บทที่ 3 ระบบเลข...

Computer Science, CMU

ระบบเลข และการแทนรหสขอมล

204101 Introduction to Computer 1


ระบบเลขฐานตางๆ (เนน ฐาน 2 ฐาน 8 และ ฐาน 16)

การแปลงเลขฐาน

ความสมพนธของเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16

การคานวณทางคณตศาสตรในระบบเลขฐาน

การแทนรหสขอมลในระบบ BCD, EBCDIC, ASCII

การแทนรหสขอมลของจานวนเลข จานวนเตม จานวนจรง

ระบบเลข และการแทนรหสขอมล

2204101 Introduction to Computer


แสดงโดย (b=base or radix)

คาประจาหลก คอ คาของเลขฐานนนๆ ยกกาลงตามตาแหนงหลก

Least significant digit : คอเลขทมคาประจาหลกนอย

Most significant digit : คอเลขทมคาประจาหลกสง

การเขยนเลขฐานตองมคาฐานกากบ ยกเวนฐาน 10

ระบบเลขฐาน (Numeral System)



ฐาน 2 มเลข 0,1

ฐาน 8 มเลข 0,1,2,3,4,5,6,7

ฐาน 10 มเลข 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

ฐาน 16 มเลข 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

ตวเลขในฐานตางๆ



การแปลงเลขฐานใดๆ เปน ฐาน 10

การแปลงเลขฐาน 10 เปน ฐานใดๆ

การแปลงเลขฐาน 2 เปน ฐาน 8 ฐาน 16

การแปลงเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปน ฐาน 2

การแปลงเลขฐานทใชบอย



อาศยคาประจาหลกคณตวเลขแตละหลก นาผลคณทไดมารวมกน

(2542)10คาประจาหลก 10^3 10^2 10^1 10^0

คาเลข 2 5 4 2คาฐาน 10 = (2x10^3) + (5x10^2) + (4x10^1) + (2x10^0)

= 2000 + 500 + 40 + 2 = 2542 10

(2542)8คาประจาหลก 8^3 8^2 8^1 8^0

คาเลข 2 5 4 2คาฐาน 8 = (2x8^3) + (5x8^2) + (4x8^1) + (2x8^0) = 1024 + 320 + 32 + 2 = 137010

การแปลงเลขฐานใดๆเปนฐาน 10



ตวอยาง 11012 = ( ? )10

= (1 x 8) + (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1) = 8+4+0+1= 13

การแปลงเลขฐานใดๆเปนฐาน 10

7

1 1 1023 22 2021 คาประจาหลก



กรณ เลขจานวนเตม

ใชหลก MODULO คอ

เลขฐาน 10 เปนตวตง หารดวยเลขฐานทกาลงจะแปลง

ใหเกบเศษจากการหาร

หารเลขตอไปจนกระทงไมสามารถหารได

นาเศษของการหารมาวางตอกน เศษตวสดทายเปน Most

significant

การแปลงเลขฐาน 10 เปนฐานใดๆ



เลขจานวนเตม

ตวอยางการแปลงเลขฐาน 10 เปนฐานใดๆ

9

132

2 6 1

2 3 0

1 1

1310 = ( )2

ตอบ 11012

1310 = ( ) 4

4 13

3 1

ตอบ 314

คาตอบอานจาก

ลางขนบน



การตรวจสอบคาตอบ

10

63210 = (?)9

6329

9 70 2

7 7

Ans. 7729

ลองตรวจคาตอบด

7729

คาประจาหลก 92 91 90

81 9 1

= 7x81+7x9+2= 567+63+2= 63210



กรณ เลขจานวนจรง: การแปลงแบงเปน 2 สวน

สวนหนาจดทศนยมใชวธ MODULO

สวนเลขหลงจดทศนยม

คณเลขหลงจดทศนยมดวยฐานทตองการ แลวบนทกเฉพาะ

เลขหนาจดทศนยมของผลคณ

สวนเลขหลงจดนามาคณตอ จนครบจานวนตาแหนงหลงจด

ทศนยมทตองการ

การแปลงเลขฐาน 10 เปนฐานใดๆ



เลขจานวนจรง

ตวอยาง การแปลงเลขฐาน 10 เปนฐานใดๆ

12

132

2 6 1

2 3 0

1 1

13.4 10 = ( )2

.4 * 2 = 0 .8

.8 * 2 = 1 .6

.6 * 2 = 1 .2

.2 * 2 = 0 .4

Ans: 1101.01102

หนาทศนยม

คาตอบอานจาก

ลางขนบน



หลกการ ใชการจดกลมบต

เลขฐาน 2 เปน ฐาน 8 จดกลมละ 3 บต

เลขฐาน 2 เปน ฐาน 16 จดกลมละ 4 บต

โดยเรมจากบตทอยใกลจดทศนยม หากกลมสดทายไมครบเตม 0 ไปขางหนา

ทาการหาคาเปนเลขฐาน10 ของแตละกลมทจดแลว

นามาตอกนเพอเปนคาตอบโดยเรยงตามหลกซายไปขวา

การแปลงเลขฐาน 2 เปน ฐาน 8 ฐาน 16



จานวนเตม 111112 = ( 37 ) 8

ตวอยางการแปลงเลขฐาน 2 เปนฐาน 8

14

0 1 1

(0*4)+(1*2)+(1*1)

3 7

1 1 1

(1*4)+(1*2)+(1*1)

แปลงคาเปนเลขฐาน10

ของแตละกลม

แปลงคาเปนเลขฐาน10

ของแตละกลม

378

นามาตอกนเรยง

จากซายไปขวา



เลขจานวนจรง 0001.112 = (1.C ) 16

ตวอยางการแปลงเลขฐาน 2 เปนฐาน 16

15

1 1 0 0

(1*8)+(1*4)+(0*2)+(0*1)(0*8)+(0*4)+(0*2)+(1*1)

1 12

C

0 0 0 1 0 0

จดทศนยม

เปนตวแบง

1.C16

นามาตอกน



ใชหลกการกระจายเลขแตละหลกออกเปน บต ดวยเลข

ฐาน 2

แยกเลขฐาน 8 หนงหลก กระจายเปนเลขฐาน 2 ได 3

บต

แยกเลขฐาน 16 หนงหลก กระจายเปนเลขฐาน 2 ได 4

บต

การแปลงเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปน ฐาน 2



กรณ เลขจานวนเตม

ตวอยางการแปลงเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปน ฐาน 2

17

738 =( ) 2

7 3

1 1 1 0 1 1

A316 = ( ) 2

10 3

1 0 1 0 0 0 1 1

Ans: 1110112

Ans: 1010000116



กรณ เลขจานวนจรง

ตวอยางการแปลงเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปน ฐาน 2

18

7.38 = ( ) 2

7 . 3

1 1 1 0 1 1

A3.B16 = ( ) 2

10 3 . 11

1 0 1 0 0 0 1 1

Ans: 111 . 0112

Ans: 10100001.101116

1 0 1 1



ระหวางเลขฐานใดๆ และเลขฐาน10

10012 = ( ? ) 10

10015 = ( ? ) 10

12 = ( ? ) 2 123 = ( ? ) 5

2550 = ( ? )16

แบบฝกหด 1 จงแสดงวธการแปลงเลขฐานตอไปน

19

• ระหวางเลขฐาน 2 ,8 , และ 16

• 101012 = ( ? ) 8• 101011.01102 = ( ? ) 16• 21.816 = ( ? ) 2• 2358 = ( ? ) 8



การบวกเลขฐาน

การลบเลขฐาน

การลบเลขฐาน โดยการใช complement

การคานวณเลขฐาน



การบวก

การบวกเลขฐาน

21

1101.112

+

0111.012

10101.00 2

5345

+

1235

คานวณไมได

เพราะไมมเลข 5

ในฐาน 5

F31C16

+

235016

1166C16 คาตอบทถกตอง



การลบเลข

การลบเลขฐาน

22

4325

-

1435

2345

1011.0112

-

0111.1012

0011.1102



10012+10112= ( ? )

1 0 0 12

1 0 1 12

1 0 1 0 02

ตรวจสอบคาตอบดวยตนเองโดยเทยบกบเลขฐานสบ คอ10012+10112

910 + 1110 = 20= 101002

11012 - 1102 = ( ? )

1 1 0 12

1 1 02

0 1 1 12

เทยบกบเลขฐานสบคอ11012 - 1102

1310 - 610 = 710= 1112

การบวก-ลบ เลขฐานสอง และการตรวจสอบคาตอบดวยฐานสบ

23

-

+



Complement ของฐานใดๆ (ให R แทนฐาน) ม 2 ประเภท

คอ R-1’s complement และ R’s complement

ฐาน R-1’s Comp. R’s Comp

การหาคอมพลเมนท (Complement)

24

2 1’s Comp 2’s Comp





การหาคอมพลเมนท ท R-1 ของเลขใดๆ

นาคาสงสดทเปนไปไดของเลขทมจานวนหลกเทากบตวเลขทตองการ ลบดวยตวเลขทตองการหาคอมพลเมนท

ผลทไดคอ คอมพลเมนทของเลขจานวนนน

เลข 2910 มสองหลก คาสงสดของเลขสองหลก คอ 99

• 9’s Comp : 99 - 29 = 70

เลข 101.112 มคาสงสดคอ 111.11

• 1’s Comp : 111.11 - 101.11 = 010.00

การหาคา R-1 คอมพลเมนท



การหาคอมพลเมนท ท R ของเลขใดๆ

นาคาสงสดของเลขทมหลกเทากบเลขนนบวกดวยเลขททาใหเกดการเปลยนหลก แลวจงลบดวยเลขจานวนนนอกท

เลข 2910 ม R คอมพลเมนท เปน

• 10’s Comp : (99 + 1) - 29 = 71

เลข 101.112 ม R คอมพลเมนทเปน

• 2’s Comp : (111.11 + .01) - 101.11 = 0010.01

การหาคา R คอมพลเมนท



การหา R-1 Complement คอ การนาเลขจานวนนนลบ

ออกจากเลขสงสด ทมจานวนหลกเทากบเลขนน

1’S Complement ในเลขฐาน 2 คอ การเปลยนคาของแต

ละบตใหตรงกนขาม

คา R-1 Complement มคานอยกวา R Complement อย 1

เสมอ ณ หลกขวามอสด

2’S Comp = 1’S Comp + 1 ทหลกขวามอสด

ขอสงเกตเกยวกบคอมพลเมนท



นาเลขตวลบไปหาคอมพลเมนท

นาคอมพลเมนททหาได บวก กบเลขตวตง

ผลลพธทไดถามเลขเกนหลก

กรณ R’S Comp. ใหตดทง

กรณ R-1’S Comp. ใหนาเลขทเกนหลก บวกกบผลลพธ

ผลทไดคอคาตอบ

การลบเลขแบบคอมพลเมนท(ลบเลขดวยวธบวก)



ตวอยางการลบเลขแบบคอมพลเมนท (R-1)


29

4325 - 1435 = ? 1011.011 2- 111.1012 = ?

432 + 3011 233

2

444 - 143 = 3011

1 234

+3

เทยบไดกบฐาน 10(117-48)10=6910

เทยบไดกบฐาน 10(11.375-7.625)10=3.7510

1 0 1 111.111- 111.101= 000.01011011.011 + 1000.010

1 0011.101

2

1 0011.110

3 +

4325 - 1435 = 2345 1011.011 2- 111.1012 = 11.112


ตวอยางการลบเลขแบบคอมพลเมนท (R)


4325 - 1435 = ? 1011.011 2- 111.1012 = ?

432 + 3021 234

21000 - 143= 3021

เทยบไดกบฐาน 10(117 - 48)10 = 6910

เทยบไดกบฐาน 10(11.375 - 7.625)10 = 3.7510

0 110000.000- 111.101= 000.01111011.011 + 1000.011

1 0011.110

2

3ตดทง

4325 - 1435 = 2345

3ตดทง

1011.011 2- 111.1012 = 11.112


การแทนรหสขอมลทเปนอกขระ (Alphanumeric Data

Representation)

การแทนรหสขอมลทเปนจานวนเลข (Numeric Data

Representation)

เลขจานวนเตม (Integer Representation)

เลขทมจดทศนยม (Floating Point Representation)

การแทนรหสขอมลในหนวยความจา (Data Representation)



รหส BCD : Binary Coded Decimal

รหส EBCDIC: Extended Binary Coded Decimal

Interchange Code

รหส ASCII : American Standard Code for Information

Interchange

การแทนขอมลทเปนอกขระ



ใช 6 บตแทนอกขระ 1 ตว

ระบบนแทนอกขระได 64 ตว ( 26 รปแบบ)

รหส BCD (Binary-Coded Decimal)

33

C B A 8 4 2 1

Digit bitZone bit

Check bit/ Parity bit



การแทนรหส BCD

อกขระแบบตวเลข (0 - 9) Zone Bit จะเปน 00

อกขระแบบตวอกษร หรอ สญลกษณพเศษ Zone bit

เปน 11

รหส BCD



ใช 8 บตแทนอกขระ 1 ตว

ระบบนแทนอกขระได 256 ตว ( 28 รปแบบ)

รหส EBCDIC

35

C 8 4 2 1 8 4 2 1

Digit bitZone bit

Check bit/ Parity bit



การบนทกขอมลในระบบ EBCDIC ม 2 แบบ

การบนทกแบบ Zoned Decimal

การบนทกแบบ Packed Decimal

การบนทกแบบตวเลข Zone bit มคาเปน

1111 สาหรบเลขทไมมเครองหมายนาหนา ( 12 ,F)

1100 สาหรบเลขทมเครองหมายบวก และ (+12 ,C)

1101 สาหรบเลขทมเครองหมายลบ (-12 ,D)

รหส EBCDIC


204101 Introduction to Computer37


เปนการเปลยนลกษณะการเกบรหส EBCDIC ใหใชใน

การคานวณ

การเปลยนนจานวนหลกสามารถยดหยนได

ไมใชกบตวเลขทเปนจดทศนยม

การแทนขอมลแบบ Packed Decimal



สลบสวน Zone bit และ Digit bit ของไบทขวาสด

ตด Zone bit ของไบท ทเหลอ

บบขอมลซงเปน Digit Bit เขามา

วธการ Packed Decimal



ม 2 ชนด คอ 7 บท กบ 8 บท กาหนดใหตวเลขมคานอย

กวาตวอกษรเปนรหสทนยมในปจจบน

ลกษณะคลาย EBCDIC ม Zone bit

0101 และ 011 สาหรบตวเลข

1010 และ 100 สาหรบตวอกษร

รหส ASCII



เปนบททใชตรวจสอบการแทนรหส ม 2 ระบบ

Even Parity ระบบจานวนค ระบบนตองมบททเปนเลข 1 ทงหมดม

จานวนเปนเลขค

Odd Parity ระบบจานวนค ระบบนตองมบททเปนเลข 1 ทงหมดม

จานวนเปนเลขค

Parity bit หรอ Check bit

41

1 1 1 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0 1

1 1 1 0 1 0 1



การแทนขอมลแบบน กาหนดเนอทในหนวยความจาม

ขนาดตายตว (Fixed length word) สาหรบแทนตวเลข 1

จานวน

Half-word ใชเนอท 2 ไบท

Full-word ใชเนอท 4 ไบท

Double-word ใชเนอท 8 ไบท

การแทนรหสขอมลทเปนตวเลข



Sign Magnitude / Pure binary code

2’S Complement

1’S Complement

การแทนเลขจานวนเตม

43

** หมายเหต โดยทวไปแลวการแทนเลขดวยระบบ 1’s Complements, 2’s

Complements จะใชสาหรบการแทนเลขจานวนเตมลบ ดงนนถาเลขทตองการแทน

ดวยระบบ 1’s Complements, 2’s Complements เปนเลขจานวนเตมบวก กจะแสดง

คาตอบคลายกบใชวธ Sign Magnitude ทตางคอวธ Complements ไมมการกน sign bit

จานวน 1 bit



ระบบนบตซายสดแทนเครองหมายเรยกวา Sign bit ท

เหลอแทนขนาดของจานวนเลข เรยกวา Magnitude

Sign Magnitude

44

Signbit Magnitude

MSB LSB

1 แทน ลบ

0 แทน บวก 1 Word = 4 Byte = 32 Bit



แบบ Sign Magnitude

แสดงการแทนคาแบบ Sign Magnitude

45

1 Word = 4 Byte = 32 bit

31 2 1 0

25=1100120 0 0 0 1 1 0 0 1.....................

-25 1 0 0 ......................... 0 1 1 0 0 1

บตท 1บตท 32



การแสดงจานวนเลขในระบบ 1’S Complements ดงน

เลขจานวนเตมบวก แทน ดวย true binary โดยไม

ตองกน sign bit เชน 32, 109 , 2008 เปนตน

เลขจานวนเตมลบ จะใชคา 1’S Complements ของ

เลขจานวนบวกนน แทนเปนเลขลบของเลขบวก

จานวนนน เชน -32, -109 , -2008 เปนตน

แสดงการแทนคา แบบ 1’S Complement



เชน ตองการแทนคา 28 ดวยระบบ 1’S Comp

28 = 111002

ตวอยาง การแทนคา 1’ Complements

47

MSB LSB

000000..............0000000000 1 1 1 0 0

คา true binary ของเลข 28

แปลง 28 จานวนเตมเปนฐาน 2 ในรปแบบ32 บต

แทนเลขจานวนเตมบวก 28 ดวยวธ 1’s Complements

0 0000000 00000000 00000000 00011100จะไดคาตอบคอ



เชน ตองการแทนคา -28 ดวยระบบ 1’S Comp

28 = 111002

ตวอยาง การแทนคา 1’ Complements

48

MSB LSB00000000 00000000 00000000 00011100

11111111 11111111 11111111 11100011 ดงนนจะแทน -28 ดวยวธ 1’s Comp ในรปแบบ 32 บต ไดดงน

28 จานวนเตมเปนเลขฐาน 2

ในรปแบบ 32 บต

หาคา 1’s Comp ของ 28 ทแปลงเปนฐาน 2 โดยทาการกลบบตขอมลของทกบต ในรปแบบ

32 บต นนคอจะใช 1’s comp ของเลขบวกแทนเลขลบของเลขบวกนน

true binary ของเลขบวก

1 1111111 11111111 11111111 11100011



แบบ 2’S Complements

เปนระบบทนยมใชในเครองคอมพวเตอร

การแสดงจานวนเลขในระบบ 2’S Complements ดงน

เลขบวก แทนดวยคา true binary ของเลขบวกนน โดยไม

ตองกน sign bit

เลขลบ จะใชคา 2’S Complements ของเลขบวกจานวนนน

แทนเปนเลขลบของเลขบวกจานวนนน

แสดงการแทนคาแบบ 2’S Complements



เชน ตองการแทนคา -28 ดวยระบบ 2’s Comp

28 = 111002

ตวอยาง การแทนคา 2’s Complements

50

MSB LSB00000000 00000000 0..0 00011100

11111111 11111111 1..1 11100011 +1

11111111 11111111 1..1 11100100

หาคา 1’S Comp ของ 28 ทแปลงเปนฐาน 2

แปลง 28 จานวนเตมเปนฐาน 2

ในรปแบบ 32 บต

หาคา 2’S Comp ของ 28 ทแปลงเปนฐาน 2 โดยนา 1 มาบวกกบหลกขวาสด

ไดคาตอบ คอ

True binary ของ 28



R = +- .M * B+- E

วธ Excess 64 (แสดง Exponent ดวยจานวน 7 บท)

Floating Point Representation

51

Sign Exponent Mantissa

31 30 24 0

S Sign แทนเครองหมาย บวก ลบ ของจานวนเลข 1 bit

E Exponent สวนทยกกาลง จะใช bit ท 24-30 =7 bits

M Mantissa เลขทอยหลงจด จะใช bit ท 0-23 =24 bits



เปลยนเลข ไปเปนเลขฐาน 16

Normalisation เลขฐาน 16 (มเลขหลงจด และ ยกกาลง)

ในรป R = +- .M * B+- E

เปลยน Sign, Exponent, Mantissa เปนเลขฐาน 2

Sign : 1 แทนคาลบ 0 แทนคาบวก

Mantissa : เปลยนเปนฐาน 2 เตมเลขโดยตอจาก

Exponent จากซาย มา ขวาทเหลอเตมศนยเพอให

mantissa ครบ 24 bit

ข นตอนการทา Floating point



ใช Excess notation

ใชเลข n บทแสดง Exponent

เนองจาก Exponent มไดทงบวกและลบ จงตองแบงชวงคาทเปนไปไดของเลข n บทเปนสองชวง

จดแบงของสองชวงอยทจดทบทสงสดเปน 1 และบททเหลอเปน 0 • สาหรบกรณ Excess 64 (= 4016 ) จดแบงจะอยท 1000000

ขนตอนการทา Floating point (1/2)



การบนทกคา Exponent

หาก Exponent เทากบ 0 จะแทนดวย 1000000

หาก Exponent มากกวา 0 ใหนา True exponent มาบวกกบ 4016 นนคอ• 1000000 + True exponent (ในฐานสอง)

• หรอ 4016 + True exponent (ในฐาน 16)

หาก Exponent นอยกวา 0 ใหนา True exponent มาลบจาก 4016 แทน

ขนตอนการทา Floating point (2/2)



28 1C16

1C16 = (+.1C * 162)16

Sign 0

Mantissa 0001 11002

Exponent 4016 + 216 = 42 16 100 00102

ตวอยาง ทา Floating point ทเปนเลขจานวนเตม

55

0 100 0010 0001 1100 0000.............0000

1 bit 7 bit 24 bit

ถอยไปหลงจดกตวกจะไดเลขยกกาลง

ของ (1616 ) เทากบจานวนการถอย

นนคอจะได true exponent คอ 216



-28.5 -1C.816

-1C.816 = (-.1C8 * 162)16

Sign 1

Mantissa 0001 1100 10002

Exponent 4016 + 216 = 42 16 100 00102

ตวอยาง ทา Floating point ทเปนเลขทศนยม

1 100 0010 0001 1100 10000000..0000

1 bit 7 bits 24 bits

** สงเกตวา ถอยไปหลงจด 2

ตาแหนงจะได true exponent คอ 216



1. จงแสดงวธการลบเลขแบบธรรมดา , R complement และ R-1

Complement ของ (5624-567)8 = (?)8

2. จงแสดง Floating Point Representation ของเลขฐานตอไปน ดวยวธ

Excess 64

• 75.2510

• 10011.102

แบบฝกหดท 2


58

2. การแทนคาเลขจานวนเตมดวยวธ 2’s complement ของ -33

3. การแสดงFloating Point RepresentationของเลขฐานตอไปนดวยวธExcess 64

a)75.25 b) -100011011.102

แบบฝกหด 31.จงแสดงวธการแปลงเลขฐานตอไปน100.15 = ( ? ) 10123 = ( ? ) 5101011.0112 = ( ? )162358 = ( ? )16

4. แสดงการลบเลขฐานตอไปน แบบ 1’s complement และแบบ 2’s complement

11012- 1002 204101 Introduction to Computer


2. การแทนคาเลขจานวนเตมดวยวธ 2’s complementของ -33

3. การแสดงFloating Point RepresentationของเลขฐานตอไปนดวยวธExcess 64a) 75.25 b) -100011011.102


จงแสดงวธทาเพอ

11111111110111112กรณใช 2 ไบต

1100001100010001101110000000000001000010010010110100000000000000

1.จงแสดงวธการแปลงเลขฐานตอไปน100.15 = ( ? ) 10123 = ( ? ) 5101011.0112 = ( ? )162358 = ( ? )16

• 25.0210

• 503 5

• 2B.616

• 9D16

4. แสดงการลบเลขฐานตอไปน แบบ 1’s complement และแบบ 2’s complement

11012- 1002 คาตอบทไดคอ 10012

บทที่ 3 ระบบเลข...

Documents

Transcript of บทที่ 3 ระบบเลข...