ABKÜHLEN_KÖRPER_2010_L

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 (W1) Seite 1 von 7

Nur für den Dienstgebrauch!

Unterlagen für die Lehrkraft

Abiturprüfung 2010

Mathematik, Leistungskurs

1. Aufgabenart

Analysis 2. Aufgabenstellung

siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage

entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2010

1. Inhaltliche Schwerpunkte Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen,

Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen mit Ableitungsregeln (Produkt-regel, Quotientenregel, Kettenregel) in Sachzusammenhängen auch unter Einbezie-hung gebrochen-rationaler Funktionen

Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate) Flächenberechnung durch Integration

2. Medien/Materialien

entfällt

5. Zugelassene Hilfsmittel

Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Muttersprachliches Wörterbuch für Studierende, deren Muttersprache nicht Deutsch ist



6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen

6.1 Modelllösungen

Modelllösung a)

(1) Der Graph ist streng monoton fallend und linkgekrümmt: Die Temperatur des Körpers

nimmt ausgehend von 0 100 °CT ständig ab. Die Temperaturabnahme [pro Sekunde]

wird mit zunehmender Zeit [bzw. abnehmender Temperatur] immer geringer.

(2) Einsetzen ergibt: 0,01 120(120) 20 (100 20) 44,1T e [°C].

Der Körper ist auf etwa 44,1 °C abgekühlt.

(3) Die Temperatur nähert sich für wachsendes t asymptotisch der Raumtemperatur

R 20 °CT : 0,01lim ( ) lim 20 80 20t

t tT t e

[°C].

In der Praxis nimmt der Körper nach endlicher Zeit die Raumtemperatur an.

Modelllösung b)

2 2

1 1

2 2

1 1

2

1

2 1

0,01

2 1 2 1

0,01

2 1

0,01

2 1

0,01 0,012 1

2 1

2 1

1 1(1) ( )d 20 80 d

( ) ( )

120d 80 d

( )

120 8000

( )

120 8000 20 8000 )

( )

120

( )

t tt

t t

t tt

t t

tt

t

t t

T t t e tt t t t

t e tt t

t et t

t e t et t

t t

2 10,01 0,012 1( ) 8000 ( )t tt t e e

[Alternativ:

2 1

2

1

0,01 0,012 1

2 1

0,01

2 1

120 ( ) 8000 ( )

( )

120 8000 .

( )

t t

tt

t

t t e et t

t et t

0,01 0,0120 8000 20 80 ( )t tt e e T t .

Damit ist gezeigt: 2

2 1

1

0,01 0,012 1

2 1 2 1

1 1( )d 20 ( ) 8000 ( )

( )

tt t

t

T t t t t e et t t t

.]



(2) Einsetzen von 1 0t und 2 120t ergibt: 1,2120 120 8000 1 66,6

120e .

Die mittlere Temperatur beträgt ungefähr 66,6 °C.

(3) Der Graph von T ist im Intervall 1 2[ ; ]t t , 1 20 t t , linksgekrümmt (vgl. Teilaufgabe

a) (1)). Er verläuft daher unterhalb der Intervallsekante. Das in diesem Intervall zwi-

schen ihm und der t -Achse liegende Flächenstück hat somit einen kleineren Flächen-

inhalt als das Trapez mit den Eckpunkten 1 | 0t , 2 | 0t , 1 1| ( )t T t , 2 2| ( )t T t :

2 2

1 1

1 2 1 22 1

2 1

( ) ( ) 1 ( ) ( )( )d ( )d

2 2

t t

t t

T t T t T t T tT t t t t T t t

t t

.

Modelllösung c)

(1) R 0 R 0 R R( ) ( ) ( ) ( )k t k tT t T T T e T T e T t T . Mit 0 R( ) ( ) k tT t k T T e

folgt R( ) ( ( ) )T t k T t T , also die gesuchte Proportionalität.

(2) Zu Beginn des Abkühlungsprozesses ( 0)t ist der Betrag der Abkühlungsgeschwin-

digkeit am größten.

(3) Die mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit des Körpers K1 im Zeitintervall [0;120] ist

1,2(120) (0) 20 80 1000,466 [°C/s]

120 0 120

T T e

.

(4) Die mittlere Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit des Körpers K1 im Zeit-

intervall [0;120] beträgt

1,2 02(120) (0) 0,01 80 0,01 80

0,00466 [°C/s ]120 0 120

T T e e

.

(5) Die momentane Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit ist die Ableitung

T der Funktion T mit der Gleichung 20 R( ) ( ) k tT t k T T e , 0t . Für den Körper

K1 gilt: 0,01( ) 0,008 tT t e .

Der gesuchte Zeitpunkt t ergibt sich aus dem Ansatz ( ) 0,00466T t :

0,01 0,010,008 0,00466 0,5825

0,01 ln 0,5825

54,04

t te e

t

t

Nach ungefähr 54 s ist die momentane Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit

des Körpers K1 genau so groß wie die mittlere Änderungsrate seiner Abkühlungsge-

schwindigkeit innerhalb der ersten 120 Sekunden des Abkühlungsvorgangs.



Modelllösung d)

(1) Die gesuchte Temperatur des Körpers K2 nach einer Abkühlungszeit von 120 s ist

0,006 120 0,722 (120) 20 80 20 80 58,9 [°C]T e e .

(2) Sei nun 0t .

Die Temperatur des Körpers K2 kann beschrieben werden durch die Funktion 2T mit

der Gleichung 0,006 ( 120)2 ( ) 20 80 tT t e , die Temperatur des Körpers K1 wie bisher

durch die Funktion T mit der Gleichung 0,01( ) 20 80 tT t e .

0,006 ( 120) 0,012 ( ) ( ) 20 80 20 80

0,006 ( 120) 0,01

180

t tT t T t e e

t t

t

Drei Minuten nachdem K1 bzw. fünf Minuten nachdem K2 beginnt sich abzukühlen,

haben die beiden Körper die gleiche Temperatur.

[Es kann auch mit dem Ansatz 0,006 0,0120 (59 20) 20 80t te e auf der Basis des

Kontrollergebnisses gearbeitet werden.]

Begründung der Existenz des gesuchten Zeitpunkts:

Der Körper K2 hat eine kleinere Abkühlungskonstante und zum Zeitpunkt 0t eine

geringere Temperatur [ 2 (0) 59 °CT ] als der Körper K1 [ (0) 100 °CT ].

6.2 Teilleistungen – Kriterien

Teilaufgabe a)

Anforderungen

Der Prüfling

maximal erreichbare Punktzahl

(AFB)1

1 (1) beschreibt den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang. 3 (I)

2 (2) berechnet die Temperatur nach 120 s. 2 (I)

3 (3) untersucht die Entwicklung der Temperatur des Körpers K1 für große t. 3 (II)

Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.

1 AFB = Anforderungsbereich



Teilaufgabe b)

Anforderungen

Der Prüfling


(AFB)

1 (1) weist nach, dass die mittlere Temperatur des Körpers K1 im Zeitintervall 1 2[ ; ]t t durch den angegebenen Term berechnet werden kann.

6 (II)

2 (2) berechnet die mittlere Temperatur von K1 innerhalb der ersten 120 Sekunden. 2 (I)

3 (3) begründet, dass für jedes Zeitintervall 1 2[ ; ]t t , 1 20 t t , die mittlere Tempera-

tur des Körpers K1 kleiner ist als das arithmetische Mittel der Temperaturen 1( )T t

und 2( )T t .

5 (III)


Teilaufgabe c)

Anforderungen

Der Prüfling


(AFB)

1 (1) zeigt, dass die behauptete Proportionalität gilt. 3 (II)

2 (2) gibt an, zu welchem Zeitpunkt der Betrag der Abkühlungsgeschwindigkeit am größten ist.

2 (I)

3 (3) ermittelt die mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit des Körpers K1 während der ersten 120 Sekunden des Abkühlungsvorgangs.

4 (II)

4 (4) bestimmt die mittlere Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit des Kör-pers K1 während der ersten 120 Sekunden des Abkühlungsvorgangs.

5 (II)

5 (5) ermittelt den gesuchten Zeitpunkt. 6 (II)


Teilaufgabe d)

Anforderungen

Der Prüfling


(AFB)

1 (1) bestimmt die Temperatur, die der Körper K2 zum Zeitpunkt 0t hat. 2 (II)

2 (2) bestimmt den Zeitpunkt 0t , zu dem K1 und K2 dieselbe Temperatur haben. 4 (II)

3 (2) begründet die Existenz des gesuchten Zeitpunkts. 3 (II)




7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit

Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a)

Anforderungen Lösungsqualität

Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl

(AFB)

EK2 ZK DK

1 (1) beschreibt den Verlauf … 3 (I)

2 (2) berechnet die Temperatur … 2 (I)

3 (3) untersucht die Entwicklung … 3 (II)

sachlich richtige Alternativen: (8) ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

Summe Teilaufgabe a) 8

Teilaufgabe b)



(AFB)

EK ZK DK

1 (1) weist nach, dass … 6 (II)

2 (2) berechnet die mittlere … 2 (I)

3 (3) begründet, dass für … 5 (III)


Summe Teilaufgabe b) 13

2 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur



Teilaufgabe c)



(AFB)

EK ZK DK

1 (1) zeigt, dass die … 3 (II)

2 (2) gibt an, zu … 2 (I)

3 (3) ermittelt die mittlere … 4 (II)

4 (4) bestimmt den mittlere … 5 (II)

5 (5) ermittelt den gesuchten … 6 (II)


Summe Teilaufgabe c) 20

Teilaufgabe d)



(AFB)

EK ZK DK

1 (1) bestimmt die Temperatur … 2 (II)

2 (2) bestimmt den Zeitpunkt … 4 (II)

3 (2) begründet die Existenz … 3 (II)


Summe Teilaufgabe d) 9

Summe insgesamt 50

Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2.

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