AFS - Dienstagsseminar Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig Oder:...

AFS - Dienstagsseminar

Stabile Hochzeiten, Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und Zuweisungsspiele und

beides gleichzeitigbeides gleichzeitig

Oder: Tarifverträge vs. Kapitalismus purOder: Tarifverträge vs. Kapitalismus pur

Winfried Hochstättler Hui Jin Robert Nickel


ÜbersichtÜbersicht

Stabile HochzeitenMänner machen Angebot – Frauen lehnen ab

ZuweisungsspieleDie Ungarische Methode

Beides gleichzeitigZwei Algorithmen


Stabile HochzeitenStabile Hochzeiten

In einem Dorf sollen n Männer mit n Frauen verheiratet werden

Jeder Mann i bewertet jede Frau j mit einer Zahl aij .

Jede Frau j bewertet jeden Mann i mit einer Zahl bij .

Präferenzlisten

Im Falle einer Heirat von erhält i den Payoff und j den Payoff

Männer Frauen

Wenn jeder einen Partner gefunden hat, dann findet die Hochzeit statt


Stabile HochzeitenStabile Hochzeiten

Eine Hochzeit ist instabil, wenn es ein Paar gibt, so dass i und j lieber miteinander verheiratet wären, als mit ihren momentanen Partnern.

Für das Paar gilt: und

Ein Paar heißt blockierend, wenn gilt

und

Eine Hochzeit ohne blockierende Paare ist stabil.


Men Propose – Women DisposeMen Propose – Women Dispose

Algorithmus von Gale und Shapley (1962):Männer freien die beste Frau, die sie noch nicht abgelehnt hat. Jede Frau sucht sich den besten Freier aus und lehnt die anderen ab. Wenn jede Frau nur noch einen Antrag hat, wird geheiratet.


ZuweisungsspieleZuweisungsspiele

Wir wollen zwischen n Firmen und n Arbeitern vermitteln.

Aus einer Kooperation zwischen einer Firma und einem Arbeiter entsteht ein Gewinn (Mehrwert) Suche ein perfektes Matching, das den Gesamtmehrwert maximiert

Spalte den Mehrwert einer Kante auf in

Ähnliche Daten wie in Stabile Hochzeiten

Firmen Arbeiter


Gewichtetes Bipartites MatchingGewichtetes Bipartites Matching

Im Falle einer Matching-Kante gilt Gleichheit in (D)u und v sind die Payoffs der Firmen bzw. ArbeiterDer Mehrwert durch eine Kooperation kann beliebig unter den Partnern aufgeteilt werden. In einem gegebenen perfekten Matching kann Payoff zwischen u und v hin und her geschoben werden


Blockierende Paare und stabile Blockierende Paare und stabile OutcomesOutcomes

Interpretation von : i und j verdienen im Moment zusammen weniger als sie es in einer Partnerschaft tun würden (z.B. das Paar )

4

4

3

Ein solches Paar heißt blockierend Gibt es keine blockierenden Paarein und ist M ein dazu„passendes“ Matching, dann heißt stabiles Outcome.


Die Ungarische MethodeDie Ungarische Methode

Starte mit leerem Matching und dual zulässigem Payoff:

Digraph G der dichten Kanten bzgl. :

Ein Pfad von einer ungematchten Firma zu einem ungematchten Arbeiter heißt augmentierend.


Ungarische Methode IIUngarische Methode II

Wenn es keinen augmentierenden Pfad gibt:

Betrachte die Komponente zu einer ungematchten Firma

Setze

Verringere Firmenpayoffs und vergrößere Arbeiterpayoffs in C um bis neue Kante im dichten Graphen erscheint


Etwas LiteraturEtwas Literatur

Gale und Shapley (1962)Algorithmus für Stabile Hochzeiten (Men Propose – Women Dispose)

Kuhn (1955)Ungarische Methode für das Bipartite Matching

Shapley und Shubik (1972)Das ZuweisungsspielExistenz von stabilen Outcomes (lineare Programmierung)

Roth und Sotomayor (1991)Frage nach verallgemeinertem Modell, das die obigen als Spezialfall enthält

Eriksson und Karlander (2000)Vorstellung eines ModellsPseudopolynomieller Algorithmus zur Berechnung eines stabilen Outcomes

Sotomayor (2000)„Nicht-konstruktiver“ Beweis für Existenz von stabilen Outcomes


Das ModellDas Modell

Firmen und Arbeiter sind entweder flexibel (Gehalt kann ausgehandelt werden) oder arbeiten nach Tarif (festes Gehalt)

Der Graph enthält flexible Kanten (beide Partner flexibel)und Tarifkanten (mindestens einer ist tariflich gebunden)

Aufteilung der Produktivität in einerflexiblen Partnerschaft:

Tarifpartnerschaft:


Stabile OutcomesStabile Outcomes

Ein Outcome heißt zulässig, wenn werden aus finanziert

Eine Kante heißt blockierendes Paar in wenn Tarifkante ist mit und

oder flexibel ist und

D.h. i und j verbessern sich, wenn sie kooperieren.

Es existiert immer ein Outcome ohne blockierende Paare (stabiles Outcome) – EriksKarl2000,Soto2000


Augmentierungs-Digraph :

Tarifkanten mitDichte freie Kanten:

Matching-Kantenfavorite blocking pairs

Ein AlgorithmusEin Algorithmus

Algorithmus:Suche Weg von ungematchter Firma zu - ungematchtem Arbeiter- Spieler aus R- Firma mit Payoff 0Wenn das nicht geht:- ungarisches Payoff-Update


EigenschaftenEigenschaften

Invarianten des Algorithmus:Gematchte Firmen haben keine blockierenden Partner ist zulässiges OutcomeStabiler virtueller Payoff sinkt monoton wächst monoton

Komplexität: wächst monotonEine Firma mit Payoff Null ist aus dem RennenJede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante


Ein anderer AlgorithmusEin anderer Algorithmus

Augmentierungs-Digraph :favorite partners: Kanten, die bzw. maximierenAbbildung bildet immer eine Firma auf einen ihrer Lieblingspartner ab

Algorithmus:Arbeiter mit mehreren Tarifangeboten lehnen alle außer dem besten abSuche Pfad von mehrfach gemapptem Arbeiter- zu ungemapptem Arbeiter oder- Arbeiter mit TarifangebotWenn das nicht mehr geht:- ungarisches Payoff-Update


EigenschaftenEigenschaftenInvarianten des Algorithmus:

Jede Firma macht immer genau ein AngebotFirmenpayoffs können anhand der -Kanten berechnet werden sinkt monoton wächst monoton

Komplexität: wächst monotonJede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante

Andere EigenschaftenBenutzt gleichen Graphen wie erster Algorithmus, aber mit anderer OrientierungLiefert anderen Ansatz für Kardinalitätsmatching


Vielen Dank für die Vielen Dank für die AufmerksamkeitAufmerksamkeit

Und noch viel mehr Dank Und noch viel mehr Dank für eventuelle Fragenfür eventuelle Fragen

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