1

7. Vorlesung: KV-Diagramm

• Wiederholung– Minimalformen– KV-Diagramme

• KV-Diagramm (4 Variablen)• Don‘t Cares• Übung

2

Maxterm (Volldisjunktion)

• Ein Maxterm ist eine Disjunktion, die alle Eingangsvariablen, nicht negiert oder negiert, enthält.

• Für eine Boolesche Funktion mit n Eingangsvariablen existieren daher genau 2n Maxterme.

• Für exakt eine Kombination der Zustände der Eingangsvariablen nimmt ein Maxterm den Zustand falsch bzw. 0 an. Für alle anderen Kombinationen liefert der Maxterm 1.

3

Maxterme für zwei Eingänge1 2 0 1 2 3

0 0 1 1 10 1 1 1 11 0 1 1

00

0 11 01 1 1 1

X X M M M M

1 2 0 1 2 3

1 2 1 2 1 2 1 2

00

0

0 0 1 1 10 1 1 1 11 0 1 1 11 1 1 01 1

X X M M M M

X X X X X X X X∨ ∨ ∨ ∨

Bitte notieren Siedie algebraischeDarstellung für allevier Maxterme.

4

KV-Diagramm

• M. Karnaugh (1952) und E.W. Veitch (1953) entwickelten Verfahren zur graphischen Minimierung.

• Die Kombination beider Verfahren ist als Karnaugh-Veitch-Diagramm bekannt, das meist abgekürzt als KV-Diagramm bezeichnet wird.

• Bei diesem Verfahren können Minterme oder Maxterme zusammengefasst werden.

5

Konstruktion KV-Diagramm

0

1

2

3

0 00 11 01 1

B A YFFFF

0 1

2 3

F FF F

Y

00 0110 11

Y0 1

2 3

F FF F

Y A

B

6

Beispiel: ODER(Übung)

0 0 00 1 11 0 11 1 1

B A Y

0 11 1

Y A

B

7

Vereinfachungen für 2 Variablen1 2 3 4 5

0 0 0 1 1 0 10 1 0 1 0 1 11 0 1 0 1 0 11 1 1 0 0 1 1

B A Y Y Y Y Y

1 11 1

5Y A

B

0 01 1

1Y A

B1 10 0

2Y A

B

1 01 0

3Y A

B0 10 1

4Y A

B

1Y B= 2Y B=

3Y A= 4Y A=5 1Y =

8

Übung

0 0 10 1 01 0 11 1 1

B A Y

1 01 1

Y A

B

( ) ( ) ( )B A B A B A∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ( ) (( ( ))= ∧ ∨ ∧ ∨B A B A A

( )B A B= ∧ ∨

A B= ∨

A B∨

DMF

( ) ( )= ∨ ∧ ∨B B A B

9

Beispiel: KMF

0 0 10 1 01 0 11 1 1

B A Y1 01 1

Y A

B

A B∨

KMF

10

KV-Diagramm für 3 Eingangsvariablen

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

C B A YFFFFFFFF

Spiegelachse

0 1 5 4

2 3 7 6

F F F FF F F F

A

B

C

11

Torus-Topologie

Die Nachbarschaft von Feldern im KV-Diagramm basiert auf der Torus-Topologie.Dies bedeutet, dass Felder in der unterstenReihe Nachbarn der Felder in der oberstenReihe sind. Gleiches gilt für die Felder derrechten und linken Seite.

12

Torus-Topologie (Beispiel)

1 0 0 11 0 0 0

A

B

C

13

Übung: DMF

0 1 5 4

2 3 7 6

F F F FF F F F

A

B

C

DNF = m1+m3+m5

DMF?

0 1 1 00 1 0 0

A

B

C

( ) ( )A B A C∧ ∨ ∧

( )A B C= ∧ ∨

14

Übung: KMFKNF = M0*M2*M4*M6*M7

KMF?

0 1 1 00 1 0 0

A

B

C

( )A B C∧ ∨

15

KV-Diagramm für 4 Eingangsvariablen

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

D C B A YFFFFFFFFFFFFFFFF

0 1 5 4

2 3 7 6

10 11 15 14

8 9 13 12

F F F FF F F FF F F FF F F F

A

B

C

D

16

Don‘t Care

• Häufig ist eine Boolesche Funktion nicht für alle möglichen Kombinationen der Wertigkeit der Eingangsvariablen definiert.

• Die nicht definierten Kombinationen können beliebig realisiert werden und werden daher als Don‘t Carebezeichnet.

• Die Don‘t Care Kombinationen werden so festgelegt, dass die Funktion optimal minimiert werden kann.

17

Don‘t Care (Beispiel)

0 * 1 *0 1 * 0

A

B

C

* Don't Care≡

18

0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 00 1 0 1 10 1 1 1 11 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 0

D C B A Y Übung

Bitte erstellen Sie für diegegebene Wahrheitstabelleein KV-Diagramm.

19

Übung

0 0 1 *0 0 1 *0 0 * 0* * 1 1

A

B

C

D

0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 00 1 0 1 10 1 1 1 11 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 0

D C B A Y

Bilden Sie die disjunktive oder konjunktive Minimalform, so dass Sie in einfacher Weise eine algebraische Umformung durchführen können, die eine Realisierung nur mit NOR-Gattern ermöglicht. Zeichnen Sie die Zu-sammenfassungen in das KV-Diagramm ein.

20

Übung

0 0 1 *0 0 1 *0 0 * 0* * 1 1

A

B

C

D

( ) ( )

( )

C B A C B A

C B A

∧ ∨ = ∧ ∨

= ∨ ∨

( ) ( )

( )

C B D C B D

C B D

∧ ∨ = ∧ ∨

= ∨ ∨