8/14/2019 Analogfilter

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AnalogfilterAls einfachstes Beispiel eines Filters betrachten wir einen RC Tiefpass. DieFiltercharakteristik geschrieben mit Frequenzen ist

Die Darstellung in Gleichung (2.163) ist die einfachste denkbare Darstellungeines Tiefpassfilters. Die Grenzfrequenz ist normiert, alle Details derRealisierungwerden mit der Normierung kaschiert. Das Vorgehen ist in gewissem Sinne

analogzu dem der theoretischen Physiker, wenn sie ~ = 1 und c = 1 setzen.Fr Sinuswellen ist das Verhltnis zwischen Ausgangs- und Eingangssignal ist

Fr groe Frequenzen >>1 verhlt sich die AusgangsamplitudeDies entspricht einem Verstrkungsabfall von 6 dB pro Oktave (Faktor 2) oder20 dB pro Dekade (Faktor 10). Der Verstrkungsabfall pro Dekade ist

charakteristisch fr die Filterordnung. Pro Ordnung erhlt man 20 dB proDekade.Fr einen steileren Abfall der Verstrkung kann man n Filter hintereinanderschalten. Wenn man annimmt, dass jeder Teilfilter vom vorhergehendenentkoppelt ist (keine Rckwirkung) und wenn man weiter annimmt, dassjeder Teilfilter

eine andere Grenzfrequenz haben kann, charakterisiert durch den Faktordann

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ist die bertragungsfunktion

Die Grenzfrequenz eines einzelnen Tiefpasses ist um 1/hher als dieGrenzfrequenz der Gesamtschaltung. Diese Eigenheit ist bei allen

zusammengesetztenTiefpssen zu bemerken. Die oben eingefhrten Tiefpsse haben nur reellePole.Sie heien kritische Tiefpsse. Tabelle F.1 im Anhang gibt eine bersichtberdie Filterkoeffizienten. Die Koeffizienten sind in Gruppen zu zwei geordnet, daman jedes Polynom mit reellen Koeffizienten in ein Produkt von Polynomen 2.Grades aufspalten kann.Allgemein ist eine Filterfunktion gegeben durch

Hier istA0 die Verstrkung bei = 0. Fr beliebige reelle Koeffizienten cikann das Nennerpolynom in Gleichung (2.167) in n=2 ((n 1)=2 beiungerademn) Polynome 2. Grades (und ein Polynom ersten Grades bei ungeradem n)auf-gespalten werden. Diese Polynome zweiten Grades haben entweder zweireelleNullstellen, oder aber zwei konjugiert komplexe. Wir knnen also schreiben:

BesseltiefpsseInsbesondere fr die Verarbeitung von steilen Impulssignalen ist es wnschens-wert, wenn die Durchlaufzeit durch den Filter fr alle Frequenzen konstant ist.Diese Durchlaufzeit wird im Allgemeinen die Gruppenlaufzeit genannt. DieGruppenlaufzeit ist eine Funktion der Phasenverschiebung (analog zurGruppengeschwindigkeit bei Wellen).

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Tiefpass-Hochpass-TransformationHochpsse knnen aus den Tiefpassfilterfunktionen abgeleitet werden, indem man

die so genannte Tiefpass-Hochpass-Transformation anwendet.

wird:

AllpsseWenn gewnscht ist, dass ein Signal zwar verzgert, nicht aber in seiner Amplitude oderForm gendert wird, dann knnen Allpassfilter eingesetzt werden.Allpassfilter dienen auch als Phasenschieber. Die den Allpassfiltern zugrunde liegendeIdee ist die folgende:Der Betrag eines Koeffizienten aus einer Funktion und ihrer konjugiert komplexenFunktion ist konstant und gleich eins.Wir setzen also fr die bertragungsfunktion an