8. Übung – Algorithmen I - KIT – ITI Algorithmik...

1 T. Bingmann, C. Schulz8. Übung – Algorithmen I

Fakultät für InformatikInstitut für Theoretische Informatik

INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS

8. Übung – Algorithmen ITimo Bingmann, Christian Schulz

KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

Graphen



Rn×n 3 Ax = b ∈ Rn



WarmupWiederholung Graph Datenstrukturen

TerminologieGraphen



adjazentZwei Knoten sind adjazent, wenn sie durch eine gemeinsame Kanteverbunden sind.

inzidentEinen Knoten und eine Kante sind inzident, wenn der Knoten einEndpunkt der Kante ist.

1 2

3

Adjazenzfelder



1

2

3

4 5

V

E

Adjazenzfelder



1

2

3

4 5

V 1 2 4 7 7 9

E 2 3 5 2 4 5 3 4

AdjazenzfelderAbstraktion in der Praxis



Graphen als MatrizenSymmetrie



Ungerichteter Graph→ symmetrische Adjazenzmatrix A = AT

1 2

3

4

0 1 0 11 0 1 00 1 0 01 0 0 0

Graphen als MatrizenDAG



DAGs lassen sich als obere Dreiecksmatrix repräsentieren

3 5

4

1 2

0 0 0 0 00 0 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 11 1 0 0 0

Graphen als MatrizenDAG



DAGs lassen sich als obere Dreiecksmatrix repräsentieren

2 3

1

4 5

0 1 1 0 00 0 0 1 10 0 0 1 10 0 0 0 00 0 0 0 0

Graphen als MatrizenZusammenhangskomponenten



Pro Zusammenhangskomponente ein Block in der Matrix

3 2

54

6

1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 01 0 0 0 0 0

Graphen als MatrizenZusammenhangskomponenten



Pro Zusammenhangskomponente ein Block in der Matrix

1 2

34

5

6 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0

Graphen als MatrizenPotenzierung



Was resultiert aus Potenzierung der Adjazenzmatrix?wie sind überhaupt · und + definiert auf {0,1}?

z. B. · wie üblich (also Logisches Und), + als max

was bedeutet aij = 1? Weg von i nach j (in einem Schritt).⇒ M = A2, mij = max`(mi` ·m`j): ∃Weg von i nach j über `?mittels Induktion: (Ak )ij = 1 ⇐⇒ ∃Weg von i nach j in k Schritten

1 2

3

4

0 1 0 11 0 1 00 1 0 01 0 0 0



Analyse von Graphen

Teilgraphen



Graph G = (V ,E). G′ = (V ′,E ′) Teilgraph von G :⇔V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E .

1

2

35

6

1

2

3

4

5

6

ist Teilgraph von

Teilgraphen



Graph G = (V ,E). G′ = (V ′,E ′) Teilgraph von G :⇔V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E .

1

2

35

6

1

2

3

4

5

6

ist kein Teilgraph von

Knoteninduziertere Teilgraphen



Graph G = (V ,E). G′ = (V ′,E ′) knoteninduzierter Teilgraph von G :⇔V ′ ⊆ V und E ′ = {(v ,w) ∈ E | v ,w ∈ V ′}.

1

2

35

6

1

2

3

4

5

6

ist knoteninduzierter Teilgraph von

Knoteninduziertere Teilgraphen



Graph G = (V ,E). G′ = (V ′,E ′) knoteninduzierter Teilgraph von G :⇔V ′ ⊆ V und E ′ = {(v ,w) ∈ E | v ,w ∈ V ′}.

1

2

35

6

1

2

3

4

5

6

ist kein knoteninduzierter Teilgraph von

K -core



Der größte knoteninduzierte Teilgraph G′ = (V ′,E ′) von G mit∀v ∈ V ′ : Grad(v) ≥ K ist der K -core von G.

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

ist 2-core von

K -core




2

35

6

1

2

3

4

5

6

ist 3-core von

K -core




1

2

3

4

5

6

ist 4-core von

K -coreCore Decomposition



Berechnung des K -cores



Procedure core(G = (V ,E), K : N)G′ = (V ′,E ′) := Gwhile (∃v ∈ V ′ with GradG′(v) < K )

Remove v from V ′ and all its incident edges from E ′return G′

Frage: Laufzeit für diesen Algorithmus?

a) O(n + m)

b) O(n log n + m)

c) O(n2 + m

)




Procedure core(G = (V [1..n + 1],E [1..m]), K : N) // AdjazenzfeldQ : FIFOd : Array[1..n] of Nfor (v := 1; v ≤ n; ++ v )

d [v ] := V [v + 1]− V [v ]if (d [v ] < K ) Q.pushBack(v )

while (!Q.empty())v := Q.popFront()for (e := V [v ]; e < V [v + 1]; ++ e)

w := E [e]d [w ]−−if (d [w ] = K − 1) Q.pushBack(w)

return subgraph induced by the nodes v with d [v ] ≥ K




Procedure core(G = (V [1..n + 1],E [1..m]), K : N) // AdjazenzfeldQ : FIFOd : Array[1..n] of Nfor (v := 1; v ≤ n; ++ v )

d [v ] := V [v + 1]− V [v ]if (d [v ] < K ) Q.pushBack(v )

while (!Q.empty())v := Q.popFront()for (e := V [v ]; e < V [v + 1]; ++ e)

w := E [e]d [w ]−−if (d [w ] = K − 1) Q.pushBack(w)

return subgraph induced by the nodes v with d [v ] ≥ K

Laufzeit: O(n + m)



Durchmesser ungerichteter Graphen




Intuitiv: Größter Abstand zweier Knoten im Graph.

Frage: Was ist der Abstand zweier Knoten im Graph?Antwort: Länge des kürzesten Pfades zwischen zwei Knoten.

Frage: Was ist die Länge eines Pfades?Antwort: Die Anzahl Kanten des Pfades.

A

C

D

E

F

G

B

H

I







Ein Pfad von C nach G, Länge = 4

A

C

D

E

F

G

B

H

I







Kürzester Pfad von C nach G, Länge = 3

A

C

D

E

F

G

B

H

I







Abstand von C und G, Länge = 3

A

C

D

E

F

G

B

H

I







Kürzester Pfad von I nach H, Länge = 4

A

C

D

E

F

G

B

H

I







Kürzester Pfad von I nach H, Länge = 4⇒ Abstand von I und H = 4

A

C

D

E

F

G

B

H

I







Kürzester Weg von I nach H, Länge = 4⇒ Abstand von I und H = 4Größter Abstand⇒ Durchmesser = 4

A

C

D

E

F

G

B

H

I

Durchmesser ungerichteter GraphenAlgorithmus



Idee:1: D = 0 : N≥02: for each u ∈ V do3: Berechne kürzeste Pfade von u zu allen v ∈ V\{u}4: D := max{D,größte gefundene Pfadlänge}5: return D

Laufzeit: O(n · Laufzeit Zeile 3)

Erinnerung:Anzahl Knoten: nAnzahl Kanten: m

Durchmesser ungerichteter GraphenMathematische Definition



Durchmesser := maxu,v∈V

(min

P∈P(u,v)|P|)

mit

P(u, v) ist Menge aller Pfade zwischen u und v|P| ist Anzahl der Kanten eines Pfades P

Wiederholung BreitensucheBeispiel



FIFO 1




FIFO 2




FIFO 2 3




FIFO 2 3 4




FIFO 2 3 4 5




FIFO 2 3 4 5 6




FIFO 3 4 5 6 7




FIFO 4 5 6 7 8




FIFO 5 6 7 8 9




FIFO 6 7 8 9




FIFO 7 8 9




FIFO 10 11 12 13 14




FIFO 18 19 23 16 17 15




FIFO 20 21 22 25 24 33 26




FIFO 30 31 27 29




FIFO 32 28




FIFO ∅

Durchmesser ungerichteter GraphenTeilalgorithmus: Alle kürzesten Pfade von u nach v ∈ V\{u}



Breitensuche plus Nachbearbeitung:

1: function maxAbstand(u: NodeID): Abstand2: (⊥,d) := bfs(u)3: result := maxv∈V\{u} d [v ]4: return result

Laufzeit:BFS braucht O(m)

Maximum berechenen braucht O(n)⇒ Gesamt O(n + m), für zusammenhängende Graphen = O(m), dan ≤ m






Laufzeit: Was glauben Sie?

BFS braucht O(m)

Maximum berechenen braucht O(n)⇒ Gesamt O(n + m), falls zusammenhängend = O(m), da n ≤ m






Laufzeit:

Was glauben Sie?

BFS braucht O(m)

Maximum berechenen braucht O(n)⇒ Gesamt O(n + m), falls zusammenhängend = O(m), da n ≤ m

Durchmesser ungerichteter GraphenAlgorithmus



Fertiger Algorithmus:1: D = 0 : N≥02: for each u ∈ V do3: D := max{D,maxAbstand(u)}4: return D

Laufzeit: O(n · Laufzeit Zeile 3) = O(nm), für zusammenh. Graphen

Durchmesser von Facebook 41



Breitensuchenzur Graphpartitionierung

GraphpartitionierungWas ist Graphpartitionierung?



Geben G und k > 1, teile V in k Blöcke V1,V2, ...Vk so dass:1 alle Mengen disjunkt, und die Vereinigung gerade V ist2 alle Mengen ungefähr gleich groß3 Anzahl der Kanten wird minimiert

Notation



ungerichter Graph G = (V ,E , c, ω), n = |V |,m = |E |Knotengewichte c : V → R>0, Kantengewichte ω : E → R≥0

Erweiterung auf Mengen1 c(V ′) :=

∑v∈V ′ c(v)

2 ω(E ′) :=∑

e∈E′ ω(e)

Schnittkanten Eij := {{u, v} ∈ E : u ∈ Vi , v ∈ Vj}

Notation





∑v∈V ′ c(v), c(Grün) = 11

2 ω(E ′) :=∑

e∈E′ ω(e)


Notation





∑v∈V ′ c(v)

2 ω(E ′) :=∑

e∈E′ ω(e)


Notation





∑v∈V ′ c(v)

2 ω(E ′) :=∑

e∈E′ ω(e), ω(Eij) = 5


GraphpartitionierungFormaler



Geg.: Graph G = (V ,E , c, ω)c : V → R>0ω : E → R≥0k ∈ N, ε ∈ R>0.

Ges.: Blöcke V1, ...,Vk ⊆ V , V =⋃

i Vi und Vi ∩ Vj = ∅ (i 6= j)Balancebedingung: c(Vi) ≤ (1 + ε) c(V )

k + maxv c(v) ∀iKantenschnitt =

∑i<j ω(Eij) minimal

Notation




c :≡ 1, ω :≡ 1, Kantenschnitt = 17Balancebedingung?

Notation




c :≡ 1, ω :≡ 1, Kantenschnitt = 17Balancebedingung? ε = 0.25: 7, 8, 10, 8 ≤ (1+ε)

k c(V ) = 10.31

Notation




c :≡ 1, ω :≡ 1, Kantenschnitt = 17Optimal?

BeispielFinite Element Methode



Multilevelframework



input graph

match

... ...local improvement

uncontractcontract

outputpartition

part.

initial

Multilevelframework



match

... ...local improvement

uncontractcontract

outputpartition

input graph

partitioning

initial

Breitensuchen!

AbstraktionBreitensuchen



Initial Partitioning



Rekursive Bipartitionierung, z.B. mit BFSfinde Knoten die weit entfernt sind

1 wähle zufälligen Startknoten, iteriere Breitensuchen2 bis Konvergenz

wechselseitige Breitensuchen mit Zuweisung zu Blöcken

BubblingBesser



1: procedure bubbling(Graph G, k ∈ N)2: centers[1..k] : Array of Vertices3: centers = initializeCenters(G, k)4: do5: growRegions(G, centers)6: findNewCenters(G)7: while( !stop-condition )8: return

BubblinginitializeCenters



BubblinggrowRegions



BubblingfindNewCenters



BubblingBeispiel / Init Centers



BubblingBeispiel / Grow Regions



Multilevelframework



input graph

...

initial

...

outputpartition

local improvement

partitioning

match

contract uncontract

später

AnwendungParallelisierung Gesamtschrittverfahren



A positiv definit, symmetrisch, dünn besetztGesucht x ∈ Rn mit:

Rn×n 3 Ax = b ∈ Rn

n groß! ⇒ Parallelverarbeitung, z.B. iterative Löser




D − L−R := AAx = b ⇒ Dx = (L + R)x + b




D − L−R := AAx = b ⇒ Dx = (L + R)x + bdefiniere iterativen Prozess: xk+1 = D−1(L + R)xk + b





xk+1i = 1

aii

∑i 6=j aijxk

j + bi





xk+1i = 1

aii

∑i 6=j aijxk

j + bi

Graphpartitionierung?




xk+1i = 1

aii

∑i 6=j aijxk

j + bi

G = (V = {1, · · · ,n},E) ungerichteter Graphe = {i , j} ∈ E ⇔ ai,j 6= 0

jede Komponente xki , x

k+1i ,Ai,∗ gehört zu Knoten i ∈ V

G ungerichtet, da A symmetrisch




xk+1i = 1

aii

∑i 6=j aijxk

j + bi

G = (V = {1, · · · ,n},E) ungerichteter Graphe = {i , j} ∈ E ⇔ ai,j 6= 0

0 3 0 23 0 1 00 1 0 02 0 0 0

1 2

3

4




xk+1i = 1

aii

∑i 6=j aijxk

j + bi

k -Partition von G:Prozessor l korrespondiert zu Vl (Aufteilung)speichert xk

i , xk+1i ,Ai,∗ und berechnet xk+1

i für alle i ∈ Vl

gute Partitionierung⇒ ausgeglichene Arbeit, wenig Kommunikation

0 3 0 23 0 1 00 1 0 02 0 0 0

1

4

2

3

Spezialfallvom Anfang der Übung



Graph G mit zwei Zusammenhangskomponenten:

1...k

k+1...n

(A1 00 A2

)(x1x2

)=

(c1c2

)

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