Analysis I Mitschrift

Mitschrift zur Analysis I Vorlesung vonProf Dr Wittbold im WS0708

Thomas El Khatib

1 Dezember 2007

1

Inhaltsverzeichnis1 Mengen Abbildungen und Zahlen 6

11 Mengen 6111 Definition 6112 Beispiele 6113 Bezeichnungen und Konzepte 6114 Beispiele 7

12 AbbildungenFunktionen 7121 Definition 7122 Beispiele 8123 Graphen von Funktionen 8124 Beispiel 8125 Definition uumlber Relationen 9126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen 9127 Beispiele 10128 Inverse Abbildung 11129 Beispiel 111210 Komposition von Abbildungen 111211 Beispiel 111212 Bild- und Urbildmenge 121213 Beispiel 121214 Logik Quantoren 12

13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper 13131 Innere Verknuumlpfung 13132 Beispiele 13133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen 13134 Beispiele 14135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente 14136 Koumlrper 15137 Beispiele 15138 Schreibkonventionen 15139 Saumltze uumlber Koumlrper 16

14 Angeordnete Koumlrper 18141 Motivation 18142 Definition 18143 Beispiele 19144 Regeln fuumlr Ungleichungen 19145 Betragsfunktion 20146 Beispiel 20147 Abstandsfunktion 21148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion 21149 Der Positivbereich der reellen Zahlen 221410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen 23

15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige Induktion 25151 Induktive Mengen 25152 Beispiele 25153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt 25154 Beispiele 25155 Natuumlrliche Zahlen 25

2

156 Eigenschaften 26157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion 26158 Allgemeines Verfahren 26159 Beispiel 271510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion 271511 Beispiel 281512 Scheinparadoxon 281513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion 291514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen 29

16 Die ganzen und rationalen Zahlen 30161 Problem 31

17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen 31171 Dedekindrsquosche Schnitte 31172 Beispiel 32173 Reelle Zahlen 32174 Beschraumlnktheit von Mengen 32175 Maximum und Minimum von Mengen 33176 Supremum und Infimum von Mengen 33177 Beispiele 33178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit 34179 Archimedisches Axiom 351710 Folgerungen 351711 BemerkungenErgaumlnzungen 36

18 Komplexe Zahlen 40181 Definition als Paare von reellen Zahlen 40182 Die imaginaumlre Einheit 40183 Potenzen von i 40184 Bezeichnungen 41185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen 41186 Eigentliche Definition 41187 Beispiel 42188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen 42189 Konjugiert-komplexe Zahl 421810 Betrag 421811 Eigenschaften 421812 Abstandsfunktion 421813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene 43

2 Folgen und Reihen 4421 Folgen 44

211 Definition 44212 Beispiele 44213 Teilfolgen 45214 Beispiel 45215 Umordnung 45216 Beispiel 45217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen 46

22 Konvergenz 47221 Nullfolgen 47222 Beispiele 47

3

223 Allgemeine Konvergenz 48224 Beispiele 48225 Eindeutigkeit des Limes 48226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt 49227 Konvergenzkriterien 49228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen 50229 Konvergenz von Teilfolgen 512210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo 522211 Konvergenz in den komplexen Zahlen 532212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen 532213 Sandwich-Lemma 542214 Beispiel 552215 Monotonie 552216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren 552217 Existenz von monotonen Teilfolgen 562218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig 562219 Cauchy-Folgen 572220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen 572221 Cauchy-Kriterium 572222 Beispiel 582223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit 612224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren 622225 Erweiterte reelle Zahlengerade 622226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen 622227 Bestimmte Divergenz 632228 Beispiel 632229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen 632230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade 642231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt 642232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 64

23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior 64231 Haumlufungspunkte 64232 Beispiele 64233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten 65234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 65235 Uneigentliche Haumlufungspunkte 65236 Limes Superior und Limes inferior 65237 Beispiel 66238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior 66

24 Unendliche Reihen 67241 Definition 67242 Beispiel 68243 Eigenschaften von unendlichen Reihen 68244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen 69245 Beispiel 70246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz 70247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen 70248 Beispiel 71249 Wurzelkriterium 722410 Quotientenkriterium 73

4

3 Bildquellen 73

5

1 Mengen Abbildungen und Zahlen

11 Mengen111 Definition

Definition nach Cantor (1845-1918)

Definition 11 Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunter-schiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens

Die Objekte der Menge heiszligen Elemente

112 Beispiele

M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3

N0 = 0 1 2 3 Znaiv = N cup 0 cup (minusN)

Qnaiv =p

q| p q isin Z q 6= 0

M = m |m erfuumlllt eine Eigenschaft A

Achtung Es wird standardmaumlszligig die (west-)deutsche Menge der natuumlrlichen Zahlenverwendet also 0 6isin N

113 Bezeichnungen und Konzepte

Seien MM1M2 Mengen

bull empty = - leere Menge Die Menge die keine Elemente enthaumllt

bull p isinM - p ist Element von M p ist in M enthalten

bull p 6isinM - p ist nicht Element von M p ist nicht in M enthalten

bull M1 sube M2 (auch M1 sub M2) - M1 ist Teilmenge von M2 M1 ist in M2 enthal-ten

bull M1 subM2 (auch M1 ( M2) - M1 ist echte Teilmenge von M2

bull M1capM2 - DurchschnittSchnittmenge Menge aller Elemente die sowohl inM1

als auch in M2 enthalten sind

bull M1 cupM2 - Vereinigung-smenge Menge aller Elemente die in M1 undoder inM2 enthalten sind

bull M1 M2 - Differenzmenge relatives Komplement von M2 in M1 Menge allerElemente die in M1 aber nicht in M2 enthalten sind

bull P(M) - Potenzmenge von M dh Menge aller Teilmengen von M

bull M - bdquoAnzahlldquo der Elemente einer Menge Kardinalitaumlt Fuumlr endliche Mengenist |M | gebraumluchlich

6

bull M1timesM2 (sprich M1 kreuz M2) kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2

(m1m2) |m1 isinM1 m2 isinM2

(m1m2) heiszligt das aus m1 und m2 gebildete geordnete PaarTupel

Achtung (m1m2) = (m1 m2) genau dann wenn m1 = m1 und m2 = m2

114 Beispiele

M1 = 1 2 3 M2 = 3 4 5M1 cupM2 = 1 2 3 4 5M1 M2 = 1 2M1 capM2 = 3P(M1) = empty 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

M1 = 3P(M1) = 8

allgemeinn isin N andM = nrArr P(M1) = 2n

InsbesondereP(empty) = empty

Kartesisches Produkt

M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)

12 AbbildungenFunktionen121 Definition

Seien XY Mengen

Definition 12 Eine Abbildung von X nach Y ist eine Zuordnungsvorschrift die je-dem Element aus X genau ein dh ein eindeutig bestimmtes Element aus Y zuordnet

Ist f der Name der Abbildung dann schreibt man kurz

f X rarr Y

bdquof ist Abbildung von X nach Y ldquo

x 7rarr f(x)

bdquox wird abgebildet auf f(x)ldquo Oder bdquof(x) ist das eindeutige Element aus Y dass x(von f ) zugeordnet wirdldquo

Weitere Notationen fuumlr Abbildungen sind moumlglich

f X 3 x 7rarr f(x) = y isin Y

7

Bezeichne mitA(XY ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y Alternativ wiein Lineare Algebra auch Abb(XY ) bzw XY

Zwei Abbildungen f g isin A(XY ) heiszligen gleich dh f = g wenn gilt f(x) = g(x)fuumlr alle x isin X

122 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2

2

g Nrarr N

n 7rarr

n2 falls n geraden3 falls n ungerade

Achtung Eine Zuordnungsvorschrift die keine Abbildung ist ist zum Beispiel diefolgendeSeien

X = 1 4 9 16 (Menge der Quadratzahlen der natuumlrlichen Zahlen)Y = Z

Zuordnungsvorschrift Ordne jedem x isin X eine Zahl y isin Y zu fuumlr die gilt y2 = x

Problem1 7rarr minus1 und 1 7rarr 1 denn (minus1)2 = (1)2 = 1 Also ist das Element das x = 1zugeordnet wird nicht eindeutig bestimmt

123 Graphen von Funktionen

Weiter bezeichnen wir fuumlr ein f isin A(XY ) mit

G(f) = (x f(x)) | x isin X (sub X times Y )

den Graphen von f

124 Beispiel

f Rrarr Rx 7rarr x3

G(f) =(x x3) | x isin R

sube Rtimes R

8

Illustration

125 Definition uumlber Relationen

Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln

forallx isin X existy isin Y (x y) isin R

Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X

126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen

Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )

i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln

x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)

oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2

ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln

forall y isin Y existx isin X f(x) = y

iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist

9

Illustration

allgemeine Form einer Abbildung f

f ist injektiv nicht surjektiv

f ist surjektiv nicht injektiv

f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2

ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2

2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3

2

f Zrarr N0

z 7rarr z2

ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)

3

f Zrarr Zz 7rarr z + 1

10

ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar

128 Inverse Abbildung

Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz

fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x

129 Beispiel

Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist

fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1

die zu f inverse Abbildung

1210 Komposition von Abbildungen

Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung

g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel

f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1

Dann ist

g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1

11

Illustration

1212 Bild- und Urbildmenge

Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt

f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und

fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B

Urbild(-menge) von B unter f

1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2

fminus1(2 3) = empty

1214 Logik Quantoren

Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt

bullforallx isinM A(x)

bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist

A(x) forallx isinM

gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM

bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt

bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt

12

13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung

Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge

Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)

132 Beispiele

1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung

cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB

eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)

2

+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv

(mn) 7rarr m+ n

ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung

133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen

Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M

i) heiszligt assoziativ wenn gilt

(x y) z = x (y z)

fuumlr alle x y z isinM

ii) heiszligt kommutativ wenn gilt

x y = y x

fuumlr alle x y isinM

iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt

x e = e x = x

fuumlr alle x isinM

iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt

x y = y x = e

13

134 Beispiele

1

cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB

ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)

2


(mn) 7rarr m+ n

bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)

3

+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv

(mn) 7rarr m+ n

ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)

135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente

Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt

i) die Einheit e ist eindeutig

ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)

Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben

i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind

e = e e = e

Das heiszligt aber gerade e = e

ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo

y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y

Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist

14

136 Koumlrper

Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind

(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ

(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ

(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0

(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)

(M1) bdquoldquo ist assoziativ

(M2) bdquoldquo ist kommutativ

(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0

(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)

(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt

x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)

137 Beispiele

1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)

2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)

3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen

+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1

Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist

138 Schreibkonventionen

Schreibe oft einfach

bull xminus y anstelle von x+ (minusy)

bull xy anstelle von x middot y

bull 1y anstelle von yminus1

bull xy anstelle von x middot yminus1

bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)

15

139 Saumltze uumlber Koumlrper

Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt

i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1

ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K

iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)

iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K

v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0

vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K

vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)

viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy

)minus1

= yx

ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0

x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K

Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften

i) Es gelte x+ y = x Dann folgt

(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr

(minusx) + x) + y = 0 A4hArr

0 + y = 0 A3hArry = 0

Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt

x middot y = x hArr

xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr

(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr

1 middot y = 1 M3hArry = 1

ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass

x+ 0 middot x = x forallx isin K

Sei x isin K dann gilt

x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x

16

iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen

iv) Sei x isin K dann gilt

x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0

Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw

v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten

x = xM3hArr

1 middot x = xM4hArr

(x middot xminus1) middot x = x hArr

(x middot 0) middot x = xM2hArr

(0 middot x) middot x = xii)hArr

0 middot x = xii)hArr

0 = x

was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt

vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)

vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch

(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1

also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0

dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt

viii) Es gilt

xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)

ix) Es gilt nach iv)

minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)

17

Es gilt auch

(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1

M4= x middot 1 middot xminus1

M3= x middot xminus1 M4= 1

x) Es gilt

(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty

Es gilt auch

(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)

und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)

14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation

Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden

142 Definition

Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt

(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )

(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P

Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper

Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt

bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo

bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo

bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo

bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo

18

143 Beispiele

1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper

2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)

Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt

1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P

((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt

1 isin P und (minus1) = 1 isin P

dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)

144 Regeln fuumlr Ungleichungen

In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln

Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt

i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2

ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y

iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z

iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx

v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z

vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)

vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0

viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo

Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt

i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt

(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber

(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)

19

also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2

ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit

z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P

dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P

nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P

also(z middot y minus z middot x) isin P

Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y

Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen

145 Betragsfunktion

Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch

|middot| K rarr K

x 7rarr

x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0

146 Beispiel

Beispiel in K = Rnaiv

20

147 Abstandsfunktion

Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden

d K timesK rarr K

(x y) 7rarr |xminus y|

Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y

Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0

148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion

Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt

i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0

ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K

iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K

iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung

v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K

vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K

vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration

Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K

i) Fallunterscheidung

1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0

2 x = 0 dann ist |x| Def= 0

3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0

21

Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0

ii) Fallunterscheidung

1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0

3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|

iii) Fallunterscheidung

1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|

3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|

Die anderen Faumllle folgen analog

iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt

|x+ y| le |x|+ |y|

v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)

v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)

vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)

vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)

149 Der Positivbereich der reellen Zahlen

Satz R hat nur genau einen Positivbereich

Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen

a) P sub P und

22

b) P sub P

a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (

radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr

radicxradicx = x = 0hArr

radicx = 0

Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher

radicxradicx = x isin P denn

nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P

b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert

radic(minusx) 6= 0 mit

radic(minusx)

2= minusx daher

minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P

Aus a) und b) zusammen folgt P = P

1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen

Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q

a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper

i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic

2 isin R folgt a+bmiddotradic

2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren

Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic

2 = 0 hArr a = 0 and b = 0

Beweis Sei a+ b middotradic

2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic

2 ()

1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic

2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =

radic2 ein Widerspruch denn

radic2 6isin Q

Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic

2 = 0+0 middotradic

0 = 0

Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic

2 = a+ b middotradic

2 Dann gilt

(aminus a) + (bminus b) middotradic

2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0

also a = a und b = b

ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K

iii) Koumlrperaxiome

1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ

2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot

radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot

radic2 isin K

3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot

radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot

radic2 isin K

23

4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot

radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann

gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2

5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R

Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper

b)

P1 =a+ b middot

radic2 isin K | a+ b middot

radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot

radic2 isin K | aminus b middot

radic2 gt 0

sind Positivbereiche

Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot

radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist

1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten

2 P2 ist Positivbereich

(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic

2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot

radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot

radic2 lt 0 in R

oder auchminusaminus (minusbradic

2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic

2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot

radic2 isin P2 y = c + d middot

radic2 isin P2 dh a minus b middot

radic2 gt

0 cminus d middotradic

2 gt 0 in RAddiert ergibt sich

(a+ c)minus (b+ d) middotradic

2 gt 0

also (a+c)+(b+d) middotradic

2 = (a+b middotradic

2)+(c+d middotradic

2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich

a middot cminusa middotd middotradic

2minus b middot c middotradic

2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic

2 gt 0

also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic

2 = (a+ b middotradic

2) middot (c+ d middotradic

2) isin P2

P1 und P2 sind verschieden voneinander

Beweis Aus 0 + 1 middotradic

2 isin K und 0 + 1 middotradic

2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic

2 isin P1Aber 0minus 1 middot

radic2 = minus

radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot

radic2 6isin P2

Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K

Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic

2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh

K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]

24

15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper

151 Induktive Mengen

Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt

i) 1 isinM

ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM

(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)

152 Beispiele

1 M = K ist induktiv

2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv

3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv

153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt

Notation

bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B

bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn

bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂

M =⋂

MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM

154 Beispiele

1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty

2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =

1

155 Natuumlrliche Zahlen

Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man

N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K

und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen

25

156 Eigenschaften

i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist

ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit

1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N

und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =

⋂M)

157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion

Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften

i) 1 isin A

ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A

Dann gilt A = N

Beweis Nach Voraussetzung gilt

bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N

158 Allgemeines Verfahren

Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion

InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt

InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N

InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt

Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen

Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N

26

159 Beispiel

Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente

Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2

InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte

M = nrArr P(M) = 2n

InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung

P(M) = 2n

Es ist aberP(M) = P(M)︸︷︷︸

=2n

cupA cup m |A isin P(M)

︸︷︷︸

=2n

und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)

disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1

1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion

Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N

Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt

InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N

InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)

Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0

Begruumlndung der KorrektheitBetrachte

E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt

27

Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0

1511 Beispiel

Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)

Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn

52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr

InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung

k2 lt 2k

sei wahr fuumlr ein k ge 5

Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1

soll wahr sein

InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt

k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr

k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr

(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war

Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1

1512 Scheinparadoxon

Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich

Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich

28

InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich

InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()

Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert

1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion

1 Fakultaumlt

bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N

bull Definition durch vollstaumlndige Induktion

1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N

2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist

x1 = x

xn+1 = x middot xn foralln isin N

1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen

Satz 152 Seien mn isin N

i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N

ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)

iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1

iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1

v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)

Beweis Seien mn isin N

29

i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN

ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N

iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)

iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x

v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge

E = m isin N | foralln isin A n gt m

Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch

16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K

bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen

bull Q =mn |m isin Z n isin N

- Menge der rationalen Zahlen

bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen

Dann gilt

30

bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement

bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N

ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei

bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen

161 Problem

Q ist zu klein

ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q

Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)

Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2

also 2 middot n2︸︷︷︸gerade

= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N

Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2

dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind

17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte

Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt

i) AB 6= empty

ii) forallx isin A y isin B x lt y

iii) A cupB = K

Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls

x le x0 le y forallx isin A y isin B

31

172 Beispiel

bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2

(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2

bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen

A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2

B =

x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2

(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre

radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen

Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)

Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper

Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt

1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K

2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K

Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden

Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R

Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit

174 Beschraumlnktheit von Mengen

Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A

32

bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸︷︷︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo

exist s isin K a le s forall a isin A

s heiszligt dann obere Schranke von A

bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr

exist s isin K a ge s forall a isin A

s heiszligt dann untere Schranke von A

bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt

175 Maximum und Minimum von Mengen

Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge

bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)

bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)

176 Supremum und Infimum von Mengen

Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper

bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)

bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)

177 Beispiele

1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π

sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2

Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre

t ltt+ 2

2lt 2

Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2

2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt

2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2

B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =

radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum

bzw B kein Infimum

33

178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit

Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent

i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K

ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K

iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K

Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper

i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt

m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A

minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist

ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B

m le b forall b isin B

Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)

iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann

B = b isin K | b ge m forallm isinM

(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt

ndash a lt b forall a isin A b isin B

34

ndash A cupB = K

dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt

a le x0 le b forall a isin A b isin B

Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)

179 Archimedisches Axiom

Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet

Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch

1710 Folgerungen

Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1

n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)

Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten

n middot a le b

dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein

Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist

Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen

i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)

ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b

Beweis Fallunterscheidung

i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet

2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1

n hArr b gt a+ 1n

Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun

M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35

Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0

n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist

k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b

Zusammen also a lt k0n lt b

3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte

bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic

2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic

2lt q2 minus q1 also

a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic

2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b

1711 BemerkungenErgaumlnzungen

Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)

Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k

l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt

k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N

Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)

Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen

i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N

ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0

iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich

iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich

36

Satz Es gelten folgende Tatsachen

1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar

2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar

3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar

4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich

5 Q ist abzaumlhlbar unendlich

6 R ist uumlberabzaumlhlbar

Beweis Hier nicht nur exemplarisch

1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung

g Nrarr A

Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu

N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty

Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann

Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))

sube N 6= empty

Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde

2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch

f((mi nj)) = (i j)

Man definiert nun die Abbildung

τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12

(n+m+ 1) (n+m) + n

37

Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments

Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist

Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen

12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2

Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2

mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt

τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)

Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt

τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))

=12

[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))

=d(l) middot (d(l) + 1)

2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)

2= l

Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt

τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2

Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an

τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38

dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt

Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar

3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f

⋃iisinIMi rarr N times N gegeben

durchf(xij) = (i j)

τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon

⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen

wieder abzaumlhlbar

4 Z abzaumlhlbar unendlich da

f Nrarr Z

n 7rarr

n2 falls n geradenminus1

2 falls n ungerade

eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar

5 SeiMi =zi | z isin Z

also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch

mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃

iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z

=zi| z isin Z i isin N

= Q

Also ist Q abzaumlhlbar

6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann

bn =

1 falls an 6= 13 falls an = 1

und betrachte dann die reelle Zahl

r = 0b1b2b3 bn

Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung

39

18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen

In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist

oplus R2 times R2 rarr R2

((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2

((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))

Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (

a

a2 + b2minusb

a2 + b2

)das multiplikative Inverse von (a b) ist

182 Die imaginaumlre Einheit

Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber

(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)

Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden

Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen

(0 1) = i

heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi

Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸︷︷︸1

+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt

man nuna+ i middot b = (a b) isin R2

183 Potenzen von i

Satz Fuumlr alle n isin N gilt

in =

1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3

40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt

i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi

Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2

)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1

i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i

i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1

i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi

184 Bezeichnungen

1a+ i middot b | a b isin R = C

bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo

2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b

3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R

185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen

Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen

(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)

(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)

186 Eigentliche Definition

Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist

(0 0) = 0 + i middot 0 = 0

das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1

das Einselement und(a

a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i

das multiplikative Inverse zu a+ ib

41

187 Beispiel

Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist

z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i

188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen

Sei y isin R y gt 0 dann folgt

z2 = y rArr z = plusmnradicy

bzw

z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn

radic(minus1) middot y = plusmn

radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy

Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen

189 Konjugiert-komplexe Zahl

Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl

1810 Betrag

Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt

|middot| Crarr R

|z| =radicz middot z =

radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt

1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C

2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C

3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C


Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d

d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|

42

1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene

43

2 Folgen und Reihen

21 Folgen211 Definition

Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung

f NrarrM

heiszligt eine Folge in M Man schreibt

(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)

oder auch (f1 f2 f3 )

212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN

f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn

fn heiszligt auch n-tes Folgenglied

2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )

3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch

a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)

4 (an)nisinN definiert durch

a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N

dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )

5 Eine Folge in C((1 +

i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n

)n6 Eine Folge von Mengen

f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n

dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN

44

7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)

f NrarrM

n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn

(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo

Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R

213 Teilfolgen

Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt

i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh

forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)

ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N

Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N

214 Beispiel(22kminus1

)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert

durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)

215 Umordnung

Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N

216 Beispiel

Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist

(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )

eine Umordnung von (an) wobei

ϕ Nrarr N

ϕ(n) =

n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3

wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv

45

217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen

1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel

(1n

)nisinN

2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel

(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN

Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene

46

22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C

221 Nullfolgen

Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt

forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0

222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n

)nisinN ist eine Nullfolge

Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit

1n0

lt ε

Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0

folgt damit sofort

|an| =1nlt ε foralln ge n0

2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47

Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1

n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0

1nle 1n0

lt ε2

also|an| =

1radicnlt ε foralln ge n0

223 Allgemeine Konvergenz

Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt

forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0

Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz

limnrarrinfin

an = a

oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a

Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent

224 Beispiele

1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a

2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin

(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1

n ) ist eineNullfolge

225 Eindeutigkeit des Limes

Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt

Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b

existieren zu diesem ε

n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0

n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1

Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1

|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|

Widerspruch

48

226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt

Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N

Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt

|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0

Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN

Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele

1 (an)nisinN = (n)nisinN

2 (2n)nisinN

Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel

(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN

227 Konvergenzkriterien

Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt

i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und

|bn| le |an| foralln isin N

dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)

ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge

Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge

i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0

ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε

M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt

|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM

= ε foralln ge n0

also an middot bn rarr 0

49

228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen

Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt

i) (an + bn)nisinN ist konvergent und

lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b

ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und

lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b

iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an

bn)nisinN konvergent und

lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b

Beweis Es wird jeweils gezeigt

i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε

2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber

|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε

2+ε

2= ε

fuumlr alle n ge n0Also gilt

limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)

ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε

M+|a| und |bn minus b| ltε

M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt

|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|

also

|an middot bn minus a middot b| ltε

M + |a|middotM + |a| middot ε

M + |a|= (M + |a|) middot ε

M + |a|= ε


limnrarrinfin

an middot bn = a middot b

Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K

50

iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt

|b|2

Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|

also|b| minus |bn minus b| le |bn|

und damit

|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2

=|b|2

Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b

∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b

und zusammen mit an rarr a und ii) folgt

limnrarrinfin

anbn

=a

b

229 Konvergenz von Teilfolgen

Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist

auch (ank)kisinN konvergent und

limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an

Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit

|an minus a| lt ε foralln ge n0

Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt

|ankminus a| lt ε forall k ge k0

Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-

vergente Teilfolge(ankl

)lisinN

besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a

51

Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh

exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε

Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv

an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε

Fuumlr (ank)kisinN gilt dann

|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)

Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl

)lisinN

mit

exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl

minus a∣∣∣ lt ε

dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε

was (I) widerspricht

2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo

1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften

i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit

ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und

iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung

Es folgt dann

2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0

also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM

Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als

forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0

Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch

existx isinM foralln d(x an) leM

52

2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt

limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn

Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0

3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n

2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen

Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt

limnrarrinfin

an = a

genau dann wennlimnrarrinfin

xn = x und limnrarrinfin

yn = y

in R konvergieren

Beweis

an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr

|an minus a|2 rarr 0 hArr

|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr

|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr

|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr

|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr

xn rarr x und yn rarr y

2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen

Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden

Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte

an le bn

fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b

53

Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =

(minus 1n

)nisinN und (bn)nisinN =

(1n

)nisinN

Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben

aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε

Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1

Setze dann n = max n0 n1 dann gilt

aminus ε lt an le bn lt b+ ε

fuumlr alle n ge nAlso ist

a lt b+ 2ε

fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b

2213 Sandwich-Lemma

Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit

an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a

Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist

0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1

Es gilt dann

|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|

fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε

2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε

2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt

|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε

2+ε

2= ε

fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a

54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN

Fuumlr alle n isin N gilt

n middot 1radicn2 + n

=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1

Weiterhin giltnradic

n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n

Damit gilt fuumlr alle n isin N1

1 + 1n

le xn le 1

Mit dem Sandwichlemma folgt

limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1

woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt

1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie

Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn

an le an+1 foralln isin N

respektivean ge an+1 foralln isin N

Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist

2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren

Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent

Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu

forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0

55

Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch

aminus an le aminus an0 foralln ge n0

Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε

Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh

aminus ε ge an foralln isin N

was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)

Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt

2217 Existenz von monotonen Teilfolgen

Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge

Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn

an ge aj forall j ge n

Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten

1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank

)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht

2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN

Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den

2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig

Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge

Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank

)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent

Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge

56

Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen

(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN

beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk

)kisinN xnkrarr x in R

Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem

Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl

)lisinN

die in

R konvergiert also ynklrarr y in R

Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch

xnklrarr x

Dann folgt aber sofortankl

= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN

ist konvergente Teilfolge

2219 Cauchy-Folgen

Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt

forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0

2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen

Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen

Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε

2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch

|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε

2+ε

2= ε

Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge

2221 Cauchy-Kriterium

Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent

Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge

1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass

|an minus am| lt 1 forallnm ge n0

insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0

Folglich ist

|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0

57

und somit folgt mit

M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |

dass |an| leM foralln isin N

2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank

)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin

Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit

|an minus am| ltε

2forallnm ge n0

Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit

|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0

Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0

|an minus a| le |an minus ank|+ |ank

minus a| lt ε

2+ε

2= ε

dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin

2222 Beispiel

Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert

a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1

Dazu wird jeweils gezeigt

1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1

12le 1

2= an =

12le 1 X

Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits

an+1 =1

1 + anle 1

1= 1

und andererseitsan+1 =

11 + an

ge 11 + 1

=12

also 12 le an+1 le 1

58

2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh

an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an

Beweis durch vollstaumlndige Induktion

(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1

(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1

(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1

a1 =12 a2 =

23 a3 =

35rArr a1 le a3 le a2

Sei nun an le an+2 le an+1︸︷︷︸I

oder an+1 le an+2 le an︸︷︷︸II

fuumlr ein n isin N Dann

ist zu zeigen

an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1

Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1

alsoan+2 le an+3 le an+1

Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation

an+1 le an+3 le an+2

(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)


Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man

an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1

dann folgt aus (a)

an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k

59

oder

an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1

Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt

an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1

Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1

3 Es gilt |an minus an+1| le(

49

)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1

|a1 minus a2| = 1minus 12

=12le(

49

)0

= 1

Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(

49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)

∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49

)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0

Dann existiert ein n0 isin N sodass

|an minus an+1| lt ε foralln ge n0

(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1

|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0

also ist (an)nisinN Cauchy-Folge

5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt

a = limnrarrinfin

an+1 = limnrarrinfin

11 + an

=1

1 + a

60

Umgestellta2 + aminus 1 = 0

Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen

a12 =plusmnradic

5minus 12

Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt

a =radic

5minus 12

2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit

Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent

i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig

ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum

iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent

iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit

an le bn foralln isin N

undbn minus an rarr 0

dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN

[an bn] = x0

Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge

D = x isin K | existn isin N an ge x

Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht

an le x0 le bn foralln isin N

61

2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren

Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man

Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent

Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt

|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0

analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226

Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig

2225 Erweiterte reelle Zahlengerade

R oder auch R wird definiert als

R = R cup +infin cup minusinfin

Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R

x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin

Rechenregeln in R

bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R

bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0

bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0

bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin

bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin

Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper

2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen

Man setzt nun

bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin

bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin

bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin

62

2227 Bestimmte Divergenz

Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt

forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0

bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0

Man schreibt dannlimnrarrinfin

an = +infin limnrarrinfin

an = minusinfin

oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin

Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge

2228 Beispiel

(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin

2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen

1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt

(c middot an)nisinN =

+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0

2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch

an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin

3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch

an middot bn rarr minusinfin

Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte

bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist

an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin

bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2

)nisinN dann ist

an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin

bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist

an + bn = nminus n = 0rarr 0

63

2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade

Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum

bull A = empty rArr supA = minusinfin

bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin

bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin

bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R

bull analoges fuumlr das Infimum

2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt

Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent

Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin

2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig

Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist

Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-

schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist

(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin

23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte

Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank

)kisinN existiert mit ankrarr a

232 Beispiele

1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1

2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a

64

233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten

Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr

forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε

Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K

rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit

ankrarr a

Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0

Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1

minus a∣∣ lt ε

lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert

Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass

|an1 minus a| lt 12

Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1

2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit

∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1

2l+1 Da 1

2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a

234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig

Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)

235 Uneigentliche Haumlufungspunkte

Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank

)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert

236 Limes Superior und Limes inferior

Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN

die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN

6= empty in R

Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als

lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN

und der Limes Superior von (an)nisinN als

lim infnrarrinfin

an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN

65

237 Beispiel

(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist

lim supnrarrinfin

an = +1

groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin

an = minus1

kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN

238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior

Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt

i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN

ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN

iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a

Beweis Sei (an)nisinN sube R

i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist

alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN

Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn

rarr alowastZu ε1 = 1

2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN

dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit

alowast minus 12lt d1 lt alowast +

12

Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)

)nisinN von (an)nisinN so-

dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass

alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +

12foralln ge n1

Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl

definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1

alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN

ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit

alowast minus 12l+1

lt dl+1 lt alowast +1

2l+1

Ist(aϕl+1(n)

)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann

existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und

alowast minus 12l+1

lt aϕl+1(n) lt alowast +1

2l+1foralln ge nl+1

Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt

|aklminus alowast| lt 1

2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog

iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von

(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt

an lt a+ ε

fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt

an gt aminus ε

fuumlr fast alle n isin N Zusammen also

aminus ε lt an lt a+ ε

oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε

fuumlr fast alle n isin N also an rarr a

24 Unendliche Reihen241 Definition

Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne

Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an

die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe

infinsumk=1

ak

Die Reiheinfinsumk=1

ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-

vergiert und in diesem Fall schreibt man

infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn

und bezeichnetinfinsumk=1

an als Summe der Reihe

Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1

ak hat also zwei Bedeutungen

1 der Name der Folge der Partialsummen und

2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz

67


ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-

vergiertFalls

limnrarrinfin

Sn = +infin oder limnrarrinfin

Sn = minusinfin

dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1

ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man

schreibt dann auch

infinsumk=1

ak = +infin bzwinfinsumk=1

ak = minusinfin

Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe

infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C

heiszligt geometrische ReiheEs gilt

Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1

1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1

fuumlr alle n isin NDamit folgt

infinsumk=0

qk konvergent lArrrArr |q| lt 1

und in diesem Fall istinfinsumk=0

qk =1

1minus q

Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0

qk divergent

Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0

qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-

stimmt divergent gegen minusinfin

243 Eigenschaften von unendlichen Reihen

Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen

68

1 Die Reiheninfinsumk=1

ak undinfinsumk=p

ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten

und im Falle der Konvergenz gilt

infinsumk=1

ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p

ak

2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-

vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1

ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-

vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe

3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen

bull Sindinfinsumk=1

akinfinsumk=1

bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch

infinsumk=1

(ak + bk)

konvergent und es ist

infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)

bull Wenninfinsumk=1

ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1

(c middot ak) konvergent und

es istinfinsumk=1

(c middot ak) = c middotinfinsumk=1

ak

244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen

Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort

Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1

an konvergiert genau dann wenn

forall ε gt 0 existn0 isin N

∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak

∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0

Beweisinfinsumk=1

ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen

(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN

eine Cauchy-Folge ist

69

245 Beispiel

Die unendliche Reiheinfinsumn=1

1n

heiszligt harmonische Reihe

(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN

ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt

|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 1︸︷︷︸n Summanden

ge n middot 12n

=12

und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent

246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz

Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe

Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1

ak konvergent so ist limnrarrinfin

an = 0

(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1

ak divergent)

Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen

Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht

247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen

Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt

|an| le bn fuumlr fast alle n isin N

und istinfinsumn=1

bn konvergent so konvergieren auch die Reihen

infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an

Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe

infinsumn=1

an

70

Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn

Dainfinsumn=1

bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk


Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1

nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|

∣∣∣∣∣ lensum

k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε

Somit erfuumllleninfinsumn=1

an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-

gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|

Bemerkung Aus der Ungleichung

nsumk=1

ak le

∣∣∣∣∣nsumk=1

ak

∣∣∣∣∣ lensumk=1

|ak| foralln isin N

folgt sofort im Falle der Konvergenz

infinsumk=1

ak le

∣∣∣∣∣infinsumk=1

ak

∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1

|ak|

und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1

ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2

konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt

1k2le 1k middot (k minus 1)

=1

k minus 1minus 1k

und die Reiheinfinsumk=1

(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2

1k middot (k minus 1)

Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1

1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium

Satz 244 Sei (an)nisinN sube K

1 Ist lim supnrarrinfin

nradic|an| lt 1 dann ist

infinsumk=1

|an| (und somit auchinfinsumn=1

an) konvergent

2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist

infinsumn=1

an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent

Beweis Sei (an)nisinN sube K

1 Bemerke lim supnrarrinfin

nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu

exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N

dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent

zu|an| lt qn foralln ge n0

Dainfinsumn=0

qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|

suman

mit dem Majorantenkriterium

2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist

suman divergent

72

2410 Quotientenkriterium

Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N


∣∣∣an+1an

∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch

infinsumn=1

an) konvergent

2 Gilt∣∣∣an+1an

∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1

(also auchinfinsumn=1|an|) divergent

3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng

bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng

bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng

bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng

bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg

Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP

73

Mengen Abbildungen und Zahlen

Mengen

Definition

Beispiele

Bezeichnungen und Konzepte

Beispiele

AbbildungenFunktionen

Definition

Beispiele

Graphen von Funktionen

Beispiel

Definition uumlber Relationen

BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen

Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel

Komposition von Abbildungen

Beispiel

Bild- und Urbildmenge

Beispiel

Logik Quantoren

Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper

Innere Verknuumlpfung

Beispiele

Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen

Beispiele

Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente

Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen

Saumltze uumlber Koumlrper

Angeordnete Koumlrper

Motivation

Definition

Beispiele

Regeln fuumlr Ungleichungen

Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion

Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion

Der Positivbereich der reellen Zahlen

Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen

Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige Induktion

Induktive Mengen

Beispiele

Verallgemeinerter Mengendurchschnitt

Beispiele

Natuumlrliche Zahlen

Eigenschaften

Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion

Allgemeines Verfahren

Beispiel

Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion

Beispiel

Scheinparadoxon

Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion

Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen

Die ganzen und rationalen Zahlen

Problem

Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen

Dedekindsche Schnitte

Beispiel

Reelle Zahlen

Beschraumlnktheit von Mengen

Maximum und Minimum von Mengen

Supremum und Infimum von Mengen

Beispiele

Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit

Archimedisches Axiom

Folgerungen

BemerkungenErgaumlnzungen

Komplexe Zahlen

Definition als Paare von reellen Zahlen

Die imaginaumlre Einheit

Potenzen von i

Bezeichnungen

Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen

Eigentliche Definition

Beispiel

Loumlsungen quadratischer Gleichungen

Konjugiert-komplexe Zahl

Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion

Darstellung in der Gauszligschen Zahlenebene

Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel

Graphische Darstellung von Zahlenfolgen

Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele

Allgemeine Konvergenz

Beispiele

Eindeutigkeit des Limes

Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt

Konvergenzkriterien

Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen

Konvergenz von Teilfolgen

Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo

Konvergenz in den komplexen Zahlen

Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen

Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie

Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren

Existenz von monotonen Teilfolgen

Satz von Bolzano-Weierstraszlig

Cauchy-Folgen

Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen

Cauchy-Kriterium

Beispiel

Cauchy-Vollstaumlndigkeit

Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren

Erweiterte reelle Zahlengerade

Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen

Bestimmte Divergenz

Beispiel

Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen

Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade

Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt

Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig

Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior

Haumlufungspunkte

Beispiele

Charakteriserung von Haumlufungspunkten

Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig

Uneigentliche Haumlufungspunkte

Limes Superior und Limes inferior

Beispiel

Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior

Unendliche Reihen

Definition

Beispiel

Eigenschaften von unendlichen Reihen

Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen

Beispiel

Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz

Konvergenzkriterien fuumlr Reihen

Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

Inhaltsverzeichnis1 Mengen Abbildungen und Zahlen 6

11 Mengen 6111 Definition 6112 Beispiele 6113 Bezeichnungen und Konzepte 6114 Beispiele 7

12 AbbildungenFunktionen 7121 Definition 7122 Beispiele 8123 Graphen von Funktionen 8124 Beispiel 8125 Definition uumlber Relationen 9126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen 9127 Beispiele 10128 Inverse Abbildung 11129 Beispiel 111210 Komposition von Abbildungen 111211 Beispiel 111212 Bild- und Urbildmenge 121213 Beispiel 121214 Logik Quantoren 12

13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper 13131 Innere Verknuumlpfung 13132 Beispiele 13133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen 13134 Beispiele 14135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente 14136 Koumlrper 15137 Beispiele 15138 Schreibkonventionen 15139 Saumltze uumlber Koumlrper 16

14 Angeordnete Koumlrper 18141 Motivation 18142 Definition 18143 Beispiele 19144 Regeln fuumlr Ungleichungen 19145 Betragsfunktion 20146 Beispiel 20147 Abstandsfunktion 21148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion 21149 Der Positivbereich der reellen Zahlen 221410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen 23

15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige Induktion 25151 Induktive Mengen 25152 Beispiele 25153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt 25154 Beispiele 25155 Natuumlrliche Zahlen 25

2








3




4

3 Bildquellen 73

5






112 Beispiele

M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3


Qnaiv =p





Seien MM1M2 Mengen












6





114 Beispiele


M1 = 3P(M1) = 8




M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)


Seien XY Mengen



f X rarr Y


x 7rarr f(x)




7



122 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2

2

g Nrarr N

n 7rarr









den Graphen von f

124 Beispiel

f Rrarr Rx 7rarr x3


sube Rtimes R

8

Illustration













9

Illustration




f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2



2

f Zrarr N0

z 7rarr z2


3


10





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen








3




4

3 Bildquellen 73

5






112 Beispiele

M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3


Qnaiv =p





Seien MM1M2 Mengen












6





114 Beispiele


M1 = 3P(M1) = 8




M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)


Seien XY Mengen



f X rarr Y


x 7rarr f(x)




7



122 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2

2

g Nrarr N

n 7rarr









den Graphen von f

124 Beispiel

f Rrarr Rx 7rarr x3


sube Rtimes R

8

Illustration













9

Illustration




f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2



2

f Zrarr N0

z 7rarr z2


3


10





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen




4

3 Bildquellen 73

5






112 Beispiele

M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3


Qnaiv =p





Seien MM1M2 Mengen












6





114 Beispiele


M1 = 3P(M1) = 8




M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)


Seien XY Mengen



f X rarr Y


x 7rarr f(x)




7



122 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2

2

g Nrarr N

n 7rarr









den Graphen von f

124 Beispiel

f Rrarr Rx 7rarr x3


sube Rtimes R

8

Illustration













9

Illustration




f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2



2

f Zrarr N0

z 7rarr z2


3


10





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

3 Bildquellen 73

5






112 Beispiele

M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3


Qnaiv =p





Seien MM1M2 Mengen












6





114 Beispiele


M1 = 3P(M1) = 8




M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)


Seien XY Mengen



f X rarr Y


x 7rarr f(x)




7



122 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2

2

g Nrarr N

n 7rarr









den Graphen von f

124 Beispiel

f Rrarr Rx 7rarr x3


sube Rtimes R

8

Illustration













9

Illustration




f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2



2

f Zrarr N0

z 7rarr z2


3


10





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen






112 Beispiele

M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3


Qnaiv =p





Seien MM1M2 Mengen












6





114 Beispiele


M1 = 3P(M1) = 8




M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)


Seien XY Mengen



f X rarr Y


x 7rarr f(x)




7



122 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2

2

g Nrarr N

n 7rarr









den Graphen von f

124 Beispiel

f Rrarr Rx 7rarr x3


sube Rtimes R

8

Illustration













9

Illustration




f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2



2

f Zrarr N0

z 7rarr z2


3


10





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen





114 Beispiele


M1 = 3P(M1) = 8




M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)


Seien XY Mengen



f X rarr Y


x 7rarr f(x)




7



122 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2

2

g Nrarr N

n 7rarr









den Graphen von f

124 Beispiel

f Rrarr Rx 7rarr x3


sube Rtimes R

8

Illustration













9

Illustration




f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2



2

f Zrarr N0

z 7rarr z2


3


10





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen



122 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2

2

g Nrarr N

n 7rarr









den Graphen von f

124 Beispiel

f Rrarr Rx 7rarr x3


sube Rtimes R

8

Illustration













9

Illustration




f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2



2

f Zrarr N0

z 7rarr z2


3


10





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

Illustration













9

Illustration




f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2



2

f Zrarr N0

z 7rarr z2


3


10





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

Illustration




f ist bijektiv

127 Beispiele

1

f Nrarr Nn 7rarr n2



2

f Zrarr N0

z 7rarr z2


3


10





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen





129 Beispiel






g f X rarr Z

x 7rarr g(f(x))

1211 Beispiel


Dann ist


11

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

Illustration






1213 Beispiel

Sei

f Zrarr Zx 7rarr x2

dann ist

f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2






A(x) forallx isinM




12




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen




132 Beispiele


cup M timesM rarrM

(AB) 7rarr A cupB


2


(mn) 7rarr m+ n





(x y) z = x (y z)



x y = y x



x e = e x = x

fuumlr alle x isinM


x y = y x = e

13

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

134 Beispiele

1



2


(mn) 7rarr m+ n


3


(mn) 7rarr m+ n








e = e e = e



y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y


14

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

136 Koumlrper












137 Beispiele













15











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen











)minus1

= yx







0 + y = 0 A3hArry = 0


x middot y = x hArr








16






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen






x = xM3hArr






0 = x







viii) Es gilt




17

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

Es gilt auch




x) Es gilt


Es gilt auch





142 Definition










18

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

143 Beispiele























19









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen









145 Betragsfunktion


|middot| K rarr K

x 7rarr


146 Beispiel


20



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen



d K timesK rarr K


















21










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen










|x+ y| le |x|+ |y|








a) P sub P und

22

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

b) P sub P


radicx)2 = x

Es giltx = 0hArr


radicx = 0






radic(minusx)

2= minusx daher




Sei K =a+ b middot

radic2 | a b isin Q






2 = 0 hArr a = 0 and b = 0



2 ()




radic2 6isin Q


2 = 0+0 middotradic

0 = 0



2 Dann gilt









radic2 isin K



radic2 isin K

23



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen



gilt

xminus1 =1x

=1

a+ b middotradic

2=aminus b middot

radic2

a2 minus 2b2=

a

a2 minus 2b2+

minusba2 minus 2b2

middotradic

2



b)

P1 =a+ b middot


radic2 gt 0

P2 =

a+ b middot


radic2 gt 0









radic2 lt 0 in R






radic2 gt




2 gt 0



2)+(c+d middotradic





2 gt 0




2) isin P2






radic2 = minus


radic2 6isin P2





24




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen




i) 1 isinM



152 Beispiele





Notation




M =⋂


154 Beispiele



1





25

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

156 Eigenschaften



1 1 + 1︸︷︷︸=2

1 + 1 + 1︸︷︷︸=3

1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸=4

isin N


⋂M)



i) 1 isin A


Dann gilt A = N


bull A sube N und

bull A ist induktiv

Es folgtN =

⋂Msube A

alsoA = N








26

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

159 Beispiel




M = nrArr P(M) = 2n


P(M) = 2n


=2n


︸︷︷︸

=2n


disjunkt folgt

P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1









27


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen


1511 Beispiel



52 lt 25 hArr 25 lt 32

ist wahr


k2 lt 2k



soll wahr sein




(k + 1)2 lt 2k+1

was zu zeigen war





28





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen





1 Fakultaumlt





x1 = x










29













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen













Dann gilt

30





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen





161 Problem

Q ist zu klein



Somit

2 = c2 =(mn

)2

=m2

n2







i) AB 6= empty


iii) A cupB = K



31

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

172 Beispiel





B =



radic2 aber

radic2 6isin Q)

173 Reelle Zahlen











32
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen
















177 Beispiele




t ltt+ 2

2lt 2




B =


Es gilt sup(A) =

radic2 inf(B) =


bzw B kein Infimum

33

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

















34

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

ndash A cupB = K







1710 Folgerungen


n (dh(

1n

)nisinN konvergiert

gegen 0)


n middot a le b









n hArr b gt a+ 1n


M =k isin N | k

ngt a

sube N 6= empty

35



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen



k0 minus 1n

le a

alsok0

nle a+

1nlt b












k

lltk + 1lle k + 1

1= k + 1 isin N







36










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen










g Nrarr A





sube N 6= empty



f((mi nj)) = (i j)



(n+m+ 1) (n+m) + n

37




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen




12

(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)

2



τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)



=12




2= l



(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2

=12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12

(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2


τ(n1m1) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1

τ(n2m2) =12

(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2

38





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen





durchf(xij) = (i j)



wieder abzaumlhlbar


f Nrarr Z

n 7rarr


2 falls n ungerade





iisinNMi =

⋃iisinN

zi| z isin Z


= Q



bn =



r = 0b1b2b3 bn


39




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen




((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))

R2 times R2 rarr R2



a

a2 + b2minusb

a2 + b2







(0 1) = i



+ (0 1)︸︷︷︸i

middotb schreibt


183 Potenzen von i


in =


40

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

fuumlr ein m isin N

Beweis Es gilt


Damit folgt

i4m =(i4)m

=(i2 middot i2





184 Bezeichnungen











(0 0) = 0 + i middot 0 = 0



a2 + b2minusb

a2 + b2

)=

a

a2 + b2+

minusba2 + b2

middot i


41

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

187 Beispiel






bzw







1810 Betrag


|middot| Crarr R


radica2 + b2

Betrag von z

1811 Eigenschaften

Es gilt







42


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen


43

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

2 Folgen und Reihen



f NrarrM




212 Beispiele

1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN





a1 = 1 an+1 =12

(an +

2an

)n isin N

dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)





i

n

)n)nisinN

=

(1 + i

(1 +

i

2

)2

(1 +

i

3

)3

)

a Nrarr C

n 7rarr(

1 +i

n




44


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen


f NrarrM




213 Teilfolgen









215 Umordnung


216 Beispiel




ϕ Nrarr N

ϕ(n) =



45



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen



(1n

)nisinN


(1n

)nisinN

Beispiel(1 + i

n

)n)nisinN


46


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen


221 Nullfolgen



222 Beispiele

1 (an)nisinN =(

1n



1n0

lt ε


folgt damit sofort


2 (an)nisinN =(

1radicn

)nisinN

ist eine Nullfolge

47



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen



1nle 1n0

lt ε2

also|an| =






limnrarrinfin

an = a



224 Beispiele



(1 + 1

n

)= 1 denn (an minus 1) = ( 1










Widerspruch

48








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen








2 (2n)nisinN














= ε foralln ge n0


49









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen









lim(anbn

)=

lim anlim bn

=a

b





2+ε

2= ε


limnrarrinfin

(an + bn) = (a+ b)





also




M + |a|= ε


limnrarrinfin



50


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen


|b|2



und damit


=|b|2



∣∣∣∣=

1|bn| middot |b|

middot |bminus bn|

lt1

|b|2 middot |b|

middot |b|2

2middot ε

=2|b|2middot |b|

2

2middot ε = ε

alsolimnrarrinfin

1bn

=1b


limnrarrinfin

anbn

=a

b




limkrarrinfin

ank= limnrarrinfin

an







)lisinN


51








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen








)lisinN

mit










Es folgt dann







52


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen


limnrarrinfin

an = limnrarrinfin

bn





limnrarrinfin

an = a



yn = y

in R konvergieren

Beweis











an le bn


53


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen


(minus 1n


(1n

)nisinN







a lt b+ 2ε


2213 Sandwich-Lemma





Es gilt dann






2+ε

2= ε


54

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

2214 Beispiel

Sei

(xn)nisinN =

(nsumk=1

1radicn2 + k

)nisinN



=nsumk=1

1radicn2 + n

lensumk=1

1radicn2 + k

lensumk=1

1radicn2

= n middot 1n

= 1


n2 + nge nradic

n2 + 2n+ 1=

n

n+ 1=

11 + 1

n


1 + 1n

le xn le 1


limnrarrinfin

11 + 1

n

le limnrarrinfin

xn le limnrarrinfin

1


1 le limnrarrinfin

xn le 1

also

limnrarrinfin

nsumk=1

1radicn2 + k

= 1

2215 Monotonie









55






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen






















56







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen







)lisinN

die in



xnklrarr x


= xnkl+ ynkl

rarr x+ y

dh(ankl

)lisinN


2219 Cauchy-Folgen








2+ε

2= ε








Folglich ist


57

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

und somit folgt mit






|an minus am| ltε

2forallnm ge n0


|ankminus a| lt ε

2forall k ge k0



minus a| lt ε

2+ε

2= ε


2222 Beispiel


a0 = 1 a1 =12 an+1 =

11 + an

n isin N

Es wird gezeigt

limnrarrinfin

an =radic

5minus 12

=

(1 +radic

52

)minus1



12le 1

2= an =

12le 1 X


an+1 =1

1 + anle 1

1= 1


11 + an

ge 11 + 1

=12


58







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen







a1 =12 a2 =

23 a3 =





ist zu zeigen


Gilt I dann folgt

an+3 =1

1 + an+2ge 1

1 + an+1= an+2

undan+3 =

11 + an+2

le 11 + an

= an+1








dann folgt aus (a)


59

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

oder






49



=12le(

49

)0

= 1


49

)nminus1 Es gilt

|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an

minus 11 + an+1

∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1

(1 + an) middot (1 + an+1)


(1 + 12 ) middot (1 + 1

2

)∣∣∣∣

=(

23

)2

|an minus an+1|

le 49

(49

)nminus1

=(

49








a = limnrarrinfin


11 + an

=1

1 + a

60



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen



a12 =plusmnradic

5minus 12


a =radic

5minus 12










[an bn] = x0





61













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen













Rechenregeln in R








Man setzt nun




62







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen







an = minusinfin



2228 Beispiel














)nisinN dann ist




63



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen



















232 Beispiele



64






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen






ankrarr a



minus a∣∣ lt ε



|an1 minus a| lt 12




2l+1 Da 1










6= empty in R


lim supnrarrinfin

an = limnrarrinfin

an = sup4(an)nisinN


lim infnrarrinfin


65

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

237 Beispiel


lim supnrarrinfin

an = +1


an = minus1















12





12foralln ge n1





alowast minus 12l+1


2l+1

Ist(aϕl+1(n)



alowast minus 12l+1


2l+1foralln ge nl+1



2lforall l isin N

dh aklrarr alowast

66

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

ii) Folgt analog



an lt a+ ε


an gt aminus ε







Sn =nsumk=1

ak = a1 + a2 + + an


infinsumk=1

ak




infinsumk=1

ak = limnrarrinfin

Sn







67



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen



vergiertFalls

limnrarrinfin


Sn = minusinfin



schreibt dann auch

infinsumk=1


ak = minusinfin


infinsumk=p

ak

242 Beispiel


qk q isin C


Sn =nsumk=0

qk =

1minusqn+1



infinsumk=0



qk =1

1minus q


qk divergent






68


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen


ak undinfinsumk=p



infinsumk=1


ak







akinfinsumk=1


infinsumk=1

(ak + bk)


infinsumk=1

(ak + bk) =

( infinsumk=1

ak

)+

( infinsumk=1

bk

)




es istinfinsumk=1


ak






∣∣∣∣∣nsum

k=m

ak


Beweisinfinsumk=1


(Sn)nisinN =

(nsumk=1

ak

)nisinN


69

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

245 Beispiel


1n


(Sn)nisinN =

( infinsumn=1

1n

)nisinN

=(

1 +12

+13

+ +1n

)nisinN


|S2n minus Sn| =12n

+

gt 12n︷︸︸︷1

2nminus 1+ +

gt 12n︷︸︸︷1

n+ 2+

gt 12n︷︸︸︷1


ge n middot 12n

=12






an = 0


ak divergent)






und istinfinsumn=1


infinsumn=1

|an| undinfinsumn=1

an


infinsumn=1

an

70


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen


Dainfinsumn=1


∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk



nsumk=m

ak lensum

k=m

|ak| =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

|ak|


k=m

bk =

∣∣∣∣∣nsum

k=m

bk

∣∣∣∣∣ lt ε





nsumk=1

ak le


ak


|ak| foralln isin N


infinsumk=1

ak le


ak


|ak|


ak


|ak| leinfinsumk=1

bk

248 Beispiel

infinsumk=1

1k2

= 1 +infinsumk=2

1k2



=1

k minus 1minus 1k


(1

k minus 1minus 1k

)

71

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

konvergiert da

Sn =nsumk=2

(1

k minus 1minus 1k

)

=nsumk=2

1k minus 1

minusnsumk=2

1k

=nminus1sumk=1

1kminus

nsumk=2

1k

=11minus 1nrarr 1 =

infinsumk=2



1k2 und es gilt

infinsumk=1

1k2le 1 +

infinsumk=1


249 Wurzelkriterium




infinsumk=1


an) konvergent


infinsumn=1








Dainfinsumn=0


suman



suman divergent

72




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen




∣∣∣an+1an


infinsumn=1

an) konvergent










73


Mengen

Definition

Beispiele


Beispiele


Definition

Beispiele


Beispiel



Beispiele

Inverse Abbildung

Beispiel


Beispiel


Beispiel

Logik Quantoren



Beispiele


Beispiele


Koumlrper

Beispiele

Schreibkonventionen



Motivation

Definition

Beispiele


Betragsfunktion

Beispiel

Abstandsfunktion





Induktive Mengen

Beispiele


Beispiele


Eigenschaften



Beispiel


Beispiel

Scheinparadoxon




Problem



Beispiel

Reelle Zahlen




Beispiele



Folgerungen


Komplexe Zahlen



Potenzen von i

Bezeichnungen



Beispiel



Betrag

Eigenschaften

Abstandsfunktion


Folgen und Reihen

Folgen

Definition

Beispiele

Teilfolgen

Beispiel

Umordnung

Beispiel


Konvergenz

Nullfolgen

Beispiele


Beispiele



Konvergenzkriterien






Sandwich-Lemma

Beispiel

Monotonie




Cauchy-Folgen


Cauchy-Kriterium

Beispiel





Bestimmte Divergenz

Beispiel






Haumlufungspunkte

Beispiele





Beispiel


Unendliche Reihen

Definition

Beispiel



Beispiel



Beispiel

Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Bildquellen

Analysis I Mitschrift

Documents

Transcript of Analysis I Mitschrift