Analyse von Zeitreihen - Universität Rostock · Lehrstuhl Statistik Zeitreihen I 1 Analyse von...

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Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I

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Analyse von Zeitreihen

Begriffe der Zeitreihe

Komponenten einer Zeitreihe

- Trend

- Periodische Schwankungen

- Restschwankungen

Bestimmung der Trendkomponente

- Methode der kleinsten Quadrate (MKQ)

- Methode der gleitenden Durchschnitte

Exponentielle Glättung


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Bibliografie

Prof. Dr. Kück; Statistik, Vorlesungsskript, Abschnitt 10.1 und 10.2

Bleymüller/Gehlert;Statistische Formeln, Tabellen und Programme. Verlag Vahlen

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3

ZeitreiheBei einer Zeitreihe handelt es sich um eine Reihe von Werten (y1, y2, . . . , yn) eines Merkmals (Y), die zu verschiedenen Zeitpunkten (bei Bestandsmassen) oder verschiedenen Zeiträumen (bei Bewegungsmassen) (t=1, 2, . . . , n) erhoben werden.

In der Zeitreihenanalyse wird die Entwicklung des Merkmals Y nur in Abhängigkeit der Zeit betrachtet. Das bedeutet, dass die Zeit als Verursacher der Entwicklung aufgefasst wird. Verursacher der Entwicklung sind aber i. d. R. viele andere Sachmerkmale. Die Eingrenzung auf die Zeit in der Zeitreihenanalyse ist daher eine grobe Vereinfachung. Die Zeit fungiert als Repräsentant aller sachlichen Einflussfaktoren.


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Beispiele von Zeitreihen

Bevölkerungsbestand der BRD am JahresendeDurchschnittliche Haushaltgröße in MV für mehrere Jahre im April (Mikrozensus)Jährliche Zahl der Geburten in der BRDMonatlicher Umsatz im produzierenden GewerbeMonatliche Arbeitslosenquote im Arbeitsamtsbezirk Nord

Merkmale der Bevölkerung sowie Merkmale der Wirtschaft sind sich historisch entwickelnde Größen, deren Entwicklungen Aufschluss über gesellschafts-, wirtschafts-und sozialpolitische Phänomene geben. Ihre Merkmalswerte im Zeitverlauf bilden Zeitreihen.

3


5

1. Problemkreis bei der Untersuchung von Zeitreihen

Untersuchung der zeitlichen Entwicklung von Beständen; die Bestandsfortschreibung wird über die Zu- und Abgangsmassen vorgenommen.(Vgl. dazu Ausführungen zu Bestandsmassen in der Präsentation Grundbegriffe I, Folie 25 ff)

Beispiel:

•Bestandsfortschreibung der Bevölkerung über Geburten, Sterbefälle, Zuzüge und Fortzüge.

•Bestandsfortschreibung von Lagerbeständen nach Artikeln über Warenein- und Warenausgang.


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2. Problemkreis bei der Untersuchung von Zeitreihen

Untersuchung von Gesetzmäßigkeiten in der zeitlichen Entwicklung eines Merkmals, die in ihrer kategorialen Bestimmung über den gesamten betrachteten Zeitraum hinweg als gleichartig angesehen werden können.

Bestimmung dieser Gesetzmäßigkeiten (Zeitreihenmodell) und ihre Anwendung für die Vorausschätzung der zukünftigen Entwicklung (Prognosemodell).

Beispiel:

•Entwicklung der Erwerbstätigenzahl in Deutschland von 1989 bis 2001 und Prognose für das Jahr 2002

•Umsatzentwicklung eines Wirtschaftszweiges von 1989 bist 2001 und Prognose für die Jahre 2002 und 2003

4


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Grafische Darstellung einer Zeitreihe

Die grafische Darstellung erfolgt in einem Koordinatensystem, in welchem auf der Abszisse die Zeit und auf der Ordinate die Merkmalsgröße abgetragen wird. Für diesen Zweck ist das Liniendiagramm zu bevorzugen, die Darstellung kann jedoch auch mit einer anderen Diagrammart erfolgen.

Sie sollte immer der erste Schritt bei der Untersuchung von Gesetzmäßigkeiten einer Zeitreihe sein.

Sie ist die einfachste und anschaulichste Form der Zeitreihenanalyse.

Wenn der Wertebereich der Merkmalswerte sehr groß ist, kann es zweckmäßig sein, eine logarithmische Skala für die Ordinatenachse anzuwenden.


8

Beispiel: Liniendiagramm für die Ent-wicklung der Zahl der Lebendgeborenen

10875

13635

23503

26403

28495

30608

29803

30581

30108

30794

31860

31695

33695

Y

1992

1991

1990

1989

1988

1987

1986

1985

1984

1983

1982

1981

1980

Jahr

133192000

125891999

122461998

120461997

110881996

98781995

89341994

94321993

YJahr

Y: Anzahl der Lebendgeborenen in MV

Entw icklung der Zahl der Lebendgeborenen in MV

05000

100001500020000250003000035000

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

Lebe

ndge

bore

ne

SPSS-Diagramm

5


9

Beispiel: Säulendiagramm für die Ent-wicklung der Zahl der Lebendgeborenen

10875

13635

23503

26403

28495

30608

29803

30581

30108

30794

31860

31695

33695

Y

1992

1991

1990

1989

1988

1987

1986

1985

1984

1983

1982

1981

1980

Jahr

133192000

125891999

122461998

120461997

110881996

98781995

89341994

94321993

YJahr

Y: Anzahl der Lebendgeborenen in MV


05000

100001500020000250003000035000

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

Lebe

ndge

bore

ne

SPSS-Diagramm


10

Beispiel: Entwicklung der zusammen-gefassten Geburtenziffern (BRD, DDR)

1,86

1,94

1,90

1,90

1,85

1,64

1,54

1,54

1,58

1,79

2,13

DDR

1,44

1,45

1,38

1,38

1,40

1,46

1,45

1,51

1,54

1,72

1,92

BRD

1981

1980

1979

1978

1977

1976

1975

1974

1973

1972

1971

Jahr

0,831,4019922,191,991970

0,981,4219912,242,211969

1,521,4819902,302,391968

1,581,3919892,342,491967

1,671,4219882,432,541966

1,731,3619872,482,511965

1,701,3519862,482,551964

1,741,2819852,472,521963

1,741,2919842,422,441962

1,791,3319832,422,451961

1,861,4119822,352,371960

DDRBRDJahrDDRBRDJahr

Quelle: Neu, Axel, Frankfurt am Main 1996

6


11

Beispiel: Liniendiagramm für die Entwicklung der zusammengefassten Geburtenziffern (BRD, DDR)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

Geb

urte

nziff

ern

BRDDDR

SPSS-Diagramm


12

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

Geb

urte

nziff

ern

BRDDDR

Beispiel: Säulendiagramm für die Entwicklung der zusammengefassten

Geburtenziffern (BRD, DDR)

SPSS-Diagramm

7


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Beispiel: Symplex-Bild für zwei Zeitreihen

Entnommen aus Schulze,Beschreibende Statistik,Oldenbourg Verlag, Quelle: Sachverständigenrat,Jahresgutachten 1995/1996

Hilfslinien der Verhältnisse2:1 und 1:1


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Beispiel: Logarithmische Achseneinteilung

Der rasche Anstieg der Krankenkosten und das unter-schiedliche Niveau der Ausgabengruppen verlangen für dieDarstellung der Entwicklungüber einen längeren Zeitraumden logarithmischenMaßstab auf derMerkmalsachse:Hier: Aufwendungen der gesetzlichen Krankenversicherungnach LeistungsartenQuelle: Jahresgutachten 1992/1993

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Beispiel: Liniendiagramm für die Entwicklung des BSP (Quartalswerte)

Y: Bruttosozialprodukt eines Landes in Milliarden EURO

Das Merkmal zeigt regelmäßige Schwankungen um die linear zunehmende Tendenz. Die Periodik p = 4 ist deutlich erkennbar.

Entwicklung des BSP eines Landes

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Zeit (in Quartalen)BS

P in

Mrd

. EU

RO16,65

15,05

11,90

6,80

Jahr 2

14,95

10,50

7,15

3,58

Jahr 1

Quartal 4

Quartal 3

Quartal 2

Quartal 1

18,35

16,70

13,80

8,70

Jahr 3

SPSS-Diagramm


16


Bewegungskomponentenvon Zeitreihen

Systematische Komponenten

Restkomponenten (R)

Trend (T) Periodische Schwankungen (S)

Bei der Beschreibung des Verlaufs einer Zeitreihe gehtman davon aus, dass sich die zeitlich geordneten Werteder Datenreihe auf bestimmte Komponenten zurückführen lassen.Diese werden eingeteilt nach:

9


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Komponenten einer Zeitreihe- Trend (T): Teil der Zeitreihe (Y), welcher Ausdruck

der langfristigen Entwicklungstendenz des betrachteten Merkmals ist;

- Periodische Schwankungen (S): Teil der Zeitreihe (Y), welcher Ausdruck regelmäßig auftretender konjunktureller und saisonaler Bewegungen ist;

- Restschwankung (R): Teil der Zeitreihe (Y), welcher Ausdruck irregulärer Schwankungen in der Entwicklungstendenz des betrachteten Merkmals ist.

Trend und periodische Schwankungen sind die systematischen Komponenten der Zeitreihe, die Restschwankung ist von zufälliger Natur.


18



05000

100001500020000250003000035000

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

Lebe

ndge

bore

ne

Beispiel miteinmaligem„Bruch“

10


19



0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Zeit (in Quartalen)

BSP

in M

rd. E

URO Beispiel mit

Regelmäßigwiederkehrenden„Brüchen“


20

Grundmodelle der Komponentenverknüpfung

• Additive Überlagerung: Y=T+S+R,• Multiplikative Überlagerung: Y=T·S·R

Additive Überlagerung liegt vor, wenn die Schwankungsbreite aller Perioden absolut etwa gleich bleibt (Schlauch).

Multiplikative Überlagerung liegt vor, wenn die Schwankungs-breite aller Perioden relativ etwa gleich bleibt (Trichter).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Zeit

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Zeit (in Quartalen)

11


21

Methoden zur Bestimmung der Trendkomponente einer Zeitreihe

Die Methode der gleitenden Durchschnitte

Die Methode der kleinsten Quadrate (Kurvenanpassung)


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Bestimmung der Trendkomponentemittels gleitender Durchschnitte

Man berechnet aus jeweils g aufeinanderfolgenden Zeitreihenwerten das arithmetisches Mittel und ordnet diesen Mittelwert dem mittleren der bei der Durchschnittsbildung berücksichtigten Zeitpunkte bzw. Zeitintervalle zu.

Durch Mittelung aufeinanderfolgender Werte der Zeitreihe lassen sich die periodische Schwankungen und die Irregularitäten der Zeitreihe eliminieren. Damit isoliert man den Trend als zentrale Tendenz der Entwicklung.

Die Anzahl g gibt die Ordnung des gleitenden Durchschnitts an.

12


23

Berechnungsformel der gleitenden Durchschnitte

Für ungerade g mit g=2k+1:

∑−=

+=k

kjjtt y

gy 1~

Für gerade g mit g=2k: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= +

−

+−=+

− ∑ 221~ 1

1

ktk

kjjt

ktt

yy

yg

y

Die Berechnungsformeln der gleitenden Durchschnitte unterscheiden sich danach, ob g gerade oder ungerade ist.


24

Kriterien zur Auswahl von g bei der Berechnung gleitender Durchschnitte

Für Zeitreihen ohne periodische Schwankungen wird zumeist eine ungerade Ordnung gewählt. Je größer g ist, um so stärker wird der Glättungseffekt, aber es steigt auch der Werteverlust am Beginn und Ende der Reihe.

Für Zeitreihen mit periodischen Schwankungen wird die Ordnung g der Glättung so groß wie die Periodik p der Zeitreihe gewählt. Man ist hier in der Wahl der Ordnung nicht mehr frei.

Die Auswahl der Ordnung g der Glättung hängt davon ab, ob die Zeitreihe periodische Schwankungen aufweist oder nicht.

13


25

Beispiel: Berechnung gleitender Durchschnitte 3. Ordnung

1,1101,1049

1,1011,1048

1,1061,0947

1,08412

1,0971,08611

1,1041,12110

1,1161,1216

1,1311,1335

1,1311,1394

1,1341,1213

1,1291,1432

1,1221

3er DurchschnittWertMonat

3/)121,1143,1122,1(129,1 ++=

3/)139,1121,1143,1(134,1 ++=

. . .1,08

1,09

1,1

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ZeitreiheDurchschnitte

3/)133,1139,1121,1(131,1 ++=


26


1,1021,1049

1,1091,1048

1,1111,0947

1,08412

1,08611

1,1001,12110

1,1181,1216

1,1221,1335

1,1311,1394

1,1321,1213

1,1432

1,1221

5er DurchschnittWertMonat

5/)133,1139,1121,1143,1122,1(132,1 ++++=

. . .

5/)121,1133,1139,1121,1143,1(131,1 ++++=

5/)094,1121,1133,1139,1121,1(122,1 ++++=

1,08

1,09

1,1

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ZeitreiheDurchschnitte

14


27

Vergleich der gleitenden Durchschnitte

1,08

1,09

1,1

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Glättung 3. Ordnung:

Der Werteverlust beträgt zwei Punkte.

1,08

1,09

1,1

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Glättung 5. Ordnung:

Der Werteverlust beträgt vier Punkte.


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Vergleich der gleitenden Durchschnitte

Bekanntes Beispiel: Kursverlauf von Aktien, hier DAIMLERCHRYSLER,Abfrage 15.06.2005. Weshalb gibt es keine fehlenden Punkte?

5 Jahre3 Jahre2 Jahre1 Jahr6 Monate1 Monat1 WocheIntraday

Chart

15


29

Beispiel: Berechnung gleitender Durchschnitte einer Zeitreihe mit periodischen Schwankungen

16,65

15,05

11,90

6,80

Jahr 2

14,95

10,50

7,15

3,58

Jahr 1

Quartal 4

Quartal 3

Quartal 2

Quartal 1

18,35

16,70

13,80

8,70

Jahr 3

Y: Bruttosozialprodukt eines Landes in Milliarden EURO je Quartal für 3 Jahre

Periodik p = 4Glättungsordnung g = 4


0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Zeit (in Quartalen)

BSP

in M

rd. E

URO


30


18,3512

16,7011

14,1813,8010

13,768,709

13,3116,658

12,8415,057

12,3911,906

11,616,805

10,4414,954

9,4010,503

7,152

3,201

Gleitender Durchschnitt

4. Ordnung

BSPQuar-tal

)280,695,1450,1015,7

220,3(

4140,9 ++++⋅=

. . .

)290,1180,695,1450,10

215,7(

4144,10 ++++⋅=


0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Zeit (in Quartalen)

BSP

in M

rd. E

URO

Zeitreihe des BSP

GleitendeDuchschnitte 4.Ordnung

SPSS-Diagramm

16


31

Vorteile und Nachteile der Methode der gleitenden Durchschnitte

Nachteil:

Liefert keine mathematische Funktion

„Verkürzung“ der Zeitreihe

Vorteile:

Rechnerisch sehr einfach

Richtungsänderungen oder Krümmungen der Zeitreihe werden mitbeachtet.

Um diese Nachteile der Methode der gleitenden Durchschnitte aufzuheben, kann man die Methode der kleinsten Quadrate für die Analyse der Zeitreihe einsetzen.


32

Bestimmung der Trendkomponente-Methode der kleinsten Quadrate-

Um den Trend einer Zeitreihen durch eine allgemeine Funktionsgleichung beschreiben zu können, kann die Methode der kleinsten Quadrate wie bei der Regressionsanalyse angewendet werden. Man geht von den Wertepaaren (t, yt) der Zeitreihe mit (t=1, 2, . . . , n) aus und verwendet das allgemeine Regressionsmodell für die Abbildung der Entwicklungstendenz.

17


33

Lineare und quasilineare Ansätze für den Trend

tbbT t ⋅+= 21Einfacher linearer Ansatz:

Logarithmischer Ansatz: tlnbbTt ⋅+= 21

Exponentialansatz: tbbTln t ⋅+= 21

Potenzansatz: tlnbbTln t ⋅+= 21

Hyperbolischer Ansatz:t

bbT t

121 ⋅+=


34

Typischer linearer Zeitverlauf

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeit

Mek

rmal

saus

präg

unge

n Es ist ein linearer Verlauf erkennbar.

Die Merkmalsgröße verändert sich über die Zeit absolut gleich bleibend, jedoch relativ abnehmend.

tbbTt ⋅+= 21

SPSS-Diagramm

18


35

Typischer exponentieller Zeitverlauf

Es ist ein exponentieller Verlauf erkennbar.

Die Merkmalsgröße verändert sich über die Zeit absolut zunehmend, jedoch relativ gleichbleibend.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeit

Mer

kmal

ausp

rägu

ngen

tbbTt ⋅+= 21lntbbt eT ⋅+= 21

SPSS-Diagramm


36

Typischer logistischer Zeitverlauf

Die Merkmalsgröße verändert sich über die Zeit absolut zunehmend.

Die Zuwachsrate nimmt ab und die Merkmals-größe strebt einer Sättigungsgrenze zu.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeit

Mer

kmal

saus

präg

unge

n

)exp(1 21 tbbdTt ++

= mit b2 > 0

und d > 0 als Sättigungsgrenze

SPSS-Diagramm

19


37

Berechnung der Koeffizienten für die einfache lineare Trendfunktion (T)

( )2222

11

2

1 112

t

ty

n

t

n

t

n

t

n

tt

n

tt

ss

tt

tyty

ttn

ytytnb =

−

⋅−⋅=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅−⋅=

∑∑

∑ ∑∑

==

= ==

( )tby

ttn

yttytb

n

t

n

t

n

t

n

tt

n

tt

n

t ⋅−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅⋅−=

∑∑

∑ ∑∑∑

==

= ===22

11

2

1 111

2

1

tbbTt ⋅+= 21


38

Parameterschätzung nach MKQ

i21t xbbY ⋅+=

2t

ty

2 ss

b =tbbT 21t ⋅+= Trendfunktion

Regressionsfunktion

2x

xy

2 ss

b =

Formelsammlung Regression!

20


39

Beispiel: Lineare Trendfunktion für die Zahl der Studierenden

Entwicklung der Zahl der Studierenden

12000

13000

14000

15000

16000

17000

18000

19000

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Zahl

der

Stu

dier

ende

n

1839471995

1695061994

1473851993

1380241992

1365731991

1316021990

1293311989

yttJahr

SPSS-Diagramm


40

Beispiel: Bestimmung der linearen Trendfunktion für die Zahl der Studierenden

Y: Anzahl der Studierenden

62797,142014804,864Mittelwert

43958014010363428Summe

128758491839471995

101700361695061994

73690251473851993

55208161380241992

4097191365731991

2632041316021990

1293311293311989

t.ytt²yttJahr

( )

894,43281407

1036342814,6279772

2

11

2

1 112

=−⋅

⋅−⋅=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅−⋅=

∑∑

∑ ∑∑

==

= ==

n

t

n

t

n

t

n

tt

n

tt

ttn

ytytnb

443,89486,1480421 ⋅−=⋅−= tbyb

t43,89414,11227t

T ⋅+=

21


41

Beispiel: Bestimmung einer exponentiellen Trendfunktion für die Zahl der Studierenden

Y: Anzahl der Studierenden

9,59

67,16

9,82

9,74

9,60

9,53

9,52

9,48

9,47

ln yt

38,612014804,86

4Mittelwert

270,29

14010363428Summe

68,74491839471995

58,43361695061994

47,99251473851993

38,13161380241992

28,5791365731991

18,9741316021990

9,4711293311989

t. ln ytt²yttJahr ( )

06,0281407

16,672829,2707

lnln

2

2

11

2

1 112

=−⋅

⋅−⋅=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅−⋅=

∑∑

∑ ∑∑

==

= ==

n

t

n

t

n

t

n

tt

n

tt

ttn

ytytnb

36,9406,059,9ln 21 =⋅−=⋅−= tbyb

t06,036,9t eT ⋅+=

t06,036,9Tln t ⋅+=


42

Beispiel: Exponentielle Trendfunktion für die Zahl der Studierenden

Entwicklung der Zahl der Studierenden

12000

13000

14000

15000

16000

17000

18000

19000

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Zahl

der

Stu

dier

ende

n

t06,036,9t eT ⋅+= t06,036,9Tln t ⋅+=

17506,61839471995

16511,21695061994

15572,41473851993

14687,01380241992

13852,01365731991

13064,41316021990

12321,51293311989

TtyttJahr

22


43

Methode der exponentiellen Glättung

In einer Periode t ergibt sich der Prognosewert für die Periode t+1 als gewogenes arithmetisches Mittel aus dem Beobachtungs- und Prognosewert für die Periode t. Als Gewichte werden α und (1- α) mit 0 < α < 1 genutzt. Der Wert α wird dabei als Glättungsparameter bezeichnet.

Sie hat als Prognoseverfahren für Zeitreihen, die keinen ausgeprägten Trend und keine ausgeprägte Schwankung aufweisen, praktische Bedeutung erlangt.

Der einfache Ansatz des exponentiellen Glättens ist die exponentielle Glättung erster Ordnung:

ttt yyy ˆ)1(ˆ 1 αα −+⋅=+


44

Exponentielle Glättung für eine Zeitreihe mit n Beobachtungen

( )

( )

1

1

0

23

22

1

222

1

12

1

111

ˆ)1()1(

...ˆ)1()1()1(

ˆ)1()1()1(

ˆ)1()1(

ˆ)1()1(ˆ

yy

yyyy

yyyy

yyy

yyyy

nn

iin

i

nnnn

nnnn

nnn

nnnn

ααα

αααααα

αααααα

αααα

αααα

−+−=

−+−+−+⋅=

⋅−+⋅−+−+⋅=

−+−+⋅=

⋅−+⋅⋅−+⋅=

∑−

=−

−−−

−−−

−−

−−+

nnn yyy ˆ)1(ˆ 1 αα −+⋅=+ Empirische Reihe yt

mit t = 1, 2, …,n

23


45

Beispiel: Exponentielle Glättung (α = 0,8)

Y: monatlicher Benzinpreis

1,086

1,0921,08412

1,1181,08611

1,1041,12110

1,1031,1049

1,1001,1048

1,1241,0947

1,1341,1216

1,1361,1335

1,1251,1394

1,1391,1213

1,1221,1432

1,1221,1221

Exponentielle Glättung y-Dach

(α=0,8)

PreisMonat

1,08

1,09

1,1

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

MonatPr

eis Zeitreihe

Glättung (0,8)

122,1ˆ 11 == yy

122,1122,1)8,01(122,18,0ˆ2 =−+⋅=y

139,1122,1)8,01(143,18,0ˆ3 =−+⋅=y

. . .

SPSS-Diagramm


46

Auswirkung des Glättungsparameter α

großkleinReagibilität der Prognose

kleingroßGlättungseffekte

schwachstarkBerücksichtigung der Vergangenheitswerte

starkschwachBerücksichtigung aktueller Wert

großer Wert αKleiner Wert αEffekte

nnn yyy ˆ)1(ˆ 1 αα −+⋅=+

Die Formel zeigt, dass der aktuelle Beobachtungswert yn umso stärker berücksichtigt wird, je größer α gewählt wird. Der aktuelle Prognosenwert yn-Dach, in welchem sich die ganze Vergangenheit der Zeitreihe niederschlägt, wird dagegen umso stärker berücksichtigt, je kleiner α gewählt wird.

24


47

Beispiel: Effekt des Glättungsfaktors bei der exponentiellen Glättung

1,08

1,09

1,1

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Monat

Prei

s ZeitreiheGlättung (0,8)Glättung (0,1)

SPSS-Diagramm

Analyse von Zeitreihen - Universität Rostock · Lehrstuhl Statistik Zeitreihen I 1 Analyse von...

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