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„Daten und Zufall“ entdecken –sinnstiftende Zugänge zur Stochastik

Andreas Büchter

31.03./01.04.06

Zweite zentrale Fortbildungstagung SINUS-Transfer (2. Welle) in Soltau

31.03./01.04.06, Andreas Büchter

Vorweg eine Aufgabe zum „Aufwärmen“

(„Merkwürdige Würfel PM 4/2005)

• Die Kopie ist ein Arbeitsblatt für Schülerinnen und Schüler.

• Führen Sie eine (fachliche) Sachanalyse der „Aufgabe“ und

durch und schätzen Sie die Aufgabe unter didaktischen

Gesichtspunkten ein.

- Setzen Sie sich zunächst alleine mit dem Arbeitsblatt auseinander (5‘),

- tauschen Sie sich dann mit ihrem/ihrer Nachbarn/Nachbarin aus (10‘),

- schließlich diskutieren wir gemeinsam Ihre Resultate (10‘).

• Ich wünsche Ihnen dabei viel Spaß!


(Bei-)Spiel: „Merkwürdige Würfel“ (PM 04/2005)

rot

blau grau

gelb


rot

blau grau

gelb

(Bei-)Spiel: „Merkwürdige Würfel“ (PM 04/2005)


„Daten und Zufall“ entdecken –

sinnstiftende Zugänge zur Stochastik

• Einführung in das Thema:

„Was ist das Besondere an ‚Daten und Zufall‘ und

wie können sinnstiftende Zugänge aussehen?“

• Dabei: Bearbeitung / Einschätzung von Lernarrangements

& Entwicklung und Diskussion eigener Ideen

• Abschlussdiskussion:

„Welche grundbildungsrelevanten Inhalte und zugehörigen

Lernarrangements sind wünschenswert / realistisch für den

Mathematikunterricht in den verschiedenen Schulformen?“


Besonderheiten von Stochastik

• Aus den Anwendungen heraus entstanden

• Wechselspiel zwischen Anwendungen und Mathematik

• Stochastik ist eigentlich immer Modellbildung

• Besonders gut geeignet (historisch-)genetisch Vorzugehen

• Hervorragende Möglichkeiten der Vernetzung mit anderen

Inhaltsgebieten/Leitideen und anderen Fächern

Trotzdem Probleme, sich im Mathematikunterricht zu etablieren


Beschreibende

Stastistik

Wahrscheinlichkeits-

rechnung

Beurteilende

(schließende)

Stastistik

DatenDaten und ZufallDaten und Zufall

+

Kombinatorik

Daten und Zufall = Stochastik


Curriculare Vorgaben I

− Grundbegriffe kennen (z. B. sicher,

unmöglich, wahrscheinlich),

− Gewinnchancen bei einfachen

Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen) einschätzen.

− In Beobachtungen, Untersuchungen und

einfachen Experimenten Daten sammeln,

strukturieren und in Tabellen,

Schaubildern und Diagrammen darstellen,

− aus Tabellen, Schaubildern und

Diagrammen Informationen entnehmen.

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen:

Daten erfassen und darstellen:

3.5 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich

(15.10.2004)


Curriculare Vorgaben II

Die Schülerinnen und Schüler

−werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus,−planen statistische Erhebungen,−sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software),−interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen,−reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,−beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,

−bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.

Die Schülerinnen und Schüler

−werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus,

−sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel wie Software,−berechnen und interpretieren Häufigkeiten und Mittelwerte,

beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,−interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag,−bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten.

(L 5) Leitidee Daten und Zufall

Bildungsstandards im Fach Mathematik

für den Mittleren Schulabschluss

(4.12.2003)

Bildungsstandards im Fach Mathematik

für den Hauptschulabschluss

(15.10.2004)


Beschreibende

Stastistik

Wahrscheinlichkeits-

rechnung

Beurteilende

(schließende)

Stastistik

DatenDaten und ZufallDaten und Zufall

+

Daten und Zufall = Stochastik


Typische Begriffe und Konzepte

- Stichprobe und Grundgesamtheit

- Test von Hypothesen

- Schätzen von Parametern

- Bayes-Statistik

- empirisches Arbeiten

- Zugänge zum WK-Begriff:

* frequentistische WK

* Laplace-WK1

* subjektive WK

- Baumdiagramme, Pfadregeln

- Bedingte Wahrscheinlickeiten

- Chancen und Risiken

- Zufallsvariablen

- Wahrscheinlichkeitsverteilungen

- Gesetze der großen Zahlen

- Zufall und Pseudozufall

- abs. und rel. Häufigkeiten

- grafische Darstellung von Daten und deren Manipulation

-Mittelwerte und Streuungsmaße

- Indexwerte

- Korrelation und Regression

Beurteilende StatistikWahrscheinlichkeitsrechungBeschreibende Statistik

1 Genau hier hilft Kombinatorik


Eine mögliche Fortbildungsquelle …

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn

Elementare Stochastik

Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls

Springer 2005

In diesem Lehrbuch wird ein anwendungsorientierter Zugang zur mathematischen Theorie der Daten und des Zufalls entwickelt, dervon den Phänomenen des Alltags ausgeht und bis in die axiomatische Theorie der Wahrscheinlichkeit hineinreicht. Es richtet sich vor allem an Studierende des Lehramts mit Unterrichtsfach Mathematik, ist aber auch als sinnstiftender Zugang für Studierende der Mathematik (Diplom, BA) geeignet.


Beschreibende Statistik I –

Wie kommen Daten zustande?

Dick, dumm, krank und traurig (RN, 26.09.2005)

Hoher Medienkonsum verschlechtert laut einer Studie die Schulleistungen von Kindern.

[…] Laut KFN-Chef Christian Pfeiffer liefert der unterschiedliche Medienkonsum auch

einen Erklärungsansatz dafür, dass der Süden Deutschlands in der Pisa-Studie besser

abschneidet als der Norden.

[…] Hinzu komme, dass Kinder mit eigenen Unterhaltungsgeräten viel häufiger verbotene

Sendungen oder Spiele mit hohem Gewaltanteil sehen, was die Lernfähigkeit ebenfalls

senke. Pfeiffer: „Ein Übermaß an Medienkonsum macht dick, dumm, krank und traurig.“

Wie kommen solche Aussagen zustande? Untersucht selbst ähnliche Fragen.

(oder z.B. „Führt mehr Taschengeld zu besseren Schulnoten?“→ Vernetzung)


Beschreibende Statistik II –

Häufigkeiten, Diagramme und Vernetzung

16%

27%

42%

15% • Zählen, Summieren

• Anteile (Brüche)

• Prozentzahlen

• Kreisgeometrie


Beschreibende Statistik III –

Mittelwerte und Streuungsmaße: Operieren

„Ich habe ein gutes Verhältnis zu meinem Schulleiter!“trifft nicht zu trifft eher nicht zu trifft eher zu trifft zu

1--------------------2--------------------3--------------------4

0

5

10

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20

25

30

35

40

1 2 3 4

0

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30

35

40

1 2 3 4


Beschreibende Statistik IV –

Manipulierte Grafiken!?


Beschreibende Statistik V –

Normative Modelle („Murmelaufgabe“)

• Bearbeiten Sie das Arbeitsblatt in Kleingruppen (20‘).

• Anschließend diskutieren und reflektieren wir die

Ergebnisse im Plenum.



Beschreibende Statistik V –

Normative Modelle

Sven und Lennart sind beim letzten Training in jeweils zehn Versuchen die folgenden Weiten gesprungen. Wer ist der beste Weitspringer?

(Finde eine Möglichkeit / möglichst viele verschiedene Möglichkeiten, bei mehreren Sportlern in zehn Versuchen festzustellen wer der besteWeitspringer ist.)

Sven: 5,98; 6,03; 5,80; 5,77, 6,00; 5,61; 5,81; 5,98; 5,78; 5,85Lennart: 5,81; 5,44; 6,36; 5,24; 5,64; 5,43; 5,65; 5,50; 5,71; 5,34

• Europäische Popmusikcharts• Klassenvergleich „Ausdauer“


Grenzen der beschreibenden Statistik –

Stichprobenerhebungen und Zufallseffekte

Ihr sollt am Tag der Landtagswahl eine Wählerbefragung durchführen und um 18.00 Uhr eine Prognose für das Wahlergebnis abgeben.Plant euer Vorgehen an diesem Tag.

Wie viele Personen müssen wir befragen?Wie wählen wir die Personen aus?Müssen wir auf ein ausgewogenes Verhältnis bzgl. Alter / Geschlecht etc. berücksichtigen?Kann es trotzdem passieren, dass wir mit der Prognose „daneben“liegen? Was können Gründe hierfür sein?

→Wahrscheinlickeitsrechnung für die Einschätzung Zufallseffekten


Wahrscheinlichkeitsrechnung

Du sollst mit deinem Tischnachbarn ein Würfelspiel spielen:

Ihr werft abwechselnd mit zwei Würfeln. Spieler A darf ziehen, wenn die

Augensumme 5, 6, 7 oder 8 fällt. Spieler B darf ziehen, wenn eine andere

Augensumme fällt.

Möchtest du lieber Spieler A oder Spieler B sein?

Spiele anschließend mit deinem Tischnachbarn / deiner Tischnachbarin.

Wenn ihr euch nicht einige könnte, wer A und wer B sein soll, dann werft

eine Münze, um zu entscheiden.

Und wären Sie lieber Spieler A oder Spieler B …?


Wahrscheinlichkeitsrechnung

(„Pferderennen“ PM 4/2005)

• Die Kopie ist ein „Spiel“ für Schülerinnen und Schüler.

• Führen Sie eine (fachliche) Sachanalyse des „Spiels“ und

durch und schätzen Sie die Aufgabe unter didaktischen

Gesichtspunkten ein.

- Setzen Sie sich zunächst alleine mit dem Arbeitsblatt auseinander (5‘),

- tauschen Sie sich dann mit ihrem/ihrer Nachbarn/Nachbarin aus (5‘),

- schließlich diskutieren wir gemeinsam Ihre Resultate (5‘).



Wahrscheinlichkeitsrechnung –

Chancen und Risiken I (Reaktorsicherheit)

Die PSA des modernsten deutschen Kernkraftwerks, das 1989 in Neckarwestheim

in Betrieb ging, weist dagegen eine CDF von 2,5 zu einer Million und damit die

2,5fache Wahrscheinlichkeit für eine Kernschmelze auf. Ist also der neue EPR

zweieinhalbmal so sicher? Mitnichten. Denn die Untersuchung am schwäbischen

Meiler hatte damals die GRS vorgenommen. Und genau aus deren Ecke kommt

die Kritik. Weil hunderte von verschiedenen Einschätzungen und Gleichungen

einfließen würden, so die Experten, seien die Zahlen der

Wahrscheinlichkeitsanalysen nicht so einfach vergleichbar.

(Quelle: http://www.x1000malquer.de/main.html)


Wahrscheinlichkeitsrechnung –

Chancen und Risiken II (HIV-Test)

Der übliche HIV-Test ist der Elisa-Test, der Antikörper gegen das HIV-Virus nachweist. Solche Tests sind fast 100 % sicher, aber eben nur fast! Es kann also vorkommen, dass der Test auf das Vorliegen der Krankheit hinweist, obwohl man gesund ist, oder auch, dass der Test kein Ergebnis bringt, obwohl man krank ist.

In Deutschland sind etwa 0,05 % der Bevölkerung HIV-infiziert.

Wenn eine Testperson das Virus hat, entdeckt der Test dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 %.Wenn eine Testperson nicht infiziert ist, so wird dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % richtig erkannt.

Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person, für die ein „positives“ Testergebnis vorliegt, infiziert ist?


Von der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur

beurteilenden Statistik

• Beim Mensch-Ärger-Dich-Nicht fallen manchmal drei ober

mehr Sechser nacheinander:

Sobald konkrete (mehrere) konkrete Ausgänge von

Zufallsversuchen ins Spiel kommen, regiert der eben der

Zufall. Trotzdem lassen sich mit einer (Un-)Sicherheit

Prognosen abgeben.

• „Stochastik hat das Ziel, optimale Entscheidungen unter

Unsicherheit zu finden.“


Beurteilenden Statistik I

• Julius hat mehrmals hintereinander eine Münze geworfen. Insgesamt ist

siebenmal „Zahl“ gefallen. Wie oft hat er wohl geworfen?

Gib Zahlen an, die du für wahrscheinlich hältst, und solche, die du für

unwahrscheinlich hältst. Begründe deine Einschätzung und versuche sie mit

eigenen Versuchen abzusichern.

• Lena hat mehrfach hintereinander einen Würfel geworfen. Die Summe der

Wurfergebnisse beträgt 20. Wie oft hat sie wohl geworfen? Gib Zahlen an, die du

für wahrscheinlich hältst, und solche, die du für unwahrscheinlich hältst.

Begründe deine Einschätzung und versuche sie mit eigenen Versuchen

abzusichern.

An die Münzen (Würfel), fertig, los … (20‘)


Beurteilenden Statistik II

• Dennis hat 20-mal mit einer Münze geworfen, dabei ist 14-mal „Zahl“ gefallen.

Dennoch behauptet er, dass „Kopf“ und „Zahl“ bei seiner Münze eigentlich

gleichwahrscheinlich sind. Würdest du ihm glauben? Wie kannst du die

Glaubwürdigkeit seiner Behauptung systematische einschätzen?

• Einer von euch soll zwanzigmal würfeln. Der andere notiert die Ergebnisse der

einzelnen Würfe und berechnet hinterher deren Summe. Bevor ihr anfangt

dürfen beide auf fünf Zahlen tippen, die hinterher als Summe herauskommen.

Nach einem Durchgang wechselt ihr die Rollen und spielt erneut.

Wenn ihr das Spiel öfter gespielt habt, dann einigt euch auf fünf Zahlen, die ihr

tippen würdet, wenn ihr „gegen“ ein anderes Team spielt.

An die Münzen (Würfel), fertig, los … (20‘)


Beurteilenden Statistik III

Mal etwas realeres:

Stefanie behauptet, sie kann Frischmilch und H-Milch nur am Geschmack unterscheiden. Wie kann man das überprüfen? Stellt einen Versuchsplan auf und führt selbst solche Geschmackstests durch.

Trocknen nasse Turnschuhe besser wenn man sie mit der Öffnung nach oben oder mit der Öffnung nach unten auf die Heizung legt? Plant eine Untersuchung,um dies festzustellen.

Ihr sollt am Tag der Landtagswahl eine Wählerbefragung durchführen und um

18.00 Uhr eine Prognose für das Wahlergebnis abgeben. Plant euer Vorgehen

an diesem Tag. (s. o. → Hilfsmittel: GrafStat – www.grafstat.de)


Ein mögliches Fazit

• Stochastik kann in besonderer Weise allgemein bildend wirken:

- Kompetenter Umgang mit Daten und der Darstellungen im Alltag (sich

nicht „manipulieren“ lassen),

- Statistik anwenden wird mehr und mehr zur Grundlage der

(empirischen) Wissenschaften, deren Ergebnisse unser Leben massiv

beeinflussen,

- Chancen und Risiken betreffen unser Leben (z. B. Testproblematik,

Reaktorsicherheit)

• Stochastik kann immer handlungsorientiert unterrichtet werden.

• Stochastik stellt natürliche Verbindungen zu anderen Fächer her

(passend zu den akademischen Disziplinen mit empirischer Ausrichtung)


Ein anderes mögliches Fazit ?

„Welche grundbildungsrelevanten Inhalte und zugehörigen

Lernarrangements sind wünschenswert / realistisch für den

Mathematikunterricht in den verschiedenen Schulformen?“

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