Allgemein definiert man:

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht-rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Also haben wir:

Allgemein definiert man:

Pfadregel

Dann hat man:

1.1.2 1.2.2 2.1.1 2.1.2 2.1.3 3.2.1 3.2.2 3.3.11.2.1 3.3.2

1.1 1.2 2.1 3.1 3.2 3.3

1 2 3

START

p(1)p(2)

p(3)

p(1.1.2 1.1) p(2.1.1 2.1) p(3.3.1 3.3)

p(1.2 1) p(3.3 3)p(2.1 2)

(Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1)

Baumdiagramm

1.1.1 1.2.3 3.1.1

Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln.

1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt.

2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert.

Urne mit roten und grünen Kugeln

START

0 1

0 01 1

3/4 1/4

4/5 1/5 3/5 2/5

Baumdiagramm

Allgemein:

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Formel von der totalenWahrscheinlichkeit

Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend

Anteil der Haushalte, die ein Auto > EURO 30 000,- an-schaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen

EURO 30 000,- an“

Es ergibt sich:

Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:

5

Allgemein:

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes

Satz von Bayes

In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht:

wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.

Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus-länder ist?

D: „Der Gast ist ein Deutscher“I: „Der Gast ist ein Italiener“A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“S: „Der Gast bestellt Spaghetti“

Satz von Bayes

Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man:

Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

Satz von Bayes

Lernen aus ErfahrungBeispiel

Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen-den Situationen A1, A2 oder A3vorliegt:

A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grünA2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grünA3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün

Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un-bekannt. Wir setzen:

P(A1) = p1

P(A2) = p2

P(A3) = p3

Wir ziehen aus der Urne n Kugeln mit Zurücklegenmit Berücksichtigung der Reihenfolge.

Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht.

„Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“

B

Dann hat man:

Nach dem Satz von Bayes erhalten wir:

Ebenso:

Für große n nähert sich die bedingte Wahr-scheinlichkeit für „A3 gegeben B“ dem Wert 1,während sich die bedingtenWahrscheinlich-keiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.

Unabhängig von den Werten fürp1, p2 und p3 hat man:

Grundbegriffe

der (deskriptiven) Statistik der Wahrscheinlichkeitstheorie

Hier noch ein Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis.Einer von den Dreien ist zum Tode verurteilt, aber keiner der Drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid.Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wer von den Beiden anderen, B oder C, exekutiert werden wird.

Man berechne die „Überlebenswahrscheinlichkeit“für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat.

Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er dieWahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p dieAntwort „B“ gibt und mit

Wahrscheinlichkeit 1 - p die Antwort „C“. Ansonsten antwortet er wahrheitsgemäß.