Abiturvorbereitung Stochastik

neue friedländer gesamtschule

Klasse 12 GB

21.02.2014

Holger Wuschke B.Sc.

Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013

Organisatorisches

21.02.2014 H. Wuschke

21.02.2014 H. Wuschke

1. Begriffe in der Stochastik

(1) Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang ungewiss ist.

(2) Das (Versuchs-)Ergebnis ist das Resultat bzw. der Ausgang eines Zufallsexperimentes.

(3) Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnisraum Ω bezeichnet.

(4) Jedem Ergebnis wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird, wobei alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.

Symbolisch: P(E) = a, 0 ≤ a ≤ 1

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1. Begriffe in der Stochastik

(5) Ein (Versuchs-)Ereignis ist eine Zusammenfassung von (mehreren) möglichen Ergebnisse zu einem Ganzen.

Damit sind Ereignisse also auch ein Teil des Ergebnisraumes.

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1. Begriffe in der Stochastik

Spezielle Ereignisse:

• Das unmögliche Ereignis: E = Ø, P(E) = 0

• Das sichere Ereignis: E = Ω, P(E) = 1

• Das Elementarereignis ist ein einelementiges Ereignis bzw. ein Ereignis mit genau einem Ergebnis.

• Das Gegenereignis ist das Gegenteil eines bestimm-ten Ereignisses E.

Symbolisch: Ē.

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Abitur M-V 2009

1. Begriffe in der Stochastik

(6) Die Komplementärregel

Ist Ā das Gegenereignis zu A, dann gilt:

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𝑃 𝐴 = 1 − P Ā , wobei 𝑃 Ω = 1

1. Begriffe in der Stochastik

(7) Das Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Versuchsausgänge gleich wahrschein-lich sind. Hier gilt: Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ermittelt sich aus:

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𝑃 𝐴 = 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑔 ′ ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒𝑛′𝐹ä𝑙𝑙𝑒

𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒𝑛 𝐹ä𝑙𝑙𝑒

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Abitur M-V 2010

1. Begriffe in der Stochastik

(8) Gesetz der großen Zahlen (Link)

Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, nähert sich die relative Häufigkeit mit zunehmender Versuchs-zahl der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit an.

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1. Begriffe in der Stochastik

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(9) Das Baumdiagramm ist eine Darstellungsart für (mehrstufige) Zufallsversuche. Die Zweige zeigen die Ergebnisse und die Pfade die Ereignisse an.

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Abitur M-V 2010 Aufgabe A3

1. Begriffe in der Stochastik

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Hier gelten die Pfadregeln:

1. Um die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades zu bestimmen, werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweige multipliziert.

2. Wenn mehrere Pfade ein Ereignis bilden, werden sie addiert.

1. Begriffe in der Stochastik

(10) Bernoulli-Experiment

Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufalls-experiment, bei dem sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden.

(11) Bernoulli-Kette

Wiederholte Durchführung eines Bernoulli-Experimen-tes, die Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert.

Benannt nach Jakob Bernoulli (1654-1705), schweizer Mathematiker.

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Abitur M-V 2009

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Abitur M-V 2004 Grundkurs

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Abitur M-V 2004 Leistungskurs

1. Begriffe in der Stochastik

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In Worten In „Mathematisch“

weniger als 4 P(X<4) oder P(X≤3)

höchstens 4 P(X≤4)

genau 4 P(X=4)

zwischen 4 und 7 P(4<X<7) oder P(5≤X≤6)

von 4 bis 7 P(4≤X≤7)

mindestens 4 P(X≥4)

mehr als 4 P(X>4) oder P(X≥5)

2. Begriffe in der Kombinatorik

(1) Permutation

Die geänderte Anordnung (Reihenfolge) einer Menge heißt Permutation. Bei einer Menge von n verschie-denen Elementen gibt es n! (gelesen: „n Fakultät“) Permutationen. Wobei hier jedes Element nur einmal verwendet wird (Ziehen ohne Zurücklegen).

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𝑛! ≔ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛

2. Begriffe in der Kombinatorik

(2) Binomialkoeffizient

Das Symbol 𝑛𝑘

(gelesen: „n über k“) wird als Binomial-

koeffizient bezeichnet. Er ist wie folgt definiert:

Spezielle Werte: 𝑛0

= 1, 𝑛1

= 𝑛 und 𝑛𝑛

= 1.

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Seien 𝑘, 𝑛 ∈ ℕ mit 𝑘 ≤ 𝑛 𝑛

𝑘≔

𝑛!

𝑘! ∙ 𝑛 − 𝑘 !

2. Begriffe in der Kombinatorik

(3) Variation und Kombination

Die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge beim zufälligen Ziehen von k Elementen aus n möglichen beträgt jeweils:

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Variation Kombination

Geordnet Ungeordnet

mit Zurücklegen 𝑛𝑘 𝑛 + 𝑘 − 1

𝑘

ohne Zurücklegen 𝑛!

𝑛 − 𝑘 !=

𝑛

𝑘∙ 𝑘!

𝑛

𝑘

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Abitur M-V 2009