Algorithmen und Komplexität

Klaus Volbert 1

HEINZ NIXDORF INSTITUTUniversität Paderborn

Algorithmen und Komplexität


Sommersemester 2004

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Klaus Volbert

NP-vollständige Probleme

• SAT und 3-SAT (Masterreduktionen)• CLIQUE• KNOTENÜBERDECKUNG• SUBSETSUM• RUCKSACK (einfach: rationaler Rucksack!)• HAMILTONKREIS• TSP• Übungen: PARTITION, BIN PROGRAMMING,

COLOR, INDEPENDENT SET, 1in3SAT, …

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Klaus Volbert

NP-vollständig – Was nun?

• Spezialfälle– Ist wirklich die Lösung des allgemeinen Problems

verlangt?

• Heuristiken– Im worst-case: exponentielle Laufzeit– Für „manche“ Eingaben: polynomielle Laufzeit

• Approximationsalgorithmen– Ziel: für jede Eingabe polynomielle Laufzeit– Lösung ist nicht optimal, aber wir können etwas über die

Qualität sagen (z.B. „Wert der Ausgabe ist höchstens doppelt so schlecht wie der Wert einer opt. Lösung“)

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Klaus Volbert

Spezialfälle

Ist wirklich die Lösung des allgemeinen Problems verlangt oder liegt ein (einfacher) Spezialfall vor?

Beispiele auf Bäumen:– CLIQUE– HAMILTONKREIS– HAMILTONPFAD– UNABHÄNGIGE MENGE

Weiteres Beispiel: 2SAT liegt in P

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Unabhängige Menge auf Bäumen

Eingabe: G=(V,E),r (Baum mit Wurzel r)

Ausgabe: Max. unabhängige Menge I V, so dass

keine zwei Knoten in I verbunden sind

Dynamische Programmierung:

Laufzeit: O(n) !

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Spezialfälle

Ist wirklich die Lösung des allgemeinen Problems verlangt oder liegt ein (einfacher) Spezialfall vor?

Beispiele auf Bäumen:– CLIQUE– HAMILTONKREIS– HAMILTONPFAD– UNABHÄNGIGE MENGE

Weiteres Beispiel: 2SAT liegt in P

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Das Erfüllbarkeitsproblem (Satisfiability, SAT)

• Eine Boole’sche Variable x kann Werte 0 und 1 (falsch und wahr) annehmen.

• Eine Boole’sche Formel ist eine Verknüpfung von Boole’schen Variablen durch Boole’sche Operatoren, z.B. AND ( Æ ) , OR ( Ç ), NOT ( : ).

Beispiel: = (:x Ç y) Æ (x Ç :z ) ist eine

Boole’sche Formel mit Variablen x, y, z. ist erfüllbar, falls es eine Belegung der

Variablen mit Werten 0, 1 gibt, die wahr macht.

Beispiel: ist erfüllbar, z. b. durch x=1, y=1, z=0.

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Das Erfüllbarkeitsproblem (Satisfiability, SAT)

SAT = { <> | ist erfüllbare Boole‘sche Formel}

SAT ist NP-vollständig

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Konjunktive Normalform (KNF)

• Literal: Variable oder negierte Variable• Klausel: Disjunktion K von Literalen,

K= y1 Ç … Ç ym, yi Literale

• Formel in Konjunktiver Normalform (KNF): Konjunktion von Klauseln,

= K1 Æ … Æ Kl , Ki Klauseln

• k-SAT Formel: Formel in KNF, in der jede Klausel aus genau k Literalen besteht.

• k-SAT= { <> | ist erfüllbare Boole‘sche

k- SAT Formel}

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2-SAT liegt in P

2-SAT= { <> | ist erfüllbare Boole‘sche 2-SAT

Formel} = K1 Æ … Æ Kl , Ki: Disjunktion zweier Literale

Menge der Variablen: x1,…,xn

B sei Belegung der Variablen:

B(xi)=1 falls B die Variable xi auf wahr setzt

B(xi)=0 sonst

B()=1 | 0 allgemein für ein Literal

Da 2-SAT: Ki = i i

Beobachtung: B(i)=0, dann muss B(i)=1

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2-SAT liegt in P

• Gerichteter Graph G=(V,E):

– V := {x1,:x1,…,xn,:xn}

– E := { (,) | enthält : oder : }

:= { (:, ),(:,) | enthält }– denn: (: ) (: )

• Beispiel: := (:x1 x2) (:x2 x3) (x1 :x3) (x3 x2)

– Woran ist zu erkennen, ob erfüllbar ist?

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2-SAT liegt in P

Satz:

2KNF Formel ist unerfüllbar Variable xi:

1. es existiert in G ein Weg von xi nach :xi

2. es existiert in G ein Weg von :xi nach xi

Beweis: „“ Führe Belegung für xi zum Widerspruch.

„“ Ann. es ex. keine solche Variable, dann

konstruieren wir eine erfüllende Belegung

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2-SAT liegt in P

„“ Ann. es ex. keine solche Variable, dannkonstruieren wir eine erfüllende Belegung:

Solange noch nicht alle Variablen belegt sind:• Wähle bel. Variable xi, die noch nicht belegt ist• Falls Pfad von xi nach :xi existiert, setze a=0 sonst a=1• Setze alle von xi aus erreichbaren Literale auf a• Setze die entsprechenden Negationen auf :a

Beobachtung:Falls der Graph einen Weg von nach enthält, soenthält er auch einen von : nach : (Definition).

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2-SAT liegt in P

Satz: 2SAT liegt in P

Nach Satz 2.2.2:

Path={ <G,s,t> | G=(V,E) ist ein gerichteter Graph mit s, t V und einem gerichteten Weg von s nach t} P

Algorithmus für 2SAT:– Konstruiere G

– Prüfe für jede Variable xi, ob es einen Pfad von xi nach :xi gibt und umgekehrt

– Verwerfe, falls Variable xi gefunden wurde, für die beide Pfade in G existieren. Ansonsten akzeptiere.

Laufzeit: poly(n).

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Max2SAT ist NP-vollständig

Max2SAT= { <,k> | ist Boole‘sche 2-SAT Formel, für die es eine Belegung gibt, die mindestens k Klauseln erfüllt}

Bemerkung:

Max2SAT ist NP-vollständig!

Beweisidee:

1) Max2SAT liegt in NP

2) 3SAT p Max2SAT

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Vorschau

• Heuristiken– Backtracking– Branch-and-Bound– Lokale Verbesserung

• Approximationsalgorithmen– Max-Cut Problem– Problem des Handlungsreisenden– Rucksackproblem

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