PPPPrésentation de l’appareilrésentation de l’appareilrésentation de l’appareilrésentation de l’appareil ::::

Analyse du phénomène de lévitation du «Analyse du phénomène de lévitation du «Analyse du phénomène de lévitation du «Analyse du phénomène de lévitation du « LévitronLévitronLévitronLévitron »»»»

Socle en plastique

Toupie aimantée

Base aimantée

Petit schéma explicatif…Petit schéma explicatif…Petit schéma explicatif…Petit schéma explicatif…

I / Importance de la rotation de la toupieI / Importance de la rotation de la toupieI / Importance de la rotation de la toupieI / Importance de la rotation de la toupie

Théorème d’Earnshaw ( 1842 )Théorème d’Earnshaw ( 1842 )Théorème d’Earnshaw ( 1842 )Théorème d’Earnshaw ( 1842 ) Un eUn eUn eUn ensemble nsemble nsemble nsemble immobile immobile immobile immobile de charges ne de charges ne de charges ne de charges ne peut pas être maintenu en équilibre peut pas être maintenu en équilibre peut pas être maintenu en équilibre peut pas être maintenu en équilibre stable par dstable par dstable par dstable par des interactionses interactionses interactionses interactions d’ordres d’ordres d’ordres d’ordres électrostatiquesélectrostatiquesélectrostatiquesélectrostatiques

Justification Justification Justification Justification succinctesuccinctesuccinctesuccincte Stabilité puit de potentiel

0 0 0 0

2 2

2 2( , ), ( , ) 0Ep Ep

z zz

ρ ρρ

∂ ∂⇒ >

∂ ∂

Or : 0Ep mg z Bµ∆ = ∆ + ∆ =

ForcémentForcémentForcémentForcément : 2 2

2 20, 0Ep Ep

ouzρ

∂ ∂≤ ≤∂ ∂

Mouvement de précessionMouvement de précessionMouvement de précessionMouvement de précession - Rotation ⇒ stabilité sur Ox et Oy

- Si rotationΩ trop faible : instabilité !

IntroductionIntroductionIntroductionIntroduction

Depuis des siècles, les plus grands physiciens se sont intéressés aux propriétés des champs électromagnétiques. On peut entre autres citer Lorentz, Faraday, Ampère, Gauss… Parlons du champ magnétique… En effet, prenez deux aimants, amusez-vous à les rapprocher en changeant leur sens : d’un coté, ils s’attirent, de l’autre, ils se repoussent ! Et avez-vous essayé de faire tenir l’un, verticalement, en lévitation par rapport à l’autre ? EstEstEstEst----ce possible de faire léviter un ce possible de faire léviter un ce possible de faire léviter un ce possible de faire léviter un objetobjetobjetobjet ????

- - Sujet de Physique

ULM 1999 filière MP - The Levitron : an adiabatic trap for spins, by M.V. Berry ( 1996 ) - La physique de la vie quotidienne, de François Graner Springer ( énoncé 24 ) ( 2003 ) - Comment fonctionne le Levitron ?, de William G.Hones - Encyclopédie Universelle « Wikipédia »

Bibliographie Bibliographie Bibliographie Bibliographie

II / Etude de la stabilité d’une toupie en rotationII / Etude de la stabilité d’une toupie en rotationII / Etude de la stabilité d’une toupie en rotationII / Etude de la stabilité d’une toupie en rotation

On établit l’expression de l’ énergie potentielleOn établit l’expression de l’ énergie potentielleOn établit l’expression de l’ énergie potentielleOn établit l’expression de l’ énergie potentielle

0

( ) 0 / ( )

: (0, ) 12 ² ²

rot B B grad

Me zOr z

a z

φ φ

µφ

= ⇒ ∃ = −

= −+

0

2

3/2 7/22 23

3 ² 2 51

:2

1 8 1

z

aMeDonc B

z za a

a a

ρµ

+

− = + +

2

3/2 7/22 2

3

2 5

1 1

3 ²( , )

8

z

a

z z

a a

AAEp z mgz

a a

µ ρµρ

−

+

+ +

= +

0

:2

MeAvec A

µ=

On sait que les dérivées de Ep en la position d’équilibre s’annulent… D’où on obtient :

m ≈ m ≈ m ≈ m ≈ 29292929g et g et g et g et z ≈ z ≈ z ≈ z ≈ 3,83,83,83,8cmcmcmcm

III / Etude graphique des III / Etude graphique des III / Etude graphique des III / Etude graphique des positions d’équilibrepositions d’équilibrepositions d’équilibrepositions d’équilibre

On peut obtenir Ep sous forme sans dimension…

En posant : 0 0 0

0 0

; ;²

: ; ; ;

AE m ga m

ga

Ep m zet E M Z R

E m a a

µ

ρ

= =

= = = =

On obtient :

3/2 7/21 3 ²(2 5 ²)( , )

(1 ²) 8(1 ²)R ZE R Z MZ

Z Z−= + +

+ +

GrGrGrGraphe aphe aphe aphe des équipotentielles pour des équipotentielles pour des équipotentielles pour des équipotentielles pour M=0.8M=0.8M=0.8M=0.855555555 Les lignes de champs étant perpendiculaires aux équipotentielles… On trouve une position d’équilibre pour Z voisin de 0,53…

Expérimentalement…Expérimentalement…Expérimentalement…Expérimentalement… En notant M+, la masse ajoutée à la masse de la toupie vide ( Mvide = 20g ), pour T=20°, je remarque que pour M+M+M+M+=7,=7,=7,=7,4444gggg la position d’équilibre est autour de 5,5,5,5,5cm5cm5cm5cm au dessus du socle… J’ai réussi à la faire tenir une petite vingtaine de secondes…

En conclusionEn conclusionEn conclusionEn conclusion :::: Les résultats expérimentaux sont en accord avec ceux obtenus théoriquement. La méthode graphique est intéressante, car assez visuelle, l’autre permet davantage d’exploiter les notions d’équilibre avec les dérivées… Finalement, la lévitation est bien possible…Finalement, la lévitation est bien possible…Finalement, la lévitation est bien possible…Finalement, la lévitation est bien possible…