte dienen als Randgitterpunkte und ihre Verteilung auf der Kontur hat deswegengroßen Einfluß auf die Gestaltung des zu generierenden Gitters.

6.6.1 Verteilung auf einer Kurve

Mathematisch gesehen suchen wir eine geeignete Verteilung des Kurvenparametersτ(Gi), i = 1, .., IG, so daß die entsprechende Punkteverteilung Gi auf der Kurve bestimmtenAnforderungen, wie z.B. Verdichtung in bestimmten Bereichen, genugt.Um bessere Kontrolle zu erlangen, basiert die Bestimmung der Verteilung meist auf der auf dieStutzpunkte bezogenen, normierten resultierenden Sekantenlange s. Es ist zunachst die Abbil-dungsvorschrift zwischen dem Langenmaß s und dem Kurvenparameter τ zu bestimmen. Dabei


wird die resultierende Sekantenlange sli fur alle Stutzpunkte Si einer Kurve berechnet:

sl1 = 0 ; sli = sli−1 + |xi − xi−1| ; i = 2, .., m . (6.89)

Es folgt dann die Normierung auf die gesamte Lange:

s(Si) = sli/slm , i = 1, .., m . (6.90)

Da jeder Stutzpunkt einen Wert des Kurvenparameters hat, kann die Beziehung von s und τ z.B.durch lineare Interpolation festgelegt werden.Die Bestimmung der Verteilungsfunktion s(Gi) der Punkte geschieht unabhangig davon nach dengestellten Anforderungen.Schließlich wird die Verteilungsfunktion s(Gi) zuruck auf den Kurvenparameter τ(Gi) abgebildetund damit sind die zu verteilenden Punkte bestimmt.

Abbildung 64: s− τ(Si)− und s−Gi− Diagramm und die Abbildung von τ(Gi)

Die Verteilungsfunktion s(Gi) muß naturlich eine monoton steigende Funktion sein. Ihre Steigunglegt in etwa die auf das Langenmaß bezogene Schrittweite fest.Ihre 1. Ableitung sollte nach Moglichkeit stetig verlaufen. Ein Knick in der Verteilungsfunktionbedeutet eine unstetige Anderung in der Schrittweite.Die einfachste Verteilungsfunktion ist eine Gerade. Sie erzeugt eine beinahe aquidistante Punkte-verteilung.Eine weitere haufig verwendete Verteilungsfunktion ist die exponentielle Funktion(IG: Anzahl der zu verteilenden Punkte):

s(Gi) = (qi−1 − 1)/(qIG−1 − 1), i = 1, .., IG (6.91)

Sie wird haufig verwendet, um die Gitterpunkteverteilung zwischen dem korpernahen Bereich unddem Fernfeld zu bestimmen. Der Parameter q gibt das Verhaltnis zweier aufeinander folgenderPunkteabstande an.Eine ahnliche Funktion, die das Verhaltnis der maximalen und der minimalen Punkteabstandefestlegt, hat folgende Gestalt:

s(Gi) = − 1σ

ln[1− (1− e−σ)

i− 1IG− 1

](6.92)

Das Verhaltnis wird durch eσ bestimmt.

6.6 Die Punkteverteilung 121

Um in bestimmten Bereichen die Verteilung der Gitterpunkte zu verdichten, ist folgende Vertei-lungsfunktion geeignet:

s(Gi) = d

(1 +

sinh[β(η −A)]sinh(βA)

); A =

12β

ln1 + (eβ − 1)d1 + (e−β − 1)d

, η =i− 1

IG− 1(6.93)

Mit der obigen Funktion wird die Punkteverteilung um s = d verdichtet. Die Starke der Ver-dichtung bestimmt der Parameter β. Abbildung 65 zeigt den Verlauf dieser Funktion bei einigenunterschiedlich gewahlten Parametern d und β .

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0η

0.0

0.3

0.6

0.9

s(G

i)

β=1.β=5.β=9.β=13.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0η

β=1.β=5.β=9.β=13.

Abbildung 65: Die Verteilungsfunktion zur gezielten Verdichtung der Punkteverteilung, Parametervariationin Formel (6.93), links: d = 0.3, rechts: d = 0.5

Bei komplexen CFD-Problemen ist es meistens notwendig, mehrere Bereiche um den Korper herum(Hinterkante, Nase, Verdichtungsstoß ...) mit dichterer Verteilung der Gitterpunkte zu versehen.Dies mit einer einzigen analytischen Funktion zu erreichen, ist mathematisch sehr aufwendig undauch nicht notwendig. Hier kann die Verteilungsfunktion intervallweise definiert werden.Um den Knick im Verlauf der gesamten Verteilungsfunktion zu vermeiden, konnen die im letztenAbschnitt beschriebene intervallweise Hermitesche Interpolation oder die Bezier-Spline-Approxima-tion herangezogen werden, da sie geeignet sind, um eine glatte Verteilungsfunktion zu generieren.Dabei kann jeder gewunschte Bereich zunachst durch Funktionswerte oder ihre Ableitungen, wasdem Abstand zwischen den Punkten entspricht, fixiert werden. Die Verteilungsfunktion geht dannentweder aus der Bezier-Spline-Approximation aller fixierten Funktionswerte oder intervallweiserHermitescher Interpolation hervor.Wenn interaktive Arbeitsmoglichkeiten vorhanden sind, kann damit die gewunschte Verteilungs-funktion sehr schnell generiert werden.

6.6.2 Punkteverteilung auf der Flache

Die Verteilung von Punkten auf einer Flache oder, mit anderen Worten, die Bestimmung derFlachenparameter ξ(GIi, GJj) und η(GIi, GJj) (mit GIi und GJj bezeichnen wir die Laufindizesder zu verteilenden Punkte), wird meistens in zwei Arbeitsschritten durchgefuhrt.Im ersten Schritt legt man eine Linienschar in einer Richtung fest. Dabei ist es notwendig, zunachstdie normierte resultierende Sekantenlange in einer der beiden Richtungen der Flachenparameter (o.


Abbildung 66: Verteilungsfunktion mittels Bezier-Spline oder Hermitescher Interpolation

B. d. A. s1 in ξ-Richtung) fur alle Stutzpunkte P (SIi, SJ ′j) entlang ausgewahlter SJ ′j−Kurven zuberechnen (SIi, SJj : Laufindizes der Stutzpunkte; ausgewahlter Index mit ’):

x(SIi, SJ ′j) => s1(SIi, SJ ′j) => AB[s1, ξ](SJ ′j)

Damit steht die Abbildungsvorschrift von s1 und ξ auf solchen Kurven fest.Unabhangig davon generiert man die Verteilungsfunktion s1(GIi, SJ ′j) fur die gewahlten SJ ′j−Kur-ven nach vorgegebenen Anforderungen (z.B.: die Randkurven SJ1 und SJn). Die entsprechendeabgebildete Verteilung des Kurvenparameters ξ(GIi, SJ ′j) wird dann auf den gesamten η−Bereichinterpoliert (hier ist eine glatte Interpolation notwendig). Damit stehen alle Kurven GIi mit demKurvenparameter ξ(GIi, η) fest.

s1(GIi, SJ ′j) mit AB[s1, ξ](SJ ′j) => ξ(GIi, SJ ′j) => ξ(GIi, η)

Abbildung 67: Punkteverteilung auf Flachen, erster Schritt

Im zweiten Schritt werden die Punkte auf den festgelegten GIi−Kurven verteilt.Hier ist zunachst die Berechnung der normierten resultierenden Sekantenlange s2(SI ′i, SJj) inder η−Richtung fur bestimmte SI ′i−Kurven notwendig, damit die s2(GI ′i, SJj) fur die gewahl-ten GI ′i−Kurven daraus linear interpoliert werden konnen. Die Abbildungsvorschriften von s2 undη der GI ′i−Kurven werden wiederum durch lineare Interpolation bestimmt.

x(SI ′i, SJj) => s2(SI ′i, SJj) => s2(GI ′i, SJj) => AB[s2, η](GI ′i)

6.7 Das strukturierte Gitter 123

Genauso wie beim ersten Schritt wird parallel dazu die Verteilungsfunktion s2(GI ′i, GJj) fur diegewahlten GI ′i−Kurven nach den vorgegebenen Anforderungen generiert und der entsprechendeKurvenparameter η(GI ′i, GJj) durch lineare Abbildung gewonnen. Im nachsten Schritt wird dannη(GI ′i, GJj) auf den gesamten GIi-Bereich interpoliert.

s2(GI ′i, GJj) mit AB[s2, η](GI ′i) => η(GI ′i, GJj) => η(GIi, GJj)

Den Kurvenparameter ξ(GIi, GJj) kann schließlich aus der Interpolationsgleichung ξ(GIi, η) mitη = η(GIi, GJj) bestimmt werden.

Abbildung 68: Punkteverteilung auf Flachen, zweiter Schritt

Damit sind die Flachenparameter ξ(GIi, GJj) und η(GIi, GJj) festgelegt und die Ortsvektoren derverteilten Punkte konnen berechnet werden.

6.7 Das strukturierte Gitter

Finite–Differenzen–, Finite–Volumen– und Finite–Elemente–Methoden benotigen im Gegensatz zuSpektralverfahren eine endliche Anzahl diskreter Punkte oder Zellen, die das Rechengebiet ausfullenund auf denen die zu losenden Differentialgleichungen approximiert werden. Die Effizienz einerRechnung wird maßgeblich von der Organisation und den Datenstrukturen der Punkteverteilungbestimmt. In diesem Abschnitt werden strukturierte Anordnungen unter Einfuhrung von krumm-linigen Koordinatensystemen betrachtet. Dabei wird stets vorausgesetzt, daß außere Berandungendes physikalischen Gebietes mit einer Koordinatenlinie (2-D Fall) oder einer Koordinatenflache(3-D Fall) zu identifizieren sind.Die Bestimmung eines korperorientierten, krummlinigen Koordinatensystems, auf dem ein struk-turierter Satz von diskreten Punkten etabliert wird, reduziert sich schließlich auf das Problem,Transformationsbeziehung x(ξi) zu finden, die die kartesischen Koordinaten x der Gitterpunkteim physikalischen Raum in Abhangigkeit der krummlinigen Koordinaten ξi darstellen (vergleicheKapitel 6.1). Dazu unterscheidet man im wesentlichen algebraische Methoden, die das Netz im Ge-bietsinneren durch Interpolation zwischen den Randpunkten erstellen (Kapitel 6.7.2), und Metho-den, die auf der Losung elliptischer, parabolischer oder hyperbolischer Differentialgleichungssystemebasieren (Kapitel 6.8). Eine interessante Alternative zu den elliptischen Gittergenerierungsmetho-den stellen Differentialgleichungssysteme dar, die aus der Formulierung geometrisch motivierterVariationsprinzipien resultieren. Die Methode der konformen Abbildung beispielsweise hat in derGeschichte der Stromungsmechanik eine bedeutende Rolle gespielt, ist heute jedoch im Zuge dernumerischen Losung der stromungsmechanischen Probleme weitgehend in den Hintergrund getretenund wird hauptsachlich noch zur Netzgenerierung um ebene Tragflugelprofile eingesetzt.


Bei komplexeren Geometrien ist es meist erforderlich, daß das Berechnungsgebiet in verschiedeneBereiche aufgeteilt wird, innerhalb derer das numerische Gitter generiert wird. Die einzelnen Bereichhaben eine geometrisch einfachere Berandung und somit ist auch in diesen die Gittergenerierungleichter. Derart generierte numerische Netze werden als blockstrukturiert bezeichnet.

6.7.1 ”Computational domain” und ”physical domain” der Grundgittertypen

Nach den Berandungen der strukturierten 2–D–Gitter im physikalischen Raum (”physical domain”)unterscheidet man drei grundlegende Gittertypen: H–, C– und O–Typ. Beispiele sind in Abbil-dung 55 dargestellt.

12

3 4

H−Gitter O−Gitter C−Gitter

1 32 4

2

43

1

Abbildung 69: Grundgittertypen: H–, C– und O–Gitter

Bei den O–Gittern sind die Berandungslinien geschlossen, bei den C–Gittern halb–offen und bei denH–Gittern werden sie durch offene Linien gebildet. Die Frage, welcher der Gittertypen gewahlt wird,muß in Verbindung mit dem gestellten Stromungsproblem sowie dem Losungsverfahren beantwortetwerden. O-Gitter sind ausgezeichnet geeignet, um die Grenzschicht an einem umstromten Korperaufzulosen. Es ist jedoch schwierig, konsistent die Randbedingungen am außeren Rand einzubringen,da entlang einer geschlossenen Gitterlinie sowohl Eintritts– als auch Austrittsrandbedingungenvorgegeben werden mussen. C–Gitter sind ideal fur Tragflugel oder andere tropfenformige Korper,die eine stumpfe Vorder– und eine spitze Hinterkante besitzen. Die Problematik der Vorgabe derAußenrandbedingungen ist ahnlich wie beim O–Gitter, jedoch liegt fur den Austrittsrand eineeigene Linie vor. H-Gitter sind besonders geeignet zur Berechnung von Durchstromungen. Fur dieBerechnung der Umstromung stumpfer Korper sind sie wegen der Bildung der Korperkontur durchdie offenen Linien nicht sehr geeignet.Die Geometrien der Grundgitter in dem ξi−Koordinatensystem (”computational domain”) stellenzunachst rechteckige Netzwerke dar. Die drei Grundgittertypen werden durch keine oder bestimmtezusatzliche Verknupfung von Gitterpunkten unterschieden.Wahrend das H–Gitter ohne jegliche zusatzliche Verknupfung auskommt, wird bei den C–Gitterneine Anzahl von Gitterpunkten der gleichen logischen Gitterlinie gleichgesetzt und bei den O–Gittern die Randlinien in einer Richtung verbunden.

6.7.2 Algebraische Gittergenerierung mit der Transfiniten Interpolation

Die Methoden der algebraischen Gittergenerierung vermitteln einen direkten funktionalen Zusam-menhang zwischen den Punkten x des physikalischen Gebiets, gekennzeichnet durch die kartesischenKoordinaten xi, und den jeweils zugeordneten Punkten im Rechengebiet, die durch die Koordinatenξi gegeben sind. Bei der Klasse von algebraischen Methoden, die weitestgehende Kontrolle uber das


1

3

2

4

1 2 3 4

H−Gitter O−Gitter C−Gitter3

1 2

4

Abbildung 70: ”computational domain” der H–, C– und O–Gitter

Gitter erlauben, handelt es sich um Methoden, die auf Interpolationspolynomen basieren, die imletzten Kapitel ausfuhrlich behandelt wurden.

Wir betrachten zunachst eine gekrummte Flache im physikalischen Raum, die von vier Randkur-ven begrenzt wird. Auf den Randkurven sei jeweils die gleiche Anzahl von Randgitterpunkten inbeiden Richtungen verteilt. Wahrend eine Kurve durch einen einzigen Parameter beschrieben wird,benotigt die vollstandige Beschreibung einer Flache die Darstellung in zwei unabhangigen Parame-tern ξ und η. D.h., die Flache wird von zwei unabhangigen Scharen von Koordinatenlinien aufge-spannt, entlang denen jeweils der Wert eines Parameters variiert, wahrend der andere Parameterkonstant ist. Den Verlauf dieser Koordinatenlinien zu finden, ist Gegenstand der zweidimensionalenInterpolation.

Abbildung 71: Parameterdarstellung einer gekrummten Flache im physikalischen Raum

Die Koordinaten ξ und η werden hier mit den Laufindizes der Randgitterpunkte i und j definiert:

ξi = (i− 1)/(IG− 1) ; ηj = (j − 1)/(JG− 1)

Die Koordinaten der Randgitterpunkte sind dann gegeben durch:

x(0, ηj); x(1, ηj) und x(ξi, 0); x(ξi, 1) .

Scherungstransformation

Unter Scherungstransformation verstehen wir die Lagrangesche Interpolation durch zwei Stutzstel-len. Zwischen jeweils zwei Randpunkten werden zwei Scherungstransformationen in der ξ− undη−Parameter– bzw. Koordinatenrichtung definiert.


A(ξ, η) = L0(ξ)x(0, η) + L1(ξ)x(1, η) (6.94)

B(ξ, η) = L0(η)x(ξ, 0) + L1(η)x(ξ, 1)

ξ und η spannen im Parameterraum die Einheitsflache auf, d.h. ξ ∈ [0, 1] und η ∈ [0, 1].Der Verlauf der Koordinatenlinien ist in Abbildung 72 dargestellt.

Abbildung 72: Verlauf der Koordinatenlinien aus der Scherungs–Transformation

Man erkennt, daß keine der Transformationen aus der Gleichung (6.94) in der Lage ist, alle vierRandkurven zu reproduzieren. Vielmehr erzeugen beide einen geraden Koordinatenlinienverlaufjeweils an den Randern, deren Randkurven sie nicht erfassen konnen. Die Ursache hierfur liegt inder Tatsache, daß die Transformationen A(ξ, η) und B(ξ, η) gemaß ihrer Konstruktion unabhangigvoneinander sind und nur in den vier Eckpunkten der Flache fur gleiche Parameterwerte das gleicheErgebnis liefern.

Tensor–Produkt–Transformation

Eine Transformation, die in gewissem Sinne die beiden Gleichungen in (6.94) miteinander kombi-niert, ist die Tensor–Produkt–Transformation T (ξ, η). Sie ist die sukzessive Anwendung der Sche-rungstransformation B(ξ, η) auf das Ergebnis der Transformation A(ξ, η); d.h., x(ξ, 0) und x(ξ, 1)werden ersetzt durch A(ξ, 0) und A(ξ, 1).

T (ξ, η) := (BA)(ξ, η) (6.95)

= L0(η)A(ξ, 0) + L1(η)A(ξ, 1)

= L0(η)[L0(ξ)x(0, 0) + L1(ξ)x(1, 0)] + L1(η)[L0(ξ)x(0, 1) + L1(ξ)x(1, 1)]

= L0(ξ)L0(η)x(0, 0) + L0(ξ)L1(η)x(0, 1) + L1(ξ)L0(η)x(1, 0) + L1(ξ)L1(η)x(1, 1)

Man kann sich leicht davon uberzeugen, daß die umgekehrte Transformation T (ξ, η) := (AB)(ξ, η)zum gleichen Ergebnis fuhrt. Gleichung (6.95) stellt eine bilineare Transformation zwischen den vierEckpunkten x(0, 0), x(1, 0), x(0, 1) und x(1, 1) dar. Wie Abbildung 73 zeigt, verlaufen die beidenKoordinatenlinienscharen ξ = const. und η = const. geradlinig.

Transfinite Interpolation

Hier werden die beiden Scherungstransformationen und die Tensor–Produkt–Transformation derartkombiniert, daß durch die resultierende Beziehung ein strukturiertes Netz auf der betrachtetenFlache unter der Bedingung erzeugt wird, daß die Randkurven exakt erfaßt werden (Abb. 71).


Abbildung 73: Bilineare Tensor–Produkt–Transformation zwischen den Eckpunkten

Die Vektorsumme A+B der Gleichung ( 6.94) enthalt sowohl alle vier vorgegebenen Randkurven alsauch die Verbindungsgeraden zwischen den jeweils benachbarten Eckpunkten der Flachen, wie eineAuswertung von A+B fur die Randparameterwerte ξ = 0, 1 und η = 0, 1 zeigt. Dies macht auch eineBetrachtung von Abbildung 72 deutlich. Andererseits erzeugt die Tensor–Produkt–TransformationT der Gleichung (6.95), wie gesehen, ebenfalls geradlinige Koordinatenverlaufe, also auch an denvier Randern. Es liegt deshalb nahe, T von A + B zu subtrahieren und auf diese Weise eine neueTransformation P zu konstruieren.

P (ξ, η) = A(ξ, η) + B(ξ, η)− T (ξ, η) (6.96)

In der Tat liegt der durch P erzeugte Punkt fur alle Parameterwerte ξ und η auf der Flache,die durch die Randkurven aufgespannt wird. Da Gleichung (6.96) eine Interpolation zwischen dergeschlossenen Randkurve darstellt, wobei die Randkurve als kontinuierliche Funktion eine unend-liche Anzahl von Punkten enthalt, wird die Transformation P auch als Transfinite Interpolationbezeichnet. Damit wird die Moglichkeit der Einbeziehung unendlich vieler Punkte in die Inter-polation zum Ausdruck gebracht, im Gegensatz zu lediglich vier Eckpunkten bei der bilinearenTensor–Produkt–Transformation.

Abschließend sei noch bemerkt, daß der Transfiniten Interpolation statt der Scherungstransfor-mation aus der Lagrange–Interpolation (6.94) auch die Hermitesche Interpolation zugrunde gelegtwerden kann. Die Benutzung der Hermiteschen Interpolation ist insbesondere dann von Interesse,wenn Randorthogonalitat eine wichtige Rolle spielt. Wie schon dargestellt, ist die Ableitung desKurvenpunktes nach dem Parameter ein Vektor tangential zur Kurve. Randorthogonalitat bedeu-tet nun, daß dieser Vektor dem Normalenvektor n auf der Berandungskurve entspricht. Wird derTangentialvektor t an die Randkurve aus deren gegebener Punkteverteilung berechnet, dann folgtder Normalenvektor n aus der Beziehung n · t = 0.

Modifikation der Scherungstransformation

Die einfache Scherungstransformation (6.94) bzw. die darauf basierende Transfinite Interpolation(6.96) kann zu sehr ungunstigen Gitterpunkteverteilungen oder sogar zu Uberschneidungen vonGitterlinien fuhren. In solchen Fallen kann eine Modifikation der Scherungstransformation Abhilfeschaffen. Dabei werden die linearen Interpolationsfunktionen L0 und L1 in der Scherungstransfor-mation durch andere Funktionen F0 und F1 ersetzt. Dabei soll beachtet werden, daß die Summevon F0 und F1 eins ergibt und die Funktion selbst monoton zwischen 0 und 1 verlauft.Eine Moglichkeit ist es, ohne Einschrankung der Allgemeingultigkeit L(ξ) durch H(ξ) in der Glei-chung (6.94)

A(ξ, η) = H0(ξ)x(0, η) + H1(ξ)x(1, η)


zu ersetzen. Das fuhrt zur dichteren Verteilung der Gitterpunkte im randnahen Bereich.Eine weitere Vorgehensweise ist in den folgenden Gleichungen gegeben (als Beispiel die Scherungs-transformation in der ξ−Richtung):

F0(ξ) = L0(ξ)α ; F1(ξ) = 1− L0(ξ)α (6.97)

oderF0(ξ) = 1− L1(ξ)α ; F1(ξ) = L1(ξ)α (6.98)

Dabei sollte F1(ξ) etwa die Verteilungsfunktion an den Randkurven x(ξ, 0) und x(ξ, 1) wiedergeben.

Abbildung 74: Modifizierte Scherungstransformation und die Verteilung der Randgitterpunkte

Von dieser Idee ausgehend, konnen wir folgende Scherungstransformation konstruieren:

A(ξ, η) = Fa0(ξ, η)x(0, η) + Fa1(ξ, η)x(1, η) (6.99)

mitFa0(ξ, η) = L0(η)[1− sls(ξ)] + L1(η)[1− sln(ξ)]

Fa1(ξ, η) = 1− Fa0(ξ, η) = L0(η)sls(ξ) + L1(η)sln(ξ) .

Es kann leicht festgestellt werden, daß A(ξ, 0) der Randpunkteverteilung des Sudrands und A(ξ, 1)der des Nordrands entspricht.

A(ξ, 0) = [1− sls(ξ)]x(0, 0) + sls(ξ)x(1, 0) = x(0, 0) + sls(ξ)[x(1, 0)− x(0, 0)]

A(ξ, 1) = [1− sln(ξ)]x(0, 1) + sln(ξ)x(1, 1) = x(0, 1) + sln(ξ)[x(1, 1)− x(0, 1)]

Analog fur die Scherungstransformation in der η−Richtung:

B(ξ, η) = Fb0(ξ, η)x(ξ, 0) + Fb1(ξ, η)x(ξ, 1) (6.100)

mitFb0(ξ, η) = L0(ξ)[1− slw(η)] + L1(ξ)[1− sle(η)]

Fb1(ξ, η) = 1− Fb0(ξ, η) = L0(ξ)slw(η) + L1(ξ)sle(η) .

Anstelle der Tensor–Produkt–Transformation (BA)(ξ, η) kann folgende Transformation verwendetwerden:

T (ξ, η) = Fa0(ξ, η)Fb0(ξ, η)x(0, 0) + Fa1(ξ, η)Fb0(ξ, η)x(1, 0) (6.101)+Fa0(ξ, η)Fb1(ξ, η)x(0, 1) + Fa1(ξ, η)Fb1(ξ, η)x(1, 1)


Die Transfinite Interpolation setzt sich dann zusammen aus:

P (ξ, η) = A(ξ, η) + B(ξ, η)− T (ξ, η)

Interpolation der Gitterpunkte beim O– und C–Gitter

Die in den letzten Abschnitten dargestellte Methode der Transfiniten Interpolation eignet sich sehrgut fur die Gittergenerierung von H–Gittern. Fur die O– und C–Gitter ist die Methode ungeeignet.Bei den O–Gittern sind nur zwei Randkurven, die Korperkontur (η = 0) und der außere Rand(η = 1), gegeben. Wenn die Transfinite Interpolation verwendet werden soll, mussen die benotigtenbeiden anderen Randkurven (ξ = 0, ξ = 1) kunstlich erzeugt werden. Die Methode fuhrt nichtunbedingt zum erwunschten Ergebnis.Eine bessere Vorgehensweise ist es, die inneren Gitterpunkte linienweise zu erzeugen. Die denk-bar einfachste Moglichkeit ware es, die Gitterpunkte nach einer vorgegebenen Verteilungsfunktionf(η) auf Verbindungsgeraden zwischen den Randgitterpunkten der Korperkontur und des außerenRandes zu plazieren:

x(ξi, ηj) = [1− f(ηj)]x(ξi, 0) + f(ηj)x(ξi, 1) (6.102)

Abbildung 75: O–Gittergenerierung

Die Verbindungsgeraden konnen naturlich durch gekrummte Kurven ersetzt werden, um bestimmteEigenschaften (z.B. Orthogonalitat an den Randern) zu ermoglichen. Es seien z.B. die normalenRichtungen ni(ξi), na(ξi) an den Randern gegeben. Dann konnen die inneren Gitterpunkte wie folgtverteilt werden:

x(ξi, ηj) = H0[f(ηj)]x(ξi, 0) + H1[f(ηj)]x(ξi, 1) (6.103)+K0[f(ηj)]n(ξi, 0) + K1[f(ηj)]n(ξi, 1)

Dabei kann durch geschickte Steuerung des Betrags des Normalenvektors die Gefahr der Gitterli-nienuberschneidung weitestgehend vermieden werden.Hier ist die Berechnung des Normalenvektors fur alle Randgitterpunkte nicht notwendig. Es mussennur an den signifikanten Stellen die Normalenvektoren vorgegeben werden. Die restlichen Richtungs-vektoren der Randpunkte und ihre Betrage konnen daraus interpoliert werden.Die Vorgehensweise bei den C–Gittern ist ahnlich wie bei den O–Gittern. Dabei wird durch diespitze Hinterkante der Korperkontur das Rechengebiet zweigeteilt (Abb. 76). Im vorderen Teil gehenwir genauso vor wie beim O-Gitter. Im hinteren Teil, wo sich der Nachlauf einer Korperumstromungbefindet, wird meistens verlangt, daß die Gitterlinien an der Schnittstelle zwischen dem oberen undunteren Gitterteil glatt verlaufen. Dies ist am besten zu verwirklichen, wenn man die HermitescheInterpolation verwendet.


Abbildung 76: C–Gittergenerierung

Transfinite Interpolation bei 3D–Gittern

Bei der Erweiterung der zweidimensionalen Interpolation auf den 3D-Fall werden drei oberflachen-konforme, krummlinige Koordinaten ξi; i = 1, 2, 3 definiert. Dies bedeutet, daß jede Oberflacheidentisch ist mit einer Koordinatenflache, die ihrerseits durch zwei Koordinatenlinienscharen auf-gespannt wird und auf der die jeweils dritte Koordinate konstant ist (Abb. 77). Die konsequenteKonstruktion der Transfiniten Interpolation nimmt dann die folgende komplexe Form an:

P (ξi) = A(ξi) + B(ξi) + C(ξi)−AB(ξi)−AC(ξi)−BC(ξi) + ABC(ξi) (6.104)

Abbildung 77: 3D Transfinite Interpolation

Die einzelnen Terme in der obigen Gleichung behalten ihre Bedeutung. Die Ausfuhrungen furFlachen werden hier lediglich auf die drei Raumkoordinaten ξi erweitert. Dementsprechend kommtzu den beiden Scherungstransformationen A und B eine dritte Transformation C hinzu. Die einfacheTensor–Produkt–Transformation AB wird ebenfalls um zwei weitere Transformationen AC und BCerganzt, da ja der 3D–Raum durch drei unabhangige Flachenscharen aufgespannt wird, auf denenjeweils eine Raumkoordinate ξi konstant ist. Auf diese Weise wird jede Koordinatenflache wie ineiner 2D Transfiniten Interpolation behandelt, und die Randkurven einer jeden Koordinatenflacheverlaufen genau in den Berandungsflachen des betrachteten Raumes. In ihrer Gesamtheit bildendann die Koordinatenflachen ein Netz auf den Randflachen.

6.8 Numerische Gittergenerierung mit dem ”elliptischen Gittergenerator” 131

Die doppelte Tensor–Produkt–Transformation ABC ist schließlich notig, um eine Korrektur derTransformation, wie sie die ersten sechs Terme in Gleichung (6.104) vermitteln, in der Weise vor-zunehmen, daß die acht Eckpunkte des Gebiets durch Gleichung (6.104) reproduziert werden.Die explizite Form der Terme in Gleichung (6.104) wird im folgenden vorgegeben:

A(ξi) = L0(ξ1)x(0, ξ2, ξ3) + L1(ξ1)x(1, ξ2, ξ3)B(ξi) = L0(ξ2)x(ξ1, 0, ξ3) + L1(ξ2)x(ξ1, 1, ξ3) (6.105)C(ξi) = L0(ξ3)x(ξ1, ξ2, 0) + L1(ξ3)x(ξ1, ξ2, 1)

Die einfachen Tensor–Produkt–Transformationen sind kommutativ und folgen durch sukzessiveAnwendung von A auf B, von A auf C und von B auf C.

AB(ξi) = L0(ξ1)L0(ξ2)x(0, 0, ξ3) + L0(ξ1)L1(ξ2)x(0, 1, ξ3)+L1(ξ1)L0(ξ2)x(1, 0, ξ3) + L1(ξ1)L1(ξ2)x(1, 1, ξ3) (6.106)

AC(ξi) = L0(ξ1)L0(ξ3)x(0, ξ2, 0) + L0(ξ1)L1(ξ3)x(0, ξ2, 1)+L1(ξ1)L0(ξ3)x(1, ξ2, 0) + L1(ξ1)L1(ξ3)x(1, ξ2, 1) (6.107)

BC(ξi) = L0(ξ2)L0(ξ3)x(ξ1, 0, 0) + L0(ξ2)L1(ξ3)x(ξ1, 0, 1)+L1(ξ2)L0(ξ3)x(ξ1, 1, 0) + L1(ξ2)L1(ξ3)x(ξ1, 1, 1)

Die doppelte Tensor–Produkt–Transformation ist ebenso wie die einfache kommutativ. ABC kanndann beispielsweise durch Anwendung von A auf das einfache Tensorprodukt BC gebildet werden.

ABC(ξi) =

L0(ξ1)L0(ξ2)L0(ξ3)x(0, 0, 0) + L0(ξ1)L0(ξ2)L1(ξ3)x(0, 0, 1) (6.108)

+L0(ξ1)L1(ξ2)L0(ξ3)x(0, 1, 0) + L0(ξ1)L1(ξ2)L1(ξ3)x(0, 1, 1)

+L1(ξ1)L0(ξ2)L0(ξ3)x(1, 0, 0) + L1(ξ1)L0(ξ2)L1(ξ3)x(1, 0, 1)

+L1(ξ1)L1(ξ2)L0(ξ3)x(1, 1, 0) + L1(ξ1)L1(ξ2)L1(ξ3)x(1, 1, 1)

Diese Gleichung kann auch als trilineare Interpolation zwischen den acht Eckpunkten x(0, 0, 0),x(0, 0, 1), x(0, 1, 0), x(0, 1, 1), x(1, 0, 0), x(1, 0, 1), x(1, 1, 0) und x(1, 1, 1) des betrachteten raumli-chen Gebietes verstanden werden.

6.8 Numerische Gittergenerierung mit dem ”elliptischen Gittergenerator”

Im Abschnitt 6.7.2 wurden algebraische Netzgenerierungsmethoden vorgestellt, die im allgemeinengut kontrollierbare Maschenweitenverteilungen erzeugen, andererseits aber auch große Unstetigkei-ten aufweisen konnen. Verlauft beispielsweise eine Randkoordinatenlinie uber eine Ecke, dann pflan-zen sich die resultierenden Unstetigkeiten in den Ableitungen der kartesischen Koordinaten nachden krummlinigen Koordinaten, die ihrerseits ja die Metrikkoeffizienten bestimmen, ins Gebiet-sinnere fort. Gehen weiterhin die Metrikkoeffizienten in die transformierten Stromungsgleichungenein, etwa bei der finiten Differenzenmethode, dann kann dies verheerende Folgen auf das Konver-genzverhalten und die Genauigkeit der Losung haben.

Die Motivation zur Benutzung elliptischer Gleichungssysteme als Gittergenerator liegt nun in de-ren Eigenschaft, Randwerte uber das Gebietsinnere zu glatten. Im Fall des 2D-Gitters steht hierfurdie Methode der konformen Abbildung zur Verfugung. Da wird der Real– und Imaginarteil einer


komplexen Zahl als Gitterkoordinate verwendet. Die beiden Teile entsprechen der Stromfunkti-on und dem Strompotential einer Potentialstromung und genugen den Laplace-Gleichungen. Dieerzeugten Gitter sind orthogonal und glatt. Das Problem dabei ist die fehlende Moglichkeit, die Git-terabstande sowohl an den Randern als auch im Gebietsinneren zu beeinflußen. Eine Erweiterungauf 3D–Gitter ist von der Theorie her nicht moglich.Die numerische Gittergenerierung mit elliptischen Differentialgleichungen ist gewissermaßen dienumerische Erweiterung der konformen Abbildung. Dabei wird gefordert, daß die Gitterkoordinatenξi(i = 1, 2, 3) der Laplace– bzw. Poissongleichung genugen. Die entstandenen Gleichungssystemewerden dann numerisch gelost.

Es sind naturlich auch parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen geeignet, Gitter zugenerieren. Vor allem dann, wenn in der einen und/oder anderen Koordinatenrichtung eine derbeiden Randkurven (–flachen) und die Punkteverteilung nicht festgelegt sind.

6.8.1 Die Grundgleichung des elliptischen Gittergenerators

Zur Erklarung des theoretischen Hintergrunds ist es hilfreich, zunachst ein Basiskoordinatensystemξ∗i (i = 1, 2, 3) einzufuhren, dessen einzelne Komponenten der Laplacegleichung genugen:

∆ξ∗i = 0 ; i = 1, 2, 3 . (6.109)

Transformiert man weiterhin das System ξ∗i (i = 1, 2, 3) auf ein neues Koordinatensystem (daseigentlich zu generierende System) ξi(i = 1, 2, 3), dann folgt aus der Gleichung (6.109)

∆ξi = P i , i = 1, 2, 3 ; (6.110)

mit

P i = gjkΓijk ; Γi

jk =∂ξ∗m∂ξj

∂ξ∗n∂ξk

∂2ξi

∂ξ∗m∂ξ∗n. (6.111)

In dieser Gleichung sind gjk die kontravarianten Metrikkoeffizienten. Die Γijk sind durch die Trans-

formation von ξ∗i nach ξi bestimmt und stellen die Verzerrung des zu generierenden Gitterkoordi-natensystems ξi und des Basiskoordinatensystems ξ∗i dar.Dies legt nahe, die Gleichung (6.110) als allgemeines Gittergenerierungssystem zugrundezulegen,wobei der Verzerrungsfaktor Γi

jk nicht uber Gleichung (6.111), sondern als Kontrollfunktion direktzu bestimmen ist.

Die Losung der Gleichung (6.110) stellt die krummlinigen Koordinaten ξi als Funktion der kar-tesischen Ortskoordinaten xi dar. Wunschenswert ware aber, den umgekehrten funktionalen Zu-sammenhang, d.h. die Gitterpunkte im physikalischen Gebiet in Abhangigkeit der krummlinigenKoordinaten, zu kennen. Dazu wird die Gleichung mit x,i multipliziert und es folgt:

gij(x,ij + Γkijx,k) = 0 . (6.112)

Die krummlinigen Koordinaten bilden ein rechteckiges, aquidistantes Gitternetz in der ”compu-tational domain”, in dem die berandenden Koordinatenlinien bzw. –flachen den physikalischenRandlinien bzw. –flachen entsprechen. Damit wird die Losung von Gleichung (6.110), d.h. diePunkteverteilung in der ”physical domain”, durch die die Oberflache beschreibenden kartesischenKoordinaten der Randpunkte bestimmt.


Die wichtigsten bzw. dominierendsten Kontrollfunktionen Γijk sind Γα

αα (α = 1, 2, 3), die jeweils einerin jeder Koordinatenrichtung unabhangigen Verzerrung entsprechen. Setzt man nun alle anderenKontrollfunktionen zu null, das heißt

Γijk = δαjδαkδiαΓα ,

dann ergibt sich Gleichung (6.110) zu:

gijx,ij + g11Γ1x,1 + g22Γ2x,2 + g33Γ3x,3 = 0 (6.113)

Wenn die Kontrollfunktionen Γi null sind, dann reduziert sich Gleichung (6.113) auf die Laplace–Gleichung, die ein glattes Gitternetz erzeugt. Das auf diese Weise erzeugte Netz zeigt die Tendenz,Gitterlinien uber konvexen Berandungen zu konzentrieren und uber konkaven Randern auseinan-derzuziehen.

Abbildung 78: Elliptisches Gitternetz uber a) konvexer und b) konkaver Berandung

Nimmt man jedoch die Kontrollfunktionen Γi in Gleichung (6.113) hinzu, dann bewirken nega-tive Werte fur Γi eine Bewegung der Linien oder Flachen ξi = const. in Richtung anwachsenderξi−Werte; positive Werte haben den entsprechend entgegengesetzten Effekt. Diese Eigenschaft wirddazu benutzt, Gitterpunkte in gewissen Bereichen, z.B. an einer festen Wand, zu konzentrieren.

Abbildung 79: Verzerrung eines elliptischen Netzes durch die Kontrollfunktionen a) Γ1: (ξ−Richtung) b)Γ2: (η−Richtung)

Die Auswertung und Bestimmung der Kontrollfunktionen erfolgt in einem automatisierten Prozeßentweder anhand eines vorgegebenen algebraischen Netzes oder durch Interpolation der Randpunk-teverteilung ins Gebietsinnere. Beide Methoden werden im folgenden beschrieben.


6.8.2 Bestimmung der Kontrollfunktion

Glattung eines vorhandenen Gitters

Liegt bereits ein Gitternetz aus einem algebraischen Generierungsprozeß vor, so kann die Gleichung(6.113) nach den Γi aufgelost werden. Diese Beziehungen, eingesetzt in Gleichung (6.113), wurdenach deren Losung wieder das algebraische Netz liefern. Das macht naturliche keinen Sinn, es seidenn, die Kontrollfunktionen werden vor dem Einsetzen geglattet. Eine Glattung wird nun in derWeise vorgenommen, daß Γi(ξj) an jedem Gitterpunkt durch den Mittelwert der vier Nachbarpunktein den Koordinatenrichtungen ξj ; j 6= i ersetzt wird. Fur Γ1 gilt beispielsweise:

Γ1(ξ1, ξ2, ξ3) = [Γ1(ξ1, ξ2 + 1, ξ3) + Γ1(ξ1, ξ2 − 1, ξ3) (6.114)+ Γ1(ξ1, ξ2, ξ3 + 1) + Γ1(ξ1, ξ2, ξ3 − 1)]/4 .

Abbildung 80: Mittelung der Kontrollfunktion Γ1 entlang den Koordinatenlinien ξ2 und ξ3

Eine Mittelung in ξ1−Richtung wird nicht vorgenommen, da dann die Maschenweite in dieserRichtung geglattet wurde. Die Maschenweitenverteilung soll jedoch aus dem algebraischen Netzerhalten bleiben. Die Losung von (6.112) mit den so geglatteten Kontrollfunktionen liefert einglattes Gitternetz, das im wesentlichen die Eigenschaften des algebraischen Netzes aufweist. Setztman desweiteren bei der Auswertung der Kontrollfunktion Γi die Nebendiagonalelemente des Me-triktensors, die ja die Schiefwinkligkeit der Koordinatenlinien zueinander beschreiben, zu null, dasheißt gij = 0 fur i 6= j, dann wird eine gewisse Orthogonalisierung des Netzes erzwungen. Diesverbessert zwar die Qualitat des Gitters im Gebietsinneren, hat aber meist auch zur Folge, daßdie Schiefwinkligkeit am Rand bei festgehaltenen Randgitterpunkten verstarkt wird, was wiederumsehr unvorteilhaft ist.

Interpolation der Randpunkteverteilung ins Gebietsinnere

Neben der Bestimmung der Kontrollfunktion aus einem algebraischen Netz besteht eine zweiteMethode darin, diese aus der Punkteverteilung auf der Berandung zu berechnen und anschlie-ßend in das Gebietsinnere zu interpolieren. Dazu wird Gleichung (6.113) auf eine Koordinatenliniebzw. Koordinatenflache projiziert und die resultierende Gleichung nach den Kontrollfunktionenaufgelost. Um dies zu verdeutlichen, werden folgende einfache Beispiele betrachtet. Abbildung 81zeigt ein physikalisches Rechteck mit ungleichformiger Punkteverteilung auf den vertikalen Randern(ξ2−Richtung) und aquidistanter Verteilung auf den horizontalen Randern (ξ1−Richtung). Ohne dieKontrollfunktionen (d.h. Γi = 0) liefert die Gleichung (6.112) ein Gitternetz, wie in Abbildung 81a


dargestellt. Wunschenswert aber ist ein Koordinatenlinienverlauf, wie er in Abbildung 81b zu sehenist.

Abbildung 81: Elliptisch generiertes Gitternetz in einem Rechteck mit ungleichmaßiger Randpunktevertei-lung: a) Γi = 0 b) Bestimmung der Γi auf der Berandung und anschließende Interpolation ins Gebietsinnere

Mit den Transformationsgleichungen fur die Punktekoordinaten: x = ξ1; y = y(ξ2) gilt dann:

Γ1 = 0 und Γ2 = −y,22/y,2 . (6.115)

Die Krummungsanteile verschwinden, da die Koordinatenlinien nicht gekrummt sein sollen. Γ1

ergibt sich aufgrund der aquidistanten Punkteverteilung in ξ1−Richtung zu null, wohingegen Γ2

einen Anteil aus der ungleichformigen Punkteverteilung in ξ2−Richtung erhalt. Γ2 wird schließlichzwischen dem rechten und linken Rand ins Gebietsinnere interpoliert.

Im Falle eines O–Gitters um einen Zylinder lauten die Transformationsgleichungen: x(r, θ) =r(ξ2) cos(θ) und y(r, θ) = r(ξ2) sin(θ) mit θ = const · ξ1. Damit ergibt sich Γ1 wie im vorangegange-nen Fall zu Null, Γ2 erhalt jetzt einen zusatzlichen Term r,2/r, der sich aus einem Bogenlangenanteilr,2 und einem Krummungsanteil 1/r zusammensetzt. Damit folgt:

Γ1 = 0 und Γ2 = −r,22/r,2 + r,2/r (6.116)

Hier wurde die Vernachlassigung des Krummungstermes bewirken, daß sich die Koordinatenlinienstarker an die konvexe Oberflache des Zylinders anschmiegten.

Als drittes Beispiel sei ein C-Gitter um einen Zylinder betrachtet (Abb. 82), das die Problematik derbeiden vorangegangenen Falle in sich vereinigt. So liefert die Kontrollfunktion aus Gleichung (6.115)ein adaquates Gitter fur den rechten Bereich in Abbildung 81, wahrend die Kontrollfunktion ausder Gleichung (6.116) im Bereich um den Zylinder angemessener ist. Die Konsequenz daraus ist,daß zur Bestimmung der Kontrollfunktion Γ2 lediglich die Bogenlangenanteile A2 = −r,22/r,2 unds2 = r,2 zwischen den vertikalen Randern des ”computational domain” ins Gebietsinnere inter-poliert werden. Der Krummungsanteil ρ2 = 1/r ist jedoch durch die Krummung der inneren undaußeren Berandung des ”physical domain” bestimmt, die im rechten Bereich verschwindet und umden Zylinder ihr Maximum annimmt. Darum liegt es nahe, den Krummungsterm ρ2 im Gebietsin-neren durch Interpolation der entsprechenden Werte auf der unteren und oberen Berandung desRechengebietes zu ermitteln.


Abbildung 82: C–Gitter um einen Zylinder a) ”physical domain” b) ”computational domain”

Verallgemeinerung

In Verallgemeinerung dieser Betrachtungen auf den 3D–Fall gilt dann fur die Seitenflachen einesquaderformigen ”computational domain” auf der ξα = const. ist:

Aβ = −x,β · x,ββ

gββ; Aγ = −x,γ · x,γγ

gγγ(6.117)

sβ =√

gββ ; sγ =√

gγγ

ρα = −n ·(

x,ββ

gββ+

x,γγ

gγγ

)

Die betrachtete Flache ξα = const. wird durch die beiden Kurvenscharen ξβ, ξγ aufgespannt, n istder Normalenvektor auf dieser Flache gemaß:

n =x,β × x,γ

|x,β × x,γ |(6.118)

Schreibt man die Beziehungen in Gleichung (6.117) fur alle Flachen des Quaders an, dann folgt Γα

im Gebietsinneren durch zweidimensionale Transfinite Interpolation der Werte von Aα und sα aufden vier Randflachen, auf denen ξα variiert, und durch eindimensionale Interpolation der Wertevon ρα auf den beiden Randflachen, auf denen ξα = const. ist.

Iterative Anpassung der Kontrollfunktionen zur Einarbeitung von Randorthogonalitatund Vorgabe der Maschenweite normal zur Wand

In der vorangegangenen Methode wurde die Verteilung der Kontrollfunktionen im gesamten Re-chengebiet einzig und allein aus der Punkteverteilung auf den Randflachen bestimmt. Zwar konntendadurch die Kontrollfunktionen auf einfache Weise direkt ermittelt werden, jedoch hat man keineMoglichkeit der Einflußnahme auf das Netz bezuglich Maschenweite und Orthogonalitat auf demRand. Neben der Vorgabe der kartesischen Koordinaten der Randpunkte, die als Randbedingungenin das elliptische DGL.System 2. Ordnung in Gleichung (6.113) eingehen, konnen im allgemeinendurch die freie Wahl der drei Kontrollfunktionen Γα prinzipiell drei weitere Bedingungen in den Git-tergenerierungsprozeß eingebracht werden. Betrachtet man dazu die Flache ξα = const., in der diebeiden Kurvenscharen ξβ und ξγ verlaufen, dann sollen diese drei Bedingungen formuliert werdenals die beiden Orthogonalitatsforderungen

x,α⊥x,β → gαβ = 0 (6.119)


Abbildung 83: 3D ”computational domain”: a) Bestimmungsort der Großen Aβ , Aγ , sβ , sγ und ρα aufden Koordinatenflachen ξα = const. b) Interpolation der Kontrollfunktion Γα im Gebietsinneren aus denGroßen Aα, sα und ρα auf den sechs Randflachen.

x,α⊥x,γ → gαγ = 0 (6.120)

sowie die Vorgabe der Maschenweitegαα = |x,α| (6.121)

auf der Wand entlang der Koordinatenlinie ξα.

Abbildung 84: Orthogonalitats– und Maschenweitenvorgabe auf der Koordinatenflache ξα = const.

Die entsprechende mathematische Formulierung kann unter Berucksichtigung von:

Γα = −C ·A ; Γβ = −B1 ·A ; Γγ = −B2 ·A (6.122)

auf der Koordinatenflache ξα = const. geschrieben werden mit

A = x,αα +gαα

(gββgγγ − g2βγ)

(gγγx,ββ + gββx,γγ − 2gβγx,βγ)

B1 =1

gαα

(x,β −

gβγ

gγγx,γ

); B2 =

1gαα

(x,γ −

gβγ

gββx,β

)

C =x,β × x,γ√

gαα(gββgγγ − g2βγ)


Analoge Beziehungen fur die Koordinatenflachen ξβ bzw. ξγ = const. ergeben sich durch zyklischesVertauschen von α, β und γ in der Gleichung (6.122). Alle hierin auftretenden Großen, außer x,αα

im Term A, lassen sich aus der Punkteverteilung auf der Randflache und der vorgegebenen Ma-schenweite gαα normal zur Flache bestimmen. Die Ermittlung der Große x,αα erfolgt schließlich indem folgenden iterativen Prozeß:

1. Annahme der Kontrollfunktionen Γi auf dem Rand

2. Interpolation von Γi vom Rand ins Gebietsinnere

3. Bestimmung des Gitters durch Losung der DGL. (6.113)

4. Bestimmung von x,αα auf dem Rand durch einseitige Differentiation=⇒ Bestimmung der Kontrollfunktionen Γi mit der Gleichung (6.122)

5. Iteration von 2. bis 4. bis zur Konvergenz

Eine mogliche Erweiterung dieser Methode besteht darin, die beschriebene Vorgehensweise aufmehrere aufeinanderfolgende Koordinatenflachen ξα = const. anzuwenden. Ausgehend von derersten Maschenweite normal zur Wand werden die folgenden Maschenweiten zwischen benachbartenPunkten entlang der ξα−Koordinatenlinien gemaß einer Sinus-hyperbolicus-Verteilung bestimmt.Daruber hinaus kann damit auch eine gewisse Eindringtiefe bezuglich der Orthogonalitat bewirktwerden.

6.8.3 Losungsverfahren der elliptischen DGL.

Nachdem nun verschiedene Methoden zur Bestimmung der Kontrollfunktionen dargelegt wurden,verbleibt schließlich noch die Aufgabe, das elliptische DGL.System (6.113) zu losen. Dazu ersetztman den Ortsvektor x durch seine kartesischen Koordinaten xl :

gijxl,ij + g11Γ1xl,1 + g22Γ2xl,2 + g33Γ3xl,3 = 0 (6.123)

Die Losung von Gleichung (6.123) erfolgt ublicherweise nach einer Finite–Differenzenapproximationmit dem SOR(Successive–Over–Relaxation)–Verfahren:Zunachst werden zentrale Differenzenapproximationen zweiter Ordnung fur die ersten und zweitenpartiellen Ableitungen von xl im Feld DR(3, 3, 0 : 3) abgespeichert:

DR(l, i, 0) := xl,i = [xl(ξi + 1)− xl(ξi − 1)]/2 (6.124)DR(l, i, j) := xl,ij + 2δijxl (6.125)

:= xl(ξi + 1) + xl(ξi − 1) fur i = j

:=14[xl(ξi + 1, ξj + 1) + xl(ξi − 1, ξj − 1)

−xl(ξi + 1, ξj − 1)− xl(ξi − 1, ξj + 1)] fur i 6= j

Die ko– und kontravarianten Koeffizienten gij bzw. gij (inverse Matrix von gij) werden in denArrays G(3, 3) und GG(3, 3) gespeichert:

G(i, j) := xl,ixl,j :=∑

l

DR(l, i, 0)DR(l, j, 0) ; GG(i, j) := gij = (gij)−1 (6.126)

Das SOR–Verfahren ist ein iteratives Verfahren, dessen Konvergenz maßgeblich von der Strukturder zugeordneten Koeffizientenmatrix und damit einerseits von den Koeffizienten der Differenzen-gleichung und andererseits von der Form der Differenzenapproximation bestimmt ist. Neben der


Benutzung der zentralen Differenzenquotienten aus Gleichung (6.124) und (6.125) werden alternativauch haufig einseitige, sog. ”upwind”-Approximationen benutzt, wodurch sowohl auf das Konver-genzverhalten als auch auf die Qualitat der Losung Einfluß genommen werden kann. Dies gilt imbesonderen fur die ersten und die gemischten zweiten Ableitungen, da in diesem Fall die zentra-le Approximation keinen Beitrag des entsprechenden Diagonalelementes der Koeffizientenmatrixliefert. Im folgenden werden fur die einzelnen Terme in Gleichung (6.123) Differenzenausdruckeangegeben, in denen durch die geeignete Wertezuweisung zweier Parameter Ω und Λ eine zentrale,eine reine upwind– oder eine gewichtete zentral/upwind–Approximation gewahlt werden kann.

Approximation des Terms g11Γ1xl,2 + g22Γ2xl,2 + g33Γ3xl,3:

Abhangig vom Vorzeichen der Kontrollfunktion Γi wird eine vor– oder ruckwartige upwind–Appro-ximation benutzt.

xl,i = [xl(ξi)− xl(ξi − 1)] , wenn Γi < 0xl,i = [xl(ξi + 1)− xl(ξi)] , wenn Γi > 0 (6.127)

Unter Einfuhrung eines Parameters Ω faßt man die Gleichungen (6.124) und (6.127) zu einer ein-zigen Gleichung zusammen:

giiΓixl,i = gii[ΓiDR(l, i, 0) + Ω|Γi|[DR(l, i, i)/2− xl]] (6.128)

Aus der Diagonaldominanzforderung ergibt sich Ω zu:

Ω =

|Γi|/2 ; |Γi| < 2

1 ; |Γi| ≥ 2(6.129)

Es laßt sich leicht zeigen, daß im Grenzfall Γi = 0 (Ω = 0) aus Gleichung (6.128) die rein zentraleApproximation von Gleichung (6.124) folgt. Fur |Γi| ≥ 2 (Ω = 1) liefert die Gleichung die upwind–Approximation. Fur −2 < Γi < 2 ergibt sich eine lineare Wichtung zwischen der zentralen und derentsprechenden vor– bzw. ruckwartigen upwind–Approximation.

Approximation des Terms gijxl,ij

Analog zur einseitigen Differenzenapproximation fur die ersten Ableitungen lassen sich fur diegemischten zweiten Ableitungen (i 6= j) die folgenden ”schiefen” upwind–Approximationen formu-lieren:Wenn gij > 0:

xl,ij = [xl(ξi + 1, ξj + 1) + xl(ξi − 1, ξj − 1)− xl(ξi + 1, ξj)− xl(ξi − 1, ξj) (6.130)

−xl(ξi, ξj + 1)− xl(ξi, ξj − 1) + 2xl(ξi, ξj)]/2

Wenn gij < 0:

xl,ij = −[xl(ξi + 1, ξj + 1) + xl(ξi − 1, ξj + 1)− xl(ξi + 1, ξj)− xl(ξi − 1, ξj) (6.131)

−xl(ξi, ξj + 1)− xl(ξi, ξj − 1) + 2xl(ξi, ξj)]/2

Auch hier lassen sich die Gleichungen (6.125), (6.130) und (6.131) unter Einfuhrung des ParametersΛ zusammenfassen:

gijxl,ij = gij [DR(l, i, j)− 2δijxl] (6.132)


+Λ|gij |[DC(l, i, j)−DR(l, i, i)−DR(l, j, j) + 2xl]/2

mitDC(l, i, j) := [xl(ξi + 1, ξj + 1) + xl(ξi − 1, ξj − 1) (6.133)

+xl(ξi + 1, ξj − 1) + xl(ξi − 1, ξj + 1)]/2

Im Falle i = j, wird Λ zu null gesetzt, und es folgt die zentrale Approximation. Wenn i 6= j ist, dannliefert Λ = 0 ebenfalls wieder die zentrale Approximation, jedoch ist in diesem Fall die ”schiefe”Approximation sinnvoller (Λ = 1).Einsetzen der Gleichungen (6.128) und (6.132) in Gleichung (6.123) liefert schließlich die finiteDifferenzenapproximation der elliptischen Gittergenerierung im Punkt (ξi, ξj , ξk)

∑

k

GG(k, k)(2 + Ω|Γk|)− Λ∑

i,j,(i 6=j)

|GG(i, j)|xl (6.134)

−∑

i,j,(i6=j)

GG(i, j)DR(l, i, j) + Λ|GG(i, j)|[DC(l, i, j)−DR(l, i, i)−DR(l, j, j)]/2

−∑

k

GG(k, k)[(1 + Ω|Γk|/2)DR(l, k, k) + ΓkDR(l, k, 0)] = 0 .

Diese Gleichung kann fur alle Punkte des Rechengebietes angeschrieben werden und das resultie-rende Gleichungssystem lautet in Matrizenschreibweise

A ·X = B .

X ist der Losungsvektor, der die gesuchten kartesischen Koordinaten aller inneren Netzpunkteenthalt, A ist die zugeordnete Koeffizientenmatrix und die rechte Seite B beinhaltet die Koordi-naten der vorgegebenen Randpunkte. Die Losung des Systems mittels eines direkten Verfahrens(z.B. Gauß–Elimination) liefert zwar in einem Schritt die Losung fur jeden Punkt, jedoch ist dieseVorgehensweise bei großen Punktzahlen sehr rechenintensiv. Effizienter ist dagegen ein iterativesVerfahren. Dazu wird hier das SOR–Verfahren betrachtet, das durch folgenden Algorithmus be-schrieben wird:

AppX(n+1)p = ω[−

p−1∑

q=1

ApqX(n+1)q −

N∑

q=p+1

ApqX(n)q + Bp] + (1− ω)AppX

(n)p (6.135)

Der obere Index n bezeichnet die Iterationsstufe des SOR–Verfahrens. Die Folge aller innerenPunkte des Rechengebiets, die nach einer bestimmten Reihenfolge in dem eindimensionalen ArrayX abgespeichert werden, ist durch den unteren Zahlindex p = 1, ..., N gekennzeichnet. ω ist derRelaxationsfaktor. Mit ω = 1 reduziert sich das SOR–Verfahren auf das Gauß–Seidel–Verfahren,wahrend dieses im Fall ω > 1 bzw. ω < 1 durch Uber– bzw. Unterrelaxation beschleunigt wird.Gemaß der Beziehung (6.135) werden nun alle Xp nacheinander berechnet, wobei bereits ermittelteWerte Xq fur q < p direkt in die Auswertung der rechten Seiten einfließen.Unter Einfuhrung des Zwischenwertes X∗

p laßt sich das Auflosen der Gleichung (6.134) mit demSOR–Verfahren in der kompakten Form schreiben:

X(n+1)p = ωX∗

p + (1− ω)X(n)p (6.136)

mitX∗

p = xl(ξi, ξj , ξk) =SUM1 + SUM2

SUM

6.9 Das dynamisch adaptive Gitter 141

undSUM =

∑

k

GG(k, k)(2 + Ω|Γk|)− Λ∑

i,j,(i6=j)

|GG(i, j)|

SUM1 =∑

k

GG(k, k)[(1 + Ω|Γk|/2)DR(l, k, k) + ΓkDR(l, k, 0)]

SUM2 =∑

i,j,(i 6=j)

GG(i, j)DR(l, i, j) + Λ|GG(i, j)|[DC(l, i, j)−DR(l, i, i)−DR(l, j, j)]/2

Setzt man bei der Auswertung der Beziehungen in Gleichung (6.135) nur Werte aus der voran-gegangenen Iterationsstufe (n) ein, dann bezeichnet man Gleichung (6.135) als das extrapolierteJacobi–Verfahren.Entscheidend fur das Konvergenzverhalten des SOR–Verfahrens ist die optimale Bestimmung desRelaxationsfaktors ω, auf dessen exakte Herleitung aufgrund der Komplexitat hier nicht nahereingegangen werden kann. Dazu sei zunachst auf numerisches Experimentieren verwiesen.

6.9 Das dynamisch adaptive Gitter

Wir benotigen Rechengitter zur Beschreibung von Stromungsgebieten (Außenstromungen, alsoTragflugelumstromungen usw. sowie Innenstromungen, d.h. Stufen, Kanale etc.), auf denen wirdann die diskretisierten Stromungsgleichungen losen. Da mit wachsender Punkteanzahl sowohl Re-chenzeit als auch Speicherbedarf stark ansteigen, wird man versuchen, mit moglichst wenigen Punk-ten auszukommen. Auf der anderen Seite mussen bestimmte Bereiche des Stromungsgebietes ausverschiedenen Grunden fein aufgelost werden, wie z.B. wandnahe Bereiche bei viskosen Stromungenoder Gegenden mit starken Gradienten in der Stromung (Verdichtungsstoße).Bei praktischen Stromungsrechnungen wird man von einer bestimmten maximalen Punkteanzahlzur Diskretisierung des Rechengebietes ausgehen. Diese Punkteanzahl richtet sich in erster Linienach dem zur Verfugung stehenden Arbeitsspeicher oder einer Kombination aus Speicherbedarfund Rechenzeit (aus diesen Großen werden bei Hochleistungsrechnern, wie z.B. den Cray’s am ZIB,Prioritaten zur Nutzung der CPU’s berechnet; je weniger Kapazitaten ein Rechenlauf beansprucht,desto hoher ist die Prioritat).Eine optimale Punkteverteilung ist bei der Auslegung des Rechengitters nicht ohne weiteres moglich;so weiß man z.B. die Lage eines Verdichtungsstoßes auf einem Tragflugel im allgemeinen nicht imvoraus. Man konnte nun einen Rechenlauf mit einem beliebigen Gitter starten, das Gitter ’vonHand’ an die Losung anpassen, erneut rechnen etc. Diese Methode ist relativ aufwendig und, wennuberhaupt, nur bei stationaren Problemen in vertretbarer Zeit durchfuhrbar. Wesentlich eleganterund effizienter ware eine Methode, bei der das Gitter automatisch und wahrend der Rechnungverandert wird. Im folgenden sollen Adaptionskriterien und –techniken vorgestellt werden.

Adaptionskriterien

Die meisten Adaptionskriterien gehen von folgender Annahme aus: Der Gesamtfehler einer Be-rechnung wird dann minimal, wenn das Integral uber den Fehler f(x) konstant ist, mathematischausgedruckt: ∫ xi+1

xi

f(x)dx = const. (6.137)

Dieser Fehler ist normalerweise als Feldgroße nicht bekannt und steht somit als Funktion nicht zurVerfugung.


Zur Verfugung stehen aber alle zu berechnenden Feldgroßen. Es ist sicher legitim anzunehmen, daßbei großen Anderungen der Losung zwischen zwei Punkten der Fehler großer ist als bei kleinen. DieFrage ist nun, welcher Teil des Losungsvektors als ’Fehlerfunktion’ in Frage kommt.Leider gibt es hierfur keine allgemeine Antwort, die Auswahl ist problemspezifisch. Betrachten wirz.B. eine transsonische Stromung mit einem Verdichtungsstoß, ware der Dichte– bzw. Druckgradi-ent eine gute Sensorfunktion zur Adaption des Stoßes, der Geschwindigkeitsgradient dagegen istzur Stoßadaption nicht geeignet. Zur Adaption von Grenzschichten dagegen ist der Geschwindig-keitsgradient sehr gut geeignet, der Druck– bzw. Dichtegradient nicht, da sich Dichte und Druckuber die Grenzschichtdicke i. a. kaum andern (s. a. Prandtlsche Grenzschichtvereinfachung). Imweiteren wollen wir als Beispiel eine einfache Stromung mit einem Verdichtungsstoß annehmen. Dieverwendete Adaptionstechnik wird zunachst an einem eindimensionalen Fall erlautert und dann aufzwei Dimensionen erweitert. Die Adaption von 3D–Gittern ist mit dieser Technik ebenfalls moglichund wird abschließend kurz beschrieben.

Adaptionstechniken

Grundsatzlich lassen sich die Adaptionstechniken in zwei verschiedene Klassen einteilen: Die eineenthalt diejenigen Techniken, bei denen sich die Anzahl der Gitterpunkte und die Struktur andert,die andere solche, wo dies nicht der Fall ist.Bei der ersten Gruppe werden in Bereichen, an denen das Gitter verfeinert werden soll, einfachzusatzliche Zellen erzeugt. Die Erzeugung eines auf diese Art adaptierten Gitters ist nicht schwer,allerdings muß der Stromungsloser in der Lage sein, unstrukturierte Gitter zu verarbeiten, auchwenn das Ausgangsgitter strukturiert ist.Techniken der zweiten Gruppe behalten die Struktur des Gitters und die Anzahl der Gitterpunktebei. Die fur eine Verdichtung erforderlichen zusatzlichen Zellen werden an Stellen, an denen kleineGradienten der Stromungslosung vorliegen, ’abgezweigt’. Diese Methode soll nun naher beschriebenwerden.Eine einfache raumliche Diskretisierung von (6.137) ergibt:

f(ξ) ·∆ξ = const. (6.138)

mit ∆ξ als Punkteabstand und f(ξ) als Gradient der Dichte zwischen zwei Punkten. (6.138) wurdebei einem Nullgradient zwischen zwei Punkten einen unendlichen Punkteabstand erzwingen, wasnaturlich fur ein Rechengitter nicht sinnvoll ist. Daher wird eine andere ’Fehlerfunktion’ eingefuhrt,die (vom Benutzer einzugebende) Minimal– und Maximalabstande zwischen zwei Punkten beruck-sichtigt.

wi = 1 + A · fB , f =f − fmin

fmax − fmin, A =

∆xmax

∆xmin− 1 . (6.139)

Die Konstante B muß nun so bestimmt werden, daß der eingestellte Minimalabstand ∆xmin demMinimalabstand MIN(∆xi) entspricht. (6.138) ist die Euler–Lagrange–Gleichung fur das Minimumvon

Iw =∫ 1

0w(ξ)x2

ξdξ . (6.140)

Das Minimum von (6.140) entspricht der Minimalenergie eines Systems aus in Reihe geschaltetenFedern mit den Federkonstanten w(ξ). Die Energie eines solchen Systems wird minimal, wenn dieProdukte aus Abstand und entsprechender Federkonstanten gleich dem Produkt aus GesamtlangeL und Ersatzfederkonstanten wers des Systems sind:

∆xi · wi = L · wers ,1

wers=

1∑Nj=1 wj

, (6.141)

6.9 Das dynamisch adaptive Gitter 143

→ Punkteabstande

∆xi =L

wi∑N

j=1 wj

. (6.142)

Die Konstante B wird aus den Gleichungen (6.139) und (6.142) mit einer Newton–Iteration be-stimmt:

Bn+1 = Bn + ∆Bn ; (6.143)

mit hochgestelltem Index ’n’ als aktuelle Iterationsebene. ∆B ergibt sich zu:

∆Bn =∆xmin −MIN(∆xi)n

∂Min(∆xi)∂B

(6.144)

Der Nenner in (6.144) laßt sich folgendermaßen angeben:

∂Min(∆xi)∂B

= −A ·N∑

j=1

[∆xi

(δij

1wi− wi∆xi

w2j L

)fB

j · ln(fj)

](6.145)

Der beschriebene Algorithmus verhalt sich so, als ob man zwischen die Zellwande Federn mitFederkonstanten nach (6.139) einbaut, was eine recht anschauliche Analogie ist.

2D–Adaption

Man konnte nun alle Zeilen und/oder Spalten eines Rechengebietes mit der oben beschriebenenMethode durchlaufen. Diese Methode ist sicher nicht sehr sinnvoll, da sie im allgemeinen ein starkverzerrtes Gitter erzeugt. Bei Verwendung des 1D–Verfahrens auf jede Zeile/Spalte eines Gitterswerden nur Informationen der aktuellen Linie verarbeitet, also kann sich jede Linie ohne Rucksichtauf Orthogonalitat etc. frei einstellen. Somit ware ein glattes Gitter purer Zufall. Da die meistenLosungsverfahren auf glatten und moglichst orthogonalen Gittern wesentlich besser konvergierenals auf verzerrten, ist es nicht einsichtig, ein glattes Startgitter durch die Adaption, die ja eineVerbesserung der Losung bezwecken soll, verzerren zu lassen. Im folgenden wird ein Verfahren –wiederum auf einer Federmodellanalogie basierend – vorgestellt, das eine glatte und orthogonalePunkteverteilung ermoglicht.Betrachten wir eine Stromung auf einer leicht gekrummten Flache, z. B. auf der Oberseite einesTragflugelprofils, die krummlinigen Koordinaten heißen ξ und η.Die Vorgehensweise ist nun wie folgt:

Auf der Linie j = 1 wird, wie oben beschrieben, die Punkteverteilung ausgerechnet (Die Linie j= 1 wird auf eine gerade Linie der Lange S transformiert, man fuhrt die 1D–Adaption durch undtransformiert die neue Punkteverteilung wieder auf die Flugeloberflache zuruck).Auf den Linien j = 2,..,NJ wird nun eine zusatzliche Bedingung eingebaut: Am Punkt (i, j–1), dasist Punkt ’D’ in der Skizze, wird eine Torsionsfeder angebracht. Diese Feder ist entspannt, wennsich der betrachtete Punkt auf der Linie j = const. (Punkt A in der Skizze) auf Punkt A’ befindet.Die Lage von A’ ergibt sich aus einer ’Mittelung’ zwischen der Geraden durch E und D sowie derStrecke DAn, wobei DAn die Normale auf die Strecke DF darstellt (fur j = 2 nimmt man nur dieNormale, da es die Gerade durch E und D nicht gibt). Man kann nun fur eine Linie j = const. dasKraftegleichgewicht anschreiben:

wi · (si+1 − si)− wi−1 · (si − si−1)− CΘi = 0, (6.146)


mit wi wie bei j = 1, allerdings wird f aus dem gesamten Feld berechnet. Θi ist der Winkel, umden die Torsionsfeder ausgelenkt wurde, und C ist die Torsionsfederkonstante:

C = cF

(1N·

N∑

k=1

wk

)cF = const. (6.147)

Die Wirkung der Torsionsfeder laßt sich auch durch eine Zugfeder beschreiben, damit (6.146) alseinzige Unbekannte s enthalt. Damit ergibt sich (6.146), geordnet nach si, zu

si+1 · wi − si · (wi + wi−1 + w′i) + si−1 · wi−1 + w′i · s′i = 0 (6.148)

mit TorsionsfederkonstanteStrecke ′A′D′ als entsprechender Federkonstanten w’. Das Gleichungssystem (6.148) laßt

sich mit dem TDMA losen.

Die gesamte Prozedur laßt sich folgendermaßen zusammenfassen:

1. Auswahl einer geeigneten Sensorfunktion

2. Bestimmung zulassiger Minimal– und Maximalabstande

3. Transformation der krummlinigen Koordinaten auf eine Strecke

4. iterative Bestimmung von B

5. Berechnung der wi

6. Berechnung der neuen Punkteverteilung

7. Rucktransformation Gerade → krummlinige Koordinaten

Die Schritte 3 bis 7 werden fur alle j ≤ 2 < NJ durchgefuhrt.

Vereinfachungen und Abanderungen

Wahrend der Adaption sollte man immer im Hinterkopf behalten, daß sie nur dann Sinn macht,wenn ihr Rechenzeitbedarf gegenuber der Gesamtrechenzeit nicht ins Gewicht fallt. Daher ist jedemogliche Vereinfachung anzustreben!Bei vielen Anwendungen (z.B. Stoß) sind die starksten Gradienten auf der ersten Linie zu finden.Hier genugt es, die Konstante B einmal auf der Linie j = 1 zu berechnen und fur die anderen Linienbeizubehalten. Vorteil: Die iterative Berechnung der Konstanten ist relativ zeitraubend; man spartsich also Einiges an CPU–Zeit!Die dargestellte Methode entspricht einem Anfangswertproblem. Es ist auch moglich, ’elliptische’Probleme zu berechnen. Hierbei wird einfach eine zweite Torsionsfeder an der Stelle (i, j+1) an-gebracht. Die Losung erfolgt dann nicht in einem Schritt, sondern in mehreren, ahnlich dem Lini-enlosungsverfahren.Das Verfahren eignet sich außer zur Adaption auch zur Glattung vorhandener Gitter. Insbesonderekann das Verfahren sehr gut zur Randorthogonalisierung eingesetzt werden; man muß lediglich dieTorsionsfederkonstante am Rand auf einen sehr großen Wert setzen.Man kann mit dem Verfahren auch Gitter in beiden Dimensionen adaptieren, indem man z.B. zuerstalle Linien, dann alle Spalten rechnet. Ebenso sind alternierende Algorithmen (ADI) moglich. Mankann aber auch ein anderes Losungsverfahren als das Linienverfahren einsetzen, wie z.B. den Stone–Algorithmus oder das CGS–Verfahren.

145

7 Turbulente Stromungen

7.1 Ubersicht

Die meisten technisch wichtigen Stromungen sind turbulent. Wahrend sie bei grober Betrachtungwie ublich noch durch ein schichtenweise geordnetes Bewegungsverhalten charakterisierbar sind,entdeckt man bei detaillierten Betrachtungen auch rege, nicht viskose Austauschprozesse zwischenden einzelnen Schichten. Die lokalen Eigenschaften der Stromung reagieren auf diese Austausch-prozesse folgerichtig mit Fluktuationen. Eine turbulente Stromung ist also lokal instationar, ihrephysikalischen Eigenschaften an einem festgehaltenem Ort sind zeitlich nicht konstant, sondern viel-mehr hochfrequenten, dreidimensionalen Schwankungen unterworfen. Anschaulich beschreibt mandieses Phanomen, indem man oberhalb einer charakteristischen Kenngroße (z.B. der Reynoldszahl,siehe Abb. 85a) neben der schichtartigen Bewegungsform in Hauptstromungsrichtung quer dazuzusatzliche Eigenbewegungen großerer Flussigkeitsvolumen, sogenannter Turbulenzballen, einfuhrt.Die Tatsache, daß man derartige Turbulenzballen mit bloßem Auge experimentell beobachten kann,verdeutlicht den makroskopischen Charakter der Turbulenz.

a) b)

Abbildung 85: a) Laminar-turbulenter Umschlag , b) Geschwindigkeitsprofile bei laminarer / turbulenterGrenzschicht

Die als turbulente Diffusion bezeichnete Mischbewegung ist fur den Verlauf der Stromung und ih-ren Kraftehaushalt von großer Bedeutung. Sie bringt Wirkungen hervor, als ware die Zahigkeitdes Fluids um mehrere Zehnerpotenzen erhoht worden. Die turbulente Mischbewegung ist maß-geblich fur Reibungswiderstande von Schiffen, Flugzeugen, Verlusten in Rohrleitungen, Turbinenusw. verantwortlich. Sie macht sich jedoch auch positiv bemerkbar, so z.B. bei der Umstromungeines Tragflugels, wo die energiereichere turbulente Grenzschicht wesentlich spater ablost als dielaminare. Man beachte, daß neben einem erhohtem Impulsaustausch auch ein erhohter Warme-und Stoffaustausch uber die Turbulenzballen ablauft. Turbulente Stromungen sind also mischungs-intensiver. Fur viele verfahrenstechnische Anwendungen ist dies von großem Nutzen. Beispielsweisehangt der Wirkungsgrad einer Brennkammmer von der guten Vermischung des Sauerstofftragers mitdem Brennstoff ab. Infolge der Austauschprozesse zwischen den Schichten findet man daher einenrelativ gleichmaßigen Verlauf aller Eigenschaften in den Querrichtungen vor. Anhand von Abb. 85bsei dieses gelaufige Unterscheidungsmerkmal am Beispiel einer Impulsgrenzschicht wiedergegeben.Fur praxisnahe Disziplinen wie die numerische Stromungsmechanik ist die Beschreibung von Tur-bulenz unabdingbar. Im Unterschied zur laminaren Stromung, die durch Viskositat und Tragheitbestimmt und dadurch physikalisch vollkommen uberschaubar ist, sind die turbulenten Schwan-kungsbewegungen in ihren Einzelheiten hoffnungslos kompliziert.


7.2 Direkte Numerische Simulation (DNS)

Ein effizientes numerisches Verfahren sollte sowohl die Turbulenzmechanismen als auch die la-minaren Effekte fur das gesamte Stromungsfeld komplett erfassen konnen. Prinzipiell geht diesdurch Losung der Bilanzgleichungen fur die Momentanwerte. Die damit verbundene Problematikwird deutlich, wenn man sich die Turbulenz als Uberlagerung von Wirbeln (eddies) unterschiedli-cher Große und Frequenz vorstellt. Bekanntlich hangt die Gute eines numerischen Verfahrens vomAuflosungsvermogen des ihm zugrundeliegenden Rechengitters ab. Um zu einer verlaßlichen Losungzu gelangen, mussen deshalb alle Skalen auch die kleinsten auftretenden Strukturen sowohl raumlichals auch zeitlich aufgelost werden. Da die Große des kleinsten Turbulenzelementes (z.B. die Großeder kleinsten Wirbel in einer Luftstromung) jedoch wesentlich kleiner als das Integrationsgebiet ist,sind zur Auflosung der Mischbewegung unvorstellbar viele Gitterpunkte notwendig.Das Verhaltnis der großten zu den kleinsten auftretenden turbulenten Skalen hangt im wesentlichenvon der Reynoldszahl ab. Die erforderliche Anzahl der Gitterpunkte N ist deshalb proportional zuRe9/4, der Rechenaufwand sogar zu Re11/4. Das heißt, daß fur eine Steigerung der Reynoldszahlum den Faktor 10 mit einem numerischen Aufwand zu rechnen ist, der um einen Faktor von 560ansteigt. Geht man von einer Verdopplung der Leistung von Rechenanlagen alle 18 Monate aus,dann dauert es 13.5 Jahre, bis die verfugbare Rechenleistung in gleicher Große gewachsen ist. Manfindet im Zuge der informationstechnischen Entwicklung heute vermehrt Arbeiten, die die Turbu-lenzmechanismen auf diesem direktem Wege berechnen (direkte Simulation, DNS). Dabei werdendie Momentanwerte aus der dreidimensionalen, zeitabhangigen Bilanzgleichung bestimmt. Bis heu-te konnen nur einige akademische Teststromungen mit Hilfe einer DNS untersucht werden (z.B.Kanalstromung, einfache Scherschichten). Da man aus einer DNS alle Stromungsgroßen inklusivesolche, die sich nicht messen lassen, wie Korrelationen von Druck und Geschwindigkeit, gewin-nen kann, stellen solche Untersuchungen heute eine wichtige Grundlage fur die Modellierung derTurbulenz dar.

7.3 Large–Eddy–Simulation (LES)

Daneben existieren sogenannte Grobstrukturverfahren (large eddy simulation, LES), deren hoch-auflosendes Gitter ebenfalls den Zugang zu den Turbulenzgroßen ermoglicht. Im Unterschied zurdirekten Simulation konnen die Grobstrukturverfahren den Einfluß kleinskaliger Turbulenzbewe-gungen jedoch nicht mehr auf direktem Wege sondern nur uber den Umweg der Modellierungerfassen. Die Modellierung der kleinen Wirbel (small eddies), die durch das Gitter nicht mehr auf-gelost werden konnen, ist zumeist sehr einfach, weil die kleinskalige Turbulenzbewegung kaum nochvon den Stromungsbedingungen abhangt. Feingitterverfahren und direkte Simulation sind fur tech-nisch relevante Probleme rechentechnisch zu aufwendig. Sie dienen vielmehr der Entwicklung undVerbesserung einfacher Modelle.

7.4 Die Reynolds-Gleichung

Sowohl Direkte Numerische Simulationen als auch Large-Eddy-Simulationen konnen nur dreidi-mensional und instationar durchgefuhrt werden, auch wenn die Stromung tatsachlich stationarund zweidimensional ist. Da zudem die Auflosung in Zeit und Raum sehr fein sein muß, sind bei-de Ansatze sehr teuer und fur technisch relevante Stromungen nicht einsetzbar. Um den großenAufwand einzudammen, versucht man deshalb auf halbempirischen Wege zu einer theoretischenBehandlung turbulenter Stromungen auf Basis sog. Turbulenzmodelle zu gelangen. Ein wesentli-cher Nachteil dieser Vorgehensweise ist die geringe Universalitat der Ansatze. Sie sind zwar vielfachzu ganzen Theorien ausgebaut worden, versagen aber haufig schon bei der Beschreibung nur eines

7.4 Die Reynolds-Gleichung 147

Stromungstyps. Vielmehr sind von Fall zu Fall zusatzliche Hypothesen und experimentelle Aussa-gen zur Bestimmung der vorhandenen freien Parameter des Ansatzes erforderlich. Generell habenalle numerischen Verfahren die unangenehme Eigenschaft, daß die Qualitat der Losung sehr starkvon dem verwendeten Turbulenzmodell abhangt.Den bekanntesten Weg zur Berechnung von turbulenten Stromungen, hat Reynolds im Jahre 1894eingeschlagen, wobei er zwischen den stark fluktuierenden Großen und den mittleren Stromungs-großen unterschied. Er gewann daraus eine Impulsgleichung, in der die Turbulenz in Form eineszusatzlichen Terms berucksichtigt ist. Diese sog. Reynolds-Gleichung wird aus der Navier-Stokes-Gleichung gewonnen, indem die Momentanwerte durch deren Mittelwerte und Schwankungsgroßensubstituiert werden und die entstandene Gleichung gemittelt wird. Um bei dieser Mittelung denbezuglich der Grundstromung und der zeitlichen Mittelwerte der Fluktuationen instationaren Cha-rakter der Bewegungsgleichung zu erhalten, muß die Mittelung als Ensemble-Mittel oder als zeit-liches Mittel uber einen begrenzten Zeitraum verstanden werden. Dieser Zeitraum sollte dann sogewahlt werden, daß nur die Kurzzeitvorgange der Turbulenz geglattet werden, der instationareCharakter der Grundstromung jedoch erhalten bleibt.

7.4.1 Herleitung der Reynolds-Gleichung

Nach einem Vorschlag von O. Reynolds werden zunachst Geschwindigkeit und Druck in Mittelwertund Schwankungsgroße aufgespalten:

Geschwindigkeit: ui = ui + u′i Druck: p = p + p

′. (7.1)

Diese werden in die Navier-Stokes-Gleichung (2.23) eingesetzt und der Index j auf der rechten Seitedurch k ersetzt.

∂%(ui + u′i)

∂t+

∂

∂xk

[%(ui + u

′i)(uk + u

′k)

]= −∂(p + p

′)

∂xi+ µ

∂2(ui + u′i)

∂x2k

. (7.2)

Die Terme werden getrennt und sortiert.

∂%ui

∂t+

∂%u′i

∂t+

∂

∂xk

[%

(uiuk + uiu

′k + u

′iuk + u

′iu′k

)]= − ∂p

∂xi− ∂p

′

∂xi+ µ

[∂2ui

∂x2k

+∂2u

′i

∂x2k

]. (7.3)

Durch die Mittelung fallen die Terme weg, die linear in den Schwankungstermen sind.

∂%ui

∂t+

∂%u′i

∂t+

∂

∂xk

[%

(uiuk + uiu

′k + u

′iuk + u

′iu′k

)]= − ∂p

∂xi− ∂p′

∂xi+ µ

[∂2ui

∂x2k

+∂2u

′i

∂x2k

]

∂%ui

∂t+

∂%u′i

∂t︸︷︷︸=0

+∂(%uiuk)

∂xk+

∂(%uiu′k)

∂xk︸︷︷︸=0

+∂(%u

′iuk)

∂xk︸︷︷︸=0

+∂(%u

′iu′k)

∂xk= − ∂p

∂xi− ∂p′

∂xi︸︷︷︸=0

+µ∂2ui

∂x2k

+ µ∂2u

′i

∂x2k︸︷︷︸

=0

∂%ui

∂t+

∂(%uiuk)∂xk

= − ∂p

∂xi+

∂

∂xk

(µ

∂ui

∂xk− %u

′iu′k

). (7.4)

Alle Turbulenzmodelle, die auf der Reynoldsgleichung basieren, werden RANS-Modelle genannt(Reynolds-averaged Navier-Stokes equation). Da die Reynoldsgleichung genau genommen nur fur


voll ausgepragte Turbulenz gilt, gewahren solche Modelle keinen Zugang zum Phanomen der Tran-sition. Sie hat, bezuglich der mittleren Großen dieselbe Form wie die Navier-Stokes-Gleichung,besitzt jedoch gegenuber dieser einen Zusatzterm, der aus der Konvektion stammt und diffusiveEigenschaften aufweist. Da die Dichte und die molekulare Zahigkeit im Inkompressiblen keinenAnderungen unterworfen ist, kann sie aus der Mittelwertbildung herausgenommen werden.

7.4.2 Die Reynoldsspannungen

Die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen (oder -fluktuationen) konnen also im Sinne ei-nes Spannungstensors interpretiert werden. Dieser Spannungstensor wird der Gleichung folgendReynoldsscher Spannungstensor und die Komponenten Reynolds-Spannungen genannt.

τij,t = −%u′iu′j =

−%u′2 −%u′v′ −%u′w′

−%v′u′ −%v′2 −%v′w′

−%w′u′ −%w′v′ −%w′2

. (7.5)

Die Terme auf der Hauptdiagonalen werden als Normalspannungen, die anderen als Schubspan-nungen interpretiert. Die Reynoldsspannungen stellen nun neun zusatzliche Unbekannte in demobigen Gleichungssytem dar, fur die zusatzliche Beziehungen angegeben werden mussen. Offenbarlaßt sich diese Zahl zunachst auf sechs reduzieren, wenn man die Symmetrie des Spannungstensorsbeachtet. Die sechs verbleibenden Terme sind dann

u′2, v′2, w′2, u′v′ , v′w′ , u′w′ .

Diese Zahl reduziert sich bei im Mittel zweidimensionalen Stromungen auf vier. Dabei ist zu beach-ten, daß die Turbulenz immer dreidimensional ist, d.h. die Geschwindigkeitsfluktuationen w′2 6= 0.Hierbei sind die gemittelten Werte der Produkte der Schwankungsgeschwindigkeiten u′2, v′2, u′v′im allgemeinen von gleicher Großenordnung (siehe Abschnitt 7.7).Den beiden Impulsgleichungen und der Kontinuitatsgleichung stehen sechs Unbekannte gegenuber.Das Gleichungssystem ist also nicht geschlossen. Diese durch Mittelwertbildung entstandene Tat-sache nennt man daher auch das Schließungsproblem der Berechnung turbulenter Stromungen.Die in der Folge skizzierten Ansatze zur Losung dieses Problems leisten nichts weiter als einenfunktionalen Zusammenhang zwischen den ursprunglichen Variablen und den Reynoldsschen Kor-relationsgliedern, wodurch die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Unbekannten wieder dieWaage halt.

7.5 Das Reynolds-Spannungsmodell

Eine Moglichkeit zur Bestimmung der unbekannten Korrelationsglieder besteht in der Losungzusatzlicher Transportgleichungen fur diese Großen. Unter dem Begriff Transportgleichungen ver-steht man Differentialgleichungen, die etwas uber die totale Anderung von Korrelationen turbu-lenter Schwankungsgroßen, wie z.B. Reynoldsspannungen aussagen. Diese Korrelationen konnenEin- oder Mehrpunktkorrelationen sein. Ausgehen von der Reynoldsschen Gleichung (7.4) lassensich direkt Transportgleichungen fur die Reynoldsspannungen formulieren. Modelle die eine sol-che Transportgleichung losen werden implizite Reynolds-Spannungsmodelle oder kurz RS–Modellegenannt. Die meisten Transportgleichungen werden aus den Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet

7.5 Das Reynolds-Spannungsmodell 149

und enthalten Terme, die man physikalisch interpretieren kann. In die Navier-Stokes-Gleichungwerden Mittelwerte und Schwankungsgroßen eingefuhrt. Diese Gleichung wird mit u

′j multipliziert

und zeitlich gemittelt.

u′j

∂%u′i

∂t+ u

′ju

′k

∂(%ui)∂xk

+ uku′j

∂(%u′i)

∂xk+ u

′ju

′k

∂(%u′i)

∂xk= −u

′j

∂p′

∂xi+ µ u

′j

∂2u′i

∂x2k

. (7.6)

Vertauscht man hier die Indizes i und j miteinander, ergibt sich eine weitere Gleichung, die zu derersten addiert wird.

; u′j

∂%u′i

∂t+ u

′i

∂%u′j

∂t+ u

′ju

′k

∂(%ui)∂xk

+ u′iu′k

∂(%uj)∂xk

+ uku′j

∂(%u′i)

∂xk

+uku′j

∂(%u′j)

∂xk+ u

′ju

′k

∂(%u′i)

∂xk+ u

′iu′k

∂(%u′j)

∂xk=

−u′j

∂p′

∂xi− u

′i

∂p′

∂xj+ µ u

′j

∂2u′i

∂x2k

+ µ u′i

∂2u′j

∂x2k

. (7.7)

Fur inkompressible Medien laßt sich % kurzen. Die ahnlichen Terme werden nun paarweise zujeweils einem Term verschmolzen, indem man sozusagen die Produktregel ”ruckwarts” anwendet:f ′g + fg′ = (fg)′. Das Ergebnis ist die gesuchte Transportgleichung

∂u′iu′j

∂t︸︷︷︸1.

+uk

∂(u′iu′j)

∂xk︸︷︷︸2.

+u′ju

′k

∂(ui)∂xk

+ u′iu′k

∂(uj)∂xk︸︷︷︸

3.

+∂(u′iu

′ju

′k)

∂xk︸︷︷︸4.

=

− 1%

(∂p′u

′i

∂xj+

∂p′u′j

∂xi

)

︸︷︷︸5.

+1%

(p′

∂u′i

∂xj+ p′

∂u′j

∂xi

)

︸︷︷︸6.

+ ν∂2u

′iu′j

∂x2k︸︷︷︸

7.

− 2ν

(∂u

′i

∂xk

∂u′j

∂xk

)

︸︷︷︸8.

, (7.8)

deren Bestandteile beschrieben und deren physikalische Bedeutung aufgezeigt wird. Die Bilanz-gleichung fur die Reynoldsspannungen laßt sich auch alternativ formulieren:

cij = dij + εij + Pij + φij1 + φij2 + φijw . (7.9)

1. Lokale Anderung, d.h.Anderung an einem festen Ort uber die Zeit.

2. Konvektive Anderung, durch Geschwindigkeit uk verursacht. Die beiden ersten Terme

konnen zu der substantiellen Anderung D(u′iu′j)/Dt zusammengefaßt werden.

cij =Du

′iu′j

Dt=

∂u′iu′j

∂t+ uk

∂u′iu′j

∂xk; instationarer u. konvektiverTerm

3. Produktionsterme, die der Hauptstromung kinetische Energie zugunsten der Schwankungs-großen entziehen und damit der Turbulenz zufuhren. Diese Terme sind vor allem an der Wandvon großer Bedeutung. Die Produktion kann ohne Modellierung exakt wiedergegeben werden.

Pij = −(

u′iu′k

∂uj

∂xk+ u

′ju

′k

∂ui

∂xk

); Produktion


4. Tripelkorrelation, die eine Umverteilung der Turbulenz durch Diffusion beschreibt. Dieseist oft von kleiner Großenordnung und wird z.B. nach Daly & Harlow modelliert:

dij =∂

∂xl

[cs

k

ε

(u′ku

′l

∂u′iu′j

∂xk

)]; Diffusion

5. Druckdiffusionsglieder, ausgedruckt durch die Korrelation p′u′i. Die Druckschwankungen

bewirken einen Austausch bzw. eine zusatzliche Vermischung. Diese Terme werden bei RS-Modellen im allgemeinen vernachlassigt bzw. bei 5 mitberucksichtigt.

6. Druck-Scher-Korrelationen bewirken die Wandlung anisotroper Fluktuationen in isotropeVerteilungen. Druckdiffusion und Druck-Scher-Korrelationen werden gemeinsam modelliert,wobei ihre Wirkung nach Rotta durch mehrere Terme wiedergegeben wird. Das Druck-Scher-Korrelations-Modell ist von großer Bedeutung fur die Eigenschaften des Gesamtmodells.

φij1 = −c1ε

k

(u′iu′j −

23

δij k

); Return-To-Isotropy-Term

φij2 = −c2

(Pij − 1

3δij Pkk

); Rapid-Term

φijw = c1wε

k

(u′ku

′mnknmδij − 3

2u′ku

′inknj − 3

2u′ku

′jnkni

)fl

+c2w

(φkmnknmδij − 3

2φki2nknj − 3

2φki2nkni

)fl ; Wall-Reflection-Term

7. viskoser Diffusionsterm, der durch die molekulare Zahigkeit verursacht wird, hat bei Rey-noldszahlen Re > 1000 praktisch keine Bedeutung mehr.

8. Dissipationsanteil, der die kinetische in innere Energie umwandelt. Sie wird als skalareGroße modelliert, fur die eine heuristische Transportgleichung gelost wird (siehe 7.10.1).

εij = −23δijε mit

∂(%ε)∂t

+ uj∂(%ε)∂xj

− ∂

∂xj

[(µ +

µt

Prε)

∂ε

∂xj

]= Cε1

ε

kPk − Cε2

%ε2

k.

Die verschiedenen RS–Modelle unterschiedlicher Autoren unterscheiden sich in den verwendetenModellkonstanten. Die folgende Tabelle gibt einen Uberblick uber gangige lineare Modelle.

Autoren c1 c2 c1w c2w cs cε cε1 cε2 Stromungstyp

Peric/Scheurer 1.80 0.60 0.50 0.18 0.22 0.18 1.45 1.90 Backward-Facing Step

Gibson/Launder 1.80 0.60 0.50 0.30 0.22 0.18 1.45 1.92 Highly Swirling Flow

Younis 3.00 0.30 0.75 0.50 0.22 0.15 1.40 1.80 Swirling Jets

Tabelle 8: Ubersicht der Konstanten von Reynolds-Spannungs-Modellen

7.6 Das Wirbelviskositatsprinzip 151

7.6 Das Wirbelviskositatsprinzip

Kennzeichnend fur fast alle Turbulenzmodelle ist das Bemuhen, die in den Bilanzgleichungen auftre-tenden Schwankungsgroßen (ohne Berucksichtigung des eigentlichen Turbulenzmechanismus) ana-log zum molekularen Transport zu beschreiben. Der Ausdruck

(µ

∂ui

∂xk− %u

′iu′k

), (7.10)

in (7.4) wird meist als die effektive (Gesamt-) Schubspannung

τij = τij,m︸︷︷︸molekular

+ τij,t︸︷︷︸turbulent

, (7.11)

bezeichnet. Man beachte, daß die Große τij,t nicht durch stoffliche Viskositat sondern durch Misch-bewegung der Teilchen bedingt ist, weshalb man auch von turbulenter ”Scheinreibung” spricht.Der wohl bekannteste Ansatz zur Modellierung der turbulenten Viskositat ist bereits sehr fruhzeitigdurch Boussinesq (1877) angegeben worden. In Analogie zum Zahigkeitsbeiwert des NewtonschenSchubspannungsansatzes fur laminare Stromungen

τij,m = µ

[∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

], (7.12)

fuhrte Boussinesq fur den turbulenten Anteil τij,t die turbulente Austauschgroße µt ein.

τij,t = −%u′iu′j = µt

[∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

]. (7.13)

Da es sich bei µt im Unterschied zur Zahigkeit µ nicht um einen Stoffwert handelt, hangt die Aus-tauschgroße ihrerseits noch von den ursprunglichen Variablen ab. Die turbulente Austauschgroße µt

bezeichnet man ublicherweise als die turbulente Scheinzahigkeit oder Wirbelviskositat (engl. eddyviscosity):

νt =µt

%, (7.14)

eine Große, die der kinematischen Zahigkeit ν = µ/% fur laminare Stromungen entspricht. Mit Hilfeder Scheinzahigkeit notieren wir fur die Gesamtschubspannung

τij = τij,m + τij,t = (µ + µt)[

∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

], (7.15)

sowie unter Verwendung von (7.4) die Impulsgleichung:

∂%ui

∂t+

∂(%uiuj)∂xj

= − ∂p

∂xi+

∂

∂xj

((µ + µt)

∂ui

∂xj

). (7.16)

Die turbulente Scheinzahigkeit hangt von der lokalen Turbulenzstruktur ab. Diese wird je nach Wahldes Turbulenzmodells durch unterschiedliche Parameter charakterisiert, worauf in den folgendenAbschnitten eingegangen werden soll.


7.7 Mischungsweghypothese

Einen Zugang zur Wirbelviskositat bietet die Mischungsweghypothese. Zur Schließung der Glei-chung (7.16) benotigt man eine Abhangigkeit der turbulenten Viskositat von den globalen Stro-mungsgroßen, also einen Zusammenhang der Form

µt = f

(u, v,

∂u

∂y,∂u

∂x

). (7.17)

Im folgenden wollen wir den auf Prandtl (1915) bzw. Taylor (1925) zuruckgehenden Mischungsweg-ansatz skizzieren. Zur Herleitung des Zusammenhangs zwischen der Austauschgroße µt und dermittleren Geschwindigkeit betrachten wir das einfache Beispiel der Parallelstromung. Die Haupt-stromungsrichtung moge mit der Abzisse zusammenfallen, so daß man fur die Geschwindigkeiten

u = u(y) v = w = 0 (7.18)

notiert. Angenommen, der Stromungszustand hat eine bestimmte kritische Kenngroße uberschritten(Transition), so daß einzelne Fluidballen sich entlang des hinzugewonnenen Freiheitsgrades zwischenden Schichten hin und her zu bewegen beginnen. Auf ihrem Weg durch die Schichten beteiligensich die Ballen an den turbulenten Austauschvorgangen, bis sie sich hinsichtlich ihrer Eigenschaftennicht mehr von der aktuellen Schicht unterscheiden und somit zerfallen. Die Weglange l ist in diesemZusammenhang ein Maß fur die Lange, uber die ein solcher Ballen seine ”Identitat” beibehalt.

Abbildung 86: Austausch der Turbulenzballen in der Schicht y1

Unter Hinweis auf Abbildung 86 ergibt sich fur die momentan in einer Schicht y1 anzutreffendenBallen einer geschwindigkeitsarmeren (y = y1 − l) und einer geschwindigkeitsreicheren (y = y1 + l)Schicht der Betrag der mittleren Langsschwankung

∣∣u′∣∣ =12|u(y1 − l)− u(y1)|+ |u(y1 + l)− u(y1)|

∣∣u′∣∣ = l

∣∣∣∣(

∂u

∂y

)∣∣∣∣ . (7.19)

Fur die Bestimmung der Geschwindigkeitsschwankung in Quer-richtung |v′| stelle man sich die Kollision zweier Ballen vor. Befin-det sich der schnellere Ballen stromab des langsameren Ballens,

7.7 Mischungsweghypothese 153

dann prallen beide mit der Relativgeschwindigkeit 2 |u′| aufein-ander und weichen mit |v′| seitlich aus. Befindet sich im umge-kehrten Falle der langsame Ballen hinter dem schnelleren, so ent-fernen sich die Ballen voneinander. Die entstehende Lucke mußaus Kontinuitatsgrunden von der Umgebung durch Querfluktua-tion aufgefullt werden. Die Schwankung in Querrichtung |v′| istalso in beiden Fallen von der gleichen Großenordnung wie die inLangsrichtung. Fur die zeitlichen Mittelwerte der Schwankungs-betrage kann man daher |u′| = l |∂u/∂y| und |v′| = k |u′| schrei-ben. Aus der Abbildung links wird ersichtlich, daß einer positivenLangsschwankung u′ immer eine negative Querschwankung v′ zu-geordnet ist und umgekehrt. Daher notiert man fur den zeitlichenMittelwert des Korrelationsgliedes (u′v′)

(u′v′) = −k∣∣u′∣∣ ∣∣v′∣∣ (7.20)

bzw. mit (7.19)

(u′v′) = −(

∂u

∂y

)2

(lm)2 ; mit l2m = l2 · κ2 . (7.21)

lm = Mischungsweglangeκ =

√k .

Das negative Vorzeichen ist wegen der verschiedenen Vorzeichen von u′ und v′ erforderlich . Fuhrtman die Gleichung (7.21) in den Ansatz (7.13) ein, so erhalt man

τt = % l2m

∣∣∣∣∂u

∂y

∣∣∣∣(

∂u

∂y

), (7.22)

wodurch gesichert ist, daß ein positiver Geschwindigkeitsgradient auch einer positiven Schubspan-nung entspricht. Ein Vergleich mit (7.13) liefert fur die turbulente Scheinzahigkeit den Ausdruck

µt = % l2m

∣∣∣∣∂u

∂y

∣∣∣∣ . (7.23)

Um den Mischungswegansatz anwenden zu konnen, ist jetzt noch die Bestimmung des Mischungs-weges als Funktion des Ortes notwendig. Fur Stromungen mit fester Begrenzung (Rohrstromung,Wandgrenzschicht) oder Stromungen mit freien Grenzen (Nachlaufstromung, Freistrahl) kann mannaherungsweise

lm = κy (feste Wand), bzw. lm = βb(x) (freie Stromung) (7.24)

setzen. Hierin reprasentiert y den Wandabstand und b(x) die Nachlauf- oder Freistrahlbreite. Beiβ und κ handelt es sich um problemunabhangige Konstanten. Typische Werte sind: Wandgrenz-schicht κ = 0.4; runder Freistrahl β = 0.075; ebener Freistrahl β = 0.09; Radialstrahl β = 0.125;ebener Nachlauf β = 0.16. Die bisherigen Uberlegungen wollen wir in einer einzigen Formel zusam-menfassen

−u′v′ =τt

%= u2

τ = νt∂u

∂y= l2m

∣∣∣∣∂u

∂y

∣∣∣∣∂u

∂y, (7.25)


aus der wir den ”plausiblen” Ansatz

νt = (charakteristische Lange)× (charakteristische Geschwindigkeit) = lmuτ . (7.26)

ableiten. Die sog. Schubspannungsgeschwindigkeit ist eine Funktion der Wandschubspannung τw:

uτ =√

τw

%= lm

∂u

∂y. (7.27)

7.8 Nullgleichungsmodelle

Verwendet man zur Beschreibung der turbulenten Scheinzahigkeit νt einen Ansatz, der mit Hilferein algebraischer Beziehungen das System aus Gleichung (7.16) und der Kontinuitatsgleichungschließt, so spricht man von einem algebraischen Turbulenzmodell. Da sich die Anzahl der insgesamtzu losenden Differentialgleichungen nicht vom laminaren Stromungstyp unterscheidet, nennt mansolche Modelle auch Nullgleichungsmodelle. Die ortlichen Werte der Scheinzahigkeit werden durchdas Turbulenzmodell als proportional zu den partiellen Ableitungen der mittleren Geschwindigkeitgesetzt. Daneben finden einige algebraische Zusatzterme zur Modellierung von charakteristischerLange und Geschwindigkeit Verwendung. Alle derartigen Turbulenzmodelle knupfen im Ansatz andie o.a. Uberlegungen zur Mischungsweghypothese an. Es gilt beispielsweise fur eine Grenzschicht:

νt = l2m

∣∣∣∣∂u

∂y

∣∣∣∣ , (7.28)

wobei auch das turbulente Langenmaß lm aus dem mittleren Stromungsfeld bzw. dem Abstandzur Wand ermittelt wird. In den letzten 20 Jahren fanden algebraische Turbulenzmodelle weiteVerbreitung bei ingenieurtechnischen Anwendungen vor allem in der Aerodynamik. Die gangigstenModelle sind dabei die von Baldwin-Lomax und Cebeci-Smith. Das Problem aller algebraischenModelle liegt darin, das durch den lokalen Ansatz, d.h. die ausschließliche Verwendung von Großen,die am Ort gebildet werden, keine Informationen uber den Transport und damit das ”Gedachtnis”der Turbulenz vorhanden sind. Zur Erfassung dieser Effekte ist das Losen einer oder mehrererTransportgleichungen erforderlich.

7.9 Eingleichungsmodelle

Um den Transport turbulenter Eigenschaften durch das Stromungsgebiet erfassen zu konnen, kannentweder eine Transportgleichung fur die turbulente Viskositat νt oder fur die turbulente kineti-sche Energie k gelost werden. Beide Ansatze sind erfolgreich verfolgt worden. Das prominentesteBeispiele ist das Eingleichungsmodell von Spalart und Allmaras.

7.10 Zweigleichungsmodelle

Im Gegensatz zu Null- und Eingleichungsmodellen werden bei den Zweigleichungsmodellen Trans-portgleichungen fur zwei unterschiedliche Großen gelost. Der große Vorteil gegenuber den einfache-ren Modellen liegt dabei darin, daß sich durch die zwei Großen auch die beide wichtigsten Eigen-schaften der Turbulenz, namlich Intensitat und Struktur wiedergeben und transportieren lassen.Dabei ist es zunachst beliebig, welche beiden Großen gewahlt werden: ublich sind die Kombina-tionen turbulente kinetische Energie und turbulente Dissipationsrate (k-ε), turbulente kinetischeEnergie und turbulente Frequenz (k-ω) oder turbulente kinetische Energie und turbulentes Zeitmaß

7.10 Zweigleichungsmodelle 155

(k-τ). Im Gegensatz zu den RS–Modellen wird jedoch auf die Modellierung der Turbulenzaniso-tropie verzichtet. Mit zwei Großen kann keine ”Richtung” der Turbulenzstruktur wiedergegebenwerden.

7.10.1 Das k-ε Modell

Wertet man die Transportgleichung (7.8) fur die Reynoldsschen Spannungskomponenten statt furjede Komponente %u′iu

′j einzeln fur die Spur des Spannungstensors %u′iu

′i = 2%k aus, so ergibt sich

∂%u′iu′i

∂t+ uk

∂(%u′iu′i)

∂xk+ u

′iu′k

∂(%ui)∂xk

+ u′iu′k

∂(%ui)∂xk

+∂(%u

′iu′iu′k)

∂xk=

−∂p′u′i

∂xi− ∂p′u

′i

∂xi+

(p′

∂u′i

∂xi+ p′

∂u′i

∂xi

)

︸︷︷︸= 0

+µ∂2u

′iu′i

∂x2k

− 2µ

(∂u

′i

∂xk

∂u′i

∂xk

), (7.29)

wobei der Druck–Scher–Korrelationsterm gerade verschwindet (Kontinuitatsgleichung). Das Ergeb-nis ist eine Transportgleichung fur die turbulente kinetische Energie k:

∂(%k)∂t

+ uj∂(%k)∂xj

= −u′iu′j

∂(%ui)∂xj︸︷︷︸

Produktion

−12

∂(%ku′j)

∂xj− ∂p′u

′j

∂xj+ µ

∂2k

∂x2j︸︷︷︸

Diffusion

−2µ

(∂u

′i

∂xj

∂u′i

∂xj

)

︸︷︷︸Dissipation

, (7.30)

bei der Modellierung der Produktion kann auf den Ansatz von Boussinesq (7.13) zuruckgegriffenwerden, so daß sich fur den Produktionsterm ergibt:

Prodk = Pk = −u′iu′j

∂(%ui)∂xj

≈ µt

[∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

]∂ui

∂xj. (7.31)

Die Diffusionsterme werden zu einem einzigen zusammengefaßt und mit einem einfachen Ansatzmodelliert:

Diffk = −12

∂(%ku′j)

∂xj− ∂p′u

′j

∂xj+ µ

∂2k

∂x2j

≈ ∂

∂xj

[(µ +

µt

Prk)

∂k

∂xj

]. (7.32)

Die Dissipation wird spater als eigene Transportgroße ε modelliert:

Dissk = %ε . (7.33)

Die Transportgleichung fur die turbulente kinetische Energie k lautet damit zusammengefaßt:

∂(%k)∂t

+ uj∂(%k)∂xj

− Diffk = Prodk − Dissk . (7.34)

∂(%k)∂t

+ uj∂(%k)∂xj

− ∂

∂xj

[(µ +

µt

Prk)

∂k

∂xj

]= Pk − %ε . (7.35)

Eine weitere Transportgleichung wird fur die turbulente Dissipationsrate ε benotigt. Zwar laßtsich ausgehend von den Navier-Stokes Gleichungen auch eine Transportgleichung fur ε formulieren,


doch es hat sich gezeigt, daß damit keine erfolgreiche Simulation turbulenter Stromungsvorgangegelingt. Stattdessen erwies es sich als gunstig, eine sehr einfache heuristische Transportgleichungfur die Dissipationsrate zu verwenden:

∂(%ε)∂t

+ uj∂(%ε)∂xj

− Diffε = Cε1ε

kProdk − Cε2

ε

kDissk . (7.36)

∂(%ε)∂t

+ uj∂(%ε)∂xj

− ∂

∂xj

[(µ +

µt

Prε)

∂ε

∂xj

]= Cε1

ε

kPk − Cε2

%ε2

k. (7.37)

Die turbulente Scheinzahigkeit µt wird dabei analog zur Mischungsweghypothese nach der Glei-chung (7.26) bestimmt. Die charakteristische Lange L und charakteristische Geschwindigkeit Vsind dabei:

L =k

32

εund V =

√k . (7.38)

µt = %cµL× V = %cµk2

ε. (7.39)

Ahnlich wie bei den RS–Modellen gibt es auch unterschiedliche Varianten von k-ε Modellen, diesich nur in der Große der Konstanten unterscheiden. Je nach Autor werden die Konstanten ent-weder durch Vergleich mit experimentellen Daten bestimmt oder aus weiteren Zwangsbedingungenabgeleitet. Da die Koeffizientensatze jeweils fur einzelne Stromungsfalle ermittelt wurden, sind sieoft auch nur fur diese oder sehr ahnliche Stromungen zu benutzen. Zwei Satze von Koeffizientenkonnen aus der folgenden Tabelle entnommen werden.

Autoren cµ cε1 cε2 Prk Prε

Jones/Launder (1971) 0.09 1.55 2.0 1.0 1.3

Launder/Spalding (1974) 0.09 1.44 1.92 1.0 1.3 standard

Chien (1982) 0.09 1.35 1.80 1.0 1.3

Tabelle 9: Zusammenfassung der Konstanten des k-ε Modells

7.10.2 Das k-ω Modell

Wie bereits erwahnt kann alternativ zu einer zweiten Transportgleichung fur die Dissipationsrateε auch eine Gleichung fur die spezifische Dissipationsrate bzw. die turbulente Frequenz ω gelostwerden.

ω = cµε

k. (7.40)

Das am weitesten verbreitete k-ω Modell stammt von D.C. Wilcox. Es kann als das Standard k-ωModell betrachtet werden. Die Modellierung erfolgt analog zur Herleitung des k-ε Modells, wobeidie Transportgleichung fur ω wiederum heuristischer Natur ist:

7.11 Wandturbulenz 157

∂(%k)∂t

+ uj∂(%k)∂xj

− ∂

∂xj

[(µ +

µt

Prk)

∂k

∂xj

]= Pk − cµ%kω , (7.41)

∂(%ω)∂t

+ uj∂(%ω)∂xj

− ∂

∂xj

[(µ +

µt

Prω)∂ω

∂xj

]= αω

ω

kPk − βω%ω2 , (7.42)

mit

Pk = µt

[∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

]∂ui

∂xj, µt = %

k

ω.

Autor cµ αω βω Prk Prω

Wilcox (1988) 0.09 5/9 3/40 2.0 2.0 standard

Tabelle 10: Zusammenfassung der Konstanten des k-ω Modells

Sowohl k-ε- als auch k-ω Turbulenzmodelle weisen einige typische Probleme auf:

• k-ε-Modelle erweisen sich als ungunstig fur die Erweiterung auf den wandnahen Bereich (low-Re, siehe Abschnitt 7.11).

• k-ε-Modelle sind weniger sensibel gegenuber den Freistromwerten der Turbulenzgroßen. Dasist von Vorteil, weil die Vorgabe von Randbedingungen bei unbekannten Stromungen leichterfallt, ist aber andererseits von Nachteil, wenn spezielle Varianten von Einstromturbulenzuntersucht werden sollen.

• k-ε-Modelle sind in der Regel ungunstig fur Effekte wie druckinduzierte Ablosung.

• k-ω-Modelle sind schlechter geeignet fur die Wiedergabe freier Scherschichten und Strahlen.

7.11 Wandturbulenz

Die turbulente Schubspannung ist nach (7.4) eine Funktion der Korrelationsglieder u′iu′j . Ublicher-

weise formuliert man die Randbedingung an der Wand in Form der Wandhaftbedingung. Hier ver-schwinden somit auch samtliche Schwankungskomponenten, und es verbleiben nur noch die zahenSpannungen der laminaren Stromung. Auch im wandnachsten Bereich spielen die Spannungen auf-grund turbulenter Scheinreibung eine untergeordnete Rolle. Man nennt diesen auch zahe (laminare)Unterschicht. An die zahe Unterschicht schließt sich ein Ubergangsbereich an, in dem die Geschwin-digkeitsschwankungen turbulente Schubspannungen von der Großenordnung der Zahigkeitskrafteerzeugen. Mit zunehmendem Wandabstand uberwiegen schließlich die turbulenten Schubspannun-gen (vollturbulente Außenschicht). Abbildung 87 zeigt das typische Geschwindigkeitsprofil einerturbulenten Stromung uber einer glatten Oberflache. Die Abbildung stutzt sich auf den dimensi-onslosen Wandabstand y+ sowie die dimensionslose Geschwindigkeit u+

y+ := yuτ

ν; u+ :=

u

uτ, (7.43)

wodurch man wieder ahnliche Profile erhalt.


Abbildung 87: Dimensionsloses Geschwindigkeitsprofil bei turbulenter Stromung uber glatten Oberflachen

Zur Erfassung der Wandturbulenz durch Modelle notiert man unter Verwendung des Mischungsweg-langenansatzes lm = κy (vergleiche 7.24):

τw

%= (ν + νt)

∂u

∂y

= (ν + κyuτ )∂u

∂y. (7.44)

Im Hinblick auf eine moglichst allgemeingultige Aussage, ersetzen wir nun noch die dimensionsbe-hafteten Großen u und y gemaß (7.43, 7.27) durch die dimensionslosen Großen u+ bzw. y+, underhalten somit die gewohnliche Differentialgleichung

1 = (1 + κy+)∂u+

∂y+. (7.45)

Nach Trennung der Variablen laßt sich diese Beziehung fur den vollturbulenten Bereich (y+ À 1)

u+(y+) =1κ

ln[1 + κy+

]+ C

bzw. u+(y+) =1κ

ln(Ey+) , (7.46)

dem sogenannten logarithmischen Wandgesetz integrieren. Die Integrationskonstante ergibt sichaus Vergleich zu Experimenten mit E ≈ 8.432. Der Gultigkeitsbereich des logarithmischen Wand-gesetzes wird auch als high-Reynoldsnumber-Bereich bezeichnet.Fur den wandnahen Bereich (y+ < 1), der auch als low-Reynoldsnumber-Bereich bezeichnetwird, fuhrt die Auswertung von (7.44) mit ν À νt auf

u+ = y+ . (7.47)

Die beiden Beziehungen (7.47) und (7.46) wurden bereits in Abbildung 87 graphisch wiedergegeben.Hierbei ist zu beachten, daß die Abzissenkoordinate y+ logarithmisch aufgetragen ist, weswegen das

7.11 Wandturbulenz 159

logarithmische Wandgesetz die Form einer Geraden annimmt. Den in der Abbildung skizzierten Ver-lauf einer den gesamten inneren Bereich zusammenfassenden Kurve erhalt man durch Modifizierungder Mischungsweglange. Van Driest (1956) schlug die Berucksichtigung eines Dampfungsfaktors

lm = κ[1− exp(−y+/A+)

]y , A+ = Dampfungskonstante (7.48)

vor, womit man anstelle von (7.45) eine Differentialgleichung

∂u+

∂y+

[1 + κ

(1− exp(−y+/A+)

)y+

]= 1 , (7.49)

erhalt, die fur extreme Werte y+ (0 bzw. ∞) mit den beiden o.g. Gesetzen (7.47/7.46) uberlappt.

Wandfunktionen (high-Re Randbedingung)

Um die Punktanzahl bei der Auflosung von Wandgrenzschichten zu begrenzen, werden oft sog.Wandfunktionen verwendet, d.h. es wird eine Randbedingung eingesetzt, die die Annahme bein-haltet, daß sich der wandnachste Rechenknoten bereits innerhalb des logarithmischen Bereichs derGrenzschicht befindet (y+ > 10, besser y+ ≈ 20− 100).Die Schubspannungsgeschwindigkeit kann hier unter der Annahme turbulenten Gleichgewichts so-wie (7.31, 7.39, 7.27) mit der turbulenten kinetischen Energie parametrisiert werden:

turbulentes Gleichgewicht: Pk = %ε

µt

(∂u

∂y

)2

= % %cµk2

µt(νt

∂u

∂y

)2

= cµk2

uτ = c1/4µ k1/2 . (7.50)

Damit ergibt sich die Wandschubspannung, die als Randbedingung in den Impulsgleichungen er-forderlich ist, zu

τw = % u2τ

τw = % (c1/4µ k1/2

p )(

upκ

ln(Ey+p )

)

τw =%c

1/4µ k

1/2p κ

ln(Ey+p )

up . (7.51)

Der Index p markiert Großen am wandnachsten Knoten, wobei up die Geschwindigkeitskomponenteparallel zur Wand darstellt.Bei einem k-ε Modell, das typischerweise in Kombination mit Wandfunktionen zum Einsatz kommt,mussen Randbedingungen fur beide transportierten Großen gesetzt werden. Wahrend fur die tur-bulente kinetische Energie k eine Neumann-Randbedingung an der Wand verwendet wird, muß dieturbulente Dissipationsrate ε am wandnachsten Knoten fixiert werden. Nach (7.39) gilt

εp = %cµ

k2p

µt

Mit µt aus der Mischungsweghypothese (7.24, 7.26) laßt sich dafur schreiben

εp = %cµ

k2p

%κypuτ=

c3/4µ k

3/2p

κyp, (7.52)


wobei yp fur den senkrechten Abstand des wandnachsten Knotens steht. Eine analoge Formulierungfur ωp ist moglich wird jedoch ublicherweise nicht verwendet.

Low-Re Randbedingung

Im Bereich der zahen Unterschicht findet man analog zu (7.47) einen Geschwindigkeitsverlauf, dersich linear zum Wandabstand verhalt.

u(y) =%

µu2

τ · y . (7.53)

Wenn y die wandnormale Richtung ist, ergeben sich die Schwankungsgroßen u′, v′ und w′ aus einerAuswertung der Kontinuitatsgleichung in Wandnahe zu:

u′ = a1y + a2y2 + a3y

3 + . . . ∼ y

v′ = +b2y2 + b3y

3 + . . . ∼ y2

w′ = c1y + c2y2 + c3y

3 + . . . ∼ y (7.54)

→ k ∼ y2, u′v′ ∼ y3

Damit lassen sich die einzelnen Terme der Transportgleichung fur k in ihrem asymptotischen Verlaufzur Wand abschatzen:

k −Gleichung:Dk

Dt= 0 = Pk − ε − Diffk (7.55)

Produktion Pk ∼ u′v′ dudy ∼ y3 steigt mit dritter Ordnung

Diffusion Diffk ∼ ddy (µt

dkdy ) ∼ d

dy (k2/εdkdy ) ∼ y4 steigt mit vierter Ordnung

Im allgemeinen wird daher ein Gleichgewicht von Diffusion und Dissipation angenommen, woraussich eine Randbedingung am wandnachsten Punkt fur ε formulieren laßt:

0 = µd2k

dy2− %ε

→ εp = νd2k

dy2= . . . mit ∂k

∂y= 0 . . . =

2νkp

y2. (7.56)

Fuhrt man nun eine ahnliche Abschatzung fur die ε-Transportgleichung durch, zeigt sich das Pro-blem des k-ε-Modells:

ε−Gleichung:Dε

Dt= 0 = Pε − Dissε − Diffε (7.57)

Pε ∼ ε

kPk ∼ y Dissε ∼ ε2

k∼ y−2 , Diffε ≈ 0 .

Wegen des unterschiedlichen Verhaltens der Terme laßt sich diese Gleichung nicht losen. DiesesProblem kann nur durch komplizierte Modifikationen umgangen werden. Einen besseren Zugangzum semiviskosen Bereich der Grenzschicht erlaubt das k-ω Modell, das keine derartige Problematikaufweist. Analog zu (7.56) lautet die Randbedingung fur die ω-Gleichung:

ωp =6ν

βy2. (7.58)

161

8 Literaturubersicht

Leider ist die deutschsprachige Literatur auf dem Gebiet der numerischen Stromungsberechnungnicht sehr zahlreich. Das Vorlesungsskript lehnt sich in weiten Teilen an das Buch von K.A. Hoff-mann [1] an. Wer sich weiterhin fur Methoden der numerischen Stromungsberechnung interessiert,sei auf die allgemeinen Lehrbucher [6, 7, 8, 9, 10, 11] verwiesen. Fur die Vertiefung im Bereich derFinite–Volumen–Verfahren sind [2, 3, 4] und vor allem [5] zu empfehlen.Im Hinblick auf einzelne Fachgebiete bietet spezielle Literatur, auch fur den Anfanger, in der Regelden besseren Einstieg. Folgende Beispiele seien hier angefuhrt fur Partielle Differentialgleichungen[12], Stromungsmechanik und Turbulenz (allgemein) [13, 14, 15, 16, 17, 18], Tensorrechnung [19],Mehrgitter-Verfahren [20], Methode der Fourierreihen [21], Gittergenerierung [22], Turbulenzmo-dellierung [23, 24, 25].Ferner stehen am Hermann-Fottinger-Institut verschiedene Skripte zum betreffenden Themenbe-reich zur Verfugung [26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34]. Allen, die sich eingehender mit numerischerStromungsberechnung und deren Anwendung in ingenieurtechnischen Disziplinen beschaftigen wol-len, sei in diesem Zusammenhang vor allem das Vorlesungsskript zur Lehrveranstaltung ”Finite–Volumen Methode in der Numerischen Thermofluiddynamik” [35] ans Herz gelegt.References

[1] K.A. Hoffmann; Computational Fluid Dynamics for Engineers, Engineering Education System,Austin, TX 78713-8148, USA, 1998, (ISBN 0-9623731-4-1)

[2] Suhas V. Patankar; Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, McGraw-Hill, 1980 (ISBN 0 0748740 5)

[3] B.E. Schonung; Numerische Stromungsmechanik, Springer, 1990 (ISBN 3 540 53137 8)

[4] B. Noll; Numerische Stromungsmechanik, Springer, 1993

[5] J.M. Ferziger, M. Peric; Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer, 1996 (ISBN 3540 59434 5)

[6] C. Hirsch; Numerical Computation of Internal and External Flows, Vol. 1 & 2, John Wiley &Sons, 1989, (ISBN 0 471 92385 0, 0 471 92452 0)

[7] C.A.J. Fletcher; Computational Techniques for Fluid Dynamics, Vol. 1 & 2, Springer, 1988(ISBN 3 540 19466 5)

[8] D.A. Anderson, J.C. Tannehill, R.H. Pletcher; Computational Fluid Mechanics and Heat Trans-fer, McGraw Hill, 1984 (ISBN 0 07 050328 1)

[9] R. Peyret, T.D. Taylor; Computational Methods for Fluid Flow, Springer, 1983 (ISBN 3 54013852 X)

[10] T. Cebeci, P. Bradshaw; Physical and Computational Aspects of Convective Heat Transfer,Springer, 1984

[11] M. Schafer; Numerik im Maschinenbau, Springer, 1999

[12] G.D. Smith; Numerische Losung von partiellen Differentialgleichungen, Vieweg, 1970 (ISBN 3582 08296 8)

[13] J.O. Hinze: Turbulence - An Introduction to Its Mechanism and Theory McGraw-Hill, 1959

162 Literaturubersicht

[14] H. Tennekes, J.L. Lumley; A First Course in Turbulence MIT-Press, Cambridge (Mass.), USA,1972

[15] J.C. Rotta; Turbulente Stromungen, Teubner, 1972

[16] J. Spurk; Stromungsmechanik, Springer, 1991

[17] M. Jischa; Konvektiver Impuls-, Warme- und Stoffaustausch, Vieweg, 1982

[18] H. Schade, E. Kunz; Stromungslehre, de Gruyter, 1989

[19] H. Schade; Tensoranalysis, de Gruyter, 1997

[20] W. Hackbusch; Multi-Grid Methods and Applications, Springer, 1985 (ISBN 3 540 127615)

[21] R. C. Le Bail; Use of Fast Fourier Transformations for solving partial differential equations inphysics, J. Comp. Phys., (9), 1972

[22] J.F. Thompson, Z.U.A. Warsi, C. Wayne Mastin; Numerical Grid Generation, Elsevier, 1985(ISBN 0 444 00985 X)

[23] W. Rodi; Turbulence Models and Their Application in Hydraulics, Elsevier, 1984

[24] B.E. Launder, D.B. Spalding; Lectures in Mathematical Models of Turbulence, Academic Press,1972

[25] D.C. Wilcox; Turbulence Modeling for CFD, DCW Industries Inc., La Canada, 1993

[26] R. Wille; Stromungslehre, Vorlesungsskript, HFI, 1991

[27] H.H. Fernholz; Grenzschichttheorie I und II, Vorlesungsskript, HFI, 1997

[28] H.E. Fiedler; Turbulente Stromungen, Vorlesungsskript, HFI, 1995

[29] A. Michalke; Gasdynamik, Vorlesungsskript, HFI, 1994

[30] H. Schade; Kontinuumsphysik, Vorlesungsskript, HFI

[31] H. Schade; Dimensionsanalyse, Vorlesungsskript, HFI, 2000

[32] T. Rung; Statistische Turbulenzmodellierung, Vorlesungsskript, HFI, 2001

[33] W.W. Baumann, C. Bohning, F. Thiele; Einfuhrung in die Informationstechnik fur Ingenieure,Vorlesungsskript, HFI, 1999

[34] M. Stoewer, K. Grunert, S. Schmidt, W.W. Baumann; Aktuelle Arbeitstechniken derInformations- und Kommunikationstechnik fur Ingenieure, Vorlesungsskript, HFI

[35] W.W. Baumann, M. Schatz, F. Thiele, Finite–Volumen–Methode in der NumerischenThermofluiddynamik, Vorlesungsskript, HFI, 1999

Numerische Methoden der Thermo- und Fluiddynamik · 1 1 Einleitung Dieses Skript stellt die...

Documents

Transcript of Numerische Methoden der Thermo- und Fluiddynamik · 1 1 Einleitung Dieses Skript stellt die...