Analysis I* und II*

Prof. Dr. Barbara NiethammerAbschrift von Jana Bielagk, Leonard Kern, Michael Kreikenbaum, Adrian Petrov

Version vom 31. Marz 2008

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Inhaltsverzeichnis

1 Naturliche Zahlen — vollstandige Induktion 71.1 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Fakultat und Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Reelle Zahlen 122.1 Korperaxiome fur Q und R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Anordnungsaxiome fur Q und R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Das Vollstandigkeitsaxiom fur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Weitere Konsequenzen aus dem Vollstandigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . 182.5 Uberabzahlbarkeit von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Die komplexen Zahlen C 213.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Folgen, Konvergenz 244.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Rechenregeln fur Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Reihen 355.1 Konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6 Multiplikation von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.7 Exponentialreihe und weitere Verwandte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Der euklidische Raum 476.1 Der Vektorraum Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Der euklidische Raum Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 Konvergenz von Folgen in Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4 Topologie des Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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7 Stetigkeit 547.1 Vektorraume von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.2 Beschrankte Funktionen und die Supremumseigenschaft . . . . . . . . . . 547.3 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.4 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.5 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.6 Exponentialfunktion & Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.7 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.8 Gleichmaßige Stetigkeit: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.9 Punktweise Konvergenz & ihre Problematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.10 Gleichmaßige Konvegenz und Stetigeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.10.1 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.11 Weierstraßscher Approxiamationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.12 Gleichmaßig konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.13 Sinus und Cosinus (auf R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.13.1 Umkehrfunktion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 Differenzierbare Funktionen 758.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.3 Mittelwertsatz und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.4 Anwendungen des Mittelwertsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.4.1 Charakterisierung der Exponentialfunktion. . . . . . . . . . . . . . 838.4.2 Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.4.3 Fehlerabschatzung bei linearer Interpolation . . . . . . . . . . . . . 83

8.5 Konvexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.6 Fundamentale Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.7 Eine auf ganz R stetige aber nirgends differenzierbare Funktion . . . . . . 92

9 Das eindimensionale Riemann-Integral 939.1 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.2 Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.3 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . 1029.5 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.6 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.7 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.8 Uneigentliche Integrale I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.9 Uneigentliche Integrale II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.10 Riemannsches Integralkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.11 Weitere Vertauschungssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

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10 Lokale Approximation von Funktionen 12010.1 Approximation mit Taylorpolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.1.1 Verallgemeinerter MWS der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 12110.2 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.3 Die Logarithmusreihe und Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . 124

11 Elemente der Topologie 12711.1 Metrische und normierte Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12711.2 Konvergenz in metrischen Raumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13011.3 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13211.4 Stetige Abbildungen zwischen metrischen Raumen . . . . . . . . . . . . . 13411.5 Lineare stetige Abbildungen, Operatornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . 13711.6 Kompakte Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.7 Wegzusammenhangende und konvexe Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12 Differentialrechnung fur Funktionen mehrerer Variabler 14412.1 Kurven in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14512.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.3 Hohere partielle Ableitungen und Beispiele von Differentialoperatoren . . 15312.4 (Totale) Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15712.5 Mittelwertsatz und Schrankensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.6 Approximation durch Taylorpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16312.7 Lokale Extrema und die Bedeutung der Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . 16612.8 Konvexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

13 Banachscher Fixpunktsatz, lokaler Umkehrsatz und Satz uber implizite Funk-tionen 17413.1 Banachscher Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413.2 Anwendung I: Nullstellenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17613.3 Gewohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17913.4 Lokaler Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18213.5 Satz uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.6 Motivation: Extremwertaufgaben unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . 18913.7 Untermannigfaltigkeiten im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.8 Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

14 Grundlagen der Variationsrechnung 19814.1 Motivation: Extrema von Funktionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19814.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19914.3 Differentiation parameterabhangiger Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 20014.4 Potentiale von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20214.5 Das Fundamentallemma der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 20414.6 Euler-Lagrange Gleichung der (eindimensionalen) Variationsrechnung . . . 20514.7 Das Hamiltonsche Prinzip der klassischen (Lagrange) Mechanik . . . . . . 208

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Lizenz Dieses Werk ist unter einem Creative Commons Namensnennung-Weitergabeunter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland Lizenzvertrag lizenziert. Um die Lizenzanzusehen, gehen Sie bitte zu http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/ oderschicken Sie einen Brief an Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Fran-cisco, California 94105, USA.

Danke Danke an Henner Gerdes, Lena Kalleske, Levin Keller und Toralf Niebuhr furerste Korrekturen am Skript.Danke an die Mitarbeitenden des Lehrstuhls fur angewandte Analysis unter Koordi-nation Michael Herrmanns. Sie haben das ganze Skript vollstandig durchgesehen undkorrigiert.

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1 Naturliche Zahlen — vollstandigeInduktion

In diesem Kapitel verwenden wir die folgenden Mengen: ∗

N = 1, 2, 3, . . .N0 = 0 ∪ NZ = N0 ∪ −x | x ∈ N

Q =p

q| p, q ∈ Z, q 6= 0

1.1 Vollstandige Induktion

Jedem n ∈ N sei eine Aussage A(n) zugeordnet. Es existiert das Beweisprinzip dervollstandigen Induktion:

Proposition 1.1.1 (vollstandige Induktion). Wenn die beiden folgenden Aussagenwahr sind, dann ist die Aussage A(n) fur alle n ∈ N wahr.

1. (Induktionsanfang) Die Aussage A(1) ist wahr.

2. (Induktionsschritt) Wenn A(n) wahr ist (Induktionsannahme), dann ist auch A(n+1) wahr.

Beispiele

(1) Fur alle n ∈ N gilt:

1 + 2 + . . .+ n =n∑i=1

i =n(n+ 1)

2

Beweis Es sind zwei Aussagen zu beweisen.

I.A. (n = 1): 1 = 1·22 = 1 X

∗Die Mengen R und C werden in den Kapiteln 2 und 3 eingefuhrt

7

I.S. (n→ n+ 1): Es gilt:

n+1∑i=1

i =n∑i=1

i+ (n+ 1)

=n(n+ 1)

2+ (n+ 1) =

n(n+ 1) + 2(n+ 1)2

=(n+ 1)(n+ 2)

2X

Damit sind beide Aussagen gezeigt und der Beweis ist erbracht.

Ein eleganterer Beweis hierfur wird Gauß zugeschrieben. Addiert man namlich 1mit n, 2 mit n − 1, . . ., i mit n − i + 1, . . ., n mit 1, so ergibt sich jedes Mal dieSumme n+ 1 und zwar genau n-Mal. Es ist also

2(1 + 2 + . . .+ n) = n(n+ 1)

Dividiert man nun auf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich die obige Formel.

(2) Sei x 6= 1, dann gilt:

1 + x+ x2 + . . .+ xn =n∑i=0

xi =1− xn+1

1− x

Beweis Es sind wieder Induktionsanfang und -schritt zu verifizieren.

I.A. (n = 1): 1 + x = 1−x2

1−x = (1+x)(1−x)1−x = 1 + x X

I.S. (n→ n+ 1): Es gilt:

n+1∑i=0

xi =n∑i=0

xi + xn+1

=1− xn+1

1− x+

1− x1− x

(xn+1

)Ind. Annahme

=1− xn+1 + xn+1 − xn+2

1− x

=1− xn+2

1− xX

Damit sind Anfang und Schritt der Induktion gezeigt und der Beweis ist erbracht.

Korollar 1.1.2 (naheliegende Variation). Manchmal ist es sinnvoll, als Induktionsan-fang nicht n = 1 zu wahlen, sondern n = k0 ∈ Z. Dann ist die Aussage A(k) fur allek ≥ k0 wahr, wenn – analog zur vollstandigen Induktion – die folgenden Aussagen wahrsind:

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1. (Induktionsanfang) Die Aussage A (k0) ist wahr.

2. (Induktionsschritt) Wenn A(k) wahr ist (Induktionsannahme), dann ist auch A(k+1) wahr.

Beispiel Fur alle n ≥ 5 gilt:2n > n2

Beweis Wiederum sind Anfang und Schritt der Induktion zu zeigen, allerdings mitverschobenem Anfang:

I.A. (n = 5): 25 = 32 > 25 = 52 X

I.S. (n→ n+ 1):

2n+1 = 2 · 2n > 2 ·(n2)> n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2

Das Prinzip der vollstandigen Induktion kann nicht nur fur Beweise, sondern auch zurKonstruktion von Abbildungen genutzt werden.

Korollar 1.1.3 (rekursive Konstruktion durch vollstandige Induktion). Jedem n ∈ Nsoll eine genau eine Zahl f(n) zugeordnet werden. Dazu muss

1. der Wert f(1) festgelegt werden und

2. eine Vorschrift angegeben werden, um aus f(1), . . . , f(n) den Wert f(n + 1) zuerhalten.

Beispiele

(1) Zu einem gewahlten x sei

– f(1) := x

– f(n+ 1) := x · f(n)

Dann gilt: f(n) = xn.

(2) (Fibonacci-Zahlen). Definiert man f fur n ≥ 0 durch:

– f(0) = 0,

– f(1) = 1,

– f(n+ 2) = f(n) + f(n+ 1),

so nennt man f(n) die n-te Fibonaccizahl.

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1.2 Fakultat und Binomialkoeffizient

Definition 1.2.1 (Fakultat). Sei n ∈ N0. Dann ist die Fakultat von n definiert durch:

0! := 1(n+ 1)! := (n+ 1) · n!

Damit gilt auch:

n! :=n∏i=1

i

Proposition 1.2.2 (Kombinatorische Interpretation). n! ist die Anzahl der moglichenAnordnungen von n verschiedenen Elementen einer Menge.

Beweis Da die Fakultat rekursiv definiert ist, bietet es sich an, den Beweis mittelsvollstandiger Induktion zu fuhren.

I.A. (n = 1): Es gibt genau eine Moglichkeit, ein Element anzuordnen. (trivial)

I.S. (n→ n+1): Hat man bereits n Elemente angeordnet (n! Moglichkeiten), so bleibennoch n+ 1 Moglichkeiten, das letzte Element einzuordnen (von der ersten bis zurletzen Stelle). Insgesamt bestehen also (n+ 1) · n! Moglichkeiten, n+ 1 Elementeanzuordnen, was aber gerade (n+ 1)! ist.

Definition 1.2.3 (Binomialkoeffizient). Sei n ∈ N und k ∈ N0. Dann ist der Binomial-koeffizient

(nk

)definiert als: (

n

k

):=

n!k!(n− k)!

Proposition 1.2.4 (Rekursionsformel). Sei n ∈ N und k ∈ N0. Dannn gilt:(n

k

)+(

n

k + 1

)=(n+ 1k + 1

)Beweis Hier wird unterschieden, ob k = 0 oder k > 0 ist. Sei zunachst k = 0. Danngilt: (

n

0

)+(n

1

)= 1 + n =

(n+ 1

1

)Fur k = 0 ist die Behauptung also gezeigt. Sei nun k > 0. Dann gilt:(

n

k

)+(

n

k + 1

)=

n(n− 1) · . . . · (n− k + 1)k!

+n(n− 1) · . . . · (n− k)

(k + 1)!

=1

(k + 1)!(n(n− 1) · . . . · (n− k + 1)(k + 1 + n− k))

=(n+ 1)n(n− 1) · . . . · (n− k + 1)

(k + 1)!

=(n+ 1k + 1

)

10

Proposition 1.2.5 (Kombinatorische Interpretation). Jede n-elementige Menge hatgenau

(nk

)verschiedene Teilmengen mit k Elementen.

Beweis Sei zunachst wieder k = 0. Dann ist(n0

)= 1 und in der Tat gibt es genau

eine Moglichkeit, eine nullelementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu bil-den, namlich die leere Menge. Falls k > 0 ist, hat man n Moglichkeiten, ein Elementherauszusuchen. Fur das zweite Element bleiben noch n− 1 Moglichkeiten usw. Fur dask-te Element gibt es genau n − k + 1 Auswahlmoglichkeiten. Da aber die Anordnungder Elemente irrelevant ist und es (nach Proposition 1.2.2) k! verschiedene Anordnungenvon k Elementen gibt, existieren genau

n(n− 1) · . . . · (n− k + 1)k!

=(n

k

)Moglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu bilden.

Proposition 1.2.6 (Binomischer Lehrsatz). Seien n ∈ N0 und a, b beliebige Zahlen.Dann gilt

(a+ b)n =n∑k=0

(n

k

)akbn−k

Beweis Fur den Fall, daß n = 0 ist, gilt:

(a+ b)0 = 1 =(

00

)a0b0

Falls hingegen n > 0 ist, gilt:

(a+ b)n = (a+ b)(a+ b) · . . . · (a+ b)︸ ︷︷ ︸n Mal

In diesem Produkt gibt es genau(nk

)Moglichkeiten, k Mal a und (n − k) Mal b zu

erhalten, womit sich die obige Summenformel ergibt.

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2 Reelle Zahlen

Motivation Die naturlichen Zahlen (N) sind zwar bezuglich der Addition abgeschlos-sen, nicht jedoch bezuglich der Subtraktion. Erweitert man sie auf die ganzen Zahlen (Z),so gewinnt man zwar Abgeschlossenheit bezuglich der Subtraktion und Multiplikation,nicht jedoch bezuglich der Division. Selbst die nachste Erweiterung auf die rationa-len Zahlen (Q), welche bezuglich der Grundrechenarten abgeschlossen sind, lassen nochWunsche offen. Es gilt namlich die

Behauptung: Die Lange der Diagonalen im Einheitsquadrat (√

2) ist irrational, d.h.√2 6∈ Q.

Beweis Dieser Beweis wird am besten durch Widerspruch gefuhrt. Nehmen wir alsoan, es ware

√2 ∈ Q. Dann musste es teilerfremde Zahlen p, q ∈ Z geben, so daß

√2 als

gekurzter Bruch die Darstellung pq hatte. Damit wurde aber auch gelten:

2 =p2

q2⇒ p2 = 2q2

Da p2 also eine gerade Zahl ware, ware auch p = 2k gerade (mit geeignetem k ∈ Z) unddamit:

(2k)2 = 4k2 = 2q2 ⇒ q2 = 2k2

Also ware auch q2 und somit q gerade, was aber der Annahme widerspricht, daß p undq teilerfremd sind.

Offenbar gibt es also Zahlen, die noch nicht einmal in Q enthalten sind. Eine andereSichtweise auf dieses Problem ist die folgende.

Es sei die Menge M definiert durch:

M :=r ∈ Q | r ≤

√2

Frage: Existiert ein maximales (großtes) Element in M?

Antwort: Nein. Wahlt man namlich zu einem beliebigen q ∈ N das großte p ∈ N, sodaß gilt: p

q ≤√

2, dann gilt nach Konstruktion auch: p+1q >

√2. Die Zahl

√2 liegt also

in einem Intervall der Lange 1q . Auf diese Weise kommt man mit wachsendem q zwar

beliebig nahe an die√

2 heran, findet aber immer noch eine rationale Zahl, die nochnaher dran liegt.

Die Menge der reellen Zahlen R ist nun gegenuber den rationale Zahlen dadurch ausge-zeichnet, daß jede beschrankte Teilmenge in R ein Supremum∗ in R besitzt.

∗Auf den Begriff des Supremums wird spater noch genauer eingegangen (2.3.2)

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2.1 Korperaxiome fur Q und R

Wir nehmen im Folgenden die Existenz der reellen Zahlen an und postulieren gultigeAussagen (Axiome), aus denen wir dann weitere Eigenschaften ableiten.

Auf R sind folgende Operationen definiert:

+ (Addition): R× R→ R

· (Multiplikation): R× R→ R

Mit diesen Operationen erfullt R die Korperaxiome:

(K1) Kommutativitat. Fur beliebige a, b ∈ R gilt:

a+ b = b+ a

a · b = b · a

(K2) Assoziativitat. Fur beliebige a, b, c ∈ R gilt:

(a+ b) + c = a+ (b+ c)(a · b) · c = a · (b · c)

(K3) Distributivitat. Fur beliebige a, b, c ∈ R gilt:

a · (b+ c) = (a · b) + (a · c)

(K4) Existenz eines neutralen Elements bezuglich Addition und Mulitplikation. Es exis-tieren die Zahlen 1 und 0 ∈ R, so daß fur jede Zahl a ∈ R gilt:

0 + a = a

1 · a = a

(K5) Existenz von inversen Elementen bezuglich Addition und Multiplikation (0 ausge-nommen). Zu jeder Zahl a ∈ R existiert eine Zahl −a ∈ R und – falls a 6= 0 ist –eine Zahl a−1 so daß gilt:

a+ (−a) = 0a ·(a−1)

= 1

Diese Axiome sind zusammen mit den im Folgenden vorgestellten Anordnungsaxiomenund dem Vollstandigkeitsaxiom alles, was wir fur die reellen Zahlen brauchen. Insbeson-dere konnen wir alle weiteren Eigenschaften von R daraus folgern.

Beispiel (Losungen einfacher Gleichungen)

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i) Fur alle reellen Zahlen a, b existiert genau eine reelle Zahl x, so daß die Gleichunga+ x = b erfullt ist. In Symbolen:

∀a, b ∈ R ∃!x ∈ R : a+ x = b

Beweis Sei x = b− a. Dann ist x Losung der Gleichung, denn es gilt:

a+ x = a+ b− a =(K1) a− a+ b =K5 0 + b =K4 b

Die Eindeutigkeit von x ist auch gegeben, denn gabe es zwei Zahlen x, x′ ∈ R,welche die obige Gleichung erfullen, so wurde gelten:

a+ x = b = a+ x′

⇔ a+ x = a+ x′

⇔ a+ x− a = a+ x′ − a⇔(K1) a− a+ x = a− a+ x′

⇔(K5),(K4) x = x′

Es sind also alle Zahlen, die die Gleichung erfullen, gleich, d.h. es gibt nur einesolche Zahl.

ii) Es gilt:∀a ∈ R \ 0, b ∈ R ∃!x ∈ R : a · x = b

Beweis Analog zu i).

2.2 Anordnungsaxiome fur Q und R

Es gibt eine Teilmenge R+ von R (die positiven Zahlen), so daß fur alle a ∈ R+ gilt:a > 0. Es gelten die Axiome:

A1 (Trichotomie) Fur alle a ∈ R gilt genau eine der folgenden Aussagen:

1. a > 0

2. a = 0

3. a < 0

A2 Fur alle positiven reellen Zahlen a, b gilt:

a+ b > 0a · b > 0

Bezeichnungen Eine reelle Zahl heißt negativ, falls −a ∈ R+ gilt. Wir schreiben au-ßerdem a > b, falls a− b > 0 und a ≥ b, falls a− b > 0 oder a = b.

14

Korollar 2.2.1 (Folgerungen). Es gilt:

1. Fur a, b ∈ R gilt genau eine der folgenden Aussagen:

a > b a = b a < b

Dies folgt aus (A1) mit a− b.

2. Wenn a > b und b > c, dann ist auch a > c (Transitivitat). Dies folgt aus (A2)mit a− b bzw. b− c.

3. Wenn a > b ist, dann gilt:

i) a+ c > b+ c fur alle c ∈ R, weil a > b⇔ a− b > 0⇔ (a+ c)− (b+ c) > 0⇔a+ c > b+ c

ii) ac > bc fur alle c ∈ R+, weil a > b⇔ a− b > 0⇔ c(a− b) > 0⇔ ca− cb >0⇔ ac > bc

iii) 1a <

1b , falls b > 0. Da mit b > 0 auch a > 0 gilt, ist auch ab > 0. Es gilt also:

a > b⇒ a

ab>

b

ab⇒ 1

b>

1a

4. Falls zusatzlich α > β gilt, so folgt a+ α > b+ β, denn es gilt:

a+ α > a+ β > b+ β

Ist b > 0 und β > 0, so folgt auch aα > bβ. (analog)

5. Falls a 6= 0 ist a2 > 0†.

Proposition 2.2.2 (Bernoulli-Ungleichung). Sei x ∈ R, x 6= 0, x > −1, n ∈ N undn ≥ 2. Dann gilt:

(1 + x)n > 1 + nx

Beweis Da die Aussage von n ∈ N abhangt, bietet sich ein Beweis durch vollstandigeInduktion an.

I.A. (n = 2): 1 + 2x+ x2 > 1 + 2x, weil ja x2 > 0.

I.S. (n→ n+ 1): Es gilt:

(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n

> (1 + x)(1 + nx)= 1 + x+ nx+ nx2

= 1 + (n+ 1)x+ nx2

> 1 + (n+ 1)x

†Insbesondere ist 1 = 12 > 0

15

Definition 2.2.3 (Absolutbetrag). Zu x ∈ R ist der Absolutbetrag von x definiertdurch:

|x| :=

x : x ≥ 0−x : x < 0

Lemma 2.2.4 (Eigenschaften des Absolutbetrages). Seien a, b ∈ R. Dann gilt:

i) |ab| = |a||b|

ii) |a+ b| ≤ |a|+ |b| (Dreiecksungleichung)

iii) |a− b| ≥∣∣|a| − |b|∣∣

Beweis (zu iii) ) Es gilt: |a| = |a− b+ b| ≤ |a− b|+ |b|Daraus folgt:

|a| − |b| ≤ |a− b||b| − |a| ≤ |b− a| = |a− b|

2.3 Das Vollstandigkeitsaxiom fur R

Definition 2.3.1 (Beschrankte Menge; untere, obere Schranke). Eine nicht-leere Teil-menge M ⊂ R heißt nach oben (bzw. unten) beschrankt, falls es ein k ∈ R gibt, so daßfur alle x ∈ M gilt: x ≤ k (bzw. x ≥ k). Dieses k heißt obere (bzw. untere) Schrankevon M .

Beispiel Sei M folgendermaßen definiert:

M :=

1− 1n| n ∈ N

Dann ist M nach oben beschrankt durch alle Zahlen ≥ 1 und nach unten durch alleZahlen ≤ 0. Das Supremum von M ist damit 1, das Infimum ist 0.

Definition 2.3.2 (Supremum, Infimum). Sei M ⊂ R nicht leer. Dann heißt die kleinsteobere Schranke Supremum von M und großte untere Schranke Infimum von M .

Bemerkungen

• Supremum und Infimum mussen nicht in M enthalten sein.

• Falls M nicht nach oben (bzw. unten) beschrankt ist, schreiben wir supM = ∞(bzw. infM = −∞).

Proposition 2.3.3 (Eigenschaften des Supremums‡). Sei M ⊂ R, M 6= ∅. Es gilt:‡Diese Eigenschaften lassen sich analog fur das Infimum zeigen.

16

a) Falls supM <∞, dann gilt:

∀ε > 0 ∃x ∈M : x > supM − ε

b) Falls supM =∞, dann gilt:

∀k ∈ R ∃x ∈M : x > k

Beweis Sei s := supM .

a) Sei also s < ∞. Angenommen, es gabe ein ε > 0, so daß fur alle x ∈ M gilt:x ≤ s− ε. Dann ware aber auch s− ε obere Schranke, was der Tatsache, daß s dasSupremum von M ist, widerspricht. Ein solches ε kann also nicht existieren.

b) Die Aussage folgt unmittelbar aus der Definition des Supremums.

Definition 2.3.4 (Minimum und Maximum). Falls das Supremum von M in M liegt,nennen wir es Maximum von M und schreiben:

maxM := supM

Falls das Infimum von M in M liegt, nennen wir es Minimum von M und schreiben:

minM := infM

Beispiel (Fortsetzung) Sei M wie im obigen Beispiel gegeben. Dann ist supM = 1,aber wegen 1 6∈ M existiert kein Maximum von M . Da die 0 aber in M enthalten ist,gilt: infM = minM = 0.

Damit konnen wir das Vollstandigkeitsaxiom formulieren:

(V) Jede nicht leere, nach oben beschrankte Teilmenge M in R besitzt eine kleinsteobere Schranke (Supremum)§.

Gleichbedeutend mit dem Vollstandigkeitsaxiom ist das Intervallschachtelungsprinzip,das wir im Folgenden einfuhren werden. Wir beginnen mit einer

Definition 2.3.5 (Intervall). Seien a, b ∈ R und a < b. Dann ist das abgeschlosseneIntervall [a, b] definiert durch:

[a, b] := x ∈ R | a ≤ x ≤ b

Das offene Intervall (a, b) ist definiert als:

(a, b) := x ∈ R | a < x < b

Außerdem sind die halboffenen Intervalle (a, b] und [a, b) folgendermaßen definiert:

(a, b] := x ∈ R | a < x ≤ b[a, b) := x ∈ R | a ≤ x < b

Die Lange jedes dieser Intervalle wird mit |b− a| bezeichnet.§Das Vollstandigkeitsaxiom gilt in R, aber nicht in Q.

17

Damit lasst sich der Begriff der Intervallschachtelung definieren:

Definition 2.3.6 (Intervallschachtelung). Seien I1, I2, I3, . . . abgeschlossene Intervalle,wobei In die Lange |In| hat. Dann heißt die Folge (In) Intervallschachtelung, falls

a) In+1 ⊂ In gilt fur alle n ∈ N

b) |In| → 0, d.h.:∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : |In0 | < ε

Proposition 2.3.7 (Intervallschachtelungsprinzip). Zu jeder Intervallschachtelung (In)existiert eine Zahl x ∈ R, so daß gilt:

x ∈⋂n≥1

In

Beweis Sei In = [an, bn] mit a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1¶. Definiert

man nun die Menge M wie folgt:

M := an|n ∈ N

so ist M nicht leer und jedes bn ist obere Schranke von M (insbesondere ist M be-schrankt). Nach (V) existiert eine reelle Zahl s, die das Supremum von M ist. Dieses sist nach Konstruktion großer als jedes an und kleiner als jedes bn, es gilt also:

an ≤ s ≤ bn ∀n ∈ N

Offenbar liegt s in jedem Intervall In und damit gilt auch:

s ∈⋂n≥1

In

Die gesuchte Zahl existiert also in der Tat.

Bemerkung (V) induziert also das Intervallschachtelungsprinzip. Da die Umkehrungebenfalls gilt, sind die beiden also aquivalente Beschreibungen fur die Vollstandigkeitvon R.

2.4 Weitere Konsequenzen aus dem Vollstandigkeitsaxiom

Proposition 2.4.1 (Archimedes). Die Menge der naturlichen Zahlen N ⊂ R ist nichtnach oben beschrankt, d.h.

∀k ∈ R ∃n ∈ N : n > k.

¶Diese Annahme kann gemacht werden, da es sich bei (In) ja um eine Intervallschachtelung handelt.

18

Beweis Angenommen, N ware nach oben beschrankt, dann gabe nach (V) es eine Zahls := sup N <∞. Nach Definition durfte dann s− 1 keine obere Schranke von N sein, esgabe also ein n ∈ N mit n > s− 1. Dann ware aber n+ 1 > s, was der Annahme, daß sdas Supremum von N ist, zuwiderlauft.

Proposition 2.4.2 (Existenz von Wurzeln). Zu jedem c ∈ R mit c ≥ 0 existiert genauein x ∈ R mit x ≥ 0, das die Gleichung x2 = c erfullt. In Formeln:

∀c ∈ R+0 ∃!x ∈ R+

0 : x2 = c

Beweis Es sind Eindeutigkeit und Existenz von x zu zeigen.

• Eindeutigkeit: Seien x1 und x2 zwei Zahlen mit der Eigenschaft x21 = c = x2

2. Danngilt:

0 = x21 − x2

2 = (x1 + x2)(x1 − x2)

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Esmuss also x1 = x2 = 0 oder x1 = x2 gelten, insbesondere muss also x1 = x2 sein.Es sind demnach alle Zahlen x, die die Gleichung x2 = c erfullen, gleich (es gibtalso maximal eine).

• Existenz: Die Menge M sei definiert durch:

M :=z ∈ R+

0 | z2 ≤ c

Dann gilt:

a) M 6= ∅, denn 0 ∈Mb) M hat die obere Schranke c+ 1, denn es gilt:

(c+ 1)2 ≥ 2c+ 1 > c ≥ z2

c) Sei x := supM . Dann erfullt x die Gleichung x2 = c, denni) Angenommen, x2 < c, dann gabe es ein ε > 0‖, so daß (x+ ε)2 < c. Dies

widersprache der Annahme, daß x das Supremum von M ist.ii) Angenommen, x2 > c, dann gabe es ein ε > 0∗∗, so daß (x−ε)2 > c. Damit

ware aber fur alle z ∈M x−ε > z. Dies widersprache der Annahme, daßx das Supremum (die kleinste obere Schranke) von M ist.

Da x2 weder großer, noch kleiner als c ist, muss nach (A1) gelten: x2 = c.

Damit sind Existenz und Eindeutigkeit von x gezeigt.

Bemerkung Der obige Satz ist nicht konstruktiv. Spater werden wir Berechnungsver-fahren und einen eleganteren Beweis kennenlernen.

Proposition 2.4.3 (n-te Wurzeln). Fur jedes c ∈ R+0 und fur alle n ∈ N existiert

genau ein x ∈ R+0 , das die Gleichung xn = c erfullt.

Beweis Ubungsaufgabe.

‖zum Beispiel ε = minn

1, c−x2

2x+1

o∗∗zum Beispiel ε = min

nx2−c2x

, x2

o

19

2.5 Uberabzahlbarkeit von R

Definition 2.5.1 (Abzahlbarkeit). Eine MengeM heißt abzahlbar, wenn es eine bijektiveAbbildung a : N→M gibt oder M nur endlich viele Elemente besitzt.

Falls eine solche Bijektion nicht existiert, heißt M uberabzahlbar.

Proposition 2.5.2 (Cantor). R ist uberabzahlbar.

Beweis Wir fuhren diesen Beweis durch Widerspruch und nehmen dazu an, es gabe eineBijektion, die jeder naturlichen Zahl n eine reelle Zahl xn zuordnet. Außerdem zeigenwir, daß bereits die [0, 1] ⊂ R uberabzahlbar ist.

Dazu konstruieren wir eine Intervallschachtelung, bei der wir im ersten Schritt I1auf eines der Intervalle

[0, 1

3

],[

13 ,

23

],[

23 , 1]

setzen, das x1 nicht enthalt. Als nachstesunterteilen wir I1 wiederum in drei Teile und setzen I2 auf dasjenige Intervall, das x2

nicht enthalt etc. Auf diese Weise enthalt In keine der Zahlen x1, . . . , xn. Nach demIntervallschachtelungsprinzip existiert eine reelle Zahl x mit x ∈

⋂n≥1 In. Gemaß der

Annahme existiert ein m ∈ N mit xm = x. Daraus folgt:

xm ∈⋂n≥1

In ⊂ Im

Da aber die letzte Inklusion der Konstruktion widerspricht, kann ein solches m nichtexistieren.

20

3 Die komplexen Zahlen C

Motivation Trotz der Vollstandigkeit von R existiert kein x ∈ R, das die Gleichungx2 = −1 erfullt. Es gilt also, einen Erweiterungskorper zu konstruieren, so daß die obigeGleichung in diesem Korper erfullbar ist. Dazu definieren wir uns die Zahl i ∈ C∗, furdie gelte i2 = −1.

Seien nun u, v, x, y ∈ R. Dann liegt x+ y · i in C und wir definieren folgende Additionund Multiplikation:

(A’) (x+ iy) + (u+ iv) = (x+ u) + i(y + v)

(M’) (x+ iy) · (u+ iv) = ux+ i(yu+ xv)− yv

Damit ist die Menge C abgeschlossen und isomorph zum R2.

3.1 Definitionen

Definition 3.1.1. Eine komplexe Zahl z ist ein Paar (x, y) des R2.† Wir setzen folgendeOperationen als Addition und Multiplikation fest:

(A) (x, y) + (u, v) := (x+ u, y + v)

(M) (x, y) · (u, v) := (xu− yv, xv + yu)

Proposition 3.1.2. C ist zusammen mit der Addition (A) und der Multiplikation (M)ein Korper. Die neutralen Elemente sind (0, 0) bezuglich der Addition und (1, 0) bezuglichder Multiplikation. Zu einer komplexen Zahl z = (x, y) ist das additiv Inverse −z gegebendurch: −z = (−x,−y) und das multiplikativ Inverse 1

z durch: 1z =

(x

x2+y2, yx2+y2

).

Beweis Es sind die Korperaxiome (K1) bis (K5) nachzurechnen (Ubungsaufgabe).

Bemerkungen zu C.

• C kann nicht angeordnet werden (→ Ubungsaufgabe).

• R ist Unterkorper von C; zu jeder reellen Zahl r ist das Paar (r, 0) entsprechendekomplexe Zahl.

• Es ist i = (0, 1), denn es gilt:

i2 = (0, 1)2 = (0, 1)(0, 1) = (0 · 0− 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)∗i heißt imaginare Einheit†Es ist also x, y ∈ R

21

• Wegen (x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) beschreiben (x, y) und x+ iy dieselbe komplexeZahl.

Bezeichnungen Wir fuhren folgende Bezeichnungen ein:

• Zu einer komplexen Zahl z = (x, y) = x+ iy heißt x ∈ R Realteil von z (<(z)) undy ∈ R Imaginarteil von z (=(z)).

• Die Zahl z := (x,−y) heißt komplex konjugierte zu z. Damit gilt: z · w = z ·w undz + w = z + w.

• Der Betrag einer komplexen Zahl z ist definiert durch:

|z| :=√x2 + y2 =

√z · z

Proposition 3.1.3.

a) |0| = 0 und |z| > 0 fur z 6= 0

b) |z| = |z|

c) |<(z)| ≤ |z| und |=(z)| ≤ |z|

d) |zw| = |z||w|

e) |z + w| ≤ |z|+ |w|

Beweis Die Behauptungen a) bis c) folgen sofort aus den Definitionen.

d) Es gilt:|zw|2 = zw · zw = zwzw = |z|2|w|2 = (|z||w|)2

e) Es gilt:

|z + w|2 = (z + w)(z + w)= (z + w) (z + w)= |z|2 + |w|2 + zw + zw

= |z|2 + |w|2 + zw + zw

= |z|2 + |w|2 + 2< (zw)≤ |z|2 + |w|2 + 2 |< (zw)|≤ |z|2 + |w|2 + 2 |zw|= |z|2 + |w|2 + 2|z||w|= (|z|+ |w|)2

22

3.2 Geometrische Interpretation

Geometrisch werden die komplexen Zahlen als Punkte in der Gaußschen Zahlenebenedargestellt. Die zugehorigen Koordinaten sind dabei Realteil (Abszisse) und Imaginarteil(Ordinate).

Die Addition zweier komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition. Die Multiplika-tion veranschaulicht man sich am Besten, indem man die zu multiplizierenden Zahlenin Polarkoordinaten darstellt. Dann werden namlich die Radien multipliziert und dieWinkel addiert, um das Produkt zu erhalten.

23

4 Folgen, Konvergenz

4.1 Folgen

Definition 4.1.1 (Folge). Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Abbildung f : N→ C.Schreibweisen:

• f(n) =: an

• Folge: (an)n∈N oder kurz: (an)

Definition 4.1.2 (Konvergenz). Eine Folge (an) ⊆ C heißt konvergent, falls es a ∈ Cgibt, so daß gilt:

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : |a− an| < ε

(Fur alle ε existiert ein n0, so daß fur alle n > n0 der Abstand von an zu an0 kleiner alsε wird.)

Bemerkungen

(1) a (falls diese Zahl existiert) heißt Grenzwert (Limes) der Folge (an).

(2) Schreibweisen:limn→∞

an = a oder an → a

(3) Im Allgemeinen wird n0 von ε abhangen.

(4) Falls a = 0 gilt, heißt (an) Nullfolge.

Bezeichnung Fur alle a ∈ C und ε > 0 definieren wir die offene ε-Kugel (bzw. -Umgebung) um a folgendermaßen:

Bε(a) :=z ∈ C

∣∣ |z − a| < ε

Definition 4.1.3 (fast alle). Wir sprechen von fast allen Elementen einer Folge, wennab einem bestimmten Index n0 alle Elemente gemeint sind: ∃n0 ∀n > n0.

Bemerkung (an) konvergiert gegen a ∈ C genau dann, wenn jede ε-Umgebung von afast alle Elemente von an enthalt.

Beispiele

(1) Sei an := 1ns wobei s ∈ Q>0. Es gilt: limn→∞ an = 0.

24

Beweis Sei ε > 0 gegeben, dann wahlen wir n0 ∈ N so, daß gilt: n0 >1

ε1s. Mit

n > n0 gilt dann:

|0− an| = |an| =1ns

<1ns0

< ε

(2) Sei an := b1n mit b ∈ R>0. Dann gilt: limn→∞ an = 1.

Beweis Falls b ≥ 1 ist, setzen wir xn := −1 + b1n . Damit ergibt sich: b =

(xn + 1)n ≥ 1 + nxn und damit 0 ≤ xn ≤ b−1n . Sei nun ε > 0 beliebig, dann

wahlen wir n0 so, daß b−1n < ε. Fur n > n0 gilt dann:∣∣∣1− b 1

n

∣∣∣ = xn ≤b− 1n≤ b− 1

n0< ε

Fur den Fall b < 1 zeichnen wir hier zunachst nur den Weg vor. Die dazugehorigenBeweise folgen spater. Es gilt namlich:

limn→∞

b1n = lim

n→∞

1(1b

)n =1

limn→∞(

1b

) 1n

= 1

(3) Sei q ∈ C mit |q| < 1. Dann ist limn→∞ qn = 0.

Beweis Sei x = 1|q| − 1 > 0. Dann gilt (Bernoulli-Ungleichung):

1|q|n

= (1 + x)n ≥ 1 + nx

Zu beliebigem ε > 0 wahlen wir n0 so, daß gilt:

n0 >

(1ε− 1)· 1x⇔ 1 + n0x >

1ε

Sei nun n > n0. Damit gilt:

|0− qn| = |q|n < ε

(4) Mit an := nk

zn , wobei k ∈ N und z ∈ C liegen und |z| > 1 ist, gilt:

limn→∞

an = 0

Beweis Ubungsaufgabe.

Bezeichnung Jede Folge, die nicht konvergiert bezeichnen wir als divergent.

25

Proposition 4.1.4. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.

Beweis Sei (an) eine Folge mit limn→∞ an = a und limn→∞ an = a. Nehmen wir nunan, es gelte a 6= a. Wir wahlen ε := 1

3 |a− a| > 0. Auf Grund der Konvergenz von (an)gelten die folgenden Aussagen:

∃n0 ∈ N ∀n > n0 |a− an| > 0∃n0 ∈ N ∀n > n0 |a− an| > 0

Sei nun n ≥ max n, n0, dann gilt:

0 < 3ε = |a− a| ≤ |a− an|+ |a− an| < 2ε

Damit gilt insbesondere: 0 ≤ 3ε ≤ 2ε, was offensichtlich widerspruchlich ist. Die obigeAnnahme muss also falsch gewesen sein und es muss gelten a = a.

Definition 4.1.5 (Beschranktheit). Eine Folge komplexer Zahlen heißt beschrankt, fallses ein M > 0 gibt, so daß

∀n ∈ N : (an) ≤M

gilt.

Proposition 4.1.6 (Konvergente Folgen sind beschrankt.). Jede konvergente Folge istbeschrankt. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht.

Beweis Sei a = limn→∞ an. Wir wahlen n0 ∈ N so, daß fur alle n > n0 gilt: |a− an| < 1.Dann gilt fur n > n0:

|an| = |an − a+ a| ≤ |an − a|+ |a| ≤ 1 + |a|

Damit gilt fur alle n ∈ N:

|an| ≤ max 1 + |a|, |a1| , . . . , |an0 |︸ ︷︷ ︸=:M

4.2 Rechenregeln fur Grenzwerte

Proposition 4.2.1. Seien (an) , (bn) Folgen mit an → a, bn → b. Dann gilt:

i) an + bn → a+ b

ii) an · bn → ab

iii) an · b−1n → a

b , falls b 6= 0.

Beweis

26

i) Sei ε > 0 gegeben. Dann wahlen wir na und nb so, daß gilt:∗

∀n > na |a− an| <ε

2∀n > nb |b− bn| <

ε

2

Dann gilt fur alle n > max na, nb:

|(an + bn)− (a+ b)| = |an − a+ bn − b| ≤ |an − a|+ |bn − b| ≤ 2 · ε2

= ε

Damit ist die Konvergenz gezeigt.

ii) Da (an) konvergiert, existiert ein M ∈ R mit M ≥ an fur alle n ∈ N. Sei nun zubeliebigem ε > 0 na so gewahlt, daß fur alle n > na gilt: |an − a| ≤ ε

2b . Außerdemwahlen wir (zu demselben ε) nb so, daß fur alle n > nb gilt: |bn − b| ≤ ε

2M . Damitgilt fur alle n > maxna, nb:

|anbn − ab| = |anbn + anb+ ab− anb| ≤ |an (bn − b)|+ |b (a− an)|

Mit den obigen Voraussetzungen gilt dann:

|an (bn − b)|+ |b (a− an)| ≤∣∣∣an ε

2M

∣∣∣+ ∣∣∣b ε2b

∣∣∣ = ∣∣∣anM

∣∣∣ ε2

+ε

2≤ ε

iii) Zu zeigen ist nur b−1n → 1

b , der Rest folgt mit dem Obigen. Da (bn) konvergiert,existiert ein M , so daß fur alle n ∈ N gilt: bn ≤M . Nun wahlen wir ein n0 so, daßfur alle n > n0 gilt: |bn − b| ≤M · b · ε. Damit gilt:∣∣∣∣ 1

bn− 1b

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣b− bnbbn

∣∣∣∣ ≤ M · b · εbbn

≤ ε

Proposition 4.2.2. Aus an → a folgt:

i) |an| → |a|

ii) an → a

iii) < (an)→ <(a)

iv) = (an)→ =(a)

Beweis Folgt aus den Definitionen und steht im Konigsberger.

Proposition 4.2.3 (Vergleich reeller Folgen). Seien (an), (bn) reelle Folgen mit an → aund bn → b. Falls an ≤ bn fur alle n ∈ N gilt, dann gilt auch a ≤ b.

∗Das geht wegen der Konvergenz von (an) und (bn).

27

Beweis Da (an) und (bn) konvergieren, existiert zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N so, daß furalle n > n0 gilt: |an − a| < ε und |bn − b| < ε. Damit gilt:

a− ε < an ≤ bn < b+ ε⇒ a− b < 2ε⇒ a ≤ b

Bemerkung Aus an < bn folgt im allgemeinen nicht a < b. Zum Beispiel, wenn an = 0fur alle n und bn = 1

n .

Korollar 4.2.4. Falls an ∈ [α, β] fur fast alle n und an → a, dann gilt auch a ∈ [α, β].

Proposition 4.2.5 (Einschlussprinzip reeller Folgen). Seien (an), (bn) Folgen, die beidegegen a konvergieren. Sei ferner (cn) eine Folge, so daß fur fast alle n gilt: an ≤ cn ≤ bn.Dann konvergiert auch (cn) gegen a.

Beweis Zu jedem ε > 0 existiert ein n0, so daß fur alle n ≥ n0 gilt:

a− ε ≤ an ≤ cn ≤ bn < a+ ε

Daraus folgt die Behauptung:

|cn − a| < ε ∀n ≥ n0

Definition 4.2.6 (Asymptotische Gleichheit). Zwei reelle oder komplexe Folgen† (an),(bn) mit bn 6= 0 fur fast alle n heißen asymptotisch gleich, falls gilt:

anbn→ 1

Wir schreiben dann auch an ∼ bn.

Beispiele

1) Es gilt: n2 ∼ n2 + n, denn n2+nn2 = 1 + 1

n .

2) Es gilt: 1n −

1n+1 ∼

1n2 , denn n+1−n

n2+n= 1

n2+n∼ 1

n2 .

Definition 4.2.7 (Erweiterung R von R).

R := R ∪ −∞ ∪ ∞

Damit ergibt sich auch:

(a,∞] =x ∈ R|a < x ≤ ∞

etc.

Definition 4.2.8 (Divergenz gegen ±∞). (an) ⊂ R divergiert gegen ±∞, falls gilt:

∀k ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ≥ k (an ≤ −k bei Divergenz gegen −∞)

Beispiele

1) Fur a > 1 divergiert an gegen ∞.

2) Fur a < −1 divergiert an nicht gegen ±∞, da die Folge oszilliert.†Diese Folgen brauchen nicht zu konvergieren.

28

4.3 Monotone Folgen

Definition 4.3.1 (Monotonie). Eine reelle Folge (an) heißt monoton wachsend (fallend),falls an ≤ an+1 (bzw. an ≥ an+1) fur alle n ∈ N gilt. Die Monotonie ist streng, wenn dieGleichheit nicht auftritt.

Proposition 4.3.2. Jede beschrankte monotone Folge konvergiert.

Beweis Wir fuhren den Beweis hier nur fur den Fall einer monoton wachsenden Folge.Sei a := sup an|n ∈ N das Supremum der Folge (an). Dieses existiert auf Grund derbeschranktheit. Damit existiert zu jedem ε > 0 ein n0 mit a ≥ an0 > a− ε. Da die Folgemonoton ist, folgt damit fur alle n > n0:

a ≥ an ≥ an0 > a− ε

Damit ist die Konvergenz gezeigt.

Bemerkung Unbeschrankte monotone Folgen divergieren gegen ±∞.

Beispiele

1) Das Wallissche Produkt ist definiert als die Folge (an) mit

an =21· 43· 65· . . . · 2n

2n− 1=

n∏k=1

2k2k − 1

a) Es gilt: an√n

ist (streng) monoton fallend:‡

(an+1√n+ 1

·√n

an

)2

=n

n+ 1

(2n+ 22n+ 1

)2

=4n(n+ 1)(2n+ 1)2

=4n2 + 4n

4n2 + 4n+ 1< 1

b) Es gilt: an√n+1

ist monoton wachsend:

(an+1√n+ 2

·√n+ 1an

)2

=n+ 1n+ 2

(2(n+ 1)

2(n+ 1)− 1

)2

=n+ 1n+ 2

· 4n2 + 8n+ 4

4n2 + 4n+ 1

=4n3 + 12n2 + 12n+ 44n3 + 12n2 + 9n+ 2

> 1

Damit ergibt sich:an√n>

an√n+ 1

>a1√2

=√

2

an√n

konvergiert also gegen eine Zahl ≥√

2.§

‡Nach Definition ist eine Folge genau dann monoton fallend, wenn fur alle n gilt: an ≥ an+1. Fallsalle an 6= 0 sind, ist das gleichbedeutend mit

an+1an

≤ 1.§Wir werden spater feststellen, daß es sich bei dieser Zahl um

√π handelt.

29

2) Die Eulersche Zahl e. Es seien die beiden Folgen an :=(1 + 1

n

)n und bn :=(1 + 1

n

)n+1 gegeben. Wir zeigen, daß [an, bn] = In eine Intervallschachtelung de-finiert. Die Zahl, die durch diese Intervallschachtelung beschrieben wird, ist dieEulersche Zahl e.

i) an ist monoton wachsend:

an−1 < an ⇔(

n

n− 1

)n−1

<

(n+ 1n

)n⇔ n− 1

n<

(n+ 1n

)n(n− 1n

)n=(n2 − 1n2

)n=(

1− 1n2

)nMit der Bernoulli-Ungleichung folgt:(

1− 1n2

)n> 1− n

n2= 1− 1

n=n− 1n

an ist also in der Tat monoton wachsend.

ii) bn ist monoton fallend:

bn < bn−1 ⇔(

1 +1n

)n+1

<

(1 +

1n− 1

)n⇔ 1 +

1n<

(n

n− 1

)n( n

n+ 1

)n=(

n2

n2 − 1

)n=(

1 +1

n2 − 1

)nWiederum folgt mit der Bernoulli-Ungleichung:(

1 +1

n2 − 1

)n> 1 +

n

n2 − 1> 1 +

n

n2= 1 +

1n

bn ist also monoton fallend.

iii) Es gilt:

|In| = bn − an =(

1 +1n

)n(1 +

1n− 1)

=ann<b1n→ 0 fur n→∞

Daraus folgt:∃e ∈

⋂n≥1

In

Bemerkung Die Zahl e ist auch der Grenzwert

limn→∞

(1 +

11!

+ . . .+1n!

)

30

4.4 Satz von Bolzano-Weierstraß

Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt, daß jede beschrankte Folge eine konvergenteTeilfolge besitzt. Zunachst aber einige Vorbemerkungen.

Definition 4.4.1 (Haufungswert). Sei (an) eine komplexe Folge, d.h. (an) ⊂ C. h ∈ Cheißt Haufungswert, falls in jeder ε-Umgebung von h unendlich viele Folgenglieder anliegen.

Beispiele

(1) Die Folge (an) mit an = (−1)n hat die Haufungswerte 1 und −1. Sie ist nichtkonvergent.

(2) Die Folge (an) mit an = in hat die Haufungswerte 1, −1, i und −i und konvergiertnicht.

(3) Falls gilt: an → a, so ist a der einzige Haufungswert der Folge.

Definition 4.4.2 (Teilfolge). Gegeben seien eine Folge (an) und eine streng monotonwachsende Folge naturlicher Zahlen n1 < n2 < n3 < . . .. Dann heißt die Folge (ank

)k∈NTeilfolge von (an).

Beispiel (a2k)k∈N

Proposition 4.4.3. Sei (an) eine Folge. Ein Wert h ist genau dann Haufungswert von(an), wenn er Grenzwert einer Teilfolge von (an) ist.

Beweis

⇒ Sei h Haufungswert. Nun wahlen wir n1 so, daß gilt: an1 ∈ B1(h), n2 wahlen wir so,daß gilt: an2 ∈ B 1

2(h) und so weiter. Da h Haufungswert von (an) ist, werden wir

in jedem Bε(h) immer noch ein geeignetes Folgenglied finden. Die auf diese Weisekonstruierte Folge (ank

)k∈N ist eine Teilfolge von (an)n∈N, die gegen h konvergiert.

⇐ Wenn hGrenzwert einer Teilfolge ist, dann folgt die Haufungswerteigenschaft sofortaus der Definition der Konvergenz.

Proposition 4.4.4 (Bolzano-Weierstraß fur reelle Folgen). Sei an ⊂ R beschrankt.Dann existiert ein großter Haufungswert h∗ und ein kleinster Haufungswert h∗. Es giltalso fur fast alle n ∈ N:

−ε+ h∗ ≤ an ≤ h∗ + ε

Bezeichnung

h∗ =: lim supn→∞

an = limn→∞an

h∗ =: lim infn→∞

an = limn→∞an

31

Beweis Wir beweisen nur den Fall h∗ und zwar mit Hilfe des Intervallschachtelungs-prinzips. Die Intervallschachtelung Ik = [Ak, Bk] soll folgende Eigenschaften haben:

1. an ∈ [Ak, Bk] fur unendlich viele n

2. an ≤ Bk fur fast alle n ∈ N.

3. |Ik| ≤ 12k−1 |I1|

Sei I1 = [A1, B1] nun so gewahlt, daß fur alle n gilt: an ∈ Ik.¶ Dann konstruieren wirIk+1 aus Ik wie folgt:

Sei M die Mitte des Intervalls Ik. Wir setzen

[Ak+1, Bk+1] =

[Ak,M ] falls an ≤M fur fast alle n[M,Bk] sonst

Damit ist jede der obigen Forderungen an die Intervallschachtelung erfullt. Im Durch-schnitt aller Ik liegt eine Zahl h∗, von der wir noch zu zeigen haben, daß es sich dabeium einen Haufungswert von (an) handelt und, daß es der großte Haufungswert ist, d.h.an < h∗ + ε fur fast alle n.

Zu ε > 0 existiert ein k0 mit der Eigenschaft, daß fur alle k > k0 gilt: Ik ⊂ (h∗ − ε, h∗ + ε).Da wegen Bedingung 1) jedes Ik unendlich viele Glieder von (an) enthalt, ist h∗ Haufungs-wert der Folge. Aus Bedingung 2) folgt, daß dieses h∗ auch der großte Haufungswert seinmuss.

Korollar 4.4.5. Eine beschrankte reelle Folge konvergiert genau dann, wenn großterund kleinster Haufungswert ubereinstimmen.

Proposition 4.4.6 (Bolzano-Weierstraß fur komplexe Folgen). Jede beschrankte Folgein C hat eine konvergente Teilfolge.

Beweis Da (an) beschrankt ist, ist auch < (an) beschrankt. Mit an = xn + iyn gilt, daßeine Teilfolge (ank

) existiert, so daß (xnk)→ x ∈ R gilt.

Da aber auch = (ank) beschrankt ist, existiert eine weitere Teilfolge

(anj

), so daß gilt:(

ynj

)→ y ∈ R.

Damit gilt dann:anj → a := x+ iy ∈ C

4.5 Cauchy-Folgen

Definition 4.5.1 (Cauchy-Folge). Eine Folge (an) ⊂ C heißt Cauchy-Folge, wenn furalle ε > 0 ein n0 ∈ N existiert, so daß fur alle m,n ≥ n0 gilt:

|am − an| < ε

¶Das geht auf Grund der Beschranktheit von (an)

32

Proposition 4.5.2 (Cauchy-Kriterium). Eine Folge (an) ist Cauchyfolge genau dann,wenn sie konvergiert.

Beweis

⇐ Sei (an) also eine konvergente Folge mit an → a. Dann existiert zu jedem ε > 0ein n0, so daß gilt:

|a− an| <ε

2∀n > n0

Nach Dreiecksungleichung gilt außerdem fur alle m,n > n0:

|am − an| ≤ |am − a|+ |an − a|

<ε

2+ε

2= ε

⇒ Sei (an) Cauchy-Folge.

a) (an) ist beschrankt, denn es existiert ein n0 so, daß fur alle m,n ≥ n0 gilt:

|am − an| < 1

Daraus ergibt sich sofort:

|am| ≤ |an0 |+ 1 ∀m ≥ n0

Es sind also mindestens fast alle Folgenglieder betragsmaßig kleiner als |an0 |+1. Alle Folgenglieder, die eventuell noch großer sein konnten, liegen somit voran0 und es gilt fur alle n:

|an| ≤ max |a1| , . . . , |an0−1| , |an0 |+ 1

b) Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existiert also eine konvergente Teil-folge (ank

)→ a.

c) Es gilt: an → a, denn zu gegebenem ε > 0 exstiert ein nk0 , so daß gilt:∣∣∣ank0− a∣∣∣ <

ε

2|am − an| <

ε

2∀m,n ≥ nk0

Mit der Dreiecksungleichung ergibt sich fur m ≥ nk0 :

|am − a| ≤∣∣∣am − ank0

∣∣∣+ ∣∣∣ank0− a∣∣∣ < ε

Bemerkung Das Cauchy-Kriterium ist gleichbedeutend mit dem Vollstandigkeitsaxi-om.

33

Beispiele

1. Wir setzen

an =n∑i=1

1i

Damit gilt:

|an+k − an| =n+k∑i=n+1

1i

=1

n+ 1+ . . .+

1n+ k

≥ 1n+ k

+ . . .+1

n+ k=

k

n+ k

Der letzte Term konvergiert — egal, wie groß n gewahlt wurde — fur k → ∞gegen 1 und unterschreitet somit nicht jedes ε. (an) ist also keine Cauchy-Folgeund konvergiert demnach auch nicht.

2. Wir setzen

an =n∑k=0

(−1)k1

2k + 1

und zeigen, daß (an) eine Cauchy-Folge ist und als solche konvergiert. Es giltnamlich:

|am − an| =

∣∣∣∣∣m∑

k=n+1

(−1)k1

2k + 1

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣(−1)n+1 12n+ 3

+m∑

k=n+2

(−1)k1

2k + 1

∣∣∣∣∣≤ 1

2n+ 3+

m∑k=n+2

∣∣∣∣ 12k + 1

∣∣∣∣ (Dreiecksungleichung)

Bemerkung Man kann R als Vervollstandigung von Q auffassen, indem man R mit denCauchy-Folgen in Q identifiziert.

34

5 Reihen

5.1 Konvergente Reihen

Definition 5.1.1 (konvergente Reihe). Zu einer Folge (an) ⊆ C definieren wir eineweitere Folge (sn) ⊆ C uber

sn :=n∑k=1

ak

Solch eine Folge heißt Reihe mit Gliedern ak. sn heißt auch n-te Partialsumme.Die Reihe heißt konvergent, falls (sn) konvergiert. Falls sn → s, dann schreiben wir

s =∞∑k=1

ak.

Bezeichnung 5.1.2.

• Man nennt auch∑∞

k=1 ak Reihe.

• Oft schreibt man nur∑ak, falls der Summationsbeginn klar ist.

Beispiel

1. Die harmonische Reihe ist gegeben durch∞∑k=1

1k.

Wir wissen∑∞

k=11k →∞.

2. Die geometrische Reihe ist∞∑k=1

zn, z 6= 1.

Wir wissen sn :=∑n

k=1 zk = 1−zn+1

1−z . Falls |z| < 1 ist, so gilt sn → 11−z

3. Die Reihe∑∞

k=11

k(k+1) kann man uber Partialbruchzerlegung mit 1k(k+1) = 1

k −1

k+1darstellen als

n∑k=1

1k(k + 1)

=n∑k=1

(1k− 1k + 1

)=

n∑k=1

1k−

n∑k=1

1k + 1

= 1− 1n+ 1

.

Dies konvergiert fur n→∞ gegen 1.

35

4. Die Reihe∞∑k=0

(−1)k mit sn =

1 n gerade0 n ungerade

konvergiert nicht.

5.2 Konvergenzkriterien

Proposition 5.2.1 (Cauchy-Kriterium).∑an konvergiert genau dann, wenn es zu

jedem ε > 0 ein n0 ∈ N gibt, so daß fur alle m > n ≥ n0

|an+1 + . . .+ am| < ε

gilt.

Beweis Folgt aus dem Cauchy-Kriterium fur Folgen (sn) (Proposition 4.5.2).

Bemerkung

• Aus Proposition 5.2.1 ergibt sich als notwendige Bedingung fur die Konvergenzeiner Reihe, daß an eine Nullfolge ist.∗

• Das Andern endlich vieler Folgenglieder an andert nicht das Konvergenzverhalteneiner Reihe (im allgemeinen aber den Wert).

Proposition 5.2.2 (Majorantenkriterium). Ist |an| ≤ |bn| fur alle n und konvergiert∑|bn|, so konvergiert auch

∑an und es gilt∣∣∣∑ an

∣∣∣ ≤∑ |bn|.∑|bn| heißt Majorante fur

∑an.

Falls∑an divergiert, dann auch

∑|bn|. Mann nennt

∑an (divergierende) Minorante

fur∑|bn|.

Beweis Da∑|bn| konvergiert, gibt es fur alle ε > 0 ein n0 ∈ N, so daß fur alle m >

n ≥ n0 gilt |bn+1|+ . . .+ |bm| < ε. Damit ist

|an+1 + . . .+ am| ≤ |an+1|+ . . .+ |am| ≤ |bn+1|+ . . .+ |bm| < ε.

Nach obiger Proposition (5.2.1) konvergiert∑an und aus der Dreiecksungleichung (2.2.4)

folgt

sn =

∣∣∣∣∣n∑k=0

ak

∣∣∣∣∣ ≤n∑k=0

|bk| =: sn.

Die Behauptung folgt aus der dritten Regel des Satzes 4.2.1, dem Vergleichsprinzip furFolgen.

∗an = sn − sn−1 → s− s = 0

36

Beispiel

1. Sei an beliebig mit |an| ≤ 1. Dann konvergiert∑anz

n fur |z| < 1 (Vergleich mitgeometrischer Reihe).

2. Fur a ∈ (0, 1) divergiert∞∑k=1

1k − a

,

da∑∞

k=11k als Minorante divergiert. Es ist Minorante, da fur alle k ∈ N:

1k − a

≥ 1k.

Proposition 5.2.3 (Monotoniekriterium). Sei∑an Reihe in R mit an ≥ 0.∑

an konvergiert genau dann, wenn die Partialsummen (sn) beschrankt sind.

Beweis sn ist monoton wachsend, wir wenden die Aussage fur monotone Folgen 4.3.2an.

Beispiel ∑ 1ns

ist

konvergent fur s > 1divergent fur s ≤ 1

s ∈ Q.

Beweis Im Fall s > 1: Zu n ∈ N sei n0 so gewahlt, daß n ≤ 2n0 − 1. Damit ist

sn ≤ s2n0−1

= 1 +(

12s

+13s

)+

14s

+ . . .+17s

+ . . .+(

12(n0−1)s

+ . . .+1

(2n0 − 1)s

)≤ 1 +

22s

+22

22s+ . . .+

2n0−1

2(n0−1)s

= 1 +1

2s−1+

122(s−1)

+ . . .+1

2(n0−1)(s−1)

≤∞∑k=0

(1

2s−1

)k=

11− 1

2s−1

Damit ist (sn) beschrankt, also nach dem Monotoniekriterium 5.2.3 konvergent.

Im Fall s ≤ 1 ist

sn =n∑k=1

1ks≥

n∑k=1

1k

n→∞−−−→∞.

37

Bemerkung

ζ(s) :=∑ 1

nsfur s ≥ 1

ist die Riemannsche Zeta-Funktion

Proposition 5.2.4 (Leibniz-Kriterium fur alternierende Reihen). Sei (an) ⊆ R mo-noton fallende Nullfolge. Dann konvergiert

∑(−1)nan und fur den Grenzwert s gilt fur

alle n ∈ N:|s− sn| ≤ an+1.

Beweis Es ist sk − sk−2 = (−1)k(ak − ak−1) und damit

s0 ≥ s2 ≥ s4 . . . und s1 ≤ s3 ≤ s5 . . . .

Dann existiert die Intervallschachtelung [s1, s2] ⊇ [s3, s4] ⊇ [s5, s6] ⊇ . . ., außerdem geht|[sk−1, sk]| = ak gegen Null. Somit gibt es nach dem Intervallschachtelungsprinzip 2.3.7ein

s ∈⋂k≥1

k gerade

[sk−1, sk] mit sk → s.

Zur Fehlerabschatzung: Fur o.B.d.A. k ungerade ist s ∈ [sk, sk+1] und |sk+1−sk| = ak+1.Damit folgt |s− sk| ≤ ak+1.

Beispiel

1) Leibniz-Reihe:

1− 13

+15− 1

7+ . . . =

∞∑k=0

(−1)k1

2k + 1

konvergiert gegen π/4.

2) Alternierende harmonische Reihe:

1− 12

+13

+ . . . =∞∑k=0

(−1)k1

k + 1

konvergiert gegen ln 2.

Lemma 5.2.5 (Rechenregeln fur Reihen). Sei∑an = a,

∑bn = b, c ∈ C.

Dann ist

•∑

(an + bn) = a+ b,

•∑can = ca und

•∑an = a.

Beweis folgt aus den Rechenregeln fur Folgen 4.2.1.

38

5.3 Absolute Konvergenz

Definition 5.3.1 (absolute Konvergenz). Eine Reihe∑ak heißt absolut konvergent,

falls die Reihe der Betrage∑

k |ak| konvergiert.

Bemerkung

1. Aus absoluter Konvergenz folgt mit dem Majorantenkriterium Konvergenz.

2. Aus dem Monotoniekriterium folgt:∑|ak| konvergiert genau dann, wenn sn :=

∑nk=1 |ak| beschrankt ist.

Proposition 5.3.2 (Quotientenkriterium). Sei an 6= 0 fur fast alle n ∈ N.

i) Falls es ein q ∈ (0, 1) gibt mit |an+1

an| ≤ q fur fast alle n, dann konvergiert

∑an

absolut.

ii) Falls∣∣∣an+1

an

∣∣∣ ≥ 1 fur fast alle n, dann divergiert∑an.

Beweis

1. Nach Voraussetzung gibt es ein n0, so das fur alle n ≥ n0 gilt

|an+1

an| ≤ q.

Das ist gleichbedeutend damit, daß fur alle n ≥ n0 : |an| ≤ qn−n0 |an0 | gilt. Esfolgt ∑

n≥n0

|an| ≤∑n≥n0

|an0 |qn0

qn =|an0 |qn0

∑n≥n0

qn ≤ |an0 |qn0

11− q

<∞.

2. Nach Voraussetzung gibt es ein n0, so daß fur alle n ≥ n0 gilt: |an| ≥ |an0 | > 0.Damit ist (an) keine Nullfolge, die Reihe kann also nicht konvergieren.

Proposition 5.3.3 (Wurzelkritierium).

1. Falls es ein q ∈ (0, 1) gibt mit |an|1n ≤ q fur fast alle n, dann konvergiert

∑an

absolut.

2. Falls |an|1n ≥ 1 fur unendlich viele n, dann divergiert

∑an.

Beweis

1. Nach Voraussetzung gilt |an| ≤ qn fur fast alle n, also ist∑qn Majorante der

Reihe.

2. Nach Voraussetzung ist (an) keine Nullfolge.

39

Beispiel∑

n npxn konvergiert absolut fur |x| < 1 und p ∈ N:

(np|x|n)1n = n

pn |x| → |x| < 1.

Bemerkung Falls∣∣∣an+1

an

∣∣∣ < 1 oder |an|1n < 1 fur fast alle n ist, so kann nicht auf

absolute Konvergenz geschlossen werden, wie man an∑ 1

n sieht.

Bemerkung

1) Siehe auch Ubungsaufgabe 18:Aus |an+1

an| → L folgt |an|

1n → L.

Es gilt ahnlich: |an+1

an| ≤ q < 1 impliziert |an|

1n ≤ q < 1 ∀n ≥ n0.

2) Die Umkehrung gilt nicht:Beispiel: 1 + 1 + 1

2 + 12 + 1

4 + 14 + . . ..

Das Quotientenkriterium ist nicht erfullt, aber nach dem Wurzelkriterium konver-giert die Reihe, und zwar nach 2

1− 12

.

Hieraus kann man sehen, daß das Wurzelkriterium zwar allgemeiner ist, aber das Quo-tientenkriterium ist oft einfacher nachzuprufen.

5.4 Umordnung von Reihen

Bemerkung Konnen wir die Elemente einer Reihe beliebig umordnen, ohne daß sichdas Konvergenzverhalten andert?In anderen Worten: Falls σ : N → N bijektiv ist und

∑an konvergiert, ist dann auch∑

aσ(n) konvergent?

Beispiel Alternierende harmonische Reihe:∑

n≥1(−1)n−1 1n .

Diese Reihe konvergiert — allerdings nicht absolut — nach dem Leibniz-Kriterium.

Vermutung 5.4.1. Es gibt eine Umordnung σ : N→ N, so daß∑∞

n=1(−1)σ(n)−1 1σ(n) =

∞.

Beweis Wir mussen zeigen: Fur ein σ : N → N ist sn =∑n

l=1(−1)σ(n)−1 1σ(n) unbe-

schrankt.Betrachte dazu jeweils die Glieder ungerader Ordnung von 1

2n+1 bis 12n+1+1

.

Fur jedes n ≥ 1 gilt 12n+1 + 1

2n+3 + . . .+ 12n+1−1

≥ 2n−1

2n+1 = 122 = 1

4 .Damit folgt sn = 1− 1

2 + 13 −

14

+(15 + 1

7)− 16 (n = 2)

+(19 + 1

11 + . . .+ 115)− 1

8 (n = 3)+ . . .+( 1

2n+1 + 12n+3 + . . .+ 1

2n+1−1)− 1

2n+2

Jede Zeile ist ≥ 14 −

12n+2 , also ≥ 1

8 fur n ≥ 3.Somit gehen die Partialsummen dieser Umordnung gegen ∞.

40

Proposition 5.4.2 (Umordnungssatz). Sei∑an eine absolut konvergente Reihe. Dann

konvergiert auch jede Umordnung∑aσ(s) absolut gegen denselben Grenzwert.

Beweis Sei s =∑∞

n=1 an und σ : N→ N eine Bijektion.Wir zeigen zunachst

∑nk=1 aσ(k) → s fur n→∞.

Nach Voraussetzung gibt es zu jedem ε > 0 ein n0, so daß∑∞

k=n0+1 |ak| <ε2 .

⇒ |s−∑n0

k=1 ak| ≤∑∞

k=n0+1 |ak| <ε2 .

Sei nun N so gross, daß σ(1), . . . , σ(N) ⊇ 1, 2, . . . , n0 − 1.Dann folgt fur alle m ≥ N ,daß |

∑mk=1 aσ(k)− s| ≤ |

∑mk=1 aσ(k)−

∑n0k=1 ak|+ |

∑n0k=1 ak− s| <

∑∞k=n0+1 |ak|+

ε2 < ε.

Bemerkung Man kann eine nicht absolut konvergente reelle Reihe so umordnen, daßsie gegen jede beliebige Zahl c ∈ R konvergiert. Bernhard Riemann hat dies 1867 gezeigt.

5.5 Potenzreihen

Definition 5.5.1 (Potenzreihe). Eine Reihe der Form

P(z) =∞∑k=0

akzk mit ak, z ∈ C

heißt Potenzreihe in z.Falls ak 6= 0 fur nur endlich viele k (⇔ ak = 0 fur fast alle k), dann heißt P Polynom.

Proposition 5.5.2. Sei z0 6= 0 und P(z0) =∑akz

k0 konvergent. Dann konvergiert

P(z) absolut fur alle z mit |z| < |z0|.

Beweis (akzk0 ) ist Nullfolge, also gibt es ein c mit |akzk0 | ≤ c ∀k ≥ n0.Setze q := | zz0 | < 1. Hieraus folgt dann, daß |akzk| ≤ cqk ∀k ≥ n0.Somit ist cqk eine Majorante, was zur Konvergenz der Reihe fuhrt.

Definition 5.5.3 (Konvergenzradius fur Potenzreihen). Zu P(z) =∑akz

k heißt R :=supr ∈ R | P(r) konvergiert ∈ [0,∞] der Konvergenzradius von P.BR(0) ⊆ C heißt Konvergenzkreis zu P.

Proposition 5.5.4 (Konvergenz im Konvergenzkreis). Sei P eine Potenzreihe und Rihr Konvergenzradius.

i) P(z) konvergiert absolut fur alle z ∈ C mit |z| < R.

ii) P(z) divergiert fur alle z ∈ C mit |z| > R.

Bemerkung Fur z mit |z| = R kann keine allgemeine Aussage gemacht werden.

Beweis

41

1. Da |z| < R ist, gibt es ein r mit |z| < r < R. Somit konvergiert P(r).Hieraus folgt mit Proposition 5.5.2 die Behauptung.

2. Ware P(z) konvergent, dann auch fur r mit R < r < |z|. Dies ist ein Widerspruchzur Definition von R.

Bemerkung 1∞ := 0, 1

0 :=∞

Proposition 5.5.5 (Formeln fur den Konvergenzradius). Ist P eine Potenzreihe undR ihr Konvergenzradius, so gilt

1. R = 1L mit L := limn→∞|an|

1n ∈ [0,∞]. (Formel von Cauchy-Hadamard)

2. R = 1q mit q := limn→∞ |an+1

an| ∈ [0,∞], falls |an+1

an| in R konvergiert. (Formel von

Euler)

Beweis

1. Konvergenz

Sei L <∞. Es gilt |anzn|1n = |z||an|

1n .

Aus |z| < 1L folgt, daß |z|(1 + 2ε) < 1

L fur ein ε > 0.Außerdem gilt, daß |an|

1n < L(1 + ε) ∀n ≥ n0 fur ein n0 ∈ N.

Somit folgt, daß |an|1n |z| < 1+ε

1+2ε < 1 ∀n ≥ n0.Hieraus folgt mit dem Wurzelkriterium, daß P(z) absolut konvergiert.DivergenzSei L > 0, sei |z| > 1

L . Dann ist |z| > 1L−ε fur ein ε > 0.

⇒ |an|1n > L− ε > 1

|z| fur unendlich viele n

⇒ |anzn|1n > 1 fur unendlich viele n.

⇒(Wurzelkriterium) P(z) divergiert.

2. Konvergenz

Sei |z| < 1q ⇒ |

an+1zn+1

anzn | = |z||an+1

an| →n→∞ |z||q| < 1

⇒ |an+1

an

zn+1

zn | ≤ |z|q + ε < 1 fur ein ε > 0 und fast alle n⇒ (Quotientenkriterium) P(z) konvergiert absolut.Divergenz

Sei |z| > 1q ⇒

∣∣∣an+1zn+1

anzn

∣∣∣→ |z||q| > 1

⇒ |an+1zn+1

anzn | ≥ 1 fur fast alle n.⇒ (Quotientenkriterium) P(z) divergiert.

Beispiel

1) Geometrische Reihe:∑∞k=1 z

k hat Konvergenzradius 1. Ebenso∑k−szk, da k

−sk → 1 fur k →∞.

Auf dem Rand des Konvergenzkreises bei |z| = 1 gilt:

42

•∑zk divergiert, da zk keine Nullfolge ist.

•∑k−szk fur s < 1 ebenso, aber

•∑k−szk konvergiert absolut fur s > 1 (nach Majorantenkriterium).

2) Binomialreihe:Bs(z) :=

∑∞k=0

(sk

)zk = 1 + sz +

(s2

)z2 + . . .

Hierbei ist(sk

)= 0 fur s ∈ N0, k > s, die Summen sind fur s ∈ N0 also endlich, der

Konvergenzradius also ∞ fur s ∈ N0.

Falls s 6∈ N0, so ist∣∣∣∣( s

n+1)(s

n)

∣∣∣∣ = ∣∣∣ s−nn+1

∣∣∣→ 1 fur n→∞.

Der Konvergenzradius ist dann also 1.

Proposition 5.5.6 (Restgliedabschatzung). Sei P(z) =∑∞

k=0 akzk eine Potenzreihe

mit Konvergenzradius R > 0.Rn(z) :=

∑∞k=n akz

k ist das Restglied der Ordnung n.Dann gilt fur r ∈ (0, R), daß

|Rn(z)| ≤ Cn|z|n ∀|z| ≤ r

Beweis |z| ≤ r ⇒ |Rn(z)|≤∑∞

k=n |ak||z|k≤∑∞

k=n |ak|rk−n|z|n

= |z|nrn

∑∞k=n |ak|rk

=: |z|nCn

Proposition 5.5.7 (Nullstellen haufen sich nicht bei Null). Sei P(z) =∑akz

k einePotenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Nicht alle ak seien Null. Dann gibt es einε > 0, so daß P(z) 6= 0 ∀z mit 0 < |z| < ε.

Beweis Sei N kleinster Index mit aN 6= 0.Sei 0 < r < R, |z| < r,CN+1 := 1

rN+1

∑∞k=N+1 |ak|rk <∞

⇒ P(z) = aNzN +RN+1(z) und |RN+1(z)| ≤ CN+1|z|N+1

Sei P(z) = 0⇒ |aN ||z|N ≤ CN+1|z|N+1

⇒ z = 0 oder |z| ≥ |aN+1|CN+1

Proposition 5.5.8 (Identitatssatz fur Potenzreihen). P =∑akz

k und Q =∑bkz

k

seien Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius.Falls eine Nullfolge (zn) mit (zn) 6= 0 existiert mit P(zn) = Q(zn) ∀n, dann folgt

P(z) = Q(z) ∀z also ak = bk ∀k

Beweis Der Beweis folgt aus Proposition 5.5.7 angewendet auf∑

(ak − bk)zk.

43

5.6 Multiplikation von Reihen

Sei σ : N→ N× N, eine Abzahlung von N× N, zum Beispiel

1. (1, 1), (2, 1), (2, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (3, 1), (4, 1), . . . oder

2. (1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), . . .

Zu∑aj ,∑bk sei (j, k) = σ(n) und cn = ajbk.

Zu jedem σ heißt∑cn Produktreihe zu

∑aj ,∑bk.

Bemerkung Wann gilt (∑aj) · (

∑bk) =

∑j

∑k ajbk =

∑n cn?

Proposition 5.6.1 (Produkte absolut konvergenter Reihen sind absolut konvergent).∑aj ,∑bk seien absolut konvergente Reihen. Dann konvergiert jede Produktreihe

∑cn

absolut und es gilt ∞∑j=0

aj

( ∞∑k=0

bk

)=

∞∑l=0

cl

Insbesondere gilt die Cauchysche Produktformel ∞∑j=0

aj

( ∞∑k=0

bk

)=

∞∑l=0

l∑j=0

ajbl−j (entspricht Beispiel 2)

Beweis

1. Abschatzung der Partialsummen:sN :=

∑Nj,k=0 |ajbk| =

∑Nj=0 |aj |

∑Nk=0 |bk| ≤

∑∞j=0 |aj |

∑∞k=0 |bk|

Fur jede Produktreihe gilt also∑n

l=0 |cl| ≤∑∞

j=0 |aj |∑∞

k=0 |bk|, sie ist also absolutkonvergent.

2. Wert berechnen:Sei σ wie in Beispiel ein oben, also sei σ(0), . . . , σ(n2) = (j, k) | 0 ≤ j, k ≤ nDann folgt

∑n2

l=0 cl =∑n

j=0 aj∑n

k=0 bk ∀n.Nach den Rechenregeln fur Folgen gilt

∑∞l=0 cl = (

∑∞j=0 aj) · (

∑∞k.=0 bk)

Beispiel Seien z, w ∈ C mit |z| < 1, |w| < 1.Dann sind

∑zk und

∑wk absolut konvergent und es folgt∑∞

k,l=0 zkwl =

(∑∞k=0 z

k) (∑∞

k=0wk)

= 1(1−z)(1−w) .

Korollar 5.6.2 (Fur zwei in Br(0) absolut konvergente Potenzreihen konvergiert auch ihrProdukt absolut). Fur gegebenes r seien

∑anz

n,∑bnz

n in Br(0) = z ∈ C | |z| < rabsolut konvergente Potenzreihen.Dann konvergiert auch

∑∞n=0(

∑nj=0 ajbn−j)z

n absolut in Br(0) und es gilt∑n≥0

anzn

∑n≥0

bnzn

=∑n

n∑j=0

(ajbn−j)

zn

44

5.7 Exponentialreihe und weitere Verwandte

Definition 5.7.1 (Exponentialreihe). Zu z ∈ C definieren wir

ez = exp(z) :=∞∑k=0

zk

k!

Diese Reihe hat den Konvergenzradius ∞, denn∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = zn+1

x→∞−−−→ 0.

Es gilt ez =∑n

k=0zk

k! +Rn+1(z) mit |Rn+1(z)| ≤ 2|z|n+1

(n+1)! fur |z| ≤ 1,da

|Rn+1(z)| ≤ |z|n+1

(n+ 1)!

(1 +

|z|n+ 2

+|z|2

(n+ 2)(n+ 3)+ . . .

)≤

|z|≤1

|z|n+1

(n+ 1)!

(1 +

12

+122

+ . . .

)=

|z|n+1

(n+ 1)!· 11− 1

2

=2|z|n+1

(n+ 1)!

Definition 5.7.2 (Logarithmusreihe).

L(z) :=∞∑k=1

(−1)k+1

kzk = z − z2

2+z3

3− . . .

Der Konvergenzradius ist limn→∞(

1n

) 1n = 1.

Definition 5.7.3 (Trigonometrische Funktionen sin, cos, tan, cot).

sin z :=12i

(eiz − e−iz)

=∞∑k=0

(−1)kz2k+1

(2k + 1)!

cos z :=12(eiz + e−iz)

=∞∑k=0

(−1)kz2k

(2k)!

tan z :=sin zcos z

fur z mit cos z 6= 0

cot z :=cos zsin z

fur z mit sin z 6= 0

45

Korollar 5.7.4 (Eulersche Formel). Hieraus folgt

∀z ∈ C : eiz = cos z + i sin z

Sinus und Cosinus auf R Sei x ∈ R.Dann ist |eix|2 = eixe−ix = 1 und damit eix ∈ S1 = z ∈ C | |z| = 1, der 1-Sphare.†

Erinnerung: =(z) = 12i(z − z) und <(z) = 1

2(z + z).Somit cosx = <(eix) und sinx = =(eix).und eix = cosx+ i sinx (Eulersche Formel).Aus |eix| = 1 folgt, daß cos2 x+ sin2 x = 1.

Definition 5.7.5 (Hyperbolische Funktionen: sinh, cosh, tanh).

sinh(z) :=12(ez − e−z)

=∞∑k=0

1(2k + 1)!

z2k+1

cosh(z) :=12(ez + e−z)

=∞∑k=0

1(2k)!

z2k

tanh(z) :=sinh(z)cosh(z)

coth(z) :=cosh(z)sinh(z)

Es gilt

• cosh2 z − sinh2 z = 1

• sinh(iz) = i sin z

• cosh(iz) = cos z

• ez = cosh z + sinh z

Mehr zu diesen Funktionen in den Kapiteln zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

†Bild des Einheitskreises mit sin,cos

46

6 Der euklidische Raum

6.1 Der Vektorraum Rd

Rd = R× R× · · · × R︸ ︷︷ ︸d−mal

= x = (x1, x2, . . . , xd) | xj ∈ R; j = 1, . . . , d

• x heißt Punkt oder Vektor in Rd

• xj heißt i-te Koordinate von x ∈ Rd

• Vorsicht: xj kann j-te Komponente eines Vektors x ∈ Rd sein, oder es kann einElement einer Folge (xn) ⊂ Rd sein

• Fur d=2 bezeichnet man Koordinaten oft mit (x, y), d=3: (x, y, z)

• Rd verknupft mit

– Addition: zu x, y ∈ R definieren wir x+ y ∈ Rd uber(x+ y) = (x1 + y1, x2 + y2+, . . . , xd + yd)

– Skalare Multiplikation: zu x ∈ Rd, λ ∈ Rd definieren wir λx ∈ Rd uberλx = (λx1, λx2, . . . , λxd)

ist ein reeller Vektorraum uber dem Korper R.

6.2 Der euklidische Raum Rd

Definition 6.2.1 (Skalarprodukt/inneres Produkt). Sei V ein reeller Vektorraum. EineAbbildung 〈·, ·〉 : V × V → R heißt Skalarprodukt, falls fur alle u, v, w ∈ V und alleλ, µ ∈ R gilt:

1) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 (Symmetrie)

2) 〈λu+ µv,w〉 = λ 〈u,w〉+ µ 〈v, w〉 (Bilinearitat)

3) 〈u, u〉 ≥ 0 und 〈u, u〉 = 0⇔ u ≡ 0 (positive Definitheit)

Definition 6.2.2 (Norm). Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung || · || : V →R+ ∪ 0 heißt Norm, falls ∀u, v ∈ V und ∀λ ∈ R gilt

1) ‖u‖ ≥ 0 und ‖u‖ = 0⇔ u ≡ 0

2) ‖λu‖ = |λ| · ‖u‖ (Homogenitat)

47

3) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ (Dreiecksungleichung)

Lemma 6.2.3 (Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung/CSU). Sei 〈·, ·〉 ein Skalarprodukt aufeinem reellen Vektorraum V . Def: ‖u‖ := 〈u, u〉

12 . Dann gilt:

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ ∀u, v ∈ V

Beweis

Sei λ ∈ R+. Dann gilt 0 ≤ 〈u− λv, u− λv〉 = 〈u, u〉 − 2λ 〈u, v〉+ λ2 〈u, v〉

⇒ 〈u, v〉 ≤ 12λ ‖u‖

2 + λ2 ‖v‖

2 mit λ = ‖u‖‖v‖

⇒ 〈u, v〉 ≤ ‖u‖ · ‖v‖ - ersetze u durch −u⇒ −〈u, v〉 ≤ ‖u‖ · ‖v‖⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ · ‖v‖

Lemma 6.2.4. Sei 〈·, ·〉 und ‖·‖ wie in Lemma 6.2.3. Dann ist ‖·‖ tatsachlich eineNorm.

Beweis Ubungsaufgabe 30

Definition 6.2.5 (euklidisches Skalarprodukt, euklidische Norm). Zu x, y ∈ Rd definie-ren wir

〈x, y〉 =d∑j=1

xjyj (euklidisches SKP)

‖x‖2 = 〈x, x〉12 (euklidische Norm) ‖x‖2 =

d∑j=1

x2j

12

Beweis Man pruft leicht nach, ob dadurch wirklich ein Skalarprodukt definiert ist.

Bemerkung.

Es gilt nach Lemma 6.2.3:

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖2 ‖y‖2 ⇔

∣∣∣∣∣∣d∑j=1

xjyj

∣∣∣∣∣∣2

≤

d∑j=1

x2j

d∑j=1

y2j

(Vergleiche Ubungsaufgabe 1*)

Bezeichnung. Man schreibt ublicherweise: |x| statt ‖x‖2 (wie fur z ∈ C gilt |z| =√zz

fur z = (x, y), |z| =√x2 + y2)

Definition 6.2.6 (Maximumsnorm). Zu x ∈ Rd definieren wir

‖x‖∞ := max(|x1|, |x2|, ..., |xd|)

Bemerkung. Man pruft leicht nach, daß dadurch wirklich Norm definiert ist.

48

Definition 6.2.7 (aquivalente Norm). Zwei Normen ‖·‖ und ||| · ||| auf einem reellenVektorraum V heißen aquivalent, falls es C1, C2 > 0 gibt, so daß ∀u ∈ V :

C1 ‖u‖ ≤ |||u||| ≤ C2 ‖u‖ .

Lemma 6.2.8. ‖ · ‖∞ und ‖ · ‖2 sind auf Rd aquivalent.

Beweis

Einerseits ist ‖x‖22 =d∑i=1

x2j ≤ d ·max(x2

j ) = d‖x‖∞2.

Anderseits ist |xj |2 ≤d∑j=1|xj |2 = ‖x‖2

2 ⇒ max(|x|2) ≤ ‖x‖22.

⇒ ‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤√d ‖x‖∞

Bemerkung. Wir werden spater sehen, daß alle Normen auf Rd aquivalent sind.

6.3 Konvergenz von Folgen in Rd

Definition 6.3.1 (beschrankt, konvergente Folgen). Eine Folge (xn) ∈ Rd heißt

1) beschrankt, falls ein k ∈ Rd existiert, so daß |xn| ≤ k ∀n ∈ N

2) konvergent gegen ein x0 ∈ Rd, falls ∀ε > 0 ein n0 ∈ N ex, so daß

|xn − x0| < ε ∀n ≥ n0.

Bezeichnung. xn → x0 fur n→∞ oder limn→∞

xn = x0.

Bemerkung. Wie in C gilt:

• konvergente Folgen sind beschrankt

• der Grenzwert ist eindeutig bestimmt, denn xn → x0 ∈ Rd ⇔ xjn → xj0 ∀j =1, . . . , d (j−te Komponente von xn bzw. x0)

Falls (xn) beschrankt/konvergent bezuglich der euklidischen Norm, dann auch bezuglichjeder aquivalenten Norm und damit bezuglich jeder Norm auf Rd.

Definition 6.3.2 (Haufungswert). x0 ∈ Rd heißt Haufungswert einer Folge (xn) ⊂ Rd,falls ∀ε > 0 gilt |xn − x0| < ε fur unendlich viele n.

Bemerkung. x0 ist Haufungspunkt einer Folge ⇔ es eine Teilfolge (xnk) gibt mit xnk

→x0. Es gelten die Rechenregeln: falls (xn) ⊂ Rd mit xn → x0 und (yn) ⊂ Rd mit yn → y0,dann gilt fur alle λ, µ ∈ R:

i) λxn + µyn → λx0 + µy0

ii) 〈xn, yn〉 → 〈x0, y0〉

49

iii) |xn| → |x0|

iv) λxn → λx0

Proposition 6.3.3 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschrankte Folge in Rd besitzt einekonvergente Teilfolge.

Beweis Sei xn = (x1n, . . . , xdn). (xn) ist beschrankt, d.h.d∑i=1

x2in ≤ C. Daher ist auch

(x1n) ⊂ R beschrankt und nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß fur R existiert eineTeilfolge (nk) und ein x1 ∈ R, so daß x1nk

→ x1. Ebenso ist (x2nk) ⊂ R beschrankt,

wieder existiert eine Teilfolge (nj) und ein x2 ∈ R, so daß x2nj→ x2. So geht es weiter,

bis es eine Teilfolge gibt nj, so daß xdnj→ xd. Insgesamt folgt: (xnj )→ x = (x1, . . . , xd).

Definition 6.3.4 (Cauchy-Folge). (xn) ⊂ Rd heißt Cauchy-Folge, falls fur alle ε > 0 einn0 ∈ N existiert, so daß

|xn − xm| < ε ∀n,m ≥ n0.

Proposition 6.3.5 (Cauchy-Kriterium). (xn) ∈ Rd konvergiert ⇔ (xn) ist Cauchy-Folge.

Beweis analog zu Proposition 4.5.2.

6.4 Topologie des Rd

Definition 6.4.1 (r-Kugel). Zu x0 ∈ Rd und r > 0 definieren wir die offene r-Kugel

Br(x0) := x ∈ R : |x− x0| < r

Definition 6.4.2 (offen). Eine Teilmenge Ω ⊂ Rd heißt offen bezuglich des Rd, falls eszu jedem x ∈ Ω ein ε > 0 gibt, so daß Bε(x) ganz enthalten ist in Ω.

Beispiel.

1) Br(x0) ⊂ Rd ist offen, denn:

Sei x ∈ Br(x0)⇒ |x− x0| < r ⇒ % := r − |x− x0| > 0;

zz: B%(x) ⊂ Br(x0), dazu sei z ∈ B%(x)⇒ |z − x0| = |z − x+ x− x0| ≤ |z − x|+ |x− x0| < %+ |x− x0| = r

2) insbesondere (a, b) ist offen in R

Definition 6.4.3 (abgeschlossen). Eine Menge A ⊂ Rd heißt abgeschlossen, falls fur alleFolgen (xn) ⊂ A mit xn → x0 ∈ Rd gilt: x0 ∈ A.

Beispiel. Die abgeschlossene r-Kugel Br(x0) =x ∈ Rd : |x− x0| ≤ r

ist abgeschlos-

sen, denn:

Sei (xn) ⊂ Br(x0) mit xn → x ∈ Rd.

50

zz: x ∈ Br(x0), dh |x− x0| ≤ r.

|x− x0| ≤ |x− xn|︸ ︷︷ ︸n→∞−−−→0

+ |xn − x0|︸ ︷︷ ︸≤r

⇒ |x− x0| ≤ r

Definition 6.4.4 (Komplement). Zu M ⊂ Rd ist das Komplement

M c :=x ∈ Rd : x /∈M

Proposition 6.4.5.

1) Ist Ω ⊂ Rd offen, dann ist Ωc abgeschlossen

2) Ist A ⊂ Rd abgeschlossen, dann ist Ac offen

Beweis

1) Annahme: Ωc nicht abgeschlossen, dh ∃(xn) ⊂ Ωc mit xn → x ∈ Rd, aber x /∈Ωc ⇒ x ∈ Ω⇒ ∃ε > 0 mit Bε(x) ⊂ Ω, aber xn ⊂ Bε(x) ∀n ≥ n0. Widerspruch

2) Annahme: Ac nicht offen ⇒ ∃x0 ∈ Ac : ∀ε > 0 : Bε(x0) 6⊂ Ac ⇒insbesondere zu 1

n∃xn ∈ A mit |xn − x0| < 1n ⇒ (xn) ⊂ A,

xn → x0 ⇒ A abgeschlossen ⇒ x0 ∈ A. Widerspruch

Korollar 6.4.6. M ⊂ Rd offen ⇔M c abgeschlossen

Proposition 6.4.7.

1) Die Vereinigung einer beliebigen Familie offener Mengen ist offen

2) Der Durchschnitt einer endlichen Familie offener Mengen ist offen

3) Der Durchschnitt einer beliebigen Familie abgeschlossener Mengenist abgeschlossen

4) Die Vereinigung einer endlichen Familie abgeschlossener Mengenist abgeschlossen

Beweis Ubungsaufgabe

Bemerkung. Rd und ∅ sind sowohl offen als auch abgeschlossen. Es gibt Mengen, dieweder offen noch abgeschlossen sind, zum Beispiel [a,b).

Definition 6.4.8 (innerer -, Rand-, Haufungs-, isolierter Punkt). Sei M ⊂ Rd. EinPunkt x0 ∈ Rd heißt

1) innerer Punkt von M , falls es ein ε > 0 gibt mit Bε(x0) ⊂M .

2) Randpunkt von M , falls jedes Bε(x0) sowohl einen Punkt aus M als auch einenPunkt aus M c enthalt.

51

3) Haufungspunkt von M , falls in jeder ε-Kugel um x0 mindestens ein (und damitunendlich viele) von x0 verschiedener Punkt aus M liegt.

4) isolierter Punkt von M , falls x0 ∈M , aber x0 kein Haufungspunkt von M ist.

Beispiel. M = (−3, 4) ∪ 15innnere Punkte: (−3, 4)Randpunkte: −3, 4, 15HP: [−3, 4]isolierte Punkte: 15

Definition 6.4.9 (Inneres, Rand, Abschluss, Durchmesser). M ⊂ Rd

1) Inneres von M : Bez: M , Menge der inneren Punkte

2) Rand von M : Bez: ∂M , Menge der Randpunkte

3) Abschluss von M : Bez: M := M ∪ ∂M

4) M heißt beschrankt : falls M ⊂ Bk(0) fur ein k > 0

5) Durchmesser von M , Bez: diam M = sup|x− y| : x, y ∈M

Beispiel. M = Br(x0)M = M∂M = x : |x− x0| = rM = Br(x0)diam M = 2r (Durchmesser)

Definition 6.4.10 (kompakt). Eine Menge heißt kompakt (K ⊂ Rd), wenn jede Folge(xn) ⊂ K eine TF besitzt, die konvergiert und deren Grenzwert in K liegt.

Bemerkung. Die Definition 6.4.10 ist eigentlich die Definition der Folgenkompaktheit.Im allgemeinen sind kompakte Mengen uber die Heine-Borel-Eigenschaft (11.6.1) cha-rakterisiert, aber im Rd sind beide Definitionen aquivalent.

Anwendung. Wan ist Kompaktheit nutzlich? Zum Beispiel, wenn man die Losung x einerGleichung G(x) = 0 in einem Vektorraum sucht.

· Suche zunachst Losung xn einer approximierten Gleichung Gn(x) = 0.

· Falls (xn) ⊂ K,K kompakt, dann ist TF (xn) und x ∈ K mitxnk→ x

· x ist Kandidat fur die Losung von G(x) = 0.

Frage: Wie kann man kompakte Teilmengen eines Vektorraumscharakterisieren?

Proposition 6.4.11 (Charakterisierung kompakter Teilmengen in Rd). Eine MengeK ⊂ Rd ist kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschrankt ist.

52

Beweis

⇒: K abgeschlosssen folgt aus Definition. Annahme: K nicht beschrankt⇒ ∀k > 0 ∃nk so daß |xnk

| > k ⇒ (xnk) besitzt keine konvergente Teilfolge.

Widerspruch zu Annahme, daß K kompakt ist.

⇐: Sei (xn) ⊂ K,K beschrankt⇒ (Bolzano-Weierstraß) ∃ konvergente Teilfolge (xnk)

mit xnk→ x ∈ Rd fur k →∞. K abgeschlossen ⇒ x ∈ K

Bemerkung. Diese Proposition ist so nur fur endlich-dimensionale Raume richtig.

Definition 6.4.12 (dicht). S ⊂M ⊂ Rd heißt dicht in M , falls ∀x0 ∈M und ε > 0 einx ∈ S ∩Bε(x0) existiert.

Beispiel. Q liegt dicht in R

53

7 Stetigkeit

7.1 Vektorraume von Funktionen

Wir definieren den Funktionenraum: F (M,Rd) : f |f : M → RdBezeichnung. d = 1 : F (M)

Wir wollen F (M,Rd) als Vektorraum auffasssen. Dazu mussen wir Addition und ska-lare Multiplikation definieren:

Addition: f, g ∈ F (M,Rd) (f + g)(x) := f(x) + g(x)

skalare Mult: λ ∈ R, f ∈ F (M,Rd) (λf)(x) := λf(x)

Bemerkung. Man pruft leicht nach, daß damit F (M,Rd) reeller Vektorraum ist.

Nullelement: f(x) ≡ 0, Inverse: zu f ist −f , definiert uber (−f)(x) = −f(x). Ebensokann man zu f, g ∈ F (M,Rd) definieren: |f |, 〈f, g〉.Beispiel.

fur Untervektorraum: P =p : R→ R| p(x) =

N∑k=0

akxk

Raum der Polynome ist Untervektorraum von F (M).

7.2 Beschrankte Funktionen und die Supremumseigenschaft

Sei M ⊂ Rd

Definition 7.2.1 (beschrankte Funktion). Eine Funktion f : M → Rd heißt beschrankt,wenn der Wertebereich f(M) in Rd beschrankt ist, d.h. falls es k ∈ R gibt mit |f(x)| ≤k ∀x ∈M .

Lemma 7.2.2 (Unterraum der beschrankten Funktionen).

B(M,Rd) =f |f ∈ F (M,Rd); f beschrankt

ist Untervektorraum von F (M,Rd)

Bezeichnung. d = 1 : B(M)

Beweis

54

1) Sei f, g ∈ B(M,Rd), d.h. |f(x)| ≤ k1 ∀x ∈M, |g(x)| ≤ k2 ∀x ∈M⇒ |(f + g)(x)| = |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ k1 + k2 ∀x ∈M⇒ (f + g) ∈ B(M,Rd)

2) Sei f ∈ B(M,Rd), λ ∈ R, |f(x)| ≤ k ∀x ∈M⇒ |(λf)(x)| = |λf(x)| = |λ||f(x)| ≤ |λ|k⇒ (λf) ∈ B(M,Rd)

Definition 7.2.3 (Supremumsnorm). Zu f ∈ B(M,Rd) definieren wir die Supremums-norm

‖f‖∞ := sup|f(x)| : x ∈M=sup |f |= supx∈M|f(x)|

Beweis Man pruft nach, daß dadurch eine Norm auf B(M,Rd) definiert ist.

Beispiel.

1) f : R→ R, f(x) = x2 ist nicht beschrankt auf R

2) f : [a, b] ⊂ R→ R, f(x) = x2 ist beschrankt, ‖f‖∞ = max(|a|2, |b|2)

3) f : R→ R, f(x) = 11+x2 ist beschrankt, ‖f‖∞ = 1

4) f : R2\0 → R, f(x, y) = xyx2+y2

ist beschrankt, denn

· |f(x, y)| ≤ |x||y|x2+y2

≤12(x2+y2)

x2+y2≤ 1

2

· (x, y) = (1, 1)⇒ f = 12 ⇒ ‖f‖∞ = 1

2

Definition 7.2.4 (Oszillation). Zu f ∈ B(M,Rd) und E ⊂M definieren wir die Oszil-lation von f auf E uber

osc(f,E) = sup|f(x)− f(y)| : x, y ∈ E

Bemerkung. Fur d = 1 : osc(f,E) = supEf − inf

Ef

Beispiel. (Signumfunktion)

sgn(x) :=

1 x > 00 x = 0

-1 x < 0

osc(sgn, (0,∞)) = 0osc(sgn, [0,∞)) = 1osc(sgn, [a, b]) = 2 fur a < 0 < b

55

7.3 Grenzwerte von Funktionen

Sei M ⊂ Rd, nicht-leer, x0 sei HP von M

Definition 7.3.1 (Grenzwert von f). Sei f : M → Rd. Wir sagen f(x)konvergiert gegen a ∈ Rd fur x → x0 in M , falls ∀ε > 0 ein δ > 0 existiert, so daß|f(x)− a| < ε ∀x ∈M mit |x− x0| < δ.

Bezeichnung. f(x)→ a fur x→ x0 oder limx→x0

f(x) = a

Proposition 7.3.2 (Folgenbedingung). Es gilt limx→x0

f(x) = a genau dann, wenn fur

alle Folgen (xn) ⊂M mit xn → x0 gilt: f(x)→ a.

Beweis

⇒: X

⇐: Annahme: limx→x0

f(x) existiert nicht ⇒ ∃ε > 0 so daß ∀n ∈ N ein xn existiert mit

|xn − x0| < 1n aber |f(xn)− a| > ε. Widerspruch.

Proposition 7.3.3 (Rechenregeln). Sei f, g ∈ F (M ; Rd) und es gelte limx→x0

f(x) = a

und limx→x0

g(x) = b, dann gilt:

i) limx→x0

(λf + µg)(x) = λa+ µb ∀λ, µ ∈ R

ii) limx→x0

〈f(x), g(x)〉 = 〈a, b〉

und falls d = 1:

iii) limx→x0

f(x)g(x) = ab

iv) limx→x0

f(x)g(x) = a

b falls b 6= 0 und g(x) 6= 0

Beweis folgt aus Satz 7.3.2 und Rechenregeln fur Folgen

Proposition 7.3.4 (Majorante und Einschlussregel).

1) Sei f ∈ F (M,Rd) und g ∈ F (M,R). Es gelte |f(x)| ≤ k · g(x) fur eink ∈ R ∀x ∈M. Falls lim

x→x0

g(x) = 0, dann gilt auch limx→x0

f(x) = 0.

2) Sei f, g ∈ F (M), es gelte: f(x) ≤ g(x) ∀x ∈M undlimx→x0

f(x) = a, limx→x0

g(x) = b. Dann folgt: a ≤ b.

3) Sei f, g, h ∈ F (M), es gelte: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈M undlimx→x0

g(x) = a und limx→x0

h(x) = a⇒ limx→x0

f(x) = a.

56

Beweis Folgt wieder aus Satz 7.3.2 und Rechenregeln fur Folgen, zur Ubung beweisenwir 1. uber ε−δ−Kriterium: Gegeben: ε > 0⇒ ∃δ > 0 : 0 < g(x) < ε

k ∀x mit |x−x0| < δ⇒ |f(x)| ≤ k · g(x) < ε ∀x mit |x− x0| < δ.

Beispiel.

1) z ∈ C ' R2 (Identitat), f : R2 → R2, f(z) = z.Es gilt lim

z→z0f(z) = f(z0) ∀z0, d.h. f ist stetig, denn

|f(z)− f(z0)| = |z − z0| ⇒ zu ε > 0 wahle δ = ε⇒ |f(z)− f(z0)| < ε fur |z − z0| < δ

2) sgn : R→ R, sgn(x) =

1 x > 00 x = 0

-1 x < 0⇒ lim

x→x0

sgn(x) = 1 fur x0 > 0

limx→x0

sgn(x) = −1 fur x0 < 0

Behauptung. limx→0

sgn(x) existiert nicht!, denn | sgn(x)−sgn(y)| = 2 fur x > 0, y < 0aber rechts- bzw linksseitiger Grenzwert existiert.

Definition 7.3.5 (rechtsseitiger Grenzwert). Sei M ⊂ R, f ∈ F (M,Rd), sei (x0, β) ⊂M . Wir sagen, der rechtsseitige Grenzwert von f in x0 existiert und ist gleich a ∈ Rd,falls ∀ε > 0 ein δ > 0 existiert (mit x0+δ < β) so daß |f(x)−a| < ε ∀xmit 0 < x−x0 < δ.

Bezeichnung.

limxx0

f(x) = a, limx→x0+0

f(x) = a, f(x)→ a fur x→ x0 + 0

entsprechend linksseitiger Grenzwert: limxx0

f(x) = a.

Beispiel.

1) limx0

sgn(x) = 1, limx0

sgn(x) = −1

2) limx0

√x = 0

Proposition 7.3.6. Unter der Voraussetzung von Definition 7.3.1 gilt: limx→x0

f(x)

existiert genau dann, wenn links- und rechtseitiger Grenzwert existieren und gleich sind.

Definition 7.3.7 (Grenzwert bei ∞). Sei M ⊂ Rd und (β,∞) ⊂M . Sei f ∈ F (M,Rd).Wir sagen f(x) strebt gegen ein a ∈ Rd fur x→∞, falls fur alle ε > 0 ein k ∈ R existiert,so daß |f(x)− a| < ε ∀x > k.

Aquivalent dazu ist limy→0

f( 1y ) = a.

Bezeichnung. f(x)→ a fur x→∞ oder limx→∞

f(x) = a

Beispiel.

57

1) 1xn → 0 fur x→∞

2) limx→∞

2x+13x+4 = 2

3 , denn 2x+13x+4 = 2+ 1

x

3+ 4x

→ 23

3) Sei a > 0 :

√x+ a−

√x =

√x+ a+

√x√

x+ a+√x

(√x+ a−

√x)

=a√

x+ a+√x≤ a

2√x

x→∞−−−→ 0

Definition 7.3.8 (uneigentlicher Grenzwert). M ⊂ Rd, f ∈ F (M), x0 ∈M,Br(x0) ⊂Mfur ein r > 0. Wir sagen f(x) strebt gegen ∞ (bzw. −∞) fur x → x0, falls ∀k ∈ R einδ > 0 existiert, so daß

f(x) > k (f(x) < k) ∀x ∈ Bδ(x0)

Bezeichnung. limx→x0

f(x) =∞ (bzw −∞)

Entsprechend. limx→∞

f(x) =∞ (bzw −∞), limx→−∞

f(x) =∞ (bzw −∞)

Beispiel. limx→0

1|x| =∞, x ∈ Rd

Definition 7.3.9 (monotone Funktionen). Sei f : M ⊂ R→ R : f heißta) streng monoton wachsend [fallend], falls f(x) < f(y)

[f(x) > f(y)] ∀x < yb) monoton wachsend [fallend], falls f(x) ≤ f(y)

[f(x) ≥ f(y)] ∀x < y

Proposition 7.3.10 (fur monotone Funktionen existieren einseitige Grenzwerte). Furf : [a, b] → R, f monoton, existiert rechts- und linksseitiger Grenzwert in jedem x0 ∈(a, b). Falls f monoton, so gilt:

supa<x<x0

f(x) = limxx0

f(x) ≤ f(x0) ≤ limxx0

f(x) = infx0<x<b

f(x)

Beweis

Sei γ := sup(a,x0)

f . Da ∀x < x0 : f(x) ≤ f(x0), folgt γ ≤ f(x0).

Nach Definition existiert fur alle ε > 0 ein y ∈ (a, x0), so daß γ − ε < f(y) ≤ γDamit ist ∀x ∈ (y, x0) : γ − ε < f(x) ≤ γ. Es folgt direkt lim

xx0

f(x) = γ.

Proposition 7.3.11 (Cauchy-Kriterium fur Existenz des Grenzwertes).

Sei f ∈ F (M,Rd). Dann existiert limx→x0

f(x) genau dann, falls fur alle ε > 0 ein δ > 0

existiert, so daß∀x, y ∈ Bδ(x0) : |f(x)− f(y)| < ε

58

In anderen Worten: limx→x0

osc(f,Bδ(x0)) = 0

Beweis ahnlich wie Cauchy-Kriterium fur Folgen

Beispiel.

Sei f : R2\(0, 0)→ R, f(x, y) = 2xyx2+y2

Frage. Existiert lim(x,y)→(0,0)

?

Nein, denn: f(0, y) = 0, ebenso f(x, 0) = 0, aber f(x, x) = 1 ∀x⇒ sup

Bδ(0,0)|f(x0, y0)− f(x, y)| ≥ 1

⇒ lim existiert nicht nach Cauchy-Kriterium.

7.4 Stetige Funktionen

M ⊆ Rm,M 6= ∅, f : M → Rd

Definition 7.4.1 (stetig). Eine Funktion f : M → Rd heißt stetig in x0 ∈ M , falls∀ε > 0 ein δ = δ(ε, x0) > 0 existiert, so daß |f(x)− f(x0)| < ε ∀x mit |x− x0| < δ.

Bemerkung.

• | · | meint eukl Norm (jede andere Norm tut es auch)

• f : M → Rd heißt stetig, falls f in jedem Punkt x0 ∈M stetig ist

• C0(M,Rd) =f : M → Rd stetig auf M

;C0(M) = C0(M,Rd)

• Definition fur f : N ⊆ C→ C analog

Proposition 7.4.2 (Folgenstetigkeit). f : M → Rd ist stetig in x0 ∈M gdw limx→x0

f(x) =

f(x0).

Beweis X

Bemerkung. Sei x0 isoliert in M , dann ist jede Funktion f : M → Rd in x0 stetig.

Beispiel.

1) f : C→ C; f(z) = az, a ∈ C, sei z0 ∈ C, a 6= 0|f(z0)− f(z)| = |a||z0 − z|; fur gegebenes ε wahlen δ := ε

|a| ;dann gilt: |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− f(z0)| < ε; f ist stetig in z0.

2) f : M ⊆ R→ R, f(x) = x2, f ist stetig in jedem x0 ∈M , denn:|x2−x2

0| = |x+x0||x−x0|. Fur |x−x0| < 1⇒ |x+x0| ≤ 1+2|x0| ⇒ fur gegebenesε > 0 wahlen wir δ = min

1, ε

1+2|x0|

, d.h. |x− x0| < δ ⇒ |x2 − x2

0| < ε.

3) jedes Polynom f : M ⊆ R→ R ist stetig

59

4) f : R→ R; f = sgn; f(x) =

1 fur x > 00 fur 0

-1 fur x < 0

5) Dirichlet-Funktion: f : R→ R; f(x) =

1 fur x ∈ Q0 fur x ∈ R\Q

Diese Funktion ist nirgends stetig

6) f : R→ R; f(x) =

x fur x ∈ Q0 fur x ∈ R\Q

f ist stetig in x0 ⇔ x0 = 0

Proposition 7.4.3 (Rechenregelen).

1) f, g : M → Rd stetig in x0 ⇒ λf + µg : M → Rd stetig in x0 (λ, µ ∈ R)

2) f, g : M → Rd stetig in x0 ⇒ 〈f, g〉 : M → R stetig in x0

3) f, g : M → R stetig in x0 mit g(x0) 6= 0⇒ fg : M → R stetig in x0

Proposition 7.4.4. M ⊂ Rm;N ⊂ Rn; f : M → N, g : N → Rd;x0 ∈M ;h : M → Rd.Sei h = g h. Weiter sei f stetig in x0, g stetig in f(x0). Dann ist h stetig in x.

Beweis (mit Folgenstetigkeit)

Sei (xn) ⊂ M mit xn → x0. Da f stetig ist, gilt f(xn) → f(x0). Da g stetig ist, giltebenso g(f(xn))→ g(f(x0)). Zusammen gilt h(xn)→ h(x0), damit ist h stetig in x0.

Definition 7.4.5 (Umkehrfunktion). Sei f : M ⊂ Rm → N ⊂ Rn bijektiv, dannexistiert genau eine Abbildung g : N →M , so daß

f g = Id : N → N, g f = Id : M →M.

g heißt die Inverse (Umkehrabbildung) zu f .

Bezeichnung. g = f−1, (g(f(x)) = x, f(g(y)) = y)

Beispiel. f(x) = ex, g(y) = ln y

Proposition 7.4.6. Sei f : K ⊂ Rm → Rd stetig in x0, sei K kompakt, sei f auf ganzK invertierbar. Dann ist f−1 : f(K) ⊂ Rd → K stetig in f(x0).

Beweis Sei (yk)k ⊂ f(K) eine Folge mit ykk→∞−−−→ f(x0). Zu dieser existiert eine Folge

(xk) mit yk = f(xk) ∀k. Zu zeigen ist:

f−1(yk) = xkk→∞−−−→ f−1(f(x0)).

Da K kompakt ist, existiert eine Teilfolge (xkl)l mit xkl

l→∞−−−→ x0 ∈ K. Angenommen,

daß xkk→∞−−−→ x0 ware falsch, wobei x0 6= x0. Weil aber f stetig ist, gilt f(xkl

) l→∞−−−→f(x0), und ebenfalls ykl

l→∞−−−→ f(x0). ⇒ f(x0) = f(x0). Dies ist ein Widerspruch zurInvertierbarkeit von f .

60

Beispiel. Kompaktheit in Satz 2 wesentlich, wie das folgende Beispiel zeigt:

[0, 1) = M ⊂ R1,Rd = R2, f : M → R2 : f(x) = (cos 2πx, sin 2πx)

f ist stetig, f : M → f(M) ⊂ R2 bijektiv. Inverse Abbildung ist unstetig in f(0).

Definition 7.4.7 (Homoomorphismus). Sei f : M ⊂ Rm → N ⊂ Rn bijektiv (d.h.N = f(M)). f heißt Homoomorphismus∗, falls sowohl f als auch f−1 : N → M stetigsind.

Bemerkung. Satz 7.4.6 zeigt, sei f : K ⊂ Rm → Rd stetig und injektiv, dann ist f : K →f(K) ein Homoomorphismus.

Definition 7.4.8 (Lipschitz-stetig). f : M ⊂ Rm → Rd heißt Lipschitz-stetig auf M ,falls es ein Konstante L > 0 gibt, so daß

∀x, y ∈M : |f(x)− f(y)|Rd ≤ L|x− y|Rm .

Bemerkung.

• kleinste mogliche Konstante L heißt Lipschitz-Konstante von f

• falls L < 1, so heißt f auch Kontraktion

• Lipschitz-Sstetigkeit ⇒ Stetigkeit (6⇐)

Beispiel.

1) f : Rm → R; f(x) = 〈a, x〉 , a ∈ Rm, f Lipschitz-stetig wegen Cauchy-Schwarzscher-Ungleichung:

| 〈a, x〉 − 〈a, y〉 | = | 〈a, x− y〉 | ≤ |a||x− y| ⇒ L = |a|

2) f : R→ R mit f(x) = x2 ist nicht Lipschitz-stetig auf R, aber auf jedem kompaktenIntervall:

|x2 − y2| ≤ |x− y||x+ y| ≤ 2(maxx∈I|x|)|x− y|

7.5 Der Zwischenwertsatz

Proposition 7.5.1. Sei f : [a, b]→ R stetig mit (oBdA) f(a) ≤ f(b). Dann gibt es zujedem c ∈ [f(a), f(b)] mindestens ein x ∈ [a, b] so daß f(x) = c gilt.

Beweis Sei M := x|a < x ≤ b; f(x) ≥ c. M ist nicht-leer und nach unten beschrankt.Sei x0 := infM . Nun existiert eine Folge (xn) ⊂ M mit xn

n→∞−−−→ x0. Da f stetig ist,gilt auch f(xn)

n→∞−−−→ f(x0). Damit gilt auch f(x0) ≥ c. Wir nehmen nun an, es seif(x0) > c und setzen

ε :=f(x0)− c

3> 0.

∗vom griechischen homoos = ahnlich

61

Wir wahlen ein δ > 0 so daß |f(x)− f(x0)| < ε falls |x− x0| < δ, ohne Einschrankungist δ ≤ x0−a

2 , d.h. x1 := x0 − δ > a. Nun gelten die Ungleichungen

|f(x1)− f(x0)| ≤f(x0)

3− c

3

⇒ f(x1) ≥23f(x0) +

c

3> c.

D.h. x1 = x0 − δ ∈M . Dies ist ein Widerspruch zu x0 = infM , also ist f(x0) = c.

Korollar 7.5.2. Jedes Polynom P : R→ R der Form P (x) = xn−α, n ∈ N, α ∈ R, α > 0besitzt mindestens eine Nullstelle (in R).

Beweis

· P (0) = −α < 0, P (1 + α) = (1 + α)n − α ≥ 1 + nα− α ≥ 1 > 0, P ist stetig

· I[0, 1 + α] ⊂ R, 0 ∈ [P (0), P (1 + α)]

· Nach ZWS existiert ein x ∈ [0, 1 + α] mit P (x) = 0

Korollar 7.5.3 (einfacher Fixpunktsatz). Sei f : [a, b] ⊂ R → [a, b] stetig. Dann besitztf mindestens einen Fixpunkt in [a, b], d.h. es existiert mindestens ein x0 ∈ [a, b] mitf(x0) = x0.

Beweis Wir definieren g : [a, b] → R durch g(x) = f(x) − x (x = f(x) ⇔ g(x) = 0).Es gilt g(a) = f(a) − a ≥ 0, g(b) = f(b) − b ≤ 0, also 0 ∈ [g(a), g(b)]. Da g eine stetigeAbbildung ist, existiert nach dem ZWS ein x0 ∈ [a, b] so daß g(x0) = 0.

Korollar 7.5.4. Sei f : [a, b]→ R stetig mit f(a) < f(b), und sei f : [a, b]→ [f(a), f(b)]bijektiv. Dann ist f streng monoton wachsend.

Beweis Wir fuhren einen indirekten Beweis: Angenommen, es existiert x, y ∈ [a, b] mitx < y und f(x) ≥ f(y). Dann gilt:

· f(x) > f(y) (weil f injektiv)

· f(y) > f(a) (weil f : [a, b]→ [f(a), f(b)], d.h. f(x) > f(y) > f(a))

Sei I := [a, x], f |I : I → R ist stetig. Nach dem ZWS existiert ein x1 ∈ [a, x] so daßf(x1) = f(y), d.h. f(x1) = f(y) fur x1 < x < y ⇒ Widerspruch zur Injektivitat.

7.6 Exponentialfunktion & Logarithmus

Erinnerung:

exp(x) :=∞∑k=0

xk

k!= ex

62

Proposition 7.6.1. exp : R → R (ist wohldefiniert nach dem Abschnitt uber Potenz-reihen) hat die folgenden Eigenschaften:

1) exp(x) > 0 ∀x

2) exp ist streng monoton wachsend

3) exp ist stetig

4) exp : R→ R+ ist bijektiv

Erinnerung: exp(x+ y) = exp(x) exp(y)

Beweis

1) · sei x > 0 :∞∑k=0

xk

k! = x0

0! + x1

1! + . . . = 1 + x+ . . . ≥ 1 + x > 1 > 0

· sei x = 0⇒ exp(x) = 1· sei x < 0 : exp(x) exp(−x) = exp(x− x) = 1⇒ exp(x) = 1

exp(−x) > 0

2) sei y > x, d.h. y = x+ h mit h = y − x > 0

⇒ exp(y) = exp(x+ h) = exp(x)︸ ︷︷ ︸>0

· exp(h)︸ ︷︷ ︸>1

> 1 · exp(x)

⇒ streng monoton wachsend.

3) · sei δ > 0 mit δ ≤ 12 ⇒ exp(δ) ≤ 1 + 2δ, denn NR:

exp(δ) = 1 + δ +∞∑k=2

δk

k!= 1 + δ + δ2

∞∑k=2

δk−2

k!

< 1 + δ + δ2

( ∞∑k=2

δk−2

)= 1 + δ + δ

(δ

1− δ

)

= 1 + δ + δ

(1

1δ − 1

)⇒ fur δ ≤ 1

2⇒ 1

δ≥ 2⇒ 1

δ− 1 ≥ 1

⇒ exp(δ) ≤ 1 + δ + δ(1) = 1 + 2δ

· seien x0, x ∈ R

| exp(x)− exp(x0)| ≤ | exp(x0)(exp(x− x0)− 1)|= exp(x0)| exp(x− x0)− 1|≤ exp(x0)| exp |x− x0| − 1|

63

fur |x− x0| ≤ 12 gilt:

| exp(x)− exp(x0)| ≤ | exp(x0)(1 + 2|x− x0| − 1)≤ exp(x0)2|x− x0|

D.h. fur x→ x0 gilt | exp(x)− exp(x0)| → 0, also ist exp im Punkt x0 stetig.

4) · Injektivitat von exp : R→ R+ klar, wegen Monotonie

· zur Surjektivitat sei y ∈ R+ fix, Ziel: finden x so daß exp(x) = y

· sei y ≥ 1, Betrachten I[0, y], exp(0) = 1 ≤ y, exp(y) ≥ 1 + y

· nach dem ZWS existiert ein x ∈ [0, y] mit exp(x) = y.

· sei y < 1 (y > 0); es existiert ein x > 0 so daß exp(x) = 1y , d.h. exp(−x) =

1exp(x) = y

Korollar 7.6.2. Es existiert die Inverse zu exp : R → R+, genannt der naturliche Loga-rithmus ln : R+ → R, mit den folg. Eigenschaften:

1) y = exp(x)⇔ x = ln y ∀x ∈ R ∀y ∈ R+, 1 = exp(0)⇔ 0 = ln 1

2) ln : R+ → R ist bijektiv & und streng monoton wachsend

3) ln(y1 · y2) = ln y1 + ln y2 ∀y1, y2 ∈ R+

Beweis X

Bemerkung.

limx→+∞

ex = +∞, limy→∞

ln y =∞, limx→0

ex − 1x

= 1

limx→−∞

ex = 0, limy0

ln y = −∞, limy→0

ln(1 + y)y

= 1

7.7 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen

f : K ⊂ Rm → Rd,K kompakt

Proposition 7.7.1. f stetig, K kompakt ⇒ f(K) kompakt

Beweis Sei (yn)n ⊂ f(K) eine Folge mit yn = f(xn), wobei (xn) ⊂ K. Da K kom-pakt ist, konnen wir eine Teilfolge wahlen (nk)k so daß xnk

k→∞−−−→ x0 mit x0 ∈ K. Da

weiterhin f stetig ist, folgt ynk= f(xnk

) k→∞−−−→ y0 = f(x0).

Proposition 7.7.2 (Satz vom Minimum und Maximum, Weierstraß). Sei f : K ⊂Rm → R stetig und K kompakt. Dann existieren x, x ∈ K so daß

64

f(x) = minf(x) : x ∈ K (d.h. x ist Minimalstelle)

f(x) = maxf(x) : x ∈ K

Beweis f(K) ⊂ R ist kompakt, also insbesondere beschrankt. Damit existieren m =inff(x) : x ∈ K und m = supf(x) : x ∈ K, wobei m,m ∈ R. Wir zeigen, daß mangenommen wird: Es existiert eine Folge (xn)n ⊂ K so daß f(xn)

n→∞−−−→ m. Weil Kkompakt ist, existieren ein Teilfolge (nk)k und ein x0 ∈ K so daß xnk

k→∞−−−→ x0. Weil fstetig ist, gilt:

mk→∞←−−− f(xnk

) k→∞−−−→ f(x0).

Also ist x0 = x. Analog zeigt man dies fur m.

Bemerkung. Kompaktheit & Stetigkeit sind wesentlich in Satz 7.7.2.

Beispiel.

1) f : (0, 1)→ R, f(x) = 1x 1 < f(x) <∞

⇒ f hat auch (0, 1) weder Max noch Min. (f stetig, aber nicht kompakt)

2) f : R→ R Sei f(x) = x, hat weder Max noch Min.

3) f : [−1, 1]→ R, f(x) =

1x fur x 6= 0, wohldefiniert auf [-1,1]0 fur x = 0

f hat weder Maximum noch Minimum, f ist aber unstetig in 0.

Proposition 7.7.3. Alle Normen sind auf Rn aquivalent

Beweis Sei ‖ · ‖ Norm auf Rn, genugt zz daß ‖ · ‖ zu | · | aquivalent ist.

1) Ubungsaufgabe 37. Jede Norm ist Lipschitz-stetig⇒ ‖x− y‖ ≤ L|x− y| ∀x, y ∈ Rn

⇒ (y = 0) ‖x‖ ≤ L|x| ∀x ∈ Rn

2) λ := inf‖x‖ : x ∈ Sn−1Sn−1 = x ∈ Rn : |x| = 1Sn−1 ist beschrankt und abgeschlossen ⇒ Sn−1 kompakt⇒ (Satz 7.7.2) ∃x0 ∈ Sn−1 so daß λ = ‖x0‖ ;x0 ∈ Rn beliebig, x0 6= 0⇒ λ ≤

∥∥∥ x|x|

∥∥∥ = 1|x| ‖x‖ ⇒ ‖x‖ ≥ λ|x|

Definition 7.7.4 (Distanzfunktion). M ⊂ Rn,M 6= ∅

dist(x,M) := inf|x− a| | a ∈M

heißt Distanzfunktion.

Bemerkung. Falls M kompakt, so folgt aus Satz 7.7.2, daß ein a ∈ M existiert, so daßdist(x,M) = |x− a|.

65

Proposition 7.7.5. dist(·,M) ist Lipschitz-stetig mit L = 1, d.h.

|dist(x,M)− dist(y,M)| ≤ |x− y| ∀x, y ∈ Rn

Beweis

dist(x,M) ≤ |x− a| = |x− y + y − a| ≤ |x− y|+ |y − a| ∀a ∈M .

Wahle a so, daß |y − a| ≤ dist(y,M) + ε fur ε > 0.

⇒ dist(x,M) ≤ |x− y|+ dist(y,M) + ε

⇒ dist(x,M)− dist(y,M) ≤ |x− y|+ ε

analog zeigt man dist(y,M)− dist(x,M) ≤ |x− y|+ ε.

Definition 7.7.6 (Abstand von Mengen). A,B ⊂ Rn, nicht-leer

dist(A,B) = infdist(x,B) : x ∈ A

heißt kleinster Abstand von A zu B.

Bemerkung. FallsA,B ⊂ Rn kompakt sind, so existieren a ∈ A, b ∈ B, so daß dist(A,B) =|a− b|.Beispiel. fur A,B nicht kompakt: A =

(x, y) ∈ R2|y ≤ 0

B =

(x, y) ∈ R2|y ≥ 1

1+x2

⇒ dist(A,B) = 0, aber das Infimum wird nirgendwo angenommen.

7.8 Gleichmaßige Stetigkeit:

Definition 7.8.1 (gleichmaßig stetige Funktionen). Eine Funktion f : M ⊂ Rd heißtgleichmaßig stetig auf M , falls ∀ε > 0 ein δ > 0 existiert, so daß

|f(x)− f(y)| < ε ∀x, y ∈M mit |x− y| < δ gilt .

Kurz: ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x, y ∈M mit |x− y| < δ : |f(x)− f(y)| < ε

Bemerkung.

• Gleichmaßig stetige Funktionen sind stetig, insbesondere kann δ unabhangig vonx0 gewahlt werden.

• Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmaßig stetig, insbesondere kann man δ ex-plizit angeben: δ = ε

L .

Beispiel. (stetige Funktion, die nicht gleichmaßig stetig sind)

Sei f : I = (0, 1]→ R; f(x) = 1x

Behauptung. f ist auf (0, 1] nicht gleichmaßig stetig.

Beweis

66

Zz: ∃ε > 0 : ∀δ > 0 : ∃x, y mit |x− y| < δ : |f(x)− f(y)| ≥ ε.Sei ε = 1

2 , x ∈ (0, 12 ], y = 2x⇒ |x− y| = x.

Somit ist |f(x)− f(y)| =∣∣ 1x −

12x

∣∣ = 12x ≥ 1 > ε

Proposition 7.8.2. Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist dort auchgleichmaßig stetig.

Beweis

Annahme: Behauptung ist falsch.

⇒ ∃ε > 0 : ∀δ > 0 : ∃x, y mit |x− y| < δ : |f(x)− f(y)| ≥ ε⇒ zu δ = 1

n existiert xn, yn mit |xn − yn| < 1n : |f(xn)− f(yn)| ≥ ε

Definitionsbereich K von f ist kompakt

⇒ ∃ Teilfolge nk, so daß xnk→ x0, ynk

→ x0 fur k →∞⇒ (f ist stetig) |f(xnk

)− f(ynk)| → 0. Widerspruch.

Beispiel. f : R→ R, f(x) = x2, f ist nicht gleichmaßig stetig auf R, aber auf [a, b] ⊂ R

7.9 Punktweise Konvergenz & ihre Problematik

Sei M ⊂ Rn, wir betrachten Funktionenfolgen fn : M → Rd

Definition 7.9.1 (Punktweise Konvergenz). Wir sagen (fn) ⊂ F (M,Rd) konvergiertpunktweise, falls der Limes

limn→∞

fn(x)

fur alle x ∈M existiert.

f(x) := limn→∞

fn(x) heißt der punktweise Grenzwert/Limes von fn.

Problem. Gute Eigenschaften bleiben oft unter punktweiser Konvergenz nicht erhalten,zum Beispiel Stetigkeit.

Beispiel.

fn : [0, 1]→ R, fn(x) = xn →

0 x ∈ [0, 1)1 x = 1

=: f(x)

Also ist fn stetig ∀n, aber f nicht.

Beispiel. dafur, daß zwei Grenzprozesse im allgemeinen nicht vertauscht werden konnen:

1 = limn→∞

limx1

fn(x) 6= limx1

limn→∞

fn(x) = 0

Einfuhrung eines strengeren Konvergenzbegriffes vermeidet dies.

Merkregel. Zwei Grenzprozesse lassen sich vertauschen, wenn einer gleichmaßig im an-deren ist.

67

7.10 Gleichmaßige Konvegenz und Stetigeit

Definition 7.10.1 (gleichmaßige Konvergenz).

Eine Folge (fn) ⊂ F (M,Rd) konvergiert gleichmaßig gegen f ∈ F (M,Rd), falls

‖fn − f‖∞ = supx∈M|fn(x)− f(x)| n→∞−−−→ 0.

Anders ausgedruckt bedeutet dies

∀ε ∃n0 : ∀n ≥ n0 ∀x ∈M : |fn(x)− f(x)| < ε.

Unterschied zu punktweiser Konvergenz:

∀x ∈M : ∀ε ∃n0 = n0(ε, x) ∀n ≥ n0 : |fn(x)− f(x)| < ε.

Bezeichnung. fn → f glm

Bemerkung. In Definition 7.10.1 muss nicht gelten ‖fn‖∞ <∞, ‖f‖∞ <∞.

7.10.1 Geometrische Interpretation

Gleichmaßige Konvergenz bedeutet, daß alle fn fur n ≥ n0 im ganzen Definitionsbereichin ε-Streifen um f liegen. Dies gilt nicht fur fn(x) = xn auf [0, 1]. Da aus gleichmaßigerKonvergenz die punktweise Konvergenz folgt, kommt als Grenzfunktion nur

f =

1 x = 10 x ∈ [0, 1)

in Frage. Aber Konvergenz ist nicht gleichmaßig.

Beispiel.

fn : [0, 1]→ R mit fn(x) =

1-nx x ∈ [0, 1n ]

0 x ∈ ( 1n , 1]

Damit bildet wie folgt ab: fn(x)→

0 x ∈ (0, 1]1 x = 0

=: f(x)

Frage: fn → f gleichmaßig?

gleichmaßige Konvergenz:

∀ε > 0 ∃n0 ∀x ∈ [0, 1] ∀n ≥ n0 : |fn(x)− f(x)| < ε

⇒ |fn(x)− f(x)| = 1− nx < ε⇔ n >1− εx

⇒ n muss immer gewahlt werden, falls x→ 0⇒ Konvergenz ist nicht gleichmaßig

68

aber:

fn → f gleichmaßig auf [a, 1] fur a > 0, denn zu ε > 0 wahle n0 >1− εa

⇒ supx∈[a,1]

|fn(x)− f(x)︸︷︷︸=0

| < ε

Proposition 7.10.2 (Cauchy-Kriterium). fn : M ⊂ Rd → Rd konvergiert gleichmaßiggegen ein f : M → Rd genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N ex, so daß‖fn − fm‖∞ < ε ∀n,m ≥ n0.

Beweis

⇒: Da fn gleichmaßig gegen f konvergiert, existiert zu ε > 0 ein n0, so daß gilt

‖fn − f‖∞ <ε

2∀n ≥ n0.

Somit gilt weiter

‖fn − fm‖∞ ≤ ‖fn − f‖∞ + ‖fm − f‖∞ < ε ∀n,m ≥ n0.

⇐: zu ε > 0 : ‖fn − fm‖∞ < ε ∀n,m ≥ n0

1) (Identifizierung des Grenzwertes)

Insbesondere: |fn(x)− fm(x)| < ε ∀n,m ≥ n0 ∀x ∈M (*)⇒ (fn(x)) ist Cauchy-Folge in Rd ∀x ∈M⇒ f(x) := lim

n→∞fn(x) existiert

2) (Konvergenz fn → f gleichmaßig)Aus (*) folgt |fn(x)− f(x)| = lim

m→∞|fn(x)− fm(x)| < ε

∀x ∈M,∀n ≥ n0. D.h. ‖fn − f‖∞ < ε ∀n ≥ n0.

Proposition 7.10.3 (Der gleichmaßige Limes stetiger Funktionen ist stetig).

Sei (fn) ⊂ C0(M,Rd) und es gelte fn → f gleichmaßig auf M . Dann ist auch f stetig,d.h. f ∈ C0(M,Rd)

Beweis Sei x0 ∈M , sei ε > 0⇒ ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 : |fn(x)−f(x)| < ε3 fur alle x ∈M.

Da fn0 stetig ist ⇒ ∃δ : |fn0(x)− fn0(x0)| < ε3 ∀x mit |x−x0| < δ. Damit berechnen wir

|f(x)− f(x0)| = |f(x)− fn0(x) + fn0(x)− fn0(x0)− fn0(x0)− f(x0)|≤ |f(x)− fn0(x)|︸ ︷︷ ︸

< ε3

+ |fn0(x)− fn0(x0)|︸ ︷︷ ︸< ε

3

+ |fn0(x0)− f(x0)|︸ ︷︷ ︸< ε

3

< ε

fur alle x mit |x− x0| < δ

69

Bemerkung.

• Falls K ⊂ Rn kompakt, f ∈ C0(K,Rd)

⇒ ‖f‖∞ = supx∈K|f(x)| = max

x∈K|f(x)| <∞

⇒ C0(M,Rd) mit ‖·‖∞ ist Vektorraum.

• Satz 7.10.3 impliziert, daß C0(M,Rd) mit ‖·‖∞ vollstandig ist, d.h. jede Cauchy-Folge in C0(K,Rd) hat einen Grenzwert in C0(K,Rd)

• Die Umkehrung von Satz 2 ist im allgemeinen nicht richtig, d.h. falls fn und fstetig, fn → f , dann muss die Konvergenz nicht gleichmaßig sein.

aber es gilt:

Proposition 7.10.4 (Satz von Dini). K ⊂ Rn sei kompakt, (fn) sei Folge stetiger Funk-tionen auf K mit Werten in R : fn(x) ≤ fn+1(x) ∀n,∀x ∈ K (oder fn+1(x) ≤ fn(x) ∀n)und fn(x)→ f(x) ∀x ∈ K; f sei stetig. Dann ist die Konvergenz auch gleichmaßig.

Beweis

Nach Voraussetzung ist f1(x) ≤ f2(x) ≤ . . . ∀x ∈ K ⇒ fn(x) ≤ f(x) ∀n, ∀x⇒ |f(x)− fn+1(x)| ≤ |f(x)− fn(x)| ⇒ an+1 = ‖f − fn+1‖∞ ≤ an⇒ an ist monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen

⇒ an → a ≥ 0 fur n→∞. Falls a = 0, folgt die Behauptung.

Annahme. Es ist a > 0.

Wegen der Monotonie von (an) ist an = ‖f − fn‖∞ ≥ a > 0. Da K kompakt ist und fund fn stetig sind, existiert eine Folge xn ∈ K, fur die

|f(xn)− fn(xn)| = ‖f − fn‖∞ ≥ a > 0

gilt. Weiterhin folgt aus der Kompaktheit von K, daß es eine Teilfolge gibt (xnk) und

ein x0 ∈ K mit xnk→ x0 fur k → ∞. Wegen der Konvergenz der fn konnen wir zu

ε ∈ (0, a) ein n0 wahlen, so daß

|f(x0)− fn(x0)| <ε

3∀n ≥ n0.

Wegen der Stetigkeit von f konnen wir zu diesem ε ein δ > 0 wahlen, so daß

1) |f(x)− f(x0)| < ε3 ∀x mit |x− x0| < δ

2) fn0(x)− fn0(x0)| < ε3 ∀x mit |x− x0| < δ

70

Es ist: |f(x)− fn(x)| ≤ |f(x)− fn0(x)| ∀n ≥ n0. Damit gilt fur x ∈ Bδ(x0) :

|f(x)− fn(x)| ≤ |f(x)− fn0(x)|≤ |f(x)− f(x0)|+ |f(x0)− fn0(x0)|+ |fn0(x0)− fn0(x)|

Da xn → x0 gilt xnk⊂ Bδ(x0) fur k ≥ k0 und somit ist

|fn0(xnk)− f(xnk

)| < ε.

Andererseits ist aber

|fnk(xnk

)− f(xnk)| = ‖fnk

− f‖∞ ≥ a > ε.

Widerspruch.

7.11 Weierstraßscher Approxiamationssatz

Proposition 7.11.1. Sei I = [a, b] ⊂ R, f : I → R sei stetig. Dann existiert ein Folge(pn) von Polynomen, so daß pn gleichmaßig gegen f konvergiert.

Beweis spater! (mit Hilfe der Faltung)

7.12 Gleichmaßig konvergente Reihen

Hier f : M ⊂ Rn → C oder R

Definition 7.12.1 (Gleichmaßig konvergente Reihen). Zu einer Funktionenfolge fn :M → C betrachten wir die Reihe

∑fn(x). Wir sagen, die Reihe konvergiert gleichmaßig

auf M , falls die Folge der Partialsummen

sn(x) =n∑k=0

fk(x)

gleichmaßig auf M konvergiert.

Proposition 7.12.2 (Majorantenkriterium).∑fn konvergiert gleichmaßig, falls∑

‖fn‖∞ < ∞ (7.1)

Beweis uber Cauchy-Kriterium

|sn(x)− sm(x)| =

∣∣∣∣∣ n∑k=m+1

fk(x)

∣∣∣∣∣ ≤ n∑k=m+1

|fk(x)| ≤n∑

k=m+1

‖fk‖∞

Nach Voraussetzung existiert zu ε > 0 ein n0, so daßn∑

k=m+1

‖fn‖∞ < ε ∀n,m ≥ n0

71

⇒ ‖sn − sm‖∞ = supx∈M|sn(x)− sm(x)| ≤

n∑k+1

‖fk‖∞ < ε ∀n,m ≥ n0

Bemerkung. Eine Reihe, die (7.1) erfullt, heißt normal konvergent.

Proposition 7.12.3 (Anwendung auf Potenzreihen). Sei∑akz

k eine Potenzreihe mitKonvergenzradius R > 0. Dann konvergiert

∑akz

k normal (und damit nach Satz 7.12.2auch gleichmaßig) in Br(0) ∀r ∈ (0, R).

Beweis fk(z) = akzk ⇒ |fk(z)| ≤ |ak||zk| ≤ |ak|rk fur z ∈ Br(0). Nach Definition von

R gilt∑akr

k <∞⇒∑k

‖fk‖∞ <∞

Korollar 7.12.4. Jede Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises eine stetigeFunktion.

Beispiel. exp(z), sin(z), cos(z) sind stetig auf ganz R bzw C

7.13 Sinus und Cosinus (auf R)

Erinnerung: eix = cos(x) + i sin(x), cos(x) =∞∑k=0

(−1)k x2k

2k! ,

sin(x) =∞∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k+1)!

Proposition 7.13.1 (Nullstellen des Cosinus). Der Cosinus hat im Intervall (0, 2]genau ein Nullstelle. Diese bezeichnen wir mit π

2 . Es gilt sin(π2 ) = 1.

Beweis

1) (Einschliessungslemma)

Fur x ∈ (0, 2] gilt

1− x2

2< cos(x) < 1− x2

2+x4

24

x− x3

6< sin(x) < x

d

· Es ist cos(x) = 1− x2

2 +∑k≥2

(−1)k x2k

2k!︸︷︷︸ak

(alternierende Reihe )

· Es gilt: ak+1

ak= x2

(2k+1)(2k+2) < 1 fur alle |x| ≤ 2, k ≥ 2⇒ ak streng monoton fallende Nullfolge⇒ s1 < s3 < s5 . . . < s < . . . s4 < s2

72

· Fur (k = 1, k = 2) ist 1− x2

2 < cos(x) < 1− x2

2 + x4

24 ∀x ∈ (0, 2]· Analog fur sin(x) c

2) cos(x) ist streng monoton fallend in (0,2]d

· Aus Additionstheorem: cos(x)− cos(y) = −2 sin(x−y

2

)sin(x+y

2

)· Sei x, y ∈ (0, 2], y < x⇒ x−y

2 < x+y2 < 2

· Aus 1. folgt sin(x) > 0 ∀x ∈ (0, 2]

⇒ cos(x)− cos(y) < 0

c

3) · cos hat in (0,2] genau ein Nullstelle

· cos 0 = 1, cos 2 < 1− 2 + 23 = −1

3 ⇒ ZWS ∃ mindestens eine Nullstelle

· Aus 2) ⇒ x0 eindeutig bestimt: π := 2x0.

4) (sin π2 = 1)

Aus cos2 x+ sin2 x = 1 folgt sin π2 = ±1. Aus 1) ⇒ sin π

2 > 0.

Proposition 7.13.2 (Periodizitat von Sinus und Cosinus). sin und cos sind 2π-periodischeFunktionen, d.h. cosx = cos(x+ 2kπ) ∀k ∈ Z

Beweis

eiπ2 = i⇒ ez+i

π2 = iez ⇒ ez+iπ = −ez ⇒ ez+2πi = ez.

Aus Additionstheorem folgt cos(z + iπ) = − cos z; cos(z + 2π) = cos zsin(z + 2π) = sin z.

Korollar 7.13.3. ez = 1⇔ z = i2πk, k ∈ Z

7.13.1 Umkehrfunktion:

1) tanx und arctanx :

· tanx = sinxcosx definiert fur x 6= π

2 + πZ· tanx ist streng monoton wachsend auf

(−π

2 ,π2

)· tanx→ ±∞ fur x→ ±π

2

⇒ tan(−π

2 ,π2

)→ R ist bijektiv

⇒ ∃ stetige Umkehrfunktion arctanx : R→(−π

2 ,π2

)2) arccosx und arcsinx :

cos[0, π]→ [−1, 1] streng monoton fallend

73

sin[−π2 ,

π2 ]→ [−1, 1] streng monoton fallend

⇒ Umkehrfunktion existieren: arccos : [−1, 1]→ [−π2 ,

π2 ],

arcsin : [−1, 1]→ [−π2 ,

π2 ]

Proposition 7.13.4 (Polarkoordinaten). Jede Zahl z ∈ C besitzt eine Darstellung derForm z = reiϕ mit r = |z| und ϕ ∈ R. Falls z = 0, so ist ϕ beliebig, falls z 6= 0, so ist ϕbis auf Addition von 2πk eindeutig bestimmt. (r, ϕ) heißen Polarkoordinaten zu z.

Beweis

Sei z 6= 0. Schreibe z|z| = a+ ib mit a2 + b2 = 1.

Definiere ϕ :=

arcsin b falls a ≥ 0π − arcsin b falls a < 0

Man pruft leicht nach: a+ ib = eiϕ.

Falls gilt: z|z| = eiϕ = eiψ ⇒ 1 = ei(ψ−ϕ)

⇒ (Korollar) ψ − ϕ = 2πk, k ∈ Z

74

8 Differenzierbare Funktionen

8.1 Die Ableitung

Definition 8.1.1 (Ableitung, differenzierbar, Differenzenquotient).

Eine Funktion f : I ⊂ R→ Rd heißt differenzierbar in x0 ∈ I, wenn

limx→x0

‖f(x)− f(x0)‖x− x0

= limh→0

‖f(x0 + h)− f(x0)‖h

existiert. Er heißt Ableitung von f in x0. Der Ausdruck

4hf(x0) :=f(x0) + h− f(x0)

h

heißt Differenzenquotient von f in x0.

Bezeichnung. f ′(x0), f(x0), Df(x0), dfdx (x0)

f heißt differenzierbar auf I, falls f in jedem x ∈ I differenzierbar ist.

Kinetische Interpretation. Fasse t 7→ f(t) ∈ Rd als Kurve in Rd auf, dann ist f ′(t) dieGeschwindigkeit der Bewegung im Punkt t.

Geometrische Interpretation. f : R→ R.Sei P ≡ (x0, f(x0)) ∈ R2 und Q ≡ (x0 + h, f(x0 + h)) ∈ R2.

L(x) = f(x0) +f(x0 + h)− f(x0)

h︸ ︷︷ ︸=:4hf(x0)

(x− x0) (Gerade durch P und Q)

Falls f ′(x0) existiert, dann konvergiert die Steigung von L gegen f ′(x0).

L(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

ist die Tangente an (x0, f(x0))

Beispiel.

1) f(x) = |x| ist in x0 = 0 nicht differenzierbar, denn in x0 kann keine Tangenteangelegt werden.

2) ddxc = 0 (c ∈ R)

3) ddx(x) = 1

75

4) ddx(xn) = nxn−1

dxn−xn

0x−x0

= xn−1 + xn−2x0 + . . .+ xn−10 → nxn−1

0 fur x→ x0c

5) ddx(ecx) = cecx

d ec(x+h)−ecx

h = cecxech − 1ch︸ ︷︷ ︸

h→ 0−−−→1

(folgt aus Reihendarstellung) c

6) ddx(lnx) = 1

x

d ln(x+h)−lnxh =

ln(x+hx )h =

ln(1 + h

x

)hx︸ ︷︷ ︸

h→0−−−→1

· 1xc

Proposition 8.1.2 (aquivalente Formulierungen der Diffenrenzierbarkeit). Die folgen-den Aussagen sind aquivalent (fur f : I ⊂ R→ Rd, x0 ∈ I)

1) f ist in x0 differenzierbar

2) Es existiert a ∈ Rd, so daß limh→0

‖f(x0+h)−f(x0)−ah‖h = 0

In anderen Worten, es existiert eine lineare Abbildung L : R→ Rd

(hier L(h) = ah), so daß

limh→0

‖f(x0 + h)− f(x0)− L(h)‖h

= 0.

L heißt Differential von f in x0.

Bezeichnung. df(x0)

3) Es existiert eine in x0 stetige Funktion ϕ : R→ Rd, so daßf(x) = f(x0) + ϕ(x)(x− x0) fur alle x ∈ I

Beweis

1.⇒ 2. Dies folgt mit a = f ′(x0).

2.⇒ 3. Sei ϕ(x) =

f(x)−f(x0)

x−x0x 6= x0

a x = x0.∗

Nun folgt aus 2), daß ϕ stetig in x0 ist.

3. ⇒ 1. Es folgt ‖f(x)−f(x0)‖‖x−x0‖ = ϕ(x), ϕ stetig in x0 ⇒ lim

x→x0

‖f(x)−f(x0)‖‖x−x0‖ existiert

⇒ f in x0 differenzierbar.∗ist korrekt so?

76

Bemerkung.

• a und ϕ sind eindeutig bestimmt

• Ist f in x0 differenzierbar, dann auch stetig (folgt aus 3))

Umkehrung gilt nicht: f(x) = |x|

• f : I ⊂ R → Rd ist in x0 differenzierbar ⇔ Komponentenfunktionen in x0 diffe-renzierbar

f(x) = (f1(x), . . . , fd(x)) ; f ′(x) = (f ′1(x), . . . , f′d(x))

• Differenzierbarkeit ist lokale Eigenschaft, d.h. ist f in x0 differenzierbar und istg : I → Rd mit g = f in Bε(x0). Dann ist g in x0 differenzierbar mit g′(x0) = f ′(x0).

Definition 8.1.3 (hohere Ableitung).

f : I ⊂ R→ Rd sei in I differenzierbar mit Ableitung f ′. Falls f ′ in I differenzierbar ist,so nennen wir die Ableitung (f ′)′ die zweite Ableitung von f .

Bezeichnung. f ′′, f ,d2f, d2

d2xf

Rekursiv definieren wir die n-te Ableitung von f uber

f (n) := (f (n−1))′, . . . , f (0) := f.

Bezeichnung. dn

dnxf,dnf .

Falls f (1), . . . , f (n) existieren, so heißt f n-mal differenzierbar.

Definition 8.1.4 (stetig differenzierbar).

f : I ⊂ R→ Rd heißt stetig differenzierbar, falls f ′ existiert und stetig ist.

f heißt n-mal stetig differenzierbar, falls f (n) existiert und stetig sind.

Bezeichnung.

• Cn(I,Rd) : Vektorraum der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen

• C∞(I,Rd) : Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen

Beispiel. f(x) = ecx; f ∈ C∞(R)

8.2 Rechenregeln

Proposition 8.2.1 (Leibniz-Regel). Seien f, g : I ⊂ R→ R differenzierbar in x ∈ I.Dann sind auch (f + g), (fg),

(fg

)(fur g(x) 6= 0) differenzierbar.

1) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

2) (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

3)(fg

)′(x) = 1

g(x)2(f ′(x)g(x)− f(x)g′(x))

77

Beweis

1) (f+g)(x+h)−(f+g)(x)h = f(x+h)−f(x)

h + g(x+h)−g(x)h

h→0−−−→ f ′(x) + g′(x)

2) (fg)(x+h)−(fg)(x)h =

(f(x+h)−f(x)

h

)g(x+ h) +

(g(x+h)−g(x)

h

)f(x)

h→0−−−→ f ′(x)g(x) + g′(x)f(x)

3) 1h

(f(x+h)g(x+h) −

f(x)g(x)

)= 1

g(x+h)g(x)1h (f(x+ h)g(x)− f(x)g(x+ h))

= 1g(x+h)g(x)

(f(x+h)−f(x)

h g(x)− f(x)g(x+h)−g(x)h

)h→0−−−→ 1

g2(x)(f ′(x)g(x)− f(x)g′(x))

Beispiel.

1) ddx (x−n) = d

dx

(1xn

)= 1

x2n (−nxn−1) = −nx−n−1

2) p(x) =n∑k=0

akxk, p′(x) =

n∑k=1

akkxk−1

3) cos′ x = − sinx, sin′ x = cosx

dcosx = 12(eix + e−ix)⇒ cos′ x = 1

2 i(eix − e−ix) = − sinxc

Proposition 8.2.2 (Kettenregel).

Seien I, J ⊂ R, f : I → R, g : J → Rd.

Es gelte f(I) ⊂ J . f sei in x0 ∈ I differenzierbar, g sei in y0 = f(x0) differenzierbar.Dann ist auch h = g f : I → Rd in x0 differenzierbar und es gilt

h′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0).

D.h. dhdx(x0) = dg

dy (y0) dfdx(x0), bzw. ”Merkregel“ dz

dx = dzdy

dydx

Beweis Benutze Satz 8.1.2 Teil 3

· f(x)− f(x0) = ϕ(x)(x− x0), ϕ stetig in x0 mit Wert f ′(x0)

· g(y)− g(y0) = ψ(y)(y − y0), ψ stetig in y0 mit Wert g′(y0) = g′(f(x0))

⇒ g(f(x))− g(f(x0)) = ψ(f(x))ϕ(x)(x− x0)

⇒ limx→x0

‖g(f(x))−g(f(x))‖x−x0

= limx→x0

ψ(f(x))ϕ(x) = g′(f(x0))f ′(x0)

Beispiel.

1) (xa)′ = axa−1 (x > 0, a ∈ R)d Wir wissen bereits:

(xn)′ = nxn−1, (ecx)′ = cecx, (lnx)′ =1x

Nun ist mit xa = ea lnx:

(xa)′ = ea lnx(a lnx)′ = ea lnx(ax

)= axa−1

c

78

2) f : I → R, f differenzierbar in x0 ⇒ fn differenzierbar in x0 mit

(fn)′(x0) = nfn−1f ′(x0)

3) Skalarprodukt: f, g : I ⊂ R→ Rd, differenzierbar ⇒ 〈f, g〉 (x) differenzierbar mit

〈f, g〉′ (x) =⟨f ′, g

⟩(x) +

⟨f, g′

⟩(x).

d 〈f, g〉 (x) =n∑j=1

fj(x)gj(x)

⇒ 〈f, g〉′ (x) =n∑j=1

f ′j(x)gj(x) +n∑j=1

fj(x)g′j(x) c

Proposition 8.2.3 (Ableitung der Umkehrfunktion). Sei f : I ⊂ R → R invertierbarauf I mit Umkehrfunktion g. Sei f in y0 ∈ I differenzierbar mit f ′(y0) 6= 0. Dann ist gin x0 = f(y0) differenzierbar mit

g′(x0) =1

f ′(y0)=

1f ′(g(x0))

Beweis

Nach Voraussetzung existiert ϕ : I → R, ϕ stetig in y0 mit

f(y)− f(y0) = ϕ(y)(y − y0), limy→y0

ϕ(y0) = f ′(y0).

Da f ′(y0) 6= 0 und f streng monoton ist, folgt ϕ(y) 6= 0 ∀y ∈ I. Setze x = f(y),x0 = f(y0), dann ist

x− x0 = ϕ(g(x))(g(x)− g(x0))⇒ g(x)− g(x0) =1

ϕ(g(x))(x− x0).

Da ϕ und g stetig sind, folgt

limx→x0

1ϕ(g(x))

=1

f ′(g(x0)).

Bemerkung.

• Herleitung der Formel: f(g(x)) = x⇒ f ′(x(x))g′(x) = 1

• Merkregel ”dydx = 1

dxdy

“

Beispiel.

tanx =sinxcosx

mit x ∈(−π

2,π

2

)⇒ tan′ x =

cos2 x+ sin2 x

cos2 x= 1 + tan2 x

Umkehrfunktion: arctan y : tan(arctan y) = ytan′(arctan y)︸ ︷︷ ︸

=1+y2

arctan′ y = 1

⇒ arctan′(y) = 11+y2

79

8.3 Mittelwertsatz und Folgerungen

(In diesem Kapitel nur reellwertige Funktionen f : I ⊂ R→ R)

Definition 8.3.1 (lokales/globales Maximum/Minimum). f : I ⊂ R→ R hat in x0 ein

1) globales Maximum [Minimum], falls f(x) ≤ f(x0)[f(x) ≥ f(x0)] ∀x ∈ I

2) lokales Maximum [Minimum], falls es Bε(x0) gibt, so daßf(x) ≤ f(x0) [f(x) ≥ f(x0)] ∀x ∈ Bε(x0) ∩ I

Bemerkung. Maxima und Minima heißen auch Extrema.

Proposition 8.3.2 (Notwendiges Kriterium fur Extrema, Fermat 1638).

f : I ⊂ R → R besitze in einem inneren Punkt x0 ∈ I ein Extremum und sei in x0

differenzierbar. Dann giltf ′(x0) = 0

Beweis f habe in Bε(x0) ein Extremum, zum Beispiel Maximum.

Einerseits ist fur x ∈ Bε(x0) und x > x0

f(x)− f(x0)x− x0

≤ 0⇒ f ′(x0) ≤ 0.

Andererseits ist fur x ∈ Bε(x0) und x < x0

f(x)− f(x0)x− x0

≥ 0⇒ f ′(x0) ≥ 0.

Insgesamt gilt somit f ′(x0) = 0

Bemerkung.

• limh0

f(x0+h)−f(x0)h =: f ′+(x0) heißt rechtsseitige Ableitung

• limh0

f(x0+h)−f(x0)h =: f ′−(x0) heißt linksseitige Ableitung

• Falls f in x0 differenzierbar, dann f ′+(x0) = f ′−(x0) = f ′(x0)(Gegenbeispiel: f(x) = |x|, x0 = 0 ist nicht differenzierbar.

• Im obigen Beweis zeigten wir f ′+(x0) ≤ 0, f ′−(x0) ≥ 0.

• Die Behauptung gilt nicht, falls x0 Randpunkt von I ist, also zum Beispiel f(x) = xauf x ∈ [0, 1]

• Falls f ein lokales Maximum (Minimum) im rechten Randpunkt x0 hat und fallsf ′−(x0) existiert, dann muss f ′−(x0) ≥ 0 (f ′−(x0 ≤ 0) gelten.

80

• Umkehrung von Satz 8.3.2 gilt im allgemeinen nicht, d.h. aus f ′(x0) = 0 folgtim allgemeinen nicht, daß f in x0 ein Extremum hat. Ein Gegenbeispiel ware:f(x) = x3, x0 = 0

Definition 8.3.3 (stationarer/ kritischer Punkt). Sei f : I ⊂ R→ R in x0 ∈ I differen-zierbar. Dann heißt x0 stationarer oder kritischer Punkt, falls

f ′(x0) = 0.

Beispiel.

W (x) = (1− x2)2

W ′(x) = 2(1− x2)(−2x) = −4x(1− x2)

W ′(x) = 0⇔ x0 = 0;x1/2 = ±1

W (x1/2) = 0;W (x0) ≥ 0 ∀x⇒ x1/2 sind globale Minima

Nach dem Satz von Weierstraß nimmt W auf [-1,1] Infimum und Supremum an⇒ x0 istlokales Maximum

Proposition 8.3.4 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Lagrange 1797).

Sei f : [a, b] → R stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann existiert x0 ∈ (a, b) so daßf(b)− f(a) = f ′(x0)(b− a).Ein Spezialfall ist der

Proposition 8.3.5 (Satz von Rolle†). Falls f(b) = f(a) dann existiert ein x0 ∈ (a, b)mit

f ′(x0) = 0.

Beweis

1) Beweis des Satzes von Rolle. Sei f(a) = f(b), f stetig ⇒ f nimmt auf [a, b]Infimum und Supremum an. Wir unterscheiden zwei Falle:

a) f(x) ≡ f(a) ∀x⇒ f ′(x) = 0 ∀x ∈ (a, b).

b) f nicht konstant ⇒ mindestens ein Extremum ist von a und b verschieden⇒ ∃x0 ∈ (a, b) so daß f(x0) minimal oder maximal ⇒ Nach Satz 8.3.2 istdann f ′(x0) = 0.

2) Ruckfuhrung auf Rolle. Sei F (x) := f(x)− f(b)−f(a)b−a (x−a). Damit ist F (a) = f(a)

und F (b) = f(a). Somit existiert nach dem Satz von Rolle ein x0 ∈ (a, b) mitF ′(x0) = 0.

F ′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)b− a

⇒ f ′(x0) =f(b)− f(a)

b− a

†Michel Rolle (1652-1719) war franzosischer Mathematiker[Wal2004].

81

Bemerkung. (alternative Formulierung des Mittelwertsatzes)

f wie oben, x ∈ [a, b], x+ h ∈ [a, b]⇒ ∃θ ∈ (0, 1) so daß

f(x+ h)− f(x) = f ′(x+ θh)h.

Korollar 8.3.6. f ∈ C0([a, b]), f differenzierbar in (a, b). Dann gilt:

1) Falls f ′(x) = 0 ∀x ∈ (a, b), dann ist f(x) ≡ const ∀x ∈ [a, b]

2) Falls f ′(x) > 0 [f ′(x) < 0] ∀x ∈ (a, b), dann ist f streng monoton wachsend[fallend]

3) Falls f ′(x) ≥ 0 [f ′(x) ≤ 0] ∀x ∈ (a, b), dann ist f monoton wachsend [fallend]

4) Falls f ′(x0) = 0, so hat f in x0 ein

a) Minimum, falls f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, x0), f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (x0, b)

b) Maximum, falls f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, x0), f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (x0, b)

5) Schrankensatz. Falls |f ′(x)| ≤ L ∀x ∈ (a, b), dann gilt

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y| ∀x, y ∈ [a, b]

D.h. eine differenzierbare Funktion mit beschrankter Ableitung ist Lipschitz-stetig.

Beweis

1) Sei x ∈ (a, b) bel. Wende MWS auf [a, x] an ⇒ f(x) = f(a) ∀x ∈ [a, b].

2) Sei x, y ∈ [a, b], y < x.

Nach MWS existiert ξ ∈ (y, x) mit f(x)− f(y) = f ′(ξ) (x− y)︸ ︷︷ ︸>0

⇒ f(x) > f(y) falls f ′ > 0⇒ f streng monoton wachsendf(x) < f(y) falls f ′ < 0⇒ f streng monoton fallend

3) analog zu 2)

4) folgt aus 3)

5) folgt aus dem MWS 8.3.4

82

8.4 Anwendungen des Mittelwertsatzes

8.4.1 Charakterisierung der Exponentialfunktion.

Jede differenzierbare Funktion f : R→ R, die die Relation f ′(x) = f(x) ∀x ∈ R erfullt,ist von der Form f(x) = Cex, C ∈ R.

Beweis

Sei g(x) = f(x)e−x, g′(x) = (f ′(x)− f(x))︸ ︷︷ ︸=0

e−x = 0.

Nach Korollar 8.3.6 Teil 1) ist dann g(x) = C ∀x

Bemerkung. Eine Relation zwischen f und ihrer Ableitung (wie z.B. f ′ = f) heißtDifferentialgleichung.

8.4.2 Rechnung

Sei f(x) = x(a−x) (Flacheninhalt eines Rechtecks mit Umfang 2a), fur ein a > 0, x ≥ 0.Damit ist f ′(x) = a− 2x. Es folgt f ′(x0) = 0⇔ x0 = a

2 .Weiterhin ist f ′(x) > 0 fur x < x0 und f ′(x) < 0 fur x > x0.Nach Korollar 8.3.6, Teil 4 hat f in x0 ein Maximum.

Anwendung.

1) Unter allen Rechtecken mit gegebenem Umfang hat das Quadrat den grosstenFlacheninhalt. Oben bereits x0 = a

2 berechnet.

2) Unter allen Dreiecken mit gegebenen Umfang 2s und einer Seite mit Lange a, hatdas gleichschenklige Dreieck den grossten Flacheninhalt, denn fur die Flache A gilt(hier nicht bewiesen)

A =√s(s− a)(s− b)(s− c); 2s = a+ b+ c;x = b

⇒ s− c = a+ x− s

⇒ A =√s(s− a)(s− x)(a+ x− s) =: F (x)

Somit wird Flache A maximal⇔ f(x) := F 2(x)s(s−a) = (s−x)(a+x−s) maximal. Wie

oben f maximal ⇔ s− x = a+ x− s⇒ x = s− a2

⇒ c = 2s− a− x = s− a2 = b

8.4.3 Fehlerabschatzung bei linearer Interpolation

Ziel: Approximiere f : [a, b]→ R durch Gerade Lmit L(a) = f(a);L(b) = f(b)

Frage: Wie gross ist der Fehler f(x)− L(x)?Antwort: Falls f zweimal differenzierbar ist, dann existiert zu x ∈ (a, b)

ein ξ ∈ (a, b) mit f(x)− L(x) = 12f

′′(ξ)(x− a)(x− b)

83

Korollar 8.4.1.

Falls |f ′′(x)| ≤ k ∀x ∈ (a, b), dann gilt auch

|f(x)− L(x)| ≤ k

8(b− a)2,

dennmaxx∈(a,b)

12|(x− a)(x− b)| = 1

8(b− a)2.

Beweis Sei x ∈ (a, b) fest, ϕ(x) = f(x)− L(x). Insbesondere ist ϕ(a) = ϕ(b) = 0.

Sei q(t) das Polynom 2.Grades, das mit ϕ in den Punkten a, x und b ubereinstimmt.

q(t) = (t− a)(t− b) ϕ(x)(x− a)(x− b)

(Parabel)

Wir wollen den MWS auf ϕ− q anwenden:

(ϕ− q)(a) = (ϕ− q)(x) = (ϕ− q)(b) = 0.

Nach dem Satz von Rolle ∃t1 ∈ (a, x), t2 ∈ (x, b) mit (ϕ′ − q′)(tj) = 0, i = 1, 2.

Weiter existiert nach dem Satz von Rolle ein ξ ∈ (t1, t2) mit (ϕ′′ − q′′)(ξ) = 0.

⇒ ϕ′′(ξ) = q′′(ξ) =2ϕ(x)

(x− a)(x− b);L′′ ≡ 0

⇒ f ′′(ξ) = ϕ′′(ξ) =2ϕ(x)

(x− a)(x− b)=

2(f(x)− L(x))(x− a)(x− b)

Anwendung.

· Approximiere f ∈ C2([a, b); R) durch stuckweise affine Funktion

· Falls |f ′′(x)| ≤ k ∀x ∈ (a, b); gn stuckweise lineare Approximation zu |a− b| ≤ 1n

⇒ |gn(x)− f(x)| ≤ Cn2 , dh. der Fehler geht quadratisch in 1

n gegen Null

Proposition 8.4.2 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz). f, g : [a, b]→ R seien differen-zierbar in (a, b); g(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b). Dann existiert ein ξ ∈ (a, b) mit

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(ξ)g′(ξ)

Beweis

Sei F (x) = f(x)− f(b)−f(a)g(b)−g(a) (g(x)− g(a))⇒ F (a) = F (b) = f(a).

Nach Rolle ∃ξ ∈ (a, b) mit F ′(ξ) = 0.

Da F ′(x) = f ′(x)− f(b)−f(a)g(b)−g(a) g

′(x), folgt die Bahauptung.

84

Proposition 8.4.3. L’Hospitalsche Regel f, g : (a, b) → R differenzierbar mit g′(x) 6=0 ∀x ∈ (a, b). Falls

1) a) limxa

f(x) = 0 und limxa

g(x) = 0

2) b) f(x)→ ±∞ fur x a und g(x)→ ±∞ fur x a

dann gilt:

limxa

f(x)g(x)

= limxa

f ′(x)g′(x)

.

Entsprechend fur x a, x→ ±∞.

85

Beweis

1) Es ist f(a) = 0 = g(a). Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz existiert einξ ∈ (a, x), so daß

f(x)g(x)

=f ′(ξ)g′(ξ)

.

Fur x→ a⇒ ξ → a. Damit folgt die Behautung.

2) Sei A := limxa

f ′(x)g′(x) , wir wollen zeigen:

∀ε > 0 : ∃δ :∣∣∣∣A− f(x)

g(x)

∣∣∣∣ < ε ∀x ∈ (a, a+ δ).

Zu gegebenem ε > 0 wahle δ so daß∣∣∣∣A− f ′(x)g′(x)

∣∣∣∣ < ε ∀x ∈ (a, a+ δ).

Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz existiert zu x, y ∈ (a, a+ δ), x < y,ein t ∈ (x, y) mit

f(x)− f(y)g(x)− g(y)

=f ′(t)g′(t)

⇒∣∣∣∣f(x)− f(y)g(x)− g(y)

−A∣∣∣∣ < ε ∀x, y ∈ (a, a+ δ).

Es gilt

f(x)g(x)

=f(x)− f(y)g(x)− g(y)

·1− g(y)

g(x)

1− f(y)f(x)︸ ︷︷ ︸

xa−−−→1 fur festes y.

Damit existiert zu ε > 0 ein δ, fur welches gilt:∣∣∣∣f(x)g(x)

− f(x)− f(y)g(x)− g(y)

∣∣∣∣ < ε fur x ∈ (a, a+ δ).

Setze δ = min(δ, δ). Daraus folgt∣∣∣∣f(x)g(x)

−A∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣f(x)

g(x)− f(x)− f(y)g(x)− g(y)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣f(x)− f(y)g(x)− g(y)

−A∣∣∣∣

< 2ε ∀x ∈ (a, a+ δ).

Beispiel.

1) limx0

x lnx = limx0

lnx1x

8.4.3= limx0

1x

− 1x2

= 0

2) limx0

(1x −

1sinx

)= lim

x0

(sinx−xx sinx

) 8.4.3= limx0

(cosx−1

sinx+x cosx

)

86

8.4.3= limx0

(− sinx

2 cosx+x sinx

)= 0

Definition 8.4.4 (Stammfunktion). Eine differenzierbare Funktion F : I → R heißtStammfunktion zu f : I → R, falls F ′(x) = f(x) ∀x ∈ I gilt.

Bemerkung. F1, F2 Stammfunktion zu f ⇒ F1 − F2 = const, denn F ′1 − F ′2 = 0.

8.5 Konvexitat

(hier f : I ⊂ R→ R) Eine Funktion f heißt konvex, wenn die Verbindungslinien zweierPunkte (x, f(x)) und (y, f(y)) des Graphen von f immer oberhalb des Graphen imIntervall (x, y) liegt.

Definition 8.5.1 (Konvexe Funktion). Eine Funktion f : I ⊂ R→ R heißt konvex, fallsfur alle x, y ∈ I und λ ∈ (0, 1) gilt:

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y) (K)

Entsprechend heißt f

· strikt konvex, falls f(λx+ (1− λ)y) < λf(x) + (1− λ)f(y)· konkav, falls f(λx+ (1− λ)y) ≥ λf(x) + (1− λ)f(y)· strikt konkav, falls f(λx+ (1− λ)y) > λf(x) + (1− λ)f(y)

Bemerkung.

• Eine konvexe Funktion muss nicht differenzierbar sein, Beispiel f(x) = |x|.

• Eine konvexe Funktion f : I ⊂ R→ R ist stetig, dies folgt aus folgender Proposition.

Proposition 8.5.2 (Aquivalente Formulierungen der Konvexitat). f : I ⊂ R → R istgenau dann konvex, wenn fur alle x, y, z ∈ I, x < y < z, die folgende Ungleichung gilt.

f(y)− f(x)x− y

≤ f(z)− f(y)z − y

(K1)

Genauer:f(y)− f(x)

y − x≤ f(z)− f(x)

z − x≤ f(z)− f(y)

z − y(K2)

Beweis Aus f konvex folgt fur x < z und λ ∈ (0, 1)

f(λx+ (1− λ)z) ≤ λf(x) + (1− λ)f(z) (K)

Setze in (K) ein: y := λx+ (1− λ)z ⇒ y ∈ (x, z)

⇒ λ =y − zx− z

=z − yz − x

; 1− λ =x− yx− z

=y − xz − x

87

Also (K) ist aquivalent zu

f(y) ≤ z − yz − x

f(x) +y − xz − x

f(z).

Durch Division durch (z − y) und (y − x) und der Multiplikation mit (z − x) ist diesweiter aquivalent zu

f(y)(z − x)

(z − y)(y − x)≤ 1y − x

f(x) +1

z − yf(z).

Durch Addition von 1y−xf(y) und Umordnung ergibt sich

f(y)− f(x)y − x

≤ 1y − x

f(y)− (z − x)(z − y)(y − x)

f(y) +1

z − yf(z)

=f(y)y − x

(1− z − x

z − y

)+f(z)z − y

=f(z)− f(y)

z − y(K1)

(K2) folgt analog.

Proposition 8.5.3 (Konvexitatskriterium fur differenzierbare Funktionen).

Sei f : [a, b]→ R, f sei in (a, b) differenzierbar. Dann ist f konvex genau dann, wenn f ′

monoton wachsend ist. (f strikt konvex ⇔ f ′ streng monoton wachsend)

Beweis

⇒: f sei konvex ⇒ (K2) erfullt. Lasse in (K2) x→ y konvergieren und y → z.

⇒ f ′(x) ≤ f(z)− f(x)z − x

≤ f ′(z) ∀x < z

⇐: Sei x < y < z. Zu zeigen: (K1)Nach dem Mittelwertsatz existieren ein ξ1 ∈ (x, y) und ein ξ2 ∈ (y, z) so daß

f(y)− f(x)y − x

= f ′(ξ1)

undf(z)− f(y)

z − y= f ′(ξ2).

Da f ′ monoton wachsend ⇒(K1)

Korollar 8.5.4. Sei f : [a, b]→ R, f sei zweimal differenzierbar. Dann ist f [strikt] konvexgenau dann, wenn f ′′(x) ≥ 0 [f ′′(x) > 0] fur alle x ∈ (a, b).

88

Beweis

1) f ′′(x) ≥ 0⇔ f ′ monoton wachsend ⇔ f konvex

2) Sei f ′′(x) > 0. Annahme f sei nicht strikt konvex, dann existieren x, y, z, wobeix < y < z, mit

f(y)− f(x)y − x

=f(z)− f(x)

z − xNach dem Mittelwertsatz existieren nun ξ1 ∈ (x, y), ξ2 ∈ (y, z) mit

f ′(ξ1) =f(y)− f(x)

y − x=f(z)− f(y)

z − y= f ′(ξ2).

Widerspruch.

Beispiel.

1) ex strikt konvex auf Rlnx strikt konkav auf R

2) xp strikt

konvex p > 1, p < 0konkav p ∈ (0, 1)

, x ∈ R+

Korollar 8.5.5 (Tangentenkriterium). f : [a, b]→ R sei in (a, b) differenzierbar. Dann istf genau dann konvex, wenn die Tangente in jedem Punkt immer unterhalb des Graphenvon f liegt, d.h.

f(y) ≥ f(x) + f ′(x)(y − x) ∀x, y ∈ (a, b) (T)

Beweis

⇒: f sei konvex. Wir benutzen, daß f ′ monoton wachsend ist.Sei x, y ∈ (a, b), oBdA x < y : Nach dem Mittelwertsatz existiert ein ξ ∈ (x, y) mit

f(y)− f(x)y − x

= f ′(ξ) ≥ f ′(x)⇒ (T)

⇐: Sei (T) erfullt: Wir zeigen (K1). Sei dazu x < y < z :

f(y)− f(x)y − x

(T)

≤ f ′(y)(T)

≤ f(z)− f(y)z − y

⇒ (K1)

Definition 8.5.6 (Wendepunkt).

Sei f : [a, b] → R. (x0, f(x0)) heißt Wendepunkt von f , falls es Intervalle (α, x0) und(x0, β) gibt, so daß entweder

1) f konvex in (α, x0) und konkav in (x0, β)

2) f konkav in (α, x0) und konvex in (x0, β)

Beispiel. f(x) = x3; (0, f(0)) = (0, 0) ist Wendepunkt

89

8.6 Fundamentale Ungleichungen

Proposition 8.6.1 (Jensensche Ungleichung).

f : [a, b]→ R sei konvex, λ1, . . . , λn ∈ (0, 1) mitn∑i=1

λj = 1; x1, . . . , xn ∈ [a, b]. Dann gilt:

f

(n∑i=1

λjxj

)︸ ︷︷ ︸

Konvexkombinationen der xj

≤n∑j=1

λjf(xj)

und ’=’ gilt nur dann, wenn x1 = . . . = xn.

Beweis (induktiv)

IA: n = 2X (dies ist gerade die Definition der Konvexitat)

IS: n n+ 1 : Wir setzen λ :=n∑j=1

λj und x :=

nPj=1

λjxj

λ . Mit der Konvexitat gilt dann

f

n∑j=1

λjxj + λn+1xn+1

≤ λf(x) + λn+1f(xn+1)

= λf

n∑j=1

λjxjλ

+ λj+1f(xj+1)

Mit der Induktionsannahme ist dies

≤ λ

n∑j=1

λjλf(xj)

+ λn+1f(xn+1) =n+1∑j=1

λjf(xj)

Korollar 8.6.2 (Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel).

x1, . . . , xn ∈ R+; λ1, . . . , λn ∈ (0, 1) mitn∑i=1

λj = 1. Dann gilt:

n∏j=1

xλj

j ≤n∑j=1

λjxj ; insbesondere

n∏j=1

xj

1n

≤ 1n

n∑j=1

xj

Gleichheit gilt genau dann, wenn x1 = . . . = xn.

Beweis Da der ln strikt konkav ist, folgt nach der Jensenschen Ungleichung

ln

n∑j=1

λjxj

≥ n∑j=1

λj lnxj =n∑j=1

lnxλj

90

Durch Anwendung von exp gilt dann

n∑j=1

λjxj ≥ exp

n∑j=1

lnxλj

=n∏j=1

xλj

j

Definition 8.6.3 (p-Norm). Zu x ∈ Rn, p ≥ 1 definieren wir die p-Norm

‖x‖p :=

(n∑i=1

|xjt|p) 1

p

Bemerkung.

• ‖·‖p ist offensichtlich homogen und positiv definit

• Dreiecksungleichung zeigen wir mit der Minkowski-Ungleichung ⇒ ‖·‖p ist Norm

Korollar 8.6.4 (Holder-Ungleichung). Seien x, y ∈ Rn, p > 1 und 1p + 1

p′ = 1. Dann gilt

n∑j=1

|xjyj | ≤ ‖x‖p ‖y‖p′ .

Fur p = 2 entspricht dies der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Anwendung. Sei∞∑j=1|xj |p <∞;

∞∑j=1|yj |p

′<∞.

Nach der Holderungleichung fur Partialsummen gilt dann∞∑j=1|xjyj | <∞.

Beweis OBdA sind x 6= 0, y 6= 0. Nach Korollar 8.6.2 gilt

|xi|‖x‖p

|yi|‖y‖p′

=

(|xi|p

‖x‖pp

) 1p(|yi|p

′

‖y‖p′

p′

) 1p′

≤ 1p

|xi|p

‖x‖pp+

1p′|yi|p

′

‖y‖p′

p′

⇒n∑j=1

|xjyj | ≤ ‖x‖p ‖y‖p′∣∣∣∣1p

n∑j=1

|xj |p

‖x‖pp︸ ︷︷ ︸=1

+1p′

n∑j=1

|yj |p′

‖y‖p′

p′

∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸=1︸ ︷︷ ︸

=1

Korollar 8.6.5 (Minkowski-Ungleichung). Sei x, y ∈ Rn, p ≥ 1. Dann gilt

‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p

91

Beweis Fur p = 1 ist nichts zu zeigen. Sei also p > 1. Dann ist

|xi + yi|p = |xi + yi|si mit si = |xi + yi|p−1

Setze p′ = pp−1 . Es ist |xi + yi|si ≤ |xi|si + |yi|si. Damit gilt weiter

n∑j=1

|xj + yj |p ≤n∑j=1

|xj |sj +n∑j=1

|yj |sj ≤ ‖x‖p ‖s‖p′ + ‖y‖p ‖s‖p′ , wobei

‖s‖p′ =

∣∣∣∣∣∣n∑j=1

|xj + yj |(p−1)p′

∣∣∣∣∣∣1p′

=

∣∣∣∣∣∣n∑j=1

|xj + yj |p∣∣∣∣∣∣

p−1p

= ‖x+ y‖p−1p

Dividiere Ungleichung durch ‖x+ y‖p−1p ⇒ ‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p

8.7 Eine auf ganz R stetige aber nirgends differenzierbareFunktion

Beispiel.

f(x) :=∑nfn(x); fn(x) =

4−n(x) : x ∈

[k4−n; (k + 1

2)4−n)

4−n(1− x) : x ∈[(k + 1

2)4−n; (k + 1)4−n) mit k ∈ N.

fn periodisch mit Periode 4−n, fn stuckweise offen, Steigung ± 1

Es gilt ‖fn‖∞ = 4−n ⇒∑fn konvergiert normal ⇒

∑fn konvergiert gleichmaßig, fn

stetig, f stetig.

Behauptung. f ist in keinem Punkt x ∈ Rn differenzierbar.

Beweis Sei x ∈ R beliebig. Wir zeigen, daß es eine Nullfolge (hn) gibt, so daß

limn→∞

f(x+ hn)− f(x)hn

nicht existiert. Zu n ∈ N definieren wir hn = ±144−n, so daß fn in (x, x+ hn) linear ist.

Damit ist fk in (x, x + hn) linear fur alle k < n. Fur k > n ist hn die Periode von fk,woraus

fk(x− hn)− fk(x)hn

= 0

folgt. Fur die Differenzenquotienten von f zu hn ergibt sich dann

f(x+ hn)− f(x)hn

=∞∑k=1

fk(x+ hn)− fk(x)hn

=n∑k=1

±1,

welche nicht fur n→∞ konvergiert.

92

9 Das eindimensionale Riemann-Integral

Ziel: Flacheninhalte, Flachen unter Kurven

Wie: Approximation

Hier: Darboux-Version des Riemann-Integrals

Achtung: in diesem Kapitel gilt:

– J = [a, b] ist kompaktes Intervall– f : J → R sei beschrankt– f : J → Rm auch moglich– J nicht kompakt ⇒ uneigentliches Riemann-Integral

9.1 Integrierbare Funktionen

Definition 9.1.1 (Riemann-Summe, Zerlegung, Feinheit).

1) Eine Zerlegung Z von J ist eine endliche Menge von Punkten

Z = x0, x1, . . . , xk mit a = x0 < x1 < . . . < xk = b

• die xi heißen Teilpunnkte• Ji = [xi−1, xi] heißen Teilintervalle• |Ji| = xi − xi−1 ist Lange von Ji• 4Z = max

j=1,..,k|Jj | ist Feinheit von Z

2) Z wie oben; ξ = (ξ1, . . . , ξk) heißt Menge von Stutzstellen passend zu Z, fallsξj ∈ Jj (j = 1, . . . , k)

3) Z, ξ, wie oben, f ∈ B(J)

Riemann-Summe von f bezuglich Z, ξ : SZ(f, ξ) =k∑j=1|Jj |f(ξj)

4) mj := supJj

(f) mj := infJj

(f)

SZ(f) =k∑j=1|Jj |mj Obersumme von f bezuglich Z

SZ(f) =k∑j=1|Jj |mj Untersumme von f bezuglich Z

93

Bemerkung. Es gilt stets: SZ(f) ≤ SZ(f, ξj) ≤ SZ(f)

Definition 9.1.2 (Verfeinerung).

1) Z∗ heißt Verfeinerung von Z, falls die Teilpunkte von Z auch Teilpunkte von Z∗

sind.

2) Seien Z1, Z2 zwei Zerlegungen.Z1∪Z2 ist die Zerlegung, deren Teilpunkte die Teilpunkte von Z1&Z2 sind (Z1∪Z2

heißt gemeinsame Verfeinerung).

Lemma 9.1.3. Sei Z∗ Verfeinerung von Z, dann ist

SZ(f) ≤ SZ∗(f) ≤ SZ∗(f) ≤ SZ(f)

Beweis OBdA hat Z∗ einen Teilpunkt mehr als Z.

Z∗ : a = x1 < . . . < xl−1 < xl < xl+1 < . . . < xk = bZ : a = x1 < . . . < xl−1 < xl+1 < . . . < xk = b

Fur die Differenz der Untersummen folgt daraus

SZ∗(f)− SZ(f)

=[|Jl| inf

Jl

(f) + |Jl+1| infJl+1

(f)]−[(|Jl|+ |Jl+1|) inf

Jl∪Jl+1

(f)]

= |Jl|(

infJl

(f)− infJl∪Jl+1

(f))

︸ ︷︷ ︸≥0

+|Jl+1|(

infJl+1

(f)− infJl∪Jl+1

(f))

︸ ︷︷ ︸≥0

≥ 0.

Man zeigt SZ ≤ SZ∗(f) analog.

Lemma 9.1.4. Seien Z1 und Z2 zwei beliebige Zerlegungen. Dann gilt

SZ1(f) ≤ SZ2(f).

Beweis Sei Z3 = Z1 ∪ Z2. Nach Lemma 9.1.3 gilt:

SZ1(f) ≤ SZ3

(f) ≤ SZ3(f) ≤ SZ2(f)

Definition 9.1.5 (Ober- und Unterintegral). Sei f ∈ B(J).

I(f) := supZ Zerl

SZ(f) Unterintegral von f

I(f) := infZ Zerl

SZ(f) Oberintegral von f

Bemerkung.

94

• I(f), I(f) sind wohldefiniert, weil

SZ(f) ≤ SZ0(f)

undSZ(f) ≥ SZ0

(f)

fur alle Z und Z0 gilt.

• Z ”lauft“ liefert I(f) ≤ SZ0(f) und I(f) ≥ SZ0(f).

• Z0 ”lauft“ liefert I(f) ≤ I(f) .

Lemma 9.1.6. Sei f ∈ B(J), Z eine Zerlegung. Dann gilt

SZ(f)Def≤ I(f)

Bem≤ I(f)

Def≤ SZ(f)

Beweis X

Definition 9.1.7 (Riemann-integrierbar). f heißt Riemann-integrierbar, falls I(f) =I(f). Dann heißt I(f) = I(f) das Riemann-Integral von f uberJ .

Bemerkung.

• Wir schreiben: I(f) =b∫af(x) dx =

b∫af dx =

∫[a,b]

f dx =∫

[a,b]

f .

• R(J) = Menge aller integrierbaren Funktionen auf J .

Proposition 9.1.8 (Integrierbarkeitsbedingung 1). Sei f ∈ B(J). Dann gilt: f ∈ R(J)genau dann, wenn fur jedes ε > 0 eine Zerlegung Z existiert, so daß gilt

SZ(f)− SZ(f) ≤ ε.

Beweis

⇒: Sei ε > 0 beliebig. Wahlen Zerlegungen Z1, Z2 so daß

ε

2+ SZ1

(f) ≥ I(f) = I(f) = I(f) ≥ SZ2 −ε

2.

Sei Z = Z1 ∪ Z2. Nach Lemma 9.1.4 gilt:

SZ(f) ≥ SZ1(f),

SZ(f) ≤ SZ2(f).

Daraus folgt:ε

2+ SZ(f) ≥ I(f) ≥ SZ −

ε

2

95

⇐: zz: I(f)− I(f) ≤ ε ∀εSei ε > 0 fest. Nach Voraussetzung existiert eine Zerlegung Z mit

SZ(f)− SZ(f) ≤ ε.

Somit istSZ(f) ≤ I(f) ≤ I(f) ≤ SZ(f) ≤ SZ(f) + ε

Daraus folgt:I(t)− I(t) ≤ ε

Proposition 9.1.9 (Integrierbarkeitsbedingung 2). Sei f ∈ B(J). Es gilt f ∈ R(J)genau dann, wenn fur alle ε > 0 : ein δ = δ(ε) existiert, so daß SZ(f)− SZ(f) ≤ ε giltfur alle Z mit |4(Z)| < δ.

Beweis

⇐: folgt aus Satz 9.1.8

⇒: Sei ε > 0 fix, wahle Z∗ aus Satz 9.1.8 mit

SZ∗(f)− SZ∗(f) ≤ ε

2.

Sei l∗ Anzahl der Teilintervalle von Z∗. Sei δ zunachst beliebig und sei Z eineZerlegung mit |4(Z)| ≤ δ. Definiere Z := Z ∪ Z∗. Somit gilt auch

SZ(f)− SZ(f) ≤ ε

2.

Die Ober- und Untersummen von f bezuglich Z und Z unterscheiden sich hochstensum l∗ Terme. Damit ist

|SZ(f)− SZ(f)| ≤ l∗ · δ · 2 ‖f‖∞ ,

wobei 2 ‖f‖∞ die Abschatzung der Supremums-Terme ist.

Analog macht man dies fur die Untersummen.

Es folgt

SZ(f)− SZ(f) = SZ(f)− SZ(f) + SZ(f)− SZ(f) + SZ(f)− SZ(f)

≤ ε

2+ 2l∗δ2 ‖f‖∞ .

Wahlen δ = δ(ε) = ε8l∗‖f‖∞

.

Korollar 9.1.10. Es sei (Zn) eine Folge von Zerlegungen von [a, b] mit 4(Zn) → 0. Seif ∈ R([a, b]) und (SZn(f)) sei Folge Riemannscher Zwischensummen zu (Zn). Dann gilt:

b∫a

f(x) dx = limn→∞

SZn(f)

96

Beweis Zu ε > 0 existiert ein δ > 0, so daß SZ(f)−SZ(f) < ε fur alle Z mit 4(Z) < δ(nach Satz 9.1.9). Nach Vorausetzung existiert ein n0 ∈ N so daß gilt 4(Zn) < δ ∀n ≥n0 und

SZn(f)− SZn(f) < ε ∀n ≥ n0.

Per Definition gelten:

SZn(f) ≤ I(f) =

b∫a

f dx = I(f) ≤ SZn(f)

und:SZn

(f) ≤ SZn(f) ≤ SZn(f).

Somit gilt weiter ∣∣∣∣∣∣b∫a

f dx− SZn(f)

∣∣∣∣∣∣ < ε ∀n ≥ n0,

dh. SZn(f)→b∫af dx.

9.2 Eigenschaften des Integrals

Proposition 9.2.1 (Linearitat des Integrals). R([a, b]) ist ein (linearer) reeller Vek-

torraum und I : f →b∫af dx ist lineares Funktional auf R([a, b]), d.h. zu f, g ∈ R([a, b]),

α, β ∈ R, ist auch h = αf + βg ∈ R([a, b]), und es gilt

b∫a

h dx = α

b∫a

f dx+ β

b∫a

g dx.

Beweis

1) Fur x ∈ [a, b] sei also h(x) := αf(x) + βg(x). Dann gilt fur alle x, y ∈ [a, b]

|h(x)− h(y)| ≤ |α||f(x)− f(y)|+ |β||g(x)− g(y)|.

Durch Aufsummierung ergibt sich damit fur alle Zerlegungen Z

SZ(h)− SZ(h) ≤ |α||SZ(f)− SZ(f)|+ |β|∣∣SZ(g)− SZ(g)

∣∣ .Nach Voraussetzung existieren zu ε > 0 Zerlegungen Z1, Z2 mit

|SZ1(f)− SZ1(f)| < ε

und|SZ2(g)− SZ2

(g)| < ε.

97

Setze Z := Z1 ∪ Z2. Somit ist

SZ(h)− SZ(h) < |α|ε+ |β|ε,

woraus nach Satz 9.1.8 h ∈ R([a, b]) folgt.

2) Fur jede Riemannsche Zwischensumme gilt

SZ(h, ξ) = αSZ(f, ξ) + βSZ(g, ξ)

Fur Zn mit 4(Zn)→ 0 gilt nach Korollar 9.1.10

SZn(f)→b∫a

f dx, SZn(g)→b∫a

g dx

⇒b∫a

h dx = limn→∞

SZn(h) = α

b∫a

f dx+ β

b∫a

g dx

Proposition 9.2.2.

1) Aus f, g ∈ R([a, b]) folgt fg ∈ R([a, b])

2) Falls zusatzlich |g| ≥ c > 0 gilt, so folgt fg ∈ R([a, b]).

Beweis ahnlich wie Satz 9.1.8

Proposition 9.2.3 (Monotonie des Integrals). Seien f, g ∈ R([a, b]) mit f(x) ≤ g(x)fur alle x ∈ [a, b]. Dann gilt

b∫a

f dx ≤b∫a

g dx.

Insbesondere gilt auch: ∣∣∣∣∣∣b∫a

f dx

∣∣∣∣∣∣ ≤b∫a

|f |dx

undb∫a

fg dx ≤ ‖g‖∞

b∫a

|f |dx.

Beweis Sei h := g − f ≥ 0. Dann gilt h ∈ R([a, b]). Aus der Definition des Integralsfolgt

b∫a

h dx ≥ 0.

98

Nach Satz 9.1.8 folgt daraus

0 ≤b∫a

h dx =

b∫a

g dx−b∫a

f dx.

Daraus folgt die erste Behauptung. Die weiteren Behauptungen folgen durch Anwendungauf h = |f | ± f und h = ‖g‖∞ |f | ± gf .

Definition 9.2.4 (L2-Norm, L2-Skalarprodukt). Zu f, g ∈ R([a, b]) definieren wir

‖f‖L2 = ‖f‖L2([a,b]) :=

b∫a

|f(x)|2 dx

12

(L2-Norm)

〈f, g〉L2 :=

b∫a

f(x) · g(x) dx (L2-SKP)

Bemerkung. ‖·‖L2 und 〈·, ·〉 sind Norm und SkP im Sinne von Definition ?? und Defini-tion ??.

Proposition 9.2.5 (Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung fur L2). Seien f, g ∈ R([a, b]),dann gilt:

| 〈f, g〉L2 | ≤ ‖f‖L2 ‖g‖L2(zur Erinnerung: Beweis. 0 ≤

b∫a(f − λg)2 dx, wahle λ = ‖f‖L2

‖g‖L2

).

Korollar 9.2.6 (Dreiecksungleichung fur L2). Fur f, g ∈ R([a, b]) gilt

‖f + g‖L2 ≤ ‖f‖L2 + ‖g‖L2

Beweis Ubungsaufgabe

Proposition 9.2.7.

1) f ∈ C0([a, b])⇒ f ∈ R([a, b])

2) f beschrankt und monoton auf [a, b]⇒ f ∈ R([a, b])

Beweis Ubungsaufgabe

Beispiel.

1) Fur alle x ∈ [a, b] sei f(x) = λ. Dann istb∫af dx = λ(b− a).

99

2) f(x) = x, x ∈ [0, 1]aquidistante Zerlegungen: xj = a+ b−a

n j,4(Zn) = 1n ; hier xj = j

n

Sn =n∑j=1

f(x)(xj − xj−1) =1n

n∑j=1

j

n=

1n2

12(n+ 1)n→ 1

2fur n→∞

3) f(x) = 1x ;

a∫1

f(x) dx fur a > 1 zu berechnen:

Teilpunkte xk = akn , k = 0, . . . , n

Sn =n∑k=1

f(xk−1)(xk − xk−1) =n∑k=1

a−k−1

n

(a

kn − a

k−1n

)=

n∑k=1

(a

1n − 1

)= n

(a

1n − 1

)=a

1n − 1

1n

n→∞−−−→ ln a

Fazit

• Berechnung des Integrals uber Definition muhsam

• oft einfacher, Hauptsatz (9.4.1) und Stammfunktion (8.4.4) zu benutzen

• Ist F bekannt, so kann man -umgekehrt zum obigen Verfahren- Grenzwerte vonSummen uber Integrale ausrechnen

Bemerkung

1) Das Integral einer Funktion andert sich nicht, wenn wir die Funktion an endlichvielen Stellen beliebig abandern.

2) Falls f uber einem Intervall integrierbar ist, dann auch uber jedem Teilintervall.

Proposition 9.2.8. Zerlegt man I =k⋃l=1

Il so daß Il ∩ Im = ∅ fur l 6= m.

Dann gilt ∫I

f dx =k∑l=1

∫Il

f dx

Beweis Uber Folge von Riemann-Summen, deren Feinheit gegen Null lauft.

Definition 9.2.9 (Orientiertes Integral). f ∈ R([a, b]), α, β ∈ [a, b]

β∫α

f(x) dx = −α∫β

f(x) dx falls β < α;

100

β∫α

f(x) dx = 0 falls α = β

Proposition 9.2.10. Seien f ∈ R([a, b]), α, β, γ ∈ [a, b]. Dann gilt

β∫α

f dx =

γ∫α

f dx+

β∫γ

f dx.

Beweis OBdA ist γ ∈ [α, β]. Wieder uber Folge von Riemann-Summen, deren Feinheitgegen Null lauft.

Integration vektor- und komplexwertiger Funktionen

Definition 9.2.11 (integrierbar). 1) f : [a, b] → C heißt integrierbar, falls <(f) ∈R([a, b]) und =(f) ∈ R([a, b]) und wir setzen

b∫a

f dx :=

b∫a

Re(f) dx+ i

b∫a

Im(f) dx

2) f : [a, b] → Rd heißt integrierbar, wenn die Komponentenfunktionen integrierbarsind.

Bemerkung. Alle Regeln ubertragen sich analog.

9.3 Mittelwertsatz der Integralrechnung

Definition 9.3.1 (Mittelwert). Zu f ∈ R([a, b]) heißt

−b∫a

f dx :=1

b− a

b∫a

f dx

der Mittelwert von f uber [a, b] .

Proposition 9.3.2 (Mittelwertsatz). Sei f ∈ C0([a, b]) (⇒ f ∈ R([a, b])). Dann exis-tiert ξ ∈ (a, b) mit

f(ξ) = −∫ b

af dx

Beweis Offensichtlich gilt

inf[a,b]

f ≤ −∫ b

af dx ≤ sup

[a,b]f

f stetig ⇒ nimmt jeden Wert in [inf f, sup f ] an ⇒ Behauptung.

101

9.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Inhalt: Integration ist inverse Operation zur Differentiation.

Proposition 9.4.1 (Hauptsatz).

1) Sei f ∈ C0([a, b]), x0 ∈ [a, b]. Dann ist durch

F (x) =

x∫x0

f(t) dt

eine Stammfunktion zu f gegeben und es gilt F ∈ C1([a, b]).

2) Ist F ∈ C1([a, b]) Stammfunktion zu f , dann gilt

b∫a

f(t) dt = F (b)− F (a) =: F (x)|ba

Beweis

1) Die Definition des Differenzenquotienten ergibt fur F (x)

4hF (x) =1h

(F (x+ h)− F (x))

=1h

x+h∫x0

f(t) dt−x∫

x0

f(t) dt

=

1h

x+h∫x

f(t) dt

Daraus folgt

|4hF (x)− f(x)| =

∣∣∣∣∣∣1hx+h∫x

(f(t)− f(x)) dt

∣∣∣∣∣∣≤ sup

|x−t|≤h|f(t)− f(x)|

∣∣∣∣∣∣1hx+h∫x

dt

∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸=1

h→0−−−→ 0, da f stetig

Damit existiert F ′(x) ∀x ∈ [a, b], F ′(x) = f(x).

102

2) Sei Φ(x) =x∫af(t) dt, Teil 1) ⇒ Φ ist Stammfunktion mit Φ(a) = 0

⇒b∫a

f(t) dt = Φ(b) = Φ(b)− Φ(a)

Sei F beliebige Stammfunktion ⇒ F (x) = Φ(x) + C,C ∈ R

⇒b∫a

f(x) dx = Φ(b)− Φ(a) = F (b)− F (a)

Definition 9.4.2 (unbestimmtes Integral). Zu f ∈ C0([a, b]) bezeichne das Symbol∫f dx

die Menge der Stammfunktionen zu f und heißt unbestimmtes Integral zu f . Dagegenheißt

b∫a

f dx

das bestimmte Integral von f in den Grenzen [a, b].

Beispiel.

1) f(x) = xn∫f(x) = 1

n+1xn+1

f(x) = x−n, x > 0∫f(x) = 1

−n+1x−n+1 n ≥ 2

f(x) = 1x , x > 0

∫f(x) = lnx

f(x) = xα, x > 0∫f(x) =

1

α+1xα+1 α 6= −1

lnx α = −1

2) f(x) = sinx,∫f(x) = − cosx

3) f(x) = cosx,∫f(x) = sinx

4) tan′ x = 1cos2 x

⇒∫

1cos2 x

dx = tanx

5) f(x) = ecx,∫f(x) = 1

cecx

6) f(x) = 11+x2 ,

∫f(x) = arctanx

7) Oder allgemeiner:∫

1a2+(x+b)2

dx = 1a arctan

(x+ba

)

103

8) f(x) = 1√1−x2

fur |x| < 1,∫f(x) = arcsinx

d arcsin(sin y)) = y ⇒ arcsin′(sin y)) cos y = 1

x = sin y ⇒ x2 = sin2 y = 1− cos2 y

⇒ arcsin′(x) =1√

1− x2c

9) f(x) =√

1− x2, |x| ≤ 1,∫f(x) = 1

2(x√

1− x2 + arcsinx)⇒ Flacheninhalt des Halbkreises:

=

1∫−1

√1− x2 dx =

12(x√

1− x2 + arcsinx)∣∣∣∣1−1

=12(arcsin(1)− arcsin(−1)) =

π

2

9.5 Partielle Integration

Proposition 9.5.1.

1) Seien f, g ∈ C1([a, b]). Dann gilt

b∫a

f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)|ba −b∫a

f(x)g′(x) dx

2) Seien f, g ∈ C1([a, b],Rd),df(x) = (f ′1(x), . . . , f′d(x)). Dann gilt

b∫a

〈 Df(x), g(x)〉dx = 〈f(x), g(x)〉|ba −b∫a

〈f(x),dg(x)〉dx

Beweis

1) folgt aus (fg)′ = f ′g + fg′ und dem Hauptsatz

2) folgt aus 〈f(x), g(x)〉dx = 〈df(x), g(x)〉+ 〈f(x),dg(x)〉 und Hauptsatz

Korollar 9.5.2. Sei f ∈ C0, sei F Stammfunktion zu f , sei g ∈ C1. Dann gilt∫f(x)g(x) dx = F (x)g(x)−

∫F (x)g′(x) dx.

Beispiel.

104

1)π2∫0

sin2 xdx =π2∫0

cos2 xdx = π4 , denn:

a)π2∫0

sin2 xdx = − cosx sinx|π20︸ ︷︷ ︸

=0

+π2∫0

cos2 xdx

b) π2 =

π2∫0

1 dx =π2∫0

sin2 x+ cos2 x dx

2)∫

lnxdx =∫

1 · lnxdx = x lnx−∫x 1x dx = x(lnx− 1)

3) ∫arcsinxdx = x arcsinx−

∫x(arcsinx)′ dx = x arcsinx−

∫x√

1− x2dx

= x arcsinx+∫ (√

1− x2)′

dx = x arcsinx+√

1− x2

4) (mehrfache partielle Integration)∫eax sin(bx) dx = −1

bcos(bx)eax +

a

b

∫cos(bx)eax dx

= −1b

cos bxeax +a

b2sin(bc)eax − a2

b2

∫eax sin(bx) dx

⇒∫eax sin(bx) dx =

11 + a2

b2

(−1b

cos(bx)eax +a

b2sin(bx)eax

)=

eax

a2 + b2(a sin(bx)− b cos(bx))

5) (Rekursionformeln fur Integrale) n ∈ N∫cosn xdx =

∫cosx cosn−1 xdx

= sinx cosn−1 x+ (n− 1)∫

sin2 x︸ ︷︷ ︸1−cos2 x

cosn−2 xdx

= sinx cosn−1 x+ (n− 1)∫

cosn−2 xdx− (n− 1)∫

cosn xdx

⇒∫

cosn xdx =1n

(sinx cosn−1 x)− n− 1n

∫cosn−2 xdx

105

6)∫

arctanxdx = x arctanx−∫

x

1 + x2dx︸ ︷︷ ︸

=( 12

ln(1+x2))′

= x arctanx− 12 ln(1 + x2)

9.6 Substitutionsregel

Proposition 9.6.1. Seien I, I∗ ⊂ R kompakt, f ∈ C0(I), ϕ ∈ C1(I∗) mit ϕ : I∗ → I.Dann gilt fur alle α, β ∈ I∗

ϕ(β)∫ϕ(α)

f(x) dx =

β∫α

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt

Beweis Sei F ∈ C1(I) eine Stammfunktion zu f . Sei g(t) = F (ϕ(t))

⇒ g′(t) = F ′(ϕ(t))ϕ′(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t).

⇒β∫α

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

β∫α

g′(t) dt = g(β)− g(α)

= F (ϕ(β))− F (ϕ(α)) =

ϕ(β)∫ϕ(α)

f(x) dx

Bemerkung.

• Formel gilt fur alle Riemann-integrierbaren Funtkionen (f muss nicht stetig sein)

• Formel gilt ebenso -komponentenweise- fur f ∈ C0([a, b],Rd) bzw Riemann-integrierbaref : [a, b]→ Rd

• mehrdimensionale Variante wird wichtig sein (Koordinatentransformation)

• Merkregel x = ϕ(t), dxdt = ϕ′(t)⇒ dx = ϕ′(t) dt

Beispiel.

1)b∫af(x+ c) dx t=x+c=

b+c∫a+c

f(t) dt

2)b∫af(cx) dx t=cx= 1

c

cb∫caf(t) dt

3)∫ baϕ′(t)ϕ(t) dt

x=ϕ(t)=

ϕ(b)∫ϕ(a)

1x

ddt = ln |ϕ(t)|

106

4)∫

Bt+Ct2+2bt+c

dt; B,C, b, c ∈ R. Idee: Wir schreiben den Zahler als Ableitung desNenners, um Beispiel 3 benutzen zu konnen:

q(t) = t2 + 2bt+ c

q′(t) = 2t+ 2b = 2(t+ b)

⇒ Bt+ C

t2 + 2bt+ c=B

2q′(t)q(t)

− Bb

q(t)+

C

q(t)=B

2q′(t)q(t)

+C −Bbq(t)

⇒∫

Bt+ C

t2 + 2bt+ cdt =

B

2ln |t2 + 2bt+ c|+ |C −Bb|

∫1q(t)

dt

Es bleibt noch∫

1q(t) dt zu berechnen.

1.Fall: q(t) hat keine reelle Nullstell, d.h. b2 < c:Idee bringe Integral durch Substitution auf die Form

ϕ′(t)ϕ2(t) + 1

Stammfunktion arctan(ϕ(t)).Dazu:

1q(t)

=1

t2 + 2t+ c=

1(t+ b)2 + c− b2

=1

(c− b2)[(

t+b√c−b2

)2+ 1]

Mit ϕ(t) = t+b√c−b2 berechnet man

1q(t)

=1√c− b2

ϕ′(t)ϕ2(t) + 1

⇒∫

1q(t)

dt =1√c− b2

arctan(

t+ b√c− b2

)

2.Fall: q(t) hat eine reelle Nullstelle, d.h. c = b2

⇒∫

1t2 + 2bt+ c

dt =∫

1(t+ b)2

dt = − 1t+ b

107

3.Fall: q(t) hat zwei reelle Nullstellen, d.h. b2 > c

1q(t)

=1

t2 + 2bt+ b2 − (b2 − c)︸ ︷︷ ︸d2

=1

(t+ b+ d)(t+ b− d)

=(

1t+ b− d

− 1t+ b+ d

)12d

(PBZ)

⇒∫

1q(t)

dt =1

2√b2 − c

ln

∣∣∣∣∣ t+ b−√b2 − c

t+ b+√b2 − c

∣∣∣∣∣5) Sei x = r sinϕ⇒ dx = r cosϕ dϕ

⇒r∫

0

√r2 − x2 dx =

π2∫

0

√r2 − r2 sin2 ϕ r cosϕ = r2

π2∫

0

cos2 ϕ dϕ = r2π

4

(r = 1 : Flache unter Halbkreis)

9.7 Integration rationaler Funktionen

Definition 9.7.1 (rationale Funktion). Eine Funktion der Form

r(x) =p(x)q(x)

mit reellen Polynomen p(x) und q(x) heißt rationale Funktion. Sie ist außerhalb derNullstellen von q(x) definiert.

Bemerkung. Man kann jede rationale Funktion schreiben als

r(x) = p0(x) +p1(x)q(x)

wobei p1(x) kleineren Grad hat als q(x) (p1q ist sogenannte echt gebrochenrationale Funk-tion) es genugt, die Integration echt gebrochenrationaler Funktionen zu untersuchen.

Partialbruchzerlegung

Es existiert immer eine eindeutige Zerlegung (Beweis → Algebra) der Form

P1(x)q(x)

=n1∑j=1

n2∑k=1

Akj(x− aj)2

+m1∑k=1

m2∑l=1

Bklx+ Ckl(x2 + 2bkx+ ck)l

108

wobei (x2 + 2bkx+ ck) irreduzibel, d.h. b2k < ck. Es genugt, Integrale der Form

i)∫

dx(x− a)l

dx

ii)∫

x+ b

(x2 + 2bx+ c)ldx

iii)∫

1(x2 + 2bx+ c)l

dx

zu berechen, wobei b2 < c gilt.

i)∫

dx(x− a)

= ln(x− a);∫

dx(x− a)i

=1

1− i|x− a|1−i fur i > 1

ii)∫

x+ b

x2 + 2bx+ cdx =

12

ln |x2 + 2bx+ c|∫x+ b

(x2 + 2bx+ c)ldx =

12

11− l

(x2 + 2bx+ c)1−l fur l > 1

iii) x2 + 2bx+ c = (x+ b)2 + c− b2; ϕ(x) =x+ b√c− b2

, ϕ′(x) =1√c− b2

⇒ 1(x2 + bx+ c)l

=1

(c− b2)l(ϕ2(x) + 1)l=

1

(c− b2)l−12

ϕ′(x)(ϕ2(x) + 1)l

⇒∫

dx(x+ 2bx+ c)l

=1

(c− b2)l−12

∫ϕ′(x)

(ϕ2 + 1)ldx︸ ︷︷ ︸R

1

(y2+1)ldy=:Il

Zur Berechnung von Il :

Il =∫

1(y2 + 1)l

dypart Int

=y

(y2 + 1)l+ 2l

∫y2

(y2 + 1)l+1︸ ︷︷ ︸1

(y2+1)l− 1

(y2+1)l+1

dy

=y

(y2 + 1)l+ 2lIl − 2lIl+1

⇒ Il+1 =12l

y

(y2 + 1)l+(

1− 12l

)Il

⇒ Il+1 kann sukzessive auf Il zuruckgefuhrt werden

I1 = arctan y = arctan(

x+ b√c− b2

)

Beispiel.

109

Wir wollen ∫1

x3 − x2dx =

∫1

x2(x− 1)dx

berechnen.

Ansatz.1

x3 − x2=a

x+

b

x2+

c

x− 1(*)

Wir haben zwei Moglichkeiten.

1) Koeffizientenvergleich.

1x3 − x2

=ax(x− 1) + b(x− 1) + cx2

x2(x− 1)=x2(a+ c) + x(b− a)− b

x2(x− 1)

⇒ b = −1, a = b = −1, c = −a = 1

2) Grenzwertmethode. Multipliziere (*) i) mit x2

ii) mit (x− 1)iii) mit x

i)⇒ 1x− 1

= ax+ b+ cx2

x− 1, x→ 0⇒ b = −1

ii)⇒ 1x2

=a(x− 1)

x+b(x− 1)x2

+ c, x→ 1⇒ c = 1

iii)⇒ 1x(x− 1)

= a+b

x+

c

1− 1x

, x→∞⇒ c+ a = 0⇒ a = −1

⇒∫

dxx3 − x2

=∫ (−1x

+1x2

+1

x− 1

)dx = ln

|x− 1||x|

+1x

9.8 Uneigentliche Integrale I

Bisher haben wir noch nicht betrachtet, wenn zum Beispiel eine der Grenzen des Integrals∞ ist:

∞∫0

e−x2dx = lim

R→∞

R∫0

e−x2dx

Definition 9.8.1 (uneigentliches Integral). Seien J = [a,∞), f ∈ R([a, b]) fur alle b ∈(a,∞). Wir definieren das uneigentliche Integral

∞∫a

f(x) dx := limb→∞

b∫a

f(x) dx

falls der Grenzwert existiert. Ansonsten heißt∞∫af(x) dx divergent.

110

Bezeichnung. Fallsb∫af(x) dx b→∞−−−→ ±∞ schreiben wir

∞∫af(x) dx = ±∞.

Proposition 9.8.2 (Konvergentes Integral). Sei f ∈ R([a, b]).∞∫af(x) dx konvergiert

genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein ξ ≥ a existiert, so daß∣∣∣∣∣∣b′∫b

f(x) dx

∣∣∣∣∣∣ < ε fur alle b, b′ mit ξ < b < b′.

Definition 9.8.3 (Absolut konvergentes Integral). Das uneigentliche Integral∞∫af(x) dx

heißt absolut konvergent, falls∞∫a

|f(x)|dx

konvergiert.

Proposition 9.8.4 (Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz). Falls∞∫af(x) dx ab-

solut konvergiert, dann konvergiert es auch.

Beweis folgt mit ∣∣∣∣∣∣b′∫b

f(x) dx

∣∣∣∣∣∣ ≤b′∫b

|f(x)|dx ∀a < b < b′ <∞.

Bemerkung.

∞∫a

|f(x)|dx ist konvergent ⇔ ∃C :

b∫a

|f(x)|dx ≤ C fur b ∈ [a,∞)

Proposition 9.8.5 (Majorantenkriterium). Sei f ∈ R([a, b]). Falls eine auf [a, b] inte-

grierbare Funktion g ≥ 0 existiert mit∞∫ag(x) dx < ∞ und falls ein y ≥ a existiert, so

daß fur alle x > y|f(x)| ≤ g(x)

gilt, dann ist∞∫a

f(x) dx

absolut konvergent.

111

Beweis folgt mit

b′∫b

|f(x)|dx ≤b′∫b

g(x) dx fur y < b < b′ aus Proposition 9.8.2

Beispiel.

1)∞∫0

sinxx dx ist konvergent, aber nicht absolut konvergent.

Bemerkung. limx0

sinxx

8.4.3= limx0

cosx1 = 1

⇒ Wir betrachten also f(x) :=

sinxx , x > 01 , x = 0

.

Beweis

Konvergenz. Sei 0 < b < b′ :

b′∫b

sinxx

dx = −cosxx

∣∣∣b′b−

b′∫b

cosxx2

dx

⇒

∣∣∣∣∣∣b′∫b

sinxx

dx

∣∣∣∣∣∣ ≤(

1b

+1b′

)+

1b≤ 3b

b→∞−−−→ 0

konvergiert nach Proposition 9.8.2.

Absolute Konvergenz. Vergleich mit harmonischer Reihe

kπ∫0

∣∣∣∣sinxx∣∣∣∣ dx =

k∑l=1

lπ∫(l−1)π

∣∣∣∣sinxx∣∣∣∣ dx

≥k∑l=1

1lπ

lπ∫(l−1)π

| sinx|dx

︸ ︷︷ ︸=2

=2π

k∑l=1

1l

k→∞−−−→∞

⇒∞∫0

∣∣ sinxx

∣∣ dx konvergiert nicht absolut.

112

2) Falls |f(x)| ≤ cxα fur ein c > 0, α > 1 fur alle x > x0 > 0, dann ist

∞∫0

f(x) dx

absolut konvergent, denn mit∞∫y

dxxα = y−α+1

α−1 fur y > 0 folgt dies aus Proposition

9.8.5.⇒

∞∫a

sinxxα dx,

∞∫a

cosxxα dx absolut konvergent fur α > 1.

3) Fresnelsche Integrale

∞∫0

sin(x2) dx,

∞∫0

cos(x2) dx existieren, obwohl fur die Integranden f(x) nicht limx→∞

f(x) = 0 gilt.

b′∫b

sin(x2) dx t=x2

=

b′2∫b2

sin t2√t

dt 9.5.1=cos t2√t

∣∣∣∣b′2b2︸ ︷︷ ︸

b,b′→∞−−−−−→0

−b′2∫b2

cos t

t32

dt

︸ ︷︷ ︸b,b′→∞−−−−−→0

b′∫b

cos(x2) dx analog

4) Sei Γ(x) :=∞∫0

tx−1e−t dt. (”Gammafunktion“)

Dann gilt:

a) Γ(1) = 1

b) Γ(n+ 1) konvergiert

c) Γ(n+ 1) = nΓ(n)

Daraus folgt dann: n! =∞∫0

e−ttn dt = Γ(n+ 1).

Beweis

a)∞∫0

e−t dt = −e−t∣∣∞0

= 1

b) e−ttn ≤ (n+ 2)!t−2 da aus Reihenentwicklung et ≥ tn+2

(n+2)!

⇒ (n+2)!t2

ist Majorante ⇒ Γ(n+ 1) konvergiert

c)R∫0

e−ttn dt = −e−ttn∣∣R0︸ ︷︷ ︸

R→∞−−−−→0

+nR∫0

e−ttn−1 dt

113

Frage: Wie definieren wir∞∫

−∞f(x) dx ?

Wir sagen,∞∫−∞

f(x) dx konvergiert, wenn sowohl∞∫af(x) dx als auch

a∫∞f(x) dx konvergieren. Dazu setze

∞∫−∞

f(x) dx =

∞∫a

f(x) dx+

a∫∞

f(x) dx

Achtung! Warum definieren wir nicht∞∫−∞

f(x) dx = limR→∞

R∫−R

f(x) dx ?

Dieses Integral kann existieren, ohne daß∞∫af(x) dx und

a∫−∞

f(x) dx existieren.

Beispiel. f(x) = x3.

Bemerkung.

– Phanomen kann nicht auftreten falls f > 0.

– falls limR→∞

R∫−R

f(x) dx existiert, so heißt das Integral Cauchyscher Hauptwert.

–∞∫−∞

f(x) dx heißt absolut konvergent, falls∞∫−∞|f(x)|dx existiert.

Proposition 9.8.6. Das uneigentliche Integral∞∫−∞|f(x)|dx existiert genau dann, wenn

gilt

∃c > 0 :

R∫−R

|f(x)|dx ≤ c ∀R > 0.

9.9 Uneigentliche Integrale II

Wir betrachten Funktionen f : (a, b] → R oder f : [a, b) → R, die auf kompak-ten Teilintervallen beschrankt und integrierbar sind, fur die aber gilt, daß lim

x→af(x) =

±∞ bzw limx→b

= ±∞.

Bemerkung. Falls limx→a

f(x) =∞, konnen wir keine Obersummen auf [a, b] definieren.

114

Definition 9.9.1. Falls limξ→a

b∫ξ

f(x) dx bzw. limξ→b

ξ∫af(x) dx existiert, dann sagen wir, daß

f auf [a, b] integrierbar ist und wir setzen

b∫a

f(x) dx := limξ→a

b∫ξ

f(x) dx bzw.

b∫a

f(x) dx := limξ→b

ξ∫a

f(x) dx.

Fallsb∫a|f(x)|dx integrierbar, dann heißt

b∫af(x) dx absolut konvergent.

Proposition 9.9.2. Falls |f(x)| ≤ ϕ(x) fur alle x ∈ (a, b] und falls ∀ξ > a :b∫ξ

ϕ(x) dx <

C, dann istb∫af(x) dx absolut konvergent und es gilt

b∫a

|f(x)|dx ≤ C.

Definition 9.9.3. f habe in c ∈ (a, b) eine singulare Stelle, d.h. limx→c

f(x) = ±∞. Dann

sagen wir, daßb∫af(x) dx existiert, falls sowohl

c∫af(x) dx als auch

b∫cf(x) dx existieren

und wir setzenb∫a

f(x) dx =

c∫a

f(x) dx+

b∫c

f(x) dx.

Bemerkung. Anders definiert ist der Cauchysche Hauptwert uber

b∫a

f(x) dx = limε→0

∫(a,b)\(c−ε,c+ε)

f(x) dx.

Beispiel.1∫−1

1x dx existiert nicht, denn

ξ∫−1

1x

dx = ln |ξ| ξ→0−−−→ −∞, ebenso limξ0

1∫ξ

dxx

=∞.

115

Aber

∫(−1,1)\(−ε,ε)

dxx

=

−ε∫−1

dxx

+

1∫ε

dxx

= ln | − ε| − ln | − 1|︸ ︷︷ ︸=0

+ ln 1︸︷︷︸=0

− ln ε = 0.

9.10 Riemannsches Integralkriterium

Proposition 9.10.1. f : [1,∞) → R, f sei monoton fallend, f ≥ 0 und an = f(n).

Dann konvergiert∞∑n=1

an genau dann, wenn∞∫1

f(x) dx konvergiert.

Beweis f fallt monoton und somit ist

f(k + 1) ≤k+1∫k

f(x) dx ≤ f(k).

Mit der Linearitat des Integrals 9.2.1 ist

N+1∑n=2

an ≤N+1∫1

f(x) dx ≤N∑n=1

an ∀N ∈ N.

Die Richtung “⇒” folgt aus dem Einschlusskriterium 4.2.5.Die andere Richtung “⇐” ebenso, wenn man

k+1∫k

f(x) dx ≤ f(k) ≤k∫

k−1

f(x) dx

verwendet.

Beispiel.

1)∑n

1n divergent, da

∞∫1

1x dx divergent.

2)∑n

1nα konvergiert fur α > 1, da

∞∫1

dxxα konvergiert.

116

3)

f(x) = ln(lnx), f ′(x) =1

x lnx⇒∑n

1n lnn

divergiert

f(x) = (ln(x))1−s, f ′(x) = (1− s) 1(lnx)sx

, s > 1

⇒∞∫2

1x(lnx)s

dx = limξ→∞

ξ∫2

dxx(lnx)s

= limξ→∞

(lnx)1−s∣∣∣∣ξ2

= −(ln 2)1−s.

⇒∑n

1n(lnn)s

konvergiert fur s > 1.

9.11 Weitere Vertauschungssatze

Beispiel.

sn(x) =n∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!=

n∑k=0

fk(x)

s′n(x) =n∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!=

n∑k=0

f ′k(x)

Frage. Falls sn(x) → s(x) und s′n(x) → t(x), ist dann s differenzierbar und gilts′(x) = t(x)? Im Bsp. gilt in der Tat s(x) = sinx, t(x) = cosx⇒ s′(x) = t(x).

Allgemeine Fragen.

1) (fn) sei Folge differenzierbarer Funktionen und fn(x)→ f(x) ∀x.Gilt f ′n(x)→ g(x) und falls ja, gilt f ′(x) = g(x)?D.h. wann konnen wir die Grenzprozesse ”’ “ und ”n→∞“ vertauschen?

2) (fn) sei Folge integrierbarer Funktionen mit fn(x)→ f(x) ∀x.Wann ist f integrierbar und wann gilt

∫f(x) dx = lim

n→∞

∫fn dx?

(Gegen-)Beispiel: zu 1.

fn(x) =sin(nx)√

n⇒ sup

x∈R|fn(x)| ≤

1√n⇒ fn → 0 gleichmaßig auf R

f ′n(x) =√n cos(nx), f ′n(x) divergiert ∀x

117

Proposition 9.11.1 (Vertauschungssatz 2∗). Sei fn ∈ R([a, b]) und fn konvergieregleichmaßig gegen f : [a, b]→ R. Dann ist f ∈ R([a, b]) und

b∫a

f(x) dx = limn→∞

b∫a

fn(x) dx.

Beweis Zu ε > 0 sei n0 so, daß ‖f − fn0‖∞ < ε. Daraus folgt, daß

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(y)|+ |fn(y)− f(y)|≤ 2ε+ |fn(x)− fn(y)| ∀x, y ∈ [a, b],∀n ≥ n0.

Wahle festes n ≥ n0. Zu diesem n und zu ε > 0 wahle Zerlegung Z, so daß

SZ(fn)− SZ(fn) < ε

⇒ SZ(f)− SZ(f) < 2ε+ SZ(fn)− S(fn) < 3ε.

Berechnung des Integrals:∣∣∣∣∣∣b∫a

f(x) dx−b∫a

fn(x) dx

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣b∫a

(f − fn) dx

∣∣∣∣∣∣≤

b∫a

|f − fn|dx

≤ ‖f − fn‖∞ |b− a|n→∞−−−→ 0

Bemerkung. Der Satz gilt nicht fur unbeschrankte Integrationsbereiche.

Proposition 9.11.2 (Vertauschungssatz 3). Sei fn ∈ C1([a, b]) mit fn(x)→ f(x) ∀x ∈[a, b]. Ausserdem gilt f ′n → g gleichmaßig auf [a, b]. Dann gilt auch f ∈ C1([a, b]) und esgilt f ′ = g.

Beweis Nach Voraussetzung ist f ′n stetig. Also ist g auch stetig. Nach Hauptsatz gilt

fn(x) = fn(a) +

x∫a

f ′n(t) dt (9.1)

Aus Proposition 9.11.1 folgtx∫a

f ′n(t) dt→x∫a

g(t) dt.

∗Der erste Vertauschungssatz war 7.10.3, siehe [Koe2004], 15.2.

118

Nach Voraussetzung fn(x) → f(x) und fn(a) → f(a). Insgesamt erhalten wir durchGrenzubergang von (9.1) :

f(x) = f(a) +

x∫a

g(t) dt.

Mit Hauptsatz folgt die Behauptung.

Eine Anwendung auf Potenzreihen:

Korollar 9.11.3. Sei f(x) =∞∑n=0

anxn eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius R >

0. Dann ist f in (−R,R) differenzierbar und es gilt f ′(x) =∞∑n=1

annxn−1.

Beweis Sei fn(x) =n∑k=0

akxk. Wir wissen aus Proposition 7.12.3, daß fur jedes r <

R fn in [−r, r] gleichmaßig gegen f konvergiert. f ′n(x) =n∑k=1

akkxk−1 und diese Reihe

hat ebenfalls den Konvergenzradius R. ⇒ f ′n konvergiert gleichmaßig auf [−r, r] ∀r <R gegen

∞∑k=1

akkxk−1. Nach Proposition 9.11.2 ist also f differenzierbar und f ′(x) =

∞∑k=1

akkxk−1 ∀|x| < R.

119

10 Lokale Approximation von Funktionen

10.1 Approximation mit Taylorpolynomen

Motivation.

Die Tangente in (x0, f(x0)) kann man als (affine) lineare Approximation an den Graphenvon f in (x0, f(x0)) interpretieren, d.h.

T1f(x, x0) := f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

ist (affin) linear und erfullt T1f(x0, x0) = f(x0), (T1f)′(x0, x0) = f ′(x0).

Idee.

Wir wollen diese Approximation verbessern, indem wir ein quadratisches Polynom ap-proximieren, so daß auch f ′′(x0) mit der Approximation ubereinstimmt.

T2f(x) = T2f(x, x0) := f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + f ′′(x0)(x− x0)2

2

Beispiel. f(x) = ex, x0 = 0⇒ T1f(x) = 1 + x, T2f(x) = 1 + x+ 12x

2

Definition 10.1.1 (Taylorpolynom). Zu f ∈ Cn([a, b]) und x0 ∈ (a, b) definieren wirdas n-te Taylorpolynom von f in x0 uber

Tnf(x) = Tnf(x, x0) =n∑k=0

f (k)(x0)(x− x0)k

k!

Bemerkung. Falls f Polynom vom Grade n, dann ist Tnf(x, x0) = f(x) ∀x, x0.Frage. Wie gut approximiert das Taylorpolynom die Funktion f in einer Umgebung

von x0, d.h. also lokal um x0? Dazu definieren wir das Restglied

Rn+1(x) = Rn+1(x, x0) := f(x)− Tnf(x, x0)

Ziel ist es, das Restglied geeignet darzustellen und abzuschatzen.

Proposition 10.1.2 (Satz von Taylor, Integralformel furRn+1). Sei f ∈ Cn+1([a, b]);x0 ∈(a, b), x ∈ [a, b]. Dann gilt

Rn+1(x, x0) =

x∫x0

(x− t)n

n!f (n+1)(t) dt

120

Beweis (induktiv:)

n = 0 : Aus dem Hauptsatz folgt:

f(x) = f(x0) +

x∫x0

f ′(t) dt = T0f(x, x0) +R1(x, x0) X

n− 1 n : Nach Induktionsvoraussetzung:

f(x) = Tn−1f(x, x0) +

x∫x0

(x− t)n−1

(n− 1)!︸ ︷︷ ︸=− d

dt

“(x−t)n

n!

”f (n)(t) dt

part Int= Tn−1f(x, x0)−

(x− t)n

n!f (n)(t)

∣∣∣∣xx0

+

x∫x0

(x− t)n

n!f (n+1)(t) dt

= Tnf(x, x0) +Rn+1(x, x0)

Mit einer Variante des MWS der Integralrechnung konnen wir noch eine andere Formfur Rn+1 herleiten.

10.1.1 Verallgemeinerter MWS der Integralrechnung

Sei f ∈ C0([a, b]) und p ∈ R([a, b]), p ≥ 0. Dann existiert ξ ∈ (a, b) mit

b∫a

f(x)p(x) dx = f(ξ)

b∫a

p(x) dx

Beweis genau wie einfacher MWS

Proposition 10.1.3 (Lagrangsche Form des Restgliedes). Seien die Voraussetzungenwie in Satz 10.1.2. Dann existiert ein ξ zwischen x0 und x, so daß

f(x) = Tnf(x, x0) + f (n+1)(ξ)(x− x0)n+1

(n+ 1)!

Beweis f (n+1) ist nach Voraussetzung stetig, aus dem verallg MWS folgt dann, daß esein ξ gibt zwischen x0 und x, so daß

x∫x0

f (n+1)(t)(x− t)n

n!dt = f (n+1)(ξ)

x∫x0

(x− t)n

n!dt = f (n+1)(ξ)

(x− x0)n+1

(n+ 1)!

Mit Satz 10.1.2 folgt die Behauptung.

Wir konnen Satz 10.1.2 und 10.1.3 sowohl zur Abschatzung der Große des Fehlers alsauch zur Bestimmung des Vorzeichens ausnutzen.

121

Beispiel.

1) f(x) = cosx, | cos(n+1)(ξ)| ≤ 1 ∀ξ ∈ R, x0 = 0, Tnf(x) =n∑k=0

(−1)k x2k

(2k)! ;

⇒

∣∣∣∣∣cosx−n∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!

∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣cos(n+1)(ξ)∣∣∣︸ ︷︷ ︸

≤1

|x|n+1

|n+ 1|!≤ |x|

n+1

|n+ 1|!

2) f ∈ C2([a, b]), f konvex ⇒ f ′′(x) ≥ 0, x0 ∈ (a, b), x ∈ [a, b]Mit Satz 10.1.3 folgt:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + f ′′(ξ)︸ ︷︷ ︸≥0

(x− x0)2

2︸ ︷︷ ︸≥0

≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

Dies ist gerade das Tangentenkriterium fur konvexe Funktionen.

Wir fuhren eine geeignete Notation ein, um auszudrucken, wie sich eine Funktion inder Umgebung eines Punktes zu einer anderen Funktion verhalt.

Definition 10.1.4 (Landausche Ordnungssymbole). Sei M ⊂ Rn, xn ∈M , f : M → R,g : M → R, g(x) 6= 0 ∀x 6= x0; x ∈ Bε(x0) ∩M

1) Wir sagen f(x) = O(g(x)) (”f ist gross O von g“) fur x → x0, falls ein C ∈ Rexistiert, so daß

∣∣∣f(x)g(x)

∣∣∣ ≤ C ∀x 6= x0, x ∈M ∩Bε(x0) fur ε > 0.

2) Wir sagen f(x) = o(g(x)) (”f ist klein o von g“) fur x→ x0, falls limx→x0

f(x)g(x) = 0.

3) Wir sagen f und g sind asymptotisch gleich fur x→ x0 (f ∼ g), falls limx→x0

f(x)g(x) = 1.

(Spezialfall von 1.)

Beispiel.

1) x+ x2 = O(|x|) fur x→ 0

2) x2 = o(|x|) fur x→ 0

3) sinx ∼ x fur x→ 0

Korollar 10.1.5. f ∈ Cn+1([a, b]), x0 ∈ (a, b), x ∈ [a, b]

⇒ f(x) =n∑k=0

f (k)(x0)(x−x0)k

k! − o(|x− x0|n)

Beispiel. f : (−1,∞)→ R, f(x) =√

1 + x⇒ f(x) = 1 + x2 + o(|x|) fur x→ 0

122

10.2 Taylor-Reihen

Definition 10.2.1 (Taylor-Reihe). f ∈ C∞([a, b]), x0 ∈ (a, b). Dann heißt

Tf(x) = Tf(x, x0) =∞∑k=0

f (k)(x0)k!

(x− x0)k

Taylor-Reihe von f im Punkt x0.

Bemerkung.

1) Der Konvergenzradius von Tf muss nicht notwendig positiv sein.

2) Die Taylorreihe konvergiert fur x⇔ limn→∞

f (n)(x) = 0.

3) Falls die Taylorreihe konvergiert, dann nicht unbedingt gegen f(x).

Beispiel. zu 3.

f(x) =

e−

1x2 : x 6= 0 f (n)(0) = 0

0 : x = 0

Wir zeigen f ∈ C∞(R) mit ∀n ∈ N⇒ Tf(x, 0) ≡ 0 6= f(x) ∀x 6= 0

Wir zeigen, daß es Polynome pn gibt, so daß

f (n)(x) = pn

(1x

)e−

1x2 ∀x 6= 0

Induktion:

IA: n = 0X

IS: n n+ 1 : Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein Polynom pn mit

x 6= 0 : f (n)(x) = pn

(1x

)e−

1x2

⇒ f (n+1)(x) = e−1

x2

[2x3pn

(1x

)+ p′n

(1x

)(− 1x2

)]︸ ︷︷ ︸

=pn+1( 1x)

x = 0 : f (n+1)(0) = limx→0

f (n)(x)− f (n)(0)x

=1xpn

(1x

)e−

1x2 → 0 fur x→ 0 (Eigenschaften der Exponentialfunktion)

Beispiel.

1) f(x) = ex, x0 = 0 : Tf(x, 0) =∞∑k=0

xk

k!

2) f(x) = sinx, x0 = 0 : Tf(x, 0) =∞∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k+1)!

123

3) f(x) = cosx, x0 = 0 : Tf(x, 0) =∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!

exp, sin, cos sind reell analytische Funktionen

Definition 10.2.2 (reell analytisch). f : I ⊂ R → R heißt reell analytisch, falls zujedem x0 ∈ R ein δ > 0 existiert, so daß die Taylorreihe von f in Bδ(x0) konvergiert undihr Wert gleich f(x) ist.

Bemerkung.

• Beispiel f(x) = e−1

x2 zeigt, daß nicht jede Funktion ∈ C∞() auch reell analytischist.

• Falls eine Funktion durch eine Potenzreihe gegeben ist, dann ist die Potenzreihegleich der Taylorreihe und die Funktion ist reell analytisch.

• Aus den Darstellungen des Restgliedes kann man hinreichende Kriterien herleiten,daß die Taylorreihe gegen f(x) konvergiert.

10.3 Die Logarithmusreihe und Abelscher Grenzwertsatz

Lemma 10.3.1. Fur x0 > 0 gilt: Sei 0 < x ≤ 2x0, dann gilt

ln(x) = ln(x0) +∞∑n=1

(−1)n−1

n

(x− x0

x0

)n.

Beweis

lnx = ln(x0 + x− x0) = ln[x0 ·

(1 +

x− x0

x0

)]= lnx0 + ln

(1 +

x− x0

x0

)Proposition 10.3.2 (Abelscher Grenzwertsatz). Sei

∞∑n=0

cn eine konvergente reelle

Reihe. Dann konvergiert f(x) :=∞∑n=0

cnxn gleichmaßig auf [0, 1], insbesondere gilt

limx1

∞∑n=0

cnxn =

∞∑n=0

cn.

Beweis Aus der Voraussetzung folgt, daß∑cnx

n einen Konvergenzradius ≥ 1 hat undauch fur x = 1 konvergiert. Zu zeigen ist die gleichmaßige Konvergenz, es soll also geten

limk→∞

supx∈[0,1]

∣∣∣∣∣∞∑n=k

cnxn

∣∣∣∣∣ = 0.

Dazu definieren wir

sn :=∞∑

j=n+1

cj ,

124

dann gilt sn−sn−1 = −cn, limn→∞

sn = 0. Da |sn| ≤ C, gilt nach dem Majorantenkriterium

∞∑n=0

snxn <∞

fur alle x ∈ [0, 1).

l∑n=k

cnxn = −

l∑n=k

snxn +

l∑n=k

sn−1xn

︸ ︷︷ ︸=

l−1Pn=k−1

snxn+1=xl−1P

n=k−1

snxn

= −slxl + sk−1xk + (x− 1)

l−1∑n=k

snxn

Der Grenzubergang l→∞ liefert:∞∑n=k

cnxn = sk−1x

k + (x− 1)∞∑n=k

snxn

Zu ε > 0 wahle k0 ∈ N so, daß |sk| < ε ∀k ≥ k0 − 1

⇒ supx∈[0,1]

∣∣∣∣∣∞∑n=k

cnxn

∣∣∣∣∣ ≤ |sk−1| |xk|︸︷︷︸≤1

+supn≥k|sn| |x− 1|

∞∑n=k

|x|n︸ ︷︷ ︸≤1

≤ 2ε fur k ≥ k0

Proposition 10.3.3 (Taylorreihe des Logarithmus). Fur x ∈ (−1, 1] gilt:

ln(1 + x) =∞∑k=1

(−1)n−1xn

n

Beweis Sei zunachst |x| < 1.

ln(1 + x) = ln(1 + t)|x0 =

x∫0

11 + t

dt =

x∫0

∞∑n=0

(−1)ntn dt

Die geometrische Reihe hat eine Konvergenzradius, damit folgt aus den Resultaten ubergleichmaßige Konvergenz von Reihen, daß

∑(−1)ntn in [−|x|, |x|] konvergiert. ⇒ Mit

Vertauschungssatz 2 (Satz 9.11.1) folgt:x∫

0

∞∑n=0

(−1)ntn dt =∞∑n=0

x∫0

(−1)ntn dt

125

⇒ ln(1 + x) =∞∑n=0

x∫0

(−1)ntn dt =∞∑n=0

(−1)n1

n+ 1xn+1 =

∞∑n=1

(−1)nxn

n

Damit ist der Satz fur |x| < 1 bewiesen. Nach dem Leibniz-Kriterium ist∞∑n=1

(−1)n−1

n

konvergent. Aus dem Abelschen Grenzwertsatz folgt dann:

ϕ(x) :=∞∑n=1

(−1)n−1xn

n

ist auf [0, 1] stetig, ln(1 + x) ist stetig

⇒∞∑n=1

(−1)n

n= ln 2.

126

11 Elemente der Topologie

11.1 Metrische und normierte Raume

Definition 11.1.1 (Metrik, metrischer Raum, Abstand). Sei X eine Menge. Eine Metrikd : X ×X → [0,∞] ist eine Abbildung mit

(M1) d(x, x) = 0 und d(x, y) > 0 ∀x, y ∈ X,x 6= y (Positive Definitheit)

(M2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie)

(M3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung)

Ein Paar (X, d) heißt metrischer Raum (kurzer: nur X). d(x, y) heißt der Abstand vonx zu y.

Beispiel

1) X = Rn, ‖ · ‖ sei Norm auf Rn. d(x, y) := ‖x− y‖Beispiele:

• ‖x‖p = (∑n

i=1 xpi )

1p

• ‖x‖∞ = max|x1|, . . . , |xn|• |x| = ‖x‖2 (euklidische Norm)

2) diskrete Metrik: X sei eine Menge. d(x, y) =

0 x = y

1 x 6= y

3) Metrik der franzosischen Eisenbahn: X = R2, x0 ∈ R2 ∗,

d(x, y) =

0 x = y

|x− x0|+ |y − x0| x 6= y

4) X = C0([a, b]), d(f, g) = ‖f − g‖∞ = supx∈[a,b] |f(x)− g(x)|

5) (X, d) sei ein metrischer Raum, A ⊆ X. Die induzierte Metrik auf A ist gegebendurch da(x, y) := d(x, y). Damit ist (A, dA) metrischer Raum.Beispiel : X = R2, A = γ(t) | t ∈ R Kurve. da(x, y) = |x− y|. Anderer moglicherAbstand: Lange der Kurve zwischen x und y.

∗x0 ist naturlich Paris . . .

127

Wichtige Beispiele metrischer Raume sind normierte Vektorraume, wie in Beispielen 1und 4.

Definition 11.1.2 (Skalarprodukt, euklidischer Vektorraum). Sei V ein reeller Vektor-raum. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung 〈·, ·〉 : V × V → R mit den Eigenschaften:

(S1) 〈u, u〉 ≥ 0, 〈u, u〉 = 0⇔ u = 0 ∀u ∈ V (Positive Definitheit)

(S2) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 ∀u, v ∈ V (Symmetrie)

(S3) 〈λu+ µv,w〉 = λ 〈u,w〉+ µ 〈v, w〉 ,∀u, v, w ∈ V, λ, µ ∈ K (Bilinearitat)

Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt (V, 〈·, ·〉) heißt euklidischer Raum.

Definition 11.1.3 (Norm). V sei reeller Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbil-dung ‖ · ‖ : V → [0,∞) mit den folgenden Eigenschaften:

(N1) ‖u‖ ≥ 0 ∀u ∈ V und ‖u‖ = 0⇔ u = 0 (Positive Definitheit)

(N2) ‖λu‖ = |λ| · ‖u‖,∀u ∈ V ∀λ ∈ R(K) (Homogenitat)

(N3) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ (Dreiecksungleichung)

Ein Vektorraum mit einer Norm (V, ‖ · ‖) heißt normierter Vektorraum.

Beispiel V = C0([a, b]), ‖f‖Lp = (∫ ba |f(x)|p)

1p “Lp-Norm”

Proposition 11.1.4 (normierter Raum ist metrischer Raum). Sei (V, ‖ · ‖) normierterVektorraum. Dann wird V mit d(x, y) = ‖x − y‖ zum metrischen Raum. Dies ist diedurch die Norm induzierte Metrik.

Bemerkung Nicht jeder metrische Raum ist ein normierter Raum (siehe Beispiele 2und 5).

Proposition 11.1.5 (Skalarprodukt induziert eine Norm). Sei (V, 〈·, ·〉) ein euklidischerRaum. Dann wird durch ‖u‖ := (〈u, u〉)

12 eine Norm auf V definiert. Dies ist die durch

das Skalarprodukt induzierte Norm.

Beweis Siehe Abschnitt 6.2.3.Etwas schwieriger zu beweisen ist die Dreiecksunglei-chung. Wichtigstes Hilfsmittel hierfur war die

Lemma 11.1.6 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung). Sei (V, 〈·, ·〉) ein euklidischer Raumund ‖u‖ := (〈u, u〉)

12 . Dann gilt fur alle u, v ∈ V :

| 〈u, v〉 | ≤ ‖u‖ · ‖v‖

Beispiel

128

1) V = Rn

Skalarprodukt: 〈x, y〉 =∑n

j=1 xjyj (euklidisches Skalarprodukt)

induzierte Norm: |x| = (∑x2j )

12

2) V = C0([a, b])Skalarprodukt: 〈f, g〉 =

∫ ba f(x)g(x) dx (L2-Skalarprodukt)

induzierte Norm ist die L2-Norm: ‖f‖L2 = (∫ ba (f(x))2 dx)

12

Definition 11.1.7 (aquivalente Normen). Sei V ein Vektorraum und ‖ ·‖ und 9 ·9 zweiNormen auf V .‖ · ‖ und 9 · 9 heißen aquivalent, falls Konstanten C1, C2 > 0 existieren, so daß

C1‖u‖ ≤ 9u9 ≤ C2‖u‖ ∀u ∈ V

Bemerkung Hierdurch ist eine Aquivalenzrelation definiert (da reflexiv, symmetrisch,transitiv).

Beispiel Seien V = Rn, |x| die euklidische Norm und ‖x‖∞ = max|x1|, . . . |xn|.Behauptung: | · | und ‖ · ‖∞ sind aquivalent.

Beweis: ⇒ |x| =√∑

x2i ≤ ‖x‖∞

√∑1 =√n‖x‖∞

⇐ |xj | =√|xj |2 ≤

√∑nj=1 |xj |2 = |x| ∀j = 1, . . . , n

⇒ ‖x‖∞ = maxj |xj | ≤ |x|

Proposition 11.1.8 (Alle Normen auf dem Rn sind aquivalent). Siehe hierzu Propo-sition 7.7.3.

Bemerkung Eine solche Aussage gilt nur in endlich-dimensionalen Raumen.

Folgenraume V = x = (xi)i∈N | xi ∈ R (Vektor-)Raum der reellen Folgen. Zu x ∈ V

sei ‖x‖lp = (∑∞

i=1 |xi|p)1p fur 1 ≤ p <∞

‖x‖l∞ = supi∈N |xi| fur p =∞Zu p ∈ [1,∞] sei lp = x ∈ V | ‖x‖lp < ∞, lp ist also Vektorraum der beschranktenFolgen. Wir zeigen, daß l1 tatsachlich ein Vektorraum ist [fur p > 1 Ubungsaufgabe].

1) 0 ∈ l1

2) zu λ ∈ R und x ∈ l1 ist auch λx ∈ l1,denn ‖λx‖l1 =

∑∞i=1 |λxi| = |λ|

∑ni=1 |xi| n→∞

3) zu x ∈ l1 und y ∈ l1 ist auch x+ y ∈ l1,denn: Sei N ∈ N. Dann gilt

∑Ni=1 |xi + yi| ≤

∑Ni=1 |xi|+

∑Ni=1 |yi| ≤ ‖x‖l1 + ‖y‖l1

⇒∑N

i=1 |xi + yi| ist monoton beschrankte Folge in N⇒ der Grenzwert furN →∞ existiert und ‖x+y‖l1 =

∑∞i=1 |xi+yi| ≤ ‖x‖l1+‖y‖l1 .

129

Bemerkung x ∈ l1 ⇒ x ∈ l∞, denn |xj | ≤∑∞

i=1 |xi| = ‖x‖l1 ⇒ supj |xj | ≤ ‖x‖l1Umgekehrt ist nicht jedes x ∈ l∞ auch in l1, zum Beispiel x = (1, 1, 1, . . .)

Vermutung 11.1.9. Sei V = l1. Dann sind ‖ · ‖l1 und ‖ · ‖l∞ nicht aquivalent.Wir haben gezeigt: ‖x‖l∞ ≤ ‖x‖l1Aber: es existiert keine Konstante C, so daß ‖x‖l1 ≤ C‖x‖l∞ ∀x ∈ l1.Dazu: Finde Folge (xn) ⊆ l1, so daß ‖xn‖l∞ →∞ fur n→∞, aber ‖xn‖l1 ≤ C.

Eine solche Folge xn sei definiert uber xn =

1i 1 ≤ i ≤ n0 sonst

⇒ ‖xn‖l∞ = 1 ∀n ∈ Nund ‖xn‖l1 =

∑ni=1

1i →∞ fur n→∞.

Die l∞-Norm ‖ · ‖l∞ ist also “schwacher” als die l1-Norm ‖ · ‖l1.

11.2 Konvergenz in metrischen Raumen

Definition 11.2.1 (beschrankte / konvergente Folgen). (X, d) sei metrischer Raum,(xk) ⊆ X sei Folge in X. Dann heißt (xk)

1) beschrankt, falls ein x0 ∈ X existiert und ein K > 0,so daß d(xk, x0) ≤ K ∀k ∈ N.

2) konvergent, falls ein x ∈ X existiert, so daß d(xk, x)→ 0 fur k →∞.

Bemerkung Exakt wie im Rn beweist man

• konvergente Folgen sind beschrankt

• der Grenzwert ist eindeutig bestimmt

Wir haben gezeigt:

Proposition 11.2.2. Jede beschrankte Folge im Rn besitzt eine konvergente Teilfolge.

Bemerkung Dieser Satz gilt nur in endlich-dimensionalen Raumen.

Beispiel Der Raum l1.Sei en = (0, 0, . . . , 0, 1︸︷︷︸

n-te Stelle

, 0, . . .) der n-te Einheitsvektor in l1.

Die Folge aller Einheitsvektoren (en)n∈N ist beschrankt, da ‖en‖l1 = 1, doch uber l1

besitzt (en)n∈N keine konvergente Teilfolge bezuglich der von ‖ · ‖l1 induzierten Metrik,denn ‖en − ek‖l1 = 2 ∀n 6= k⇒ es existiert keine konvergente Teilfolge.

130

Definition 11.2.3 (Cauchy-Folge). Seien (X, d) metrischer Raum und (xk) ⊆ V Folgein V .(xk) heißt Cauchy-Folge, falls fur alle ε > 0 ein k0 ∈ N existiert,so daß fur alle k, l > k0

d(xk, xl) < ε.

Bemerkung Wie in Rn zeigt man: jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge.

Bemerkung Konvergiert jede Cauchy-Folge eines metrischen Raumes?

Bemerkung Im Allgemeinen nicht.

Beispiel Seien X = Q und d(p, q) = |p− q|.Dann ist (X, d) ein metrischer Raum, aber wir haben in Kapitel 2 eine Folge (qn) ⊆ Qkonstruiert mit |qn −

√2| → 0 fur n→∞.

(qn) ist Cauchy-Folge in R und damit auch eine Cauchy-Folge in Q, aber√

2 ist nicht inQ.

Definition 11.2.4 (vollstandiger metrischer Raum, Banachraum, Hilbertraum). •Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollstandig, wenn jede Cauchy-Folge in X auchin X konvergiert.

• Ein vollstandiger normierter Raum heißt Banachraum.

• Falls in einem Banachraum die Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird, soheißt der Raum auch Hilbertraum.

Beispiel

1) Wir haben gezeigt (Proposition 4.5.2), daß jede Cauchy-Folge in Rn auch gegenein Element aus Rn konvergiert, also ist Rn ein Banachraum.†

Bemerkungen

• Eigenschaften wie Konvergenz, Beschranktheit ... hangen von der gewahltenMetrik ab.

• Aber: fur aquivalente Normen gilt: Konvergenz in einer Norm impliziert auchKonvergenz etc. in jeder aquivalenten Norm.

• Im Rn sind alle Normen aquivalent⇒Wir konnen sagen: Rn ist Banachraum,ohne Angabe einer Norm.

2) (C0([a, b]), ‖ · ‖∞) ist vollstandig(C0([a, b]), ‖ · ‖l1) ist nicht vollstandig

†wir konnen Rn als Vektorraum ohne die Norm schreiben, da alle Normen im Rn aquivalent sind

131

3) Q ist nicht vollstandigBemerkung einen nicht-vollstandigen metrischen Raum kann man vervollstandigen,indem man — lax gesprochen — die Grenzwerte der Cauchy-Folgen hinzunimmt.Zum Beispiel kann R als Vervollstandigung von Q aufgefasst werden.

Bemerkung [Vorgehensweise, um Vollstandigkeit eines metrischen Raumes zu zei-gen]

a) Identifiziere Kandidaten x fur Grenzwert

b) x ∈ Xc) dX(xk, x)→ 0 fur k →∞

4) (L1, ‖ · ‖l1) ist vollstandig.Sei (xkl ) ⊆ l1 Cauchy-Folge, also gibt es zu jedem ε > 0 ein k0 ∈ N,so daß ‖xk0 − xl‖l1 =

∑∞i=1 |xki − xli| < ε,∀k, l ≥ k0.

Beweis von b) und c) Zu Zeigen x ⊆ l0 und ‖xk − x‖l1 → 0 fur k →∞.Nach Voraussetzung gibt es fur alle ε > 0 ein k0,so daß

∑Ni=1 |xki − xli| < ε ∀k, l > k0,∀N ∈ N

⇒k0→∞∑N

i=1 |xki − xli| < ε,∀l ≥ kund auch

∑Ni=1 |xi| < ε+

∑Ni=1 |xli| < ε+ ‖xl‖l1

⇒N→∞ ‖x‖l1 =∑∞

i=1 |x| ≤ ∞ und∑∞

i=1 |xi − xli| = ‖x− xl‖1l < ε,∀L > k0

11.3 Offene und abgeschlossene Mengen

Definition 11.3.1 (offene / abgeschlossene r-Kugel, Umgebung, offene / abgeschlosseneMenge). (X, d) sei metrischer Raum.

1) Zu x0 ∈ X und r > 0 heißt Br(x0) = x ∈ X | d(x, x0) < r die offene r-Kugel umx0.

2) Zu x0 ∈ X und r > 0 heißt Br(x0) = x ∈ X | d(x, x0) ≤ r die abgeschlossener-Kugel um x0.

3) U ⊆ X heißt Umgebung von x0 ∈ X, falls es eine offene Kugel Bε(x0) ⊆ U gibt.

4) U ⊆ X heißt offene Menge, falls sie Umgebung eines jeden ihrer Punkte ist. InFormeln: ∀x ∈ U : ∃ε > 0 : Bε(x) ⊆ U .

5) U ⊆ X heißt abgeschlossene Menge, falls UC = X \ U offen ist.

Bemerkung Folgende Eigenschaften sind erfullt:

1) ∅ und X sind offen und abgeschlossen.

2) Br(x0) ist offen, Br(x0) ist abgeschlossen.

132

3) U, V ⊆ X : U, V offen⇒ U ∩V offen (damit auch der Schnitt endlich vieler offenerMengen)Beweis: Sei x ∈ U, V . Nach Voraussetzung ∃ε1, ε2 : Bε1(x) ⊆ U,Bε2(x) ⊆ V . Wahleε = minε1, ε2 ⇒ Bε(x) ⊆ U ∩ V .

4) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.Beweis: Sei x ∈

⋃i∈I Vi, Vi offen

⇒ ∃j ∈ I mit x ∈ Vj ⇒ ∃ε > 0 mit Bε(x) ⊆ Vj ⊆⋃i∈I Vi

5) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

6) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.Beweis fur 6. Uber Komplementbildung:Sei A,B ⊆ X abgeschlossen⇒ X \A,X \B offen⇒ (X \A)∩(X \B) = X \(A∪B)offen ⇒ A ∪B abgeschlossen.Der Beweis fur 5. folgt auch uber Komplementbildung.

Proposition 11.3.2 (Hausdorffsche Trennungseigenschaft). Zu x, y ∈ X mit x 6= yexistieren Umgebungen U von x und V von y mit U ∩ V = ∅.

Beweis ε = 12d(x, y), U = Bε(x), V = Bε(y).

Annahme: ∃z ∈ U ∩ V ⇒ 2ε = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < 2ε

Proposition 11.3.3. A ⊆ X ist genau dann abgeschlossen, wenn zu jeder in X kon-vergenten Folge (xn) ⊆ A auch der Grenzwert in A liegt.

Beweis

“⇒” A ⊆ X abgeschlossen ⇒ X \A offen. Sei (xn) ⊆ A, xn → x in X.Annahme: x 6∈ A⇒ x ∈ X \A⇒ ∃ε > 0 mit Bε(x) ⊆ X \A, aberxk ∈ Bε(x) ∀k ≥ k0

“⇐” Annahme: A ist nicht abgeschlossen⇒ X \A ist nicht offen⇒ ∃x ∈ X \A : ∀ε > 0 : Bε(x) 6⊆ X \A, also ∀n ∈ N : ∃xn ∈ A : xn ∈ B 1

n(x)

⇒ (xn) ⊆ A und xn → x in X.Nach Vorraussetzung x ∈ A .

Bemerkung Proposition 11.3.3 sichert, daß die verschiedenen Definitionen von abge-schlossen aquivalent sind.

Definition 11.3.4 (innerer Punkt, Randpunkt, Haufungspunkt, isolierter Punkt). Sei(X, d) metrischer Raum, M ⊆ X

1) Ein Punkt x ∈M heißt innerer Punkt von M , wenn eine r-Kugel um x in M liegt.(∃ε > 0 : Bε(x) ⊆M)

133

2) x ∈ X heißt Randpunkt von M , wenn in jeder ε-Kugel um x sowohl ein Punkt ausM , als auch ein Punkt aus MC liegt.

3) x ∈ X heißt Haufungspunkt von M , wenn zu jeder ε-Kugel um x unendliche vieley ∈M mit y 6= x liegen.

4) x ∈M heißt isolierter Punkt, wenn x kein Haufungspunkt von M ist.

Bezeichnung 11.3.5. M : innere Punkte von M∂M : Randpunkte von MM : M ∪ ∂M

Teilraumtopologie Sei (X, d) metrischer Raum, X0 ⊆ X.Wir wissen: X0 wird mit der induzierten Metrik zum metrischen Raum.Wir sagen: U0 ⊆ X0 ist offen (bezuglich der induzierten Metrik), falls es eine offeneMenge U ⊆ X gibt, so daß U0 = X0 ∩ U gilt.

Beispiel

Produkttopologie (X, dx), (Y, dy) seien metrische Raume.X×Y wird mit d((x1, y1), (x2, y2)) := maxdX(x1, x2), dY (y1, y2) ein metrischer Raum.Br((x0, y0)) = Br(x0)×Br(y0)W ⊆ X × Y heißt offen :⇔ ∀(x, y) ∈ W∃ eine Umgebung U von x in X und eineUmgebung V von y in Y ,so daß U × V ⊆W

11.4 Stetige Abbildungen zwischen metrischen Raumen

Definition 11.4.1 (stetige Abbildung). Seien (X, dX) und (Y, dY ) metrische Raume,f : X → Y .

1) f heißt stetig in x0, falls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert,so daß dY (f(x), f(x0)) < ε fur alle x mit dX(x, x0) < δ.

2) f heißt stetig, falls f stetig in jedem x ∈ X ist.

3) f heißt Lipschitz-stetig, falls es ein L > 0 gibt,so daß dy(f(x), f(y)) < L · dx(x, y) ∀x, y ∈ X

Bemerkung

• In Analysis I* hatten wir Lipschitz-Stetigkeit bezuglich der euklidischen Normdefiniert,

• ab jetzt bezieht es sich immer auf die jeweilig Metrik.

• Falls nichts anderes angegeben wird, bezieht sich Lipschitz-stetig in Rn auf dieeuklidische Metrik.

134

Beispiel

1) Jede Norm auf einem reellen Vektorraum ist Lipschitz-stetig mit L = 1 bezuglichder durch die Norm induzierten Metrik,denn sei ‖ · ‖ : V → R, so gilt |‖u‖ − ‖v‖| ≤ ‖u− v‖.

2) (X, d) sei metrischer Raum. A ⊆ X.Dann ist die Abstandsfunktion d(x,A) := infd(x, a) | a ∈ A Lipschitz-stetig (mitL = 1).Beweis: Seien x, y ∈ X, a ∈ A.d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a)⇒ d(x,A) ≤ d(x, y) + d(y,A) undd(y, a) ≤ d(x, y) + d(x, a)⇒ d(y,A) ≤ d(x, y) + d(x,A),und somit |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y)

3) V,W seien endlich-dimensionale Vektorraume, f : V → W sei linear. Dann ist fLipschitz-stetig.Beweis: Sei e1, . . . , en Basis von V , x, y ∈ V , x =

∑ni=1 xiei, y =

∑ni=1 yiei. Dann

ist

‖f(x)− f(y)‖W =f linear

‖n∑i=1

f(ei)(xi − yi)‖W

≤dimV <∞

maxi‖f(ei)‖W︸ ︷︷ ︸=:M

·n∑i=1

|xi − yi|︸ ︷︷ ︸≤C‖x−y‖V

≤ M · c‖x− y‖v.

Analog zu Rn beweist man folgende Aussagen (hierbei immer X,Y, Z, Y1, Y2 metrischeRaume, W normierter Vektorraum):

1) Folgenkriterium f : X → Y ist stetig in x0 ⇔ ∀(xk) mit xk → x0 folgt: f(xk) →f(x0) konvergiert.

2) Regel I

• f1, f2 : X →W seien stetig in x0 ∈ X. Dann ist auch f1 + f2 stetig in x0.

• f : X →W, g : X → R seien stetig in x0 ∈ X ⇒ f · g ist stetig in x0.

• Falls zusatzlich g(x0) 6= 0 gilt, dann ist auch fg stetig in x0.

Beispiel: p : Rn+1 \ 0 → Rn+1, p(x) = x|x| , p stetig.

im(1) = Sn = x ∈ Rn+1 | |x| = 1

3) Regel II f : X → Y sei stetig in x0 ∈ X, g : Y → Z sei stetig in f(x0) ∈ Y .Dann ist h := g f stetig in x0

Beispiel f : W → R, f(x) = ‖x‖, g : R→ R, g(y) = ey. Dann ist h(x) = e‖x‖ stetig.

135

4) Regel III f : X → Y1 × Y2. f = (f1, f2) ist stetig ⇔ f1 und f2 sind stetig,Insbesondere fur f : Rn → Rm: f = (f1, f2, . . . , fm) ist stetig ⇔ fi : Rn → R iststetig ∀i = 1, . . . ,m.

Bemerkung Zum Nachweis der Stetigkeit von f : Rn → R genugt es nicht, die Stetig-keit nur in den Koordinatenrichtungen zu testen.Beispiel: f : R2 → R, f(x, y) = 2xy

x2+y2.

Es gilt: f(x, 0) = f(0, y) = 0⇒ limx→0 f(x, 0) = 0, limy→0 f(0, y) = 0, aberlimx→0 f(x, x) = 1

Proposition 11.4.2 (Stetigkeitsnachweis uber Umgebungen und Urbilder offener Men-gen). X,Y seien metrische Raume, f : X → Y

1) f ist genau dann stetig in x0 ∈ X, falls zu jeder Umgebung V von f(x0) in Y eineUmgebung U von x0 in X existiert, so daß f(U) ⊆ V .

Gegenbeispiel: f : R→ R, f(x) =

1 x > 00 x ≤ 0

, x0 = 0.

Zum Beispiel ist V = −12 ,

12, aber ∀δ > 0 gilt: f(Bδ(0)) 3 1 6∈ V

2) f ist genau dann stetig, falls das Urbild jeder in Y offenen Menge V offen in Xist.Aquivalent dazu: das Urbild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen

Beweis

1) “⇒” Sei f stetig in x0. Sei V Umgebung von f(x0).Nach Voraussetzung gibt es ein ε > 0 mit Bε(f(x0)) ⊆ V .Nach Definition der Stetigkeit gibt es ein δ > 0, so daß f(Bδ(x0)) ⊆ Bε(f(x0)) ⊆ V .“⇐” Zu ε > 0 sei V := Bε(f(x0)). Nach Voraussetzung gibt es eine Umgebung Uvon x0 mit f(U) ⊆ V = Bε(f(x0)). Nach der Definition einer Umgebung gibt esein δ > 0, so daß f(Bδ(x0)) ⊆ U , insbesondere f(Bδ(x0)) ⊆ Bε(f(x0)).

2) “⇒” V sei offen in Y ⇒ V ist Umgebung eines jeden Punktes in V ⇒a) f−1(V )

ist Umgebung eines jeden Punktes in U ⇒ f−1(V ) ist offen.“⇐”Sei f(x0) ∈ Y , V sei Umgebung ⇒ ∃V ′ ⊆ V mit f(x0) ∈ V ′ und V ′ offen.⇒Vor. f

−1(V ′) offen. Fur x0 ∈ f−1(V ′) mit U = f−1(V ′) gilt: x0 ∈ U und f(U) ⊆V ′ ⊆ V

Bemerkung Das Bild offener (abgeschlossener) Mengen muss nicht offen (abgeschlos-sen) sein.Beispiel:

1) f : R→ R, f(x) ≡ c,∀x ∈ R, f stetig, aber f((0, 1)) = c.

2) f : (0, 2π) ⊆ R→ R, f(x) = sinx⇒ f((0, 2π)) = [−1, 1]

136

Proposition 11.4.3. f : X → R, f stetig. Dann ist U := x ∈ X | f(x) < c offenund H := x ∈ X | f(x) ≤ c abgeschlossen.

Gegenbeispiel

Definition 11.4.4 (Homoomorphismus). Eine bijektive stetige Abbildung f : X → Y ,deren Inverse stetig ist, heißt Homoomorphismus.X und Y heißen homoomorph, falls es einen Homoomorphismus zwischen X und Y gibt.

Bemerkung Die Inverse einer bijektiven stetigen Abbildung muss nicht stetig sein.

Beispiel f : [0, 2π)→ S1, x 7→ eix =(

cosxsinx

)Beispiel

1) B1(0) ⊆ Rn ist homoomorph zu Rn.f(x) = x

1−|x| , f−1(y) = y

1+|y|

2) stereographische ProjektionN = (0, . . . , 0, 1) Nordpolf(x) = N + t(x − N) = N(1 − t) + tx. Um t ∈ R zu bestimmen, muss gelten|f(x)| = 1Nutze x ⊥ N :1 = |f(x)|2 = |N |2(1− t)2 + 2t(1− x) 〈x,N〉+ t2|x|2 = 1− 2t+ t2(1 + |x|2)⇔ t = 0 oder t = 2

1+|x|2 = 2|N+x|2 ⇒ f(x) = N + 2(x−N)

|x−N |2Wir definieren die stereographische Projektion σN : Rn → Sn\N, σN (x)f((x, 0))

3) Polarkoordinaten P2 : R+ × (−π, π)→ R2 \ S mit S := (t, 0) | t ≤ 0

P2(r, ϕ) :=(r cosϕr sinϕ

); Umkehrabbildung g(x, y) = (

√x2 + y2, sgn(y) arccos x√

x2+y2)

P3 : R+ × (−π, π)× (−π2 ,

π2 )

P3(r, ϕ, θ) =

r cosϕ cos θr sinϕ cos θr sin θ

11.5 Lineare stetige Abbildungen, Operatornorm

Lineare Abbildungen zwischen zwei Vektorraumen V undW sind stetig, falls dimV <∞.Dies ist im allgemeinen nicht richtig, falls dimV =∞.

Beispiel V = (C1[−1, 1]), ‖ · ‖∞),W = R, D : f → f ′(0), D ist linearAnnahme: D ist stetig ⇒ dann folgt aus fn → f bezuglich ‖ · ‖∞, daß D(fn)→ D(f) inR,aber fn(x) = 1

n sin(n2x)⇒ fn → 0 gleichmaßig, aber f ′n(0) = n→∞ fur n→∞.

137

Proposition 11.5.1. V,W seien normierte Vektorraume. Eine lineare Abbildung A :V →W ist genau dann stetig, wenn es ein C ≥ 0 gibt, so daß ‖Ax‖W ≤ C‖x‖V fur allex ∈ V . A ist dann sogar Lipschitz-stetig.

Beweis “⇐” Nach Voraussetzung gilt

‖Ax−Ay‖W =A linear ‖A(x− y)‖W ≤ C‖x− y‖V

A ist also Lipschitz-stetig und damit auch stetig.

“⇒” A sei stetig, also auch stetig in x = 0. Damit gibt es zu ε = 1 ein δ > 0, so daß‖A‖W < 1 fur alle y mit ‖y‖V < δ

‖Ax‖W = ‖A δx

‖x‖V‖x‖Vδ‖W

=‖x‖Vδ‖A δx

‖x‖V‖‡

≤ 1δ‖x‖V

=: C‖x‖V

Definition 11.5.2 (Operatornorm). V,W seien normierte Raume. L(V,W ) sei derRaum der linearen, stetigen Abbildungen von V nach W .Auf L(V,W ) definieren wir die Operatornorm

‖A‖L(V,W ) := sup‖Ax‖W | x ∈ V mit ‖x‖V ≤ 1

= sup‖Ax‖W‖x‖V

| x ∈ V, x 6= 0

Bemerkung

• nach dem Satz ist dies wohldefiniert

• Interpretation der Operatornorm: großter Dehnungskoeffizient §

Eigenschaften

1) ‖Ax‖W ≤ ‖A‖L(V,W ) · ‖x‖V

2) U →B V →A W : ‖ABx‖W ≤ ‖A‖L(V,W ) · ‖B‖L(U,V )‖x‖UBeweis: ‖ABx‖W ≤ ‖A‖L(V,W )‖Bx‖V ≤ ‖A‖L(V,W )‖B‖L(U,V )‖x‖U

Beispiel

§TODO: bild

138

1) (V, 〈·, ·〉) sei euklidischer Raum, ‖ · ‖ sei die induzierte Norm zu v ∈ V, v 6= 0.Definiere A : V → R, x 7→ 〈v, x〉⇒ ‖Ax‖ = ‖ 〈v, x〉 ‖ ≤ ‖v‖V · ‖x‖V ⇒ ‖Ax‖ ≤ ‖v‖VWollen zeigen: ‖A‖L(V,R) = ‖v‖V , dazu ist zu zeigen: ∃x ∈ V mit ‖x‖V = 1 und|Ax| ≥ ‖v‖vdazu sei x := v

‖v‖V⇒ ‖x‖V = 1 und |Ax| = |

⟨v, v

‖v‖V

⟩| = ‖v‖V

2) Zeilensummennorm. Eine m × n Matrix A = (ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n reprasentiert einElement aus L(Rn,Rm).Wir versehen Rn und Rm mit der Maximumsnorm, d.h.

V = (Rn, ‖ · ‖∞),W = (Rm, ‖ · ‖∞)

Behauptung: ‖A‖L(V,W ) = maxi∑m

j=1 |ai,j | (Zeilensummennorm)Beweis: Sei M := maxi

∑nj=1 |ai,j |

“≤” ‖Ax‖∞ = maxi=1,...,m |∑n

j=1 ai,jxj |≤ maxi=1,...,m(

∑nj=1 |ai,j ||xj |) ¶

≤ ‖x‖∞ maxi=1,...,m∑n

j=1 |ai,j |= ‖x‖∞M“≥” zu zeigen ist: ∃ξ ∈ Rn mit ‖ξ‖∞ = 1 und ‖Aξ‖∞ = MDazu sei i0 so, daß M =

∑nj=1 |ai0,j |.

Sei ξ ∈ Rn definiert uber ξj =

1 ai0,j = 0|ai0,j |ai0,j

sonst⇒ ‖ξ‖∞ = 1

‖Aξ‖∞ = max1≤i≤m |∑n

j=1 ai,jξj | ≥ |∑n

j=1 ai0,jξj | = |∑n

j=1 ai0,j | = M

11.6 Kompakte Raume

Kompakte Mengen K ⊆ Rn hatten folgende wichtige Eigenschaften:

• Jede Folge in K hat eine konvergente Teilfolge.

• Stetige Abbildungen nehmen auf kompakten Mengen ihr Infimum und Supremuman.

Diese Eigenschaften sollen auch fur kompakte Mengen in unendlich-dimensionalen Raum-en gelten.

Charakterisierung K ⊆ Rn kompakt ⇔ K abgeschlossen und beschrankt.Die Richtung “⇐” gilt in unendlich-dimensionalen Raumen nicht. Hieraus folgt die wich-tige (und oft schwierige) Aufgabe, kompakte Mengen in allgemeinen Raumen zu charak-terisieren.

¶|ai,j ||xj | ≤ maxj=1,...,n |xj |Pn

j=1 |ai,j | = ‖x‖∞Pn

j=1 |ai,j |

139

Definition 11.6.1 ((uberdeckungs)kompakt). (X, d) sei metrischer Raum. Zu K ⊆ Xheißt eine beliebige Familie offener Mengen Ui, so daß jedes Element x ∈ K in mindestenseiner dieser Mengen liegt, offene Uberdeckung von K, in Zeichen

K ⊆⋃Ui.

Eine Menge K in X heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Uberdeckung⋃i∈I Ui von

K mit Ui ⊆ K eine endliche Teilmenge gibt, die K uberdeckt (dies ist die Heine-BorelEigenschaft).

Beispiel (xk) ⊆ K,xk → x0, xk 6= x0 ∀kK = xk | k ∈ N ∪ x0, U = xk | k ∈ N.

Behauptung:

1) K ist kompakt

2) U ist im allgemeinen nicht kompakt

zu 1. Sei U :=⋃i∈I Ui eine offene Uberdeckung von K.

⇒ x0 ∈ Ui0 fur ein i0 ∈ N⇒Ui offen ∃ε > 0, so daß Bε(x0) ⊆ Ux→ x0 ⇒ ∃k0 ∈ N, so daß xk ∈ Bε(x0) ⊆ Ui0 ∀k ≥ k0.Außerdem ∃ik, so daß xk ∈ Uik ∀k = 1, . . . , k0 − 1⇒ xk ⊆ Ui0 ∪ Ui1 ∪ . . . ∪ Uik0−1

zu 2. Betrachte zum Beispiel U = 1n | n ∈ N die Teilmengen U1 = (1

2 , 2), U2 =(13 , 1), . . . , Un = ( 1

n+1 ,1

n−1). Damit ist 1n ∈ Un, also U ⊆

⋃i∈N Ui, aber es gibt

keine endliche Teilfolge, die U uberdeckt.

Definition 11.6.2 (folgenkompakt). (X, d) sei metrischer Raum. K ⊆ X heißt folgen-kompakt, falls jede Folge in K eine — in K — konvergente Teilfolge besitzt.

Proposition 11.6.3 (kompakt ⇔ folgenkompakt). (X, d) sei metrischer Raum.K ⊆ X ist genau dann kompakt, wenn K folgenkompakt ist.

(ohne Beweis, siehe z.B. Harro Heuser: Analysis)

Proposition 11.6.4 (kompakt⇒ abgeschlossen und beschrankt). (X, d) sei metrischerRaum.K ⊆ X sei kompakt. Dann ist K abgeschlossen und beschrankt.

Beweis

1) Annahme: K sei nicht beschrankt ⇒ ∃x0 ∈ X und (xk) ⊆ K, so daß d(x0, xk) >k ⇒ (xk) hat keine konvergente Teilfolge ⇒ K ist nicht folgenkompakt ⇒(Satz 1)K ist nicht kompakt

140

2) Annahme: K ist nicht abgeschlossen ⇒ ∃(xn) ⊆ K mit xn → x ∈ X, aber x 6∈ K. zu K folgenkompakt.

Achtung! Die Umkehrung von Satz 2 gilt nur in endlich-dimensionalen Raumen. Siehehierzu Satz 6.4.11.

Beispiel V = (C0([0, 1]), ‖ · ‖∞), d(f, g) = ‖f − g‖∞ = supx∈[0,1] |f(x)− g(x)|A = f ∈ V | ‖f‖∞ ≤ 1, A ist abgeschlossen und beschrankt.

Sei f : [0, 1]→ [0, 1] mit fn(x) =

0 x ∈ [0, 1

n+1) ∪ ( 1n , 1]

die Dreiecksfunktion sonst⇒ ‖fn − fk‖∞ = 1 ∀n 6= k(fn) hat keine konvergente Teilfolge ⇒ A ist nicht kompakt.

Proposition 11.6.5. Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist wiederkompakt

Beweis Sei A ⊆⋃i∈I Ui, Ui offen in X ⇒ X \ A ∪

⋃i∈I Ui ist eine offene Uberdeckung

von K.⇒(K kompakt) ∃i1, . . . , ik, so daß K ⊆ X \A ∪ Ui1∪, . . . ,∪Uik⇒ A ⊆ Ui1 ∪ . . . ∪ Uik , d.h. A ist kompakt.

Proposition 11.6.6 ( Das Bild kompakter Mengen unter stetigen Funktionen ist kom-pakt). f : X → Y sei stetig, K ⊆ X sei kompakt. Dann ist f(K) ⊆ Y kompakt.

Beweis Sei f(K) ⊆⋃i∈I Vi, Vi offen in Y

⇒(Satz aus 11.4) Ui := f−1(Vi) ist offen in K und K ⊆⋃i∈I Ui

⇒(K kompakt) ∃i1, . . . , ik mit K ⊆ Ui1 ∪ . . . Uik⇒ f(K) ⊆ Vi1 ∪ . . . ∪ Vik ⇒ f(K) ist kompakt.

Korollar 11.6.7 (Satz von Minimum und Maximum). f : X → R sei stetig, K ⊆ X seikompakt. Dann nimmt f auf K Infimum und Supremum an.

Beweis K kompakt ⇒(Satz 4) f(K) ⊆ R kompakt ⇒(Satz 2) f(K) ist abgeschlossenund beschrankt ⇒ ∃ Supremum M und Infimum m, ⇒ (f(K) abgeschlossen!) M,m ∈f(K).

Beispiel Die Distanzfunktion K,A ⊆ X.

d(K,A) := infd(k, a) | k ∈ K, a ∈ A

• Falls K kompakt ist, so gibt es ein p ∈ K mit d(p,A) = d(K,A)Beweis: x 7→ d(x,A) ist stetig. ⇒(K kompakt, Korollar) ∃p ∈ K mit d(p,A) =d(K,A)

• Falls zusatzlich A abgeschlossen ist, A ∩K = ∅, dann d(K,A) > 0Beweis: Sei p ∈ A,A abgeschlossen⇒ ∃r > 0 mit Br(p)∩A = ∅ ⇒ d(K,A) ≥ r > 0

Proposition 11.6.8 (f : X → Y stetig, K ⊆ X kompakt. Dann ist f gleichmaßigstetig). Beweis: analog zu Rn (uber Folgenkompaktheit)

141

11.7 Wegzusammenhangende und konvexe Mengen

Definition 11.7.1 (wegzusammenhangend). Eine Teilmenge M ⊆ X eines metrischenRaumes heißt wegzusammenhangend, wenn es zu je zwei Punkten in M eine stetigeVerbindungskurve gibt, die ganz in M liegt, d.h. zu a, b ∈ M gibt es ein stetiges γ :[α, β] : M , so daß γ(α) = a, γ(β) = b.

Proposition 11.7.2 (Zwischenwertsatz). M ⊆ X sei wegzusammenhangend, f : M →R sei stetig, a, b ∈M .Dann nimmt f auf M auch jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.

Beweis Sei γ stetige Kurve in M , die a und b verbindet, γ : [α, β] → M,γ(α) =a, γ(β) = bDefiniere h := f γ, h : [α, β]→ R, h(α) = f(a), h(β) = f(b), h ist stetig.⇒(Zwischenwertsatz auf R) h nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.

Definition 11.7.3 (konvexe Mengen). (V, ‖ · ‖) sei reeller Vektorraum.M ⊆ V heißt konvex, wenn zu je zwei Punkten a, b ∈M auch ihre Verbindungsgerade

[a; b] := λa+ (1− λ)b | λ ∈ [0, 1]

in M ist.

Bemerkung Eine konvexe Menge ist offensichtlich auch wegzusammenhangend.

Beispiel 1) Jede affine Hyperebene im Rn ist konvex; E = x | 〈a, x〉 = c fur eina ∈ Rn und ein c ∈ R, denn fur x, y ∈ E, λ ∈ [0, 1] gilt: 〈a, λx+ (1− λ)y〉 =λ 〈a, x〉+ (1− λ) 〈a, y〉 = c.

2) Jeder abgeschlossene Halbraum H = x | 〈a, x〉 ≥ c ⊆ Rn ist konvex.

3) Die Schnittmenge konvexer Mengen ist konvex.Die Schnittmenge endlich vieler Halbraume heißt konvexes Polytop.

4) Eine Kugel Br(x0) in einem normierten Vektorraum ist konvex.

Definition 11.7.4 (Konvexkombination). Seien V ein reeller Vektorraum, x1, . . . , xk ∈V und λ1, . . . , λk ∈ [0, 1] mit

∑ki=1 λi = 1.

Dann heißt x :=∑k

i=1 λixi die konvexe Kombination von x1, . . . , xk.

Proposition 11.7.5. K ⊆ V ist genau dann konvex, wenn K jede ihrer konvexenKombinationen enthalt.

Beweis “⇐”: Dies ist ein Spezialfall mit k = 2.

142

“⇒”: IA: k = 1 okIS: k k + 1 Fur λk+1 gleich Null oder eins ist nichts zu beweisen. Sei alsoλk+1 ∈ (0, 1)⇒ λ :=

∑ki=1 λj > 0.

Sei µj := λj

λ .Nach IV ist y =

∑ki=1 µixi ∈ K,

⇒(K konvex) λy+(1−λ)xk+1 ∈ K, aber λy+(1−λ)xk+1 =∑k

i=1 λixi+λk+1xk+1 =x

143

12 Differentialrechnung fur Funktionenmehrerer Variabler

Bemerkung f : I ⊆ R→ R, f ist in x ∈ I differenzierbar, falls

limy→x

f(x)− f(y)x− y

= limh→0

f(x+ h)− f(x)h

existiert.

Der Grenzwert heißt f ′(x).f ist genau dann in x differenzierbar, wenn eine lineare Abbildung L : R→ R existiert,so daß

limh→0

f(x+ h)− f(x)− Lhh

= 0.

Entsprechend f : I ⊆ R → Rn, n > 1, f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)), f ist in x ∈ Idifferenzierbar, falls

limy→x

f(x)− f(y)x− y

= limh→0

f(x+ h)− f(x)h

existiert.

Der Grenzwert heißt f ′(x).

Bemerkung f ist in x ∈ I differenzierbar⇔ fi : I ⊆ R→ R ist in x ∈ I differenzierbar,fur alle i = 1, . . . , n. f ist genau dann in x differenzierbar, wenn eine lineare AbbildungL : R → Rn existiert und bezuglich der kanonischen Basis als m× 1-Matrix darstellbarist, so daß

limh→0

f(x+ h)− f(x)− Lhh

= 0.

Bemerkung

• Punkte in Rn sind Spaltenvektoren, die wir aber oft als Zeilenvektoren schreiben.

• Eine lineare Abbildung A : Rn → R ist ein Zeilenvektor (a1, . . . , an).

• Eine lineare Abbildung A : Rn → Rm ist eine m× n-Matrix

A = (aj,k)j=1,...,mk=1,...,n

∈ Rm×n

Bevor wir nun zu Funktionen mehrerer Variablen kommen, betrachten wir zunachstKurven in Rn:

144

12.1 Kurven in Rn

Definition 12.1.1 (((stetig) differenzierbare) Kurve). Eine Kurve in Rn ist eine stetigeAbbildung γ : I ⊆ R → Rn, γ(t) = (γ1(t), . . . , γn(t)). Die Kurve heißt (stetig) differen-zierbar, falls γ (stetig) differenzierbar ist.

Kinematische Interpretation t ∈ R sei die Zeit, γ(t) der Pfad, der in der Zeit durch-laufen wird. γ′(t) ist der Geschwindigkeitsvektor, |γ′(t)| der Absolutbetrag der Geschwin-digkeit.

Beispiel

1) Der Kreis in der Ebene mit dem Radius r > 0:γ : [0, 2π]× R2, γ(t) = (r cos t, r sin t)γ : [0, 2π]× R2, γ(t) = (r cos t,−r sin t)γ : [0, π]× R2, γ(t) = (r cos 2t, r sin 2t)

2) Gerade durch x0 ∈ Rn in Richtung v ∈ Rn \ 0,γ(t) = x0 + tv, g′(t) = v, |γ′(t)| = |v|.

3)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2

0,4

0,8

1,2

1,6

2

2,4

2,8

Schraubenlinie γ : R→ R3, r > 0, C ∈ Rγ(t) = (r cos t, r sin t, ct)

4) Neilsche Parabel γ : R→ R2, γ(t) = (t2, t3)

5) Graph einer Funktion ϕ : I ⊆ R→ R,Den Graph von ϕ = (t, ϕ(t)) | t ∈ I kannman als Kurve auffassen.

Definition 12.1.2 (Tangentialvektor, Geschwindigkeit, Tangentialeinheitsvektor). γ :I ⊆ R→ Rn sei differenzierbar. Dann heißt

γ′(t) = (γ′1(t), . . . , γ′n(t))

der Tangentialvektor an γ und

|γ′(t)| =

(n∑i=1

(γ′i(t))2

) 12

die Geschwindigkeit von γ (gegeben durch die Euklidische Norm).

Tγ(t) :=γ′(t)|γ′(t)|

fur |γ′(t)| 6= 0

heißt der Tangentialeinheitsvektor.

Bemerkung Falls γ in x ∈ Rn einen Doppelpunkt besitzt, d.h. γ(t1) = γ(t2) = x furt1 6= t2, dann konnen verschiedene Tangentialeinheitsvektoren existieren.

145

Beispiel Sei γ(t) = (t2 − 1, t3 − t). Es ist γ(1) = (0, 0) und γ(−1) = (0, 0) ein Dop-pelpunkt, wo aus γ′(t) = (2t, 3t2 − 1) die beiden Tangentialvektoren γ′(1) = (2, 2) undγ′(−1) = (−2, 2) folgen.

Definition 12.1.3 (regulare Kurve, singularer Wert). Eine stetig differenzierbare Kurveheißt regular, falls fur alle t ∈ I

γ′(t) 6= 0.

Ein Parameterwert t ∈ I mit γ′(t) = 0 heißt singular.

Beispiel 1) Neilsche Parabel: γ′(0) = (0, 0)⇒ t = 0 ist singular.

2) γ(t) = (t3, t9), t = 0 ist singular.

Definition 12.1.4 (Schnittwinkel). γ1 : I1 ⊆ R → Rn, γ2 : I2 ⊆ R → Rn seien zweiregulare Kurven, die sich in einem Punkt x = γ1(t1) = γ2(t2) schneiden.Unter dem Schnittwinkel bei t1, t2 verstehen wir den Winkel zwischen Tγ1(t1) und Tγ2(t2),also

cosα = 〈Tγ1(t1), Tγ2(t2)〉 .

Frage Wie konnen wir die Lange einer Kurve bestimmen?

Idee Approximation durch Polygonzuge.

Definition 12.1.5 (Polygonzug). Sei γ : [a, b]→ Rn. Sei Z eine Zerlegung von [a, b] inTeilpunkte, a = t0 < t1 < . . . < tk = b. Verbindet man γ(ti−1) mit γ(ti) durch Geraden,so erhalt man einen Polygonzug.Die Lange eines Polygonzuges ist gegeben durch

pγ(t0, . . . , tk) =k∑i=1

|γ(ti)− γ(ti−1)|

Definition 12.1.6 (rektifizierbare Kurve). Eine Kurve γ : [a, b]→ Rn heißt rektifizierbarmit Lange L, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so daß fur jede Zerlegung Z von[a, b] mit Feinheit ∆Z < δ gilt:

|pγ(t0, . . . , tk)− L| < ε

Proposition 12.1.7 (Bogenlange). Jede stetig differenzierbare Kurve γ : [a, b] → Rn

ist rektifizierbar und ihre Lange, die sogenannte Bogenlange, ist gegeben durch

L =∫ b

a

∣∣γ′(t)∣∣ dtBemerkung Die Kurve γ = (t, f(t)) | t ∈ [a, b] hat den Tangentialvektor γ′(t) = (1, f ′(t))und die Geschwindigkeit |γ′(t)| =

√1 + (f ′(t))2. Die Bogenlange berechnet sich als

L =∫ b

a

√1 + (f ′(t))2 dt.

146

Lemma 12.1.8. Sei γ : [a, b] → Rn eine stetig differenzierbare Kurve. Dann gibt es zujedem ε > 0 ein δ > 0, so daß fur alle t, s mit |t− s| < δ gilt∣∣∣∣γ(t)− γ(s)t− s

− γ′(t)∣∣∣∣ < ε.

Beweis

1) Sei zunachst n = 1. γ′ ist nach Voraussetzung stetig auf dem Kompaktum [a, b],also auch gleichmaßig stetig: Es gibt fur alle ε > 0 ein δ > 0, so daß fur alle t, smit |t− s| < δ gilt

|γ′(t)− γ′(s)| < ε.

Zu t, s ∈ [a, b] gibt es nach dem Mittelwertsatz ein τ ∈ (t, s), so daß

γ(t)− γ(s) = γ′(τ)(t− s).

Fur t, s mit |t− s| < δ gilt also∣∣∣∣γ(t)− γ(s)t− s− γ′(t)

∣∣∣∣ = |γ′(τ)− γ′(t)| < ε.

2) Sei nun n > 1. Fur |t− s| < δ gilt∣∣∣∣γ(t)− γ(s)t− s− γ′(t)

∣∣∣∣ ≤ √n max

1≤i≤n

∣∣∣∣γi(t)− γi(s)t− s− γ′i(t)

∣∣∣∣≤1)

√n · ε

Beweis von Proposition 12.1.7 Sei nun n > 1.Sei ε > 0 gegeben, γ′ stetig. Damit ist auch |γ′| stetig auf [a, b] und — da [a, b] kompaktesIntervall — ist |γ′| sogar Riemann-Integrierbar.Damit gibt es zu ε > 0 ein δ1 > 0 und eine Zerlegung, so daß fur Stutzstellen |ti− ti−1| <δ1 gilt: ∣∣∣∣∣

∫ b

a|γ′(t)|dt−

k∑i=1

|γ′(ti)|(ti − ti−1)

∣∣∣∣∣ < ε

2(12.1)

Nach Lemma 12.1.8 gibt es ein δ ∈ (0, d1], so daß fur alle Zerlegungen Z mit ∆(Z) < δfolgt: ∣∣∣∣γ(ti)− γ(ti−1)

ti − ti−1− γ′(ti)

∣∣∣∣ < ε

2(a− b).

Hiermit berechnet man∣∣|γ′(ti)|(ti − ti−1)− |γ(ti)− γ(ti−1)|∣∣ ≤

6.2.2+2.2.4

∣∣γ′(ti)(ti − ti−1)− (γ(ti)− γ(ti−1))∣∣

<ε

2(b− a)(ti − ti−1)

147

und weiter∣∣∣∣∣k∑i=1

|γ′(ti)|(ti − ti−1)−k∑i=1

|γ(ti)− γ(ti−1)|

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣k∑i=1

|γ′(ti)|(ti − ti−1)− |γ(ti)− γ(ti−1)|

∣∣∣∣∣<

ε

2(b− a)

k∑i=1

(ti − ti−1) <ε

2

mit (12.1) folgt ∣∣∣∣∣∫ b

a|γ′(t)|dt−

k∑i=1

|γ(ti) γ(ti−1)|

∣∣∣∣∣ < ε

Beispiele

1) Sei γ : [0, ϕ]→ R2 gegeben durch γ(t) = (cos t, sin t).Man berechnet γ′(t) = (− sin t, cos t), |γ(t)| =

√cos2 t+ sin2 t = 1 und die Bo-

genlange

L =∫ ϕ

0|γ′(t)|dt =

∫ ϕ

01 dt = ϕ,

dies gilt insbesondere fur den Umfang des Einheitskreises 2π.

2) ZykloideSei hier γ(t) = (t− sin t, 1− cos t). Dann ist γ′(t) = (1− cos t, sin t) und

|γ′(t)|2 = (1− cos t)2 + sin2 t = 1− 2 cos t+ cos2 t+ sin2 t = 2− 2 cos t = 4 sin2 t

2.

Also ist |γ′(t)| = 2| sin t2 | und schließlich die Bogenlange

L =∫ 2π

02 sin

t

2dt = 4

∫ π

0sinxdx = 8.

Definition 12.1.9 (Parametertransformation). γ : [a, b] ⊆ R → Rn sei eine Kurve,ϕ : [α, β]→ [a, b] sei stetig und bijektiv.Dann ist g : [α, β]→ R, g := γ ϕ wieder eine Kurve.Wir sagen: g geht aus γ durch Parametertransformation hervor.

• Falls ϕ,ϕ−1 ∈ C1, so heißt ϕ auch C1-Parametertransformation.

• Das Bild von g und γ ist daßelbe, aber die Kurve wird unterschiedlich durchlaufen.

Beispiel Sei γ : [0, 2π] → R2 gegeben durch γ(t) = (cos t, sin t). Dann ist (siehe oben)|γ′(t)| = 1. Sei die Parametertransformation ϕ : [0, π]→ [0, 2π] gegeben durch

ϕ(s) = 2s, mit Inverser ϕ−1(y) =y

2.

148

Dann hatg(s) = γ(ϕ(s)) = (cos 2s, sin 2s)

die Geschwindigkeit |g′(s)| = 2, das heißt, der Kreis wird doppelt so schnell durchlaufen.

Bemerkung

• Falls ϕ′(t) > 0, t ∈ [a, b], so heißt ϕ orientierungstreu.

• Falls ϕ′(t) < 0, t ∈ [a, b], so heißt ϕ orientierungsumkehrend.

Frage Wie verhalten sich Tangentialvektoren, Schnittwinkel und Bogenlange unter Um-parametrisierung?

Tangentialvektoren γ : [a, b] ⊆ R→ Rn sei differenzierbare Kurve, γ ∈ C1, g = γ ϕ.Mit der Kettenregel ist

g′(s) = γ′(ϕ(s)) · ϕ′(s).Die Tangentialvektoren sind parallel, die Tangentialeinheitsvektoren sind bei orientie-rungstreuer Parametrisierung gleich, sonst entgegengesetzt.

Schnittwinkel

• Der Schnittwinkel andert sich nicht, wenn beide Parametrisierungen orientierungs-treu oder beide orientierungsumkehrend sind.

• Sonst ist α = π − α.

Proposition 12.1.10 (Invarianz der Bogenlange unter Umparametrisierung).γ : [a, b] → Rn sei stetig differenzierbar, ϕ : [α, β] → [a, b] ∈ C1, g(s) = γ(ϕ(s)). Danngilt ∫ b

a

∣∣γ′(ϕ)∣∣ dϕ =

∫ β

α

∣∣g′(s)∣∣ dsBeweis ∫ β

α|g′(s)|ds =

∫ β

α|γ′(ϕ(s))||ϕ′(s)|ds (12.2)

Falls ϕ′(s) > 0, so ist

12.2 =∫ β

αγ′(ϕ(s))ϕ′(s) ds =Substitution

∫ b

aγ′(ϕ) dϕ

Falls andererseits ϕ′(s) < 0, so ist

12.2 = −∫ β

αγ′(ϕ(s))ϕ′(s) ds =ϕ(α)=b

∫ b

aγ′(ϕ) dϕ

Bezeichnung 12.1.11. Die Parametrisierung nach der Bogenlange wird die naturlicheParametrisierung genannt.

149

12.2 Partielle Ableitungen

Wir betrachten im folgenden Funktionen f : Ω ⊆ Rn → Rm (Ω heißt Gebiet und istimmer offen).

Beispiel

1) f : Ω ⊆ R2 → R. Der Graph von f ist ein Flachenstuck im R3.Graph von f :

Γf = (x, y) ∈ Ω× R | y = f(x).Niveaumenge zu c ∈ R (“Hohenlinien”):

Nf (c) = x ∈ Ω | f(x) = c

2) f : R3 \ x0 → R3 als elektrisches Feld, das durch die Punktladung q in x0 ∈ R3

erzeugt wird:

f(x) = qx− x0

|x− x0|3.

3) f : C→ C, f(z) = ez hat als reelle Darstellung: f : R2 → R2

f(x, y) =(ex cos yex sin y

).

4) Eine beobachtete Große y (z.B. die Temperatur) hangt von einem Parameter t ab(z.B. der Zeit). Es sind N Messdaten (tk, yk), k = 1, . . . , N verfugbar.Ziel: finde eine moglichst realitatsnahe Beziehung y = y(t).Annahme: Die Abhangigkeit ist affin linear, also y(t) = at+ b.a und b sind moglichst gut∗ zu bestimmen, zum Beispiel nach der Methode derkleinsten Quadrate. Hier soll

f :=N∑j=1

(yj − (atj + b))2

minimal werden.

Definition 12.2.1 (partiell differenzierbar). Sei Ω ⊆ Rn offen und f : Ω → R. Dannheißt f in x ∈ Ω partiell differenzierbar nach xi (bzw. nach der i-ten Koordinate), fallsder Grenzwert

∂if(x) := limt→0

f(x+ t · ei)− f(x)t

existiert, wobei ei der i-te Einheitsvektor ist. Diese Große wird auch mit

∂

∂xif(x), ∂xif(x) oder fxi

bezeichnet. Also ist die partielle Ableitung nach xi die gewohnliche Ableitung von g(t) =f(x+ tei) an der Stelle t = 0.

∗im noch zu prazisierenden Sinne

150

Beispiel

1) rotationssymmetrische FunktionSei f : Rn \ 0 → R, f(x) = |x|. Dann ist

∂if(x) =ddt

i−1∑j=1

|xj |2 + |xi + t|2 +n∑

j=i+1

|xj |2 1

2

=1

2|x|2xi =

xi|x|

2) Sei f(x) = g(r) mit r(x) = |x|, g : R+ → R. Dann ist

∂if(x) = g′(r) · ∂ir(x) = g′(r)xi|x|

=g′(r)r· xi

Definition 12.2.2 (stetig partiell differenzierbar). Sei Ω ⊆ Rn offen.

• f heißt partiell differenzierbar, falls ∂if(x) fur alle x ∈ Ω und fur alle i = 1, . . . , nexistiert.

• f heißt stetig partiell differenzierbar, falls zusatzlich ∂if stetig auf Ω ist fur allei = 1, . . . , n.

Bemerkung Stetigkeit auf Ω bedeutet im allgemeinen nicht, daß die Funktion stetigfortsetzbar auf Ω ist, fur alle i = 1, . . . , n.

Beispiel einer Funktion, die partiell differenzierbar, aber nicht stetig ist: f : Rn → Rmit

f(x) =x1 · . . . · xn|x|2n

f(0) = 0

• f ist partiell differenzierbar auf Rn \ 0 mit

∂if(x) =x1 · . . . · xi−1 · xi+1 · . . . · xn

|x|2n− 2n|x|2n+1

(x1 · . . . · xn)xi|x|.

• f ist in 0 partiell differenzierbar, denn fur alle t 6= 0 ist f(0+tei)−f(0)t = 0−0

t = 0und damit ∂if(0) = 0.Aber: f ist in x = 0 nicht stetig, denn fur die Folge (xk) = ( 1

k , . . . ,1k ) ist |xk| =

√nk → 0 fur k →∞.

Damit ist f(xk) = 1kn

1

(√

nk

)2n, was fur k →∞ gegen ∞ geht.

Die spatere Verallgemeinerung des Differenzierbarkeitsbegriffs wird Stetigkeit implizie-ren. Im besonderen sind stetig partiell differenzierbare Funktionen auch stetig (im Bei-spiel ist ∂if(x) nicht stetig in x = 0).

151

Definition 12.2.3 (Richtungsableitung). Ω ⊆ Rn offen, f : Ω→ R, v ∈ Rn. Dann heißt

∂vf(x) = limt→0

f(x+ tv)− f(x)t

falls der Grenzwert existiert, die Richtungsableitung von f in x ∈ Ω in Richtung v.

Beispiel Sei f : Rn → R gegeben durch f(x) = |x|, sei x 6= 0, v ∈ Rn\0, (v =∑viei).

Dann ist

∂vf(x) =ddt|x+ tv| fur t = 0

=ddt

(n∑i=1

|xi + tvi|2)12 fur t = 0

=1

2|x|

n∑i=1

2xivi

=n∑i=1

xi|x|vi

=⟨x

|x|, v

⟩Definition 12.2.4 (Gradient). f : Ω ⊆ Rn → R sei partiell differenzierbar. Dann heißtdas Vektorfeld ∇f(x) : Ω→ Rn mit

∇f(x) :=

∂1f(x)...

∂nf(x)

der Gradient von f in x.

• im Beispiel: f(x) = |x|. Fur x 6= 0 ist ∇f(x) =

x1|x|...xn|x|

= x|x|

und ∂vf(x) = 〈∇f(x), v〉

• Falls f : Ω ∈ Rn → R stetig partiell differenzierbar ist, dann existiert fur allev ∈ Rn \ 0 ein ∂vf(x) und es gilt: ∂vf(x) =

∑ni=1 ∂if(x)vi = 〈∇f(x), v〉

Beweis: Ubung

Definition 12.2.5 (Partielle Ableitung fur vektorwertige Funktionen). Sei f : Ω ⊆Rn → Rm. Die Funktion f = (f1, . . . , fm) heißt partiell differenzierbar, falls alle Kom-ponentenfunktionen f1, . . . , fn partiell differenzierbar sind.

Die partielle Ableitung schreibt man auch ∂jf(x) =

∂jf1(x)...

∂jfm(x)

.

152

Definition 12.2.6 (Jacobi-Matrix). f : Ω ⊆ Rn → Rm sei partiell differenzierbar. Dannheißt

Df(x) :=

∂1f1(x) . . . ∂nf1(x)...

. . ....

∂1fm(x) . . . ∂nfm(x)

die Jacobi-Matrix von f in x.Fur n = m heißt Jf (x) := det Df(x) die Jacobi- oder Funktionaldeterminante.

Bemerkung

Df(x) =

(∇f1(x))T...

(∇fn(x))T

12.3 Hohere partielle Ableitungen und Beispiele von

Differentialoperatoren

Definition 12.3.1 (Partielle Ableitungen der Ordnung k, Ck(Ω,Rn)). Sei f : Ω ⊆ Rn →Rm. Die partiellen Ableitungen der Ordnung k sind induktiv definiert uber:

∂j1 . . . ∂jkf(x) := ∂j1(∂j2 . . . ∂jk)f(x) mit j1, . . . , jk ∈ 1, . . . , n

Bezeichnung 12.3.2. ∂kj1 in f(x) oder ∂k

∂j1...∂jk

f(x) etc.

Ck(Ω,Rm) ist der Vektorraum der stetigen Funktionen, deren partielle Ableitungenbis zur Ordnung k existieren und stetig sind.

Ck(Ω,Rm) =f ∈ Ck(Ω,Rm)

∣∣∣∣ f und alle partiellen Ableitungen bis zurOrdnung k sind stetig fortsetzbar auf Ω

Beispiel f(x) = 1

x , f ∈ Ck((0, 1)) ∀k ∈ N, f 6∈ C0([0, 1]).

Proposition 12.3.3 (zur Vertauschbarkeit zweier partieller Ableitungen (Schwarz)).Sei f ∈ C2(Ω). Dann gilt fur 1 ≤ i, j ≤ n, daß

∂i∂jf(x) = ∂j∂if(x)

Korollar 12.3.4 (Fur f ∈ Ck(Ω) kann man alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnungk vertauschen). Das heißt fur alle Permutationen σ : 1, . . . , k → 1, . . . , k:

∂iσ(1). . . ∂iσ(n)

f(x) = ∂i1 . . . ∂inf(x)

Beweis des Satzes von SchwarzSei ∂Tj f(x) = f(x−tej)−f(x)

t der Differenzenquotient von f in xj .Nach Definition gilt

∂i∂jf(x) = lims→0

(limt→0

∂si ∂Ti f(x))

153

Es ist zu zeigen, daß die beiden Grenzwerte vertauscht werden konnen.Nach dem Mittelwertsatz gilt fur alle Funktionen g : Ω→ R, fur die die partielle Ablei-tung ∂ig(x) existiert, daß

∂2i g(x) = ∂ig(x+ αsei) fur ein α ∈ (0, 1).

Angewendet fur g = ∂Tj f und g = ∂si f folgt daraus:

∂si ∂Tj f(x) = ∂i∂

Tj f(x+ αsei) fur ein α ∈ (0, 1)

= ∂Tj (∂if(x+ αsei))= ∂j(∂if(x+ αsei + βtej)) fur ein β ∈ (0, 1)

∂j∂if ist nach Voraussetzung stetig und konvergiert:

∂j∂if(x+ αsei + βtej)s→0−−−→ ∂j∂if(x+ βtej)

t→0−−→ ∂j∂if(x).

Definition 12.3.5 (Vektorfeld). Eine Funktion f : Ω ⊆ Rn → Rn nennt man auchVektorfeld. Man kann sich den B so vorstellen, In x ∈ Ω ist Vektor f(x) ∈ Rn angeheftet.Ein Beispiel ist ein Kraftfeld, also elektrische und magnetische Felder.

Beispiel

1) Divergenz : Zu f ∈ C1(Ω,Rn) heißt

div f(x) :=n∑i=1

∂ifi(x)

Divergenz von f

• beschreibt lokale Volumenanderungen

• es gilt div f = tr(Df)

• Physikerschreibweise div f = ∇ · f “Skalarprodukt von ∇ mit f”

2) Rotation

a) Ω ⊆ R3, f ∈ C1(Ω,R3). Dann heißt

rot f(x) =

∂2f3 − ∂3f2

∂3f1 − ∂1f3

∂1f2 − ∂2f1

die Rotation von f .

• Physikerschreibweise: rot f = ∇× f “Vektorprodukt von ∇ mit f”

(fur v, w ∈ R3 ist v × w =

v2w3 − v3w2

v3w1 − v1w3

v1w2 − v2w1

154

b) Ω ⊆ R2, f ∈ C1(Ω,R2)rot f = ∂1f2 − ∂2f1 (∈ R)f ist eingebettet in R3, f(x1, x2, x3) = (f1(x1, x2, x3)f2(x1, x2, x3)0)T . Dannist

rot f =

00

∂1f2 − ∂2f1

c) f ∈ C2(Ω)

Dann gilt rot(∇f) ≡ 0

rot(∇f) =

∂2∂3f − ∂3∂2f∂3∂1f − ∂1∂3f∂1∂2f − ∂2∂1f

=

000

Beispiele

a) f : R3 → R3, f(x) = x. Die Ableitung nach jeder Komponente ist ∂jf ≡ 1.Damit ist die Divergenz fur alle x ∈ R3:

div f(x) =3∑j=1

∂jfj(x) = 1 + 1 + 1 = 3

und f ist rotationsfrei:

rot f(x) =

1− 11− 11− 1

=

000

b) f : R2 → R2, f(x1, x2) =

(−x2

x1

).

rot f(x) = 2,div f(x) = 0

BemerkungIn R2: Eine Drehung eines divergenzfreien Vektorfeldes um 90 ergibt ein rotati-onsfreies Vektorfeld.

3) Laplace-Operator Zu f ∈ C2(Ω),Ω ∈ Rn heißt

4f(x) := div(∇f(x)) =n∑i=1

∂2iif(x) = tr(D2f(x))

der Laplace-Operator von f(x), wobei

D2f(x) =

∂1∂1f . . . ∂n∂1f...

. . ....

∂1∂nf . . . ∂n∂nf

155

Hesse-Matrix genannt wird. Fur f ∈ C2(Ω) ist D2f(x) nach dem Satz von Schwarz12.3.3 symmetrisch.

BemerkungDer Laplace-Operator tritt in zahlreichen Gleichungen der Physik auf, zum Beispiel

a) Elektrostatik ρ Ladungsdichte, u elektrisches Potential, es gilt −4u = ρ.

b) Warmeleitungsgleichung u : R3 × R→ R, u = u(x, t) als die Temperatur in xzur Zeit t.f : R3 × R→ R sei eine Warmequelle.Ein Modell fur die Warmeausbreitung ist

∂tu−K4u = f,

dabei ist K der Warmeleitungskoeffizient des Stoffes.

Nutzlich ist oft der Laplace-Operator fur rotationssymmetrische Funktionen.Sei f : Rn \ 0 → R mit f(x) = g(r(x)) mit r(x) = |x|, g : R+ → RZiel: 4f durch Ableitungen von g ausdrucken.

∂jf(x) = g′(r(x))∂jr(x) = g′(r(x))xj|x|

∂2jjf(x) = g′′(r(x))

x2j

|x|+ g′(r(x))

1|x|− g′(r(x)) xj

|x|2xj|x|

= g′′(r(x))x2j

|x|+g′(r(x))|x|

−g′(r(x))x2

j

|x|3

Damit ist 4f(x) =n∑j=1

∂2jjf(x)

= g′′(r(x)) + n · g′(r(x))|x|

− g′(r(x))x

= g′′(r(x)) + (n− 1)g′(r(x))

r

= g′′(r) +n− 1r

g′(r)

Wellengleichung Die Funktion u : R3 \ 0×R→ R sei durch u(x, t) = cos(r−ct)r

mit r = |x|, c ∈ R gegeben.Behauptung : u lost die Wellengleichung

∂2ttu− c24u = 0

156

Beweis: Betrachte die Funktion als u(x, t) = g(r, t) mit g(r, t) = 1r cos(r − ct).

∂2ttu = ∂2

ttg

∂2ttg(r, t) = −c2 cos(r − ct)

r

∂rg(r, t) =1r

sin(r − ct)− 1r2

cos(r − ct)

∂2rrg(r, t) = −1

rcos(r − ct) +

2r2

sin(r − ct) +2r3

cos(r − ct)

⇒ ∂2tt − c24u = c2

(−1r

cos(r − ct) +1r

cos(r − ct)− 2r2

sin(r − ct) +2r2

sin(r − ct)

− 2r3

cos(r − ct) +2r3

cos(r − ct))

= 0

12.4 (Totale) Differenzierbarkeit

Idee Approximierbarkeit durch lineare Abbildungen.Im folgenden sei Ω ⊆ Rn immer offen.

Definition 12.4.1 (Differenzierbare Abbildung). Eine Funktion f : Ω ⊆ Rn → Rm, Ωoffen, heißt in x ∈ Ω differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung L : Rn → Rm gibt,so daß

limh→0

f(x+ h)− f(x)− L(h)|h|

= 0

Falls solch ein L existiert, so schreibt man Df(x) = L.

Bemerkung

1) Bezuglich der kanonischen Basis wird L durch eine Matrix der Gestalt

L = (ljk)1≤j≤m1≤k≤n

(Lh)j =n∑j=1

ljkhk

dargestellt.

2) Schreibweise mit Restglied:f ist in x ∈ Ω differenzierbar, falls eine lineare Abbildung L : Rn → Rm existiert,so daß f(x+ h)− f(x)− Lh = Rf (h) mit limh→0

Rf (h)|h| = 0 (d.h. Rf (h) = o(|h|))

3) f : Ω → Rm ist genau dann in x ∈ Ω differenzierbar, wenn jede Komponenten-funktion fi : Ω→ R, i = 1, . . . ,m in x ∈ Ω differenzierbar ist.

Beispiel

157

1) Seien C = (cij) ∈ Mn(R) symmetrisch und f : Rn → R, f(x) = 〈x,Cx〉 die zu Cgehorende quadratische Form. Sei h ∈ Rn.

f(x+ h)− f(x) = 〈x+ h,C(x+ h)〉 − 〈x,Cx〉= 〈x,Cx〉+ 〈h,Cx〉+ 〈x,Ch〉+ 〈h,Ch〉 − 〈x,Cx〉=

C sym.2 〈Cx, h〉+ 〈h,Ch〉

Damit ist ein Kandidat fur Df(x) = (2Cx)T .

∣∣∣∣f(x+ h)− f(x)−Df(x)h|h|

∣∣∣∣ =∣∣∣∣〈h,Ch〉|h|

∣∣∣∣≤

CSU

|h||Ch||h|

≤ |C| · |h| mit |C| =

n∑j,k=1

c2j,k

12

→ 0 fur h→ 0

Die letzte Ungleichung gilt, da

|Ch| =

∑i

∑j

cijhj

212

≤CSU

∑i

∑j

c2ij

∑j

h2j

12

= |h| · |C|.

Damit ist f ist in jedem x ∈ Rn differenzierbar mit Df(x) = (2Cx)T .

2) f : Mn(R)→Mn(R), f(A) = A2.Sei H ∈Mn(R). Dann ist

f(A+H)− f(A) = (A+H)(A+H)−A2

= AH +HA+H2

Der lineare Term ist Kandidat der Ableitung Df(A)H = AH +HA:

f(A+H)− f(A)− (AH +HA)|H|

=AH +HA+H2 − (AH +HA)

|H|

=H2

|H||H|→0−−−−→ 0.

Hier ist die Matrixdarstellung von Df als n2×n2-Matrix nicht gunstig: Ein Beispielist fur n = 2:

(h11 h12

h21 h22

)

h11

h12

h21

h22

⇒ Df(A) =

2a11 a21 a12 0a12 a11 + a22 0 a12

a21 0 a11 + a21 a21

0 a21 a12 2a22

158

Proposition 12.4.2 (Aus (totaler) Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit und partielleDifferenzierbarkeit). Die Funktion f : Ω ∈ Rn → Rm sei in x ∈ Ω differenzierbar, alsof(x+ h)− f(x)− Lh = Rf (h) mit Rf (h) = o(|h|) und L = (lj,k)1≤j≤m

1≤k≤n. Dann gilt:

1) f ist in x stetig.

2) f ist in x partiell differenzierbar und es gilt ∂kfj(x) = lj,k.

Bemerkung

• Dies heißt, L ist durch die Jacobimatrix gegeben.

• Insbesondere ist L eindeutig bestimmt.

Beweis

1) Dies folgt aus limh→0(f(x+ h)− f(x)) = limh→0(Lh−Rf (h)) = 0.

2) Wahle in der Differenzierbarkeitsaussage h = tej . Damit ist

fi(x+ tej)− fi(x) =n∑k=1

li,kek +Rf (h) = tli,j + o(|t|)

und es folgt

∂jfi(x) = limt→0

fi(x+ tej)− fi(x)t

= li,j

Proposition 12.4.3 (aus stetig partiell differenzierbar folgt (total) differenzierbar).Die Funktion f : Ω ⊆ Rn → Rm sei in x ∈ Ω stetig partiell differenzierbar.Dann ist f in x ∈ Ω (total) differenzierbar.

Beweis Nach obiger Bemerkung genugt es, den Fall m = 1 zu betrachten. Ein Kandidatfur die Ableitung zu h ∈ Rn ist Lh =

∑nj=1 ∂jf(x)hj

x0 = x, xk = x+∑k

j=1 hjej (xm = x+ h)f(xk)− f(xk−1) = f(xk−1 + hkek)− f(xk−1) =MWS ∂kf(xk−1 + θkhkek)hk mit θ ∈ [0, 1]Damit ist

|f(x+ h)− f(x)− Lh||h|

=1|h|

∣∣∣∣∣n∑k=1

(f(xk)− f(xk−1))−n∑k=1

∂kf(x)hk

∣∣∣∣∣=

1|h|

∣∣∣∣∣n∑k=1

∂kf(xk−1 + θkhkek)hk −n∑k=1

∂kf(x)hk

∣∣∣∣∣≤CSU

|h||h|

(n∑k=1

(∂kf(xk−1 + θkhkek)−n∑k=1

∂kf(x))2) 1

2

→ 0 fur h→ 0,

der Grenzwert existiert, da ∂kf in x stetig ist.

159

Korollar 12.4.4. Wenn f stetig partiell differenzierbar ist, dann ist f stetig.

Zusammenfassung Aus stetig partiell differenzierbarfolgt (total) differenzierbarfolgt partiell differenzierbar und stetig.

Man sagt statt “stetig partiell differenzierbar” auch nur “stetig differenzierbar”.

Proposition 12.4.5 (Kettenregel). Sei Ω ⊆ Rn, V ⊆ Rm,Ω→g V →f Rk.g sei in x ∈ Ω differenzierbar und f sei in y = g(x) ∈ V differenzierbar. Dann ist auchdie Abbildung f g : Ω→ Rk in x differenzierbar und es gilt

D((f g)(x)) = Df(g(x))Dg(x) also ∂j((f g)(x))i =m∑k=1

∂kfi(g(x))∂jgk(x)

Beweis Definiere

A := Dg(x) ∈Mm,n(R) und B := Df(g(x)) ∈Mk,m(R)

Zu zeigen ist: D(f g)(x) = B ·A.Da g und h differenzierbar sind, gilt

g(x+ h) = g(x) +Ah+Rg(h) mit h ∈ Rn, Rg(h) = o(|h|)

undf(y + η) = f(y) +Bη +Rf (η) mit η ∈ Rn, Rf (η) = o(|η|).

Wahle η := g(x+ h)− g(x) = Ah+Rg(h). Damit ist

f(g(x+ h)) = f(g(x)) +B(Ah+Rg(h)) +Rf (Ah+Rg(h))

undf(y + η)− f(y)−B ·A · h = B ·Rg(h) +Rf (A · h+Rg(h)) =: ψ(h).

Es bleibt zu zeigen: ψ(h) = o(|h|)Dazu:

|B ·Rg(h)||h|

≤ |B||Rg(h)||h|

→ 0 fur |h| → 0

und|A · h+Rg(h)| ≤ |A| · |h|+ |Rg(h)| ≤ |A| · |h|+ ε · |h| ≤ (|A|+ 1)|h|.

Also gehtRf (A · h+Rg(h))

|h|→ 0 fur |h| → 0

Beispiel k = 1 : ∂j((f g)(x)) =∑n

k=1 ∂kf(g(x))∂jgk(x) = ((Dg(x))T∇f(g(x)))j

160

Anwendung 12.4.6. Ableitung der Umkehrfunktionf : Rn → Rn besitze die Umkehrfunktion g : Rn → Rn, f sei in x differenzierbar, g seiin g = f(x) differenzierbar.Dann folgt aus g(f(x)) = x mit der Kettenregel

Dg(f(x)) ·Df(x) = 1⇒ Dg(f(x)) = (Df(x))−1

Polarkoordinaten in R2

Sei f : R+×(0, 2π)→ R2 gegeben durch f(r, ϕ) = (r cosϕ, r sinϕ) =: (x, y). Im Ursprungist f nicht umkehrbar, da ϕ nicht eindeutig bestimmbar ist, ansonsten sei g = f−1 dieUmkehrfunktion. Aus

Df(r, ϕ) =(

cosϕ −r sinϕsinϕ r cosϕ

)folgt detDf(r, ϕ) = r > 0. Dann ist

Dg(x, y) = Df(r, ϕ)−1 =(

cosϕ sinϕ−1r sinϕ 1

r cosϕ

)=

(x√x2+y2

y√x2+y2

− yx2+y2

xx2+y2

)

Korollar 12.4.7 (Der Gradient steht senkrecht auf Hohenlininen). f : Ω → R sei diffe-renzierbar, γ sei regulare Kurve (α, β)→ Ω, die ganz in einer Niveaumenge verlauft, dasheißt f(γ(t)) = c ∀t ∈ (α, β). Dann gilt

∀t ∈ (α, β) :⟨∇f(γ(t)), γ′(t)

⟩= 0

Bemerkung ∇f(x) zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs in x, (−∇f(x)) zeigt inRichtung des steilsten Abstiegs. ∀v ∈ Rn, |v| = 1 :

〈∇f(x), v〉 ≤ |∇f(x)||v| = |∇f(x)|1 = |∇f(x)|

Gleichheit gilt, falls ∇f(x)‖v, das heißt v = ∇f(x)|∇f(x)| .

12.5 Mittelwertsatz und Schrankensatz

Ziel Wir wollen Informationen uber die Ableitung nutzen, um daraus Informationenuber die Funktion zu gewinnen.

Bemerkung Fur n = 1 hatten wir gezeigt (Mittelwertsatz):f(x)− f(y) = f ′(ξ)(x− y) fur ein ξ ∈ (x, y).Dies kann man jedoch nicht ohne weiteres fur vektorwertige Funktionen verallgemeinern,da man eventuell fur jede Komponente ein anderes ξ erhalt.

Der Hauptsatz behob diesen Nachteil: f(x) − f(y) =∫ yx f

′(ξ) dξ, gilt in dieser Formauch fur vektorwertige Funktionen, hat aber die Beschrankung, daß er nur fur f ∈ R1(I)gilt.

161

Proposition 12.5.1 (Mittelwertsatz in Rn). Sei f : Ω ⊆ Rn → R differenzierbar, seix, y ∈ Ω, so daß auch die Verbindungsstrecke [x; y] in Ω liegt. Dann gibt es ein ξ ∈ [x; y],so daß

f(x)− f(y) = Df(ξ)(x− y) = 〈∇f(ξ), x− y〉

Beweis Sei γ(t) = x + t(y − x), t ∈ [0, 1], F (t) = f(γ(t)), dann gilt f(x) = F (0) undf(y) = F (1).Nach der Kettenregel ist F differenzierbar mit

ddtF (t) = Df(γ(t))γ′(t) =

⟨∇f(γ(t)), γ′(t)

⟩= 〈∇f(γ(t)), y − x〉

Nach dem Mittelwertsatz fur n = 1 gibt es ein τ ∈ (0, 1), so daß F (1)− F (0) = F ′(τ).

f(y)− f(x) = Df(γ(τ))(y − x) = Df(ξ)(y − x)

Korollar 12.5.2 (Ω ⊆ Rn sei offen und wegzusammenhangend. Falls fur f : Ω → R gilt:Df(x) = 0, dann ist f konstant auf Ω.).

Beweis Verbinde zwei beliebige Punkte durch einen Polygonzug und wende den Mit-telwertsatz auf jedes Teilstuck an.

Proposition 12.5.3. Sei f : Ω ⊆ Rn → Rm, f ∈ C1(Ω,Rm).Zu x, y ∈ Ω gebe es eine regulare Verbindungskurve γ : [α, β] → Ω, γ(α) = x, γ(β) = y.Dann gilt

f(x)− f(y) =∫ β

αDf(γ(t)) · γ′(t) dt ∈ Rm

Beweis Uber den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung fur F (t) = f(γ(t))mit der Kettenregel.

Bemerkung andere Version: Sei x ∈ Ω, ξ ∈ Rn und ∀t ∈ [0, 1] : x+ tξ ∈ Ω. Dann gilt

f(x+ ξ)− f(x) =∫ 1

0Df(x+ tξ)tdt

Proposition 12.5.4 (Schrankensatz). Sei Ω ⊆ Rn offen und konvex und f ∈ C1(Ω,Rm)mit supx∈Ω |Df(x)| ≤ L.† Dann gilt fur alle x, y ∈ Ω:

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|,

f ist also Lipschitz-stetig.

Beweis†Die Norm ist gegeben durch |Df(x)|2 =

Pnj=1

Pmi=1 |∂jfi(x)|2.

162

• Fur stetiges γ : [a, b] ⊆ R→ Rn gilt (Ubungen)∣∣∣∣∫ b

aγ(t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|γ(t)|dt. (12.3)

• Nach Voraussetzung ist γ(t) = tx+ (1− t)y ∈ Ω ∀t ∈ [0, 1]. Mit Satz 12.5.3 folgt

|f(y)− f(x)| =∣∣∣∣∫ 1

0Df(γ(t))γ′(t) dt

∣∣∣∣≤

(12.3)

∫ 1

0|Df(γ(t))(x− y)|dt

≤∫ 1

0|Df(γ(t))||(x− y)|dt

≤ L · |x− y|

Bemerkung Schreibweise der partiellen Ableitung

1. Ordnung ∂if, ∂xf,∂f∂x [manchmal: Df , fx]

2. Ordnung ∂j∂if, ∂jif,∂2f

∂xi∂xj, ∂xixjf [manchmal: ∂2

ijf , aber nicht so ublich. ∂2ijf bedeutet ∂i∂jf ]

12.6 Approximation durch Taylorpolynome

Bemerkung Im Fall n = 1 ist fur f : I ⊆ R → R mit f ∈ Ck+1(I), x0 ∈ I das k-teTaylorpolynom von f in x0 mit Tkf(x, x0) =

∑nj=1

1j!f

(j)(x0)(x− x0)j gegeben.Die Integralformel fur das Restglied ist:

f(x) = Tkf(x, x0) +1

(k + 1)!

∫ x

x0

(t− x0)kf (k+1)(t) dt

= Tkf(x, x0) + f (k+1)(ξ)(x− x0)k+1

(k + 1)!

= Tkf(x, x0) + o(|x− x0|k)

Fur f ∈ C∞(I) ist die Taylorreihe als T f(x, x0) =∑∞

j=11j!f

(j)(x0)(x− x0)j definiert.

Bemerkung

• Der Konvergenzradius ist nicht unbedingt positiv.

• Auch wenn T f(x, x0) konvergiert, muss nicht gelten f(x) = Tf(x, x0).

Ziel

163

• Wir wollen f : Ω ⊆ Rn → R durch Polynome approximieren.

• Durch Einschrankung auf die Verbindungsgerade zwischen x und x0 auf den Falln = 1 zuruckfuhren.

Definition 12.6.1 (Multiindex). • α = (α1, . . . , αn) heißt Multiindex, αj ∈ N∪0.|α| := α1 + . . .+ αn heißt die Ordnung von α.α! = α1! · . . . · αn!

• Zu x ∈ Rn ist xα = (xα11 , . . . , xαn

n ).

• Sei k := |α|, f ∈ Ck(Ω). Dann ist Dαf(x) = ∂α11 ∂α2

2 . . . ∂αnn f(x) = ∂|α|f(x)

∂α1x1...∂αnxn

Ziel Schreibe f ∈ Ck+1 als

f(x+ ξ) =∑|α|≤k

1α!

Dαf(x)ξα + o(|ξ|α)

Beispiel Fur n = 2, k = 2 ist

f(x1 + ξ1, x2 + ξ2) = f(x1, x2) + ∂1f(x1, x2)ξ1 + ∂2f(x1, x2)ξ2

+12∂2

1f(x1, x2)ξ21 + ∂12f(x1, x2)ξ1ξ2 +12∂2

2f(x1, x2)ξ22

Bemerkung Fur k = 2 ist f(x+ ξ) = f(x) + 〈∇f(x), ξ〉+⟨ξ,D2f(x)ξ

⟩+ o(|ξ|2)

Proposition 12.6.2 (Hilfssatz). Sei Ω ⊆ Rn offen, f ∈ Ck(Ω), x ∈ Ω, ξ ∈ Rn mitx + tξ ∈ Ω fur t ∈ [0, 1]. Sei g : [0, 1] → R definiert durch g(t) := f(x + tξ). Dann istg ∈ Ck([0, 1]) und

∂k

∂tkg(t) =

∑|α|≤k

k!α!

Dαf(x+ tξ)ξα

Beispiel Fur f : C2(R2), g(t) = f(x+ tξ) folgt ddtg(t) = ∂1f(x+ tξ)ξ1 + ∂2f(x+ tξ)ξ2,

alsod2

dt2g(t) = ∂2

1f(x+ tξ)ξ21 + 2∂12f(x+ tξ)ξ1ξ2 + ∂22f(x+ tξ)ξ22

Beweis

1) Mit Induktion uber k:

k = 1:ddtg(t) = ∂1f(x+ tξ)ξ1 + . . .+ ∂nf(x+ tξ)ξn

164

k − 1 k:

dk

dtk=

ddt

(dk−1

dtk−1g(t)

)

=IV

ddt

n∑i1=1

. . .

n∑ik−1=1

∂i1...ik−1f(x+ tξ)ξi1 . . . ξik−1

=

n∑j=1

∂j

n∑i1=1

. . .

n∑ik−1=1

∂i1...ik−1f(x+ tξ)ξi1 . . . ξik−1

ξj

=n∑

i1=1

. . .

n∑ik=1

∂i1...ikf(x+ tξ)ξi1 . . . ξik

2) Abzahlreim: Kommt Index 1 in ∂i1...ik genau α1-mal vor, dann gilt nach dem Satzvon Schwarz:

∂i1...ikf(x+ tξ)ξi1 · . . . · ξik = ∂α11 . . . ∂αn

n f(x+ tξ)ξα11 · . . . · ξ

αnn

Es gibt k!

α1!·...·αn! k-Tupel (i1, . . . , in), in denen der Index l (l = 1, . . . , n) genauαl-mal vorkommt. (α1 + . . .+ αn = k), also

dk

dtkg(t) =

∑|α|=k

k!a1! · αn!

∂α11 . . . ∂αn

n f(x+ tξ)ξα =∑|a|≤k

k!α!

Dαf(x+ tξ)ξα

Proposition 12.6.3 (Taylor-Formel). ?? Sei Ω ⊆ Rn offen, f ∈ Ck+1(Ω), x ∈ Ω, ξ ∈Rn, x+ tξ ∈ Ω ∀t ∈ [0, 1]. Dann gibt es ein θ ∈ (0, 1] mit

f(x+ ξ) =∑|α|≤k

1α!

Dαf(x)ξα +∑

|α|=k+1

1α!

Dαf(x+ θξ)ξα

Beweis Sei g : [0, 1]→ R, g(t) := f(x+ tξ).Nach Proposition 12.6.2 ist g ∈ Ck+1([0, 1]). Die Taylor-Formel fur 1-Variable ist

g(1) =k∑l=0

1l!

dl

dtlg(0) +

1(k + 1)!

dk+1

dtk+1g(θ) fur einθ ∈ [0, 1]

=12.6.2

∑|α|≤k

1α!

Dαf(x)ξα +∑

|α|=k+1

1α!

Dαf(x+ θξ)ξα

165

Korollar 12.6.4. Sei f ∈ Ck(Ω), x ∈ Ω, δ > 0 so, daß Bδ(x) ⊆ Ω.Dann gilt fur alle ξ ∈ Bδ(x):

f(x+ ξ) =∑|α|≤k

1α!

Dαf(x)ξα + o(|ξ|2).

Beweis Nach Proposition 12.6.2 gibt es ein θ ∈ [0, 1], θ = θ(ξ) mit

f(x+ ξ) =∑

|α|≤k−1

1α!

Dαf(x)ξα +∑|α|=k

1α!

Dαf(x+ θξ)ξα

=∑|α|≤k

1α!

Dαf(x)ξα +∑|α|=k

1α!

(Dαf(x+ θξ)−Dαf(x))ξα

=∑|α|≤k

1α!

Dαf(x)ξα + o(|ξ|k)

da die zweite Summe gegen Null geht fur ξ → 0, da f ∈ Ck(Ω).

Beispiel f : R2 \ (x, y) ∈ R2 | x+ y = 0 → R, f(x, y) = x−yx+y , berechne das Taylorpo-

lynom bis zur zweiten Ordnung im Entwicklungspunkt (1, 1):

∂xf(x, y) =2y

(x+ y)2∂yf(x, y) = − 2x

(x+ y)2

∂2xf(x, y) = − 4y

(x+ y)3∂2yf(x, y) =

4x(x+ y)3

∂xyf(x, y) =2(x+ y)2 − 4y(x+ y)

(x+ y)4=

2(x− y)(x+ y)3

f(1 + x, 1 + x) = f(1, 1) + ∂xf(1, 1)x+ ∂yf(1, 1)y +12∂2xf(1, 1)x2 + ∂xyf(1, 1)xy +

12∂2yf(1, 1)y2 + . . .

=12x− 1

2y +

14x2 +

14y2 + o((|x2 + y2|

12 )2)

=12(x− y)− 1

4(x− y)(x+ y) + o(|x2 + y2|)

12.7 Lokale Extrema und die Bedeutung der Hesse-Matrix

Bemerkung Im R hat f in x0 ein lokales Minimum (Maximum),falls f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0 (f ′′(x0) < 0). ‡

Ziel Analoge Aussage fur n > 1.

‡genauer: f hat Minimum in x ⇒ f ′(x) = 0, f ′′(x) ≥ 0f ′(x) = 0, f ′′(x) > 0 ⇒ f hat Minimum in x

166

Definition 12.7.1 (Lokales Minimum/Maximum). Sei f : Ω ⊆ Rn → R. Wir sagen, fhat in x0 ∈ Ω ein lokales Minimum (Maximum), falls es eine Umgebung V um x0 gibt,so daß fur alle x ∈ V

f(x0) ≤ f(x) (f(x0) ≥ f(x))

gilt. Falls fur alle x ∈ V mit x 6= x0

f(x0) < f(x) (f(x0) > f(x))

gilt, dann spricht man von einem isolierten lokalen Minimum (Maximum).

Proposition 12.7.2 (notwendiges Kriterium fur lokale Extrema). f : Ω ⊆ Rn → Rhabe in x0 ∈ Ω ein lokales Extremum und sei in x0 partiell differenzierbar.Dann gilt: ∂if(x0) = 0 fur alle i = 1, . . . , n, also

∇f(x0) = 0.

x0 heißt dann auch kritischer Punkt von f .

Beweis Sei gi(t) := f(x0 + tei) fur t ∈ (−δ, δ), 1 ≤ i ≤ n.Nach Voraussetzung hat g in t = 0 ein lokales Extremum.Nach Voraussetzung gilt g′i(0) = 0⇒ 0 = g′i(0) = ∂if(x0) 1 ≤ i ≤ n.

Definition 12.7.3 (positiv definite Matrix). Sei A ∈Mn(R) symmetrisch.

a) A heißt positiv definit, falls 〈ξ,Aξ〉 > 0 ∀ξ ∈ Rn \ 0. (Schreibweise: “A > 0”)

b) A heißt positiv semidefinit, falls 〈ξ,Aξ〉 ≥ 0 ∀ξ ∈ Rn. (Schreibweise: “A ≥ 0”)

c) A heißt negativ definit, falls 〈ξ,Aξ〉 < 0 ∀ξ ∈ Rn \ 0. (Schreibweise: “A < 0”)

d) A heißt indefinit, falls es ξ, η ∈ Rn gibt, so daß 〈ξ,Aξ〉 < 0 und 〈η,Aη〉 > 0.(Schreibweise: “A<>0”)

Bemerkung

• A ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind.

• Kriterium: A ist positiv definit ⇔ det

α1,1 . . . α1,k...

. . ....

αk,1 . . . αk,k

> 0 ∀k = 1, . . . , n

Definition 12.7.4 (elliptischer, hyperbolischer, parabolischer, flacher Punkt). Sei f ∈C2(Ω), x0 ∈ Ω. Ein Punkt (x0, f(x0)) heißt

1) elliptisch, falls D2f(x0) positiv oder negativ definit ist.

2) hyperbolisch, falls D2f(x0) nicht singular und indefinit ist. (x0 heißt dann auchSattelpunkt von f)

3) parabolisch, falls D2f(x0) singular, aber 6= 0 ist.

4) flach, falls D2f(x0) = 0.

Beispiel Sei f : R2 → R

167

1) f(x, y) = ±(x2 + y2) ist elliptisch in (0, f(0)).

2) f(x, y) = −x2 + y2 ist hyperbolisch in (0, f(0)).

3) f(x, y) = y2 ist parabolisch in (0, f(0)).

Proposition 12.7.5 (hinreichendes Kriterium fur Extrema).Ω ⊆ Rn sei offen, f ∈ C2(Ω), x0 ∈ Ω sei kritischer Punkt von f . Falls

1) D2f(x0) > 0, dann hat f in x0 ein isoliertes lokales Minimum.

2) D2f(x0) < 0, dann hat f in x0 ein isoliertes lokales Maximum.

3) D2f(x0) indefinit, dann hat f in x0 kein lokales Extremum.

Beweisidee Nach Taylor 12.6.2 ist

f(x0 + ξ) = f(x0) + 〈∇f(x0, ξ), ξ〉+12⟨ξ,D2f(x0)ξ

⟩− ϕ(ξ) mit ϕ(ξ) = o(|ξ|2)

= f(x0) + 0 +12⟨ξ,D2f(x0)ξ

⟩− ϕ(ξ)

Es bleibt noch zu zeigen, daß ⟨ξ,D2f(x0)ξ

⟩≥ α|ξ|2,

also daß fur kleines ξ gilt:0 < |ϕ(ξ)| < α

4.

Beweis

1) • Sei A := D2f(x0).Korollar 12.6.4 ergibt fur alle ξ mit 0 ≤ |ξ| < δ fur hinreichend kleines δ:

f(x0 + ξ) = f(x0) +12〈ξ,Aξ〉+ ϕ(ξ) mit |ϕ(ξ)| = o(|ξ|2).

Außerdem gibt es fur alle ε > 0 ein δ2 > 0, so daß fur alle |ξ| < δ:

|ϕ(ξ)| ≤ ε|ξ|2.

• Betrachte auf Sn−1 = x ∈ Rn | |x| = 1 die Funktion h : Sn−1 → R, gegebendurch

h(ξ) := 〈ξ,Aξ〉 .

Da Sn−1 kompakt ist, nimmt h auf Sn−1 sein Infimum an und da h(ξ) > 0auf Sn−1 ist, gilt auch α := infξ∈Sn−1 h(ξ) > 0.

168

• Es gilt ∀ξ mit |ξ| = 1:〈ξ,Aξ〉 ≥ α

und damit ∀ξ ∈ Rn: ⟨ξ

|ξ|, A

ξ

|ξ|

⟩≥ α

oder auch ∀ξ ∈ Rn:〈ξ,Aξ〉 ≥ α|ξ|2.

• Zu ε = α4 wahle δ > 0 so klein, daß fur alle |ξ| < δ gilt

|ϕ(ξ)| ≤ α

4|ξ|2.

Insgesamt folgt fur alle ξ mit 0 < |ξ| < δ

f(x0 + ξ) = f(x0) +12〈ξ,Aξ〉+ ϕ(ξ)

≥ f(x0) +α

2|ξ|2 − α

4|ξ|2

= f(x0) +α

4|ξ|2

> f(x0).

2) Um A < 0 zu zeigen, wende Teil 1) auf −A an.

3) Zu zeigen: in jeder Umgebung von x0 gibt es Punkte z, y mit f(z) < f(x0) < f(y).Da A indefinit ist, gibt es ein ξ ∈ Rn mit 〈ξ,Aξ〉 > 0. Sei β = 〈ξ,Aξ〉.Fur t ∈ [0, 1] ist

f(x0 + tξ) = f(x0) +12〈tξ, A(tξ)〉+ ϕ(tξ) = f(x0) + t2

β

2+ ϕ(tξ) > f(x0),

falls t klein genug ist (wie in Teil 1).Analog zeigt man: f(x0 + tη) < f(x0) fur hinreichend kleines t, falls η so gewahltist, daß 〈η,Aη〉 < 0.

(Einfache) Beispiele Sei f : R2 → R, (x, y) 7→ f(x, y)

1) Fur f(x, y) = C + x2 + y2 ist ∇f(x, y) = (2x, 2y)T und damit ∇f(0, 0) = 0 fur(x, y) = (0, 0), also (0, 0) kritischer Punkt.Fur alle (x, y) ist D2f(x, y) =

(2 00 2

)> 0, insbesondere fur (x, y) = (0, 0).

Also hat f in (0, 0) ein lokales isoliertes Minimum.

2) Fur f(x, y) = C − x2 − y2 ist ∇f(x, y) = (−2x,−2y)T .Fur alle (x, y) ist D2f(x, y) =

(−2 00 −2

)< 0.

f hat in (0, 0) ein lokales isoliertes Maximum.

169

3) Fur f(x, y) = C + x2 − y2 ist ∇f(x, y) = (2x,−2y).Fur alle (x, y) ist D2f(x, y) =

(2 0

0 −2

)> 0.

f hat in (0, 0) einen kritischen Punkt, aber kein lokales Extremum.

4) Beispiele, in denen die Hesse-Matrix nichts aussagt:

i) f(x, y) = x2 + y4,D2f(x, y) =(

2 00 12y2

),D2f(0, 0) =

(2 00 0

)≥ 0.

Satz 12.7.5 erlaubt keine Aussage, aber wir sehen, daß f in (0, 0) ein lokalesisoliertes Minimum besitzt.

ii) f(x, y) = x2,D2f(x, y) =(2 00 0

)≥ 0.

f hat in jedem Punkt (0, y) ein lokales Minimum (nicht isoliert).

iii) f(x, y) = x2 + y3,D2f(x, y) =(

2 00 6y

)≥ 0, D2f(0, 0) =

(2 00 0

).

f hat in (0, 0) kein lokales Extremum.

Proposition 12.7.6 (notwendiges Kriterium fur lokale Extrema). Ω ⊆ Rn, f ∈ C2(Ω), x0 ∈Ω sei kritischer Punkt.

a) Falls f in x0 ein lokales Minimum hat, so ist D2f(x0) ≥ 0 (positiv semidefinit).

b) Falls f in x0 ein lokales Maximum hat, so ist D2f(x0) ≤ 0 (negativ semidefinit).

Beweis

1) Annahme: D2f(x0) sei nicht positiv semidefinit. Dann gibt es ein ξ ∈ Rn mit⟨ξ,D2f(x0)ξ

⟩< 0.

Somit hat g(t) = f(x0 + tξ) in t = 0 nach dem Beweis von Satz 12.7.5 ein lokalesisoliertes Maximum.

2) analog mit umgekehrtem Vorzeichen.

Proposition 12.7.7 (Schwaches Maximumprinzip fur harmonische Funktionen). Ω ⊆Rn sei offen und beschrankt, u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) sei harmonisch in Ω, also gilt 4u = 0in Ω.Dann nimmt u Minimum und Maximum auf dem Rand von Ω an.

Beispiel Im R ist mit Ω = (a, b) die Funktion u(x) = cx+ d harmonisch.Im Rn fur n > 2 ist mit Ω = BR(0) \Br(0) die Funktion u(x) = |x|2−n harmonisch.Beide Funktionen nehmen nach dem schwachen Maximumsprinzip ihr Maximum undMinimum auf dem Rand an.

Beweis

• Mit u ist auch −u harmonisch, es genugt also, die Aussage fur das Maximum zuzeigen.

170

• Sei M := maxx∈Ω u(x), µ := maxx∈∂Ω u(x)

• Annahme: µ < M . Definiere uε(x) := u(x) + ε · |x|2 mit so kleinem ε, daßmaxx∈∂Ω uε(x) < M , außerdem folgt aus uε(x) ≥ u(x), daß maxx∈Ω uε(x) ≥M .Also nimmt uε an einem Punkt x0 ∈ Ω sein Maximum an. Hier gilt dann D2uε(x0) ≤0 und somit 4uε(x0) = trD2uε(x0) ≤ 0, aber

4uε(x) = 4u(x) +4(ε|x|2) = 0 + 2nε = 0

Das ist ein Widerspruch.

Bemerkung Das starke Maximumsprinzip besagt: Falls ein harmonisches u in Ω Ma-ximum oder Minimum annimmt, dann ist u konstant.

12.8 Konvexe Funktionen

Definition 12.8.1 (konvex). Sei M ⊆ Rn konvexe Menge. Die Funktion f : M → Rheißt konvex, falls fur alle x, y ∈M und alle λ ∈ [0, 1] gilt:

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y) (12.4)

• f heißt strikt konvex, falls (12.4) mit “<” und λ ∈ (0, 1) gilt.

• f heißt konkav, falls (12.4) mit “≥” gilt.

• f heißt strikt konkav, falls (12.4) mit “>” und λ ∈ (0, 1) gilt.

Bemerkung Jede konvexe Funktion ist auf dem Inneren ihres Definitionsbereiches auchstetig. [n = 1: folgt aus der Monotonie des Differenzenquotienten, siehe Analysis In > 1: induktiv, siehe zum Beispiel in Hildebrandt, Analysis II, S. 75]

Bemerkung n = 1

• f ∈ C1(M) konvex ⇔ f(x+ h) ≥ f(x) + f ′(x)h (Tangentenkriterium)

• f ∈ C2(M) konvex ⇔ f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈M

• strikt konvex, falls “>” gilt.

Ziel analoge Aussagen fur n > 1

171

-2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4

0,4

0,8

1,2

1,6

2

2,4

2,8

Definition 12.8.2 (Epigraph). Die Menge

Epi(f) = (x, z) | z ≥ f(x), x ∈M

heißt Epigraph von f . (Im Bild die weiße Flache)

Proposition 12.8.3 (f konvex⇔ Epigraph von f ist konvex).(als Teilmenge des Rn+1)

Proposition 12.8.4 (Tangentenkriterium). Sei Ω ⊆ Rn offenund konvex und f ∈ C1(Ω). Dann ist f genau dann konvex, wenn fur alle x, x+ h ∈ Ω:

f(x+ h) ≥ f(x) + 〈∇f(x), h〉

Beweis “⇒” Nach Voraussetzung ist x+ th ∈ Ω fur ∀t ∈ [0, 1].

f(x+ th) = f((1− t)x+ t(x+ h))≤

f konvex(1− t)f(x) + tf(x+ h)

⇔ 1t(f(x+ th)− f(x)) ≤ f(x+ h)− f(x)

Fur t→ 0 folgt1tf(x+ th)− f(x))→ 〈∇f(x), h〉

“⇐”: Zu x, y ∈ Ω betrachte z = λx + (1 − λ)y, h := x − z auf der Verbindungsgerade.Dann ist

y =z − λx1− λ

=z − λz − λh

1− λ

= z − λ

1− λh

Das Tangentenkriterium impliziert:

i) f(y) ≥ f(z) + 〈∇f(z), y − z〉 = f(z)− λ1−λ 〈∇f(z), h〉

ii) f(x) ≥ f(z) + 〈∇f(z), x− z〉 = f(z) + 〈∇f(z), h〉

Aus (1− λ) · 1) + λ · 2) folgt:

(1− λ)f(y) + λf(x) ≥ f(z) = f(λx+ (1− λ)y)

172

Proposition 12.8.5. Sei Ω ⊆ Rn offen und konvex und f ∈ C2(Ω). Dann ist f genaudann konvex, wenn fur alle x ∈ Ω

D2f(x) ≥ 0

gilt.

Beweis Mit x und x+ h ist fur alle t ∈ (0, 1) auch x+ th ∈ Ω. Mit der Taylor-Formel?? folgt

f(x+ h) = f(x) + 〈∇f(x), h〉+ 12⟨h,D2f(x+ θh)h

⟩fur ein θ ∈ (0, 1). (12.5)

“⇒” Sei also f konvex. Dann folgt mit dem Tangentenkriterium 12.8.4, daß

f(x+ th) ≥ f(x) + t 〈∇f(x), h〉 ,

und vergleicht man dies mit (12.5), so erhalt man die Bedingung

t2⟨h,D2f(x+ θth)h

⟩≥ 0.

Lasst man t gegen 0 gehen, folgt mit Stetigkeit von D2f :⟨h,D2f(x)h

⟩≥ 0

fur beliebiges h ∈ Rn.“⇐” Aus D2f ≥ 0 folgt

12⟨h,D2f(x+ θh)h

⟩≥ 0

Damit istf(x+ h) ≥ f(x) + 〈∇f(x), h〉

Mit dem Tangentenkriterium ist f konvex.

Bemerkung Proposition 12.8.4 und 12.8.5 gelten entsprechend mit “strikt konvex” und“>”.

173

13 Banachscher Fixpunktsatz, lokalerUmkehrsatz und Satz uber impliziteFunktionen

13.1 Banachscher Fixpunktsatz

Ziel dieses Abschnitts ist, die Existenz und Eindeutigkeit des Fixpunktes einer Abbil-dung F : X → X sicherstellen. Ein Fixpunkt ist ein x ∈ X mit F (x) = x.

Definition 13.1.1 ((stark) kontrahierend). (X, d) sei metrischer Raum, M ⊆ X.F : M → X heißt

1) kontrahierend, falls d(F (x), F (y)) < d(x, y) ∀x, y ∈M .

2) stark kontrahierend, falls eine Konstante γ ∈ [0, 1) existiert,so daß d(F (x), F (y)) ≤ γd(x, y) ∀x, y ∈M .

Proposition 13.1.2 (Banachscher Fixpunktsatz). (X, d) sei vollstandiger metrischerRaum, M ⊆ X sei abgeschlossen und nicht-leer.Dann besitzt jede stark kontrahierende Abbildung F : M →M genau einen Fixpunkt inM .

Bemerkung Wir uberlegen uns zunachst, daß alle Voraussetzungen auch notwendigsind.

1) M 6= ∅ nicht-leer.Ein Fixpunkt ist u.a. Element der Menge.

2) M abgeschlossen.Sei M = (0, 1) und F (x) = x

2 . Dann ist |F (x)− F (y)| ≤ 12 |x− y|, also ist F stark

kontrahierende Selbstabbildung, aber der Fixpunkt x = 0 ist nicht in M .

3) F : M →M .Selbstverstandlich kann beispielsweise F : [0, 1] → [2, 3], gegeben durch F (x) =x+ 2, keinen Fixpunkt haben, da x ∈ [0, 1], F (x) ∈ [2, 3], also immer x 6= F (x).

4) F stark kontrahierend.Sei M = R und F (x) = π

2 + x− arctan(x), woraus F ′(x) = 1− 11+x2 ∈ [0, 1) folgt.

Damit ist|F (x)− F (y)| ≤ |F ′(ξ)||x− y| < |x− y|.

174

F ist also kontrahierend, aber nicht stark. F hat keinen Fixpunkt in R, da dieGleichung arctan(x) = π

2 keine Losung besitzt.

Bemerkung In Anwendungen erfordert es meist den großten Aufwand, die Selbstab-bildungseigenschaft (F : M →M) nachzuweisen!

Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes 13.1.2 Fur beliebiges x0 ∈M sei xn+1 :=F (xn). Nach Voraussetzung (F : M →M) gilt xn ∈M fur alle n ∈ N.Existenz: Wir zeigen zunachst, daß (xn) eine Cauchy-Folge in M ist.

d(xn, xn+m) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + . . .+ d(xn+m−1, xn+m)= d(F (xn−1), F (xn)) + . . .+ d(F (xn+m−2), F (xn+m−1))≤

F stark kontr.γ · [d(xn−1, xn) + . . .+ d(xn+m−2, xn+m−1)] ‘

≤ γn · d(x0, x1) + . . .+ γn+m−1d(x0, x1)= γn · (1 + γ + γ2 + . . .+ γm−1) · d(x0, x1)

=geom. Reihe

γn ·(

1− γm

1− γ

)· d(x0, x1)

≤ γn

1− γ· d(x0, x1)

→ 0 fur n→∞.

Damit ist (xn) eine Cauchy-Folge und da X vollstandig und M abgeschlossen sind, gibtes ein x ∈M mit d(xn, x)→ 0 fur n→∞.Da F als stark kontrahierende Abbildung insbesondere auch stetig ist, kann man in derIterationsvorschrift zum Grenzwert ubergehen:

x← xn+1 = F (xn)→ F (x) fur n→∞

Also ist F (x) = x.Eindeutigkeit: Annahme: es gebe Fixpunkte x, y. Dann ist

d(x, y) = d(F (x), F (y)) ≤ γd(x, y).

Hieraus folgt d(x, y) = 0, also x = y.

Bemerkung

• Die Vorschrift xn+1 = F (xn) liefert ein konstruktives Verfahren zur Berechunungdes Fixpunktes.

• Es gelten die folgenden Fehlerabschatzungen:

– d(xn, x) ≤ γn

1−γd(x0, x1)

– d(xn+1, x) ≤ γ1−γd(xn+1, xn)

175

– d(xn+1, x) ≤ γd(xn, x)

Beweis der Fehlerabschatzungen Der Beweis geschieht ahnlich obiger Rechnung je-des Mal uber die Kontraktivitat, Definition der Folge und schließlich beidseitigen Grenzuber-gang von m nach unendlich. Die erste Abschatzung berechnet man

d(xn, x)m→∞←−−−− d(xn, xn+m)≤ d(xn, xn+1) + . . .+ d(xn+m−1, xn+m)= d(F (xn−1, F (xn)) + . . .+ d(F (xn+m−2), F (xn+m−1))< γ · [d(xn−1, xn) + . . .+ d(xn+m−2, xn+m−1)]< γn · [d(x0, x1) + . . .+ d(xm−1, xm)]< γn · (1 + γ + . . .+ γm) · d(x0, x1)

= γn · 1− γm

1− γ· d(x0, x1)

m→∞−−−−→ γn

1− γ· d(x0, x1),

die zweite:

d(xn+1, x)m→∞←−−−− d(xn+1, xn+m)

= d(F (xn), F (xn+m−1))< γ · d(xn, xn+m−1)≤ γ · [d(xn, xn+1) + . . .+ d(xn+m−2, xn+m−1)]< γ · (1 + γ + . . .+ γm−2) · d(xn, xn+1)

= γ · 1− γm−1

1− γ· d(xn, xn+1)

m→∞−−−−→ γ

1− γ· d(xn, xn+1)

und zuletzt die dritte:

d(xn+1, x)m→∞←−−−− d(xn+1, xm+1)

= d(F (xn), F (xm))< γd(xn, xm)

m→∞−−−−→ γd(xn, x).

13.2 Anwendung I: Nullstellenbestimmung

Ziel Nullstelle von f : Ω ⊆ Rn → Rn finden.

176

Voruberlegung Das Nullstellenproblem ist aquivalent zum Fixpunktproblem: Falls x0

Nullstelle von f ist, dann ist x0 Fixpunkt von F (x) = x− f(x), aber auch von F (x) =x−A(x)f(x) mit A(x) invertierbar.

Beispiel

1) Newton-Verfahren. Hier ist (falls Df−1 existiert)

F (x) = x−Df−1(x)f(x).

Erinnerung Fur n = 1 entspricht das der Folge,

xn+1 = xn −f(xn)f ′(xn)

,

wobei xn+1 Nullstelle der Tangentialfunktion (xn, f(xn)) ist, d.h.

0 = f(xn) + f ′(xn)(xn−1 − xn).

Analog geht man fur n > 1 vor und betrachtet an (xn, f(xn)) die lineare Approxi-mation

L(x) = f(xn) + Df(xn)(x− xn)

Das Vorgehen hat den Nachteil, daß in jedem Schritt Df(xn)−1 berechnet werdenmuss, was aufwandig ist.Es hat allerdings den Vorteil, daß — falls es konvergiert — es nahe der Nullstellesehr schnell konvergiert.

2) Modifiziertes Newton-Verfahren: Hier ist die Iterationsvorschrift gegeben durch

F (x) = x−Df−1(x0)f(x)

Vorteil: Df−1(x0) muss nur einmal berechnet werden. Nachteil: konvergiert imallgemeinen langsamer.

Jetzt Versuche, Nullstelle von f als Fixpunkt von F (x) = x−Af(x), A invertierbar zufinden.

• Falls f differenzierbar, dann auch F mit DF (x) = id−A ·Df(x)

• Falls x0 nahe Nullstelle von f , dann x0 auch nahe Fixpunkt von F ,denn

|F (x0)− x0| = |Af(x0)| ≤ |A||f(x0)|.

• Idee: In Umgebung von x0 ist F Selbstabbildung und stark kontrahierend.

177

Proposition 13.2.1. Seien f ∈ C1(Ω,Rn), A ∈ Mn(R) invertierbar und fur x0 ∈Ω, r > 0 mit Br(x0) ⊆ Ω gelte:

1) ∀x ∈ Br(x0) : | id−A ·Df(x0)| ≤ γ < 1 und

2) |f(x0)| ≤ r(1−γ)|A| .

Dann hat f genau eine Nullstelle x ∈ Br(x0), die Folge (xk), definiert uber

xk+1 := xk −A · f(xk),

konvergiert gegen x und es gilt:

|x− xk| ≤γk

1− γ|x0 − x1| =

γk

1− γ|Af(x0)| ≤

γk

1− γ|A||f(x0)|

Beweis Wende den Banachschen Fixpunktsatz 13.1.2 auf F (x) := x−Af(x) an:

1) X = Rn,M := Br(x0) ist nicht-leer und abgeschlossen.

2) F ist stark kontrahierend in Br(x0), denn DF (x) = id−ADf(x). Damit ist

|F (x)− F (y)| ≤ supz∈Br(x0)

|DF (z)||x− y|

= supz∈Br(x0)

| id−ADf(z)||x− y|

≤13.2.1.1)

γ|x− y| ∀x, y ∈ Br(x0).

3) Fur F : Br(x0)→ Br(x0) und x ∈ Br(x0) ist

|F (x)− x0| ≤ |F (x)− F (x0)|+ |F (x0)− x0|≤ γ|x− x0|+ |Af(x0)|≤

13.2.1.2)γr + r(1− γ)

= r

Anwendung 13.2.2 (In den Anwendungen). • Finde zuerst x0, so daß |f(x0)| klein.

• Setze A := Df−1(x0) [falls dieses existiert], damit | id−ADf(x0)| ≤ γ < 1. FallsDf stetig ist, so ist die Voraussetzung 1) in der Umgebung von x0 erfullt.

• Prufe dann, ob

|f(x0)| ≤r(1− γ)|A|

.

Falls beide Bedinungen zutreffen, wende Proposition 13.2.1 an.

178

Beispiel Betrachte f : R2 → R2, gegeben durch f(x, y) = (x2 − y2 − 1, 2xy − 1). ImPunkt (x0, y0) = (1, 1

2) ist |f(x0, y0)| = 1.Die Ableitung ist Df(x, y) =

(2x −2y2y 2x

), in diesem Punkt Df(x0, y0) =

(2 −11 2

)und ihre

Inverse Df−1(x0, y0) = 15

(2 1−1 2

).

• |A| =√

105∗

• zur Kontraktionseigenschaft Bedingung 1): Fur alle (x, y) ∈ Br(x0, y0) soll gelten:

| id−ADf(x, y)| ≤ γ < 1.

Man berechnet† die Bedingung:

(1− x)2 +(

12− y)2

≤ 58y2.

Also wahle man r =√

58γ zu noch zu bestimmendem γ < 1.

• zu Bedingung 2):

|f(x0)||A| =14·√

105≤ r(1− γ)

ist aquivalent zu15≤ γ(1− γ),

was zum Beispiel γ = 12 erlaubt.

Der Satz liefert also Existenz und Eindeutigkeit einer Nullstelle von f in Bq58· 12

((1, 12))

und die Konstante γ mit Fehlerabschatzung γ = 12 .

13.3 Gewohnliche Differentialgleichungen

Ziel Existenz und Eindeutig einer Losung des Anfangswertproblems:Zu f : R→ R ist eine differenzierbare Funktion y : I ⊆ R→ R gesucht, so daß fur t0 ∈ Igilt

y′(t) = f(y(t)) ∀t ∈ I

y(t0) = y0 fur ein gegebenes y0 ∈ R

Ziel Banachschen Fixpunktsatz anwenden um — unter gewissen Voraussetzungen an f— eine eindeutige Losung zu finden.

Dazu X = (C0(I), ‖ · ‖∞) ist Banachraum

∗Man rechnet mit der euklidischen Norm. Jede Norm mit der Eigenschaft |Ax| ≤ |A||x| ist zulassig.†hier nicht ausgefuhrt

179

Proposition 13.3.1 (einfachste Version von Picard-Lindelof). Sei t0 ∈ I und f : R→R sei Lipschitz-stetig, d.h. fur alle x, y ∈ R und fur ein L > 0 ist |f(x)−f(y)| ≤ L|x−y|.Dann existiert zu jedem y0 ∈ R eine stetig differenzierbare Funktion y : I → R mit

y′(t) = f(y(t))‡ und y(t0) = y0.

Beweis

1) Formulierung als Integralgleichung:Falls y Losung ist, dann gilt auch

y(t) = y0 +∫ t

t0

f(y(s)) ds (13.1)

d.h. y ist Fixpunkt der Abbildung

F (y)(t) = y0 +∫ t

t0

f(y(s)) ds.

Falls y ∈ C0(I), dann ist auch F (y) ∈ C0(I), also F : X → X.

2) Zunachst sei I = [t0 − δ, t0 + δ] fur hinreichend kleines δ > 0.Dann ist F stark kontrahierend auf C0(I), denn fur y1, y2 ∈ C0(I) gilt

|F (y1)(t)− F (y2)(t)| =∣∣∣∣∫ t

t0

f(y1(s))− f(y2(s)) ds∣∣∣∣

≤∫ t

t0

|f(y1(s))− f(y2(s))|ds

≤f Lipschitz

∫ t

t0

L|y1(s)− y2(s)|ds

≤ L‖y1 − y2‖∞|t− t0|

≤ 12‖y1 − y2‖∞ falls δ =

12L.

Damit ist

‖F (y1)− F (y2)‖∞ = supt∈I|F (y1)(t)− F (y2)(t)| ≤

12‖y1 − y2‖∞

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz 13.1.2 gibt es genau eine Losung y ∈ X derIntegralgleichung auf I. Da y stetig ist, ist

∫ tt0f(y(s)) ds differenzierbar und damit

y ∈ C1(I). Indem man (13.1) differenziert, erhalt man

y′ = f(y).

‡kurz: y′ = f(y)

180

3) Iteration:Das bewiesene Ergebnis wendet man auf t0 + δ und t0− δ mit den neuen Anfangs-werten y(t0 + δ) bzw. y(t0 − δ) an. Dies fuhrt zu Existenz und Eindeutigkeit einerLosung y ∈ C1([t0 − 2δ, t0 + 2δ]).So fahrt man fort, bis eine Losung auf ganz I konstruiert ist.

Bemerkung

• Der Beweis furf : I ⊆ Rn → Rn mit y′(t) = f(t, y(t))

ist im Prinzip analog.

• Globale Lipschitzstetigkeit ist eine starke Voraussetzung.

• Oft gibt es lokale Lipschitz-Stetigkeit, man kann also eine Losung fur kleine Inter-valle (Zeiten) konstruieren.

• Zum Beispiel gibt es fury′ = y2

im allgemeinen keine Losung fur beliebige Zeiten.

Beispiel Rauber-Beute Modelleλ(t) ist die Große der Beutepopulation zur Zeit tµ(t) ist die Große der Rauberpopulation zur Zeit t

Annahmen 1) Fur die Beute steht immer genugend Nahrung zur Verfugung.

2) Es gibt einen Geburtenuberschuss α > 0.

3) Der Wachstum der Beutepopulation λ′ ist proportional zu λ, also

λ′(t) = αλ(t).

Die Losung hierfur istλ(t) = λ(0) · eαt

4) Falls auch Rauber vorhanden sind, reduzieren sie die Beute:

λ′(t) = αλ(t)− βλ(t)µ(t)

5) Die Rauber ernahren sich ausschließlich von Beute, ohne Beute sterben sie mitRate γ, was zu

µ′(t) = −γµ(t) + δλ(t)µ(t)

fuhrt.Dies ist also ein System von 2 Differentialgleichungen fur λ und µ. Es wird in Analysis

III ausfuhrlich betrachtet..

181

13.4 Lokaler Umkehrsatz

Motivation f : Ω ⊆ Rn → Rn.Kann man f(x) = y (lokal) nach x auflosen, d.h. gibt es ein g = f−1, so daß

y = f(x)⇔ x = g(y)?

Idee Sei x0 ∈ R, y0 = f(x0) mit invertierbarem Df(x0).Dann gilt fur x ≈ x0, daß

y = f(x) ≈ y0 + Df(x0)(x− x0),

alsoy ≈ f(x) ⇔ x ≈ x0 + Df(x0)−1(y − y0).

Beispiel Sei f : R→ R definiert durch f(x) := x2.

• Fur x0 > 0, y0 = x20 ist f(x) nahe x0 invertierbar.

• Analog fur x0 < 0.

• Bei x0 = 0 gibt es keine lokale Umkehrung, deshalb ist f ′(0) = 0 ∈M1(R) singular.

Definition 13.4.1 (Diffeomorphismus). Sei f : U ⊆ Rn → V ⊆ Rn, U, V offen in Rn.f heißt Diffeomorphismus zwischen U und V , falls gilt:

• f ist bijektiv, es gibt also ein f−1 : V → U und

• f ∈ C1(U, V ), f−1 ∈ C1(V,U).

Man sagt auch, U ist diffeomorph zu V .

Bemerkung Falls f, f−1 ∈ Ck, so heißt f auch Ck-Diffeomorphismus.

Beispiel Betrachte im R die Abbildung f : (−1, 1)→ (−1, 1) gegeben durch f(x) = x3.

• f ist bijektiv und hat eine Umkehrabbildung

f−1 : (−1, 1)→ (−1, 1) gegeben durch f−1(y) = y13

• f ∈ C∞

• f−1 6∈ C1, f−1 ist in V nicht differenzierbar.

Also ist f kein Diffeomorphismus.

Bemerkung n = 1. Sei f : I → J Seien I, J offen in R mit g = f−1 ∈ C1.Es gilt fur alle x ∈ I, daß g(f(x)) = x. Durch Differenzieren erhalt man fur alle x ∈ I:

g′(f(x))f ′(x) = 1,

oder auch fur alle y ∈ J :1 = g′(y) · f ′(g(y)).

182

Proposition 13.4.2 (Satz uber die lokale Umkehrfunktion). Sei f ∈ C1(Ω,Rn),Ω ⊆ Rn

offen, sei x0 ∈ Ω fix. Falls Df(x0) invertierbar ist, so gibt es offene Umgebungen U vonx0 und V von y0 = f(x0) mit

• f : U → V ist Diffeomorphismus,

• somit: V = f(U) ist offen in Rn.

Beispiel f(x) = x2

Fur x0 > 0 konnen wir U = V = (0,∞) betrachten.Fur x0 < 0 konnen wir U = (−∞, 0), V = (0,∞) betrachten.

Beweis O.B.d.A. seien x0 = 0, y0 = 0. Andernfalls betrachte f : Ω\x0 → Rn, gegebendurch ξ 7→ f(x0 + ξ)− y0 = f(ξ).

1.Schritt Formulierung als Fixpunktproblem:Sei A := Df(0). Nach Voraussetzung existiert A−1.Definiere Rf : Ω→ Rn durch

Rf (x) = f(x)−Ax.

Dann gilt:

y = f(x)= Ax+Rf (x)

⇔ x = A−1(y −Rf (x))

Aquivalent hierzu ist, daß x Fixpunkt der Abbildung ϕy : Ω→ Rn, ist, wobei

ϕy(x) = A−1(y −Rf (x)).

2.Schritt Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes

a) Bestimme ε > 0 und δ > 0 mit

• Bδ(0) ⊆ Ω.• Fur alle y ∈ Bε(0) ist

ϕy : Bδ(0)→ Bδ(0)

strikt kontrahierend.

b) Dann gibt es nach dem Banachschen Fixpunktsatz fur jedes y ∈ Bε(0) genaueinen Fixpunkt x ∈ Bδ(0). Also gilt y = f(x).

c) Mit V := Bε(0) und U := Bδ(0) ∩ f−1[V ] ist f : U → V bijektiv.

Beweis hiervon

183

a) • Es gibt ein δ > 0, so daß Bδ(0) ⊆ Ω mit

|DRf (x)| ≤1

2Λfur alle x ∈ Bδ(0) mit Λ = |A−1|,

da Rf : Ω→ R in C1 ist mit Rf (0) = 0 und DRf (0) = 0.

• Nach dem Schrankensatz 12.5.4 gilt fur alle x1, x2 ∈ Bδ(0):

|Rf (x1)−Rf (x2)| ≤1

2Λ|x1 − x2|

und deshalb gilt mit x2 = 0 fur alle x1 ∈ Bδ(0):

|Rf (x1)| ≤1

2Λ|x1|.

• Fur jedes y ∈ Rn folgt:

|ϕy(x)| = |A−1(y −Rf (x))|= |A−1(Rf (x1)−Rf (x2))|

≤ 12|x1 − x2| fur alle x1, x2 ∈ Bδ(0)

• Und somit gilt fur jedes y ∈ Rn:

|ϕy(x)| = |A−1(y −Rf (x))|≤ Λ(|y|+ |Rf (x)|)

≤ Λ(|y|+ 12Λ|x|)

≤ Λ|y|+ 12|x| fur alle x ∈ Bδ(0)

• Wahleε <

12Λ

δ.

Fur alle y ∈ Bε(0) und alle x ∈ Br(0) ist

|ϕy(x)| <12δ +

12δ = δ,

also ist fur alle y ∈ Bε(0)

ϕy : Bδ(0)→ Bε(0).

Somit haben wir 0a) bewiesen. Hieraus folgt ??) und daraus ??).

3.Schritt Stetigkeit und Differenzierbarkeit von g = f−1 : V → U .

184

a) Zeige: g ist auf V (= Bε(0)) stetig.Aus dem vorherigen folgt fur alle y ∈ V , daß

g(y) = ϕy(g(y)) = A−1(y −Rf (g(y))).

• Fur alle y1, y2 ∈ V gilt:

|g(y1)− g(y2)| ≤ Λ(|y1 − y2|+1

2Λ|g(y1)− g(y2)|)

oder auch|g(y1)− g(y2)| ≤ 2Λ|y1 − y2|.

• Also ist g (Lipschitz-) stetig auf V und es gilt wegen g(0) = 0, daß furalle y ∈ Bε(0):

|g(y)| ≤ 2Λ|y|.

b) Zeige: y ist in 0 differenzierbar mit Dg(0) = A−1 = (Df(0))−1.

|g(y)−A−1y||y|

=|ϕy(g(y))−A−1y|

|y|

=|A−1Rf (g(y))|

|y|

≤ Λ|Rf (g(y))||g(y)|

· |g(y)||y|

= Λ|f(g(y))−Ag(y)|

|g(y)|· |g(y)||y|

→ Λ · 0 · const fur g(y)→ 0, da A = Df(x0)= 0.

c) Zu zeigen:

i. Es gibt offene Mengen U und V mit 0 ∈ U ⊆ U , 0 ∈ V ⊆ V , so daßf : U → V bijektiv ist.

ii. Auf V ist g−1 differenzierbar mit

Df(y) = (Df(g(y)))−1 ∀y ∈ V

iii. Dann folgt die Stetigkeit von Df : V →Mn(R) aus Ubungsaufgabe 29.

Beweis

i. Da Df : Ω→ Mn(R) stetig ist, und auch det : Mn(R)→ R stetig ist, istauch det Df : Ω→ R stetig.Außerdem gilt nach Voraussetzung, daß det Df(0) 6= 0, also gibt es einγ > 0, so daß Bγ(0) ⊆ Ω mit detDf(x) 6= 0 ∀x ∈ Bγ(0).Wir setzen

U := U ∩Bγ(0) V := f(U) ⊆ V ,

dann sind U und V offen.

185

ii. Fur alle y1 ∈ V mit x1 = g(y1) ist g differenzierbar mit zu zeigenderBedingung.Da f−1 stetig ist, erfullen x1, y1 die Vorausssetzungen des Satzes. Wieoben gezeigt, gilt

Dg(y1) = (Df(x1))−1.

Beispiel f : R+ × R→ R2, gegeben durch

(r, ϕ) 7→ (r cosϕ, r sinϕ)

Df(r, ϕ) =(

cosϕ −r sinϕsinϕ r cosϕ

), damit detDf(r, ϕ) = r > 0.

(Df(r, ϕ))−1 =1r

(r cosϕ r sinϕsinϕ cosϕ

).

f ist stets lokal invertierbar, aber nicht global. Man kann lokal die Inverse berechnen:f(r, ϕ) ∼= (x, y) ∈ R2: sei

U =

(r, ϕ) | ϕ ∈(−π

2,π

2

)und V = (x, y) ∈ R2 | x > 0.

f : U → V ist C1-Diffeomorphismus, wobei g = f−1 : V → U gegeben ist durch

g(x, y) =(√

x2 + y2; arctany

x

).

13.5 Satz uber implizite Funktionen

Problem Gibt es in Gleichungen furm+k = nVariablen k unabhangige undm abhangi-ge Variablen?

Setting

• Rn = Rk × Rm 3 (x1, . . . , xk, y1, . . . ym) =: (x, y)

• f : Ω ⊆ Rn → Rm, (x0, y0) ∈ Ω ⊆ Rn, f(x0, y0) := z0

• Wir suchen Umgebungen U von x0 und V von y0 sowie eine Funktion g : U → V ,so daß gilt:

∀(x, y) ∈ U × V : f(x, y) = z0 = f(x0, y0)⇔ y = g(x)

Linearer Fall Sei f(x, y) = Ax+By,A ∈Mk,m, B ∈Mm.

Ax+By = Ax0 +By0

kann man, falls B invertierbar ist, auflosen zu

y = y0 −B−1 ·A(X −X0) =: δ(x)

186

Nicht-linearer Fall Fur f ∈ C1:

• Notation: Df(x, y) ∈ L(Rk+m,Rm) ∼= (Dxf(x, y),Dyf(x, y))Hierbei ist

Dxf(x, y) =(∂fj∂xk

)j,k

∈Mk,m∼= L(Rk,Rm)

Dyf(x, y) =(∂fj∂yk

)j,k

∈Mm∼= L(Rm)

•

f(x, y) ≈ f(x0, y0) + Dxf(x0, y0)(x− x0) + Dyf(x0, y0)(y − y0) + hot §

≈ f(x0, y0) + hot falls Dxf(x0, y0)(x− x0) = −Dyf(x0, y0)(y − y0)

Dies ist genau dann der Fall wenn (Dyf(x0, y0) invertierbar)

y = y0 − [Dyf(x0, y0)]−1 ·Dxf(x0, y0)(x− x0).

Proposition 13.5.1 (Satz uber implizite Funktionen). Sei f : Ω ⊆ Rk+m → Rm ∈ C1,sei (x0, y0) ∈ Ω mit z0 := f(x0, y0). Falls Dyf(x0, y0) invertierbar ist, dann existierenUmgebungen U von x0 und V von y0, sowie eine Funktion g ∈ C1(U, V ), so daß gilt

(x, y) ∈ U × V | f(x0, y0) = z0 = (x, y) | x ∈ U, y = g(x).

Beweis

a) • Definiere F : Ω→ Rk+m durch

F (x, y) = (x, f(x, y)) woraus F (x0, y0) = (x0, z0) folgt.

• Da f in C1 ist und ebenso x 7→ x, ist mit seinen Komponenten auch F ∈ C1.Hierbei ist DF (x, y) ∈Mk+m gegeben durch

DF (x, y) =(

idRk 0Dxf(x, y) Dyf(x, y)

)∈(

Mk Mm,k

Mk,m Mm

).

• Diese Matrix ist in (x0, y0) invertierbar, da die identische Abbildung id regularist und ebenso nach Voraussetzung Dyf(x0, y0). Also hat DF (x0, y0) vollenSpaltenrang und ist damit invertierbar.

• Nach dem Umkehrsatz 13.4.2 gibt es Umgebungen U0 × V ⊆ Rk × Rm von(x0, y0) und W ⊆ Rk+m von (x0, z0), so daß F : U0 × V →W Diffeomorphis-mus ist:

∃G = F−1 ∈ C1(W,U0 × V ).

187

b) • Sei (x, z) ∈W gegeben mit x ∈ Rk und z ∈ Rm. Wahle y ∈ V mit

(x, z) = F (x, y) = (x, f(x, y)).

Dann ist(x, y) = G(F (x, y)) = G(x, f(x, y)) = G(x, z),

es gibt also eine Funktion g0 : W → V mit

– G(x, z) = (x, g0(x, z)) und– g0 ∈ C1.

• Definiere U ⊆ Rk wie folgt:

U = x ∈ Rk | x ∈ U0, (x, z0) ∈W = U0 ∩ x | (x, z0) ∈W,

also ist U offene Umgebung von x0. W ist mit Proposition 11.4.2 offen, da U0

und V offen sind und f stetig.

• Fur (x, y) ∈ U × V gilt

f(x, y) = z0 ⇔ F (x, y) = (x, z0)⇔ (x, y) = G(x, z0)⇔ (x, y) = (x, g0(x, z0))⇔ y = g0(x, z0) =: g(x)

Mit dieser Definition gilt fur dieses G : U → V ⊆ Rm, daß g ∈ C1.

• Fur alle x ∈ U ist f(x, g(x)) = z0.Durch Differenzieren nach x erhalt man:

Dxf(x, g(x)) + Dyf(x, g(x))Dg(x) = 0

und somitDg(x) = Dxf(x, g(x))(Dyf(x, g(x)))−1.

Fur x = x0 folgt die zweite Behauptung.

Anwendung 13.5.2 (Hohenlinien). Sei Ω ⊆ R2, (x, y) ∈ R2, f ∈ C1(Ω,R).

• Fur c ∈ R sei Nf (c) := (x, y) ∈ Ω | f(x, y) = c.

• Sei (x0, y0) ∈ Nf (0) mit ∇f(x0, y0) 6= 0.

• Falls ∂yf(x0, y0) 6= 0, folgt aus dem Satz uber implizite Funktionen:Es gibt Intervalle I und J mit x0 ∈ I, y0 ∈ J , sowie ein g ∈ C1(I, J), so daß

Nf (c) ∩ (I × J) = (x, y) | x ∈ I, y = g(x).

• Falls ∂xf(x0, y0) 6= 0 analog.

188

Beispiel f(x, y) = x2 + y2,∇f(x, y) = 2(xy

)Variante Die Nullstellenmenge von f : Ω ⊆ R2 → R ist Nf (0). Sei (x0, y0) Nullstellemit ∂yf(x0, y0) 6= 0. Lokal ist die Nullstellenmenge analog einer Kurve. Der Satz uberimplizite Funktionen liefert eine Parametrisierung via

I 3 x 7→ (x, g(x)).

Anwendung 13.5.3 (nichtlineares Gleichungssystem). Gegeben sei die Gleichung

f(x, y1, y2) =(

x3 + y31 + y3

2 − 7xy1 + y1y2 + y2x+ 2

)=(

00

).

Man berechnet die Nullstellenmenge von f ausgehend von der Nullstelle (2,−1, 0):

Dyf(x, y1, y2) =(

3y21 3y2

2

x+ y2 x+ y1

), Dyf(2,−1, 0) =

(3 02 1

).

Nach dem Satz uber implizite Funktionen existieren Umgebungen I von 2 und V ⊆ R2

von (−1, 0) sowie ein g : I → V , so daß

f(x, y1, y2) = 0 ⇔ y = (y1, y2) = g(x) = (g1(x), g2(x)).

13.6 Motivation: Extremwertaufgaben unterNebenbedingungen

In diesem Abschnitt sind (x, y) ∈ R2 und f, g ∈ C1(R2).

Ziel Maximiere g unter der Nebenbedingung, daß f(x, y) = 0.

• Die Menge (x, y) ∈ R2 | f(x, y) = 0 definiert eine Kurve Γ in R2.

• Sei (x0, y0) so gewahlt, daß fur alle (x, y) ∈ Γ: §

g(x0, y0) > g(x, y).

• Sei ∇f(x0, y0) 6= 0, o.B.d.A. sei ∂yf(x0, y0) 6= 0.Nach dem Satz uber implizite Funktionen lasst sich Γ in der Umgebung von (x0, y0)darstellen als (x, ϕ(x)) mit x0 ∈ I, ϕ ∈ C1(I) und ϕ(x0) = y0.

• Die Tangente (Ableitung) an Γ ist gegeben durch (1, ϕ′(x)). Es gilt

(1, ϕ′(x)) ⊥ ∇f(x, ϕ(x)).

189

• Definiere G(x) := g(x, ϕ(x)) und betrachte (lokale) Maximierer (x0, y0) von g aufΓ. Dann ist

0 = G′(x0) = ∂xg(x0, y0) + ∂yg(x0, y0) ϕ′(x0) =⟨∇g(x0, y0),

(1

ϕ′(x0)

)⟩.

Dann gibt es ein λ ∈ R, so daß

∇g(x0, y0) = λ∇f(x0, y0).

Allgemein Maximiere Funktion g auf einer (gleichungsdefinierten) Mannigfaltigkeit inRn (hier: einer Kurve Γ).

13.7 Untermannigfaltigkeiten im Rn

Sei f : Rn → R mit M = x ∈ Rn | f(x) = 0 = f−10. Falls Df(x) 6= 0, so kannman nach dem Satz uber implizite Funktionen nach einer Variablen auflosen und in derUmgebung von x die Menge M als Graph einer reellen Funktion von (n− 1) Variablendarstellen.

Verallgemeinerung auf k-dimensionale Mannigfaltigkeiten

Definition 13.7.1 ((gleichungsdefinierte) Untermannigfaltigkeiten des Rn). Sei 0 ≤k ≤ n. Eine Menge M ⊆ Rn heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn, falls zujedem x0 ∈M eine Umgebung Ω ⊆ Rn existiert, sowie ein f ∈ C1(Ω,Rn−k), so daß

M ∩ Ω = f−10 und rg Df(x) = n− k ∀x ∈ Ω

Bemerkung

1) Es genugt, rg Df(x) = n− k fur alle x ∈M ∩ Ω zu fordern.

2) Falls n = 3 und k = 2, so heißt M auch Flache.

Beispiel

1) EllipsoidenoberflacheDie Gleichung ist fur a, b, c, r > 0 gegeben durch

M =x ∈ R3 | f(x) :=

x21

a2+x2

2

b2+x2

3

c2− r2

.

∇f(x) = 2(x1

a2,x2

b2,x3

c2

)Da genau dann∇f(x) = 0, wenn x = 0, istM ist 2-dimensionaleUntermannigfaltigkeit in R3.

190

2) Kurven in Rn

Regulare Kurven sind — außerhalb der Doppelpunkte — eindimensionale Unter-mannigfaltigkeiten des Rn. Die Darstellung t 7→ γ(t) nennt man die Parametrisie-rung der Kurve.Ein Beispiel hierfur ist der Einheitskreis in R2:

• Parametrisierung: γ(t) = (cos t, sin t).

• Gleichungsdefinition: (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 − 1 = 0.• Lokale Darstellung als Graph: zum Beispiel y(x) = ±

√1− x2 x ∈ [−1, 1].

3) Hyperboloide:

Abbildung 13.1: Kegel

Sei n = 3 und k = 2. Fur c ∈ R sei

f(x) = x21 + x2

2 − x23 − c

Der Hyperboloid in Abhangigkeit von c ist dann

Hc = x ∈ R | f(x) = 0.

∂f(x) = 2(x1, x2,−x3) ist genau dann gleich 0, wennx = 0 ist. Fur c = 0 gilt fur x = 0 ∈ H0, auchrg Df(0) = 0. Damit ist der Kegel H0 keine glei-chungsdefinierte Flache in R3.

Fur c > 0 erhalt man ein einschaliges Hyperboloid. ¶

Fur c < 0 erhalt man ein zweischaliges Hyperboloid. ‖

Definition 13.7.2 (regularer Punkt/ Wert). Sei f : Ω ⊆ Rn → Rn−k.

• x ∈ Ω heißt regularer Punkt von f , falls Df(x) surjektiv ist, d.h. rg Df(x) = n−k.Ansonsten heißt x singular.

• y ∈ Rn−k heißt regularer Wert von f , falls f−1y leer ist oder nur aus regularenPunkten besteht, ansonsten heißt y singularer Wert.

Definition 13.7.3 (Nullmenge). Eine MengeM ⊆ Rn heißt Nullmenge, falls es zu jedemε > 0 eine abzahlbare Menge offener Quader Qjj∈I gibt, die M uberdeckt, und fur die∑

j

|Qj | < ε

gilt, wobei |Qj | das Volumen des Quaders Qj ist.

¶Bild einschaliges Hyperboloid, konnte ich mit Grapher nicht‖Bild zweischaliges Hyperboloid, konnte ich mit Grapher nicht

191

Proposition 13.7.4 (Satz von Sard). Seien Ω ⊆ Rn, f ∈ Cr(Ω,Rn−k), r ≥ k − 1.Dann ist die Menge der singularen Punkte von f eine Nullmenge in Rn.

weiteres Beispiel 4) Orthogonale GruppeBehauptung:

O(n) = x ∈Mn(R) | XTX = id

ist eine gleichungsdefinierte Untermannigfaltigkeit der Dimension 12n(n− 1).

Beweis:S(n) = X ∈Mn(R) | XT = X

sei die Menge der symmetrischen Matrizen. S(n) ist isomorph zu Rr mit r =n+ (n− 1) + (n− 2) + . . .+ 1 = n(n+1)

2 , da n Elemente in der Diagonalen stehen,n− 1 Elemente in der ersten Nebendiagonalen, . . . und ein Element in der rechtenoberen Ecke der Matrix. Sei f : Mn(R)→ S(n) definiert durch

f(X) = XT ·X.

Damit ist O(n) = f−1id, es bleibt, der Rang festzustellen. Fur alle H ∈ Mn(R)ist

D(f(X)H) = HTX +XTH ∈ S(n).

Zu zeigen ist noch, daß fur alle X ∈ O(n) die Abbildung Df(X) surjektiv ist. Seidazu Z ∈ S(n), setze H = 1

2XZ.Dann ist

Df(X)H =12ZTXTX +

12XTXZ

=12(ZT + Z)

= Z,

also ist jedes Z Bild einer Abbildung. Damit ist rg Df(X) = dimS(n) = 12n(n+1).

O(n) ist also Mannigfaltigkeit der Dimension k = n2 − 12n(n+ 1) = 1

2n(n− 1).

Bezeichnung 13.7.5. Fur M ⊆ Rn, x ∈M : M − x := y − x | y ∈M.

Proposition 13.7.6 (Untermannigfaltigkeiten entsprechen einem lokalen Graph). FurM ⊆ Rn sind folgende Aussagen aquivalent:

1) M ist (gleichungsdefinierte) Mannigfaltigkeit der Dimension k.

2) Zu x ∈M gibt es U ⊆ Rk und V ⊆ Rn−k, sowie ein g ∈ C1(U, V ) mit g(0) = 0,so daß

(M − x) ∩ (U × V ) = (z, g(z) | z ∈ U.

Beweis Beide Bedingungen sind offensichtlich invariant unter Translation und Drehungim Rn.

192

1) O.B.d.A. kann man x zerlegen als x = (z, y) mit Dyf(0) invertierbar. Dann folgt(2) aus dem Satz uber implizite Funktionen.

2) Setze Ω = U × V und definiere f ∈ C1(Ω,Rn−k) als

f(z, y) := y − g(z)

Dann ist M ∩ Ω = f−10 und Df(z, y) = (−Dg(z), idn−k). Hieraus folgt

rg Df(z, y) = n− k.

Definition 13.7.7 (Tangentialvektor, Tangentialraum). M ⊆ Rn sei k-dimensionaleUntermannigfaltigkeit in Rn.

1) v ∈ Rn heißt Tangentialvektor an M in x ∈ M , falls eine regulare Kurve γ :(−ε, ε)→M existiert mit γ(0) = x und γ′(0) = v.

2) Die Menge aller Tangentialvektoren an M in x heißt Tangentialraum an M in x,und wird mit TxM bezeichnet.

Proposition 13.7.8. Falls x ∈M ∩ Ω = f−10 mit rg Df(x) = n− k, dann gilt

TxM = kerDf(x) mit Rang k.∗∗

Bemerkung Verallgemeinerung von “Gradient steht senkrecht auf Hohenlinien”.

Beweis

1) “TxM ⊆ ker Df(x)” denn: Sei v ∈ TxM , dann existiert ein γ : (−ε, ε)→M mit

γ(0) = x und γ′(0) = v.

Damit folgt fur alle t ∈ (−ε, ε), daß f(γ(t)) = 0. Hiermit ist

0 =ddtf(γ(t)) = Df(γ(t))γ′(t).

Fur t = 0 erhalt man 0 = Df(x)v, also ist v ∈ ker Df(x).

2) “∃k-dimensionaler Unterraum ⊆ TxM”: Nach Proposition 13.7.6 existieren U ⊆Rk, V ⊆ Rn−k und ein g ∈ C1(U, V ), so daß

(M − x) ∩ (U × V ) = (z, g(z)) | z ∈ U (mit g(0) = 0).

Definiere G : U → Rn durch G(z) = (z, g(z)) und zu ξ ∈ Rk sei γ : (−ε, ε) → Mgegeben durch

γ(t) := x+G(tξ).∗∗In Prosa: In einer gleichungsdefinierten Mannigfaltigkeit ist der Tangentialraum durch den Kern

des Differentials von f gegeben.

193

Dann ist γ′(t) = DG(tξ)ξ und

γ′(0) = DG(0)ξ mit DG(0) = (idk,Dg(0)).

Der Rang der Abbildung ist rg DG(0) = k, in anderen Worten hat im DG(0) dieDimension k, und im DG(0) ist Teilmenge von TxM . .

Beispiel

1) Sei M = x ∈ Rn | 〈x,Ax〉 − 1 = 0 fur symmetrische A ∈ Mn(R). Sei weiterhinx ∈M,Df(x) = 2xTA. Damit ist

TxM = v ∈ Rn | 2 〈x,Ax〉 = 0.

2) Betrachte die orthogonale Gruppe

O(n) = x ∈Mn(R) | f(x) := XTX − id = 0 z.B. id ∈ O(n).

Mit Df(X) ·H = XTH +HTX,Df(id) ·H = HT +H folgt

TidM = H ∈Mn(R) | HT +H = 0.

13.8 Extrema unter Nebenbedingungen

Seien Ω ⊆ Rn, g : Ω→ R, f : Ω→ Rn−k,M = x ∈ Ω | f(x) = 0††.

Ziel Notwendige Bedingung fur lokales Extremum von g auf M .

Proposition 13.8.1 (Multiplikatorenregel von Lagrange). Sei Ω ⊆ Rn offen, g ∈ C1(Ω)und f ∈ C1(Ω,Rn−k). Falls fur x ∈ f−10

1) es eine Umgebung V von x gibt, so daß fur alle y ∈ V mit f(y) = 0

g(y) ≤ g(x)

gilt, und

2) rg Df(x) = n− k,

dann gibt es λ1, . . . , λn−k, so daß

∇g(x) =n−k∑i=1

λi∂fi(x).

Diese λ1, . . . , λn−k heißen auch Lagrange-Multiplikatoren.††Hier betrachtet man nur ein f fur alle x, bei gleichungsdefinierten Untermannigfaltigkeiten war fur

jedes x ein separates f erlaubt.

194

Beweis Falls V hinreichend klein ist, so gilt fur alle y ∈ V :

rg Df(y) = n− k,

also ist M := f−10∩V eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit. Sei γ : (−ε, ε)→M mitγ(0) = x. Die Funktion g γ hat in t = 0 nach Voraussetzung ein lokales Maximum:

0 =ddtg(γ(t))|t=0 =

⟨∇g(γ(t)), γ′(t)

⟩t=0

=⟨∇g(x), γ′(0)

⟩.

Damit ist ∇g(x) ∈ (TxM)⊥.Weiterhin gilt fur alle x ∈M und i = 1, . . . , n− k:

fi(x) = 0, und damit ∇fi(x) ⊥ TxM.

Da rg Df(x) = n− k sind ∇fi(x) linear unabhangig, und die fi(x) bilden eine Basis von(TxM)⊥.

Beispiel

1) Sei fur x ∈ Rn : g(x) := x1 · . . . · xn.Betrachte die Menge

M =

x ∈ Rn | f(x) :=

(n∑i=1

xi

)− 1 = 0, xi > 0

.

Da M kompakt ist, nimmt g auf M sein Supremum an. Da ∇f(x) = (1, . . . , 1) 6= 0,gibt es nach Proposition 13.8.1 ein λ ∈ R, so daß fur einen Maximierer x0 gilt

∇g(x0) = λ∇f(x0).

Die partielle Ableitung ist ∂∂xig(x) = x1 · . . . ·xi−1 ·xi+1 · . . . ·xn = g(x)

xi. Da fur alle

i = 1, . . . , n gilt, daß g(x0)x0

i= λ, muss x0

1 = x02 = . . . = x0

n, da außerdem f(x0) = 1,muss fur alle 1 ≤ i ≤ n gelten, daß

x0i =

1n.

Da x0 Maximierer ist, gilt fur alle x ∈M :

g(x) ≤ g(x0) =1nn. (13.2)

Sei a ∈ Rn mit ai > 0 fur 1 ≤ i ≤ n.Mit a :=

∑ni=1 ai ist

(a1a ,

a2a , . . . ,

ana ,)∈M . Aus (13.2) folgt

a1 · . . . · anan

≤ 1nn,

anders aufgeschrieben erhalt man

(a1 · . . . · an)1n ≤ a1 + . . .+ an

n,

die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel.

195

2) Sei A ∈Mn(R) symmetrisch und x ∈ Rn. Definiere

g(x) = 〈x,Ax〉 und M = x | f(x) = |x|2 − 1 = 0.

M ist (n− 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit, denn fur alle x ∈M ist

∇f(x) = 2x 6= 0.

M ist kompakt, also nimmt g nimmt auf M sein Supremum an, es gelte bei Maxi-mierer x0 fur alle x ∈M :

g(x0) ≥ g(x).

Nach Proposition 13.8.1 gibt es ein λ ∈ R, so daß

∇g(x0) = λ∇f(x0)2Ax0 = λ · 2 · x0

Ax0 = λx0

Damit folgt durch Skalarproduktbildung

λ 〈x0, x0〉 = 〈x0, Ax0〉 = g(x0).

λ ist Eigenwert von A und x0 ist Eigenvektor, insbesondere hat A einen reellenEigenwert.‡‡

3) Auf Ω = (x, y) | x > 0, y > 0 ⊆ R2 seien die Funktionen g : Ω → R, gegebendurch

g(x, y) = xy

und f : Ω→ R als

f(x, y) =1pxp +

1qyq mit

1p

+1q

= 1, (13.3)

definiert. Auf der durch f definierten Menge

Mc = (x, y) ∈ Ω | f(x, y) = c fur c > 0

ist zu gegebenem c > 0 die Funktion g zu maximieren. Da g auf dem Rand

∂Mc = ( p√cp, 0), (0, q

√cq)

jeweils den Wert 0 hat und sonst positiv ist, und da Mc kompakt ist, nimmt g seinSupremum im Inneren von Mc an. Also ist in Mc

∇f(x, y) = (xp−1, yq−1) 6= 0.‡‡Insbesondere ist λ sogar großter Eigenwert, denn fur einen anderen Eigenwert µ mit Eigenvektor

x1 gilt bei Skalarproduktbildung mit x1 und Normierung |x1|2 = 1, daß g(x1) = 〈x1, Ax1〉 = µ|x1|2 = µ.Nach Konstruktion ist µ = g(x1) ≤ g(x0) = λ.

196

Sei nun (x0, y0) Maximierer, so daß fur alle x, y ∈Mc gilt

g(x0, y0) ≥ g(x, y).

Dann gibt es nach Proposition 13.8.1 ein λ ∈ R, so daß ∇g(x0, y0) = λ∇f(x0, y0).Aus ∇g(x0, y0) = (y0, x0) = λ∇f(x0, y0) folgt, daß

y0 = λxp−10 und x0 = λyq−1

0 .

Damit ist x0y0 = λxp0 = λyq0 und es folgt aus der Nebenbedingung von (13.3), daß

c =1pxp0 +

1qyq0 = xp0 = yq0.

Also ist x0 = c1p und y0 = c

1q , es folgt

g(x0, y0) = x0y0 = c1p c

1q = c = f(x0, y0).

Damit ist fur alle x, y ∈Mc

g(x, y) ≤ g(x0, y0) = c1p · c

1q = c = f(x, y)

mit Gleichheit, falls xp = yq. Lasst man nun c alle Werte in R+ durchlaufen, soergibt sich

xy ≤ 1pxp +

1qyq.

Dies ist die Holdersche Ungleichung. Beide Seiten sind genau dann gleich, wennxp = yq.

197

14 Grundlagen der Variationsrechnung

14.1 Motivation: Extrema von Funktionalen

Beispiele

1) Kurzeste VerbindungenMan such die kurzeste Kurve, die zwei Punkte P und Q im Rn verbindet. Hierzuminimiert man die Bogenlange

F(γ) :=∫ b

a|γ′(t)|dt

unter allen regularen Kurven γ : [a, b]→ Rn mit γ(a) = P und γ(b) = Q.Im R2 kann man dies auch als Graph formulieren: Minimiere

F(f) =∫ b

a

√1 + |f ′(x)2|dx

unter allen glatten Funktionen f : [a, b]→ R mit (a, f(a)) = P und (b, f(b)) = Q.

2) Elastische EnergieF(γ) =

∫ ba |γ

′(t)|2 dt ist eine einfaches Modell fur die Saite eines Musikinstruments.

3) MinimalflachenSuche Flachen kleinsten Inhalts, die am Rand eingespannt sind (streng genommenist der Flacheninhalt noch nicht definiert).Spezialfalle sind Rotationsflachen, gegeben durch die Rotation des Graphen einerFunktion um die x-Achse. Der Flacheninhalt einer Rotationsflache ist gegebendurch

F(f) =∫ b

a

∫ 2π

0f(x)

√1 + |f ′(x)|2 dϕ dx = 2π

∫ b

af(x)

√1 + |f ′(x)|2 dx

Gesucht ist ein f0 ∈M = f ∈ C2([a, b]) | f(a) = α, f(b) = β, so daß

∀f ∈M : F(f0) ≤ F(f). (14.1)

4) Brachystrochronenproblem (Bernoulli, Leibniz, Newton)Ein Massenpunkt lauft unter Einfluss von Schwerkraft entlang einer Kurve voneinem Punkt (a,A) zu (b, B). Wie muss die Kurve aussehen, so daß der Massen-punkt (unter Vernachlassigung von Reibung) am schnellsten von A nach B lauft?

198

OBdA seien Kurven gegeben durch (x, f(x)) mit f(a) = A, f(b) = B.Die Aufgabe ist: Minimiere

F(f) =∫ b

a

1√|A−B| − f(x)

√1 + |f ′(x)|2 dx.

Die Losung wird durch eine Funktion namens Zykloide beschrieben.

Im folgenden betrachten wir Funktionale, die von reellwertigen Funktionen einer Verander-lichen abhangen. Insbesondere Funktionale, die durch eine Lagrange-Funktion gegebensind.

Sei L : I ⊆ R × R2 → R, (x, z, p) 7→ L(x, z, p) eine gegebene (Lagrange-)Funktion, Xein Funktionenraum, zum Beispiel C2(I). Sei F : M ⊆ X → R gegeben durch

F(u) :=∫IL(x, u(x), u′(x)) dx.

Gesucht ist ein u0 ∈M , so daß F(u0) ≤ F(u) ∀u ∈M .Ziel : Notwendige Bedingung fur Minimierer herleiten.

Fragen • Was bedeutet diese Bedingung fur u0?

• Um g′0(0) = ddtF(u0 − tϕ)|t=0 ausrechnen zu konnen, mussen wir Integration und

Differentiation vertauschen. Wann durfen wir das?

• Wann ist F(u0 + tϕ) uberhaupt stetig?

Abstrakte Formulierung Sei F : M ⊆ X → R mit X metrischem Raum, zum Bei-spiel Funktionenraum. Gesucht ist ein u0 ∈M , so daß fur alle u ∈M

F(u0) ≤ F(u).

Bemerkung Die Existenz eines solchen u ist im allgemeinen klar, hangt aber stark vonder Wahl von X ab: Zum Beispiel gibt es fur M = X = R und F = id kein minimalesu0 ∈ R.

14.2 Stetigkeit

Sei f : [a, b]× Rn → R, (x, y) 7→ f(x, y), mit “Parametern” y = (y1, . . . , yn) .Sei f(·, y) fur jedes feste y uber x integrierbar. Definiere Φ : Rn → R durch

Φ(y) :=∫ b

af(x, y) dx.

Wann ist Φ stetig in y?

Proposition 14.2.1. K ⊆ Rn sei kompakt, I := [a, b], f ∈ C0(I ×K). Dann ist

Φ ∈ C0(K).

199

Beweis Da I ×K kompakt ist, ist f nach Satz 7.8.2 gleichmaßig stetig auf I ×K,es gibt also fur alle ε > 0 ein ∃δ > 0, so daß fur alle |y − y| < δ fur alle x ∈ I gilt:

|f(x, y)− f(x, y)| < ε

2|b− a|

Dann ist

|Φ(y)− Φ(y)| =∣∣∣∣∫ b

a[f(x, y)− f(x, y)] dx

∣∣∣∣≤

∫ b

a|f(x, y)− f(x, y)|dx

<

∫ b

a

ε

2|b− a|dx

=ε

2< ε.

Anwendung 14.2.2 (Doppelintegrale). Sei K := [c, d]. Dann ist Φ(y) integrierbar uber[c, d], da ∫ d

cΦ(y) dy =

∫ d

c

∫ b

af(x, y) dxdy.

Dies beschreibt den “Volumeninhalt des von f in R beschriebenen Volumens”.

14.3 Differentiation parameterabhangiger Integrale

Proposition 14.3.1. Sei Ω ⊆ Rn offen und beschrankt, x ∈ [a, b], f ∈ C0([a, b] × Ω).Die partiellen Ableitungen ∂

∂y1f, . . . , ∂

∂ynf existieren und seien stetig auf [a, b]×Ω. Dann

ist

Φ(y) =∫ b

af(x, y) dx ∈ C1(Ω)

und es gilt

∀1 ≤ j ≤ n :∂

∂yjΦ(y) =

∫ b

a

∂

∂yjf(x, y) dx.

Beweis Sei y ∈ Ω, h ∈ R, so daß y + hei ∈ Ω.

f(x, y + hei)− f(x, y) =∫ 1

0

ddsf(x, y + s · h · ei) ds

= h

∫ 1

0

∂

∂yif(x, yshei) ds

200

Damit ist

1h

Φ(y + hei)− Φ(y) =∫ b

a

∫ 1

0

∂

∂yif(x, y + shei)−

∂

∂yif(x, y) dsdx

≤∫ b

a

∫ 1

0

∣∣∣∣ ∂∂yi f(x, y + shei)−∂

∂yif(x, y)

∣∣∣∣ dsdx

Nach Voraussetzung ist ∂∂yif(x, y) stetig auf dem Kompaktum [a, b]×Ω und damit auch

gleichmaßig stetig:

∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀y, y mit |y − y| < δ,∀x ∈ I :∣∣∣∣ ∂∂yi f(x, y)− ∂

∂yif(x, y)

∣∣∣∣ < ε

|b− a|Fur |h| < δ folgt ∣∣∣∣ ∂∂yi f(x, y + shei)−

∂

∂yif(x, y)

∣∣∣∣ < ε

|b− a|Und hieraus (|h| < δ):∣∣∣∣1h [Φ(y + hei)− Φ(y)]−

∫ b

a

∂

∂yif(x, y)

∣∣∣∣ < ε

|b− a|

∫ b

a

∫ 1

0dsdx = ε

Anwendung 14.3.2.

1) “Kleiner Fubini” (zur Vertauschung der Integrationsreihenfolge) Sei f ∈ C0([a, b]×[c, d]). Dann ist ∫ d

c

(∫ b

af(x, y) dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

cf(x, y) dy

)dx

Beweis Sei ψ(t) =∫ ba

∫ tc f(x, y) dy dx. Mit Proposition 14.3.1 folgt

ψ′(t) =∫ b

a

ddt

(∫ t

cf(x, y) dy

)dx =

∫ b

af(x, t) dx

und hieraus ∫ d

cψ1(y) =

∫ d

c

∫ b

af(x, y) dxdy

= ψ(d)− ψ(c)= ψ(d)

=∫ b

a

∫ d

cf(x, y) dy dx.

Analog berechnet man dies fur n-dimensionale Quader.

201

2) Berechnung von∫∞0 e−x

2dx.

Sei φ(t) :=(∫ t

0 e−x2

dx)2

. Dann ist

φ′(t) = 2(∫ t

0e−x

2dx)e−t

2

=x=ty

2∫ 1

0e−t

2y2tdy · e−t2

= 2t∫ 1

0e−t

2(1+y2) dy

=∫ 1

0

ddt

(− 1

1 + y2

)e−t

2(1+y2) dy

=14.3.1

ddt

(−∫ 1

0

11 + y2

e−t(1+y2) dy

)=: ψ′(t)

Also ist φ′(t) = ψ′(t) und φ(t) = ψ(t) + C

14.4 Potentiale von Vektorfeldern

• Falls zu v ∈ C1(Ω,Rn) ein u ∈ C2(Ω) existiert, so daß fur alle x ∈ Ω gilt:∇u(x) =v(x), dann muss gelten:

∂ivj = ∂i∂ju = ∂j∂iu = ∂jvi.

• Frage: Gilt die Umkehrung: Also gibt es, falls fur alle 1 ≤ i, j ≤ n gilt, daß

∂ivj = ∂jvi,

dann ein u mit ∇u = v?

• Bemerkung: Falls solch ein u existiert, so heißt u Potential zu v und v heißt auchGradientenfeld.

• Falls ein Potenzial existiert, so ist es bis auf Addition einer Konstanten eindeutig.

• Die Bedingung

∂ivj(x) = ∂jvi(x) ∀1 ≤ i, j ≤ n,∀x ∈ R (14.2)

heißt Integrabilitatsbedingung.

• Fur n = 3 bedeutet dies, daß rot v = 0.

• Fur n = 1 existiert immer ein Potential.

202

• Die Integrabilitatsbedingung ist nicht hinreichend.

Definition 14.4.1 (sternformig, Verbindungsstrecke). Ein Gebiet Ω ⊆ Rn heißt sternformig(bezuglich x0 ∈ Ω), falls es ein x0 ∈ Ω gibt, so daß fur alle x ∈ Ω die Verbindungsstrecke

[x;x0] = x+ tx0 | t ∈ [0, 1]

in Ω liegt.

Bemerkung Konvexe Mengen sind sternformig.

Proposition 14.4.2 (Existenz von Potentialen in sternformigen Gebieten). Ω ⊆ Rn

sei sternformig bezuglich eines x0 ∈ Ω und v ∈ C1(Ω,Rn) erfulle die Integrabilitatsbedin-gung, also gelte ∂ivj(x) = ∂jvi(x) ∀x ∈ Ω,∀1 ≤ i, j ≤ n. Dann besitzt v das Potential

u(x) =∫ 1

0〈v(x0 + t(x− x0)), x− x0〉

Beweis Nach Proposition 14.3.1 ist u ∈ C1(Ω) [fur jedes beschrankte Ω] und es gilt mith := x− x0:

∂iu(x) =∫ 1

0∂i(

n∑j=1

vj(x0 + th)hj) dt

=∫ 1

0

n∑j=1

∂ivj(x0 + th)thj

+ vi(x0 + th) dt

=(14.2)

∫ 1

0

n∑j=1

∂jvi(x0 + th)thj + vi(x0 + th) dt

=∫ 1

0t · 〈∇vi(x0 + th), h〉+ vi(x0 + th) dt

=∫ 1

0

ddt

(tvi(x0 + th)) dt

= vi(x0 + h)= vi(x)

Beispiel

• Newtonsche Bewegungsgleichungen∗

x : I ⊆ R→ Rn mit x 7→ x(t) beschreibt die Bewegung eines Punktes in Rn.

∗Newtonsche Notation: x(t) = x′(t), x(t) = x′′(t), in der Physik meist als Ableitung nach der Zeitverwendet

203

– Auf x wirke das Kraftfeld v : Rn → Rn ein.

– Die Newtonsche Bewegungsgleichung ist

x(t) = v(x(t)).

– Falls eine Funktion u existiert mit

∇u = −v,

dann nennt man v konservatives Kraftfeld, denn fur potentielle Energie u(x)und kinetische Energie T (x) = 1

2 |x|2, ist T (x(t)) + u(x(t)) konstant fur alle

t, die Gesamtenergie ist also erhalten: Aus x(t) = v(x(t)) = −∇u(x(t)) folgtaus Skalarprodukt mit x(t):

〈x(t), x(t)〉+ 〈∇u(x(t)), x(t)〉 =ddt

12|x(t)|2 +

ddtu(x(t)) = 0.

• GravitationsfeldSei v : R3 \ 0 → R2 gegeben durch

v(x) = − c

|x|3x.

Dann ist u(x) = − c|x| sein Potential, denn aus

∂iu(x) =c

|x|2· xi|x|

folgt ∇u(x) = −v(x).

14.5 Das Fundamentallemma der Variationsrechnung

Proposition 14.5.1 (Fundamentallemma). I = [a, b] ⊆ R, f ∈ C0([a, b],Rn). Es gelte∫ ba 〈f(x), ϕ(x)〉 = 0 fur alle ϕ ∈ C2([a, b],Rn) mit ϕ(a) = 0 und ϕ(b) = 0. Dann gilt

f(x) = 0 ∀x ∈ [a, b].

Beweis

1) Es genugt, den Fall n = 1 zu beweisen, denn: wahle ϕ(x) = η(x)ej mit η ∈ C2([a, b])und ϕ(a) = ϕ(b) = 0, dann ist

0 =∫ b

a〈f(x), ϕ(x)〉dx =

∫ b

afj(x)η(x) dx.

204

2) Sei also f ∈ C0([a, b]), es genugt f(x) = 0 fur alle x ∈ (a, b) zu zeigen.

Annahme Es geben ein ξ ∈ (a, b) mit f(ξ) 6= 0, oBdA sei f(ξ) > 0.Da f stetig ist, gibt es ein ε > 0 und a < α < β < b mit

f(x) ≥ ε ∀x ∈ [α, β].

Setze ϕ(x) :=

(x− α)4(x− β)4 fur x ∈ (α, β)0 sonst

.

Dann ist ϕ ∈ C2([a, b]) mit ϕ(a) = 0, ϕ(b) = 0 und∫ b

af(x)ϕ(x) dx =

∫ β

αf(x)ϕ(x) dx ≥ ε

∫ β

αϕ(x) dx > 0

14.6 Euler-Lagrange Gleichung der (eindimensionalen)Variationsrechnung

Ausgangsproblem Sei L : I = [a, b] ⊆ R× R× R→ R gegeben durch

(x, z, p) 7→ L(x, z, p),

L sei zweimal stetig differenzierbar. Fur u ∈ M = u ∈ C2([a, b]) | u(a) = α, u(b) = βsei das Funktional

F(u) :=∫ b

aL(x, u(x), u′(x)) dx.

Sei u0 ∈M Minimierer mit F(u0) ≤ F(u) ∀u ∈M . Die Konkurrenzschar v = u0 + tϕfur ϕ ∈M0 = ϕ ∈ C2([a, b]) | ϕ(a) = ϕ(b) = 0, t ∈ (−ε, ε).Dann hat gϕ(t) = F(u0 + tϕ) in t = 0 ein Minimum (fur jedes ϕ ∈M0). Also ist

0 = g′ϕ(0) =ddtF(u0 + tϕ)|t=0 =

ddt

∫ b

aL(x, u0(t) + tϕ(x), u′0(x) + tϕ′(x)) dx|t=0.

Definition 14.6.1 (erste Variation). Man nennt den Ausdruck

ddtF(u+ tϕ)|t=0

auch die erste Variation von F in u0 in Richtung ϕ. Eine Bezeichnung ist ∂ϕF(u0).

Definition 14.6.2 (stationarer Punkt). F heißt stationar in u0, falls fur alle ϕ ∈M0

∂ϕF(u0) = 0.

Diese Aussage kann man in eine Differentialgleichung fur u0 ubersetzen.

205

Proposition 14.6.3 (Euler-Lagrange-Gleichung). F ist in u0 genau dann stationar,falls u0 fur alle x ∈ [a, b] die folgende Gleichung erfullt:

ddx

(∂pL(x, u0(x), u′0(x))) = ∂zL(x, u0(x), u′0(x)).

Diese Bedingung heißt die Euler-Lagrange-Gleichung (auch EL-Gleichung oder ELGL).

Beweis

0 = ∂ϕF(u0)

=ddt

∫ b

aL(x, u0(x) + tϕ(x), u′0(x) + tϕ′(x)) dx|t=0

=14.3.1

∫ b

a

ddtL(x, u0(x) + tϕ(x), u′0(x) + tϕ′(x))|t=0 dx

=∫ b

a∂zL(x, u0(x), u′0(x))ϕ(x) + ∂pL(x, u0(x), u′0(x))ϕ

′(x) dx

=9.5.1

∫ b

a∂zL(x, u0(x), u′0(x))ϕ(x) dx

− ddx

(∂pL(x, u0(x), u′0(x))ϕ(x) dx

+ L(x, u0, u′0)ϕ|ba︸ ︷︷ ︸

=0, da ϕ(a)=ϕ(b)=0

Die Behauptung folgt aus dem Fundamentallemma 14.5.1.

Bemerkung Ausgeschreiben lautet die EL-Gleichung:

∂x∂pL(x, u0(x), u′0(x)) + ∂z∂pL(x, u0(x), u′0(x))u′0(x) + ∂2

pL(x, u0(x), u′0(x))u′′0(x)

= ∂zL(x, u0(x), u′0(x))

Spezialfalle

1) Falls L nicht von z abhangt, also L = L(x, p), dann lautet die Euler-Lagrange-Gleichung

ddx

(∂pL(x, u′0(x))) = 0

und ∂pL(x, u′0(x)) ist konstant. Falls fur alle x die Gleichung ∂2pL(x, u′0(x)) 6= 0

gilt, so kann man nach dem Satz uber implizite Funktionen 13.5.1 die Gleichung∂pL(x, u′0(x)) = c nach u′0(x) auflosen.Ein Beispiel ist die kurzeste Verbindung zwischen zwei Punkten (a, α) und (b, β).Seien F(u) =

∫ ba

√1 + |u′(x)|2 dx und L = L(p) =

√1 + p2; ∂pL(p) = p√

1+p2.

Dann folgt aus der Euler-Lagrange-Gleichung:

u′0(x)√1 + |u′0(x)|2

= c.

Es ist also u′0(x) = c√1−c2 konstant. Die kurzeste Verbindung ist eine Gerade.

206

2) Falls L nicht von x abhangt, ist L = L(z, p). Dann ist

E(u0(x)) = ∂pL(u0(x), u′0(x))u′0(x)− L(u0(x), u′0(x))

konstant fur alle x, denn

ddxE(u0(x)) = ∂z∂pL(u0(x), u′0(x))|u′0(x)|2 + ∂2

pL(u0(x), u′0(x))u′′0(x)u

′0(x)

+∂pL(u0(x), u′0(x))u′′0(x)− ∂zL(u0(x), u′0(x))u

′0(x)

−∂pL(u0(x), u′0(x))u′′0(x)

= u′0(x)[∂z∂pL(u0(x), u′0(x))u

′0(x) + ∂2

pL(u0(x), u′0(x))u′′0(x)

−∂zL(u0(x), u′0(x))]

=14.6.3

0.

Ein Beispiel ist eine Rotationsminimalflache:Sei F(u) = 2π

∫ ba u(x)

√1 + |u′(x)|2 dx und L = L(z, p) := z

√1 + p2.

Dann ist ∂pL = zp√1+p2

, ∂zL =√

1 + p2.

Nach obiger Rechnung gilt

const = E(u0(x)) =u0(x)|u′0(x)|2√

1 + |u′0(x)|2− u0(x) ·

√1 + |u′0(x)|2 =

−u0(x)√1 + |u′0(x)|2

.

Aus der EL-Gleichung: ddx∂pL(u0, u

′0) = ∂zL(u0, u

′0) folgt

ddx

(u0(x)u′0(x)√1 + |u′0(x)|2

)=√

1 + |u′0(x)|2.

Fur alle x ∈ (a, b) istu0(x)c

=d

dxcu′0(x) = cu′′0(x).

Eine allgemeine Losung ist

u0(x) = c cosh(

1c(x− x0)

)mit den beiden Konstanten c, x0 ∈ (a, b). Einsetzen der Randbedingung liefert:α = c cosh(1

c (a− x0)) und β = c cosh(1c (b− x0)).

Etwa folgt mit a = −b, b > 0, α > β aus Symmetriegrunden, daß x0 = 0.Damit erhalt man α

c = cosh( bc) und somit

α

b=c

bcosh(

b

c) =: f(

b

c) mit f(x) =

1t

cosh(t) fur t > 0.

Es gibt

• fur αβ < µ keine Losung,

207

• fur αβ = µ genau eine Losung und

• fur αβ > µ genau zwei Losungen.

Achtung Die Euler-Lagrange-Gleichung ist notwendige Bedingung, aber nicht hinrei-chend.

Gegenbeispiel ist L(x, z, p) = (p2 − 1)2 auf dem Intervall I = (−1, 1) fur Funktional

F(u) =

1∫−1

(u′(x)2 − 1)2 dx;α = β = 0.

1) F(u) ≥ 0

2) infu∈M F(u) = 0. Sei ε > 0; konstruiere ein uε ∈M mit F(uε) = O(ε):

(u′ε(x)2 − 1)2 =

O(1) fur x ∈ (−ε, ε)0 sonst

.

Damit ist

F(uε) =

ε∫−ε

O(1) dx = O(ε).

14.7 Das Hamiltonsche Prinzip der klassischen (Lagrange)Mechanik

Bezeichnung 14.7.1.bisher (Geometrie) jetzt (Mechanik)x ∈ [a, b] ⊆ R Zeit t ∈ [t1, t2]u : [a, b]→ Rn Orte x : [a, b]→ Rn, x(t) = (x1(t), . . . , xn(t))u′ : [a, b]→ Rn Geschwindigkeiten x = dx

dt : [a, b]→ Rn

L = L(x, z, p) L = L(t, q, v)⇒ F(x) =t1∫t1

L(t, x(t), x(t)) dt

Lagrange-Funktion fur reibungsfreie Systeme L(t, q, v)︸ ︷︷ ︸Wirkung

= K(t, v)︸ ︷︷ ︸kinetische Energie

− U(t, q)︸ ︷︷ ︸potentielle Energie

;

F : Wirkungsintegral.

Bemerkung 14.7.2 (Axiom). Jede physikalische Kurve x(t) ist ein stationarer Punkt vonF .

Bemerkung 14.7.3 (Autonome Systeme mit standard-kinetischer Energie). Sei K(v) =12

∑nj=1mjv

2j mit Massen mj . Dann ist

U(q) =n∑j=1

uj(qj)︸ ︷︷ ︸ext. Felder

=∑

1≤k<j≤nvj,k(qj − qk)︸ ︷︷ ︸

Wechselwirkungsenergien

.

208

Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgt ddt(∂vjK(x(t))) = ∂qju(x(t)), damit ist

mj xj(t) = mjd2

dt2xj(t) = ∂qju(x(t)) (Newton).

Die Energie fur Autonome Systeme ist

E(q, v) = ∇vL(q, v) · v − L(q, v)= ∇vK(v) · v −K(v) + U(q)

=n∑j=1

mjv2j −K(v) + U(q)

= K(v) + U(q).

Proposition 14.7.4. Sei x0(t) eine Losung der Euler-Lagrange-Gleichung. Dann gilt:

ddt

(E(x0(t); x(t))) = 0.

Beweis Siehe 14.6, Spezialfall 2).

-1,6 -0,8 0 0,8 1,6

-0,8

-0,4

0,4

0,8Beispiel 14.7.5 (Der nichtlineare Oszillator). Seien zunachstq, v ∈ R, m ∈ R sei Masse.Die kinetische Energie ist K(v) = 1

2mv2,

Die potentielle Energie U(q) wie im Bild (x4 − 2x2 + 0, 5).Damit ist

L(q, v) =12mv2 − U(q) und E =

12Mv2 + U(q).

∂vL = mv; ∂qL(q, v) = −U ′(q)Aus der Euler-Lagrange-Gleichung (14.6.3) folgt:ddt(∂vL(x(t), x(t)) = ∂qL(x(t), x(t))⇔ mx(t) = −U ′(x(t))

harmonischer Fall : Hier ist U(q) = 12q

2. Damit folgt

mx(t) = −x(t), was von sin(

1√mt)

und cos(

1√mt)

gelostwird.

Fur drei Massepunktem1,m2,m3 mit Ortsvektoren x1, x2, x3,wobei m1 durch eine Feder mit m2 und das durch eine Federmit m3 verbunden ist, schreibt manx1(t), x2(t), x3(t) ∼= (q1, q2, q3) und x1(t), x2(t), x3(t) ∼= (v1, v2, v3).

Die kinetische Energie ist dann durch

K(v) =3∑j=1

12mjv

2j

209

gegeben, die potentielle Energie durch

U(q) =12(q2 − q1 − l1)2 +

12(q3 − q2 − l2)2

wobei l1 und l2 die Gleichgewichtspunkte des Systems be-schreiben.

Hieraus folgt mit der Euler-Lagrange-Gleichung

ddt

m1v1m2v2m3v3

∣∣∣∣∣∣v=x(t)

=

−(q2 + q1 − l1)(q2 − q1 − l1)− (q3 − q2 − l2)

(q3 − q2 − l2)

∣∣∣∣∣∣q=x(t)

=

m1x(t)m2x(t)m3x(t)

Hiermit enden die Aufzeichnungen zur Vorlesung Analy-

sis II* bei Prof. Dr. Barbara Niethammer. Hoffentlich habensie Euch etwas gebracht. Viel Erfolg bei eventuellen Prufun-gen oder wofur ihr es auch sonst gebraucht habt.

210

Literaturverzeichnis

[Koe2004] Konrad Konigsberger Analysis I. Springer, 6. Aufl. 2004.

[Wal2004] Wolfgang Walter Analysis I. Springer, 7. Aufl. 2004.

211

Index

1-Sphare, 46

abgeschlossen, 50Ableitung, 75

Funktionaldeterminante, 153hoheren Grades, 77Jacobi-Matrix, 153partiell der Ordnung k, 153Richtungsableitung, 152

Absolutbetrag, 16Abstand, 127Abstand zweier Mengen, 66abzahlbar, 20alternierende harmonische Reihe, 38Anfangswertproblem, 179Anordnungsaxiome, 14Asymptotische Gleichheit, 28

Banachraum, 131Bernoulli-Ungleichung, 15Beschrankte Menge, 16Beschranktheit, 26Betrag, 16Binomialkoeffizient, 10Bogenlange, 146Bolzano-Weierstraß

fur komplexe Folgen, 32fur reelle Folgen, 31

C, 21Cauchy-Folge, 32Cauchy-Kriterium

fur Folgen, 33fur Reihen, 36

Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung, 48Cauchysche Produktformel, 44Ck(Ω,Rn), 153

Cosinus, 45Eulersche Formel, 46

Cosinus hyperbolicus, 46Cotangens, 45CSU, 48

dicht, 53Diffeomorphismus, 182Differential, 76Differenzenquotient, 75Distanzfunktion, 65Divergenz, 28, 154Dreiecksungleichung, 16

Betrag, 16Norm, 48

erste Variation, 205Erweiterungskorper, 21euklidscher Raum, 128Euler-Lagrange-Gleichung, 206Eulersche Zahl, 30Exponential

Eulersche Formel, 46Reihe, 45

Extremum, 80

Fakultat, 10fast alle, 24Fibonacci-Zahlen, 9Folge, 24

beschrankt, 49, 130Beschranktheit, 26Cauchy-Folge, 32, 50, 131Divergenz, 25, 28Grenzwert, 24Haufungswert, 31, 49konvergent, 49, 130

212

Konvergenz, 24Limes, 24Monotonie, 29Nullfolge, 24Teilfolge, 31

folgenkompakt, 140Funktion

beschrankt, 54differenzierbar, 75, 157Epigraph, 172Gradient, 152Grenzwert, 56

bei ∞, 57linksseitig, 57rechtsseitig, 57uneigentlich, 58

harmonisch, 170konvex, 87, 171Mittelwert, 101monoton, 58Oszillation, 55partiell differenzierbar, 150rational, 108reell analytisch, 124stetig, 59, 134stetig differenzierbar, 77stetig partiell differenzierbar, 151Umkehrfunktion, 60Wendepunkt, 89

Funktionalstationarer Punkt, 205

Funktionenfolgegleichmaßige Konvergenz, 68punktweise Konvergenz, 67

Funktionenreihegleichmaßige Konvergenz, 71

ganze Zahlen, 7Gaußsche Zahlenebene, 23Geschwindigkeit, 145gleichmaßig stetig, 66gleichungsdefinierte Untermannigfaltigkeit,

190Glockenkurve, 202

Gradient, 152Gradientenfeld, 202

Haufungswert, 31, 49Holder-Ungleichung, 91harmonische Funktion, 170Harmonische Reihe

Divergenz, 34Heine-Borel-Eigenschaft, 140Hesse-Matrix, 155Hilbertraum, 131Homoomorphismus, 61

in metrischen Raumen, 137hot, 187

imaginare Zahl, 21Imaginarteil, 22Infimum, 16Integrabilitatsbedingung, 202Integral, 95

absolut konvergent, 111orientiert, 100Riemann-Integral, 95unbestimmt, 103uneigentlich, 110

integrierbar, 95komplexwertige Funktion, 101Riemann-integrierbar, 95vektorwertige Funktion, 101

Intervall, 17abgeschlossenes, 17halboffenes, 17Lange, 17offenes, 17

Intervallschachtelung, 18Intervallschachtelungsprinzip, 18Inverse, 60

stetig (Satz), 60Irrationale Zahl, 12

Korperaxiome, 13kleinste-Quadrate-Methode, 150kompakt, 52, 140komplexe Zahl, 21

Betrag, 22

213

Dreiecksungleichung, 22Imaginarteil, 22komplex konjugierte Zahl, 22Realteil, 22

kontrahierend, 174stark, 174

KonvergenzFolge, 24, 49Funktionenfolge

gleichmaßig, 68punktweise, 67

Funktionenreihegleichmaßig, 71

Integralabsolut, 111

metrischer Raum, 130normal, 72Potenzreihe, 41Reihe, 35

absolut, 39normal, 72

KonvergenzradiusFormeln, 42

konvexMenge, 142

Konvexkombination, 142kritischer Punkt, 81Kugel

abgeschlossen, 132offen, 132offene ε-Kugel, 24

Kugel mit Radius r, 50Kurve, 145

(stetig) differenzierbar, 145Geschwindigkeit, 145regular, 146rektifizierbar, 146Schnittwinkel, 146Tangentialeinheitsvektor, 145Tangentialvektor, 145

Lagrange-Multiplikatoren, 194Landausche Ordnungssymbole, 122Laplace-Operator, 155

Leibniz-Reihe, 38Lipschitz-stetig, 61Logarithmus

Reihe, 45

Majorante, 36Matrix, 127

positiv definit, 167Maximum

global, 80lokal, 80, 167

Maximum einer Menge, 17Menge

abgeschlossen, 50, 132Abschluss, 52beschrankt, 16dicht, 53Durchmesser, 52folgenkompakt, 140Inneres, 52kompakt, 52, 140Komplement, 51konvex, 142Nullmenge, 191offen, 50, 132Rand, 52sternformig, 203wegzusammenhangend, 142

metrischer Raum, 127Minimum

global, 80lokal, 80, 167

Minimum einer Menge, 17Minkowski-Ungleichung, 91Minorante, 36Mittelwertintegral, 101Monotonie, 29Multiindex, 164

naturliche Zahlen, 7negative Zahlen, 14Newton-Verfahren, 177Niveaumenge, 150Norm, 47, 128

214

L2, 99aquivalent, 129aquivalente Norm, 49euklidisch, 48Maximumsnorm, 48Operatornorm, 138p-Norm, 91Supremumsnorm, 55

normal konvergent, 72Nullmenge, 191

obere Schranke, 16Oberintegral, 94offene Uberdeckung, 140Operatornorm, 138

Parametertransformation, 148naturlich, 149

partiell differenzierbar, 150, 152Polarkoordinaten, 74Polygonzug, 146

Lange, 146positiv definite Matrix, 167Potential, 202Potenzreihe, 41

Konvergenzradius, 41Restglied, 43

Produktreihe, 44Punkt

elliptischer, 167flacher, 167Haufungs-, 51, 133hyperbolischer, 167innerer, 51, 133isolierter, 51, 133kritischer, 81parabolischer, 167Rand-, 51, 133regular, 191singular, 191stationarer, 81

quadratische Form, 158

R, 28

rationale Zahlen, 7Realteil, 22Reihe, 35

absolut konvergent, 39Exponentialreihe, 45konvergent, 35Majorante, 36Minorante, 36Potenzreihe, 41

Richtungsableitung, 152Riemann-Summe, 93Riemannsche Zetafunktion, 38Rotation, 154

Sattelpunkt, 167Satz

uber die lokale Umkehrfungktion, 183uber implizite Funktionen, 187Banachscher Fixpunktsatz, 174eindeutig bestimmter Grenzwert, 26Fundamentallemma der Variations-

rechnung, 204Konvergenz im Konvergenzkreis, 41Konvergenz uneigentlicher Integra-

le, 111l’Hopital, 85Majorantenkriterium uneigentlicher

Integrale, 111Mittelwertsatz der Differentialrech-

nung, 81Mittelwertsatz im Rn, 162Reihe

Leibniz-Kriterium, 38Majorantenkriterium, 36Quotientenkriterium, 39

ReihenMonotoniekriterium, 37

Schrankensatz in R, 82Schrankensatz in Rd, 162vom Minimum und Maximum, 64von Archimedes, 18von Bolzano-Weierstraß

fur komplexe Folgen, 32fur reelle Folgen, 31

215

von Picard-Lindelof, 180von Rolle, 81von Sard, 192von Schwarz, 153zur Vertauschung der Integrations-

reihenfolge, 201Zwischenwertsatz, 61

Schranke, 16Sinus, 45

Eulersche Formel, 46Sinus hyperbolicus, 46Skalarprodukt, 47, 128

L2, 99euklidisch, 48

Stammfunktion, 87stationarer Punkt, 81stetig, 59stetig differenzierbar, 77stetig partiell differenzierbar, 151Supremum, 16Supremumsnorm, 55

Tangens, 45Tangens hyperbolicus, 46Tangentialeinheitsvektor, 145Tangentialraum, 193Tangentialvektor, 145, 193Taylor-Formel, 165Taylor-Reihe, 123Taylorpolynom, 120

uberabzahlbar, 20Uberabzahlbarkeit von R, 20Uberdeckung, offen, 140Umgebung, 132

offene ε-Umgebung, 24Umkehrfunktion, 60untere Schranke, 16Unterintegral, 94

Vektorfeld, 154Vektorraum

euklidischer Raum, 128normiert, 128

Verbindungsgerade, 142

Verbindungsstrecke, 162, 203vollstandig, 131vollstandige Induktion, 7

Fibonacci-Zahlen, 9Summe der ersten n naturlichen Zah-

len, 7Vollstandigkeit

eines metrischen Raumes zeigen, 132Vollstandigkeitsaxiom, 17

Cauchy-Kriterium, 33

Wallissches Produkt, 29wegzusammenhangend, 142Wellengleichung, 156Wendepunkt, 89Wert

regular, 191singular, 191

Wurzel, 19n-te Wurzeln, 19

Zerlegung, 93Feinheit, 93Verfeinerung, 94

216