ALLTAG IM ANTIKEN ROM - HPTarthur.hpt.at/php/online_links/links/LP_21288.pdf · 2016. 9. 5. ·...

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REGELUNGS-TECHNIKKOMPETENZORIENTIERT

Latein in unserer Zeit – Alltag im antiken Rom

Die Reihe Latein in unserer Zeit steht für spannende Textauswahl in ausgereifter, schülergerechter didaktischer Aufbereitung, durch die Selbsttätigkeit und die Fähigkeit zur aktiven Texterarbeitung gefördert werden.

• Vokabelangaben, Hinweise zur Sinnerfassung und Übersetzung parallel zum Originaltext

• ausführliche Kommentare mit literaturkundlichen und kultur-historischen Informationen

• Interpretationsfragen und weiterführende Arbeitsaufgaben• NEU: Kompetenzorientierter Übungsteil im Anhang

www.hpt.atAlltag im antiken Rom

Schulbuchnummer 120720ISBN 978-3-230-03937-8

Wien, 3. Auflage

Alle Drucke der 3. Auflage können im Unterrichtnebeneinander verwendet werden.

LEHRPLANMODUL

Der Mensch in seinem Alltag (6-jähriges Latein)

KOMPETENZORIENTIERT

Inhaltsverzeichnis

1 Dynamik linearer Systeme 111.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Beschreibung von Systemen mit Differenzialgleichungen . . . . . . . . 141.2.2 Sprungfunktion, Stoßfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 Definitionsgleichung der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.5 Ableitungs- und Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.6 Dämpfungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.7 Zeitverschiebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.8 Anfangs- und Endwerttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.9 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.10 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Lösung von Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1 Die Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.2 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.3 Methoden der Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.4 Rücktransformation bei konjugiert komplexen Polstellen . . . . . . . . 361.3.5 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4 Der Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4.1 Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.2 Bodediagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.4.3 Bodediagramme zusammengesetzter Frequenzgänge . . . . . . . . . . 471.4.4 Phasenminimumsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4.5 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Was ist Regeln? 532.1 Darstellung von Regelsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.1 Geräteplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.1.2 Blockschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.1.3 Verfahrensfließbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.4 Algebra von Blockschaltbildern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.5 Vereinfachung von Blockschaltbildern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.1.6 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Inhaltsverzeichnis

2.1.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2 Der Standardregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2.1 Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.2 Blockschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.3 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.4 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Regelungstechnische Werkzeuge 703.1 Simulation mit Scilab/Xcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1.1 Erste Schritte mit Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.2 Simulation mit Xcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2 Computeralgebra mit Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.1 Benutzeroberfläche wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.2.2 Erste Schritte mit Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2.3 Das Regelungstechnik-Paket COMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Elemente des Regelkreises 994.1 Regelungstechnische Grundglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.1.1 Proportionalglied (P-Element) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.1.2 Integrierglied (I-Element, Integrator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.1.3 Differenzierglied (D-Element, Differenzierer) . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.4 Verzögerungsglied erster Ordnung (PT1-Element) . . . . . . . . . . . . 1024.1.5 Vorhalteglied (DT1-Element) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.1.6 PI-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.1.7 PD-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1.8 PDT1-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1.9 IT1-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.1.10 Totzeitglied (Tt-Element) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.1.11 Allpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1.12 Verzögerungsglied zweiter Ordnung (PT2-Element) . . . . . . . . . . . 1134.1.13 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.1.14 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2 Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.2.1 Theoretische Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.2.2 Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2.3 Identifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.2.4 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3 Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.3.1 Grundtypen von Reglern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.3.2 Der PID-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.3.3 Analogregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.4 Digitalregler, Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.3.5 Digitalregler, Realisierung mit Mikrocontroller . . . . . . . . . . . . . . 1444.3.6 Windup bei begrenzter Stellgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Inhaltsverzeichnis 7

4.3.7 Pneumatische Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.3.8 Hydraulische Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.3.9 Regler ohne Hilfsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.3.10 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.3.11 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5 Der geschlossene Regelkreis 1585.1 Kennwerte einer Regelung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.1.1 Aus der Sprungantwort ablesbare Kennwerte . . . . . . . . . . . . . . . 1595.1.2 Integrale Gütemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.1.3 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.1.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.2 Stabilität von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2.1 Grundlegende Stabilitätsüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2.2 Ein einfaches notwendiges Kriterium für Stabilität . . . . . . . . . . . . 1665.2.3 Das Hurwitz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.2.4 Das Nyquist-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.2.5 Anschauliche Deutung des Nyquist-Kriteriums . . . . . . . . . . . . . . 1735.2.6 Stabilitätsgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.2.7 Stabilität von Totzeitsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.2.8 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.3 Entwurfsverfahren für Regelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.3.1 Reglerentwurf im Bodediagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.3.2 Betragsoptimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.3.3 Symmetrisches Optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.3.4 Reglereinstellung nach Ziegler und Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.3.5 Reglereinstellung nach den Doppelverhältnissen . . . . . . . . . . . . . 1915.3.6 Reglereinstellung nach Chien, Hrones und Reswick . . . . . . . . . . . . 1925.3.7 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.3.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.4 Erweiterte Regelkreisstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4.1 Störgrößenaufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4.2 Sollwertaufschaltung (Vorsteuerung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.4.3 Kaskadenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.4.4 Smith-Prädiktor für Totzeitsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.4.5 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.4.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.5 Unstetige Regelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.5.1 Unstetige Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.5.2 PT1-Strecke und Zweipunktregler mit Hysterese . . . . . . . . . . . . . . 2075.5.3 Schaltregler mit interner Rückführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.5.4 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.5.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

8 Inhaltsverzeichnis

6 Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme 2136.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.1.1 Zustandsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.1.2 Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.1.3 Vektorielle Form der Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.1.4 Der Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.1.5 Blockschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.1.6 Ermittlung der Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.1.7 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.1.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.2 Simulation dynamischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.2.1 Befehlsorientierte Simulationsprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.2.2 Blockorientierte Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.2.3 Komponentenorientierte Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.2.4 Simulation mit dem Euler-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.2.5 Simulation mit dem Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.2.6 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.2.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.3 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.3.1 Zustandsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.3.2 Eingrößensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.3.3 Berechnung der Übertragungsfunktion eines Eingrößensystems . . . . 2356.3.4 Berechnung der Übertragungsmatrix eines Mehrgrößensystems . . . . 2366.3.5 Ermittlung der Zustandsmatrizen aus der Übertragungsfunktion . . . 2376.3.6 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.3.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.4 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.4.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.4.2 Anwendung auf die Zustandsraumdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . 2436.4.3 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.4.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.5 Stabilität im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.5.2 Stabilität linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.5.3 Stabilität nichtlinearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.5.4 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.5.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6.6 Zustandsregelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.6.1 Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.6.2 Steuerbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.6.3 Zustandsreglerentwurf durch Polvorgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.6.4 Regelung eines Magnetschwebesystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2566.6.5 Pendeldämpfung eines Brückenkrans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2586.6.6 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2626.6.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Inhaltsverzeichnis 9

Anhang A: Lösungen der Übungsaufgaben 265

Anhang B: Fachwörter deutsch – englisch 285

Literaturverzeichnis 295

Index 297

1 Dynamik linearer Systeme

Die Naturwissenschaften wollen nicht erklären, und sie wollen selten et-was interpretieren, sie schaffen in der Hauptsache Modelle. Mit einemModell ist ein mathematisches Konstrukt gemeint, das unter Zusatz be-stimmter sprachlicher Interpretationen Phänomene der Beobachtungs-welt beschreibt. Die Berechtigung eines solchen mathematischen Kon-strukts beruht einzig und allein auf der Hoffnung, dass es funktioniert.

JOHN VON NEUMANN

1.1 Grundlegendes

Die Systemtheorie, welche auch die theoretische Grundlage für die Regelungstechnik bil-det, beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung des dynamischen Verhaltensvon Systemen. Die Gestalt der Systeme ist dabei unerheblich, technische Systeme werdenin gleicher Weise beschrieben wie etwa ökonomische, biologische, chemische oder phy-sikalische Systeme. Als System ist eine abgegrenzte funktionale Einheit zu verstehen, dieüber bestimmte, im Allgemeinen von der Zeit abhängige Größen mit der Umgebung inWechselwirkung steht.

xek

xe3

xe2

xe1

xam

xa3

xa2

xa1

......

System

Bild 1.1 Dynamisches System mit k Eingangsgrößen und m Ausgangsgrößen

Wirken auf ein System in Abhängigkeit von der Zeit physikalische Größen xe,i (t ), die so-genannten Eingangsgrößen, von außen ein, dann reagiert dieses System in bestimmterWeise darauf; physikalische Größen in diesem System erfahren zeitliche Veränderungen.Die interessierenden, nach außen in Erscheinung tretenden Größen werden Ausgangs-größen xa,i (t ) genannt.

In der Regelungstechnik wird bei den Eingangsgrößen üblicherweise zwischen Stellgrößenund Störgrößen unterschieden:

12 Kapitel 1 Dynamik linearer Systeme

• Stellgrößen ui (t ), mit denen das System gezielt beaufschlagt wird, und

• Störgrößen zi (t ), die das System ohne besondere Beabsichtigung beeinflussen (undsich meist störend auf das Regelverhalten auswirken).

Tabelle 1.1 Beispiele für Systeme

System ui zi xa,i

Raumheizung Heizleistung Außentemperatur, Raumtemperatur

Öffnung der Fenster

Kraftfahrzeug Gaspedalstellung Steigung, Geschwindigkeit

Gegenwind

Schiff Ruderstellung Wind, Kurs

Wasserströmung

Elektronische Eingangsspannung, Temperatur, Ausgangsspannung,

Schaltung Potenziometerstellung Belastung Schwingfrequenz . . .

Synchronmaschine Antriebsmoment, Elektr. Belastung Wirkleistung,

(am Netz) Erregung Blindleistung

Synchronmaschine Antriebsmoment, Elektr. Belastung Drehzahl (Frequenz)

(im Inselbetrieb) Erregung Spannung,

Elektr. Antrieb Spannung Belastung Drehzahl

Chemisches Mischungsverhältnis, Qualität der Beschaffenheit der

Reaktionsgefäß Heizleistung Ausgangsstoffe Endprodukte,

Temperatur, Druck

Roboter Spannungen der Gewicht des Position der

Antriebsmotore Werkstücks Roboterarme

Die Abgrenzung des Systems zu seiner Umgebung ist aufgrund gegenseitiger Beeinflus-sungen oft schwierig. Eine eindeutige Zuordnung der Größen zu Eingangs- und Ausgangs-größen ist dann nicht mehr zwingend gegeben, sondern kann in gewissem Ausmaß nachBelieben definiert werden.

Beispiel: Antrieb

Ein elektrischer Antrieb soll üblicherweise eine Arbeitsmaschine mit einer gewissen Dreh-zahl n antreiben. Betrachtet man die Drehzahl als Ausgangsgröße des Motors (und somitals Eingangsgröße der Arbeitsmaschine), dann antwortet die Arbeitsmaschine mit einemLastmoment M , das die Drehzahl zu verringern versucht und für den Motor eine Ein-gangsgröße darstellt.

Dieser Sachverhalt könnte ebenso umgekehrt gesehen werden: Der Motor entwickelt einbestimmtes Antriebsmoment (Ausgangsgröße), die Arbeitsmaschine reagiert darauf miteiner bestimmten Drehzahl (Eingangsgröße für den Motor).

1.1 Grundlegendes 13

M

n

MotorArbeits-maschine

Bild 1.2

Über die zwei mechanischen Größen Drehzahl n und Drehmoment M stehen der Motorund die Arbeitsmaschine in Wechselwirkung. Ein steigendes Lastmoment wirkt der Dreh-zahl entgegen, bei einer Drehzahlabsenkung wird im Allgemeinen auch das Lastmomentsinken.

Beispiel: Spannungsquelle

Eine Spannungsquelle erzeugt eine elektrische Spannung U . Wird daran ein Verbraucherangeschlossen, so beginnt ein Strom I zu fließen. Aufgrund des Innenwiderstandes derSpannungsquelle wirkt der Strom auf die Spannung zurück, die mit steigendem Stromsinken wird. Spannung und Strom sind zwei Größen, die die beiden Systeme Erzeuger(Spannungsquelle) und Verbraucher miteinander verkoppeln:

I

U

VerbraucherSpannungs-quelle

Bild 1.3

Damit ein dynamisches System aus seiner Umgebung herausgelöst oder von anderen Sys-temen getrennt theoretisch untersucht werden kann, ist Rückwirkungsfreiheit voraus-zusetzen. Das heißt, die Umgebung oder andere Systeme wirken nicht auf das betrachteteSystem zurück.

Genau dann ist auch die Zuordnung der nach außen in Erscheinung tretenden physikali-schen Größen zu Eingangs- und Ausgangsgrößen eindeutig.

Beispiel: Antrieb

Ist die Drehzahl eines Antriebs vom auftretenden Lastmoment unabhängig, handelt essich also um einen drehzahlsteifen Antrieb (was in der Praxis nur näherungsweise erfülltsein wird), dann ist für die Arbeitsmaschine die Drehzahl eindeutig eine Eingangsgrößeund das Lastmoment eindeutig eine Ausgangsgröße.

n MMotor

Arbeits-maschine

Bild 1.4

Weitere Beispiele für Rückwirkungsfreiheit:

• Eine Spannungsquelle verändert bei Belastung die Spannung nicht.

• Ein Haus heizt die Umgebung nicht auf (und kühlt dadurch nicht langsamer aus).

• Verstärktes Antreiben einer Synchronmaschine ändert die Netzfrequenz nicht.


In Abhängigkeit von Eingangsgrößen, Ausgangsgrößen und der Systembeschreibung wer-den in der Regelungstechnik drei grundlegende Aufgabenstellungen unterschieden:

Analyse: Die Eingangsgrößen xe,i (Stellgrößen ui und Störgrößen zi ) und das Systemsind gegeben; gesucht sind die Ausgangsgrößen xa,i .

Die Analyse beantwortet die Frage, wie ein bekanntes System auf bestimmte Ein-gangsgrößen reagiert. Die Untersuchung des Verhaltens von Regelkreisen fällt imWesentlichen in diesen Bereich.

Synthese: Die Ausgangsgrößen (d. h. ein gewünschtes Verhalten des Systems) und dasSystem sind gegeben; die dazu erforderlichen Eingangsgrößen sind gesucht.

Die Synthese beantwortet die Frage, mit welchen Größen ein bekanntes System zubeaufschlagen ist, damit es in gewünschter Weise reagiert. In diesen Bereich fällt imWesentlichen der Entwurf von Regelungen, ein zentrales Anliegen der Regelungs-technik. Ein Regler hat im Prinzip die Aufgabe, die erforderliche Stellgröße aus derAusgangsgröße des Systems zu erzeugen.

Identifikation: Die Eingangsgrößen und die Ausgangsgrößen sind gegeben, gesucht istdas System (bzw. eine mathematische Beschreibung des Systems). Aufgrund der andas System angelegten Eingangsgrößen und gemessenen Ausgangsgrößen wird beider Identifikation das Verhalten des Systems untersucht und daraus eine mathema-tische Beschreibung gewonnen, die in der Regelungstechnik eine Grundvorausset-zung für einen vernünftigen Regelungsentwurf ist.

1.2 Die Laplace-Transformation

1.2.1 Beschreibung von Systemen mit Differenzialgleichungen

Das dynamische Verhalten von Systemen wird mit Hilfe von Differenzialgleichungen ma-thematisch beschrieben.

Für ein lineares, zeitinvariantes System mit einer einzigen Eingangsgröße u(t ) und einereinzigen Ausgangsgröße x(t ) gilt:

an(n)x (t )+an−1(n−1)x (t )+·· ·+a2ẍ(t )+a1ẋ(t )+a0x(t ) =

= bm (m)u (t )+bm−1(m−1)u (t )+·· ·+b2ü(t )+b1u̇(t )+b0u(t )(1.1)

Lineares System: ein System, das durch eine lineare Differenzialgleichung beschriebenwird, d. h. die Differenzialgleichung ist linear in den Ableitungen u(i ) der Eingangs-größe und den Ableitungen x(i ) der Ausgangsgröße (nichtlineare Terme wären z. B.x2, ẋ3, x · ẋ).

Zeitinvariantes System: ein System, dessen Differenzialgleichung nur konstante (d. h.von der Zeit unabhängige) Koeffizienten ai und bi enthält.

1.2 Die Laplace-Transformation 15

Beispiel: RC-Glied

C

R

ue(t ) ua(t )i (t )

Bild 1.5

Eingangsgröße . . . ue(t )

Ausgangsgröße . . . ua(t )

ua(t ) = 1C

·t∫

0

i (τ)dτ+ua(0) , i (t ) =[ue(t )−ua(t )

] · 1R

duadt

= 1C

· i (t ) = 1RC

· [ue(t )−ua(t )]u̇a + 1

RC·ua = 1

RC·ue

Die Koeffizienten ai und bi der Differenzialgleichung erster Ordnung (n=1) lauten somit:

a1 = 1 , a0 = 1RC

, b0 = 1RC

Beispiel: Feder-Masse-System (ungedämpft)

m

x(t )

F (t )

Bild 1.6

Eingangsgröße . . . F (t )

Ausgangsgröße . . . x(t )

Aus dem Schwerpunktsatz folgt:

m · ẍ(t ) = F (t )−kc ·x(t ) kc . . . Federkonstantem ẍ +kc x = F

Die Koeffizienten ai und bi der Differenzialgleichung zweiter Ordnung (n=2) lauten so-mit:

a2 = m , a1 = 0 , a0 = kc , b0 = 1

Nur für lineare zeitinvariante Differenzialgleichungen gibt es eine allgemeine Lösungs-theorie. Die Regelungstechnik macht von solchen Differenzialgleichungen einen derartintensiven Gebrauch, dass zu ihrer Untersuchung ein besonderes Verfahren entwickeltwurde, das zum „täglichen Brot“ aller Regelungstechniker gehört: die Laplace-Transfor-mation.

Die direkte Lösung der Differenzialgleichung, die das dynamische Verhalten eines Systemsim Zeitbereich beschreibt, ist im Allgemeinen ein mühsames und mitunter kompliziertes


Unterfangen. Wird die Differenzialgleichung der Laplace-Transformation – einer speziel-len mathematischen Operation, die im Folgenden erläutert wird – unterzogen, dann wirdsie zu einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung, deren Lösung keinerlei Schwierigkei-ten bereitet.

Zeitbereich Laplace-Bereich(Frequenzbereich)

Lösung derDifferenzialgleichung

Differenzialgleichung

Lösung der algebra-ischen Gleichung

algebraischeGleichung

Laplace-Transformation

Inverse Laplace-Transformation

©bequemer

Weg§mühsamerWeg

Bild 1.7 Lösung einer Differenzialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation

Der Umweg über den Laplace-Bereich bietet eine bequeme und elegante Methode zur Lö-sung einer linearen zeitinvarianten Differenzialgleichung. In diesem Bereich hängen diephysikalischen Größen nicht mehr von der Zeit t , sondern von einer auf den ersten Blickziemlich abstrakt erscheinenden Variablen s ab.

Die Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich ist mitunter etwas mühsam (re-chenaufwändig). Sie ist aber meist gar nicht notwendig, da sehr viele wichtige System-eigenschaften direkt im Laplace-Bereich erkennbar sind (z. B. Stabilität, Ausgleichsverhal-ten, Stationärverhalten).

Regelungstechniker untersuchen also dynamische Vorgänge meist direkt im Laplace-Be-reich; dieser Bereich ist auch Grundlage der meisten Reglerentwurfsverfahren. Sehr engverwandt mit dem Laplace-Bereich ist der Frequenzbereich, eine den Elektrotechnikernvon der komplexen Wechselstromrechnung her vertraute Sache. Physikalische Größen hän-gen dabei nicht von der Zeit t ab, sondern (unter Annahme sinusförmiger eingeschwun-gener Zustände) von der komplexen Kreisfrequenz jω.


1.2.2 Sprungfunktion, Stoßfunktion

Sprungfunktion σ(t ) (Heaviside-Funktion):

σ(t ) = 0 . . . t ≤ 0σ(t ) = 1 . . . t > 0

(1.2)

t

f (t )

1 f (t ) =σ(t )Bild 1.8

Beispielsweise kann das Einschalten einer Gleichspannung mathematisch mit einer Sprung-funktion beschrieben werden.

Zur Beurteilung des dynamischen Verhaltens eines Systems wird häufig die Reaktion aufeine sprungförmige Änderung der Eingangsgröße, z. B. einen Einschaltvorgang untersucht,entweder rechnerisch oder experimentell durch Messung. Die sich dabei ergebende Aus-gangsgröße ist die Sprungantwort oder Übergangsfunktion.

Zeitverschobene Sprungfunktion:

Wird das Argument t durch t − t0 ersetzt, wobei t0 einen konstanten Wert hat, so erhältman die zeitverschobene Sprungfunktion:

t

f (t )

1

t0

f (t ) =σ(t−t0)Bild 1.9

Zusammensetzung von Sprungfunktionen:

Durch eine Zusammensetzung verschiedener (zeitverschobener) Sprungfunktionen las-sen sich beliebige Impulse mathematisch beschreiben:

t

f (t )

1

t0 t1

f (t ) =σ(t−t0)−σ(t−t1)Bild 1.10


Stoßfunktion δ(t ) (Dirac-Impuls):

Die Stoßfunktion kann als „zeitliche Ableitung“ der Sprungfunktion angesehen werden.Das ist zwar mathematisch nicht exakt, da die Sprungfunktion an der Unstetigkeitsstellebei t =0 keine Ableitung besitzt (dazu muss der Begriff der Ableitung für unstetige Funk-tionen erweitert werden – Theorie der Distributionen). Es ist aber eine physikalisch sehranschauliche Deutung.

Die Stoßfunktion δ(t ) ist (ziemlich unmathematisch ausgedrückt) ein „sehr hoher Impuls“bei t =0, die Fläche unter diesem Impuls ist aber endlich, nämlich 1. Die Stoßfunktion alszeitliche Ableitung einer dimensionslosen Größe hat die Dimension Zeit−1.

δ(t ) = 0 . . . t 6= 0

δ(t ) →∞ . . . t = 0∞∫

−∞δ(t )dt = 1 (1.3)

t

f (t ) = δ(t )

Bild 1.11

Die Reaktion eines Systems auf die Stoßfunktion als Eingangsgröße wird Stoßantwortoder Gewichtsfunktion genannt, üblicherweise mit g (t ) bezeichnet.

Wie Sprungfunktion und Stoßfunktion aus einer Rampenfunktion bzw. aus einem Impulsim Grenzfall entstehen, verdeutlicht Bild 1.12.

t

ẋ1(t )

t

x1(t )

t

ẋ2(t )

t

x2(t )

t

δ(t )

t

σ(t )

Bild 1.12 Entstehung von Sprungfunktion und Stoßfunktion aus einer Rampe und deren Ablei-tung

Mit größer werdender Steigung der Rampe wächst die Impulshöhe über alle Grenzen, dieFläche unter dem Impuls, die der Rampenhöhe entspricht, bleibt aber konstant!


Ein Dirac-Impuls tritt zwar in der Natur nicht exakt auf (physikalische Größen können kei-ne unendlich großen Werte annehmen), bei der mathematischen Beschreibung von Sys-temen bietet er aber vielfach sehr bequeme und genaue Näherungen an das tatsächlichedynamische Verhalten.

Beispiele:

• Entladen eines Kondensators bei verschwindendem elektrischen Widerstand:

Obwohl die gespeicherte Ladung Q einen endlichen Wert hat, nimmt der Entlade-strom i (t ) kurzzeitig sehr hohe Werte an, begrenzt durch doch vorhandene ohm-sche und induktive Widerstände im Stromkreis. Die Entladung kann näherungswei-se durch einen Dirac-Impuls beschrieben werden:

u(t ) =U0 ·(1−σ(t ))

i (t ) = dQ(t )dt

=C · du(t )dt

=−C U0 ·δ(t )

• Ausschalten des Stroms durch eine Spule:

Obwohl die magnetische Flussverkettung ψ einen endlichen Wert hat, nimmt dieSelbstinduktionsspannung u(t ) kurzzeitig sehr hohe Werte an, begrenzt durch denLichtbogen beim Öffnen der Kontakte. Die Induktionsspannung kann näherungs-weise durch einen Dirac-Impuls beschrieben werden:

i (t ) = I0 ·(1−σ(t ))

u(t ) = dψ(t )dt

= L · di (t )dt

=−L I0 ·δ(t )

• Aufschlagen eines Gegenstandes mit der Masse m an eine starre Wand:

Obwohl der Impuls p einen endlichen Wert hat, nimmt die Stoßkraft F (t ) kurzzei-tig sehr hohe Werte an, begrenzt durch plastische oder elastische Verformung derMasse. Die auftretende Kraft kann näherungsweise durch einen Dirac-Impuls be-schrieben werden:

p(t ) = m v0 ·(1−σ(t ))

F (t ) = dp(t )dt

= m · dv(t )dt

=−m v0 ·δ(t )

1.2.3 Definitionsgleichung der Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformierte L einer Zeitfunktion f (t ) ist durch folgende Operation defi-niert:

L{

f (t )}

:=∞∫

0

f (t ) ·e−st dt (1.4)


Diese Transformationsregel, die aus jeder Funktion f (t ), die von der Zeit t abhängt, eineneue Funktion erzeugt, die von einer Variablen s abhängt, erscheint auf den ersten Blickwillkürlich und unanschaulich. Es wird sich aber zeigen, dass diese Transformation be-stimmte Eigenschaften besitzt, die sie in hervorragender Weise zur Lösung von linearenzeitinvarianten Differenzialgleichungen und somit zur Analyse von dynamischen Syste-men geeignet machen.

Die Laplace-Transformierte einer Funktion wird üblicherweise mit Großbuchstaben be-zeichnet:

L{

f (t )}= F (s) (1.5)

t . . . Zeitvariable, [t ] = secs . . . Laplace-Variable, [s] = sec−1

In Fällen, wo Verwechslungen zwischen der Laplace-Variable „s“ und der Abkürzung „s“für die Sekunde möglich sind, ist es zweckmäßig, die Sekunde mit „sec“ abzukürzen, wo-von im Weiteren gegebenenfalls Gebrauch gemacht wird.

Die Umkehrung der Laplace-Transformation, die Rücktransformation in den Zeitbereich,erfolgt durch Aufspalten in eine Summe von elementaren Funktionen und mit Hilfe vonTabellen. Folgende Schreibweise ist gebräuchlich:

f (t ) =L −1{F (s)} (1.6)In der Regelungstechnik werden üblicherweise alle Zeitfunktionen nur für t > 0 betrachtet.Einschaltvorgänge finden im Zeitursprung (t = 0) statt, vorher befindet sich das Systemin Ruhe oder in einem stationären Zustand; die Änderungen von physikalischen Größenbeginnen frühestens bei t =0.Diesem Umstand wird auch in der Laplace-Transformation Rechnung getragen. Zeitver-läufe für t


Tabelle 1.2 Tabelle zur Laplace-Transformation

f (t ) F (s)

1. δ(t ) 1

2. 11

s

3. t1

s2

4.1

2t 2

1

s3

5.1

n!t n

1

sn+1(n>0, ganzzahlig)

6. eat1

s −a7.

1

ae−

ta

1

1+as8. sinbt

b

s2 +b2

9. cosbts

s2 +b2

10. eat sinbtb

(s−a)2 +b2

11. eat cosbts −a

(s−a)2 +b2

12. 1−e− ta 1s (1+a s)

13.1

a2t e−

ta

1

(1+a s)2

14.e−t/a −e−t/b

a −b1

(1+a s)(1+b s)15.

1

a3(a − t )e− ta s

(1+a s)2

16.a e−t/b −b e−t/a

a b (a −b)s

(1+a s)(1+b s)17. 1−

(1− b

a

)e−

ta

1+b ss (1+a s)

18. 1+ a e−t/a −b e−t/b

b −a1

s (1+a s)(1+b s)19. a

(e−

ta −1

)+ t 1

s2 (1+a s)20.

ab + (a −b) ta3

e−ta

1+b s(1+a s)2


2. f (t ) = eat (a . . . konstanter Parameter)

F (s) =∞∫

0

eat ·e−st dt =∞∫

0

e(a−s)t dt = 1a − s e

(a−s)t ∞

0= 1

s −a (mit Re s > a)

L{e+at

}= 1s −a , L

{e−at

}= 1s +a (1.8)

3. f (t ) = tDurch partielle Integration erhält man:

F (s) =∞∫

0

t︸︷︷︸g

·e−st︸︷︷︸f ′

dt =−1s·e−st · t

∞

0+

∞∫0

1

s·e−st dt

= 1s

∞∫0

e−st dt = 1s2

L{

t}= 1

s2(1.9)

1.2.4 Linearität

Die Laplace-Transformation ist eine lineare Transformation. Das heißt, ein konstanter Fak-tor bleibt bei der Laplace-Transformation unverändert erhalten,

L{

a · f (t )}= a ·L { f (t )}= a ·F (s) (1.10)und bei einer Summe von Funktionen können die Summanden getrennt transformiertwerden:

L{

f (t )+ g (t )}=L { f (t )}+L {g (t )}= F (s)+G(s) (1.11)Allgemein:

L{

a · f (t )+b · g (t )}= a ·F (s)+b ·G(s) (1.12)Beweis:

∞∫0

[a f (t )+b g (t )] e−st dt = a · ∞∫

0

f (t ) e−st dt

︸︷︷︸F (s)

+b ·∞∫

0

g (t ) e−st dt

︸︷︷︸G(s)

Ebenso können bei einer Summe im Laplace-Bereich die Summanden getrennt rücktrans-formiert werden:

L −1{F (s)+G(s)}= f (t )+ g (t ) (1.13)


Achtung: Für das Produkt von Funktionen gilt das nicht!

L{

f (t ) · g (t )} 6= F (s) ·G(s)L −1

{F (s) ·G(s)}= f (t )∗ g (t ) 6= f (t ) · g (t )

Die Rücktransformation eines Produkts führt zum sogenannten Faltungsprodukt (bezeich-net mit „∗“ ), auf das hier nicht näher eingegangen wird.

Beispiel:

f (t ) = 1−e−3t

F (s) = 1s− 1

s +3 =3

s (s +3) =3

s· 1

s +3

L −1{F (s)

}=L −1{3s· 1

s +3}6= 3 ·e−3t !!

1.2.5 Ableitungs- und Integralsatz

Für die Zeitableitung einer Funktion x(t ) erhält man im Laplace-Bereich mit Hilfe partiel-ler Integration:

L{

ẋ(t )} = ∞∫

0

dx

dt︸︷︷︸f ′

· e−st︸︷︷︸g

dt = x(t ) e−st∞

0−

∞∫0

(−s) e−st x(t )dt

= x(t ) e−s·∞︸︷︷︸0 (für Re(s)>0)

−x(0) e−s·0︸︷︷︸1

+ s ·∞∫

0

x(t ) e−st dt

= s ·L {x(t )}−x(0)L

{ẋ(t )

}= s ·X (s)−x(0) Ableitungssatz (1.14)Allgemein gilt für die n-te Ableitung:

L{(n)

x (t )}= sn X (s)− sn−1x(0)− sn−2ẋ(0)− . . . s (n−2)x (0)− (n−1)x (0) (1.15)

Unter der Annahme, dass der Funktionswert x an der Stelle t =0 verschwindet, x(0)=0,was in der Praxis sehr oft vorkommt und in weiterer Folge stillschweigend angenommenwird, entspricht eine Differenziation im Zeitbereich einer Multiplikation mit s im Laplace-Bereich. Diese Regel hat weitreichende Konsequenzen für die Behandlung von Differenzi-algleichungen.


Ebenso erhält man für das Zeitintegral einer Funktion x(t ) im Laplace-Bereich mit Hilfepartieller Integration:

L{ t∫

0

x(τ)dτ}

=∞∫

0

∫ t0

x(τ)dτ︸︷︷︸g

· e−st︸︷︷︸f ′

dt

=t∫

0

x(τ)dτ · (−1s

)e−st

∞

0︸︷︷︸0

+∞∫

0

x(t ) · 1s

e−st dt = 1s·L {x(t )}

L{ t∫

0

x(τ)dτ}= 1

s·X (s) Integralsatz (1.16)

Eine Integration im Zeitbereich entspricht also einer Division durch s im Laplace-Bereich.

Beispiele:

1. Gesucht ist die Laplace-Transformierte von f (t )= t , die sich aus der bekannten Be-ziehung L {1}=1/s mit Hilfe des Integralsatzes leicht berechnen lässt:

L{

t}=L {∫ t

0σ(τ)dτ

}= 1

s·L {1}= 1

s2

2. Lösung einer Differenzialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation:

ẋ(t )+3 x(t ) =σ(t ) , x(0) = 0

s X (s)+3 X (s) = 1s

Diese Gleichung kann leicht nach X (s) aufgelöst werden:

(s +3) ·X (s) = 1s

, X (s) = 1s (s +3) =

1

3· 1

s · (1+1/3 s)Die Ermittlung der Zeitfunktion x(t ) erfolgt durch Rücktransformation mit Hilfe derTabelle 1.2 zu:

x(t ) = 13

(1−e−3t )


1.2.6 Dämpfungssatz

Wird die Zeitfunktion x(t ) mit dem Term e−at multipliziert, wird sie also einer Dämpfungunterworfen, so erhält man für ihre Laplace-Transformierte:

L{

x(t ) ·e−at }= ∞∫0

x(t ) ·e−at ·e−st dt =∞∫

0

x(t ) ·e−(s+a)t dt = X (s +a)

L{

x(t ) ·e−at }= X (s +a) Dämpfungssatz (1.17)Eine Multiplikation mit e−at im Zeitbereich entspricht also dem Ersatz des Parameters sdurch s+a im Laplace-Bereich.

Beispiele:

x(t ) = 1 ·e−at . . . X (s) = 1s +a

x(t ) = t ·e−at . . . X (s) = 1(s +a)2

x(t ) = e−at · sin t . . . X (s) = 1(s +a)2 +1

1.2.7 Zeitverschiebungssatz

Ersetzt man in der Zeitfunktion x(t ) die Zeit t durch t−t0, so erhält man die um t0 nachrechts verschobene Funktion:

t

f (t )

t0

x(t ) x(t − t0)

Bild 1.13

L{

x(t−t0)}= ∞∫

t0

x(t−t0) ·e−st dt


Mit der Substitution t−t0=ξ erhält man daraus:∞∫

0

x(ξ) ·e−(ξ+t0) s dξ= e−st0∞∫

0

x(ξ) ·e−sξ dξ= e−st0 L {x(t )}= X (s) ·e−st0

L{

x(t−t0)}= X (s) ·e−st0 Zeitverschiebungssatz (1.18)

Eine Zeitverschiebung um t0 nach rechts im Zeitbereich entspricht also einer Multiplika-tion der Laplace-Transformierten mit dem Faktor e−st0 . Bemerkenswert ist die Ähnlichkeitmit dem Dämpfungssatz.

Beispiele:

1. Laplace-Transformierte eines Impulses:

t

x(t )

t0

Bild 1.14

x(t ) =σ(t )−σ(t−t0)

X (s) = 1s− 1

se−st0 = 1

s

(1−e−st0)

2. Laplace-Transformierte einer Rampenfunktion:

t

x(t )

t0

1

x1(t )

x2(t )

Bild 1.15

x1(t ) = tt0

·σ(t )

x2(t ) =− t − t0t0

·σ(t−t0)

X (s) = 1s2t0

− 1s2t0

e−st0 = 1s2t0

(1−e−st0)

1.2.8 Anfangs- und Endwerttheorem

Anfangs- und Endwerttheorem geben Auskunft über das Zeitverhalten einer Funktion x(t )im Zeitursprung t =0+ (genauer gesagt beim rechtsseitigen Grenzwert); also über das dy-namische Verhalten zu Beginn eines Ausgleichsvorgangs, bzw. über dessen Stationärzu-stand, nachdem der Ausgleichsvorgang beendet ist (t →∞). Bei Anwendung dieser Re-geln kann das dynamische Verhalten eines Systems bis zu einem gewissen Grad direkt imLaplace-Bereich, also ohne Rücktransformation, beurteilt werden.

Ausgangspunkt für die Herleitung ist der Ableitungssatz:

s ·X (s) = x(0+)+L{

ẋ(t )}= x(0+)+ ∞∫

0+

ẋ(t ) e−st dt (1.19)


Die Bildung des Grenzwerts für s →∞ liefert (da das Integral auf der rechten Seite vonGleichung (1.19) verschwindet):

lims→∞ s X (s) = x(0+)

limt→0+

x(t ) = lims→∞ s X (s) Anfangswerttheorem (AWT) (1.20)

Die Bildung des (rechtsseitigen) Grenzwerts für s→0 liefert:

lims→0 s X (s) = x(0+)+

∞∫0+

ẋ(t )dt = x(0+)+[x(∞)−x(0+)

]= x(∞) = limt→∞x(t )

limt→∞x(t ) = lims→0 s X (s) Endwerttheorem (EWT) (1.21)

Achtung:

Anfangs- und Endwerttheorem gelten nur, wenn die Grenzwerte für t →0 bzw. t →∞ tat-sächlich existieren!

Beispiel:

X (s) = s +3s (s +5) = ·· · =

3

5s+ 2

5(s +5)Zur Rücktransformation wird X (s) zweckmäßigerweise in eine Summe von elementarenFunktionen aufgespalten (siehe Abschnitt 1.3.2). Im Zeitbereich erhält man:

x(t ) =[3

5+ 2

5·e−5t

]·σ(t )

Mit dem Anfangswerttheorem erhält man auch ohne Rücktransformation den Anfangs-wert

x(0) = lims→∞ s X (s) = lims→∞

s +3s +5 = 1

und mit dem Endwerttheorem den Stationärwert:

x(∞) = lims→0 s X (s) = lims→0

s +3s +5 =

3

5


1.2.9 Verständnisfragen

1. Wie kann bei zwei hintereinandergeschalteten RC-Gliedern Rückwirkungsfreiheiterreicht werden?

2. Warum kann eine Gleichrichterschaltung nicht mit der Laplace-Transformation be-schrieben werden?

3. Ein mechanischer Stoßvorgang kann näherungsweise mit einem Dirac-Impuls be-schrieben werden. Welche physikalische Größe entspricht der Fläche unter dem Im-puls?

4. Ein System hat die Sprungantwort x(t )=t ·e−2t . Wie lautet die Stoßantwort?5. Welche Dimension hat die Laplace-Variable?

1.2.10 Übungsaufgaben

1. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von folgenden Funktionen:

(a) 2sin t + sin2t (b) 2sin t · sin2t (c) t 2 + t +1(d) et + 2e2t + 3e3t (e) cos3 t (f) sin(t +a)

2. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von folgenden stückweise zusammenge-setzten Funktionen:

(a) x(t )

t

1

0 0.5 1.5 2.51 2Bild 1.16

(b) x(t )

t

1

0 1 2 3 63 5Bild 1.17

(c) x(t )

t

5

0 1 3 52 4Bild 1.18

3. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f (t ) = eat · sinbt durch partielle In-tegration.

4. Ermitteln Sie zu folgenden Funktionen X (s) mit Hilfe der Tabelle zur Laplace-Trans-formation die zugehörigen Zeitfunktionen x(t ):

(Hinweis: Die Funktionen sind zuvor in entsprechende Form zu bringen!)

(a)1

s (s +1) (b)1

s (s +1)(s +2) (c)s +1s +2

(d)s +1

s (s +2) (e)s +1

(s +2)2 (f)s +1

s2 +2(g)

s +12s

(h)1

s2 (s +2) (i)1+10s

s (1+2s)(j)

1+10ss (1+2s) (1+ s)

5. Ermitteln Sie mit Hilfe von Anfangs- und Endwerttheorem die Anfangswerte undStationärwerte der Funktionen des vorigen Beispiels.

ENDE DES PROBEKAPITELS

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