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Dr.-Ing. Peter Ulbig

Physikalisch-Technische BundesanstaltFachbereich 3.2: Analytische Messtechnik und Druck

Abschätzung indirekter Einflüsse auf MU am Beispiel Dichtemessung und

Brennwertbestimmung

© PTB, P. Ulbig

Inhalt:

• Direkte und indirekte Einflüsse• Beispiel Dichtemessung• Berücksichtigung indirekter Beiträge• Beispiel Brennwertmessung• Alternative: Varianzanalyse

Abschätzung indirekter Einflüsse auf MU am Beispiel Dichtemessung und Brennwertbestimmung

Direkter Einfluss

z. B. Längenänderung bei Erwärmung

• direkter Einfluss ist korrigierbar

• kann in physikalisches Modell integriert werden

1) Direkte und indirekte Einflüsse

( ) ( )[ ]ooo TTTll −+= α1

indirekter Einfluss

z. B. Längenänderung in einer Klimakammer

• indirekter Einfluss ist nicht korrigierbar

• kann nicht in physikalisches Modell integriert werden


( ) ( )[ ]ooo TTTLL −+= α1?

indirekter Einfluss: Temperaturschwankungen


( )�=N

oo TLL1

( ) ( )oLLu 22 σ=

Modellgleichung ohne Temperatureinfluss

indirekter Einfluss: Temperaturschwankungen


( ) ( )TLTLLN

oo δ+=�1

( ) ( ) ( )TuTLLuLu o

22

22��

��

�

∂∂+=

Modellgleichung mit Temperatureinfluss

( ) ( ) ( ) ( )TuLLuLu oo2222 α+=

Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)

2) Beispiel Dichtemessung



FA

FG

Auftriebsmessung nach Archimedes

Messung der Differenzkraft mit einer Waage



2-Senkkörper-Dichtemessanlageder E.ON Ruhrgas AG

Senkkörper:• gleiche Masse• gleiche Oberfläche• versch. Volumina

Temperatur- undDruckmessung



Physikalisch-mathematisches Modell:

RK

RKBKBRGas VV

mmmm−

−+−=ρ

Anzeigen der Waage (Balance) für Ring und Kugel im Gas




RK

RKBKBRGas VV

mmmm−

−+−=ρ

Anzeigen der Waage für Ring und Kugel im Vakuum




RK

RKBKBRGas VV

mmmm−

−+−=ρ

Volumina für Ring und Kugel

Druck und Temperatur ???




RK

RKBKBRGas VV

mmmm−

−+−=ρ

( ) ( ) ( ) ( )pup

TuT

XuX

u 22

22

1

2

2

2��

��

�

∂∂+�

�

��

�

∂∂+��

�

��

�

∂∂=�

=

GasGasN

ii

i

GasGas

ρρρρ

3) Berücksichtigung indirekter Beiträge

indirekter Einfluss

z. B. Längenänderung in einer Klimakammer

• indirekter Einfluss ist nicht korrigierbar

• kann nicht in physikalisches Modell integriert werden

Einfluss systematisch variieren und messen !!!

4) Beispiel Brennwertmessung

( )( )tTTkut

Tcal

cal d

d −+= 0


Zeit

T0Tmf

Tmi

tmi tmf

Ti(t)

Tf(t)

Tcal(t)

Vorperiode Hauptperiode Nachperiode

∆∆∆∆Tad = Tmf - Tmi - ∆∆∆∆Tex exmimfad TTTT ∆∆∆∆−−−−−−−−====∆∆∆∆


( ),...,,/ elecgasel.cal.ad,combad,sn f EmTTH ∆∆=

Physikalisch-mathematisches Modell

ariation von tmf (Beginn der Nachperiode)

• Variation der Temperatur-Sensor Position

• Variation der Auswertungsmethode

• Variation der Heizerposition

Indirekte Einflüsse


Brenner

Wärme-austauscher

Kalibrier-heizung

Pt25 sensor

symmetry plane at x = 0.3


Zeit

T0Tmf

Tmi

tmi tmf

Ti(t)

Tf(t)

Tcal(t)



Variation der Nachperiodenzeit tmf


Bild der DT_ad Verhältnisse

Verhältnis (∆∆∆∆T ad(combustion) vs. ∆∆∆∆T ad (el. calibration))

1.0015

1.0020

1.0025

1.0030

1.0035

1.0040

1.0045

1.0050

1.0055

1.0060

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500∆∆∆∆t mf/s

Ver

hältn

is

simult. exp. fit, eq. areas

simult. exp. fit

linearer fit + exp. Transf.

linearer fit


Kalibrier-Heizung (100 %/90 %)

2. Kalibrierheizung (0 %/10 %)

symmetry plane at x = 0.3

4) Beispiel BrennwertmessungVerhältnis (∆∆∆∆T ad(combustion) vs. ∆∆∆∆T ad(el. calibration))

1.0045

1.0050

1.0055

1.0060

1.0065

0 100 200 300 400 500

∆∆∆∆t mf/s

Ver

hältn

is

90/10 %

100 %±1x10-4


Pt25 sensor (lokal)

Cu-Draht sensor (Oberfläche)

Kalorimetergefäß


1.0045

1.0050

1.0055

1.0060

1.0065

0 100 200 300 400 500

∆∆∆∆t mf/s

Ver

hältn

is

Cu-Draht sensor

Pt25 sensor±1x10-4


Zeit

T0Tmf

Tmi

tmi tmf

Ti(t)

Tf(t)

Tcal(t)



Variation der Auswertemethode


Bild der DT_ad Verhältnisse

Verhältnis (∆∆∆∆T ad(combustion) vs. ∆∆∆∆T ad (el. calibration))

1.0015

1.0020

1.0025

1.0030

1.0035

1.0040

1.0045

1.0050

1.0055

1.0060

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500∆∆∆∆t mf/s

Ver

hältn

is

simult. exp. fit, eq. areas

simult. exp. fit

linearer fit + exp. Transf.

linearer fit

±1.4x10-4


( ) methods,s,temp.posheat.pos.s,mfiss HHHtXHH ∂+∂+∂+= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

1

2

2

2methods,s,temp.posheat.pos.s,

1N

ii

i

ss HHHXu

XH

Hu ∂+∂+∂+��

��

�

∂∂

=�+

=

( ) 3/22 aHu =is,

a a

P


Unsicherheitsbeiträge ∆Tad (k=2)

0.038 %

ariation von tmf (Beginn der Nachperiode): 0.030 %

• Variation der Temperatur-Sensor Position: 0.011 %

• Variation der Auswertungsmethode: 0.016 %

• Variation der Heizerposition: 0.011 %

Unsicherheit des Brennwerts: 0.046 %

• Messunsicherheit Massebestimmung: 0.015 %

• Messunsicherheit weitere Größen: 0.022 %


( ) methods,s,temp.posheat.pos.s,mfiss HHHtXHH ∂+∂+∂+= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

1

2

2

2methods,s,temp.posheat.pos.s,

1N

ii

i

ss HHHXu

XH

Hu ∂+∂+∂+��

��

�

∂∂

=�+

=

Vorgehen entspricht „Synthese von Varianzen“

Gegenteil „Analyse von Varianzen“

oder auch „Zerlegung von Varianzen“

5) Alternative: Varianzanalyse


Ziel der Varianzanalyse:

Testet für mehr als zwei Gruppen „auf einen Schlag“,ob signifikante Mittelwertsunterschiede vorliegen.

Hypothesen:

Nullhypothese: Mittelwerte unterscheiden sich nichtsignifikant

Alternativhypothese: mind. zwei Mittelwerte unter-scheiden sich signifikant


Was macht die Varianzanalyse?

Zerlegung der Varianz der Daten in verschiedeneBestandteile, nämlich in die

Varianz innerhalb der einzelnen Gruppen und die

Varianz zwischen den verschiedenen Gruppen, dieauf die unterschiedliche Versuchsdurchführung(„Treatment“) zurückzuführen ist.


1.0045

1.0050

1.0055

1.0060

1.0065

0 100 200 300 400 500

∆∆∆∆t mf/s

Ver

hältn

is

90/10 %

100 %±1x10-4


inter(zwischenGruppen)

intra(innerhalbGruppen)

gesamt

Quelle der Variabilität

df (inter)

df (intra)

df (total)

Freiheitsgrade

SS(inter)

SS(intra)

SS(total)

Sum of Squares

MS(inter)

MS(intra)

MeanSquare

F

Varianz-verhältnis

F(aus Tabelle)

Wahrschein-lichkeit

Überprüfung der Nullhypothese (Schema)

Signifikant unter-schiedlich, wennF > F (Tabelle),

dann Nullhypothesenicht erfüllt!


k Gruppen

Ni Daten proGruppe

N Datengesamt


k-1

(N-1) – (k-1)

N-1

Freiheitsgrade

F(dfinter,dfintra)(aus Tabelle)

Wahrschein-lichkeit


SS(inter) / df(inter)

SS(intra) / df(intra)

MeanSquare

MS(inter) / MS(intra)

Varianz-verhältnis

Signifikant unter-schiedlich, wennF > F (Tabelle)

Sum of Squares

N

N

iiN

ii

2

1

1

2

��

��

�

−�

� =

=

XX

SS(total) - SS (inter)

NN

N

iik

j i

N

ii

i2

1

1

2

1��

��

�

−��

��

��

��

=

=

=XX


1.0045

1.0050

1.0055

1.0060

1.0065

0 100 200 300 400 500

∆∆∆∆t mf/s

Ver

hältn

is

90/10 %

100 %±1x10-4


3,1E-052,9E-05σ1,005271,00537Mittelwert

1,005301,005404

1,005281,005383

1,005251,005372

1,005231,005331

10090/10

Heizungsart:


��

=

=��

��

�k

j i

N

ii

N

i

1

2

1

X

Heizungsart:90/10 100

1 1,00532 1,005232 1,00537 1,005253 1,00538 1,005284 1,00540 1,00530

Gruppensumme 4,0215 4,0211=> Quadrat 16,1722 16,1689=> durch N_i 4,0431 4,0422=> Summe 8,0853


�=

N

i

2i

1

X


1 1,00532 1,005232 1,00537 1,005253 1,00538 1,005284 1,00540 1,00530

Quadrate 1,01067 1,010491,01077 1,010531,01079 1,010591,01083 1,01063

Summe: 8,08529


N

N

ii

2

1

��

��

��

=

X


1 1,00532 1,005232 1,00537 1,005253 1,00538 1,005284 1,00540 1,00530

Summe X_i 8,04253=> Quadrat 64,68229=> durch N 8,0852861


N

N

ii

2

1

��

��

��

=

X�=

N

i

2i

1

X

Varianz über alle Messwerte:

-

-8,0852861275 8,0852861001

= 2,739e-8


N

N

ii

2

1

��

��

��

=

X

Varianz über alle Durchführungsarten:

-

- 8,0852861001= 2,101e-8

��

=

=��

��

�k

j i

N

ii

N

i

1

2

1

X

8,0852861211


2 Gruppen

4 Daten proGruppe

8 Datengesamt


2-1=1

(8-1) – (2-1)=6

8-1=7

Freiheitsgrade

F(1,6,0,05)= 5,99

Wahrschein-lichkeit


2,101e-8

0,106e-8

MeanSquare

19,78

Varianz-verhältnis

Signifikant unter-schiedlich, da F > F (Tabelle)

Sum of Squares

0,638e-8

2,101e-8

2,739e-8


A B

a b a b

1...N 1...N 1...N 1...N

µ1 µ2 µ3 µ4

temperature sensorposition

electric heaterposition

variation of tmf

Danke für die

Aufmerksamkeit !!!

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