Abiturvorbereitung Stochastik

neue friedländer gesamtschule

Klasse 12 GB

24.02.2014

Holger Wuschke B.Sc.

Siedler von Catan, Rühlow 2014

Organisatorisches

10.04.2014 H. Wuschke

10.04.2014 H. Wuschke

0. Begriffe in der Stochastik

(1) Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang ungewiss ist.

(2) Das (Versuchs-)Ergebnis ist das Resultat bzw. der Ausgang eines Zufallsexperimentes.

(3) Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnisraum Ω bezeichnet.

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0. Begriffe in der Stochastik

(4) Jedem Ergebnis wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird, wobei alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.

Symbolisch: P(E) = a, 0 ≤ a ≤ 1

(5) Ein (Versuchs-)Ereignis ist eine Zusammenfassung von (mehreren) möglichen Ergebnisse zu einem Ganzen.

Damit sind Ereignisse also auch ein Teil des Ergebnisraumes.

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0. Begriffe in der Stochastik

(6) Bernoulli-Experiment

Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufalls-experiment, bei dem sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden.

(7) Bernoulli-Kette

Wiederholte Durchführung eines Bernoulli-Experimen-tes, die Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert.

Benannt nach Jakob Bernoulli (1654-1705), schweizer Mathematiker.

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

(1) Eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuches eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zufallsgröße.

Eine Zufallsgröße heißt:

• stetig, wenn sie alle möglichen reellen Zahlen als Wert annehmen kann (z.B. auf ein Intervall abbildet).

• diskret, wenn sie nur endlich viele (meist „runde“) Werte annehmen kann.

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

(2) (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung

Die Verteilung ist eine Funktion, die jedem Wert einer Zufallsgröße ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten ist 1.

Symbolisch: 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑎, 0 ≤ 𝑎 ≤ 1

Sie heißt:

- Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Zufallsgrö-ßen - Dichtefunktion bei stetigen Zufallsgrößen

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Abitur M-V 2010

1. Zufallsgrößen und Verteilung

Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln

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W2 W1

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

1. Zufallsgrößen und Verteilung

Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln

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k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=k) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Wertetabelle (oben) Histogramm (links) Balkendiagramm (rechts) Beides sind Wahr-scheinlichkeits-funktionen

1. Zufallsgrößen und Verteilung

(3) Erwartungswert einer Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße X nehme die Werte 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛 mit den Wahrscheinlichkeiten 𝑃(𝑋 = 𝑘1), … , 𝑃(𝑋 = 𝑘𝑛) an.

Dann wird der zu erwartende Mittelwert der Verteilung als Erwartungswert der Zufallsgröße bezeichnet.

Symbolisch: E(X), μ (lies: „mü“), 𝑥

Es gilt: μ = 𝐸 𝑋 = 𝑘𝑖 ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑘𝑖) 𝑛

𝑖=1

Bemerkungen:

i. Der Erwartungswert wird fast genauso berechnet, wie das arithmetische Mittel (der Durchschnitt).

ii. Ein Spiel (um Geld) wird als fair bezeichnet, wenn der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

D. h. beim zweimaligen Würfeln:

𝐸 𝑋 = 2 ∙1

36+ 3 ∙

2

36+ 4 ∙

3

36+ 5 ∙

4

36+ 6 ∙

5

36+ 7 ∙

6

36+ 8 ∙

5

36

+ 9 ∙4

36+ 10 ∙

3

36+ 11 ∙

2

36+ 12 ∙

1

36

= 7

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

(4) Varianz einer Zufallsgröße

Die Varianz misst, wie sehr die Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert abweicht.

Symbolisch: V(X), Var(X), σ²x oder σ²

Es gilt: Var X = 𝜎²𝑥 = (𝑘𝑖 − μ𝑛𝑖=1 )² ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑘𝑖)

D.h. beim Würfeln:

𝑉 𝑋 = 2 − 7 2 ∙1

36+ 3 − 7 2 ∙

2

36+ 4 − 7 2 ∙

3

36+ 5 − 7 2 ∙

4

36+ 6 − 7 2 ∙

5

36+ 7 − 7 2 ∙

6

36

+ 8 − 7 ² ∙5

36+ (9 − 7)² ∙

4

36+ (10 − 7)² ∙

3

36+ (11 − 7)² ∙

2

36+ (12 − 7)² ∙

1

36

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

𝑉 𝑋 =35

6= 8, 3 Die Zufallsgrößen liegen im

Bereich 7 ± 8,3

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

(5) Standardabweichung einer Zufallsgröße

Die Standardabweichung gibt den Bereich der häufig-sten Werte um den Erwartungswert an.

Symbolisch: σx oder σ

Es gilt: 𝜎 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

D.h. beim Würfeln: σ =35

6= 2,42 Der Bereich der häufigsten

Werte ist 7±2,42

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

(6) Normalverteilung von Zufallsgrößen

Eine Normalverteilung (Gauss-Verteilung) einer stetigen Zufallsgröße X liegt vor, wenn für deren Dichtefunktion f(x) gilt:

𝑓 𝑥 =1

2𝜋σ²∙ 𝑒− 1

2∙𝑥−𝜇

𝜎²

Für μ = 0 und σ = 1 heißt sie Standardnormalverteilung.

Benannt nach dem Mathematiker, Geodät, Physiker und Astronom Carl Friedrich Gauß (1777-1855), der sie im Zusammenhang mit der Fehlerrechnung entdeckte.

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

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http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/binomialnormalverteilung/grenzwertsatz.html, zuletzt abgerufen am 20.02.14 um 19:24.

1. Zufallsgrößen und Verteilung

Eigenschaften der Dichtefunktion/Normalverteilung:

Maximum bei 𝑥 = 𝜇

Symmetrieachse bei 𝑥 = 𝜇

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1∞

−∞

0 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 1, für alle 𝑥 ∈ ℝ

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1. Zufallsgrößen und Verteilung

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Aus: Vorlesung „Wahrscheinlich-keitslehre und Statistik“ von Prof. Dr. Thomas Adamek, Universität Stuttgart

1. Zufallsgrößen und Verteilung

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http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg, zuletzt abgerufen am 20.02.14 um 18:51

2. Binomialverteilung

(1) Eine Zufallsgröße X mit der Wertemenge {𝑘|𝑘 = 1,2, … , 𝑛} heißt binomialverteilt genau dann, wenn für die Wahrscheinlichkeit gilt:

𝑃 𝑋 = 𝑘 =𝑛

𝑘∙ 𝑝𝑘 ∙ 1 − 𝑝 𝑛−𝑘

Wobei p die Wahrscheinlichkeit eines „Treffers“ ist.

Symbolisch: Bn;p (k) oder P(X=k)

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