Analyse von Lichtwellenleitern aus dem Nah- und Fernfeld · kommt die umst8ndliche numerische...

Analyse von Lichtwellenleitern aus dem Nah- und Fernfeld

Habilitationsschrift

von

Wolfqanq Freude

Fachgebiet: Lichtwellen-Meßtechnik

Referenten: Prof. Dr. techn. G.K. Grau

Prof. Dr.-Inq. W. Heinlein

Tag der Habilitation: 04.06.1986

Fakultät für Elektrotechnik

Universität Karlsruhe

Herrn P r o f e s s o r D r . t e c h n . G. K . Grau danke i c h h e r z l i c h f ü r d i e

fö rde rnden Arbei t sbedingungen und fUr s e i n e D i s k u s s i o n s b e r e i t -

S c h a f t .

Den M i t g l i e d e r n d e r mechanischen W e r k s t a t t u n t e r d e r Le i tung von

Herrn H. Biirver danke i c h f ü r i h r e P r ä z i s i o n s a r b e i t , ohne d i e

v i e l e Experimente n i c h t mögl ich gewesen wären.

Fü r i h r e Geduld b e i d e r s o r g f ä l t i g e n Ausführung d e s Manusk r ip t s ,

d e r Zeichnungen und d e r P h o t o a r b e i t e n danke i c h F rau G. Werthwein,

F rau I . Kober und Her rn P. F rey .

1 Ubersicht

Inhaltsverzeichnis

Seite

1

2 Einwellige Lichtleiter

2.1 Nahfeld und Brechzahlprofil aus dem Fernfeld [Freude, Sharma,

2.2 Impulsverbreiterung [Freude, Sharma, E4731

2.3 Vergleich mit anderen Verfahren

2.3.1 Direkte Fourier-Inversion des Fernfelds [Freude, Sharma, E4731

2.3.2 Nahfeld-Methoden

2.4 Experimentelle Ergebnisse [Freude, Sharma, E4731

2.4.1 Brechzahlprofil 2.4.2 Impulsverbreiterung

2.5 Weitere mögliche Anwendungen

3 Vielwellige Lichtleiter

3.1 Brechzahlprofil aus dem Fernfeld [Freude, L17431

3.2 Impulsverbreiterung [Freude, Leminger, E221

3.3 Flecken-Interferometrie [Freude,Fritzsche, Lu Shanda, E4821

3.3.1 Kontrast, Frequenzkorrelationsfunktion, Quellen- und Faserbandbreite

3.3.2 Experimentelle Ergebnisse

4 Modenanalyse

4.1 Geometrische Optik

4.2 Wellenoptik

4.2.1 Messung optischer Felder 4.2.2 Optische Korrelationsanalyse mit Hologrammen [Bartelt,

Freude, Grau, Lohmann, L33181

Anhang F Zusammenstellung von Formeln und Fakten

F1 Definitionen

F2 Skalare Optik

F3 Beugung

F4 Koharenz

F5 Holographie

F6 Geometrische Optik

F7 Impulsverbreiterung

Anhang L Literaturverzeichnis

L1 zu Abschnitt 1

L2 zu Abschnitt 2

L3 zu Abschnitt 3

L4 zu Abschnitt 4

LF2 zu Anhang F2

LF3 zu Anhang F3

LF4 zu Anhang F4

LF5 zu Anhang F5

LF6 zu Anhang F6

LF7 zu Anhang F7

Anhang S Symhole und Abkllrzungen

Koordina ten und Sonderze ichen

A - Z

a - z

A - a a - W

S e i t e

112

113

1 1 5

1 Ubersicht

Das von einem Lichtleiter abgestrahlte Feld stellt ein wichtiges Charakteri-

stikum seiner Wellenleitereigenschaften dar. Man unterscheidet das Nahfeld in

der Querschnittsebene des Lichtleiters von dem Pernfeld, das auf einer Kugel-

schale zu beobachten ist, deren Mittelpunkt im Zentrum der abstrahlenden Flä-

che liegt und deren Radius die charakteristische Querausdehnung des Nahfeldes

weit übertrifft. Die Veränderung eines Anfangsfeldes mit der Ausbreitung im

Raum wird Beugung genannt und durch die Maxwell-Gleichungen beschrieben. Als

Resultat der Beugungstheorie folgt, da8 Nahfelder und FernEelder über

eine räumliche Fourier-Transformation miteinander verknüpft sind. Diese sehr

einfache Transformationsbeziehung gestattet es, wahlweise das Nah- oder Fern-

feld eines Lichtleiters zu registrieren und die Messung fUr den theoretisch

leichter beherrschbaren Feldtyp auszuwerten.

Die Methoden der Analyse unterscheiden sich grundsätzlich für einwellige und

vielwellige Lichtleiter, die in den folgenden AusfUhrungen als ummantelte

Glasfasern mit längenunabhängigem, rotationssymetrischem Brechzahlprofil

vorausgesetzt werden. Während vielwellige Fasern, die 100 bis 1000 verschie-

dene transversale Feldformen (Moden) propagieren lassen, auch mit Methoden

der geometrischen Optik (Strahlenoptik) beschrieben werden können, muß man

einwellige Lichtleiter mit skalar-optischen oder sogar vektoriellen Formulie-

rungen der Maxwell-Gleichungen berechnen.

Die meßtechnischen Verfahren bei beiden Fasertypen unterscheiden sich nicht

grundsätzlich. Allerdings bereiten die geringen Querabmessungen einwelliger

Lichtleiter (Durchmesser 2a = 5...10 um) wegen der notwendigen felnmechani-

schen und präzisions-optischen Anordnungen größere experimentelle Schwierig-

keiten als bei vielwelligen Fasern (Durchmesser 2a = 50...200 um): das zeigt

sich insbesondere, wenn Nahfelder gemessen werden sollen. Fernfelder haben

eine Querausdehnung, die der des erzeugenden Nahfeldes umgekehrt

und dem Beobachtungsabstand direkt proportional ist. Ohne vergrößernde Optik

(bis zu 100-fach bei einwelligen Fasern), die zusammen mit dem notwendigen

mechanischen Aufbau zusätzliche Fehler bei der Nahfeldmessung verursacht, kann

das Fernfeld mit makroskopischen Detektorflächen registriert werden. Die

(häufig leichter als bei Nahfeldmessungen beherrschbaren) Schwierigkeiten lie-

gen in der Leistungsdynamik des Fernfeldes, das bis zu sehr großen Abstrahl-

winkeln y (bei entsprechend geringen Leistungen) bekannt sein muß, wenn das

Nahfeld mit der maximal möglichen Ortsauflösung A/siny bei der Vakuum-Uellen-

länge A berechnet werden soll. Solche Probleme fallen allerdings nur für einwellige Lichtleiter ins Gewicht: Nur dort läßt sich auf einfache weise aus

der gemessenen Leistung die komplexe Amplitude des realen ~aserfeldes ermit-

teln, so daß Fourier-Transformationsmethoden angewandt werden können, und nur

dort besteht Bedarf nach extremer Auflösung des Nahfelds im Sub-Mikrometerbe-

reich.

Kennt man das Nahfeld einer einwelligen Faser als Funktion der Lichtwellenlän-

ge, dann kann man in skalar-optischer Näherung die zugehörigen Größen Brech-

zahlprofil, Ausbreitungskonstante des gefuhrten Feldes und Verbreiterung eines

übertragenen Leistungsimpulses angeben. Daraus und aus anderweitig gemessenen

oder berechneten Dispersionsdaten der verwendeten Gläser läßt sich die Uber-

tragungsbandbreite des Lichtleiters mit guter Genauigkeit voraussagen. Ab-

schnitt 2 behandelt diese Verfahren auf der Basis von Fernfeld-Messungen.

FUr vielwellige Lichtleiter wurde eine große Anzahl zum Teil hochgenauer

Brechzahlprofil-Meßverfahren entwickelt. Aus diesen Profilen werden, wiederuni

häufig mit bemühter Präzision, Eigenwellen und Ubertragungsbandbreiten berech-

net, die von tatsächlich (an Faserlängen im Kilometerbereich) gemessenen Band-

breiten um bis zu 200 % abweichen. Die Ursachen sind vielfältig: Das gemessene

Brechzahlprofil ist nicht rotationssymmetrisch und ändert sich entlang der Fa-

ser, so daß die Eigenwellen des ungestörten Lichtleiters verkoppelt werden.

Verschiedene Feldformen erleiden unterschiedliche Dämpfungen. Die im Experi-

ment vorhandene Verteilung der Lichtleistung auf die einzelnen Fasermoden (Mo-

denleistungsverteilung) ist ungenügend bekannt. Der Wellenleiter ist anisotrop,

z. B. durch mechanische Spannungen. Alle diese Einflüsse werden von der Theo-

rie in der Regel nicht erfaßt, so daß man zutreffende Voraussagen der Faser-

bandbreite nur in Sonderfällen erhält.

Abschnitt 3.1 beschreibt ein Profil-Meßverfahren, bei dem die registrierte

Fernfeld-Leistung ausgewertet wird. Man erhält zwar nur bei monotonen

Brechzahlverläufen das wirkliche Profil, jedoch läßt sich ein äquivalentes mo-

notones Brechzahlprofil definieren, das bei gleichförmiger Anregung aller Mo-

den zum selben Fernfeld führt wie das reale Profil. Daraus kann man ohne nume-

rischen Aufwand mit einer einfachen geometrisch-optischen Uberlegung, die ein

physikalisch begründetes Modenkopplungsmodell enthält, ebenso gute Voraussagen

über die Impulsverbreiterung von Lichtsignalen machen wie mit der im Ansatz

exakteren skalar-optischen Theorie. Diese Ergebnisse, zusammen init der Anwen-

dung neuer numerischer Methoden bei der skalar-optischen Berechnung von Aus-

breitungskonstanten und Gruppenlaufzeiten, werden im Abschnitt 3.2 vorge-

stellt.

Regt man vielwellige Fasern mit einer Lichtquelle hinreichend geringer spek-

traler Breite an, dann beobachtet man an der Lichtaustrittsfläche der Faser

ein Granulationsmuster aus unregelmäßig verteilten hellen und dunklen Flecken,

ein Resultat der Vielstrahl-Interferenz zwischen den einzelnen Fasermoden. Der

maximale Helligkeitsunterschied wird Kontrast genannt und hängt nach einer

einfachen Abschätzung vom Quotienten der Faser-und der Quellenbandbreite ab.

Mißt man den Kontrast und kennt eine der beiden Ubrigen Größen, kann man die

dritte bestimmen. Ober diese Flecken-Interferometrie lassen sich mit einfachen

Experimenten Quellenbandbreiten im I-MHz-Bereich oder Faserbandbreiten im

l-THz-Bereich messen: damit ist ein Instrument verfügbar, das die Bandbreite

auch sehr kurzer, meter-langer Faserstücke erfaßt. Da Modenkopplung, die

Hauptursache der Diskrepanz zwischen Theorie und Messung, hierbei keine Rolle

spielt, treffen skalar-optische Voraussagen mit Abweichungen von 20...30 % zu.

Das liegt im Rahmen der akkumulierten Meßfehler. Abschnitt 3.3 gibt eine de-

taillierte Theorie der Granulationsmuster und verknüpft deren statistische

Eigenschaften mit der Ubertragungsfunktion des Wellenleiters.

Welche Bedeutung der Anregungszustand von Moden eines vielwelligen Lichtlei-

ters hat, wurde schon erwähnt. Der Spezialfall einer solchen Modenanalyse wur-

de für die einwellige Faser im Abschnitt 2.1 abgehandelt: Dort konnte die Ent-

wicklung eines Feldes nach orthogonalen Gauß-Laguerre-Moden angegeben werden.

Im Prinzip ist also das Feld beliebiger ein- oder vielwelliger Lichtleiter da-

durch zu analysieren, daß man es nach vorgegebenen Orthogonalfunktionen ent-

wickelt, zum Beispiel nach den Eigenwellen der Faser. Dabei hat man die Wahl,

die Kopplungsintegrale direkt auszuwerten, oder, wie im Abschnitt 2.1, die

Entwicklung mit einer linearen Optimierung zu berechnen. Bei vielwelligen

Lichtleitern begnUqt man sich häufig mit geometrisch-optischen Aussagen wie

im Abschnitt 4.1, die Beugung vernachlässigen und daher nur sehr beschränkt

verwendbar sind: Interessiert der Anregungszustand einzelner Moden, d. h. ei-

nes Freiheitsgrades des Faserfeldes, dann muß die Analyse wellenoptisch be-

gründet sein, Abschnitt 4.2. Um die Entwicklungskoeffizienten (Kopplungskoef-

fizienten) der Fasermoden zu berechnen, hat man das gesamte Feld nach Betrag

und Phase zu messen, im optischen Bereich keine leichte Aufgabe. Abschnitt

4.2.1 beschreibt einen geeigneten Meßaufbau. Zu der komplexen Datenerfassung

kommt die umst8ndliche numerische Analyse. Im Abschnitt 4.2.2 ist eine analog-

optische Methode angegeben, die mit synthetischen, binären Filter-Hologrammen

und angepaßter kohärenter Filterung die Kopplungskoeffizienten berechnet. Er-

ste experimentelle Ergebnisse werden diskutiert. Interessieren nur die Be-

tragsquadrate der Kopplungskoeffizienten (Leistungs-Kopplungskoeffizienten),

kann man mit inkohärenten Quellen arbeiten, braucht nur Leistungen zu regi-

strieren und kann im übrigen gleichartige Verfahren der numerischen Analyse

anwenden. Ebenso ist eine angepaßte inkohgrente Filterung möglich. Die Vor-

und Nachteile bezUglich der jeweiligen Signal-Rauschleistungsverh8ltnisse sind

im Einzelfall abzuwägen.

Umständliche Ableitungen hemmen den Fluß der Darstellung und werden daher nach

Themengruppen geordnet in den Anhängen F zusammengefaßt. Die Hauptabschnitte

wiederholen meist die in den Anhängen abgeleiteten Ergebnisse als Endformel,

so daß allzuhäufiges Blättern vermieden wird. Die Kenntnis der Anhänge ist

nicht vorausgesetzt und kann nach Bedarf im Verfolgen der Verweise erworben

werden. Die Ableitungen sind verhältnismaßig ausfUhrlich und weitgehend in

sich geschlossen, wodurch Voraussetzungen und Approximationen in einheitlicher

Notierung besser herausgestellt werden können. Ein Symhol- und Abkürzungsver-

zeichnis referiert Gleichungsnummern und Abschnitte. Koordinatensysteme,

spezielle Funktions- und mathematische Zeichen sind ebenfalls dort er-

klärt. Zentrale eigene Arbeiten sind in den jeweiligen Kapitelüberschrif-

ten gesondert angeführt, falls sie bereits publiziert wurden. Grundlagen der

Optik, der Wellenleitertheorie und der optischen Nachrichtentechnik vermit-

teln die Lehrbücher [Born, L19381, [Unger, L311, [Snyder, E4841 und insbe-

sondere [Grau, ONTI. Das Literaturverzeichnis stellt die zitierten Arbei-

ten nach Abschnitten geordnet zusammen.

2 Einwellige Lichtleiter

2 Einwelliqe Lichtleiter

Einwellige und verlustlose Lichtleiter mit rotationssymmetrischem, isotropem

und längs der Ausbreitungsrichtung z invariantem Brechzahlprofil, Gl.(Fl-l),

werden vollständig beschrieben durch Angabe des Nah- oder Fernfelds als Funk-

tion der Wellenlänge. In skalarer Näherung ist das Feld rein transversal und

einheitlich linear polarisiert über den Querschnitt; man spricht von LP -Mo- vu

den, Abschnitt F2. Der Grundmodus wird mit LPOl bezeichnet. Mißt man die Nah-

feldintensität IN(r) des Grundmodus als Funktion des Radius r, so kennt man

die Feldamplitude Y(r) - G. Setzt man Yir) sowie deren erste und zweite Ableitung nach dem Radius in die skalare Wellen- oder Helmholtz-Gleichung

Gl.(F2-3a) ein, kann man das Brechzahlprofil n(r) und die Ausbreitungskonstan-

te B = Bol bestimmen, wenn die konstante Brechzahl des Mantels für r ? a gege-

ben ist. Statt das Nahfeld unmittelbar zu messen, kann man auch aus dem Fern-

feld auf das Nahfeld schließen, was beträchtliche experimentelle Vorteile bie-

tet. Bei bekanntem Brechzahlprofil lassen sich die Feld- und Dispersionseigen-

schaften der Faser berechnen. Interessiert man sich nur für die Impulsverbrei-

terung bei der Ubertragung von Licht, so kann aus der wellenlängenabhängigen

effektiven Fernfeldbreite direkt auf die Wellenleiterdispersion geschlossen

werden. Die gesamte chromatische Dispersion der Faser erhält man näherungswei-

Se, wenn man die dotierungsabhängige Materialdispersion addiert und Profildis-

persion berücksichtigt.

2.1 !~hleib-!nb-Erschoah_i~rofi_i-a!~-bsm-Fernf_eii-IFre!de~~C_h~nn~~~E4I2~ Von den zahlreichen, teilweise sehr aufwendigen Verfahren, das Brechzahlprofil

einwelliger Lichtleiter zu messen, wird in den folgenden Ausfuhrungen nur die

sogenannte Fernfeldmethode im Detail behandelt, weil das Fernfeld besonders

einfach, ohne präzise mechanische oder optische Komponenten zu erfassen ist.

Als theoretische Grundlage der Methode dient die skalare Wellenleiter- und

Beugungstheorie der Abschnitte F2, F3; longitudinale Komponenten des einwelli-

gen, rotationssymmetrischen Faserfeldes werden also vernachlässigt. Bild F2

zeigt die Lichtaustrittsfläche und das Koordinatensystem mit den Nahfeld-Po-

larkoordinaten r, i~ und dem Fernfeldwinkel Y. Das Fernfeld werde nur in einer

Meridianebene y = 0 in konstantem Abstand d vom Koordinatenursprung betrach-

tet. Ist in der Faserendfläche z = 0 das rotationssymmetrische Nahfeld Q(r)

bekannt, so erhält man nach Gl.(F3-6c. F3-7b) im Vakuum das Fernfeld

bzw. aus dem rotationssymmetrischen Fernfeld YF(y) nach Gl. (F3-7a) das Nahfeld

2.1 Nahfeld und Brechzahlprofil

k = 2n/h ist die Vakuum-Ausbreitungskonstante bei der Wellenlänge 1, J. die 0 Bessel-Funktion nullter Ordnung.

Mit den Betrachtungen des Abschnitts F3, Gl.(F3-6e) gelten die G1.(2-la,b) für

Nah- bzw. Fernfelder der maximalen signifikanten Ausdehnung r l rM bzw. y 5 y max

unter den Bedingungen

Das Fernfeld YF(Y) kann in einfacher Weise über die Fernfeldleistung PF(y) be-

stimmt werden,

Die Signum-Funktion mit den Werten +1 oder -1 gibt die Polarität des Fernfel-

des an. Diese Phaseninformation kann man aus den Nullstellen von PF(y) gewin-

nen, da dort das Vorzeichen der kontinuierlichen, reellen Funktion YF(y)/YF(0)

sich ändert.

Die G1.(2-lb, 2) vermitteln den Zusammenhang des gemessenen Fernfelds mit dem

eigentlich interessierenden Nahfeld. Statt die Fourier-Transformation

G1.(2-lb) direkt auszufahren [Hotate, L68ßl.kann man in eine Reihe von B1

Gauß-Laguerre-Funktionen Q ( ~ ) (r) entwickeln [Freude, Sharma, E4731, wobei de- V!J

ren Fourier-Transformation auf dasselbe Funktionensystem führt, Gl.(F2-7, 13,

14) mit PvU = 1, (2-3a)

L(') sind die verallgemeinerten Laguerre-Polynome G1. (F2-9). Die Q$) (r) sind P-1

orthonormiert, Gl.(F2-8). und die Entwicklung für Y(r) sei vollständig,

Der zunächst unbestimmte Parameter X ist dem Strahlradius wo umgekehrt proportional. W gibt den Radius an, bei dem das Feld einer Gauß-Verteilung QA:) (r) 0 auf den e-ten Teil des Maximalwertes abgesunken ist.

Sind die Entwicklungskoeffizienten C ftir das Fernfeld YF(y) bekannt, dann ist P

ohne weitere Rechnung das Nahfeld Y(r) gegeben. Man kdnnte die C mit einem P Kopplungsintegral wie in Gl.(F2-22, 23) bestimmen; im Rechnungsaufwand günsti-

ger und genauer ist es jedoch, dem gemessenen, normierten Fernfeld


die Entwicklung

M @,<Y) = 1 C Q ('/X' (ko sin y) (2-4b)

U=l U

nach der Methode der kleinsten Pehlerquadrate einzupassen,

N 1 w:[GF(yn) - +F(~n)]2 = minimal, (2-4c) n=l

A

wobei N die Anzahl der gemessenen Wertepaare yn, YF(yn) ist. Die Gewichte Wn *

werden zu W = 1 / Y (Y ) gewählt. Ausgenommen sind yn-Werte in der Nähe einer 5 F n

Nullstelle YF(yn„) 'J 0; da dort YF(ynms) nur ungenau bekannt ist, werden

die benachbarten Gewichte Wnms = 0 angenommen.

Differenziert man G1.(2-4c) nach den unbekannten Koeffizienten C so erhalt U'

man die Extremalbedingung

N 1 w ~ [ ~ ~ ( ~ ~ ) - +,<Y~>]QA~/~) (ko sin y n ) = 0, L = 1 , 2, 3,. . . , M. (2-5)

n=l

G1.(2-4b) in G1.(2-5) eingesetzt führt mit den Abkürzungen (Xn stimmt bis auf

den Faktor 2~ mit der Raumfrequenz r = der G1. (F3-8b) überein)

auf das lineare Gleichunqssystem für die Koeffizienten C P

{Xi} sind Spaltenvektoren mit den Elementen Xi, [ S e u l ist eine Hermitesche Ma- l trix mit den Elementen S [S I - deren Inverse. Solche Gleichungssysteme

U ' eii sind mit Standardalgorithmen rasch und genau lösbar. Die Anpaßprozedur liefert

im allgemeinen kein im Sinne von G1.(2-3c) vollständiges Funktionensystem,

weshalb die Koeffizienten C eines vollständigen Approximationssystems 1i

G1.(2-3a) für das Nahfeld nachträglich normiert werden,

rn 1 2 Y(r) ist dann auf die Querschnittsleistung 1 normiert, I Y (rlrdr = 1. 0

Der Parameter X der Gauß-Laguerre-Funktionen Q:;) (r) G1. (2-3b) kann willkür-

lich festgelegt werden, jedoch beeinflußt diese Wahl die Anzahl M der Reihen-

glieder, die man zur Approximation des Fernfelds mit der gewünschten Genauig-

keit benötigt. Günstig im Sinn kleiner M ist sicher ein Wert von X, der mit


einer Gauß-Funkti~nQ$/~) (Kn) den glockenförmigen Mittelteil des normierten Fern-

felds optimal nähert. Meist erstreckt sich dieser Bereich wenigstens bis zu

Fernfeldleistungen von 30 % der Maximalleistung; er umfaßt eine Datenmenge N R'

die gegenüber der gesamten Meßwertanzahl N G1.(2-4c) reduziert ist. Um X zu finden, paßt man die Funktion In ('/X) (K~) = Al +A2 Kn+ A ~ K ~ den Meßdaten

Qol 1nY (y ) (;1.(2-4a) nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate G1.(2-4c) an,

F n wobei die Gewichte W: = 1 gewählt werden. Mit analogen Abkürzungen wie in

G1. (2-6),

erhält man das lineare Gleichungssystem für die Koeffizienten Ai in gleicher

Notierung wie G1. (2-6c) ,

Die Lösung definiert den Winkel yo, ICO = - A /(2A ) der geschatzten maximalen 2 3 Fernfeldamplitude e A1-A3/(4A3). Der Parameter X bzw. der Strahlradius wo ergibt sich mit G1.(2-3) zu

Da Ko errechnet werden kann, braucht die absolute Winkellage des Fernfelds re-

lativ zur Faserachse nicht gemessen werden.

Schließlich muß man noch die geforderte Anzahl M der Koeffizienten C spezifi- P

zieren. Nach Gl.(F3-17) beträgt die beugungsbegrenzte Ortsauflösung des Nah-

felds höchstens

wenn das Fernfeld für Winkel 'Y > Y„, verschwindet (bzw. nicht registriert

wird). Andererseits läßt sich das kleinste auflösbare Radiusinkrement für die

Nahfeld-Entwicklung Gl.(F2-3) charakterisieren durch die größte Nullstelle (0) rmax, LM-l {x2rmax) = 0, dividiert durch die Anzahl der Nullstellen M - 1, also

(V) 2 jv,~-l in der Näherung für die Nullstelie der Laguerre-Funktion LM-l (X r) [Abramowitz, L2701 ist die (M-1)-te Nullstelle der Besselfunktion V-ter Ord-

nung, vgl. Gl.(F2-17). und kann durch elementare Rechenoperationen ausreichend

genau mit Hilfe der Entwicklung von McMahon [Abramowitz, L2701 genähert werden,

sogar für kleine j Die empirischen Funktionen V ,M-1 '


(2-12) (0) (0) dB =wOFM-i t FM-l (1,23/M)

0,472 , yma,iwO = 5A) = (10,5 +0,734 M) Grad

beschreiben die Ortsauflösung 6B bzw. den für diese Auflösung notwendigen gröB-

ten MeBwinkel Y mit relativen Fehlern unter 3 % (3 5 M5 100 für hB) bzw. unter max 9 % (55M1100) für ymax; der Wert wo = 5A liegt in der üblichen Größenordnung

für einwellige Lichtleiter.

Ist also nach einer Anfangsschätzung W bekannt und die gewünschte beugungsbe- 0

grenzte Auflösung 6B vorgegeben, so 1äBt sich aus G1.(2-12) die notwendige Ko- effizientenanzahl M und aus G1.(2-10) der erforderliche MeBbereich O(y5 ymax

ablesen; für eine Abschätzung ymax = Y„, (M) genügt G1. (2-12).

In skalarer Näherung ist Y(r) eine Lösung der Helmholtz-Gleichung Gl.(F2-3aI

mit dem Brechzahlprofil n(r) und der Ausbreitungskonstante 0,

so daB der Profilverlauf nach Ausführen der Differentiation berechnet werden

kann,

l d d 2 da Q$) (r) die Helmholtz-Gleichung I: =[r dr Q$) (r) ] + X (4p - 2 - - r r = 0 für ein ideales Parabelprofil G1. (Fl-5) erfüllt [Abramowitz,

1 d M l d d M 2 2 2 cp F =[r dr Q;;) (r) ] = 1 cp X (X r - p=l

- 4u + 2)~::) (r) gegeben und G1. (2-14) resultiert. Kennt man zusätzlich irgend-

einen Brechzahlwert des Profils, 2.B. n(r> a) = n:, für den häufig undotierten

Quarzmantel, Bild F10, Gl.(F7-6a) und Tabelle F12, dann liefert G1.(2-14) Uber 2 2 2 den Brechzahlverlauf kon (r) - 0 hinaus das absolute Brechzahlprofil n(r) und

die Ausbreitungskonstante 0 des Wellenleiter-Grundmodus. Zur Berechnung von 0 2 2 empfiehlt es sich,kon (r) - f32 im Mantelbereich r > a örtlich zu mitteln. 0 kann

dann mit einem Fehler kleiner als 3 % bestimmt werden, wenn ymax? 20° ist

[Hotate, L6881.

2.3. Vergleich mit anderen Verfahren

vorgang gemessen [Sladen, E2671 oder ebenfalls mit einer Sellmeier-Reihe be- P rechnet werden. Mit P = 0 ist die Profildispersion vernachlässigt, GA = 0.

Wenn die bei verschiedenen Wellenlängen berechneten Integrale c(h) einer Expo-

nentialfunktion oder einem Polynomin h eingepaßt werden, kann man die erforder-

liche Ableitung und folglich die Wellenleiterdispersion G: ohne großen Aufwand

bestimmen. Wieweit G1.(2-15) auch auf mehrfach ummantelte Fasern [Francois,

L3137, L3307, L4003, L4047, L40811 angewendet werden kann, bleibt zu überprü-

fen.

2.3 Vergleich mit anderen Verfahren ------- ........................... 2.3.1 Direkte Fourier-Inversion des Fernfelds

Zunächst soll die im Abschnitt 2.1 entwickelte Methode mit dem von [Hotate,

L6881 angegebenen Verfahren der direkten Fourier-Inversion des Fernfelds ver-

glichen werden, G1.(2-lb). Dazu wurden die N = 130 Meßdaten von [Hotate, L6881

mit Hilfe der Gauß-Laguerre-Entwicklung G1.(2-3) ausgewertet und im Bild 2.1

dargestellt. Die Lichtwellenlänge beträgt X = 632,8 nm, der maximale Fernfeld-

winke1 y = 65 O. Das Nebenmaximum bei ymax = 62 liegt D = 90 dB unterhalb des

absoluten Leistungsmaximums. Nimmt man den realistischen Kernradius a rr 4X fUr

einwellige Lichtleiter an, so variiert das Argument U von Jo(u) in der

Fourier-Inversionsbeziehung G1.(2-lb) im Bereich 05115 2na/X F. 25, wobei die 0 Maxima von 15,(25 sin y) esin y 1 ungefähr 10-' im Bereich 0,6 I y 2 14 und 10-I

im Bereich 14 Ob y S 90 betragen. Deshalb verändert sich der Integrand von

G1. (2-lb) zwischen 1 0 - ~ in der Nähe von y = 0 und 3.10-~ bei ymax = 62O. Be-

trägt die Breite der Hauptkeule yw rr 0,l ymax, dann ergibt eine grobe Abschät-

zung, daß bei der Berechnung des Inversions-Integrals G1.(2-lb) Nyw/ymax Zahlen

der Grllßenordnung I O - ~ und N(l - yw/ymax) Zahlen der Größenordnung 3.10-~ zu - 2 summieren sind, was einen Ausdruck proportional zu 0,l .I0 + 0,9.3. I O - ~ ergibt.

Soll daher die Nebenzipfel-Information des Fernfelds nicht durch Meßfehler a

überdeckt werden, so muß YF(y) auf 4 Dezimalstellen genau bekannt sein, d. h.

mit einem relativen Fehler von I O - ~ ; der zulässige Fehler für PF(y) beträgt

entsprechend 2.10-~. Unter den genannten Voraussetzungen gilt zwischen wirksa-

mer Leistungsdynamik D und relativer Leistungsgenauigkeit A die empirische Be-

ziehung

D/dB - - A rr 10 20 D/dB - 20 log A. (2-1 6)

1 Messungen mit einem 17- stelligen Anzeigeinstrument haben im schlechtesten - 4

Fall eine relative Genauigkeit von A = 5.10 entsprechend einer wirksamen Lei-

stungsdynamik von D = 66 dB. Wäre diese Annahme fUr die Meßdaten des Bildes 2.1

gerechtfertigt (Uber die Art der Rohdaten-Präparation liegen keine Angaben

vor), SO würde im Inversionsintegral G1.(2-lb) der Beitrag des Fernfelds für

y > 20° in derselben Größenordnung liegen wie die Unsicherheit durch Meßfehler.

2.3 Verqleich mit anderen Verfahren

Bild 2.1. Fernfeldleistung PF(y) als Funktion des Winkels y bei X = 632,8 nm

[Hotate, L6881 ( . - . . ) ; angepaßte Entwicklung symmetrischer Gauß-

Laguerre-Funktionen für verschiedene Koeffizientenzahlen X [-).

(Nach [Freude, Sharma, E4731).

Bild 2.2. Brechzahlprofil, berechnet mit der Fernfeld-Methode des Abschnitts

2.1, M = 31 1-), und durch direkte Fourier-Inversion [Hotate,

1.6881 ( . - . . ) . Referenzprofil wurde mit einer Interferenzmethode an

einer Q-Faser gemessen [Hotate, L6881 ( - - - ) . - 1

6 = k n +AB, n = 1,4572, Aß = 0,0144 um 0 2 2 (nach [Freude, Sharma, E4731).


Daher wäre die Nahfeldauflösung nur = 1,8 A = 1 ,I Nm für ymax = 20 O statt der von [Hotate, L6881 spezifizierten = 0,69 A = 0,44 um für ymax = 62O.

Diese Probleme bestehen bei der Anpaßmethode des Abschnitts 2.1 nicht. Das Nah-

feld resultiert aus der Minimierung der relativen Abweichung des. gemessenen

Fernfeldsvoneiner Funktion, deren Fourier-Inversion analytisch bekannt ist.

Auflösung und Meßbereich werden durch G1.(2-10, 11, 12) übersichtlich defi-

niert. Ein Vergleich der Brechzahlprofile, die von [Hotate, L6881 und nach

G1.(2-14) berechnet wurden, zeigt eindrucksvoll, wie unempfindlich sich die An-

paßmethode gegenüber Menfehlern verhält, Bild 2.2. Die Fernfeldleistungs-Daten

wurden von [Hotate, L6881 in Form einer halblogarithmischen Drucker-Graphik

präsentiert mit einem Quantisierungsfehler von 0,8 dB entsprechend einem rela-

tiven Fehler A = 20 % und einer wirksamen Leistungsdynamik D = 34 dB bei

Ymax = 9 . Die ausgezogene Kurve im Bild 2.2 zeigt das Brechzahlprofil, das mit M = 31 Koeffizienten nach G1.(2-14) berechnet wurde. Gegenüber dem von

[Hotate, L6881 publizierten Profil nach der direkten Fourier-Inversions-Metho-

de, Punkte im Bild 2.2, ist der Verlauf sehr ähnlich mit besserer Auflösung des

Brechzahleinbruchs auf der Faserachse. Die strichlierte Kurve zeigt Referenzda-

ten, wie sie mit einer Interferenzmethode an einer Q-Faser von 1 nun Durchmesser

gemessen wurden. (Eine Q-Faser wird aus der Ubergangsregion zwischen der gezo-

genen Faser und dem verbleibenden Rohling gewonnen.) Aus den Angaben [Hotate, -1 L6881 B = k n + A B , n = 1,4572, A B = 0,0144 um können n(r) und B erschlossen 0 2 2

werden. In [Hotate, L6881 wurde die Profilwelligkeit (verursacht durch die be-

schränkte Auflösung von nominell 6B = 0,37 um) durch eine gleitende Mittelwert-

bildunq Uber den Bereich 26B = 0,74 um verringert. Nach G1.(2-12) erhält man

mit wo = 2,7 um und M = 31 eine Auflösung von 6 = 0,59 um; über diesen Bereich B wurde die durchgezogene Kurve des Bildes 2.2 gleitend gemittelt. Der Abfallra-

dius zwischen den 90%-'und 10%-Punkten beträgt (vor und nach der Mittelung)

0,67 um, für die gepunktete Kurve 0,75 Nm und für das strichlierte Profil der

D-Faser 0,21 um. Quadratische Subtraktion dieses Referenzwertes liefert für das

Verfahren nach Abschnitt 2.2 einen Abfallradius von 0.64 um, was der geschätz-

ten Auflösung = 0,59 um bis auf 8 % entspricht. Wählt man statt M = 31 eine

Koeffizientenzahl M = 21 bzw. M = 11, so reduziert sich die Auflösung auf 6B =

0.69 um bzw. 6B = 0.95 um, und der Brechzahlelnbruch verschwindet. Mit einer erhöhten Anzahl von Koeffizienten läßt sich die Auflösung nicht unbedingt ver-

bessern. Im Bild 2.1 für M = 61 reagiert die Anpaßfunktion "unwillig" und zeigt einestarkewelligkeit. Dieses Verhalten ist typisch für Fernfeld-Daten, die

oberhalb eines Winkels y von Streulicht oder nicht vollständig entfernten Man-

telwellen zunehmend verfälscht werden. Die Welligkeit für M = 21 und M = 1 1

kommt daher, daß die Anpassung für alle verfugbaren Meßdaten berechnet wurde.

Der Kurvenverlauf wird bedeutend glatter, wenn man nur Meßwerte für Y(. Ymax

von G1. (2-1 2) berücksichtigt.

Zusammenfassend kann man feststellen, daß die Fernfeldmethode mit Reihenentwick-

lung des Feldes nach Gauß-Laguerre-Moden sich als Verfahren erweist, das äu-

ßerst unempfindlich auf (zufällige) Meßfehler reagiert, so daß Rauschen, dessen


Einfluß bei der großen erforderlichen Dynamik unvermeidlich ist, die Auflösung

weitaus weniger begrenzt als bei der direkten Fourier-Inversion. Wie bei Fern-

feld-Messungen üblich, sind weder präzise optische noch mechanische Komponenten

erforderlich; insbesondere werden Nahfeld-Radiusdifferenzen im Sub-Mikrometer-Be-

reich aus Fernfeldwinkeln abgeleitet, die auf 0,1° genau bequem gemessen werden

können. Eine hohe Nahfeldauflßsung bedingt die Messung großer Winkelbereiche. Der

nutzbare Winkelbereich wird durch die praktischen Mßglichkeiten begrenzt, Mantel-

wellen zu entfernen und Streulicht zu unterdrücken: nur mit Laserlichtquellen er-

reicht man die für hohe Nahfeld-Auflösung notwendige Dynamik. Interessiert man

sich allein für die chromatische Impulsverbreiterung, so ist nach G1.(2-15) das

Integral über die quadrierte Ableitung des Nahfeldes bzw. die effektive Fern-

feldbreite maßgeblich. Daher kann der Winkelbereich, in dem das Fernfeld zu mes-

sen ist, so weit reduzie;t werden, daß die verringerte Fernfeld-Leistungsdynamik

es gestattet, inkohärente gefilterte Strahler zu verwenden.

Von [Tewari, L32691, [Ghatak, L40071, ~Boucouvalas, L33021 wurde das Nahfeld

nach [Sharma, E4471 im zentralen Kernbereich durch eine Gauß-Funktion mit daran

anschließenden, exponentiell abfallenden Bereichen genähert. Die Zweckmtißigkeit

dieser Gauß-Exponential-Approximation zeigt Gl.(F2-16, 18): Das evaneszente Feld

im Fasermantel klingt nahezu exponentiell ab. Zwei Parameter kennzeichnen die

Nahfeldfunktion und den analytischen Ausdruck für das Fernfeld, das wie

G1.(2-lb) ein Integral über die Bessel-Funktion nullter Ordnung enthält. Will

man diese Parameter aus der gemessenen Fernfeldleistung bestimmen, so muß ein

nichtlineares Minimierungsproblem gelßst werden mit wiederholter Berechnung des

Bessel-Funktion-Integrals. Diese Prozedur ist numerisch ungleich langsamer als

die lineare Optimierung von G1.(2-4c, 6c) und liefert zudem so wenige Freiheits-

grade des Nahfeldes, daß die Auflösung von Details des Brechzahlprofils unmßg-

lich ist. Das Verfahren kann allenfalls zur Bestimmung des Nahfeld-Strahlradius

verwendet werden.

Das einfachste Anpaßverfahren mit nur einem Freiheitsgrad verwendet eine Gauß- Punktion. mit dem Ctrahlradius wo als Parameter. Es empfiehlt sich, entweder wie

in G1.(2-8, 9 ) nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate vorzugehen, oder

denjenigen Gauß-Strahl mit einem Kopplungsintegral Gl.(F2-23) zu berechnen, der

den Faser-Grundmodus maxiinal erregt. Ein nützlicher Vergleich dieses Verfahrens

mit der direkten Fernfeld-Inversionsmethode wird von [Anderson, E4771 geboten.

2.3.2 Nahfeld-Methoden

Das Nahfeld des Grundmodus

Y(r) = s(oi N I (r)/I (0) (2-17)

kann ähnlich wie in G1.(2-2) aus der Nahfeld-Intensität IN(r) unmittelbar ge-

wonnen werden [Coppa, L400051, [Irving, L40231, [Anderson, E4771. Wegen des un-

vermeidlich rauschenden Meßsignals und der Ableitungen, die ftir die Berechnung

des Brechzahlprofils G1.(2-13) zu bilden sind, kann ebenfalls die Einpassung

eines Gauß-Laguerre-Funktionensystems zweckmäßig werden, G1.(2-3a). Da man

nicht das originale Nahfeld registrieren kann, ist eine ungefähr 100-fache Op-

2.4 Experimentelle Ergebnisse

tische Vergrößerung notwendig; das erforderliche Linsensystem muß ein ebenes

Bildfeld erzeugen und bei jeder Wellenlänge so genau kalibriert sein, daß, rück-

gerechnet, Submikrometer-Präzision in der Faserebene garantiert ist. Mikropho-

nie, z. B. durch motorgetriebene Verstelleinheiten, ist sorgfältigst zu vermei-

den. Die notwendige Leistungsdynamik beträgt Ca. D = 20 dB. Die Meßmethode be-

sticht wegen der physikalischen Unmittelbarkeit, wirft aber erhebliche techni-

sche Probleme auf.

Trennt man einen einwelligen Lichtleiter und bewegt die (perfekt vorausgesetz-

ten) Bruchstellen radial aneinander vorbei, so ist die integrale Ausgangslei- 2n m

stung im abgehenden Wellenleiter ein Maß für das Kopplungsintegral C = Iv(r)- 2 2 0 0

.Y( r + r - 2rr cos q) rdrdq der um ro gegeneinander versetzten, achsenparallelen 0 0 Lichtleiter. FUr 't'(r) kann man wiederum eine analytische Näherung vorgeben,

z. B. eine Gauß-Exponential-Approximation wie im Abschnitt 2.3.1, und das Ropp-

lungsintegral berechneten [Hosain, ~30361. Die beiden Parameter der Approxima-

tion gewinnt man durch lineare Anpassung an die Meßdaten. Will man das Nahfeld

detaillierter beschreiben, so sind mehr Freiheitsgrade notwendig, z. B. wieder

in Form einer Reihe von Gauß-Laguerre-Funktionen. Vorteilhaft ist die integra-

le Messung wegen der optimalen Leistungsausbeute. Als Nachteil muß man die dif-

fizile Verschiebung im Submikrometerbereich sehen und den erhöhten numerischen

Aufwand, falls das Kopplungsintegral für die gewählte Anpaßfunktion Y(r) nicht

analytisch gelöst werden kann.

2.4 Experimentelle Eryebnisse [Freude Sharma E4731 ------ -------------- --------------L-------L------

2.4.1 Brechzahlprofil

Die einwellige Testfaser'(L137/II, AEG,L = 149 m, a = 3 um, n2 (A = 632,M nm) =

1,4573, einwellig für AL600 nm) wurde mit einem zerhacker-modulierten HeNe-La-

ser der Leistung 2 mW angeregt. Der Detektor, das polierte Ende einer Dickkern-

faser mit a = 100 um, bewegte sich auf einem Drehtisch im konstanten Abstand

d = 13,2 mm, vgl. Bild F2, um die Mitte der Testfaser-Endfläche; daraus resultiert eine Winkelauflösung von O,87 O. Die Lichtaustrittsseite der Detektorfaser

wurde leicht aufgerauht und beleuchtete gleichförmig die Kathode eines Photo-

vervielfachers (PM); ein Synchrondetektor (lock-in amplifier, LIA) zeigte des-

sen Strom an. Die analoge Winkelinformation des Drehtischs und das LIA-Ausgangs-

Signal wurden mit 12 bit Genauigkeit (5.10-~1 in einem Bereich von 3 Dekaden

digitalisiert und von einem Tischrechner HPM7XM erfaßt. Zusätzlich wurde die

vorher kalibrierte Verstärkung des PM sowie des LIA manuell umgeschaltet, so

daß eine Leistungsdynamik von D = 90 dB bei linearem Verhalten des PM erreicht

werden konnte, ohne optische Dämpfungsplatten in den Strahlengang einfiigen zu

miissen. Höhere Fasermoden und Mantelwellen konnten wirksam (aber nicht vollkoni-

men) mit einer immersierten Faserschlaufe von 7 mm Krümmungsradius unterdruckt werden. Vor der Endflächen-Präparation durch Brechen wurde das FaserendstUck


Bild 2.3. Fernfeldleistunq PF(y) der einwelliqen Faser L137/II als Funktion

des Winkels bei X = 632.8 nm (....); anqepante Reihe von Gauß-

Laquerre-Funktionen fiir verschiedene Koeffizientenzahlen M (-).


Bild 2.4. Brechzahlprofil der einwelliqen Faser L137/II für M = 10; - 1 k n + A B , n2 = 1,4573, At3 = 0,0179 um , a = 3,2 Pm. (Nach 0 2

[Freude, Sharma, E47311.


auf einer Länge von 20 mm mit Graphit-Spray geschwärzt, um seitliche Streu-

Strahlung zu verhindern. Gemessen wurde in einem Winkelbereich - loO 1 y < 70° von der nominellen Faserachse aus, so daß die Anfangsschätzung für W und der

0 Winkel yo der maximalen Fernfeld-Leistung, G1.(2-8, 9), aus den Meßdaten be-

stimmt werden konnten.Bild 2.3 zeigt die Meßkurve gepunktet und in durchgezo-

genen Kurven drei angepaßte Gauß-Laguerre-Entwicklungen mit M = 30, 20, 10 Xo-

effizienten, entsprechend einer Nahfeld-Auflösung von 6 = 0,62 um, 0,75 um,

1,O um bei maximalen Fernfeldwinkeln von Ymax = 39 O, 31Bo, 23 O. Die Anpassung

wurdeimdargestellten vollen bzw. reduzierten Winkelbereich vorgenommen, wobei

die Anzahl der Meßwerte N = 1200, 800, 700 betrug. Die Meßpunkte waren entlang

dem Xurvenverlauf gleichmäßig dicht und somit an den Flanken von besonders ge-

ringem Winkelabstand. Für jeden Meßpunkt wurde das Mittel aus 10 Meßwerten ge-

bildet. Wie die Betrachtungen des Abschnitts 2.3.1 zeigen, war dieser Aufwand

sicherlich unnötig. Tatsächlich führt eine reduzierte Meßpunktdichte zu keinen

signifikanten Xnderungen im Brechzahlprofil. Ferner kommt der Lage der Null-

stellen ein erhöhter Informationsgehalt zu; wird nämlich durch eine Gewichtung,

wie nach G1.(2-4c) beschrieben, der ignorierte Bereich um eine Nullstelle herum

zu weit ausgedehnt, dann hat die Anpaßfunktion visuell nur noch wenig mit den

Meßdaten zu tun.

Die Brechzahlprofile für Xoeffizientenzahlen M = 5, 10, 20, 30 entwickeln sich

in stetiger Abfolge. Für M > 10 kann keine Verfeinerung der Profilauflösung be-

obachtet werden, nur die Welligkeit für r > 6 um steigt an. Das ist nach dem

Verlauf der Meßdaten zu erwarten: Oberhalb von y = 30° nehmen die Leistungsma-

xima im Fernfeld nicht mehr ab, was auf Streulicht, unvollständig entfernte hö-

here Moden und vor allem Mantelwellen hindeutet, deren Vorhandensein somit die

Auflösung begrenzt. Bild 2.4 zeigt das Brechzahlprofil für M = 10 Koeffizienten.

Mit einer Geradenapproxiination findet man mit B = kon2+AB, n2(A = 632,8 nm) =

1,4573 die Werte A B = 0,0179 um-', a = 3,2 um.

2.4.2 Impulsverbreiterung

Um die chromatische Impulsverbreiterung GA zu bestimmen, muß man nach M P G1. (2-15) die Material-, Profil- und Wellenleiterdispersion GA, GA oder P und

W G getrennt messen. Der lineare Profildispersionsparameter P kann für einwel- A lige Fasern aus einer Messung des Faser-Rohlings bestimmt werden [Sladen,

M E2671, oder auch zusammen mit der Materialdispersion GA aus einer Auswertung

der Sellmeier-Reihe G1. (F7-6) mit Tabelle F12. Für G: kann nach G1. (2-15)

das Nahfeld oder das Fernfeld als Funktion der Wellenlänge gemessen werden. Die Auflösung ist wegen der Integration unkritisch. Es genügt eine Leistungsdynamik

von D = 20 dB, so daß leistungsschwache, inkohärente Lichtquellen verwendet wer-

den können. Bei der im Abschnitt 2.4.1 beschriebenen Meßanordnung wurde der

HeNe-Laser durch eine 100-W-Halogenlampe ersetzt, deren Strahlung von einem op-

ti.schen Bandpaß der Spektralbreite A A = 50 nm gefiltert wurde; die mittlere Wel-


willk. Einh. A

Bild 2.5. @ Fernfeld-~eistung PF (y) der einwelligen Faser L137/II bei verschiedenen Wellenlängen irn Bereich 500 nmS AS 700 nm.

G ~ e r e c h n e t e Nahfeld-Intensität IN(r) mit M = 5 (-1; angepaDte

Gauß-Funktion ( - - - ) .



lenlänge konnte im Bereich 500 nm5 X5 700 nm eingestellt werden. Bild 2.5a

zeigt einen Ausschnitt der bis ymax = 8O gemessenen Fernfeld-Leistungen bei 5

verschiedenen Wellenlängen. Der bei X = 500 nm propagationsfähige LPll-Modus wurde durch das im Abschnitt 2.4.1 beschriebene Modenfilter unterdrückt. Die

Nahfeld-Intensitäten im Bild 2.5b wurden mit M = 5 Koeffizienten berechnet, was

einer Ortsauflösung von 6 =1,6 um entspricht. Die strichlierten Kurven sind B angepaßte Gauß-Funktionen, deren Strahlradien wo sich im Bereich 2,56 umSwoS

3,59 vm ändern. Mit der gaußschen Näherung G1.(~7-lle) [Sansonetti, ~30221 er- W -1 -1 hält man daraus GX(X = 632,E nm) = -8,l ps km nm . Wie man sieht, ähnelt die

Nahfeld-(und die Fernfeld-)Intensität nur in eingeschränkten Bereichen einer

Gauß-Kurve, daher ist es angebracht, die Wellenleiterdispersion nach G1.(2-15a,

d) ZU ermitteln. Der gemessenen Fernfeld-Varianz läßt sich die empiri-

sche Funktion K~,(X) = 0,9255 um -2 e -2r248 'Ivrn sehr gut einpassen, woraus man W -1 -1 mit G1. (2-15) und P = 0 GX(X = 632,E nm) = -3,5 ps km nm erhält. Dieser Wert

2 weicht beträchtlich von der Schätzung mit Hilfe des wo-(oder des l/e -)Verlaufs

ab, was auf die breite Brechzahlabsenkung in der Faserachse und auf den rela-

tiv weichen Verlauf des Profils zuriickzufiihren ist; bei solchen Verhältnissen

läßt sich eine Gauß-Hypothese für das Nah- oder Fernfeld eben nur schlecht be-

griinden. Fiirdie (dominierende)Materialdispersion des Quarzmantels erhält man M nach G1. (2-15a)und Bild F10 G~ (X = 632,8 nm) = -240 ps km-' nm-l. Profildisper-

sion kann dagegen vernachlässigt werden. Die unmittelbare Auswertung der Fern-

feldleistung nach G1.(2-15c) führt zum selben Ergebnis wie die Rechnung nach

G1. (2-15d).

2.5 Weitere mögliche Anwendunge?! -------------- Wenn neben dem LPO1-Grundmodus noch der nächsthöhere Wellentyp LPll ausbrei-

tungsfähig ist, zeigt sich das an einem charakteristischen Leistungseinbruch im

Zentrum der Funktion P,(y). Die Meßebene werde so gedreht, daß P,(y) gleich ho- "

he Höcker rechts und links des Zentrums aufweist. Entwickelt man dann YF(y)

( ' / X ) (ko sin Y), nach GI. (2-4a, 2) in eine Doppelcumme von Funktionen ,il~vu~„ so läßt sich der relative Gehalt des unsymmetrischen LPl1-Modus aus der wellen-

längenabhängigen Größe der Koeffizienten C mit V = 0 ablesen und derart die "V

Grenzwellenlänge ;IllG (vgl. vVuG von G1.(~2-12, 20), ~1.(~2-21) und der folgende Text) bestimmen. X1 G könnte man dort definieren, wo der Quotient

"i' I C 1 2/ \Cou klein genug geworden ist; dieser Grenzquotient mUß im v=l u=1 vu v=l Vergleich zu anderen Methoden bestimmt werden. Um die Anpassung nicht zu über-

ziehen, sollten die Koeffizientenzahlen begrenzt werden, z. B. N,M 5 3.

Integrierte optische Wellenleiter haben häufig einen rechteckförmigen Quer-

schnitt mit den kartesischen Koordinaten x,y wie im Bild F2. Gauß-Hermite-Funk-

tionen sind diesem Koordinatensystem angepaßt. Nimmt man wie im Abschnitt 2.1 an, daß das skalare orthonormierte Nahfeld Y(x,y) = YX(x)Y (y) separierbar ist,

Y dann können die Fernfelder YFx(yx), Y (y ) in den xz-und yz-Ebenen des Bildes

FY Y


F2 mit den Kirchhoff-Integralen Gl.(F3-6a, b) als eindimensionale Fourier-

Transformierte von Yx(x), Y (y) berechnet werden. Wie bei Gauß-Laguerre-Funk- Y

tionen führt auch die Fourier-Transformation von Gauß-Hermite-Funktionen auf

ein identisches Funktionensystem. Man könnte daher aus einer Anpassung von

Gauß-Hermite-Funktionen an die in orthogonalen Richtungen gemessenen Fernfel-

der YFx(y), Y ( y ) die Koeffizienten der äquivalenten Nahfeld-Entwicklungen FY

£Ur Yx(x), Y (Y) gewinnen. Wenn auch das Brechzahlprofil separierbar ist im Y

Sinne von n(x,y) = n (X) + n (Y), kann sein Verlauf wie im Abschnitt 2.1 berech- X Y

net werden. Für die Wellenleiterdispersionen milßte die effektive Fernfeld-Brei-

te in G1. (2-15b) ersetzt werden durch

+m +m dYx(x) 2 +"dY (y) 2

+m T %I = -= \ [ T ] dx/\ -m y:(~)d~ + --X, \ [e] dy/\ -m Y:(Y)~Y.



Bei vielwelligen Lichtleitern interessiert neben der Dämpfung vor allem die

Ubertragungsbandbreite. Messungen der Impulsantwort bzw. der Ubertragungsfunk-

tion an langen Faserstrecken sind aufwendig und auf der Stufe der Beurteilung

von Rohlingen (massive Stäbe, aus denen die Faser gezogen wird) nicht praktika-

bel. Das Brechzahlprofil läßt sich dagegen gerade bei Faserrohlingen bequem re-

gistrieren, und da in [Chu, L5191 gezeigt wurde, daß sich die Profile von Roh-

ling und ausgezogener Faser nicht wesentlich unterscheiden, sind Methoden zur

Berechnung der Impulsantwort von großem Interesse. Diese stellen dann zusammen

mit der Erfassung des Rohlings- oder Faser-Brechzahlprofils eine indirekte Meß-

methode dar zur Beurteilung der dynamischen Ubertragungsgüte. In der Regel wer-

den mögliche axiale Variationen des Profils ebensowenig berücksichtigt wie Mo-

denkopplung. Bei Multimodenfasern stehen Verfahren der geometrischen Optik bzw.

der WKB-Methode, ausgehend von der Dispersionsrelation der Gl.(F6-I), in Kon-

kurrenz zur direkten Lösung der skalaren Wellengleichung Gl.(F2-3) für die Ra-

dialkomponente eines transversal angenommenen Feldes.

Die Uberlagerung sehr vieler Moden führt zu einer komplizierten Interferenzfi-

gur im Faserquerschnitt. Filtert man dieses Feld räumlich oder wählt man be-

stimmte Polarisationen oder Frequenzen aus, dann ändert sich die so detektierte

Leistung, falls Lichtquellen- oder Fasereigenschaften zeitlich variieren. Die-

ses unerwfinschte sogenannte Modenrauschen kann für ein besonders einfaches und

aussagekräftiges Meßverfahren genutzt werden, mit dem man auf die Modendisper-

sion und die dadurch bedingte Bandbreite kurzer Fasern rückschließen kann.

3.1 Brschzahl~rofil-a!s-ism-Fern~sLi-LF~e!~s~-~~~!~~ Es gibt überaus zahlreiche Verfahren, das Brechzahlprofil von Fasern und Faser-

rohlingen zu messen [Marmse, L19421, [Presby, L20801. Gewöhnlich bemüht man

sich um gr6ßtmögliche Präzision. Neben der Kontrolle geometrischer Parameter

wird die Profilinformation meist zur Berechnung und Optimierung der Ubertra-

gungsbandbreite langer Fasern benutzt. Wenn man nun berücksichtigt, mit wel-

chen Fehlern diese Voraussagen behaftet sind, scheint es nicht sinnvoll zu

sein, zu diesem Zweck das Brechzahlprofil von Fasern hochgenau und mit großem

Aufwand zu messen.

Wie in G1. (Fl-1) definiert, möge das Brechzahlprofil n(r) nur vom Radius r ab-

hängen,

wobei a der Xernradius, n2 die Brechzahl im Mantel, % die numerische Apertur und g(p) die Profilfunktion ist. Bei der Nahfeld-Methode werden alle Moden

gleichf6rmig angeregt und die resultierende Nahfeld-Intensität INO(r), normiert

3.1 Brechzahlprofil aus dem Fernfeld

auf ihren Maximalwert INm, nach Gl.iF6-14) in Beziehung gesetzt zur Profilfunk-

tiOn (Nahfeldprofil, NFP) ,

9 ( ~ ) = 1-INO(r)/INm, r = ap. (3-2)

Komplementär hierzu ist das Fernfeld-Verfahren, das für streng monotone Profile

von [Grau, L9331 vorgeschlagen wurde, aber auch für allgemeine Profile sinnvoll

und mit minimalem experimentellem Aufwand angewendet werden kann [Freude,

L17431 (äquivalentes Fernfeldprofil, XFFP).

Regt man alle Fasermoden gleichförmig an und mint die resultierende Fernfeld-

Leistung PFO(y) als Funktion des Winkels y zur Faserachse, dann erhält man nach

G1.(6-15a) die Umkehrfunktion der äquivalenten Profilfunktion

-1 Y = sin AN-. (3-3)

- 1 Für streng monotonen Brechzahlverlauf gilt g-' (p) = gäq(p) . Wenn jedoch die physikalische Profilfunktion nichtmonoton ist, bedeutet g (P) ein äquivalentes

29 monotones Profil; an einer Faser mit diesem Brechzahlverlauf würde man dieselbe

Fernfeld-Leistung PFO(yI messen wie an der realen Faser. Ein Beispiel für ein

Profil mit Brechzahleinbruch auf der Faserachse gibt Bild F9; gestrichelt ist

die aus G1. (F6-16) berechnete äquivalente Profilfunktion g.. eingetragen. aq

Bild 3.1 zeigt experimentell ermittelte Fernfeld-Leistungs- und Nahfeld-Intensi-

tätsverteilungen [Freude, L17431 einer vielwelligen Faser (B 198) mit Bor-do-

tiertem Quarzmantel und Ge0 -P 0 -dotiertem Si02-Kern [Zwick, L2671. Der Her- 2 2 5 steller spezifizierte a = 24 pm, AN = 0,2, eine Dämpfung von 3,l dB/km und eine

Impulsverbreiterung von 1,6 ns/2 km bei einer Wellenlänge A = 0,85 pm. Eine

Lumineszenz-Diode der Wellenlänge h = 0,65 um koppelte ihr Licht stumpf stoßend

in die Faser der Länge L = 2,3 m. Diese Lichtquelle approximierte im Bereich

der Faserapertur einen Lambert-Strahler PFL(y), Gl.(F6-101, so daß nach

Gl.(F6-15a) alle Moden gleiche Leistung trugen, P(6,v) = Po in Gl.(F6-13).

Leck- und Mantelwellen [Winkler, L16161, [Petermann, L15501 wurden mit einem

Modenfilter entfernt; es bestand aus einem S-förmigen, mit einem Radius von

20 mm gekrümmten Trog der Länge 25 Cm, der mit Indexöl gefüllt und in dem die von der Primärbeschichtung befreite Faser immersiert wurde. Bei solchen Xriim-

mungen sind Gesamt-Leistungsverluste der geführten Wellen von 0,l dB zu erwar-

ten [winkler, L16161. Die Fernfeld-Leistung PFO(y) wurde in einer Entfernung

d = 286 mm von der Faserendfläche gemessen, vgl. Bild F2, so daB mit d>> rM = a die Fernfeld-Bedingung der Gl.(F3-6e) sicher erftillt war. Um die

Nahfeld-Intensität INO(r) ZU registrieren, wurde ein 100-fach vergrößerndes Mi-

kroskop verwendet. Die Rohdaten glättete ein Filteralgorithmus, der einen glei-

tenden Mittelwert über die Apertur 0,4 Odes Detektors im Fall der Fernfeld-Mes-

sung ausführte, bzw. über die halbe, beugungsbegrenzte Ortsauflösung

6B/2 r;i 0,3 A / A ~ r;i 0,9 pm nach ~1.(~3-17) bei den Nahfeld-Daten. Aus dem Fern-

oder dem Nahfeld kann man mit G1.(3-3) oder G1.(3-2) die Profilfunktion bestim-

3.1 Brechzahlprofil aus dem Fernfeld

Bild 3.1. Fernfeldleistung PFO(y) und Nahfeldintensität INO(r), normiert

auf die Gesamtleistung PFFL = 2,2 uW und PNFI = 3,7 uW,

h = 0,65 um (nach [Freude, L17431).

Bild 3.2. Brechzahldifferenz zum Mantel mit n2 = 1,457 bei h = 0.65 um

f'dr das äquivalente Fernfeld-Profil XFFP und das physikalische

Nahfeld-Profil NFP (nach [Freude, L17431).

3.2 Impulsverbreiterung

men. Im Falle der G1.(3-3) muß zusätzlich AN angegeben werden, z. B. als Sinus

des Winkels y, bei dem das Fernfeld in einer Geradenapproximation auf Null ab-

genommen hat. In analoger Weise ermittelt man den Kernradius a aus der Nahfeld-

Intensität, wenn man G1.(3-2) auswertet.

n(r) nach G1.(3-11 kann man weder allein aus dem Fernfeld, noch allein aus dem

Nahfeld bestimmen: Im einen Fall fehlt der Kernradius a, im anderen die numeri-

sche Faserapertur AN. Aus einer Geradenapproximation der jeweils komplementären

Leistungsverteilung erhält man a = 23 um, AN = 0,20. Bild 3.2 zeigt die errech-

neten Brechzahldifferenzen als Funktion des normierten Radius [Freude, L17431.

Zur Messung des ÄFFP benötigt man weder präzisionsmechanische noch optische

Komponenten, ganz im Gegensatz zu den stßrempfindlichen Aufbauten, welche das

NFP registrieren. Dieser Einfachheit entspricht die unkomplizierte Berechnung

der Impulsverbreiterung aus dem XFFP, die im Abschnitt 3.3 erläutert wird.

Sowohl bei der Nah- als auch bei der Fernfeld-Methode miissen störende Leckwel-

len mit geeigneten Filtern unterdrückt werden. Beim modifizierten Nahfeld-ver-

fahren [Zwick, E3211, [Sabine, L12191, [Irving, L1647, L1972, L2513, L33411

vereinfacht sich dieses Problem.

3.2 Impulsverbreiterung [Freude,-&gnn~ggg,-l ------ -------- Die gebräuchlichen Methoden der geometrischen Optik zur numerischen Berechnung

von Impulsantwort und Bandbreite aus gemessenen Brechzahlprofilen sind in

[Irving, L2681, [Okmoto, L18861, [Marcuse L522, L693, L934, L1986.

L1987, L19421, [Weierholt, L15191, [Olshansky, L15381, [Arnaud, L17211 be-

schrieben und die Ergebnisse diskutiert. Vorausgesetzt wird in der Regel, daß

die optische Leistung auf alle Moden gleich verteilt ist, eine nicht sehr pra-

xisnahe Annahme. Wettgemacht wird dies allerdings durch eine Schwachstelle im

Verfahren: Die sogenannte WKB-Methode "sieht" keinen abrupten Ubergang vom Kern-

profil zum weitausgedehnten Mantel und errechnet daher nicht die eigentlich zu

erwartenden Laufzeitverkürzungen für Moden, deren Felder nennenswerte Anteile

im Mantel mitschleppen [Olshansky, L47, L9291, [Crone, L12321, [Freude, Leminger,

E221. Gerade diese Felder aber werden durch unvermeidliche Irregularitäten des

Wellenleiters besonders intensiv an Strahlungsmoden gekoppelt [Olshansky, L47,

1,9291, so dansierealitgr zur Impulsverbreiterung nichts beitragen. Die heute

üblichen Brechzahltäler an der Kern-Mantel-Grenze(wie in [Okamoto, E241 be-

schrieben)gleichen die Laufzeiten der höchsten Moden den Laufzeiten der weiter

im Kerninneren propagierenden Felder an.

[Marcuse, E1071, [Presby, L5231 berichten, daß Voraussagen der Impulsverbreite-

rung mit der WKB-Methode und Meßwerte gut übereinstimmen, geben allerdings den

Hinweis, daß die untersuchten Fasern sehr sorgfältig auf Gleichförmigkeit und


nur minimale Modenkopplung ausgewählt wurden [Cohen, L5171. Die Abweichung der

Rechnung zur Messung war im Mittel ( -12 i 24) % (mittlerer relativer Fehler i

Standardabweichung des Fehlers) der gemessenen Bandbreite. [Marcuse, E1071 ver-

merkt weiter, daß für typische Fasern aus üblicher Fertigung "die Bandbreite-

voraussagen aus dem Brechzahlprofil weit niedriger waren als die gemessenen

Werte" und führt dies auf Modenkopplung zurück. Ein Vergleich der Ergebnisse

von WKB-Näherung, NBherungslösung der Wellengleichung für Gradientenprofile

durch Stßrungstheorie und Laufzeitberechnung nach Gl.(F6-23) mit angepaßtem Po-

tenzprofil zeigt die Uberlegenheit der WKB-Methode bei der Wiedergabe gemesse-

ner Impulsantworten [Ramskov Hansen, Egli, [Jacobsen, L686, L687, L10361.

Weniger beliebt wegen der numerischen Schwierigkeiten ist die exakte Lösung der

skalaren Wellengleichung für die schwach führende Faser. Das Verfahren bietet

aber große Vorteile, da es genau ist und sich unterschiedliche Modenleistungs-

Verteilungen leicht erfassen lassen. von [Leminger, L345, L33871 wurde erstmals

die Idee formuliert, reale Fasermoden eines Gradientenprofils nach Gauß-

Laguerre-Funktionen eines angepaßten Parabelprofils zu entwickeln und die Koef-

fizienten nach dem Ritzschen Verfahren zu bestimmen. Unabhängig davon erprobten

[Meunier, L15081 und später [Georg, L22411 diese Methode an Potenzprofilen, je-

doch nicht an gemessenen Profilen. Nach einem solchen Variationsverfahren wur-

den aus analytisch gegebenen und aus gemessenen Profilen von [Freude, Leminger,

E221 Impulsverbreiterungen für verschiedene Modenleistungsverteilunqen unter

Einschluß linearer Profildispersion P, Gl.(F6-21), berechnet. Dabei wurden idea-

le Fasern vorausgesetzt, d. h. ein rotationssymmetrisches, isotropes Brechzahl-

profil, das sich entlang der Wellenausbreitung nicht verändert. Kopplung von

Moden war als0 ausgeschlossen. Das numerische Progranun arbeitete sehr schnell

und laste das Eigenwertproblem bei 2000 Stützstellen des Profils auf einem

UNIVAC-1108-Rechner in i Minute. Ein Vergleich mit der analytisch bekannten Lö- sung für ein beim Kernradius r = a abgeschnittenes Parabelprofil [Unger, L311,

[Kitayama, L5591 ergab eine Ubereinstimmung der Laufzeitdifferenzen zum Grund-

modus auf 4 Dezimalen. Aus dem Nahfeldprofil (NFP) der Faser von Bild 3.2 wur-

den die Laufzeiten t für jede geführte Eigenwelle LP Text vor Gl.(F2-22). 9vu vv'

berechnet und als Differenz At = t - t zur Laufzeit des Grundmodus über 9vv 9vli 901

der pv-Ebene aufgetragen, Bild 3.3. Höhenlinien gleicher Laufzeit bewegen sich

keineswegs parallel zu Kurven konstanter Iiauptmodenzahl m = V + 2p- 1; inner-

halb von Hauptmodengruppen sind bei realen Profilen starke Laufzeitunterschiede

zu sehen. Laufzeiten jenseits der Geraden V + 2li- 1 = mmax haben keine physika-

lische Bedeutung. Man erkennt die erwBhnte Laufzeitverkürzung fiir Moden nahe

der Grenzfrequenz (zum Begriff der Grenzfrequenz vgl. Gl.(F2-12, 21) und der

folgende Text).

Modenlaufzeiten kßnnen ohne Willkür berechnet werden. Will man jedoch eine Im- 2

pulsverbreiterung über die Laufzeitstreuung ot, nach G1. (F6-28) ermitteln,

müssen die Moden und damit die Laufzeiten physikalisch relevant gewichtet wer-


Bild 3.3. Laufzeitdifferenzen At = t - t als Funktion des azimutalen gvii gvu 9'01

und des radialen Modenindex V und (nach [Freude, Leminger,

~ 2 2 1 ) . Gradientenfaser B198 von Bild 3.2.a = 23 um, A = 0,9 % , A = 0,2, N A = 0,85 um, V = 34, n, = 1,4665, n2 = 1,4528, P =-0.05. --- Höhenlinien.


den. Sinnvoll ist es, dazu die Leistungskopplungskoeffizienten p von vii

Gl.(F2-24) bzw. pm zu verwenden; sie geben an, mit welchem prozentualen Lei- stungsanteil der Modus (vii) bzw. der Hauptmodus m vertreten ist. Die gleich-

förmige Modenleistungsverteilung ist sicher unrealistisch. Näherliegend wäre

die stationäre Modenleistungsverteilung, die sich nach sehr langen Laufstrek-

ken unter Berücksichtigung von Modenkopplunq einstellt und durch

genähert werden kann [Olshansky, L9081; hierbei ist Mc die maximale Nummer des-

jenigen Hauptmodus, der am Ende einer sehr langen Paserstrecke gerade keine

Leistung mehr transportiert. M wie in Gl.(F6-3) ist die Gesamtzahl geführter 9

Moden. Eine solche Verteilung berücksichtigt insbesondere die typischerweise

grßßere Dämpfung von Moden hoher Ordnungszahl. Eine Vollständigkeitsrelation

wie in Gl.(F2-24) gilt unter diesen Umständen nicht mehr. Bild 3.4a zeigt eine

graphische Darstellung. Ebenfalls diskutabel erscheint eine Verteilung, die

sich ohne Modenkopplunq durch einen starker als der Kern dämpfenden Mantel ein-

stellt. Als vierte Möglichkeit soll eine geometrisch-optische Modenleistungs-

Verteilung diskutiert werden, bei welcher der Grundmodus und die drei Hauptmo-

dengruppen mit den höchsten Ordnungsnummern m keine, alle anderen Moden aber

dieselbe Leistung tragen, Bild 3.4b Die Bezeichnung "geometrisch-optisch"

soll an die Eigenschaft der oben diskutierten WKB-Lßsungsmethode erinnern,

Laufzeitverkürzungen zu ignorieren, die durch die Kern-Mantel-Grenze verursacht

werden. Die Hypothese erhöhter Dämpfung des Grundmodus wird durch Beobachtungen

von [Cohen, L17251 unterstützt, nach denen sich während der Faserherstellung

mit dem MCVD-Prozeß (Modified Chemical Vapor Deposition) die OH-Ionen-Konzen-

tration und damit die Dämpfung auf der Faserachse erhöhen kann.

Bei den numerischen Laufzeitberechnungen fUr analytisch vorgegebene und gemes-

sene Brechzahlprofile zeigte sich ferner, daß selbst für stark gestörte Profile

Aßm/AB5 5 % << 1 war, wobei ABm die maximale Differenz der Ausbreitungskonstante B innerhalb einer Hauptmodengruppe m = V + Zu- 1 und A B die maximale @-Differenz

aller geführten Moden meint. Folglich ist es zulXssig, eine enge Kopplung der

Felder mit demselben m anzunehmen und mit einer mittleren Laufzeit t für den 9"'

Hauptmodus m zu rechnen. Die Impulsverbreiterung der realen Faser wird dement-

sprechend durch die Streuung der mittleren Laufzeiten t beschrieben, G1. 9"'

(F6-28b), gewichtet durch die Leistungskopplungskoeffizienten pvu = pm. Diese

sollen der geometrisch-optischen Modenleistungsverteilung wie im Bild 3.4b ent-

sprechen. Ein solches Kopplungsmodell wird an fünfter Stelle diskutiert werden.

Hohe Genauigkeit der numerischen Analyse garantiert selbst bei Anwendung skala-

rer oder gar vektorieller Optik noch keine gute Ubereinstimunq mit tatsächlich

gemessenen Werten der Bandbreite. Hauptfehlerquellen sind Unsicherheiten des

3.2 Impulsverbreiterunq

0 2 4 6 8 10 12 1

V-

Bild 3.4. Beispiele von Modenleistungsverteilunqen

@stationäre Modenleistunqsverteilunq

@ geometrisch-optische Modenleistunqsverteilung.


zugrunde gelegten Brechzahlprofils, das sich im allgemeinen entlang der Faser

ändern wird, selektive Modendämpfung und Modenkopplung. Bedenkt man diese Ein-

flüsse, so erscheint es nicht abwegig, ein theoretisch ungenaueres Verfahren

der geometrischen Optik zu verwenden, das dafür jedoch bedeutende meßtechnisclie

und rechnerische Vereinfachungen mit sich bringt. Gemeint ist die Methode, aus dem in Abschnitt 3.1 erijrterten äquivalenten Fernfeldprofil (XFFP) die Moden-

laufzeiten zu berechnen, Gl.(F6-26, 27),

In dieser Beziehungist 6die normierte Ausbreitungskonstante 8 , A die relative Brechzahldifferenz der schwach führenden Faser, Gl.(F1-3). ko = 2n/A die Vakuum-

Ausbreitungskonstante bei der Wellenlänge A, n2 bzw. n, die Mantel- bzw. die

maximale Kernbrechzahl, ng2 a ngl - n2 - n1 die zugehörigen Gruppenbrechzahlen, AN die numerische Faserapertur, PFO(y) die beim Winkel y zur Paserachse gemes-

sene Fernfeldleistung bei gleichförmiger Anregung aller Moden und K die Raum-

frequenz. G1.(3-3) verknüpft PFO(y) mit dem XFFP g (P). G1.(3-5a) gilt gerade äq

für den Fall intensiven Leistungsaustauschs von Feldern derselben llauptmoden-

gruppe m bzw. derselben normierten Ausbreitungskonstante 6. Mit der Modendichte

m(6) von GI. (F6-5) , berechnet aus dem äquivalenten monotonen Profil, g2 (P) =

gäq(p),gl (P) = 0, erhält man für die effektive Impulsbreite ot6 analog zu G1. (F6-28b)

(3-Sb) A A

Die Gln.(3-5) liefern eine sechste Variante der Impulsverbreiterung, die mit

den skalar-optisch berechneten Ergebnissen bei fiinf verschiedenen Modenlei-

stungsverteilungen und mit Meßwerten von langen und kurzen Paserstücken vergli-

chen werden soll.

Tabelle 3.5 [Freude, Leminger, E221 gibt einen Oberblick über die Ergebnisse

für die Faser vom Bild 3.1, 3.2. Alle berechneten Laufzeitstreuungen ot, um,

ot6 wurden als Halbwertsbreite Ath eines aquivalenten Gauß-Impulses ausgedriickt.

Fiir die Faser wurde im Zeitbereich eine Impulsverbreiterung von Ath = 1,6 ns

für L = 2 km gemessen. Eine Auswertung des Granulationskontrasts nach Abschnitt

3.3 ergab Ath = 11,5 ps für L = 3,2 m. Daraus wird der Einfluß von Modenkopp-

lung sichtbar; ohne Modenkopplung variiert Atl,-L, mit starker Modenkopplung

gilt Ath"&, wenn der Lichtleiter wesentlich länger als die sogenannte Kopp-

3.2 Impulsverbreiterunq

Impulsverbrei terungen A t h w2,35 o+ i n ns/km aus NFP und AFFP. Meßwerte: 1,l ns/km, 3.6 pslm

Tabelle 3.5. Impulshalbwertsbreiten aus dem Nahfeld- und dem Bquivalenten

Fernfeldprofil (nach [Freude, Leminger, E2211

Gradientenfaser B198 von Bild 3.2. a = 23 Pm, A = 0,9 8 ,

% = 0,2, X = 0.85 um, V = 34, n, = 1,4665, n2 = 1,4528,

L = 1 km.

M?, M2, M3 aus Profilmessungen an derselben Faser an verschiedenen Abschnitten berechnet.

Al Anpassung einer analytischen Funktion an M1. Das Fehlen der natürlichen Brechzahlfluktuationen er- niedrigt die Impulsverbreiterung.

A analytische Modifikationen von Al aus.


lungslänge Lc ist,und wenn Materialdispersion dominiert, wächst die Impulsver-

breiterung wieder mit Ath-L. Rechnet man nach [Geckeler, L6851, so erhält man

eine Kopplungslänge von Lc = 100 m, woraus Ath = 1,l ns für L = 1 !an resultiert

und Ath = 3.6 ps für L = 1 m.

In der äußeren Spalte rechts sind die untersuchten Brechzahlverläufe (NFP und

korrespondierendes ÄFFP) graphisch dargestellt, die Spalte links außen charak-

terisiert diese Profile als Meßkurve an verschiedenen Abschnitten derselben Fa-

ser (MT, M2, M3), als analytische NLiherung (Al) der Meßkurve M1 und als analyti-

sche Modifikationen (A), ausgehend vom Profil Al.

Die Impulsverbreiterungen der mit "skalare Optik, NFP' überschriebenen Spalten

wurden aus dem NFP nach Lösen der skalaren Wellengleichung berechnet, und zwar

für die oben beschriebenen fünf Fälle der gleichförmigen, der stationären Mo-

denleistungsverteilung (MLV), Bild 3.4a. der starken Dämpfung im Mantel, der

geometrisch-optischen, Bild 3.4b, und der geometrisch-optischen Modenleistungs-

Verteilung mit starker Kopplung innerhalb von Hauptmodengruppen.

In der Spalte "geom. Opt., ÄFFP" stehen aus G1.(3-5) berechnete Zahlen, die mit

einer geometrisch-optischen Theorie unter Annahme von gleichförmiger Modenlei-

stungsverteilung sowie Kopplung innerhalb der Hauptmodengruppen gewonnen wur-

den: gerade die letzte Annahme wird durch die numerisch ermittelte Beziehung

ßm « A ß (siehe oben) gerechtfertigt.

Vergleicht man mit dem interpolierten Meßwert 1,l ns/km, dann erkennt man, daß

die skalare Optik fUr gleichförmige Modenleistungsverteilung unrealistische Im-

pulsverbreiterungen voraussagt (MI), auch für den Fall, daß kompensierende

Brechzahltäler an der Kern-Mantel-Grenze eine Laufzeitanpassung bewirken (M2,

M3); diese wurden in den Fällen MI, Al, A ignoriert. Iiimmt man andere Modenlei-

stungsverteilungen an, bessert sich das Bild, die Prognose für Ath ist aber im-

mer noch zu groß. Dieselbe Tendenz läßt sich für das analytische, angepaßte

Profil Al ablesen, wobei allerdings das Fehlen der realen Brechzahlfluktuatio-

nen die Impulsverbreiterung reduziert. Messung und Rechnunq stimmen am besten

überein, wenn man das beschriebene Kopplungsmodell einführt; das verwundert

nicht, da ja bereits festgestellt wurde, daß bei dieser Faser Modenkopplung we-

sentlich ist.

In der Spalte "geom.Opt.,gleichf.~V" sind die Ergebnisse der geometrisch-op-

tischen Rechnunq notiert. Sie stimmen in der Grßßenordnung mit den skalar-opti-

schen Voraussagen iiberein, insbesondere für die Profile MI, M2, M3 und A der

zweit- und drittletzten Zeile, können aber auch um den Faktor 2 nach oben oder

unten abweichen, Profile Al und A der letzten und viertletzten Zeile. Für die

qemessenen Profile M2, M3 ergibt sich mit der skalar- und der geometrisch-opti-

schen Rechnunq eine Uberschätzung der gemessenen Impulsverbreiterung von 18%

und 36%. Mit dem oben erwähnten Modenkopplungsmodell von [Geckeler, L6851 in-


terpoliert man eine gemessene Impulsverbreiterung von At = 0,77 ns für L = h 500 m. Bei linearer Skalierung der skalar- und der geometrisch-optischen Re-

chenwerte auf Ath = 0,65 ns und At - 0,75 ns fiir L = 500 m betragen die Abwei- h - chungen vom Meßwert -10% und -2,6 %.An diesen Beispielen ist zu erkennen, da8

man mit den vorliegenden Daten nicht entscheiden kann, welche von beiden Theo-

rien, die skalar- oder die geometrisch-optische, der Realität näher kommt. Da-

her sollte die einfachere geometrisch-optische Uberlegung G1.(3-5) bevorzugt

werden, solange nicht wirklichkeitsnahe Modelle der Modenkopplung und der dif-

ferentiellen Modendämpfung indie skalar-optische Theorie eingebaut worden sind.

Interessant ist auch der Vergleich numerischer Voraussagen mit der an einem

kurzen Faserstück gemessenen interpolierten Impulsverbreiterung 3,6 ps/m, vgl.

Bild 3.0 und Abschnitt 3.3.2, da Modenkopplung hier keinen wesentlichen Einfluß

hat. Bei der Messung wurde versucht, eine gleichförmige Modenleistungsvertei-

lung anzuregen. Die mit skalarer Optik berechneten Werte für die laufzeit-koin-

pensierten Profile M2, M3 weichen, linear auf L = 1 m skaliert, um -20% ... -30% vom Meßwert ab, was als bemerkenswerter Grad von Ubereinstimmung gewertet

werden muß (beim Profil M1 wurden die kompensierenden Brechzahltäler an der

Kern-Mantel-Grenze ignoriert),wenn man allein die mögliche Variation des Brech-

zahlprofils entlang der Ausbreitungsrichtung bedenkt.

Als Ergebnis der vorgestellten Untersuchungen kann man festhalten: Skalar-opti-

sche Methoden liefern numerisch aus gemessenen Brechzahlprofilen Felder und

Ausbreitungskonstanten der Moden einer vielwelligen Faser. Diese Techniken sind

erprobt, genau und erfordern auf modernen Gronrechenanlagen relativ wenig Re-

chenzeit. Allerdings werden StöreinflUsse wie Variation des Brechzahlprofils

entlang der Faser, Modenkopplung, selektive Modendämpfung und -anregUnq nicht

erfaßt, so da8 Voraussagen der Impulsverbreiterung nur in Sonderfällen mit Meß-

werten an kilometerlangen Fasern übereinstimmen werden, vgl. zweiter Absatz vom

laufenden Abschnitt 3.2. Hier sind erhebliche Anstrengungen notwendig, um nu-

merisch handhabbare, verbesserte Theorien zu entwickeln; dabei sollte stets be-

achtet werden, daß die Zahl der zu messenden Modellparameter iiberschaubar

bleibt.

Felder derselben Hauptmodenzahl haben ähnliche Ausbreitunqskonstanten; dies ergab die numerische Untersuchung sehr verschiedener Brechzahlprofile. Ein aus

dieser Erkenntnis abgeleitetes primitives Kopplungsmodell für Wellen einer Hauptmodengruppe verbessert die Vorausssage der Impulsverbreiterung; es bleibt

allerdings eine Diskrepanz, die auf Kopplung von Wellen verschiedener Hauptmo-

dengruppen zurückgeftihrt werden kann.

Starke Kopplung von Wellen derselben Hauptmodengruppe liegt einer iiberaus ein-

fachen, geometrisch-optischen Theorie zugrunde, deren Ansatz von vornherein

keine Ubertriebenen Erwartungen an die Genauigkeit ihrer Voraussagen aufkommen

3.3 Flecken-Interferometrie

läßt. Alle ihre Aussagen stützen sich auf eine Fernfeld-Leistungsverteilung,

die bei gleichförmiger Anregung aller Moden gemessen wird. Die mit Tischrech-

nern bestimmbaren Impulsverbreiterungen weisen Abweichungen von den Meßwerten

auf, die in derselben Größenordnung liegen wie bei den weitaus aufwendigeren,

skalar-optischen Methoden. Solange also nicht verfeinerte Verfahren es gestat-

ten, die erwähnten Störeinflüsse mit vertretbarem Aufwand meßtechnisch zu er-

fassen und in eine erweiterte, skalar-optische Theorie einzubauen, ist es nur

konsequent, sich primitiver, geometrisch-optischer Modelle zu bedienen, die zu

der herkömmlichen, wenig differenzierenden Meßtechnik passen.

Bei kurzen, meterlangen Faserstücken dagegen sind skalar-optische Rechenmetho-

den angebracht und liefern Impulsbreite-Voraussagen akzeptabler Genauigkeit.

Verknüpft man die Meßergebnisse der Impulsverbreiterung von kilometerlangen Fa-

sern mit den skalar-optischen Rechenwerten für meterlange Abschnitte, wobei man

die in der Regel vorhandene Profilinformation nutzen und eine weitere Messung

nach Abschnitt 3.3 vermeiden kann, so erhält man eine zusätzliche Information

über die Langenabhängigkeit der Impulsverbreiterung und damit über das Ausmaß

der Modenkopplung im betrachteten Wellenleiter.

1+2-F_le~kenzInterf S Z ~ E C ~ ~ L S - L F ~ S ! ~ ~ L - F Z ~ ~ Z ~ G ~ S L - L ! - B ~ ? G ~ ~ L - E ~ ~ ? ~

Die Uberlagerung sehr vieler, kohärent angeregter Fasermoden wird von einem

quadratischen Detektor (wie z. B. dem Auge) als kompliziertes Interferenzbild

registriert: diese ungeordnete Vielzahl heller und dunkler Flecken wird auch

Granulationsmuster genannt und verursacht das Modenrauschen [Grau, ONTI. Ober

das Aussehen vergleichbarer Granulationsmuster im Nah- und Fernfeld sowie bei

Betrachtung schräg zur Ausbreitungsrichtung informiert [Schiffner, E211 sehr

ausführlich. Neue Darstellungen sind bei [Dainty, L11521, [Takai, L32631 zu

finden. Bild 3.6 zeigt Nahfeldaufnahmen der Granulation einer Gradienten-

(a,b) und einer Stufenprofil-Faser (c,d) mit räumlich und zeitlich kohärenter

(a,c) bzw. zeitlich weniger kohärenter (b,d) Lichtanregung am Fasereingang.

Gradienten- und Stufenprofil-Lichtleiter führen nach Gl.(F6-3) und a r~ 2,

V = 34 bzw. a + -, V = 39 eine Anzahl von M = 290 bzw. M = 760 Moden, so daß '3 9

der größeren Zahl von geführten Eigenwellen die kleinere Fleckgröße entspricht. 2 Im Nahfeld wird die kleinste auflösbare Fläche ak(r)n bei der Radiuskoordinate

r der Faserendfläche durch den lokalen Abstrahl-Raumwinkel ilk = G(r)n der Fa- 2 ser bestimmt, Gl.(F3-17), während die kleinste Raumwinkel-Auflösung Ak(y)n beim

2 Fernfeldwinkel y von der Fläche Fk = aN(y)n abhsngt, die zum Feld bei y bei-

trägt. Aus G1. (F4-6) im Vakuum n = 1 erhält man

2 2 Unterstellt man Potenzprofile Gl.(F1-2, 4 ) , so berechnet man aus %(r) = %.

2 2 2 [l - (r/a)a] = sinZy den Radius aN(y) = a [1 - sin y/4l2Ia. Mit der transversalen


Bild 3.6. Granulation des unpolarisierten Nahfelds

@@ Gradientenprofil-Faser (B1 98, Bild 3.21 mit maximalem bzw.

qerinqem Kontrast (M = 290) 9 0 @ Stufenprof il-Faser mit maximalem bzw. qerinqem Kontrast

(Mq = 760).


Modenanzahl MT, Gl.(F4-5, 7), die gleich der halben Anzahl geführter Moden M 9

in beiden Polarisationen ist, GI. (~6-3), = M /2 = & (ak0AN/2) (a Kernra- 9

dius, ko Vakuum-Ausbreitungskonstante, % numerische Faserapertur), ergibt sich schließlich

- - 2

Folglich wächst bei Gradienten-Fasern der durchschnittliche Radius heller und

dunkler Flecken ak bzw. Ak im Nah- bzw. Fernfeld mit der Entfernung von der Fa-

serachse. Gleichzeitig reduziert sich die mittlere Leistung eines Flecks nach

G1.(6-14, 15a), so daß ein Detektor mit festem Schwellenwert (dem eine kon-

trastreiche Photographie wie im Bild 3.6 oder auch das Auge entspricht) keine

wesentliche Veränderung des Fleckradius erkennt. Für Stufenprofil-Fasern a + - findet man das anschauliche Resultat, daß die mittlere Fläche eines Flecks

gleich der von der Faser erleuchteten Fläche ist, dividiert durch die Sunune MT

von hellen und dunklen Flecken. G1.(3-6b) versagt wegen des geometrisch-opti- 2 2 schen Ansatzes für Ak(r), ak(y) in der Nähe von r = a, siny = h.

3.3.1 Kontrast, Frequenzkorrelationsfunktion, Quellen- und Faserbandbreite

Verbiegt man den Lichtleiter oder verschiebt die Frequenz der Lichtquelle, dann

variieren die Laufzeitdifferenzen der Moden und das Granulationsmuster verän-

dert sich in Position und Form der Flecken; die Anzahl heller und dunkler Be-

reiche bleibt im Mittel konstant. Ein Beobachter wähle von diesen MA Flecken

eine Anzahl % aus, Bild 3.6a, 2 . B. mit einer ~1end.e. Registriert werde das

mittlere Schwankungsquadrat 6 ~ 2 und der quadrierte Mittelwert F: der Leistung U -

aller % Flecken an einem Faserensemble. Der Quotient -

wurde von [Grau, ONTl als quadrierter Kontrast CAB des Granulationsmusters de-

finiert und aus Beziehungen der Stichprobentheorie [Fisz, L21931 mit MA und

verknüpft. Der Kontrast eines einzigen Flecks bleibt entsprechend der exponen-

tiellen Wahrscheinlichkeitsdichte seiner Leistung immer gleich eins, wenn das

Granulationsmuster maximalen Kontrast hat. Die Anzahl MA,% unabhängiger Flek-

kcnist gemäß Gl.(F4-5) als Gesamtzahl der transversalen (MTA,MTB) und longitu-

dinalen Freiheitsgrade (MLA,MLB) des Feldes zu interpretieren,

M = 2 M M Mg = 2MTBMLBr (3-7b) A TA LA'

wobei der Faktor 2 die beiden orthogonalen Polarisationen erfaßt. Transversale

Flecken, deren Größe in G1.(3-6) berechnet wurde, unterscheiden sich in ihrer

transversalen Position auf der Faserendfläche. Longitudinale Flecken differie-

ren in der Frequenz der sie konstituierenden Felder. Ihre Anzahl hängt ab voln


Verhältnis der Lichtquellenbandbreite Afs zur sogenannten Korrelationsbandbrei-

te Af des Lichtleiters, k

Af bezeichnet diejenige Frequenzverschiebung der Lichtquelle von f auf k s fs+Afk, bei der sich wegen der unterschiedlichen Gruppenlaufzeiten t der

9m einzelnen Moden m (m bezeichnet hier allgemein Wellen mit Modenindizes v p ) eine

maximale Phasendifferenz Aw (t k gm- tgn)max = 2n ergeben hat, also

Afk = 1/T, T = (t gm - tgn)rnaxr (3-7d)

so daO statistische Unabhängigkeit der um Afk in der Frequenz verschiedenen Gra-

nulationsmuster angenommen werden darf.

Eine sehr einfache Formulierung des Zusammenhangs zwischen Granulationskontrast

C, Korrelationsbandbreite Afk und Quellenbandbreite Afs wurde von [Freude, Grau,

L23581, [Freude, Fritzsche, Grau, L33911 angegeben für den Fall, daO der Detek-

tor kleiner als die Fleckgraße nach G1.(3-6) ist, so da8 MTB = 1 qilt. Besteht

eine Quelle aus Af /AfM äquidistanten Linien im Abstand AfM, und hat jede Linie S

dieselbe Breite Af dann erhält man für vielwellige Fasern MTA» 1 an Stelle I' von G1.(3-7a) in einer Polarisation

1 Af 5 Afk S

Af M I Afk< Afs (3-8)

AfM/Afs AfI< Afk< Af,

Afk5 Af,.

Für Quellen mit nur eine.r Linie der Breite Afs qilt Af, = AfM = Afs Mißt man

den Kontrast C und kennt entweder die Quellen- oder die Korrelationsbandbreite

der Faser, kann die jeweils dritte Graße bestimmt werden. Messungen [Freude,

Grau, L23581 bestätigten G1.(3-8).

Aus den Gl.(F6-20, F1-3) erhält man bei vernachlässigter chromatischer Disper-

sion für die maximale Laufzeitdifferenz die Abschätzung

bei einem Wellenleiter der Länge L, der maximalen Kernbrechzahl nl, der Grup-

penbrechzahl n im Mantel und der numerischen Apertur AN; C ist die Vakuum- 9 2

Lichtgeschwindigkeit.

Die angeführten Uberlegungen konnten von [Freude, Fritzsche, Lu Shanda, E 4821

verfeinert und erweitert werden. Ziel war es vor allem, die Ubertragungsband-


breite der Faser mit dem Kontrast C und der Linienform der Lichtquelle in Be- ziehung zu setzen, d. h. die Abschatzung G1.(3-8) detaillierter zu formulieren.

Eine schmalbandige, ergodische Lichtquelle mit reinem Kreuzspektrum werde wie + in Gl.(F4-1) durch ihr analytisches Signal als Funktion des Ortes r und der

Zeit t beschrieben, - + jwst ys(;,t) = A,(~)B~(T)~ I ~ f , f,. (3-10)

Die spektrale Halbwertsbreite Afs sei viel kleiner als die mittlere Frequenz

= ws/(2n). Diese Quelle rege einen Wellenleiter an mit M orthogonalen Moden fs + r . Die Wellenausbreitung in jedem Modus erfolge verlustfrei. Die Ortsabhän-

gigkeit der Lichtquelle sei durch die Moden $,n(;) vollständig zu entwickeln.

Die zugehörigen Anregungskoeffizienten heiRen cm, die analytischen Moden-Im-

pulsantworten gm(t), G1. (F7-13) mit am = 0. Nach GI. (F4-3a) erhalt man am Aus- +

gang des Wellenleiters im Punkt rG das analytische Sumenfeld

2 FUr die Leistung P (f ) = AFIG = i(~y~(;~,t~) I ) AF in einer differentiellen G s t0 Fläche AF, zentriert auf den Ort ZG, erhält man durch Mittelung (...) in ei-

nem Zeitintervall der Länge l/Afs nach Gl.(F4-4b) t0

yAA ist die normierte Autokorrelationsfunktion des schmalbandigen Amplituden-

Prozesses As(t). yAA(t) bezeichnet die Einhüllende der normierten Quellen-Auto-

korrelationsfunktion. PS steht für die gesamte mittlere, in die Faser eingekop-

pelte Quellenleistung.

, , I I I , I ; I , I ; , . i . . 1 , . I , I I I : , I i r . I i 8 , I l i i i i. lk;


2 Lokaler Kontrast CG = GP;(~,)/P (f ) und lokale Frequenzkorrelationsfunktion -. G s pG(f) = GPG(fS)6PG(fs + f)/6p;(fs) [liawson, L949, L10581 werden als Mittelwerte

... über ein Faserensemble definiert, das mit Licht gleicher räumlicher und spektraler Verteilung angeregt wird. Die Mittelung bezieht sich auf die Phasen

a ~ c i ~ ~ ( t ) l , die stark fluktuieren mögen und sich deshalb so verhalten, wie wenn

sie im Intervall (0.21~) gleichverteilt wären. Um global charakterisierende Grö-

ßen zu gewinnen, werden die Momente bezüglich des Faserensembles im Kernbereich

örtlich gemittelt. Das Zeichen (...)G bedeutet eine Mittelung über die im Kern

zugelassenen Positionen i! Man erhält dann für den globalen Kontrast C und die G ' globale Frequenzkorrelationsfunktion p(f) die Definitionen

Setzt man G1.(3-12) in G1.(3-13a, b) ein, so folgt nach längerer Rechnung

Die Ergebnisse der G1.(3-13) gelten für beliebige Wellenleiter unter den fol-

genden Voraussetzungen:

1. Die schmalbandige Lichtquelle Afs« fs hat ein reines Kreuzspektrum, d. h.

eine Faktorisierung in Zeit- und Ortsfunktion ist möglich (vgl. Text nach

Gl. (Fa-I) 1 .

2. Zufallsprozesse sind ergodisch.

3. Der verlustarme Wellenleiter führt M » 1 orthogonale Moden. Modenkopplung

wird vernachlässigt. Für die Halbwertsbreite Af der Modenübertragungsfunktion - 9," &,(f) (Fourier-Transformierte der Impulsantwort gm(t), die auf die Gruppenlauf-

Zeit t des Modus m zentriert ist) gelte Ais« Af « fs. Bei verlustlosen Wel- gm 9

ienieitern ist 1; (fs) I = I für alle m, GI. (~7-13), und der Nenner in GI. (3-1 3a) Jn

wird 1.

4. Die Frequenzverschiebung f sei wesentlich kleiner als die reziproke effekti-

ve Schwankung der Gruppenlaufzeit-Differenzen t - t im Wellenleiter-Ensem- gm gn

ble, f « l / d m

5. Um den Ortsmittelwert (...)G ZU berechnen, muß der Ausdruck 1 + 2 1 + 2 6,,,(rG) 1 216n (rG) I )G ausgewertet werden. Für planare Schicht- und rechtek-

kige Stufenprofil-Wellenleiter, die sehr viele Moden führen, können die Felder


* Om(r ) durch Sinus-Funktionen genähert werden; im Falle der Stufenprofil-Faser G werden die Erqebnisse des rechteckigen Stufenprofil-Wellenleiters näherungswei-

se benutzt. Man erhält 1 2 1 * 2 C ) 1 2)G = const ( I m G I 21#n(rG) I )G - G unabhängig von den Modenindizes m, n, L, wenn über den Wellenleiterquerschnitt

gemittelt wird; der zweite Gleichungsteil entspricht der Orthogonalitatsrela- 1 2 2-t tion *J - ( 0 (; ) I d rG = 1, vgl. G1. (F2-8). Für Gradientenprofil-Fasern ist rG2 L G

diese Approximation schlechter, weil die Felder vom sinusförmigen Verlauf deut-

lich abweichen. An einer idealen Parabelfaser Gl.(Fl-5) mit dem Eigenfunktio-

nensystem der Gauß-Laguerre-Moden Gl.(F2-7) läßt sich jedoch numerisch zeigen,

daß

2 M m-1 1 ($l@,iCG) l 2 $l+n(;G) 12)G - 1,33 const M(M- n=l

- .. (statt const wie oben) gilt mit einer Standardabweichung der Summanden von

0,6 const. Diese Näherungsbeziehung trifft für V-Parameter im Bereich

16 1 V 5 38 zu; bei der Auswertung ist zu beachten, daß m = ( v p ) die Moden

durchnumeriert. Die einzelnen Moden waren zufällig gegeneinander rotiert. Bei

allen realen Fasern wird die Standardabweichung geringer sein, da der Einfluß

der Kern-Mantel-Grenze die Felder im Kern sinus-ähnlicher verteilt.

1 * 2 1 * 2 Als Folge dieser Ergebnisse wird der Mittelwert (TI #,(rG) I T l On(rG) 1 )G als konstant und von den Modenindizes m t n unabhängig angesehen, so daß sich die-

ser Faktor in den G1.(3-13a, b) herauskürzt und in G1.(3-13c) nicht mehr er-

scheint.

6. Mittelwerte über das zeitinvariante Wellenleiterensemble sollen durch Zeit-

mittelwerte an einem Wellenleiter ersetzt werden; dessen Modenausbreitungskon-

stanten 6, fluktuieren,zufällig. Hat das Spektrum dieser Schwankungen eine

charakteristische Eckfrequenz Af und wird die schwankende Leistung PG(fs) mit 0 ' einer elektronischen Bandbreite Af detektiert, dann möge mit der spektralen P Quellenbreite Afs die Größenordnungsbeziehung Af6 « Afp« Afs gelten.

Physikalisch kann G1.(3-13c) folgendermaßen interpretiert werden: Moduliert man

die mittlere Quellenleistung,

dann wird das Quellensignal mit J1 +m(t) (als Phase der Modulation wurde null

angenommen) verändert, G1. (F7-14) mit Mo = 1. Entsprechend ist in G1. (3-12a) - ,. yAA(t2 - tl) durch J1 +m(t - tl) J1 + m(t - t2) yAA(t2 - tl) ZU ersetzen. Die gesamte Leistung PL(t) am Ende eines Wellenleiters der Länge L erhält man durch In-


tegration von P (f ) über die Querschnittsfläche, wobei wegen der Orthogonali- G S tät der Moden die Kreuzterme der Doppelsumme von G1.(3-12a) keinen Beitrag liefern, Gl.(F7-15). Mit verschiedenen Annahmen läßt sich das Wurzelprodukt durch

m(t - tl m(t - t2) l + 2 + 2 nähern, G1. (F7-16) :

7. Entweder fordert man Kleinsignalmodulation m(t) << 1, oder Schmalbandmodula-

tion, wobei m_(f), die Fourier-Transformierte von m(t) nach Gl.(F3-lß), eine

spektrale Halbwertsbreite Afm habe, die wesentlich kleiner sei als die spektra-

le Halbwertsbreite Af der Modenübertragungsfunktion G (f), Afmc Af 9 3 9'

Aus Gl.(F7-17) erhält man dann in vereinfachter Schreibung

h(t) heißt Leistungs-Impulsantwort des Wellenleiters und hängt im Gegensatz zur

Moden-Impulsantwort ym(t) von den Anregungsbedingungen und den iiohärenzeigen-

schaften der Quelle ab.

Beachtet man die Voraussetzung 3, daß die Lichtquelle monochromatisch im Ver-

gleich zur Modenbandbreite Af sei und folglich chromatische Dispersion ver- 9

nachlässigt werden darf, dann kann man nach Gl.(P7-19) das Betragsquadrat der

Leistungs-Ubertragungsfunktion I h(f) 1 angeben, wobei Y =(tgm- t Y=(O) = 1 gn ist,

Vergleicht man die Gln.(3-15, 13c), so erkennt man, daß für eine monochromati-

sche Quelle Iz(f) 1 = Ih(f) 1 gilt. Der Kontrast wird C = 1. Die Frequenzkorrela-

tionsfunktion entspricht dem Betragsquadrat der Leistungs-Ubertragungsfunktion, 2

~ ( f ) = Ih(f) 1 .

Hat man daher mit einer beliebigen Quelle p(f) gemessen und die Parameter der

Funktion G1. (3-13b) den Meßwerten angepaßt, kann man anschließend p(f) für

Afs+O berechnen und die Faserbandbreite Afh aus p(Afh) = 1/4 bestimmen. Chroma-

tische Dispersion wird dabei vernachlässigt. Das ist zulässig, weil selbst für

breitbandige Gradienten-Fasern typische Halbwertsbreiten Ath der Leistungs-Im-

pulsantwort h(t) bei Ath/L = 1 nskm-' liegen, wahrend nach Bild F10 fUr Wel- M -1 -1 lenlängen h ?0,8 pm die Materialdispersion ( ~ ~ 1 i 0,l nskm nm bleibt. Sub- s

trahiert man für diesen ungünstigen Fall und eine typische Quellen-Linienbrei-

te von AAS = 2 nm Ath und Farbdispersion quadratisch, vgl. Gl.(F7-20a. 5), SO

resultiert ein Moden- oder Laufzeitdispersionsanteil J1 - 0,04 ns km-' =

0.38 ns km-', der um nur 2 % von der Gesamtverbreiterung abweicht.


zur weiteren analytischen Untersuchung von G1.(3-13) müssen Modelle für die Fa-

ser und die Lichtquelle angegeben werden. Die Impulsantwort einer Stufenprofil-

faser besteht nach Gl.(F6-20a) unter Vernachlässigung chromatischer Dispersion

aus einer Folge von 6-Impulsen, die gleichmäßig auf den Laufzeitbereich C 15- t 5 I + A verteilt sind; dabei ist die Modenciichte m(6) = iakonl ) nach Lng2 96

G1.(~6-5) konstant. Für verlustlose Wellenleiter gelte nach ~1.iF7-13)

1 = 1 für alle m. (3-1 6a)

Da jeweils benachbarte Moden einer Stufenprofilfaser dieselbe Laufzeitdifferenz

At haben, gilt

tgm - tgm-i = At, 2 1 m i M , T = (M- 1)~t. (3-16b)

Die Approximation G1.(3-16) bleibt auch für Parabelprofilfasern richtig: Zwar

wächst bei gleichem Inkrement d6 die Gruppenlaufzeitdifferenz dt -6 nach 96

Gl.(F6-20b), doch steigt gleichzeitigdie Anzahl der zugehörigen Moden wegen

mi6) -6 nach Gl.iF7-13) im selben Maße an, so daß man die gewichtete 6-Impuls-

folge mit wachsenden Laufzeitdifferenzen durch eine gleichförmig gewichtete 6-

Impulsfolge mit gleichen Laufzeitdifferenzen ersetzen darf. Die Summen in

G1.(3-10c) können wegen M » 1 in Integrale umgewandelt werden,

Weiterhin wird eine gleichförmige Anregung aller Moden vorausgesetzt, 2 - lcml - /cn12 = A. In Tabelle 3.7 sind die Ergebnisse für verschiedene Licht-

quellenspektren Bmif) (Fourier-Transformierte der Autokorrelation ym(t),

Gl.(F3-18)) zusammengestellt. verwendet wurde, beginnend mit G1.(3-17) Tabelle

3.7, eine monochromatische Linie, ein Lorentz- und ein Gauß-Spektrum der jewei-

ligen Halbwertsbreite Afs, eine Doppellinienquelle mit zwei monochromatischen

Linien im Abstand Afs und ein Viellinienspektrum mit beliebiger, aber icien-

tisch wiederholter Kurvenform der Einzellinien: die einzelne Linie BII(f)

hat eine Halbwertsbreite von AfI, der Linienabstand beträgt AfM und die

gesamte Halbwertsbreite des Spektrums wiederum Afs.

Im Bild 3.8 sind die G1.13-B, 18, 19, 20) für den Kontrast C graphisch darge-

stellt. Man sieht, daß die Abschätzung G1.(3-8) für eine Einlinienquelle

AfI = AfM = Af einem Meßwert C wesentlich zu hohe Quotienten Afs/Afk zuordnet, S

und daß aus dem Verlauf von C RUckschlüsse auf die spektrale Form der Licht-

quelle gezogen werden können.

Bild 3.9 zeigt den Kontrast für eine Viellinienquelle mit lorentz-förmigen Ein-

zellinien nach G1.(3-21) Tabelle 3.7 bzw. nach der Abschätzung G1.(3-8). Für

Quellenbandbreite, Linienabstand und -breite wurden die Verhältnisse

Af :AfM:Af = 100:lO:l gewählt, wie sie für Viellinienspektren bei Halbleiter- s I

3 . 3 Flecken-Interferometrie

, I , , , i., . , r , ; I , . , , I , ,I,,:, ,. . " 1 1 , , . , : d ' ~ . 1, # # ; , , . i , I , ( I ,. ; i I :.Li,;.. . i i i i ~ i IIII.I~I, ; . I . I ~ , , :;tiliii;i,dl,~lh!,II*~. ,,>Ir i u ~ i i i i i t:i


2 Bild 3.8. Kontrast C , C für verschiedene Quellenspektren. Die strichpunk- tierten Horizontalen markieren den sinnvollen Meßbereich.

0 gemessen [Freude, Fritzsche, Grau, L33911 mit einer Doppellinien-

quelle variablen Linienabstands Afs: Afk = 6 1 GHz (Gradienten-

faser, L = 3,2 m).

(nach [Freude, Fritzsche, LU Shanda, E 4821).

Bild 3.9. Kontrast C ffir eine Viellinienquelle mit Afs:AfM:Af = 100:lO:l. I Die Einzellinie bei der Kurve G1.(3-21) ist lorentz-förmig. Strich-

lierte Kurven ersetzen die Viellinienquelle durch ein 1-Linien-

Spektrum gleicher Breite, AfM = 0 bzw. AfI = AfM = Afs.


lasern mit AfI fi 10 GHz typisch sind, Bild 3.12. Strichliert eingetragen ist in

beiden Fällen der Kontrast, der sich für eine lorentz-förmige Einzellinie der-

selben Quellenbandbreite Afs aus G1.(3-21) Tabelle 3.7 für AfM = 0 bzw. aus

G1.(3-18) Tabelle 3.7 ergäbe, und die Abhängigkeit G1.(3-8) für AfI = Af = Af M 5'

Man erkennt, daß die Abschätzung G1.(3-8) im Vergleich zu G1.(3-21) für ein ge-

gebenes Verhältnis Afs/Afk, also für ein bekanntes Verhältnis von Quellen- und

Kohärenzbandbreite bzw. für ein festes Produkt AfsL, G1.(3-7d, 9 ) , zu große

Kontrastwerte liefert und damit auch zu hohes Modenrauschen voraussagen würde.

Das realistischere Modell der G1.(3-21) Tabelle 3.7 weist zwei deutlich unter-

schiedene Bereiche unterhalb und oberhalb des Abszissenwertes Afs/Afk = Afs/AfM

auf, die große Xhnlichkeit haben, wenn man von einer vertikalen Maßstabsver-

Schiebung absieht. Entsprechendes gilt für die Abschätzung G1.(3-8). Die beiden

Plateaus approximieren Bereiche, in denen man entweder die Einzellinien des

Viellinienspektrums nicht erkennen kann, Af 2 Afk, oder die Struktur einer Ein- s zellinie noch nicht auflöst, AfM2 AfkS AfI. Dieser charakteristische, wie für

G1.(3-21) abgerundete Verlauf konnte durch Messungen C = C(L-l/Afk) an ver-

schieden langen Faserstücken bestätigt werden [Dändliker, E4831, [Schmid,

L41501. Will man aus gemessenen Kontrastwerten auf die Quellen- bzw. Kohärenz-

bandbreite und von da Uber p(f) auf die Breite Afh der Leistungs-ubertragungs-

funktion schließen, so genügt es in vielen Fällen, vergleicht man die strich-

lierten und durchgezogenen Kurven von Bild 3.9, einen I-Linien-Ansatz auch

für eine Viellinienquelle zu machen.

Mehr Information enthält die Freq~enzkorrelationsfunktion p(f), die fiir ver-

schiedene Spektralbreiten Afs der 1-Linien-Lorentzquelle G1.(3-10) Tabelle 3.7

und für verschiedene Korrela t io 'nsbandbrei ten Afk im Bild 3.10 aufgezeichnet

ist. Diese Parameter können aus einer Anpassung gemessener Werte p(f) an die

Beziehung G1.(3-18) bestimmt werden.

3.3.2 Experimentelle Ergebnisse

Messungen wurden mit einem Aufbau nach Bild 3.11 durchgeführt. Eine 1-Linien-

Quelle (Mitsubishi: TJS-Laser, Xs = O,89 um) oder eine Viellinienquelle (AEG

V-Nut-Laser, Xs = 0.82 um) ist auf A = i0,01 K genau temperaturgeregelt und

wird iiber die 1-pH-Drossel, die den 50-Cl-Impulseingang entkoppelt, mit einem

hochstabilisierten und fein verstellbaren Gleichstrom I gespeist. Zwei Mikro- skopobjektive kollimiergn und fokussieren das Licht. Ein zwischengeschalteter

Gittermonochromator mit einer Auf ltisung AX 2 0,2 fi unterdriickt entweder Nebenmo- den des 1-Linien-Lasers oder selektiert Anteile des Modenkamms beim Viellinien-

2 laser. Das Licht wird über eine angerauhte (1000 Körner/mm ) Endfläche in die

Faser eingekoppelt und regt deswegen eine nahezu gleichförmige Modenleistungs-

verteilung an (Approximation eines ~ambert-Strahlers Gl.(F6-10) und folgender

Text). Das Fernfeld enthält wegen der TransformationsbeziehungGl.(F3-3) diesel-

be Information wie das Nahfeld und kann folglich in gleicher Weise zu Aussagen


Bild 3.10. Frequenzkorrelationsfunktion ~ ( f ) einer Lorentz-1-Linien-Quelle

nach G1.(3-18) Tabelle 3.7 mit der Bandbreite Afs, berechnet für

eine Stufenprofilfaser der Kohärenzbandbreite Afk.

X, o, Meßwerte fiir ~ ( f l ,

A Meßwerte für Af h' A erwartete Afh von G1.(3-13) Tabelle 3.7 für Afs = 0.

(nach [~reude, Fritzsche, Lu Shanda, ~4821).

ibgetastete Zeile

Zeilen- Abtaster

32 X TV- Tisch- Kamera rechner

Monitor

- - P

-

Bild 3.11. Meßaufbau zur Registrierung der Frequenzkorrelationsfunktion p(f)

bzw. des Kontrasts C. I-Linien-Quelle LD (Mitsubish TJS-Laser,

hS = O,B9 um) oder Viellinienquelle (AEG V-Nut-Laser,

A s = 0,82 um). Die TV-Kamera kann durch einen kleinflächigen De-

tektor ersetzt werden. Die Schleifen der Faserrolle lassen sich

durch einen Luftstrom oder mit einer mechanischen Vorrichtung zu-

fällig bewegen.

- - T -


Bei Impulsmodulation der 1-Linien-Quelle vom Bild 3.11 wurden gauß-förmige

Lichtimpulse der zeitlichen Halbwertsbreite 200 ps in die Faser injiziert und

Ausgangsimpulse der Halbwertsbreiten Ath = 220 ps, 285 ps, 490 ps gemessen.

Berechnet man für Gauß-Impulse mit Aih a 0,44/j-~ die auf eine Refe-

renz-Impulsbreite AtRef bezogenen Ubertragungsbandbreiten Afh = 2,2 GHz,

1,4 GHz, 0,82 GHz bei den Faserlängen L = (20-3,5)m, (50-20)m, (50-3,5)m,

so kann man diese Meßwerte in Form eines Bandbreite-Länge-Produkts Af L 0,86 - - h 69 MHz km Olß6 ausdrücken. Für die Faserlängen L = 3,5 m, 20 m, 50 m folgen

daraus die Faserbandbreiten Afh = 9 GHz, 2 GHz, 0,9 GHz, geftillte Dreiecke im

Bild 3.10. Diese Zahlen weichen im Mittel um -27 3 von den aus G1.(3-22a) und

um +14 3 von den aus G1.(3-22b) berechneten Werten ab, jedoch ist der Fehler

der Frequenzverschiebung f und damit der Korrelationsbandbreite Afk mit

+ 370 MHz so groß, daß man an Hand dieser Ergebnisse keines der beiden Faser- modelle als besser erkennen kann.

Die aus Bild 3.10 errechnete Quellenbandbreite von im Mittel 280 MHz wich um

nur +10% von der Spektralbreite ab, die mit' einem Michelson-Interferometer ge-

messen wurde [Freude, Fritzsche, Lu Shanda, E4821.

Hat man die Frequenzkorrelationsfunktion gemessen und damit die Korrelations-

bandbreite kalibriert, so kann man aus einer Kontrastmessung auf die Quellen-

bandbreite beliebiger Lichtquellen schließen. Für die unterstellten ergodischen

Prozesse ersetzt man die Ensemble-Mittelung in G1.(3-13a) durch die zeitliche -. + Mittelung der Leistung P (f ) am Ort r = rG bei zufällig bewegter Faser und G S mittelt die berechneten Momente für verschiedene ZG. Als zweite Möglichkeit bietet sich die örtliche Abtastung des stillstehenden Granulationsmusters an,

am besten entlang eines zentrierten Kreises, vgl. die Bemerkungen zu p(f) vor

G1.(3-22a). Das letzte Verfahren eignet sich besonders für die Auswertung pho-

tographisch oder numerisch gespeicherter Granulationsmuster [Freude, Grau,

L23581, während die erste Methode für die direkte Messung am einfachsten ist.

An den im Bild 3.10 untersuchten Faserstücken der Längen L = 3,5 m, 20 m, 50 m

wurden mit dem 1-Linien-Laser (Afs a 300 MHz) Kontraste von C = 0,96, 0,92,

0,83 gemessen, was mit den angegebenen Kohärenzbandbreiten unter Annahme einer

Lorentz-Linie Bild 3.8 auf Afs = 760 MHz, 360 MHz, 410 MHz führt. Wie noch ge-

zeigt werden wird, G1.(3-24), sollte für ausreichende Meßgenauigkeit die Be-

dingung 0,45 Ci0,9, 0,121Afs/AfkS l,8 eingehalten werden, Bild 3.8, was für

die Faserlänge L = 3,5 m nicht möglich war. Mittelt man die beiden kleineren

Zahlen für Afs, so resultiert Afs = 380 MHz; die aus Bild 3.10 berechneten

Quellenbandbreiten sind im Mittel um 26%, die interferometrisch ermittelte Breite ist um 363 kleiner. Die drei Experimente waren zeitlich soweit Ver-

setzt, daß sich wegen der Alterung des Lasers die Injektionsströme deutlich un-

terschieden.


Bild 3.12 demonstriert den Einfluß der optischen Verstärkung auf die Linien-

breite. Verschiedene Einzellinien des spektrums Bild 3.12a wurden in die Stu-

fenprofilfaser L = 3,5 m von Bild 3.10 eingekoppelt. Die aus dem Kontrast

G1.(3-18) Tabelle 3.7 bestimmte Lorentz-Linienbreite ist im Bild 3.12b als

Funktion der mittleren Linien-Wellenlänge dargestellt. Kreise markieren die

Meßwerte. Die durchgezogene Kurve wurde aus der angepaßten Funktion

Af, m 5,3 GHz (1 +0,14/PA) (3-23)

errechnet; PA bezeichnet die Maxima jeder Linie in den relativen Einheiten des

Bildes 3.12a. Man sieht, daß die minimale Einzellinienbreite für diesen Laser-

typ 5,3 GHz beträgt, während bei 10% der Maximalleistung 13 GHz zu erwarten

sind, so daß im Mittel Af m 10 GHz approximiert werden kann. I

Mit zwei thermisch abgestimmten, gleichartigen I-Linien-Lasern wurde ein weite-

res Experiment durchgeführt [Freude, Fritzsche, Grau, L33911. Der Kontrast wur-

de an einer 3,2 m langen Gradientenprofilfaser B 198 (Bild 3.1, 3.2, 3.3, 3.4,

Tabelle 3.5, Bild 3.6a, C) als Punktion des Linienabstands Afs gemessen und mit

Afk = 61 GHz an den funktionalen Zusammenhang der G1.(3-20) Tabelle 3.7 ange-

paßt, Kreise im Bild 3.0 [Freude, Fritzsche, Lu Shanda, E4821. Aus G1.(3-22a)

erhalt man eine Ubertragungsbandbreite (ohne Modenkopplung) von Afh.L = 120 MHz

km entsprechend Ath/L = 3,6 ps/m. Aus skalar-optischen Rechnungen für das

gemessene Brechzahlprofil ergeben sich nur 20% bis 30% geringere Impulsver-

breiterungen, Tabelle 3.5. Für einen L = 2 km langen Faserabschnitt wurde Ath =

1.6 ns gemessen entsprechend Afh = 275 MHz, so daß sich ein Bandbreite-Länge-

Produkt von A ~ ~ L O " = 480 MHz km0" errechnen läßt. Wie man aus dem zwischen

0,5 und 1 liegenden Längenexponenten schließen kann, hat Modenkopplung erhebli-

chen Einfluß.

Der Kontrast C ist nur mit einer relativen Genauigkeit von AC/C zu messen.

Liest man daher für eine lorentz-förmige I-Linien-Quelle aus Bild 3.8 bzw.

G1.(3-18) Tabelle 3.7 das Verhältnis Afs/Afk ab, so beträgt der relative Fehler

Bild 3.13 stellt G1.(3-24a) als Funktion von C dar. Die Ordinate gibt an, mit

welchem Faktor sich der Meßfehler AC/C multipliziert. Erscheint die Genauigkeit

A(Af /Af )/(Af /Af ) = 30% ausreichend, kann für C = 0.9 ein Kontrastfehler s k s k von nur 3 % toleriert werden, während für C( In ein Meßfehler von wenigstens 8 % erlaubt ist.


@ \

ei:qesteiite Auf lösunq 0,4 2

8 7

Af -5,3 GHz (1 +0,14/Pa) 4 ,--. 820 821 nm 822

Bild 3.12. @Spektrum eines Viellinienlasers (AEG V-Nut-Laser, As = 0,82 um)

B~orentz-~inienbreite Af selektierter Linien I

0 Meßwerte mit Stufenprofilfaser L = 3,5 m

anqepaßte Funktion

Bild 3.13. Xontrastfehler-Multiplikator G1.(3-24) für das Verhältnis Afs/Afk

einer lorentz-förmiqen l-Linien-Quelle G1.(3-18) Tabelle 3.7.

Dicke Linien markieren den nutzbaren MeRbereich.


Kontraste waren ab G1.(3-8) an polarisierten Granulationsmustern definiert.

Entfernt man im Bild 3.11 den Polarisator, so reduzieren sich Kontraste in Be-

reich 0,6ICS l nach G1.(3.7a, b) auf Werte von 0,4rCS 1fi. Im Experiment sind Absolutfehler von AC = 0,02 zu beobachten, wenn man über viele Meßwerte für

0,4SC50,9 mittelt. Aus diesen Uberlegungen ergibt sich ein nutzbarer Kontrast-

bzw. Afs/Afk-Bereich von

0,4<C50,9, 0,12SAfs/Afki 1,8 (Lorentz-Linie) (3-24b)

mit Afs/Afk-Fehlern unter 11 % . Dabei ist ein Polarisator derart zu verwenden, daß die gemessenen Kontrastwerte im Bereich 0,42 C I 1 / f i liegen. Alle disku-

tierten Messungen wurden nach diesen Regeln durchgeführt.

Bei der Ableitung von Tabelle 3.7 wurde gleichförmige Anregung aller Moden an-

genommen und im Experiment mit Hilfe der rauhen Einkoppelfläche approximiert.

Wie numerisch verifiziert wurde, ändern abweichende Modenleistungsverteilungen

nicht die Gestalt der Kontrast- und Frequenzkorrelations-Kurven. Die aus p(f)

gemessene Korrelationsbandbreite ist daher als effektive Breite Afk zu sehen,

die global die spezielle experimentelle Situation erfaßt.

Bei Voraussetzung 5 wurde im Abschnitt 3.3.1 vermerkt, daß fUr Gradientenprofil- 1 -r 21 Fasern die Standardabweichung vom örtlichen Mittelwert ( I 1 I 1

bei Veränderung der Modenindizes m + n größer war als für Stufenprofil-Fasern. Der Einfluß dieser Variation ist genau derselbe wie die Abweichung der Kopp-

lungskoeffizienten cm von der nach G1.(3-16b) geforderten gleichf8rmigen Moden-

anregung. Daher bleibt auch in diesem Fall die Struktur der Kontrast- und Fre-

quenzkorrelations-Kurven erhalten. Wird die effektive Korrelationsbandbreite

Afk Z. B. mit einer Doppellinienquelle über den Kontrast kalibriert, kann wie

zuvor die Bandbreite verschiedener Lichtquellen gemessen werden. Der Schluß von

Afk auf die Leistungs-Bandbreite Afh nach G1.(3-22) ist £Ur Gradientenprofil-

Fasern allerdings mit größeren Fehlern behaftet als fiir Stufenprofil-Lichtlei-

ter .

Mit kommerziell erhältlichen Fasern geringer Dämpfung (3 dB/km bei X = 0,82 iim)

und geringer Bandbreite (AfhL = 10 Wlzkm) kann man für eine Faserlänge von

L = 2 km eine Auflösung von Afs = 1 MHz erwarten.

4 Modenanalyse

4 Modenanalyse

Alle Aussagen über vielwellige Lichtleiter, wie sie aus Dämpfungs-, Rückstreu-

und Bandbreitemessungen gewonnen werden, setzen Informationen Uber den Anregungs-

zustand der einzelnen Moden voraus. Eine solche Modenanalyse ist im Grunde nur

der Spezialfall einer allgemeinen Feldanalyse, bei der ein physikalisches Fa-

serfeld nach beliebigen Orthogonalfunktionen, in diesem Falle den Fasermoden,

entwickelt wird. Bei vielwelligen Lichtleitern sind vereinfachte Verfahren nach

geometrisch-optischen Prinzipien möglich, deren Aussagekraft jedoch wegen der

vernachlässigten Beugungseffekte gering ist. Wellenoptische Methoden sind we-

sentlich genauer und können auch bei einwelligen Fasern sinnvoll angewendet

werden, vgl. die Nah- und Fernfeldentwicklungen nach Gauß-Laguerre-Moden von

Abschnitt 2.1 G1.(2-3). In Korrelationsanordnungen mit holographischen Filtern kann man die Kopplungskoeffizienten für die einzelnen (zweidimensionalen) Or-

thogonalfunktionen mit analog-optischen Mitteln berechnen, was sowohl den meß-

technischen, als auch den numerischen Aufwand drastisch reduziert. Eine solche

Apparatur stellt das zweidimensionale Analogon zu üblichen Spektrumanalysatoren

dar, welche die Betragsquadrate der Fourier-Komponenten von (eindimensionalen)

Zeitfunktionen analog berechnen.

Modenanalyse und Modenanregung sind duale Prozesse und können alternativ disku-

tiert werden; die analysierten Eigenwellen anzuregen, gelingt im wesentlichen

durch Umkehren des Strahlengangs.

4.1 Geometrische Opt_ik

Die geometrische Optik operiert mit Lichtstrahlen, einer mathematischen Fiktion,

welche Beugung ignoriert. Lichtstrahlen werden durch Blendenanordnungen mit in-

kohärenten Quellen approximiert oder als annähernder Gauß-Strahl Gl.(F3-15) von

Laser-Oszillatoren oder auch einem einwelligen Lichtleiter geliefert. Immer ist

ein Kompromiß zu schließen zwischen der minimalen räumlichen Querabmessung des

Strahls, charakterisiert durch den Strahlradius wOG, und seinem maximalen Diver-

genzwinkel y M 2/(k0wOG), vgl. auch G1.(~3-17). im Abschnitt F2 wurde im Rah- 0 men der skalaren Optik für ideal parabolische Fasern bereits diskutiert, mit

welchen Hau~tmoden-Leistungs-Kopplungskoeffizienten pm ein achsenparallel an

der Stelle r = ro einfallender Gauß-Strahldes Strahlradius wOG die Iiauptmoden

m = V + 2 ~ - 1 anregt, wenn mit dem Strahlradius wo des Fasergrundmodus wOG = wo

gilt, Gl.(F2-27). ~aximale Anregung der Hauptmodengruppe m erhält man man unter

der Bedingung G1. (F2-29), nämlich wenn

m ro 2 M ) ,

was auch strahlenoptisch in Gl.(F6-9) errechnet wurde. M2 ist die maximale

Hauptmodenzahl für ideale Parabelprofile, M die Anzahl geführter Moden, 6 die 9


normierte Ausbreitungskonstante. Die Modenselektivität einer solchen Einkopp-

lung ist gering. Nur der Grundmodus kann isoliert angeregt werden. Als Band-

breite der Anregung wird die bezogene Differenz Am/m derjenigen 1.lauptmodenzah-

len definiert, deren Leistungs-Ropplungskoeffizient bei Anregung an der Stelle

ro ' 4 - 1 gleich dem halben Wert für die Hauptmodenzahl m ist. Wenn

I < m < 16 gilt, bleibt Am/m> 50 % , Gl.(F2- 27 , 28, 29, 30), wobei höchstens 1/4 der injizierten Leistung in der gewünschten Hauptmodengruppe m propa-

giert.

In geometrisch-optischer Sicht genügt es, den Austrittspunkt r und die Aus-

trittswinkel Y, * zu spezifizieren, vgl. Bild F8. Dann können die Modenzahlen 6, V aus Gl.(F6-8) angegeben werden, wenn Profilfunktion g, numerische Fa-

serapertur AN und Kernradius a bekannt sind,

6 2 sin Y v = I. sin Y - a=9(:)+ 7, V a AN Isin~iI AN

Bei Stufenprofilfasern lassen sich die Meridionalstrahlen V = 0 sehr gut

mit ebenen Wellen lancieren, z. B. mit einem um y in radialer Richtung ge-

neigten, aufgeweiteten Laserstrahl.

Bild 4.1 zeigt eine strahlenoptische Filteranordnung zur Modenanalyse nach

G1.(4-2). Die Faserendfläche wird mit einem Linsensystem L der Brennweite F

vergrößert in die Nahfeldebene abgebildet, in der sich eine verschiebbare Blen-

de mit Radius B befindet.VL= -r2/r1 ist die Lateralvergrößerung. Nach dem

Liouville- Theorem Gl.(F4-7), AFAn = const, wird die Strahldivergenz um densel-

ben Faktor verkleinert, V M -y1/y2. Da die Tangentialkomponenten der elektri- L schen Feldstärke an Grenzflächen zweier Dielektrika stetig sein müssen, ändert

sich nur die Ausbreitungskonstante senkrecht zur Grenzfläche, so daß yl zwar

verkleinert, der Strahlprojektionswinkel I$ aber wegen der Konstanz von k der <P'

Azimutalkomponente des Ausbreitungsvektors von Gl.(F2-3b), unverändert bleibt:

Der Drall des Lichtstrahls verändert sich nicht. Im Abstand d » B wird das

Fernfeld des von der Blende B definierten Nahfeldbereichs registriert. Der er-

faßte Raumwinkel ist durch eine verschiebliche Blende mit Radius B' bestimmt.

Aus den Koordinaten r2, y2, kann man auf die Faserkoordinaten zurückrechnen,

wobei die Unsicherheiten der Orts- und Winkelkoordinaten, bedingt durch die

Blendenöffnungen,

betragen. Arl und Ayl mögen durch Strahlradius wOG und Divergenzwinkel y0 eines

Gauß-Strahls definiert werden, Gl.(F3-15), der achsenparallel auf die Faser-


vergr6ßertes Nahfeld

Faser 1

r2 Fernfeld

7 Bq

\L/ Detektor r2, y2, V

Bild 4.1. Filteranordnung zur Modenanalyse

B, B' Blenden zur Definition von Ort (B) und Raumwinkeln (B') mit

Radien B, B'

d konstante Entfernung des Detektors vom Nahfeldpunkt r2 in

der Bildebene

L Linse der Brennweite F.

vergrößertes Testfeld

Summenfeld

Y,(;,) =o,(?,) + %GF)

Polarisator

4 Blende

Bild 4.2. Messung des Betrags und der Phase optischer Felder (nach IShigesawa,

L24061). Aus dem Testfeld wird durch Ausblenden eine Kugelwelle er-

zeugt und mit der LinseL41n die ebene Referenzwelle umgesetzt.

Mi Spiegel: Ti Strahlteiler; Li Linsen.


stirnfläche bei rl = r treffe, 0

Typische Werte bei h = h = 0.85 um, V = 10, F = 30 nun, a = 25 um, AN = 0,2, s L V = 37, wOG = wo sind Ar, = wo = 5,s Pm, Ayl = 2,7O, A$S Ayl, B = 58 um,

d = 100.8 = 5,8 nun, B/F = 0,0019 0,11°, B' = 26 Um, A$ = 0,26O. Ist die Lei-

stung P(rl,yl,+) auf diese Weise gemessen, kann man nach G1.(4-2) die Modenzah-

len 6,v bzw. mit Gl.(F6-3) (oder G1.(4-1) für Parabelprofile) die Modenzahlen p,v bestimmen, wenn g, a, AN und A bekannt sind, so daß man aus P(rl,y,+) auf die

Modenleistungsverteilung P(6,v) von Gl.(F6-11, 12, 13,) schließen kann. Eine Um-

kehrung des Strahlengangs gestattet die selektive Anregung.

Um eine Vorstellung zu entwickeln, wie groß in geometrisch-optischer Sicht die

erreichbare Selektivität von Hauptmodengruppen maximal ist, werde als Beispiel

eine Parabelfaser g(r/a) = (r/a)2 gewählt. Ein achsenparalleler Lichtstrahl mit

rechteckförmiger Nah- und Fernfeld-Leistungsverteilung der Breite Arl und A y l

wie in G1. (4-4b) treffe an der Stelle rl = ro auf. Für die maximale und minima-

le normierte Ausbreitungskonstante erhält man dann mit G1.(4-2) und

2/V = wi/a2 nach G1. (F2-7)

Die Differenz A(6/A) = (6/A)max- (6/AImin wird minimal, wenn für wOG gilt

Größte Selektivität erreicht man also, wenn die Taille des anregenden Gauß-

Strahls zum RandrOz a *'5.w0 von wOG = wo auf wOG = W /2 abnimmt. Die relative 0 Selektivität beträgt

Für rO/wO = 1, 2, 3, 4, 5 erhält man also mit wOG = wo die bezogene Breite der

Anregung A(6/A)/(6/A) = 4, 1.5, 0,89, 0.62. 0,48, während die Einstellung von

W~~ opt nach G1. (4-6) A(6/A)/(6/A) = 3.8. 1,33, 0.74, 0,50, 0,36 liefert. Die

technisch komplizierte Änderung des Strahldurchmessers mit dem Radius verbes-

sert die ohnehin schlechte Selektivität nur um 5...25% und lohnt sich daher,

entgegen der Empfehlung von [Pocholle, L23841, nicht. Die Diskrepanz zu dem

nach G1.(4-1) angegebenen Zahlen besonders für m = 1, 6 = 0 rührt daher, daß

wellenoptisch die genaue Feldverteilung des Gauß-Strahls berücksichtigt wurde,

während G1.(4-7) fUr das Modell eines gleichmäßig hellen Lichtkonus gilt, des-

sen rechteckförmige Nahfeld- und Fernfeldbreiten, wie sie durch Blenden einge-


2 stellt werden kannen, den entsprechenden l/e -Leistungsbreiten des beugungsbe-

grenzten Gauß-Strahls korrespondieren.

In Gl.(F6-17) wurde ein Zusammenhang zwischen der Nahfeldintensität IN6(r). und

der (Haupt-)Modenleistungsverteilung P6(6) hergestellt [Daido, L4601,

[Piazzola, L5241,

hierbei ist INO(r) diejenige Nahfeldintensität, die sich bei gleichförmiger Mo-

denleistungsverteilung P(6,v) = Po einstellt, d. h. sie entspri.cht dem Profil-

verlauf g(r/a) Gl.(F6-14). Vorausgesetzt war intensiver Leistungsaustausch in-

nerhalb von Hauptmodengruppen, P(6,v) = P6(6), was nach Abschnitt 3.2, Text

nach G1.(3-4) für reale Fasern zutrifft. Dabei ist zu beachten, daß aus der

charakteristischen Kopplungslange L [Geckler, L6851, bei der die Impulsver- C

breiterung vom linearen Wachstum mit der Wellenleiterlänge L bereits deutlich

abweicht, nach [Petermann, E201 die Kopplungslänge L,,, innerhalb von Hauptmoden-

gruppen berechnet werden kann,

wenn die maximale Differenz der Ausbreitungskonstanten in einer Hauptmodengrup-

pe bzw. aller Moden, ABm bzw. A B bekannt ist. Nach Abschnitt 3.2, Text nach G1. (3-4) ist ABm/AB 5 5 % , so daß 2,5.10-~ Lc resultiert. Liegt für moderne

Fasern Lc typischerweise im Kilometerbereich, so genügen Faserstücke im Bereich

einiger Meter, um die Forderung nach intensiver Kopplung zu erfüllen. Extreme

Kopplung'slängen von z. B. Lc = 25 km [Kitayama, L11971 dagegen machen Testfa-

serlangen im 60-m-Bereich notwendig.

Weiter war die Gültigkeit geometrisch-optischer Betrachtungen vorausgesetzt.

Diese Bedingung ist sicher dann verletzt, wenn nur wenige Moden in einer sonst

vielwelligen Faser angeregt sind; instruktive Meßbeispiele findet man bei

[Calzavara, L18621. Als dritte Einschrankung müssen monotone Profilfunktionen g

gefordert werden, damit die Umkehrfunktion 9-' definiert ist. Man behilft sich

bei Gradientenfasern häufig durch eine angepaßte Potenzfunktion, welche das

nichtmonotone reale Profil ersetzt. Am sinnvollsten ware es, das äquivalente Fernfeldprofil zu verwenden, Abschnitt 3.1. Durch geeignete Modenfilter müssen

Leck- und Mantelwellen unterdrückt werden.

~ l s Vorteil der geometrisch-optischen Modenanalyse nach G1.(4-3, 8) ist der ge-

ringe meßtechnische Aufwand anzusehen, der sich beim Verfahren nach G1.(4-8)

auf ein Mikroskop beschrankt, um Nahfelder zu messen. Allerdings benötigt man

in G1.(4-8) Ableitungen, so daß Rauschunterdrückungsmaßnahmen zentral wichtig

werden.

4.2 Wellenoptik

Die Nachteile sind zahlreicher als die Vorteile: Geometrisch-optische Methoüen haben nur geringe Modenselektivität, fordern Kopplung innerhalb von Hauptmoden-

qruppen und liefern grob verfälschte Ergebnisse, wenn Unsymmetrien und Granula-

tionsflecken die registrierten Felder der (mit Lambert-Strahlern Gl.(F6-10) an-

geregten) Fasern verzerren. Nichtmonotone Profile schließlich verhindern die

strahlenoptisch exakte Berechnung von 6 nach G1.(4-8).

Ist das Nah- oder Fernfeld Y(x,y) eines Lichtleiters nach Betrag und Phase in kartesischen Koordinaten ; = (x,y) bekannt, und sind dessen orthogonale Eigen-

wellen r$VP(~,y), Gl.(F2-I), aus dem gegebenen Brechzahlprofil berechnet, dann

kann man die Modenanregunqs- oder Itopplungskoeffizienten

ermitteln. Sie geben an, mit welcher komplexen Rmplitude die Eiqenwelle Q am V U

analysierten Feld beteiligt ist, Gl.(F2-22, 23). Die Felder sind so normiert,

daß die Gesamtheit der Modenleistungen / C l 2 eins ergibt, P = 1 in U P 2 V P

Gl.cF2-23). Die Leistungs-Kopplungskoeffizienten Ic I entsprechen gerade der V li

Modenleistunqsverteilung P(6.v) von Abschnitt 4.1.

Regt man eine ideale Parabelfaser Gl.(Fl-5) mit einem Gauß-Strahl an, so kann (cos) 2 man die Leistungs-Kopplungskoef fizienten p = I cVP VU

1 als summe + lCVP

der cos VQ- und der sin VQ-Anteile der Moden-Leistungs-Kopplungskoeffizienten

angeben, Gl.(F2-26a) [Grau, L5721. Damit läßt sich die Frage beantworten, wel-

cher Bruchteil p der eingestrahlten Leistung auf die vier- bzw. zweifach P

(V = 0) entarteten LP -Moden entfällt (Zum Begriff der LP-Moden vgl. Text U P

nach Gl.(F2-21) und Bild Fl). Diese Information wurde bereits im Abschnitt 4.1

benutzt.

Das Feld Y nach Betrag und Phase zu messen und die Eigenwellen Q zu berech- VP

nen, ist schwierig. Für vielwellige Stufenprofilfasern reichen gewöhnlich die

strahlenoptischen Verfahren aus. Daher wird man die wellenoptische Modenanalyse

nur für vielwellige Gradientenfasern oder für wenigwellige bzw. einwellige

(vgl. die Einführung zu Abschnitt 4) Lichtleiter einsetzen. Technisch interes-

sant sind Gradientenprofil-Fasern dann, wenn ihr Brechzahlprofil nahezu parabo-

lisch verläuft. Das orthogonale Eigenmodensystem der Parabelfaser ist bekannt,

Gl.(F2-71, wenn Parameter wie Kernradius a und V-Parameter bzw. Strahlradius

wo an der realen Faser gemessen werden. Das Problem der Modenanalyse kann man

4.2 Wellenoptik

dann vereinfachen durch die Fragestellung, welche Modenamplituden die Testfaser

in einer äquivalenten, idealen Parabelfaser anregen wurde, wenn beide exakt

fluchtend und stumpf stoßend verkoppelt wären [Bartelt, Freude, Grau, Lohmann,

L33181.

4.2.1 Messung optischer Felder

Während Feldamplituden Uber die optische Leistung zu messen sind, macht die Er-

fassung der Phase wesentlich größere Schwierigkeiten. Wie bei jeder Phasenmes-

sung muß das Test- oder Objektfeld 0(SF,t) = IoF(fF) 1 e -jipo(*~),j~s~ in der Be- obachtungsebene ;,=,;F ,mit einem Referenzfeld, bevorzugt einer ebenen Welle

* R(rF,t) = lRFle -jkRrFe3wst, multipliziert werden. Bild 4.2 zeigt einen MeRauf-

bau nach [Shigesawa, L24061. Das vom Lichtleiter abgestrahlte Testfeld Y (G) wird mit den Linsen LI, L2 in die Ebene F vergrößert abgebildet, o~(;~). A/4-

Platte und Polarisator selektieren einen bestimmten Polarisationszustand. Der

Strahlteiler Tl spaltet ein Referenzfeld ab, von dem mit der Raumfilteranord- *

nung L3, Blende, L4 eine ebene Referenzwelle RF(rF) abgeleitet wird. Blenden-

fläche und Linsenapertur müssen nach Gl.(F4-6) der Kohärenzfläche F bzw. dem k Kohärenzwinkel Clk entsprechen. Die Umlenkspiegel M,, M2 und der Strahlteiler T2

* Uberlagern beide Felder in der ~bene F zum Summenfeld I~(;~) = O(gF) + R(rF).

1 2 Ein quadratischer Detektor registriert in F die Intensität I (; ) = T~F(;F) / , F F

1 2 1 * nach G1. (F5-2). Die Intensitäten 7 1 ~ F I und TIOF(rF) I kann man durch Blockie-

ren des jeweilsanderenInterferometerarms leicht messen. Schiebt man in den Re-

ferenzarm die eingezeichnete X/4-Platte ohne lRFl ZU verändern, so wechselt * * * *

die Referenzphase von kRrF auf k r +1r/2. Die dann gemessene Intensität R F (; ) gestattet den Schluß auf die Phasendifferenz, 'FIr/2 F

1 2 1 2 * Aus den vier Messungen TIRF! , T l ~ F l , IF und IFnI2 in jedem Punkt ; = rF kann

man also das vergrößerte Testfeld 0 (r ) sowie, nach Rückrechnung auf die Fa- F F*

serendfläche, das originale Testfeld Y(r) nach Betrag und Phase bestimmen; die * *

Referenzphase kRrF ist dabei als bekannt vorausgesetzt. Die zusätzliche Mes-

sung von IFnI2 verbessert die Genauigkeit: Ist IF gerade extremal, kann die Plla-

sendifferenz aus G1.(4-11) nur sehr ungenau bestimmt werden.

Die anschließende Analyse von I(;) folgt der Beschreibung im Abschnitt 4.2,

G1. (4-10).

CGH

B L3r F3 Faser a, % I " I L1' F1 , L2' F2

t CMS

I I I

Bild 4.3. Messung des Betrags und der Phase optischer Felder, Modenanalyse in

Lichtleitern (nach [Bartelt, Freude, Grau, Lohmann, L33181);

F = F = 30 mm, F3 = 0,l m. CMS: Mantelmodenfilter CGH: Syntheti- 1 2 sches Hologramm als Filter.

Bild 4.4. Lichtleistung in der Korrelationsebene K des Bildes 4.3, wenn die

Ebenen I und 0 zusammenfallen (nach [Bartelt, Freude, Grau, Lohmann,

L33181)

@C = 1,4

( 9 5 = Co = 1,121.

4.2 Wellenoptik

4.2.2 Optische Korrelationsanalyse mit Hologrammen [Bartelt, Freude, Grau,

Lohmann, L331 8 I

Die Feldanalyse nach Abschnitt 4.2 erfordert eine komplizierte Messung nach Ab-

schnitt 4.2.1 und zusätzlichen numerischen Aufwand. Der Gedanke liegt nahe, die

erforderlichen Rechnungen analog-optisch durchzufiihren bei gleichzeitig verein-

fachter Meßtechnik [Lugt, E256, E4421, [Kapany, L22001. Eine Faltungsoperation

wie indem Kopplungsintegral G1.(4-10) kann man mit einer doppelten Fourier-

Transformation bei Filterung im Spektralbereich konstruieren. Mit Linsen als

Fourier-Transformatoren und optischen Referenzfiltern, die in Filter-Holo-

grammen nach Betrag und Phase gespeichert sind, lassen sich die Kopplungs-

integrale lösen.

Bild 4.3 zeigt einen geeigneten Aufbau [Bartelt, Freude, Grau, Lohmann, 1,33181.

X und y sind die kartesischen Koordinaten senkrecht zur Ausbreitungsrichtung

des Lichts. Indizes O,F, K bezeichnen die Ebenen O,F,K. Das Objektfelci Y(x,y),

das die Testfaser in der vorderen Brennebene 0 der Linse L, mit der Brennweite

F1 abstrahlt, erscheint nach Gl.(F3-14), zl = F1, als Fourier-Transformierte

Y(x,y) in der hinteren Brennebene F. Ein außeraxiales, synthetisches Fourier- - Hologramm, vgl. Abschnitt F5, speichert das Referenzfeld +* in Betraq und -vu Phase der Transparenz, Gl.(F5-3); +* (x,y) kann man sich als eingefrorene FOU-

-')U rier-Transformierte eines Referenzfeldes $* (-X,-y) in der Ebene 0 verstellen. vu Die Fourier-Transformierten von Objekt- und Referenzfeld werden beim Durchgang

des Objektlichts durch das Hologramm miteinander multipliziert und von einer

weiteren Linse L2 der Brennweite F2 = F1 erneut fourier-transformiert,

G1. (F3-14), z, = L, so daß man in der Korrelationsebene K, abgesehen von konstanten Phasenfaktoren, das Ergebnisfeld erhält

G1.(4-13) entspricht dem vierten Term der Hologrammrekonstruktion von

GI. (F5-7) für ein Punktobjekt +:u(x,y) = 6(x,y) als Referenzfunktion und L = F2

(Impulsantwort). Die Größe xR ist ein Parameter des außeraxialen Hologramms,

der die räumliche Trennung der Beugungsordnungen bewirkt, Bild F6 und Gl.(F5-9)

Ein Vergleich der G1.(4-13, 10) zeigt, daß fiir E = F2 die gesuchten Ko-

effizienten C als Betraq und Phase der Feldstärke Kvu(O,O) im Punkt X = X vu K R'

yK = 0 gemessen werden können. Die Phase des Feldes gewinnt man aus Leistungs-

messungen bei iiberlagertem Referenzfeld, das bevorzugt eine ebene Welle sein

wird, vgl. Abschnitt 4.2.1 und Bild 4.2. Sind die Funktionen Y , reell, das

ist in der Praxis der Fall, dann können sich die Kopplungskoeffizienten, weil

sie reell sind, nur im Vorzeichen unterscheiden. Die relativen Vorzeichen las-

sen sich aus einem vereinfachten Interferenzexperiment in den Korrelationspunk-

ten xK = X, yK = 0 daraus bestimmen, ob C in Relation zu C v'u' größer oder U u

4.2 Wellenoptik

Bild 4.5. Leistungs-Kopplungskoeffizienten von Gauß-Laguerre-Moden

Gl.(F2-13, 17) bei X, = 0,6328 um, a = 23 um, AN - 0.2, V = 46 - .. (Faser von Bild 3.2) als Funktion des normierten Blendenradius

5 = nBwo/ ( AF3 I @Anregung durch zentriertes Beugungsbild einer Irisblende

@Anregung durch reales Lichtleiterfeld, das seinerseits durch das

Beugungsbild einer Irisblende verursacht wird.

berechnet; Oe---gemessen.

4.2 Wellenoptik

kleiner geworden ist. Wird C grBßer, aber c ~ , ~ , VIi

kleiner, dann sind die Vor- zeichen verschieden. Werden C und c ~ , ~ , zusammen grßßer oder kleiner, sind

UIi die Vorzeichen identisch.

Interessiert man sich nur für die Leistungs-Kopplungskoeffizienten

IcvIi 1 I K ~ , , (0,O) 1 2, stört der ortsabhängige Phasenfaktor in G1. (4-1 5 ) nicht

und L ist beliebig, was die Justage erleichtert. Wird insbesondere L+O ge-

wählt, kann die numerische Apertur der Linse L2 kleiner sein als für L = F2.

Prinzipiell könnten beliebige Referenzfunktionen @ gewählt werden. Gradien- V Ii

tenprofil-Fasern angepaflt ist die Wahl der Gauß-Laguerre-Funktionen @ ( r , ~ ) , V Ii

Gl.(F2-13, 7) für das ideale Parabelprofil, die eine Fourier-Transformierte

gleicher Struktur haben, Gl.(F2-14). Die Parameter a und wo bzw. V wählt man

so, daß sie den Werten der realen Testfaser entsprechen. Die Fragestellung lautet dann, welche Modenverteilung die Testfaser in einer gleichwertigen ide-

alen Parabelfaser anregen würde.

Als Beispiel werde ein Filter mit der Uberlagerung der vier niedrigsten Noden

X - X Y - y ) einer idealen Parabelfaser betrachtet mit V < I, li1 2 und $Vli( v,ll V !J Ixvli- x ~ , ~ , ( , Y - Y , , 2 2 Diese Eigenmoden sind räumlich getrennt ilberla-

gert und in Form eines außeraxialen Fourier-fiologramms in der Ebene F gespei-

chert, Bild 4.3. Beleuchtet man dieses Filter mit einer ebenen Welle, so rekon-

struiert L2 in der Ebene K das Originalfeld. Bild 4.4a zeigt eine solche Rekon-

struktion, vgl. das Schema der Leistungs- und Feldverteilungen für die Moden

$01, @02 im Bild F1. Die vier Eigenwellen sind um die Koordinaten xvV, yvIi aus

der Mitte X = xR, y = 0 gerückt. Der helle Lichtfleck in der Bildmitte ent-

spricht der Beugung 0-ter Ordnung, das Modenquartett darüber und darunter hat

die Beugungsordnung - 1 und +I. Diese Felder korrespondieren dem dritten und

vlerten Term in Gl.(F5-7) und sind deshalb konjugiert komplex zueinander. Das

Hologramm wurde synthetisch im Rechner generiert und ist binär, vgl. Abschnitt

F5, d. h. es besteht aus transparenten und absorbierenden Streifen unterschied-

licher Länge, Breite und Position, in denen die Amplituden- und Phaseninforma-

tion des Referenzfeldes codiert ist. Wegen des binären Aufbaus ist das Holo-

gramm periodisch in jeder Beugungsordnung.

Wohldefinierte Einkoppelbedingungen stellt eine Anordnung aus Blende mit Radius

B in der Ebene S und Linse L3 mit der Brennweite Fj her. Die Blende wird mit

einer monochromatischen ebenen Welle beleuchtet; näherungsweise kann das z. B.

ein aufgeweiteter Laserstrahl sein. Die Entwicklungskoeffizienten des Beugungs-

bildes der Blende in der Fasereingangsebene I, Gl.(F3-16b) werden für ein ach-

senzentriertes Feld in Gl.(F2-31) angegeben im Basissystem der Gaufl-Laguerre-

Moden. Bild 4.5 zeigt einige der Leistungs-Kopplungskoeffizienten 1 cOu 1 als

Funktion des normierten Blendenradius 5 = nBwo/(AF3), wobei wo der Strahlra-

dius der Referenzfunktion r$Ol (?=,<P) ist, Gl.(F2-13, 7). Um das Hologramm zu te-

4.2 Wellenoptik

sten, wurden diese Koeffizienten gemessen. Dazu läßt man die Ebenen I und 0 im

Bild 4.3 zusammenfallen und wählt F3 = F,, so daß in G1. [F2-31) 5 = nBwo/[AF1) wird; Fl ist ein Parameter des Hologramms. Jetzt sind die beiden Linsen aber

überflüssig und können entfernt werden. Die relative Leistung in der Korrelati-

onsebene K wurde mit einer Fernsehkamera gemessen und auf die Gesamtleistung

hinter der Blende normiert. Der so gemessene Maximalwert / K l 2 wurde dem theo- 2 0 1

retischen Wert 1 cO1 (SO) 1 , Co = 1 ,121 angepaßt, ohne das Verhältnis 2 I K ~ , ( / (xO2 1 zu ändern. Die Meßwerte im Bild 4.5a liegen dicht bei der theore-

tischen Kurve, wobei der Fehler für lc0212 wegen der geringen Signalpegel höher

ist. Die Pfeile bei zwei 3-Werten beziehen sich auf die entsprechenden 5 im

Bild 4.4, wobei man beachte, daß der helle Fleck im Zentrum des $02-Modus im

Bild 4.4b vollständig verschwunden ist. Aus dem Fernfeld der Gauß-Laguerre-Mo-

den Gl.(F2-14) schließt man, daß alle 4 für gerades v reell sind. Für diese 'JP

Funktionen sind die Ordnungen - 1 und +l des IlOlogr~s identisch, wenn man von

parasitären Interferenzen im Bild 4.4 absieht.

Bild 4.5b zeigt gemessene Leistung-Kopplungskoeffizienten an einem 48 cm langen Lichtleiter, dessenBrechzahlprofi1 Bild 3.2 und die daraus berechneten Eigen-

wellen, vgl. Bild 3.3, bekannt waren. Die Einkopplung nach Bild 4.3 versuchte,

den Grundmodus des LWL möglichst stark anzuregen, was bei idealen Parabelfasern

theoretisch mit Wirkungsgraden nahe I cO, (cO) 1 * FJ 82 % möglich ist. Der aus der

Anregung berechenbare Leistungs-Kopplungskoef f izient / x ~ ~ I der bei Ankopplung

des realen LWL an eine ideale Parabelfaser beobachtet werden wurde, liegt weit

unter dem Maximalwert IcO, (So) 12, weil das reale Feld des Fasergrundmodus bei

der Wellenlänge X = 0,6328 Pm der verwendeten Lichtquelle einen Einbruch von

20 % des Maximalwertes aufweist. Gemessene und gerechnete Werte unterscheiden

sich im Bild 4.5b stärker als im Bild 4.5a, woraus man schließen kann, daß die

erstrebten Anregungsbedingungen nicht zufriedenstellend eingehalten wurden.

Nach dem Fourier-Verschiebungssatz kann mit einer lateralen Verscliiebung der

Blende der Einstrahlwinkel des Lichts in der Ebene I variiert werden, ohne die Fleckposition zu verändern. Das erleichtert die schwierige Suche nach der opti-

malen Lichteinkopplung.

Weil kohärente Felder mit Filtern untersucht werden, die dem EigenwellenSystem

des LWL (näherungsweise) entsprechen, spricht man von kohärenter angepaßter

Filterung. Räumlich inkohärente Felder, wie sie von entsprechend erregten LWL

abgestrahlt werden, kann man mit einer inkohärenten angepaßten Filterung unter-

suchen [Kitayama, L5591, IOhashi, L18901, auch unter Verwendung synthetischer

Hologramme.

F1 Definitionen

Anhang F Zusammenstellung von Formeln und Fakten

F1 Definitionen

Rotationssynunetrische Lichtwellenleiter (LWL) werden in Zylinderkoordinaten

r = pa, W, z durch ein von W und z unabhängiges Brechzahlprofil charakterisiert,

Dabei ist g(p) die Profilfunktion, nl die maximale Brechzahl im Kern bei

p = oMr a der Kernradius, auf den die Radiuskoordinate r normiert wird, und n2 die Brechzahl des Mantels.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 %(P) = n (0) - n2 = AN[l - g(p) I = sin y, % = n - n2 = sin y (F?-2) 1 N

wird als lokale bzw. maximale Apertur bezeichnet. y bzw. yN sind die zugehö-

rigen maximalen Uffnungswinkel des vom LWL im Vakuum erleuchteten Kegels, ge-

rechnet von der Faserachse aus.

ist die relative Brechzahldifferenz, wobei die Näherung für schwach führende

LWL gilt. Häufig wird für das Brechzahlprofil eine Potenzfunktion angesetzt, a

g(0) = P , 0'ac.m. (F1 -4)

Herausragende Spezialfälle sind das Stufenprofil a - - und das Parabelprofil a = 2, welches auch in der Form eines unendlich ausgedehnten, sogenannten

idealen Parabelprofils

2 benötigt wird. Unphysikalische Bereiche n (0) < 1 dürfen keine wesentlichen

Feldkomponenten mehr enthalten. Für die Frequenz f der anregenden Lichtwelle

hat sich eine zweckmäßige Normierung eingebiirgert,

genannt V-Parameter oder normierte Frequenz. c = ( E ~ ! J ~ ) -'I2 ist die Lichtge-

schwindigkeit im Vakuum, ko die Vakuum-Ausbreitungskonstante bei der Wellen-

länge X , k. die Ausbreitungskonstante im Medium der Brechzahl ni. Wird k ohne 1

jeden Index geschrieben, so sei darunter die Ausbreitungskonstante k = kon

im allgemeinen Medium der Brechzahl n verstanden; A n ist die zugehörige Wel-

lenlänge.

F2 Skalare Optik

F2 Skalare Optik rotationssymmetrischer Lichtwellenleiter

Für ein längs z homogenes, rotationssymmetrisches Medium gilt die skalare

Wellen- oder Heimholtz-Gleichung in Polarkoordinaten r = pa, W, z mit den Transversalkomponenten ~,,,(r,ip,z)

V ist der Nabla-Operator in Zylinderkoordinaten. Longitudinalkomponenten werden vernachlässigt. Das ist für schwach fahrende LWL mit A « 1 zulässig,

Gl.(Fl-3). Separiert wird Gl.(F2-1) durch den Ansatz

-jBvpz , icosvipie-~"pz 4vu(rtip,z) = @vu (r,ip)e = 4vp(r) (~2-2)

JIT (1 + 60v) sin vip

mit dem Ergebnis

krt kipr kT und Bvp sind die Ausbreitungskonstanten in radialer, azimutaler, transversaler und axialer Richtung. In der Näherungslösung Gl.(F2-2) herrscht

eine einheitliche beliebige Polarisation in dem Querschnitt des LWL vor, da-

her werden die Eigenwellen auch LP -Moden genannt. 'Ju

Es ist zweckmäßig, normierte Ausbreitungskonstante 6, L\ zu definieren, wobei

in Zukunft die Modenindizes vu häufig wegfallen, 2 2

6 k l - B - - -- 6 A 2 , B = 1 - - A '

(F2-4)

kl - k2

Fiir geführte Moden, Leckwellenund Strahlungsfelder gilt mit den Indizes g, 9.

und s im Falle monotoner Brechzahlprofile Gl.(Fl-11

Fiir gefiihrte Moden gibt es bei monotonen Profilen maximal zwei, für Leckwel-

len irn allgemeinen drei Kaustikradien ri aus der Lösung der Gleichung

2 2 2 2 2 k ( r ) 5 k n (r.)-B - U /ri = O s r i o 1

Leckwellen als Grenzfall geführter Moden können sehr dämpfungsarm sein. In

gekrümmten LWL gibt es nur Leckwellen, keine irn strengen Sinn gefiihrten Mo-

den mehr. Wird kr reell, so kann die Welle nicht mehr gefiihrt werden und

strahlt ab.

F2 Skalare Optik

Für ein ideal parabolisches Medium Gl.(Fl-5) erhält man die Lösung [Grau,

L5, L572, ONTI, [Unger, L311 @,,,(r) = Qvu (X) (r),

Es gelten die Orthogonalitätsrelationen

0, ~ I T (F2-B)

(X) (r)~$! (rlrdr = P 6 ; j Q ~ u ,,,,. , j j ~vp(r,W)@vo,,8 (r.rp)rdrdv = 0 0 0

6 Pvu v v ~ ~ u u "

wobei P als Querschnittsleistung des Modus (vu) bezeichnet wird. L::; (X) V,,

sind die Laguerre-Polynome mit den Eigenschaften [Abramowitz, L2701

Auch für die Linearkombination

1 @ (r,rp) = Q:;) (r) - (COS vrp+ sin vrp) V,, J2n

gilt die Orthogonalitätsrelation Gl.(F2-B)

WO wird Strahlradius genannt. Das ideale Parabelprofil liefert eine gute

Approximation der tatsächlichen Moden eines beim Kernradius r = a abge-

schnittenen Brechzahlverlaufs, wenn die betrachteten Wellen an der Kern-

Mantel-Grenze r = a keine wesentlichen Feldanteile mehr besitzen. Nach Ein-

setzen von G1. (F2-2.7) in G1. (F2-1) folgt

m ist die Hauptmodenanzahl, M2 deren Maximalwert für das quadratische Profil.

Aus Gl.(F2-5) folgt für geführte Moden die normierte Grenzfrequenz

nur wenn V > VVpG, ist der vp-Modus ausbreitungsfähig. ~ l s o muO V>> V gel- VUG

ten, wenn das tatsXchliche, bei r = a abgeschnittene Parabelprofil näherungs-

weise Eigenwellen der Form Gl.(F2-7) haben soll. Typische Gradientenfasern

F2 Skalare Optik

mit a = 25 um, AN = 0.2, V = 37 bei A = 0,85 um garantieren dies für den

weitaus größten Teil der verlustarm geführten Wellen. Gl.(F2-12) liefert auch

für abgeschnittene Parabelprofile mit Ausnahme des Grundmodus m = 1, für den

VOIG = 0 ist, elne akzeptable Approximation der Grenzfrequenzen, deren Abwei-

chung gegenüber der genaueren Beziehung irn Text nach Gl.(F2-21) für die nie-

drigsten 13 Wellen zum Teil deutlich unter 18 % liegt.

Das Fernfeld der Verteilung Gl.(F2-2, 7)

mit den Fernfeldwinkeln y und 0 nach Bild F2, F8 berechnet sich nach

Gl.(F3-6c) auf einer Kugelschale im Abstand d vom Zentrum der Faserendfläche

zu

$FVu(~iO) =

Die Fernfeldwinkel y und 0 sind im Bild F8 definiert.

Ein weiteres wichtiges Ubertragungsmedium ist durch das radial bis r = a kon-

stante Profil der Brechzahl gegeben, Gl.(Fl-1). Für das Stufenprofil mit a - - in Gl.(Fl-4) sind auch die Vektorlösungen der Maxwellgleichungen analytisch be-

kannt. Geht man zur Berechnung der Eigenwellen jedoch von der skalaren Helm-

holtz-Gleichung Gl.(F2-1) mit dem Ansatz Gl.(F2-2) aus, so schreibt man

GI. (F2-3a) im Kern- (oberes Vorzeichen) bzw. im Mantelbereich (unteres Vor-

zeichen)

U im Kern V u , p = r/a (F2-15a)

im Mantel V u

mit den Phasenparametern U und W im Kern bzw. Mantel, vgl. Gl.(F2- 3b).

Fiir das Stufenprofil heißt die Lösung [Snyder, E443, E11841 GI. (F2.-2) mit

und der Orthogonalitätsrelation Gl.(F2-8). Jv(x) ist die Bessel-Funktion

mit der k-ten Nullstelle jv,k: die Nullstelle X = 0 wird nur für k = - 1,

J - l ( ~ ) = - J1(x) mitgezählt. Die niedrigsten 13 Nullstellen sind, aufsteigend

geordnet [Abramowitz, L2701,

F2 Skalare Optik

TI jvn/2 jn/2 K(z) = j l e V

H(') (ze ) heißt modifizierte Hankel-Funktion. Charakte- V

ristisch ist ihr Abfall mit der komplexen Variablen z. Ihre asymptotische

Entwicklung für große lzl [Abramowitz, L2701

läßt sich recht gut durch eine Exponentialfunktion nähern. Eine Exponential-

näherung für kleine lzl wurde von [Kunc, L32811 angegeben.

Die Ausbreitungskonstante B errechnet man mit Hilfe von Gl.(F2-15b) aus der

Dispersionsrelation

Ist für allgemeine Brechzahlprofile der Kernradius a hinreichend klein, so

propagiert der LWL nur den Grundmodus 401. Dieses Feld hat die höchste radiale Konzentration und läßt Bol maximal werden. Bis zur Grenzfrequenz VllG des nächsthöheren Modus bleibt der LWL einwellig,

O S V i V l l G einwellig,

1 , 5 i ~ 5 V ~ ~ ~ (F2-20) = Or2 % } technisch einwellig,

2 5 v s v 11G

A = 0,l %

wobei die Angaben für den technisch einwelligen Betrieb berücksichtigen, daß

mit gegebenen Größen A , A der Kernradius nicht zu klein werden sollte: dann bleibt das Feld nahe der Achse konzentriert, und man vermeidet Schwierigkei-

ten bei der Einkopplung und zu hohe Verluste durch Mikrokrilmmungen

[Katsuyama, E2471. Der numerische Wert der Grenzfrequenz V hängt von der 11G Profilgestalt ab,

Stufenprofil, Gl.(Fl-1, 4) a + rn v l l ~ = j0,l = 2,405,

2 Gauß-Profil (a ist l/e -Radius) [Snyder, L1478) 1 VllG = 2,59, (F2-21)

bei r = a abgeschnittenes Parabelprofil, a = 2 Vl lG = 3,401.

Die Beziehung V = VuG 'v-1 ,U J1+2/C für Potenzprofile, berechnet nach einem

skalaren Variationsverfahren [Okamoto, E4441, gibt nicht die richtige Reihen-

folge der Grenzfrequenzen V wieder, vgl. Gl.(F2-17): Die Entartung für VUG

F2 Skalare Optik

LP- Vektor- Feld- Leistung elektrische (-) und magnetische (---) Modus Modus Schema E

E Feldlinien

Bild F1. Wellenformen und Intensitätsmuster für LP- und Vektormoden (nach

[Okoshi, E45111. h ist die Wellenlänge des Lichtleitermodus. 9

F2 Skalare Optik

z. B. die Eigenwellen ("Li) = (2 I), (0 2) oder (2 2), (03) besteht nur für

das ideale Parabel- und das Stufenprofil. Wie von [Oyamada, ~12581, [Okoshi,

E451 Fig.5.111, [Hosain, Sharma et al., L32681 gezeigt wurde, ist entgegen

den sonst publizierten Bildern die Grenzfrequenz des LPO2-Modus niedriger

als die des LP21-Modus. Dies gilt für die anderen entarteten Grenzfrequenzen

sinngemäß. Die Originalarbeit [Gloge, L1067 Fig.31 zeigt die relevanten Be-

reiche nur sehr undeutlich. Die genaue Abfolge ist aber insbesondere für

zweiwellige LWL [Cohen, E4451, [Kitayama, E4461 von Bedeutung.

Die Felder der skalaren Optik sind im Querschnitt einheitlich polarisierte (LP)

NBherungslösungen £Ur den schwach führenden LWL und stellen in Wirklichkeit

Linearkombinationen von Vektorlösungen dar, deren Feldbilder mit praktisch

identischer Geschwindigkeit propagieren. Bild F1 zeigt Beispiele. HE2,- und

TEO1- bzw. TMO1-Modus überlagern sich zum LPI1-Modus. Wegen der zwei orthogonalen Polarisationsrichtungen ist also jeder LP-Modus mit Ausnahme der ~oden

V = 0 vierfach entartet: diese entsprechen einem Vektormodus und sind daher

nur zweifach entartet.

Eine gegebene Feldverteilung Y(r,@), die auf die Stirnfläche einer Faser auf-

trifft, lßßt sich nach dem orthonormierten Eigemodensystem + (r,@), U. Li

Gl.(FZ-2), des Wellenleiters entwickeln,

Nach Multiplikation mit $,,, erhält man aus Gl.(FZ-22, 8) für die Kopplungs-

koeffizienten C das Kopplungsintegral und die Vollständigkeitsrelation, V P

wobei P die gesamte in den Wellenleiter eingekoppelte Leistung darstellt.

Betrachtet werde ein LWL mit idealem Parabelprofil, dessen Eigenwellen die

Gauß-Laguerre-Moden von Gl.(F2-7) mit P = 1 sind. Auf die Stirnseite dieses "Li

LWL treffe aus dem Vakuum ein linear polarisierter Gauß-Strahl IG(r1,z0),

G1.(~3-15b) mit P„ = 1; Auftreffstelle ist in den Polarkoordinaten des LWL, U ,

Bild F8, der Ort r„ W,. Der Winkel zur Faserachse sei yo, der Winkel der " .

Strahlprojektion Y0. Die Eigenwellen L$ (r,@) treten als cos- und als sin- "Li (COS) isin) 2

Terme dVLi +V,, (sin) auf, wobei nur deren Uberlagerung I + v u + L$uLi 1 = ('Os) 1 + ( +JEin) 1 z" detektieren ist, wenn nicht besondere Maßnahmen ge- I@",,

troffen werden. Daher werden die Leistungs-Kopplungskoeffizienten, Gl.(F2-23)

mit P ' = I, uu

definiert. Sie geben den Bruchteil der Leistung an, der von der Gesarntlei-

stung des Gaußstrahls in die vier bzw. zwei entarteten LPvu-Moden eingekop-

F2 Skalare Optik

pelt wird. Die normierten Parameter

r 0 sin y

$0

charakterisieren die Einschußbedingungen. Nach Ausführung der Integrale er-

hält man, unabhängig von der Lage der Polarisationsebene im anregenden Strahl

[Grau, L5721

mit dem Geltungsbereich

AN 1 schwach führender LWL, skalare Optik ..

2 2 2 1 S V « konlw0/2 Krümmung der Phasenflächen des gebrochenen Gauß-

Strahls vernachlässigt,

V+2u-l'V/2 nur geführte Moden, Gl.(F2-11), (F2-26b)

2A « U < ( m - a p w ) Feld des Gauß-Strahls übertrifft nicht den Akzep-

a tanzbereich einer Faser mit Kernradius a und o z P W o l s r i ~ i Apertur A ~ .

0

Die Anregungsparameter I' = l/o, flp; = s, s' = apw, qO führen zu identi- schen p wie in Gl.(F6-26a). Verkippung und Versatz sind austauschbar, vgl.

V u die Bemerkung nach Gl.(F6-8). Ein technischer Lichtstrahl wird optimal durch

den angepaßten ~auß-strahl o = 1 mit konstanter Strahltaille im parabolischen

Medium approximier t .OhneStrah1verkippung s = 0 erhält man dann mit der

Hauptmodenzahl m = V + 2u- 1 von Gl.(F2-11) die Summe pm = 1 1 pvu v+2p-l=m

m+l für die Leistungs-Kopplungskoeffizienten der Hauptmoden. ist der ganz-

zahlige Anteil des Quotienten. m = 1 , also V = 0 und u = 1 gibt gerade die

Kopplung zweier Gauß-Strahlen wieder. Aus Gl.(F2-26a) erhält man dafür (s=O)

r ist der radiale Versatz beider Strahlachsen. Mit der Differentiation 0 dpm/dpw läßt sich aus Gl.(F2-27) der Radius pwmax für maximales pm berechnen,

F2 Skalare Optik

2 = m - 1, 'W max M2 = V/2,

wobei M2 aus G1.(~2-11) übernommen wurde: ein Vergleich mit Gl.(F6-9) zeigt

für V » 1 Ubereinstimung mit den Aussagen der geometrischen Optik, jedoch

ist die in die Hauptmodengruppe m gekoppelte Leistung keineswegs eins, sondern

wobei nur pl ipWmax ) = 1 wird. Für m > 3 ist pm(pWmax ) C 25 8 . Als Bandbreite

der Anregung wird die bezogene Differenz Am/m der Hauptmodenzahlen definiert,

die um m herum zu P ~ ~ ~ ~ / ~ ( P ~ ~ ~ ~ ~ =pm(pwmax )/2 führt. 1st 1 C ~ C 16, bleibt Am/m > 50 8 .

Auch für das axial eingestrahlte Beugungsbild YBL(r) einer Blende mit Radius

B, (Gl.F3-16c), kann man die Entwicklung nach Gauß-Laguerre-Moden des idealen

Parabelprofil-LWL analytisch berechnen [Bartelt, Freude, L,olimann, Grau,

L33181.

Man erhält für die Koeffizienten cvU nach Gl.(F2-23) mit Pvu = PB = 1 und

der Linsenbrennweite F

2 nBw 0 c = fi (1 - e )/C 5 = - XF ' C z o für V + 0, V Li

(F2-31) 2 u-2

2u-3 C = - U - 2 C -- -- 2fi Ge-' 1 (u;2j(-2)nL;1) (C2). ou Li - 1 ou-1 U - 1 ou-2 LI - 1 n=O

Der Maximalwert von C beträgt an der Stelle Co W 1,121 cO1(G0) W 0,9025 mit 01.

co2(C01 = 0. Folglich approximiert dieses Beugungsbild einen Gauß-Strahl mit

dem Strahlradius

F3 Beugung

Unter Beugung versteht man die Veränderung eines propagierenden Anfangsfeldes

YO(x,y,zO), das in kartesischen Koordinaten (x,y,z) für z = z gegeben sei, 0

in ein Feld Y(x,y,z) an irgendeinem Raumpunkt (x,y,z). Hier werde Beugung im

homogenen isotropen Medium betrachtet. Die longitudinalen Komponenten der

Felder seien vernachlässigt. Für die skalare Wellengleichung erhält man nach

GI. (F2-1) im Vakuum

Y(x,y,z) = 0. (F3-1)

Uber den Fourier-Ansatz [Stark, E4691, [Lohmann, L16701 mit dem Parameter z'

gewinnt man die Lösung für die Fourier-Transformierte Y(S,n,z). Mit dem An-

fangswert bei z0 erhält man für Wellenausbreitung in positive z-Richtung

z' = z - z '0 das Ergebnis 0 - 4.-

Das Doppelintegral über die Exponentialfunktion kann man mit Hilfe der Sattel-

punkt-Methode [~orn, ~19381 auswerten, was zum sogenannten Kirchhoff-Integral

führt, , - (F3-41

Dabei ist nach Bild F2 1 der Abstand E zwischen dem Aufpunkt Q = (x,y,z) und

einem Punkt P = (x',y',zO) in der Ebene z = z0 der Anfangsfeldverteilung: E

definiert den Winkel zwischen E und der z-Achse. Das Kirchhoff-Integral beschreibt Beugungsphänomene zutreffend,wenn 1 um kleiner als n/2

bleibt; p ist dabei die Mindestanzahl der von der Phase des Integranden

e 2 2 2

-j2n[".1 durchlaufenen Extremwerte im Bereich [S/(Az9) ] + [n/(hzU) ] 5 l/A . Mit p = 500 ist sichergestellt, da6 sich die oszillierenden Anteile des Inte-

granden zu beiden Seiten des stationären Sattelpunktes herausmitteln und das

Integral allein durch den Integranden im Sattelpunkt bestimmt wird. Fiir

A = 1 um, 1 = lOmm ergibt sich 161 5 1,35 77'.

Bild F2. Auctrittcfläche und Koordinatensystem eines Lichtwellenleiters.

Die Auswertung des Kirchhoff-Integrals vereinfacht sich, wenn man den Auf-

punkt Q so wählt, daß seine Entfernung d = = > 0 vom Koordinatenursprunq we-

sentlich größer wird als die maximale signifikante Ortsausdehnung X M' YM des

Anfangsfeldes Yo(x,y,zo). Mit den Winkeln V, 0, yx, y im Bild F2 gilt mit

X, y, r « d für die Strecke = 0 (Fraunhofer-Näherung)

W d - X sin yx, L d - y sin Y Lr 'J d - r cos (V - 0) sin y. (F3-5a) kxz YZ Y'

Dabei beweqt sich für LxZ der Aufpunkt Q in der xz-Ebene und für L in der YZ

yz-Ebene. FUr Anfangsfelder Yo(r,zo)Yo(~) in Zylinderkoordinaten bezeichnet

Lr die Entfernung a. Unter derselben Voraussetzung kann im Integranden des Kirchhoff-Integrals

cos y COS E X CO5 E Y COS € COS Y - W -

d ' -Tlyx +* - L Ir W -

P. /XY d

genähert werden. Setzt man noch separierbare Anfangsfelder Yo(x,y,zo) =

'40(~,~O)YO(y,z ) bzw. in Zylinderkoordinaten YO(r,z 0 voraus, so er-

hält man aus G1. (F3-4, 51

-jkod 7 j2nxx1/(Ad) Y(x,o,z) = j cosy e Yo(y',z0

X dx' , (~3-6a)

-m "53

Fraunhof er (Fourier) :

Man erkennt durch Vergleich mit Gl.(F3-2b), daß Y(x.0,~). Y(O,y,z) den (0,y.z) proportional sind, und daß Fourier-Transformierten nid) (x,O,z) , -O

Y(y,0) bis auf Faktoren der Hankel-Transformierten V-ter Ordnung entspricht

(auch Bessel-Transformierte genannt) [Korn, E4401, [Castleman, ~33431; fbr

den Spezialfall rotationssymmetrischer Felder gilt also die ~efinition

m

PdP Y("' (r,z) = 2n 12(Z') (p,z)~~[2nr~/(Az')l , 0 m

rdr (p,z) = 2n 1 Y(Z') (r,z)J0[2nrp/(iz9)1 - 0

mit dem Parameter z' wie in Gl.(F3-2).

Begrenzt man in Gl.(F3-3) den Wertebereich der Integrationsvariablen S/(iz'),

n/(Az'l durch die Forderung, daß die Anfangsfunktion YO(x',y',z ) in alle 0

Richtungen mit Sinus größer als

sin y = €,/z', siny = q/zl, X

sin y = p/z', Y

(F3-8a)

1 1 r = X siny,, K = sin y 1 X Y Y' K = 7 sin y (F3-8b)

keine ebenen Wellen emittiere und folglich bandbegrenzt sei in den sogenann-

ten Raumfrequenzen rx, K (bzw. K für rotationssymetrische YO), wobei gelte Y

50 kann man in G 1 (F3-3) 4-) W I -: X'(.: + K:) nähern und erhält

nach erneuter ~nwendung der Sattelpunktmethode [Born, L19381, gültig

für beliebige z > zo, die sogenannte Fresnel-Näherung

Fresnel: 2 2 2 X + y « (2- z0) . (F3-lob)

Ist also für Koordinaten Q = (x,y,z) nach Gl.(F3-lob) das Feld Y(x,y,z) be-

reits auf unbedeutende Werte abgesunken, dann sind die Voraussetzungen der

Fresnel-Näherung Gl.(F3-10) erftilit.

Verschwindet das Anfangsfeld für Ix 1 > I xMI , /Y I > 1 yEll SO kann man nähern

Fraunhofer (Fourier):

2 2 X + y << X(z-zo), 2 2 2 M M X + y « z . (F3-12b)

Gl.(F3-12b) gibt an, in welchem Abstand z - z von der Anfangsebene z = z0 das 0

Feld Y(x,y,z = const) die Fourier-Transformierte des Anfangsfeldes Y0(x,y,z0)

darstellt (Fraunhofer-Näherung) .

Die Fraunhofer-Näherungen Gl.(F3-6, 12) für das Fernfeld Y(x,y,z) unter-

scheiden sich dadurch, daß Gl.(F3-6) nur einen Faktor der separierbaren

Anfangsfunktion Y mit dem Fernfeld Y in einer Ebene über die Fourier- 0 Transformation verkntipft, während Gl.(F3-10, 12) für allgemeine Y und Y

0 gilt; andererseits beschränken die Voraussetzungen der ~l.(F3-10, 12) den zu-

lässigen Ortsbereich (x,y,z) des Fernfeldes einschneidender als dies bei

Gl.(F3-6) der Fall ist. Für die Fresnel-Transformation der Gl.(F3-10) wird

kein makroskopischer Minimalabstand vom Anfangsfeld gefordert; die Bedingung

Gl.(F3-lob) macht nur eine Aussage über den maximalen Winkelbereich, den das

gebeugte Feld von Y. erfUllt.

Der quadratische Phasenfaktor vor dem Integral der Fraunhofer-Beugung

Gl.(F3-12a) beschreibt eine divergierende, durch ein Paraboloid genäherte

Kugelwelle. Phasenfronten können ohne Verzerrungen bei z = const nur dann be-

obachtet werden, wenn ein optisches System diesen Term kompensiert. Eine dün-

ne ideale Sammellinse der Brennweite F bewirkt eine Phasenverschiebung ent-

sprechend 2 2

jn(x +Y I/(XF) (F3-13) YL(x,y) = e

Ein Anfangsfeld Y, in der Ebene z = z, wird daher von einer bei z = z, + z, - aufgestellten Linse in ein Feld iiberfuhrt, das in der hinteren renn ebene

z = z +zl + F der Linse lautet, GI.(F~-IO), 1 l b , i 3 ) , - ~ ~ ~ jax2dx = e - j * / 4 m , 0

-jko(zl+F) -jn(x2+y21 ( ~ - Z ~ / F ) / ( ~ F ) ~ (F) ~ ( x , y , z ~ + z ~ +F) = j e e mo (xry,z0),

IF3-141

Bis auf konstante Phasenfaktoren verhalten sich die Felder in der vorderen

(zl = F) und hinteren Brennebene einer idealen dUnnen Linse zueinander wie

Fourier-Transformierte.

Zwei spezielle Beugungsbilder haben besondere Bedeutung. Der Gauß-Strahl als

Fresnel-Transformierte der Verteilung, vgl. Gl.(F2-7),

2 lautet mit r2 = X + y2 und G1. (F3-10)

q(z) ist der komplexe Strahlparameter, b wird konfokaler Parameter genannt und definiert den maximalen KrUmmungsradius der Phasenflächen an der Stelle

z- z = k b/2; wOG ist der Strahlradius der Strahltaille bei z = zO; yoG gibt 0 den asymptotischen Kegelöffnungswinkel an, bei dem lim Y (r.2) = e-l't'G(~,z) .

z+m G

Gl.(F3-15b) gilt in der paraxialen Näherung der Gl.(F3-lob). Die maximale re-

lative Abweichung des exakten Feldes vom paraxialen Wert tritt bei z - z0 = - 2 + b/2 auf und beträgt (kOwoG] [Wencker, E4411, [Grau, L51; für die angege-

benen Werte von W OG, yOG ist dieser Fehler kleiner als 1 %.

Als Bessel-Strahl werde die Beugungsfigur einer kreisförmigen Blende mit Ra-

dius B bezeichnet. Man beleuchtet die Blende mit einer ebenen Welle,

und erhält das Fernfeld in Fraunhofer-Näherung, Gl.(F3-12a, 7b).

Ist die beleuchtete Blende in der vorderen Brennebene z = zO+F einer ide-

alen Linse aufgestellt, so erhält man nach Gl.(F3-14) in der hinteren Brenn-

Demnach hat eine Linse der numerischen Apertur A = B/F die beugungsbegrenzte B Auflösung (Radius r = 6B der ersten Nullstelle der Besselfunktion)

'1 ,I = 3,233 nach Gl.(F2-17); 6ZB ist die Schärfentiefe des Fokus in axialer

Richtung [Born, L19381, wenn man eine 2O%ige Reduktion der Maximalleistung

zuläßt.

Schließlich sollen die Fourier-Transformationsbeziehungen für die Zeitfunk-

tionen g(t) spezifiziert werden,

t m j2rrft t m -j2nft g(t) = I - g(f)e df, - g(f) = j g(t)e dt. (F3-18)

-m -m

g(f) ist die Spektralfunktion. Zu beachten sind die unterschiedlichen Schlan- - gensymbole für die Spektralfunktionen in Gl.(F3-2, 18) und die verschiedenen

Vorzeichen der Phase.

F4 Kohärenz

Für quasimonochromatische Größen definiert man ein komplexes analytisches Si- *

gnal im Raumpunkt r [Born, L19381, [Grau, L51, [Rice, L30141

* mit den in Betrag und Phase langsam veränderlichen Amplituden As(r,t) bzw.

AS(t)'~s(;) für eine Lichtquelle mit der geringen spektralen Breite Afs « fs und der Leistung PS.( ... ) steht für eine Mittelung über einige optische Pe-

t0 rioden. Die Faktorisierung impliziert Reinheit des Kreuzspektrums (cross-

spectral purity [Mandel. L1247, L32711). Diese Annahme ist für übliche Licht-

quellen wie Laser oder inkohärente Strahler gerechtfertigt. Das zugehörige reelle Signal ist V s Es seien ergodische Prozesse vorausgesetzt.

Als Kohärenzgrad erster Ordnung (mutual coherence function [Born, L193811

bezeichnet man + (Yi<=, ,to> .v;cr,.t,- t)) - * *

yij(rl ,r2,t) = t0 (F4-2a)

- Für die Fourier-Transformierte y (f) des normierten Kohärenztensors, das

-ij normierte Kohärenzspektrum, wird auch die Bezeichnung 0..(f) verwendet, vgl.

1 I (F3-18).

Untersucht werde ein Interferenzexperiment, bei dem M verlustarme Lichtwel-

lenleiter-Moden mit der transversalen Ortsabhängigkeit + (;) durch die m Lichtquelle der Gl.(F4-la) angeregt werden und sich nach Durchlaufen einer

+ bestimmten Wegstrecke im Punkt rG Uberlagern. Die m-te Modenamplitude sei

mit dem Kopplungskoeffizienten cm angeregt, vgl. Gl.(F2-23), und der zugehöri-

ge Modus habe die Impulsantwort gm(t) bzw. die Ubertragungsfunktion sm(f),

vgl. Gl.(F2-2, F7-13). Die Lichtquelle werde durch die Entwicklung nach den

orthogonalen Fasermoden vollständig beschrieben. Man erhält für das Uberla- *

gerungsfeld in rG bzw. für dessen Nahfeld-Intensität I~(;~) = IG

2 W

Die Anwendung von Gl.(F4-2) auf das Feld 'PG G1.(4-3a) führt zur Autokorrela- W *

tion yGG(t) im Punkt rG, (~4-4a)

M m-1 * 1 * * * IG = I + 2PsRe I 1 CmCn 3 Qm(r ) Q (r ) . m=2 n=l G n G

* - I bezeichnet die Summe der Modenintensitäten im Punkt rG. yAA(t) meint die

normierte Autokorrelationsfunktion des schmalbandigen Lichtquellenprozesses

A (t). Für eine nahezu monochromatische Quelle und Impulsantworten -s gm(t) -6(t-t ) erhielte man eine periodische Modulation der Intensität I

gm G mit cosws(t - t ) . Entsprechend wäre das Spektrum BGG(f) von yGG(tl bei

gm gn spektral breiter Quelle mit cosw(t - t ) moduliert (Alford-Gold-Effekt

gm gn [Alford, L12461, [Mandel, L12481, Icrosiqnani, L21871, [Grau, ONTI). Die spek-

trale Breite der Lichtquelle orientiert sich an der reziproken maximalen

Laufzeitdifferenz l/(tgm-tgn)max.

Die räumliche bzw. zeitliche Kohärenz eines Feldes der Zeitdauer r und der

Bandbreite df ist mit der Anzahl seiner transversalen (MT) bzw. longitudina-

len (q) Freiraum-Moden verknüpft [Grau, L51, k = kon Gl.(Fl-6),

2 d ~ c o ~ y d n , dML = rdf, dM = 2 d q d q ; (F4-5)

dabei werde das Feld von einem Flächenelement dF unter dem Winkel y zur Flä-

chennormale in das Raumwinkelelement dn abgestrahlt. Der Faktor 2 bei der Ge-

samtmodenanzahl M berücksichtigt die beiden möglichen Polarisationsrichtun-

gen. Innerhalb der Kohärenzzeit rk ist die Anzahl longitudinaler Moden ML =

lrdf M rAfs für die Quellenbandbreite Afs eins: ebenfalls eins wird die zahl

transversaler Moden, die von einer Kohärenzfläche Fk in den Kohärenzraumwin-

kel nk abgestrahlt werden. Es folgt

Ist bei verlustfreien optischen Transformationen = const, so muß auch das

Phasenraum- oder Modenvolumen

konstant bleiben. Gl.(F4-7), W = const, wird Liouville-Theorem genannt.

F5 Holographie

F5 Holographie

Bild F3 zeigt, wie analoge Hologramme hergestellt werden. Das Objekt 0 wird

mit einer monochromatischen Laserlichtquelle der Frequenz f beleuchtet. Der t - t S

von 0 am Ort ro = (x0, yo, z ) ausgehenden Objektwelle O(ro,t) wird in der 0

Photoplattenebene F eine Referenzwelle E(;,t) Uberlagert, die zur Beleuchtung

kohärent ist. R sei eine ebene Welle mit der Ausbreitungskonstante CR(;). In

der Plattenebene F mit den Koordinaten ;F = (x,y,zF = const) erhält man von --t O(ro,t) und <(;,t) das Feld

Für die auf der Photoplatte F registrierte Integsltät erhält man analog zu

G1. (F4-3b, 4b)+mit den AbkUrzungen RF = IRF\@ -jkRrF, 0 (; ) = F F 1 0 F <; F ) e-jvocr~),

Die relative Amplitudentransparenz O S T F < 1 der geeignet belichteten und ent-

wickelten Platte kann im Bereich 0,4iTFL0,8 meist linear genähert werden

[Friesem, E4681,

wobei a und b ortsunabhängige reelle Konstanten sind. Beleuchtet man die ent-

wickelte Platte F wie im Bild F4 mit dem Feld

so erhält man in F

- yiH(rF,t) + = {(a- ~ I R ~ I ~ ) B ~ ( ; ~ ) - bloF<;,> 1 2 ~ , < f F > - + + (F5-5)

-jk r ji: ; jwst - ~ I S I ~ F~F(;F)~;(;F) -blRF/e F~F(;F)~F(rF)}e .

Das in F gespeicherte Interferenzbild wird Hologramm genannt [Gabor, E453,

E4541, [Leith, Upatnieks, E455-E4571, [Meier, E4591. Bestrahlt man dieses - + - * mit der Referenzwelle, so daß B(rF,t) = R(rF,t) wird, dann ist der vierte

Term in G1. (F5-5) exakt der komplexen Objektwelle OF (rF,t) proportional und ein Beobachter sieht hinter der Plattef das virtuelle Objekt. In diesem

2 Fall ist der dritte Term -blRFI o~(<)e -j2kR'F ein Abbild der in der Objekt-

ebene z = z0 verschobenen, konjugiert komplexen Objektwelle, nämlich k RX o*[x - 2 - (zF - zO), y - 2 2 (zF - zO) , zO1e-jZk~zZ~. Diese Aussage gilt ko

exakt, wenn zwischen O(;~I und o~(;~) das Ausbreitungsgesetz der Fraunhofer-

Beugung gilt, Gl.(F3-12a, 2b), und enthält den Verschiebungssatz der

I . . . ,. ., ,I i x . ..I , ..I.I . i l. i~. i ~ i . I,.!' i i i . I I , i i i w i l „ . i ; i i ~ : i . i ~ ~ . , i ~ l i : i . . i ii,i; 1 I i i i I 1 1 i : . i 1 I i : i i l , I iw id I

F5 Holographie

X

Y

Referenzwelle Photoplatte F

Bild F3. Herstellung eines analogen Hologramms.

/ \ H o l o g r m /

virtuelles 1 \ Objekt 1 \ \

f Beleuchtung

Photoplatte F Beobachter

Bild F4. Rekonstruktion eines Objektfeldes.

F5 Holographie

Fourier-Transformations-Theorie. Die in der Ebene F konstante Phase 2kRZzF

ist in diesem Zusammenhang bedeutungslos. Gilt nicht die Fraunhofer-Näherung,

sondern das Fresnel-Integral Gl.(F3-10) oder gar das allgemeine Beugungsge-

setz Gl.(F3-3). so treten zusätzliche Faktoren hinzu, so da0 die konjuqiert

komplexe Objektwelle im Geqensatz zur Objektwelle nur näherungsweise rekon-

struiert werden kann. Bei Beleuchtung mit ;(gF,t) = hingegen wird

die konjuqiert komplexe Objektwelle exakt, die Objektwelle aber nur angenä-

hert dargestellt. Die ersten beiden Terme der Gl.(F5-5) sind unwesentliche

Störanteile.

Von jedem Objekiptnkt geht eine divergierende Kugelwelle aus, in Fraunhofer- ~ ä h ~ ~ ~ ~ ~ e-jkoIr-roIejwst e -jkg Iz-zo le+n(x2+y2)/ (h Iz-z~I)~jw~t. Folglich

ist die Objektwelle divergent und kann nur mit einer Sammellinse Gl.(F3-13)

auf einem Schirm abgebildet werden. Jeder Punkt des konjugiert komplexen Ob-

jekts strahlt in z-Richtung eine konvergierende Welle e-jkOIZ-ZOI.

. e 1n(x2+y2)/(Xlz-z00ejwst ab. In der Ebene F, z = z„ scheint diese Welle auf

einen Punkt in der Ebene z = zF+ (z - zO) = 2zF- z0 für zF) z0 zuzulaufen. F Dieses sogenannte pseudoskopische reelle Bild (im Geqensatz zum orthoskopi-

schen virtuellen Bild der Objektwelle) vertauscht die Tiefeninformation: Was

im orthoskopischen Bild dem Betrachter näher ist, erscheint im pseudoskopi-

schen Bild entfernter. Je nach der Phasenfrontkrümmung von Referenzwelle

~(;~,t) und Beleuchtungswelle ~(;~,t) bei der Rekonstruktion kann das pseudo-

skopische Bild auch virtuell, das orthoskopische dagegen reell werden [Meier,

E4581. Die Verkippung der Referenzwelle zur Flächennormale des Hologramms

kRXxF-kRyyF $ 0 trennt ortho- und pseudoskopisches Bild räumlich; solche Ho-

logramme werden außeraxial (off-axis) genannt. Je nachdem, ob eine Abbildung

des Objekts, also das Nahfeld, oder seine Beugungsfigur in Fresnel-,

Gl.(F3-lob), oder ~raunhofer-~äherung, Gl.(F3-12b), registriert wird, werden

die entsprechenden Interferogramme Nahfeld-, Fresnel- oder Fraunhofer-Holo-

gramme genannt. Ein wichtiger Spezialfall des letzten Typs ist das Fourier-

Hologramm, bei dem sich das Objekt in der vorderen und die Photoplatte in dex

hinteren Brennebene einer Linse der Brennweite F, befindet, Gl.(F3-14). Ein

Objektpunkt werde durch O(xo,yo, zO) beschrieben. Referenzwelle ist die Punkt-

quelle ~ F ~ I R ~ G ( X ~ - xR, yO- yR), ebenfalls in der hinteren Brennebene der Lin-

se, Bild F5. In der Hologramebene zF = zO+ 2F1 erhält man das Sumenfeld

1 + mit der Intensität I (; ) = T(YF(rF) 12, die wiederum in einem linearen Holo- F F gram Gl.(F5-3) gespeichert werden möge. Beleuchtet man die entwickelte Plat-

te mit einer ebenen Welle B (; ) = [BI und fourier-transformiert das erzeugte F F Feld mit einer Linse G1.(~3-14) der Brennweite F2, so erhält man in der Re-

F5 Holographie

Bild F5. Herstellung eines analogen Fourier-Hologramms.

Bild F6. Rekonstruktion und Beugungsordnungen eines analogen Fourier-

Hologramms, = F ~ .

F5 Holographie

+ konstruktionsebene z = z0+2F +2F2, rK = (xK, yK, zK) von Bild 6 mit K 1 . G1. (F5-3)

Der erste Term ist eine Beugung nullter Ordnung der fourier-transformierten + ebenen Beleuchtungswelle B (r ) . Der zweite Term gibt die Autokorrelation der F F

Objektfunktion wieder; die Operatoren EI und * beschreiben Kreuskorrelakion und Faltung,

+m

g(x,y) @ h(x.y) = \ j g ( ~ ~ , ~ ~ ) h * ( x ~ -X, y1 - y)dxldyl, -m

+ (F5-8)

Die Autokorrelation ist doppelt so breit wie das Objekt und stellt eine auf

xK = yK = 0 zentrierte StBrung dar. In der (-1)ten Beugungsordnung erscheint

die konjugiert komplexe Objektamplitude des dritten Summanden. Der letzte

Ausdruck schließlich stellt die Objektwelle in der (+l)ten seugungsordnung

dar; sie ist um das Brennweitenverhältnis F1/F2 abgeschwächt, während die Li-

nearvergrnßerung F2/F1 beträgt. Hatte sich im Bild F5 der Objektpunkt bei

X = yo = 0 befunden, so ist er in der Rekonstruktion an der Stelle xK =+xR, 0 yx = + y R zu sehen. Hat die auf xo = yo = 0 zentrierte Objektfunktion maximale

Koordinaten von X M, yM, vgl. Gl.(F3-12b), so muß für die Referenzwelle

IxR1 2 31xMI ~ Z W . IyRI >31yMI (F5-9)

gelten, damit eine Uberlappung mit der doppelt so breiten nullten Beugungs- 1 ordnung vermieden wird, vgl. Bild F6 für die Leistung PK (xK) = ZI't'K (xK) / in

der Rekonstruktionsebene.

Hologramme physikalisch vorhandener Objektfelder werden auf photographischem

Film aufgezeichnet. Zunehmend Bedeutung gewinnt die Herstellung computer-ge-

nerierter Hologramme (CGH), bevorzugt als binäre Masken [Brown, Lohmann, E317,

E3191, [Lohmann, E318],[Bartelt, E4711; da das CGH-Filmtransparent keine

Graustufen enthält, gibt es keine Probleme mit der Amplitudenlinearität

[Friesem, E4681 der Transparenz, vgl. Gl.(F5-3). Zur Synthese einer in M x N

Punkten gegebenen komplexen Spektralfunktion 2 ,

F5 Holographie

+- ++ + 12nrr 2+ +

S(K) = j/~(;)e d r, r = (x,y), 2- - d r = dxdy -m

+m ++ - j2nru s<;) = /ls(;>e d 2+ - K = K , d 2+ K = drxd~

-m Y Y

wobei die Raumfrequenzen K K~ von Gl.(F3-8, 9) den Zusammenhang mit G1. (F3-2) liefern, müssen im Raumfrequenzbereich Mx N Zellen konstruiert wer-

den, deren Transparenz eine ebene Beleuchtungswelle in Betrag und Phase modi-

fiziert. Die lokalen ebenen Wellen der einzelnen Zellen entsprechen in Betrag +

und Phase der gewünschten Funktion S(K). Bild F7 zeigt die Hologrammstruktur und eine Zelle der Kantenlängen A K ~ , AK [Bartelt, E4711. In einer Zelle soll

Y die kontinuierliche Funktion ~ ( K ~ , K ) fl g(mArx,nAr ) = S -

Y y -mn - smn ejumn, m,

n = tl,t2, ..., so glatt verlaufen, dar3 sie als annähernd konstant angesehen werden darf. Fällt eine ebene Welle e-12n(X~Kx+y~KY' auf eine Zelle (m,n), so

resu'ltiert die mittlere komplexe Amplitude [Brown, Lohmann, E3171

-j2nxR(m+pmn) AK, = a sinc (amnxRAKx) e mn

-j2nyR(n+q„)Ar bmn sinc (bmnyRA~y)e Y,

Smn = a b sinc (amnxRAKx) sinc (bmnyRA~y) , mn mn (F5-llb)

- Ublicherweise wählt man umn(pmn - qmn = 0) = 0, 12n,? 4n, ..., so daß zu fordern ist x ~ A K ~ = ix, y AK = i

R Y Y' ix,i = 0,t 1,t 2, ..., und man erhält

Y

Da das Hologramm entsprechend der Anzahl der Bildpunkte 2 x ~ x N reelle Größen

speichert, sind zwei freie Parameter nötig, um die Lage und Größe ei-

nes transparenten Rechtecks zu bestimmen. Meist wählt man qmn = 0,

b K = Ar = AK, bmn = 1 und variiert amn, pmn. MUßte man das transparente X Y

Rechteck teilweise aus dem Zellenbereich z. B. nach rechts rucken, so macht

man eine überlaufkorrektur und fügt das verlorengegangene Flächenstück um

AK verschoben an der linken Zellenseite wieder an (circular overflow). Kann

. , , , ":. , , , , , i . . . & . , I ..I i.. . I . I ; , 1, . . I , , , # L . < , i ~ ' . i . . i , i r , , i i i , . : , , I 1 1 I . I Z I , I , I i : J 1. I , i. i I~ iL lg id t

F5 Holographie

sichtig

Bild F7. Synthetisches Fourier-Hologramm

@schematischer Aufbau

@ Zellenstruktur

F5 Holographie

mit a die Amplitude nicht hinreichend varriiert werden, so fixiert man amn mn und verändert bmn. Den ersten Hologramm-Typ nennt man Lohmann I, den zweiten

Lohmann 111. Soll dem diskreten Fourier-Hologramm Gl.(F5-11) eindeutig ein

Objektfeld s(;) zugeordnet werden, so muß dieses auf den periodisch wieder-

holten Bereich

2xM = MAx 5 ~ / A K ~ , 2yM = NAyl ~ / A K (F5-12) Y

beschränkt und in Abtastintervallen Ax, Ay bekannt sein. Wegen der binären

Natur des Hologramms entstehen im Gegensatz zum analogen Hologramm Bild F6

bei der Rekonstruktion auch höhere Beugungsordnungen. Die maximale Objekt-

punktzahl ist wegen den beschränkten Abmessungen des transparenten Zellen-

fensters auf M x N = 300 x 300 bei einer Amplitudendynamik von 34 dB be- 8 schränkt. Gute Linsen lösen 10 '... 10 Objektpunkte auf, eine Fläche von

10 x 10 Cm2 feinkörnigem photographischem Film sogar 10' ... 10'' [Lohmann,

E4721. Das Produkt MN entspricht der Anzahl transversaler Freiraum-Moden MT 2 von Gl.(F4-71, AxAy kann man als Kohärenzfläche Fk und MNA AnxAn als Xohä-

Y renzraumwinkel fik interpretieren, Gl.(F4-6, F3-8), so daß ein raumfrequenz-

begrenztes Objektfeld durch einen komplexen Abtastwert pro Kohärenzfläche

vollständig dargestellt wird, vgl. Gl.(F5-lla) im Raumfrequenzbereich.

Eine ausführliche Fehleranalyse der CGH vom Typ Lohmann [Brown, Lohmann.

E3171 sowie von den Typen [Lee, E4741, [Burckhard, E4751 und [Hsueh, Sawchuk,

E4761 wurde von [Allebach, L15101 veröffentlicht.

F6 Geometrische optik


Die geometrische Optik operiert mit Lichtstrahlen, einer mathematischen Fik-

tion, die Beugung ignoriert und bei LWL nur für V » 1 näherungsweise gilt.

Für die radiale Ausbreitungskonstante kr, Gl.(F2-3b), erhalt man beim Durch-

laufen des Radius von einem inneren Kaustikradius rl, Gl.(F2-6), bis zu einem

äuneren Kaustikradius r2 und wieder zurück die Eindeutigkeitsbedinqung, auch

Dispersionsrelation [Gloge, L8471 genannt, u = 1 2 3 , . V = 0.1. 2, ...,

Wenn die Welle geführt wird, ist ß >k,. Phasenverschiebungen an den Kaustiken

bzw. ander Kern-Mantel-Grenze bei Stufenprofil-LWL sind Vernachlässigt.

Gl.(F6-1) hätte man auch als Näherungslösung der Helmholtz-Gleichung

GI. (F2-3a) mit dem Ansatz Q (r) = A(r)e VU

-jkoS 'r) nach der WKB-Methode [Morse,

E171, [Marcuse, L1942, L7481, [Okoshi, E4511 erhalten, wenn man in Gl.(F6-1) 1 ersetzt u * U-T. Zur Berechnung der Modenanzahl M mit Ausbreitungskonstanten B

'm uivi 'm r2 vm

bis B wird das Integral M = 4 B j d v du = 4 j u ( w ) d w - ~ ~ n Ik,(r)dvdr ge- 0 0 0 rl O

bildet. Der Faktor 4 berücksichtigt die Entartung der Moden, deren Modenindi-

zes V, als kontinuierliche Variable angesehen werden. W = r \ l m m ist der zu gegebenem r, 5 maximale v-Wert. Mit der Substitution y = v/vm,

dv = vmdy, V

- 2 ll 1- dv = (vm/r) r dy = (wn/r) r erhält man r

L 2 2 2 Mß = J [kin2(r) - ß rdr, kon (rl ,2) - 8 = 0. (F6-2)

rl

Für Potenzprofile GI. (F1-1,4) wird daraus analog zu ~ 1 . (~2-11) (F6-3)

wobei M die Anzahl gefuhrter Moden bis 6/A = 1 ist, m für die Hauptmodenzahl 9

steht und M = M (a = 2) gilt. Als Modendichte wird die ~acobi-Determinante 2 a m(6,u) bzw. mi6) im Ausdruck

bezeichnet. Differentiation von M nach 6 und Ausfilhrung des Integrals lie- B fert die Modendichte m(6). Bei nichtmonotonen Profilen mit mehreren Kaustiken


auch für Meridionalstrahlen V = 0 darf das Integral Gl.(F6-2) nur über die

lichterfüllten Bereiche rii r 5 r. Gl.(F2-6) erstreckt werden, also im Bild 1+1

F9 beispielsweise nur im Bereich Psi (PSpO2.Man erhält für die Modendichte. vgl. ~1.(6-15b), P = r/a,

v2 Für ideale Parabelprofile wird mit m(6) = 6, wobei die Anzahl von Wellen in 2A ~2 jeder Hauptmodengruppe m m(m) = 2m beträgt; für Stufenprofile qilt m(6) = X .

Mit Bild F8 qilt für den Ausbreitungsvektor einer lokal ebenen Welle im

Punkt r. V, z die Zerlegung (6 ist der Winkel zwischen 2 und der z-Achse) (F6-6)

Tritt ein Lichtstrahl aus dem Vakuum-Halbraum z >0 an der Stelle r, W, 0 un-

ter dem Winkel y zur LWL-Achse in das Medium ein, so ist mit dem Snellschen

Brechungsgesetz

1 . sin y = n(r) sin B (F6-7) +

für die Komponenten von k zu schreiben

kr = ko sin y cos $ , V Ik I = - = k sinylsin$), ß = konl-, ip r o

(F6-6) 6 V sin -(

IsingI.

Bei einem Stufenprofil werden durch Ausleuchten einer Kegelfläche des halben

öffnungswinkels y Strahlen nur einer Ausbreitungskonstante angeregt. Für das sin Y Parabelprofilsind Position p und Schiefe 7 austauschbar; an der Stelle N

P = 1 , g(1) werden nur Eeckwellen angeregt, für $ =cn/2 im vollen Akzeptanz-

winkelbereich 0 5 siny SAN. Wie die mit den vier Normalkongruenzen verknüpf-

ten ebenen Iiellen durch Superposition einen Wellenleitermodus formieren, wird

in [Grau, ONT] ausführlich erklärt; hier ist wesentlich, daß einem in

Gl.(F6-8) definierten Strahl zwei korrespondierende LWL-Moden mit sinvip-

bzw. cosvip- Abhängigkeit beigeordnet werden kBnnen, indem man vier ebene

Iiellen ?kr, tkW, B überlagert. Berücksichtigt man die beiden orthogonalen Po- larisationen, so ergeben sich die vierfach entarteten LP -Wellen.

V P

Für Potenz- bzw. Parabelprofile erhält man aus Gl.(F6-8, 3, F2-11)

Die Näherung qilt für technisch interessante parabelähnliche Profile.

Nahfeldintensität IN in w/m2 und Fernfeldleistunrj PF in :U/sr vielwelliger

LWL können mit Methoden der geometrischen Optik berechnet werden. Mit Bild

F 8 ist die Strahldichte L in wmb2sr-' von einem Flächenelement dF = rdrdw

in ein Raumwinkelelement dO = sinydyda


Bild F8. Austrittsfläche und Koordinatensystem eines Lichtwellenleiters

(nach [Grau, L93311 .

2 Bild F9. Beispiel einer nichtmonotonen Profilfunktion q ( p ) = gi(p).

i=l


d P ~ dP L(r,<p,y,O) = dFcos dP = - , F dfl PFL(Y) = PFmCOSY, (F6-10)

wobei dPF die pro Raumwinkelelement dfl abgestrahlte Leistung dP ist. Beim so-

genannten Lambert-Strahler PFL(y) wird L von y und C$ unabhängig; er wird

von allen gleichförmig inkohärent leuchtenden Flächen bereichsweise angenä-

hert. Diese Eigenschaft geht nach optischen Transformationen mit Maßstabsver-

änderung verloren, vgl. Gl.(F4-7) für AFAn = const.

Da I ~ P = J ~ d ~ c o s y d n = fm(6,v)P(6,v)d6dv mit der Modenleistungsverteilung (MLV) 2 1 P(6.v) im Modus 6,v gilt, andererseits aber (k0/2n) dFcosydn = m(6,v)d6dv

die differentielle Anzahl von Freiheitsgraden in einer Polarisation ist, vgl.

Gl.(F4-5), wird bei rotationssymmetrischen Medien mit $ = @ - W für einen Modus

und man erhält für die Mahfeldintensität bzw. Fernfeldleistung

mit den Transformationsgleichungen (F6-8) für 6 und V. Die allgemeine Lösung

dieser Integrale wurde von [Leminger, L1082)1, [Grau, L933, ONTI angegeben,

bei Gl.(F6-13a) allerdings nur für den Fall monotoner Profilfunktionen g(y).

Nichtmonotone g(y) erfordern ähnlich wie in Gl.(F6-5) die getrennte Behand-

lung der einzelnen Strah'lbereiche. Man findet [Leminger, Freude, E181

2 -1 6 sin y r 2 xi = gi ( - ) oi = Aminll,g(pEi+l) ui = Amin rl,g(pEi L ) +&I,

4 4 N

< g ( ~ ) = 1 gi(p). gi(p) 2 0 für pE i - P < P E i+l, qi (P) = 0 sonst. i=l

Die Profilfunktion g(p) stellt man sich zusammengesetzt vor aus N bereichswei-

se von null verschiedenen, streng monotonen Abschnitten gi(p), p E i sind

die normierten Radien der Extremwerte von g(p), Bild F9. min(a,b) ist der


kleinere Wert von a und b.

Werden alle Moden gleichförmig angeregt, P(6,v) = Po, ergibt sich -

N 2 sin y 2 pFO (Y) = pFm tos Y 1 {[9i1 (min(1 - 7 ,

ipE i+l ),)I - i=l AN

Mit den Gl.(F6-15a, b) ist eine streng monotone, äquivalente Profilfunktion

g- (P) [Freude, L1 7431 definiert, die zum selben Fernfeld führt wie g(p) ; aus aq

PFO(y) kann also nicht eindeutig auf g(p) rückgeschlossen werden. Für das

Beispiel von Bild F9 erhält man

2 2 Der innere Bereich O S sin ySAN[l - g(0) 1 des zugehörigen Fernfelds PFO(y) wird ungestört durch die Brechzahleinsenkung auf der Faserachse vom äußeren

Teil der Profilfunktion g(p) = g2(p) bestimmt, während im äußeren Fernfeld- 2 2 2 Bereich A N 1 1 - q(O)l(. sin ~ 2 % sich durch die axiale Störung die Leistung

vermindert.

Moden gleicher oder ähnlicher Ausbreitunqskonstanten werden durch unvermeid-

liche Irregularitäten des Wellenleiters besonders gut verkoppelt. In diesem

Falle ist die Annahme P(6,v) = P&(&) gerechtfertigt. Gl.(F6-12) läßt sich

dann eindeutig umkehren [Daido, L4601, [Piazzola, L5241, [Di Vita, E2761,

[Leminger, L10821, und man erhält

wobei gemäß Gl.(F6-14) INO(p) eine Referenzverteilunq für den Fall gleichför-

miger MLV P(6,v) = Po ist und IN6(p) die aktuelle Nahfeldintensität. Die Be-

ziehung für P6[g(p)l gilt auch für nichtmonotone Profile, während die Identi-

tät P (6/A) E P [q(p)l nur bei monotonen Brechzahlverläufen zutrifft. Nähe- 6 6 rungsweise ist jedoch für technisch interessante, nahezu parabolische Profi-

le g(p) a p2, g-' (6/A) &T; es verbleiben durch diese Approximation mögli-

cherweise gravierende Fehler.


Aus PF(y) läßt sich bei Potenzprofilen eine analytische Beziehung für P6(6)

angeben [Grau, L9331; unter der Annahme P(6,v) = P6(6) kann man Gl.(F6-13a)

allgemein umkehren. Stimmt die so gewonnene MLV mit der aus Gl.(F6-17) über-

ein, ist die Hypothese P(6.v) = P6(6) bestätigt [Grau, L9331. g(p) sollte 2 für diese Untersuchung monoton und g(p) + p sein.

IN und PF sind zwar durch P(6,v) und g(p) eindeutig bestimmt, jedoch kann

von I bzw. PF nicht eindeutig auf P(6,v) rückgeschlossen werden, da die N Phaseninformation der Felder verlorengegangen ist. Mittel zur Restaurierung

der Phase sind von [Fienup, L2135, L30321, [Walker, L19361, [Lohmann, E4811

beschrieben, aber nur mit einigem Aufwand anzuwenden. Singulär verhält sich

das abgeschnittene Parabelprofil in der Näherung der geometrischen Optik. Es

gilt eindeutig bei beliebigem P(6,v) [Grau, L9331

d. h. PF-IN. Dies wurde bereits für das ideale parabolische Profil mit

Gl.(F2-14) festgestellt.

Implizite Differentiation der ~ispersionsrelation F(6,w) = 0 ~l.(F6-1) iie-

fert mit Gl.(F7-1) die Gruppenlaufzeit [Gloge, L8471 (F6-19)

Dies ist das strahlenoptische Kquivalent zur allgemeinen Beziehung Gl.iF7-8).

=-I ,2 sind die Kaustikradien eines monoton angenommenen Profils. Für Potenz- profile erhält man mit n (r) W n(r), A << 1 und B = kl= von Gl.(F2-4)

g

In diesen Beziehungen wbrde die lineare Profildispersion [Geckeler, L6331

vernachlässigt, ebenso die nichtlineare Profildispersion [Geckeler, L952.

L2024, L1749, ~20251,


Raben alle Wellen gleicher Ausbreitungskonstante dieselbe Laufzeit, dann gilt

[Marcatili, L23471

Ist P = 0, dann sind Potenzprofile, Vielfach-a-Profile [Olshansky, L15381 n und zusammengesetzte Potenzprofile [Marcatili, L23471, [Weierholt, L15191

mögliche Lösungen g(p), welche die Bedingung D(A1 in Gl.(F6-23) erfüllen. Bei

einem Potenzprofil erhält man [Olshansky, L9081 für a bzw. dessen optimalen

Wert a bei minimaler Gruppenlaufzeitstreuung OPt

Gilt Gl.(F6-23) oder sorgt Modenkopplung dafür, dan sich die Leistungen in 2 2 2 Moden nahezu gleicher Ausbreitungskonstanten B = k n (1-26) ausgleichen, so

0 1 ist der Ansatz P(6,v) = P6(6) für die Modenleistungsverteilung gerechtfer-

tigt. Aus den Gl.(F6-13b) erhält man mit der Modenleistungsverteilung

P (6 ) = P06 (61 - 6) [6 (61 - 6) ist die Dirac-Delta-Funktion vom Argument 6 1 - 61 das Fernfeld PF6(y) für Moden derselben normierten Ausbreitungskon-

stante 6,

Gl.(F7-10) formuliert eine allgemeine Beziehung zwischen der effektiven Fern-

feldbreite K~ und der Gruppenlaufzeit t eines Modus fester Ausbreitungskon- 9

stante, dessen Fernfeld-Leistung im geonietrisch-optischen Sinne durch P (Y) = F PF6(y) repräsentiert weräe. Es resultiert nach längerer Rechnung mit Hilfe

von g (p) aus Gl.(F6-15a. b) für schwach führende Fasern mit ä4

Die Gl.(F6-26a, b) sind identisch. Für den Spezialfall einer zusmengesetz-

ten Profilfunktion wie im Bild F9 kann man die Beziehungen einfach aus einer

impliziten Differentiation von Gl.(F6-2) ableiten; [Petermann, E201 gab hier-

für das äquivalente Profil an.

Setzt man für [gäql2 die Fernfeldleistung PFO bei gleichförmiger Modenlei-

stungsverteilung P(6,v) = Po ein, Gl.(Fb-15a), so erhält man aus Gl.(F6-26a) sin y mit der Raumfrequenz K = von Gl.(F3-8b) das Ergebnis


Pm (sin-'&)] . (F6-27) 1 - - cos sin-'

Gl.(F6-26, 27) sind für P = P = 0 und Potenzprofile mit G1.(~6-23) iden- n tisch.

Zur Berechnung der effektiven Impulsbreite ot miissen die Moden vu und damit die Laufzeiten t mit physikalisch relevanten Gewichten versehen werden,

9vu

Gl.(F6-28b) gilt bei intensivem Leistungsaustausch in Hauptmodengruppen m.

Die Koeffizienten pvu bzw. pm indizieren den prozentualen Leistungsanteil pro

(Haupt-)Modus. Gl.(F6-28) setzt voraus, daß die Impulse der Modenleistungen

linear überlagert werden dürfen, vgl. Abschnitt F7, Gl.(F7-15) und letzter

Absatz.


F7 Impulsverbreiterunq

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sowie Phasen- und Gruppenlaufzeit sind de-

finiert als

n ist die Gruppenbrechzahl, L die Länge der Ausbreitungsstrecke, C die Licht- 9 geschwindigkeit im Vakuum. Im homogenen Medium mit der Ausbreitungskonstante ß = kon gilt

Häufig werden Potenzreihenentwicklungen fUr ß um eine Mittenfrequenz ws benö-

tigt (hs = c/fs mit fs = ws/(2n) ist die zugehörige Vakuumwellenlänge),

1 '. 3 @(W) = ß s + B S . ( W - W ~ ) + ~ ßs.(w-Us)2+l'B '(W-Ws) + ..., 6 s

1 " 2 t (U) = t + G .(U-WS)+2tq;(w-US) +. . . ' 9 9s CIS

Für die maximale Gruppenlaufzeitdifferenz At bei um maximal Aw bzw. Ah ver- 9

schiedenen Trägern erhält man

Die Koeffizienten

werden Farbdispersionsfaktoren 1. Ordnung (G) bzw. 2. Ordnung (H) genannt. M P W Ein Superskript G , G',' G' und H ~ , H bzw. H weist darauf hin, daß nur der

Material(M)-, der Profil(P)- bzw. der Wellenleiteranteil (W) der chromati-

schen Dispersion gemeint ist.

Bild F10 stellt den Brechzahl- und Gruppenindexverlauf von reinem Quarz dar;

die sogenannte "Nullstelle der Materialdispersion" = 0 liegt bei Amin =

1 , 2 7 Pm. Bild F11 zeigt die Farbdispersionsfaktoren £Ur reine Materialdisper- W W sion im homogenen Medium. Für Gf = 0 bleibt Hf t 0, und der Dispersionsfaktor

2. Ordnung dominiert.

F7 Irnpulsverbreiterung

0 0.5 1 ,O 1,5 2.0 um 2.4

Wellenlange --C

Bild F10. Breohzahl n, Gruppenindex

ng und Material-Farbdisper-

sionsfaktor 1 .Ordnung G: von

undatiertem Quarzglas, Tabel-

le F12(nach [Fleming, E2511

und G1. (F7-6a)).

Bild F11. Farbdispersionsfaktor 1.Ord-

nung und 2.Ordnung $ für typisch dotiertes Ge02-Quarz-

glas (nach [Timmermannn,

E161).


Aus der klassischen Theorie der Dispersion [Born, L19381 stammt die 3-Term-

Sellmeier-Reihe mit Resonanznennern zur Approximation des Frequenzverhaltens

der Brechzahl,

für die manchmal auch eine Polynomdarstellung zweckmäßig ist. Mit Gl.(F7-2)

erhält man fiir die Gruppenbrechzahl im homogenen Medium

Tabelle F12 listet nach [Kobayashi, L511 und [Fleming, E2511 die Sellmeier-

Koeffizienten für verschieden dotierte Ouarzgläser; dabei ist zu beachten,

daO [Fleming, E2511 schockgekiihltes Material verwendet hat. Die Absolutgenau-

igkeit der aus Tabelle F12 und Gl.(F7-6a) errechneten Brechzahlen ist bei -5 beiden Autoren mit n = ? 5.10 gleich und entspricht der Meßunsicherheit.

E Die Daten geben reine Materialdispersion wieder ohne Wellenleitereinflüsse.

M Für Xs = 0,85 um resultiert bei reinem Quarzglas = - 84 ps km-', Gf = A M 203 ps km-' THZ-I [Pleming, E2511 und für ,Is = Amin = 1,273 um HA = G,3 M fskm-' nm-', Hf = 0,18 pskm-' THZ-~ [Kapron, E2501, was in der GröOenordnung

mit den Zahlen des qualitativen Bildes F11 übereinstimmt. Weitere Disper-

sionsdaten verschieden dotierter Gläser findet man bei [Malitson, E2691,

[Shibata, L24681 und [Nassau, L24761.

Die Ausbreitungskonstante B wird nicht nur von den Material-, sondern auch

von den Wellenleitereigenschaften des Mediums beeinflußt. Betrachtet werde

irgend ein Modus Qvu(r,w) = @vu(r)Qvu(w) einer schwach führenden rotations-

symmetrischen Faser der'Länge L in skalarer Näherung, Gl.(F2-2). Multipli-

ziert man die Iielmholtz-Gleichung Gl.(F2-3a) mit dem reellen Feld Q (r,w) v!J und integriert iiber den gesamten felderfiilltmn Querschnitt, so ergibt sich

1 2 mit der Normierung G1. (F2-8) und P = 1, J @ (r)rdr = 1, v!J 0

m -- m

2 1 2 2 2 -T dQv,(r) 2 v21 ßvu = 7 \[kon (r) Q2 (r)rdr - K Kuli = $1 [ dr ] rdr. (F7-7a)

0 r 0

Die Voraussetzung schwach führender Fasern und rotationssymmetrischer Felder

V = 0 vereinfacht G1. (F7-7a) zu G1. (F7-7b).

FUr die Gruppenlaufzeit berechnet man mit Gl.(F7-1, 7a, F2-3a) oder nach

[Brown, ~4781, [Case, E4801, [Leminger, L33871, [Kuester, E4791

Ln W w o - W O m O r n m m c - 4 m m r n o r n o m - w r - r . w m o r n o r n r n O N m O - m . " . ? ? ? , o o o o o m

- - ;; w a i

.rl

0 ir; - U 4

2".

E 1 N 0

a ii C

m .rl C - E ; P <

E 2 m

C m - W I1

C .rl E

Ln X

r r. L n 0 r . P

$ f O 7 P P 0 P N ~ P O - w m o e " ~ ~ m o m o r W- * m ? . - 9 9 , o o o o o m

E = rn P

aw.tnduaw b L

Wfl 5 ' 1 5.y ~ u r i 8'0

N N N

5 5 5 \ \ \

7 N O N - N N N O r l w 0 4 4 4 4 4

3 $ 2 SOOOO'O T = U x a ~ q a a ? n ~ o s w

rn C O N m N r n

Tabelle F12: Sellmeier-Koeffizienten verschieden dotierter QuarzqlZser.

- 100 -

N N * W N O

w r n W 11

C " 7 . 4 E

o r

* W t . N W r n 0 - o o r m r . C I m . . . ? ? C 0 0 0 0 0 m


Die Gl.(F7-7a. 8) gelten allgemein für separierbare Felder im Rahmen der ska-

laren Optik (Gl. (F2-2) . hat eine anschauliche Bedeutung. Verwendet man die Beziehung Gl.(F3-6c,d)

für das Fernfeld $F(~) = Y(y.4) mit Bo(r', zO) = +Op(r'), vgl. Bild F2,

löst mit Gl.(F3-7a) nach $ (r) auf und berechnet die Ableitung und das Inte- OP

gral über r, so erhält man mit der Raumfrequenz K von Gl.(F3-8b) und der Fern-

feld-Leistung PF(y)

m m

PF(Y) 2 ndn -- K ~ K .

0 COS Y cos2y

I < ~ ist also die effektive ~aum-~reisfrequenz-~andbreite des Fernfeldes. AU£ OP diesen Zusammenhang wies kürzlich auch [Pack, L40991 hin. Vernachlässigt man

Materialdispersion, so erhSlt man aus der rotationssymetrischen Fernfeld-

Leistung eines Modus der Ausbreitungskonstante B die zu Gl.(F7-8) äquiva- OU

lente Beziehung [Pask, L40991 -

2 2 L ko /L KoU , t = - -

9 C Bop i, +F) 0

deren geometrisch-optische Entsprechung in G1.(6-26, 27) formuliert wurde.

Aus Gl.(F7- 8, 7b) folgt der Farbdispersionsfaktor GA 1 = E dt9/dA,

M P W G = G A + G X + G X , A (F7-lla)

W 2 dw wwo 1 A 0 20 % für 1,55VS2

G = - - , Fehler { 2

(F7-1 le) n n2c 7 % für 2 5 v 5 v l l G

P W G:, GA und GA sind die Farbdispersionsfaktoren fiir Material-, Profil- und

Wellenleiterdispersion. G1. (F7-1 le) erhält man, wenn #01 (2) durch ein Gauß-

- 101 -


Profil mit dem Strahlradius W approximiert wird, K E ~ = 2/w0, vgl. GI. 0 (F3-15b). Die Fehlergrenzen wurden berechnet für den Fall, daß das tatsäch-

liche Brechzahlprofil ein Potenzprofil mit a * -, a = 4 ist [Sansonetti, L30221. G - 1 - b , d) wurde von [Freude, Sharma, E4731 angegeben und ebenfalls von [Petermann, L35771, [Pack, L40991 unter Einschluß von G1.

(F7-llc) kürzlich publiziert. Mit dem Profildispersionsparameter P von G1.

(F6-21) schreibt man [Petermann, L35771

P kann nach einem Verfahren von [Sladen, E2671 an Rohlingen einwelliger Licht- leiter gemessen werden.

Nach Gl.(F2-2) ist filr einen ungedämpften LWL-Modus m = (v,~) die Ubertra-

gungsfunktion ejßmL, wobei L die LWL-Länge ist und m ein allgemeiner Modenin-

dex. Jede Eigenwelle wird mit der Modendämpfungskonstante a abgeschwächt; m diese sei im Frequenzbereich um o herum konstant [Stewart, E1031. Wird z. B.

s in der Entwicklung Gl.(F7-3) ßms = 5 ns/m und beträgt die Dämpfungsänderung

-8 1 dB km-' nm-l, so ist & = 4-10 ns/m [Kapron, E1381 und wird zu Recht ver- ms nachlässigt. Man erhält also für die einseitige Übertragungsfunktion im im Modus m bzw. für die Impulsantwort Cm

+m W -a m L -jßm(o)L j2nft L(£) = e e , gm(t) = ls(f)e df. (F7-13)

Die Subskript-Schlange indiziert die Fourier-Transformierte in der Vorzei-

chenkonvention für Zeitfunktionen Gl.(F3-18), vgl. die Notierung Gl.(F3-2)

für die Ortsfunktionen..

Die ~uperskript-~chlange erinnert daran, daß 6 (i) die ~ourier-~ransformierte ,m des analytischen Signals gm(t) ist, vgl. G1. (F4-1) ; dessen spektrale Breite

sei wesentlich kleiner als die Lichtfrequenz fS.

Zur Berechnung der Leistungs-Ubertragungsfunktion können die Ergebnisse des

Abschnitts F4 verwendet werden. Die spektral reine Lichtquelle Gl.(F4-la)

werde in der Leistung langsam gegenüber coswSt moduliert und strahle das ana-

lytische Feld - + lost Y s (;,t) = J~,j+m(t) As(t)Bg(r)e , (m(tO))tO = (F7-14)

in den verlustarmen Lichtleiter der Länge L mit den Querschnittskoordinaten * r = (r,~). Wie in G1. (F4-1, 3) kopple die Quelle die Leistung PS ein. Die In-

* tensität IG in einem Punkt rG der Lichtaustrittsfläche berechnet man analog

Gl.(F4-4b): die gesamte übertragene Ausgangsleistung PL erhält man durch In- *

tegration Uber den felderfüllten Querschnitt, PL = J ~ ~ d ~ r ~ . Dabei ergeben in

1 2 2; 1 + GI. (F4-4b) die Ausdrücke (O,(rG) 1 d G = 1, TJ$m(rG)$:(;G)d2;G = 0, da ein orthonormiertes Eigenwellensystem Qm wie in Gl.(F2-8) vorausgesetzt wurde

(schwache Dhpfung) . Folglich wird (F7-15)

M +- pL(t) = P s I 1 ~ ~ 1 ~ 1 1 g ~ ( t ~ ) G ~ ( t ~ ) ~ ~ ~ + mit- tl) d ~ ~ + m ( t - t2) YPA(t2-tl)

m= 1 -- jws (t2-tl )

.e dtl dt2.

,., yPA(t) ist nach Gl.(F4-4c) die Basisband-Autokorrelation der Quelle.

Gl.(F7-15) zeigt, daß die Leistungen der einzelnen Moden linear iiberlagert

werden. Alternative Näherungen vereinfachen das Integral. Entweder gelte

m(t) << Mo (Kleinsignalrnodulation), oder die Impulsantwort Gm(t) sei derartig

schmal, daß unabhängig von der Modulationsamplitude bei Zeitunterschieden

t l - t 2' fiir dienochm(tl) wm(t2) gilt, dasProduktgm(tl)~~(t2) soklein

geworden ist, daß der Integrand keinen Beitrag mehr liefert [Etten, L21281.

In beiden Fällen kann das Wurzelprodukt linear genähert werden, und man er-

hält (F7-16)

Daraus folgt

+- PL(t) = [ho+ jh(tl)m(t- tl)dtl I P,, (F7-17a)

-0,

Die Leistungs-Impulsantwort h(t) hängt im Gegensatz zur Impulsantwort von der

zeitlichen Kohärenz Y (t) der Quelle bzw. deren spektraler Breite Afs ab. AA

Aus Gl.(F7-17c) kann man die Leistungs-Ubertragunqsfunktion h(f) als Fourier-

Transformierte von h(t) berechnen. Mit Gl.(F3-18) erhält man

Dieses Integral vereinfacht sich, wenn man fUr die Bandbreite Afh, Af der 9

Leistungs- bzw. Feld-Ubertragungsfunktionen /h(f) 1 , Ism(f) / die Größenord-

nungsbeziehung Afs« (Afh,Afg) << fs annimmt, und wenn sehr viele Moden pro- - pagieren, M » 1: die Impulsantwort gm(t) sei auf die Gruppenlaufzeit t 9m zentriert. Man erhzlt

F7 Impulsverbreiterunq

In der angegebenen Näherunq ist yAA(t) a yAA(0) = 1 .

Verwendet man eine kubische Näherung der Ausbreitunqskonstante Gl.(F7-3) bei

der Ubertraqunqsfunktion gm(f) von GI. (F7-13) und setzt ein qaußförmiqes

Lichtquellen-Leistungccpektrum der Halbwertsbreite Afs f und der Gesamt- S

leistunq 1 ein, so erhalt man nach längerer Rechnung aus Gl.(F7-17c)

2 3 1 -1 2 2 j (ohokw - T tan wok) M -ohW e -2amL -jwt h(f) = e 2 1/4 1 IcmI e e qm

I 1 + i.~~) I m= 1

Die Unterschiede der t qmr tqm in verschiedenen Moden werden vernachlässigt.

Der Ausdruck vor dem Summenzeichen beschreibt das Tiefpaß-Verhalten des Wel-

lenleiters auf Grund chromatischer Dispersion. Für M » 1 erhält man weiter

Die GI. iF7-19, 20b) werden identisch, wenn man mit den Voraussetzungen der

GI. (F7-19) chromatische Dispersion vernachlässiqt, E t = 0. gm' qm

Uberlagern sich zwei aufeinander folgende, im selben Modus propagierende

Lichtimpulse, so kann durch Interferenz der in ~usbreitun~srichtung überlap-

penden Felder ein örtlich oszillierender Leistunqsanteil entstehen [JQrqensen,

L22131, der wegen der dann schlechteren Impulsdefinition die Ubertraqungs-

bandbreite begrenzt. Bei entsprechend schneller Analogmodulation der Licht-

leistunq entstünden Oberwellen [Kapron, E1381. Diese Störungen entfallen,

wenn die Impulsschwerpunkte zeitlich wesentlich entfernter sind als der Kohä-

renzzeit der Quelle entspricht.

Anhang L1 L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s

L 1 U e b e r s i c h t ---------- Born, ti., Wolf, Z., P r i n c i p l e s o f o p t i c s .

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( L 1 9 3 8 1

( ONT )

( E 4 8 4 )

( L 3 1 )

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F r a n c o i s , P.-L., V a s s a l l o , C., F i n i t e c l a d d i n g e f f e c t s i n W-f ib res : A new i n t e r p r e t a t i o n o f l e a k a g e l o s s e s . E l e c t r o n . L e t t . 19 ( 19831 ,173-174

F r a n c o i s , ?.-L., P r o p a g a t i o n mechanism i n g u i d r u p l e c l a d f i b r e s : Hode c o u p l i n g , d i s p e r s i o n and p u r e bend l o s s e s . E l e c t r o n . L e t t . 1 9 ( 1 9 8 3 ) . 885-886

P r a n c o i s , P.-L., Zero d i s p e r s i o n i n a t t s n u a t i o n - o p t i m i z e d d o u b l y c l a d f i b r e s . IEGE LT-1( 19831.26-37

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Anhang L3 t i t e r a t u r v e r z e i c h n i s

F r e u d e , U . , Leminger , O.G., Gemessene B a n d b r e i t e e i n e r C r a d i e n t e n f a s e r i m V e r g l e i c h z u P r o g n o s e n a u s dem Nah- und F e r n f e l d p r o f il. V o r t r a g be im 6. K o l l o q u i u m d e r D e u t s c h e n F o r s c h u n g s g e m e i n s c h a f t , B r a u n s c h w e i g , 21 .-22.4.1982

F r e u d e , W . , F r i t z s c h e , C., Lu Shanda , S p e c k l e i n t e r f e r o m e t r y f o r s g e c t r a l a n a l y s i s o f l a s e r s o u r c e s a n d m u l t i m o d e o g t i c a l w a v e g u i d e s . 1 0 t h ECOC S t u t t g a r t , S e p t . 3 - 6 ( 1 9 8 4 ) , 2 1 6 - 2 1 7

G e c k e l e r , S e , P u l s e b r o a a e o i n g i n o p t i c a l f i b e r s r i t h mode m i x i n g . Appl. O p t i c s 1 8 ( 1 9 7 9 ) , 2 1 9 2 - 2 1 9 8

Georg , O . , Use o f t h e o r t h o g o n a l s y s t e m of L a g u e r r e - G a u s s i a n f u n c t i o n s i n t h e t h e o r y o f c i r c u l a r l y s y m m e t r i c o p t i c a l wavequ ides . Appl. O p t i c s 21( 1 9 8 2 ) , 1 4 1 - 1 4 6

Grau, G.K. , Leminger , O.G., R e l a t i o n s be tween n e a r - f i e l d a n d f a r - f i e l d i n t e n s i t i e s , r a d i a n c e , and modal power d i s t r i b u t i o n o f m u l t i m o d e g r a d e d - i n d e x f i b e c s . Appl. O p t i c s 20(1981 1,457-459

Grau, G.K . , O p t i s c h e N a c h r i c h t e n t e c h n i k . S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n 1981

I r v i n g , D.11.. Karbowiak, A.E., Method o f c a l c u l a t i n g t h e modal d e l a y f o r o p t i c a l f i b r e s w i t h a r b i t r a r y r e f r a c t i v e - i n d e x p r o f i l e s . E l e c t r o n . L e t t . 15 ( 1 9 7 9 ) , 1 6 0 - 1 6 2

I r v i n g , D.H., Donayhy, F.A., S a b i n e , P.V.H., F i b r e l i g h t a c c e p t a n c e f o r m o d i f i e d n e a r f i e l d t e c h n i q u e . E l e c t r o n . L e t t . 1 7 ( 1981 1 ,250-252

I r v i n g , D.R., Karbowiak, A.E., Power c o u p l i n g be tween c o r e a n d c l a d d i n g o f a n o p t i c a l f i b r e and its e f f e c t on measurement s . Opt. Q u a n t . Elect. 1 3 ( 1981 1,385-392

I r v i n g , D.H., S a b i n e , P.H.V., Donaghy, F.A., A t u n n e l i n g c o r r e c t i o n f a c t o r f o r t h e m o d i f i e d n e a r - f i e l d t e c h n i q u e . Opt. Q u a n t . E l e c t . 1 4 ( 1 9 8 2 ) , 1 7 - 2 4

I r v i n g , D.H., N e a r - f i e l d s c a n n i n g t e c h n i q u e f o r p r o f i l i n g s i n g l e - m o d e f i b e r s . E l e c t r o n . L e t t . 19 ( 1983) ,190-191

J e c o b s e n , G., Ramskov Hansen , J. J., P r o p a g a t i o n c o n s t a n t s and g r o u p d e l a y s o f g u i d e d modes i n g r a d e d - i n d e x f i b e r s : a c o m p a r i s o n of t h r e e t h e o r i e s . Appl. O y t i c s 1 8 ( 1 9 7 9 ) , 2 8 3 7 - 2 8 4 2

J a c o b s e n , G., Ramskov Hansen, J. J., M o d i f i e a e v a n e s c e n t weve t h e o r y f o r e v a l u a t i o n of p ropaga t ion c o n s t a n t s and q r o u p d e l a y s o f g r a d e d i n d e x f i b e r s . Appl . O p t i c s 1 8( 1 9 7 9 1,371 9-3720

J a c o b s e n , G . , Ramskov Hansen , J.J., D e t a i l e d e r r o r c s t i m a t e s f o r f i r s t o r d e r WKB c a l c u l a t i o n method. E l e c t r o n . Lett. 1 9 ( 1980 ) ,540-541

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L e m i n g e r , O.G., G l a s f a s e r t h e o r i e , g e g e n u a e r t i g e r S t a n d und z u k u e n f t i g e E n t w i c k l u n g . S e m i n a r v o r t r a g am I n s t i t u t f u e r HF-Technik U. Q u a n t e n e l e k t r o n i k , U n i v e r s i t a e t K a r l s r u h e , 5.7.1979

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U e u n i e r , J.P., P i g e o n , J., H a s s o t , J . N . , A g e n e r a l a p p r o a c h t o t h e n u m e r i c a l d e t e r m i n a t i o n o f modal p r o p a g a t i o n c o n s t a n t s a n d f i e l d d i s t c i b u t i o n s o f o p t i c a l f i b r e s . Opt . Q u a n t . E l e c t . 1 3 ( 1981 1.71 -83

H o s l e h i , D . , Goodman, J.W., Rauson, E.G., Bandwid th e s t i m a t i o n f o r m u l t i m o d e o p t i c a l f i b e r s u s i n g t h e f r e q u e n c y c o r r e l a t i o n f u n c t i o n o f s p e c k l e p a t t e r n s . Appl. O p t i c s 22( 1 9 8 3 ) ,995-999

Okamoto, K., E d a b i r o , T., Nakaha ra , H., T r a n s m i s s i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f V A D m u l t i m o d e o p t i c a l f i b e r s . Appl. O p t i c s 20( 1981 ) ,2314-2318

Okamoto, K., O k o s h i , T. , C o m p u t e r - a i d e d s y n t h e s i s o f t h e opt imum r e f r a c t i v e - i n d e x p r o f i l e f o r a m u l t i m o d e f i b e r . IEEE T. nTT-25(1977) ,213-221

O l s h n n s k y , ii., E f f e c t o f t h e c l a d d i n g o n p u l s e b r o a d e n i n g i n g r a d e n - i n d e x o p t i c a l w a v e g u i d e s . Appl . O p t i c s 1 6 ( 1 9 7 7 ) , 2 1 7 1 - 2 1 7 4

O l s h a n s k y , R., Keck, D.B., P u l s e b r o a d e n i n g i n g r a d e d - i n d e x o p t i c a l f i b e r s . Appl. O p t i c s 1 5 ( 19761,483-491

O l s h a n s k y , R., P r o p a g a t i o n i n g l a s s o p t i c a l u a v e g u i d e s . Rev. Hod. Pbys . 5 1 ( 1 9 7 9 ) , 3 4 1 - 3 6 7

O l s h a n s k y , R., H u l t i p l e - a l p h a i n d e x p r o f i l e s . Appl. O p t i c s 1 8 ( 19791,683-689

Anhang LU L i t e r a t u r v e r B e i c h n i s

P e t e r m a n n , K., U n c e r t a i n t i e s o f t h e l e a k y mode (L1550 ) c o r r e c t i o n f o r n e a r - s q u a r e - l a w o p t i c a l f i b r e s . E l e c t r o n . Lett. 1 3 ( 1977 1.51 3-51 4

P r e s b y , H.H. , t i a r c u s e , D. , Cohen, L.G., C a l c u l a t i o n o f ( L 5 2 3 ) b a n d u i d t h f r o m i n d e x p r o f i l e s o f o p t i c a l E i b e r s 2: E x p e r i m e n t . Appl. O p t i c s 1 8 ( 1 9 7 9 ), 3249-3255

P r e s b y , H.Y. , P r o f i l e c h a r a c t e r i z a t i o n o f o p t i c a l ( ~ 2 0 8 0 ) f i b e r s - a c o m p a r a t i v e s t u d y . B e l l S y s t . Techn. J. 60( 1981 1,1335-1 362

Ramskov Hansen , J.J., N i c o l a i s e n , E., P r o p a g a t i o n i n ( E 9 1 ) q r a d e d - i n d e x f i b e r s . : A c o m p a r i s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a n d t h r e e t h e o r i e s . Appl. O p t i c s 17( 1 9 7 8 1,2831-2835

Rauson, E.G., Nor ton , R.E., Goodman, 3.W.: Temporal ( L 9 4 9 ) f r e q u e n c y d e p e n d e n c e o f modal n o i s e i n F ~ b r e s . E l e c t r o n . L e t t . 1 6 ( 19801 ,301-303

Rawson, E.G., Goodman, J.W., N o r t o n , R . E . , F r e y u e n c y ( L 1 0 5 8 1 d e p e n d e n c a of modal n o i s e i n m u l t i m o d e o p t i c a l f i h e r s . J. Opt. Soc. Am. 7 0 ( 1 9 8 0 ) , 9 6 8 - 9 7 6

S a b i n e , P.V.H., Donaghy, F., I r v i n q , D. , F i b r e ( L 1 2 1 9 ) r e f r a c t i v e - i n d e x p r o f i l i n g by m o d i f i e d n e a r - f i e l d s c a n n i n g . E l e c t r o n . L e t t . 1 6 ( 1 9 8 0 1,882-883

S c h i f f n e r , G., Die G r a n u l a t i o n i m d i f f u s g e s t r e u t e n ( E 2 1 ) L a s e r - L i c h t . D i s s e r t a t i o n , T e c h n i s c h e H o c h s c h u l e , Wien 1 9 6 6

Schmid, P., S t e p h a n , W . , C h a r a c t e r i z a t i o n o f l a s e r (L41 50) d i o d e s by m e a s u r i n q t h e s p e c k l e c o n t r a s t o f t h e end of a m u l t i m o d e f i b e r . J. Opt. Comm. 5 ( 1 9 8 4 ) , 3 2 - 3 6

S n y d e r , A.W., Love, J . D . , O p t i c a l w a v e g u i d e t h e o r y . ( E 4 6 4 ) Chapman a n d H a l l , London 1 9 8 3

T a k a i , N . , Twai , T., A s a k u r a , T., C o r r e l a t i o n d i s t a n c e ( L 3 2 6 3 1 o f d y n a m i c s p e c k l e s . Appl . O p t i c s 22 (1983) ,170-177

Unger , H . -G . , P l a n a r o p t i c a l wavegui t ies and f i b r e s . ( L 3 1 ) Oxfocd V n i v e r s i t y P r e s s , Oxford 1977

U e i e r h o l t , R., Piodal d i s p e r s i o n o f o p t i c a l f i b r e s w i t h (L151 9 ) a c o m p o s i t e a l p h a - p r o f i l e g r a d e d - i n d e x c o r e . E l e c t r o n . Le t t . 1 5 [ 1979 1 ,733-734

U i n k l e r , C., Love, J . D . , Gha tak , A.K., L o s s ( L 1 6 1 6 ) c a l c u l a t i o n s i n b e n t m u l t i m o d e o p t i c a l wavegu ides . Opt. Q u a n t . Elect. 1 1 ( 1 9 7 9 ) , 1 7 3 - 1 8 3

Z u i c k , V . , Auer, U., R i e g l , I., Haup t , H. , Hei tmann, W. ( L 2 6 7 ) L o u - l o s s f i b r e s f o r w a v e l e n g t h s beyond 1 micron. E l e c t r o n . Let t . 1 % 1 9 7 9 ) , 1 59-160

Zwick, U. , Kimmich, K., U o d i f i z i e r t e Anwendung d e r Nah- (E 3 2 1 ) f e l d m e t h o d e z u r Nessung d e s B r e c h u n g s i n d e x p r o f i l s e i n e r G l a s f a s e r . V o r t r a g beim 3. K o l l o q u i u m d e r D e u t s c h e n F o r s c h u n g s g e m e i n s c h a f t , t iuenchen, 23.-24.4.1979

L 4 Modenana lyse ------------ B a r t e l t , H.O., F r e u d e , H., Grau, G . K . , Lohmann, A.W., ( L 3 3 1 8 1

Hode a n a l y s i s o f o p t i c a l f i b r e s u s i n g c o m p u t e r - g e n e r i t e d matched f i l t e r n . E l e c t r o n . Let t . 1 9 ( 1983) ,247-249 . P r i n t e r ' s c o r r e c t i o n : 1 9 ( 1 9 8 3 1 ,560

Anhang LF2 L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s

C a l z a v a r a , U., D i V i t a , P., R o s s i , U., R e l i a b i l i t y of a new method f o r m e a s u r e m e n t s o f moda l power d i s t r i b u t i o n i n o p t i c a l f i b r e s w i t h a p p l i c a t i o n t o mode s c r a m b l e r t e s t i n g . E l e c t r o n . L e t t . 1 7 ( 1981 1.543-545

Daiao, Y . , i i i y a u c h i , E.,Iwama, T. , O t s u k a , T., Deter- m i n a t i o n o f modal power d i s t r i b u t i o n i n g r a d e d - i n d e x o p t i c a l w a v e g u i d e s f r o m n e a r - f i e l d p a t t e r n s a n a i t s a p p l i c a t i o n t o d i f f e r e n t i a l mode a t t e n u a t i o n measuremen t . Appl. O p t i c s 1 8 ( 1 9 7 9 ) ,2207-2213

G e c k e l e r , S., P u l s e b r o a d e n i n g i n o p t i c a l f i b e r s w i t h mode mix ing . Appl . O p t i c s 1 @ ( I 9 7 9 ) ,2192-2198

Kapany, N.S., Rurke , J.J., S a w a t a r i , T., F i b e r o p t i c s . XIII. Uode d e t e c t i o n a n d d i s c r i m i n a t i o n i n o p t i c a l w a v e g u i d e s a n d r e s o n a t o r s . J. Opt. Soc . Am. 60( 1 9 7 0 ) , I 350-1 358

K i t a y a m a , K.-1.. T a t e d a , ii., S e i k a i , C!, U c h i d a , N. , D e t e r m i n a t i o n o f mode power d i s t r i b u t i o n i n a p a r a b o - l i c i n d e x o p t i c a l f i b e r s : T h e o r y and a p p l i c a t i o n . IEEE J. OE-1 5( 1 9 7 9 ), 11 61 -1 1 6 5 .

K i t a y a m a , K . - I * , O h a s h i , H., S e i k a i , S., Hode c o n v e r s i o n a t s p l i c e s i n m u l t i m o d e g r a d e d - i n d e x f i b e r s . IEEE J. QE-16( 1 9 8 0 ), 971 -978

v a n d e r L u g t , A., A r e v i e w o f o p t i c a l d a t a - p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s . O p t i c a A c t a 1 5 ( 1968 ) , I - 3 3

v a n d e r L u g t , A., O p e r a t i o n a l n o t a t i o n f o r t h e a n a l y s i s a n d s y n t h e s i s o f o p t i c a l d a t a - p r o c e s s i n g s y s t e m s . P r o c . IEEE 54( 1 9 6 6 ) , 1 0 5 5 - 1 0 6 3

O h a s h i , U . , K i t a y a m a , K.-1. . S e i k a i , S. , Hode c o u p l i n g effects i n a g r a d e d - i n d e x f i b e r c a b l e . Appl. O p t i c s 20( 1981 ) ,2433-2438

P e t e r m a n n , K., A g e n e r a l i z e d c o n d i t i o n f o r t h e d e l a y e g u a l i z a t i o n i n m u l t i m o d e o p t i c a l f i b e r s . 4 t h ECOC, Genova, 1978,281-287

P i a z z o l a , C., De H a r c h i s , G . , A n a l y t i c a l r e l a t i o n s be tween moda l power d i s t r i b u t i o n a n d n e a r - f i e l d i n t e n s i t y i n g r a d e d - i n d e x f i b r e s . E l e c t r o n . L e t t . 1 5 ( 1 9 7 9 ) , 7 2 1 - 7 2 2

P o c h o l l e , J.-P., D D A u r i a , L., U u l l e r , B., Combemale, Y . , F l e u r y , B. , C h e v a l i e r , G. , C a r a c t e r i s a t i o n d e s f i b r e s o p t i q u e s r n u l t i m o d e s f o n d e e s u r l ' e x c i t a t i o n o u l D a n a l y s e s e l e c t i v e d e modes. Rev. Techn. Thomson-CSF 13( 1981 ) , 915-942

S h i g e s a w a , H., n a t s u o , T. , Takiyama, K., H e a s u r e m e n t s o f e x c i t a t i o n c o n d i t i o n and q u a n t i t a t i v e mode a n a l y s i s i n o p t i c a l f i b e r s . IEEE T. HIT-26( 1 9 7 8 ) ,992-997

LF2 S k a l a r e O p t i k ------ ------- Abramowi tz , U . , S t e g u n , I . A . , Handbook o f m a t h e m a t i c a l ( L 2 7 0 )

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Anhang LF6 L i t e r a t u r v e r Z e i c h n i s

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Lohmann, A.U., P a r i s , 3.P.. B i n a r y F r a u n h o f e r ( E 3 1 8 ) h o l o g r a m s , g e n e r a t e d by c o m p u t e r . Appl. O p t i c s 6 ( 1 9 6 7 1,1739-1 748

Lohmnnn, A.W. , The s p a c e - b a n d u i d t h p r o d u c t , a p p l i e d t o ( E 472 ) s p a t i a l f i l t e r i n g a n d t o h o l o g r a p h y . I ß n a e s e a r c h P a p e r R J - 4 3 8 ( 1 9 6 7 )

Ueier, R.W., f l a g n i f i c a t i o n a n d t h i r d - o r d e r a b e r r a t i o n s ( E 4 5 8 ) i n h o l o g r a p h y . J. Opt. Soc. Am. 5 5 ( 1 9 6 5 ) , 9 8 7 - 9 9 2

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LF6 G e o m e t r i s c h e O p t i k ------------------ Daido , Y . , Miyauch i , E.,Iuama, T., O t s u k a , T. , Deter- ( L 4 6 0 )

m i n a t i o n o f modal power d i s t r i b u t i o n i n g r a d e d - i n d e x o p t i c a l w a v e g u i d e s f r o m n e a r - f i e l t i p a t t e r n s and i ts a p p l i c a t i o n t o d i f f e r e n t i a l mode a t t e n u a t i o n measurement . Appl. O p t i c s 1 8 ( 1 9 7 9 ) , 2 2 0 7 - 2 2 1 3

D i V i t a , P., R o s s i , U . , R e a l i s t i c e v a l u a t i o n o f ( E 2 7 6 ) c o u p l i n g l o s s be tween d i f f e r e n t o p t i c a l f i b r e s . J. Opt. Commun. 1 ( 1 9 8 0 ) , 2 6 - 3 2

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Anhang LF7 L i t e r a t u r v e r i e i c h n i s

U e i e r h o l t , R., n o d a l d i s p e r s i o n O E o p t i c a l f i b r e s w i t h a c o m p o s i t e a l p h a - p r o f i l e g r a d e d - i n d e x c o r e . E l e c t r o n . Lett. 1 % 19791,733-734

LF7 I m p u l s v e r b r e i t e r u n g ------------------- Born, H . , Wolf, E., P r i n c i p l e s o f o p t i c s .

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Anhang S Symbole und Abkürzungen

Anhang S Symbole und Abkürzunqen

Gleichungsnummern in Klammern; Abschnitte (1 , F2, ... ) , Bilder (B2.5, BF7, ... ) und Tabellen (T3.7,TF12, ... ) ohne Klammern.

Nabla-Operator (F2-1)

Faltungsoperator (FS-B)

Korrelationsoperator (FS-B)

zeitliche Fourier-Transformierte (F3-18)

räumliche Fourier-Transformierte (F3-2)

räumliche Fresnel-Transformierte (FS-11)

= Ableitung nach der Kreisfrequenz du dx = Ableitung nach der Wellenlänge; allgemeine Ableitung

Mittelwert

Mittelwert bezüglich der Variablen t

Spaltenvektor mit Elementen Xi

Matrix mit den Elementen S lm 1 Inverse der Matrix [S 1 lm

ganzzahliger Anteil der Zahl a

Anteil der Materialdispersion

Anteil der Profildispersion

Anteil der Wellenleiterdispersion

Anteil der Wellenleiterdispersion fUr Gauß-

Näherung des Grundmodus

maximale Größe X

minimale Größe X

relative Leistungsgenauigkeit

langsam verznderliche Zeitfunktion

= B/F numerische Apertur einer Linse

äquivalentes Fernfeldprofil

maximale numerische Apertur

lokale numerische Apertur

Anhang S Symbole und Abkürzungen A - Z

= 1 - 6 / A normierte Ausbreitungskonstante B: (FZ-4); (F2-15b)

Blendenradius (F3-16c)

langsam veränderliche Ortsfunktion (F4-la)

Beleuchtungsfunktion F5

Kontrast eines Flecks in einer Polarisation: (3-8)

globaler, örtlich gemittelter Kontrast (3-13a)

Kontrast, wenn MA Flecken MB ausgewählt (3-7a)

lokaler Kontrast eines Flecks im Punkt ?G 3.3

Entwicklungskoeffizienten des Fernfelds (2-4b)

Leistunqsdynamik

Dispersionsparameter

Filterebene; Linsenbrennweite

Kohärenzfläche

Dispersionsrelation

Farbdispersionsfaktor 1. Ordnunq

Parbdispersionsfaktor 1. Ordnunq

Farbdispersionsfaktor 2. Ordnung

Parbdispersionsfaktor 2. Ordnunq

Summe der Modenintensitäten an der Stelle ;G iF4-4b)

Intensität in der Holoqrammebene F (F5-2)

Intensität an der Stelle ;G (F6-12)

Imaginärteil der komplexen Zahl z 2 Nahfeldintensität (W/m ) (F6-12)

maximale Nahfeldintensität für gleichförmige MLV (F6-14)

Nahfeldintensität für gleichförmige MLV (F6-14)

Besselfunktion V-ter Ordnung (F2-16)

Anhang S Symbole und Abkilrzunqen A - ü

LWL

= k sin y Raum-Kreisfrequenz; 0 Korrelationsebene

modifizierte Hankel-Funktion v-ter Ordnung

effektive Raum-Kreisfrequenz-Bandbreite

Länge des Wellenleiters; Linse;

Strahldichte

Moden-Kopplunqslänqe

Kopplungslänqe innerhalb von Hauptmoden m

Linear polarisierte Näherunqslösunqen

Lichtwellenleiter

Laguerre-Polynome

Anzahl transversaler qefilhrter Fasermoden; Spiegel;

Zahl der transversalen und longitudinalen Moden; (F4-5)

Anzahl von Entwicklunqskoeffizienten (2-3a)

Anzahl transversaler Flecken (3-7b)

maximale Hauptmodenzahl bei differentieller

Modendämpfung

Anzahl qeEUhrter Moden (Fb-3)

Anzahl longitudinaler Flecken;

Anzahl longitudinaler Freiraum-Moden

Modenleistungsverteilung (F6-11)

Anzahl transversaler Freiraum-Moden (F4-5)

maximale Hauptmodenzahl far a-Profile (F6-3)

Modenzahl mit Ausbreitungskonstanten bis B (F6-2)

zeitunabhängiqes Modulationssignal (F7-14)

maximale Hauptmodenzahl m filr das ideale 2 - I ; (Fb-3)

Parabelprofil

N Anzahl von Meßwerten

NFP Nahfeldprofil der Brechzahl

Anhang S Symbole und Abk5rzungen A- Z

Objektebene

Objektfunktion

Parameter der linearen Profildispersion

Leistung in einer Blende mit Radius B

Fernfeldleistunq (W/sr)

Fernfeldleistunq des Lambert-Strahlers

maximale Fernfeldleistunq für gleichförmige MLV

Fernfeldleistunq eines Modus der normierten

Ausbreitunqskonstante 6

Fernfeldleistunq für gleichförmige MLV +

Leistunq in einem Fleck r bei der Frequenz fs G

globale zeitvariable Ausqanqsleistung eines (F7-161;

Lichtwellenleiters der Länge L

Parameter der nichtlinearen Profildispersion

Quellenleistung

{= Pg[g(p) 1 für monotone Profile) Moden- F6; leistungsverteilunq

Modenleistunqsverteilung

Leistunq des Modus v u

Gauß-Laquerre-Moden des idealen Parabelprofils (F2-7)

Referenzfunktion

Realteil der komplexen Zahl z

Sir) Eikonal F6

= l/Afk maximale Laufzeitdifferenz (3-9)

= akOAN normierte Frequenz

normierte Grenzfrequenz des Modus vp

Phasenraum-, Modenvolumen

Gewichte

circ (X)

- 1 COS

cot-l

Anhang S Symbole und Abkürzungen a - z

Kernradius

konfokaler Parameter

= 2,997924562.10~ m/s Lichtgeschwindigkeit

= 1 , wenn x i 1; = 0, sonst

arc cos

arc cot

Moden-Kopplungskoeffizienten

Abstand des Aufpunkts vom Fasermittelpunkt

Frequenz

mittlere Frequenz einer Lichtquelle

Profilfunktion (Fl-1)

Umkehrfunktion zur Funktion q

äquivalentes monotones Brechzahlprofil (F6-16)

Ubertragunqsfunktion des allgemeinen Modus m (F7-13)

Impulsantwort des allgemeinen Modus m (F7-13)

Leistungs-Impulsantwort eines LWL (F7-17)

Leistungs-Ubertraqunqsfunktion eines LWL (F7-17)

zeitunabhänqiqer Anteil der Leistungs-Impulsantwort (F7-17)

k-te Nullstelle von JV(x) (F2-17)

= k n Ausbreitunqskonstante im homogenen Medium 0

= koni = n W/C Medium-Ausbreitunqskonstante i

radiale Ausbreitungskonstante

transversale Ausbreitungskonstante

Anhano S Symbole und Abkürzungen a - z

sinc ( X )

azimutale Ausbreitungskonstante

= 2n/h Vakuum-Ausbreitungskonstante

Abstand des Aufpunkts

= V + 2u - 1 Hauptmodenzahl zeitveränderliches Modulationssignal

Modendichte

Modendichte

Brechzahlprofil

Gruppenbrechzahl

maximale Kernbrechzahl

Mantelbrechzahl

Parameter

Hauptmoden-Leistungskopplungskoeffizienten

Leistungs-Kopplungskoeffizienten

komplexer Strahlparameter

Radius in Zylinderkoordinaten

Ortsvektor

Ortsvektor in der Hologrammebene F

Ortsvektor in der Faserendfläche

Kaustikradien

maximale Radius-Koordinate

normierter Sinus des Einfallswinkels

arc sin

= sin(nx)/ (nxl

BFZ

Anhang S Symbole und Abkürzungen a - z

Zeitvariable

arc tan

Gruppenlaufzeit

mittlere Gruppenlaufzeit aller Moden

mittlere Gruppenlaufzeit in Hauptmoden m;

Gruppenlaufzeit des allgemeinen Modus m

Gruppenlaufzeit eines Modus mit normierter

Ausbreitungskonstante 6

mittlere Gru'ppenlaufzeit aller Moden

Gruppenlaufzeit des Modus u u

Phasenlaufzeit

Phasenparameter im Kern

Phasengeschwindigkeit

Phasenparameter im Mantel

l/e-Strahlradius des gaußschen Grundmodus

l/e-Strahlradius eines Gauß-Strahls

kartesische Transversal-Koordinate

maximale kartesische Koordinate

andere, von X unterschiedene Variable


maximale karteische Koordinate

andere, von y unterschiedene Variable

Längenkoordinate parallel zur Lichtausbreitung BFB

Parameter (F3-2a)

Anfangswert, Objekt-Koordinate

Anhang S Symbole und Abkürzungen r - Si

relative Brechzahldifferenz;

vor anderen Symbolen: kleine Größe

Absolutfehler des Kontrasts C

spektrale Halbwertsbreite der Ubertragungsfunktion

~ ( f ) eines Modus m

spektrale Halbwertsbreite der Leistungsübertragungs-

funktion h (f) - Frequenz-Halbwertsbreite einer Spektrallinie OII(f) T3.7

Korrelationsbandbreite (3-7d)

Frequenzabstand von Spektrallinien

Bandbreite einer Lichtquelle der Frequenz fs

Schrittweite in X-Richtung F5

relativer Fehler der Größe X

Schrittweite in y-Richtung

B = k0n2 + A B Abweichung der Ausbreitungskonstante

von der des Mantels;

maximale B-Differenz aller Moden (4-9); 3.2

maximale B-Differenz in Hauptmodengruppe m (4-9); 3.2

Schrittweite in -Richtung F5

Azimutwinkel der Strahlprojektion

skalares Feld

optisches Feld

optisches Fernfeld;

Feld in der Hologrammebene

normiertes optisches Fernfeld

Gauß-Strahl

Raumwinkel

Koharenzraumwinkel

Profilexponent

Amplituden-Dämpfungskonstante eines Modus m

optimaler Profilexponent

Anhang S Symbole und Abkürzungen a - w

Ausbreitungskonstante in z-Richtung

Ausbreitungskonstante in z-Richtung für die

Kreisfrequenz w s

Fernfeldwinkel

normierte Basisband-Autokorrelation

Kohärenztensor

= s i n - ' ~ ~

Fernfeldwinkel in der yz-Ebene

Fernfeldwinkel in der xz-Ebene

asymptotischer öffnungswinkel

normierte Ausbreitungskonstante B

beugungsbegrenzte Auflösung

normiertes B geführter Wellen

Kronecker-Delta

normiertes B von Leckwellen

normiertes B von Strahlungsmoden

= x - j; Schwankungsgröße

= 7- x2 = o2 mittleres Schwankungsquadrat,

Streuung

Scharfentiefe

diracsche Deltafunktion

Winkel

= 8,8541 8.10-I As/Vm Dielektrizitätskonstante

des Vakuums

normierter Blendenradius

= 1,121 ...


Anhang S Symbole und Abkürzungen a - w

Basisband-Leistunqsspektrum einer Lichtquelle 3.3.1; T3.7

Basisband-Leistungsspektrum der Einzellinie 3.3.1; T3.7

einer Viellinien-Lichtquelle

Fourier-Transformierte von Y i j

Temperatur

- sin y - -T Raumf requenz (F3-8b)

Vakuum-Wellenlänge

Wellenlänge im homogenen Medium der Brechzahl ni (Fl-6)

Wellenlange im homogenen Medium der Brechzahl n F1

Vakuumwellenlänge einer Lichtquelle der

mittleren Frequenz fs

radiale Modenzahl

= 1 ,25664.10-~ Vs/Am Permeabilitätskonstante des

Vakuums

azimutale Modenzahl


= r/a auf den Kernradius a normierter Radius r

normierter Radius der maximalen Kernbrechzahl (Fl-1)

normierter Auftreffpunkt (F2-25)

globale Frequenzkorrelationsfunktion (3-13b)

normierter Strahlradius (F2-25)

effektive Impulsbreite

effektive Impulsbreite für Hauptmoden m

effektive Impulsbreite für Hauptmoden 6 (3-5b) - 2

= 6xZ = x - ii2 Streuung, mittleres Cchwankungsquadrat

Anhang C Symbole und Abktirzunqen U - w

Beobachtungszeit

Kohärenzzeit

Winkel in Zylinderkoordinaten

= a / w O Parameter der Gauß-Laquerre-Moden

Azimutwinkel der Strahlprojektion

= 2nf Kreisfrequenz

Analyse von Lichtwellenleitern aus dem Nah- und Fernfeld · kommt die umst8ndliche numerische...

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