ENTWICKLUNG Riementrieb Quelle: MTZ 7/2004

576 MTZ 7-8/2004 Jahrgang 65

Analyse transversalerRiemenschwingungenbei Pkw-AggregatetriebenDen Energiefluss zwischen Nebenaggregaten und Verbrennungsmotor zu gewährleisten,wird angesichts steigender Anforderungen an Komfort und Lebensdauer zunehmend zueiner Herausforderung an den Entwicklungsingenieur. Nur mit rechnerischer Unterstützungsind tragfähige Aussagen über das dynamische Verhalten des Gesamtsystems möglich undOptimierungspotenziale erschließbar. Dieser Aufsatz von INA-Schaeffler stellt ein Berech-nungsverfahren vor, das Trumschwingungen an allen Riementrumen darstellen kann.

1 Einleitung

In modernen Kraftfahrzeugen dient derVerbrennungsmotor nicht nur zum Antriebdes Fahrzeugs, sondern versorgt auch zahl-reiche Nebenantriebe mit Leistung. In derRegel wird der Nebenaggregatetrieb alsUmschlingungsgetriebe mit Keilrippenrie-men ausgeführt. Die steigenden Anforde-rungen an dieses Getriebesystem bedingeneinen aufwändigeren Entwicklungspro-zess. Eine besondere Rolle kommt dabei derrechnerischen Simulation als Hilfsmitteldes Konstrukteurs zu. Obwohl noch keineentsprechende „Hardware“ zur Verfügungsteht, muss sie die Entwicklung mit aussa-gekräftigen Simulationsergebnissen unter-stützen. Die Komplexität der Simulations-modelle sollte sich dabei stets am aktuellenKonkretisierungsgrad orientieren und esdem Entwickler erlauben, seine Modellesukzessive zu verfeinern.

Transversalschwingungen des Riemenssind ein charakteristisches Phänomen anPkw-Aggregatetrieben. Mit ihrer Modellie-rung beschäftigt sich der vorliegende Auf-satz. Ausgehend von der Formulierung derTrumkräfte für Riementrume zwischenScheiben mit fester Drehachse wird dasModell schrittweise hinsichtlich der Be-rücksichtigung transversaler Riemen-schwingungen erweitert, zuerst nur fürRollen mit ortsfester Drehachse, anschlie-ßend auch für Spannrollen. Das hier vorge-stellte Verfahren stützt sich auf allgemeinbekannte, einfache Modellelemente undmathematische Algorithmen, die in gerin-gem Umfang an das Problem angepasstwurden. Viele der verwendeten Teilsyste-me sind in der Literatur bereits mehrfachbeschrieben, zum Beispiel [2, 3, 4].

Nach einer Beschreibung der Modellele-mente dient ein Vergleich von Berech-nungs- und Versuchsergebnissen der Verifi-kation seiner praktischen Aussagefähigkeit.

2 Trumschwingungen

Trumschwingungen stellen systemspezifi-sche Effekte an Umschlingungsgetriebendar. Prinzipiell kann das Zugmittel zuTransversal-, Longitudinal- und Torsions-schwingungen angeregt werden. Im Ver-gleich zur Biegesteifigkeit ist allerdings dieSteifigkeit des Riemens in Längsrichtungbeziehungsweise um die Torsionsachsesehr groß. Damit liegen nur die Resonanz-gebiete der Transversalschwingungen imüblichen Betriebsbereich des Verbren-nungsmotors, so dass nur diese in der Regelfür die Auslegung von Pkw-Aggregatetrie-ben technisch relevant sind.

Wesentliche Aufgabenfelder bei derAuslegung von Nebenaggregatetrieben lie-

gen in der Vermeidung von übermäßigemSchlupf und heftigen Transversalschwin-gungen im Arbeitsbereich des Antriebs.Die schmalbandigen transversalenSchwingungen des Zugmittels können denBetrieb des gesamten Antriebssystemsempfindlich stören. Ihr Auftreten führt zuGeräuschen und erhöhten Strukturbelas-tungen der Bauteile durch dynamischeKraftspitzen, welche die Lebensdauer desGesamtsystems verkürzen. Darüber hi-naus können beim Anschlagen des Rie-mentrums an benachbarten Teilen sowohldiese als auch der Riemen selbst beschä-digt werden. Schon nach kurzer Zeit kannes so zu einem Ausfall des gesamten An-triebssystems kommen. Angeregt werdenTrumschwingungen durch das ungleich-förmig verlaufende Antriebsmoment desVerbrennungsmotors.

Die Ausprägung von Trumschwingun-gen kann auf mehrere physikalische Effek-te zurückgeführt werden. Unstrittig ist derMechanismus der Parametererregung inFolge oszillierender Trumkräfte [5]. AuchAbweichungen von der geometrischenIdealform, zum Beispiel exzentrischeScheiben, und örtlich variierende Riemen-eigenschaften stellen Quellen für eine Pa-rametererregung dar [7]. Hinzu kommt derTransporteffekt aufgrund des Riemenum-laufs, über den die longitudinale und dietransversale Bewegung gekoppelt sind [8].In der Praxis ist zu beobachten, dass sichdie Trumschwingungsamplituden asym-metrisch ausbilden, Bild 1. Dieser Effekt

bleibt unberücksichtigt. In komplexerenRiementrieben (zum Beispiel beim riemen-getriebenen Startergenerator), teils auch inkonventionellen Riementrieben mit fest-em Energiefluss, sind Riemenschwingun-gen auch am Spannsystem zu beobachten.In diesen Fällen liefert die oszillierende Be-wegung der Spannsystems als Fußpunkt-erregung einen zusätzlichen Anregungs-beitrag.

3 Mechanisches Modell

3.1 AllgemeinesDie Modellierung der transversalen Rie-menschwingungen erfolgt im Rahmen

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Die Autoren

Dipl.-Ing. Frank Rettigist Berechnungsinge-nieur in der Techni-schen Berechnung derINA-Schaeffler KG inHerzogenaurach.

Dipl.-Ing. Peter Kelmist Fachreferent fürMehrkörperdynamikin der TechnischenBerechnung der INA-Schaeffler KG in Her-zogenaurach.

Bild 1: Hüllkurve transversale RiemenschwingungFigure 1: Envelope of transversal belt vibration

2 Trumschwingungen

dieser Ausführungen eingebettet in dasdynamische Simulationsprogramm Dina,das den Riementrieb primär als ebenesSystem betrachtet [4]. Riementrume sinddarin als idealisierte Feder-Dämpfer-Ele-mente (Kelvin-Voigt-Modell) mit transver-salen Schwingungsfreiheitsgraden model-liert. Durch die direkte Integration desTransversalschwingungsmodells des Rie-mens in das mathematische Modell desGesamtsystems wird die Koppelung derTrumschwingungen an die dynamischenRandbedingungen, insbesondere dieTrumkräfte, gewährleistet. In diesemPunkt unterscheidet sich die gewählte Mo-dellierung somit deutlich von der Behand-lung von Riemenschwingungen als Stabili-tätsproblem, bei der ein harmonischer Ver-lauf der Trumkraft vorausgesetzt wird [8].Um die erforderliche Rechenzeit gering zuhalten, ist die Berücksichtigung der Trum-schwingungen optional.

3.2 Riemen ohne Transversal-schwingungenUnabhängig davon, ob an den durch einRiementrum miteinander verbundenenScheiben die Möglichkeit von Schlupf zwi-schen Riemen und Scheibe vorgesehenwird, ist die Darstellung der Trumkräftebei linear-elastischem Dehnungsverhaltendes Riemens vergleichsweise trivial, wenndurch die Modellierung keine Transversal-schwingungen zugelassen werden, Bild 2.

Bei gegebenen Positionen →x1 und →x2 derScheibenmittelpunkte ergeben sich derWinkel α zwischen deren Verbindungsli-nie →xM und der Riemenlaufrichtung →eRIE be-ziehungsweise die freie Riemenlänge l zu

mit di als der jeweiligen nominalen Schei-bendrehrichtung (± 1) und ri als jeweiligemScheibenradius. Der Vergleich dieser Grö-ßen für den Nominal- und den aktuellenZustand erlaubt die Berechnung der Rie-mendehnung zu

Mit den Geschwindigkeiten der Kon-taktpunkte Riemen-Scheibe

berechnet man die Dehnungsgeschwin-digkeit zu

Auf der Basis eines Kelvin-Voigt-Modellsfür den Riemen mit den längenspezifi-schen Steifigkeits- beziehungsweiseDämpfungswerten EA beziehungsweiseDA führt dies zur aktuellen Riemenkraft

3.3 Riemen mit Transversal-schwingungenDieser Aufsatz folgt in der rechnerischenBehandlung der Riementransversalschwin-gungen dem klassischen mathematischenModellierungsweg [5, 6]. Der Riemen wirddabei als vorgespanntes, massebehaftetesund biegeweiches Seil betrachtet, das mitkonstanter Geschwindigkeit durch zweifeste Punkte gezogen wird. Riemenlängs-schwingungen werden dabei vernachläs-sigt, womit die Riemenlängskraft im freienTrum zwar zeitabhängig, aber in Längsrich-tung konstant ist. Ohne Berücksichtigungvon Dämpfungstermen gewinnt man einepartielle Differenzialgleichung zur Be-schreibung der auf ein infinitesimales Rie-menelement wirkenden Kräfte:

ρA längenspezifische Massey Auslenkung des Riemenelementes

quer zur Tangente an die Riemen-scheiben

x Längskoordinate des Riemenelemen-tes

ν Riemengeschwindigkeit in Längsrich-tung

F RiemenlängskraftEI Biegesteifigkeit des Riemens

Die Biegesteifigkeit des Riemens soll inder weiteren Betrachtung vernachlässigtwerden.

In Rahmen der Vorauslegung interes-siert gelegentlich nicht die genaue Lageder Eigenfrequenzen fn , sondern nur derengrobe Abschätzung. Für den Fall konstan-ter Riemenkraft und -geschwindigkeit undfester Trumgeometrie erhält man aus Gl.(7) folgende Lösung:

n Ordnungszahl der Eigenfrequenzl freie Trumlänge

An Gl. (8) lassen sich wesentliche Einfluss-größen auf das transversale Schwingungs-verhalten ablesen. Bei konstanter Längs-kraft im Riemen und steigender Riemenge-schwindigkeit fällt die Eigenfrequenz para-belförmig. Die Eigenfrequenz ist zudem ei-ne Funktion der Trumkraft. Diese stellt imGesamtsystem die maßgebliche Koppe-

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Gl. (1)α =−

arcsind1 r d r

x M

1 2 2

r

Gl. (2)l x M=r

cosα

3.2 Riemen ohne Transversalschwingungen

Gl. (3)

kt )0 2

Gl. (4)r r rν ν ωk i M i i Ried r e, ,= + 1 1

Bild 2: Geome-trie des Rie-mentrumsFigure 2: Geo-metry of thebelt strand

Gl. (5)ddt

l k k∆ = −r rν ν, ,2 1

Gl. (6)F FEA

ll

DA

l

d

dtl= + +

max ,0 00 0

∆ ∆

Gl. (7)νA

y

xEI

y

x) ∂∂

+ ∂∂

=22

2

4

4 0

Gl. (8)fn

l

F A

F An =

⋅⋅ − ⋅

⋅2

2( )ρ νρ

lungsgröße dar, unterliegt jedoch bei Pkw-Aggregatetrieben durch den ungleichför-migen Antrieb bedingt großen Schwan-kungen.

Praktisch lassen sich daher mit Gl. (8)nur Resonanzbereiche abschätzen. Esreicht meist aus, die Auswertung auf dieerste, in seltenen Fällen zusätzlich auch diezweite Schwingungsordnung, zu be-schränken. Höhere Ordnungen liegen inder Regel schon außerhalb des Betriebsbe-reichs des Verbrennungsmotors.

3.3.1 Transversalschwingungenzwischen Rollen mit ortsfesterDrehachseDie Modellierung der Riementransversal-schwingungen als Saitenschwingungender freien Trume lehnt sich eng an die in[2] gegebene Darstellung an. Durch dieVerwendung von Ansatzfunktionen fürdie Riementransversalbewegungen nachdem Verfahren von RITZ entsprechend

mit einem Vektor w von rein ortsabhängi-gen Ansatzfunktionen und dem Vektor qreiner Zeitfunktionen, die im mechani-schen Gesamtmodell Freiheitsgrade dar-stellen, gewinnt man eine in gewöhnlicheDifferenzialgleichungen transformierteDarstellung:

Hier wurde eine geschwindigkeitspro-portionale Dämpfung hinzugefügt, derenMatrix in Anlehnung an die Steifigkeits-matrix gebildet wurde. Die Drehpunktesind hier als ortsfest angenommen. Bei derBerechnung der Riemenlängskraft erkenntman die Analogie zu Berechnung im vori-gen Abschnitt: hier sind lediglich Längen-änderungen und entsprechende Deh-nungsgeschwindigkeiten aufgrund derTransversalschwingungen hinzugekom-men.

Als Ansatzfunktionen für die Transver-salschwingungen werden Sinusfunktio-nen verwendet, für die ein ganzzahligesVielfaches der halben Wellenlänge geradeder freien Länge des Riementrums ent-spricht: wi(x) = sin(i π

l0–– x)

Dadurch können die Ortsintegralmatrizenexplizit angegeben werden. Für die j-te An-satzfunktion ergibt sich damit folgende ge-wöhnliche Differenzialgleichung.

3.3.2 Transversalschwingungenzwischen bewegten RollenDie Bewegung der Spannrolle stellt in Be-zug auf ein freies Trum eine Fußpunkterre-gung dar. Über die Einlaufpunkte über-trägt sich die Zwangsbewegung auf dasgesamte Trum und wirkt als Anregungs-mechanismus parallel zur Parametererre-gung.

Der Lösungsansatz nach Gl. (9) wirdnach [2] um Ansatzfunktionen für die

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Gl. (9)y x t w x q tT( , ) ( ) ( )=

M G D Kq

mit

M ww dx

G ww dx

D w w dx

K F w w dx EI w w dx

F FEA

lq w w dx q l

DA

lq w w dx

d

dt

T

T

T

T T

T T

T T

˙̇ ( ) ˙

( )

˙

q q

q

+ + + =

=

= ′

= ′ ′

= − ′ ′ + ′′ ′′

= + ′ ′ +

+

′ ′ +

∫∫

∫∫ ∫

∫∫

0

2

12

2

0

µ

µν

δ

µν

∆

∆ll

Gl. (10)

Gl. (10a)

Gl. (10b)

Gl. (10c)

Gl. (10d)

Gl. (10e)

Gl. (11)µ µν δ π µν π πlj

k

j k

j

lF

j

lEI

j

lqj

k

k j

n step

j j0

2 2

2 1

2 2

0

22

0

4

032

42 2 2

0˙̇˙ ( ) ˙ ( ) ( )

mod ( )

,

qq

q+−

+ + −( ) +

=

= +∑

3.4 Untersuchungen an einem einfachen Modell

Bild 3: Einfaches Modell in DinaFigure 3: Simple model in Dina

Bild 4: Amplitudengang der ersten drei EigenformenFigure 4: Amplitude curve of the first three natural forms

Querbewegung des Einlaufpunkts er-weitert. Mit der modalen Koordinate ––q (t)und den linearen Ansatzfunktionen ––w1(x) =x/l und ––w2(x) = 1 – x/l der Querauslenkungergibt sich die Auslenkung y(x,t) des Rie-mens mit den bereits eingeführten Ansatz-funktionen w(x) und Koordinaten q (t) ausder Superposition von Riemen- und Schei-benbewegung.

Die Bewegungsgleichung Gl. (7) mit demerweiterten Lösungsansatz lässt sich wie-der in ein System gewöhnlicher Differenzi-algleichungen transformieren. Aus demAnsatz der Scheibenbewegung erhält maneinen zusätzlichen Term, der als rechte Sei-te von Gl. (10) interpretiert werden kann. Erbeschreibt den Einfluss der Zwangserre-gung auf den freien Riemen.

Zusammen mit den Zeitableitungen derScheibenbewegung ergibt sich so die Er-weiterung von Gl. (10), um die Fußpunkter-regung.

Mit Gl. (13) ist neben der Parametererre-gung auch die Zwangserregung als Anre-gungsmechanismus im Modell abgebildet.

3.4 Untersuchungen an einemeinfachen ModellIn Dina kann die Zwangserregung als An-regungsmechanismus mit einer einfachenBeispielrechnung nachvollzogen werden.Bild 3 zeigt einen einfachen Riementriebmit zwei Scheiben A und B als Beispiel fürdie Zwangserregung eines Riemens. DieScheiben besitzen den gleichen Durchmes-ser d und sind im Abstand l angeordnet.Scheibe A ist im Ursprung frei drehbar ge-lagert und dreht sich mit konstanter Ge-schwindigkeit V. Der Trieb wird aus-schließlich über die Querauslenkung desRiemens angeregt. Diese ist über die Bewe-gungsvorgabe auf der Scheibe B gegeben,deren Mittelpunkt mit der Frequenz f aufder Kreisbahn zwischen den Extremstel-lungen B‘ und B‘‘ oszilliert.

Unter der Annahme kleiner Auslenkun-gen gilt für die Querbewegung:

Aufgrund der Geometrie erzeugt die Be-wegung der Scheibe B selbst keine Deh-nung des Riemens. Damit scheidet die Pa-rametererregung als Anregungsmecha-nismus aus, und die Trumschwingungensind ausschließliche Folge der Zwangserre-gung.

Parallel zur Modellierung erfolgt unterder Annahme konstanter Trumkräftennach Gl. (8) eine praxisnahe Abschätzungder ersten Eigenfrequenz f1 . Bild 4 zeigtden Amplitudengang der ersten drei Ei-genformen über der bezogenen Erregerfre-quenz f / f1. Der Vergleich der Maxima der

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Gl. (12)

y x t w x q t w x q tT

Riemenbewegung

T

Scheibenbewegung

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )= +1 244 344 1 244 344

Gl. (13)M G D K q Mq GqZwangserregung

˙̇ ( ) ˙ ˙̇ ˙q q+ + + = − −1 24 34

Gl. (14)M ww dxT= ∫µ

Gl. (15)G ww dxT= ∫2 µν '

Gl. (16)q t A f t( ) sin= ⋅ ( )0 2π

4 Vergleich Messung – Rechnung

Bild 5: Geometrie des NebenaggregatetriebsFigure 5: Geometry of accesory drive

Bild 6: Abgleich der Trumschwingungsamplituden über DrehzahlFigure 6: Comparison of strand vibration amplitudes against speed

Bild 7: Abgleich des Zeitverlaufs bei 2600/minFigure 7: Comparison of time curve at 2600/min

Vergrößerungsfunktion mit den entspre-chenden Eigenfrequenzen aus der Ab-schätzung zeigt unter Berücksichtigungder unterschiedlichen Annahmen eine gu-te Übereinstimmung. Die Maxima der Ver-größerungsfunktion liegen jeweils zirka 10 % unterhalb der abgeschätzten Eigen-frequenzen nach Gl. (8). Die beschriebeneImplementierung liefert somit für das ein-fache Beispiel plausible Ergebnisse.

4 Vergleich Messung –Rechnung

Als Anwendungsbeispiel für das beschrie-bene Simulationsprogramm dient hier derNebenaggregatetrieb eines Sechszylinder-Dieselmotors, Bild 5. Von der Kurbelwellewerden über einen einzigen Riemen einKlimakompressor, die Lenkhilfepumpe, derGenerator und die Wasserpumpe angetrie-ben. Die vorgegebene Aggregateanord-nung macht eine Umlenkrolle zwischenLenkhilfepumpe und Wasserpumpe erfor-derlich.

In die Riemenscheibe des Generators istzur Erhöhung der Riemenlebensdauer undzur Reduzierung von Laufgeräuschen einFreilauf integriert. Trotz der Verwendungdes Generatorfreilaufs, in Kombinationmit einem hydraulischen Spannsystem,kommt es in bestimmten Lastsituationenzu erheblichen Riemenschwingungen zwi-schen Spannrolle und Freilauf, die sogarzur Kollision von Riemen und Kurbelwelleführen.

Für diesen Motor lagen gemessene Dre-hungleichförmigkeiten der Kurbelwellefür Drehzahlpunkte zwischen 800 und3000/min vor. Für die Bewegungsvorgabein der Simulation wurden aus diesen Da-ten geeignete Fourier-Koeffizienten er-mittelt. Allgemein ist die Verifikation vonTransversalschwingungen einzelner Tru-me aufgrund der extremen Schmalbandig-keit dieses Phänomens problematisch, dader Abstand der Drehzahlstützstellen oft sogroß ist, dass eine sichere Erkennung vonTransversalschwingungen nicht garan-tiert werden kann. Liegen Messungen zurAnregung (Drehungleichförmigkeit derKurbelwelle) nicht kontinuierlich über derDrehzahl vor, so ist man auf die Interpola-tion von Fourier-Koeffizienten angewie-sen. Generell hat sich gezeigt, dass ein hin-reichend breit gestreuter Frequenzinhaltder Anregung die Erkennung von Trum-schwingungen wesentlich erleichtert. AmBeispieltrieb wurden experimentell Trum-schwingungen zwischen Spannrolle undFreilauf unter anderem bei zirka 1300 und2500/min beobachtet, die rechnerischnicht bei dieser Drehzahl auftraten. Umhier dennoch die Verifikation einer reali-

tätsnahen Abbildung des Systems zu er-möglichen, wurden – analog zur oben an-geführten Argumentation – die Fourier-Koeffizienten dieser Drehzahl auch in derDrehzahlumgebung verwendet. Der Dreh-zahlbereich von 800-3000/min wurde inSchritten von 50/min untersucht. Zusätz-lich wurden die kritischen Bereiche bei1400 und 2600/min in Schritten von10/min besonders fein aufgelöst, um diemaximalen Amplituden zu erfassen. Aufdiese Weise konnten auch in der Simula-tion Trumschwingungen in der gleichenGröße wie im Versuch gefunden werden.

Bild 6 zeigt den Abgleich zwischenMessung und Rechnung über der Motor-drehzahl. Die Messung liegt über den ge-samten Drehzahlbereich nie unter zirka 1,5 mm Trumschwingungsamplitude. Diesist auf Anregungsmechanismen zurückzu-führen, die zwar real vorhanden, im be-schriebenen Modell aber nicht abgebildetsind. Neben den schon erwähnten Mecha-nismen ist hier die dynamische Anregungdes Motorblocks aus dem Verbrennungs-prozess entscheidend, die sich auch in denNebenaggregatetrieb überträgt. Parallelzur direkten Anregung des Riemens wirdso auch der Wegsensor selbst angeregt, sodass Messfehler unvermeidlich sind. Letzt-lich sind Amplituden < 1,5 mm aber tech-nisch ohne Bedeutung und eher als Hin-weis zu werten, dass die vernachlässigtenAnregungsmechanismen real tatsächlichkeine nennenswerten Amplituden verur-sachen.

Wichtiger als die Erfassung kleiner Am-plituden ist die korrekte Beschreibung vontechnisch relevanten Schwingungszustän-den wie sie bei 1400, 1500 und 2600/minauftreten. In der Messung ergeben sich et-was größere Amplituden als in der Simula-tion. Das ist darauf zurückzuführen, dassder Wegsensor aus Platzmangel nicht ander Stelle der größten Amplitude ange-bracht werden konnte. Bei 2600/minschlägt zudem das Trum aufgrund der gro-ßen Amplitude an der Kurbelwelle an, sodass sich die Schwingung einseitig nichtfrei ausbilden kann, Bild 7.

Ungeachtet dessen zeigt der Zeitverlaufder Riemenschwingung in Amplitude undFrequenz eine gute Übereinstimmung zwi-schen Messung und Rechnung.

5 Schlussbemerkung/Ausblick

Die relevanten physikalischen Effekte imNebenaggregatetrieb gibt die Simulationhinreichend genau wieder. Aus dem Ab-gleich ergibt sich eine Abweichung vonwenigen mm in den Schwingungsampli-tuden, was in Relation zu den Abmessun-gen im Motorraum ausreichend ist. Damit

ist es gelungen, einen praxisgerechtenKompromiss von Aufwand und Nutzen zufinden, gerade auch in Hinblick auf die kur-zen Rechenzeiten und die einfache Daten-beschaffung. Eine Verfeinerung des Mo-dells auf Kosten zusätzlicher Eingabepara-meter erscheint angesichts der bereits er-zielten Vorhersagequalität nicht notwen-dig. Möglich erscheint eine Erweiterungder Formulierung, die asymmetrischeSchwingungsamplituden abbilden kann,Bild 1. Die Randbedingungen an den Trum-Enden sollten dabei so abgewandelt wer-den, dass die Verschiebung der Kontakt-punkte auf der Scheibe in Folge der Rie-menauslenkung berücksichtigt wird.

Literaturhinweise

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