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Analysis
Jurgen Elstrodt
1. April 2003
2
Teil I
Die reellen Zahlen1 Grundlagen
N := {1, 2, 3, . . .} Menge der naturlichen ZahlenN0 := {0, 1, 2, . . .} Menge der ganzen Zahlen ≥ 0Z := {0,±1,±2, . . .} Menge der ganzen ZahlenQ := {mn ;m,n ∈ Z, n 6= 0} Menge der rationalen Zahlen
1.1 Vollstandige Induktion
Vorgelegt sei eine Aussage A(n), die fur alle n ≥ n0(n ∈ Z) sinnvoll ist, und esgelte:
a) A(n0) ist richtig (Induktionsanfang)
b) Es gilt fur jedes n ≥ n0: Falls A(n) richtig ist, so ist auch A(n+ 1) richtig.(Induktionsschluss)
Dann gilt A(n) fur alle n ≥ n0.Begrundung: Zunachst gilt A(n0) nach a)b) mit n = n0 ⇒ A(n0 + 1) richtigWiederum b) mit n = n0 + 1⇒ A(n0 + 2) richtig...⇒ A(n) richtig fur alle n ≥ n0.
Fur die folgenden Beispiele wird der Korper der reellen Zahlen als bekanntvorausgesetzt, um die Wirkungsweise des Induktionsprinzips zu uben. Der axio-matische Aufbau von R kommt ab Kapitel 2.
1.2 Definition
Seien m,n ∈ Z, fur alle k ∈ Z,m ≤ k ≤ n sei ak ∈ R. Dann setzt man:n∑
k=m
ak := am + am+1 + . . .+ an fur m ≤ n
n∑
k=m
ak := 0, falls m > n (leere Summe)
n∏
k=m
ak := am · am+1 · . . . · an fur m ≤ n
n∏
k=m
ak := 1 fur m > n (leeres Produkt)
3
1.3 Folgerung
n∑
k=m
ak =
n∑
l=m
al =
n+1∑
k=m+1
ak−1
n∑
k=m
ak +
p∑
k=n+1
ak =
p∑
k=m
ak fur m ≤ n ≤ p
Dasselbe gilt fur das entsprechende Produkt.
1.4 Summenformel
Fur alle n ∈ N gilt:
n∑
k=1
k =n (n+ 1)
2
(Summenformel fur endliche arithmetische Progression)
Beweis
n∑
k=1
k = 1 + 2 + ...+ n− 1 + n
n∑
k=1
k = n+ n− 1 + ...+ 2 + 1
=1
2
(1 + 2 + ...+ n− 1 + n
+n+ n− 1 + ...+ 2 + 1
)
=1
2n︸︷︷︸
Anzahl der Terme
(n+ 1) 2
1.5 Satz
n∑
k=1
(2k − 1) = n2 fur alle n ∈ N
4
Beweis
n∑
k=1
(2k − 1) =2n∑
k=1
k −n∑
k=1
2k =2n(2n+ 1)
2− 2
n(n+ 1)
2
= 2n2 + 1− n2 − 1 = n2
oder:n∑
k=1
(2k − 1) = 2
n∑
k=1
k − n = 2n(n+ 1)
2− n
= n2 + n− n = n22
oder:
IB:n∑
k=1
(2k − 1) = 1 = 12
IV:n∑
k=1
(2k − 1) = n2
IS:n+1∑
k=1
(2k − 1) =n∑
k=1
(2k − 1) + 2(n+ 1)− 1
= n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)22
1.6 Satz
n∑
k=0
xk =
{xn+1−1x−1 fur x 6= 1
n+ 1 fur x = 1
(Summenformel fur die endliche geometrische Progression)
Beweis
IB1∑
k=0
xk = 1 + x =x2 − 1
x− 1
ISn+1∑
k=0
xk =n∑
k=0
xk + xn+1
=xn+1 − 1
x− 1+ xn+1 =
xn+1 − 1 + (x− 1)xn+1
x− 1
=xn+1 − 1 + xn+2 − xn+1
x− 1=xn+2 − 1
x− 12
5
Alternativ:
sn :=n∑
k=0
xk = 1 + x+ x2 + . . .+ xn
⇒ sn · x = x+ x2 + x3 + . . .+ xn+1
⇒ x · sn − sn = sn(x− 1) = xn+1 − 1
⇒ sn =xn+1 − 1
x− 12
1.7 Folgerung
Fur alle a, b ∈ R, n ∈ N ist:
an − bn = (a− b) ·n∑
k=1
an−kbk−1
n = 2 : a2 − b2 = (a− b)(a+ b)
n = 3 : a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)
...
Beweis Ist a = b oder a = 0, so ist die Behauptung klar.Sei also a 6= b und a 6= 0:
(a− b)n∑
k=1
an−kbk−1 = (a− b)an−1n∑
k=1
(b
a
)k−1
= (a− b)an−1n−1∑
l=0
(b
a
)l
= (a− b)an−1 1−(ba
)n
1− ba
= an − bn 2
1.8 Definition
a) 0! := 1 n! := 1 · 2 · . . . · n fur n ∈ N.
b) Fur α ∈ R sei(α0
):= 1,
(αk
):= 0 fur k < 0, k ∈ Z,
(α
k
)
:=α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)
k!
fur k ∈ N.
6
1.9 Folgerung
a)(α1
)= α,
(α2
)= α(α−1)
2 , . . .
b)(nk
)= 0, falls n ∈ N0 und k > n
c)(nk
)= n!
k!(n−k)! fur n ∈ N0 und 0 ≤ k ≤ n=(n
n−k)
d)(αk
)+(αk+1
)=(α+1k+1
)fur α ∈ R und alle k ∈ Z.
Beweis nur d). Fur k ≤ 0 ist die Behauptung klar, nur fur k ≥ 1
(α
k
)
+
(α
k + 1
)
=α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)
k!+α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)(α− k)
(k + 1)!
=α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)
k!·(
1 +α− kk + 1
)
︸ ︷︷ ︸
=α+1k+1
=α+ 1)α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)
(k + 1)!=
(α+ 1
k + 1
)
2
Berechnung der Binomialkoeffizienten mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks:(n
k
)
+
(n
k + 1
)
=
(n+ 1
k + 1
)
(n ∈ N0, k ∈ Z)
In der Zeichnung ist jede Zahl gleich der Summe ihres linken oberen und rechtenoberen Nachbarn. Insbesondere sind
(nk
)∈ N0 fur alle n ∈ N0 und k ∈ Z, sogar
(nk
)∈ N fur n ∈ N0 und 0 ≤ k ≤ n.
1.10 Binomischer Satz
Fur alle a, b ∈ R und alle n ≥ 0 gilt:
(a+ b)n =
(n
0
)
anb0 +
(n
1
)
an−1b1 + . . .+
(n
n− 1
)
a1bn−1 +
(n
n
)
a0bn
=n∑
k=0
(n
k
)
an−kbk
speziell: (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2, (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
7
Beweis: mit Induktion:
A(n) : (a+ b)n =n∑
k=1
(n
k
)
an−kbk
A(1) ist richtigA(n)→ A(n+ 1):
(a+ b)n+1 = (a+ b)(a+ b)nA(n)= (a+ b)
(n∑
k=0
(n
k
)
an−kbk)
=n∑
k=0
(n
k
)
an+1−kbk +n∑
k=0
(n
k
)
an+1−(k+1)bk+1
= an + 1 +n∑
k=1
an+1−kbk +n∑
k=1
an+1−kbn+1
=
(n
0
)
an+1 +n∑
k=1
((n
k
)
+
(n
k + 1
))
an+1−kbk +
(n+ 1
n+ 1
)
bn+1
=n+1∑
k=0
(n+ 1
k
)
an+1−kbk
Ersetzung von k durch n− k gibt der Formel die Gestalt:
(a+ b)n =n∑
k=0
(n
n− k
)
akbn−k =n∑
k=0
(n
k
)
akbn−k 2
1.11 Folgerung
n∑
k=0
(n
k
)
= 2n fur alle n ≥ 0, n ∈ N0
Folgt mit a = b = 1 aus dem binomischen Satz.
n∑
k=0
(−1)k(n
k
)
= 0
Folgt mit a = 1, b = −1 aus dem binomischen Satz.
n2∑
k=0
(n
2k
)
= 2n−1 fur alle n ≥ 1
Folgt durch Addition der vorausgegangenen Summen.
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2 Korperbegriff
Die reellen Zahlen sind charakterisiert durch 3 Eigenschaften:
a) R ist ein Korper, d.h. es sind die Grundrechenarten Addition, Subtraktion,Multiplikation und Division erklart und es gelten die ublichen Rechenregeln.
b) R ist angeordnet, d.h. fur a, b ∈ R ist entweder a > b, a = b oder a < b undes gelten entsprechende Rechenregeln. (siehe Kap. 3)
c) R ist vollstandig (siehe Kap. 5)
2.1 Definition
Ein Korper K ist eine Menge, in der 2 Verknupfungen erklart sind:
+ K ×K → K, (a, b) 7→ a+ b genannt ”Addition“
· K ×K → K, (a, b) 7→ a · b genannt ”Multiplikation“,
die folgenden Axiomen genugen:
2.1.1 (A) Axiome der Addition
a) Assoziativgesetz der Addition: (a+ b) + c = a+ (b+ c) (a, b, c ∈ K).
b) Kommutativgesetz: a+ b = b+ a (a, b ∈ K)
c) Existenz eines ”Nullelements“: es gibt mindestens ein Element 0K ∈ K, sodass x+ 0K = x (x ∈ K).Bemerkung: Wir werden zeigen, dass es genau ein Nullelement gibt.
d) Existenz eines ”Negativen“: Zu jedem x ∈ K gibt es mindestens ein (−x) ∈K mit x+ (−x) = 0K
2.1.2 (M) Axiome der Multiplikation
a) Assoziativgesetz der Multiplikation: (a · b) · c = a · (b · c) (a, b, c ∈ K)
b) Kommutativgesetz der Multiplikation: a · b = b · a (a, b ∈ K)
c) Existenz eines ”Einselements“: Es gibt ein Element 1K ∈ K(1K 6= 0K), sodass x · 1K = x (x ∈ K)
d) Existenz eines ”Inversen“: Zu jedem 0K 6= x ∈ K existiert mindestens einx−1 ∈ K, so dass x · x−1 = 1K
e) Distributivgesetz: a · (b+ c) = ab+ acDabei Konvention: ”·“bindet starker als ”+“.
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2.2 Beispiele
a) Q ist ein Korper
b) Q(√
2)
ist ein Korper (siehe Vorlesung Lineare Algebra)
c) R ist ein Korper (siehe weiter hinten)
d) K := {0; 1} ist bzgl. Addition und Multiplikation nach den bekannten Wer-tetabellen ein Korper.
e) Z ist ein Korper.
2.3 Folgerungen aus (A)
a) 0K ist eindeutig bestimmt
Beweis: Sei 0′K ein weiteres Element mit x+ 0′K = x fur alle x ∈ K.Setze dann x := 0K ⇒ 0K + 0′K = 0K .Benutze nun (A.3) mit x = 0′K⇒ 0′K + 0K = 0KZusammen folgt: 0K = 0′K 2
b) Fur jedes x ∈ K ist (−x) eindeutig bestimmt:
Beweis: Sei x′ ein weiteres Element mit x+ x′ = 0K . Dann gilt:(−x) + (x+ x′) = (−x) + 0K = −x nach (A.3)Andererseits:(−x) + (x + x′) = ((−x) + x) + x′ = (x + (−x)) + x′ = 0K + x′ =x′ + 0K = x′
Zusammen folgt: x′ = (−x) 2
c) (−0K) = 0K
Beweis: (A.3): 0K + 0K = 0K .(A.4): 0K + (−0K) = 0KNach b) folgt: 0K = (−0K) 2
d) Fur alle a, b ∈ K hat die Gleichung
a+ x = b (1)
die eindeutig bestimmte Losung x = b− a.
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Beweis:
1.) a+ x = a+ (b− a) = (a+ b)− a = (b+ a)− a = b⇒ x = b− a ist Losung von (1).
2.) Sei x′ eine weitere Losung von (1). Dann gilt:a+x′ = b⇔ (−a)+a+x′ = (−a)+b⇔ (a+(−a))+x′ = b+(−a)⇔ 0K + x′ = b+ (−a)⇔ x′ = b− a = x 2
e) (−(−x)) = x (x ∈ K) (Eindeutigkeit des Inversen)
f) −(a+ b) = −a− b (a, b ∈ K) (Ebenso)
2.4 Folgerungen aus (M) und (D)
a) 1K ist eindeutig bestimmt.Beweis wie in 2.3 a)
b) Fur jedes vom Nullelement verschiedene x ∈ K ist x−1 eindeutig bestimmt.Beweis wie in 2.3 b)
c) (1K)−1 = 1KBeweis wie in 2.3 c)
Bezeichnung: Fur a, b ∈ K, b 6= 0K sei ab definiert als a ·(b)−1 = (b)−1 ·anach (M.2)
d) In K gilt das Distributivgesetz (a+ b) · c = ac+ bc (a, b, c ∈ K)
Beweis: (a+ b) · c = c · (a+ b) = ca+ cb = ac+ bc 2
e) 0K · x = 0K (x ∈ K)
Beweis: 0K · x = (0K + 0K) · x d)= 0K · x+ 0K · x
d)⇒ 0K · x = 0K · x−0K · x = 0K 2
f) Die Gleichung
a · x = b (2)
hat genau eine Losung x = a−1 · b = ba .
11
Beweis: Wegen a ·(a−1 · b
) 2.1.2 a=
(a · a−1
)· b = 1K · b = b ist x = a−1 · b
eine Losung von (2).Sei x ∈ K irgendeine Losung von (2), a 6= 0.
⇒ a−1 · (a · x) = a−1 · b(a−1 · a
)· x = 1 · x = x
}
⇒ x = a−1 · b.
g) Fur alle x, y ∈ K gilt: x · y = 0⇔ x = 0 ∧ y = 0 2
Beweis:
”⇐“ klar nach e) und (M.2).
”⇒“ Sei x, y ∈ K,x · y = 0, x 6= 0
2.1.2 d⇒ ∃x−1 ⇒ x−1 · (x · y) = x−1 · 0K = 0K
⇒(x−1 · x
)· y =
(x · x−1
)· y = 1K · y = y
Zusammen: y = 0 2
h) Fur alle x 6= 0 ist x−1 6= 0 und(x−1
)−1= x
Beweis: x · x−1 = 1 6= 0K ⇒ x−1 6= 0K ⇒(x−1
)−1 existiert. Restanalog zu 2.3 e).
x−1 ·(x−1
)−1= 1K nach 2.1.2 d) und x−1 · x = 1K
x−1 6=0f)⇒ x =
(x−1
)−12
i) Fur alle x, y ∈ K x 6= 0, y 6= 0 gilt: (x · y)−1 = x−1 · y−1
Beweis: Analog zu 2.3 f.
j) a · (x− y) = ax− ay (a, x, y ∈ K)
Beweis:
ay + a(x− y) = a(x− y) + ay = a((x− y) + y)
= a(x+ ((−y) + y)) = a(x+ 0) = ax
2.3 d)⇒ a(x− y) = ax− ay 2
12
2.5 Folgerungen
In jedem Korper K gilt:
a) (−x) · y = −(x · y) = x · (−y) (x, y ∈ K)
b) (−1k) · x = −x (x ∈ K)
c) (−x) · (−y) = xy (x, y ∈ K), speziell (−1) · (−1) = 1, −1−1 = −1
d) (−x)−1 = −(x−1
)(0 6= x ∈ K)
Beweis:
a) xy+(−xy) 2.4 d)= (x+(−x)) ·y = 0K ·y = 0K
2.3 b)⇒ −(xy) = (−x) ·y ⇒−(yx) = (−y) · x 2
b) Setze x := 1 und ersetze y durch x in a).
c) x · y 2.3 d)= −(−(xy))
a)= −((−x) · y) = −(x · (−x)) = (−y) · (−x) =
(−x) · (−y) 2
d) Fur x 6= 0K ∈ K ist auch (−x) 6= 0K , denn ware (−x) = 0K , so ware
x2.3= −(−x) = −0K = 0 Widerspruch!
⇒ (−x)−1 ist sinnvoll (−x)−1 = ((−1) · x)−1 = −1−1 · x−1 =−1 · x−1 = −
(x−1
)2
2.6 Folgerungen
In jedem Korper K gelten die Rechenregeln der Bruchrechnung:
a) Erweitern, Kurzen: Fur alle a, b, q ∈ K, b 6= 0 6= q gilt: a·qb·q = ab .
b) Addition und Subtraktion: Fur alle a, b, c, d ∈ K; b, d 6= 0 gilt: ab ± cd =
ad±bcbd
c) Multiplikation: Fur alle a, b, c, d ∈ K; b, d 6= 0 gilt: ab · cd = acbd
d) Fur alle a, b ∈ K − {0} gilt:(ab
)−1= b
a
Beweis:
a)aq
bq︸︷︷︸
6=0, da b6=0 6=q
= (aq) · (bq)−1 = (aq) ·(b−1 · q−1
)=(a · b−1
)·(q · q−1
)=
(a · b−1
)· 1K = a · b−1 = a
b 2
b) (bd) ·(ab ± c
d
)= (bd) ·
(ab−1 ± cd−1
)= (db)
(b−1a
)± (bd)
(d−1c
)=
da± bc 2
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c)(ab · cd
)=(ab−1
)·(cd−1
)⇒ (bd) ·
(ab · cd
)= (ac) . . . 2
d)(ab
)−1 6= 0, da a 6= 0 6= b ⇒(ab
)−1=(ab−1
)−1= a−1 ·
(b−1)−1
=
a−1b = ba 2
2.7 Folgerungen
Es sei K Korper und x1, . . . , xn ∈ K. Dann haben samtliche durch sinnvollesEinfugen von Klammern in x1 + . . . + xn entstehenden Summen bzw. Produkteden gleichen Wert. (Allgemeines Assoziativgesetz)
Beweis: A(n): Fur jede Summe x1 + . . .+xm mit Summanden x1, . . . , xm ∈ Kmit 1 ≤ m ≤ n ergibt jede sinnvolle Beklammerung den Wert
(x1 + (x2 + (. . .+ (xn−1 + xn) . . .)
Nachzulesen bei [Mey80], S. 18, Satz 1.2.7.Resultat: Summen und Produkte von Elementen aus K konnen ohne Angabe vonKlammern geschrieben werden; die Schreibweise
∑oder
∏ist sinnvoll.
2.8 Permutationen
Es sei K ein Korper und k1, . . . , kn ∈ K, (i1, . . . ; in) Permutation (d.h. Umord-nung) von (1, . . . n). Dann ist
x1 + x2 + . . .+ xn = xi1 + xi2 + . . .+ xin
Das Produkt funktioniert analog nach dem allgemeinen Kommutativgesetz.
Beweis: Jede Permutation der Zahlen von 1 bis n lasst sich durch geeignete suk-zessive Vertauschung zweier nebeneinanderstehender Elemten gewinnen. Oder:Jede Permutation lasst sich als Produkt von Transpositionen schreiben.
2.9 Folgerung
x1, . . . , xm; y1, . . . , yn ∈ K ⇒m∑
j=1
xj ·n∑
k=1
yk =n∑
j=1
n∑
k=1
xjyk
nach dem allgemeinen Distributivgesetz.
2.10 Definition
Sei K ein Korper, x ∈ K, n ∈ N, n ≤ 1. Dann gilt:
x0 = 1K , speziell: 00 = 1K xn =n∏
k=1
x x−n =n∏
k=1
(x−1
)n fur x 6= 0.
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2.11 Satz
Es sei x ∈ K, m,n ∈ Z, x 6= 0, falls m < 0 oder n < 0. Dann gilt:
a) x−k =(xk)−1
k ∈ N, x 6= 0
b) xm+n = xm · xn, speziell (fur n = −1) (xm)−1 = x−m fur 0 6= x ∈ K undalle ganzen Zahlen m.
c) (xm)n = xm·n
Beweis:
a) Induktion
b) xm+n =m+n∏
k=1
x =m∏
k=1
x ·m+n∏
k=m
x =m∏
k=1
x ·n∏
k=1
x = xm · xn fur m,n > 0
xm+n =−m−n∏
k=1
x−1 =−m∏
k=1
x−1 ·−m−n∏
k=−mx−1 =
−m∏
k=1
x−1 ·−n∏
k=1
x−1 = xm · xn
fur m,n < 0
xm+n =m+n∏
k=1
x =m∏
k=1
x ·−n∏
k=1
x−1 = xm ·xn furm > 0, n < 0,m+n > 02
c) 1.) Induktion: Hier nur der Schluss
(xm)n+1 b)= (xm)n · xm = xmn · xm b)
= xmn+m = xm(n+1).
2.) Sei n ∈ Z, n = −k < 0.
⇒ (xm)na)=(
(xm)k)−1 c1.)
=(xmk
)−1= x−mk = xm·(−k) = xm·n
2
2.12 Satz
Es seien x, y ∈ K,n ∈ Z, x, y 6= 0, falls n < 0. Dann gilt:
(x · y)n = xn · yn
Beweis:
a) n ≥ 0 (x · y)n = xn · yn Induktion wie in 2.11 b) 2
b) n < 0 (x · y)n = ((x · y)−n)−1 a)= (x−n · y−n)−1 a)
= xn · yn 2
2.13 Folgerung
Es seien x ∈ K, n ∈ N. Dann gilt: Z 3 0 · x = 0K , n · x = x+ x+ . . .+ x︸ ︷︷ ︸
n Summanden
∈ K,
(−n) · x = (x) + (−x) + . . .+ (−x)︸ ︷︷ ︸
n Summanden
∈ K
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2.14 Folgerung
Fur x, y ∈ K, m,n ∈ Z gilt:
a) (m+ n) · x = mx+ nx, speziell (−m)x︸ ︷︷ ︸
”-“aus Z
= −(mx)︸ ︷︷ ︸
”-“aus K
b) n · (mx) = (nm) · x
c) m · (x+ y) = mx+my
d) m · x = (m · 1K) · x
Beweis: a) bis c) analog oben. d) leicht.
Ergebnis: In jedem Korper gelten die bekannten Rechenregeln fur +,−,·,divund fur Potenzen ∈ Z.
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3 Anordnung
Konvention: 1k := 1 0k := 0
3.1 Definition
Ein Korper K heißt angeordnet, wenn in K eine Menge P 6= ∅, die Menge dersog. positiven Elemente von K ausgezeichnet ist, so dass folgende Axiome erfulltsind:
a) ∀x ∈ K gilt: Entweder x ∈ P oder x = 0 oder −x ∈ P .
b) ∀x ∈ P, y ∈ P gilt: (x+ y) ∈ P und (x · y) ∈ P
In jedem angeordneten Korper ist 1 positiv.In jedem angeordneten Korper ist x2 positiv fur x 6= 0, x ∈ K ⇒ C ist keinangeordneter Korper.
3.2 Definition
Sei K ein angeordneter Korper. Dann wird definiert fur x, y ∈ K:
• x > y heißt: (x+ (−y)) ∈ P
• x ≥ y heißt: (x+ (−y)) ∈ P oder (x+ (−y)) = 0
• x < y heißt: (y + (−x)) ∈ P
• x ≤ y heißt: (y + (−x)) ∈ P oder (y + (−x)) = 0
• x heißt positiv, wenn x > 0; x heißt negativ, wenn x < 0.
3.3 Satz
a) ∀a, b ∈ K gilt: Entweder a < b oder a = b oder a > b
Beweis: (b− a) ∈ P oder (b− a) = 0 oder − (b− a) ∈ P 2
b) a < b⇔ −a > −b
Beweis: a < b⇔ b− a ∈ P ⇔ −a− (−b) ∈ P ⇔ −a > −ba ≥ b ∧ b ≥ a⇒ b = a 2
c) a < b ∧ b < c⇒ a < c, a ≤ b ∧ b ≤ c⇒ a ≤ c, a ≤ b ∧ b < c⇒ a < c
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Beweis: a < b ∧ b < c⇔ b− a ∈ P ∧ c− b ∈ P ⇔(b− a) + (c− b) ∈ P ⇔ c− a ∈ P ⇔ a < c 2
d) x < y, a ∈ K ⇒ x+ a < y + a
Beweis: x < y ⇔ y − x ∈ P ⇔ (y − a)− (x− a) ∈ P ⇔x+ a < y + a 2
e) x < x′, y < y′ ⇒ x + y < x′ + y′ ⇒ Ungleichungen durfen addiert, nichtaber subtrahiert werden.
Beweis: x+ y < x′ + y < x′ + y′ ⇔ x+ y < x′ + y′ 2
f) x < y, a > 0⇔ ax < ayx < y, a < 0⇔ ax > ay
g) 0 ≤ x ≤ x′ ∧ 0 ≤ y ≤ y′ ⇒ x · y ≤ x′ · y′
Beweis: x · y ≤ x′ · y ≤ x′ · y′ 2
h) xk < yk (k = 1 . . . n)⇒n∑
k=1
xk <n∑
k=1
yk
Beweis: Induktion in e) 2
i) xk ≤ yk (k = 1 . . . n) ∧n∑
k=1
xk ≤n∑
k=1
yk ⇒ ∃j ∈ {1, . . . n} mit xj < yj
Beweis: indirekt 2
j) xk ≥ 0, xk < yk ⇒n∏
k=1
xk <n∏
k=1
yk
Beweis: Indirekt mit g) 2
k) x 6= 0⇒ x2 > 0 speziell: −1 < 0⇒ 1 > 0
Beweis: Sei x 6= 0. Zwei Falle:
1.) x > 0⇒ x2 > 0
2.) x < 0⇒ −x > 0⇒ x2 2.5 c)= (−x)2 > 0
⇒ x2 > 0 fur x 6= 0 2
l) x > 0⇒ 1x > 0; x < 0⇒ 1
x < 0
18
Beweis:
1.) Sei x > 0⇒ 1x = 1
x · 1 =(
1x ·(
1x · x
))=(
1x
)2 · x > 0
2.) Sei x < 0⇒ − 1x
2.5 d)= (−x)−1 > 0⇒ 1
x < 0 2
m) 0 < x < y ⇒ 1x >
1y
Beweis: x, y > 0⇒ x · y > 0⇒ 1x·y > 0 Multiplikation der Ungleichung
mit 1x·y 2
n) x · y > 0⇒ (x > 0 ∧ y > 0) oder (x < 0 ∧ y < 0).
Beweis:
1.) x > 0⇒ 1x > 0⇒ y =
1
x︸︷︷︸
>0
· xy︸︷︷︸
>0
> 0
2.) x < 0⇒ 1x < 0⇒ y =
1
x︸︷︷︸
<0
· xy︸︷︷︸
>0
< 0 2
o) x · y < 0⇒ (x > 0 ∧ y < 0) oder (x < 0 ∧ y > 0)
Beweis: Analog zu n) 2
3.4 Definition
Fur a ∈ K sei |a| :={a fur a ≥ 0−a fur a < 0
3.5 Folgerung
|a| ≥ 0 |a| = 0⇔ a = 0 | − a| = |a| |1| = 1
3.6 Satz
Fur alle a, b ∈ K gilt:
a) |a · b| = |a| · |b|, speziell∣∣ 1a
∣∣ = 1
|a|
b) Ist c ≥ 0, so gilt |a| ≤ c⇔ −c ≤ a ≤ c
c) −|a| ≤ a ≤ |a|
19
Beweis:
a) 1.) a · b = 0 ⇒ |a · b| = 0 = |a| · |b|, da a = 0 ∨ b = 0 2
2.) a·b > 0⇒ a > 0 ∨ b > 0⇒ |a| · |b| = |a · b|∧a < 0 ∨ b < 0⇒ |a · b| = a · b = (−a)(−b) = |a||b| 2
3.) a·b < 0⇒ a > 0 ∨ b < 0⇒ |a · b| = −(ab) = a · (−b) = |a| · |b|∧a < 0 ∨ b > 0⇒ |a · b| = −(ab) = (−a) · b = |a||b| 2
b) |a| ≤ c ⇔ a ≤ c ∧ −a ≤ c, dann entweder |a| = a ⇒ a ≤ c oder|a| = −a⇒ −a ≤ c−a analog 2
c) klar nach b) mit c = |a| 2
3.7 Dreiecksungleichung
∀a, b ∈ K gilt:
a) |a+ b| ≤ |a|+ |b|
b) |a− b| ≤ |a|+ |b|
c) ||a| − |b|| ≤ |a+ b|
d) ||a| − |b|| ≤ |a− b|
Beweis:
a)−|a| ≤ a ≤ |a|−|b| ≤ b ≤ |b|
}
⇒ − (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| 3.6.c⇒ |a + b| ≤|a|+ |b| 2
b) Man ersetze b durch (−b)⇒ |b| = | − b|. Dann klar nach 3.7 a) 2
c) |a| = |a+ b− b|3.7.a≤ |a+ b|+ | − b| = |a+ b|+ |b|
⇒ |a| − |b| ≤ |a+ b| ∀ a, b ∈ KVertauschung der Buchstaben a, b⇒ ||a| − |b|| ≤ |a+ b| 2
d) klar nach 3.7 c) bei Ersetzung von b durch (−b) 2
3.8 Bernoullische Ungleichung
(benannt nach Jakob Bernoulli (1654-1705), sein Bruder Johann war der Lehrervon L. Euler)Sei x ≥ −1⇒ ∀n ∈ N0
(1 + x)n ≥ 1 + n · x.
20
Beweis: Induktion
a) n = 0⇒ Behauptung richtig
b) n→ n+ 1 Sei bekannt: A(n) : (1 + x)n ≥ 1 + nx fur x ≥ −1.
Dann gilt: (1 + x)n+1A(n)
≥ (1 + x)n︸ ︷︷ ︸
≥1+nx
· (1 + x)︸ ︷︷ ︸
≥0
≥ (1 + nx) · (1 + x) = 1 +
(n+ 1)x+ nx2︸︷︷︸
≥0
≥ 1 + (n+ 1)x 2
3.9 Satz
Fur 0 ≤ x ≤ 1 und alle n ∈ N0 gilt: (1 + x)n ≤ 1 + (2n − 1)x
Beweis:
a) Induktion funktioniert 2
b) Fur(0 ≤ x ≤ 1⇒ 0 ≤ xk ≤ x fur k ≥ 1
)gilt:
(1 + x)n =n∑
k=0
(nk
)xk = 1 +
n∑
k=1
(nk
)xk ≤ 1 +
(n∑
k=1
(nk
))
x
1.11= 1 + (2n − 1)x 2
3.10 Satz
Seien a1, . . . an ∈ K, n ∈ N ⇒ es existiert ein kleinstes und ein großtes Elementaus {a1, . . . an}, genannt Minimum bzw. Maximum, geschrieben min1≤i≤n ai odermin {a1, . . . an}Beweis durch Induktion.
3.11 Definition
Seien a, b ∈ K, a < b.
• [a; b] := {x ∈ K, a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall von a nach b
• [a; b[:= {x ∈ K, a ≤ x < b} nach rechts halboffenes Intervall von anach b
• ]a; b] := {x ∈ K, a < x ≤ b} nach links halboffenes Intervall von anach b
• ]a; b[:= {x ∈ K, a < x < b} offenes Intervall von a nach b
• [a;∞[:= {x ∈ K, a ≤ x}
21
• ]−∞; b] := {x ∈ K,x ≤ b}
• ]−∞;∞[:= K
22
4 Einbettung von Q in K
Ziel: Jeder angeordnete Korper enthalt Q, genauer: ein isomorphes Bild von Q.
4.1 Definition
Seien K,L Korper, f : K → L Abbildung.
a) f heißt Isomorphismus, falls f bijektiv ist und falls gilt: f(x+ y) = f(x) +f(y) ∧ f(x · y) = f(x) · f(y) fur alle x, y ∈ K.
b) Sind K,L zusatzlich angeordnet, so heißt f ordnungstreuer Isomorphismus,falls zusatzlich gilt: x ∈ K,x > 0⇒ f(x) > 0 ∀x ∈ K.
Beispiel Sei K := Q, L := {(r, r); r ∈ Q} mit (r, r) + (s, s) = (r + s, r + s),(r, r) · (s, s) = (rs, rs), (r, r), (s, s) ∈ L⇒ L ist bezuglich dieser Addition und Multiplikation ein Korper.⇒ f ist ein Isomorphismus zwischen Korpern.Fur L werde definiert: P := {(r, r), r > 0, r ∈ Q} ⇒ (r, r) < (s, s)⇔ r < s⇒ f ist ein ordnungstreuer Isomorphismus.
Bemerkung Sei f : K → L ein Korperisomorphismus. Dann gilt:
a) f(x− y) = f(x)− f(y),f(xy
)
= f(x)f(y) fur y 6= 0, da f(0K) = 0L und f(1K) = 1L.
b) f−1 : L→ K ist ein Isomorphismus
c) Sind zusatzlich K,L angeordnet, f : K → L ein ordnungstreuer Isomor-phismus ⇒ x > 0K ⇔ f(x) > 0L, x = 0K ⇔ f(x) = 0L, x < 0K ⇔f(x) < 0L, (x ∈ K).
4.2 Einbettung von Q in K
Es sei K ein angeordneter Korper, f : Q→ K wie folgt definiert: f(mn
):= m·1K
n·1K
fur m,n ∈ Z, n > 0Dann ist f wohldefiniert und f ist ein ordnungstreuer Isomorphismus von Q. Kurz:K enthalt die rationalen Zahlen.
Beweis: K ist angeordnet⇒ 1K > 0K ⇒ ∀n ∈ N n · 1K︸ ︷︷ ︸
2.13= 1K + 1K + . . .+ 1K︸ ︷︷ ︸
n Terme
> 0⇒ m·1K
n·1Kist sinnvoll.
23
Wir zeigen: f ist sinnvoll definiert, d. h. gilt mn = kl mit k, l,m, n ∈ Z, l, n > 0, so
gilt m·1K
n·1K= k·1K
l·1K, da gilt:
m
n=k
l⇒ m · l = k · n⇒ (n · 1K) · (k · 1K)
2.4= m · l · 1K
(m · 1K) (l · 1K) = m · (l · 1K) = (m · l) · 1K = (n · k) · 1K= n · (k · 1K) = (n · 1K) · (k · 1K)
n · 1K 6= 0 6= l · 1K ⇒m · 1Kn · 1K
=k · 1Kl · 1K
⇒ Definition ist sinnvoll. 2
Uberprufung der Rechenregeln Sei r = kl , s = m
n mit k, l,m, n ∈ Z,l > 0 < n.
f(r) + f(s) =k · 1Kl · 1K
+m · 1Kn · 1K
2.6 b)=
(k · 1K) · (n · 1K) + (l · 1K) · (m · 1K)
(l · 1K) (n · 1K)
2.14=
(kn+ lm) · 1K(ln) · 1K
= f
(kn+ lm
ln
)
= f(r + s).
Ebenso: f(r) · f(s) =k · 1kl · 1K
· m · 1Kn · 1K
2.14=
(km) · 1K(ln) · 1K
= f
(km
ln
)
= f(r · s)
⇒Wegen f injektiv gilt: f : Q→ L ist ein Isomorphismus.Ordnungstreue: Sei r ∈ Q, r = m
n , m,n ∈ N
⇒ f(r) =m · 1Kn · 1K
> 0 nach 3.3 l)
Resultat: f vermittelt eine Einbettung von Q in K. Wir konnen daher Q mitf (Q) identifizieren und Q als Unterkorper auffassen.Fass man Q als Unterkorper von K auf, ist somit die Skalarmultiplikation sowohlintern als auch extern!
24
5 Unvollstandigkeit von Q, das Supremumsaxiom in R
5.1 Satz
Die Gleichung x2 = q fur q ∈ N, q > 1, q ”quadratfrei“, hat keine Losung in Q.Allgemeiner: Ist n ∈ N, n > 1, k ∈ N, k ≥ 2 und gilt mk ist kein Teiler von n(m ∈ N,m > 1), so ist xk = n nicht losbar in Q.
Beweis: Annahme: r ∈ Q sei Losung von rk = n ⇒ r = uv u, v ∈ Z, v > 0
ggT(u, v) = 1 ⇒ uk = n · vk, n > 1 ⇒ ∃ Primzahl p mit p|n ⇒ p|vk ⇒p|u⇒ pk|uk ⇒ pk|n · vk ⇒ p|v E Widerspruch!kurz: Q ist unvollstandig 2
Bemerkung: In Q gibt es sehr wohl Zahlen, deren Quadrat naherungsweise = 2ist.
5.2 Definition
Im folgenden sei K ein angeordneter Korper, Q ⊂ K.
a) Eine Teilmenge M ⊂ K heißt nach oben (bzw. unten) beschrankt, wenn esein β ∈ K (α ∈ K) gibt, so dass gilt: ∀x ∈ M : x ≤ β bzw. x ≥ α.Dann heißt β eine obere Schranke von M bzw. α eine untere Schranke vonM .
b) M heißt beschrankt, wenn M nach oben und nach unten beschrankt ist, d.h.∃α, β ∈ K α ≤ β mit M ⊂ [α;β].
5.3 Beispiele
a) Jedes Intervall [a; b] , ]a; b] , [a; b[ , ]a; b[ mit a, b ∈ K, a < b ist nach obenund unten beschrankt. Obere Schranke ist z. B. b, aber auch b+1 . . .. UntereSchranke ist analog a, aber auch a− 1 . . .
b) ]−∞; b] b ∈ K ist nach oben beschrankt, aber nicht nach unten.
c) M :={r, r ∈ K, r2 ≤ 2
}ist nach oben beschrankt mit 2 als oberer
Schranke.
Idee: Um die Zahl√
2 zu finden, suche man unter allen r aus c) eine großte, einsog. Supremum. Von dieser zeige man, dass sie das Quadrat 2 hat.
25
5.4 Definition
Es sei M ⊂ K,M 6= ∅, α, β ∈ K (α, β nicht notwendig ∈M ).β heißt kleinste obere Schranke von M oder Supremum von M , falls gilt
a) β ist obere Schranke von M
b) β ist minimal mit a), d.h. fur jede andere obere Schranke β ′von M gilt:β′ > β.
α heißt großte untere Schranke von M oder Infimum von M , falls gilt:
a) α ist untere Schranke von M
b) α ist maximal mit a), d. h. fur jede andere untere Schranke α′ von M gilt:α′ < α
Bezeichnung: β := sup(M) α = inf(M) oder besser: β = supM , α =infM .
5.5 Folgerungen
a) β = supM ⇔{
(1) ∀x ∈M : x ≤ β(2) ∀γ < β : ∃x ∈M mit x > γ
α = infM analog.
b) Hat M ein Supremum (Infimum), so ist dieses eindeutig bestimmt.
Beweis: Seien β und β∗ Suprema von M⇒ β∗ ≤ β, denn β∗ ist minimale obere Schranke, β ist eine obere Schranke.⇒ β ≤ β∗, denn β ist minimale obere Schranke, β∗ ist eine obere Schranke.⇒ β = β∗
2
Infimum analog.
5.6 Beispiele
a) M = [a; b] a, b ∈ K, a < b ⇒ a ist Infimum von M , b ist Supremumvon M .
b) M = ]−∞, 1[ supM = 1
Beweis: Offenbar ist 1 obere Schranke von M .Sei x < 1. Wir zeigen: x ist keine obere Schranke von MBegrundung: 2 · x = x + x < x + 1 < 2 ⇒ x < x+1
2 < 1 ⇒ x+12 ∈
M ∧ x+12 > x⇒ Behauptung. 2
26
c) M :={r ∈ Q; r2 ≤ 2
}hat kein Supremum in Q. Hier ohne Beweis, folgt
spater.
5.7 Supremumsaxiom
(S) Jede nichtleere, nach oben beschrankte Menge M ⊂ K hat ein Supremum.
5.7.1 Folgerung
Sei K ein angeordneter Korper mit (S). Dann hat jede nichtleere, nach unten be-schrankte Menge M ⊂ K ein Infimum in K.
Beweis: Sei γ untere Schranke von M ⊂ K,M 6= ∅, γ ∈ KM∗ := {−x;x ∈ M} ⇒ −γ ist obere Schranke von M ∗, d. h. M∗ ist nach obenbeschrankt.⇒ ∃β mit β = supM∗ α := −β ⇒ α = infMSei x ∈M ⇒ −x ∈M∗ ⇒ −x ≤ β ⇒ x ≥ α⇒ α ist untere Schranke von MSei η untere Schranke von M ⇒ −η ist obere Schranke von M ∗ ⇒ −η ≥ β ⇒η ≤ α⇒ α ist Infimum von M . 2
5.8 Satz
Es gibt einen angeordneten Korper R, in dem das Supremumsaxiom erfullt ist. Jezwei Korper, die dem Supremumsaxiom genugen, sind ordnungstreu isomorph.Kurz: R ist eindeutig.Wir wollen R als den Korper der reellen Zahlen bezeichnen.
Beweis: Siehe in [E+92].Weitere Ansatze finden sich in [SH75], [Hol83], [Kno64], [Lan60], [Obe68] sowiebei [BF74].
5.9 Aquivalente Charakterisierungen von R
Sei K angeordneter Korper. Dann gilt:(S)⇔Axiom vom Dedekinschen Schnitt⇔Archimedisches Axiom + Vollstandig-keitsaxiom ”Jede Cauchy-Folge in K konvergiert“([For01a])⇔Axiom von der In-tervallschachtelung ([Die85]).
Beweis: Siehe in [E+92].Einige der gemachten Aussagen (6.1, 8.4) werden im folgenden noch bewiesen.
27
6 Erste Folgerungen aus dem Supremumsaxiom
6.1 Archimedisches Axiom
Dieser Satz fungiert auch unter dem Namen Postulat des Eudoxus.Zu allen a, b ∈ R mit a > 0 gibt es ein n ∈ N mit n · a > b. Kurz: R istarchimedisch angeordnet.
Beweis: Annahme: Die Behauptung sei falsch.
⇒ ∃a, b ∈ R, a > 0 mit n · a ≤ b ∀n ∈ N
⇒M := {na, n ∈ N} 6= ∅ ist nach oben beschrankt z. B. durch b.(S)⇒ ∃α := supM ⇒ α−a < α wegen a > 0⇒ α−a ist keine obere Schrankevon M .⇒ ∃n ∈ N mit n · a > α − a ⇒Fur ein solches n ist aber (n + 1) · a > α.Widerspruch, da n+ 1 ∈ N⇒ (n+ 1)a ∈M !Somit folgt die Behauptung. 2
6.2 Folgerung
Zu jedem x ∈ R existiert n ∈ N mit n > x.
Beweis: 6.1 mit a = 1, b = x 2
6.3 Satz
Zu jedem ε > 0 gibt es n0 ∈ N mit n ≥ n0 ⇒ 1n < ε
Beweis: Sei n0 ∈ N so gewahlt, dass n0 >1ε . Das ist nach 6.2 moglich.
⇒ ∀n ≥ n0 n > 1ε ⇒ ∀n ≥ n0
1n < ε 2
6.4 Satz
a) Sei x > 1. Dann existiert fur alle K > 0 ein n0 ∈ N mit xn > K ∀n ≥ n0
b) Ist |x| < 1, so existiert zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N mit |x|n < ε ∀n ≥ n0.
Beweis:
a) y := x− 1 > 0 xn = (1 + y)n3.8≥ 1 + ny
6.1⇒ ∃n0 ∈ N mit n0 · y > K⇒ ∀n ≥ n0 xn0 ≥ 1 + n0 · y ≥ K 2
28
b) Fur x = 0 leistet n0 := 1 das Verlangte.Fur x 6= 0, |x| < 1⇒ 1
|x| > 1 mit K := 1ε folgt nach a):
∃n0 ∈ N ∀n > n0
(1|x|
)n> K = 1
ε
⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 |x|n ≥ ε 2
6.5 Satz
Seien a, b, c ∈ R, a < b; c 6= 0. Dann gibt es r ∈ Q mit a < rc < b.
Beweis:
a) Sei c > 0 ⇒ b−ac > 0
6.3⇒ ∃n ∈ N mit 1n < b−a
c . Sei ein solches n festgewahlt.
1.) a > 06.1⇒ ∃m ∈ N mit m · 1
n >ac . Sei ein solches m minimal gewahlt.
⇒ (m− 1) 1n ≤ a
c ≤ mn = m−1
n + 1n <
ac + b−a
c = bc
⇒ ac <
mn =: r ≤ b
c c > 0⇒ a < rc ≤ b.
2.) a < 06.2⇒ ∃k ∈ N mit k > −a
c ⇒ 0 < a+ kcVor.< b+ kc
a1.)⇒ ∃r ∈ Q mit a+ kc < r + kc < b+ kc⇔ a < (r − k)c︸ ︷︷ ︸
∈Q
< b 2
b) Sei c < 0a) mit −c statt c⇒ ∃r ∈ Q mit a < r(−c) < b
mit s = −r gilt: a < sc < b 2
6.6 Korollar
Sind a, b ∈ R, a < b, so gibt es unendlich viele rationale Zahlen r mit a < r < b.Kurz: Die rationalen Zahlen liegen dicht in R⇔ Q liegt dicht in R.
Beweis: 6.5 mit c = 1⇒ ∃r1 ∈ Q a < r1 < b⇒ ∃r2 ∈ Q r1 < r2 < b . . .
29
7 Wurzeln
7.1 Satz
Sei a ≥ 0, n ∈ N. Dann gibt es genau ein x ∈ R, x ≥ 0 mit xn = a.x heißt dann n. Wurzel von a oder x = n
√a fur a ≥ 0.
Beweis:
a) Existenz: Betrachte M := {x ∈ R, xn ≤ a}. M 6= ∅, da 0 ∈M . Ferner:Fur a ≤ 1 ist 1 obere SchrankeFur a ≥ 1 ist a obere Schranke
}(S)⇒ ∃ξ := supM
Ziel: Wir wollen zeigen, dass gilt: ξn = a.
1.) a = 0 ⇒ ξ = 0 und ξ ist eindeutig bestimmte Losung der Gleichungxn = 0.
2.) a > 0 Zunachst gilt: 0 < 11+a < min(1, a)⇒ 0 <
(a
1+a
)n< a, (klar
fur 0 ≤ a ≤ 1)⇒ a
1+a ∈M , d.h. ξ ≥ a1+a > 0!
(i) Behauptung: ξn ≥ aBegrundung: indirekt. Annahme: ξn < a. Dann ist zu zeigen: ξist keine obere Schranke von M .Sei dazu 0 < ε < min
(
1, a− ξn · 1(2n−1)ξn
)
⇒ (ξ(1 + ε))n = ξn · (1 + ε)n︸ ︷︷ ︸
≤1+(2n−1)ε nach 3.9
≤ ξn + (2n − 1) εξn
nach Wahl von ε< ξn + (a− ξn) = a
⇒ ξ(1 + ε) ∈M . E Widerspruch, denn ξ(1 + ε) > ξ ⇒ ξ istnicht obere Schranke von M .⇒ Annahme war falsch⇒ ξn ≥ a.
(ii) Behauptung: ξn ≤ aBegrundung: indirekt. Annahme: ξn > a. Wir zeigen: Es gibteine kleinere untere Schranke von M als ξ. Dazu wahle man k ∈N mit ξn
(1− n
k
)n= ξn
(1− 1
k
)n 3.8≥ ξn
(1− n
k
)
nach Wahl von k> a
⇒ ξ(1− 1
k
)ist obere Schranke von M . E Widerspruch, denn
ξ(1− 1
k
)< ξ⇒ ξn ≤ a
Zusammen: ξn = a: Existenz bewiesen.
b) Eindeutigkeit: Annahme: Seien x1, x2 Losungen der Gleichung xn = a,x1 6= x2. OBdA: x1 < x2
⇒ a = xn1 < xn2 = aWiderspruch. Somit ist ξ wie oben eindeutig bestimmt.2
30
7.2 Definition
R−Q = {x ∈ R, x /∈ Q} =Menge der irrationalen Zahlen.
7.3 Satz
Fur jedes k ∈ N, k ≥ 2 und q ∈ N mit ∀m ∈ N,m ≥ 1 mk 6 |q ist m√q irrational.
Beweis: Existenz von k√q siehe 7.1
5.1⇒ k√q /∈ Q
}
⇒ Behauptung 2
7.4 Satz
Es seien a, b ∈ R mit a < b. Dann gibt es unendlich viele rationelle Zahlen ξ mita < ξ < b. Kurz: R \Q liegt dicht in R.
Beweis: 6.5 mit ε =√
2⇒ 0 6= r1 ∈ Q mit a < r1√
2 < b r1√
2 ∈ R \Q6.5⇒ ∃0 6= r2 ∈ Q mit r1
√2 < r2
√2 < b . . . 2
7.5 Lemma
Es seien a ∈ R, a > 0,m ∈ Z, n, q ∈ N. Dann gilt:
(n√a)m
=(
n·q√a)m·q
Beweis: 2.11⇒ Beide Seiten der behaupteten Gleichung sind positive Losungender Gleichung xn·q = an·q. Nach 7.1 folgt daraus die Behauptung 2
7.6 Bemerkung
Seien a ≥ 0, r ∈ Q, r = mn ,m ∈ Z, n ∈ N. Wenn a = 0, sei zusatzlich m ≥ 0.
Dann hangt ( n√a)m nicht ab von der Auswahl von m und n (Siehe Lemma 7.5),
und man setzt ar := ( n√a)m. Fur ganzzahlige Exponenten ist diese Schreibweise
vertraglich mit 2.10.
7.7 Satz
Seien a, b > 0, r, s ∈ Q. Dann gilt:
a) ar+s = ar · as
b) (ar)s = ar·s
c) (a · b)r = ar · br, dies gilt auch, wenn a, b ≥ 0, wenn zusatzlich r, s ≥ 0.
31
Beweis:
a) Beide Seiten sind Losung der Gleichung xn·q = amq+np. Die Behauptungfolgt daher nach 7.1 2
b) Beide Seiten sind Losung der Gleichung xnq = amp. Die Behauptung folgtdaher nach 7.1 2
c) Beide Seiten sind Losung der Gleichung xm = (ab)n. Die Behauptung folgtdaher nach 7.1 2
7.8 Satz
Seien a, b ∈ R, a, b > 0, r, s ∈ Q, r < s. Dann gilt (a < b):
a) 1.) a > 1⇒ ar < as
2.) 0 < a < 1⇒ ar > as
b) 1.) r > 0⇒ ar < br
2.) r < 0⇒ ar > br
Beweis:
a) 1.) a > 1, s− r > 0⇒ as−r > 1·ar
⇒ as > ar 2
2.) 0 < a < 1: Nach a1.) ist(
1a
)r<(
1a
)s 7.7 c⇒(
1a
)r= 1
ar ⇒ Behaup-tung 2
b) 1.) r = mn ,m, n ∈ N, 0 < 0 < b ⇒ n
√a < n
√bm∈N⇒ ( n
√a)m
= ar <(
n√b)m
= br 2
2.) r < 0b1.)⇒ a−r < b−r
7.1⇒ ar > br 2
32
8 Abzahlbarkeit von Q, Uberabzahlbarkeit von R
8.1 Definition
Sei M eine Menge.
a) Dann heißtM endlich genau dann, wenn gilt:M = ∅∨∃n und eine bijektiveAbbildung f : M → {1, . . . , n}.
b) M heißt abzahlbar unendlich genau dann, wenn gilt: ∃f : M → N alsBijektion.
c) M heißt abzahlbar genau dann, wenn gilt: M endlich oder M abzahlbarunendlich.
8.2 Satz
Sei M :=∞⋃
n=1Mn und alle Mn abzahlbar⇒M ist abzahlbar.
Beweis: Wir denken uns die Elemente von M wie folgt geschrieben:M1 : x1,1 x1,2 → x1,3 . . .
↓ ↑ ↓M2 : x2,1 → x2,2 x2,3 . . .
......
......
Mn : xn,1 ← xn,2 ← xn,3 . . .Nun zahlen wir die Elemente von M nach Quadraten ab. Danach werden sol-che Elemente, die bereits vorgekommen sind, ubersprungen; ebenso werden leerePlatze ubersprungen.⇒ Jedes Element von M erhalt ein n ∈ N als Nummer. Wenn M unendlich ist,werden alle n ∈ N verbraucht, wenn M endlich ist, nur endlich viele, eventuellsogar gar keine fur M = ∅.⇒M ist abzahlbar 2
8.3 Satz
Erstmals aufgestellt von Georg Cantor.Q ist abzahlbar unendlich.
Beweis: Z ist abzahlbar, denn 0 7→ 0, 1 7→ 1, 2 7→ −1, 3 7→ 2 . . . ist eineBijektion N→ Z.⇒M1 :=
{kn , k ∈ Z
}, (n ∈ N) ist abzahlbar unendlich
8.2⇒ Q =∞⋃
n=1Mn ist abzahlbar unendlich 2
33
8.4 Prinzip von der Intervallschachtelung
Es sei In := [an; bn] (n ∈ N, an < bn) eine Folge abgeschlossener Intervallemit
a) In+1 ⊂ In fur alle n ∈ N
b) Zu jedem ε > 0 exisitiert ein n ∈ N mit bn − an < ε
Behauptung: Dann gibt es genaue eine Zahl x0 ∈ R mit∞⋂
n=1In = {x0}.
Beweis: In+1 ⊂ In (n ∈ N)⇒ ∀n ∈ N ist an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn, also:a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ an+1 ≤ . . . ≤ bn+1 ≤ bn ≤ bk ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1⇒ ∀k ∈ N A := {an;n ∈ N} hat die obere Schranke bk⇒ α := supA existiert und ist ≤ bk fur alle k ∈ N(S)⇒ ∀k ∈ N ak ≤ α ≤ bk, d.h. ∀k ∈ N α ∈ Ik, d.h. α ∈
∞⋂
k=1
Ik, speziell:
∞⋂
k=1
Ik 6= ∅
Angenommen, es gibt x, y ∈∞⋂
n=1In mit x < y
b)⇒ ∃k ∈ N mit bk − ak < y − x.Andererseits ist aber {x, y} ⊂ Ik, d.h. ak ≤ x < y ≤ bk, d.h. y − x < bk − ak.E Widerspruch!
⇒∞⋂
n=1In enthalt genau eine reelle Zahl 2
8.5 Satz
Nach Georg CantorJedes Intervall [a; b], a, b ∈ R, a < b ist uberabzahlbar. R ist uberabzahlbar.
Beweis: indirekt: Annahme: ∃ a, b ∈ R, a < b dd1 [a; b] ist abzahlbar.Sei (xn)n∈N eine Abzahlung von [a; b]. Wir werden ein z ∈ [a; b] konstruieren, dasvon allen xn (n ∈ N) verschieden ist. Daraus folgt der geforderte Widerspruch.
Konstruktion von z:
I1 := [a; b] =
[
a; a+b− a
3
]
∪[
a+b− a
3; a+ 2
b− a3
]
∪[
a+ 2b− a
3; b
]
Mindestens eines der Teilstucke enthalt x1 nicht! Ein solches Intervall wahlen wiraus und nennen es I2: x1 /∈ I2. Gleiche Konstruktion angewandt auf I2 liefert einIntervall I3 ⊂ I2 mit x2 /∈ I3. usw.
1derart, dass
34
Die Konstruktion liefert eine Folge von IntervallenI1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ In+1 ⊃ I... In − [an; bn].
bn − an =b− a3n−1
(n ≥ 1) xn /∈ In+1 (n ≥ 1)
Nach 6.4! sind die Voraussetzungen 8.4 insbesondere b) erfullt.8.4⇒ es existiert genau ein z ∈ R mit
∞⋂
n=1In = {z}. Offenbar ist z ∈ I1 = [a; b].
Nach Voraussetzung existiert k ∈ N mit z = xk ⇒ z = xK /∈ Ik+1,
aber andererseits ist z ∈∞⋂
n=1In ⊂ Ik+1 E Widerspruch!
35
9 Polynomfunktionen,algebraische und transzendente Zahlen
Sei im folgenden I ⊂ R ein Intervall, ggf. I = R.
9.1 Definition: PolynomfunktionenCd.h.: Im Nebenstehen-den lasst sich sinn-gemaß R durch C erset-zen.
Eine Funktion f : I → R heißt Polynomfunktion, wenn ein ganzes m ≥ 0
und a1, . . . , am ∈ R exisitieren mit f(x) =m∑
k=0
akxk fur alle x ∈ I . Sind
a0, . . . , am = 0, so heißt f Nullpolynom.
Offenbar ist℘ := {f ; f Polynomfunktion} ein R-Vektorraum bezuglich der naturli-chen Verknupfungen
(α · f)(x) := α · f(x) = αm∑
k=0
akxk =
m∑
k=0
αakxk (x ∈ I).
(f + g)(x) := f(x) + g(x) =m∑
k=0
akxk +
n∑
l=0
blxl =
max(m,n)∑
k=0
(ak + bk)xk, wobei
ak := 0 fur k > m und bl := 0 fur l > n.Fur f, g ∈ ℘ ist auch f · g ∈ ℘, denn:
(f · g)(x) := f(x) · g(x) =m∑
k=0
akxk ·
n∑
l=0
blxl =
∑
0≤k≤m0≤l≤n
akblxk+l
=m+n∑
j=0
(j∑
k=0
akbj−k
)
xj , wobei ak := 0 fur k > m und bl := 0 fur l > n.
Also: Auch f · g ist eine Polynomfunktion.
9.2 Definition: Nullstellen
Sei f : I → R eine Funktion, α ∈ I . Dann heißt α Nullstelle von f genau dann,wenn gilt: f(α) = 0
9.3 Satz
Sei f : I → R eine Polynomfunktion
f(x) =n∑
k=0
akxk (x ∈ I), n ≥ 0, a0, . . . an ∈ R, an 6= 0
und es gebe ein α ∈ I mit f(α) = 0.Dann ist n ≥ 1 und es gibt eine Polynomfunktion g : I → R mit
g(x) =n−1∑
j=0
bjxj n ≥ 1, b0, . . . bn−1 ∈ R, bn−1 = an 6= 0,
36
so dass gilt:
f(x) = (x− α)g(x)
Beweis: Wegen f(α) = 0, an 6= 0 ist n > 0, d.h. n ≥ 1Wegen f(α) = 0 gilt fur alle x ∈ I:
f(x) = f(x)− f(α) =n∑
k=0
ak
(
xk − αk)
=n∑
k=1
ak
(
xk − αk)
7.1=
n∑
k=1
ak(x− α) ·k∑
j=1
xk−jαj−1 = (x− α)g(x)
mit eine Polynomfunktion g(x) der gerade behaupteten Form 2
9.4 Korollar
Ist f : I → R eine Polynomfunktion der Gestalt f(x) =n∑
k=0
akxk mit n ≥ 0,
x ∈ I , a1, . . . an ∈ R, an 6= 0, so hat f(x) hochstens n Nullstellen in I .
Beweis: Induktion uber n: Fur n = 0 klar.Sei n ≥ 1, Schluss von n−1→ n: Sei f Polynomfunktion wie in 9.3. Hat f keineNullstellen, so ist die Behauptung richtig. Hat f Nullstelle α, so zerlege man nach9.3 f(x) = (x− α)g(x). Nach Induktionsvoraussetzung hat g(x) hochstens n− 1Nullstellen⇒ f hat also hochstens n Nullstellen. 2
9.5 Korollar
Es seien f, g : I → R Polynomfunktionen. f(x) =m∑
j=0ajx
j , g(x) =n∑
k=0
bkxk,
m,n ∈ Z, m,n ≥ 0, ai, bi ∈ R, am, bn 6= 0. Dann gilt:
f = g ⇔ m = n ∧ aj = bj ∀j = 0, . . . ,m
Bemerkung: K := {0, 1} f : K → K; f(x) = x2 + x, d.h. nicht gultig furendliche Korper.
Beweis: f = g ⇔ ∀x ∈ I f(x) = g(x) ⇔ ∀x ∈ I (f − g)(x) = 0 ⇔ Allex ∈ I sind Nullstellen von f − g ⇔ f − g ist Nullpolynom. 2
9.6 Definition: Grad eines Polynoms
Ist f : I → R eine Polynomfunktion, f(x) =n∑
k=0
akxk mit a ≥ 0, an ∈ R,
an 6= 0, so heißt n der Grad der Funktion: n := gradf .Kein Grad wird erklart fur das Nullpolynom.
37
Folgerung: f, g Polynomfunktionen 6= 0 (keine Nullpolynome)⇒ grad(f · g) = gradf + gradg.
9.7 Satz
Sei f : I → R eine Polynomfunktion, f(x) =n∑
k=0
akxk mit n ≥ 0, a0, . . . , an ∈
R, an 6= 0, x ∈ I , so gibt es verschiedene Zahlen α1, . . . , αρ ∈ I mit ρ ≥ 0,naturliche Zahlen m1, . . . ,mρ ≥ 1 und eine Polynomfunktion g : I → R, so dassgilt:
f(x) =
ρ∏
j=1
(x− αj)mj
g(x) x ∈ I, g(x) 6= 0∀x ∈ I
n∑
j=1
mj ≤ 1 a1, . . . , aρ,m1, . . . ,mρsind eindeutig bestimmt
Beweis: Induktion mit 9.3; Eindeutigkeit mit 9.5 2
9.8 Definition: VielfachheitC
In der Situation von 9.7 heißt mj die Vielfachheit der Nullstelle αj von f , (j =1, . . . , n)
9.9 FolgerungC
Jede Polynomfunktion f : I → R, f 6=Nullpolynom hat hochstens gradf Null-stellen, wenn man die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit evtl. mehrfachzahlt.
Beweis: Nach 9.7 istn∑
j=1mj ≤ n. 2
9.10 Definition: Algebraische ZahlenC
α ∈ R bzw. ∈ C heißt algebraische Zahl, falls es eine Polynomfunktion f : R →R, bzw. f : C → C gibt mit der Form f(x) =
n∑
k=0
akxk mit x ∈ R bzw. x ∈
C und n ≥ 0, ai ∈ Q, an 6= 0, so dass f(α) = 0. D.h. α ist Nullstelle einerPolynomfunktion mit rationalen Koeffizienten.Eine nicht-algebraische Zahl heißt transzendent.
38
9.11 Folgerungen
a) α algebraisch⇒ ∃c0, . . . , cn ∈ Z; cn 6= 0, so dassk∑
j=0cjα
j = 0
Beweis: Man multipliziere Koeffizienten a1, . . . , an mit ihrem Hauptnenner.2
b) Ist α ∈ Q⇒ α ist algebraisch (:)Beweis: ”⇒“ α = p
q mit q > 0, p, q ∈ Z⇒ α ist Nullstelle von x− pq 2
”:“√
2 ist algebraisch, aber irrational. 2
c) α transzendent⇒ α irrational (:)Beweis: Negation von b.
9.12 SatzC
nach Georg CantorDie Menge aller reellen (oder komplexen) algebraischen Zahlen ist abzahlbar. Je-des Intervall enthalt uberabzahlbar viele transzendente Zahlen.
Beweis: Fur l > 1 sei
Pl :=
{
f ; f : R→ R, f(x) =n∑
k=0
akxk, n ≥ 0, ai ∈ Z, an 6= 0 ∧
n∑
i=1
|ai|+ n < l
}
9.4⇒ Ml := {α ∈ R; ∃f ∈ Pl mit f(α) = 0} ist endlich.
8.5⇒∞⋃
l=1
Ml ist abzahlbar, aber∞⋃
l=1
Ml = Menge der reellen alg. Zahlen.
⇒Menge aller algebraischen Zahlen ist abzahlbar.8.5: Jedes Intervall I ⊂ R ist uberabzahlbar. Da aber nur abzahlbar viele algebrai-sche Zahlen darin sind, muss es uberabzahlbar viele transzendente Zahlen daringeben.
Inklusion: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂{algebraische Zahlen}⊂ R algebraische Zahlen sindUnterkorper von R, {transzendente Zahlen}⊂{irrationale Zahlen}⊂ R.Beispiele transzendenter Zahlen: e, π.
39
Teil II
Folgen und Reihen10 Folgen
10.1 DefinitionC
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : N→ R, n 7→ a(n) = an. Schreib-weise: (an)n∈N oder (an)n≥1 oder a1, a2, . . ..an ∈ R heißt der n-te Term oder das n-te Glied der Folge. Gelegentlich startet dieIndizierung mit n0 ∈ Z z. B. (an)n≥0.
Man unterscheide sorfgaltig zwischen der Folge (an)n≥1 und der Menge der Fol-genglieder {an, n ∈ N}.z. B. Die konstante Folge an = 1 ∀n ∈ N hat als Menge von Folgengliedern {1}.z. B. an = (−1)n, bn = (−1)n+1 (n ∈ N).⇒ (an)n≥1 6= (bn)n≥1; sogar an 6= bn ∀n ∈ N; aber {an;n ≥ 1} = {−1; 1} ={bn;n ≥ 1}!
10.2 Beispiele
a) an = 0 ∀n ∈ N: konstante Folge
b) an = 1n ∀n ∈ N: Folge der Stammbruche
c) an = (−1)n n ≥ 1
d) an = n√n n ≥ 1
e)(1 + 1
n
)nn ≥ 1
f) an = xn (n ≥ 1;x ∈ R fest)
g) a1 := 1, a2 := 1; an+1 := an+an−1 fur n > 2: Folge der Fibonacci-Zahlen,hier: rekursive Definition.
10.3 Definition: KonvergenzC
a) (an)n≥1 konvergiert gegen a ∈ R:⇔ Zu jedem ε > 0 gibt es n0 ∈ N =n0(ε), so dass |an − a| < ε⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N = n0(ε) ∀n ≥ n0 |an − a| < ε.Schreibweise: lim
n→∞an = a oder an
n→∞−−−→ a siehe Satz 10.8
b) (an) konvergiert :⇔ Die Folge (an)n≥1 konvergiert ⇔ Es gibt a ∈ R, sodass an
n→∞−−−→ a
c) (an) divergiert⇔ Die Folge (an)n≥1 ist divergent⇔ (an) konvergiert nicht.
40
10.4 Definition: Umgebung
Sei a ∈ R, ε > 0, U ⊂ R. Das Intervall ]a−ε; a+ε[ heißt eine offene ε-Umgebungvon a. U heißt Umgebung von a, falls es ein ε > 0 gibt, so dass ]a− ε; a+ ε[⊂ UU(a) := {U ⊂ R;U Umgebung von a}.
10.5 Folgerung
ann→∞−−−→ a⇔ ∀U ∈ U(a) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ U .
⇔ Jede Umgebung U von a enthalt die Folgenglieder an fur alle n ∈ N mithochstens endlich vielen Ausnahmen.
Beweis: 10.3: ann→∞−−−→ a⇔ ∀ε > 0 ∃n0(ε) ∈ N ∀an ≥ a0 (an − a) < ε
⇔ ∀U ∈ U(a) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 a(n) ∈ U
Exkurs: Komplexe Zahlen: C = R2 = {(a, b); a, b ∈ R}⇒ {(a, 0); a ∈ R} ist ein zu R isomorpher Unterkorper von C.Es gilt: i := (0, 1) und C 3 z = a+ ib a, b ∈ RFur jedes z ∈ C heißt z := a− ib die zu z konjugiert komplexe Zahl.Rechenregel: (z · w) = z · w fur alle z, w ∈ Cz · z = (a+ ib)(a− ib) =
(a2 + b2, 0
)
Definition: |z| :=√z · z =
√a2 + b2 (geometrischer Abstand des Punktes z
vom Nullpunkt)Bemerkung: Fur z ∈ R ist |z| gleich dem in R erklarten Betrag.
Rechenregel: |z · w| = |z| · |w|Beweis: |z · w| =
√z · w · z · w =
√z · z ·
√w · w = |z| · |w| 2
Ferner gilt fur den Betrag in C die Dreiecksungleichung: |z + w| ≤ |z|+ |w|Beweis siehe Aufgabe 21.
Sei a ∈ C, r ∈ R>0: Dann heißt{z ∈ C; |z − a| < r} = Kr(a) die offene Kreisscheibe um a mit Radius r und{z ∈ C; |z − a| ≤ r} = Kr(a) die abgeschlossene Kreisscheibe um a mit Radiusr.
Im Falle C besagt die Ungleichung aus 10.3 |an − a| < ε: an liegt in der offenenKreisscheibe um a mit Radius ε.Umgebungsbegriff: Kε(a) = {z ∈ C; |z − a| < ε} heißt offene ε-Umgebung uma,U ⊂ C heißt Umgebung von a, falls ∃ε > 0 mit Kε(a) ⊂ UU(a) := {U ⊂ C;U Umgebung von a}.Damit gilt auch in C: an
n→∞−−−→ a⇔ ∀U ∈ U(a) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ U .
10.6 Definition: NullfolgeC
(an)n∈N heißt Nullfolge :⇔ (an)n∈N
n→∞−−−→ 0
41
10.7 FolgerungC
ann→∞−−−→ a⇔ (an − a)n∈N ist Nullfolge.
10.8 SatzC
Gilt ann→∞−−−→ a ∧ an n→∞−−−→ b⇒ a = b, d.h. der Limes einer konvergenten Folge
ist eindeutig bestimmt.
Beweis: Annahme: a 6= b. Wir wahlen speziell ε := 12 |a− b| (> 0!)
10.3⇒ Zu diesem ε ∃n1 ∈ N mit |an − a| < ε ∀n ≥ n1 undzu diesem ε ∃n2 ∈ N mit |bn − b| < ε ∀n ≥ n2
Setze n0 := max (n1, n2)⇒ ∀n ≥ n0 |a − b| = |a − an + an − b| ≤ |a− an|
︸ ︷︷ ︸
≤ε
+ |an − b|︸ ︷︷ ︸
≤ε
< 2ε = |a − b|
Widerspruch!⇒ Behauptung 2
10.9 Beispiele
a) an = a fur alle n ∈ N.⇒ limn→∞
an = a
b) an = 1n ⇒ lim
n→∞an = 0. Das folgt aus 6.3: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0
1n = | 1n − 0| < ε
c) an = (−1)n⇒ (an)n≥1 divergiert, denn:2 = |an − an+1| = |an − a+ a− an+1| ≤ |an − a|
︸ ︷︷ ︸
≤ε
+ |a− an+1|︸ ︷︷ ︸
≤ε
< 2ε fur
alle ε > 0. Widerspruch! (Wahle ε ≤ 1)
d) (an)n∈N konvergiert⇒ (an+1 − an)n≥1 ist Nullfolge. :
Beweis:
”⇒“ ann→∞−−−→ a. Sei ε > 0 ⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 |an − a| < ε
2 ⇒|an − an+1| ≤ |an − a|+ |a− an+1| < ε 2
”:“ Man setze an := logn ⇒ an+1 − an = log(n + 1) − log(n) =log(n+1n
)= log
(1 + 1
n
) n→∞−−−→ 0 2
e) Sei r ∈ Q, r > 0. Dann gilt: limn→∞
1nr = 0 Gilt auch fur r ∈ R, r > 0
Beweis: Sei ε > 0 1nr < ε⇔ 1
n < ε1r ⇒ Behauptung nach b): n−r < ε
f) limn→∞
n√n = 1
42
Beweis: ∀n ≥ 2 n = (1 + ( n√n− 1))
n ≥(n2
)( n√n− 1)
2
= n(n−1)2 ( n
√n− 1)
2
⇒ 0 ≤ n√n− 1 ≤
√2
n−1 fur n ≥ 2
Nach e) gibt es dazu ε > 0 und n0 ∈ N mit n
√2
n−1 < ε ∀n ≥ n0.
Damit gilt: | n√n− 1| < ε ∀n ≥ n0 2
10.10 Definition: Beschranktheit
Eine Folge (an)n∈N heißt nach oben (bzw. unten) beschrankt genau dann, wenn{an;n ∈ N} nach oben (bzw. unten) beschrankt ist, d.h. genau dann, wenn gilt:∃k > 0 ∀n ≥ 1 an ≥(bzw. ≤)k, bzw. |an| ≤ k.
Bemerkung: Auch uber C ist die Definition:(an)n∈N beschrankt⇔ ∃k > 0 ∀n ≥ 1 |an| ≤ k sinnvoll.
10.11 SatzC
Jede konvergente Folge ist beschrankt. Aber: Nicht jede beschrankte Folge ist kon-vergent.
Beweis: Es gelte limn→∞
an = a⇒ Zu ε = 1 existiert n0 ∈ N, so dass ∀n ≥ n0
|an − a| < ε = 1⇒ ∀n ≥ n0 |an| ≤ |an − a|+ |a| < |a|+ 1K := max (|a1| , |a2| , . . . , |an0−1| , |a|+ 1)⇒ ∀n ≥ 1 |an| ≤ K 2
”:“: an = (−1)n ist beschrankt aber divergent. Widerspruch! 2
10.12 Satz
Sei x ∈ R. Dann gilt:
a) |x| < 1⇒ limn→∞
xn = 0
b) |x| = 1, x = 1⇒ limn→∞
xn = 1
c) |x| = 1, x = −1⇒ @ limn→∞
xn⇒ Die Folge divergiert.
d) |x| > 1⇒ limn→∞
xn =∞⇒ Folge ist unbeschrankt und somit divergent.
43
Beweis:
a) Klar nach 6.4
b) klar
c) klar mit 10.9
d) |xn| = |x|n Behauptung folgt nach 6.4 a).
10.13 Rechenregeln fur konvergente Folgen
Es seien (an), (bn) konvergente Folgen, limn→∞
an = a, limn→∞
bn = b, λ ∈ R. Danngilt:
a) (λan)n≥1 konvergiert mit limn→∞
λan = λ · limn→∞
an = λa
b) (an + bn)n≥1 konvergiert mit limn→∞
(an + bn) = limn→∞
an+ limn→∞
bn = a+ b
c) (an · bn)n≥1 konvergiert mit limn→∞
(an · bn) = limn→∞
an · limn→∞
bn = ab
d) Ist a 6= 0 ⇒ ∃N ∈ N mit an 6= 0 ∀n ≥ N und es gilt fur(
1an
)
n≥1:
limn→∞
1an
= 1a
e) Unter den Voraussetzungen von d gilt auch limn→∞
bnan
= ba
Beweis:
a) Spezialfall von c) mit bn = λ fur alle n ∈ N.
b) Sei ε > 0⇒ ∃n1 ∈ N ∀n ≥ n1 |an − a| < ε2
∃n2 ∈ N ∀n ≥ n2 |bn − b| < ε2
}
Setze dann:
n0 := max{n1, n2}⇒ ∀n ≥ n0 |(an + bn)− (a+ b)| ≤ |an − a|+ |bn − b| < ε
c) |anbn − ab| = |anbn − anbn + anbn − ab| ≤ |an − a| |bn|+ |a| |bn − b|Sei k > 0 Schranke von (|bn|)n∈N, ε > 0.⇒ ∃n3, n4 ∈ N ∀n ≥ n3 |an − a| ≤ 1
2εk
∧∀n ≥ n4 |bn − b| ≤ 12
ε|a|+1
n5 := max (n3, n4)⇒ ∀n ≥ n5 |anbn − ab| ≤ 12εk · k + a1
2ε
|a|+1 < ε
d) Sei a 6= 0, δ := 12 |a| (> 0). Setze speziell ε := δ ⇒ ∃N ∈ N ∀n ≥ N
|a0 − a| < δ = 12 |a|
⇒ ∀n ≥ N |an| = |a+ (an − a)| ≥ |a| − |an − a| > |a| − δ = 12 |a|
⇒ ∀n ≥ N∣∣∣
1an− 1
a
∣∣∣ =
|an−a||an||a| = 1
12|a2| |an − a|
Sei ε > 0⇒ ∃n7 ∈ N ∀n ≥ n7 |an − a| < ε12 |a|2
}
∀n ≥ max (N,n7)
∣∣∣
1an− 1
a
∣∣∣ < ε 2
44
e) folgt aus c) und d).
10.14 Beispiele fur die Anwendung der Rechenregeln
a) cn := n+2n ⇒ cn = 1 + 2 · 1
n ⇒ cnn→∞−−−→ 1
b) cn := 4n2−10n+362n2+n+10
=4− 10
n+ 36
n2
2+ 1n
+ 10n2
n→∞−−−→ 2
c) Fur jedes c > 0 gilt: limn→∞
n√c = 1
Beweis: Sei zunachst c ≥ 1⇒ c = (1 + ( n√c− 1))
n
1.103.8≥ 1+n ( n
√c− 1)
⇒ 0 ≤ n√c− 1 ≤ c−1
n⇒ Behauptung fur c ≥ 1.
Sei nun 0 < c < 1⇒ 1c > 1 und daher lim
n→∞n
√1c = lim
n→∞1n√c
︸︷︷︸
6=0
= 1
10.13a)⇒ limn→∞
n√c = 1 2
10.15 Satz
Seien (an), (bn) konvergente Folgen in R mit an ≤ bn ∀n ≥ 1. Dann gilt:limn→∞
an ≤ limn→∞
bn.Warnung: Auch bei an < bn gilt nur lim
n→∞an ≤ lim
n→∞bn.
Beweis: Sei a := limn→∞
an > b := limn→∞
bn. Sei ε := a−b2 (> 0)
⇒ ∃n1 ∈ N ∀n ≥ n1 |an − a| < ε∃n2 ∈ N ∀n ≥ n2 |bn − b| < ε⇒ n ≥ max (n1, n2) a − ε < an ≤ bn < b + ε⇒ a− ε < b + ε⇒ a− b < 2ε⇒ a− b < a− b E Widerspruch!
10.16 Korollar
(an)n∈N sei konvergent, an ∈ [α;β] ∀n ∈ N⇒ limn→∞
an ∈ [α;β].
Beweis: 10.15 mit konstanten Folgen α, β 2
45
10.17 Einschließungskriterium
Es seien (an),(bn),(cn) reelle Folgen mit folgenden Eigenschaften: (an),(bn) seienkonvergent mit lim
n→∞(an) = lim
n→∞(bn) =: α,
an ≤ cn ≤ bn⇒ limn→∞
cn = α
Beweis: Sei ε > 0⇒ ∃n1 ∈ N ∀n ≥ n1 an ∈]α− ε;α+ ε[ ∧∃n2 ∈ N ∀n ≥ n2
bn ∈]α− ε;α+ ε[⇒ ∀n ≥ max (n1, n2) α− ε < an ≤ cn ≤ bn < α+ ε, d.h. ∀n ≥ max (n1, n2)|cn − α| < ε.
10.18 Definition
Sei (an)n∈N eine Folge reeller Zahlen. Dann heißt
a) (an) (monoton){
wachsendfallend
, fallsan ≤ an+1
an ≥ an+1∀n ∈ N
b) (an) streng (monoton){
wachsendfallend
, fallsan < an+1
an > an+1∀n ∈ N
c) (an) monoton, falls (an) wachsend oder fallend.
d) (an) streng monoton, falls (an) streng wachsend oder streng fallend.
10.19 Folgerung
Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschrankt ist; und zwargilt:
a) Ist (an) wachsend und (nach oben) beschrankt, so istlimn→∞
an = sup{an;n ∈ N}
b) Ist (an) fallend und (nach unten) beschrankt, so istlimn→∞
an = inf{an;n ∈ N}.
Beweis: Ist (an) konvergent, so ist (an) beschrankt nach 10.11. Zum Beweis derUmkehrung zeige:
a) α := sup{an;n ∈ N} existiert nach (S). Wir zeigen: ann→∞−−−→ α.
Dazu sei ε > 0 ⇒ α − ε ist keine obere Schranke von {an;n ∈ N}, d.h.∃n0 ∈ N mit an0 > α− ε.(an) wachsend⇒ ∀n > n0 α− ε < an0 ≤ an ≤ α+ ε 2.
b) (−bn) ist wachsend und konvergiert nach a gegen sup {−bn;n ∈ N} =inf {bn;n ∈ N}⇒ nach 10.13a mit λ = −1: lim
n→∞bn = inf {bn;n ∈ N} 2
46
10.20 Beispiel
Die Eulersche Zahl e. Seien n ≥ 1, an :=(1 + 1
n
)n, bn :=(1 + 1
n
)n+1.Dann gilt:
a) (an) ist wachsend,
b) (bn) ist fallend,
c) an < bn ∀n ∈ N,
d) limn→∞
an = limn→∞
bn =: e.
Plausibilitatsprufung: a2 = 214 < e < 33
8 = b2
Beweis:
a) Fur n > 1 gilt:
anbn−1
=
(n+ 1
n
)n( n
n− 1
)−n=
(n2 − 1
n2
)n
=
(
1− 1
n2
)n 3.8≥ 1− 1
n
⇒ an ≥(
1− 1
n
)
bn−1 =
(n− 1
n
)(n
n− 1
)n
=
(n
n− 1
)n−1
=
(
1 +1
n− 1
)n−1
= an−1 2
b) Fur n > 1 gilt:
bn−1
an=
(n2
n2 − 1
)n
=
(
1 +1
n2 − 1
)n
>
(
1 +1
n2
) 3.8≥ 1 +
1
n
⇒ bn−1 >
(
1 +1
n
)
· an = bn 2
c) klar
d) 10.19 liefert: (an) und (bn) konvergierenund wegen bn =
(1 + 1
n
)an folgt aus 10.13c:
limn→∞
bn = limn→∞
(1 + 1
n
)· limn→∞
an = 1 · limn→∞
an =: e 2.an < e < bn wegen Monotonie.Genauer:
e = 2, 718281828459045 . . .
47
10.21 Das Wurzelzeichen
Sei a > 0 fest gegeben, a0 > 0 beliebig gewahlt, an+1 := 12
(
an + aan
)
fur n ≥ 0
⇒ an > 0 fur alle n ∈ N. Ziel: ann→∞−−−→ √a.
a) an ≥√a ∀n ≥ 1
Beweis: an+1 −√a = 1
2
(
an + aan
)
−√a =(an−
√a)
2
2an≥ 0 ∀n ≥ 0
b) an+1 ≤ an ∀n ≥ 1
Beweis: an − an+1 = an − 12
(
an + aan
)
= 12an
(a2n − a
)≥ 0 ∀n ≥ 1
nach a).
Ist auch a0 <√a, so ist (an)n≥0 fallend. Auf jeden Fall gilt wegen a und b: (an)
ist fallend fur n ≥ 1 und nach unten beschrankt durch√a.
⇒ (an) konvergiert. Sei α := limn→∞
an⇒ α ≥ √a > 0
an+1 = 12
(
an + aan
)
Lasse auf beiden Seiten n→∞ gehen:
⇒ α = 12
(α+ a
α
)⇒ α2 = a und wegen α > 0 bleibt nur α =
√a.
Die Folge ist fur genaue Berechnung von√a gut geeignet:
an+1 −√a =
(an −√a)
2
2an(3)
Angenommen: an approximiert√a schon auf k Dezimalstellen genau,
d.h. |an −√a| < 10−k. Sei etwa a ≥ 1. Dann folgt nach a) und (3):
an+1 −√a ≥ 0, an+1 −
√a < 1
210−2k
Bei jedem Rechenschritt verdoppelt sich also die Anzahl der ersten richtigen De-zimalstellen.
10.22 Definition
Sei an ∈ R ∀n ∈ N. Dann schreibe:(an)n∈N divergiert gegen ±∞ :⇔ (an)n∈N konvergiert (im uneigentlichen Sinne)gegen±∞⇔ ∀k > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 (an) > k bzw. ∀k < 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0
an < k.
10.23 Beispiele
a) Sei r ∈ Q, r > 0⇒ limn→∞
nr =∞
48
Beweis: Sei k > 0: nr > k ⇒ n > k1r . Rest klar.
b) an = −2n ann→∞−−−→ −∞
c) an = (−1)n · n Die Folge divergiert weder gegen∞ noch gegen −∞.
Bemerkung:
a) Jede gegen ±∞ divergente Folge ist unbeschrankt, also nicht im ublichenSinne konvergent.
b) ∞ bzw. −∞ sind Symbole, die den Sachverhalt der Definition pragnantabkurzen. (/∈ R)
10.24 Satz
a) Sei an ∈ R, an 6= 0∀n ∈ N. Gilt limn→∞
an =∞ oder limn→∞
an = −∞, so gilt
limn→∞
1an
= 0.
b) Sei an > 0 (bzw. an < 0) ∀n ∈ N. Dann gilt ”⇔“ in a).
Beweis:
a) Sei ε > 0, k := 1ε ⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an > k (bzw. an < −k)⇒ 1
an<
1k = ε
(
bzw. 1an> − 1
k = −ε)
2
b) ”⇐“ siehe a)
”⇒“ Sei an > 0 (bzw. an < 0) ∀n ∈ N, K > 0, ε := 1k ⇒ ∃n0 ∈ N
∀n ≥ n0 0 < an < ε = 1k
(bzw. − ε = − 1
k < an < 0)
⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n01an
> k(
bzw. 1an< −k
)
⇔ limn→∞
1an
= ∞bzw. −∞ 2
10.25 Bemerkung
Es gelten folgende Rechenregeln:
a) ann→∞−−−→∞, λ > 0 (bzw. λ < 0)⇒ λan
n→∞−−−→∞ (bzw. −∞)
b) an ≥ α > 0, bnn→∞−−−→ ∞ (bzw. −∞) ⇒ anbn
n→∞−−−→ ∞ (bzw. −∞)analog fur an ≤ α < 0
c) an nach unten beschrankt, bnn→∞−−−→ ∞ (bzw. −∞)⇒ an + bn
n→∞−−−→ ∞(bzw. −∞) Fur an nach oben beschrankt analog.
49
11 Das Cauchy-Kriteriumund der Satz von Bolzano/Weierstraß
benannt nach Augustin Louis Baron de Cauchy (1789–1857)
Vorbemerkung: Sei (an)n∈N konvergent in R bzw. C.⇒ lim
n→∞an = a⇔ ∀ε > 0 ∃n0(ε) ∈ N ∀n ≥ n0(ε) |an − a| < ε
Sei nun ε > 0 und seien m,n ≥ n0
(ε2
)⇒ ∀m,n ≥ n0
(ε2
)|am − an| ≤
|am − a|︸ ︷︷ ︸
≤ ε2
+ |a− an|︸ ︷︷ ︸
≤ ε2
< ε
11.1 Definition: Cauchy-FolgeC
Sei (an)n∈N eine Folge in R (bzw. in C). Dann heißt (an)n∈N Cauchy-Folge (=:Cf)genau dann, wenn gilt: ∀ε > 0 ∃n1(ε) ∀m,n ≥ n1(ε) |am − an| < ε
11.2 SatzC
Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Beweis: siehe Vorbemerkung. Setze n1(ε) := n0
(ε2
)2
D.h.: Notwendig fur die Konvergenz einer Folge ist, dass sie eine Cauchy-Folgeist. Umkehrrichtung bei 11.10: Jede Cauchy-Folge ist konvergent.
11.3 DefinitionC
Sei (an)n≥1 eine streng wachsende Folge naturlicher Zahlen. Dann heißt (ank)k≥1
eine Teilfolge der Folge (an)n≥1
Bemerkung: (an) ist Abbildung N→ R (bzw. C), n 7→ an,(nk) ist Abbildung N→ N, k 7→ nk,(ank
) ist Verkettung von (an) und (nk).
Beispiele: (ak+10)k∈N, (a2k)k∈N, (a2k+1)k≥0, (a2k)k∈N etc. sind Teilfolgen von(an)n∈N.
11.4 BemerkungC
Konvergiert (an)n∈N gegen a, so konvergiert jede Teilfolge gegen a. Umkehrungfalsch.
50
Beweis: Gelte limn→∞
an = a und sei (ank)k∈N
Teilfolge. Dann gilt:
∀ε > 0 ∃n0(ε) |an − a| < ε nk ≥ k ∀n ∈ N ⇒ ∀ε > 0 ∃n0(ε) ∀k ≥ n0(ε)|ank− a| < ε 2
11.5 DefinitionC
Sei (an)n∈N eine Folge in R (bzw. in C), b ∈ R (bzw. C). Dann gilt:b heißt Haufungswert der Folge (an)n∈N genau dann, wenn gilt:∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃k ≥ N |ak − b| < ε.
Bemerkung: Eine Folge kann durchaus mehrere verschiedene Haufungswertehaben, z. B. an := (−1)n ∀n ∈ N.
11.6 FolgerungC
Konvergiert (an)n∈N gegen a, so ist a Haufungswert. Umkehrung falsch.
11.7 SatzC
Sei (an)n∈N eine Folge in R (bzw. C) und b ∈ R (bzw. C). Dann gilt:b ist Haufungswert von (an)n∈N⇔ ∃ Teilfolge (ank
)k∈Nmit lim
k→∞ank
= b
Beweis:
”⇐“ klar mit 11.6
“⇒“ Wir wahlen induktiv eine streng monoton wachsende Folge naturlicher Zah-len.Sei n1 := 1, k ≥ 1 und nk bereits gewahlt, so dass n1 < n2 < . . . < nk.Dann existiert nk+1 > nk mit
∣∣ank+1
− b∣∣ < 1
k+1 (Begrundung: Wahle in11.5 ε := 1
k+1 , N := nk + 1)Dann konvergiert diese Folge der ank
gegen b.Begrundung: Sei ε > 0⇒ ∃k0 ∈ N mit 1
k0< ε
⇒ ∀k ≥ max (k0; 2) |ank− b| < 1
k ≤ 1k0< ε
⇒ limk→∞
ank= b 2
11.8 Satz
Jede Folge reeller Zahlen hat eine monotone Teilfolge.
Beweis: Blatt 8 Ubungsaufgabe 30.
51
11.9 Satz von Bolzano/WeierstraßC
benannt nach Bernhard Bolzano (1781–1848) und Karl Weierstraß (1815–1897)
a) Jede beschrankte Folge hat eine konvergente Teilfolge
b) Jede beschrankte Folge hat mindestens einen Haufungswert
Beweis:
a) 1.) reeller Fall: Nach 11.8 hat (an) eine monotone Teilfolge (ank), die
nach Voraussetzung beschrankt ist und somit nach 10.19 auch konver-gent.
2.) Nach der Konvergenz-Definition gilt im Falle C: znn→∞−−−→ z(∈ C)
⇔ Re znn→∞−−−→ Re z ∧ Im zn
n→∞−−−→ Im z
Sei (an)n∈N ∈ C |an| ≤ K (n ∈ N)⇒ |Re an| ≤ K (n ∈ N)a1⇒ ∃
Teilfolge (nk) in N und α ∈ R mit Re ank
k→∞−−−→ α.Die Folge (Im ank
) ist durch K beschrankt, hat also nach a1 eine kon-
vergente Teilfolge(
Im ankj
)
j≥1, die gegen β ∈ R konvergiert. Nach
Vorbemerkung folgt:(
ankj
)j→∞−−−→ α+ β 2
b) Folgt aus 11.7 u.a. 2
11.10 Hauptsatz uber konvergente FolgenC
Sei (an) eine Folge in R (bzw. in C). Dann ist aquivalent:
a) (an) konvergiert
b) (an) ist Cauchy-Folge, d. h. es gilt das Cauchy-Kriterium:∀ε > 0 ∃n1(ε) ∀m,n ≥ n1(ε) |am − an| < ε.
c) (an) ist beschrankt und hat genau einen Haufungswert.
Beweis:
a)⇒b) siehe in 11.2
b)⇒c) Sei (an) Cauchy-Folge. Wir zeigen:
a) (an) ist beschrankt.
52
Begrundung: Zu ε := 1 ∃n1 ∈ N ∀m ≥ n1
|am| ≤ |am − an1 |︸ ︷︷ ︸
<1
+ |an1 | < 1 + |an1 |
K := max (|a1| , . . . , |an1−1| , 1 + |an1 |)⇒ ∀n ≥ 1 |an| ≤ K⇒ (an) beschrankt.⇒ (an) hat mindestens einen Haufungswert.
b) (an) hat genau einen Haufungswert.Annahme: (an) hat 2 Haufungswerte a, b mit a 6= b; ε := a−b
3 .⇒ ∃n1 ∈ N ∀m,n ≥ n1 |am − an| < a−b
3
a ist Haufungswert⇒ ∃k ≥ n1 mit |ak − a| < εb ist Haufungswert⇒ ∃l ≥ n1 mit |al − a| < ε
}
⇒ |a− b|
≤ |a− ak|︸ ︷︷ ︸
<ε
+ |ak − al|︸ ︷︷ ︸
<ε
+ |al − b|︸ ︷︷ ︸
<ε
< 3ε = |a−b|3 · 3 = |a− b| E
⇒ (an) hat genau einen Haufungspunkt.
c)⇒a) Sei a der Haufungswert von (an)n∈N. Wir zeigen: ann→∞−−−→ a
Begrundung: Sei zunachst an ∈ R (n ∈ N).Annahme: Die Behauptung sei falsch.a Haufungswert⇒ ∃ ε > 0 dd. |an − a| ≥ ε fur unendlich viele n, etwa furn = nk (k = 1, 2, . . .), n1 < n2 < . . .Nach Voraussetzung ist (an) beschrankt, d.h. ∃α, β ∈ R ∀n ∈ N an ∈[α;β]. Ohne Einschrankung: α < a− ε < a+ ε < β⇒ In [α; a− ε] oder in [a+ ε;β] liegen Folgenglieder ank
fur unendlichviele k.Aus 11.9 und 11.7 und 10.16 folgt: In [α; a− ε] oder [a+ ε;β] liegt ein wei-terer Haufungswert von (an) E
⇒ an konvergiert gegen aSei nun an ∈ C. Dann sind (Re an) und (Im an) laut Voraussetzung be-schrankt und beide haben je genau einen Haufungswert. Nach dem schonbewiesenen folgt:(Re an) und (Im an) konvergieren:Re an
n→∞−−−→ a Im ann→∞−−−→ b
⇒ ann→∞−−−→ a+ ib 2
11.11 Definition: Limes superior, Limes inferiorR
Sei an eine Folge in R, α, β ∈ R.
a) Dann heißt β Limes superior von an, falls gilt:
1.) ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N an < β + ε
2.) ∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N an > β − ε
53
Schreibweise: β = lim supn→∞
an = limn→∞
an
b) Dann heißt α Limes inferior von an, falls gilt:
1.) ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N an > α− ε2.) ∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N an < α+ ε
Schreibweise: α = lim infn→∞
an = limn→∞an
Beispiel:
a) an := (−1)n + 1n ⇒ lim sup
n→∞an = 1, lim inf
n→∞an = −1
b) bn := n · ((−1)n − 1)⇒ lim supn→∞
bn = 0, lim infn→∞
bn existiert nicht.
11.12 FolgerungenR
a) lim infn→∞
an und lim supn→∞
an sind im Falle ihrer Existenz eindeutig bestimmt.
b) Falls lim infn→∞
an existiert, ist die Folge (an) nach unten beschrankt,lim infn→∞
an ist kleinster Haufungswert.
Falls lim supn→∞
an existiert, ist die Folge (an) nach oben beschrankt,
lim supn→∞
an ist großter Haufungswert.
c) lim infn→∞
an ≤ lim supn→∞
an, falls beide existieren.
11.13 SatzR
Sei (an) Folge in R. Dann gilt:
a) lim supn→∞
an existiert⇔ (an) ist nach oben beschrankt und
(cn)2 := sup {ak; k ≥ n} ist nach unten beschrankt.
Im Falle der Existenz gilt: lim supn→∞
an = limn→∞
cn = limn→∞
sup {ak; k ≥ n}
b) lim infn→∞
an existiert⇔ (an) ist nach unten beschrankt und
(dn)3 := inf {ak; k ≥ n} ist nach oben beschrankt.
Im Falle der Existenz gilt: lim infn→∞
an = limn→∞
dn = limn→∞
inf {ak; k ≥ n}
c) lim supn→∞
an = − lim supn→∞
(−an), falls einer der Ausdrucke existiert.
d) (an) beschrankt⇒ lim infn→∞
an und lim supn→∞
an existieren.
2nach Konstruktion monoton fallend3nach Konstruktion monoton steigend
54
Beweis
a) ”⇒“ Sei β := lim supn→∞
an11.11;ε=1⇒ ∃N ∈ N ∀n ≥ N an ≤ β + 1
K := max {a1, . . . , an−1, β + 1}⇒ ∀n ∈ N an < K ⇒ (an) ist nach oben beschrankt.Sei ε > 0. Dann existiert zu jedem p ∈ N ein K ≥ p mit ak ≥ β − ε(siehe Definition 11.11 a)⇒ ∀p ∈ N cp := sup {ak; k ≥ p} < β − ε ⇒ cn ist nach untenbeschrankt.
”⇐“ (cn) ist sinnvoll lt. Voraussetzung, monoton fallend und nach untenbeschrankt.⇒ ∃γ := lim
n→∞cn
Behauptung: lim supn→∞
an = γ
Begrundung: Sei ε > 0, cn ↓ γ, d.h. (cn) ist monoton fallend ge-gen γ.⇒1.) ∃N ∈ N ∀n ≥ N cn < γ + ε⇒ ∀n ≥ N an ≤ γ + ε⇒ Bedingung b1 aus Definition 11.11.
2.) Sei N ∈ N⇒ cN > γ − ε (sogar ∀n ∈ N cn > γ)⇒ ∃n ∈ N n > N an > γ − ε⇒ Bedingung b2 aus Definition 11.11.
⇒ γ = lim supn→∞
an 2
b) folgt aus a) und c).
c) leicht aufgrund der Definition.
d) folgt aus a) und b).
11.14 SatzC
Sei (an) eine Folge in R. Dann gilt:(an) konvergiert⇔ lim inf
n→∞an und lim sup
n→∞an existieren und
lim infn→∞
an = lim supn→∞
an = limn→∞
an
Beweis: (an) konvergiert 11.10⇔ (an) ist beschrankt und hat genau einen Hau-
fungswert⇔
lim infn→∞
an und lim supn→∞
an existieren
lim infn→∞
an = lim supn→∞
an2
55
12 Unendliche Reihen
12.1 Definition: Unendliche ReihenC
Sei an ∈ R, (bzw. C), die Folge (sn)n≥1, sn :=n∑
k=1
ak heißt unendliche Reihe.
Die Summe sn =n∑
k=1
ak heißt n-te Teilsumme von∞∑
k=1
ak (Partialsumme).
Die Reihe∞∑
k=1
ak heißt konvergent, falls (sn)n≥1 konvergiert. Konvergiert (sn) ge-
gen α ∈ R (bzw. in C), so heißt α der Wert der Summe, man schreibt:∞∑
k=1
ak = α.
Oft kommen andere Indizierungen vor, z. B.∞∑
k=0
ak,∞∑
k=2
ak etc.
Das Symbol∞∑
k=1
ak hat demnach doppelte Bedeutung:
a)∞∑
k=1
ak ist eine Abkurzung fur (sn)n≥1
b) Konvergiert letztere Folge, so bezeichnet∞∑
n=1an den Limes der Folge der
Teilsummen.
12.2 Beispiel
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)= 1
Beweis:
sn =n∑
k=1
1
k(k + 1)=
n∑
k=1
(1
k− 1
k + 1
)
=
(
1− 1
2
)
+
(1
2− 1
3
)
+ . . .+
(1
n− 1
n+ 1
)
= 1− 1
n+ 1
n→∞−−−→ 1
12.3 RechenregelnC
Seien∞∑
n=1an,
∞∑
n=1bn konvergent, λ, µ ∈ R (bzw. C). Dann gilt:
a)∞∑
n=1(λan + µbn) konvergiert und
∞∑
n=1(λan + µbn) = λ
∞∑
n=1an + µ
∞∑
n=1bn
56
b) Fur jedes N ≥ 1 konvergiert∞∑
k=N
ak und es gilt:∞∑
k=1
ak =N−1∑
k=1
ak +∞∑
k=N
ak
c) Sei (nk) eine streng wachsende Folge in N und c1 :=n1−1∑
j=1aj ;
ck+1 :=nk+1−1∑
j=nk
aj mit k ≥ 1.
Dann konvergiert∞∑
k=1
ck und es gilt:∞∑
k=1
ck =∞∑
n=1an
Beweis:
a) sn :=n∑
j=1aj , tn :=
n∑
j=1bj , sn
n→∞−−−→∞∑
k=1
ak, tnn→∞−−−→
∞∑
k=1
bk. Nach 10.13
gilt:
λsn + µtnn→∞−−−→ λ
∞∑
k=1
ak + µ∞∑
k=1
bk
λsn +µtn =n∑
k=1
(λak + µbk) i.e. die n-te Teilsumme von∞∑
n=1(λan + µbn)
b)n∑
k=N
ak =n∑
k=1
ak −N−1∑
k=1
ak
︸ ︷︷ ︸
konstant in Abh. von n
10.13n→∞−−−→
∞∑
k=1
ak −N−1∑
k=1
ak =∞∑
k=N
ak
c) ∀k ≥ 1k∑
j=1cj =
nk−1∑
j=1aj = snk−1
k→∞−−−→∞∑
n=1an 2
12.4 SatzR
Sei an ≥ 0 (n ∈ N). Dann gilt:∞∑
n=1an konvergiert ⇔ (sn) beschrankt. Im Falle der Konvergenz gilt:
∞∑
k=1
ak =
sup {sn}.
Beweis:
”⇒“∞∑
n=1an konvergiert 10.11⇒ (sn) beschrankt.
”⇐“ an ≥ 0 (n ∈ N)⇒ (sn)n∈N ist monoton wachsend. Ist also (sn) beschrankt,
so konvergiert (sn) nach 10.19.⇒∞∑
k=1
ak = sup {sn} (n ∈ N) 2
12.5 Beispiel∑∞
n=01n!
n→∞−−−→ e.
57
Beweis: Fur n ≥ 2 ist
1
n!≤ 1
n(n− 1)=
1
n− 1− 1
n⇒ ∀n ≥ 2
sn :=n∑
k=0
1
k!= 1 + 1 +
n∑
k=2
1
k!≤ 2 +
n∑
k=2
(1
k − 1− 1
k
)
= 3− 1
n< 3
⇒ (sn) ist beschrankt, monoton wachsend⇒ (sn) konvergiert.
an :=
(
1 +1
n
)nn→∞−−−→ e, da monoton wachsend und
an =n∑
k=0
(n
k
)1
nk= 1 + 1 +
n∑
k=2
1
k!
(n
k
)1
nk=
1
k!
n(n− 1) · . . . · (n− k + 1)
nk︸ ︷︷ ︸
0<...<1
<1
k!
10.15⇒ ann→∞−−−→ e
⇒ e = limn→∞
an ≤ limn→∞
sn =∞∑
k=0
1
k!
Umgekehrt: Sei ε > 0, N ∈ N, N ”fest“, N ≥ 2.Wir betrachten k ∈ N, 2 ≤ k ≤ N . Sei n ≥ N
(n
k
)1
nk=
1
k!1 ·(
1− 1
n
)
· . . . ·(
1− k − 1
n
)
n→∞−−−→ 1
k!
⇒ ∃nk(ε) ∀n ≥ nk(n
k
)1
k!≥ 1
k!− ε 1
N + 1
Setze nun n0(ε) := max (nk(ε); k = 2, . . . , N). Dann gilt:
∀n ≥ n0(ε)
(n
k
)1
nk≥ 1
k!− ε 1
N + 1fur ε ≤ k ≤ N
(richtig fur k = 0 und k = 1)
⇒ ∀n ≥ n0(ε) an =
(1
n+ 1
)n
=n∑
k=0
(n
k
)1
nk
≥N∑
k=0
(n
k
)1
nk≥
N∑
k=0
(1
k!− ε 1
N + 1
)
= sN − ε
∀n ∈ N an ≤ ε⇒ ∀N ≥ 2, ε > 0 e ≥ sN − ε
58
⇒ ∀N ≥ 2 sN ≤ ε+ e ∀ε > 0
⇒ ∀N ≥ 2 sN ≤ inf{e+ ε; ε > 0} = e
⇒ ∀N ≥ 2 sN ≤ e
⇒ limn→∞
sn ≤ e
⇒∞∑
n=0
1
n!= e 2
Fehlerabschatzung:
∀n ∈ N 0 < e−n∑
k=0
1
k!≤(
1 +1
n+ 1
)1
(n+ 1)!<
1
n · n!
Beweis:
e− sn 12.3=
∞∑
k=n+1
1
k!
es gilt hier fur p ≥ 1:
n+p∑
k=n+1
1
k!
=1
(n+ 1)!
(
1 +1
n+ 2+
1
(n+ 2)(n+ 3)+ . . .+
1
(n+ 2) · . . . · (n+ p)
)
≤ 1
(n+ 1)!
(
1 +1
n+ 2+
1
(n+ 2)2+ . . .+
1
(n+ 2)p−1
)
=1
(n+ 1)!
1− 1(n+2)p
1− 1n+2
<1
(n+ 1)!· 1
1− 1n+2
=n+ 2
n+ 1· 1
(n+ 1)!=
(
1 +1
n+ 1
)1
(n+ 1)!
<1
n · n!
12.6 Korollar
e ist irrational.
59
Anmerkung: Charles Hermite (1822–1901) hat 1873 bewiesen, dass e transzen-dent ist.Annahme: e ist rational ⇒ e = m
n , m,n ∈ N. Mit diesem n wird obige Fehler-abschatzung durchgefuhrt. ⇒ 0 < e − sn < 1
n·n! Multiplikation mit n! liefert:0 < n! · e
︸︷︷︸
m(n−1)!∈N
−n! · sn︸ ︷︷ ︸
∈N
< 1n EWiderspruch! 2
12.7 Cauchysches KonvergenzkriteriumC
∞∑
n=1
an konvergiert⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0, p ≥ 0
∣∣∣∣∣
n+p∑
k=n
ak
∣∣∣∣∣< ε
Beweis:∞∑
n=1an konvergiert ⇔ (sn) konvergiert 11.10⇔ (sn) ist Cauchy-Folge
⇔ ∀ε > 0 ∃n1 ∈ N ∀m,n ≥ n1 |sm − sn| < εHier setze man m := n+ p (p ≥ 0) und ersetze n durch n− 1⇒ Bedingung des Satzes 2
12.8 FolgerungC ∞∑
n=1an konvergiert⇒ (an) ist Nullfolge, :
Beweis:
”⇒“ 12.7 mit p = 0 (Alternative: an = sn − sn−1n→∞−−−→ 0)
”:“ siehe 12.9 2
12.9 Beispiel: Harmonische Reihe
Die harmonische Reihe∞∑
n=1
1n divergiert.
Beweis: sn =n∑
k=1
1k s2n − sn =
2n∑
k=1
1k −
n∑
k=1
1k =
n∑
k=1
1n+k ≥
n∑
k=1
12n = 1
2
⇒ mit ε = 12 , p = n ist das Cauchy-Kriterium verletzt, d.h. die Reihe divergiert.
Fur a, b > 0 heißt 12(a+ b) das arithmetische Mittel,√
a · b das geometrische Mittel und2
1a+ 1
b
das harmonische Mittel von a und b.
Die harmonische Reihe heißt harmonisch, weil 1n das harmonische Mittel von 1
n−1
und 1n+1 ist fur alle n ≥ 2.
60
12.10 Beispiel: Geometrische Reihe
Die geometrische Reihe∞∑
n=0zn (z ∈ C) konvergiert⇔ |z| < 1.
D.h.: Die geometrische Reihe ist konvergent fur z im Inneren der offenen Einheits-kreisscheibe.Im Falle der Konvergenz gilt:
∞∑
n=0zn = 1
1−z fur |z| < 1
Beweis: |z| ≥ 1⇒ |zn| = |z|n ≥ 1 ∀n ≥ 012.8⇒ Die Reihe divergiert.
Sei |z| < 1. Dann ist∣∣∣∣
n∑
k=0
zk − 11−z
∣∣∣∣
=∣∣∣1−zn+1
1−z − 11−z
∣∣∣ = |z|n+1
|1−z|n→∞−−−→ 0, nach
10.12 a, denn |z| < 1 2
12.11 Vergleichskriterium
Vorgelegt sei∞∑
n=1an.
a) Ist an ∈ C (n ∈ N) und gibt es eine konvergente Reihe∞∑
n=1bn mit bn ≥ 0,
so dass |an| ≤ bn fur alle n ≥ N fur N hinreichend groß, so konvergiert
auchn∑
k=1
an und es gilt:∣∣∣∣
∞∑
n=1an
∣∣∣∣≤
∞∑
n=1|an| ≤
∞∑
n=1bn
b) Ist an ≥ 0 und gibt es eine divergente Reihe∞∑
n=1cn, so dass 0 ≤ cn ≤ an
fur n ≤ N , so ist∞∑
n=1an divergent.
Beweis:
a) Cauchy-Kriterium: Sei ε > 0, ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0, p ≥ 0
∣∣∣∣
n+p∑
k=n
bk
∣∣∣∣< ε
⇒ ∀n ≥ max (n0, N) , p ≥ 0n+p∑
k=n
ak ≤∣∣∣∣
n+p∑
k=n
ak
∣∣∣∣≤
n+p∑
k=n
bk < ε
⇒ Behauptung 2
b)∞∑
n=1cn divergiert, cn ≥ 0⇒
n∑
k=1
ckn→∞−−−→ ∞⇒ ∀k ≥ N wegen ak ≥ ck:
n∑
k=1
akn→∞−−−→∞, also
∞∑
k=1
an divergiert 2
61
12.12 Beispiel
a)∞∑
k=1
1n2 konvergiert, denn 1
n2 <1
n(n−1) fur n ≥ 2
und∞∑
n=2
1n(n−1) =
∞∑
n=1
1n(n+1) konvergiert nach 12.2.
Wir werden spater zeigen, dass∞∑
n=1
1n2 = π2
6 (nach Leonard Euler)
b) Fur jedes r ∈ Q 0 < r ≤ 1 divergiert∞∑
n=1
1nr , denn 1
nr ≥ 1n 2
12.13 Definition: Absolute KonvergenzC
Sei an ∈ R (bzw. C).∞∑
n=1an konvergiert absolut⇔
∞∑
n=1|an| konvergiert.
12.14 SatzC
Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Die Umkehrung gilt nicht (siehe12.16).
Beweis: 12.11 a) mit bn = |an| 2
12.15 Leibnizsches Konvergenzkriterium
Ist (an) eine monotone Nullfolge, so konvergiert∞∑
n=1(−1)n+1an
Beweis: Ohne Einschrankung sei an ≥ 0, (an) monoton fallend, sonst Ersetzungan 7→ −an.
⇒∣∣∣∣∣
n+p∑
k=n
(−1)k+1ak
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣
an − an+1︸ ︷︷ ︸
≥0
+ an+2 − an+3︸ ︷︷ ︸
≥0
± . . .+ (−1)pan+p
∣∣∣∣∣∣∣
=
an−an+1 + an+2︸ ︷︷ ︸
≤0
−an+3 + an+4︸ ︷︷ ︸
≤0
± . . .−an+p−2 + an+p−1︸ ︷︷ ︸
≤0
−an+p
an−an+1 + an+2︸ ︷︷ ︸
≤0
−an+3 + an+4︸ ︷︷ ︸
≤0
± . . .+ an+p−2−an+p−1 + an+p︸ ︷︷ ︸
≤0
≤{an − ap falls p ungeradean falls p gerade
}
≤ an ∀n ∈ N
Ergebnis:∣∣∣∣
n+p∑
k=n
ak
∣∣∣∣≤ an fur alle n ≥ 1, p ≥ 0. Da (an) Nullfolge ist, folgt die
Behauptung nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium 2
62
Zusatz: In 12.15 gilt fur s :=∞∑
n=1(−1)nan die Abschatzung:
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
(−1)k−1ak − s∣∣∣∣∣≤ |an+1|
Beweis: ∀p ≥ 1 ist
∣∣∣∣∣
n+p∑
k=n+1
(−1)k−1ak
∣∣∣∣∣≤ |ak+1| nach obiger Abschatzung.
Fur p→∞ folgt die Behauptung 2
12.16 Beispiele
a)∞∑
n=1
(−1)n−1
n konvergiert nach 12.15, aber sie konvergiert nicht absolut, da(
1n
)divergiert.
Wir werden spater sehen:∞∑
n=1
(−1)n−1
n = log 2
b)∞∑
n=0
(−1)n
2n+1 konvergiert nach 12.15, aber nicht absolut. (Beweis ahnlich wie
in 12.9).
Spater:∞∑
n=0
(−1)n
2n+1 = π4 , die sog. Leibnizsche Reihe.
12.17 WurzelkriteriumC
Vorgelegt sei an ∈ R (bzw. C), und es gebe q ∈]0; 1[, so dass n√
|an| ≤ q fur∀n ≥ N (N hinreichend groß)
⇒∞∑
n=1an konvergiert absolut.
Beweis: Vergleichskriterium mit bn = qn. Wegen 0 < q < 1 konvergiert∞∑
n=0qn
(geometr. Reihe) 2
Beispiel: an := n · xn mit 0 < x < 1 ⇒ n√an = n
√n · x n→∞−−−→ 1 · x < 1,
x < q = x+12 < 1
⇒ ∃N ∈ N, so dass 0 < n√an = n
√n · x < q fur alle n ≥ N .
Nach dem Wurzelkriterium konvergiert also∞∑
n=0n · xn fur 0 < x < 1.
63
12.18 QuotientenkriteriumC
Sei an ∈ R (bzw. C) und es gebe ein q ∈ R, 0 < q < 1 und ein N ∈ N, so dass
an 6= 0 fur alle n ≥ N und∣∣∣an−1an
∣∣∣ ≤ q fur alle n ≥ N ⇒
∞∑
n=1an konvergiert
absolut.
Beweis: ∀n ≥ N |an| =∣∣∣∣
anan−1
∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
≤q
·∣∣∣∣
an−1
an−2
∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
≤q
· . . . ·∣∣∣∣
aN+1
aN
∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
≤q
· |aN | ≤ |aN | qn−N =
|aN |qN · qn
Nach Vergleichskriterium mit bn :=∣∣∣aN
qN · qn∣∣∣ (n ≥ 1) folgt die Behauptung 2
Beispiele:
a) an = n · xn (0 < x < 1)∣∣∣an+1
an
∣∣∣ = n+1
n x =(1 + 1
n
)x ≤ q := 1+x
2 < 1
∀a, n ≥ N hinreichend groß.
b) an = 1n
a:n+1an
= nn+1
n→∞−−−→ 1 Quotientenkriterium liefert keine Aussagebezuglich Konvergenz.
c) an = 1n2
an+1
an= n2
(n+1)2n→∞−−−→ 1 Quotientenkriterium liefert keine Aus-
sage bezuglich Konvergenz.
12.19 Cauchysches Verdichtungskriterium
Sei (an) monoton fallende Nullfolge. Dann gilt:
∞∑
n=1
an konvergiert⇔∞∑
n=1
2na2n konvergiert ← verdichtete Reihe
Beispiel: an = 1n 2na2n = 2n · 1
2n = 1⇒∞∑
n=1
1n divergiert.
Beweis: Sei ck =2k+1∑
j=2k+1
aj (k ≥ 0),
c0 = a2, c1 = a3 + a4, c2 = a5 + a6 + a7 + a8,. . .
2k Terme, alle≥ a2k+1
≤ a2k+1 ≤ a2k
⇒ 2ka2k+1 ≤ ck ≤ 2ka2k (4)
64
”⇒“∞∑
n=1an konvergiert
12.3 c)⇒∞∑
k=0
ck konvergiert12.4⇒(
n∑
k=0
ck
)
n≥0
ist beschrankt.
(4)⇒(
n∑
k=0
2ka2k+1
)
n≥0
ist beschrankt.
·2⇒(
n∑
k=0
2k+1a2k+1
)
n≥0
ist beschrankt.
12.4⇒n∑
k=0
2ka2k konvergiert.
”⇐“∞∑
k=0
2ka2k konvergiert 12.4⇒( ∞∑
k=0
2ka2k
)
ist beschrankt.
(4)⇒(
n∑
k=0
ck
)
n≥0
ist beschrankt.
Def.⇒(
n∑
k=0
ak
)
n≥0
beschrankt (Beachte ak ≥ 0!!)
12.4⇒∞∑
n=0an konvergiert 2
12.20 Bemerkung
Sei r ∈ Q, r > 0. Dann gilt:∞∑
n=1
1nr konvergiert⇔ r > 1 (spater auch fur r ∈ R)
Beweis: an = 1nr in 12.19
⇒ 2na2n = 2n · 12nr =
(1
2r−1
)n= qn mit q = 1
2r−1
Also∞∑
n=1an konvergiert nach 12.19 ⇔
∞∑
n=1qn konvergiert ⇔ q < 1 (geometr.
Reihe)⇔ r > 1.Fur r = 1 steckt hierin die Divergenz der harmonischen Reihe.
Es sei σ : N→ N eine Bijektion. Dann heißt∞∑
n=1aσ(n) Umordnung von
∞∑
n=1an.
12.21 Satz
Satz von Bernhard Riemann (1826-1866)
a) Sei an ∈ C und∞∑
n=1an absolut konvergent. Dann konvergiert auch jede
Umordnung∞∑
n=1aσ(n) absolut und es gilt:
∞∑
n=1an =
∞∑
n=1aσ(n)
65
b) Ist an ∈ R und∞∑
n=1an konvergent, aber nicht absolut konvergent, so gibt es
divergente Umordnungen von∞∑
n=1an und es gibt auch zu jedem x ∈ R eine
konvergente Umordnung∞∑
n=1aσ(n), so dass
∞∑
n=1aσ(n) = x.
Beweis:
a) Sei K > 0 so gewahlt, dassn∑
k=1
|ak| ≤ K ∀n ∈ N. Sei n ∈ N und σ eine
Permutation von N.Betrachte
n∑
k=1
∣∣aσ(k)
∣∣: N := max(σ(1), . . . , σ(n))
⇒n∑
k=1
∣∣aσ(k)
∣∣ ≤
N∑
j=1|aj | ≤ K nach Wahl von K.
⇒ ∀n ∈ Nn∑
k=1
∣∣aσ(k)
∣∣ ≤ K
⇒∞∑
k=1
∣∣aσ(k)
∣∣ konvergiert, d.h.
∞∑
k=1
aσ(k) konvergiert absolut.
Sei s :=∞∑
n=1an.
Wir zeigen:∞∑
k=1
aσ(k) = s
Begrundung: Sei ε > 0
Cauchy⇒ ∃N ∈ N ∀p ≥ 0N+p∑
k=N+1
|ak| < ε2 und
∣∣∣∣
N∑
k=1
ak − s∣∣∣∣< ε
2
Sei σ : N → N Bijektion, n0 := max{σ−1(1), σ−1(2), . . . , σ−1(N)
}. Fur
n ≥ n0 gilt dann:{σ(1), σ(2), . . . , σ(n)} ⊃ {1, 2, . . . , N}
⇒ ∀n ≥ n0
∣∣∣∣
n∑
k=1
aσ(k) − s∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣
N∑
k=1
ak − s∣∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
< ε2
+∑
1 ≤ k ≤ nσ(k) > N
∣∣aσ(k)
∣∣
︸ ︷︷ ︸
< ε2
< ε,
d. h.∞∑
n=1aσ(n) = s
b) Da∞∑
n=1an konvergiert, aber nicht absolut konvergiert, kommen in
∞∑
n=1an un-
endlich viele positive und unendlich viele negative Terme vor (folgt aus demCauchy-Kriterium).Es seien 1 ≤ m1 < m2 < . . . genau alle Indizes n mit an > 0 und
1 ≤ n1 < n2 < . . . genau alle Indizes n mit an < 0.
66
⇒ {mj ; j ≥ 1} ∪ {nj ; j ≥ 1} = N, {mj ; j ≥ 1} ∩ {nj ; j ≥ 1} = ∅Dann divergieren die Reihen
∞∑
j=1amj
und∞∑
j=1anj
, denn waren beide konver-
gent, so auch absolut konvergent (selbes Vorzeichen)
⇒∞∑
n=1an absolut konvergent E
Ware nur eine der beiden Reihen konvergent, die andere aber divergent, sohatte erstere eine beschrankte Folge von Teilsummen, letztere aber nicht, al-
so ware∞∑
n=1an divergent E
⇒ Beide Reihen divergieren.
Sei x ∈ R vorgegeben. Setze σ(1) := m1,addiere zu aσ(1) = am1 so viele Terme am2 , am3 , . . ., bis erstmals die Teil-summe großer wird als xp1∑
j=1amj
> x, σ(1) = m1, σ(2) = m2, . . . , σ(p1) = mp1
Anschließend addiere man so lange negative Terme an1 , an2 , . . ., bis erst-mals die Summe wieder kleiner als x wird.p1∑
j=1amj
+q1∑
j=1anj
σ(p1 +1) = n1, σ(p1 +2) = n2, . . . , σ(p1 + q1) = nq1
Dann werden wieder positive Terme addiert, beginnend mit amp1+1, bis erst-mals die Summe wieder großer als x wird. . .
Da∞∑
j=1amj
und∞∑
j=1anj
beide divergieren, bricht das Verfahren nicht ab und
liefert eine Umordnung σ : N→ N mit∞∑
n=1aσ(n) = x. Beachte: an bilden
eine Nullfolge!!Ahnlich zeigt man die Existenz divergenter Umordnungen 2
12.22 Beispiel∞∑
n=1
(−1)n−1
n (Leibniz) konvergiert, aber nicht absolut (harmonische Reihe).
s :=∞∑
n=1
(−1)n−1
n
12.3 c)=
∞∑
n=1
(1
2n−1 − 12n
)
Umordnung: Auf jeden positiven Term der Reihe lasse man 2 aufeinanderfolgendenegative folgen. Schema: 1− 1
2 − 14 + 1
3 − 16 − 1
8 + . . .+ 12n−1 − 1
4n−2 − 14n
12n−1 − 1
4n−2 − 14n = 1
4n−2 − 14n = 1
2
(1
2n−1 − 12n
)
⇒ Die umgeordnete Reihe konvergiert gegen∞∑
n=1
(1
2n−1 − 14n−2 − 1
4n
)
= 12
∞∑
n=1
(1
2n−1 − 12n
)
= 12
Durch Umordnung hat sich also der Reihenwert halbiert.
67
13 Dezimalbruche und b-adische Entwicklungen
Dezimalbruchentwicklungen: 2, 718281 . . . = 2 · 100 + 7 · 10−1 + 10−2 . . . mitBasis 10n.Sei b ∈ N, b > 1. b dient im folgenden als Basis fur ”b-adische“ Entwicklungen.
Typischeweise haben diese die Gestaltn∑
j=k
xjbj , k ∈ Z, xj ∈ {0, . . . , b− 1}.
Beispiel: 13
?= 0, 3 =
∞∑
n=13 ·10−n = 3 ·
∞∑
n=110−n = 3 ·
( ∞∑
n=010−n − 1
)
= 39 = 1
3 .
Ebenso 0, 9 = 1.
13.1 Lemma
Sei b ∈ N, b > 1, xj ∈ Z, 0 < xj < b, j > −k, k ≥ 0, k ∈ Z. Dann konvergiert
der ”b-adische Bruch“∞∑
j=−kxjb
−j =: x−kx−k+1 . . . x0, x1x2x3 . . .
Beweis: Majorantenkriterium mit aj = xj · b−j , bj := (b − 1)b−j . Dann liefertdie geometrische Reihe eine konvergente Majorante.
13.2 Satz
Sei b ∈ N, b > 1, x ∈ R.
a) Dann existiert (xj)j≥−k ∈ Z, 0 ≤ xj ≤ b − 1, so dass x = ±∞∑
j=−kxjb
−j .
Dieser Ausdruck heißt dann die b-adische Entwicklung von x.
b) Hat x > 0 zwei verschiedene b-adische Entwicklungen x =∞∑
j=−kxjb
−j
und x =∞∑
j=−lyjb
−j mit ganzen xj , yj , 0 ≤ xj , yj ≤ b − 1 und ist ohne
Einschrankung k = l und m := min {j;xj 6= yj} , xm < ym, so gilt:
1.) xj = yj ∀j < m
2.) ym = xm + 1
3.) xj = b− 1, yj = 0 ∀j > m
c) Eine reelle Zahl x 6= 0 hat zwei verschiedene b-adische Entwicklungen ge-nau dann, wenn gilt: x = ± a
bn mit a ∈ N, n ∈ Z, z. B. 14 = 0, 25 = 0, 249
d) Jede reelle Zahl x 6= 0 hat genau eine b-adische Entwicklung mit unendlichvielen von 0 verschiedenen xj und hochstens eine weitere (siehe c).
68
Beweis:
a) OBdA4: x > 0, b > 16.4⇒ ∃k ∈ Z, so dass bk+1 > x. (Man kann z. B. k
minimal wahlen). Zerlegung von[0; bk+1
]in b gleich lange Teilintervalle:
0 = 0bk < 1bk < 2bk < . . . < (b− 1)bk < bk+1
[0; bk+1
[=
b−1⋃
m=0
[mbk; (m+ 1)bk
[3 x⇒ ∃x−k ∈ Z, 0 ≤ x−k ≤ b − 1,
x−kbk ≤ x < (x−k + 1) bk
Die weiteren xj , j > −k werden induktiv bestimmt: Seien xj ∈ Z schon so
gewahlt, dass 0 ≤ xj ≤ b − 1, −k ≤ j ≤ n, 0 ≤ x −n∑
j=−kaxb
−j < b−n.
(Fur n = −k ist diese Situation vorhanden).Zerlegung: 0 = 0b−n−1 < 1b−n−1 < . . . <)b− 1(b−n−1 < bb−n−1 = b−n
[0; b−n[ =b−1⋃
m=0
[mb−n−1; (m+ 1)b−n−1
[In einem Teilintervall liegt x −
n∑
j=−kxjb
−j , d. h. wir wahlen xn+1 ∈ Z so, dass 0 ≤ xn+1 ≤ b − 1,
xn+1b−(n+1) ≤ x−
n∑
j=−kxjb
−j < (xn+1 + 1) b−(n+1)
Damit sind xj ∀j ≥ −k gewahlt und nach Konstruktion gilt fur sn :=n∑
j=−kxjb
−j :
0 ≤ x− sn < (xn+1 + 1)︸ ︷︷ ︸
≤b
b−(n+1) ≤ b · b−(n+1) = b−n
b−nn→∞−−−→ 0⇒ lim
n→∞sn = x⇒a) 2
b) Sei gleich b = l, m wie im Satz und OBdA gleich xm < ym⇒b1.) klar.
⇒∞∑
j=mxjb
j =∞∑
j=myjb
j
⇒ ym · b−m ≤∞∑
j=myjb
−j =∞∑
j=mxjb
−j = xmb−m +
∞∑
j=m+1xjb
−j
≤ xmb−m + (b− 1)∞∑
j=m+1b−j = xmb
−m + (b− 1)b−(m+1) 1
1 + 1b
︸ ︷︷ ︸
=b−m
(geo-
metr. Reihe) = (xm + 1) b−m ≤ ymb−m⇒ In dieser Abschatzung steht an jeder Stelle ”=“ und nirgends ”<“.⇒ xm + 1 = ym ⇒ b2)xj = b− 1 ∀j > m, yj = 0 ∀j > m, d. h. b3)⇒b) 2
c) impliziert.
d) impliziert.
4d.h. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit
69
Die b-adische Entwicklung von x ∈ R ist genau dann von einer Stelle ab peri-odisch, wenn x rational ist.
70
Teil III
Stetige Funktionen und Potenzreihen14 Topologie von R und C
14.1 Definition: offen↔abgeschlossen, TopologieC
Sei M ⊂ R (M ⊂ C). Dann heißt M offen in R (C):⇔ ∀a ∈ M ∃U(a) ⊂ M .(⇔ ∀a ∈M ∃ε > 0 {x; |x− a| < ε} ⊂M , x ∈ R (C))(⇔ ∀a ∈M , M ist Umgebung von a)M heißt abgeschlossen:⇔ R\M ist offen (C\M offen).T := {M ∈ R (bzw. C);M offen} heißt Topologie von R (bzw. C).
14.2 Beispiele
a) Jedes Intervall ]a; b[ ist offen in R (nicht in C) und fur r > 0 ist Kr(a) offenin C.Die ”rechte Halbebene“ {z ∈ C; Re z > 0} ist offen in C.
b) [a : b] (a, b ∈ R, a < b) ist abgeschlossen in R,denn R\[a; b] =]−∞; a[∪]b;∞[ ist offen.{z ∈ C; |z − a| ≤ r} ist abgeschlossen in C, denn C\ {z ∈ C; |z − a| ≤ r}ist offen in R.∅ und R sind zugleich offen und abgeschlossen in R.R ist abgeschlossen in C, ∅ und C sind zugleich offen und abgeschlossenin C⇒ ∅ und C heißen zusammenhangend in C
c) Sei (an)n∈N eine konvergente Folge in R (bzw. C), a := limn→∞
an,
M := {a} ∪ {an;n ∈ N}⇒M ist abgeschlossen in R (bzw. C) (folgt z. B. aus 14.5)
d) [0; 1[ ist weder offen noch abgeschlossen.
14.3 SatzC
Der Durchschnitt je endlich vieler und die Vereinigung beliebig vieler offener Men-gen sind offen in R (bzw. C) und allen anderen topologischen Raumen.
Beweis:
a) Seien M1, . . . ,Mn ⊂ R (bzw. C) alle offen, M :=n⋂
j=1Mj
Sei x ∈M . Dann ist zu zeigen: ∃U ∈ U(x) mit U ⊂Mx ∈M ⇒ ∀j = 1, . . . , n x ∈Mj
71
⇒ ∀j = 1, . . . , n ∃ εj > 0 ]x− εj ;x+ εj [⊂Mj (bzw. Kεj(x) ⊂Mj)
ε := min {ε1, . . . , εn} > 0 ⇒ ∀j = 1, . . . , n ]x − ε;x + ε[⊂ Mj (bzw.Kε(x) ⊂ Kεj
(x) ⊂Mj)
⇒]x− ε;x+ ε[⊂n⋂
j=1Mj = M (bzw. Kε(x) ⊂
n⋂
j=1Mj = M )
⇒M ist offen 2
b) Sei I irgendeine Indexmenge, Mi ⊂ R (bzw. C) offen ∀i ∈ I x ∈ M =⋂
i∈IMi. Dann ist zu zeigen: ∃U ∈ U(x), U ⊂M
x ∈M ⇒ ∃j ∈ I , x ∈Mj
⇒ ∃U(x), x ∈ U(x) ⊂Mj ⊂M⇒M ist offen 2
14.4 Satz
Die Vereinigung je endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlos-sener Mengen sind abgeschlossen in R (bzw. C).
Beweis:
a) Seien A1, . . . , An ⊂ R abgeschlossen in R
⇒ R\n⋃
j=1Aj =
n⋂
j=1R\Aj ist offen in R nach 14.3 2
b) Seien Ai (i ∈ I) abgeschlossen in R⇒ R\ ⋂
i∈IAi =
⋃
i∈IR\Ai ist offen
⇒ Behauptung 2
Fur C analog.
14.5 SatzC
Fur M ⊂ R (bzw. C) gilt:M ist abgeschlossen⇔ Fur jede konvergente Folge (xn)n∈N von Elementen xn ∈M ∀n ∈ N liegt auch der Limes dieser Folge in M .
Beweis:
”⇒“ Sei M abgeschlossen, xn ∈M (n ∈ N), limn→∞
xn =: x ∈ R (bzw. C)
Annahme: x /∈M⇒ R\M ist offen lt. Voraussetzungx ∈ R\M ⇒ U := R\M ∈ U(x)Wegen xn
n→∞−−−→ x ∃N ∈ N mit xn ∈ U forall n ≥ N E⇒ x ∈M
72
“⇐“ Annahme: M ist nicht abgeschlossen⇒ R\M (bzw. C\M ) nicht offen.∃ a ∈ R\M (bzw. C\M ) mit ∀ ε > 0 ∃x ∈M |x− a| < εWahle ε = 1
n und dazu xn ∈M⇒ ∀n ∃xn ∈M |xn − a| < 1
n⇒ (xn) konvergiert gegen a ∈ R\M (bzw. C\M ) und xn ∈M (n ∈ N) E
⇒ Behauptung 2
14.6 Definition: BeruhrungspunktC
Sei M ⊂ R, b ∈ R (bzw. M ⊂ C, b ∈ C). Dann heißt b Beruhrungspunkt von Mgenau dann, wenn gilt: ∀U ∈ U(b) U ∩M 6= ∅M :=Menge der Beruhrungspunkte von M .
14.7 Beispiele
a) x ∈M ⇒ x ∈M , d. h. M ⊂M (”=“ wenn M abgeschlossen)
b) Sei (an) Folge, b Haufungswert von (an) ⇒ b ist Beruhrungspunkt vonM := {an;n ∈ N}
c) Jedes x ∈ R ist Beruhrungspunkt von Q und von R\Q, d. h. R = Q = R\Q
d) Die Menge der Beruhrungspunkte von {z ∈ C,Re z > 0} ist gleich{z ∈ C; Re z ≥ 0}
14.8 SatzC
Sei M ⊂ R (bzw. C). Dann gilt: b ist Beruhrungspunkt von M genau dann, wenngilt: ∃ (xn)n∈N als Folge von Elementen aus M mit lim
n→∞xn = b
Beweis:
”⇐“ klar nach Definition
”⇒“ Nach Voraussetzung gilt: ∀n ∈ N ∃xn ∈M |xn − b| < 1n .
Man nehme U =]b− ε; b+ ε[ (bzw. U = Kε(b))⇒ b = lim
n→∞xn, denn xn = b+ (xn − b) n→∞−−−→ b 2
14.9 KorollarC
M als Menge der Beruhrungspunkte von M ⊂ R (bzw. C) ist stets abgeschlossen.M heißt die abgeschlossene Hulle von M . Es gilt:
M ist abgeschlossen⇔M = M
73
Beweis: Die erste Aussage wird mit 14.3 bewiesen. Dazu sei (bn)n∈N eine kon-vergente Folge von Elementen aus M . bn
n→∞−−−→ b ∈ R (bzw. C). Dann ist zuzeigen: b ∈M .Begrundung: Zu jedem n existiert ein xn ∈ M mit |bn − xn| < 1
n ⇒ xn =
bn + (xn − bn) n→∞−−−→ b (xn ∈M ).14.8⇒ b ∈M . Das beweist die erste Aussage.
”⇐“ klar, denn M ist stets abgeschlossen.
”⇒“ Sei M abgeschlossen, b ∈M14.8⇒ ∃ (xn) ∈M mit xn
n→∞−−−→ b14.5⇒ b ∈M , da M abgeschlossen⇒M = M 2
14.10 Definition: Haufungspunkt↔isolierter PunktC
Sei M ⊂ R (bzw. C), a ∈ R (bzw. C). a heißt Haufungspunkt von M genau dann,wenn gilt: ∀U ∈ U(a) U ∩M 6= ∅,sogar U\{a} ∩M 6= ∅. (a nicht notwendig ∈M )⇔ ∀U ∈ U(a) ∃x ∈M , x 6= a, x ∈ Ua heißt isolierter Punkt von M genau dann, wenn gilt: a ∈ M und a ist keinHaufungspunkt von M⇔ ∃U ∈ U(a) U ∩M = {a}⇔ ∃ ε > 0 ∀ {x; |x− a| < ε} ∩M = {a}
Beispiel: M ={
1n ;n ∈ N
}0 ist Haufungspunkt von M , ∀n ∈ N ist 1
n iso-lierter Punkt von M .
14.11 Folgerung
x ∈M ⇔ x ist entweder Haufungspunkt vonM oder x ist isolierter Punkt vonM .
14.12 SatzC
Sei (an) eine Folge in R (bzw. C), b ∈ R (bzw. C), M := {an;n ∈ N}. Dann gilt:
b ist Haufungspunkt von M ⇔ ∃ Teilfolge ank
k→∞−−−→ b︸ ︷︷ ︸
Haufungswertbedingung von (an)
∧∀ k ∈ N ank6= b
Beweis:
”⇒“ Wahle nk streng monoton wachsend, so dass ank6= b (k ∈ N), außerdem
|ank− b| < 1
k
⇒ ank
k→∞−−−→ b.
74
”⇐“ klar nach Definition 2
14.13 Beispiel
an := (−1)n (n ∈ N)⇒ (an) hat die Haufungswerte±1, aberM := {an;n ∈ N} ={1;−1} hat zwei isolierte Punkte aber keinen Haufungspunkt.
14.14 FolgerungC
Ist (an) eine Folge in R (bzw. C) und ist am 6= an fur m 6= n (m,n ∈ N), so gilt:Die Menge der Haufungspunkte von {an;n ∈ N} ist gleich der Menge der Haufungs-werte von (an)n∈N
14.15 Satz von Bolzano/Weierstraß fur MengenC
Jede beschrankte, unendliche Teilmenge⊂ R (bzw. C) hat mindestens einen Haufungs-punkt.
Beweis: Sei M unendlich⇒ Es existiert eine Folge (xn)n∈N mit xn ∈M , xn 6=xm (m,n ∈ N, n 6= m).
M beschrankt⇒ (xn)n∈N beschrankt 11.9⇒ (xn)n∈N hat eine konvergente Teilfolgeund somit mindestens einen Haufungswert.14.14⇒ Behauptung 2
75
15 Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit
15.1 Beispiele
a) Polynomfunktion f : R → R, f(x) =n∑
k=0
akxk (a0, . . . , an ∈ R fest,
n ∈ N fest)
b) f : R→ R, f(x) = |x− a| (a ∈ R fest, x ∈ R)
c) Seien f, g : R→ R, g 6≡ 0D := {x ∈ R; g(x) 6= 0}, h : D → R, h(x) =f(x)g(x) (x ∈ D) rationale Funktion
d) f : R→ R, f(x) = [x]
e) f : R→ R, f(x) =
{0 x rational1 x irrational
f) f : R→ R, f(x) :=
{ 1q fur x = p
q mit p, q ∈ Z teilerfremd, q > 0
0 fur x ∈ R\Q
g) f : [0;∞[→ R, f(x) :=√x (x ≥ 0)
15.2 Definition
Sei D ⊂ R, f, g : D → R, λ ∈ R. Dann wird definiert:
• f + g : D → R, (f + g)(x) := f(x) + g(x), (x ∈ D)
• λf : D → R, (λf)(x) := λ · f(x) (x ∈ D)
• f · g : D → R, (f · g)(x) := f(x) · g(x) (x ∈ D)
• fg : D → R,
(fg
)
(x) := f(x)g(x) (x ∈ D), falls g nullstellenfrei auf D ist.
Folgerung: Damit wird die Menge der Funktionen f : D → R ein R-Vektor-raum; sie ist sogar ein Ring.Beachte f 6≡ 0⇔ ∃x ∈ D, f(x) 6= 0 f = 0⇔ f(x) = 0∀x ∈ Df ”nullstellenfrei“⇔ ∀x ∈ D, f(x) 6= 0
15.3 Definition
Seien f : D → R, g : E → R und f(D) := {f(x), x ∈ D} ⊂ E. Dann ist:g ◦ f : D → R, x 7→ g (f(x))⇔ (g ◦ f)(x) = g (f(x)) (x ∈ D)
76
15.4 Beispiel
f : R→ R, f(x) = x2 ∀x ∈ R, g : [0,∞[→ R g(x) =√x (x ≥ 0)
⇒ g ◦ f ist erklart und es gilt: g ◦ f : R→ R, (g ◦ f)(c) =√x2 = |x|
Auch f ◦ g ist sinnvoll: f ◦ g : [0;∞[→ R, (f ◦ g)(x) = (√x)
2= x (x ≥ 0)
15.5 DefinitionC
Sei D ⊂ R (bzw. C), f : D → R (bzw. C), x0 ∈ D, α ∈ R (bzw. C). Dann gilt:limx→x0
f(x)(existiert und ist)= α genau dann, wenn gilt:
∀ ε > 0 ∃U ∈ U(x0) ∀x ∈ U ∩D |f(x)− α| < ε
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, |x− x0| < δ |f(x)− α| < ε (5)
Beachte: Die Terminologie ist hier nicht ganz einheitlich: Manche Autoren verlan-gen die Ungleichung (5) nur fur x 6= x0. Dafur schreiben wir: lim
x→x0x6=x0
f(x). Siehe
dazu auch Definition 15.12.
15.6 Folgerung
a) α = limx→x0
f(x)⇔ ∀V ∈ U(α) ∃U ∈ U (x0) f(D ∩ U) ∈ V
b) Ist x0 ∈ D und existiert limx→x0
f(x) = α, so ist α = f(x0), denn x0 ∈ U
∀U ∈ U(α)
c) Ist x0 ∈ D isolierter Punkt von D, so existiert limx→x0
(und ist)= f (x0)
d) Hat f fur x→ x0 einen Grenzwert, so ist dieser eindeutig bestimmt.Beweis wie bei Folgen oder siehe bei 15.9.
15.7 Definition: Stetigkeit
Sei f : D → R, x0 ∈ Da) f ist stetig in x0 :⇔ lim
x→x0
f(x) = f (x0) (implizit: Limes existiert.)
b) f ist stetig auf D :⇔ limx→x0
f(x) existiert ∀x0 ∈ D
Folgerung: Nach 15.6 c) ist f stetig in jedem isolierten Punkt von D.
15.8 Folgerung
Sei f : D → R, x0 ∈ D. Dann gilt:f stetig in x0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, |x− x0| < δ |f(x)− f (x0)| < εDies ist die sog. ε-δ-Definition der Stetigkeit.
77
Beweis: Siehe 15.5.
15.9 Satz
Seien f,D, x0 ∈ D,α wie in 15.5. Dann gilt:limx→x0
f(x) = α ⇔ Fur jede Folge (xn)n∈N mit xn ∈ D (n ∈ N) xnn→∞−−−→ x0 ist
limn→∞
f (xn) = α (Grenzwert der Bildfolge)Fur x0 ∈ D ist das ein Stetigkeitskriterium:f ist stetig in x0 ⇔ Fur jede Folge (xn), xn ∈ D (n ∈ N), xn
n→∞−−−→ x0 gilt:limn→∞
f (xn)(existiert und ist)= f (x0)
Beachte: Wegen x0 ∈ D gibt es stets solche Folgen (xn) nach 14.4.
Beweis:
”⇒“ Sei xn ∈ D (n ∈ N), limn→∞
xn = x0, ε > 0
⇒ ∃U ∈ U (x0) ∀x ∈ D ∩ U |f(x)− α| < εxn
n→∞−−−→ x0 ⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 xn ∈ U⇒ ∀n ≥ n0 |f (xn)− α| < ε⇒ lim
n→∞f (xn) = α
”⇐“ Annahme: Es gilt nicht limx→x0
f(x) = α. (Entweder existiert kein Limes oder
limx→x0
f(x) 6= α)
⇒ ∃ ε0 > 0 ∀ δ > 0 ∃x ∈ D: |x− x0| < δ |f(x)− α| ≥ ε0Setze δ := 1
n⇒ ∃ ε0 > 0 ∀n ∈ N ∃xn ∈ D |xn − x0| < 1
n |f (xn)− x0| ≥ ε0⇒ xn ∈ D ∀n ∈ N xn
n→∞−−−→ x0, aber: limn→∞
f (xn) = α gilt nicht E
⇒ Behauptung 2
15.10 Beispiel
a) f : R→ R, f(x) = c ∀x ∈ R⇒ ∀x0 ∈ R limx→x0
f(x) = c = f (x0),
d. h. f stetig.
b) f : R→ R, f(x) = x (x ∈ R)⇒ limx→x0
f(x) = x0 = f (x0), d. h. f stetig.
c) f : R → R, f(x) =
{1 fur x ≥ 00 fur x < 0
⇒ limx→x0
f(x) existiert nicht, denn
die Folge(
(−1)n
n
)
konvergiert gegen 0, aber f (xn) 6= f (x0)
Aber: f ist stetig fur x0 6= 0
d) f : [0;∞[→ R, f(x) =√x (x ≥ 0) Behauptung: f ist stetig
Begrundung: Sei x0 ≥ 0 und xn ≥ 0 und limn→∞
xn = x0. Dann ist zu zeigen:
limn→∞
√xn =
√x0
78
1.) Ist x0 = 0, also limn→∞
xn = 0, so gilt:
∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 0 ≤ xn < ε2
Mit diesem n0 gilt:∀n ≥ n0 0 ≤ √xn < ε⇒Behauptung 2
2.) Ist x0 > 0, so gilt:∣∣√xn −
√x=
∣∣ = |xn−x0|√
xn+√x0≤ 1√
x0|xn − x0|
Wegen xnn→∞−−−→ x0 gilt:
∀ ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − x0| < ε · √x0
Mit diesem n0 gilt:∀n ≥ n0
∣∣√xn −
√x0
∣∣ < ε
⇒Behauptung 2
Bemerkung: Ebenso zeigt man: [0;∞[3 x 7→ k√x ist stetig.
zum Beweis: k√xn − k
√x0 = xn−x0
( k√xn)k−1+( k
√xn)k−2+ k
√x0+...+( k
√x0)k−1
15.11 Satz
Sei D ⊂ R, f, g : D → R, x0 ∈ D und λ, µ ∈ R (bzw. C).Es gelte lim
x→x0
f(x) = a, limx→x0
g(x) = b. Dann gilt:
a) limx→x0
(λf + µg) (x) = λa+ µb
b) limx→x0
(f · g)(x) = a · b
c) Ist g nullstellenfrei und limx→x0
g(x) 6= 0, so gilt limx→x0
f(x)g(x) = a
b
Speziell sind hierin enthalten die Rechenregeln fur die Stetigkeit.
Beweis: 15.9 und 10.13 (= alle Rechenregeln fur Folgen) 2
Alternativer Beweis mit ε-δ-Kriterium zur Ubung.
15.12 Beispiele
a) Jede Polynomfunktion ist stetig (auf R bzw. C).
Beweis: 15.10 a) und b) sowie 15.11.
b) Jede rationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich stetig.
79
Beweis: a) und 15.11 c)
Restringierte Grenzwerte: Sei D ⊂ R (bzw. C), f : D → R,E ⊂ D, g : E → R, g(x) := f(x) fur x ∈ E.Dann heißt g Einschrankung oder Restriktion von f auf E =: f |E.Ist x0 ∈ E, so kann lim
x→x0
g(x) =: limx→x0x∈E
f(x) existieren, diese Zahl
nennt man den restringierten Grenzwert.
15.13 DefinitionC
Sei f : D → R , x0 ∈ R.
a) Ist x0 ∈ D\ {x0} (d. h. Haufungspunkt von D), so schreibt manlimx→x0x6=x0
f(x) = limx→x0
x∈D\{x0}f(x), falls der Limes auf der rechten Seite existiert.
b) Ist x0 ∈ D∩ ]−∞;x0[ (d. h. linksseitiger Haufungspunkt), so schreibt manRlim
x→x0−f(x) := lim
x→x0−0f(x) := lim
x↑x0
f(x) := limx→x0
x∈D∩]−∞;x0[
f(x), falls der
”rechte“ Limes existiert.Bezeichnung: linksseitiger Limes von f bei x0.Ist hier zusatzlich x0 ∈ D ∧ lim
x→x0−f(x) = f (x0), so heißt f linksseitig
stetig in x0.f linksseitig stetig:⇔ f linksseitig stetig in allen x0 ∈ D, die linksseitigeHaufungspunkte von D sind.
c) Analog rechtsseitiger Limes, rechtsseitig stetig.
15.14 Folgerungen
a) 15.9 (Folgenkriterium) und 15.11 (Rechenregeln) gelten sinngemaß fur dieLimites (restring.) aus 15.13.
b) Sei x0 ∈ D: f stetig in x0 ⇔ limx→x0x6=x0
f(x) = f (x0) (x0 Haufungspunkt von
D).
c) f linksseitig stetig in x0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, x0 − δ < x− x0:|f(x)− f (x0)| < εdito fur rechtsseitig stetig.
15.15 Beispiel
f : R→ R, f(x) := [x] (x ∈ R) Dann gilt:
a) f ist stetig in R\Z
80
b) ∀x0 ∈ Z limx→x0+0
f(x) = x0 = f (x0), d. h. f ist auf R rechtsseitig stetig.
c) ∀x0 ∈ Z limx→x0−0
f(x) = x0 − 1 = f (x0) − 1 6= f (x0), d. h. f ist in
keinem x0 ∈ Z linksseitig stetig.
15.16 DefinitionR
Sei D ⊂ R f : D → R, α ∈ R
a) Ist D nicht nach oben beschrankt, so schreibt man:limx→∞x∈D
f(x) = α :⇔ ∀ ε > 0 ∃K > 0 ∀x ∈ D,x > K |f(x)− α| < ε
b) Ist D nicht nach unten beschrankt, so schreibt man:lim
x→−∞x∈D
f(x) = α :⇔ ∀ ε > 0 ∃K > 0 ∀x ∈ D,x < −K
|f(x)− α| < ε
15.17 Folgerung
Das Folgenkriterium und die Rechenregeln gelten wie gehabt.
15.18 Definition
Sei f : D → R, x0 Haufungspunkt von D. Dann heißt:limx→x0x6=x0
f(x) =∞
:⇔ ∀K > 0 ∃U ∈ U (x0) ∀x ∈ D ∩ (U\ {x0}) f(x) > K(⇔ ∀K > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, 0 < |x− x0| < δ f(x) > K)Analog: lim
x→x0x6=x0
f(x) = −∞,
limx→x0+0
f(x) = ±∞, limx→x0−0
f(x) = ±∞,
limx→±∞
f(x) = ±∞Auch hier: Folgenkriterium und sinngemaß ein Teil der Rechenregeln gelten.
15.19 Beispiele
a) Es seien f, g : R→ R Polynomfunktionen, f(x) =m∑
k=0
akxk,
g(x) =n∑
l=0
blxl, am 6= 0 6= bl. Dann gilt:
limx→∞
f(x)g(x) =
0 fur n > mam
bnfur m = n
∞ fur m > n ∧ (am, bn > 0 ∨ am, bn < 0)−∞ fur m > n ∧ ((am < 0 ∧ bn > 0) ∨ (am > 0 ∧ bn < 0))
81
b) limx→0+0
1x =∞, lim
x→0−0
1x = −∞
82
16 Eigenschaften stetiger Funktionen
16.1 SatzC
Seien f : D → R, g : E → R, f stetig in x0 ∈ D, g stetig in f (x0), f(D) ⊂ E⇒ g ◦ f : D → R, x 7→ g(f(x)) stetig in x0
Beweis: Sei ε > 0 gegeben.g stetig in x0⇒ ∃ δ > 0 ∀ y ∈ E, |y − f (x0)| < δ : |g(y)− g (f (x0))| < εf stetig in x0⇒ Zu diesem δ ∃ η > 0 ∀x ∈ D, |x− x0| < η |f(x)− f (x0)| < δ⇒ ∀x ∈ D, |x− x0| < η |g(f(x))− g (f (x0))| < ε⇒ g ◦ f ist stetig in x0 2
16.2 Konsequenz
Seien f : D → R, g : E → R beide stetig, f(D) ⊂ E⇒ g ◦ f ist stetig.
16.3 Zwischenwertsatz
von Bernhard Bolzano, 1817Es sei f : [a; b] → R stetig und f(a) < 0, f(b) > 0. Dann existiert ξ ∈ [a; b] mitf(ξ) = 0.
Beweis: M := {x ∈ [a; b]; f(x) ≤ 0} ⇒ M ist nach oben beschrankte Menge⊂ R, M 6= ∅, da a ∈ M . Setze dann ξ := supM(∈ [a; b]). Dann ist zu zeigen:f(ξ) = 0. Dazu:
a) Es gilt nicht: f(ξ) < 0: Sonst ware mit f(ξ) < 0⇒ ξ < b, f stetig⇒ Zu ε := 1
2 |f(ξ)| gibt es δ > 0, so dass |f(x) − f(ξ)| < 12 |f(ξ)| = ε
∀x ∈ [a; b] ∩ [ξ − δ; ξ + δ]OBdA sei gleich δ > 0 so klein, dass ξ + δ < b⇒ ∀x ∈ [ξ; ξ+ δ[ f(x) = f(ξ) + f(x)− f(ξ) ≤ f(ξ) + |f(x)− f(ξ)| ≤f(ξ)− 1
2 |f(ξ)| = 12f(ξ) < 0 E, denn ξ ist obere Schranke von M .
b) Es gilt nicht f(ξ) > 0, denn ware f(ξ) > 0, so folgte mit ξ > a, f stetig inξ⇒ ∃ δ > 0 ∀x ∈ [a; b] ∩ [ξ − δ; ξ + δ] |f(x)− f(ξ)| < 1
2f(ξ) =: εSei OBdA gleich δ > 0 so klein, dass a < ξ − δ⇒ ∀x ∈]ξ−δ; ξ] : f(x) = f(ξ)+f(x)−f(ξ) ≥ f(ξ)−|f(x)−f(ξ)| ≥12f(ξ) > 0⇒ ξ ist nicht kleinste obere Schranke von M E
⇒ f(ξ) = 0 2
83
16.4 Bemerkung
ξ = supM ist die großte Nulltstelle von f .Ebenso ist sup {x ∈ [a; b] : ∀ t ∈ [a;x] f(t) < 0} kleinste Nullstelle von f .
16.5 Beispiel
Sei α > 0, f : [0;∞[→ R, f(k) = xk − α (x ≥ 0)⇒ f stetigf(0) = −α < 0, f(α+ 1) => 0⇒ g := f |[0;α+ 1] ist stetig und hat in 0 einennegativen, in α+ 1 einen positiven Wert.16.3⇒ ∃ ξ; 0 < ξ < α+ 1: ξk = αf streng monoton⇒ ξ ist eindeutig bestimmt.Der Zwischenwertsatz liefert erneut die Existenz einer nicht-negativen k-ten Wur-zel aus jeder reellen Zahl.Dies ist auch ein neuer Beweis fur 7.1.
16.6 Satz
Jede Polynomfunktion f : R→ R ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstel-le.
Beweis: Sei gleich f : R→ R Polynomfunktion, gradf := 2n+ 1 (n ≥ 0,
n ∈ Z), OBdA sei gleich f(x) =2n∑
k=0
akxk + x2n+1 ∀x ∈ R
(Beispiel 15.19 mit g := 1 ⇒ limx→∞
f(x) = ∞, Ersetzung f(−x) 7→ f(x) liefert
limx→∞
f(−x) = −∞)
⇒ ∃ a, b ∈ R, a < b, f(a) < 0, f(b) > 0⇒ g := f |[a; b] hat nach 16.3 eine Nullstelle a < ξ < bInsbesondere hat somit f eine Nullstelle 2
16.7 Korollar
Jede Polynomfunktion ungeraden Grades ist surjektiv als f : R→ R.
Beweis: Sei c ∈ R. Man wende an: 16.6 auf f−c anstelle von f . . . (vgl. Ubungs-aufgabe 52) 2
16.8 Definition: Beschranktheit bei FunktionenC
Sei X eine Menge, f : X → R (bzw. C). f heißt beschrankt:⇔ f(X) ⊂ R bzw.C beschrankt⇔ ∃K > 0 ∀x ∈ X |f(x)| < Kanalog: f nach oben / unten beschrankt.
84
16.9 SatzC
Jede auf einem abgeschlossenen Intervall erklarte stetige Funktion f : [a; b] → R(bzw. C) ist beschrankt.
Beweis: indirekt. Annahme: f unbeschrankt⇒ ∀n ∈ N ∃xn ∈ [a; b] |f (xn)| ≥ nxn ∈ [a; b]
11.9⇒ es gibt eine konvergente Teilfolge (xnk)k≥1
k→∞−−−→ c ∈ R[a; b] abgeschlossen⇒ c ∈ [a; b]f stetig⇒ lim
k→∞f (xnk
) = f(c)
10.11⇒ (f (xnk))k≥1 ist beschrankt. E, denn |f (xnk
)| ≥ nk ≥ k ∀ k ≥ 1⇒ Behauptung 2
16.10 Definition: Absolute ExtremaR
Sei M eine Menge, f : M → R, a ∈Mf hat in a ein absolutes Maximum:⇔ ∀x ∈M f(x) ≤ f(a)Analog: absolutes Minimum.
Schreibweise: f(a) = max f(M) bzw. f(a) = min f(M)
16.11 SatzR
Jede auf einem abgeschlossenen Intervall [a; b] erklarte stetige Funktion f : [a; b]→R hat Maximum und Minimum.
Beweis: 16.9⇒ f beschrankt⇒ imf beschrankt⇒ ∃ η := sup f([a; b])⇒ ∃xn ∈ [a; b] f (xn) > η − 1
n (n ∈ N)11.9⇒ ∃ eine konvergente Teilfolge (xnk
)k≥1, so dass limk→∞
xnk= ξ ∈ [a; b]
f stetig in [a; b]15.9⇒ f(ξ) = lim
k→∞f (xnk
) = η
⇒ η ist Maximum von f in ξ (Minimum uber Infimum analog) 2
16.12 Zwischenwertsatz in 2. FassungR
Jede stetige Funktion f : [a; b]→ R hat in [a; b] ein Maximum β := max(f([a; b]))und ein Minimum α := min(f([a; b])) und nimmt jeden Wert zwischen α und βan, d. h. ∀ η ∈ R;α ≤ η ≤ β ∃ ξ ∈ [a; b] f(ξ) = η.
85
Beweis: 16.11 liefert: ∃u, v ∈ [a; b] f(u) = α, f(v) = βIst u = v ⇒ α = β ⇒ fkonstant V
Ebenso ist die Behauptung klar fur η = α ∧ η = β V
Sei α < η < β, u < v, g : [u; v]→ R, g(x) = f(x)− η (x ∈ [u; v])⇒ g stetig, g(u) = α− η < 0, g(v) = β − η > 016.3⇒ ∃ ξ ∈ [u; v] g(ξ) = 0⇒ f(ξ) = ηAnalog fur v < u mit g : [v;u]→ R, g(x) = η − f(x) 2
16.13 Zwischenwertsatz in 3. Fassung
Ist f : [a; b]→ R stetig, so existieren α, β ∈ R: f([a; b]) = {y;α ≤ y ≤ β}
Beweis: Umformulierung von 16.12
16.14 Definition: Monotonie bei Funktionen
Sei D ⊂ R, f : D → R. Dann heißt f (monoton) wachsend genau dann, wenngilt: ∀x, x′ ∈ D,x < x′ f(x) ≤ f (x′)Analog (monoton) fallend, streng (monoton) wachsend / fallend.
16.15 Satz
Es seien I ⊂ R ein Intervall, f : I → R wachsend.⇒ f hat in jedem Punkt x0 ∈ I einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenz-wert (falls x0 wirklich rechtsseitiger / linksseitiger Haufungspunkt von I).Es gilt – soweit sinnvoll:
limx→x0−0
f(x) = sup{f(x); x ∈ I; x < x0} ≤ f (x0)
≤ inf{f(x); x ∈ I; x > x0} = limx→x0+0
f(x)
Beweis: Sei x0 linksseitiger HP5 von I , M := {f(x);x ∈ I;x < x0} 6= ∅⇒M hat obere Schranke f (x0)⇔ α := supM existiert und ist ≤ f (x0)Behauptung: α = l − lim
x→x0
f(x)
Begrundung: Sei ε > 0⇒ ∃x′ ∈ I, x′ < x0 f (x′) > α− ε⇒ ∀x : x′ < x < x0 α− ε < f (x′) < f(x) < αδ := x0 − x′ ⇒ ε-δ-Kriterium erfullt⇒ lim
x→x0−f(x) = α
Rechtsseitiger Limes analog 2
5Haufungspunkt
86
Zusatz: In 16.15 gilt: f stetig⇔ f(I) einelementig oder ein zusammenhangen-des Intervall.
Beweis:
”⇒“ Wahle an, bn ∈ I; an < bn, an fallend, bn wachsend mit I =∞⋃
n=1[an; bn]
⇒ f(I) =∞⋃
n=1f ([an; bn]) einelementig oder Intervall nach 16.13. 2
”⇐“ Sei f in x0 ∈ I unstetig. Dann existieren drei Moglichkeiten:
a) x0 ist links- und rechtsseitiger HP von I16.15⇒ sup {f(x);x ∈ I;x < x0} < inf {f(x);x ∈ I;x > x0}Wegen f monoton folgt: f(I) ist nicht einelementig und kein zusam-menhangendes Intervall.
b) x0 ist linker Eckpunkt von I16.15⇒ f (x0) < inf {f(x);x ∈ I;x > x0} Es. o.
c) x0 ist rechter Eckpunkt von I16.15⇒ f (x0) > sup {f(x);x ∈ I;x < x0} E
⇒ Behauptung 2
16.16 Satz
Seien I ⊂ R Intervall, f : I → R stetig. Dann gilt: Die Abbildung I → f(I), x 7→f(x) ist bijektiv genau dann, wenn f streng monoton ist.
Beweis:
a) f streng monoton ⇒ f injektiv⇒ die Abbildung ist bijektiv, da sie nachDefinition surjektiv ist.
b) Sei f : I → f(I) bijektiv und a, b ∈ I , a < b⇒ f(a) 6= f(b) OBdA sei gleich f(a) < f(b)Sei a < x < b. Wir zeigen: f(a) < f(x) < f(b)Begrundung: Annahme: f(x) /∈]f(a); f(b)[f bijektiv⇒ f(x) < f(a) ∨ f(x) > f(b)Sei etwa f(x) < f(a). Wende den Zwischenwertsatz (16.3) an auf f |[x; b]⇒ ∃ ξ f(ξ) = f(a) E, da f bijektiv.Analog f(x) > f(b)
⇒ ∀ a, b ∈ I mit a < b ist f |[a; b] streng monoton 2
87
16.17 Satz
Sei I ⊂ R Intervall, f : I → R stetig und streng monoton wachsend bzw. fallend.⇒ J := f(I) ist ein Intervall und die Abbildung f : I → J ist bijektiv.f−1 : J → I, f−1(y) = x, falls y ∈ J, y = f(x) fur x ∈ I ist stetig und strengmonoton wachsend bzw. fallend wie f .
Beweis: Zusatz zu 16.15⇒ f streng monoton und stetig⇒ J ist Intervall, f : I → J bijektiv⇒ g := f−1 ist sinnvoll und bijektiv.Sei gleich f streng monoton wachsend.Behauptung: Dann ist auch g streng monoton wachsend.Begrundung: Seien y, y′ ∈ J, y < y′, Dann existieren eindeutig bestimmte x, x′ ∈I mit f(x) = y, f(x′) = y′
Wegen f streng wachsend gilt: x < x′ ⇒ y < y′ ⇒ g(y) < g(y′)Nun ist aber g(J) = I (Intervall)⇒ g stetig nach Zusatz zu 16.15. 2
16.18 Beispiel
Sei n ∈ N, f : [0;∞[→ R, f(x) = xn (x ≥ 0). Dann ist f streng monotonwachsend und stetig.
f([0;∞[) = [0;∞[16.17⇒ f−1 : [0;∞[→ R, f−1(x) = n
√x (x ≥ 0) ist ebenfalls
streng monoton wachsend und stetig.
16.19 Beispiel
Fur jedes r ∈ Q, r > 0 ist h : [0;∞[→ R, h(x) = xr (x ≥ 0) streng monotonwachsend und stetig.
Beweis: Sei r = mn (m,n ∈ N). Dann ist mit g : [0;∞[→ R, g(x) = r
√x =
n√xm
h = gm, d. h. [0;∞[g stetig→ [0;∞[
n-te Potenz stetig→ [0;∞[x 7→ n
√x 7→ ( n
√x)m ist Verkettung stetiger
Funnktionen und somit stetig (monoton sowieso) 2
88
17 Potenzreihen
∞∑
n=0anx
n: Potenzreihe∞∑
n=0xn = 1
1−x (|x| < 1) exp(x) =∞∑
n=0
xn
n! (x ∈ R)
17.1 Abelsches Lemma
benannt nach Nils-Hendrik Abel (1802-1829)
Gegeben sei die Potenzreihe∞∑
n=0anz
n (an ∈ C fest) und k ∈ Z, k ≥ 0. Ferner sei
0 6= w ∈ C so beschaffen, dass die Folge (anwn)n≥0 beschrankt ist; sei 0 < r <
|w|. Dann konvergiert die Reihe∞∑
n=0nkanz
n fur alle z ∈ C mit |z| ≤ r absolut und
fur alle z ∈ C mit |z| ≤ r ist die Reihe∞∑
n=0nk |an| rn eine konvergente Majorante
von∞∑
n=0nkanz
n
Spezialfall:∞∑
n=0zn, an = 1 ∀n w = 1
Erlauterungen: Uber R darf in 17.1 frei verfugt werden, es muss nur 0 < r <|w| sein. Ist nun z ∈ C, |z| < |w|, so wahle man r := |z| (oder r := 1
2(|z|+ |w|)).
Beweis: Wahle ρ > 0 mit 0 < ρ < |w|, z. B. ρ = 12(r + |w|). Sei |z| ≤ r. Dann
zeige:∞∑
n=0nk |an| rn ist konvergente Majorante zu
∞∑
n=0nkanz
n.
Begrundung: Setze q := rρ ∈]0; 1[⇒
∣∣nkanz
n∣∣ ≤ nk |an| rn
= |anwn|︸ ︷︷ ︸
≤:K
nk(ρ|w|
)n (rρ
)n
n
√
nk(ρ|w|
)n=(
n√n)k
︸ ︷︷ ︸n→∞−−−→1
ρ
|w|︸︷︷︸
<1
n→∞−−−→ ρ|w| < 1
⇒ ∃n0 ∀n > n0n
√
nk(ρ|w|
)n< 1
⇒ ∃L > 0 ∀n ≥ 0 nk(ρ|w|
)n≤ L
Ergebnis: ∀n ≥ 0∣∣nkanz
n∣∣ ≤ nk |an| rn < K · L · qn
⇒ Die geometr. Reihe∞∑
n=0qn ist konvergente Majorante von
∞∑
n=0nk |an| rn 2
89
17.2 Korollar
Ist (anwn)n≥0 fur ein von 0 verschiedenesw ∈ C beschrankt und z ∈ C, |z| < |w|,so konvergiert nach 17.1 die Reihe
∞∑
n=0anz
n absolut.
Die Beschranktheitsvoraussetzung bezuglich w ist speziell dann erfullt, wenn∞∑
n=0anw
n konvergiert.
Beweis: k = 0 in 17.1 2
17.3 Beispiele
a) Die geometr. Reihe∞∑
n=0zn mit w = 1 liefert eine beschrankte Folge an
︸︷︷︸
=1
wn
⇒ Reihe konvergiert fur |z| < 1.
b)∞∑
n=0z(n
2), d. h. an2 = 1 ∀n ≥ 0, ak = 0, falls k ∈ N\{n2;n ∈ Z;n ≥ 0
}
hat fur |z| < 1 die geometr. Reihe als konvergente Majorante, sie konvergiertalso fur |z| < 1.Fur |z| ≥ 1 ist
(
zn2)
n≥0keine Nullfolge, die Reihe also divergent.
c) Sei k ∈ Z⇒∞∑
n=1nkzn konvergiert fur |z| < 1, denn
n√
nk |zn| = ( n√n)k · |z| n→∞−−−→ |z|
⇒ ∃n0 ∀n ≥ n0n√
nk|z|n ≤ q (0 < q < 1), z. B. q := 12(1 + |z|)
⇒ Konvergenz fur |z| < 1Fur |z| > 1 gilt: n
√
nk |zn| n→∞−−−→ |z| > 1⇒ ∃n0 ∀n ≥ n0
n√
nk |zn| > 1⇒ Divergenz fur |z| > 1Fur |z| = 1 (auf dem Konvergenzkreis) hangt die Konvergenz von Koeffizi-enten ab, d. h. von k:k ≥ 0⇒ Divergenz ∀ z mit |z| = 1, aber keine absolute Konvergenzk = −1 ⇒ Divergenz fur z = 1, Konvergenz fur z = −1, Konvergenz fur|z| > 1, z 6= 1k ≤ 2⇒ Absolute Konvergenz fur |z| = 1
17.4 Satz
Zu jeder Potenzreihe∞∑
n=0an (z − z0)n (z0 ∈ C fest, an ∈ C fest, z ∈ C) gibt
es einen eindeutig bestimmten Konvergenzradius R ∈ [0;∞[∪{∞}, so dass gilt:∞∑
n=0an (z − z0)n konvergiert absolut ∀ z, |z − z0| < R (d. h. absolute Konvergenz
90
in C fur R = ∞) und divergiert ∀ z, |z − z0| > R (leere Aussage fur R = ∞).Keine Konvergenzaussage fur |z − z0| = R.Es gilt: R =”sup“
{
ρ > 0; (anρn)n≥0 beschrankt
}
, wobei diese Gleichung wiefolgt zu verstehen ist:Ist die Menge nach oben beschrankt, so ist R = sup {ρ > 0; (anρ
n) beschrankt}.Ist dagegen die Menge nicht nach oben beschrankt, so setze R :=∞ (formal).
Beweis: Ist die Folge (anρn)n≥0 beschrankte Folge fur jedes ρ > 0, so ist die
Behauptung klar nach 17.2.Sei nun M :=
{
ρ ≥ 0; ρ ∈ R; (anρn)n≥0 beschrankt
}
eine nach oben beschrank-te Teilmenge⊂ R, R := supM (M 6= ∅, da stets 0 ∈M ).Behauptung: R hat die geforderten Eigenschaften.Begrundung:
a) Sei z ∈ C, |z − z0| < R⇒ ∃ ρ ∈M mit |z − z0| < ρ < R17.2⇒
∞∑
n=0an (z − z0)n konvergiert absolut.
b) Sei z ∈ C, |z − z0| > R⇒ (an (z − z0)n)n≥0 unbeschrankt
⇒∞∑
n=0an (z − z0)n divergiert 2
Der Kreis KR (z0) := {z ∈ C; |z − z0| < R} heißt Konvergenzkreis von∞∑
n=0an (z − z0).
17.5 Beispiele:
a)∞∑
n=0nnzn: R = 0, d. h. Reihe konvergiert fur z = 0
b)∞∑
n=0zn: R = 1
c)∞∑
n=0c−nzn (c ∈ C, c 6= 0): R = |c|
d)∞∑
n=0n−nzn: R = ∞, denn fur n > 2|z| ist |n−nzn| < 1
2n . Das Majoranten-
kriterium liefert dann die Konvergenz.
17.6 Cauchy-Hadamardsche Formel
Die Potenzreihe∞∑
n=0an (z − z0)n hat den Konvergenzradius R = 1
limn→∞
n√
|an|, wo-
bei folgende Konventionen getroffen sind:
91
limn→∞
cn := ∞, falls (cn)n≥0 nicht nach oben beschrankt ist ⇒ R = 0 =: 1∞ .
Formal hier 10 :=∞
Beweis: Sei 0 < limn→∞
n√
|an| <∞
a) Sei 0 < ρ < 1
limn→∞
n√
|an|⇒ 1
ρ > limn→∞
n√
|an|
11.11 a)⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n01ρ <
n√
|an|⇒ (anρ
n)n≥0 beschrankt⇒ ρ ≤ R, d. h. 1
limn→∞
n√
|an|≤ R
b) Sei ρ > 0; ρ > 1
limn→∞
n√
|an|⇒ lim
n→∞n√
|an| > 1ρ
⇒ ∀N ∈ N ∃n ∈ N, n ≥ N n√
|an| > 1ρ
⇒ (anρn)n≥0 keine Nullfolge
⇒ ρ ≥ R, d. h. 1
limn→∞
n√
|an|≥ R
Zusammen: R = 1
limn→∞
n√
|an|
Die Falle limn→∞
n√
|an| = 0 bzw. limn→∞
n√
|an| =∞ analog 2
Multiplikation unendlicher Reihen: Gegeben seien∞∑
n=0an und
∞∑
n=0bn
Die formale Multiplikation liefert folgende Summanden:a0b0 a0b1 a0b2 . . .a1b0 a1b1 a1b2 . . .a2b0 a2b1 a2b2 . . ....
......
. . .
Eine Form der Anordnung bietet sich an fur Potenzreihen∞∑
n=0anz
n ·∞∑
n=0bnz
n:
a0b0z0 + (a0b1 + a1b0) z
1 + (a0b2 + a1b1 + a2b0) z2 + . . .
=∞∑
n=0(a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0) z
n
17.7 Definition: Cauchyprodukt∞∑
n=0cn mit cn :=
n∑
k=0
akbn−k heißt das Cauchy-Produkt von∞∑
n=0an und
∞∑
n=0bn.
17.8 Satz
Sind∞∑
n=0an und
∞∑
n=0bn zwei absolut konvergente Reihen, so konvergiert auch ihr
Cauchy-Produkt absolut, und es gilt:
92
∞∑
n=0an ·
∞∑
n=0bn =
∞∑
n=0cn mit cn wie oben.
Beweis: Setze sn :=n∑
k=0
ak, tn :=n∑
k=0
bk, un :=n∑
k=0
ck.
Zeige:
|sn · tn − un| =
∣∣∣∣∣∣
n∑
k=0
ak ·n∑
l=0
bl −n∑
m=0
m∑
k=0
akbm− k︸ ︷︷ ︸
=l
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
∑
0≤k≤n0≤l≤n
akbl −∑
0≤k,l≤nk+l≤n
akbl
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
∑
0≤k,l≤nk+l>n
akbl
∣∣∣∣∣∣∣∣
= |a1bn + a2 (bn−1 + bn) + a3 (bn−2 + bn−1 + bn) + . . .+ an (b1 + . . .+ bn)|
≤(
|a1|+ |a2|+ . . .+∣∣∣a[n
2 ]
∣∣∣
) (
|bn|+ |bn−1|+ . . .+∣∣∣b[n
2 ]+1
∣∣∣
)
+(∣∣∣a[n
2 ]+1
∣∣∣+ . . .+ |an|
)(
|b1|+ . . .+∣∣∣b[n
2 ]
∣∣∣
)
≤( ∞∑
k=1
|ak|)
︸ ︷︷ ︸
feste Konstante
∞∑
l=[n2 ]+1
|bl|
+
( ∞∑
l=1
|bl|)
︸ ︷︷ ︸
feste Konstante
∞∑
k=[n2 ]+1
|ak|
< ε
Beachte: Absolute Konvergenz ∀n ≥ n0(ε) wg. Cauchy-Kriterium.
⇒∞∑
n=0cn konvergiert gegen
∞∑
n=0an ·
∞∑
n=0bn.
Ersetzung von an durch |an| und bn durch |bn| ist zulassig.
⇒ |cn| ≤n∑
k=0
|ak| |bn−k|, d. h.:∞∑
n=0cn hat das Cauchy-Produkt als konvergente
Majorante, ist also absolut konvergent.
17.9 Multiplikationssatz fur Potenzreihen
Es seien f(z) :=∞∑
n=0an (z − z0)n fur |z − z0| < Rf (Konvergenz-Radius),
g(z) :=∞∑
n=0bn (z − z0)n fur |z − z0| < Rg zwei Potenzreihen mit Konvergenz-
Radien Rf , Rg > 0 und sei cn :=n∑
k=0
akbn−k fur n ≥ 0.
Dann hat h(z) :=∞∑
n=0cn (z − z0)n fur |z − z0| < Rh einen Konvergenzradius
Rh ≥ min (Rf ;Rg) und fur |z − z0| < min (Rf ;Rg) gilt: h(z) = f(z) · g(z).
93
Beweis: Fur |z − z0| < min (Rf ;Rg) konvergieren f(z) und g(z) absolut nach17.4. Ferner ist h(z) das Cauchy-Produkt der Reihen.17.5⇒ h(z) konvergiert fur |z − z0| < min (Rf ;Rg) und h(z) = f(z) · g(z) fur|z − z0| < min (Rf ;Rg)17.4⇒ h(z) hat Konvergenzradius Rh ≥ min (Rf ;Rg) . 2
17.10 Beispiele
a) f(z) =∞∑
n=0anz
n, mit an := 1 ∀n g(z) = b0 = 1 − z ⇒ Rf =
1, Rg =∞c0 = 1, cn =
n∑
k=0
ak︸︷︷︸
alle1
bn−k︸︷︷︸
fast alle 0
= 0 ∀n ≥ 1
⇒ h(z) = 1 Rh =∞( ∞∑
n=0zn)
(1− z) = 1 fur |z| < 1: Das ist die bekannte Summenformel fur
die geometrische Reihe.
b) f(z) = g(z) =∞∑
n=0zn (|z| < 1)
⇒ an = bn = 1 (n ≥ 0)⇒ cn = n+ 1
⇒(
11−z
)2=
( ∞∑
n=0zn)2
=∞∑
n=0(n+ 1)zn
17.11 Satz
Sei∞∑
n=0an (z − z0)n eine konvergente Potenzreihe mir Konvergenzradius R > 0.
Dann ist f : KR (z0) → C, f(z) =∞∑
n=0an (z − z0)n (|z − z0| < R) eine
stetige Funktion.
Beweis: Sei a ∈ KR (z0). Wir zeigen: f ist stetig in a.Wahle r > 0 mit |a− z0| < r < R. Sei jetzt z ∈ Kr (z0). Dann gilt:
|f(z)− f(a)| =∣∣∣∣
∞∑
n=0an ((z − z0)n − (a− z0)n)
∣∣∣∣
Setze jetzt z′ := z − z0, a′ := a− z0. Dann istz′n − a′n = (z′ − a′)
(z′n−1 + z′n−2a′ + . . .+ a′n−1
)
1.7= |z − a|
∣∣∣∣∣∣∣
∞∑
n=1an(z′n−1 + z′n−2a′ + . . .+ z′a′n−2 + a′n−1
)
︸ ︷︷ ︸
|...|≤n·rn−1
∣∣∣∣∣∣∣
94
≤( ∞∑
n=1
n |an| rn−1
)
︸ ︷︷ ︸
konv. nach 17.1feste Konstante
(|z − a|) fur alle z ∈ Kr (z0)
≤M |z − a|Sei ε > 0, δ > 0 so klein, dass δ < ε
M ; δ < r − |a− z0|.Dann gilt mit f stetig in a: ∀ z ∈ Kδ(a): |f(z)− f(a)| < ε 2
95
18 Die Exponentialfunktion
18.1 Satz
Die Exponentialreihe (John Isaac Newton, 1676)∞∑
n=0
zn
n! konvergiert ∀ z ∈ C ab-
solut und definiert die Exponentialfunktion exp : C→ C; exp(z) =∞∑
n=0
zn
n!
Die Exponentialfunktion ist stetig auf C nach 17.11 und genugt der Funktional-gleichung:exp(z + w) = exp(z) · exp(w) (z, w ∈ C)!!
Beweis: Quotientenkriterium. Sei t 6= 0. Fur alle n ≥ λ|z| gilt:∣∣∣zn+1
(n+1)! · n!zn
∣∣∣ =
∣∣∣z
n+1
∣∣∣ < 1
2
Nach dem Quotientenkriterium (12.18) folgt: Die Reihe konvergiert fur alle z ∈ C,fur den Konvergenzradius R gilt also: R =∞.Die Stetigkeit der Funktion ist klar nach 17.11.
Funktionalgleichung: an := zn
n! , bn := wn
n! , cn :=n∑
k=0
akbn−k (Cauchy-Produkt).
⇒ cn =
(n∑
k=0
zkn!wn−k
k!(n−k)!
)
1n! = (z+w)n
n! , i.e. der n-te Term der Reihe fur exp(z+w)
17.8⇒ exp(z) · exp(w) =∞∑
n=0an ·
∞∑
n=0bn =
∞∑
n=0cn = exp(z + w) 2
18.2 Satz
Es gilt:
a) exp(0) = 1, exp(1) =∞∑
n=0
1n! = e
b) exp(z) 6= 0 ∀ z ∈ C
c) exp(−z) = 1exp(z) ∀ z ∈ C
d) exp(z) = exp(z) ∀ z ∈ C
Beweis:
a) exp(0) = 00
0! = 11 = 1; exp(1) =
∞∑
k=0
1n! = e nach 12.5
b) exp(z) · exp(−z) = exp(0) = 1
c) siehe b)
96
d) klar, denn fur jede konvergente Reihe∞∑
n=0an (an ∈ C) konvergiert auch
∞∑
n=0an gegen
∞∑
n=0an, da die Konjugation: C→ C; z 7→ z stetig ist. 2
18.3 Satz
Die reelle Exponentialfuntion exp : R → R; x 7→ exp(x) (x ∈ R) erfullt dieFunktionalgleichung exp(x+ y) = exp(x) · exp(y) (x, y ∈ R).speziell: exp(−x) = 1
exp(x) (x ∈ R) und es gilt:
a) exp(x) > 0 ∀x ∈ Rexp(x) > 1 ∀x > 0exp(x) < 1 ∀x < 0
b) exp : R→ R ist streng monoton wachsend.
c) limx→∞
exp(x) =∞lim
x→−∞exp(x) = 0
d) exp(R) =]0;∞[
Beweis: Fur x ∈ R ist auch exp(x) =∞∑
n=0
xn
n! ∈ R, also exp : R→ R sinnvoll.
a) Fur x > 0 ist exp(x) ≥ 1 + x > 1,fur x < 0 daher exp(x) = 1
exp(−x) > 0 und < 1 wegen exp(−x) > 1.
b) Seien x, x′ ∈ R, x < x′
⇒ exp(x′) = exp(x+ (x′ − x)) = exp(x)︸ ︷︷ ︸
>0
· exp(x′ − x︸ ︷︷ ︸
>0
)
︸ ︷︷ ︸
>1
> exp(x)
c) Fur x > 0 ist exp(x) > 1 + x, also limx→∞
exp(x) =∞.
Wegen exp(x) = 1exp(−x) (x ∈ R) folgt: lim
x→−∞exp(x) = 0
d) klar nach c) und Zwischenwertsatz (16.3) 2
18.4 Satz
Fur alle x > 0, n ≥ 0 gilt:
a) exp(x) >n∑
k=0
xk
k! .
b) speziell gilt fur jede Polynomfunktion f : R→ R:limx→∞
f(x)exp(x) existiert und ist < 1.
D. h. die Exponentialfunktion wachst schneller als jedes Polynom.
97
Beweis:
a) klar nach Definition der Potenzreihe.
b) Fur f = 0 klar.Sei f 6= 0. Wahle in a) n := gradf + 1
⇒∣∣∣f(x)
exp(x)
∣∣∣ ≤ |f(x)|
n∑
k=0
xk
k!
(∀x > 0)x→∞−−−→ 0 nach 15.17 2
18.5 Satz
∀x ∈ R gilt: exp(x) ≥ 1 + x , wobei ”=“ nur fur x = 0 gilt, d. h. exp(x) istkonvex.
Beweis:
a) x > 018.4⇒ mit n := 1 Behauptung.
b) x = 0⇒ Behauptung
c) −1 < x < 0
⇒ exp(x) =∞∑
n=0
xn
n!= 1 + x+
∞∑
k=1
x2k
(2k)!+
x2k+1
(2k + 1)!︸ ︷︷ ︸
>0 wg. −1<x<0
> 1 + x
d) x ≤ −1⇒ exp(x) > 0 ≥ 1 + x 2
18.6 Satz
Fur alle r ∈ Q ist exp(r) = er.
Beweis:
a) exp(n) = en ∀n ∈ Z;n ≥ 0Begrundung: Induktion uber n:n = 0 : exp(0) = 1 = e0
n → n + 1 : Sei Beh. fur n richtig. exp(n + 1) = exp(n) · exp(1) =en · e = en+1
2
b) exp(n) = en ∀n ∈ ZBegrundung: n ≥ 0: siehe oben.
Sei n < 0⇒ exp(n)18.3= 1
exp(−n)
a)= 1
e−n = en 2
98
c) exp(r) = er ∀ r ∈ QBegrundung: Sei r = m
n m,n ∈ Z, n > 0
⇒ (exp(r))n =(
exp(m
n
))n= exp
(m
n
)
· . . . · exp(m
n
)
= exp(
n · mn
)
= exp(m)b)= em = (er)n
⇒ exp(r) = er wegen exp(x) positiv 2
18.7 Korollar
Die Definition ez := exp(z) (z ∈ C) ist sinnvoll, denn sie stimmt fur z ∈ Q
nach 18.6 mit der Definition aus 7.6 uberein, und es gilt:
a) ez+w = ez · ew ∀ z, w ∈ C, speziell fur ex+y = ex · ey ∀x, y ∈ R
b) ez 6= 0 ∀ z ∈ C, e−z = 1ez ∀ z ∈ C
c) ez = ez ∀ z ∈ C
d) ex > 0 ∀x ∈ R, die Abbildung R → R, x 7→ ex ∈]0;∞[ bildet R stetigund streng monoton wachsend auf ]0;∞[ ab.
e) limn→∞
xn
ex = 0 ∀n ∈ N
f) ex ≥ 1 + x ∀x ∈ R, ex = 1 + x nur fur x = 0
Beweis: Zusammenfassung von 18.1 bis 18.6.
99
19 Logarithmus und allgemeine Potenz
19.1 Satz
Die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion R 3 x 7→ ex ∈]0;∞[ (bijek-tiv) ist stetig und streng monoton wachsend und heißt (naturlicher) Logarithmuslog :]0;∞[→ R; t 7→ log t (andere Bezeichnung: ln t). Es gilt:elog t = t (t > 0)log (ex) = x (x ∈ R)log(x · y) = log x+ log y (x, y > 0)Warnung: Das geht so nur uber R, da auf C exp(x) periodisch ist.
Beweis: 16.17 liefert strenge Monotonie und Stetigkeit der Umkehrfunktion.Seien x, y > 0⇒ ∃ eindeutig bestimmte u, v ∈ R mit x = eu, y = ev
⇒ log(x · y) = log (eu · ev) = log (eu+v) = u+ v = log x+ log y 2
19.2 Eigenschaften des Logarithmus
a) log 1 = 0, log e = 1
b) limx→∞
log x =∞, limx→0
log x = −∞
c) log 1x = − log x (x > 0)
d) 1− 1x ≤ log x ≤ x− 1 (x > 0) ”=“ nur fur x = 1
Beweis:
a) klar nach oben.
b) klar nach oben.
c) klar nach oben.
d) ∀ t ∈ R gilt nach 18.5: et ≥ 1 + t.Setze hier: t := log x (x > 0)⇒ elog x ≥ 1 + log x⇔ x− 1 ≥ log x ”=“ nach 18.6 nur fur x = 1.Ersetze hier x durch 1
x⇒ − log x ≤ 1
x − 1⇔ log x ≥ 1− 1x
Auch hier gilt nach 18.6 ”=“ nur fur x = 1 2.
19.3 Satz
Sei a > 0. Dann gilt: log ar = r · log a (r ∈ Q)
100
Beweis:
a) Behauptung fur alle ganzen r ≥ 1 laut Funktionalgleichung mittels Indukti-on.
b) Fur n ∈ Z, n < 0 : log an = − log 1a−n = − log a−n
a)= n · log a
c) Sei r ∈ Q, r = mn ;m,n ∈ Z, n > 0
⇒ n · log ar = log (ar)n = log am = m · log a⇒ log ar = m
n log a = r · log a 2
19.4 Satz
Sei a ∈ R, a > 0. Dann gilt fur alle r ∈ Q (nach 19.3): ar = er·log a (Hier ist ar
definiert wie in 7.6). Daher ist fur x ∈ R die Definition ax = ex·log a (allgemeinePotenz) sinnvoll und es gilt:
a) Die Funktion R 3 x 7→ ax ∈]0;∞[ ist stetig und streng monoton wachsendfur a ≥ 1, konstant = 1 fur a = 1 bzw. streng monoton fallend fur 0 < a <1.Es gilt: log ax = x · log a (x ∈ R)
b) ax+y = ax · ay (x, y ∈ R), speziell a−x = 1ax =
(1a
)x
c) (ax)y = ax·y (x, y ∈ R)
d) (a · b)x = ax · bx (a, b > 0;x ∈ R)
Beweis:
a) klar.
b) Im Wesentlichen klar, a−x = e−x·log a = ex·log1a = elog(
1a)
x
=(
1a
)x
c) (ax)y = ey·log ax
= ey·x log a = axy
d) (a · b)x = ex·log abex·(log a+log b) = ax · bx 2
19.5 Satz
Sei a > 0, a 6= 1. Die Umkehrfunktion der Funktion: R 3 x 7→ ax ∈]0;∞[ iststetig und fur a > 0 streng monoton wachsend, fur a < 1 streng monoton fallendund heißt Logarithmus zur Basis a: loga :]0;∞[→ R; t 7→ loga t bijektiv. Esgilt:
a) aloga t = t (t > 0) loga ax = x (x ∈ R)
b) loga 1 = 0 loga a = 1
101
c) loga(x · y) = loga x+ loga y (x, y > 0)
d) loga (xα) = α · loga x (x > 0, α ∈ R)
e) Ist ferner b > 0, b 6= 1, so gilt:∀x > 0 logb x = (logb a) (loga x), speziell: logb a = 1
loga b
Beweis:
a) klar.
b) klar.
c) folgt aus e) mit b = e und 19.1
d) folgt aus e) mit b = e und 19.4
e) c)⇒ b(logb a)(loga x) =(blogb a
)loga x = aloga x = x = blogb x 2
19.6 Satz
Fur jedes α ∈ R ist die Funktion fα :]0;∞[→ R, fα(x) = xα stetig und strengmonoton wachsend fur α > 0, konstant = 1 fur α = 0 und streng monoton fallendfur α < 0. Fur α 6= 0 ist f 1
αdie Umkehrfunktion.
Beweis: fα(x) = eα·log x ⇒ Behauptung 2
19.7 Satz
a) Der Logarithmus wachst fur x→∞ schwacher als jede Potenz xα (α > 0),d. h. lim
x→∞log xxα = 0 (α > 0)
b) Der Logarithmus wachst fur x→ 0 schwacher als jede Potenz x−α (α > 0),d. h. lim
x→0xα · log x = 0 (α > 0)
Beweis:
a) Sei α > 0, n ∈ N mit 1n < α, ε > 0. Nach 18.4∃K > 0, y
n
ey < ε (y > K).Setze y := log x⇒ (log x)n
x < εn (x > eK)⇒ log x
xα ≤ log x
x1n< ε (x > eK)
⇒ Behauptung
b) folgt aus a) bei Ersetzung x 7→ 1x 2
102
19.8 Beispiele
a) log n√n = 1
n log nn→∞−−−→ 0 nach 19.7 wegen ex stetig
⇒ n√n
n→∞−−−→ 1 (vgl. 10.9 f))Sei c > 0 : c
1n = e
1n
log c n→∞−−−→ 1 (vgl. 10.14 c))
b) xx = ex·log xx→+0−−−−→ 1 (nach 19.7 b)), d. h. lim
x→0+xx = 1
19.9 Satz
Fur alle x ∈ R gilt: limn→∞
(1 + x
n
)n= ex
Beweis: 19.2 d)⇒ t−1t ≤ log t ≤ t− 1 ∀ t > 0
t 7→ t+ 1⇒ tt+1 ≤ log(1 + t) ≤ t ∀ t > −1
Sei x ∈ R, n ≥ n0 := [x] + 1⇒∣∣∣xn0
∣∣∣ < 1 und fur alle n ≥ n0 gilt mit t = x
n :
xn
x+nn
≤ log(
1 +x
n
)
≤ x
n
⇒ nx
x+ n≤ log
((
1 +x
n
)n)
≤ x
⇒ enx
x+n︸︷︷︸
n→∞−−−→ex
≤(
1 +x
n
)n≤ ex. 2
19.10 Satz
∀x > 0 gilt: limn→∞
n · ( n√x− 1) = log x
Beweis: 19.2 d)⇒ x−1x ≤ log x ≤ x− 1 (x > 0)
x 7→ n√x⇒ n
√x−1n√x≤ log x ≤ n ( n
√x− 1)
⇒ log x ≤ n ( n√x− 1) ≤ n
√x log x ∀x > 0 2
103
20 Winkelfunktionen
20.1 Satz
∀x ∈ R :∣∣eix∣∣ = 1
Beweis:∣∣eix∣∣2 = eix · eix = eix · eix x∈R
= eix · e−ix = e0 = 1.Geometrische Deutung: ∀x ∈ R liegt eix
x
{
{ {cos x
sin x
eix
Abbildung 1: Geometr. Deutung
auf der Einheitskreislinie. Dabei ist x die orien-tierte Bogenlange des Kreisbogens von 1 nacheix, d. h. orientierte Lange des Bogens{ {
eit : 0 ≤ t ≤ x}
fur x ≥ 0{eit : 0 ≥ t ≥ x
}fur x ≤ 0
,
(siehe dazu auch Abb. 1)Im Detail beweisen wir das in Analysis II.
20.2 Definition: Sinus, Cosinus
Fur x ∈ R sei cosx := Re eix sinx := Im eix, siehe Abb. 1.
20.3 Eulersche Formeln
Fur alle x ∈ R gilt:
cosx =1
2
(eix + e−ix
), sinx =
1
2i
(eix − e−ix
)
eix = cosx+ i sinx e−ix = cosx− i sinx
Beweis: eix = Re eix + iIm eix = cosx+ i sinxe−ix = Re e−ix + iIm e−ix = Re
(
eix)
+ iIm(
eix)
= Re eix − iIm eix =
cosx− i sinx⇒ cosx = 1
2
(eix + e−ix
)sinx = 1
2i
(eix − e−ix
)2
20.4 Satz
cos : R→ R ist gerade Funktion, d. h. cos(−x) = cos(x)sin : R→ R ist ungerade Funktion, d. h. sin(−x) = − sin(x)sin2 x+ cos2 x = 1 (x ∈ R)
Beweis: cosx = 12
(eix + e−ix
)⇒ cos(−x) = 1
2
(e−ix + eix
)= cosx
sinx = 12i
(eix − e−ix
)⇒ sin(−x) = − 1
2i
(e−ix − eix
)= − sinx
cos2 x+ sin2 x =∣∣eix∣∣2 = 1 nach 20.1 2
104
20.5 Satz
Cosinus und Sinus sind stetig.
Beweis: Klar nach 20.3, da die Exponentialfunktion stetig ist.
20.6 Additionstheoreme
Fur alle x, y ∈ R gilt:cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin ysin(x+ y) = sinx cos y + cosx sin y
Beweis: cos(x+ y) + i sin(x+ y) = ei(x+y) = eix · eiy= (cosx+ i sinx)(cos y + i sin y)= cosx cos y − sinx sin y + i(cosx sin y + sinx cos y) 2
Folgerung: 20.6 mit 20.4⇒ cos(x− y) = cosx cos y + sinx sin y,sin(x− y) = sinx cos y − cosx sin y
20.7 Korollar
sin(2x) = 2 sinx cosxcos(2x) = cos2 x− sin2 x = 1− 2 sin2 x = 2 cos2 x− 1 2
20.8 Korollar
∀x, y ∈ R ist sinx− sin y = 2 cos(x+y
2
)sin(x−y
2
)
cosx− cos y = −2 sin(x+y
2
)sin(x−y
2
)
Beweis: sinx− sin y = sin(x+y
2 + x−y2
)− sin
(x+y2 −
x−y2
)
= 2 cos(x+y
2
)sin(x−y
2
)
cosx− cos y dito. 2
20.9 SatzC
Fur alle x ∈ R gilt:
cosx =∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!= 1− x2
2+x4
24. . .
sinx =∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!= x− x3
6+
x5
120. . .
105
Beweis:
eix =∞∑
n=0
(ix)n
n!=
∞∑
n=0
(ix)2n
(2n)!+
∞∑
n=0
(ix)2n+1
(2n+ 1)!
Diese Umordnung ist moglich, da die Reihe absolut konvergent ist.
=
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!+ i
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!= cosx+ i sinx 2
20.10 Korollar
limx→0x6=0
sinx
x= 1
Beweis: Fur x 6= 0 ist sinxx =
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n+ 1)!︸ ︷︷ ︸
Pot.-Reihe kvgt. fur x∈R
stetig auf R nach 17.11⇒ limx→0x6=0
sinxx = 1 (Wert der Reihe in 0) 2
Motivation: π ist Ludolphsche Zahl – benannt nach Ludolph von Ceulen (1540-1610) – π
2 ist kleinste positive Nullstelle des Cosinus, zur Einfuhrung von π beimanalytischen Zugang:
20.11 Satz
Es gibt genau eine reelle Zahl π > 0 (die ludolphsche Zahl π = 3, 141592653 . . .)mit folgenden Eigenschaften:
a) cos π2 = 0, 0 < π2 < 2
b) cosx > 0, 0 ≤ x < π2
Beweis:
i) cos 0 = 1 ist klar.
ii) cos 2 < 0, denn ∀n ≥ 1 : 2 2n(2n)! > 2 2n+2
(2(n+1))!
(2n+ 1)(2n+ 2) > 4
⇒ cos 2 =∞∑
n=0(−1)n 22n
(2n)! = 1− 42 +
∞∑
n=2
22n
(2n)!︸ ︷︷ ︸
mon. Nullfolge︸ ︷︷ ︸
≤1. Term d. Reihe: s. 12.15 Zus.
≤ 1− 2 + 24
4! = −13
106
⇒M := {x > 0; cosx = 0} 6= ∅Definiere: π := 2 · infM > 0 wg. Stetigkeit des Cosinus und cos 0 = 1.⇒ cos > 0 fur 0 ≤ x < π
2 2
20.12 Lemma
Fur 0 < x ≤ 2 ist sinx > 0
Beweis: Sei 0 < x ≤ 2
⇒ sinxx = 1− x2
3! +∞∑
n=1
x4n
(4n+1)!
(
1− x2
(4n+ 2)(4n+ 3)
)
︸ ︷︷ ︸
>0 wg. 0<x≤2
> 1− 43! = 1
3 2
20.13 Korollar
Es gilt folgende Wertetabelle:
x 0 π2 π 3π
2 2πcosx 1 0 −1 0 1sinx 0 1 0 −1 0eix 1 i −1 −i 1
Beweis: sin2(π2
)= 1− cos2 π
2 = 1Wegen 20.12⇒ sin π
2 = 1
⇒ eiπ2 = i
⇒ eπi =(
eπi2
)2= −1 = i2
⇒ sinπ > 0e
3πi2 = eπi · eπi
2 = −i⇒ sin 3πi
2 = −1e2πi = eπi · eπ = (−1) · (−1) = 1 2
20.14 Korollar
∀x ∈ R gilt:
a) cos(x+ π) = − cosx, sin(x+ π) = − sinx, ei(x+π) = −eix
b) cos(x+ 2π) = cosx sin(x+ 2π) = sinx ei(x+2π) = eix
c) cos(π2 − x
)= sinx sin
(π2 − x
)= cosx
d) cos(x+ π
2
)= − sinx sin
(x+ π
2
)= − cosx
107
Beweis:
a) ei(x+π) = eix · eπi︸︷︷︸
=−1
= −eix ⇒a)
b) ei(x+2π) = eix · e2πi︸︷︷︸
=1
= eix ⇒b)
c) cos(π2 − x
)+ i sin
(π2 − x
)= ei(
π2−x) = e
πi2 · e−ix
= ie−ix = sinx+ i cosx
d) klar nach a) und c) 2
Resultat: Kennt man eine der Funktionen Sinus oder Cosinus auf[0; π2
], so
kennt man beide auf R.
20.15 Korollar
sinx > 0 fur 0 < x < π sinx < 0 fur π < x < 2πcosx > 0 fur −π
2 < x < π2 cosx < 0 fur π2 < x < 3π
2
Beweis: Fur 0 < x < π ist −π2 <
π2 − x < π
2⇒ sinx = cos
(π2 − x
)> 0
sin(π + x) = − sinx⇒ Beh. 2
20.16 Korollar
a) {x ∈ R; sinx = 0} = {k · π; k ∈ Z}
b) {x ∈ R; cosx = 0} ={(
12 + k
)π; k ∈ Z
}
Beweis: 20.14 und 20.15 liefern die Behauptung 2
20.17 Satz: Arcusfunktionen
a) Die Restriktion des Sinus: sin :[−π
2 ; π2]→ [−1; 1] ist stetig, streng mono-
ton wachsend und surjektiv, hat also eine stetige, streng monoton wachsendeund surjektive Umkehrfunktion arcsin : [−1; 1]→
[−π
2 ; π2]
b) Die Restriktion des Cosinus: cos : [0;π] → [−1; 1] ist stetig, streng mono-ton fallend und surjektiv, hat also eine stetige, streng monoton fallende undsurjektive Umkehrfunktion arccos : [−1; 1]→ [0;π]arccosx = π
2 − arcsinx (−1 ≤ x ≤ 1)
108
Beweis:
a) Nur strenge Monotonie ist noch zu prufen. Sei x′ < x ∈[−π
2 ; π2]
⇒ sinx− sinx′20.8= 2 cos
x+ x′
2︸ ︷︷ ︸
>0
· sin x− x′
2︸ ︷︷ ︸
>0
> 0⇒ Beh.
b) Monotonie folgt aus a) und 20.14 d)cos(π2 − arcsinx
)= sin(arcsinx) = x und π
2 − arcsinx ∈ [0;π]⇒ π
2 − arcsinx = arccosx 2
20.18 Satz
a) ∀ z ∈ C, z = x+ iy (x, y ∈ R) gilt:ez = ex(cos y + i sin y), speziell gilt: ez+2πik = ez (k ∈ Z),d. h. exp(x) hat die Periode 2πi
b) Fur z, w ∈ C gilt:ez = 1⇔ ∃ k ∈ Z z = w + 2πik
Beweis:
a) ez = ex+iy = ex · eiy = ex(cos y + i sin y)
b) ”⇒“ Sei z ∈ C, ez = 1 z = x+ iy (x, y ∈ R)⇒ |ez| = |ex|
︸︷︷︸
>0
·∣∣eiy∣∣
︸︷︷︸
=1
= |ex| = 1⇒ x = 0
⇒ ez = eiy = 1⇒ sin
(y2
)= 1
2i
(
eiy2 − e−i y
2
)
= 12ie
−i y2
(eiy − 1
)= 0
20.16⇒ ∃ k ∈ Z y2 = k · π
⇔ ∃ k ∈ Z y = 2πk ⇒ z = 2πik
”⇐“ klar nach a)
ez = ew ⇒ ez−w = 1⇒ ∃ k ∈ Z z − w = 2πik 2
20.19 Polarkoordinaten
Jedes z ∈ C lasst sich schreiben in der Form z = r · eiϕ mit r = |z| ∈ [0;∞[ undϕ ∈ R. Fur z 6= 0 ist ϕ bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π eindeutig bestimmtund heißt das Argument von z. ϕ: Winkel, r: Radius.
Beweis: Fur z ≤ 0 ist die Behauptung klar.Sei also z 6= 0, r := |z| ⇒ z
r = ξ + iη (ξ, η ∈ R)
⇒∣∣ zr
∣∣2 = 1 = ξ2 + η2, speziell |ξ| ≤ 1
⇒ α := arccos ξ ∈ [0;π] ist sinnvoll, cosα = ξ
109
⇒ sin2 α = 1− cos2 α = 1− ξ2 = η2
⇒ sinα = ±ηϕ :=
{α falls sinα = η−α falls sinα = −η ⇒ cosϕ = cosα = ξ, sinϕ = η
⇒ eiϕ = cosϕ+ i sinϕ = ξ + iη = zr ⇒ Existenz
Eindeutigkeit: Sei z := r · eiϕ = r · eiψ mit ϕ,ψ ∈ R, r = |z|⇒ ei(ϕ−ψ) = 1
20.18⇒ ϕ− ψ = 2πk mit geeignetem k ∈ Z 2
Anwendung: Sei z1 := r1 · eiϕ1 , z2 = r2eiϕ2
⇒ z1 ·z2 = r1 ·r2 ·ei(ϕ1+ϕ2), d. h. bei der Multiplikation komplexer Zahlen werdendie Betrage multipliziert und die Argumente addiert.
20.20 Korollar
Zu jedem Paar (x, y) ∈ R2 mit x2 + y2 = 1 gibt es genau ein t ∈ [0; 2π[ mitx = cos t, y = sin t (Parametrisierung des Einheitskreises).
Beweis: 20.19 mit z = x+ iy 2
20.21 Satz
Fur jedes n ∈ N hat die Gleichung zn = 1 (z ∈ C) genau n verschiedene Losun-gen in C, die sog. n-ten Einheitswurzeln zk = e
2πikn (k = 0, 1, . . . , n − 1), die
Eckpunkte des dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmaßigen n-Ecks mit Ecke1.
Beweis: Offenbar sind z0, z1, . . . , zn−1 n verschiedene Losungen der Gleichungzn = 1. Andererseits hat aber die Polynomfunktion f(z) = zn − 1 hochstens nNullstellen.⇒ Behauptung 2
20.22 Definition: Tangens, Cotangens
a) Fur x ∈ R\{(k + 1
2
)· π; k ∈ Z
}sei tanx := sinx
cosx
b) Fur x ∈ R\{k · π; k ∈ Z} sei cotx := cosxsinx
Beide haben die Periode π.
20.23 Satz
Tangens und Cotangens sind ungerade Funktionen mit Periode π und es gilt:tan(x+ y) = tanx+tan y
1−tanx tan y , falls x, y, x+ y ∈ R\{(k + 1
2
)π; k ∈ Z
}
cot(x+ y) = cotx cot y−1cotx+cot y , falls x, y, x+ y ∈ R\{kπ; k ∈ Z} 2
110
20.24 Satz
a) Die Funktion tan :]−π
2 ; π2[→ R ist streng monoton wachsend, stetig und
surjektiv, hat also eine streng monoton wachsende, stetige und surjektiveUmkehrfunktion arctan : R→
]−π
2 ; π2[.
b) Die Funktion cot :]0;π[→ R ist streng monoton fallend, stetig und surjektiv,hat also eine streng monoton fallende, stetige und surjektive Umkehrfunktionarccot : R→]0;π[.arccotx = π
2 − arctanx
Beweis:
a) Sie 0 ≤ x < x′ < π2 ⇒ sin ≤ sinx < sinx′, cosx > cosx′ > 0
⇒ 0 ≤ tanx < tanx′
Tangens ungerade ⇒ tan :]−π
2 ; π2[→ R ist stetig und streng monoton
wachsend.sinx
x→π2−0−−−−−→ 1 cosx
x→π2−0−−−−−→ 0 (↓ 0)
⇒ limx→π
2−0
tanx =∞, limx→π
2+0
tanx = −∞ wg. Tangens ungerade.
⇒ Behauptung.
b) cotx = tan(π2 − x
)⇒ Behauptung 2
111
Teil IV
Differentialrechnung21 Differenzierbare Funktionen
21.1 Definition: Differenzierbarkeit, Ableitung
a) Sei I ⊂ R ein Intervall, x0 ∈ I , f : I → R.
f heißt in x0 differenzierbar6, falls f ′ (x0) = limx→x0x6=x0
f(x)− f (x0)
x− x0︸ ︷︷ ︸
Differentenquotient=tanϕ
=:
dfdx (x0) =: df
dx
∣∣∣x=x0
in R existiert; f ′ (x0) heißt dann die Ableitung von f inx0.Ist f diffbar in x0, so heißt ϕ(x) := f (x0) + (x− x0) f
′ (x0) die Tangentean f in x0.
b) f heißt diffbar, falls f diffbar ist in jedem Punkt aus I;dann heißt f ′ : I → R; x 7→ f ′(x) die Ableitung von f .
Bemerkung: Ist hier x0 Eckpunkt von I , so handelt es sich um die sog.rechts- bzw. linksseitige Ableitung von f in x0.
”Differentialquotient“ = Steigung der Tangente am Graphen von f in(x0|f (x0)) = f ′ (x0).
21.2 Beispiele
a) ddxx
n = n · xn−1 (n ∈ N0;x ∈ R), rechte Seite 0 fur n = 0
b) ddxe
x = ex (x ∈ R) ddx log x = 1
x (x > 0)
c) ddx sinx = cosx d
dx cosx = − sinx (x ∈ R)
Beweis:
a) Fur n = 0 ist die Behauptung klar.Sei n ≥ 1, n ∈ Z, x, x0 ∈ R, x 6= x0
xn−xn0
x−x0
1.7=
n∑
k=1
xn−kxk−10
x→x0x6=x0−−−→ n · xn−1
0
b) ex−ex0
x−x0= ex0 e
x−x0−1x−x0
= ex0 ·∞∑
n=1
(x−x0)n−1
n!
x→x0x6=x0−−−→ ex0 · 1 = ex0
log x−log x0
x−x0: 1 − 1
t ≤ log t ≤ t − 1 Setze t := xx0
, x0 > 0, x > 0,
6kurz: diffbar
112
x 6= x0x−x0x ≤ log x− log x0 ≤ x−x0
x0
⇒ 1x ≤
log x−log x0
x−x0≤ 1
x0, falls x > x0
⇒ limx→x0x6=x0
log x−log x0
x−x0= 1
x0
c) sinx−sinx0x−x0
20.8=
cosx+x0
2sin
x−x02
x−x02
= cos x+x02
sinx−x0
2x−x0
2
→ cosx0
cosx−cosx0x−x0
=sin(x+ π
2 )−sin(x0+π2 )
(x+ π2 )−(x0+π
2 )s. o.−−→ cos
(x0 + π
2
)= − sinx0 2
21.3 Satz
Ist f : I → R diffbar in x0 ∈ I , so auch stetig. Umkehrung falsch
Beweis: Sei x ∈ I , x 6= x0 f(x) − f (x0) = (x− x0)︸ ︷︷ ︸
→0
f(x)− f (x0)
x− x0︸ ︷︷ ︸
→f ′(x0)
x→x0x6=x0−−−→
0⇒ f stetig 2
Fur die Nichtgultigkeit der Umkehrung folgendes
21.4 Beispiel
f : R → R, f(x) = |x|. Dann ist f offensichtlich stetig, nicht aber diffbar in 0,dennx > 0⇒ f(x)−f(0)
x−0 = |x|x = 1
x→0+0−−−−→ 1 und
x < 0⇒ f(x)−f(0)x−0 = |x|
x = −1x→0−0−−−−→ −1
⇒ f ist nicht diffbar.Bemerkung: Es gibt stetige Funktionen f : R → R, die in keinem Punkt diffbarsind.
21.5 Satz
Seien f, g : I → R in x0 ∈ I diffbar, α ∈ R. Dann gilt:
a) (αf) ist diffbar in x0 mit (αf)′ (x0) = α · f ′ (x0)
b) (f + g) ist diffbar in x0 mit (f + g)′ (x0) = f ′ (x0) + g′ (x0)
c) (f · g) ist diffbar in x0 mit (f · g)′ (x0) = f ′ (x0) g (x0) + f (x0) g′ (x0) Produktregel
d) Ist g (x0) 6= 0, so ist 1g in einer Umgebung von {x0}∩I erklart, in x0 diffbar
mit(
1g
)′(x0) = −g′(x0)
g2(x0)
113
e) Ist g (x0) 6= 0, so ist fg (x0) in einer Umgebung von {x0} ∩ I erklart und in Quotientenregel
x0 diffbar mit(fg
)′(x0) = f ′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)
g2(x0)
Beweis:
a) (αf)(x)−(αf)(x0)x−x0
= α f(x)−f(x0)x−x0
x→x0x6=x0−−−→ α · f ′ (x0)
b) (f+g)(x)−(f+g)(x0)x−x0
= f(x)−f(x0)x−x0
+ g(x)−g(x0)x−x0
x→x0x6=x0−−−→ f ′ (x0) + g′ (x0)
c) (f ·g)(x)−(f ·g)(x0)x−x0
= f(x)−f(x0)x−x0
g (x0)︸ ︷︷ ︸
→g(x0)
+f (x0)g(x)−g(x0)x−x0
x→x0x6=x0−−−→ f ′ (x0) g (x0) + f (x0) g
′ (x0)
d) Sei g (x0) 6= 0⇒ ∃U ∈ U (x0) mit g(x) 6= 0 ∀x ∈ U ∩ I⇒ 1
g ist auf U ∩ I sinnvoll und ∀x ∈ U ∩ I, x 6= x0 gilt:(
1g
)
(x)−(
1g
)
(x0)
x−x0= − g(x)−g(x0)
x−x0· 1g(x)g(x0)
x→x0x6=x0−−−→ − g′(x0)
g2(x0), da g stetig in x0
e) klar nach c) und d) 2
21.6 Beispiel
Sei n ∈ Z, n < 0, f : R\{0} → R, f(x) = xn
⇒ f ist diffbar auf R\{0} mit f ′(x) = n · xn−1
Beweis: 21.2 a) und 21.5 d)⇒ f diffbar und es gilt:f ′(x) = d
dx1
x−n = − (−n)x−n−1
(x−n)2= n · xn−1 ∀x ∈ R\{0} 2
21.7 Beispiel
tan : R\{π2 + kπ, k ∈ Z
}→ R, cot : R\ {kπ, k ∈ Z} → R sind diffbar mit
ddx tanx = 1
cos2 x= 1 + tan2 x d
dx cotx = − 1sin2 x
= −(1 + cot2 x
)
Beweis: Quotientenregel 21.5 e) liefert:ddx tanx = d
dxsinxcosx = cos2 x+sin2 x
cos2 x= 1
cos2 x= 1 + tan2 x
ddx cotx = d
dxcosxsinx = − sin2 x−cos2 x
sin2 x= −
(1 + cot2 x
)= − 1
sin2 x2
21.8 Kettenregel
Seien I, J ⊂ R Intervalle, f : I → R, g : J → I , x0 ∈ J , g diffbar in x0, f diffbarin y0 := g (x0)Behauptung: f ◦ g : I → R ist in x0 diffbar mit (f ◦ g)′ (x0) = f ′ (g (x0)) · g′ (x0)
114
Plausibilitatsbetrachtung: Sei x ∈ J , x 6= x0, y := g(x), y0 := g (x0). Dann istf(g(x))−f(g(x0))
x−x0= f(y)−f(y0)
y−y0f(x)−g(x0)
x−x0, falls y 6= y0
Fur x→ x0 gilt: g(x)−g(x0)x−x0
x→x0x6=x0−−−→ g′ (x0) und
f(y)−f(y0)y−y0
x→x0x6=x0−−−→ f ′ (y0) = f ′ (g (x0)), falls y 6= y0
Beweis: Setze h : I → R, h(t) :=
{f(t)−f(y0)
t−y0 fur alle t 6= y0
f ′ (y0) fur alle t = y0
f diffbar in y0⇒ h ist stetig in y0
⇒ limt→y0
h(t) = f ′ (y0)
Fur alle t ∈ I: f(t)− f (y0) = (t− y0) (h(t)) mit t = g(x)
⇒ ∀x 6= x0, x ∈ J ist f(g(x))−f(g(x0))x−x0
= h(g(x)) g(x)−g(x0)x−x0
x→x0x6=x0−−−→ f ′ (y0) · g′ (x0) 2
21.9 Beispiele
a) Sei a > 0. Dann gilt: ddxa
x = ax · log a (x > 0)
Beweis: ddxa
x = ddxe
x·log a (diffbar nach Kettenregel) = ex·log a · log a =ax · log a 2
b) Sei a > 0, a 6= 1⇒ ddx loga x = 1
x·log a
Beweis: loga x = log xlog a
19.5 e)⇒ ddx
log xlog a = 1
x·log a 2
c) ddxx
α = α · xα−1 (x > 0, α ∈ R), speziell: ddx
√x = 1
2√x
(x > 0)
Beweis: ddxx
α(ex. nach Kettenregel)= ddxe
α·log x = eα·log x · α · 1x
= α · xα−12
d) sinhx := 12 (ex − e−x) , coshx := 1
2 (ex + e−x) heißen Sinus hyper-bolicus bzw. Cosinus hyperbolicus. Es gilt:cosh2 x− sinh2 x = 1cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)sinh(x+ y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)ddx coshx = sinhx d
dx sinhx = coshx (x ∈ R)Umkehrfunktionen:arsinh : R→ R, arsinhx := log
(
x+√
1 + x2)
(x ∈ R)
115
arcosh : R→ R; arcoshx := log(
x+√x2 − 1
)
(x ∈ R)ddxarsinhx = 1√
1+x2(x ∈ R) d
dxarcoshx = 1√x2−1
(x > 1)
cosh : [0;∞[→ [1;∞[ ist streng monoton wachsend und bijektiv.
21.10 Ableitung der Umkehrfunktion
Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → I , f(I) ⊂ R stetig, streng monoton, bijektiv undg : I → I Umkehrfunktion von f . Ferner sei f in x0 ∈ I diffbar mit f ′ (x0) 6= 0.Dann ist g in y0 := f (x0) diffbar mit g′ (y0) = 1
f ′(x0) .
Beweis: Sei y ∈ J , y 6= y0, x := g(y), (6= x0)
⇒ g(y)−g(y0)y−y0 = 1
f(x)−f(x0)x−x0
y→y0y 6=y0−−−→ 1
f ′(x0)wg. Stetigkeit 2
21.11 Beispiele
a) ddx arcsinx = 1√
1−x2fur −1 < x < 1,
ddx arccosx = − 1√
1−x2fur −1 < x < 1
Beweis: 21.10 mit J =[−π
2 ; π2], f(x) = sinx
⇒ f ′(x) = cosx = 0 fur x = ±π2
⇒ Fur −1 < y < 1 ist y 7→ arcsin y diffbar mitddy arcsin y = 1
cosx = 1√1−sin2x
mit y = sinx. Beachte: cosx > 0!arccosx = π
2 − arcsinx⇒ Beh. II 2
b) ddx arctanx = 1
1+x2 (x ∈ R) ddxarccotx = − 1
1+x2 (x ∈ R)
Beweis: I :=]−π
2 ; π2[, f(x) = tanx (x ∈ I),
ddx tanx = 1 + tan2 x 6= 0 (x ∈ I), y := tanx
⇒ ddx arctan y = 1
1+tan2 x= 1
1+y2
arccot y = π2 − arctan y (y ∈ R)⇒ Beh. II 2
116
22 Lokale Extrema, Satz von Rolle, Mittelwertsatz
22.1 Definition: lokales Extremum
Sei f : I → R eine Funktion, x0 ∈ I . Dann hat f in x0 ein lokales Maximum(bzw. Minimum) genau dann, wenn gilt:∃ δ > 0 ∀x ∈ ]x0 − δ;x0 + δ[ ∩ I f (x0) > f(x) (bzw. f (x0) < f(x)).Gilt ”=“ nur fur x = x0, so heißt x0 ein isoliertes lokales Extremum.
22.2 Satz
Sei f : I → R in x0 diffbar und habe in x0 ein lokales Extremum. Ferner sei x0
ein innerer Punkt von I , d. h. es gebe δ > 0 mit ]x0 − δ;x0 + δ[ ⊂ I . Dann istf ′ (x0) = 0D. h.: Notwendig aber nicht hinreichend fur das Vorliegen eines lokalen Extre-mums ist das Verschwinden der ersten Ableitung.
Beweis: OBdA habe f in x0 ein lokales Maximum (sonst f 7→ −f ).Sei x0 < x < x0 + δ ⇒ f(x)−f(x0)
x−x0≤ 0
⇒ limx→x0+0
f(x)−f(x0)x−x0
= f ′ (x0) ≤ 0.
Sei nun x0 − δ < x < x0 ⇒ f(x)−f(x0)x−x0
≥ 0
⇒ limx→x0−0
f(x)−f(x0)x−x0
= f ′ (x0) ≥ 0
⇒ f ′ (x0) = 0 2
Beispiel: f : R→ R, f(x) = x3 (x ∈ R) ist streng monoton wachsend aberf ′(0) = 0
22.3 Satz von Rolle
benannt nach Michel Rolle, 1652-1719Sei f : [a; b]→ R stetig, diffbar in ]a; b[ und f(a) = f(b)⇒ ∃ ξ ∈]a; b[ mit f ′(ξ) = 0.
Beweis:
a) Sei f konstant⇒ ∀ ξ ∈]a; b[: f ′(ξ) = 0
b) Sei f nicht konstant: OBdA ∃x′ ∈]a; b[ mit f (x′) > f(a) (sonst f 7→ −f )16.11⇒ f hat in [a; b] ein absolutes Maximum.Wegen f(a) = f(b) < f (x′) gilt: f(ξ) > f(a) ⇒ ξ ∈]a; b[, wobei ξMaximum ist.⇒ f ′(ξ) = 0 2
117
22.4 Verallg. Mittelwertsatz: Cauchy
Seien f, g : [a; b]→ R stetig und diffbar in ]a; b[.Dann ∃ ξ ∈]a; b[ mit (f(b)− f(a)) · g′(ξ) = (g(b)− g(a)) · f ′(ξ).
Beweis: Betrachte h : [a; b]→ R,h(x) := (f(b)− f(a))g(x)− (g(b)− g(a))f(x) (x ∈ [a; b])⇒ h ist stetig auf [a; b] und diffbar auf ]a; b[.h(a) = f(b)g(a)− g(b)f(a) = h(b)22.3⇒ ∃ ξ ∈]a; b[ h′(ξ) = 0⇒ Behauptung 2
22.5 Mittelwertsatz: LaGrange
benannt nach Joseph Louis LaGrange, 1736-
a
b
x
Abbildung 2: LaGrange
1813Sei f : [a; b]→ R stetig und diffbar in ]a; b[.⇒ ∃ ξ ∈]a; b[: f(b)−f(a)
b−a = f ′(ξ)Geometrische Interpretation: Steigung der Se-kante durch (a|f(a)) und (b|f(b)) = Steigungder Tangente in (ξ|f(ξ)). (siehe Abb. 2)
Beweis:
1. Beweis: Setze g(x) := x in 22.4 2
2. Beweis: Setze ϕ(x) := f(a) + f(b)−f(a)b−a (x− a) = Sekante,
h := f − ϕ⇒ h stetig und diffbar in ]a; b[.h(a) = 0 = h(b)⇒ ∃ ξ ∈]a; b[: h′(ξ) = 0 = f ′ − ϕ′
⇒ Behauptung 2
22.6 Korollar
Sei f : [a; b]→ R stetig, diffbar in ]a; b[ und f ′(x) = 0 ∀x ∈]a; b[⇒ f ist konstant.
Beweis: Sei a < c ≤ b: Wende den Mittelwertsatz (22.4) an auf f |[a; c]⇒ ∃ξ ∈]a; c[: f(c)−f(a)
c−a = f ′(ξ) = 0 nach Voraussetzung.⇒ f(c)− f(a) = 0 ∀ c ∈]a; b[⇒ f konstant auf [a; b] 2
22.7 Definition: Stammfunktion
Seien f, F : I → R Funktionen. Dann heißt F eine Stammfunktion von f genaudann, wenn gilt: F ist diffbar mit F ′ = f .
118
Beispiele:I R R ]0;∞[ R R R [−1; 1]f xn, n ∈ N0 ex 1
x cosx sinx 11+x2
1√1−x2
F 1n+1x
n+1 ex log x sinx − cosx arctanx arcsinx
22.8 Korollar
Sind F,G Stammfunktionen von f : I → R, so existiert c ∈ R mit F (x) =G(x) + c ∀x ∈ i.
Beweis: h := F −G⇒ h diffbar mit h′ = f − f = 0⇒ Fur jedes Teilintervall [a; b] ⊂ I ist h|[a; b] konstant.⇒ h konstant 2
22.9 Charakterisierung der Exponentialfunktion durch ihre Differen-tialgleichung
Es sei f : R→ R diffbare Funktion mit f ′ = αf (α ∈ R fest)⇒ f(x) = f(0)eαx ∀x ∈ R
Beweis: Sei g(x) := e−αx · f(x) (x ∈ R)⇒ g ist diffbar mit g′(x) = −αe−αxf(x) + e−αxf ′(x)= e−αx (f ′(x)− αf(x)) = 0 ⇒ g ist konstant auf jedem Teilintervall ⇒ g istkonstant auf R.⇒ g(x) = g(0) ∀x ∈ R⇒ e0f(0) = g(0) = f(0)⇒ ∀x ∈ R : f(x) = f(0)eαx 2
22.10 Satz
Sei f : [a; b]→ R stetig diffbar in ]a; b[. Dann gilt:
a) f monoton wachsend⇔ ∀x ∈]a; b[ f ′(x) ≥ 0
b) f monoton fallend⇔ ∀x ∈]a; b[ f ′(x) ≤ 0
c) f streng monoton wachsend⇐ ∀x ∈]a; b[ f ′(x) > 0
d) f streng monoton fallend⇐ ∀x ∈]a; b[ f ′(x) < 0
Dies hat Bedeutung fur Extremwertaufgaben.
Beweis:
a) ”⇒“ Seien x, x0 ∈]a; b[, x 6= x0
⇒ f(x)−f(x0)x−x0
≥ 0, da f wachsend.⇒ ∀x ∈]a; b[: f ′(x) > 0
119
”⇐“ Seien x, y ∈ [a; b], x < y22.4⇒ f(y)− f(x) = (y − x)
︸ ︷︷ ︸
≥0
f ′(ξ)︸ ︷︷ ︸
≥0
fur geeignetes ξ ∈]x; y[
⇒ f wachsend 2
b) klar nach a) mit f 7→ −f
c) ”⇐“ klar nach a)
”;“ Beispiel: f(x) = x3 in (0|0)
d) klar nach c)
22.11 Beispiel
Sei α ∈ R, 0 6= α 6= 1. Dann gilt ∀x ∈ R, x > −1, x 6= 0:(1 + x)α > 1 + αx, falls α < 0 oder α > 1(1 + x)α < 1 + αx, falls 0 < α < 1i. e. Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung.
Beweis: f : [−1;∞[→ R, f(x) := (1 + x)α − (1 + αx) (x > −1)⇒ f ′(x) = α(1 + x)α−1 − α
1. Fall Sei α < 0 oder α > 1⇒ f ′ streng wachsend, f ′(0) = 0
f ′(x)
< 0 fur −1 < x < 0= 0 fur x = 0> 0 fur x > 0
22.10⇒ f streng{
fallend auf ]− 1; 0]wachsend auf [0;∞[
⇒ f hat Minimum in 0⇒ ∀x > −1, x 6= 0 : f(x) > f(0) = 0⇒ Behauptung
2. Fall 0 < α < 1 analog 2
22.12 Satz
Seien f : I → R diffbar, x0 innerer Punkt von I , in x0 sei f zweimal diffbar undes gelte:f ′ (x0) = 0 und f ′′ (x0) < 0 (bzw. > 0). Dann hat f in x0 ein isoliertes Maximum(bzw. Minimum).
120
Beweis: Sei f ′′ (x0) :< 0. Wegen f ′′ (x0) = limx→x0
f ′(x)−f ′(x0)x−x0
< 0
⇒ ∃ δ > 0 : ]x0 − δ;x0 + δ[ ⊂ I und f ′(x)−f ′(x0)x−x0
< 0 fur 0 < |x− x0| < δWegen f ′ (x0) = 0 folgt: f ′(x) > 0 fur x0 − δ < x < x0 und f ′(x) > 0 furx0 < x < x0 + δ⇒ f | ]x0 − δ;x0[ ist streng wachsend und f | ]x0;x0 + δ[ ist streng fallend.⇒ f hat in x0 ein isoliertes lokales MaximumMinimum analog 2
121
23 Die Regel von de l’Hospital
Problem: Was ist zu tun fur limx→∞
f(x)g(x) , falls lim
x→∞f(x) = lim
x→∞g(x) = 0?
Idee: Seien f, g in a diffbar und f(a) = g(a) = 0. Dann gilt:
f(x)
g(x)=
f(x)−f(a)x−a
g(x)−g(a)x−a
x→ax6=a−−−→ f ′(a)
g′(a), falls g′(a) 6= 0
23.1 Die Regel von de l’Hospital
benannt nach Marquis de l’Hospital (1661-1704), einem Schuler von Johann Ber-noulli (1667-1748)Es seien −∞ ≤ a < b ≤ ∞, f, g :]a; b[→ R diffbar und g′(x) 6= 0 ∀x ∈]a; b[.Ferner gelte:
I Entweder limx→a+0
f(x) = limx→a+0
g(x) = 0
II oder limx→a+0
g(x) = ±∞, keine weitere Voraussetzung fur f .
Zusatzlich existiere limx→a+0
f ′(x)g′(x) =: α ∈ R ∪ {±∞}
Dann ist g streng monoton auf ]a; b[ und limx→a+0
f(x)g(x) = α.
Der Satz gilt sinngemaß auch fur x → b − 0 und fur x → x0, x 6= x0 stattx→ a+ 0, a < x0 < b.
Beweis: Behauptung: g streng monoton.Begrundung: Annahme: g ist nicht streng monoton, OBdA ∃x, y, z a < x <y < z < b, so dass g(x) < g(y) > g(z)16.3⇒ ∃ c, d : a < c < d < b : g(c) = g(d)22.3⇒ ∃ ξ ∈]c; d[ g′(ξ) = 0 E Widerspruch zu g′(x) 6= 0 ∀x ∈]a; b[⇒ g streng monoton.
Unterscheidung der Falle I und II:Voraussetzung I⇒ g(x) 6= 0 fur a < x < bVoraussetzung II⇒ ∃ c ∈]a; b[ mit g(x) > 0 fur a < x < c (bzw. negativ)In beiden Fallen ex. c ∈]a; b[: g(x) > 0 fur a < x < c (OBdA)Prufe, ob lim
x→a+0
f(x)g(x) existiert.
Idee: Fall I mit a ∈ R: Setze f(a) := g(a) := 0⇒ f, g : [a; c]→ R stetig⇒ f, g diffbar in ]a; c[ Sei a < x < c
⇒ f(x)−f(a)g(x)−g(a)
22.4= f ′(ξ)
g′(ξ) mit geeignetem ξ ∈]a;x[.
122
Lasse x eine Folge (xn) durchlaufen mit xnn→∞−−−→ a+ 0. Dazu gehort eine Folge
(ξn) von ξ-Werten und fur diese gilt dann: ξnn→∞−−−→ a
Voraussetzung liefert: limn→∞
f ′(ξn)g′(ξn) existiert und ist = α
⇒ limx→a+0
f(x)g(x) existiert und ist = α
Allgemein lasst sich der Beweis wie folgt zu Ende fuhren:Sei a ∈ R (a = −∞ zulassig), c wie oben, ε > 0
⇒ ∃ d ∈]a; c[:∣∣∣∣
f ′(t)g′(t)
− α∣∣∣∣< ε fur a < t < d (6)
Sei a < x < y < d22.4⇒ ∃x < ξ < y :
f(y)− f(x)
g(y)− g(x) =f ′(ξ)g′(ξ)
(7)
(6)⇒∣∣∣∣
f(y)− f(x)
g(y)− g(x) − α∣∣∣∣< ε fur a < x < y < d (8)
Fall I limx→a+0
f(x) = limx→a+0
g(x) = 0. Lasse in (8) x→ a gehen.
⇒∣∣∣f(y)g(y) − α
∣∣∣ < ε fur a < y < d⇒ Behauptung.
Fall II limx→a+0
g(x) = ∞ ⇒ g ist streng monoton fallend, und in obiger Situation
ist g(x) = g(y) > 0
⇒ Fur a < x < y < d besagt (8): α− ε < f(x)−f(y)g(x)−g(y) < α+ ε
⇒ (α− ε) g(x)−g(y)g(x) + f(y)g(x) <
f(x)g(x) < (α+ ε) g(x)−g(y)g(x) + f(y)
g(x)fur a < x < y < dHalte y fest. Fur x→ a+ 0 gilt: g(x)→∞⇒ ∃ d′ ∈]a; d], so dass α− 2ε < f(x)
g(x) < α+ 2ε fur alle x ∈]a; d′]⇒ Behauptung fur α ∈ RAnalog fur α = ±∞ 2
23.2 Beispiele
a) sinxex−1
x→0x6=0−−−→ 1. f(x) = sinx, g(x) = ex − 1
⇒ f ′(x) = cosx, g′(x) = ex
b) α > 0 xα log xx→0x6=0−−−→ 0 f(x) = log x, g(x) = x−α
⇒ f ′(x) = 1x , g′(x) = −αx−α−1 (x > 0)
⇒ f ′(x)g′(x) = − 1
αxα = 0
⇒ f(x)g(x)
x→0x6=0−−−→ 0
Zur Ubung: log xx2
x→0x6=0−−−→ 0
123
c) 1sinx − 1
x
x→0x6=0−−−→?
124
24 Konvexe Funktionen
Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → R
24.1 Definition: Konvexitat
f heißt konvex :⇔∀x, y ∈ I 0 < λ < 1 f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)streng konvex dto mit ”<“ statt ”≤“konkav dto mit ”≥“ statt ”≤“streng konkav dto mit ”>“ statt ”≤“
24.2 Satz
Fur x, y ∈ I , x < y sei ϕx,y : R→ R, ϕx,y(t) = f(x)+ f(y)−f(x)y−x (t−x) (t ∈ R)
die Sekante durch (x|f(x)), (y|f(y)) ∈ R2. Dann ist aquivalent:
a) f ist konvex
b) ∀x, y, t ∈ I x < t < y : f(t) ≤ ϕx,y(t)
c) ∀x, y, t ∈ I x < t < y : f(t)−f(x)t−x ≤ f(y)−f(x)
y−x
d) ∀x, y, t ∈ I x < t < y : f(y)−f(x)y−x ≤ f(y)−f(x)
y−t
e) ∀x, y, t ∈ I x < t < y : f(t)−f(x)t−x ≤ f(y)−f(t)
y−t
Analoges gilt fur streng konvex mit ”<“ statt ”≤“, fur konkav mit ”≥“ statt ”≤“sowie fur streng konkav mit ”>“ statt ”≤“.
Beweis: Die t ∈]x; y[ sind genau die Zahlen der Form t = x+ (1−λ)(y−x) =
λx+ (1− λ)y mit 0 < λ < 1. Dann ist ϕx,y(t) = f(x) + f(y)−f(x)y−x (t− x).
Hieraus folgt: ”a)⇔b)“: ist klar.
”b)⇔c)“: ϕx,y(t) = f(x) + f(y)−f(x)y−x (t− x)
⇒ Fur x < t < y gilt: f(t) ≤ ϕx,y(t)⇔ f(t)−f(x)t−x ≤ f(y)−f(x)
y−x
”b)⇔d)“: ϕx,y(t) = f(x) + f(y)−f(x)y−x (t− x) = f(y)− f(y)−f(x)
y−x (y − t)⇒ Fur x < t < y: f(t) ≤ ϕx,y(t)⇔ f(y)−f(x)
y−x ≤ f(y)−f(t)y−t
”b)⇔e)“: f(t) ≤ ϕx,y(t) = f(x) + f(y)−f(x)y−x (t− x)
⇔ (y − t+ t− x)f(t) ≤ (t− x)f(y) + (y − t)f(x)
⇔ f(t)−f(x)t−x ≤ f(y)−f(t)
y−t 2
Analog fur streng konvex, konkav und streng konkav.
125
24.3 Korollar
(Jensen, 1906)Ist f : I → R konvex, so ist f auf
◦I7 stetig.
Beweis: Sei x0 ∈◦I , s < x0 < t. Fur x0 < x < t gilt dann nach 24.2:
f(s)−f(x0)s−x0
≤ f(x)−f(x0)x−x0
≤ f(t)−f(x0)t−x0
,
also f(s)−f(x0)s−x0
(x− x0) ≤ f(x)− f (x0) ≤ f(t)−f(x0)t−x0
(x− x0)⇒ Fur x→ x0 + 0 folgt: lim
x→x0+0f(x) = f (x0) 2
Dto mit Limes von links.
Beispiel: Eine konvexe Funktion muss in den Endpunkten des Definitions-Intervallsnicht stetig sein.
24.4 Satz
Sei f : I → R diffbar. Dann gilt:
a) f konvex⇔ f ′ monoton wachsend,f konkav⇔ f ′ monoton fallend.
b) f streng konvex⇔ f ′ streng monoton wachsend,f streng konkav⇔ f ′ streng monoton fallend.
Beweis:
”⇐“ Seien x < t < y ∈ I⇒ ∃ξ ∈]x; t[ f(t)−f(x)
t−x = f ′(ξ)
⇒ ∃η ∈]t; y[ f(y)−f(t)y−t = f ′(η)
Wegen ξ < η ist f ′(ξ) < f ′(η) (bzw. ”≤“), d. h. f (streng) konvex nach24.2 c).
”⇒“ Sei f konvex und diffbar und x < t < y ∈ I . Dann gilt:
f ′(x) = limu→x+0
f(u)−f(x)u−x
24.2 c)
≤ f(t)−f(x)t−x (bzw. ”<“)
24.2 e)
≤ f(y)−f(t)y−t ≤ lim
v→y−0
f(y)−f(v)y−v
24.2 d)= f ′(y) 2
24.5 Satz
Sei f : I → R zweimal diffbar. Dann gilt:
7Menge aller inneren Punkte von I
126
a) f konvex⇔ ∀x ∈◦I f ′′(x) ≥ 0,
f konkav⇔ ∀x ∈◦I f ′′(x) ≤ 0
b) ∀x ∈◦I f ′′(x) > 0⇒ f streng konvex,
∀x ∈◦I f ′′(x) < 0⇒ f streng konkav
Beweis:a) folgt aus 24.4 a) und 22.10 a) und b).
b) folgt aus 24.4 b) und 22.10 c) und d).
Beispiel fur ”:“ in a):f : R→ R f(x) = x4 ist streng konvex, f ′′(0) = 0Zu zeigen: x4 streng konvex ⇒ f ′(x) = 4x3 streng monoton wachsend, odert4−x4
t−x = t3 + t2x+ tx2 + tx3(!)< y3 + y2x+ yx2 + x3 = y4−x4
y+x .Betrachte ϕ : R→ R ϕ(n) = n3 + n2x+ nx2 + x3
mit ϕ′(n) = 3n2 + 2xn+ x2 = 2n2 + (n+ x)2, alsoϕ′(n) = 0⇔ n = 0 und n+ x = 0⇔ x = 0 = nFur t > x ist ϕ′(t) > 0⇒ ϕ|]x;∞[ streng wachsend E 2
24.6 Beispiele
a) Sei a > 0, a 6= 1, f : R→ R, f(x) = ax.Dann ist f ′′(x) = ax · (log a)2 > 0⇒ f streng konvex, insbesondere ist ex
streng konvex
b) Sei a > 0, a 6= 1, f :]0;∞[→ R, f(x) = loga x, dann ist f ′′(x) = −1x2 log a
⇒{< 0 fur a > 1 also f streng konkav> 0 fur a < 1 also f streng konvex
c) f :]0;∞[→ R, f(x) = xα fur α /∈ {0; 1}⇒ f ′(x) = α · xα−1 ist
{streng wachsend fur α > 1 ∨ α < 0streng fallend fur 0 < α < 1
⇒{f streng konvexf streng konkav
d) f :]0;∞[→ R, f(x) = xx
⇒ f ′(x) = xx(log x+ 1), also
f ′(x)
> 0 fur x > 1e
= 0 fur x = 1e
< 0 fur x < 1e
f hat also in 1e ein isoliertes absolutes Minimum.
limx→0
xx = 1, limx→0
f ′(x) = −∞, ferner f ′′(x) = xx(log x+ 1) + xx 1x
⇒ f ist streng konvex. (siehe Abb. 3)
127
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
Abbildung 3: f(x) = xx
24.7 Definition: Wendepunkt
Sei f : I → R, x0 ∈◦I , x0 heißt Wendepunkt von f genau dann, wenn gilt:
∃α, β ∈ I α < x0 < β, so dass
(i) f | ]α;x0[ ist konkav,f | ]x0;β[ ist konvex oder
(ii) f | ]α;x0[ ist konvex,f | ]x0;β[ ist konkav.
24.8 Satz
Sei f : I → R dreimal diffbar, x0 ∈◦I , f ′′ (x0) = 0. Dann gilt:
Ist{f ′′′ (x0) > 0f ′′′ (x0) < 0
, dann hat f in x0 einen Wendepunkt und es existiert δ > 0,
so dass f | ]x0 − δ;x0[ streng konkav (streng konvex) und f | ]x0;x0 + δ[ strengkonvex (streng konkav).
Beweis: Sei f ′′′ (x0) > 0.Wegen f ′′ (x0) = 0 und f ′′′ (x0) = lim
x→x0x6=x0
f ′′(x)−f ′′(x0)x−x0
> 0 folgt:
∃ δ > 0, so dass ]x0 − δ;x0 + δ[ ∈ I und f ′′(x) > 0 fur x0 < x < x0 + δ undf ′′(x) < 0 fur x0 − δ < x < x0
24.5 b)⇒ Behauptung 2
24.9 Beispiel
f(x) = e−x2
2 ⇒ f ′(x) = −xe−x2
2 und f ′′(x) = −(1− x2
)e−
x2
2 ,
siehe Abb. 4.
128
-1 1
1
Abbildung 4: f(x) = exp(
−x2
2
)
129
25 Taylorsche Formel
25.1 Definition
a) Sei f : I → R. Wir definieren induktiv: f (0) := f . Ist f (n) erklart und in a ∈I diffbar, so heißt f (n + 1)-mal diffbar in a und f (n+1)(a) :=
(f (n)
)′(a).
f heißt auf I (n + 1)-mal diffbar, falls f (n) diffbar auf I ist; dann heißtf (n+1) :=
(f (n)
)′die (n+ 1)-te Ableitung von f .
b) Ist f k-mal diffbar und f (k) stetig, so heißt f k-mal stetig diffbar auf I .C(I) := C0(I) := {f : I → R; f stetig}Cn(I) := {f : I → R; f n-mal stetig diffbar}C∞(I) :=
{f : I → R; ∀n ∈ N f (n) stetig diffbar
}=⋂
n≥0Cn(I)
25.2 Taylorsche Formel
Sei f ∈ Cn(I), n ≥ 0, und f |◦I sei (n + 1)-mal diffbar. Ferner seien x, x0 ∈ I ,
p ∈ Z, p < n+ 1.Dann gilt:
f(x) =
n∑
k=0
f (k) (x0)
k!(x− x0)
k +Rn+1
Dabei kann das ”Restglied“ Rn+1 (x0, x) geschrieben werden als
Rn+1 (x0, x) =f (n+1)(ξ)
(n+ 1− p)n!(x− x0)
n+1−p · (x− ξ)p
mit einem ξ, das zwischen x0 und x liegt. ξ hangt von x, x0, n und p ab. Rn+1
hangt von x, x0 und n ab.
Beispiel: Fur n = p = 0 ist f(x) = f (x0)+(x− x0) f′ (ξ), d. h. Mittelwertsatz.
Beweis: Fur x = x0 ist Rn+1 = 0 wegen p < n+ 1 und nichts zu zeigen.Sei x > x0
Setze g : [x0;x]→ R durch g(t) := f(x)−n∑
k=0
f (k)(t)k! (x− t)k − c(x− t)n+1−p,
wobei c eine zunachst beliebige Konstante ist.Es gilt: g(x) = 0 und wahle c so, dass auch g (x0) = 0 gilt (moglich wegen(x− x0)
n−1+p 6= 0)Wir haben g : [x0;x]→ R mit g(x) = g (x0), g stetig und g| ]x0;x[ diffbar22.3⇒ ∃ ξ ∈ ]x0;x[ g′(ξ) = 0Fur x0 < t < x gilt:
g′(t) = −n∑
k=0
f (k+1)(t)k! · (x− t)k+
n∑
k=1
f (k)(t)(k−1)! · (x− t)k−1 +(n+1−p)c(x− t)n−p
130
= (n+ 1− p)c(x− t)n−p − f (n+1)(t)n! (x− t)n
⇒ 0 = g′(ξ)
⇒ c = f (n+1)(ξ)(n+1−p)n! (x− ξ)p
Wir setzen in der Definition von oben t = x0 und substituieren c:
f(x) =
n∑
k=0
f (k) (x0)
k!(x− x0)
n +f (n+1)(ξ)
(n+ 1− p)n!(x− x0)
n+1−p (x− ξ)p
und erhalten das sog. Schlomilsche Restglied. 2
25.3 Korollar
In 25.2 gilt:
a) Rn+1 = f (n+1)(ξ)(n+1)! (x− x0)
n+1 fur p = 0, das sog. Lagrange-Restglied.
b) Rn+1 = f (n+1)(ξ)n! (x− ξ)n (x− x0) fur p = n, das sog. Cauchy-Restglied.
25.4 Beispiel
Die Exponential-Reihe f(x) = ex (x ∈ R), x0 = 0⇒ f (k) (x0) = e0 = 1Lagrange⇒ ex =
n∑
k=0
xk
k! + eξxn+1
(n+1)! fur 0 < ξ < x
0 < eξ ≤ max {1; ex} ⇒ ex =∞∑
n=0
xn
n!
Die obige Formel ist fur numerische Berechnungen extrem nutzlich, da das Rest-glied explizit berechenbar ist.
∣∣∣∣∣ex −
n∑
k=0
xk
k!
∣∣∣∣∣≤ max {1; ex} |x|
n+1
(n+ 1)!
Bemerkung: Nach dem gleichen Muster lassen sich Sinus- und Cosinus-Formelnbehandeln (jeweils mit dem Lagrange-Restglied).
cosx =
n∑
k=0
(−1)kx2k
(2k)!+ (−1)n+1 cos ξ
x2n+2
(2n+ 2)!
sinx =n∑
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!+ (−1)n+1 sin ξ
x2n+3
(2n+ 3)!
131
25.5 Logarithmus-Reihe
f :]− 1;∞[→ R, f(x) = log(1 + x), x0 = 0
⇒ f (k)(x) = (−1)k−1 (k−1)!(1+x)k
Fur x0 = 0 ergibt sich: f (k) (x0) = (−1)k−1(k − 1)! (k ≥ 1)25.1⇒ log(1 + x) =
n∑
k=1
(−1)k−1 xk
k +Rn+1. Lasse n→∞ gehen mit Rn+1
Cauchy-RG⇒ (−1)n
(1+ξ)n+1 · (x− ξ)n · x = Rn+1
(i) x > 0⇒ 0 < ξ < x
⇒ |Rn+1| =∣∣∣
(−1)n
(1+ξ)n+1 · (x− ξ)n · x∣∣∣ ≤ |x|n+1 ≤ |x|n+1
|1−x|
(ii) −1 < x < 0⇒ 0 > ξ > x
⇒∣∣∣x−ξ1+ξ
∣∣∣ =
|x|−|ξ|1−|ξ| = |x| · 1−| ξx |
1−|ξ| < |x|
⇒ |Rn+1| =∣∣∣
(−1)n
(1+ξ)n+1 (x− ξ)n · x∣∣∣ ≤ |x|
1−|ξ| · |x|n ≤|x|n+1
1−|x|
⇒∣∣∣∣log(1 + x)−
n∑
k=1
(−1)k−1 xk
k
∣∣∣∣≤ |x|n+1
1−|x|
⇒ log(1 + x) =∞∑
n=1(−1)n−1 xn
n fur |x| < 1
25.6 Binomial-Reihe
α ∈ R, f :]− 1;∞[→ R, f(x) = (1 + x)α
⇒ ∀ k ≥ 0 f (k)(x) = α(α−1) · . . . · (α−k+1)(1+x)α−k = k!(αk
)(1−x)α−k
25.1⇒ (1 + x)α =n∑
k=0
(αk
)xk +Rn+1
Bemerkung: Falls α ∈ N0, . . . (1 + x)α =∞∑
k=0
(αk
)xk hat nur Sinn fur |x| < 1
(wg. Konvergenz-Radius).|Rn+1| =
∣∣∣f (n+1)(ξ)
n! (x− ξ)nx∣∣∣ =
∣∣∣α
(α−1)(α−2)·...·(α−n)1·2·...·n
∣∣∣ (1− ξ)α−1
∣∣∣x−ξ1+ξ
∣∣∣
n
︸ ︷︷ ︸
≤|x|n
|x|
≤ α(α−1n
)(1 + ξ)α−1|x|n+1 fur ξ zwischen 0 und x
⇒ |Rn+1| ≤ |α| ·M · |x| ·∣∣(α−1n
)· xn
∣∣ n→∞−−−→ 0
(1 + x)α−1 ≤{
2α−1 fur α ≥ 1(1− |x|)α−1 fur α < 1
}
= M fur |x| < 1
⇒ (1 + x)α =∞∑
k=0
(αk
)xk fur |x| < 1
Spezialfall: α = −1⇒(−1k
)= (−1)·(−2)·...·(−k)
1·2·...·k = (−1)k
⇒ (1 + x)−1 =∞∑
k=0
(−1)kxk geometr. Reihe.
132
Bemerkung: Mit dem Restglied von Lagrange zeigt man die Konvergenz derBinomialreihe fur x = −1 und x = 1 und α ≥ 0
Beispiel:√
2 =∞∑
k=0
( 12k
)
Fur −1 < α < 0 gilt: Die Binomialreihe konvergiert fur x = 1 und divergiert furx = −1Fur α < −1 gilt: Die Binomialreihe divergiert fur x = 1 und x = −1. (Naheressiehe in [For01a], S. 246)
25.7 Satz
f : I → R sei n-mal diffbar (stetig diffbar), n ≥ 2, x0 ∈◦I und es gelte:
f ′ (x0) = f ′′ (x0) = . . . = f (n−1) (x0) f (n) (x0) 6= 0. Dann gilt:
a) n gerade und ohne Einschrankung f (n) (x0) > 0, so hat f in x0 ein isolierteslokales Minimum und es existiert δ > 0 mit f | ]x0 − δ;x0[ streng monotonfallend und f | ]x0;x0 + δ[ streng monoton wachsend und f | ]x0 − δ;x0 + δ[streng konvex.
b) n ungerade, so hat f an x0 kein Extremum, sondern einen Wendepunkt undes gilt: ∃ δ > 0 mit f | ]x0 − δ;x0[ streng konkav und f | ]x0;x0 + δ[ strengkonvex.
133
Teil V
Integralrechnung26 Das Riemannsche Integral
Problem: Gegeben sei (z. B. stetige) Funktion f : [a; b] → R, f ≥ 0. Wie istdann die Flache unter dem Graphen zu berechnen?Voraussetzung: f : [a; b]→ R sei beschrankt, d. h. |f(x)| ≤M ∀x ∈ [a; b]Ansatz: Zerlegung Z : a = x0 < x1 < . . . < xn = b, d. h. Z := {x0; . . . ;xn}.Damit Approximation der gesuchten Flache von ”innen“ und ”außen“.
26.1 Definition: Obersumme, Untersumme, Zwischensumme
Fur eine Zerlegung Z wie oben heißt
O(f, Z) :=n∑
k=1
(sup f ([xk−1;xk])) · (xk − xk−1) die Obersumme von f zu Z,
U(f, Z) :=n∑
k=1
(inf f ([xk−1;xk])) · (xk − xk−1) die Untersumme von f zu Z.
Sind ξk ∈ [xk−1;xk] irgendwelche Zwischenpunkte, so heißt
S(
f, Z, (ξk)k=1,...,n
)
:=n∑
k=1
ξk (xk − xk−1) die Zwischensumme von f zuZ und
(ξk).
26.2 Folgerungen
a) f beschrankt⇒ U(f, Z) und O(f, Z) sind sinnvoll,(inf f([a; b]))(b− a) ≤ U(f, Z) ≤ S (f, Z, (ξk)) ≤ O(f, Z)≤ (sup f([a; b]))(b− a)
b) Fur Z ⊂ Z ′ gilt: U(f, Z) ≤ U(f, Z ′) ≤ O(f, Z ′) ≤ O(f, Z)
c) Fur beliebige Zerlegungen Z,Z ′ gilt: U(f, Z) ≤ O(f, Z ′)
Beweis:
a) klar
b) Beweis genugt fur den Fall, dass Z ′ − Z = {c} einelementig, sei etwaZ : a = x0 < x1 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn = b,Z ′ : a = x0 < x1 < . . . < xk−1 < c < xk < . . . < xn = b.
inf f ([xk−1;xk]) ≤{
inf f ([xk−1; c]) ≤ sup f ([xk−1; c])inf f ([c;xk]) ≤ sup f ([c;xk])
}
≤ sup f ([xk−1;xk])⇒ inf f ([xk−1;xk]) (xk − xk−1)≤ inf f ([xk−1; c]) (c− xk−1) + inf f ([c;xk]) (xk − c)
134
≤ sup f ([xk−1; c]) (c− xk−1) + sup f ([c;xn]) (xk − c)≤ sup f ([xk−1;xk]) (xk − xk−1)⇒ Behauptung 2
c) U(f, Z)b)
≤ U(f, Z ∪ Z ′) ≤ O(f, Z ∪ Z ′)b)
≤ O(f, Z ′) 2
26.3 Definition: Ober- und Unterintegral
Sei f : [a; b] → R beschrankt. Dann heißtb∫
af(x)dx := sup {U(f, Z)} (Z: Zerle-
gung von [a; b]) das Unterintegral von f uber [a; b] undb∫
af(x)dx := inf {O(f, Z)} das Oberintegral.
f heißt im Riemannschen Sinne integrierbar, wennb∫
af(x)dx =
b∫
af(x)dx =:
b∫
af(x)dx.
26.4 Folgerung
b∫
af(x)dx ≤
b∫
af(x)dx
Beweis: Sei Z Zerlegung von [a; b].26.2 c)⇒ ∀Z ′: Zerlegung von [a; b] U(f, Z) ≤ O(f, Z ′), d. h. U(f, Z) ist untereSchranke von {O(f, Z ′);Z ′ Zerlegung}
⇒ U(f, Z ′) ≤ inf {O(f, Z ′);Z ′ Zerlegung} =b∫
af(x)dx
Jetzt: ∀Z U(f, Z) ≤b∫
af(x)dx ist also obere Schranke
⇒b∫
af(x)dx ≤
b∫
af(x)dx 2
26.5 Beispiele
a) f : [a; b]→ R konstant mit f(x) = c ∀x ∈ [a; b]⇒ ∀Z U(f, Z) = c · (b− a) = O(f, Z)
⇒b∫
acdx = c · (b− a)
135
b) f : [0; 1] → R, f(x) =
{0 fur x ∈ Q ∩ [0; 1]1 fur x ∈ R\Q ∩ [0; 1]
, die sog. ”Dirichlet-
sche Funktion“.
⇒ ∀Z ist U(f, Z) = 0 =b∫
af(x)dx und O(f, Z) = 1 =
b∫
af(x)dx
⇒ f ist nicht Riemann-integrierbar.
26.6 Satz
Sei f : [a; b]→ R beschrankt. Dann gilt:f integrierbar⇔ ∀ ε > 0 ∃Z Zerlegung: O(f, Z)− U(f, Z) < ε
Beweis:
”⇐“ ist klar wegenb∫
af(x)dx−
b∫
af(x)dx ≤ O(f, Z)− U(f, Z) fur alle Z
”⇒“ Sei f integrierbar und ε > 0. Dann existieren Z1, Z2 mitb∫
af(x)dx− U (f, Z1) <
ε2 und
b∫
af(x)dx− = (f, Z2) <
ε2
⇒ O (f, Z1 ∪ Z2)− U (f, Z1 ∪ Z2)
≤ O (f, Z2)−b∫
af(x)dx+
b∫
af(x)dx− U (f, Z1) < ε
⇒ Z := Z1 ∪ Z2 leistet das Verlangte 2
26.7 Satz
Jede monotone Funktion f : [a; b]→ R ist integrierbar.
Beweis: Sei f wachsend. Dann ist f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) ∀x ∈ [a; b], d. h. fbeschrankt. Z : a = x0 < x1 < . . . < xn = b: inf f ([xk−1;xk]) = f (xk−1),sup f ([xk−1;xk]) = f (xk)
⇒ O(f, Z)− U(f, Z) =n∑
k=1
(f (xk)− f (xk−1))︸ ︷︷ ︸
≥0
· (xk − xk−1)
≤ max {xk − xk−1; k1, . . . , n} =:Feinheitsgrad µ(Z).Sei nun ε > 0, δ := ε
f(b)−f(a)+1
⇒ Fur jede Zerlegung Z mit µ(Z) < δ gilt:O(f, Z)− U(f, Z) ≤ (f(b)− f(a)) ε
f(b)−f(a)+1 ≤ ε26.6⇒ Behauptung 2
26.8 Satz
Sei f : [a; b]→ R beschrankt. Dann gilt:f integrierbar⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀Z Zerlegung, µ(Z) < δ :
136
O(f, Z)− U(f, Z) < ε
Beweis:
”⇐“ klar nach 26.6
”⇒“ Vorbemerkung: ”⇒“ wird fur monotone Funktionen bewiesen in 26.7 undfur stetige Funktionen in 26.14.Allgemein: Sei f integrierbar, Z0 Teilung von [a; b], Z= ⊂ Z1 ⊂ . . . ⊂ Zr,wobei Zk+1 aus Zk durch Einfugen genau eines weiteren Teilpunktes ent-steht. Sei |f | ≤M , M > 0. Dann gilt:0 ≤ O (f, Z0)−O (f, Zn) ≤ 2Mµ (Z0) nach 26.2 b),ebenso 0 ≤ O (f, Z1)−O (f, Z2) ≤ 2Mµ((Z1) ≤ 2Mµ (Z0) . . .0 ≤ O (f, Zr−1)−O (f, Zr) ≤ 2Mµ (Z0)⇒ 0 ≤ O (f, Z0)−O (f, Zr) ≤ 2Mµ (Z0) rebenso ist 0 ≤ U (f, Zr)− U (f, Z0) ≤ 2Mµ (Z0) r⇒ 0 ≤ O (f, Z0)− U (f, Z0) ≤ O (f, Zr)− U (f, Zr) + 4Mµ (Z0) rSei nun ε > 0, f integrierbar.⇒ ∃Z0 : O (f, Z0)− U (f, Z0) <
ε2 .
Sei n0 :=Anzahl der Teilpunkte von Z0, δ := ε8Mn0
, Sei Z irgendeine Zer-legung von [a; b] mit Feinheitsgrad µ(Z) < δ.⇒ O(f, Z)− U(f, Z) ≤ O (f, Z ∪ Z0)− U (f, Z ∪ Z0) + 4Mµ(Z)n0
26.2 b)
≤ O (f, Z0)− U (f, Z0)︸ ︷︷ ︸
< ε2
+ 4Mµ(Z)n0︸ ︷︷ ︸
< ε2
< ε 2
26.9 Korollar
Sei f : [a; b] → R integrierbar und sei(Z(j)
)
j≥1eine Folge von Teilmengen von
[a; b] mit µ(Z(j)
) j→∞−−−→ 0,(
ξ(j)k
)
k=1,...,nein System von Zwischenpunkten zu
Z(j) (j ≥ 1). Dann gilt:
limj→∞
O(f, Z(j)
)= lim
j→∞U(f, Z(j)
)= lim
j→∞S(f, Z(j)
)=
b∫
af(x)dx
Beweis: 26.2 und 26.8 2
26.10 Satz
Es seien f, g : [a; b]→ R integrierbar, α, β ∈ R.
⇒ αf+βg ist integrierbar undb∫
a(αf(x)+βg(x))dx = α
b∫
af(x)dx+β
b∫
ag(x)dx
137
Beweis:
(i) U(αf, Z) =
{α · U(f, Z) fur α ≥ 0α ·O(f, Z) fur α ≤ 0
O(αf, Z) =
{α · U(f, Z) fur α ≤ 0α ·O(f, Z) fur α ≥ 0
⇒ αf ist integrierbar mitb∫
aαf(x)dx = α
b∫
af(x)dx
(ii) Offenbar ist U(f, Z) + U(g, Z) ≤ U(f + g, Z),denn inf(f + g) ([xk−1;xk]) ≥ inf f ([xk−1;xk]) + inf g ([xk−1;xk])
≤ O(f + g, Z) ≤ O(f, Z) +O(g, Z).Sei ε > 0⇒ ∃Z Zerlegung: O(f, Z)− U(f, Z) < ε
2 , O(g, Z)− U(g, Z) < ε2 .
⇒ O(f + g, Z)− U(f + g, Z) < ε⇒ f + g integrierbar nach 26.6 und nach 26.9:b∫
a(f + g)(x)dx =
b∫
af(x)dx+
b∫
ag(x)dx 2
26.11 Korollar
Seien f, g : [a; b]→ R integrierbar und g ≤ f
⇒b∫
ag(x)dx ≤
b∫
af(x)dx.
Beweis: Sei Z: Zerlegung von [a; b]. Dann gilt:b∫
a(f(x)dx−
b∫
ag(x)dx =
b∫
a(f − g)(x)dx ≥ U(f − g, Z) ≥ 0 2
26.12 Satz
Sei f : [a; b] → R integrierbar, f+ : [a; b] → R, f+(x) := max {f(x); 0},f− : [a; b]→ R, f−(x) := max {−f(x); 0}⇒ f+, f− sind integrierbar.
Vorbemerkung: f = f+ − f−, |f | = f+ + f−
Beweis: Sei Z : a = x0 < x1 < . . . < xn = b Zerlegung. Ist f | [xk−1;xk] ≤ 0,so gilt:f+| [xk−1;xk] = 0, also inf f+| [xk−1;xk] = sup f+| [xk−1;xk] = 0.Gibt es dagegen x ∈ [xk−1;xk] mit f(x) ≥ 0, dann istinf f | [xk−1;xk] ≤ inf f+| [xk−1;xk] ≤ sup f+| [xk−1;xk] ≤ sup f | [xk−1;xk]⇒ O (f+, Z)− U (f+, Z) ≤ O(f, Z)− U(f, Z)⇒ f+ ist integrierbar.
138
26.10⇒ −f ist integrierbar⇒ f− ist integrierbar 2
26.13 Korollar
Sei f integrierbar⇒ |f | ist integrierbar und
∣∣∣∣∣
b∫
af(x)dx
∣∣∣∣∣=
b∫
a|f(x)| dx
Beweis: |f | = f+ + f− ist integrierbar nach 26.12 und 26.10
⇒∣∣∣∣∣
b∫
af(x)dx
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
b∫
af+(x)dx−
b∫
af−(x)dx
∣∣∣∣∣≤
b∫
af+(x)dx +
b∫
af−(x)dx
26.10=
b∫
af+(x) + f−(x)dx =
b∫
a|f(x)| dx 2
26.14 Satz
Jede stetige Funktion f : [a; b]→ R ist integrierbar.
Beweis: Zunachst ist jede stetige Funktion f : [a; b]→ R beschrankt.Sei Z Zerlegung von [a; b], Z : a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
O(f, Z)−U(f, Z) =n∑
k=1
sup f ([xk−1;xk])︸ ︷︷ ︸
=max{f([xk−1;xk])}
− inf f ([xk−1;xk])︸ ︷︷ ︸
=min{f([xk−1;xk])}
(xk − xk−1)
=n∑
k=1
(max f ([xk−1;xk])−min f ([xk−1;xk])) (xk − xk−1)
≤ max {max f ([xk−1;xk])−min f ([xk−1;xk]) , k = 1, . . . , n}·n∑
k=1
(xk − xk−1)
︸ ︷︷ ︸
=b−a
f stetig in [a; b]26.17⇒ f gleichmaßig stetig in [a; b], d. h.
∀ ε > 0 ∃δ > 0 : |f(x)− f(x′)| < ε ∀x, x′ ∈ [a; b] |x− x′| < δ⇒ O(f, Z)− U(f, Z) < ε
b−a · (b− a) = ε⇒ f integrierbar 2
26.15 Definition: Gleichmaßige Stetigkeit
Sei D ⊂ R, f : D → R. f heißt gleichmaßig stetig auf D genau dann, wenn gilt:∀ ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ D, |x− x′| < δ : |f(x)− f(x′)| < εVergleich mit der ublichen Stetigkeit: f stetig auf D ⇔∀ ε > 0 ∀x0 ∈ D ∃ δ > 0 ∀x′ ∈ D, |x0 − x′| < δ : |f(x′)− f (x0)| < ε,d. h. δ hangt im allgemeinen ab von x0, hier aber nur von ε.
139
26.16 Beispiel
f :]0; 1[→ R, f(x) = 1x (0 < x < 1)
⇒ f stetig, aber nicht gleichmaßig stetig.
Beweis: Annahme: f ist gleichmaßig stetig, 0 < δ < 1 das delta der gleichmaßi-gen Stetigkeit zu ε > 0.⇒∣∣ 1x − 1
x′
∣∣ < ε ∀x, x′ ∈]0; 1] mit |x− x′| < δ. Setze x := δ
⇒∣∣ 1x′ − 1
δ
∣∣ < ε ∀x′ ∈]0; δ] E, denn t 7→ 1
t , t ∈]0; δ] ist unbeschrankt.⇒ f ist nicht gleichmaßig stetig.
Ubung: f :]0; 1] → R, f(x) = sin 1x (0 < x < 1) ist nicht gleichmaßig stetig,
d. h. es gibt auch beschrankte Funktionen auf ]0; 1], die nicht gleichmaßig stetigsind.
26.17 Satz
Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion f : [a; b] → R istgleichmaßig stetig.
Beweis: indirekt. Annahme f stetig auf [a; b], aber nicht gleichmaßig stetig.⇒ ∃ ε0 > 0 ∀n ∈ N, δ = 1
n ∃xn, x′n ∈ [a; b] : |xn − x′n| < 1n :
|f (xn)− f (x′n)| ≥ ε0(xn) beschrankt 11.9⇒ ∃ konvergente Teilfolge (xnk
): xnk
k→∞−−−→ ξ ∈ [a; b]∣∣x′nk
− xnk
∣∣ < 1
nk(k ∈ N)⇒ xnk
k→∞−−−→ ξ
f stetig in ξ ⇒ f (xnk)− f
(x′nk
) k→∞−−−→ f(ξ)− f(ξ) = 0 E, da < ε 2
26.18 Satz
Sei f : [a; c]→ R, a < b < c. Dann gilt:f : [a; c] → R integrierbar ⇔ f : [a; b] → R integrierbar ∧f : [b; c] → Rintegrierbar
⇒c∫
af(x)dx =
b∫
af(x)dx+
c∫
b
f(x)dx
Beweis:
”⇐“ Seien f |[a; b] und f |[a; c] integrierbar, ε > 0⇒ ∃ Zerlegung Z1 von [a; b] und Z2 von [b, c], so dassO (f |[a; b], Z1)− U (f |[a; b], Z1) <
ε2 und
O (f |[b; c], Z2)− U (f |[b, c], Z2) <ε2 .
Setze Z := Z1 ∪ Z2
⇒ O(f, Z) = O (f |[a; b], Z1) +O (f |[b; c], Z2),
140
U(f, Z) = U (f |[a; b], Z1) + U (f |[b; c], Z2)⇒ O(f, Z)− U(f, Z) < ε
2 + ε2 = ε
⇒ f integrierbar uber [a, c]Weiter folgt: U(f, Z) = U (f |[a; b], Z1) + U (f |[b; c], Z2)
≤b∫
af(x)dx+
c∫
b
f(x)dx
≤ O (f |[a; b], Z1) +O (f |[b; c], Z2) = O(f, Z)
⇒∣∣∣∣∣
c∫
af(x)dx−
b∫
af(x)dx−
c∫
b
f(x)dx
∣∣∣∣∣< ε ∀ ε > 0
⇒c∫
af(x)dx =
b∫
af8x)dx+
c∫
b
f(x)dx
”⇒“ Sei f : [a; c]→ R integrierbar, ε > 0⇒ ∃ Zerlegung Z von [a; b] mit O(f, Z) − U(f, Z) < ε. OBdA kann hierZ um b erganzt werden.Z1 := Z ∩ [a; b] Z2 := Z ∩ [b; c]⇒ O (f |[a; b], Z1)− U (f |[a; b], Z1) ≤ O(f, Z)− U(f, Z) < εO (f |[b; c], Z2)− U (f |[b; c], Z2) ≤ O(f, Z)− U(f, Z) < ε⇒ f |[a; b], f |[b; c] integrierbar 2
26.19 Definition
Sei f : [a; b]→ R integrierbar, α, β ∈ [a; b]β∫
αf(x)dx := −
α∫
β
f(x)dx fur α > β,α∫
αf(x)dx = 0
26.20 Korollar
Seien f : [a; b]→ R integrierbar, α, β, γ ∈ [a; b]. Dann gilt:γ∫
αf(x)dx =
β∫
αf(x)dx+
γ∫
β
f(x)dx
Beweis: Nachprufen der verschiedenen Falle mit 26.19 und 26.18.Z. B. sei α < γ < β
⇒β∫
αf(x)dx+
γ∫
β
f(x)dx =β∫
αf(x)dx−
β∫
γf(x)dx =
γ∫
αf(x)dx . . . 2
141
27 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
27.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung
Seien f, ϕ : [a; b] → R stetig und ϕ ≥ 0. Dann gibt es ξ ∈ [a; b] mit∫ ba f(x) ·
ϕ(x)dx = f(ξ) ·∫ ba ϕ(x)dx, speziell existiert fur ϕ = 1 ξ ∈ [a; b], so dass
∫ ba f(x)dx = f(ξ)(b− a).
Zusatz: Nach 28.9 ist das Produkt Riemann-integrierbarer Funktionen integrier-bar. Darum gilt 27.1 wortlich fur ϕ : [a; b] → R nur integrierbar und ≥ 0, aber fstetig.Geometrische Bedeutung: Verwandlung der Flache zwischen Graph und Achse inein flachengleiches Rechteck.
Beweis: α := min f |[a; b], β := max f |[a; b], ϕ ≥ 0⇒ αϕ(x) ≤ f(x) · ϕ(x) ≤ βϕ(x) (x ∈ [a; b])
f(x) · ϕ(x) integrierbar⇒ α∫ ba ϕ(x)dx ≤
∫ ba f(x) · ϕ(x)dx ≤ β
∫ ba ϕ(x)dx
∫ ba ϕ(x)dx ≥ 0⇒
(i)∫ ba ϕ(x)dx = 0⇒
∫ ba f(x) · ϕ(x)dx = 0
⇒ Jedes ξ ∈ [a; b] leistet das Verlangte.
(ii)∫ ba ϕ(x)dx > 0⇒ α ≤
∫ ba f(x)ϕ(x)dx∫ ba ϕ(x)dx
︸ ︷︷ ︸
=:c
≤ β
16.11⇒ ∃ ξ ∈ [a; b] : f(ξ) = c 2
27.2 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung
in der Fassung nach Isaac Barrow, (1630-1677), London 1670Sei I ⊂ R Intervall und f : I → R stetig.
a) Dann hat f auf I eine Stammfunktion, z. B. ist fur jedes feste a ∈ I dieFunktion F : I → R, F (x) :=
∫ xa f(t)dt ∀x ∈ I eine Stammfunktion
von f .
b) Sind F und G : I → R beide Stammfunktionen von f , so gibt es c ∈ R mitF = G+ c
c) Sind a, b ∈ I und istF irgendeine Stammfunktion von f , so gilt:∫ ba f(x)dx =
F (b)− F (a) = F |ba
142
Beweis:
a) Wir zeigen: F : I → R, F (x) :=∫ xa f(t)dt (x ∈ I) ist Stammfunktion
von f .Dazu seien x0, x ∈ I, x 6= x0 :F (x)−F (x0)
x−x0= 1
x−x0·(∫ xa f(t)dt−
∫ x0
a f(t)dt)
26.10= 1
x−x0
(∫ xx0f(t)dt
)
= [F ]ba
27.1= f(ξ) mit einem ξ, das zwischen x und x0 liegt. Lasse nun x eine Folge
(xn) durchlaufen xnn→∞−−−→ x0, xn 6= x0 ∀n. Dann durchlaufen die zu-
gehorigen ξ eine Folge (ξn), wobei ξn stets zwischen xn und x0 liegen.⇒ ξn
n→∞−−−→ x0
f stetig⇒ f (ξn)n→∞−−−→ f (x0)
⇒ F (xn)−F (x0)xn−x0
n→∞−−−→ f (x0) fur jede Folge (xn) aus I , xnn→∞−−−→ x0
⇒ limx→x0x6=x0
F (x)−F (x0)x−x0
existiert und ist = f (x0)
⇒ F ist differenzierbar mit F ′ = f .
b) klar nach 22.8.
c) Sei F irgendeine Stammfunktion von fa),b)⇒ ∃ c ∈ R ∀x ∈ I F (x) =
∫ xa f(t)dt+ c
⇒ F (b)− F (a) =∫ ba f(t)dt+ c−
(∫ aa f(t)dt+ c
)=∫ ba f(t)dt 2
27.3 Korollar
Seien f : I → R stetig differenzierbar (d. h. stetig mit differenzierbarer Ableitung),a, b ∈ I .⇒∫ ba f
′(t)dt = f(b)− f(a)
Beweis: Der Integrand f ′ ist stetig mit Stammfunktion f ⇒ Behauptung 2
27.4 Beispiele
a) f : R → R, f(x) = xn (n ∈ N0, x ∈ R) hat Stammfunktion F (x) =1
n+1xn+1 (x ∈ R)
∫ ba x
ndx = 1n+1
(bn+1 − an+1
), z. B.
∫ 10 x
ndx = 1n+1
(n > 0)
p(x) =n∑
k=0
akxk hat Stammfunktion P (x) =
n∑
k=0
ak
k+1xk+1
b)∫ ba e
x dx = eb − ea
c)∫ badxx = log b− log a = log b
a (0 < a < b), speziell:∫ x1dtt = log x
143
d) f : R → R, f(x) = sinx ⇒∫ ba sinx dx = [− cosx]ba = −(cos b − cos a),
speziell:∫ π
20 sinx dx = 1
e) Flacheninhalt des Kreises. f : [−R;R] → R, f(x) =√R2 − x2 (|x| ≤
R) stetig ⇒ hat Stammfunktion. Fur |x| ≤ R ist F (x) = x2
√R2 − x2 +
R2
2 arcsin xR stetig und fur |x| < R ist F ′(x) = f(x). F ist auch in x = R
differenzierbar, denn fur 0 < x < r gilt mit geeignetem x < ξ < R :F (x)−F (R)
x−R = F ′(ξ) = f(ξ) =√
R2 − ξ2 x→R−0−−−−−→ 0 = f(R), dto bei −Rstatt R⇒ F ist Stammfunktion von f auf [−R;R]⇒ Flacheninhalt des Halbkreises von Radius R ist F (R)− F (−R) = π
2R2
f) Flacheninhalt der Ellipse x2
a2 + y2
b2= 1 mit Halbachsen a, b > 0. Betrachte
f : [−a; a]→ R, f(x) = ba
√a2 − x2 (|x| < a).
⇒ F = 2 ·∫ a−a f(x)dx = 2 ba
∫ a−a√a2 − x2dx
e)= 2 ba
π2a
2 = πab
g) (i) limn→∞
(1
n+1 + 1n+2 + . . .+ 1
2n
)
existiert und ist = log 2
(ii)∞∑
n=1
(−1)n−1
n = log 2
Beweis:
(i) Betrachte∫ 21dxx = log 2.
Betrachte Zerlegung Z(n) : 1 = x0 < x1 < . . . < xn = 2, xk = 1+ kn
(k = 1, . . . , n)⇒ Z(n) ist aquidistante Zerlegung von [1; 2]
ξ(n)k := 1 + k
n , k = 1, . . . , n.
Dann konvergiert die Folge S(
f, Z(n), ξ(n)k
)n→∞−−−→ log 2
S(
f, Z(n), ξ(n)k
)
=n∑
k=1
1
1 + kn
︸ ︷︷ ︸
=f(
ξ(n)k
)
· 1
n︸︷︷︸
=xk−xk−1
=n∑
k=1
1n+k
= 1n+1 + . . .+ 1
2n⇒ Behauptung
(ii) Blatt 1, Aufgabe 5:n∑
k=1
(−1)k−1
k =n∑
k=1
1n+k weiter wie in gi) 2
27.5 Satz
Sei f : [a; b]→ R stetig, f ≥ 0 und∫ ba f(x)dx = 0⇒ f = 0
144
Beweis: F : [a; b]→ R, F (x) :=∫ xa f(t)dt ist Stammfunktion von f und wegen
f ≥ 0 gilt:0 ≤ F (x) ≤
∫ xa f(t)dt+
∫ bx f(t)dt = 0
⇒ f = 0⇒ f = F ′ = 0
Bemerkung: Ohne die Voraussetzung der Stetigkeit von f wird 27.5 falsch.
Beispiel: f(x) =
{1 fur x = 00 fur 0 < x ≤ 1
⇒ f ≥ 0 integrierbar (monoton) mit∫ 10 f(x)dx = 0
27.6 Partielle Integration
f, g : [a; b]→ R seien stetig diffbar. Dann gilt:∫ ba f
′(x)g(x)dx = [f(x)g(x)]ba −∫ ba f(x)g′(x)dx.
Beweis: f ′g + fg′ = (fg)′, d. h. f ′g + fg′ hat Stammfunktion fg.⇒ Behauptung 2
27.7 Beispiel∫ ba xe
x dx = [xex]ba −∫ ba e
x dx = [ex(x− 1)]ba.Iterativ kann man so
∫ ba x
nex losen fur alle n. Ebenso∫ ba x
n cosx und∫ ba x
n sinx
27.8 Beispiel
Fur a, b > 0 ist∫ ba log x dx =
∫ ba 1 · log x dx = [x · log x]ba−
∫ ba 1 = [x log x−1]ba.
Gleicher ”Trick“ bei∫ ba arctanx dx,
∫ ba arcsinx dx und
∫ ba arccosx dx
27.9 Wallissches Produkt
Sei In :=∫ π
20 sinn x dx fur n ∈ N0⇒ I0 = π
2 , I1 = 1 und fur n ≥ 2 ist
In =
∫ π2
0sinx · sinn−1 x dx
=[cosx · sinn−1 x
]π2
0︸ ︷︷ ︸
=0
+
∫ π2
0cosx · (n− 1) sinn−2 x · cosx dx
= (n− 1)
∫ π2
0cos2 x sinn−2 x dx
= (n− 1)
∫ π2
0
(1− sin2 x
)sinn−2 x dx = (n− 1)In−2 − (n− 1)In
145
⇒ In =n− 1
nIn−2 =
{ n−1n · n−3
n−2 · . . . · 34 · 1
2 · π2 falls n geraden−1n · n−3
n−2 · . . . · 45 · 2
3 · 1, falls n ungerade
⇒ sinn+1 x < sinn x fur 0 < x < π2
⇒ I2n+1 < I2n < I2n−1 ∀n ∈ N
⇒ 2
3· 45· . . . · 2n
2n+ 1<
1
2· 34· . . . · 2n− 1
2n· π2<
2
3· 45· . . . · 2n− 2
2n− 1(n ∈ N)
⇒ 2n
2n+ 1<
(3 · 5 · . . . · (2n− 1)
2 · 4 · . . . · (2n− 2)
)2 1
2n· π2< 1
Einschließungskriterium⇒Wallissches Produkt:
limn→∞
(2 · 4 · . . . · (2n− 2)
3 · 5 · . . . · (2n− 1)
)2
· 2n =π
2
Alternative Form:
limn→∞
(2 · 4 · . . . · 2n
3 · 5 · . . . · (2n− 1)
)2 1
2n+ 1=π
2,
limn→∞
n∏
k=1
2k
2k − 1
2k
2k + 1=π
2
oder
limn→∞
1√n·n∏
k=1
2k
2k − 1=√π
27.10 Substitutionsregel
Sei f : I → R stetig, g : J → I stetig diffbar, α, β ∈ J , so dass g(α) = a,g(β) = b. Dann gilt:∫ ba f(x)dx =
∫ βα f(g(t))g′(t)dt
Beweis: Sei F : I → R Stammfunktion von f (existiert nach 27.2)⇒ d
dtF (g(t)) = F ′(g(t))g′(t) = f(g(t))g′(t), d. h. t 7→ f(g(t))g′(t) ist stetig undhat Stammfunktion F ◦ g.27.2⇒
∫ βα f(g(t))g′(t)dt = [f(g(t))]βα = F (g(β)) − F (g(α)) = F (b) − F (a) =
∫ ba f(x)dx 2
146
27.11 Beispiele
a)∫ ba
dxx2+6x+10
=∫ ba
dx(x+3)2+1
=∫ b+3a+3
dtt2+1
= [arctan t]b+3a+3 = [arctan(x+ 3)]ba
b) Flacheninhalt des Halbkreises vom Radius R: F = 2 ·∫ ba
√R2 − x2dx
0 ≤ t ≤ π2 x = R · sin t = g(t)
= 2R2∫ R0
√
1− sin2 t cos tdt = 2R2∫ π
20 cos2 tdt
t = π2 − u
= 2R2∫ π
20 sin2 udu = 1
22R2∫ π
20 sin2 t+ cos2 tdt = π
2R2
27.12 Satz von Darboux
benannt nach Jean Gaston Darboux, 14.8.1842–23.2.1917, von 1875Sei f : [a; b] → R Riemann-integrierbar, und es gebe eine Stammfunktion F vonf . Dann gilt:∫ ba f(x)dx = F (b)− F (a)
Beweis:∫ ba f(x)dx =
∫ ba F
′(x)dx = Grenzwert Riemannscher Zerlegungssum-
men = limn→∞
n∑
j=1F ′ (ξj) (xj − xj−1)
(a = x0 < x1 < . . . < xn = b, ξj ∈ [xj−1;xj ]). Das gilt bei beliebiger Wahl derξj . Wahle nun ξj speziell so, dass F ′ (ξj) (xj − xj − 1) = F (xj) − F (xj−1)(j = 1, . . . , n). Das ist moglich nach 22.4.
Bei dieser Wahl der (ξj) istn∑
j=1F ′ (ξj) (xj − xj−1) =
n∑
j=1F (xj) − F (xj−1) =
F (b)− F (a)⇒ Behauptung 2
27.13 Satz
Erstmals postuliert von Johann Heinrich Lambert (26.8.1728 – 25.9.1777)π2 ist irrational, a fortiori ist π irrational.
Bemerkung: Carl Louis Ferdinand Lindemann hat bewiesen, dass π transzen-dent ist.
Beweis: nach Ivan Niven (1915–1999), 1947, vereinfacht von Prof. Dr. E. M.Schroder (Uni Hamburg), in ”Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft Ham-burg 13“, S. 249, 1993.Wir setzen fur n ∈ Z, n ≥ 0 fn : R → R, fn(x) := (x(π − x))n, In :=
147
1n!
∫ π0 fn(x)
︸ ︷︷ ︸
>0 auf ]0;π[
sinx dx
⇒ ddx (f ′n(x) sinx− fn(x) cosx) = f ′′n(x) · sinx+ fn(x) · sinx
⇒∫ π0 f ′′n(x) · sinx+ fn(x) · sinx dx = [fn(x) sinx− fn(x) cosx]π0 = 0
⇒ In = − 1n!
∫ π0 f ′′n(x) sinx dx
Wegen (f ′1(x))2 = (π − 2x)2 = π2 − 4
(πx− x2
)= π2 − 4f1
⇒ f ′′n+2 =d
dx
((n+ 2)fn+1f
′1
)
= (n+ 2)
(n+ 1)fn ·
(f ′1(x)
)2
︸ ︷︷ ︸
π2−4f1
+fn+1 f ′′1︸︷︷︸
=−2
= (n+ 2)(π2(n+ 1)fn − (4n+ 6)fn+1
)
⇒ In+2 = − 1
(n+ 2)!
∫ π
0f ′′n+2(x) sinx dx
= (4n+ 6)1
(n+ 1)!
∫ π
0fn+1(x) sinx dx
︸ ︷︷ ︸
In+1
−π2 1
n!
∫ π
0fn(x) sinx dx
︸ ︷︷ ︸
In
⇒ In+2 = (4n+ 6)In+1 − π2In
Annahme: π2 ist rational
⇒ ∃ p, q ∈ N π2 =p
qan := qn · In
⇒ an+2 = (4n+ 6)q · an+1 − pq · an ∀n ∈ N0
a0 = I0 =∫ π0 sinx dx = 2
a1 = − q1!
∫ π0 f ′′1 (x) sinx dx = 49
}
a0, a1 ∈ Z⇒ an ∈ Z (n ∈ N0)
Nach Definition ist 0 < x(π − x) = π2
4 −(π2 − x
)2< π2
4 fur 0 < x < π
⇒ 0 < In = 1n!
∫ π0 (x(π − x))n sinx dx < 1
n!π(π2
4
)n
⇒ 0 < an < π
(
q π2
4
)n
n! < 1 fur n hinreichend groß, da die Exponentialreihekonvergiert. E 2
148
28 Die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und demgeometrischen Mittel und die Ungleichung von Holderund Minkowski
Vorbemerkung: Fur α > 0 gilt: xα = exp(α log x)x→0+0−−−−→ 0. Setzt man also
0α = 0 fur α > 0, so ist f : [0;∞[→ R mit f(x) = xα fur (x > 0) und f(x) := 0
fur x = 0 stetig. Dagegen xx x→+0−−−−→ 1, 00 := 1 ist die gangigste Definition.
28.1 Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mit-tel
Seien a1, . . . , an ≥ 0, p1, . . . , pn ≥ 0, p1 + . . .+ pn = 1. Dann gilt:
n∏
k=1
apk
k ≤n∑
k=1
pkak.
Insbesondere gilt fur p1 = p2 = . . . = pn = 1n :
(n∏
k=1
ak
) 1n
︸ ︷︷ ︸
geom. Mittel
≤ 1
n
n∑
k=1
ak
︸ ︷︷ ︸
arithm. Mittel
Z. B. fur n = 2 :√ab ≤ 1
2(a+ b)
Beweis: (nach Horst Alzer, Uni Wurzburg, 1996)Aus Stetigkeitsgrunden genugt der Beweis fur den Fall a1, . . . , an > 0Aus Symmetriegrunden kann gleich angenommen werden: 0 < a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤an⇒ a1 ≤
∏nk=1 a
pk
k =: Gn ≤ an⇒ ∃ k ∈ {1; . . . ;n− 1} : ak ≤ Gn ≤ ak+1
Fur j = 1, . . . , k ist
pk ·∫ Gn
aj
(1
t− 1
Gn
)
︸ ︷︷ ︸
≥0
dt = log
(Gnaj
)pj
+pjajGn− pj
Beachte:∑n
j=1 log(Gn
aj
)pj
= 0 (!)
⇒n∑
j=1
pjajGn−
n∑
j=1
pj
︸ ︷︷ ︸
=1
≥ 0 ⇒ Gn ≤n∑
j=1
pjaj 2
149
Zusatz: Sind p1, . . . , pn > 0 und a1, . . . , an > 0 und gibt es j 6= k mit aj 6= ak,so gilt:
n∏
k=1
apk
k <n∑
k=1
akpk
Beweis siehe oben 2
28.2 Definition: p-Norm
Fur p ≥ 1, x =
x1...xn
∈ Rn sei ‖xp‖ :=
(∑n
j=1 |xj |p) 1
p die p-Norm von x.
28.3 Folgerungen
a) Fur p = 2 ist ‖x‖2 die elementargeometrische Lange von x (x ∈ Rn)
b) ‖x‖p ≥ 0 und ‖x‖p = 0⇔ x = 0
c) ‖λx‖p = |λ|‖x‖p
d) Dreiecksungleichung fur ‖x‖p siehe 28.6: Minkowskische Ungleichung
28.4 Holdersche Ungleichung
benannt nach Otto Holder (1859–1937)Seien p, q > 1, 1
p + 1q = 1. Dann gilt:
∑nj=1 |xjyj | ≤ ‖x‖p‖y‖q (x, y ∈ Rn)
Beweis: Fur x = 0 ∧ y = 0 ist die Behauptung klar.Sei also gleich ‖x‖p ≥ 0, ‖y‖p ≥ 0
28.1⇒ uv ≤ 1
pup +
1
qvq ∀u, v ≥ 0 (9)
Setze hier: u := |xk|‖x‖p
, v := |yk|‖g‖q
und summiere uber k = 1, . . . , n
⇒∑nk=1
|xkyk|‖x‖p‖y‖p
≤ 1p
∑nk=1
|xk|p‖x‖p
p︸ ︷︷ ︸
=1
+1q
∑nk=1
|gk|q‖y‖q
q︸ ︷︷ ︸
=1
= 1p + 1
q = 1
⇒ Behauptung 2
Zusatz: Elementarer Beweis von (9):Zu zeigen: xy ≤ 1
pxp + 1
qyq fur alle x, y > 0 Die Behauptung folgt daraus wegen
der Stetigkeit.Betrachte bei festem y: f : [0;∞[→ R, f(x) := 1
pxp + 1
qyq − xy
150
⇒ f ′(x) = xp−1 − y
> 0 fur x > y1
p−1
= 0 fur x = y1
p−1
< 0 fur x < y1
p−1
p− 1 = pq ⇒ f hat in y
qp ein isoliertes absolutes Minimum.
f(
yqp
)
= yq − yq = 0⇒ Behauptung 2
28.5 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
benannt nach Hermann Armandus Schwarz (1843–1921)
∀x, y ∈ Rn |〈x, y〉| ≤ ‖x‖2·‖y‖2, d. h.∣∣∣∑n
j=1 xjyj
∣∣∣
2≤(∑n
j=1 x2j
)(∑n
j=1 y2j
)
Beweis: 28.4 mit p = q = 2 2
28.6 Minkowskische Ungleichung
Fur p ≥ 1 gilt: ‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p (x, y ∈ Rn)
Beweis: p = 1 trivial.
p > 1: Sei q =(
1− 1p
)−1⇒ q > 1, 1
p + 1q = 1
⇒n∑
j=1
|xj + yj |p ≤n∑
j=1
|xj + yj | |xj + yj |p−1
≤n∑
j=1
|xj | |xj + yj |p−1 + |yj | |xj + yj |p−1
28.4≤ (‖x‖p + ‖y‖p)
n∑
j=1
|xj + yj | (p− 1)q = p
1q
Ist nun∑n
j=1 |xj + yj |p = 0, so ist die Behauptung richtig.Ist∑n
j=1 |xj + yj |p > 0, so erhalt man nach Division der letzten Ungleichung
durch(∑n
j=1 |xj + yj |p) 1
q wegen 1− 1q = 1
p die Behauptung. 2
28.7 Dreiecksungleichung im Rn
Fur alle x, y ∈ Rn ist ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2
Beweis: p = 2 in 28.6 2
Analogon von ‖x‖p fur Integrale:(∫ b
a |f(x)|pdx) 1
p . Wir zeigen: Diese Definitionist sinnvoll:
151
28.8 Satz
Sei f : [a; b]→ R integrierbar, p ∈ [1;∞[, dann ist auch |f |p integrierbar.
Beweis: Sei |f | ≤ M auf [a; b]. Fur 0 ≤ v ≤ u ≤ M gilt nach 22.4: up − vp =(u− v)pξp−1 ≤ pMp−1(u− v) mit v ≤ ξ ≤ u⇒ O (|f |p, Z)− U (|f |p, Z) ≤ pMp−1 · (O(|f |, Z)− U(|f |, Z))Da f integrierbar ist, folgt die Behauptung nach 26.6 2
28.9 Korollar
f, g : [a; b]→ R seien integrierbar⇒ f · g integrierbar
Beweis: f · g = 12 (|f + g|)2 − |f |2 − |g|2 und 28.8 2
28.10 Holdersche Ungleichung fur Integrale
Seien f, g : [a; b]→ R integrierbar, p, q ∈ [1;∞[, 1p + 1
q = 1. Dann gilt:
‖f ·g‖1 =
∫ b
a|f(x)g(x)| dx ≤ ‖f‖p ·‖g‖q, wobei ‖f‖p :=
(∫ b
a|f(x)|p dx
) 1p
Beweis: Alle auftretenden Funktionen sind integrierbar nach 28.8, 28.9 und 26.13.Weiter gilt fur die Zwischensumme
S (|f · g|, Z, (ξk)) =n∑
k=1
|f (ξk) g (ξk)| · (xk − xk−1)
=n∑
k=1
(
|f (ξk)| (xk − xk−1)1p
)(
|g (ξk)| (xk − xk−1)1q
)
28.4≤(
n∑
k=1
|f (ξk)|p (xk − xk−1)
) 1p(
n∑
k=1
|g (ξk)|q (xk − xk−1)
) 1q
= S (|f |p, Z, (ξk))1p · S (|g|q, Z, (ξk))
1q .
Lasse Z eine Folge von Zerlegungen(Z(j)
)durchlaufen mit µ
(Z(j)
) j→∞−−−→ 0⇒ Behauptung 2
28.11 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung fur Integrale
f, g : [a; b]→ R seien integrierbar.
⇒∫ ba |f(x)g(x)| dx ≤
(∫ ba |f(x)|2 dx
) 12(∫ b
a |g(x)|2 dx
) 12
152
Beweis: p = q = 2 in 28.10 2
28.12 Minkowskische Ungleichung fur Integrale
f, g : [a; b]→ R seien integrierbar, p ≥ 1
⇒(∫ b
a |f(x) + g(x)|p dx) 1
p ≤(∫ b
a |f(x)|p dx) 1
p+(∫ b
a |g(x)|p dx
) 1p
Beweis:
1.) Behauptung gilt nach 28.6 fur Zwischensummen und folgt fur Integrale durchGrenzubergang (siehe bei 28.10) 2
2.) Die Schlussweise aus 28.6 lasst sich mit 28.10 ubertragen 2
28.13 Dreiecksungleichung fur Integrale
f, g : [a; b]→ R seien integrierbar⇒ ‖f + g‖2 ≤ ‖f‖2 + ‖g‖2
Beweis: 28.12 mit p = 2 2
153
a b
f(a)
f(b)
S
Abbildung 5: Sehnenregel
29 Naherungsweise Berechnung von Integralen
29.1 Sehnenregel
auch als Trapezregel bezeichnet. Es sei f : [a, b]→ R 2-mal stetig differenzierbar.Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b], so dass
∫ b
af(x)dx =
1
2(f(a) + f(b)) · (b− a)− 2
3
(b− a
2
)3
f ′′(ξ)
Beweis: Wir integrieren partiell:
∫ b
af(x)dx =
[(
x− a+ b
2
)
· f(x)
]b
a
−∫ b
a
(
x− a+ b
2
)
· f ′(x)dx
=b− a
2(f(a) + f(b))
︸ ︷︷ ︸
=:S
−∫ b
a
(
x− a+ b
2
)
f ′(x)dx
Dabei ist S der Flacheninhalt des einbeschriebenen Trapezes (siehe Abb. 5).
= S −[(
1
2
(
x− a+ b
2
)2
− 1
2
(b− a
2
)2)
f ′(x)
]b
a
+
∫ b
a
1
2
((
x− a+ b
2
)2
−(b− a
2
)2)
f ′′(x)dx
= S −∫ b
a
1
2
((b+ a
2
)2
−(
x− a+ b
2
)2)
f ′′(x)dx.
154
Hier sind ϕ, f ′′ : [a, b]→ R,
ϕ(x) :=1
2
((b− a
2
)2
−(
x− a+ b
2
))2
=1
2(x− a) · (b− x)
beide stetig und es ist ϕ ≥ 0 (auf [a, b]).
27.1⇒∫ b
aϕ(x)f ′′(x)dx = f ′′(ξ)
∫ b
aϕ(x)dx
mit geeignetem ξ ∈ [a, b]. Hier ist
∫ b
aϕ(x)dx =
1
2
[(b− a
2
)2
·(
x− a+ b
2
)
− 1
3
(
x− a+ b
2
)3]b
a
=1
2
(
2
3·(b− a
2
)3
+2
3
(b− a
2
)3)
=2
3
(b− a
2
)3
2
Bemerkung: Ist in 29.1 die Funktion f konvex, so ist S großer (≥) als derFlacheninhalt zwischen Kurve und x-Achse. Dann ist aber auch f ′′(ξ) > (≥)0,und der Fehler wird in der richtigen Weise korrigiert.
29.2 Korollar
Es seien f : [a, b]→ R zweimal stetig differenzierbar, n ∈ N. Dann ist∣∣∣∣∣
∫ b
af(x)dx−
(
1
2f(a) +
n−1∑
k=1
f
(
a+ kb− an
)
+1
2f(b)
)
· b− an
∣∣∣∣∣
≤ b− a12·(b− an
)2
·max{∣∣f ′′(x)
∣∣ : x ∈ [a, b]
}
Beachte: Der Fehler bei Anwendung der Trapezregel ist kleiner bzw. gleich demQuadrat der Schrittweite b−a
n .
Beweis: Nach 29.1 ist fur 0 ≤ k ≤ n− 1, h := b+an :
∣∣∣∣∣
∫ a+(k+1)·h
a+k·hf(x)dx− 1
2(f (a+ k · h) + f (a+ (k + 1)h)) · h
∣∣∣∣∣
≤ 1
n· b− a
12
(b− an
)2
·max{∣∣f ′′(x)
∣∣ : x ∈ [a, b]
}.
Die Behauptung folgt dann durch Addition dieser Ungleichung und der Dreiecks-ungleichung. 2
155
29.3 Tangentenregel
Es sei f : [a, b] → R zweimal stetig differenzierbar. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b],so dass
∫ b
af(x)dx = f
(a+ b
2
)
(b− a) +1
3
(b− a
2
)3
f ′′(ξ)︸ ︷︷ ︸
Naherungswert zu klein, wenn f konvex
Beweis:∫ b
af(x)dx =
∫ a+b2
af(x)dx+
∫ b
a+b2
f(x)dx
Partielle Integration liefert:
∫ a+b2
af(x)dx = [(x− a)f(x)]
a+b2
a −∫ a+b
2
a(x− a)f ′(x)dx
=b+ a
2f
(a+ b
2
)
−∫ a+b
2
a(x− a)f ′(x)dx
=b− a
2f
(a+ b
2
)
−[1
2(x− a)2f ′(x)
]a+b2
a
+
∫ a+b2
a
1
2(x− a)2f ′′(x)dx
=b− a
2f
(a+ b
2
)
− 1
2
(b− a
2
)2
f ′(a+ b
2
)
+
∫ a+b2
a
1
2(x− a)2f ′′(x)dx.
Ebenso findet man:∫ b
a+b2
f(x)dx =b− a
2f
(a+ b
2
)
+1
2
(b+ a
2
)2
f ′(a+ b
2
)
+
∫ b
a+b2
1
2(b−x)2f ′′(x)dx
denn:∫ b
a+b2
f(x)dx = [−(b− x)f(x)]ba+b2
+
∫ b
a+b2
(b− x)f ′(x)dx
=b− a
2f
(a+ b
2
)
+
[
−1
2(b− x)2f ′(x)
]b
a+b2
+
∫ b
a+b2
1
2(b− x)2f ′′(x)dx
=b− a
2f
(a+ b
2
)
+1
2
(b− a
2
)2
f ′(a+ b
2
)
+
∫ b
a+b2
1
2(b− x)2f ′′(x)dx
⇒∫ b
af(x)dx = f
(a+ b
2
)
(b− a) +
∫ b
aϕ(x)f ′′(x)dx
156
mit
ϕ(x) :=
{12 (x− a)2 f+r a ≤ x ≤ a+b
212 (b− x)2 f+r a+b
2 ≤ x ≤ b
Es ist ϕ ≥ 0 und stetig, ferner f ′′ stetig.
27.1⇒ ∃ ξ ∈ [a, b]
∫ b
aϕ(x)f ′′(x)dx = f ′′(ξ)
∫ b
aϕ(x)dx.
Hier ist∫ b
aϕ(x)dx =
∫ a+b2
a(x− a)2dx =
[1
3(x− a)3
]a+b2
a
=1
3
(b− a
2
)3
2
29.4 Korollar (Allgemeine Tangentenregel)
Sei f : [a, b]→ R zweimal stetig differenzierbar und n ∈ N. Dann gilt:∣∣∣∣∣
∫ b
af(x)dx− b− a
n
n−1∑
k=0
f
(
a+2k + 1
2n(b− a)
)∣∣∣∣∣
≤ b− a24
(b− an
)2
·max{∣∣f ′′(x)
∣∣ : x ∈ [a, b]
}.
Beweis: 29.3⇒ Fur 0 ≤ k ≤ n− 1 ist∣∣∣∣∣
∫ a+(2k+2)· b+a2n
a+2k· b+a2n
f(x)dx− f(
a+ (2k + 1)b− a2n
)
· b− an
∣∣∣∣∣
≤ 1
n
b− a24
(b− an
)2
·max{∣∣f ′′(x)
∣∣ : x ∈ [a, b]
}.
Addition dieser Ungleichungen liefert die Behauptung. 2
29.5 Keplersche Fassregel
nach Johannes Kepler (27.12.1571–15.11.1630) (”Nova stereometria doliorum vi-nariorum“, Linz 1615)8
Es sei f : [a, b]→ R viermal stetig differenzierbar. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b], sodass∫ b
af(x)dx =
(1
6f(a) +
2
3f
(a+ b
2
)
+1
6f(b)
)
(b−a)− (b− a)52880
f (iv)(ξ).
Diese Regel ist eine Art Mischung aus der Sehnenregel und der Tangentenregel.81613 war in Osterreich ein gutes Weinjahr, und Kepler bemerkte, dass die in Osterreich damals
ubliche Methode zur Eichung der Weinfasser sehr ungenau war.
157
Beweis: Man nimmt 23 mal den Naherungswert der Tangentenregel und addiert
12 des Naherungswertes der Sehnenregel. 29.1, 29.3⇒ Das gibt den exakten Inte-gralwert, wenn f ′′ konstant ist. 29.5⇒ Dann wird der Fehler mit der 5. Potenz derIntervalllange klein, und die 2880 im Nenner wirken zusatzlich verkleinernd, wenndie 4. Ableitung nicht zu groß wird.Interessant ist auch folgendes: Die Sehnenregel und die Tangentenregel liefern ex-akte Werte fur das Integral, wenn f ′′ = 0 ist, d. h. wenn f ein lineares Polynom ist.Die Keplersche Fassregel liefert den exakten Wert des Integrals, wenn f (iv) = 0ist, d. h. wenn f ein Polynom vom Grade ≤ 3 ist, und selbst fur Polynome vomGrade 4 erhalt man unter Berucksichtigung des Rests eine strenge Formel.Wir sahen im Beweis der Sehnenregel, dass
∫ b
af (x) dx =
1
2(f (a) + f (b)) (b− a)−
∫ b
a
1
2
((b− a
2
)2
−(
x− a+ b
2
)2)
f ′′ (x) dx
und im Beweis der Tangentenregel, dass
∫ b
af (x) dx = f
(a+ b
2
)
(b− a) +
∫ b
aϕ (x) f ′′ (x) dx
= f
(a+ b
2
)
(b− a) +1
3
(b− a
2
)3
f ′′ (ξT )
mit
ϕ (x) =
{12 (x− a)2 fur a ≤ x ≤ a+b
2 ,12 (b− x)2 fur a+b
2 ≤ x ≤ b.
Beachte: ϕ(a+b2 + x
)= ϕ
(a+n
2 − x).
13 · Erste Gleichung + 2
3 · Zweite Gleichung⇒∫ b
af (x) dx =
(1
6f (a) +
2
3f
(a+ b
2
)
+1
6f (b)
)
(b− a)︸ ︷︷ ︸
=:K=Keplerscher Naherungswert
+
∫ b
aϕ2 (x) f ′′(x)dx,
wobei fur a ≤ x ≤ b gilt:
ϕ2 (x) =2
3ϕ (x)− 1
6
((b− a
2
)2
−(
x− a+ b
2
)2)
.
Offenbar ist ϕ2
(a+b2 + x
)= ϕ
(a+b2 − x
) (0 ≤ x ≤ b−a
2
). Wir brauchen also
ϕ2 nur fur a ≤ x ≤ a+ h mit h = b−a2 auszurechnen; dann ist
ϕ2 (x) =1
3(x− a)2 +
1
6
(
x− a+ b
2
)2
− 1
6h2
158
0
x
Abbildung 6: ϕ2(x)
=1
3
(
x− a+ b
2+ h
)2
+1
6
(
x− a+ b
2
)2
− 1
6h2
=1
2
(
x− a+ b
2
)2
+2
3
(
x− a+ b
2
)
h+1
6h2
fur a ≤ x ≤ a+ h. Insgesamt folgt:
ϕ2 (x) =
{12
(x− a+b
2
)2+ 2
3
(x− a+b
2
)h+ 1
6h2 fur a ≤ x ≤ a+ h,
12
(x− a+b
2
)2 − 23
(x− a+b
2
)h+ 1
6h2 fur a+ h ≤ x ≤ b
ϕ2 ist stetig, aber nicht durchweg ≥ 0, denn der Graph sieht aus wie in Abb. 6.Beachte: ϕ′
2(a) = −13h < 0. Deshalb integrieren wir weiter partiell:
ϕ3 (x) :=
∫ x
a+b2
ϕ (t) dt
=
{16
(x− a+b
2
)3+ 1
3
(x− a+b
2
)2h+ 1
6h2(x− a+b
2
)fur a ≤ x ≤ a+ h,
16
(x− a+b
2
)3+ 1
3
(x− a+b
2
)2h+ 1
6h2(x− a+b
2
)fur a+ h ≤ x ≤ b
Dabei ist ϕ3 differenzierbar nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrech-nung.
⇒∫ b
aϕ2 (x) f ′′ (x) dx =
[ϕ3 (x) f ′′ (x)
]b
a−∫ b
aϕ3 (x) f ′′′ (x) dx = −
∫ b
aϕ3 (x) f ′′′ (x) dx,
da ϕ3(a) = ϕ3(b) = 0. Der Graph von ϕ3 ist in Abb. 7 zu sehen. Da ϕ3 dasVorzeichen wechselt, konnen wir immer noch nicht den Mittelwertsatz der Integral-Rechnung anwenden. Deshalb integrieren wir noch einmal partiell:
ϕ4 (x) :=
∫ x
a+b2
ϕ3 (t) dt− 1
72h4
159
0
x
Abbildung 7: Der Graph von ϕ3
=
{124
(x− a+b
2
)4+ 1
9
(x− a+b
2
)3h+ 1
12
(x− a+b
2
)2h2 − 1
72h4 fur a ≤ x ≤ a+ h
124
(x− a+b
2
)4 − 19
(x− a+b
2
)3h+ 1
12
(x− a+b
2
)2h2 − 1
72h4 fur a+ h ≤ x ≤ b
Wegen
∫ b
a+b2
ϕ3 (x) dx =1
24h4 − 1
9h4 +
1
12h4 =
(1
8− 1
9
)
h4 =1
72h4
ist ϕ4(a) = ϕ4(b) = 0, also ϕ4 ≤ 0 und daher unser Fehlerterm
∫ b
aϕ2 (x) f ′′ (x) dx = −
∫ b
aϕ3 (x) f ′′′ (x) dx =
∫ b
aϕ4 (x) f (iv) (x) dx
= f (iv) (ξ)
∫ b
aϕ4 (x) dx,
denn f ist 4-mal stetig differenzierbar und ϕ4 stetig und ≤ 0. Nun rechnet manaus:
∫ b
aϕ4 (x) dx
= 2
∫ b
a+b2
(
1
24
(
x− b+ a
2
)4
− 1
9
(
x− b+ a
2
)3
h+1
12
(
x− b+ a
2
)2
h2 − 1
72h4
)
dx
= 2
1
5 · 24 −1
4 · 9 +1
3 · 12︸ ︷︷ ︸
=0
− 1
72
h5 =
(1
5 · 12 −1
3 · 12
)
h5
= − 2
15 · 12h5 = − 1
90h5 = − 1
2880(b− a)5 2
160
29.6 Simpsonsche Regel
Es sei f : [a, b]→ R 4-mal stetig differenzierbar und n ∈ N. Dann gilt:∣∣∣∣∣
∫ b
af (x) dx− b− a
n
(
1
6f (a) +
1
3
n−1∑
k=1
f
(
a+ k · b− an
)
+2
3
n∑
k=1
f
(
a+ (2k − 1)b− a2n
)
+1
6f (b)
)∣∣∣∣∣
≤ (b− a)52880
· 1
n4·max
{∣∣∣f (iv) (x)
∣∣∣ : x ∈ [a, b]
}
.
Beweis: Nach 29.5 ist mit h = b−an , k = 0, . . . , n− 1:
∣∣∣∣∣
∫ a+(k+1)h
a+khf (x) dx−
(1
6f (a+ kh) +
2
3f
(
a+ (2k + 1)h
2
)
+1
6f (a+ (k + 1)h)
)
h
∣∣∣∣∣
≤ (b− a)52880
· 1
n5·max
{∣∣∣f (iv) (x)
∣∣∣ : x ∈ [a, b]
}
.
Addition dieser Ungleichungen liefert die Behauptung. 2
Bemerkung: Manchmal ist es nicht optimal, den Fehler durch∣∣f (iv)
∣∣ abzuschat-
zen. Wenn z. B. in [a, b] die Funktion f (iv) stets einerlei Vorzeichen hat, gibt 29.5uber das Vorzeichen des Fehlers Auskunft.
161
30 Uneigentliche Integrale
30.1 Definition: Uneigentliche Integrierbarkeit
Sei −∞ ≤ a < b ≤ ∞ und f : ]a; b[→ R. Dann heißt f uneigentlich integrierbar,wenn gilt:
a) Fur jedes abgeschlossene Intervall [a′; b′] ⊂ ]a; b[ ist f uber [a′; b′] eigent-lich, d. h. im bisherigen Sinne, integrierbar.
b) Fur ein (und dann auch fur alle) c ∈ ]a; b[ existieren die Grenzwertelim
y→a+o
∫ cy f(x)dx und lim
z→b−0
∫ zc f(x)dx
Ist f uneigentlich integrierbar, so heißt∫ b
af(x)dx := lim
y→a+0
∫ c
yf(x)dx+ lim
z→b−0
∫ z
cf(x)dx
das uneigentliche Integral von f .
Bemerkungen:
a) Ist z. B. f : [a; b[→ R erklart und f |[a; y] integrierbar fur jedes y ∈ [a; b[, sowahle man oben c = a, ebenso fur die untere Grenze.
b) Ist f : [a; b] → R integrierbar, so ist f auch uneigentlich integrierbar unddie Integralwerte gemaß alter und neuer Definition sind gleich, da x 7→∫ xc f(t)dt stetig und abhangig von x ist.
c) Im Unterschied zum eigentlichen Riemann-Integral braucht der Integrand fbeim uneigentlichen Integral nicht beschrankt zu sein, und das Integral musskeine endliche Lange haben.
30.2 Beispiele
a)∫∞1
dxxα existiert⇔ α > 1. (Parallel:
∞∑
n=1
1nα konvergiert⇔ α > 1).
Beweis: Sei y > 1 :∫ y1dxxα =
{ [1
1−αx1−α]y
1fur α 6= 1
log y fur α = 1
=
{1
1−αy1−α − 1
1−α fur α 6= 1
log y fur α = 1⇒ Die rechte Seite hat fur y → ∞ genau dann einen Grenzwert, wennα > 1. Dann ist der Grenzwert − 1
1−α . Also∫ ∞
1
dx
xα
{= 1
α−1 fur α > 1
divergiert fur α ≤ 1
b)∫ 10dxxα konvergiert⇔ α < 1.
162
Beweis: Sei 0 < ε < 1 :∫ 1
ε
dx
xα=
{ − log ε fur α = 11
1−α(1− ε1−α
)fur α 6= 1
⇒ Es existiert ein Limes fur ε→ 0 + 0⇔ α < 1 und∫ 1
0
dx
xα
{= 1
1−α fur α < 1
divergiert fur α ≥ 1
c)∫ 0−∞ ex dx = 1 oder
∫∞0 e−xdx = 1.
Beweis:∫ 0y e
x dx = [ex]0yy→−∞−−−−→ 1
Analog:∫ 10 log x dx = −1
d)∫∞0 xne−x dx = n! ∀, n ≥ 0.
Beweis: F (x) := −n!e−x∑n
k=0xk
k! ist Stammfunktion des Integrandenmit F (y)
y→∞−−−→ 0, da die Exponentialfunktion schneller wachst als jedesPolynom. F (0) = −n!⇒ Behauptung.
e)∫∞−∞
dx1+x2 = π.
Beweis:∫ y0
dx1+x2 = arctan y
y→∞−−−→ π2 , ebenso
∫ 0−y
dx1+x2 = − arctan(−y) y→∞−−−→
π2 ⇒ Behauptung.
30.3 Satz: Cauchy-Kriterium
Sei −∞ ≤ a < b ≤ ∞ und f :]a, b[→ R sei uber jedes [a′, b′] ⊂]a, b[ integrierbar.Dann gilt:
∫ b
af(x)dx existiert ⇔
∀ ε > 0 ∃ b0 ∈]a, b[ ∀ b0 < b′ < b′′ < b∣∣∣
∫ b′′
b′ f(x)dx∣∣∣ < ε
∀ ε > 0 ∃ a0 ∈]a, b[ ∀ a < a′ < a′′ < a0
∣∣∣
∫ a′′
a′ f(x)dx∣∣∣ < ε
Beweis: Das ist nur das Cauchy-Kriterium fur die Existenz der Limites in 30.1.2
30.4 Korollar
Sei f : [a,∞[→ R uber jedes Intervall [a, b] (b > a) integrierbar und es gebe einx0 > max(a, 0) und ein M > 0 und ein α > 1, so dass |f(x)| ≤ M
xα fur allex ≥ x0. Dann konvergiert
∫∞a f(x)dx.
163
Beweis: Fur x0 ≤ b0 < b′ < b′′ ist∣∣∣∣∣
∫ b′′
b′f(x)dx
∣∣∣∣∣≤M
∫ b′′
b′
dx
xα= M
[1
1− αx1−α]b′′
b′
=M
α− 1
((b′)1−α −
(b′′)1−α
)
<M
α− 1b1−α0 < ε,
fur alle ε > 0, falls b0 hinreichend groß gewahlt wird. Das Cauchy-Kriteriumliefert dann die Behauptung. 2
Beispiel:∫∞1
sinxxα dx konvergiert fur α > 1. (spater: Dieses Integral konvergiert
sogar fur α > 0).
30.5 Korollar
Sei a ∈ R und f :]a, b] → R uber jedes Intervall [c, b] ⊂ ]a, b] integrierbar undes gebe ein a0 ∈ ]a, b], ein M > 0 und ein α < 1, so dass |f(x)| ≤ M
(x−a)α
fur a < x ≤ a0. Dann konvergiert das Integral∫ ba f(x)dx. Sinngemaß ebenso bei
Konvergenz des uneigentlichen Integrals an der oberen Grenze b, falls |f(x)| ≤M
(x−b)α fur b0 ≤ x < b.
Beweis: mit Cauchy-Kriterium wie in 30.4. 2
30.6 Beispiel
Wir wissen:∫∞1
dxx divergiert,
∫∞1
dxxα konvergiert fur α > 1,
∫∞1
sinxxα dx konver-
giert fur α > 1.
Behauptung:∫∞0
sinxx dx konvergiert.
Begrundung: limx→0sinxx = 1 existiert, also ist das Integral nur an der oberen
Grenze uneigentlich, da der Integrand in 0 stetig erklarbar ist. Sei ε > 0, b0 :=2ε + 1, b0 < b′ < b′′.
⇒∣∣∣∣∣
∫ b′′
b′
sinx
xdx
∣∣∣∣∣
part. Int.=
∣∣∣∣∣
[
−cosx
x
]b′′
b′−∫ b′′
b′
cosx
x2dx
∣∣∣∣∣≤ 1
b′+
1
b′′+
∫ b′′
b′
dx
x2
=1
b′+
1
b′′−[
1
x
]b′′
b′=
2
b′<
2
b0< ε
Daraus folgt die Behauptung mit dem Cauchy-Kriterium (30.3) 2
164
Analogie zur Situation bei den unendlichen Reihen:
∞∑
n=1
1
ndivergiert ↔
∫ ∞
1
dx
xdivergiert.
∞∑
n=1
(−1)n
nkonvergiert ↔
∫ ∞
1
sinx
xdx konvergiert.
Analog zeigt man:∫∞1
sinxxα dx konvergiert fur α > 0 und divergiert fur α ≤ 0.
30.7 Integralvergleichskriterium
Sei f : [1,∞[→ R, f ≥ 0, f monoton fallend. Dann gilt:
∫ ∞
1f(x)dx konvergiert ⇔
∞∑
n=1
f(n) konvergiert.
Beweis: f monoton⇒ f ist uber jedes Intervall [a, b] (b > 1) integrierbar. Weitergilt:
f(k + 1)︸ ︷︷ ︸
Untersumme
≤∫ k+1
kf(x)dx ≤ f(k)
︸︷︷︸
Obersumme
∀ k ∈ N
Summation liefert:
n∑
k=2
f(k) ≤∫ n
1f(x)dx ≤
n−1∑
k=1
f(k) ∀n ∈ N
”⇒“ Falls∫∞1 f(x)dx konvergiert, so hat
∑∞n=1 f(n) beschrankte Teilsummen,
also konvergiert∑∞
n=1 f(n), denn die Terme sind alle positiv.
”⇐“ Sei ε > 0. Fur 1 < u < v ist
0 ≤∫ v
uf(x)dx ≤
∫ [v]+1
[u]f(x)dx ≤
[v]∑
k=[u]
f(k) < ε ∀ v ≥ u ≥ u0
mit u0 hinreichend groß nach dem Cauchy-Kriterium fur Reihen. 2
30.8 Beispiele
a)∑∞
n=11nα konvergiert⇔ α > 1 wegen
∫∞1
dxxα konvergiert⇔ α > 1 nach
30.2 a).
165
b)∑∞
n=21
n·logn divergiert.Beweis mit dem Verdichtungskriterium oder:
∫ y
2
dx
x · log x = [log (log x)]y2y→∞−−−→∞
⇒ Das Integral∫∞2
dxx·log x divergiert.
c)∑∞
n=21
n(logn)α konvergiert⇔ α > 1.
Beweis:
α = 1: siehe b)
α 6= 1:∫ y2
dxx(log x)α =
[1
1−α (log x)1−α]y
2hat fur y → ∞ einen Grenzwert
⇔ α > 1. 2
30.9 Definition: Absolute Konvergenz
Sei −∞ ≤ a < b ≤ ∞, f : ]a, b[→ R. Dann heißt∫ ba f(x)dx absolut konvergent,
wenn gilt:
a) Fur jedes Intervall [a′, b′] ⊂ ]a, b[ ist f uber [a′, b′] integrierbar.
b) Fur ein und damit fur jedes c ∈ ]a, b[ existieren die Grenzwerte
limy→a+0
∫ c
y|f(x)| dx und lim
z→b−0
∫ z
c|f(x)| dx.
30.10 Satz
Jedes absolut konvergente Integral konvergiert.
Beweis: Integral absolut konvergentCauchy⇔
∀ ε > 0 ∃ b0 ∈]a, b[ ∀ b0 < b′ < b′′ < b
∫ b′′
b′|f(x)| dx < ε und
∀ ε > 0 ∃ a0 ∈]a, b[ ∀ a < a′ < a′′ < a0
∫ a′′
a′|f(x)| dx < ε
Wegen∣∣∣
∫ b′′
b′ f(x)dx∣∣∣ ≤
∫ b′′
b′ |f(x)| dx und∣∣∣
∫ a′′
a′ f(x)dx∣∣∣ ≤
∫ a′′
a′ |f(x)| dx sind dieBedingungen von 30.3 erfullt. Das Cauchy-Kriterium liefert dann die Behauptung.2
166
30.11 Beispiel∫∞1
sinxx dx konvergiert, ist aber nicht absolut konvergent. Allgemeiner:∫ ∞
1
sinx
xαkonvergiert ⇔ α > 0, konvergiert absolut ⇔ α > 1
30.12 Zusatz zu 30.4, 30.5
Unter den Voraussetzungen von 30.4 und 30.5 ist das Integral∫ ba f(x)dx absolut
konvergent.
Beweis: Wortlich wie in 30.4 und 30.5 mit dem Cauchy-Kriterium. 2
167
31 Die Gamma-Funktion
31.1 Satz und Definition
Fur s > 0 konvergiert das Integral∫∞0 ts−1e−tdt, definiert also eine Funktion
Γ : ]0,∞[→ R, Γ(s) :=
∫ ∞
0ts−1e−tdt (s > 0),
die sog. Gamma-Funktion (Leonhard Euler). Fur s ≤ 0 divergiert das Integral.
Beweis:
a) Fur 0 < t ≤ 1 ist∣∣ts−1e−t
∣∣ ≤ ts−1 30.5⇒
∫ 10 t
s−1e−tdt konvergiert fur s > 0.
b) Sei s ∈ R beliebig.⇒ ∃M > 0, so dass ts−1e−t ≤ Mt2
fur t ≥ 1.30.4⇒
∫∞1 ts−1e−tdt konvergiert fur alle s ∈ R.
a) und b)⇒∫∞0 ts−1e−tdt konvergiert fur alle s > 0.
c) Sei s ≤ 0, 0 < t ≤ 1 ⇒ e−tts−1 ≥ 1e t
−1, also∫ 1ε e
−tts−1dt ≥ 1e
∫ 1εdtt =
1e log 1
εε→0−−−→∞
⇒∫ 10 t
s−1e−1dt divergiert fur s ≤ 0. 2
31.2 Satz
a) Fur alle n ∈ N gilt: Γ(n) = (n− 1)!
b) Fur alle s > 0 ist Γ(s+ 1) = sΓ(s).
Die Gamma-Funktion interpoliert also auf naturliche Weise die Fakultat.
Beweis:
a) 30.2 d)
b) Sei 0 < ε < 1. Partielle Integration liefert:
∫ 1ε
εtse−tdt
︸ ︷︷ ︸
ε→0−−−→Γ(s+1)
=[−e−tts
] 1ε
ε+ s
∫ 1ε
εts−1e−tdt
︸ ︷︷ ︸
ε→0−−−→s·Γ(s)
2
31.3 Definition: logarithmisch konvex
F : I → ]0,∞[ heißt logarithmisch konvex, falls logF konvex ist, d. h.
∀x, y ∈ I ∀ 0 < λ < 1 F (λx+ (1− λ) y) ≤ F (x)λ · F (y)1−λ
168
31.4 Satz
Die Gamma-Funktion ist logarithmisch konvex.
Beweis: Seien 0 < x < y und 0 < λ < 1. Setze p := 1λ , q := 1
1−λ , also1p + 1
q = 1, p, q > 1. f(t) := tx−1
p · e−tp , g(t) := t
y−1q · e−
tq fur t > 0 und
0 < ε < 1. Damit gilt:
∫ 1ε
εtλx+(1−λ)y−1e−tdt =
∫ 1ε
εf(t)g(t)dt
28.4≤(∫ 1
ε
εf(t)pdt
) 1p(∫ 1
ε
εg(t)qdt
) 1q
=
(∫ 1
ε
εtx−1e−tdt
)λ
·(∫ 1
ε
εty−1e−tdt
)1−λ
Grenzubergang fur ε→ 0 ergibt:
Γ (λx+ (1− λ) y) ≤ (Γ(x))λ + (Γ(y))1−λ
⇒ Γ ist logarithmisch konvex. 2
31.5 Eindeutigkeitssatz
Hier in der Version von Harald Bohr (1887–1951) und Johannes Mollerup in [BM22].Es sei F : ]0,∞[→ ]0,∞[ eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
a) F (1) = 1
b) F (x+ 1) = x · F (x) ∀x > 0
c) F ist logarithmisch konvex.
Dann ist F = Γ, also F (x) =∫∞0 tx−1e−tdt (x > 0).
Beweis: Γ hat die Eigenschaften a)-c). Sei also F irgendeine Funktion mit denEigenschaften a)-c).
b)⇒ ∀x > 0, n ∈ N F (x+ n) = (x+ n− 1)F (x+ n− 1)
= . . . = x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)F (x)
x = 1 und a)⇒ F (n) = (n− 1)! ∀n ∈ NSei 0 < x < 1⇒ n+ x = (1− x)
︸ ︷︷ ︸
∈]0,1[
n+ x︸︷︷︸
∈]0,1[
(n+ 1)
c)⇒ F (n+ x) ≤ (F (n))1−x · (F (n+ 1))xb)= (F (n))1−x · nx(F (n))x
= (F (n))nx = (n− 1)!nx
169
Analog: n+ 1 = x︸︷︷︸
∈]0,1[
(n+ x) + (1− x)︸ ︷︷ ︸
∈]0,1[
(n+ 1 + x) konvexe Linearkombination.
c)⇒ n! = F (n+1) ≤ (F (n+x))x · (F (n+1+x))1−xb)= (n+x)1−xF (n+x)
Zusammen: Fur 0 < x < 1 gilt:
n!(n+ x)x−1 ≤ F (n+ x) ≤ (n− 1)!nx
F (n+ x) = x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)F (x)
}
⇒
0 < an(x) :=n!(n+ x)x−1
x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)F (x)≤ F (x)
≤ (n− 1)!nx
x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)F (x)=: bn(x)
bn(x)
an(x)=
(n− 1)!nx
n!(n+ x)x−1=
nx−1
(n+ x)x−1=(
1 +x
n
)1−x n→∞−−−→ 1
Daraus folgt: limn→∞ an(x) = limn→∞ bn(x) = F (x), denn es gilt folgendes
Lemma: Seien an, bn, c > 0 und es gelte 0 < an ≤ c ≤ bn, bnan
n→∞−−−→ 1Dann gilt: limn→∞ an = limn→∞ bn = c.
Beweis: 0 ≤ c− an ≤ bn − an = an
(bnan− 1)
≤ c(bnan− 1)
n→∞−−−→ 0
⇒ limn→∞
an = c, bn =bnan︸︷︷︸
→1
· an︸︷︷︸
→c
n→∞−−−→ c 2
Ergebnis: Fur 0 < x < 1 ist
F (x) = limn→∞
(n− 1)!nx
x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)= lim
n→∞n! · nx
x(x+ 1) · . . . · (x+ n),
denn nn+x
n→∞−−−→ 1.
Behauptung: Fur alle x > 0 gilt: F (x) = limn→∞ n!·nx
x(x+1)·...·(x+n)
Begrundung: Fur 0 < x < 1 ist die Behauptung bewiesen. Auch fur x = 1ist die Behauptung richtig. Bleibt also noch zu zeigen: Gilt die Behauptung fur einx > 0, so gilt sie auch fur y := x+ 1. Dazu:
F (y) = F (x+ 1)b)= x · F (x) = x · lim
n→∞n! · nx
x(x+ 1) · . . . · (x+ n)
= limn→∞
n! · nx(x+ 1)(x+ 2) · . . . · (x+ n)
· n
x+ n+ 1
= limn→∞
n!ny
y(y + 1) · . . . · (y + n)2
170
31.6 Satz
nach Carl Friedrich Gauß.Fur x > 0 ist Γ(x) = limn→∞ n!·nx
x(x+1)·...·(x+n)
Beweis: siehe oben 2
31.7 Korollar
nach Leonhard Euler in [Eul36].
Γ
(1
2
)
=√π
Beweis: x = 12 in 31.6:
Γ
(1
2
)
= limn→∞
n! · √n12 · . . . · 2n+1
2
= limn→∞
1√n· 2 · 4 · . . . · 2n1 · 3 · . . . · (2n− 1)
︸ ︷︷ ︸n→∞−−−→√
π nach 27.9
· 2n
2n+ 1︸ ︷︷ ︸
n→∞−−−→1
=√π 2
31.8 Korollar
∫ ∞
0e−x
2dx =
1
2
√π
Beweis: Nach 31.7 ist
limε→0+
∫ 1ε
εt−
12 e−tdt =
√π
Substitution t = x2 liefert:
limε→0+
2
∫ 1√ε
√εe−x
2dx =
√π
⇒∫ ∞
0e−x
2dx =
1
2
√π
⇒∫ ∞
−∞e−x
2dx =
√π 2
Substitution liefert:1√2πσ
∫ ∞
−∞e−
(x−µ)2
2σ2 dx = 1,
die sog. Gauß’sche Normalverteilung.
171
31.9 Satz
Fur x, y > 0 konvergiert B(x, y) :=∫ 10 t
x−1(1 − t)y−1dt, die sog. EulerscheBetafunktion, und es gilt:
B(x, y) = B(y, x), B(x+ 1, y) =x
x+ yB(x, y) ∀x, y > 0
Beweis: Fur 0 < t ≤ 12 , x, y > 0 gilt: 0 ≤ tx−1(1− t)y−1 ≤M1t
x−1 = M1tα mit
α := 1− x < 1 und passendem M1 > 0,und fur 1
2 ≤ t < 1: 0 ≤ tx−1(1 − t)y−1 ≤ M2(1 − t)y−1 = M2
(1−t)β mit β :=
1− y < 1 und passendem M2 > 0.30.5⇒ Das Integral konvergiert fur x > 0, y > 0.
∫ 1−ε
εtx−1(1− t)y−1dt
︸ ︷︷ ︸
ε→0−−−→B(x,y)
=
∫ 1−ε
εuy−1(1− u)x−1du
︸ ︷︷ ︸
ε→0−−−→B(y,x)
Sei 0 < ε < 12 :
∫ 1−ε
εtx(1− t)y−1dt =
∫ 1−ε
ε(1− t)x+y−1
(t
1− t
)x
dt
part. Int.=
[
− 1
x+ y(1− t)x+y
(t
1− t
)x]1−ε
ε
+
∫ 1−ε
ε
x
x+ y(1−t)x+y
(t
1− t
)x−1 dt
(1− t)2
ε→ 0⇒ B(x+ 1, y) = limε→0
∫ 1−ε
εtx(1− t)y−1dt
= limε→0
− 1
x+ y[(1− t)ytx]1−εε︸ ︷︷ ︸
→0
+x
x+ y
∫ 1−ε
εtx−1(1− t)y−1dt
=x
x+ yB(x, y) 2
31.10 Satz
Fur alle x, y > 0 gilt: B(x, y) = Γ(x)·Γ(y)Γ(x+y) .
Beweis: Fur festes y > 0 sei f(x) := 1Γ(y) · B(x, y) · Γ(x + y) (x > 0)
Gleiche Schlussweise wie in 31.4 (siehe auch Aufgabe 14) liefert: x 7→ Γ(x + y)ist logarithmisch konvex, ebenso x 7→ B(x, y).⇒ f ist logarithmisch konvex.
f(1) =1
Γ(y)B(1, y)·Γ(y+1) = y ·
∫ 1
0(1−t)y−1dt = lim
R→1−0[−(1− t)y]R0 = 1
172
f(x+ 1) =1
Γ(y)· Γ(x+ y + 1)B(x+ 1, y)
31.9=
(x+ y) · Γ(x+ y)
Γ(y)
x
x+ yB(x, y) = x · f(x)
31.5⇒ f(x) = Γ(x) ∀x > 0⇒ Behauptung 2
Zweiter Beweis fur Γ(
12
)=√π: Durch doppelte Substitution erhalt man:
B
(1
2,1
2
)
= limε→+0
∫ 1−ε
εt−
12 (1− t)− 1
2 dt
t7→u2
= limε→+0
∫ √1−ε
√ε
2(1− u2
)− 12 du
u7→sinϕ= lim
ε→+0
∫ arcsin√
1−ε
arcsin√ε
2 · cosϕ(1− sin2 ϕ
)− 12 dϕ = 2 ·
∫ π2
0dϕ = π
31.10⇒(
Γ
(1
2
))2
· 1
Γ(1)= π
Γ(1) = 1⇒ Γ
(1
2
)
=√π 2
siehe dazu auch [Art31].
173
32 Stirlingsche Formel
32.1 Stirlingsche Formel
benannt nach James Stirling (Mai 1692–5.12.1770), schottischer Mathematiker.Fur alle n ∈ N, n > 1 gilt:
exp
(
1
12n+ 14
)
<n!√
2πn(ne
)n < exp
(1
12n
)
Insbesondere gilt:
limn→∞
n!√2πn
(ne
)n = 1
Beweis: nach Ernesto Cesaro (12.3.1859–12.9.1906).Fur |x| < 1 gilt:
log (1 + x) =∞∑
k=1
(−1)k−1 xk
k,
also fur |x| < 1:
log
(1 + x
1− x
)
= log (1 + x)−log (1− x) =∞∑
k=1
(−1)k−1 xk
k+
∞∑
k=1
xk
k= 2
∞∑
k=0
x2k+1
2k + 1
(
n+1
2
)
log
(
1 +1
n
)
−1 =2n+ 1
2log
(
1 + 12n+1
1− 12n+1
)
−1 =∞∑
k=1
1
(2k + 1) (2n+ 1)2k
fur |x| < 1.
Obere Abschatzung:
(
n+1
2
)
log
(
1 +1
n
)
− 1 <1
3
∞∑
k=1
1
(2n+ 1)2k=
1
3
1(2n+1)2
1− 1(2n+1)2
=1
3
1
(2n+ 1)2 − 1=
1
12
1
n (n+ 1)=
1
12n− 1
12 (n+ 1)
Untere Abschatzung: Sei n ≥ 2.
(
n+1
2
)
log
(
1 +1
n
)
− 1 =∞∑
k=1
1
(2k + 1) (2n+ 1)2k
174
=1
3 (2n+ 1)2
∞∑
k=1
3
(2k + 1) (2n+ 1)2k−2
Hier gilt: 32k+1 ≥
(35
)k−1 fur k ≥ 1 (Induktion).
≥ 1
3 (2n+ 1)2
∞∑
k=1
(3
5· 1
(2n+ 1)2
)k−1
=1
3 (2n+ 1)2· 1
1− 35 · 1
(2n+1)2
=1
3 (2n+ 1)2 − 95
=1
12n2 + 12n+ 65
=12
144n2 + 144n+ 725
>12
144n2 + 150n+ 4916
,
denn fur n ≥ 2 ist 6n+ 4916 > 15 > 72
5 .
=12
(12n+ 1
4
) (12 (n+ 2) + 1
4
) =1
12n+ 14
− 1
12 (n+ 1) + 14
Ergebnis: Fur n ≥ 2 ist
1
12n+ 14
− 1
12 (n+ 1) + 14
<
(
n+1
2
)
log
(
1 +1
n
)
−1 <1
12n− 1
12 (n+ 1)
Sei nun an := exp(
− 112n+ 1
4
)
, an wachsend, bn := exp(− 1
12n
), bn wachsend,
xn := n!√n(n
e )n = n!en
nn+12
. Dann folgt: Fur alle n ≥ 2 ist nach obigem Ergebnis
1 <an+1
an<
1
e
(
1 +1
n
)n+ 12
=
(n!en
nn+ 12
)(
(n+ 1)n+1+ 12
(n+ 1)!en+1
)
=xnxn+1
<bn+1
bn
(10)
⇒ xn+1 < xn fur alle n ≥ 2, also (xn)n≥2 fallend, xn > 0.⇒ limn→∞ xn =: x existiert (in R).
(10)⇒{
(anxn)n≥2 ist streng fallend, ann→∞−−−→ 1
(bnxn)n≥2 ist streng wachsend, bnn→∞−−−→ 1
⇒ bnxn < x < anxn ∀n ≥ 2 (11)
(11)⇒ x > 0
⇒ x√2
= limn→∞
x2n
x2n
√2
= limn→∞
x2n
x2n· 22nn2n+1e−2n
(2n)2n+ 12 e−2n
√n
︸ ︷︷ ︸
= 1√2
= limn→∞
22n (n!)2
(2n)!√n
175
nach Definition der xn.
= limn→∞
1√n
n∏
k=1
2k
2k − 1=√π nach 27.9
⇒ x =√
2π⇒ bnxn < x =
√2π < anxn. Das aber ist gerade die Behauptung. 2
32.2 Beispiel
exp
(
1
n(12n+ 1
4
)
)
︸ ︷︷ ︸
→1
(2πn)12n
︸ ︷︷ ︸
→1
n
e︸︷︷︸
→∞
<n√n!
n→∞−−−→∞
Cauchy-Hadamard (17.6) ⇒ R = 1
limn→∞
n√
|an|hat fur die Exponentialreihe den
Wert∞.
176
Teil VI
Funktionenfolgen33 Gleichmaßige Konvergenz, Vertauschungssatze
33.1 Definition: Punktweise Konvergenz
Sei X eine Menge, fn, f : X → C.
a) (fn)n≥1 konvergiert (”punktweise“) gegen f :⇔
fnn→∞−−−→ f :⇔ lim
n→∞fn = f :⇔
∀x ∈ X limn→∞
fn(x) = f(x)⇔
∀x ∈ X ∀ ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |fn(x)− f(x)| < ε
b)∞∑
n=1
fn = f :⇔ ∀x ∈ X∞∑
n=1
fn(x) = f(x).
Problem: Vorgelegt seien fn, f : I → R mit fnn→∞−−−→ f .
1. Frage Seien alle fn stetig in x0 ∈ I , d. h. limx→x0 fn(x) = fn (x0) fur alle n.Ist dann auch f stetig in x0, d. h. gilt dann auch limx→x0 f(x) = f (x0),bzw. gilt dann auch
limx→x0
(
limn→∞
fn(x))
= limn→∞
(
limx→x0
fn(x)
)
?
2. Frage Seien alle fn differenzierbar. Ist dann auch f differenzierbar und gilt:limn→∞ f ′n = f ′, d. h.
limn→∞
d
dxfn(x) =
d
dx
(
limn→∞
fn(x))
?
3. Frage Seien alle fn : [a, b] → R integrierbar. Ist dann auch f : [a, b] → R
integrierbar und gilt:∫ ba fn(x)dx
n→∞−−−→=∫ ba f(x)dx, d. h.
limn→∞
∫ b
afn(x)dx =
∫ b
alimn→∞
fn(x)dx?
177
33.2 Beispiele
a) fn : [0, 1]→ R, fn(x) := xn (0 ≤ x ≤ 1, n ∈ N)
⇒ limn→∞
fn(x) =
{1 fur x = 10 fur 0 ≤ x < 1
}
=: f(x)
⇒ fnn→∞−−−→ f , fn alle stetig, f unstetig.
b) fn : [0, 1]→ R, fn(x) :=
{1− nx fur 0 ≤ x ≤ 1
n0 fur 1
n ≤ x < 1
}
= max {1− nx, 0}
⇒ limn→∞
fn(x) =
{1 fur x = 00 fur 0 < x ≤ 1
}
=: f(x)
⇒ fn alle stetig, fn unstetig.
c) fn : R → R, fn(x) =x2n
1 + x2n
n→∞−−−→
0 fur |x| < 112 fur |x| = 11 fur |x| > 1
=: f(x)
⇒ fn alle stetig, f unstetig.
f ′n(x) = 2nx2n−1
(1 + x2n)2n→∞−−−→
{0 fur |x| 6= 1∞ fur |x| = 1
d) fn : [0, 2]→ R, fn(x) :=
n2x fur 0 ≤ x ≤ 1n
n(2− nx) fur 1n ≤ x ≤ 2
n0 fur 2
n ≤ x ≤ 2
n→∞−−−→ 0 =:
f(x),⇒ fn, f alle stetig.∫ 2
0fn(x)dx = 1 9 0 =
∫ 2
0f(x)dx
e) Sei (rn)n≥1 eine Abzahlung von [0, 1] ∩Q und
fn(x) :=
{1 fur x ∈ {r1, . . . , rn}0 fur x ∈ [0, 1] \ {r1, . . . , rn}
}
n→∞−−−→{
1 fur x ∈ [0, 1] ∩Q0 fur x ∈ [0, 1] \Q
}
=: f(x)
⇒ fn alle integrierbar, f nicht integrierbar.
f)∞∑
n=1
sin(n3x
)
n2(x ∈ R) konvergiert fur alle x ∈ R; aber: die termweise
differenzierte Reihe∞∑
n=1
n cos(n3x
)hat fur x > 0 eine Gliederfolge, die
gegen∞ geht.
178
33.3 Definition: Gleichmaßige Konvergenz
nach Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (31.10.1815–19.2.1897)Seien fn, f : X → C.
a) (fn)n≥1 konvergiert gleichmaßig auf X gegen f :⇔
∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀x ∈ X ∀n ∈ N, n ≥ n0 |fn(x)− f(x)| < ε
Das n0 hangt dabei hier nur von ε und nicht von x ab! Schreibe dafur auchfn
n→∞−−−→glm.
f .
b)∑∞
n=1 fn konvergiert gleichmaßig gegen f :⇔ (∑n
k=1 fk)n≥1 konvergiertgleichmaßig gegen f .
33.4 Folgerungen und Bemerkung
a) fnn→∞−−−→glm.
f ⇒ fnn→∞−−−→ f punktweise :, siehe dazu 33.2 d).
b) Vergleich mit der punktweisen Konvergenz:
fnn→∞−−−→ f ⇔ ∀x ∈ X ∀ ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |fn(x)− f(x)| < ε,
wobei das n0 von ε und x abhangt.
fnn→∞−−−→
glmf ⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∀x ∈ X ∀n ≥ n0 |fn(x)− f(x)| < ε,
wobei das n0 nur von ε abhangt.
c) fnn→∞−−−→
glmf ⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 ‖fn − f‖∞ < ε, wobei
‖g‖∞ := sup {|g(x)| : x ∈ X} ∈ R ∪ {∞}.Fur n ≥ n0 liegen die Graphen aller fn in einem ε-Streifen um den Graphenvon f .
33.5 Beispiel
fn : [0, 1] → R, fn(x) := xn (0 ≤ x ≤ 1, n ∈ N). Fur jedes r ∈ [0, 1[konvergiert fn
∣∣[0,r] gleichmaßig gegen 0, denn fur 0 < ε < 1 gilt:
|fn(x)| = xn ≤ rn < ε ∀n ≥ n0
mit einem n0 unter folgender Bedingung:
rn < ε⇔ n · log r < log ε⇔ n · |log r| > |log ε| ⇔ n >
∣∣∣∣
log ε
log r
∣∣∣∣
n0 :=[∣∣∣log εlog r
∣∣∣
]
+ 1 leistet das Verlangte.⇒ |fn(x)| < ε fur alle n ≥ n0(ε) und alle x ∈ [0, r]. Die Folge konvergiert nichtgleichmaßig auf [0, 1]!
179
33.6 Cauchy-Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz
Seien fn : X → C (n ∈ N). Dann gilt:
a) (fn)n≥1 konvergiert gleichmaßig⇔
∀ ε > 0 ∃n1 ∈ N ∀m,n ≥ n1 ∀x ∈ X |fm(x)− fn(x)| < ε
b)∑∞
n=1 fn konvergiert gleichmaßig⇔
∀ ε > 0 ∃n2 ∈ N ∀m,n ≥ n2 ∀x ∈ X∣∣∣∣∣
n∑
k=m
fk(x)
∣∣∣∣∣< ε
Beweis:
a) ”⇒“ Setze n1 := n0ε2 mit n0 aus 33.3.
⇒ ∀m,n ≥ n1 ∀x ∈ X |fm(x)− fn(x)|
≤ |fm(x)− f(x)|︸ ︷︷ ︸
≤ ε2
+ |f(x)− fn(x)|︸ ︷︷ ︸
≤ ε2
< ε
”⇐“ ∀x ∈ X ist (fn(x))n≥1 Cauchy-Folge, hat also einen Grenzwert f(x) :=limn→∞ fn(x). Sei ε > 0. Nach Voraussetzung folgt: ∀m,n ≥ n1 ∀x ∈X |fm(x)− fn(x)| < ε
m→∞⇒ ∀n ≥ n1 ∀x ∈ X |f(x)− fn(x)| < ε⇒ Beh.
b) klar nach a). 2
33.7 Weierstraß’scher Majorantentest
Sei fn : X → C, es gebe an ≥ 0, so dass |fn(x)| ≤ an ∀x ∈ X und∑∞
n=1 ankonvergiere. Dann konvergiert
∑∞n=1 fn gleichmaßig absolut auf X , d. h. sogar
∑∞n=1 |fn(x)| konvergiert gleichmaßig auf X .
Beweis: Mit dem Cauchy-Kriterium (33.6): Sei ε > 0, n2 so gewahlt, dass∑n
k=m ak < ε ∀n ≥ m ≥ n2.
⇒ ∀x ∈ X ∀n ≥ m ≥ n2
n∑
k=m
|fk(x)| ≤n∑
k=m
ak < ε
33.6⇒ Behauptung 2
180
33.8 Beispiel
Sei fn : ]1,∞[→ R, fn(x) := 1nx (x > 1, n ∈ N).
∑∞n=1 fn(x) konvergiert fur
alle x > 1.
1. Behauptung Sei α > 1 ⇒ ∑∞n=1 fn konvergiert gleichmaßig auf [α,∞[, denn
fur alle x ≥ α ist
0 ≤ fn(x) =1
nx≤ 1
nα=: an
und∑∞
n=1 an konvergiert. 33.7⇒ ∑∞n=1 fn konvergiert gleichmaßig
auf [α,∞[.
2. Behauptung∑∞
k=1 fn konvergiert auf ]1,∞[ nicht gleichmaßig, denn:Sei N ∈ N. Da
∑∞n=1
1n divergiert, existiert ein n > N , so dass
∑nk=N
1k > 2.
Stetigkeit von fn ⇒ ∃x ∈ ]1,∞[, so dass∑n
k=N1kx > 1
⇒Das Cauchy-Kriterium fur die gleichmaßige Konvergenz ist ver-letzt. Daraus folgt die Behauptung. 2
33.9 Satz
Sei D ⊂ R, fn : D → C, x0 ∈ D, und limx→x0x∈D
fn(x)(∈ C) existiere fur alle C
n ∈ N (Fur x0 ∈ D bedeutet das laut Definition genau die Stetigkeit von fn in x0).Dann gilt:
a) Konvergiert (fn)n≥1 gleichmaßig gegen f : D → C, so gilt: limx→x0x∈D
f(x)
existiert und ist gleich limn→∞(
limx→x0x∈D
fn(x))
, d. h.
limx→x0x∈D
(
limn→∞
fn(x))
= limn→∞
(
limx→x0x∈D
fn(x)
)
b) Konvergiert∑∞
n=1 fn gleichmaßig, so gilt:
limx→x0x∈D
∞∑
n=1
fn(x) =∞∑
n=1
(
limx→x0x∈D
fn(x)
)
Bemerkungen:
(i) Ist x0 ∈ D, so sind laut Voraussetzung alle fn stetig in x0, und der Satzbesagt: f stetig in x0.
(ii) Der Satz gilt sinngemaß z. B. fur x→∞ und dergleichen.
181
Beweis:
a) Sei yn := limx→x0x∈D
fn(x), (fn)n≥1 konvergiert gleichmaßig
33.6⇒ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ m ≥ n0 ∀x ∈ D |fm(x)− fn(x)| < ε
x→ x0 liefert:
∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ m ≥ n0 |ym − yn| ≤ ε
⇒ (yn)n≥1 ist Cauchy-Folge und somit konvergent. Fur x0 ∈ D ist hiernichts Neues herausgekommen, fur x0 ∈ D\D aber doch. Zu zeigen bleibt:limx→x0
x∈Df(x) = limn→∞ yn. Dazu sei x ∈ D, k ∈ N.
∣∣∣f(x)− lim
n→∞yn
∣∣∣ ≤ |f(x)− fk(x)|
︸ ︷︷ ︸
(I)
+ |fk(x)− yk|︸ ︷︷ ︸
(II)
+∣∣∣yk − lim
n→∞yn
∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
(III)
(12)
Sei ε > 0.
1.) Cauchy-Kriterium (33.6) liefert:
∃n0 ∈ N ∀x ∈ D ∀ k, n ≥ n0 |fn(x)− fk(x)| <ε
3
n→∞⇒ ∀x ∈ D ∀ k ≥ n0 |f(x)− fk(x)| <ε
3;
lasse im Cauchy-Kriterium x→ x0 gehen, dann n→∞
⇒ ∀ k ≥ n0
∣∣∣yk − lim
n→∞yn
∣∣∣ <
ε
3
2.) Zu vorgegebenem ε wahle k := n0. ⇒ Die Terme (I) und (II) sindbeide ≤ ε
3 und zwar fur alle x ∈ D. Jetzt wahle zu k := n0 ein δ > 0so klein, dass |fk(x)− yk| < ε
3 ∀x ∈ D, |x− x0| < δ.
⇒ ∀x ∈ D, |x− x0| < δ∣∣∣f(x)− lim
n→∞yn
∣∣∣ < ε⇒ Behauptung
b) klar nach a). 2
33.10 Satz
Sei D ⊂ R , fn : D → C, x0 ∈ D, alle fn stetig in x0. Dann gilt:C
a) Konvergiert (fn)n≥1 gleichmaßig gegen f : D → C, so ist auch f stetig inx0.
b) Konvergiert∑∞
n=1 fn gleichmaßig auf D, so ist auch∑∞
n=1 fn stetig in x0.
182
Beweis: Klar nach 33.9. 2
33.11 Beispiel
Sei fn : ]1,∞[, fn(x) := n−x (x > 1),∑∞
n=1 fn konvergiert auf ]1,∞[,
ζ(x) :=∑∞
n=1 n−x (x > 1), die sog. Riemannsche Zeta-Funktion. 33.8⇒ ∀α > 1
konvergiert die Reihe auf [α,∞[ gleichmaßig. 33.10⇒ ζ∣∣[α,∞[ stetig fur alle α > 1.
Dabei ist α > 1 beliebig.⇒ ζ ist in jedem x0 > 1 stetig, d. h. auf ]1,∞[. Anwen-dung auf Potenzreihen: siehe Kapitel 34.
Vorbemerkung zu 33.12: Gleichmaßige Konvergenz der Folge bzw. Reihe istnicht hinreichend fur Limesvertauschung bei Differentiation. Beispiel:
∞∑
n=1
sin(n3x
)
n2,
die Reihe konvergiert gleichmaßig auf R nach dem Weierstraß’schen Majoranten-test (33.7). Aber die termweise differenzierte Reihe divergiert z. B. fur x = 0 nach33.2 f).
33.12 Satz
Sei I ⊂ R ein Intervall, fn : I → R alle differenzierbar.
a) Die Folge (fn)n≥1 konvergiere in einem Punkt x0 ∈ I und die Folge (f ′n)n≥1
konvergiere gleichmaßig auf I . Dann konvergiert (fn)n≥1 gegen f : I →R und zwar gleichmaßig auf jedem beschrankten Teilintervall von I , f istdifferenzierbar und es gilt: f ′ = limn→∞ f ′n, d. h.
d
dx
(
limn→∞
fn
)
= limn→∞
(d
dxfn
)
b)∑∞
n=1 fn (x0) konvergiere in einem Punkt x0 ∈ I und∑∞
n=1 f′n konvergiere
gleichmaßig auf I . Dann konvergiert∑∞
n=1 fn auf I und zwar gleichmaßigauf jedem beschrankten Teilintervall von I ,
∑∞n=1 fn ist differenzierbar und
es gilt:
d
dx
( ∞∑
n=1
fn
)
=∞∑
n=1
(d
dxfn
)
.
Beweis:
183
a) Nach Voraussetzung konvergiert (f ′n)n≥1 gleichmaßig auf I . Das Cauchy-Kriterium (33.6) liefert dann:
∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0 ∀x ∈ I∣∣f ′m(x)− f ′n(x)
∣∣ < ε
Sei x0 ∈ I . Auf diese Situation wenden wir den Mittelwertsatz (22.5) an underhalten:
∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0 ∀x ∈ I
|fm(x)− fm (x0)− (fn(x)− fn (x0))|= |x− x0| ·
∣∣f ′m(ξ)− f ′n(ξ)
∣∣ ≤ ε · |x− x0|
mit einem ξ zwischen x und x0. Mit dem Cauchy-Kriterium (33.6) folgtdann: (fn(·)− fn (x0))n≥1 konvergiert gleichmaßig auf jedem beschrank-ten Teilintervall von I . Nach Voraussetzung folgt dann: (fn (x0))n≥1 konver-giert.⇒ (fn)n≥1 konvergiert auf I gegen f : I → R und zwar gleichmaßigauf jedem beschrankten Teilintervall von I .Sei a ∈ I . Wir zeigen: f ist differenzierbar in a und f ′
n(a)n→∞−−−→ f ′(a).
Dazu setze
gn : I → R, gn(x) :=
{fn(x)−fn(a)
x−a fur x ∈ I, x 6= a,
f ′n(a) fur x = a
⇒ gn sind alle stetig in a und (gn)n≥1 konvergiert gleichmaßig auf I , denn:Ist ε > 0, n0 wie oben, so gilt:
∀x ∈ I, x 6= a,m, n ≥ n0 |gm(x)− gn(x)| 22.5=∣∣f ′m(ξ)− f ′n(ξ)
∣∣ < ε
mit einem geeigneten ξ zwischen x und a; und fur x = a ist ebenfalls mitm,n ≥ n0:
|gm(a)− gn(a)| =∣∣f ′m(a)− f ′n(a)
∣∣ < ε.
Sei g := limn→∞ gn33.10⇒ g ist stetig in a, d. h.
limx→a
g(x) = g(a) (13)
Fur x 6= a ist aber g(x) = f(x)−f(a)x−a und es ist g(a) = limn→∞ f ′n(a), d. h.
(13)⇒ limx→ax6=a
f(x)− f(a)
x− a = limn→∞
f ′n(a)
b) Anwendung von a) auf die Folge der Teilsummen (∑n
k=1 fk)n≥1 . 2
184
33.13 Beispiel
ζ(x) =∑∞
n=11nx (x > 1) konvergiert fur jedes α > 1 auf [α,∞[ gleichmaßig
und auch die termweise differenzierte Reihe∑∞
n=1− lognnx konvergiert fur jedes
α > 1 auf [α,∞[ gleichmaßig nach dem Weierstraß’schen Majorantentest (33.7).⇒ ζ ist auf [α,∞[ differenzierbar mit ζ ′(x) = −∑∞
n=1lognnx (x ≥ α), wegen
α > 1 beliebig auch fur x > 1. Fortsetzung der Schlussweise liefert:
ζ(k)(x) = (−1)k ·∞∑
n=1
(log n)k
nx(x > 1)
33.14 Satz
fn : [a, b]→ R sei integrierbar. Dann gilt:
a) Konvergiert (fn)n≥1 gleichmaßig auf [a, b] gegen f : [a, b] → R, so ist fintegrierbar, und es gilt:
limn→∞
∫ b
afn(x)dx =
∫ b
a
(
limn→∞
fn(x))
dx =
∫ b
af(x)dx.
b) Konvergiert∑∞
n=1 fn gleichmaßig auf [a, b], so ist∑∞
n=1 fn integrierbar,und es gilt:
∫ b
a
( ∞∑
n=1
fn(x)
)
dx =
∞∑
n=1
(∫ b
afn(x)
)
.
Beweis:
a) Sei ε > 0, n0 ∈ N so groß, dass
∀x ∈ [a, b] ∀n ≥ n0 |f(x)− fn(x)| < ε
Sei Z eine Zerlegung von [a, b]. Dann folgt:
U (fn0 , Z)−ε ·(b−a) ≤ U (f, Z) ≤ O(f, Z) ≤ O (fn0 , Z)+ε ·(b−a).Wahle nun Z so fein, dassO (fn0 , Z)−U (fn0 , Z) < ε. Fur diese ZerlegungZ ist dann
O(f, Z)− U(f, Z) < ε+ 2ε · (b− a)26.6⇒ f ist integrierbar.Sei ε > 0, n ≥ n0 wie oben. Dann folgt:
∣∣∣∣
∫ b
af(x)dx−
∫ b
afn(x)dx
∣∣∣∣≤∫ b
a|f(x)− fn(x)|︸ ︷︷ ︸
<ε
dx ≤ ε · (b− a)
⇒ Behauptung.
b) klar nach a). 2
185
Warnung: 33.14 gilt nicht sinngemaß fur uneigentliche Integrale!
fn(x) :=
{1n fur 0 ≤ x ≤ n0 fur x > n
⇒∫∞0 fn(x)dx = 1, fn
n→∞−−−−−→glm. auf R
0 =: f , aber∫∞0 f(x)dx = 0!
Weitere Beispiele finden sich bei den Potenzreihen in Kapitel 34.
186
34 Potenzreihen und Taylorreihen
Abelsches Lemma
Gegeben sei∑∞
n=0 anzn (an ∈ C), k ∈ Z, k ≥ 0, und es gebe ein 0 6= w ∈ C,
so dass (anwn)n≥0 beschrankt ist. (Das ist z. B. dann der Fall, wenn
∑∞n=0 anw
n
konvergiert.) Ferner sei 0 < r < |w|. Dann konvergiert∑∞
n=1 nk |an| rn. Fur
|z| < |r| konvergiert∑∞
n=1 anzn gleichmaßig und auch
∑∞n=1 n
kanzn konvergiert
hier gleichmaßig.∑∞
n=1 nkanz
n konvergiert fur alle z mit |z| ≤ r absolut unddie zugehorige Betragsreihe konvergiert fur |z| ≤ r gleichmaßig nach 17.1 mitMajorantentest (33.7).
34.1 Satz
Seien∑∞
n=0 an (z − z0)n eine konvergente Potenzreihe mit KonvergenzradiusR >0 (ggf. R = ∞) und 0 < r < R. Dann konvergiert
∑∞n=0 an (z − z0)n und so-
gar∑∞
n=0 nkan (z − z0)n fur jedes k ≥ 0 auf Kr (z0) := {z ∈ C : |z − z0| ≤ r}
gleichmaßig. Die Konvergenz ist sogar gleichmaßig absolut.
Beweis: Abelsches Lemma, R = sup {ρ ≥ 0 : (anρn) beschrankt}, Majoran-
tentest (33.7). 2
Warnung: Die Konvergenz braucht nicht gleichmaßig zu sein auf ganzKR (z0)!z. B. konvergiert
∑∞n=0 z
n nicht gleichmaßig auf K1(0).
34.2 Korollar
Sei∑∞
n=0 an (z − z0)n fur |z − z0| < R konvergent. Dann ist
f : KR (z0)→ C, f(z) :=∞∑
n=0
an (z − z0)n
fur z ∈ KR (z0) stetig.
Beweis: Dies ist 17.11. Jetzt neuer Beweis:34.1 und 33.10⇒ ∀ r < R f
∣∣∣Kr(z0)
stetig.⇒ Behauptung. 2
34.3 Korollar
Sei f(x) :=∑∞
n=0 an (x− x0)n (an ∈ R) fur |x− x0| < R konvergent. Dann
ist f differenzierbar und es gilt:
f ′(x) =∞∑
n=1
n · an · (x− x0)n−1 (|x− x0| < R)
187
Beweis: Fur 0 < r < R konvergiert∑∞
n=1 n · an · (x− x0)n−1 nach dem Abel-
schen Lemma gleichmaßig fur x0 − r ≤ x ≤ x0 + r. 33.12⇒ Behauptung. 2
34.4 Beispiele
a) Seien
f, g : ]−1, 1[→ R, f(x) := log(1 +x), g(x) :=∞∑
n=1
(−1)n−1 · xn
n
fur |x| < 1.
f ′(x) =1
1 + x=
∞∑
n=0
(−1)nxn, g′(x)34.3=
∞∑
n=1
(−1)n−1xn−1 = f ′(x)
fur |x| < 1.
22.6⇒ ∃ c ∈ R f −g = c. f(0) = log 1 = 0 = g(0)⇒ c = 0.⇒ f = g
b) exp(x) =∑∞
n=0xn
n! (x ∈ R). 34.3⇒ exp(x) ist differenzierbar und
exp′(x) =∞∑
n=1
n
n!xn−1 =
∞∑
n=0
xn
n!= exp(x)
Ebenso ermittelt man die Ableitungen von sin, cos, sinh und cosh.
c) Fur |x| < 1 ist 11−x =
∑∞n=0 x
n. k-fache Differentiation mit 34.3 liefert:
k!
(1− x)k+1=
∞∑
n=k
n(n− 1) . . . (n− k + 1)xn−k (|x| < 1)
⇒ 1
(1− x)k+1=
∞∑
n=k
(n
k
)
xn−k =
∞∑
n=0
(n+ k
k
)
xn (|x| < 1, k ≥ 0)
34.5 Korollar
Sei f(x) =∑∞
n=0 an (x− x0)n (an ∈ R fest) fur |x− x0| < R konvergent.
Dann ist f beliebig oft differenzierbar und f (k)(x) = k!∑∞
n=k
(nk
)an (x− x0)
n−k
fur |x− x0| < R; speziell ist fur alle n ≥ 0 an = f (n)(x0)n! .
Beweis: 34.3 mehrfach anwenden. 2
188
34.6 Korollar
Sei f(x) =∑∞
n=0 an (x− x0)n (an ∈ R fest) fur |x− x0| < R konvergent.
Dann gilt fur alle x1, x2 ∈ ]x0 −R, x0 +R[:
∫ x2
x1
f(x)dx =∞∑
n=0
an1
n+ 1
(
(x2 − x0)n+1 − (x1 − x0)
n+1)
.
Beweis: Die Reihe konvergiert im Intervall von x1 bis x2 gleichmaßig. Die Be-hauptung folgt dann nach 33.14. 2
34.7 Beispiel
Fur |t| < 1 konvergiert∑∞
n=0(−1)nt2n = 11+t2
. Termweise Integration von 0 bisx (|x| < 1) ist nach 34.6 zulassig und liefert:
∫ x
0
1
1 + t2dt = arctanx =
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1x2n+1 fur |x| < 1
34.8 Beispiel
Fur |t| < 1 ist
1√1− t2
=(1− t2
)− 12 =
∞∑
n=0
(−1)n(−1
2
n
)
t2n =1
22n
(2n
n
)
t2n
(−1)
(−12
n
)
= (−1)n(−1
2
) (−3
2
). . .(−1
2 − n+ 1)
n!
=1 · 3 · . . . · (2n− 1)
2n · n!=
(2n)!
22n(n!)2=
1
22n
(2n
n
)
34.6⇒ arcsinx =∞∑
n=0
1
22n
(2n
n
)x2n+1
2n+ 1fur |x| < 1
Sei nun 0 ≤ x < 1. Dann ist fur jedes N ∈ N
N∑
n=0
1
22n
(2n
n
)x2n+1
2n+ 1≤ arcsinx < arcsin 1 =
π
2
Dies gilt fur alle x ∈ [0, 1[. Fur alle N ∈ N ist
N∑
n=0
1
22n
(2n
n
)1
2n+ 1≤ π
2.
189
⇒ Die Reihe∑∞
n=01
22n
(2nn
)1
2n+1 hat eine beschrankte Folge von Teilsummen undTerme ≥ 0, konvergiert also und ist somit konvergente Majorante von f(x) :=∑∞
n=01
22n
(2nn
)x2n+1
2n+1 fur −1 ≤ x ≤ 1. Majoranten-Test (33.7) liefert: Die Reihekonvergiert gleichmaßig auf [−1, 1], d. h. f ist stetig auf [−1, 1]. Aber fur −1 <x < 1 ist f(x) = arcsinx. Beide Seiten sind stetig auf [−1, 1]
⇒ arcsinx =∞∑
n=0
1
22n
(2n
n
)x2n+1
2n+ 1fur x ∈ [0, 1] ,
und die Reihe konvergiert gleichmaßig im ganzen Intervall [−1, 1].
Spezialfalle:
x = 1:∑∞
n=01
22n
(2nn
)1
2n+1 = π2 , d. h.
1 +1
2· 13
+1 · 32 · 4 ·
1
5+
1 · 3 · 52 · 4 · 6 ·
1
7+ . . . =
π
2
x = 12 :∑∞
n=01
24n+1
(2nn
)1
2n+1 = π6
x = 12
√2: 1√
2
∑∞n=0
122n
(2nn
)1
2n+1 = π4
Wir setzen in der arcsin-Reihe x = sin t, wobei −π2 ≤ t ≤ π
2
⇒ t =∞∑
n=0
1
22n
(2n
n
)sin2n+1 t
2n+ 1fur − π
2≤ t ≤ π
2,
und die Reihe konvergiert gleichmaßig auf[−π
2 ,π2
].
34.6⇒∫ π
2
0t dt =
1
2t2∣∣∣∣
π2
0
=π2
8=
∞∑
n=0
1
22n+1
(2n
n
)1
2n+ 1
∫ π2
0sin2n+1 t dt
=∞∑
n=0
1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)
2 · 4 · . . . · 2n · 1
2n+ 1· 2 · 4 · . . . · 2n1 · 3 · . . . · (2n+ 1)
=∞∑
n=0
1
(2n+ 1)2=π2
8
nach Leonhard Euler. Nun ist∞∑
n=1
1
n2=
∞∑
n=1
(1
2n
)2
+∞∑
n=0
(1
2n+ 1
)2
=1
4·
∞∑
n=1
1
n2+
∞∑
n=0
(1
2n+ 1
)2
=4
3·
∞∑
n=0
1
(2n+ 1)2=π2
6
nach Leonhard Euler.
190
Ubungsaufgabe: Gelten die Gleichungen
log(1 + x) =∞∑
n=1
(−1)n−1
nxn, arctanx =
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1x2n+1
auch fur x = 1? (Losung siehe unter 34.10)
34.9 Abelscher Grenzwertsatz
Die Potenzreihe f(x) =∑∞
n=0 an (x− x0)n (an ∈ R fest) habe den Konvergenz-
Radius R ∈ ]0,∞[, und die Reihe∑∞
n=0 anRn sei konvergent. Dann konvergiert
∑∞n=0 an (x− x0)
n gleichmaßig auf [x0, x0 +R]. Insbesondere gilt:
limx→x0+R−0
f(x) =∞∑
n=0
anRn.
Beweis: OBdA sei x0 := 0. Der Beweis stutzt sich auf die sog. Abelsche partielleSummation. rk :=
∑∞j=k ajR
j k→∞−−−→ 0 nach Voraussetzung. Fur x ∈ [0, R] gilt:
n∑
k=m
akxk =
n∑
k=m
(rk − rk+1)( x
R
)k,
y := xR ∈ [0, 1].
⇒n∑
k=m
(rk − rk+1) yk =
n∑
k=m
rk
(
yk − yk−1)
+ rmym−1 − rn+1y
n,
die sog. Abelsche partielle Summation. Sei ε > 0. Dann liefert das Cauchy-Kriterium:
∃n0 ∈ N ∀ k ≥ n0 |rk| <ε
3
⇒ ∀, n > m ≥ n0 ∀x ∈ [0, R]
∣∣∣∣∣
n∑
k=m
akxk
∣∣∣∣∣
≤n∑
k=m
|rk|︸︷︷︸
< ε3
·∣∣∣yk−1 − yk
∣∣∣+ |rm|︸︷︷︸
< ε3
+ |rn+1|︸ ︷︷ ︸
< ε3
<ε
3·
n∑
k=m
(
yk−1 − yk)
︸ ︷︷ ︸
≤1
+ε
3+ε
3≤ ε
Das Cauchy-Kriterium fur die gleichmaßige Konvergenz (33.6) liefert damit dieBehauptung. 2
191
34.10 Beispiele
a) Fur |x| < 1 ist log(1+x) =∑∞
n=1(−1)n−1
n xn, und die Reihe auf der rechten
Seite konvergiert auch noch fur x = 1. 34.9⇒ ∑∞n=1
(−1)n−1
n = log 2.
b) Fur |x| < 1 gilt: arctanx =∑∞
n=0(−1)n
2n+1 x2n+1, und die Reihe auf der
rechten Seite konvergiert auch noch fur x = 1. 34.9⇒ ∑∞n=0
(−1)n
2n+1 = π4 , die
sog. Leibnizsche Reihe.
Warnung: Der Abelsche Grenzwertsatz (34.9)lasst sich nicht ohne Nebenbedin-gungen umkehren, d. h. aus der Existenz von limx→R−0
∑∞n=0 anx
n folgt nicht dieKonvergenz von
∑∞n=0 anR
n! Beispiel:∑∞
n=0(−1)nxn = 11+x hat fur x→ 1− 0
den Grenzwert 12 , aber die Reihe konvergiert nicht in 1.
34.11 Definition: Reelle Analytizitat
Sei f : I → R, I ⊂ R ein offenes Intervall. Dann heißt f auf I reell analytisch,wenn f um jeden Punkt x0 ∈ I in eine konvergente Potenzreihe entwickelt werdenkann, d. h.
∀x0 ∈ I ∃ δ > 0, cn ∈ R, n ≥ 0 ∀x ∈ I, |x− x0| < δ f(x) =∞∑
n=0
cn (x− x0)n
34.12 Definition: Taylor-Reihe
Sei f ∈ C∞(I), x0 ∈ I , I ⊂ R ein offenes Intervall. Dann heißt die formale Reihe∑∞
n=0 f(n) (x0) · 1
n! (x− x0)n die Taylor-Reihe von f .
34.13 Satz
Ist f : I → R reell analytisch, so ist f ∈ C∞(I) und zu jedem x0 ∈ I gibt esδ > 0, so dass fur cn ∈ R aus 34.11 gilt: cn = f (n)(x0)
n! (n ≥ 0), d. h.
f(x) =∞∑
n=0
f (n) (x0)
n!(x− x0)
n (x ∈ I, |x− x0| < δ)
Beweis: 34.5. 2
34.14 Satz
f ∈ C∞(I) ; f reell analytisch.
192
Beweis: 2 Beispiele, die folgendes belegen:
a) Es kann vorkommen, dass fur f ∈ C∞(I) die Taylor-Reihe zwar konver-giert, aber nicht gegen f(x) fur irgendein x 6= x0. (siehe 34.15)
b) Es kann vorkommen, dass fur f ∈ C∞(I) die Taylor-Reihe fur alle x 6= x0
divergiert. (siehe 34.16)
34.15 Beispiel
f(x) :=
{exp
(− 1x2
)fur x 6= 0
0 fur x = 0Fur alle x 6= 0 ist f differenzierbar mit der
Ableitung f ′(x) =2
x3exp
(
− 1
x2
)
fur x 6= 0 und weiter
f(x)− f(0)
x− 0=
1
x· e− 1
xx→0−−−→ 0 fur x 6= 0,
denn mit t := 1|x| gilt ±t · e−t2 t→∞−−−→ 0. Mit Induktion zeigt man: Es gibt ein
Polynom pn, so dass
f (n)(x) =
{
pn(
1x
)e−
1x fur x 6= 0
0 fur x = 0
⇒ f ∈ C∞(R), f (n)(0) = 0 (n ≥ 0).⇒ Alle Terme der Taylor-Reihe von f zux0 = 0 sind = 0, die Taylor-Reihe konvergiert auf R, aber sie konvergiert fur keinx 6= 0 gegen f(x)(> 0).
34.16 Beispiel
f(x) :=∑∞
n=112n cos
(n2x
)(x ∈ R). Die k-fach termweise differenzierte Rei-
he hat die konvergente Majorante∑∞
n=1n2k
2n und diese konvergiert.⇒ f ∈ C∞(R)und alle Ableitungen konnen durch termweise Differentiation erhalten werden:
f (2k)(x) = (−1)k∞∑
n=2
n2k
2ncos(n2x
)(x ∈ R)
f (2k+1)(x) = (−1)k∞∑
n=1
n4k+2
2nsin(n2x
)(x ∈ R)
f (2k+1)(0) = 0 ∀ k ≥ 0⇒Die Taylor-Reihe zu f in 0 hat die Form∑∞
n=0f (2k)(0)
(2k)! x2k
∣∣∣f (2k)(0)
∣∣∣ =
∞∑
n=1
n4k
2n>
(2k)4k
22k(Term fur n = 2k) =
(2k2)2k
⇒∣∣∣∣∣
f (2k)(0)
(2k)!x2k
∣∣∣∣∣≥(2k2x
)2k
(2k)!≥ (2k)2k(kx)2k
(2k)2k= (kx)2k
k→∞−−−→∞ ∀x 6= 0
⇒ Die Taylor-Reihe zu f divergiert fur alle x 6= 0. 2
193
34.17 Satz von Emile Borel
benannt nach Felix Edouard Justin Emile Borel, (7.1.1871–3.2.1956)Zu jeder Folge (an)n≥1 reeller Zahlen gibt es ein f ∈ C∞(R) mit an = f (n)(0)fur alle n ∈ N0.
Beweis: z. B. bei [Com82] oder [Nar73], S. 30.
34.18 Analytizitatskriterium
Seien I ⊂ R ein offenes Intervall, f ∈ C∞(I). Dann gilt: f ist reell-analytisch⇔
∀x0 ∈ I ∃ ρ > 0 ∃A,M > 0 ]x0 − ρ, x0 + ρ[ ⊂ I∧∣∣∣f (n)(x)
∣∣∣ ≤MAnn!
(n ∈ N0, ∀x ∈ ]x0 − ρ, x0 + ρ[)
Beweis:
”⇒“ Sei x0 ∈ I und f(x) =∑∞
n=0 an (x− x0)n fur |x− x0| < r, wobei r > 0
so klein gewahlt sei, dass [x0 − r, x0 + r] ⊂ I und β :=∑∞
n=0 |an| rnkonvergiert. Sei 0 < ρ < r ⇒ ∀n ≥ 0 |an| ≤ β
rn .⇒ Fur |x− x0| < ρ gilt:
∣∣∣f (k)(x)
∣∣∣ ≤
∞∑
n=k
|an| k!(n
k
)
|x− x0|n−k
≤∞∑
n=k
β
rnk!
(n
k
)
|x− x0|n−k︸ ︷︷ ︸
=( ddt)
ktn, t:=|x−x0|
=
(d
dt
)k ∞∑
n=k
β
rntn
∣∣∣∣∣t=|x−x0|
=
((d
dt
)k β
1− tr
)∣∣∣∣∣t=|x−x0|
=βrk!
(r − t)k+1
∣∣∣∣∣t=|x−x0|
<βrk!
(r − ρ) < k + 1= MAkk!
mit M = βrr−ρ und A = 1
r−ρ .
”⇐“ x0, ρ wie in der Voraussetzung:∣∣∣∣∣f(x)−
n∑
k=0
f (k) (x0)
k!(x− x0)
k
∣∣∣∣∣
25.2=
∣∣∣∣∣
f (n+1)(ξ) (x− x0)n+1
(n+ 1)!
∣∣∣∣∣
|x−x0|<ρ≤ M (A |x− x0|)n+1 n→∞−−−→ 0,
falls |x− x0| < min{ρ, 1
A
}. 2
194
34.19 Korollar
Die Potenzreihe∑∞
n=0 an (x− x0)n sei fur |x− x0| < R konvergent. Dann ist
f : ]x0 −R, x0 +R[→ R, f(x) :=∞∑
n=0
an (x− x0)n
reell analytisch.
Beweis: 34.18 mit I := ]x0 −R, x0 +R[ und 0 < r < R Richtung ”⇒“. Dannfolgt:
∀ 0 < ρ < r ∃A,M > 0 ∀x ∈ ]x0 − ρ, x0 + ρ[ , k ≥ 0∣∣∣f (k)(x)
∣∣∣ ≤MAkk!
Damit ist die Voraussetzung aus 34.18 ”⇐“ erfullt fur alle x1 ∈ ]x0 −R, x0 +R[(anstelle des dortigen x0). 34.18 liefert dann die Behauptung. 2
Ergebnis: Ist f : ]x0 −R, x0 +R[ durch eine fur |x− x0| < R konvergentePotenzreihe des Typs f(x) =
∑∞n=0 an (x− x0)
n definiert, so ist f auch um jedesx1 mit |x1 − x0| < R in eine Potenzreihe entwickelbar und zwar in
f(x) =∞∑
n=0
f (n) (x1)
n!(x− x1)
n (|x− x1| < ρ, ρ > 0 hinreichend klein)
34.20 Satz von Bernstein
Seien I ⊂ R ein offenes Intervall, f ∈ C∞(I) und es gelte f (n) ≥ 0 ∀n ∈ N0.Dann ist f bereits reell-analytisch. Beispiel: f = exp.
Beweis: Sei x0 ∈ I , ρ > 0 so klein, dass [x0 − ρ, x0 + 2ρ] ⊂ I . Sei x ∈[x0 − ρ, x0 + ρ].
⇒ f(x+ ρ) =n∑
k=0
f (k)(x)
k!ρk +
f (n+1)(x)ρn+1
(n+ 1)!
nach 25.2 mit x0 := x und x := x+ ρ. Hier sind auf der rechten Seite alle Terme≥ 0.
⇒ ∀ |x− x0| ≤ ρ ∀n ∈ N0 0 ≤ ρn
n!f (n)(x) ≤ f (x+ ρ)
︸ ︷︷ ︸
=x0+2ρ
≤ f (x0 + 2ρ) ,
wg, f ′ ≥ 0 ist f monoton wachsend.⇒ Die Bedingung aus 34.18 ist erfullt.⇒ Behauptung. 2
195
34.21 Korollar
Sei f ∈ C∞(I) und es gelte (−1)nf (n) ≥ 0 fur alle n ∈ N0. Dann ist f reell-analytisch.
Beweis: g(x) := f(−x) ist nach 34.20 reell-analytisch in {−x, x ∈ I}.⇒ Behauptung. 2
34.22 Korollar
Sei f ∈ C∞(I) und es gebe ein c ∈ R mit f (n) ≥ c fur alle n ∈ N0. Dann ist freell-analytisch.
Beweis: Fur α ∈ R erfullt g(x) := f(x) + |c|ex−α fur x ∈ I ∩ ]α,∞[ dieVoraussetzung von 34.20.⇒ Behauptung. 2
196
35 Fourier-Reihen
Vorbemerkung: Ausdehnung der Riemannschen Integrationstheorie auf kom-plexwertige Integranden.f : [a, b] → C heißt (Riemann-)integrierbar :⇔ Re f und Im f : [a, b] → Rintegrierbar, und dann setzt man
∫ b
af(x)dx =
∫ b
aRe f(x)dx+ i
∫ b
aIm f(x)dx.
Rechenregeln bleiben sinngemaß gultig, z. B.
∫ b
af(x) + g(x)dx =
∫ b
af(x)dx+
∫ b
ag(x)dx,
∫ b
aαf(x)dx = α
∫ b
af(x)dx (α ∈ C),
denn das gilt fur α ∈ R und fur α = i, also allgemein (s.o.). Der Hauptsatz derDifferential- und Integralrechnung gilt sinngemaß fur komplexwertige Funktionen,ferner die ublichen Folgerungen aus dem Hauptsatz: partielle Integration, Substi-tutionsregeln. Ebenso gilt:
f : [a, b] integrierbar⇒∣∣∣∣
∫ b
af(x)dx
∣∣∣∣≤∫ b
a|f(x)| dx.
Beweis dazu: Wir schreiben∫ ba f(x)dx = ei·ϕ·
∣∣∣
∫ ba f(x)dx
∣∣∣mit geeignetemϕ ∈ R.
⇒∣∣∣∣
∫ b
af(x)dx
∣∣∣∣= e−i·ϕ
∫ b
af(x)dx =
∫ b
ae−i·ϕf(x)dx
=
∫ b
aRe(e−i·ϕf(x)
)dx+ i
∫ b
aIm(e−i·ϕf(x)
)dx
︸ ︷︷ ︸
=0, da linke Seite reell
=
∫ b
aRe(e−i·ϕf(x)
)dx ≤
∫ b
a|f(x)| dx 2
35.1 Definition: Trigonometrische Reihe
Eine Reihe der Form a02 +
∑∞n=1 an cosnx+ bn sinnx (x ∈ R) mit an, bn ∈ C
heißt trigonometrische Reihe. Konvergiert die trigonometrische Reihe, so ist diezugehorige Funktion f : R→ C 2π-periodisch, d. h. f(x+2π) = f(x) (x ∈ R).
197
Problem: Sei f : R→ C 2π-periodisch. Gibt es dann am, bm ∈ C, so dass
f(x) =a0
2+
∞∑
n=1
an cosnx+ bn sinnx?
Komplexe Form der trigonometrischen Reihen:
cos kx =1
2
(
eikx + e−ikx)
, sin kx =1
2i
(
eikx − e−ikx)
⇒ a0
2+
n∑
k=1
ak cos kx+ bk sin kx =
n∑
k=−ncke
ikx mit
ck :=
12 (ak − i · bk) fur k > 0,12a0 fur k = 0,12 (a−k + i · b−k) fur k < 0
35.2 Folgerung
Sei x ∈ R.⇒Die Reihe a02 +
∑∞k=1 ak cos kx+bk sin kx konvergiert⇔ die Folge
(∑nk=−n cke
ikx)
n≥0konvergiert⇔: die Reihe
∑∞k=−∞ cke
ikx konvergiert.
Warnung: In der Theorie der Fourier-Reihen ist dieser Konvergenz-Begriff furdie unendliche Reihe angemessen. In der Funktionentheorie hat man einen anderenKonvergenz-Begriff.
35.3 Satz
Die Reihe f(x) := a02 +
∑∞n=1 an cosnx + bn sinnx =
∑∞k=−∞ cke
ikx konver-giere gleichmaßig auf [0, 2π] (wegen Periodizitat also gleichmaßig auf ganz R).Dann gilt:
ck =1
2π
∫ 2π
0f(x)e−ikxdx (k ∈ Z)
bn =1
2π
∫ 2π
0f(x) sinnx dx (n ≥ 1)
an =1
2π
∫ 2π
0f(x) cosnx dx (n ≥ 1)
198
Beweis:
1
2π
∫ 2π
0f(x)e−inxdx =
1
2π
∫ 2π
0limn→∞
n∑
k=−ncke
i(k−n)xdx
wegen der gleichmaßigen Konvergenz.
= limn→∞
n∑
k=−nck
1
2π
∫ 2π
0ei(k−n)x
︸ ︷︷ ︸
=δn,k
dx = cn
⇒ Fur k ≥ 0 ist
ak = ck + c−k =1
2π
∫ 2π
0f(x)
(
eikx + e−ikx)
dx
=1
π
∫ 2π
0f(x) cos kx dx (k ≥ 0),
und fur k ≥ 1 ist
bk = i (ck − c−k) =i
2π
∫ 2π
0f(x)
(
e−ikx − e−ikx)
dx
=1
π
∫ 2π
0f(x) sin kx dx (k ≥ 1) 2
35.4 Korollar
∫ 2π
0cosnx · cos kx dx =
0 fur k 6= n,π fur k = n 6= 0,2π fur k = n = 0
∫ 2π
0sinnx · sin kx dx =
0 fur n 6= k,0 fur n = k = 0,π fur n = k 6= 0
∫ 2π
0cos(nx) sin(kx)dx = 0 ∀ k, n ∈ Z
Beweis: 35.3 mit f(x) = cosnx bzw. f(x) = sinnx 2
199
35.5 Definition: Fourier-Koeffizienten
Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar. Dann heißen
cn :=1
2π
∫ 2π
0f(x)e−inxdx (n ∈ Z),
ak :=1
π
∫ 2π
0f(x) cos kx dx (k ≥ 0),
bk :=1
π
∫ 2π
0f(x) sin kx dx (k ≥ 1)
die Fourier-Koeffizienten von f , und
a0
2+
∞∑
k=1
ak cos kx+ bk sin kx bzw.∞∑
n=−∞cne
inx
heißt die Fourier-Reihe von f .
Bemerkung: 35.3⇒ Wenn eine trigonometrische Reihe gleichmaßig konvergiert,so ist sie die Fourier-Reihe der Grenzfunktion.
Frage: Welche Beziehungen bestehen zwischen f und der Fourier-Reihe von f?
35.6 Satz von Riemann-Lebesgue
Sei f : [a, b]→ C integrierbar. Dann gilt:∫ b
af(x)e−itxdx
|t|→∞−−−−→ 0.
Insbesondere konvergiert die Folge der Fourier-Koeffizienten einer 2π-periodischen,uber [0, 2π] integrierbaren Funktion gegen 0.
Beweis: Sei ε > 0. Nach Definition des Integrals folgt: Es gibt eine Treppen-funktion g : [a, b] → C mit
∫ ba |f(x)− g(x)| dx < ε
2 . g hat folgende Gestalt:Mit einer Zerlegung a = x0 < x1 < . . . < xn = b gilt g(x) = αj furx ∈ ]xj−1, xj [ (j = 1, . . . , n), g (xj) = 0 (j = 1, . . . , n).
g =
n∑
j=1
gj , gj : [a, b]→ C, gj(x) =
{αj fur xj−1 < x < xj0 sonst
Dann gilt fur t 6= 0:∫ b
agj(x)e
−itxdx = αj
∫ xj
xj−1
e−itxdx = αj
[
− 1
ite−itx
]xj
xj−1
|t|→∞−−−−→ 0
200
⇒ ∃T > 0 ∀ t, |t| ≥ T∣∣∣∣
∫ b
ag(x)e−itxdx
∣∣∣∣<ε
2
⇒ ∀ |t| ≥ T∣∣∣∣
∫ b
af(x)e−itxdx
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣
∫ b
a(f(x)− g(x)) e−itxdx
∣∣∣∣+
∣∣∣∣
∫ b
ag(x)e−itxdx
∣∣∣∣
≤∫ b
a|f(x)− g(x)| dx+
ε
2< ε 2
35.7 Beispiel
Fur x ∈ 2πZ gilt:
n∑
k=−neikx = e−inx
2n∑
k=0
eikx = e−inxei(2n+1)x − 1
eix − 1
=ei(n+ 1
2)x − e−(i(n+ 12))x
eix2 − e−ix
2
=sin(n+ 1
2
)x
sin x2
⇒n∑
k=1
cos kx =1
2
(
Ren∑
k=−neikx − 1
)
=sin(n+ 1
2
)x
2 sin x2
− 1
2(x /∈ 2πZ)
Sei x ∈ ]0, 2π[. Dann gilt:
n∑
k=1
∫ x
πcos kt dt =
n∑
k=1
sin kx
k
=
∫ x
π
sin(n+ 1
2
)t
2 sin t2
dt+π − x
2
n→∞−−−→ π − x2
⇒∞∑
k=1
sin kπ
2=
{π−x
2 fur 0 < x < 2π0 fur x = 0 ∨ x = 2π
x 7→ −x+ π ⇒∞∑
k=1
(−1)k−1 sin kx
k=
{x2 fur −π < x < π0 fur x = ±π
x :=π
2⇒ sin k
π
2=
{0 fur k gerade(−1)m fur k = 2m+ 1,m ∈ Z
⇒∞∑
m=0
(−1)m
2m+ 1=π
4(Leibnizsche Reihe)
201
sin(n+ 12)t
2 sin t2
ist auch fur t = 0 stetig erklarbar.⇒Oben darf auch uber [0, π] integriertwerden.
⇒∫ π
0
(
1
t− 1
2 sin(t2
)
)
︸ ︷︷ ︸
st. erklarbar in 0
sin
(
n+1
2
)
t dt+π
2
n→∞−−−→35.6
π
2
⇒ limn→∞
∫ π
0
sin(n+ 1
2
)t
tdt =
π
2
Subst.⇒∫ (n+ 1
2)π
0
sinx
xdx =
π
2
30.6⇒ limR→∞
∫ R
0
sinx
xdx ex. und ist
=
∫ ∞
0
sinx
xdx =
π
2
∞∑
k=1
sin kx
k=π − x
2fur 0 < x < 2π
x 7→ 2x mit 0 < x < π ⇒∞∑
k=1
sin 2kx
2k=π − 2x
4(0 < x < π)
Subtraktion⇒∞∑
k=0
sin(2k + 1)x
2k + 1=π
4fur 0 < x < π
⇒ 4
π
∞∑
k=0
sin(2k + 1)x
2k + 1=
1 fur 0 < x < π−1 fur −π < x < 00 fur x = 0, x = ±π
2π-periodisch auf R
35.8 Satz
Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar. Dann gilt:
Sn[f ] :=∑
|k|≤ncke
ikx =1
2π
∫ 2π
0f(t)Dn(x− t)dt
heißt Faltung mit dem sog. Dirichlet-Kern9 Dn(x) :=∑
|k|≤n eikx, wobei Sn[f ]
die n-te Teilsumme der Fourierreihe zu f bezeichnet. Es gilt:
(i) Dn ist stetig, gerade und 2π-periodisch,
9benannt nach Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 13.2.1805–5.5.1859, Mathmatiker ausDuren. Die Familie lebte zur Zeit seines Großvaters in Richelet in Belgien. Das erklart auch dieHerkunft seines Namens aus ”Le jeune de Richelet“ (d. h. der kleine aus Richelet). Mehr dazu in[BJH82]
202
(ii) Dn(x) =sin(n+ 1
2)xsin(x
2 )fur x /∈ 2πZ, Dn(0) = 2n+ 1,
(iii) 12π
∫ 2π0 Dn(x)dx = 1.
Beweis: ck = 12π
∫ 2π0 f(t)e−iktdt
⇒ Sn[f ](x) =∑
|k|≤ncke
ikx =1
2π
∫ 2π
0f(t)
∑
|k|≤neik(x−t)
︸ ︷︷ ︸
=Dn(x−t)
dt
Der Rest ist dann klar nach 35.7. 2
35.9 Satz: Cesaro-Mittel, Fejer-Kern
Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar. Dann gilt: σn[f ](x) :=
1
n
n−1∑
k=0
Sk[f ](x) =: Cesaro’sches Mittel10 der Folge (Sn[f ])n≥0 hat folgende Dar-
stellung:
σn[f ](x) =1
2π
∫ 2π
0f(t)Kn(x− t)dt =
∑
|k|≤n−1
(
1− |k|n
)
ckeikx (x ∈ R)
mit dem Fejer-Kern11
Kn(x) :=1
n
n−1∑
k=0
Dk(x) =1
n
n−1∑
k=0
∑
|j|≤keijx
=∑
|j|≤n−1
(
1− |j|n
)
eijx
=1
n
(sinnx2sin x
2
)2
Es gilt:
(i) Kn ist stetig, 2π-periodisch und gerade mit Kn ≥ 0, Kn(0) = n,
(ii) 12π
∫ 2π0 Kn(t)dt = 1,
(iii) Fur 0 < δ < π konvergiert Kn|[δ,2π−δ] gleichmaßig gegen 0, speziell gilt:
∫ 2π−δ
δKn(x)dx
n→∞−−−→ 0.
10benannt nach Ernesto Cesaro, 12.3.1859–12.9.1906, italienischer Mathematiker11benannt nach Lipot Fejer, 9.2.1880–15.10.1959. Er wurde in Pecs, Ungarn geboren als Leopold
Weiß und anderte seinen Namen erst um 1900, um ihn ungarischer klingen zu lassen. Dies veranlassteseinen Lehrer Hermann Amandus Schwarz (25.1.1843–30.11.1921), bei dem er in Berlin studierte,kein Wort mehr mit ihm zu wechseln.
203
Beweis:
Kn(x) =1
n
n−1∑
k=0
Dn(x)35.8x/∈2πZ
=1
n
n−1∑
k=0
sin(k + 1
2
)x
sin x2
=1
n · sin x2
Im
(n−1∑
k=0
ei(k+12)x
)
=1
n · sin x2
Im
(einx − 1
eix − 1· eix
2
)
=1
n · sin x2
Im
(
ein2xei n
2 x−e−i n2 x
2i
ei x2 −e−i x
2
2i
)
=1
n
(sin n
2x
sin x2
)2
(≥ 0!) 2
35.10 Satz von Fejer
Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar und fur x0 ∈ R existiere
limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h)) .
Dann gilt:
limn→∞
σn[f ]((x0) =1
2limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h)) .
Ist insbesondere f stetig in jedem Punkt des Intervalls [a, b] ⊂ R, so gilt:
σn[f ](x)n→∞−−−→glm.
f(x) fur x ∈ [a, b] .
Beweis:
σn[f ] (x0)− limh→0h6=0
1
2(f (x0 + h) + f (x0 − h))
35.9=
1
2π
∫ π
−πKn(t)f (x0 − t) dt− lim
h→0h6=0
1
2(f (x0 + h) + f (x0 − h))
︸ ︷︷ ︸
konstant abh. von t
und wegen Kn gerade nach 35.9 (i)
=1
2π
∫ π
0
Kn(t) (f (x0 + t) + f (x0 − t))− limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h))
dt
=1
2π
∫ δ
0
Kn(t) (f (x0 + t) + f (x0 − t))− limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h))
dt
204
+1
2π
∫ π
δ
Kn(t) (f (x0 + t) + f (x0 − t))− limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h))
dt
fur jedes 0 < δ < π. Sei ε > 0.⇒ ∃ δ ∈ ]0, π[ ∀ 0 < |t| ≤ δ∣∣∣∣∣∣
f (x0 + t) + f (x0 − t)− limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h))
∣∣∣∣∣∣
< ε (14)
Zu ε sei ein solches δ > 0 fest gewahlt.
35.9 (iii)⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∀ t ∈ [δ, 2π − δ] 0 ≤ Kn(t) < ε
⇒ ∀n ≥ n0
∣∣∣∣∣∣
σn[f ] (x0)− limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h))
∣∣∣∣∣∣
≤ 1
2π
∫ δ
0Kn(t)ε dt
+1
2π
∫ π
δε
∣∣∣∣∣∣
f (x0 + t) + f (x0 − t)− limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h))
∣∣∣∣∣∣
dt
δ 7→π≤ ε
2+
ε
2π
∫ π
0
∣∣∣∣∣∣
f (x0 + t) + f (x0 − t)− limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h))
∣∣∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
konstant =:M
dt
=
(1
2+M
2π
)
ε
⇒ limn→∞
σn[f ] (x0) =1
2limh→0h6=0
(f (x0 + h) + f (x0 − h)) .
Speziell fur f stetig in x0:
limn→∞
σn[f ] (x0) = f (x0) .
Sei f stetig in jedem Punkt von [a, b] ⊂ R. Nach dem Beweis von 26.17 folgt dann:Es gibt ein δ > 0, so dass (14) gilt fur alle x0 ∈ [a, b]. Mit diesem δ besagt unsereUngleichung:
∀n ≥ n0 ∀x0 ∈ [a, b] |σn[f ] (x0)− f (x0)|
≤ ε
2+ ε
1
2π
∫ 2π
0|f(t)| dt+ max {|f(y)| : y ∈ [a, b]}
︸ ︷︷ ︸
=:M
⇒ σn[f ](x)n→∞−−−→glm.
f(x) bzgl. x ∈ [a, b] . 2
205
35.11 Korollar
Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar. Ferner sei f in x0 stetigund (Sn[f ] (x0))n≥0 konvergiere. Dann gilt:
limn→∞
Sn[f ] (x0) = f (x0) .
Beweis:
f (x0)35.10
= limn→∞
σn[f ] (x0) = limn→∞
Sn[f ] (x0) ,
da der Limes existiert. (siehe Aufg. 32) 2
35.12 Korollar
Ist f : R → C 2π-periodisch und stetig, und konvergiert die Fourier-Reihe von f ,so gilt: limn→∞ Sn[f ] = f .
Beweis: 35.11 2
Warnung: Die Voraussetzung der Konvergenz der Fourier-Reihe von f ist in35.12 unabdingbar! Es gibt stetige Funktionen, deren Fourier-Reihe in einzelnenPunkten divergiert, z. B. gibt es stetige Funktionen, deren Fourier-Reihe in allenPunkten ∈ Q divergiert.
35.13 Definition: Trigonometrische Polynome
Eine Funktion der Form
a0
2+
n∑
k=1
(αk cos kx+ βk sin kx) bzw.∑
|k|≤nγke
ikx (αk, βk, γk ∈ C)
heißt trigonometrisches Polynom.
35.14 Korollar: Weierstraßscher Approximationssatz fur trigonome-trische Polynome
Sei f : R → C 2π-periodisch und stetig. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein trigo-nometrisches Polynom T mit |f(x)− T (x)| < ε ∀x ∈ R. Fur f : R → R kannauch T reellwertig gewahlt werden.
Beweis: 35.10⇒ (σn[f ])n≥1 konvergiert auf [0, 2π] (und damit auf ganz R)gleichmaßig gegen f . Fur f : R→ R ist σn[f ] reellwertig. 2
206
35.15 Weierstraßscher Approximationssatz
Ist f : [a, b] → R stetig, so gibt es zu jedem ε > 0 eine Polynom-Funktionp : [a, b]→ R, so dass |f(x)− p(x)| < ε fur alle x ∈ [a, b].
Beweis: OBdA sei gleich [a, b] = [0, 1]. Setze
g : R→ R, g(x) :=
f(x) fur 0 ≤ x ≤ 1,
f(1)− f(0)−f(1)2π−1 (x− 1) fur 1 ≤ x ≤ 2π,
2π-periodisch sonst.
⇒ g : R→ R ist stetig und 2π-periodisch. Sei ε > 0.
35.14⇒ ∃ trigon. Polynom T : R→ R |g(x)− T (x)| < ε
2∀x ∈ R
Sei T (x) = a02 +
∑nk=1 (αk cos kx+ βk sin kx) (x ∈ R). Wir entwickeln Cosi-
nus und Sinus in Potenzreihen um 0 und brechen nach N Termen ab:
pN (x) :=a0
2+
N∑
j=0
n∑
k=1
(
αk(−1)j
(2j)!(kx)2j + βk
(−1)j
(2j + 1)!(kx)2j+1
)
34.1⇒ pN (x)N→∞−−−−→
glm.T (x) auf [a, b] = [0, 1].
⇒ ∃N ∈ N ∀x ∈ [0, 1] |pN (x)− T (x)| < ε
2.
Mit diesem N gilt:
∀x ∈ [a, b] = [0, 1] |f(x)− pN (x)| < ε. 2
35.16 Vollstandigkeit des trigonometrischen Systems
Sei f : R→ C stetig, 2π-periodisch und gelte
∀n ∈ Z
∫ 2π
0f(x)e−inxdx = 0
oder aquivalent dazu
∫ 2π
0f(x) cosnx dx = 0 ∀n ≥ 0 ∧
∫ 2π
0f(x) sinnx dx = 0 ∀n ≥ 1
Dann ist f = 0.
Beweis: σn[f ] = 0 ∀n ≥ 135.10⇒ f = 0 2
207
35.17 Beispiel
Sei f : R→ R definiert durch
f(x) :=
{ (π−x
2
)2 fur 0 ≤ x ≤ 2π,2π-periodisch sonst
⇒ f gerade
⇒ 1
π
∫ 2π
0f(x) sin kx dx = 0 ∀ k ∈ N
a0 =1
π
∫ 2π
0
(π − x
2
)2
dx =π2
6,
und fur n ≥ 1 ist
an =1
π
∫ 2π
0
(π − x
2
)2
cosnx dx =1
n2(n ≥ 1).
⇒ Fourier-Reihe von f = π2
12 +∑∞
n=1cosnxn2 konvergiert sogar gleichmaßig auf
ganz R. f stetig
35.12⇒(π − x
2
)2
=π2
12+
∞∑
n=1
cosnx
n2(0 ≤ x ≤ 2π)
x := 0⇒∞∑
n=1
1
n2=π2
6(L. Euler)
Reihe konvergiert gleichmaßig⇒ Termweise Integration ist zulassig uber [0, x] fur0 ≤ x ≤ 2π und liefert:
∫ x
0
(π − t
2
)2
dt− π2
12x =
∞∑
n=1
∫ x
0
cosnt
n2dt (0 ≤ x ≤ 2π), d. h.
1
12(x− π)3 − π2
12x+
π3
12=
∞∑
n=1
sinnx
n3(0 ≤ x ≤ 2π)
x :=π
2⇒
∞∑
n=0
(−1)k
(2k + 1)3=π3
32(L. Euler)
Dieses Verfahren lasst sich beliebig oft iterieren und liefert die Werte aller Reihendes Typs
∞∑
n=1
1
n2k,
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)2k+1(k ≥ 1)
z. B.∞∑
n=1
1
n4=π4
90,
∞∑
n=1
1
n6=
π6
945,
∞∑
n=1
1
n10=
π10
93555.
208
35.18 Beispiel: Partialbruchzerlegung des Cotangens und des rezi-proken Sinus
Sei α ∈ R\Z,
fα : R→ R, fα(x) :=
{cosαx fur |x| ≤ π,2π-periodisch sonst.
⇒ fα ist stetig und gerade,
also bn = 0 ∀n ≥ 1,
an =1
π
∫ π
−πcosαx cosnx dx =
2
π
∫ π
0cosαx cosnx dx
=1
π
∫ π
0cos(α+ n)x+ cos(α− n)x dx
=1
π
[sin(α+ n)x
α+ n+
sin(α− n)x
α− n
]π
0
= (−1)nsinπα
π
(1
α+ n+
1
α− n
)
= (−1)nsinπα
π· 2α
α2 − n2∀n ≥ 0
fα stetig und die Fourier-Reihe konvergiert (sogar gleichmaßig) auf R
35.12⇒ cosαx =sinπα
π
(
1
α+
∞∑
n=1
(−1)n2α
α2 − n2cosnx
)
(15)
fur alle |x| ≤ π, α ∈ R\Z. x = π
⇒ π · cotπα =1
α+
∞∑
n=1
2α
α2 − n2=
1
α+
∞∑
n=1
(1
α+ n+
1
α− n
)
fur alle α ∈ R\Z. cotx = cosxsinx .
(cotx− 1
x
) x→0−−−→ 0, nun auch π · cotπx −1x
x→0−−−→ 0. α 7→ x liefert die Partialbruchzerlegung des Cotangens nach L. Euler:
π ·cotπx =1
x+
∞∑
n=1
(1
x+ n+
1
x− n
)
=1
x+ limn→∞
∑
|k|≤n
1
x+ k∀x ∈ R\Z
Gliedweise Differentiation liefert:
− 1
x2−
∞∑
n=1
(1
(x+ n)2+
1
(x− n)2
)
konvergiert gleichmaßig auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von R\Z. Spezi-alfall:
x =1
2⇒
∞∑
n=0
1
(2n+ 1)2=π2
8
x = 0 in (15) und α 7→ x liefert folgende Partialbruchentwicklung:
π
sinπx=
1
x+
∞∑
n=1
(−1)n2x
x2 − n2∀x ∈ R\Z
209
35.19 Sinusprodukt
Die Reihe auf der rechten Seite der Gleichung
π · cotπt− 1
t=
∞∑
n=1
(1
t+ n+
1
t− n
)
konvergiert gleichmaßig auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von ]−1, 1[. Dielinke Seite ist stetig erklarbar in 0. Sei x ∈ ]−1, 1[⇒ Fur x 6= 0 ist
∫ x
0
(
π · cotπt− 1
t
)
dt = limn→0
∫ x
nx
(
π · cotπt− 1
t
)
dt
= limn→+0
[
logsinπt
πt
]x
nx
= logsinπx
πx
Dies gilt auch noch fur x = 0, falls man auf der rechten Seite den Quotienten sinπxπx
durch seinen Grenzwert 1 ersetzt.⇒ Fur |x| < 1 gilt:
logsinπx
πx=
∞∑
n=1
∫ x
0
(1
t+ n− 1
n− t
)
dt
=
∞∑
n=1
((log(x+ n)− log n) + (log(n− x)− log n))
=∞∑
n=1
(
log(
1 +x
n
)
+ log(
1− x
n
))
=∞∑
n=1
log
(
1− x2
n2
)
Wende darauf nun wieder die Exponentialfunktion an:
⇒ sinπx
πx= exp
( ∞∑
n=1
log
(
1− x2
n2
))
= limN→∞
(
exp
(N∑
n=1
log
(
1− x2
n2
)))
= limN→∞
N∏
n=1
(
1− x2
n2
)
=
∞∏
n=1
(
1− x2
n2
)
⇒ sinπx = πx ·∞∏
n=1
(
1− x2
n2
)
,
das sog. Sinusprodukt (bisher fur |x| < 1). Jetzt allgemein: Sei x ∈ R. Wahlea ∈ N mit |x| < a:
π · cotπt =∑
|k|<a
1
t− k︸ ︷︷ ︸
stetig erklarbar in ]−a,a[
=∞∑
n=a
(1
t+ n+
1
t− n
)
︸ ︷︷ ︸
stetig
210
Die rechte Seite ist stetig, da die Reihe gleichmaßig auf abgeschlossenen Teilinter-vallen von ]−a, a[ konvergiert.
⇒∫ x
0
π · cotπt−∑
|k|<a
1
t− k
dt = logsinπx
πx ·∏n−1k=1
(
1− x2
k2
)
Dabei muss der Quotient in Z stetig durch seinen Grenzwert erklart werden.
=
∞∑
n=a
∫ x
0
(1
t+ n+
1
t− n
)
dt =
∞∑
n=a
log
(
1− x2
n2
)
Wende darauf wiederum die Exponentialfunktion an und erhalte das sog. Sinus-produkt von Leonhard Euler:
⇒ sinπx = πx ·∞∏
n=1
(
1− x2
n2
)
∀x ∈ R 2
Sn[f ](x) =1
2π
∫ π
−πf(x− t)Dn(t)dt
=1
2π
(∫ π
0f(x− t)Dn(t) +
∫ π
0f(x+ t)Dn(t)dt
)
Dn gerade=
1
2π
∫ π
0(f(x+ t) + f(x− t))Dn(t)dt
35.20 Konvergenzsatz
Die Funktion f : R → C sei 2π-periodisch und integrierbar uber [0, 2π]. Fernerseien in x0 ∈ R die Grenzwerte
f (x0+) := limh→0+
f (x0 + h) und f (x0−) := limh→0+
f (x0 − h)
vorhanden, und es gebe ein M > 0 und δ > 0, so dass
|f (x0 + t)− f (x0+)| ≤Mt und |f (x0 − t)− f (x0−)| ≤Mt fur 0 < t ≤ δ.
(Lipschitz-Bedingung). Dann gilt:
limn→∞
Sn[f ] (x0) =1
2(f (x0+) + f (x0−)) .
Ist speziell f in x0 differenzierbar, so gilt: limn→∞ Sn[f ] (x0) = f (x0).
211
Beweis: Umformung von oben liefert:
Sn[f ] (x0)−1
2(f (x0+) + f (x0−))
=1
2π
∫ π
0(f (x0 + t) + f (x0 − t))− (f (x0+) + f (x0−))Dn(t)dt
=1
2π
∫ π
0
f (x0 + t)− f (x0+)
t︸ ︷︷ ︸
integrierbar
+f (x0 − t)− f (x0−)
t︸ ︷︷ ︸
integrierbar
t
sin t2
︸ ︷︷ ︸
st. erklb.
sin
(
n+1
2
)
tdt
n→∞−−−→ 0 nach dem Satz von Riemann und Lebesgue (35.6). 2
35.21 Beispiel
35.20 angewandt auf
f(x) :=
π−x2 fur 0 < x < 2π,
0 fur x = 0, x = 2π,2π-periodisch sonst.
liefert:∞∑
k=1
sin kx
k= f(x) (x ∈ R).
Ebenso mit 35.17.
35.22 Konvergenzsatz fur stetige und stuckweise stetig differenzier-bare Funktionen
Sei f : R→ C stetig und stuckweise stetig differenzierbar,
cn :=1
2π
∫ 2π
0f(t)e−intdt (n ∈ Z).
Dann konvergiert∑∞
n=−∞ |cn|; insbesondere konvergiert die Fourier-Reihe von fabsolut gleichmaßig auf ganz R (und zwar gegen f ).
Definition: f ∈ C [a, b] heißt stuckweise stetig differenzierbar, wenn es eineZerlegung a = x0 < x1 < . . . < xn = b (n ≥ 1) gibt, so dass f |[xj−1,xj ]
stetigdifferenzierbar ist fur j = 1, . . . , n.
Folgerung: f, g : [a, b] → R seien stetig und stuckweise stetig differenzierbar.⇒ Bei beliebiger Definition von f ′, g′ in den Knickpunkten gilt:
∫ b
af ′(t)g(t)dt = [fg]ba −
∫ b
af(t)g′(t)dt.
212
Beweis: Man nehme oBdA x0, . . . , xn wie in der Definition so, dass f und gauf [xj−1, xj ] stetig differenzierbar sind fur j = 1, . . . , n. Dann partiell integrierenuber [xj−1, xj ] und summieren.⇒ Behauptung. 2
Beweis: Fur n 6= 0 ist
an =1
2π
∫ π
0
d
dt
e−int
−in f(t)dts.o.=
1
2π
[e−int
−in f(t)
]2π
0︸ ︷︷ ︸
=0
+1
in
1
2π
∫ 2π
0f ′(t)e−intdt
︸ ︷︷ ︸
=:dn
,
wobei dn den n-ten Fourier-Koeffizienten von f ′ bezeichnet. Fur n 6= 0 ist dann
cn =1
indn ⇒ |cn| =
1
n|dn| ≤
1
2
∣∣n−2 + dn
∣∣2
Besselsche Ungleichung (35.28)⇒∑
n∈Z |dn|2 <∞.⇒ Behauptung. 2
Ziel: Vollstandigkeitsrelation:
1
2π
∫ 2π
0|f(x)|2 dx =
∞∑
n=−∞|cn|2
35.23 Definition: Skalarprodukt von Funktionen
Sei V := {f : R→ C : f 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar }. Fur f, g ∈V sei
〈f, g〉 :=1
2π
∫ 2π
0f(t)g(t)dt
das sog. Skalarprodukt von f und g.
35.24 Folgerung
〈·, ·〉 ist eine positiv semidefinite, hermitesche Sesquilinearform auf V , d. h.:
a) 〈f, f〉 ≥ 0 (und fur f stetig ist 〈f, f〉 = 0⇔ f = 0)
b) 〈f, g〉 = 〈g, f〉
c) 〈λ1f1 + λ2f2, g〉 = λ1 〈f1, g〉+ λ2 〈f2, g〉 und〈f, µ1g1 + µ2g2〉 = µ1 〈f, g1〉+ µ2 〈f, g2〉
213
35.25 Definition: Norm, orthogonal, Orthonormalsystem
a) Fur f ∈ V heißt
‖f‖ :=√
〈f, f〉 =
√
1
2π
∫ 2π
0|f(t)|2 dt
die Norm oder Lange von f .
b) f, g orthogonal :⇔ 〈f, g〉 = 0
c) Sei fn ∈ V , (fn)n∈N bilden ein Orthonormalsystem⇔ ∀m,n ∈ N 〈fm, fn〉 = δm,n
35.26 Folgerungen
a) Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |〈f, g〉| ≤ ‖f‖ · ‖g‖ (f, g ∈ V )
b) Dreiecks-Ungleichung ‖f + g‖ ≤ ‖f‖+ ‖g‖ (f, g ∈ V )
c) Fur en ∈ V , en(t) := eint (t ∈ R, n ∈ Z) gilt: (en)n∈Z ist ein Orthonor-malsystem.
d) Fur f ∈ V ist
ck =1
2π
∫ 2π
0f(t)e−iktdt = 〈f, ek〉 (k ∈ Z)
Approximationsproblem: Sei f ∈ V , n ∈ N. Fur welche λk ∈ C (|k| ≤ n)
ist∥∥∥f −
∑
|k|≤n λkek∥∥∥ sinnvoll?
35.27 Approximationssatz
Zu jedem f ∈ V , n ∈ N0 gibt es genau ein g ∈⊕|k|≤n Cek mit
‖f − g‖ = inf
‖f − h‖ , h ∈
⊕
|k|≤nCek
,
und zwar ist dieses g = Sn[f ] =∑
|k|≤n ckek. Dabei gilt:
‖f − g‖2 = ‖f‖2 −∑
|k|≤n|ck|2
214
Beweis: Fur λk ∈ C (|k| ≤ n) gilt:∥∥∥∥∥∥
f −∑
|k|≤nλkek
∥∥∥∥∥∥
2
= ‖f‖2 − 2Re∑
|k|≤nλk 〈f, ek〉︸ ︷︷ ︸
=ck
+
∥∥∥∥∥∥
∑
|k|≤nλkek
∥∥∥∥∥∥
2
= ‖f‖2 − 2Re∑
|k|≤nλkck +
∑
|k|≤n|λk|2
= ‖f‖2 −∑
|k|≤n|ck|2 +
∑
|k|≤n|ck − λk|2
und das ist minimal fur λk = ck (|k| ≤ n). 2
35.28 Besselsche Ungleichung
benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, 22.7.1784–17.3.1846, deutscher Mathe-matiker und Astronom.Fur jedes f ∈ V konvergiert
∑
k∈Z |ck|2 und es gilt:∑
k∈Z
|ck|2 ≤ ‖f‖2
Beweis: 35.27⇒ ∀n ∈ N∑
|k|≤n |ck|2 ≤ ‖f‖2 2
Frage: Gilt hier notwendig ”=“? Antwort: Ja, siehe 35.30.
35.29 Satz
Sei f ∈ V . Dann gilt:
limn→∞
‖f − Sn[f ]‖ = 0,
d. h. limn→∞
∫ 2π
0
∣∣∣∣∣∣
f(x)−∑
|k|≤ncke
ikx
∣∣∣∣∣∣
2
dx = 0
(Sn[f ])n≥0 konvergiert im quadratischen Mittel gegen f .
Beweis: Sei f ∈ V , ε > 0 ⇒ es gibt ein stetiges g ∈ V mit ‖f − g‖ < ε2 .
Zu g existiert nach 35.14 ein trigonometrisches Polynom T mit |g(x)− T (x)| <ε2 (x ∈ R).
⇒ ‖g − T‖ =
√√√√√
1
2π
∫ 2π
0|g(x)− T (x)|2︸ ︷︷ ︸
<( ε2)
2
<ε
2
215
⇒ ‖f − T‖ ≤ ‖f − g‖+ ‖g − T‖ < ε
Sei nun T (x) =∑
|k|≤N λkeikx (x ∈ R)
35.27⇒ Fur alle n ≥ N ist
‖f − Sn[f ]‖ ≤ ‖f − SN [f ]‖ ≤ ‖f − T‖ < ε
⇒ Behauptung. 2
35.30 Vollstandigkeitsrelation
Sei f ∈ V ⇒ ‖f‖2 =∑
k∈Z |ck|2
Beweis: 35.27 und 35.29. 2
35.31 Parsevalsche Gleichung
Seien f, g ∈ V , ck := 〈f, ek〉, dk := 〈g, ek〉. Dann konvergiert∑
k∈Z ck · dkabsolut. Es gilt:
〈f, g〉 =∑
k∈Z
ckdk.
Beweis:∣∣ckdk
∣∣ ≤ 1
2
(
|ck|2 + |dk|2) 35.28⇒ ∑
k∈Z ckdk konvergiert.
〈f, g〉 =1
4
(
‖f + g‖2 − ‖f − g‖2 + i ‖f + ig‖2 − i ‖f − ig‖2)
Anwendung der Vollstandigkeitsrelation auf die rechte Seite liefert nach Umrech-nung der Summen von Betragsquadraten der Fourier-Koeffizienten von f±g, f±iggerade den Wert
∑
k∈Z ckdk auf der rechten Seite. 2
35.32 Beispiel
f : R→ R, f(x) :=
{ (π−x
2
)2 fur 0 ≤ x ≤ 2π,2π-periodisch sonst
35.17⇒ c0 =π2
12, cn =
1
2n2(n 6= 0)
35.30⇒ ‖f‖2 =1
2π
∫ 2π
0
(π − x
2
)4
dx =π4
80
35.30=
∑
n∈Z
|cn|2
=π4
144+ 2
∞∑
n=1
1
(2n2)2=
π4
144+
1
2
∞∑
n=1
1
n4
⇒∞∑
n=1
1
n4=π4
90(Leonhard Euler)
216
Teil VII
Metrische Raume, Topologie des Rn
36 Metrische Raume, normierte Raume, Topologie des Rn
36.1 Definition: Metrik
Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X ×X → R heißt eine Metrik auf X , fallsgilt:
(M1) ∀x, y ∈ X d(x, y) ≥ 0 und
d(x, y) = 0⇔ x = y (16)
(M2) Symmetrie: ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x)
(M3) Dreiecksungleichung: ∀x, y, z ∈ X d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
d(x, y) heißt Abstand von x, y ∈ X . (X, d) oder kurz X heißt dann ein metrischerRaum. Gilt in (16) nur ”⇐“, so heißt d eine Halbmetrik, (X, d) ein halbmetrischerRaum.
36.2 Beispiele
a) X = R oder C, d(x, y) := |x− y| (x, y) ∈ X
b) Sei X irgendeine Menge, setze d(x, y) := 0 fur x = y und d(x, y) := 1 furx 6= y. Dann ist d eine Metrik auf X .
c) X = Rn, p ∈ R, p ≥ 1: dp(x, y) := ‖x− y‖p mit
‖x‖p :=
n∑
j=1
|xj |p
1p
x =
x1...xn
∈ Rn
⇒ (Rn, dp) ist ein metrischer Raum. Die Dreiecksungleichung folgt aus derMinkowskischen Ungleichung fur Summen (28.6, 28.7). Spezialfall: p = 2:Dann ist d2 der ”elementargeometrische Abstand“.
d) Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X , dA := d|A×A. Dann ist auch(A, dA) ein metrischer Raum.
217
36.3 Definition: Norm
Sei V ein K-Vektorraum mit K = R oder C. Eine Norm auf V ist eine Abbildung‖ · ‖ : V → R mit folgenden Eigenschaften:
(N1) ∀x ∈ V ‖x‖ ≥ 0 und
‖x‖ = 0⇔ x = 0 (17)
(N2) ∀x,∈ V, λ ∈ K ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ (Homogenitat)
(N3) ∀x, y ∈ V ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Dreiecksungleichung)
(V, ‖ · ‖) heiß normierter Vektorraum. Gilt in (17) nur ”⇐“, so heißt ‖ · ‖ eineHalbnorm, (V, ‖ · ‖) ein halbnormierter Vektorraum.
36.4 Beispiele
a) Ist 〈·, ·〉 : V × V → K mit K = R oder C ein Skalarprodukt auf V , so ist‖x‖ :=
√
〈x, x〉 (x ∈ V ) eine Norm auf V . Wichtige Spezialfalle:
V = Rn, K = R 〈x, y〉 :=n∑
j=1
xjyj
ist das Standard-Skalarprodukt auf Rn, die zugehorige Norm die elementar-geometrische Lange:
‖x‖ =
√√√√
n∑
j=1
x2j (x ∈ V )
V = Cn, 〈x, y〉 :=n∑
j=1
xjyj (x, y ∈ Cn)
ist das Standard-Skalarprodukt auf Cn, die zugehorige Norm
‖x‖ =
√√√√
n∑
j=1
|xj |2
b) V = Kn (K = R oder C):
‖x‖p :=
n∑
j=1
|xj |p
1p
ist eine Norm auf V . Die Dreiecksungleichung folgt aus der Minkowski-schen Ungleichung (28.6).
218
c) V = Kn, ‖x‖∞ := max {|x1| , . . . , |xn|} ⇒ ‖x‖∞ : V → R ist eineNorm auf V . Fur 1 ≤ p <∞ gilt: ‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ n
1p ‖x‖∞
d) V = CK [a, b] ist K-Vektorraum und fur 1 ≤ p <∞ ist
‖f‖p :=
(∫ b
a|f(t)|p dt
) 1p
(f ∈ V )
Dann ist ‖ · ‖p eine Norm auf V . Auch hier folgt die Dreiecksungleichungnach der Minkowskischen Ungleichung (28.6).
e) V = CK [a, b] tragt die sog. Maximums-Norm
‖f‖∞ := max {|f(t)| : a ≤ t ≤ b}
36.5 Satz
Ist (V, ‖ · ‖) ein normierter Vektorraum, so ist (V, d) mit d(x, y) := ‖x − y‖(x, y ∈ V ) ein metrischer Raum.
Beweis: trivial. 2
36.6 Definition: Kugel
Sei (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X, r > 0. Dann heißt
Kr(a) := {x ∈ X : d(x, a) < r}
die offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r.
Beispiel: X = R,R2,R3 mit d2 aus 36.2 c). Wie sehen die Kugeln aus im R2 furd zu ‖ · ‖p bzw. ‖ · ‖∞?
36.7 Definition: Umgebung im metrischen Raum
Seien (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X , U ⊂ X . U heißt Umgebung von a :⇔
∃ r > 0 Kr(a) ⊂ U U (a) := {V ⊂ X,V Umgebung von a}
36.8 Satz: Hausdorffsches Trennungsaxiom
In jedem metrischen Raum (X, d) gilt das Hausdorffsche Trennungsaxiom, be-nannt nach Felix Hausdorff, 8.11.1868–26.1.1942, deutscher Mathematiker:
∀x, y ∈ X,x 6= y ∃U ∈ U (x), V ∈ U (y) U ∩ V = ∅
219
Beweis: x 6= y, ε := 12d(x, y) > 0, U := Kε(x) ∈ U (x), V := Kε(y) ∈ U (y).
Annahme: z ∈ U ∩ V ⇒ 2ε = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < ε+ ε = 2ε E 2
36.9 Definition: Offenheit
Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X , A offen :⇔∀x ∈ A ∃U ∈ U (x) U ⊂ A⇔ ∀x ∈ A A ∈ U (x)⇔ ∀x ∈ A ∃ ε > 0 Kε ⊂ AT := {A ⊂ X,A offen}
heißt die Topologie von X .
36.10 Beispiel
Seien a ∈ X , r > 0, (X, d) ein metrischer Raum. Dann ist Kr(a) offen.
Beweis: Sei x ∈ Kr(a) ⇒ ε := r − d(x, a) > 0. Dann gilt Kε(x) ⊂ Kr(a),denn: Sei y ∈ Kε(x).
⇒ d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + ε = r
⇒ y ∈ Kε(a) 2
36.11 Satz
Alle Metriken
dp(x, y) :=
∑
j=1
n |xj − yj |p
1p
(p ≥ 1), d∞(x, y) := max1≤j≤n
|xj − yj |
definieren dieselbe Topologie auf dem Rn. Diese heißt die naturliche Topologiedes Rn.
Beweis: 36.4 c)⇒ d∞ ≤ dp ≤ n1pd∞
⇒ ∀ a ∈ Rn, r > 0 Kr (a, d∞) ⊃ Kr (a, dp) ⊃ Kn− 1
p r(a, d∞)
⇒ Offenheit bzgl. dp (p ≥ 1) und Offenheit bzgl. d∞ sind aquivalent. 2
36.12 Satz
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gilt:
(T1) ∅ und X sind offen,
(T2) A,B offen⇒ A ∩B offen,
(T3) Aι ⊂ X offen (ι ∈ I)⇒ ⋃
ι∈I Aι ist offen.
220
Beweis: Analog zum Beweis von 14.3. 2
36.13 Definition: Topologie
Sei X eine Menge, T ⊂ P (X). T heißt Topologie auf X , falls gilt:
(T1) X, ∅ ∈ T ,
(T2) A,B ∈ T ⇒ A ∩B ∈ T
(T3) Aι ∈ T (ι ∈ I)⇒ ⋃
ι∈I Aι ∈ T
(X,T ) heißt dann ein topologischer Raum, die Mengen aus T heißen offene Teil-mengen von X .
Bemerkung: Fur Y ⊂ X ist T |Y := {A ∩ Y,A ∈ T } eine Topologie auf Y ,die sog. Spurtopologie der Relativtopologie von T auf Y .
36.14 Definition: Abgeschlossenheit
Sei (X,T ) ein topologischer Raum, A ⊂ X . Dann heißt A abgeschlossen :⇔Ac := X\A offen, d. h. Ac ∈ T .
36.15 Satz
Sei (X,T ) ein topologischer Raum. Dann gilt:
(11) X, ∅ sind abgeschlossen,
(22) A,B abgeschlossen⇒ A ∪B abgeschlossen,
(33) Aι abgeschlossen⇒ ⋂
ι∈I Aι abgeschlossen (ι ∈ I).
Beweis: Dualisierung von 36.12. vgl. 14.4 2
36.16 Definition: Umgebung im topologischen Raum
a) Sei (X,T ) ein topologischer Raum, a ∈ X,U ⊂ X . U heißt Umgebungvon a :⇔
∃V ∈ T a ∈ V ⊂ U
U braucht nicht selbst offen zu sein! U (a) := {V ⊂ X : V Umgebung von a}
b) (X,T ) heißt Hausdorff-Raum :⇔
∀x, y ∈ X,x 6= y ∃U ∈ U (x), V ∈ U (y) U ∩ V = ∅
⇒ Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.
221
Folgerung: Fur metrische Raume ist dieser Umgebungsbegriff aquivalent mitdem fruheren.
36.17 Definition: Beruhrungspunkt
Sei (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X , b ∈ X . b heißt Beruhrungspunktvon M :⇔
∀U ∈ U (b) U ∩M 6= ∅
M := Menge der Beruhrungspunkte von M . Offensichtlich gilt: M ⊂M .
Beispiel: Im Rn mit ‖·‖ = elementargeometrische Lange (oder ‖·‖p (p ≥ 1)).⇒ Kr(a) := {x ∈ Rn, ‖x− a‖ ≤ r} heißt die abgeschlossene Kugel um a mitRadius r.
36.18 Satz
Sei (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X . Dann gilt:
a) M =⋂
A⊂XA abgeschlossen
A⊃M
A =: abgeschlossene Hulle von M
b) M abgeschlossen⇔M = M
Beweis: siehe Aufgabe 34. 2
36.19 Definition: Innerer Punkt
Seien (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X , a ∈ X . a heißt innerer Punkt von
M :⇔M ∈ U (a).◦M := Menge der inneren Punkte von M .
36.20 Satz
Sei (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X . Dann gilt:
a)◦M =
⋃
A⊂MA∈T
A =: offener Kern von M ,
b) M offen⇔M =◦M .
Beweis: Aufgabe 34. 2
222
36.21 Definition: Rand
Sei (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X .
RdM := M ∩ (X\M)(stets abgeschlossen) =: ∂M =: Rand von M
= Rand von M c
36.22 Beispiele
a) X = Rn mit ‖ · ‖ = ‖ · ‖2 = elementargeometrische Lange, dazu d = d2
und die naturliche Topologie.
M := K1(0) = {x ∈ Rn : ‖x‖2 < 1} = Einheitskugel
⇒M = K1(0) = {x ∈ Rn, ‖x‖ ≤ 1} = abgeschlossene Einheitskugel
RdM = {x ∈ Rn, ‖x‖2 = 1} = Einheitssphare := Sn−1
b) X = R mit naturlicher Topologie, M = Q, M = R, denn (R\Q) = R, alsoRd Q = R.
36.23 Satz
Seien (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X . Dann gilt: M =◦M ∪RdM
(disjunkte Vereinigung) und RdM = M\◦M ,
◦M = M\RdM .
Beweis:
”⊃“ klar
”⊂“ Sei x ∈M\◦M . Dann gilt:
∀U ∈ U (x) (U ∩M 6= ∅) ∧ (U ∩X\M 6= ∅)
⇒ x ∈M ∩ (X\M) = RdM 2
223
37 Konvergenz und Vollstandigkeit
37.1 Definition: Konvergenz im Hausdorff-Raum
Sei (X,T ) ein Hausdorff-Raum, an ∈ X ∀n ∈ N, a ∈ X .
(an)n≥1n→∞−−−−−→
(konv. gg.)a :⇔ ∀U ∈ U (a) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ U
37.2 Folgerung
(X,T ) Hausdorff-Raum⇒Der Limes jeder konvergenten Folge inX ist eindeutigbestimmt, speziell gilt das in jedem metrischen Raum. Dann schreibt man: a =limn→∞ an bzw. an
n→∞−−−→ a.
Beweis: Sei (X,T ) ein Hausdorff-Raum, (an)n≥1 konvergiere gegen a. Sei b ∈X , b 6= a.
⇒ ∃U ∈ U (a), V ∈ U (b) U ∩ V = ∅
Zu U existiert dann ein n0 ∈ N, so dass
∀n ≥ n0 an ∈ U ⇒ ∀n ≥ n0 an /∈ V
⇒ (an)n≥1 konvergiert nicht gegen b. 2
37.3 Satz
Sei (X,T ) ein metrischer Raum, an, a ∈ X (n ∈ N). Dann gilt:
ann→∞−−−→ a
︸ ︷︷ ︸
Konvergenz in X
⇔ d (an, a)n→∞−−−→ 0
︸ ︷︷ ︸
Konvergenz in R
Beweis: ann→∞−−−→ a⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ Kε(a)
⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 d (an, a) < ε
⇔ d (an, a)n→∞−−−→ 0 2
37.4 SatzC
In Rn und Cn gilt:
akk→∞−−−→ a⇔ ∀ j = 1, . . . , n (ak)j
k→∞−−−→ aj ,
ak =
ak1...akn
d. h. Konvergenz im Rn bzw. Cn ist gleichbedeutend mit koordinatenweiser Kon-vergenz.
224
Beweis: Da d∞ die Topologie von Rn, bzw. Cn beschreibt, gilt:
akk→∞−−−→ a
37.3⇔ ‖ak − a‖∞k→∞−−−→ 0
⇔ maxj=1,...,n
∣∣akj− aj
∣∣ k→∞−−−→ 0
⇔ ∀ j = 1, . . . , n akj
k→∞−−−→ aj 2
37.5 KorollarC
Seien ak, bk, a, b ∈ Rn (bzw. Cn), λk, µk, λ, µ ∈ R (bzw. C). Dann gilt:
akk→∞−−−→ a, bk
k→∞−−−→ b, λkk→∞−−−→ λ, µk
k→∞−−−→ µ
⇒ λkak + µkbkk→∞−−−→ λa+ µb
Beweis: 37.4. 2
37.6 Konvergenz von ReihenC
Seien ak, a ∈ Rn (bzw. Cn) (k ∈ N).
∞∑
k=1
ak = a :⇔n∑
k=1
akn→∞−−−→ a
Rechenregeln sind klar nach 37.5.
37.7 Satz
Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X , b ∈ X . Dann gilt:
a) b ∈ A⇔ ∃ Folge (an)n∈N mit an ∈ A, so dass ann→∞−−−→ b
b) A abgeschlossen ⇔ Fur jede konvergente Folge (an)n∈N von Elementen∈ A gilt: limn→∞ an ∈ A (vgl. 14.3)
Beweis:
a) ”⇒“ b ∈ A⇒ ∀n ∈ N ∃ an ∈ A d (an, b) <1n ⇒ limn→∞ an = b
”⇐“ Nach Voraussetzung gilt:
∀ ε > 0 Kε(b) ∩A 6= ∅ ⇒ b ∈ A
b) A abgeschlossen⇔ A = A⇔ A ⊂ A, (denn A ⊂ A ist trivial)⇔ Fur jedekonvergente Folge (an)n≥1 von Elementen ∈ A gilt: limn→∞ an ∈ A. 2
225
37.8 Definition: Cauchy-Folge
Sei (X, d) ein metrischer Raum, xn ∈ X (n ∈ N). (xn)n∈N heißt Cauchy-Folge:⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0 d (xm, xn) < ε
37.9 Folgerung
In der Situation von 37.8 gilt: (xn)n∈N konvergiert⇒ (xn)n∈N ist Cauchy-Folge.(:)
Beweis:
”⇒“ Es gelte: xnn→∞−−−→ x. Sei ε > 0.
⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 d (xn, x) <ε
2
⇒ ∀m,n ≥ n0 d (xm, xn) ≤ d (xm, x) + d (x, xn) <ε
2+ε
2= ε,
d. h. (xn)n∈N ist Cauchy-Folge.
”:“ Sei X = Q mit der ublichen Metrik: d(x, y) = |x− y|. 2
37.10 Definition: Vollstandigkeit, Banach- und Hilbertraum
Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollstandig, wenn jede Cauchy-Folge in X kon-vergiert. Ein vollstandiger normierter Vektorraum heißt Banach-Raum (benanntnach Stephan Banach), ein vollstandiger euklidischer oder unitarer Vektorraumheißt Hilbert-Raum (benannt nach David Hilbert).
37.11 Satz
Rn und Cn sind vollstandig, also Hilbert-Raume.
Beweis: OBdA Metrik d∞ (Beachte: d∞ ≤ dp ≤ n1pd∞ fur alle p ≥ 1)
(xk)k∈N Cauchy-Folge
⇔ ∀ j = 1, . . . , n(xkj
)
k≥1ist Cauchy-Folge in R bzw. C
11.10⇒ ∀ j = 1, . . . , n(xkj
)
k≥1konvergiert.
37.4⇒ (xk)k≥1 konvergiert in Rn bzw. Cn. 2
37.12 Satz
C [a, b] ist bzgl. der Maximumsnorm ‖f‖∞ := max {|f(t)| : a ≤ t ≤ b} ein Ba-Cnach-Raum.
226
Beweis: Sei (fn)n≥1 Cauchy-Folge bzgl. d∞(f, g) := ‖f − g‖∞
⇒ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0 ∀x ∈ [a, b] |fm(x)− fn(x)| < ε
33.6⇒ (fm)m≥1 konvergiert gleichmaßig, also
∃f : [a, b] → R (bzw. C) mit fnn→∞−−−→glm.
f ⇒ f stetig, d. h. f ∈ C [a, b] und
d∞ (fn, f)n→∞−−−→ 0⇒ (fn)n≥1 konvergiert gegen f in der Metrik von C [a, b]. 2
37.13 Satz
Sei (X, d) ein vollstandiger metrischer Raum, A ⊂ X . Dann gilt: A ist vollstandigbzgl. d|A×A ⇔ A ist abgeschlossen (in X).
Beweis:
”⇒“ Sei b ∈ A37.7⇒ ∃ Folge (an)n≥1 mit an ∈ A (n ∈ N) und an
n→∞−−−→ b
37.9⇒ (an)n≥1 ist Cauchy-Folge in A.(A, d|A×A
)vollstandig ⇒ ∃ a ∈ A,
so dass ann→∞−−−→ a. Aber: an
n→∞−−−→ b⇒ b ∈ A und A abgeschlossen.
”⇐“ Sei (an)n≥1 Cauchy-Folge inA.⇒ (an) ist Cauchy-Folge inX .X vollstandig⇒ ∃ b ∈ X , so dass an
n→∞−−−→ b. an ∈ A (n ∈ N), A abgeschlossen37.7⇒ b ∈ A = A⇒ A ist vollstandig. 2
37.14 Definition: Durchmesser, Beschranktheit
Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X
a) Der Durchmesser von A =:
diam (A) :=
{sup {d(x, y) : x, y ∈ A} falls A 6= ∅0 falls A = ∅
b) A beschrankt:⇔ diam (A) ∈ [0,∞[⇔ sup {d(a, x) : a ∈ A} < ∞ fur einund damit fur alle x ∈ X (A 6= ∅)
c) Sei an ∈ X (n ∈ N), (an)n≥1 beschrankt⇔ {an : n ∈ N} beschrankt.
Beispiel: X = Rn, A ⊂ Rn, A beschrankt.⇔ ∃R > 0 A ⊂ KR(0).
37.15 Folgerung
Sei ak ∈ X , (X, d) ein metrischer Raum. (ak)k∈N konvergiert ⇒ (ak)k∈N istbeschrankt (:).
227
Beweis: vgl. 10.11 2
37.16 Definition: Haufungswert
Sei (X, d) ein metrischer Raum, b, an ∈ X (n ∈ N). b heißt Haufungswert von(an)n≥1 :⇔ ∀ ε > 0 ∀N ∈ N ∃ k ≥ N d (ak, b) < ε.
37.17 Folgerung
Voraussetzungen wie in 37.16b Haufungswert von (an)n≥1 ⇔ ∃ Teilfolge (ank
)k≥1 ank
k→∞−−−→ b.
Beweis: vgl. 11.7 2
37.18 Definition: Haufungspunkt, Isolierter Punkt
Sei (X,T ) ein topologischer Raum,M ⊂ X, a ∈ X . a Haufungspunkt vonM :⇔∀U ∈ U (a) U\{a} ∩M 6= ∅ ⇔ ∀U ∈ U (a) ∃x ∈ U\{a} ∩M
a isolierter Punkt von M :⇔ a ∈ M , a kein Haufungspunkt von M ⇔ ∃U ∈U (a) U ∩M = {a}
37.19 Satz von Bolzano/WeierstraßC
a) Jede beschrankte Folge ∈ Rn (bzw. Cn) hat einen Haufungswert und somiteine konvergente Teilfolge.
b) Jede beschrankte unendliche MengeA ⊂ Rn (bzw. Cn) hat einen Haufungs-punkt.
Beweis: vgl. 11.8:
a) Sei (ak)k≥1 beschrankt in Rn (bzw. Cn), ak =
ak1...akn
⇒ (ak1)k≥1 ist
beschrankt in R, hat also eine konvergente Teilfolge(
akj(1)
)
j≥1, so dass
akj(1)
j→∞−−−→ a1.
Ebenso ist(
akj2
)
j≥1beschrankt in R, hat also eine konvergente Teilfolge
(
akj(2)
)
j≥1, so dass ak
j(2)
j→∞−−−→ a2 usw. Am Ende erhalt man eine Teil-
folge kj(n) =: kj , die Teilfolge aller vorangegangenen Folgen ist. Fur diesegilt:
akj(ν)
j→∞−−−→ aν (ν = 1, . . . , n)
228
a :=
a1...an
⇒ akj
j→∞−−−→ a in Rn bzw. Cn.
b) Wahle eine Folge (ak)k≥1 paarweise verschiedener Elemente ∈ A.
⇒ (ak)k≥1 ist beschrankt.a)⇒ ∃ konvergente Teilfolge
(akj
)
j≥1, so dass
akj
j→∞−−−→ a ∈ Rn (bzw. Cn). Alle akjsind paarweise verschieden⇒ a ist
Haufungspunkt von A. 2
37.20 Hauptsatz fur konvergente Folgen
Sei (ak)k≥1 eine Folge im Rn (bzw. Cn). Dann ist aquivalent: C
a) (ak)k≥1 konvergiert,
b) (ak)k≥1 ist Cauchy-Folge,
c) (ak)k≥1 ist beschrankt mit genau einem Haufungswert.
Beweis: wie in 11.10.
a)⇒b) 37.9.
b)⇒a) 37.12.
a)⇒c) 37.15 und 37.17.
c)⇒a) klar. 2
37.21 Schachtelungsprinzip von Georg Cantor
Seien X ein vollstandiger metrischer Raum, ∅ 6= An ⊂ X , An abgeschlossen(n ∈ N), An+1 ⊂ An, und es gelte limn→∞ diam (An) = 0. Dann gibt es genauein a ∈ X mit
⋂∞n=1An = {a}.
Beweis: Sei xn ∈ An (n ∈ N) (An 6= ∅!). Wir zeigen: (xn)n≥1 ist Cauchy-Folge. Dazu sei ε > 0. ⇒ ∃n0 ∈ N diam (An0) < ε. Seien n > m > n0 ⇒An ⊂ Am ⊂ An0 ⇒ d (xm, xn) < ε⇒ (xn)n≥1 ist Cauchy-Folge. X vollstandig⇒ ∃ a ∈ X mit xn
x→∞−−−→ a.Sei n ∈ N fest. An abgeschlossen und xk ∈ An fur alle k ≥ n.
37.7 b)⇒ a ∈ An (n ∈ N)⇒ a ∈∞⋂
n=1
An.
Sei b ⊂ X , b 6= a, δ := 12d(a, b) > 0.
⇒ ∃n0 ∈ N diam (An0) < δ
229
a ∈ An0 ⇒ An0 ⊂ Kδ(a)⇒ b /∈ An0 , b /∈∞⋂
n=1
An 2
230
38 Limites und Stetigkeit
38.1 Definition: Limes
Seien (X,S) , (Y,T ) Hausdorff-Raume, D ⊂ X , f : D → Y , a ∈ D, b ∈ Y .
limx→ax∈D
f(x) = b :⇔ ∀V ∈ U (b) ∃U ∈ U (a) f (D ∩ U) ⊂ V
vgl. 15.6
Folgerung: b ist eindeutig bestimmt, da X,Y Hausdorff-Raume.
38.2 ε-δ-Kriterium
Seien (X, d), (Y, d′) metrische Raume, D ⊂ X , f : D → Y , a ∈ D, b ∈ Y . Danngilt:
limx→ax∈D
f(x) = b⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, d(x, a) < δ d (f(x), b) < ε
Beweis:
limx→ax∈D
f(x) = b⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 f (D ∩Kδ(a)) ⊂ Kε(b)
⇔ Behauptung 2
38.3 Folgenkriterium
Voraussetzungen wie in 38.2. Dann gilt: limx→ax∈D
f(x) = b ⇔ Fur jede Folge
(an)n≥1 mit an ∈ D (n ∈ N), ann→∞−−−→ a gilt: f (an)n≥1
n→∞−−−→ b.
Beweis: Siehe 15.9 2
38.4 Definition: Stetigkeit
Seien X,Y topologische Raume, a ∈ X , f : X → Y . f heißt stetig in a :⇔
∀V ∈ U (f(a)) ∃U ∈ U (a) f(U) ⊂ V.
f stetig:⇔ f stetig in jedem Punkt von X .
231
38.5 Folgerungen
a) Sind X,Y Hausdorff-Raume, so gilt: f stetig in a⇔ limx→a f(x) = f(a).
b) Sind (X, d), (Y, d′) metrische Raume, so gilt: f stetig in a⇔
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ Kδ(a) d (f(x), f(a)) < ε
siehe 38.2.
c) Unter den Voraussetzungen von b) gilt: f stetig in a ⇔ Fur jede Folge(xn)n≥1 in X mit limn→∞ xn = a gilt: f (xn)
n→∞−−−→ f(a). (siehe 38.3)
38.6 Satz
Seien (X, d) ein metrischer Raum, f : X → Rn (bzw. Cn), f =
f1...fn
C
mit f1, . . . , fn : X → R (bzw. C), a ∈ X . Dann gilt: f stetig in a ⇔ ∀ j =1, . . . , n fj stetig in a.
Beweis: f stetig in a 38.5⇒ Fur jede Folge (xk)k≥1 in X mit limk→∞ xk = a gilt:
f (xk)k→∞−−−→ f(a)
37.4⇒ ∀ j = 1, . . . , n und fur jede Folge (xk)k≥1 in X mit limk→∞ xk = a gilt:
fj (xk)k→∞−−−→ fj(a)
38.5 c)⇔ ∀ j = 1, . . . , n fj stetig in a. 2
38.7 Satz
Die FunktionenC
f : Rn × Rn → Rn, (x, y)+7→ x+ y ∈ Rn,
f : R× Rn → Rn, (λ, x)·7→ λ · x ∈ Rn
mit x, y ∈ Rn, λ ∈ R sind stetig.
Beweis: Sei (a, b) ∈ Rn × Rn und gelte (xk, yk)k→∞−−−→ (a, b) konvergiere in
R2n.
37.4⇒ xk → a, yk → b37.5⇒ xk + yk → a+ b
⇒ Behauptung. 2
232
Warnung: Sei f : R2 → R so beschaffen, dass f (·, y) stetig fur jedes y ∈ Rund f (x, ·) stetig fur jedes x ∈ R. Dann heißt f stetig in jeder Variablen bzw.partiell stetig. Dann braucht f : R2 → R nicht stetig zu sein.
Beispiel: f(x, y) =
{ xyx2+y2
fur (x, y) 6= (0, 0),
0 fur (x, y) = (0, 0)⇒ f partiell stetig,
aber unstetig in (0, 0), da f(x, x) = 12 fur x 6= 0 und f(0, 0) = 0.
38.8 Satz
Seien X,Y, Z topologische Raume, a ∈ X , f : X → Y stetig in a, g : Y → Zstetig in f(a). Dann ist g ◦ f : X → Z stetig in a. Kurz: Die Komposition stetigerFunktionen ist stetig.
Beweis: Sei W ∈ U (g(f(a))), g stetig in f(a).
⇒ ∃V ∈ U (f(a)) g(V ) ⊂W
⇒ ∃U ∈ U (a) f(U) ⊂ V
⇒ g (f(U)) ⊂ g(V ) ⊂W 2
38.9 Satz
Seien X ein topologischer Raum, f, g : X → Rn, ϕ : X → R, a ∈ X
a) f, g stetig in a⇒ f + g stetig in a.
b) ϕ, f stetig in a⇒ ϕ · f stetig in a
Beweis:
a) f + g = ” + “ ◦ F , F : X → R2n = Rn × Rn, x 7→ (f(x), g(x)), F iststetig nach 38.6, ”+“ nach 38.7.⇒ f + g stetig nach 38.8.
b) analog. 2
38.10 Satz
Jede lineare Abbildung f : Rm → Rn ist stetig.
233
Beweis: Genugt nach 38.6 fur lineare Abbildungen f : Rm → R. Sei e1, . . . , emkanonische Basis von Rm, x =
∑mj=1 ξjej (ξj ∈ R)
⇒ |f(x)| =
∣∣∣∣∣∣
m∑
j=1
ξjf (ej)
∣∣∣∣∣∣
≤
m∑
j=1
|f (ej)|
︸ ︷︷ ︸
=:M
max {|ξj | : 1 ≤ j ≤ m}︸ ︷︷ ︸
‖x‖∞
= M · ‖x‖∞⇒ |f(x)− f(a)| = |f (x− a)| ≤M · ‖x− a‖∞
fur alle x, a ∈ Rm.⇒ f ist stetig in a, also f stetig auf Rm. 2
38.11 Satz
Seien X,Y topologische Raume, f : X → Y . Dann gilt: f stetig⇔ ∀V ⊂ Y , Voffen in Y : f−1(V ) ist offen in X .
Beweis:
”⇐“ Sei a ∈ X , V ∈ U (f(a)), OBdA V offen in Y . Voraussetzung⇒ f−1(V )offen in X und a ∈ f−1(V )
Warnung: Stetige Bilder offener Mengen brauchen nicht offen zu sein,Beispiel: f : R→ R konstant, also U := f−1(V ) ∈ U (a), f(U) ⊂ V ⇒ fstetig in a.
”⇒“ Sei V ⊂ Y offen in Y , a ∈ f−1(V ), f stetig ⇒ ∃U ∈ U (a) offen mitf(U) ⊂ V , d. h. es gibt eine offene Menge U ⊂ X mit a ∈ U ⊂ f−1(V )⇒f−1(V ) ist offen, denn jeder Punkt von f−1(V ) ist innerer Punkt. 2
38.12 Definition: Abstand
Sei (X, d) ein metrischer Raum, ∅ 6= A,B ⊂ X
d(x,A) := inf {d(x, y) : y ∈ A} =: Abstand des Punktes x von A
d(A,B) := inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} =: Abstand der Mengen A und B
38.13 Satz
Sei (X, d) ein metrischer Raum, ∅ 6= A ⊂ X , x, y ∈ X . Dann gilt:
a) d(x,A) = 0⇔ x ∈ A
b) |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y)
c) d (·, A) : X → R, x 7→ d(x,A) ist stetig,
234
Beweis:
a) d(x,A) = 0⇔ ∀n ∈ N ∃ an ∈ A d (x, an)1n
37.7⇒ x ∈ A
b) ∀ a ∈ A d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a)⇒ ∀ a ∈ A d(x,A) ≤ d(x, y) + d(y, a)⇒ d(x,A) ≤ d(x, y) + d(y,A)⇒ d(x,A)− d(y,A) ≤ d(x, y).Wegen der Symmetrie in x und y folgt daraus die Behauptung.
c) klar nach b) mit ε-δ-Kriterium (38.2). 2
235
39 Kompaktheit
39.1 Definition: Offene Uberdeckung
Sei X ein topologischer Raum, A ⊂ X , Uι ⊂ X (ι ∈ I). (Uι)ι∈I heißt offeneUberdeckung von A :⇔ Alle Uι sind offen mit A ⊂ ⋃ι∈I Uι.
Beispiel:
(i) (X) ist offene Uberdeckung von A.
(ii) Q = {rn, n ∈ N} sei eine Abzahlung von Q. (]rn − 2−n, rn + 2−n[)n∈N istoffene Uberdeckung von Q.
(iii) (]−n, n[)n∈N ist offene Uberdeckung von R.
39.2 Definition: Kompaktheit
Eine Teilmenge A des topologischen Raumes X heißt kompakt, wenn jede offeneUberdeckung vonA eine endliche Teiluberdeckung hat, d. h. wenn zu jeder offenenUberdeckung Uι (ι ∈ I) von A endliche viele Indizes ι1, . . . , ιn ∈ I existierenmit A ⊂ ⋃n
ν=1 Uιν .
Idee: Kompaktheit als Verallgemeinerung von Endlichkeit.
39.3 Beispiele
a) Q ist keine kompakte Teilmenge von R, siehe Beispiel 39.1 (ii), da die offeneUberdeckung keine endlichen Teiluberdeckungen hat.
b) R ist nicht kompakt (als Teilmenge von R) siehe Beispiel 39.1 (iii).
c) ]0, 1[ ist nicht kompakt, denn ]0, 1[ =⋃∞n=2
]0, 1− 1
n
[hat keine endliche
Teiluberdeckung.
d) Jede endliche Teilmenge von X ist kompakt.
39.4 Satz
Seien X ein Hausdorff-Raum, a, an ∈ X (n ∈ N), ann→∞−−−→ a. Dann ist A :=
{an, n ∈ N} ∪ {a} kompakt.
236
Beweis: Sei Uι (ι ∈ I) eine offene Uberdeckung von A.
⇒ ∃ ι0 ∈ I a ∈ Uι0
⇒ Uι0 ∈ U (a)
⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ Uι0Zu jedem k = 1, . . . , n0− 1 wahle ein ιk ∈ I mit ak ∈ Uιk (k = 1, . . . , n0 − 1)⇒ A ⊂ ⋃n0
ν=0 Uιν .⇒ A kompakt, denn (Uιν )ν=0,...,n0−1 ist endliche Teiluberdec-kung. 2
39.5 Beispiel
In 39.4 ist wesentlich, dass a ∈ A, z. B. A :={
1n , n ∈ N
}ist nicht kompakt, denn
dieses A hat die offene Uberdeckung(]
1n , 2[)
n∈N. 2
Bezeichnung: Fur a =
a1...an
, b =
b1...bn
∈ Rn bedeute a < b :⇔
∀ k = 1, . . . , n ak < bk
dto fur ”≤“.
[a, b] := {x ∈ Rn, a ≤ x ≤ b} =n∏
k=1
[ak, bk] :
abgeschlossener Quader im Rn.
39.6 Satz
Fur a, b ∈ Rn mit a < b ist der Quader [a, b] kompakt.
Beweis: Sei (Uι)ι∈I offene Uberdeckung von [a, b] =: Q. Beweis indirekt:Annahme: @ endliche Teiluberdeckung von Q. Wir konstruieren induktiv eine Fol-ge (Qν)ν≥0 von abgeschlossenen Quadern mit
(i) Q = Q0 ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ . . .
(ii) diam (Qν) = 2−ν · diamQ (ν ≥ 0), wobei Rn mit ‖·‖∞ versehen sei.
(iii) Qν wird nicht durch endlich viele Uι (ι ∈ E,E ⊂ I, E endlich) uberdeckt(ν ≥ 0)
237
Konstruktion:
ν = 0: Q0 := Q
ν → ν + 1: Sei Qν = [c, d] mit c, d ∈ Rn, c < d. Wir setzen fur k = 1, . . . , n:
[ck, dk] :=
[
ck,ck + dk
2
]
︸ ︷︷ ︸
I(1)k
∪[ck + dk
2, dk
]
︸ ︷︷ ︸
I(2)k
⇒ Qν =n∏
k=1
[ck, dk]
=⋃
ε1,...,εn∈{1,2}I
(ε1)1 × . . .× I(εn)
n
Das sind 2n Teilquader mit Durchmesser = 12diamQν . Qν wird nicht durch
endlich viele Uι (ι ∈ E,E ⊂ I endlich) uberdeckt.⇒ Mindestens einer der Teilquader I (ε1)
1 , . . . , I(εn)n wird nicht von endlich
vielenUι (ι ∈ E,E ⊂ I endlich) uberdeckt, d. h. es existieren ε1, . . . , εn ∈{1, 2}, so dass Qν+1 := I
(ε1)1 × . . .× I(εn)
n nicht von endlich vielen Uι uber-deckt wird.Qν leistet das Verlangte. (Bedingungen (i),(ii),(iii)), damit ist dieKonstruktion abgeschlossen.
37.21⇒ Es gibt genau ein z ∈ Rn mit {z} =⋂∞ν=0Qν .⇒ z ∈ Q0 = Q.⇒ ∃ ι0 ∈ I ,
so dass z ∈ Qι0 . Uι0 offen
⇒ ∃ ε > 0 Kε(z) ⊂ Uι0
Dabei wurde Kε(z) zu ‖ · ‖∞ gebildet.
⇒ ∃N ∈ N 2−ndiam (Q) = diam (QN ) < ε
a ∈ QN ⇒ QN ⊂ Kε(a) ⊂ Uι0 E
Das ist ein Widerspruch zur Bedingung 39.6 (iii). 2
39.7 Satz
Sei X ein topologischer Raum, K ⊂ X kompakt, A ⊂ K abgeschlossen. ⇒ Akompakt.
238
Beweis: Sei (Uι)ι∈I offene Uberdeckung von A. Sei α irgendein Index, α /∈ I ,
Vι :=
Uι fur ι ∈ IX\A︸ ︷︷ ︸
offen
fur ι = α , J := I ∪ {α}.⇒ (Vι)ι∈J ist offene Uberdeckung
von K. K kompakt
⇒ ∃ ι1, . . . , ιn ∈ I K ⊂n⋃
ν=1
Uιν ∪ (X\A)
⇒ A ⊂n⋃
ν=1
Uιν ⇒ Behauptung. 2
39.8 Satz von Ernst Heine und Emile Borel
(erstmals ausgesprochen 1894) Eine Teilmenge A ⊂ Rn ist genau dann kompakt,wenn sie beschrankt und abgeschlossen ist.
Beweis:
”⇒“ Sei A kompakt.
a) A ⊂ ⋃∞m=1Km(0) (= Rn). A kompakt ⇒ ∃N ∈ N A ⊂ KN (0)
⇒ A ist beschrankt.
b) Annahme: A sei nicht abgeschlossen.⇒ ∃ b ∈ A\A
⇒ A ⊂∞⋃
k=1
{
x ∈ Rn, ‖x− b‖∞ >1
k
}
︸ ︷︷ ︸
offen
(= Rn\{b})
A kompakt.⇒ ∃ endliche Teiluberdeckung
⇒ ∃N ∈ N A ⊂{
x ∈ Rn, ‖x− b‖∞ >1
N
}
E
Dies aber ist ein Widerspruch, denn b ∈ A.
”⇐“ A beschrankt⇒ ∃Q Quader mit Q ⊃ A 37.6⇒ Q kompakt. A abgeschlossen34.7⇒ A kompakt. 2
Bemerkung: ”⇒“ gilt oben sinngemaß auch in beliebigen metrischen Raumen.
39.9 Korollar
Sei A ⊂ R kompakt, A 6= ∅. Dann gibt es a, b ∈ A mit a = inf A(= minA),b = supA(= maxA).
239
Beweis: A kompakt⇒ A beschrankt⇒ supA, inf A existieren in R
⇒ ∃ (xk)k∈N , xk ∈ A limk→∞
xk = inf A
A abgeschlossen ⇒ limk→∞ xk =: a ∈ A ⇒ Behauptung fur Infimum. Supre-mum analog. 2
39.10 Satz
Seien X,Y topologische Raume, f : X → Y stetig, A ⊂ X kompakt. ⇒ f(A)kompakt, d. h. stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt.
Beweis: Sei (Vι)ι∈I eine offene Uberdeckung von f(A). 38.11⇒(f−1 (Vι)
)
ι∈I istoffene(!) Uberdeckung von A. A kompakt
⇒ ∃ ι1, . . . , ιn ∈ I A ⊂n⋃
ν=1
f−1 (Vιν )
⇒ f(A) ⊂ f(
n⋃
ν=1
f−1 (Vιν )
)
=n⋃
ν=1
f(f−1 (Vιν )
)⊂
n⋃
ν=1
Vιν 2
39.11 Korollar
Jede auf einem kompakten topologischen Raum X 6= ∅ definierte stetige Funktionf : X → R nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an, d. h. es gibt a, b ∈ X , sodass f(a) = inf {f(x), x ∈ X} = min f(X) und f(b) = sup {f(x), x ∈ X} =max f(X).
Beweis: 39.10 und 39.9. 2
39.12 Korollar
Sei (X, d) ein metrischer Raum, ∅ 6= A,K ⊂ X , A abgeschlossen, K kompakt,A ∩K 6= ∅.⇒ d(A,K) > 0
Beweis: f : X → R, f(x) = d(x,A) (x ∈ X)38.13⇒ f stetig f(x) >
0 (x ∈ K), da A ∩K 6= ∅, A abgeschlossen.⇒ d(x,A) > 0 (x ∈ K). Wegeninf f(K) < d(K,A) folgt die Behauptung mit 39.11, denn nach 39.11 existiert einp ∈ K mit inf f(K) = f(p) > 0. 2
39.13 Beispiel
A = R × {0}, B ={(x, 1
x
): x > 0
}sind beide abgeschlossen in R2, beide
disjunkt, aber d(A,B) = 0.
240
39.14 Definition: Gleichmaßige Stetigkeit im metrischen Raum
Seien (X, d), (Y, d′) metrische Raume, f : X → Y . Dann heißt f gleichmaßigstetig:⇔
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x, x′ ∈ X, d(x, x′) < δ d′(f(x), f(x′)
)< ε
39.15 Satz
Jede stetige Abbildung f : X → Y eines kompakten metrischen Raums (X, d) ineinen metrischen Raum (Y, d′) ist automatisch gleichmaßig stetig.
Beweis: Sei ε > 0. Dann gilt:
∀ a ∈ X ∃ δa > 0 ∀x ∈ Kδa(a) d′ (f(x), f(a)) <ε
2(
K 12δa
(a))
a∈Xist offene Uberdeckung von X . X kompakt
⇒ ∃ a1, . . . , an ∈ X X ⊂n⋃
ν=1
K 12δaν
(aν)
Sei δ := min{
12δaν , ν = 1, . . . , n
}> 0. Seien x, y ∈ X , d(x, y) < δ. Zu x
existiert p ∈ {1, . . . , n} mit d (x, ap) <12δap
⇒ d (y, ap) ≤ d(y, x) + d (x, ap) < δ +1
2δap ≤ δap
⇒ d′ (f(x), f(y)) ≤ d′ (f(x), f (ap))︸ ︷︷ ︸
< ε2
+ d′ (f (ap) , f(y))︸ ︷︷ ︸
< ε2
< ε 2
39.16 Satz von Ulysses Dini
Es seien X ein kompakter topologischer Raum, fn : X → R stetig fur n ∈ N und(fn)n≥1 konvergiere monoton gegen die stetige Grenzfunktion f : X → R. Dannkonvergiert (fn)n≥1 gleichmaßig gegen f .
Beweis: fn 7→ fn − f ⇒ OBdA kann f = 0 angenommen werden, ggf. fn 7→−fn ⇒ OBdA fn ↓ 0, fn stetig (n ∈ N). Zu zeigen: fn
n→∞−−−→glm.
0
Begrundung: Sei ε > 0. Zu jedem x ∈ X existiert ein n0(x) ∈ N mit0 ≤ fn0(x)(x) <
ε2 . fn0(x)(x) stetig in x
⇒ ∃Ux ∈ U (x) ∀ y ∈ Ux fn0(x)(y) < ε
241
Ux offen, X kompakt
⇒ X =⋃
x∈XUx ⇒ ∃ j ∈ {1, . . . , p} y ∈ Uxj
n ≥ N ≥ n0 (xj) fur dieses j.
⇒ 0 ≤ fn(y)fn↓≤ fn0(xj)(y) < ε
nach Wahl von Uxjund n0 (xj). Das gilt fur alle n ≥ N und alle y ∈ X ⇒
fnn→∞−−−→glm.
0. 2
242
Teil VIII
Differentialrechnung im Rn
40 Partielle Differenzierbarkeit
40.1 Definition: Partielle Differenzierbarkeit
Sei U ∈ Rn offen, a =
a1...an
∈ U , f : U → Rp.
a) f heißt in a partiell differenzierbar bzgl. der k-ten Koordinate, falls
Dkf(a) := limx→akx6=ak
f (a1, . . . , ak−1, x, ak+1, . . . , an)− f(a)
x− ak
= limh→0h6=0
f (a+ h · ek)− f(a)
h=:
∂f
∂xk(a)
=:partielle Ableitung von f in a bzgl. der k-ten Variablen existiert. Ist Uoffen, a ∈ U , so existiert ein δ > 0, so dass
(a1, . . . , ak−1, ak + h, ak+1, . . . , an)t ∈ U
fur alle h ∈ R mit |h| ≤ δ. Daher ist obige Limesbedingung sinnvoll. DieBedingung ist auch noch sinnvoll, falls a + hν · ek ∈ U fur eine Nullfollge(hν)ν≥1, hν 6= 0. Die Partielle Ableitung ist die Ableitung der partiellenAbbildung
]ak − δ, ak + δ[ 3 x 7→ f (a1, . . . , ak−1, x, ak+1, . . . , an)
an der Stelle ak (falls vorhanden. Im R2 also die Tangentensteigung vonf (a1, ·) in a2.
b) f : U → R einmal partielle differenzierbar:⇔ Dkf(a) existiert fur allea ∈ U und alle k = 1, . . . , n. Das liefert eine Abbildung Dkf : U → Rp.
c) f : U → Rp stetig partielle differenzierbar:⇔ f partiell differenzierbar undDkf : U → Rp stetig fur k = 1, . . . , n.
Rechenregeln gelten wie gehabt.
Folgerung: f : U → Rp partiell differenzierbar⇔ ∂fj
∂xkexistiert ∀ j = 1, . . . , p,
k = 1, . . . , n.
243
40.2 Beispiele
a) r : Rn → R,
r(x) := ‖x‖2 =
√√√√
n∑
j=1
x2j
ist in Rn\{0} stetig partiell differenzierbar mit ∂r∂xk
= xk
r (x 6= 0).
Beweis: Fur x 6= 0 ist
∂
∂xk
√
x21 + . . . ,+x2
n =2xk
2√
x21 + . . .+ x2
n
=xkr
2
b) Ist f : ]0,∞[→ R differenzierbar, so ist f ◦ r auf Rn\{0} partiell differen-zierbar mit
∂f(r)
∂xk= f ′(r)
xkr
(x 6= 0)
Beweis: Klar nach Kettenregel. 2
c) Eine partiell differenzierbare Funktion braucht nicht stetig zu sein!
Beispiel: f : R2 → R,
f(x, y) :=
{x·y
(x2+y2)2fur (x, y) 6= (0, 0),
0 fur (x, y) = (0, 0)
⇒ ∀ t 6= 0 f(t, t) =t2
(2t2)2=
1
4t2
t→0t6=0−−→∞,
also ist f in 0 unstetig. Aber: f ist in allen Punkten 6= (0, 0) ersichtlichpartiell differenzierbar, und fur x 6= 0 ist
f(x, 0)− f(0, 0)
x= 0, also D1f(0, 0) = 0 = D2f(0, 0)
40.3 Definition: Gradient, Divergenz
Sei U ⊂ Rn offen, f : U → R partiell differenzierbar, v : U → Rn partielldifferenzierbar.
a) gradf : U → Rn, gradf :
D1f...
Dnf
heißt der Gradient von f .
b) div v : U → R, div v :=∑n
k=1Dkvk heißt die Divergenz von v.
244
40.4 Beispiele
a) f : ]0,∞[→ R sei differenzierbar.40.2 b)⇒ gradf(r) = f ′(r) · xr fur x 6= 0.
Spezialfall: f(r) = 1r : Das Coulomb-Feld und das Gravitationsfeld sind Gra-
dientenfelder.
b) Sei f : ]0,∞[→ R differenzierbar.
⇒ div (f(r) · x) = n · f(r) + r · f ′(r) (x 6= 0)
Beweis:
1.) 40.2 b)
2.)∂
∂xkf(r) · xk =
(∂f(r)
∂xk
)
· xk + f(r)40.2 b)
= f ′(r)x2k
r+ f(r), also
div (f(r) · x) = n · f(r) + r · f ′(r). 2
40.5 Rechenregeln
a) grad(fg) = g · gradf + f · gradg (Produktregel), falls auch g : U → Rpartiell differenzierbar ist.
b) div (f · v) = 〈gradf, v〉+ f · div v.
Beweis:
a) klar
b) Hier bezeichne (f · v)k die k-te Koordinate von f · v.
∂(f · v)k∂xk
=∂f
∂xk· vk + f · ∂vk
∂xk. 2
40.6 Definition: Mehrfach partielle Differenzierbarkeit
Seien U ⊂ Rn, f : U → Rp partiell differenzierbar.
a) f zweimal partiell differenzierbar:⇔ Alle Dkf : U → Rp (k = 1, . . . , n)sind partiell differenzierbar. Dann setzt man
DjDkf := Dj (Dkf) =:∂
∂xj
(∂
∂xkf
)
Entsprechend: ν-mal partiell differenzierbar:
DiνDiν−1 · . . . ·Di1f := Diν
(Diν−1 · . . . ·Di1
)f
=:∂
∂xiν
(∂
∂xiν−1
· . . . · ∂
∂xi1f
)
.
245
b) f ν-mal stetig partiell differenzierbar: ⇔ f ν-mal partiell differenzierbarund fur 1 ≤ µ ≤ ν sind alle partiellen Ableitungen µ-ter Ordnung von fstetig. Dann folgt die Stetigkeit von f selbst (siehe 41.6). Fur ν = 0 bedeute
”f ν-mal stetig partiell differenzierbar“ einfach: f stetig.
40.7 Satz
Seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp zweimal stetig partiell differenzierbar. Danngilt:
DjDkf = DkDjf (j, k = 1, . . . , n)
Beweis: OBdA sei p = 1, n = 2. Im Fall j = k ist nichts zu tun. Sei also j = 1,
k = 2. Sei α :=
(ab
)
∈ U ⊂ R2 und r > 0 so klein, dass
Kr(α) =
{(xy
)
∈ R2 : (x− a)2 + (y − b)2 < r2}
⊂ U
Sei(xy
)
∈ Kr(α), a < x, b < y.
⇒ f(x, y)− f(a, y)− f(x, b) + f(a, b)
Wende den Mittelwertsatz an auf x 7→ f(x, y)− f(x, b):
= (x− a) (D1f (ξ, y)−D1f (ξ, b))
und bei nochmaliger Anwendung des Mittelwertsatzes auf y 7→ f(x, y)− f(a, y):
= (x− a)(y − b)D2D1f (ξ, η)
mit einem ξ ∈ ]a, x[ und einem η ∈ ]b, y[.Ebenso erhalt man, indem man zuerst den Mittelwertsatz auf y 7→ f(x, y)−f(a, y)und anschließend auf das 1. Argument anwendet:
f(x, y)− f(a, y)− f(x, b) + f(a, b) = (x− a)(y − b)D1D2f(ξ′, η′
)
mit einem ξ′ ∈ ]a, x[ und einem η′ ∈ ]b, y[.
⇒ D1D2f(ξ′, η′
)= D2D1f (ξ, η) .
(x, y) 7→ (a, b)⇒ (ξ, η)→ (a, b),(ξ′, η′
)→ (a, b)
und Stetigkeit der Ableitungen D2D1f , D1D2f
30.5,34.6⇒ D1D2f(a, b) = D2D1f(a, b) 2
246
40.8 Korollar
Seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp ν-mal stetig partiell differenzierbar. Dann giltfur jede Permutation π ∈ P (ν) und alle i1, . . . , iν ∈ {1, . . . , n}:
Diν · . . . ·Di2Di1f = Diπ(ν)· . . . ·Diπ(2)
Diπ(1)f.
Beweis: π ist Produkt von Transpositionen benachbarter Ziffern. Mit 40.7 folgtdie Behauptung. 2
Schreibweise: Bei stetiger partieller Differenzierbarkeit braucht man also auf dieReihenfolge der Differentiation nicht zu achten, und man schreibt:
DjDkf =∂2f
∂xj∂xk,
Diν · . . . ·Di1f =∂νf
∂xiν · . . . · ∂xi1etc.
40.9 Definition: Laplace-Operator, harmonische Funktionen
Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rp zweimal stetig partiell differenzierbar.
∆f := div (gradf) =n∑
j=1
∂2f
∂x2j
∆ :=n∑
j=1
∂2
∂x2j
heißt Laplace-Operator.
f heißt harmonisch oder Potentialfunktion:⇔ f 2-mal stetig partiell differenzier-bar und ∆f = 0
︸ ︷︷ ︸
Potentialgleichung
.
40.10 Beispiel
Sei f : ]0,∞[→ R zweimal stetig differenzierbar. Dann ist
∆f(r) = f ′′(r) +n− 1
rf ′(r) (x 6= 0)
mit dem r aus 40.2 a). Speziell:
∆ log r = 0 fur n = 2,
∆1
rn−2= 0 fur n ≥ 3
n = 3: 1r = Coulomb-Potential oder Gravitationspotential nach Isaac Newton.
247
Beweis: Nach 40.4 a) gilt:
gradf(r) =f ′(r)r
x
40.4 b)⇒ div (gradf(r)) = nf ′(r)r
+ rd
dr
(f ′(r)r
)
= f ′′(r) +n− 1
rf ′(r). 2
248
41 Totale Differenzierbarkeit
Motivation: Sei I ⊂ R ein offenes Intervall, f : I → R differenzierbar in a ∈ I .
⇔ f ′(a) := limx→ax6=a
f(x)− f(a)
x− a
existiert. Wir setzen
ϕ(x) :=
{f(x)−f(a)
x−a − f ′(a) fur x 6= a,
0 fur x = a
Dann ist
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)︸ ︷︷ ︸
affine Funktion
+ (x− a)ϕ(x)︸ ︷︷ ︸
Fehlerterm
mit einer Funktion ϕ : I → R, die in a stetig ist, ϕ(a) = 0. Jede in a differen-zierbare Funktion lasst sich also durch eine affine Funktion (d. h. beschreibt eineGerade) in der Umgebung von a ”gut approximieren“.
41.1 Definition: Totale Differenzierbarkeit
Es seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp, a ∈ U . f heißt in a (total) differenzierbar:⇔∃ lineare Abbildung T : Rn → Rp und es gibt eine Funktion ϕ : U → Rp, so dass OBdA im folgenden
stets ‖ · ‖ = ‖ · ‖2f(x) = f(a) + T (x− a) + ‖x− a‖ϕ(x),
limx→a
ϕ(x) = 0.
f heißt (total) differenzierbar in U :⇔ f in jedem Punkt von U total differenzier-bar.
41.2 Folgerungen
a) n = p = 1: f total differenzierbar in a ⇔ f differenzierbar in a im Sinnevon Analysis I.
b) f total differenzierbar in a⇒ f stetig in a.
c) Zu jeder linearen Abbildung T : Rn → Rp existiert eine Matrix (αi,k)i=1,...,pk=1,...,n
,
so dass
T (x) =
α1,1 · · · α1,n...
...αp,1 · · · αp,n
x1...xn
︸ ︷︷ ︸
p×n
(∈ Rp)
249
Dabei ist Tek =∑n
j=1 αj,kej , d. h. in der k-ten Spalte der Matrix stehen dieKoordinaten von Tek. Mit
f =
f1...fp
, ϕ =
ϕ1...ϕp
ist dann die Gleichung
f(x) = f(a) + T (x− a) + ‖x− a‖ϕ(x)
gleichbedeutend mit
fi(x) = fi(a) +n∑
k=1
αi,k (xk − ak) + ‖x− a‖ϕi(x)
fur i = 1, . . . , p. D. h. f total differenzierbar in a ⇔ f1, . . . , fp total diffe-renzierbar in a. Im folgenden unterscheiden wir nicht zwischen der linearenAbbildung T und der zugehorigen Matrix und schreiben einfach
T = (αi,k)i=1,...,pk=1,...,n
Dabei legen wir stets die kanonische Basis zugrunde.
41.3 Definition: Funktionalmatrix
Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rp und f sei in a ∈ U partiell differenzierbar. Dannheißt
(Df)(a) :=
(∂fi∂xj
)
i=1,...,pj=1,...,n
= ((D1f) (a), . . . , (Dnf) (a))
die Funktionalmatrix oder Jacobische Matrix oder das Differential von f in a.Spezialfall: p = 1: (Df)(a) = ((gradf) (a))t
Ist f in U partiell differenzierbar, so sei
Df : U → Mat (p× n,R) , a 7→ (Df)(a).
41.4 Satz
Sei U ⊂ Rn offen, und f : U → Rp sei in a ∈ U total differenzierbar:
f(x) = f(a) + T (x− a) + ‖x− a‖ϕ(x)
mit einer linearen Abbildung T : Rn → Rp und mit einer in a stetigen Funktionϕ : U → Rp mit ϕ(a) = 0. Dann ist f in a partiell differenzierbar, T ist eindeutigbestimmt, und es gilt:
T = (Df)(a).
250
Beweis:
∀ i = 1, . . . , p fi(x) = fi(a) +n∑
k=1
αi,k (xk − ak) + ‖x− a‖ϕi(x),
T = (αi,k)i=1,...,pj=1,...,n
Sei 0 6= t, |t| < δ hinreichend klein.
⇒ fi (a+ t · ej)− fi(a)t
= αi,j +‖t · ej‖ϕi (a+ t · ej)
t
= αi,j + ‖ej‖|t|t
︸ ︷︷ ︸
beschrankt
ϕi (a+ t · ej)︸ ︷︷ ︸
t→0−−→0
t→0t6=0−−→ αi,j
⇒ ∂fi∂xj
(a) existiert und ist = αi,j . 2
Ergebnis: f total differenzierbar⇒ f partiell differenzierbar und stetig. f parti-ell differenzierbar ; f total differenzierbar, denn f braucht nicht stetig zu sein!
41.5 Beispiele
a) Sei A = (αi,j)i=1,...,pj=1,...,n
∈ Rp×n, f : Rn → Rp, f(x) := A · x (x ∈ Rn).
⇒ f total differenzierbar und Df = A.
Begrundung: f(x) = A ·a+A(x−a) = f(a)+A(x−a)+0‖x−a‖.2
b) Sei A = (αi,j)i=1,...,nj=1,...,n
∈ Rn×n, f : Rn → R, f(x) := 〈Ax, x〉, wobei 〈·, ·〉das kanonische Skalarprodukt sei.
⇒ f(x) = 〈Ax, a〉 = 〈A (a+ (x− a)) , a+ (x− a)〉
= 〈Aa, a〉+ 〈A(x− a), a〉+ 〈Aa, x− a〉+ 〈A(x− a), x− a〉x6=a= f(a) +
((A+At
)a)t
︸ ︷︷ ︸
=:T, Zeilenvektor
(x− a)︸ ︷︷ ︸
Spaltenvektor
+‖x− a‖ ‖x− a‖f(
x− a‖x− a‖
)
︸ ︷︷ ︸
=:ϕ(x)
⇒ f stetig, also auf der Einheitssphare (kompakt) beschrankt.
⇒ ϕ(x)x→a−−−→ 0 =: ϕ(a)
⇒ f ist in a differenzierbar mit
(Df)(a) =((A+At
)(a))t. 2
251
41.6 Satz
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rp partiell differenzierbar, und Df sei in a stetig.Dann ist f in a total differenzierbar. Insbesondere ist f in a stetig.
Ergebnis: f stetig partiell differenzierbar⇒ f total differenzierbar⇒ f stetig.
Bezeichnungen:
Ck(U) := {f : U → R, f k-mal stetig partiell differenzierbar} (k ≥ 1)
C0(U) := C(U) := {f : U → R, f stetig}
C∞(U) :=∞⋂
k=0
Ck(U)
Beweis: Nach 41.2 c) kann OBdA p = 1 angenommen werden. Seien a ∈ U ,δ > 0 so klein, dass
{x ∈ Rn, ‖x− a‖∞ < δ} ⊂ U
Sei nun ‖x− a‖∞ < δ.
f(x)− f(a) =n∑
k=1
x1...
xk−1
xkak+1
...an
︸ ︷︷ ︸
=f(x) fur k=n
−
x1...
xk−1
akak+1
...an
︸ ︷︷ ︸
=f(a) fur k=1
22.4=
n∑
k=1
(Dkf)
x1...
xk−1
ξkak+1
...an
· (xk − ak)
252
mit einem ξk zwischen xk und ak, d. h. |ξk − ak| < δ.
x6=a=
n∑
k=1
(Dkf) (a)·(xk − ak)+‖x−a‖·n∑
k=1
(Dkf)
x1...
xk−1
ξkak+1
...an
− (Dkf) (a)
· (xk − ak)‖x− a‖
︸ ︷︷ ︸
=:ϕ(x) fur x6=a
und hier gilt:
limx→a
ϕ(x) = 0 =: ϕ(a)
wegen der Stetigkeit von Df in a. 2
41.7 Definition: Stetige Differenzierbarkeit
Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rp, f heißt stetig differenzierbar:⇔ f (total) diffe-renzierbar und Df : U → Mat (p× n,R) stetig, d. h. koordinatenweise stetig.
41.8 Korollar
Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rp. Dann gilt:f stetig partiell differenzierbar⇔ f stetig differenzierbar.
Beweis:
”⇐“ 41.4
”⇒“ f differenzierbar nach 41.6, und nach Voraussetzung ist Df stetig. 2
41.9 Kettenregel
Seien U ⊂ Rm, V ⊂ Rn offen, f : U → V differenzierbar in a ∈ U , g : V → Rp
differenzierbar in b := f(a) ∈ V . Dann ist h := g ◦ f : U → Rp differenzierbar ina und es gilt:
(Dh)(a)︸ ︷︷ ︸
p×m
= (Dg) (f(a))︸ ︷︷ ︸
p×n
· (Df)(a)︸ ︷︷ ︸
n×m
,
∂hi∂xk
(a) =n∑
j=1
∂gi∂yj
(f(a)) · ∂fj∂xk
(a)
(i = 1, . . . , pk = 1, . . . ,m
)
253
Beweis: g differenzierbar in b := f(a) ∈ V .
⇒ g(y) = g(b) + ((Dg)(b)) · (y − b) + ‖y − b‖ · ψ(y) (y ∈ V )
mit ψ : V → Rp, limy→b ψ(y) = 0. Setze y := f(x).
⇒ ∀x ∈ U h(x) = g (f(x))
= g(f(a)︸︷︷︸
=b
) + ((Df)(a)) (x− a) + ‖x− a‖ · ϕ(x)︸ ︷︷ ︸
=y−b
= g(b) + ((Dg)(b)) ((Df)(a)) · (x− a) + ‖x− a‖ · ϕ(x)
+ ‖((Df)(a)) · (x− a) + ‖x− a‖ · ϕ(x)‖ · ψ (f(x))
x6=a= h(a) + ((Dg)(b)) ((Df)(a)) · (x− a)
+‖x−a‖·
((Dg)(b)ϕ(x))︸ ︷︷ ︸
x→a−−−→0
+
∥∥∥∥(Df)(a)
x− a‖x− a‖ + ϕ(x)
∥∥∥∥
︸ ︷︷ ︸
beschrankt fur x→a
· ψ (f(x))︸ ︷︷ ︸
x→a−−−→0, da f stetig in a
⇒ Behauptung. 2
41.10 Definition: Richtungsableitung
Sei U ⊂ Rn offen, v ∈ Rn, f : U → Rp, a ∈ u. Definiere die Richtungsableitungvon f in a in Richtung v als
(Dvf) (a) := limt→0t6=0
f(a+ tv)− f(a)
t,
falls dieser Limes existiert.
Beispiel: Dejf = Djf , falls existent.
41.11 Satz
Sei U ∈ Rn offen, a ∈ U , f : U → R in a differenzierbar, v ∈ Rn. Dann hat f ina eine Richtungsableitung und es gilt:
(Dvf) (a) = 〈v, gradf(a)〉
entsprechend bei f : U → Rp fur alle Koordinatenfunktionen.
254
Beweis: Wahle ε > 0 so klein, dass fur g : ]−ε, ε[ → Rn, g(t) := a + tv(|t| < ε) gilt:
g (]−ε, ε[) ⊂ U,
Setze h := f ◦ g : ]−ε, ε[→ R. 41.9⇒ h ist differenzierbar in 0 und es gilt:
(Dvf) (a) =∂h
∂t(0) =
n∑
j=1
∂f
∂xj(a) · ∂gj
∂t︸︷︷︸
vj
= 〈gradf(a), v〉 2
41.12 Korollar
In 41.11 gilt:
sup {|(Dvf) (a)| , v ∈ Rn mit ‖v‖2 = 1} = ‖gradf(a)‖2 ,
d. h. gradf(a) gibt die Richtung und Große des starksten Anstiegs oder Abfallsvon f an.
Beweis:
|〈v, gradf(a)〉|28.5≤ ‖v‖2 · ‖gradf(a)‖2
Dabei gilt ”=“ nur, wenn die Vektoren linear abhangig sind. 2
255
42 Mittelwertsatz und Taylorsche Formel
42.1 Mittelwertsatz
Seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp differenzierbar, a, b ∈ U , und es gelte:
Sa,b := {a+ (b− a)t : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ U.
Dann gibt es ein ξ ∈ ]0, 1[, so dass
‖f(b)− f(a)‖22 =
⟨
Df (a+ ξ(b− a))︸ ︷︷ ︸
p×n
(b− a)︸ ︷︷ ︸
n×1
, f(b)− f(a)︸ ︷︷ ︸
p×1
⟩
Insbesondere ist
‖f(b)− f(a)‖2 ≤ sup {‖(Df) (a+ t(b− a)) (b− a)‖2 , 0 ≤ t ≤ 1}
Zusatzbemerkung: Wir statten hier Rn und Rp jeweils mit der entsprechendenNorm ‖·‖2 aus. Fur T ∈ Hom (Rn,Rp) sei
‖T‖2 := sup
‖Tx‖2, x ∈ Rn, ‖x‖ ≤ 1︸ ︷︷ ︸
abg. Einh.-Kugel, kompakt
= max {‖Tx‖2 x ∈ Rn, ‖x‖2 ≤ 1}Dies definiert eine Norm auf Hom (Rn,Rp).
⇒ ∀x ∈ Rn, x 6= 0 ‖Tx‖2 = ‖x‖2 ·∥∥∥∥T
(x
‖x‖2
)∥∥∥∥
2
≤ ‖T‖2 · ‖x‖2
Diese Ungleichung gilt ohne den Mittelterm auch fur x = 0.
⇒ ∀x ∈ Rn ‖Tx‖2 ≤ ‖T‖2 · ‖x‖2 (18)
Ist z. B. bzgl. der Standardbasis T = (αi,j)i=1,...,pj=1,...,n
, so gilt:
‖T‖22 =
p∑
i=1
n∑
j=1
αi,jxj
2
28.5≤
p∑
i=1
n∑
j=1
α2i,j
n∑
j=1
x2j
︸ ︷︷ ︸
‖x‖2
≤
∑
1≤i≤p1≤j≤n
(αi,j)2
‖x‖2
256
⇒ ‖T‖2 ≤√√√√
∑
1≤i≤p1≤j≤n
(αi,j)2 (19)
Fur p = 1 gilt hier:
T = (α1, . . . , αn) (1× n-Matrix) ‖T‖2 = ‖α‖2 (20)
In 42.1 gilt also:
‖f(b)− f(a)‖ ≤ sup {‖(Df) (a+ t(b− a))‖2 , 0 ≤ t ≤ 1} · ‖b− a‖2 (21)
Beweis: g : [0, 1]→ R, g(t) := 〈f (a+ t(b− a)) , f(b)− f(a)〉 (0 ≤ t ≤ 1).g ist wohldefiniert. ⇒ g ist stetig und differenzierbar auf ]0, 1[ (lt. Kettenregel41.9), denn fur i = 1, . . . , p ist
]0, 1[→ U → R, t 7→ a+ t(b− a) 7→ fi (a+ t(b− a))
differenzierbar. Dann liefert der Mittelwertsatz aus Analysis I (22.4):
∃ ξ ∈ ]0, 1[ g(1)− g(0) = g′(ξ)
Hier ist
g(1)−g(0) = ‖f(b)− f(a)‖22 , g′(t) =
⟨d
dtf (a+ t(b− a)) , f(b)− f(a)
⟩
41.9=
⟨
(Df) (a+ t(b− a))︸ ︷︷ ︸
p×n
(b− a)︸ ︷︷ ︸
n×1︸ ︷︷ ︸
p×1, d. h. ∈ Rp
, f(b)− f(a)
⟩
22.4⇒ ‖f(b)− f(a)‖22 = 〈(Df) (a+ ξ(b− a)) (b− a), f(b)− f(a)〉28.5≤ ‖(Df) (a+ ξ(b− a)) (b− a)‖2 · ‖f(b)− f(a)‖2
(18)⇒ ‖f(b)− f(a)‖2 ≤ ‖(Df) (a+ ξ(b− a))‖2 · ‖b− a‖2 2
42.2 Korollar
Voraussetzungen wie in 42.1, p = 1 und f sei stetig differenzierbar.
⇒ |f(b)− f(a)| ≤ max {‖gradf(x)‖2 , x ∈ Sa,b} · ‖b− a‖2
Beweis: Ungleichungen (20) und (21). 2
257
42.3 Definition: (Polygon-)zusammenhangend
Sei U ⊂ Rn offen. U heißt (Polygon-)zusammenhangend:⇔
∀ a, b ∈ U ∃ Streckenzug von a nach b in U :⇔
∀ a, b ∈ U ∃ a = x0, . . . , xr = b ∈ U ∀ ν = 1, . . . , r Sxν−1,xν ⊂ U
42.4 Korollar
Seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp partiell differenzierbar, U zusammenhangend,Df = 0. Dann ist f konstant.
Warnung: Die Behauptung ist falsch, wenn U nicht zusammenhangend ist!
Beweis: Seien a, b ∈ U ⇒ ∃ a = x0, . . . , xr = b ∈ U wie in 42.3. Df = 0
42.1⇒ ‖f (xν) f (xν−1)‖ = 0 (ν = 1, . . . , r)
⇒ f(a) = f (x0) = f (x1) = . . . = f(b)
a, b ∈ U beliebig⇒ f konstant. 2
Bemerkung: Df = 0 ⇒ f ist automatisch stetig partiell differenzierbar, alsodifferenzierbar, also ist der Mittelwertsatz (42.1) anwendbar.
42.5 Definition: Multiindizes
Fur α =
α1...αn
∈ (N0)
n setze:
‖α‖ := α1 + . . .+ αn,
α! := α1! · . . . · αn!,
Dαf :=∂|α|f
∂α1x1 · . . . · ∂αnxn,
falls f |α|-mal stetig differenzierbar ist.
xα := xα11 · . . . · xαn
n fur x =
x1...xn
∈ Rn
258
42.6 Taylorsche Formel
Seien U ⊂ Rn offen, f ∈ Ck+1(U), a, x ∈ U ,
Sa,x := {a+ t(x− a), 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ U
Dann gilt die Taylorsche Formel:
f(x) =∑
|α|≤kα∈(N0)n
Dαf(a)
α!(x− a)α +Rk+1(x, a),
wobei sich das sog. Restglied Rk+1(x, a) schreiben lasst in der Form:
Rk+1(x, a) =∑
|α|=k+1α∈(N0)n
Dαf (a+ ξ(x− a))α!
(x− a)α
als sog. Restglied von Lagrange mit geeignetem ξ ∈ ]0, 1[.
Beweis: Sei I ⊃ [0, 1] ein offenes Intervall mit (a+ t(x− a)) ⊂ U fur allet ∈ I . Setze g : I → R, g(t) := f (a+ t(x− a)) (t ∈ I).⇒ g(0) = f(a) undnach der Kettenregel (41.9):
g′(t) =n∑
i1=1
Di1f (a+ t(x− a)) (xi1 − ai1)
=∑
|α|=1α∈(N0)
n
Dαf (a+ t(x− a)) (x− a)α
und ebenfalls nach Kettenregel (41.9)
g′′(t) =n∑
i2=1
n∑
i1=1
Di2Di1f (a+ t(x− a)) (xi1 − ai1) (xi2 − ai2)
=∑
|α|=2α∈(N0)
n
2!
α!Dαf (a+ t(x− a)) (x− a)α
Allgemein:
g(ν)(t) =n∑
iν=1
. . .n∑
i1=1
Diν ·. . .·Di1f (a+ t(x− a)) (xi1 − ai1)·. . .·(xiν − aiν )
=∑
|α|=να∈(N0)
n
ν!
α!Dαf (a+ t(x− a)) (x− a)α ,
259
denn unter i1, . . . , iν kommt die Zahl 1 α1-mal, die Zahl 2 α2-mal,. . . , die Zahl nαn-mal vor. Dann ist
Diν · . . . ·Di1f (a+ t(x− a)) (xi1 − ai1) · . . . · (xiν − aiν )
= Dαf (a+ t(x− a)) (x− a)α.Zu gegebenem α ∈ (N0)
n gibt es genau ν!α! solche ν-Tupel i1, . . . , iν . Nach 25.3
und 25.4 folgt damit:
f(x) = g(1) =k∑
ν=0
g(ν)(0)
ν!+g(k+1)(ξ)
(k + 1)!
mit ξ ∈ ]0, 1[
=∑
|α|≤kα∈(N0)n
Dαf(a)
α!(x− a)α +
∑
|α|=k+1α∈(N0)
n
Dαf (a+ ξ(x− a))α!
(x− a)α 2
42.7 Korollar
Sei U ⊂ Rn offen, a ∈ U , Kδ(a) ⊂ U (δ > 0), f ∈ Ck(U) (k ∈ N). Danngilt fur alle x ∈ Kδ(a):
f(x) =∑
|α|≤k
Dαf(a)
α!(x− a)α + ‖x− a‖k2 ϕ(x)
mit einer Funktion ϕ : Kδ(a)→ R mit ϕ(x)x→a−−−→ 0.
Beweis: 42.6⇒ Fur alle x ∈ Kδ(a) gilt:
f(x) =∑
|α|≤k−1
Dαf(a)
α!(x− a)α +
∑
|α|=k
Dαf (a+ ξ(x− a))α!
(x− a)α
x6=a⇒∑
|α|≤k
Dαf(a)
α!(x−a)α+‖x− a‖k2
∑
|α|=k
1
α!(Dαf (a+ ξ(x− a))−Dαf(a))
(x− a)α‖x− a‖k2
︸ ︷︷ ︸
=:ϕ(x) fur x6=a∣∣∣∣
(x− a)α‖x− a‖k2
∣∣∣∣≤ |x1 − a1|α1 · . . . · |xn − an|αn
(max {xj − aj , 1 ≤ j ≤ n})k≤ 1
fur α = k und wegen der Stetigkeit von Dαf fur alle α mit |α| = k.
⇒ limx→ax6=a
ϕ(x) = 0 =: ϕ(a) 2
42.7 dient in 43 zur Untersuchung von f auf Maxima und Minima fur k = 2.
260
43 Lokale Extrema
43.1 Definition: Lokale Extrema
Sei U ⊂ Rn offen, a ∈ U , f : U → R.
a) f hat in a ein lokales Maximum bzw. Minimum:⇔
∃V ∈ U (a), V ⊂ U ∀x ∈ V{f(x) ≤ f(a) bzw.f(x) ≥ f(a)
b) f hat in a ein isoliertes lokales Maximum bzw. Minimum:⇔
∃V ∈ U (a), V ⊂ U ∀x ∈ V{f(x) ≤ f(a) bzw.f(x) ≥ f(a)
,
wobei ”=“ nur fur x = a gilt.
c) f hat in a ein lokales Extremum:⇔ f hat in a ein lokales Maximum oderMinimum.
d) f hat in a ein isoliertes lokales Extremum:⇔ f hat in a ein isoliertes lokalesMaximum oder Minimum.
43.2 Satz
Sei U ⊂ Rn offen, f : U → R partiell differenzierbar und habe in a ∈ U einlokales Extremum.⇒ gradf(a) = 0.
Beweis: t 7→ f (a+ t · ej) hat in 0 ein lokales Extremum (t ∈ ]−ε, ε[, ε hinrei-chend klein), also
∂
∂tf (a+ t · ej) = Djf(a) = 0 (j = 1, . . . , n) 2
Bemerkung: Ebenso Dvf(a) = 0 fur alle v ∈ Rn, falls alle Richtungsableitun-gen von f in a existieren.
43.3 Satz
Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ C2(U), a ∈ U , Kδ(a) ⊂ U (δ > 0). Dann gilt fur allex ∈ Kδ(a):
f(x) = f(a)+〈gradf(a), x− a〉+1
2〈(Hess f(a)) (x− a), x− a〉+‖x−a‖22ϕ(x)
mit der Hesseschen Matrix (symmetrische Matrix)
Hess f(a) := (DiDjf(a))1≤i≤n1≤j≤n
und mit einer Funktion ϕ : Kδ(a)→ R mit ϕ(x)x→a−−−→ 0.
261
Beweis: 42.7 liefert:
∑
|α|=1
Dαf(a)
α!(x− a)α =
n∑
j=1
(Djf(a)) (xj − aj) = 〈gradf(a), x− a〉 ,
∑
|α|=2
Dαf(a)
α!(x− a)α 42.6
=1
2
n∑
i,j=1
(DiDjf) (a) (xi − ai) (xj − aj)
=1
2〈Hess f(a)(x− a), x− a〉 2
43.4 Definition: Definitheit
Sei A = (αi,j)1≤i≤n1≤j≤n
eine symmetrische (d. h. A = At) Matrix.
a) A heißt positiv definit:⇔ ∀x ∈ Rn − {0} 〈Ax, x〉 > 0
b) A heißt positiv semidefinit:⇔ ∀x ∈ Rn 〈Ax, x〉 ≥ 0
c) A heißt negativ definit:⇔ ∀x ∈ Rn − {0} 〈Ax, x〉 < 0
d) A heißt negativ semidefinit:⇔ ∀x ∈ Rn 〈Ax, x〉 ≤ 0
e) A heißt indefinit:⇔ ∃x ∈ Rn 〈Ax, x〉 > 0 ∧ ∃ y ∈ Rn 〈Ay, y〉 < 0
43.5 Satz
Zu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Mat (n,R) existiert eine Orthonormalbasisv1, . . . , vn ∈ Rn, und es existieren λ1, . . . , λn ∈ R, die sog. Eigenwerte von A, sodass Avj = λjvj ∀ j = 1, . . . , n.
Beweis: Siehe bei [Bos00], S. 162 oder [Koe87], S. 194, Satz B.
43.6 Satz
Seu A ∈ Mat (n,R) symmetrisch. Dann gilt in den Bezeichnungen von 43.5:
a) A positiv definit⇔ λ1, . . . , λn > 0
b) A positiv semidefinit⇔ λ1, . . . , λn ≥ 0
c) A negativ definit⇔ λ1, . . . , λn < 0
d) A negativ semidefinit⇔ λ1, . . . , λn ≤ 0
e) A indefinit⇔ ∃ i, j ∈ {1, . . . , n} λi > 0, λj < 0
Ausfuhrliche Charakterisierungen finden sich bei [Koe87], S. 195.
262
Beweis: Jedes x ∈ Rn lasst sich entwickeln nach den Vektoren einer Orthonor-malbasis v1, . . . , vn von Rn.
x =n∑
j=1
〈x, vj〉 vj
Wahle jetzt v1, . . . , vn als Orthonormalbasis von Eigenvektoren von A.
〈Ax, x〉 =⟨
n∑
j=1
λj 〈x, vj〉 vj ,n∑
k=1
〈x, vk〉 vk⟩
=
n∑
j=1
λj 〈x, vj〉2︸ ︷︷ ︸
≥0
(22)
Damit folgt die Behauptung. z. B. zu a):
”⇒“ x := vk ⇒ 〈Avk, vk〉 = λk (k = 1, . . . , n)
”⇐“ λ1, . . . , λn > 0⇒ 〈Ax, x〉 ≥ 0 und fur x 6= 0 gibt es ein k mit
〈x, vk〉 = 0⇒ 〈Ax, x〉 > 0
Der Rest verlauft analog. 2
43.7 Korollar
Sei A positiv definit. Dann gilt:
⇒ ∃µ > 0 ∀x ∈ Rn 〈Ax, x〉 ≥ µ ‖x‖22
Beweis: Setze µ := min {λ1, . . . , λn}.
(22)⇒ 〈Ax, x〉 ≥n∑
j=1
µ 〈x, vj〉2 = µ ‖x‖22 2
43.8 Satz
Sei A ∈ Mat (n,R) symmetrisch. Dann gilt:
A positiv definit⇔ det
a1,1 · · · a1,k...
. . ....
ak,1 · · · ak,k
> 0 ∀ k = 1, . . . , n
Diese Determinante heißt Hauptunterdeterminante.
Beweis: Siehe in [Bos00], S. 254, Satz 8 sowie S. 255 Korollar 9, oder bei[Koe87], S. 152, bzw. bei [Lor07], Teil II, S. 69.
263
Beispiel:(a bb c
)
positiv definit⇔ a > 0 ∧ ac− b2 > 0.
1. Beweis: 43.8
2. Beweis:
a
⟨(a bb c
)(xy
)
,
(xy
)⟩
= a(ax2 + 2bxy + cy2
)
= (ax+ by)2 +(ac− b2
)y2 ⇒ Behauptung 2
43.9 Satz
Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ C2(U), a ∈ U , gradf(a) = 0. Dann gilt:
a) Hess f(a) positiv definit⇒ f hat ein isoliertes lokales Minimum in a,
b) Hess f(a) negativ definit⇒ f hat ein isoliertes lokales Maximum in a,
c) Hess f(a) indefinit⇒ f hat kein lokales Extremum in a sondern einen Sat-telpunkt.
Bemerkung: Der Fall einer semidefiniten Hesse-Matrix bleibt hier offen.
Beweis: A := Hess f(a) und sei Kδ(a) ⊂ U fur δ > 0 geeignet, λ1, . . . , λn dieEigenwerte von A, µ := min {λ1, . . . , λn}.
43.3⇒ ∀x ∈ Kδ(a) f(x)− f(a) =1
2〈A(x− a), x− a〉+ ‖x− a‖22ϕ(x),
wobei limx→a ϕ(x) = 0.
≥(µ
2+ ϕ(x)
)
‖x− a‖22 > 0,
falls x ∈ Kρ(a)− {a} mit hinreichend kleinem ρ > 0.⇒a)⇒b).Zu c): Sei v ∈ Rn
43.3⇒ f(a+ tv)− f(a) =1
2〈Av, v〉 t2 + ‖tv‖22ϕ(a+ tv)
= t2
1
2〈Av, v〉+ ‖v‖22 ϕ(a+ tv)
︸ ︷︷ ︸
t→0−−→0
{> 0 fur 〈Av, v〉 > 0< 0 fur 〈Av, v〉 < 0
und |t| 6= 0 hinreichend klein.⇔ f hat in a einen Sattelpunkt. 2
264
Zusatz: n = 2, U ⊂ R2, f : U → R, a ∈ U , f ∈ C2(U), gradf(a) = 0,
Hess f(a) =
(α ββ γ
)
. Dann gilt:
α > 0 und αγ − β2 > 0⇒ f hat in a ein isoliertes lokales Minimum.
α < 0 und αγ − β2 > 0⇒ f hat in a ein isoliertes lokales Maximum.
αγ − β2 < 0⇒ f hat in a einen Sattelpunkt.
43.10 Beispiel
f : R2 → R, f(x, y) := ax2 + by2 + c mit a 6= 0 6= b.⇒ gradf(x) =
(2ax2by
)
,
d. h. gradf(x) = 0⇔ x =
(00
)
,
Hess f(0) =
(2a 00 2b
)
ist
pos. def. fur a, b > 0 ⇒ isol. lok. Min.neg. def. fur a, b < 0 ⇒ isol. lok. Max.indef. fur a · b < 0 ⇒ Sattelpunkt
Fall a, b > 0: elliptisches Paraboloid (siehe Abb. 8),
Fall a, b < 0: dto. nach unten geformt,
Fall a > 0, b < 0: Sattelflache (siehe Abb. 9).
265
0
5
10
15
20
25
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,01,52,0
-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,5
z
x
y
Abbildung 8: f(x, y) = 2x2 + 3y2 + 2
266
-15
-10
-5
0
5
10
15
-2,0
-1,5
-1,0-0,5
0,00,5
1,01,5 -2,0
-1,5-1,0
-0,50,0
0,51,0
1,5
2,0
z
x
y
Abbildung 9: f(x, y) = 2x2 − 3y2 + 2
267
44 Differentiation unter dem Integralzeichen
44.1 Satz
Es seien I ⊂ R ein Intervall, [a, b] ⊂ R ein kompaktes Intervall, f : I× [a, b]→ R
stetig. Dann ist F : I → R, F (x) :=∫ ba f(x, t) dt stetig fur x ∈ I . Ist zusatzlich
D1f vorhanden und stetig auf I× [a, b], so ist f differenzierbar auf I und F ′(x) =∫ ba∂f∂x (x, t) dt.
Bemerkung: Ein besseres Kriterium folgt in Analysis III.
Beweis: Sei x0 ∈ I und η > 0 so klein, dass
J :=
[x0 − η, x0 + η] ⊂ I fur x0 ∈ I◦[x0, x0 + η] ⊂ I fur x0 linker Eckpunkt von I[x0 − η, x0] ⊂ I fur x0 rechter Eckpunkt von I
⇒ F |J×[a,b] ist stetig, J × [a, b] ist kompakt.⇒ F |J×[a,b] ist gleichmaßig stetig.
⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x, x′ ∈ J,∣∣x− x′
∣∣ < δ, t ∈ I
∣∣f(x, t)− f(x′, t)
∣∣ < ε
Dabei ist die Bedingung gleichbedeutend mit∥∥∥∥
(xt
)
−(x′
t
)∥∥∥∥
2
=∣∣x− x′
∣∣
⇒ |F (x)− F (x0)| < ε(b− a),
falls x ∈ J , |x− x0| < δ.⇒ F stetig.Sei auchD1f vorhanden und stetig auf ganz J×[a, b]. Sei ε > 0.D1f gleichmaßigstetig auf J × [a, b]
⇒ ∃ δ′ > 0 ∀ t ∈ [a, b] , x, x′ ∈ J,∣∣x− x′
∣∣ < δ′
∣∣D1f(x, t)−D1f(x′, t)
∣∣ < ε
⇒∣∣∣∣
F (x)− F (x0)
x− x0−∫ b
aD1f (x0, t) dt
∣∣∣∣
≤∫ b
a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
f(x, t)− f (x0, t)
x− x0︸ ︷︷ ︸
=D1f(ξ,t)
−D1f (x0, t)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
≤ ε(b− a),
falls |x− x0| < δ′, x ∈ J mit ξ zwischen x und x0 (ξ hangt auch von t ab). 2
268
44.2 Beispiel
∫ ∞
0e−x
2dx =
1
2
√π.
Beweis: Dritter Beweis nach Beta-Funktion (31.10) und Wallisschem Produkt(27.9).
f, g : R→ R, f(x) :=
(∫ x
0e−t
2dt
)2
, g(x) :=
∫ 1
0
e−x2(1+t2)
1 + t2dt (x ∈ R)
44.1⇒ g ist differenzierbar und
g′(x) =
∫ 1
0
∂
∂x
e−x2(1+t2)
1 + t2dt =
∫ 1
0e−x
2(1+t2)(−2x) dt
= −2xe−x2
∫ 1
0e−x
2t2 dt = −2e−x2
∫ x
0e−u
2du = −f ′(x)
nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (27.2).⇒ f ′ + g′ = 0⇒ f + g ist konstant
= f(0) + g(0) = 0 +
∫ 1
0
1
1 + t2dt =
π
4
⇒ ∀x ∈ R f(x) + g(x) =π
4
x→∞⇒ 0 ≤ g(x) =
∫ 1
0
e−x2(1+t2)
1 + t2dt ≤ e−x2 x→∞−−−→ 0
⇒
∫ ∞
0e−t
2dt
︸ ︷︷ ︸
>0
2
=π
4
⇒∫ ∞
0e−t
2dt =
1
2
√π 2
269
45 Kurven- und Bogenlangen
45.1 Definition: Kurve
Eine (stetige Parameter-)Kurve γ ist eine stetige Abbildung γ : I → Rn einesIntervalls I ⊂ R in den Rn. Ist I ein abgeschlossenes Intervall [a, b], so heißt γ(a)der Anfangspunkt und γ(b) der Endpunkt von γ.
Vorstellung: γ(t) = Ort eines beweglichen Punktes zur Zeit t ∈ I . Die Kurveγ heißt differenzierbar, wenn die Abbildung γ : I → Rn differenzierbar ist, d. h.wenn alle Koordinatenfunktionen γ1, . . . , γn differenzierbar sind. Ebenso k-maldifferenzierbar, k-mal stetig differenzierbar.Unterscheiden zwischen der Kurve γ und der Punktmenge ”Spur von γ“: Spur γ :={γ(t), t ∈ I}.
45.2 Beispiele
a) γ : [0, 2π]→ R2, γ(t) :=
(r · cos tr · sin t
)
(r > 0 fest, t ∈ [0, 2π])
⇒ γ ist ein Kreis mit Radius r. Anfangspunkt = γ(0) =
(r0
)
, Endpunkt
= γ(2π) =
(r0
)
.⇒Die Kurve ist geschlossen, da Anfangspunkt=Endpunkt.
γ1 : [0, 4π]→ R2, γ1(t)=
(r · cos tr · sin t
)
(r > 0 fest, t ∈ [0, 4π])
”doppelte Durchlaufung“
b) γ : [0, 2π]→ R2, γ(t) :=
(a · cos tb · sin t
)
(a, b > 0 fest, t ∈ [0, 2π])
ist eine Ellipse mit den Halbachsen a, b > 0.
c) γ : R→ Rn, γ(t) := a+ tv (a, v ∈ Rn fest, v 6= 0, t ∈ R)ist eine Gerade durch a in Richtung v.
d) γ : R→ R2, γ(t) :=(t, 1
2 t2)
e) γ : R→ R2, γ(t) :=
(
t, a · cosh t
a
)
(a > 0, t ∈ R)
ist die Kettenlinie.
45.3 Definition: Tangentenvektor
Ist γ : I → Rn differenzierbar, so heißt
γ′(t) := limh→0h6=0t+h∈I
1
h(γ(t+ h)− γ(t))
270
der Tangentenvektor von γ in t. Physikalische Interpretation: γ ′(t) = Geschwin-digkeitsvektor zur Zeit t.
∥∥γ′(t)
∥∥
2=√
γ′1(t)2 + . . .+ γ′n(t)2
ist der Betrag der Geschwindigkeit.
45.4 Definition: Rektifizierbarkeit
Sei γ : [a, b]→ Rn eine stetige Kurve, dann heißt γ rektifizierbar mit BogenlangeL = L(γ), falls
L(γ) := sup
k∑
j=1
‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2 : k ∈ N, a = t0 < . . . < tk = b <∞
endlich ist. Eine ”nur“ stetige Kurve braucht nicht rektifizierbar zu sein. Zum Bei-spiel ist
γ : [0, 1]→ R2, γ(0) :=
(00
)
, γ(t) :=
(t
t · sin 1t
)
(0 ≤ t ≤ 1)
nicht rektifizierbar.
45.5 Definition: Beschrankte Variation
Eine Funktion f : [a, b]→ R heißt von beschrankter Variation, falls Var (f, [a, b]) :=
sup
{n∑
ν=1
|f (xν)− f (xν−1)| : n ∈ N, a = x0 < . . . < xn = b
}
<∞
Var (f, [a, b]) heißt die Totalvariation von f auf [a, b].
45.6 Satz
Ist f : [a, b]→ R monoton, so ist f von beschrankter Variation mit
Var (f, [a, b]) = |f(b)− f(a)| .
Beweis: OBdA sei f wachsend. Dann ist
n∑
ν=1
|f (xν)− f (xν−1)| =n∑
ν=1
f (xν)− f (xν−1)
= f (xn)− f (x0) = f(b)− f(a) 2
271
45.7 Satz
Ist f : [a, b]→ R stetig differenzierbar, so ist f von beschrankter Variation und
Var (f, [a, b]) =
∫ b
a
∣∣f ′(x)
∣∣ dx
Beweis:
n∑
ν=1
∣∣∣∣∣∣∣
f (xν)− f (xν−1)︸ ︷︷ ︸
=f ′(ξν)·(xν−xν−1) nach 22.4
∣∣∣∣∣∣∣
=n∑
ν=1
∣∣f ′ (ξν)
∣∣
︸ ︷︷ ︸
≤M, da f st. db.
(xν − xν−1)
Dies sind Zwischensummen des Integrals∫ ba |f ′(x)| dx
≤Mn∑
ν=1
(xν − xν−1) = M(b− a)
⇒ f ist von beschrankter Variation. Wahle eine Zerlegungssumme Z(k) mit
µ(
Z(k))
→ 0,
so dass die Schwankungssummen fur k → ∞ gegen Var (f, [a, b]) konvergie-ren. Damit folgt die Konvergenz der Summe gegen das Integral und somit dieBehauptung. 2
45.8 Satz
Die stetige Kurve γ : [a, b] → Rn ist genau dann rektifizierbar, wenn γ1, . . . , γn :[a, b]→ R von endlicher Variation sind.
Beweis: Fur j = 1, . . . , n gilt:
|γj (tν)− γj (tν−1)| ≤ ‖γ (tν)− γ (tν−1)‖2
≤ √n max1≤l≤n
|γl (tν)− γl (tν−1)| ≤√n
n∑
l=1
|γl (tν)− γl (tn−1)|
dabei a = t0 < . . . < tn = b.⇒ Behauptung. 2
45.9 Satz
Seien a < b < c, γ : [a, c] → Rn stetig. Dann gilt: γ ist rektifizierbar ⇔ γ|[a,b]und γ|[b,c] rektifizierbar. Dann ist
L(γ) = L(
γ|[a,b])
+ L(
γ|[b,c])
272
Beweis:
”⇒“ Sei a = t0 < . . . < tk = b < tk+1 < . . . < tl = c
⇒l∑
j=1
‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2
≤k∑
j=1
‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2 + ‖γ(b)− γ (tk)‖2︸ ︷︷ ︸
≤L(γ|[a,b])
+ ‖γ (tk+1)− γ(b)‖2 +l∑
j=k+2
‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2︸ ︷︷ ︸
≤L(γ|[b,c])
⇒ γ ist rektifizierbar mit
L(γ) ≤ L(
γ|[a,b])
+ L(
γ|[b,c])
”⇐“ Sei a = t= < . . . < tk = b, b = tk < . . . < tl = c
⇒k∑
j=1
‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2 +l∑
j=k+1
‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2
≤ L(γ) nach Voraussetzung
⇒ γ|[a,b] und γ|[b,c] sind rektifizierbar und
L(
γ|[a,b])
+ L(
γ|[b,c])
≤ L(γ)
Zusammen folgt:
L(γ) = L(
γ|[a,b])
+ L(
γ|[b,c])
2
45.10 Definition: Stuckweise stetige Differenzierbarkeit
Eine stetige Kurve γ : [a, b] → Rn heißt stuckweise stetig differenzierbar, wenneine Zerlegung a = c0 < . . . < ck = b existiert, so dass γ|[cν−1,cν ] (1 ≤ ν ≤ k)stetig differenzierbar ist (einseitige Differenzierbarkeit in den Endpunkten).
Bemerkung: γ stuckweise stetig differenzierbar⇔ γ1, . . . , γn stuckweise stetigdifferenzierbar.
273
45.11 Satz
Ist γ : [a, b] → Rn stetig und stuckweise stetig differenzierbar, so ist γ rektifizier-bar mit
L(γ) =
∫ b
a
∥∥γ′(t)
∥∥
2dt.
Physikalische Interpretation: Weg=Geschwindigkeit · Zeit.
Bemerkung: Integrand z. B. = 0 in den Punkten, wo γ nicht differenzierbar ist(”Knickstellen“).
Beweis: 45.9⇒ Beweis genugt fur den Fall, dass γ in ganz [a, b] stetig differenzier-
bar ist. Sei also γ : [a, b]→ Rn stetig differenzierbar. 45.7 45.8⇒ γ ist rektifizierbar.Sei ε > 0. Wahle a = t0 < . . . < tk = b so fein, dass
(i) 0 ≤ L(γ)−k∑
j=1
‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2 <ε
3und
(ii) max1≤j≤k
(tj − tj−1) < δ := minj=1,...,n
δn (ν = 1, . . . , n), wobei δν das Delta
der gleichmaßigen Stetigkeit von γν und [a, b] zu ε3(b−a)√n sei,
(iii)
∣∣∣∣∣∣
k∑
j=1
∥∥γ′ (tj)
∥∥
2(tj − tj−1)−
∫ b
a
∥∥γ′(t)
∥∥
2dt
∣∣∣∣∣∣
<ε
3
Dann folgt:
∣∣∣∣L(γ)−
∫ b
a
∥∥γ′(t)
∥∥
2dt
∣∣∣∣≤
∣∣∣∣∣∣∣∣
L(γ)−k∑
j=1
‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2︸ ︷︷ ︸
=√∑n
ν=1(γn(tj)−γν(tj))2
∣∣∣∣∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
< ε3
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
k∑
j=1
n∑
j=1
(γ′ν(ξνj
))
2
· (tj − tj−1)−k∑
j=1
n∑
ν=1
(γ′ν (tj)
)2
︸ ︷︷ ︸
=‖γ′(tj)‖2
(tj − tj−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
< ε3
(23)
+
∣∣∣∣∣∣
k∑
j=1
∥∥γ′ (tj)
∥∥
2(tj − tj−1)−
∫ b
a
∥∥γ′(t)
∥∥
2dt
∣∣∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
< ε3
< ε
274
mit tj−1 < ξνj < tj .
Begrundung zu (23): Es ist∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
√√√√
n∑
ν=1
(γ′ν(ξνj
))2
︸ ︷︷ ︸
=‖·‖
−n∑
ν=1
(γ′ν (tj)
)2
︸ ︷︷ ︸
=‖·‖
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
≤√√√√√
n∑
ν=1
(γ′ν(ξνj
)− γ′ν (tj)
)2
︸ ︷︷ ︸
< ε3(b−a)
√n
nach (ii)
<ε
3(b− a)
Summation uber j = 1, . . . , k liefert (23), da∑k
j=1 (tj − tj−1) = (b− a). 2
45.12 Beispiele
a) Kreis: γ : [0, 2π]→ R2, γ(t) =
(r · cos tr · sin t
)
(r > 0 fest, 0 ≤ t ≤ 2π)
γ′(t) = r
(− sin tcos t
)
,∥∥γ′(t)
∥∥
2= r ⇒ L(γ) =
∫ 2π
0rdt = 2πr
Ebenso: Sei 0 < α < 2π, γα : [0, α] → R2, γ′α(t) := r
(cos tsin t
)
(0 ≤t ≤ α)
⇒ L (γα) =
∫ α
0rdt = r · α
b) Bogenlange der Parabel:
γ : [a, b]→ R2, γ(t) :=
(t
12 t
2
)
⇒ L(γ) =
∫ b
a
√
1 + t2dt =1
2
[
log(
t+√
1 + t2)
+ t√
1 + t2]b
a
c) Bogenlange der Zykloide (Bahnkurve eines Punktes beim Abrollen):
γ : [0, 2π]→ R2, γ(t) :=
(t− sin t1− cos t
)
(0 ≤ t ≤ 2π)
⇒∥∥γ′(t)
∥∥2
2= (1− cos t)2 + sin2 t = 2− 2 cos t = 4 sin2 t
2
⇒ L(γ) =
∫ 2π
02
∣∣∣∣sin
t
2
∣∣∣∣dt = 4
∫ π
0sin t dt = 8
275
Teil IX
Umkehrsatz und Satz uber impliziteFunktionen46 Der Kontraktionssatz
46.1 Definition: Kontraktion
Seien (X, d) ein metrischer Raum und T : X → X .
a) T heißt kontrahierend (bzw. Kontraktion), wenn es ein 0 ≤ c ≤ 1 gibt, sodass d(Tx, Ty) ≤ c · d(x, y) (x, y ∈ X)
b) a ∈ X heißt Fixpunkt von T , falls Ta = a.
46.2 Beispiel
T : Rn → Rn linear:
‖T‖2 := max {‖Tx‖2 : ‖x‖ ≤ 1} . ⇒ ‖Tx‖2 ≤ ‖T‖2 · ‖x‖2 (x ∈ Rn)
Ist ‖T‖ < 1, so ist T eine Kontraktion, denn
‖Tx− Ty‖2 = ‖T (x− y)‖2 ≤ ‖T‖2 · ‖x− y‖2 < ‖x− y‖2.
0 ist einziger Fixpunkt von T , denn wegen ‖T‖2 < 1 hat T nicht den Eigenwert 1.
46.3 Kontraktionssatz
(Banachscher Fixpunktsatz). Jede Kontraktion T : X → X eines vollstandigenmetrischen Raumes X 6= ∅ hat genau einen Fixpunkt.
Beweis:
Eindeutigkeit: Seien a, b ∈ X Fixpunkte von T .
⇒ 0 ≤ d(Ta, Tb) = d(a, b) ≤ c · d(a, b)
c gemaß 46.1 a)⇒ d(a, b) = 0⇒ a = b.
Existenz: Sei x0 ∈ X beliebig. xn+1 := Txn (n ≥ 0).
⇒ d (xn+1, xn) = d (Txn, Txn−1) ≤ c·d (xn, xn−1) ≤ . . . ≤ cnd (x1, x0)
⇒ d (xn+k, xn) ≤k∑
j=1
d (xn+j , xn+j−1) ≤k∑
j=1
cn+j−1d (x1, x0)
276
=
k−1∑
j=0
cj
(cnd (x1, x0)) ≤d (x1, x0)
1− c cn (0 ≤ c ≤ 1)
⇒ (xn)n≥0 ist Cauchy-Folge in X .X vollstandig⇒ ∃ a ∈ X xn
n→∞−−−→ a. T kontrahierend⇒ T stetig
⇒ T (a) = T(
limn→∞
xn
)
= limn→∞
T (xn) = limn→∞
xn+1 = a
⇒ a ist Fixpunkt von T . 2
46.4 Zusatz
In 46.3 gilt: Ist x0 ∈ X beliebig, c wie in 46.1, so gilt mit xn+1 := Txn (n ≥ 0)die Fehlerabschatzung:
d (a, xn) ≤d (x1, x0)
1− c cn
Beweis: Lasse in 46.3 k →∞ gehen:
d (xn+k, xn) ≤d (x1, x0)
1− c cn 2
46.5 Beispiel
Sei f : Rn → Rn differenzierbar, ‖Df(x)‖2 ≤ c < 1 fur alle x ∈ Rn
42.1⇒ ‖f(x)− f(y)‖2 ≤ c ‖x− y‖2 (x, y ∈ Rn)
⇒ f ist kontrahierend.⇒ f hat genau einen Fixpunkt, d. h. die Gleichung f(ξ) =ξ hat genau eine Losung im Rn. (Spezialfall: n = 1)
277
47 Der Umkehrsatz
Frage:
1.) Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rn. Wann hat f eine Umkehrfunktion?
2.) Gilt: f stetig differenzierbar und Df invertierbar⇒ f hat eine Umkehrfunkti-on?
Antwort: Global nein (siehe 47.1), lokal ja (siehe 47.2).
47.1 Beispiel
f : ]0,∞[× R→ R2\{0}, f(r, ϕ) := r
(cosϕsinϕ
)
(r > 0, ϕ ∈ R).
Df(r, ϕ) =
(cosϕ −r · sinϕsinϕ r · cosϕ
)
⇒ det (Df(r, ϕ)) = r > 0,
aber f ist nicht global bijektiv. Allerdings ist f lokal bijektiv.
47.2 Umkehrsatz
SeiM ⊂ Rn offen, f : M → Rn stetig differenzierbar, a ∈M ,Df(a) invertierbar⇒ detDf(a) 6= 0. Dann gibt es eine offene Umgebung U ∈ U (a), so dass U ⊂M und V ∈ U (f(a) =: b), offen, V ⊂ f(M), so dass f |U : U → V bijektivist. Die Umkehrabbildung g := (f |U )−1 ist stetig differenzierbar mit Dg(y) =(Df (g(y)))−1 (y ∈ V ).
Bezeichnung: detDf heißt Funktionaldeterminante von f .
Beweis: Die Behauptung ist fur (f, a) genau dann richtig, wenn sie fur
g(x) := (Df(a))−1 (f(a+ x)− f(a))
an der Stelle 0 richtig ist. Beachte:
Dg(0) = (Df(a))−1 (Df(a)) = E, g(0) = 0
Also: OBdA sei a := 0, f(0) := 0 und Df(0) = E.
Idee: Wir wollen die Gleichung f(x) = y fur ”kleine“ ‖y‖ nach x auflosen.Wir schreiben die Gleichung in der Form:
y + x− f(x) = x.
Letztere Gleichung besagt:
gy : M → Rn, gy(x) := y + x− f(x)
hat einen Fixpunkt. Das wird mit dem Kontraktionssatz gezeigt.
278
Ausfuhrung:
⇒ Dgy = E −Df, Df(0) = E ⇒ Dgy(0) = 0, gy(0) = y
⇒ ∃ r > 0 Kr(0) ⊂M und ‖Dgy(x)‖2 ≤1
2∀x ∈ Kr(0), y ∈ Rn
42.1⇒ ∀ y ∈ Rn, x1, x2 ∈ Kr(0) ‖gy (x2)− gy (x1)‖2 ≤1
2‖x2 − x1‖2 (24)
1. Schritt: Fur alle y ∈ Rn mit ‖y‖2 ≤ r2 ist gy : Kr(0) → Kr(0) kontrahierend
mit
‖gy (x2)− gy (x1)‖2 ≤1
2‖x2 − x1‖2
(
x1, x2 ∈ Kr(0))
Begrundung: Sei ‖y‖2 ≤ r2 .
(24)⇒ ∀x ∈ Kr(0)
∥∥∥∥∥∥∥
gy(x)− gy(0)︸ ︷︷ ︸
=y
∥∥∥∥∥∥∥
2
≤ 1
2‖x‖2
⇒ ‖gy(x)‖2 ≤1
2‖x‖2 + ‖gy(0)‖2 ≤
r
2+ ‖y‖2 ≤ r
⇒ gy(x) ∈ Kr(0). Rest schon bewiesen in (24).
2. Schritt: 46.3⇒ Zu jedem y ∈ Kε(0) gibt es genau ein x ∈ Kr(0), so dassf(x) = y.Warnung: Es kann durchaus weitere x′ ∈M geben mit f(x′) = y. Vgl.47.1: Polarkoordinaten-Abbildung.Begrundung: Kr(0) ⊂ Rn ist abgeschlossen.⇒ Kr(0) ist vollstandig(37.13).46.3⇒ ∀ y ∈ K r
2(0) hat gy genau einen Fixpunkt in Kr(0).
gy(x) = x⇔ f(x) = y ⇒ 2. Schritt bewiesen. Setze
U :={
x ∈ Kr(0) : ‖f(x)‖2 <r
2
}
∈ U (0)
mit U ⊂M offen, V := f(U) ⊂ K r2(0) (s. o.).
3. Schritt: f |Kr(0)
ist injektiv, V offen, g := (f |U )−1 : V → U stetig.Begrundung: Fur x, x0 ∈ Kr(0) und y ∈ Rn ist
‖x− x0‖2 = ‖f(x)− gy(x)− f (x0)− gx (x0)‖2≤ ‖f(x)− f (x0)‖2 + ‖gy(x)− gy (x0)‖2(24)
≤ ‖f(x)− f (x0)‖2 +1
2‖x− x0‖2
279
⇒ ‖f(x)− f (x0)‖2 ≥1
2‖x− x0‖2 (25)
⇒ f |Kr(0)
ist injektiv. Sei y0 ∈ V , y0 = f (x0) mit x0 ∈ U . ⇒‖y0‖2 < r
2 . U offen
⇒ ∃ 0 < δ < 2(r
2− ‖y0‖2
)
Kδ (x0) ⊂ U.
Wir zeigen weiter: Mit diesem δ gilt: K δ2(y0) ⊂ V .
Begrundung: Sei y ∈ K δ2(y0)
⇒ ‖y‖2 < ‖y0‖2 +δ
2<r
2,
d. h. y ∈ K r2(0). 2. Schritt⇒ ∃ genau ein x ∈ Kr(0), so dass f(x) = y.
(25)⇒ ‖x− x0‖2 ≤ 2 ‖y − y0‖2 < δ,
d. h. x ∈ Kδ (x0) ⊂ U .⇒ ∀ y ∈ K δ
2(y0) existiert genau ein x ∈ U mit f(x) = y.
⇒ K δ2(y0) ⊂ V .⇒ V offen. Mit x = g(y), x0 = g (y0) fur y, y0 ∈ V
gilt nach (25):
‖g(y)− g (y0)‖2 ≤ 2 ‖y − y0‖2⇒ g stetig.⇒ 3. Schritt.
4. Schritt: g ist stetig differenzierbar.Begrundung: Seien y, y0 ∈ V , y = f(x), y0 = f (x0) (x, x0 ∈ U),f differenzierbar in x0.
⇒ f(x) = f (x0) + (Df (x0)) (x− x0) + ‖x− x0‖2 ϕ(x)
mit ϕ : U → Rn, ϕ(x)x→x0−−−→ 0. x0 ∈ U
⇒ ‖E − (Df) (x0)‖2 ≤1
2(26)
⇒ E −Df ist kontrahierend, hat also in 0 genau einen Fixpunkt.⇒ E − (Df) (x0) ist injektiv, also invertierbar.
⇒ g(y)− g (y0) = x− x0
= (Df (x0))−1 +
f(x)︸︷︷︸
=y
− f (x0)︸ ︷︷ ︸
=y0
−‖x− x0‖2 ϕ(x)
280
y 6=y0= (Df (x0))
−1 (y − y0)
+ ‖y − y0‖2
‖x− x0‖2‖y − y0‖2︸ ︷︷ ︸
(25)
≤ 2
(Df (x0))
−1
︸ ︷︷ ︸
stetig, da linear
(−ϕ (g(y)))
︸ ︷︷ ︸
=:ψ(y)y→y0−−−→0, da g, ϕ stetig in x0 mit ϕ (x0) = 0
⇒ g(y) = g (y0) + (Df (x0))−1 + ‖y − y0‖2 ψ(y)
⇒ g ist differenzierbar in y0 mit
Dg (y0) = (Df (x0))−1 = (Df (g (y0)))
−1
stetig in Abhangigkeit von y0 ∈ V , denn die Elemente einer inversenMatrix hangen stetig ab von den Matrixelementen. 2
Bemerkung: Wenn man weiß, dass g differenzierbar ist, so ist die FormelDg(y) =((Df) (g(y)))−1 klar nach Kettenregel, denn f ◦ g = id V .
41.9⇒ ∀ y ∈ V ((Df) (g(y))) ·Dg(y) = E
⇒ Behauptung. 2
47.3 Zusatz zum Umkehrsatz
Ist in 47.2 f sogar k-mal differenzierbar (k ≥ 1), so ist auch g := (f |U )−1 k-malstetig differenzierbar.
Beweis: (Dg)(y) = ((Df) (g(y)))−1 und Formel fur inverse Matrix und Induk-tion nach k. Erlauterung fur k = n = 2:
(a bc d
)
∈ Gl (2,R)
⇒(a bc d
)−1
=1
ad− bc
(d −b−c a
)
,
also
(Dg)(y) =1
(∂f1∂x1· ∂f2∂x2
− ∂f1∂x2· ∂f2∂x1
)
(g(y))
(∂f2∂x2
(g(y)) − ∂f1∂x2
(g(y))
− ∂f2∂x1
(g(y)) ∂f1∂x2
(g(y))
)
Ist nun f ∈ C2(M), so sind alle ∂fi
∂xjstetig differenzierbar, ferner g differenzierbar,
also laut Kettenregel (41.9) g zweimal stetig differenzierbar. 2
281
47.4 Korollar
Sei M ⊂ Rn offen, f : M → Rn stetig differenzierbar und detDf sei nullstellen-frei.⇒ Fur jede offene Menge A ⊂M ist f(A) offen im Rn (⇔: f ist offen).
Beweis: Zu jedem b := f(a) (a ∈ A) existiert nach 47.2 eine offene Umge-bung U von a und V von f(a), so dass f |U : U → V bijektiv ist. ⇒ V ⊂f(A)⇒ f(A) offen. 2
47.5 Beispiel
Sei f : R3 → R3, f (x1, x2, x3) :=
x1 + x2 + x3
x1x2 + x2x3 + x3x1
x1x2x3
(=elementarsym-
metrische Funktionen in 3 Variablen) Die elementarsymmetrischen Funktionen tre-ten auf bei Ausmultiplikation des Polynoms
(t− x1) (t− x2) (t− x3)
= t3 − (x1 + x2 + x3) t2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1) t− x1x2x3
detDf (x1, x2, x3) =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1x2 + x3 x3 + x1 x1 + x1
x2x3 x3x1 x1x2
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
1 0 0x2 + x3 x1 − x2 x1 − x3
x2x3 x3 (x1 − x2) x2 (x1 − x3)
∣∣∣∣∣∣
= (x1 − x2) (x1 − x3) (x2 − x3)
47.2⇒ Sei a :=
a1
a2
a3
∈ R3 ein ”Nullstellenvektor“, so dass
det(Df)(a) = (a1 − a2) (a1 − a3) (a2 − a3) 6= 0
ist, ferner sei
b :=
b1b2b3
:= f(a) =
a1 + a2 + a3
a1a2 + a2a3 + a3a1
a1a2a3
der ”zugehorige Koeffizienten-Vektor“. Dann existiert eine offene Umgebung Uvon a und V von b, so dass f |U : U → V bijektiv ist und (sogar beliebig oft) stetigdifferenzierbar mit Umkehrfunktion g : (f |U )−1 : V → U . D. h. fur alle y ∈ V hat
das Polynom t3 − y1t2 + y2t− y3 die drei verschiedenen Nullstellen
x1
x2
x3
=
g(y), und diese Nullstellen sind beliebig oft differenzierbare Funktionen von y ∈V . Analog fur Polynome in n Variablen. 2
282
48 Der Satz uber implizite Funktionen
Problem: Gegeben sei M ⊂ R2 offen, eine stetig differenzierbare Funktion f :
M → R,(ab
)
∈ M , f(ab
)
= 0, N :=
{(xy
)
∈M : f
(xy
)
= 0
}
.
Frage: Wie ”sieht N aus“?
Ziel: Ist ∂f∂y
(ab
)
6= 0, so gibt es eine offene Umgebung U von a, eine stetig
differenzierbare Funktion h : U → R mit(
xh(x)
)
∈ N (x ∈ U ) und eine of-
fene Umgebung W ⊂ R2 von(ab
)
, so dassN ∩W =
{(x
h(x)
)
, x ∈ U}
=
Graph von h.
Beispiel: f : R2 → R, f(xy
)
= x2 + y2 − 1.
⇒ N =
{(xy
)
: x2 + y2 = 1
}
= Einheitskreislinie.
∂f∂y = 2y = 0 ⇔ y = 0, d. h. genau in den Punkten
(10
)
und(−10
)
ist
∂f∂y
(ab
)
= 0, uberall sonst ist auf N das ∂f∂y
(ab
)
6= 0, und uberall sonst
existiert lokal das gesuchte h.
Bezeichnungen: Wir schreiben die Vektoren z ∈ Rn+p in der Form z = (x, y)t
mit x ∈ Rn, y ∈ Rp. FurM ⊂ Rn+p, f : M → Rp schreiben wir: f(z) = f(x, y),z = (x, y)t ∈M . Ist f zusatzlich stetig partiell differenzierbar, so setzen wir
∂f
∂x(x, y) :=
(∂fi∂zj
(x, y)
)
1≤i≤p1≤j≤n
= (D1f(x, y), . . . , Dnf(x, y))
∂f
∂y(x, y) :=
(∂fi∂zn+j
(x, y)
)
1≤i≤p1≤j≤p
= (Dn+1f(x, y), . . . , Dn+pf(x, y))
Df =(
∂f∂x
∂f∂y
)
48.1 Satz uber implizite Funktionen
Es seien M ⊂ Rn+p offen, f : M → Rp stetig differenzierbar, (a, b) ∈ M(a ∈ Rn, b ∈ Rp), f(a, b) = 0. Ferner sei ∂f
∂y (a, b) invertierbar, d. h. die Funktio-nalmatrix von f Df habe maximalen Rang p, und die letzten p Spalten seien linear
283
unabhangig. Dann gibt es eine offene Umgebung W ⊂ M ⊂ Rn+p von (a, b)und U ⊂ Rp von a und eine eindeutig bestimmte stetig differenzierbare Abbildungh : U → Rp, so dass gilt: (x, h(x))t ∈ W ⊂ M fur alle x ∈ U , h(a) = b,f (x, h(x)) = 0 fur alle x ∈ U , {(x, y) ∈M,f(x, y) = 0} ∩W = Graph von h,∂f∂y (x, h(x)) ist invertierbar fur alle x ∈ U ,
Dh(x)︸ ︷︷ ︸
p×n
=
(
−∂f∂y
(x, h(x))
)−1
︸ ︷︷ ︸
p×p
·(∂f
∂x(x, h(x))
)
︸ ︷︷ ︸
p×n
(x ∈ U)
Beweis: Wir betrachtenF : M → Rn+p,F (x, y) := ( x︸︷︷︸
n
, f(x, y)︸ ︷︷ ︸
p
)t fur (x, y) ∈
M .⇒ F ist stetig differenzierbar und
DF (x, y) =
En 0∂f
∂x(x, y)
︸ ︷︷ ︸
n
∂f∂y (x, y)
= Df(a, b),
denn detDf(x, y) = det(∂f∂y (x, y)
)
6= 0. F (a, b) = (a, 0). 47.2⇒ Es existiert eine
offene Umgebung W ⊂ M von (a, b) und Y ⊂ Rn+p von (a, 0), so dass F |W :W → Y bijektiv ist und eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion G : Y →What. F ◦G = id .⇒ ((DF ) ◦G) ·DG = E.
⇒ ∂f
∂y(x, y) ist invertierbar fur alle (x, y) ∈W (27)
OBdA sei gleich Y = U × V mit offener Umgebung U ⊂ Rn von a und V ⊂ Rp
von 0. Sei (u, v) ∈ Y = U × V , G(u, v) =: (x, y) ∈W
⇒ (u, v) = F (G(u, v)) = F (x, y) = (x, f(x, y)) = (x, f (G(x, y)))
⇒ u = x, v = f (G(u, v)).⇒ G hat die Gestalt: G(u, v) = (u, g(u, v)) mit einerFunktion g : U × V → Rp, (u, g(u, v)) ∈W , ((u, v) ∈ U × V = Y )
⇒ f (u, g(u, v)) = v ∀ (u, v) ∈ U × V = Y (28)
g ist stetig differenzierbar, da G stetig differenzierbar ist. Wir setzen h : U → Rp,h(x) := g(x, 0) (x ∈ U). ⇒ h ist sinnvoll, stetig differenzierbar. (x, h(x)) ∈W ⊂M (x ∈ U), h(a) = b, denn f (a, g(a, 0)) = 0.
(28)⇒ ∀x ∈ U f (x, h(x)) = f (x, g(x, 0)) = 0 (x ∈ U)
⇒ ∀x ∈ U (x, h(x)) ∈W, f(x, y) = 0
⇒ F (x, y) = (x, 0) ∈ Y = U × V ⇒ x ∈ U
284
und
(x, y) = G (x, 0) = (x, g(x, 0)) = (x, h(x)) ∈ Graph von h
Die Invertierbarkeit von ∂f∂y (x, h(x)) (x ∈ U) ist klar nach (27). Anwendung
der Kettenregel (41.9) auf f (x, h(x)) = 0 (x ∈ U) liefert:
∀x ∈ U ∂f
∂x(x, h(x))
︸ ︷︷ ︸
p×n
+∂f
∂y(x, h(x))
︸ ︷︷ ︸
p×p, invertierbar
Dh(x)︸ ︷︷ ︸
p×n
= 0
⇒ Dh(x) =
(
−∂f∂y
(x, h(x))
)−1
·(∂f
∂x(x, h(x))
)
. 2
48.2 Spezialfall
n = p = 1, Bezeichnungen wie in 48.1:
∂h
∂x=∂f
∂x(x, h(x)) · 1
∂f∂y (x, h(x))
= −D1f
D2f(x, h(x)) . 2
48.3 Beispiel
n = p = 1, f : R2 → R, f(x, y) = y2 − x2 − x3.
⇒ N ={(x, y) ∈ R2, y2 = x3 + x2
},
∂f∂y = 2y, also
{
(x, y) ∈ N, ∂f∂y
(x, y) = 0
}
= {(0, 0), (−1, 0)} =: N ∗
48.1⇒ In allen Punkten (a, b) ∈ N\N ∗ lasst sich N lokal als Graph einer Funktiondarstellen
i.e. h(x) := ±√
x3 + x2 siehe Abb. 10
In den Punkten (0, 0) und (−1, 0) ist eine solche Darstellung nicht moglich. Aber:∂f∂x = −3x2 − 2x, ∂f∂x (−1, 0) = −1 6= 0.⇒ In einer Umgebung von (−1, 0) lasstsich N lokal als Graph einer Funktion von y schreiben. In den Punkten (x, y) ∈N\N∗ ist
h′(x) =−∂f∂x∂f∂y
(x, h(x)) =3x2 + 2x
2y(x, h(x))
=2x+ 3x2
2h(x)=
2x+ 3x2
±2√x2 + x3
Gleiches Resultat erhalt man mit der Kettenregel.
285
-2 -1 0 1 2 3-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Abbildung 10: h(x) = ±√x3 + x2
286
48.4 Beispiel: ”Achterbahn“
n = p = 1, f : R2 → R2, f(x, y) = x4 + y4 − 4xy
⇒ N = {(x, y), f(x, y) = 0}N ist wegen f(x, y) = f(y, x) = f(−x,−y) = f(−y,−x) symmetrisch bzgl.(x, y) 7→ (−y,−x) (Spiegelung an 0), (x, y) 7→ (y, x) (Spiegelung an der Diago-nalen). f(x, y) > 0 fur x > 0 ∧ y < 0, f(x, 0) = x4, f(0, y) = y4.⇒ N liegt im1. und 3. Quadranten und
N ∩ {(x, y) : x = 0 ∨ y = 0} = {(0, 0)}|2xy| ≤ x2 + y2.
⇒ f(x, y) = x4+y4−4xy ≥ x4+y4−2x2−2y2 =(x2 − 1
)2+(y2 − 1
)2−2 > 0,
falls max {|x|, |y|} >√
3⇒ N beshrankt, also kompakt.
∂f
∂y= 4
(y3 − x
)
> 0 fur y2 > x,= 0 fur y2 = x,< 0 fur y2 < x
Betrachte y 7→ f(x, y) bei x > 0 fest. Diese ist minimal an der Stelle y = 3√x und
es ist
f(x, 3√x)
= x4 − 3x43
⇒ f(x, 3√x)
> 0 fur x > 338 ,
= 0 fur x = 338 ,
< 0 fur x < 338
Fur 0 < |x| < 338 hat die Parallele zur y-Achse an der Stelle x genau zwei Schnitt-
punkte mitN , fur x = ±338 genau einen. Fur alle (x, y) ∈ N\
{
(0, 0),±(
338 , 3
18
)}
ist der Satz uber implizite Funktionen (48.1) anwendbar. In den Punkten±(
338 , 3
18
)
lasst sichN lokal als Graph einer Funktion von y schreiben, denn ∂f∂x = 4
(x3 − y
)
verschwindet nicht in ±(
338 , 3
18
)
. In (x, y) ∈ N\{
(0, 0),±(
338 , 3
18
)}
gilt:
h′(x) = −∂f∂x∂f∂y
(x, h(x)) = −4(x3 − y
)
4 (y3 − x) (x, h(x)) = − x3 − h(x)(h(x))3 − x
Z. B. gilt: h′(√
2)
= −1,
h′(x) = 0⇔ y = x3 (x, y) ∈ N\{
(0, 0),±(
338 , 3
18
)}
⇔(xy
)
= ±(
338
318
)
287
0,00,20,40,60,8
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Abbildung 11:(x4 + y4 − 4xy
) (x4 + y4 + 4xy
)= 0
48.5 Beispiel: ”Vierblattriges Kleeblatt“
n = p = 1: f : R2 → R, f(x, y) =(x4 + y4 − 4xy
) (x4 + y4 + 4xy
), dazu
N = {(x, y), f(x, y) = 0}. Siehe Abb. 11
288
49 Extrema mit Nebenbedingungen
Definition: Extrema Sei S ⊂ Rn, f : S → R
a) f hat in a ∈ S ein lokales Minimum:⇔ ∃U ∈ U (a) ∀x ∈ U∩S f(x) ≥f(a).
b) f hat in a ∈ S ein lokales Maximum: ⇔ ∃U ∈ U (a) ∀x ∈ U ∩S f(x) ≤ f(a).
c) f hat in a ∈ S ein lokales Extremum:⇔ f hat in a ∈ S ein lokales Maxi-mum oder ein lokales Minimum.
Frage: Sei U ⊂ Rn offen, S ⊂ U (S nicht notwendig offen), f : U → R stetigdifferenzierbar. Wie findet man die lokalen Extrema von f |S?
Warnung: Ist a ∈ U ein lokales Extremum von f : U → R, und gilt a ∈ S,so ist a lokales Extremum von f |S . Aber: Ein lokales Extremum von f |S brauchtkein lokales Extremum von f : U → R zu sein. Ist z. B. gradg nullstellenfrei, sohat f : U → R keine lokalen Extrema, ist aber z. B. S kompakt, so hat f |S stetsein lokales Maximum und Minimum.
Voraussetzung: M ⊂ Rn+p offen, g : M → Rp stetig differenzierbar, N :={z ∈M, g(z) = 0} (Nebenbedingung). pBedingungs-Gleichungen gegeben durchy1, . . . , yp : M → R. Ferner sei vorgelegt f : M → R stetig differenzierbar.
Gesucht: Extrema von f |N . Bezeichnungen: z ∈ M ⊂ Rn+p, z = (x, y)t,x ∈ Rn, y ∈ Rp. Fur ϕ : M → Rq, q := n + p, stetig differenzierbar schreibenwir: ϕ(z) = ϕ(x, y)t.
∂ϕ
∂x:=
(∂ϕi∂zj
)
i=1,...,qj=1,...,n
= (D1ϕ, . . . ,Dnϕ)
∂ϕ
∂y:=
(∂ϕi∂zn+j
)
i=1,...,qj=1,...,p
= (Dn+1ϕ, . . . ,Dn+pϕ)
49.1 Satz: Notwendige Bedingung fur ein Extremum mit Nebenbe-dingung
SeiM ⊂ Rn+p offen, g : M → Rp stetig differenzierbar,N := {z ∈M : g(z) = 0}(”Nebenbedingung“), a ∈ N , rg Dg(a)
︸ ︷︷ ︸
p×(n+p)
= p (Rang maximal!), und die letz-
ten p Spalten von Dg(a) seien linear unabhangig, d. h. det ∂g∂y (a) 6= 0. Ferner sei
289
f : M → R stetig differenzierbar und f |N habe in a ein lokales Extremum. Danngilt:
∂f
∂x(a)
︸ ︷︷ ︸
1×n
− ∂f∂y
(a)
︸ ︷︷ ︸
1×p
(∂g
∂y(a)
)−1
︸ ︷︷ ︸
p×p
∂g
∂x(a)
︸ ︷︷ ︸
p×n
= 0
(Gradientenbedingung) Das sind n Gleichungen fur den Punkt a und mit g(a) = 0p Gleichungen fur a.
Kommentar: Das sind n + p Gleichungen fur die n + p Koordinaten von a ∈M ⊂ Rn+p. Auflosung dieser Gleichungen ergibt die moglichen Extrema. Ob diedurch Auflosen dieser Gleichungen gefundenen a-Werte wirklich Extrema sind,muss durch Zusatzuberlegungen entschieden werden. Dabei kommt man evtl. mitder Hesse-Matrix der Funktion U 3 x 7→ f (x, h(x)) zum Ziel (vgl. Beweis).
Beweis:
N = {z ∈M : g(z) = 0} = {(x, y) ∈M : g(x, y) = 0}
a =
(cd
)
∈ N ⊂ M ⊂ Rn+p, c ∈ Rn, d ∈ Rp, ∂g∂y
(cd
)
ist invertierbar. 48.1⇒Es gibt
• eine offene Umgebung U ⊂ Rn von c,
• eine offene Umgebung W ⊂ N ⊂ Rn+p von a =
(cd
)
,
• eine stetig differenzierbare Funktion h : U → Rp, so dass
N ∩W = Graph von h. ∂g∂y (x, y) ist invertierbar fur (x, y) ∈W , und es ist
Dh(x) =
(∂g
∂y(x, h(x))
)−1
· ∂g∂x
(x, h(x)) (x ∈ U), (29)
d. h. Auflosung der Bedingungs-Gleichung g(x, y) = 0 in einer Umgebung U vonc durch die Funktion h liefert eine Parametrisierung von N ∩W .⇒ U 3 x 7→ f (x, h(x)) hat in c ∈ U ein lokales Extremum und wegen U offen:
⇒ D (x 7→ f (x, h(x))) (c) = 0 (30)
Wir schreiben: Die Abbildung x 7→ f (x, h(x)) als f ◦ ϕ mit
ϕ : U →M, ϕ(x) :=
(x
h(x)
)
, ϕ(c) = a
290
(30)⇒ (D (f ◦ ϕ)) (c) = 0
41.9⇒ (Df) (ϕ(c)) · (Dϕ)(c) = 0 (31)
Df =(
∂f∂x
∂f∂y
)
, Dϕ =
(EnDh
)
︸ ︷︷ ︸
(n+p)×n
(31)⇒ ∂f
∂x(a) +
∂f
∂y(a)Dh(a) = 0
Einsetzen von Dh aus (29)
⇒ ∂f
∂x(a)− ∂f
∂y(a) ·
(∂g
∂y(a)
)−1 ∂g
∂x(a) = 0 2
49.2 Beispiel:
Bestimme die Extrema von f : R2 → R, f(x, y) = x · y auf der Einheitskreisli-nie. N =
{x, y : x2 + y2 − 1 = 0
}. Losung:
g(x, y) = x2 + y2 − 1; n = p = 2∂g
∂y= 2y
ist invertierbar fur y 6= 0.⇒ Die Extrema mit y 6= 0 genugen der Gleichung
∂f
∂x− ∂f
∂y
(∂g
∂y
)−1 ∂g
∂x= 0
⇔ y − 2x2
2y= 0, d. h. x2 = y2 (Gradientenbedingung)
Nebenbedingung: x2 + y2 = 1
⇒ x2 =1
2= y2 ⇔ x = ± 1√
2, y = ε
1√2
mit ε ∈ {−1, 1}
Das gibt 4 kritische Werte:(
1√2,
1√2
)
,
(1√2,− 1√
2
)
,
(
− 1√2,
1√2
)
,
(
− 1√2,− 1√
2
)
In den Punkten mit y = 0 ist aber aufN ∂g∂x = 2x 6= 0, und aus Symmetriegrunden
erhalt man die gleichen kritischen Werte.
f
(1√2,
1√2
)
=1
2= f
(
− 1√2,− 1√
2
)
,
291
f
(1√2,− 1√
2
)
= −1
2= f
(
− 1√2,
1√2
)
Da f |N (N kompakt) ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum hat,ergeben sich zwei absolute Maxima und zwei absolute Minima.Alternative: Auf N ist x = cos t, y = sin t (t ∈ R), f |N ist dann gleich cos t ·sin t = 1
2 sin 2t: maximal fur t = π4 + kπ, minimal fur t = 3π
4 + kπ (k ∈ Z).
49.3 Beispiel
R3: Bestimme den Punkt auf der Ebene z = x + y, der von (1, 0, 0) minimalenAbstand hat. Losung:
g(x, y, z) = x+ y − z, p = 1, n = 2,∂g
∂z= −1 6= 0
Dabei spielt das z die Rolle des y aus 49.1.
f(x, y, z) = (x− 1)2 + y2 + z2 (Gradientenbedingung)
Der fruhere Vektor x ∈ Rn ist jetzt (x, y)t ∈ R2.
(∂f∂x
∂f∂y
)
− ∂f
∂z
(∂g
∂z
)−1 (∂g∂x
∂g∂y
)
= 0, d. h.
(2(x− 1) 2y
)+ 2z
(1 1
)= 0, d. h.
2(x− 1) + 2z = 0, 2y + 2z = 0.
Nebenbedingung: x+ y− z = 0. Inhomogenes lineares Gleichungssystem mit ge-nau einer Losung:
(23 ,−1
3 ,13
)t. Da laut Problemstellung ein Minimum angenom-men wird (das Kompaktum
(1 0 0
)t hat von der Ebene ker g (=abgeschlos-sene Menge) einen positiven Abstand), ist die Losung der Punkt mit kleinstemAbstand.Alternative: Auf N ist z = x + y, also ist h(x, y) = x + y aus 48.1 hier explizitbekannt.
ϕ(x, y) = f(x, y, h′(x, y)
)= f(x, y, x+ y) = (x− 1)2 + y2 + (x+ y)2
fur (x, y) ∈ R2. Die Extrema von ϕ : R2 → R sind zu bestimmen.
gradϕ =
(2(x− 1) + 2(x+ y)
2y + 2(x+ y)
)
!= 0⇔ (x, y) =
(2
3,−1
3
)
⇒ Losung auf N : (x, y, z) =(
23 ,−1
3 ,13
).
Hessϕ =
(4 22 4
)
ist positiv definit. Es liegt also ein Minimum vor.
292
49.4 Beispiel
Unter allen dem Einheitskreis umbeschriebenen n-Ecken (n ≥ 3) hat das regulareden kleinsten Umfang und den kleinsten Flacheninhalt.
• Umfang:∑n
i=1 2 tanϕi
• Inhalt:∑n
i=1 tanϕi
Bedingung:∑n
i=1 ϕi = π.
M ={(ϕ1, . . . , ϕn)
t , 0 < ϕi < π, i = 1, . . . , n}
f (ϕ1, . . . , ϕn) =
n∑
i=1
tanϕi, g (ϕ1, . . . , ϕn) =
n∑
i=1
ϕi − π, p = 1
⇔ x↔
ϕ1...
ϕn−1
, y ↔ ϕn
Gradientenbedingung:
∂f
∂ϕj− ∂f
∂ϕn
(∂g
∂ϕn
)−1 ∂g
∂ϕj= 0 (j = 1, . . . , n− 1)
Damit ist gezeigt: Wenn es ein n-Eck kleinsten Umfangs bzw. Inhalts gibt, das demEinheits-Kreis umbeschrieben ist, so ist dieses regular (gleichseitig). Dass dieseswirklich minimalen Umfang hat, folgt aus der Jensenschen Ungleichung:
f
n∑
j=1
λjxj
≤n∑
j=1
λjf (xj) fur f konvex
Also: Umfang des regelmaßigen n-Ecks:
= 2n tanπ
n= 2n tan
ϕ1 + . . .+ ϕnn
≤ 2n ·n∑
k=1
1
ntanϕk (Tangens konvex)
= 2∑n
k=1 tanϕk = Umfang eines beliebigen n-Ecks. 2
49.5 Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren
SeiM ⊂ Rn+p offen, g : M → Rp stetig differenzierbar,N = {z ∈M, g(z) = 0},und seien a ∈ N , rg Dg(a)
︸ ︷︷ ︸
p×(n+p)
= p (=Maximalrang), keine Auszeichnung der letz-
ten p Koordinaten: vgl. 49.1. Ferner sei f : M → R stetig differenzierbar, f |N
293
habe in a ein lokales Extremum. Dann gibt es genau ein λ =
λ1...λp
∈ Rp
(Lagrangescher Multiplikator), so dass
Df(a)︸ ︷︷ ︸
1×(n+p)
= λt︸︷︷︸
1×p· Dg(a)︸ ︷︷ ︸
p×(n+p)
(Linearkombination der Zeilenvektoren vonDg(a), n+pBedingungen) und g(a) =0 (p Bedingungen).
Kommentar: Das ergibt n+ 2p Bedingungsgleichungen:
D1f(a) =∑p
j=1 λjD1gj(a)...Dn+pf(a) =
∑pj=1 λjDn+pgj(a)
g1(a) = 0,...gp(a) = 0
fur n + 2p Unbekannte a =
a1...
an+p
, λ =
λ1...λp
. Durch Auflosen dieses
Gleichungssystems erhalt man alle kritischen Werte a, die als mogliche lokale Ex-trema in Betracht kommen. Durch weitere Diskussion ist dann im Einzelfall zuprufen, welche dieser kritischen a-Werte wirklich Maxima, Minima oder gar keineExtrema sind.
Beweis: Zum Beweis kann OBdA angenommen werden, dass die letzten p Spal-ten von Dg(a) linear unabhangig sind (sonst Umnummerierung der Koordinaten).
49.1⇒ ∂f
∂x(a)
︸ ︷︷ ︸
1×n
=∂f
∂y(a)
︸ ︷︷ ︸
1×p
(∂g
∂y(a)
)−1
︸ ︷︷ ︸
p×p︸ ︷︷ ︸
=λt mit λ∈Rp
∂g
∂x(a)
︸ ︷︷ ︸
p×n
⇒ ∂f
∂x(a) = λt
∂g
∂x(a)
Die Definition von λ liefert:
∂f
∂y(a) ·
(∂g
∂y(a)
)−1
= λt ⇒ ∂f
∂y(a) = λt
∂g
∂y(a)
⇒(
∂f∂x (a) ∂f
∂y (a))
= λt(
∂g∂x(a) ∂g
∂y (a))
⇔ Df(a) = λtDg(a).
rgDg(a) = p⇒ λ ist eindeutig bestimmt. 2
294
49.6 Zusatz
Die Bedingung: ∃λ ∈ Rp mitDf(a) = λtDg(a) aus 49.5 ist aquivalent zu ∃λ ∈ R
mit gradf(a) = (Dg(a))t · λ, d. h. zu: gradf(a) ∈ Bild(
(Dg(a))−1)
49.7 Satz
Jede symmetrische Matrix A ∈ Mat (n,R) hat eine Orthonormalbasis von Eigen-vektoren (n ≥ 1).
Beweis: n = 1 ist klar.Sei n ≥ 2, f : Rn → R, f(x) := 〈Ax, x〉 (x ∈ Rn), g(x) := ‖x‖22 − 1, p = 1,N := {x ∈ Rn, g(x) = 0} =: Sn−1 Einheitssphare im Rn (kompakt).⇒ f |N hatein Maximum in einem Punkt v1 ∈ N .
49.5⇒ Df (v1) = λ1 ·Dg (v1) (32)
41.5 b)⇒ Df (v1) =
A+ At︸︷︷︸
=A
(v1)
t
= (2Av1)t
(32)⇒ Av1 = λ1v1, d. h. v1 ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λ1.Fortsetzung des Verfahrens: Sei weiter n ≥ 2, f wie oben, aber:
g : Rn → R2, g(x) :=
(‖x‖22 − 1〈v1, x〉
)
, p = 2,
N ={x ∈ Rn, ‖x‖22 = 1, 〈v1, x〉 = 0
}kompakt 6= 0
wegen n ≥ 2.⇒ f |N hat ein Maximum in einem Punkt v2 ∈ N .
Df (v2) = (2Av2)t (s.o.) Dg(x) =
(2xt
vt1
)
︸ ︷︷ ︸
2×n
Dg (v2) =
(2vt2vt1
)
hat Rang 2, da ‖v1‖2 = ‖v2‖2 = 1, 〈v2, v2〉 = 0.
49.5⇒ ∃µ =
(µ1
µ2
)
∈ R2 (2Av2)t =
(µ1 µ2
)(
2vt2vt1
)
= 2µ1vt2+µ2v
t1,
d. h. Av2 = µ1v2 + 12µ2v1.
〈Av2, v2〉A symm.
= 〈v2, Av1〉 = 〈v2, λ1v1〉 = 0
wegen der Nebenbedingung. ⇒ µ2 = 0 ⇒ Av2 = µ1 · v2. ⇒ µ1 ist Eigenwertmit Eigenvektor v2. Damit ist ein zweiter normierter Eigenvektor senkrecht zu v1
gefunden.
Fortsetzung mit g(x) :=
‖x‖22 − 1〈x, v1〉〈x, v2〉
. 2
295
49.8 Beispiel
Sei g : R2 → R, g(x, y) := ax2 + 2bxy + cy2 − 1 (a > 0, ac − b2 > 0),f(x, y) = x2 + y2, S =
{(x, y) ∈ R2, g(x, y) = 0
}: Ellipse.
Frage: Bestimme die Punkte auf S mit maximalem bzw. minimalem Abstand von0. Losung mit Lagrange: n = p = 1,Df(z) = λ ·Dg(z), z = (x, y) ∈ R2, λ ∈ R,g(z) = 0. Das sind 3 Gleichungen fur 3 Unbekannte x, y, λ . . .
296
Teil X
Gewohnliche Differentialgleichungen50 Grundbegriffe, Existenz- und Eindeutigkeitssatz von
Picard und Lindelof
50.1 Definition: Gewohnliche Differentialgleichung
Seien I ⊂ R ein Intervall, G ⊂ Rn+2 (n ≥ 1), f : I → R n-mal differenzierbar,und fur x ∈ I sei
(x, f(x), f ′(x), . . . , f (n)(x)
)t ∈ G. f erfullt eine gewohnlicheDifferentialgleichung (Dgl.) n-ter Ordnung, wenn es eine Funktion H : G → R,H 6= 0 gibt, so dass
H(
x, f(x), . . . , f (n)(x))
= 0 (x ∈ I) (33)
Lasst sich (33) nach f (n)(x) auflosen in der Form
f (n)(x) = F(
x, f(x), . . . , f (n−1)(x))
(x ∈ I) mit passendem F, (34)
so heißt die Definition (34) ”explizit“, (33) heißt ”implizit“.
Abgekurzte Schreibweise: Die gesuchte Funktion (oben f ) heißt in der Theorieder gewohnlichen Differentialgleichungen ublicherweise y; man schreibt (33) und(34) in der Kurzform:
H(
x, y, y′, . . . , y(n))
(x ∈ I) (35)
y(n) = F(x, y, . . . , yn−1
)(x ∈ I) (36)
Anfangswertprobleme: Gegeben H (bzw. F ), x0 ∈ R, y0, . . . , yn−1 ∈ R mit(x0, y0, . . . , yn−1)
t ∈ G. Gesucht ist f : I → R (I passendes Intervall mit x0 ∈ I),so dass f die Differentialgleichung (33) lost mit der Anfangsbedingung (AB)
f (x0) = y0, f ′ (x0) = y1, . . . , f(n) (x0) = yn−1
Frage: Wann existiert eine Losung f , und ist diese ggf. eindeutig bestimmt?Ziel von 50: Hinreichende Bedingung fur positive Antwort auf diese Frage.
Technisch gunstiger fur die Behandlung obiger Frage ist es, Systeme von Differen-tialgleichungen 1. Ordnung zu betrachten.
297
50.2 Satz
Sei G ⊂ Rn+1, F : G→ R, und vorgelegt seien die Differentialgleichung
y(n) = F(
x, y, y′, . . . , y(n−1))
(37)
und x0, y0, . . . , yn−1 ∈ R, so dass (x0, y0, . . . , yn−1)t ∈ G. Ist y : I → R eine
n-mal differenzierbare Losung von (37), so ist z :=(y, y′, . . . , y(n−1)
)t: I → Rn
eine Losung des Systems von gewohnlichen Differentialgleichungen
z′ = f(x, z) (x ∈ I) mit (38)
f(x, z) := (z2, . . . , zn, F (x, z1, . . . , zn))t , z =
z1...zn
, f : G→ Rn
(39)
und umgekehrt: z 7→ y := z1. Dabei gilt: y ist Losung des Anfangswertproblems
y (x0) = y0, y′ (x0) = y1, . . . , y(n−1) (x0) = yn−1 (40)
genau dann, wenn z Losung des Anfangswertproblems mit Anfangswert
z (x0) = (y0, y1, . . . , yn−1)t =: z0 ∈ Rn (41)
ist.
Beweis: y 7→ z:
z′ =(
y′, y′′, . . . , y(n))t
= (z2, . . . , zn, F (x, z1, . . . , zn))t = f(x, z).
Genugt y der Bedingung (40), so gilt:
z (x0) =(y (x0) , y
′ (x0) , . . . , yn−1 (x0)
)t= (y0, . . . , yn−1)
t = z0
Umgekehrt z 7→ y: Sei z Losung von (38) und (39). ⇒ y := z1 ist n-mal dif-ferenzierbar mit y′ = z′1 = z2 (wg (38) und (39)), y′′ = z′′1 = z′2 = z3, . . . ,y(n−1) = z′n−1 = zn,
y(n) = z′n = F (x, z1, . . . , zn) = F(
x, y, . . . , y(n−1))
⇒ y ist Losung von (37). Genugt z zusatzlich der Anfangsbedingung (41), so ist
y (x0) = y0, y′ (x0) = y1, . . . , y(n−1) (x0) = yn−1 2
Also: Im folgenden betrachten wir Systeme des Typs (38) und nehmen dabei nichtnotwendig an, dass f von der speziellen Gestalt (39) ist.
298
50.3 Geometrische Deutung im Fall n = 1
Vorgelegt sei die Differentialgleichung y′ = f(x, y), f : G → R, G ⊂ R2 (z. B.offen), f z. B. stetig. Dann definiert f auf G ein Richtungsfeld: In jedem Punkt(x, y) ∈ G wird ein Vektor mit Lange 1 und Steigung f(x, y) gegen die x-Achseaufgetragen. Die Aufgabe, das Anfangswertproblem y ′ = f(x, y), y (x0) = y0
zu losen, bedeutet: Man bestimme eine differenzierbare Funktion y : I → R,y (x0) = y0, so dass die Tangente an den Graphen von y in jedem Punkt durch dasRichtungsfeld gegeben ist. Analog in beliebigen Dimensionen.
50.4 Existenzsatz von Peano
Sei G ⊂ Rn+p offen, f : G → Rn stetig, x0 ∈ Rp, y0 ∈ Rn und (x0, y0) ∈ G.
Dann existiert eine Losung y : I → Rn (x0 ∈◦I) des Anfangswertproblems
y′ = f(x, y), y (x0) = y0.
Beweis: siehe [CL55]
Warnung: Die Losung im Existenz-Satz von Peano 50.4 braucht nicht eindeutigbestimmt zu sein.
50.5 Beispiel
G = R2, f(x, y) :=√
|y| fur (x, y) ∈ R2. Differentialgleichung y′ =√
|y|.Triviale Losung y = 0. Weitere Losungen: y(x) := 1
4(x− c)2 fur x ≥ c,
yc(x) :=
{14(x− c)2 fur x ≥ c,−1
4(x− c)2 fur x ≤ c
fur a < β:
yα,β(x) :=
14(x− β)2 fur x ≥ β,0 fur α < x < β,−1
4(x− α)2 fur x ≤ α
⇒ Fur jedes (x0, y0) ∈ R2 hat das Anfangswertproblem unendlich viele Losungen.
50.6 Definition: Lipschitz-Bedingung
Sei G ⊂ Rn+1, f : G → Rm, wir schreiben die Punkte z ∈ Rn+1 in der Formz = (x, y)t, x ∈ R, y ∈ Rn.
a) f genugt in G lokal einer Lipschitz-Bedingung (bzgl. y), wenn zu jedemPunkt (a, b)t ∈ G, a ∈ R, b ∈ Rn eine Umgebung U und eine KonstanteC ≥ 0 existieren, so dass
‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ C ‖y1 − y2‖2
299
fur alle(
xy1
)
,(
xy2
)
∈ U ∩G.
b) f genugt auf G (”global“) einer Lipschitz-Bedingung, falls eine KonstanteC ≥ 0 existiert, so dass
‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ C ‖y1 − y2‖2
benannt nach Rudolf Otto Sigismund Lipschitz, 14.5.1832–7.10.1903, deutscherMathematiker.
50.7 Satz
Sei G ⊂ Rn+1 offen, f : G → Rm, (x, y)t 7→ f(x, y) sei bzgl. y differenzierbarund
∥∥∥∂f∂y
∥∥∥
2sei lokal beschrankt. Das ist z. B. dann der Fall, wenn f stetig partiell
differenzierbar ist (siehe Zusatzbemerkung zum Mittelwertsatz 42.1). Dann genugtf lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Beweis: Genugt fur m = 1, denn aus |fµ (x, y1)− fµ (x, y2)| ≤ c ‖y1 − y2‖2
∀µ = 1, . . . ,m folgt fur f =
f1...fm
:
‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 =
m∑
µ=1
(fµ (x, y1)− fµ (x, y2))2
12
≤ √mC ‖y1 − y2‖2 . . .
Sei also m = 1, f : G → R, sei weiter(ab
)
∈ G, U := Kr
(ab
)
, wobei
r > 0 so klein sei, dass U ⊂ G und∥∥∥∥
∂f
∂y(x, y)
∥∥∥∥
2
≤M fur alle(xy
)
∈ U.
Seien(
xy1
)
,(
xy2
)
∈ U . U konvex
42.2⇒ |f (x, y1)− f (x, y2)|
≤ sup0≤t≤1
∥∥gradyf (x, y1 + t (y2 − y1))
∥∥
2· ‖y2 − y1‖2
≤M ‖y2 − y1‖2 2
300
50.8 Satz
Es seien G ⊂ Rn+1, K ⊂ G kompakt, f : G → Rm sei stetig und genuge lokaleiner Lipschitz-Bedingung (bzgl. y). Dann genugt f auf ganz K einer Lipschitz-Bedingung.
Beweis: Laut Voraussetzung existiert zu jedem p =
(ab
)
∈ G (a ∈ R, b ∈Rn) ein r(p) > 0 und ein Cp ≥ 0, so dass K2r(p)(p) ⊂ G und
‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ Cp ‖y1 − y2‖2 ∀(
xy1
)
,
(xy2
)
∈ K2r(p)(p)∩G
Die Kugeln Kr(p) (p ∈ K) bilden eine offene Uberdeckung von K, haben alsoeine endliche Teiluberdeckung Kr(p1) (p1) , . . . ,Kr(pm) (pm). Sei
C := max {Cp1 , . . . , Cpm} ,
δ := min {r (p1) , . . . , r (pm)} ,(
xy1
)
,
(xy2
)
∈ K.
(i) Ist ‖y1 − y2‖2 ≥ δ, so setzen wir
M := max
{
‖f(x, y)‖2 :
(xy
)
∈ K}
(<∞)
f ist stetig
⇒ ‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ 2M ≤ 2M
δ· ‖y1 − y2‖2
(ii) Sei ‖y1 − y2‖2 < δ. ⇒ ∃ ν ∈ {1, . . . ,m}, so dass(
xy1
)
∈ Kr(pν) (pν),
und wegen ‖y1 − y2‖2 < δ gilt:∥∥∥∥
(xy2
)
− pν∥∥∥∥
2
≤∥∥∥∥
(xy2
)
−(
xy1
)∥∥∥∥
2︸ ︷︷ ︸
=‖y2−y1‖2<δ≤r(pν)
+
∥∥∥∥
(xy1
)
− pν∥∥∥∥
2︸ ︷︷ ︸
<r(pν)
< 2r (pν) ,
und auf K2r(pν) (pν) gilt die Lipschitzbedingung:∥∥∥∥f
(xy1
)
− f(
xy2
)∥∥∥∥
2
≤ C ‖y1 − y2‖2
⇒ C ′ := max(C, 2M
δ
)leistet das Verlangte fur K. 2
301
50.9 Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard und Lindelof
benannt nach Emile Picard, 24.7.1856–11.12.1941, franzosischer Mathematikeraus Paris und Ernst Leonard Lindelof, 7.3.1870–4.6.1946, finnischer Mathematikeraus Helsinki.Es seien G ⊂ Rn+1 offen, f : G → Rn stetig und genuge lokal einer Lipschitz-
Bedingung bzgl. y. Ferner seien x0 ∈ R, y0 ∈ Rn, so dass(x0
y0
)
∈ G, α, β > 0
seien so gewahlt, dass
K :=
{(xy
)
∈ Rn+1, |x− x0| ≤ α, ‖y − y0‖2 ≤ β}
⊂ G
und es seien (siehe 50.8) C ≥ 0, so dass
‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ C ‖y1 − y2‖2 ∀(
xy1
)
,
(xy2
)
∈ K
M := max
{
‖f(x, y)‖2 ,(xy
)
∈ K}
,
0 < δ ≤{
min(
α, βM
)
, falls M > 0,
α falls M = 0
und δ so klein, dass C · δ < 1. Dann gibt es genau eine stetig differenzierbareLosung g : [x0 − δ, x0 + δ]→ Rn der Differentialgleichung
y′ = f(x, y), (42)
welche der Anfangsbedingung
g (x0) = y0 (43)
genugt.
Beweis: I := [x0 − δ, x0 + δ] und
X := {u : I → Rn stetig und ‖u(x)− y0‖2 ≤ β ∀x ∈ I} ,
d. h. Graph(u) ⊂ K, V := {u : I → Rn stetig} ist bzgl.
‖u‖∞ := max {‖u(x)‖2 : x ∈ I}
ein Banach-Raum (vgl. 37.12), also vollstandig und X ⊂ V ist abgeschlossen,denn: sei uk ∈ X , u ∈ V und gelte ‖uk − u‖2
k→∞−−−→ 0, so folgt uk(x)k→∞−−−→
u(x) (glm. auf I). Nach Voraussetzung folgt ‖uk(x)− y0‖2 ≤ β (x ∈ I) ⇒‖u(x)− y0‖2 ≤ β (x ∈ I). u stetig ⇒ u ∈ X . ⇒ X ist ein vollstandigermetrischer Raum bzgl. d(u, v) := ‖u− v‖∞.
302
Ansatz: Wenn wir eine differenzierbare Losung y von (42) und (43) haben,so ist y auch Losung der Integralgleichungen
y(x) = y0 +
∫ x
x0
f (t, y(t)) dt (x ∈ I) (44)
Dabei ist das Integral komponentenweise zu lesen. Umgekehrt: Jede stetige Losungy von (44) ist auch differenzierbar (nach 27.2) und erfullt (42) und (43).(44) besagt: Die Abbildung T : X → X (im Moment ist noch unklar, dass dieWerte von T wirklich in X liegen)
(Tu)(x) := y0 +
∫ x
x0
f (t, u(t)) dt (x ∈ I) (45)
hat einen Fixpunkt. Die Existenz eines Fixpunktes liefert der Kontraktionssatz(46.3), wenn wir wissen, dass T (X) ⊂ X und T kontrahierend.
Ausfuhrung: Fur u ∈ X sei Tu : I → Rn definiert durch (45).
⇒ ∀x ∈ I ‖(Tu)(x)− y0‖2 =
∥∥∥∥
∫ x
x0
f (t, u(t)) dt
∥∥∥∥
2
≤
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∫ x
x0
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
f (t, u(t))︸ ︷︷ ︸
∈K︸ ︷︷ ︸
≤M
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
2
dt
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
≤M |x− x0| ≤Mδ ≤ β
nach Wahl von δ.⇒ T : X → X bildet X in X ab aufgrund folgender
Rechenregel: Fur g : [a, b]→ Rn stetig gilt:∥∥∥∥
∫ b
ag(x)dx
∥∥∥∥
2
≤∫ b
a‖g(x)‖2 dx
Begrundung: Fur∫ ba g(x)dx = 0 ist die Behauptung richtig. Sei
∫ ba g(x)dx 6= 0,
w :=1
∥∥∥
∫ ba g(x)dx
∥∥∥
2
·∫ b
ag(x)dx mit ‖w‖2 = 1
⇒∥∥∥∥
∫ b
ag(x)dx
∥∥∥∥
2
=
⟨
w,
∫ b
ag(x)dx
⟩
=
∫ b
a〈w, g(x)〉 dx
28.11≤
∫ b
a‖w‖2︸ ︷︷ ︸
=1
‖g(x)‖2 dx =
∫ b
a‖g(x)‖2 dx 2
303
K ⊂ G kompakt⇒ Es gibt ein C wie in 50.7, und dazu wahlen wir δ. Wir zeigen:T ist eine Kontraktion. Fur alle u, v ∈ X , x ∈ I gilt:
‖(Tu)(x)− (Tv)(x)‖2 =
∥∥∥∥
∫ x
x0
(f (t, u(t))− f (t, v(t))) dt
∥∥∥∥
2
≤
∣∣∣∣∣∣∣
∫ x
x0
‖(f (t, u(t))− f (t, v(t)))‖2︸ ︷︷ ︸
Lipschitz-Bedingung
dt
∣∣∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣∣∣
∫ x
x0
C ‖u(t)− v(t)‖2︸ ︷︷ ︸
≤‖u−v‖∞
dt
∣∣∣∣∣∣∣
≤ C · δ︸︷︷︸
<1
‖u− v‖∞︸ ︷︷ ︸
=d(u,v) in X
⇒ T ist Kontraktion. 46.3⇒ T hat genau einen Fixpunkt y ∈ X , d. h. es gibt genauein y ∈ X mit Ty = y, d. h.
y(x) = y0 +
∫ x
x0
f (t, y(t)) dt ∀x ∈ I
⇒ y lost das Anfangswertproblem (42) und (43), y ist inX die einzige Losung desAnfangswertproblems. 2
Zusatz: Der Fixpunktsatz sagt auch aus, wie man den Fixpunkt erhalt: Manwahle irgendein y0 ∈ X , z. B. y0(x) = y0 (vorgegebener Anfangswert) und startedie Iteration
yk+1(x) = y0 +
∫ x
x0
f (t, yk(t)) dt. (x ∈ I, k ≥ 0)
Dann konvergiert diese Folge im Sinne der Metrik von X gegen die Losung y :
I → Rn des Anfangswertproblems (42), (43), d. h. ykk→∞−−−→glm.
y. Methode der
sukzessiven Approximation.
Behauptung: Es gilt sogar Eindeutigkeit unter allen Losungen y : I → Rn mitGraph(y) ⊂ G, y′ = f(x, y), y (x0) = y0 nach folgendem
50.10 Eindeutigkeitssatz
Sei G ⊂ Rn+1 offen, f : G → Rn stetig und genuge lokal einer Lipschitz-Bedingung bzgl. y. Ferner seien J ⊂ R ein Intervall und u, v : J → Rn zweiLosungen der Differentialgleichung y′ = f(x, y) (x ∈ J), die der gleichen An-fangsbedingung u (x0) = v (x0) = y0 genugen. Dann ist u = v auf ganz J .
304
Beweis: Sei x0 ∈ J◦. Wegen Stetigkeit von u, v in x0 kann man δ > 0 so kleinwahlen, dass I := [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ J und u|I , v|I ⊂ X mit X aus dem Beweisvon 50.9. Eindeutigkeit der Losung in X ⇒ u|I = v|I .
Behauptung: Sei x1 := sup{
x ∈ J, x > x0, u|[x0,x]= v|[x0,x]
}
. Ist x1 =
∞ oder (X = R und x1 rechtes Intervall-Ende von J), so ist die Behauptung klar,denn auch im Falle X = R, x1 ∈ J ist u (x1) = v (x1) wegen der Stetigkeit.
Annahme: x1 ∈◦I . ⇒ ∃ δ1 > 0, so dass I1 := [x1 − δ1, x1 + δ1] ⊂ J .
Wegen Stetigkeit von u, v in x1 ist
u (x1) = v (x1) =: y1 ∈ Rn
(x1
y1
)
∈ G
und zu(x1
y1
)
existiert K1 statt K (wie in 50.9). δ1 sei gleich so klein, dass
es den Bedingungen aus 50.9 genugt. Die schon bewiesene Eindeutigkeitsaussagelasst sich auf u|I1 und v|I1 anwenden und liefert u|I1 = v|I1 EWiderspruch zurMaximierung von x1.⇒ Behauptung.Gleicher Schluss klappt fur x ∈ J , x ≤ x0 und einseitig, falls x0 ein Endpunkt vonJ ist. Dazu in 50.9 das K passend wahlen. 2
Zusatz: In der Situation 50.9 kann man die Losung y : [x0 − δ, x0 + δ] → Rn
des Anfangswertproblems (42), (43) fortsetzen zu einer Losung y : J → R mit ma-ximalem Definitions-Intervall J ⊃ [x0 − δ, x0 + δ]. (Man nehme die Vereinigungaller moglichen Definitions-Intervalle, die x0 enthalten und nutze die Eindeutigkeitgemaß 50.10).Der Graph von y verlauft in G ”von Rand zu Rand“ im folgenden Sinne:
{(x
y(x)
)
, x ∈ J, x ≥ x0
}
und{(
xy(x)
)
, x ∈ J, x ≤ x0
}
sind keine kompakten Teilmengen von G. Siehe dazu auch [Kon97], S. 143.
50.11 Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur explizite Differentialglei-chungen
Sei G ⊂ Rn+1 offen, F : G → R,(xy
)
7→ F
(xy
)
stetige Funktion, die
lokal einer Lipschitzbedingung bzgl. y genuge. Dann gibt es zu jedem Anfangswert(x0, y0, . . . , yn−1)
t ∈ G ein δ > 0 und eine n-mal differenzierbare Losung
y : [x0 − δ, x0 + δ]→ R
305
der Differentialgleichung
y(n) = F(
x, y, y′, . . . , y(n−1))
, (46)
die der Anfangsbedingung
y (x0) = y0, y′ (x0) = y1, . . . , y(n−1) (x0) = yn−1 (47)
genugt. Ist J ⊂ R ein Intervall und sind u, v : J → R zwei Losungen der Diffe-rentialgleichung (46), (47), so ist u = v auf J .
Beweis: (46) ist aquivalent zu dem System
z′ = f(x, z) =
z2...zn
F (x, z1, . . . , zn)
.
Hier ist
‖f(x, z)− f(x,w)‖22 = (z2 − w2)2+. . .+(zn − wn)2+(F (x, z)− F (x,w))2
︸ ︷︷ ︸
lokal ≤C‖z−w‖22
≤ ‖z − w‖22 + C ‖z − w‖22 = (C + 1) ‖z − w‖22⇒ f erfullt eine Lipschitzbedingung und ist stetig. Daraus folgt mit 50.9, 50.10und 50.2 die Behauptung. 2
50.12 Beispiel
y′′ + y = 0, G = R2, F (x, y) = −y, x0 = 0, y0, y1 ∈ R beliebig. Das An-fangswertproblem lautet: y′′ + y = 0, y(0) = y0, y′(0) = y1. Offenbar sind sinxund cosx Losungen der Differentialgleichung und y(x) = y0 · cosx + y1 · sinx(x ∈ R) lost das Anfangswertproblem. 50.11⇒ Dies ist die einzige Losung des An-fangswertproblems. Fur beliebige x0 ∈ R lost
y(x) := y0 cos (x− x0) + y1 sin (x− x0)
das Anfangswertproblem y′′ + y = 0, y (x0) = y0, y′ (x0) = y1.
306
51 Elementare Losungsmethoden
siehe [For01b], Kap. II, §11.Differentialgleichungen mit getrennten Variablen:
y′ = f(x) · g(y) (f : I → R, g : J → R, I, J ⊂ R Intervalle)
Lineare Differentialgleichungen:
y′ = a(x)y + b(x), a, b : I → R stetig
Zu beliebigem (x0, y0) ∈ I × R existiert genau eine Losung y : I → R desAnfangswertproblems, namlich
y(x) = exp
(∫ x
x0
a(t)dt
)(
y0 +
∫ x
x0
(
exp
(
−∫ t
x0
a(u)du
))
· b(t)dt)
Homogene Differentialgleichungen:
y′ = f(y
x
)
, y′′ = f(y′)
Literatur: [Heu91], [Wal00], [Kam77]
307
52 Lineare Differentialgleichungen
K = R oder C
52.1 Definition: Lineare Differentialgleichungssysteme
Sei I ⊂ R ein Intervall und A =
a1,1 · · · a1,n...
. . ....
an,1 · · · an,n
: I → Kn×n stetig, d. h.
Aj,k : I → K stetig. Dann heißt y′ = A(x) ein homogenes lineares Differential-gleichungssystem. Ist auch b : I → Kn stetig, so heißt y′ = A(x)y+b(x) (x ∈ I)ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem. Gesucht sind Losungeny : I → Kn.
52.2 Satz
Seien I, A, b wie in 52.1 (stetig). Dann gibt es zu jedem Anfangswert x0 ∈ I ,y0 ∈ Rn genau eine auf ganz I definierte Losung y : I → Kn der inhomogenenlinearen Differentialgleichung
y′ = A(x)y + b(x) (x ∈ I), die der Anfangsbedingung (48)
y (x0) = y0 (49)
genugt.
Beweis: OBdA sei K = R, denn ein System von n komplexen Differentialglei-chungen ist aquivalent zu einem System von 2n reellen Differentialgleichungenbei Trennung von Real- und Imaginarteil. Die Differentialgleichung hat die Form:y′ = f(x, y), f : I × Rn → Rn, f(x, y) = A(x)y + b(x) (x ∈ I, y ∈ Rn).Sei K ⊂ I kompaktes Teilintervall. ⇒ Es gibt C ≥ 0, so dass ‖A(x)‖2 ≤ C(x ∈ K), also
‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 = ‖A(x) (y1 − y2)‖2 ≤ C ‖y1 − y2‖2
fur alle(
xy1
)
,(
xy2
)
∈ K×Rn.⇒ f erfullt auch auf K×Rn eine Lipschitz-
bedingung.50.9, 50.10⇒ Das Anfangswertproblem ist lokal losbar, die Losung ist
eindeutig bestimmt auf dem maximalen Definitionsintervall J ⊂ I .
Behauptung: K ⊂ J (Dann folgt I = J)
308
Begrundung:
y0(x) = y0 (x ∈ I), yk+1(x) := y0 +
∫ x
x0
f (t, yk(t)) dt (x ∈ I)
⇒ ∀x ∈ K ‖yk+1(x)− yk(x)‖2
=
∥∥∥∥
∫ x
x0
(f (t, yk(t))− f (t, yk−1(t))) dt
∥∥∥∥
2
s.o.≤ C
∣∣∣∣
∫ x
x0
‖yk(t)− yk−1(t)‖2 dt∣∣∣∣
(50)
Wir zeigen:
‖yk+1(x)− yk(x)‖2 ≤MCk |x− x0|k1
k!(x ∈ K) (51)
mit M := max {‖y1(x)− y0(x)‖2 , x ∈ K}.
Begrundung: Induktion:
k = 0: (51) gilt nach Definition von M .
k − 1→ k: Gilt (51) fur k − 1 anstelle von k, so folgt aus (50), dass
‖yk+1(x)− yk(x)‖2 ≤ C∣∣∣∣M
∫ x
x0
Ck−1 |t− x0|k−1 1
k!dt
∣∣∣∣
= MCk |x− x0|k1
k!(x ∈ K)
⇒ (51) ist richtig.
(51)⇒Die Reihe y0+∑∞
k=0 (yk+1 − yk) konvergiert gleichmaßig aufK, denn dieExponential-Reihe ist konvergente Majorante. ⇒ Die Folge (yk)k≥0 konvergiertgleichmaßig auf K gegen eine stetige Funktion y mit
y(x) = y0 +
∫ x
x0
f (t, y(t)) dt (x ∈ K)
⇒ y ist Losung des Anfangswertproblems auf K.⇒ K ⊂ J ⇒ J = I . 2
52.3 Satz
Sei A : I → Mat (n× n,K) stetig. Dann ist
L :={y : I → Kn, y differenzierbar mit y′ = A(x)y
}
ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Fur f1, . . . , fk ∈ L ist aquivalent:
309
(i) f1, . . . , fk linear unabhangig uber K
(ii) Es gibt ein x0 ∈ I , so dass f1 (x0) , . . . , fk (x0) ∈ Kn linear unabhangiguber K
(iii) Fur alle x0 ∈ I sind f1 (x0) , . . . , fk (x0) linear unabhangig uber K.
Zur Erinnerung: f1, . . . , fk linear abhangig uber K ⇔ ∃
λ1...λk
∈ Kn\
0...0
mit∑k
j=1 λkfk = 0
Beweis:
L K-Vektorraum: klar.
(iii)⇒(ii)⇒(i): klar.
(i)⇒(iii): Seien f1, . . . , fk linear unabhangig uber K, x0 ∈ I . Wir nehmen an,die Behauptung sei falsch, d. h. f1 (x0) , . . . , fn (x0) linear abhangig, d. h. esexistieren λ1, . . . , λn ∈ K, (λ1, . . . , λk) 6= (0, . . . , 0) mit
k∑
j=1
λjfj (x0) = 0 (∈ Kn)
⇒ f :=∑k
j=1 λjfj ∈ L ist Losung des Anfangswertproblems y′ = A(x)y,y (x0) = 0 (∈ Kn). Dieses Anfangswertproblem hat die eindeutig bestimmteLosung 0.⇒ f = 0.
⇒k∑
j=1
λjfj = 0 mit (λ1, . . . , λk) 6= (0, . . . , 0)
⇒ f1, . . . , fk sind linear abhangig. E ⇒ Behauptung (i)⇒(iii)
dimK L = n: Zu e1, . . . , en ∈ Kn und x0 ∈ I existieren nach 52.2 g1, . . . , gn ∈L mit gj (x0) = ej (j = 1, . . . , n). ⇒ g1 (x0) , . . . , gn (x0) sind linear
unabhangig.(ii)⇒(i)⇒ g1, . . . , gn linear unabhangig. ⇒ dimK L ≥ n. Aber:
Wegen (i)⇔(ii) ist dimK L ≤ n. Zusammen: dimK L = n. 2
52.4 Definition: Hauptsystem
In der Situation 52.3 nennt man eine Basis von L ein Hauptsystem oder Funda-mentalsystem der Differentialgleichung y′ = A(x)y.
310
52.5 Wronskische Determinante
von 1851, benannt nach Josef Hoene de Wronski, 23.8.1778–8.8.1853, polnischerMathematiker aus Wolsztyn.In der Situation 52.3 sei y1, . . . , yn : I → Kn ein Hauptsystem der Differential-gleichung y′ = A(x)y,
W (x) := det (y1(x), . . . , yn(x)) (x ∈ I).
Dann gilt: W ′(x) = (SpurA(x))W (x) (x ∈ I), also:
W (x) = W (x0) exp
(∫ x
x0
(SpurA(t)) dt
)
(x, x0 ∈ I)
Beweis: Sei
yk :=
y1,k...
yn,k
= k-te Spalte von W,
zj := (yj,1, . . . , yj,n) = j-te Zeile von W.
⇒W ′ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
z′1z2...zn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
z1z′2...zn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+ . . .+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
z1...
zn−1
z′n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Hier ist
z′j =(y′j,1, . . . , y
′j,n
)=(
(Ay1)j , . . . (Ayn)j
)
,
wobei (Ay1)j jeweils die j-te Koordinate von (Ay1) bezeichnet.
=
(n∑
k=1
aj,kyk,1, . . . ,
n∑
k=1
aj,kyk,n
)
=n∑
k=1
aj,k (yk,1, . . . , yk,n) =n∑
k=1
aj,kzk.
⇒
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
z1...
zj−1
z′jzj+1
...zn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= aj,j
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
z1...
zj−1
zjzj+1
...zn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= aj,jW
311
⇒ W ′ = (SpurA)W . W ist nullstellenfrei nach 52.3. Ist z. B. W > 0 auf I , sohaben wir
(logW )′ =W ′
W= SpurA,
also
logW (x)− logW (x0) =
∫ x
x0
SpurA(t)dt,
also
W (x) = W (x0) exp
(∫ x
x0
(SpurA(t)) dt
)
. (52)
Ist W (x) < 0 auf I , so ersetzt man y1 7→ −y1, wendet das soeben Bewiesene anauf (−y1, y2, . . . , yn) und macht am Schluss in (52) den Zeichenwechsel wiederruckgangig. 2
52.6 Satz
Seien A : I → Kn×n, b : I → Kn stetig,
L :={y : I → Kn, y differenzierbar mit y′ = A(x)y
},
Lb :={y : I → Kn differenzierbar mit y′(x) = A(x)y + b(x)
}.
Dann gilt fur jedes f ∈ Lb:
Lb = f + L,
d. h. zu jeder Losung g der inhomogenen Differentialgleichung existiert eine Lo-sung h der homogenen Differentialgleichung mit g = f + h; umgekehrt ist jedessolche f + h eine Losung der inhomogenen Differentialgleichung.
Beweis:
(i) g ∈ Lb ⇒ g − f ∈ L, d. h. g ∈ f + L.
(ii) f ∈ Lb, h ∈ L ⇒ f + h ∈ Lb 2
Ergebnis: Das Problem der Bestimmung aller Losungen von y′ = A(x)y+ b(x)(A, b wie oben) zerfallt in zwei Teile:
(A) Bestimmung einer partikularen (speziellen) Losung f der inhomogenen Dif-ferentialgleichung,
(B) Bestimmung eines Hauptsystems der homogenen Differentialgleichung y ′ =A(x)y.
312
Wenn (A) und (B) gelost sind, erfordert die Losung eines beliebigen Anfangswert-problems lediglich die Auflosung eines linearen Gleichungssystems von n Glei-chungen mit n Unbekannten, wobei man von vorneherein weiß, dass das lineareGleichungssystem genau eine Losung hat.
Zu (B): Es gibt kein allgemeines Patentrezept zur Bestimmung eines Hauptsy-stems. Aber:
(i) Ist A konstant, so kann man (B) explizit losen (siehe 52.8).
(ii) Ist A nicht konstant, so gilt: Sind schon linear unabhangige Losun-gen f1, . . . , fk von y′ = A(x)y bekannt, so kann man das ursprung-liche System reduzieren auf ein System z ′ = B(x)z mit B : I →Mat (n−k×n−k,K), und mit Hilfe eines Hauptsystems zk+1, . . . , zndes reduzierten Systems Losungen fk+1, . . . , fn des ursprunglichenSystems konstruieren, so dass f1, . . . , fk, fk+1, . . . , fn ein Hauptsy-stem von y′ = A(x)y bilden. (Reduktionsverfahren von d’Alembert12).
Fall n = 2, k = 1 ist nachzulesen bei [For01b], S. 133 oder bei [Wal00].
Zu (A): Ist (B) gelost, so kann man (A) explizit losen:
52.7 Satz
Seien A : I → Kn×n, b : I → Kn stetig, y1, . . . , yn : I → Kn ein Hauptsystemvon y′ = A(x)y, Y := (y1, . . . , yn) : I → Gl (n,K). Dann ist fur jedes x0 ∈ I ,y0 ∈ Kn die Funktion
f(x) := Y (x)
(∫ x
x0
(Y (t))−1 (b(t)) dt+ (Y (x0))−1 y0
)
die Losung der inhomogenen Differentialgleichung
y′ = A(x)y + b(x) mit y (x0) = y0
Beweis: Nachrechnen: Sei
u(x) :=
∫ x
x0
(Y (t))−1 b(t)dt+ (Y (x0))−1 y0, f = Y u.
⇒ u′ = (Y (x))−1 b(x)
⇒ f ′ = Y ′u+ Y u′Y ′=AY
= A Y u︸︷︷︸
f
+Y Y −1︸ ︷︷ ︸
E
b = Af + b
und f (x0) = y0. 2
1217.11.1717–29.10.1783, franzosischer Mathematiker, Zeitgenosse von Leonard Euler und Da-niel Bernoulli.
313
52.8 Systeme mit konstanten Koeffizienten
Sei A ∈ Kn×n, v ∈ Kn Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ∈ K. Dann isty(x) := eλxv (x ∈ R) eine Losung der homogenen linearen Differentialglei-chung y′ = Ay. Also: hat A n verschiedene Eigenwerte λ1, . . . , λn ∈ K mit zu-gehorigen Eigenvektoren v1, . . . , vn ∈ Kn, so ist yj(x) := eλjxvj (j = 1, . . . , n)ein Hauptsystem der Differentialgleichung y′ = Ay.
Beweis: klar.
Bemerkung: Auch fur beliebige A ∈ Kn×n (konstant) kann man ein Hauptsy-stem hinschreiben mit Hilfe der Jordanschen Normalform von A. siehe [Wal00],[Heu91]. . .
314
53 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
53.1 Definition: Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung
Sind I ⊂ R ein Intervall, a0, a1, . . . , an−1 : I → K stetig, so heißt
y(n) + an−1(x)y(n−1) + . . .+ a1(x)y
′ + a0y = 0 (x ∈ I) (53)
eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung (mit stetigen Koeffizi-enten). Ist auch b : I → R stetig, so heißt
y(n) + an−1(x)y(n−1) + . . .+ a1(x)y
′ + a0y = b(x) (x ∈ I) (54)
eine inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.
53.2 Satz
Seien a0, . . . , an−1, b : I → R stetig.
a) L := {y : I → Kn : y n-mal differenzierbar mit (53)} ist ein n-dimensionalerK-Vektorraum. Eines Basis von L heißt Hauptsystem von (53).
b) Ist f Losung von (54) und
Lb := {y : I → Kn : y n-mal differenzierbar mit (54)} ,
so gilt: Lb = f + L
c) Fur y1, . . . , yk ∈ L ist aquivalent:
(i) y1, . . . , yk sind linear unabhangig uber K
(ii) Es gibt ein x0 ∈ I , so dass
y1 (x0)y′1 (x0)
...y
(n−1)1 (x0)
, . . . ,
yn (x0)y′n (x0)
...y
(n−1)n (x0)
(55)
linear unabhangig uber K.
(iii) Fur alle x0 ∈ I sind (55) uber K linear unabhangig.
d) Ist y1, . . . , yn ein Hauptsystem von (53), so gilt fur die Wronski’sche Deter-minante:
W (x) := det(
y(i)j (x)
)
i=0,...,n−1j=1,...,n
die Differentialgleichung W ′ = −an−1(x)W , also ist
W (x) = W (x0) exp
(
−∫ x
x0
an−1(t)dt
)
(x, x0 ∈ I)
315
Beweis: Reduktion auf Systeme 1. Ordnung.
z :=
yy′
...y(n−1)
, A :=
0 1 0 · · · 0...
. . . . . . . . . 00 0 0 1 00 0 0 0 1−a0 −a1 −a2 . . . −an−1
(53)⇔ z′ = A(x)z, (54)⇔ z′ = A(x)z + b(x)en. Die Zuordnung y 7→ z definierteine bijektive lineare Abbildung. Daher folgen a)-c) aus 52.3, 52.6 und d) aus 52.5,denn SpurA = −an−1. Die Probleme (A) und (B) bestehen sinngemaß, und mitHilfe eines Hauptsystems kann man immer eine partikulare Losung finden.Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten n-ter Ordnung: Sei-en a0, . . . , an−1 konstant, so gilt fur
χA = (−1)n(Xn + an−1X
n−1 + . . .+ a1X + a0
)= (−1)np(X)
p(X) heißt charakteristisches Polynom der Differentialgleichung (53) (siehe [Bos00],S. 224, Lemma 8).
53.3 Basissatz
Vorgelegt sei die Differentialgleichung
y(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y
′ + a0y = 0 (56)
mit a0, . . . , an−1 ∈ K, und das charakteristische Polynom
p(X) = Xn + an−1Xn−1 + . . .+ a1X + a0
zerfalle uber K in Linearfaktoren
p(X) =k∏
j=1
(X − λj)mj (λ1, . . . , λk ∈ K verschieden, m1, . . . ,mk ∈ N)
Dann bilden fur jedes x0 ∈ R die Funktionen
yjν (x) := (x− x0)ν eλj(x−x0) (j = 1, . . . , k, ν = 0, . . . ,mj − 1, x ∈ R)
ein Hauptsystem von (56).
Beweis: Die yjν sind n linear unabhangige Losungen. 2
316
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318
Abbildungsverzeichnis
1 Geometr. Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042 LaGrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183 f(x) = xx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284 f(x) = exp
(
−x2
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295 Sehnenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546 ϕ2(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597 Der Graph von ϕ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608 f(x, y) = 2x2 + 3y2 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2669 f(x, y) = 2x2 − 3y2 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26710 h(x) = ±
√x3 + x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11(x4 + y4 − 4xy
) (x4 + y4 + 4xy
)= 0 . . . . . . . . . . . . . . 288
Inhaltsverzeichnis
I Die reellen Zahlen 3
1 Grundlagen 31.1 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Korperbegriff 92.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 (A) Axiome der Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 (M) Axiome der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Folgerungen aus (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Folgerungen aus (M) und (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
319
2.10 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.13 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.14 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Anordnung 173.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.8 Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.11 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Einbettung von Q in K 234.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Einbettung von Q in K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Unvollstandigkeit von Q, das Supremumsaxiom in R 255.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.5 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.7 Supremumsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.7.1 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.9 Aquivalente Charakterisierungen von R . . . . . . . . . . . . . 27
6 Erste Folgerungen aus dem Supremumsaxiom 286.1 Archimedisches Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.2 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7 Wurzeln 30
320
7.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Abzahlbarkeit von Q, Uberabzahlbarkeit von R 338.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.4 Prinzip von der Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . 348.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9 Polynomfunktionen, algebraische und transzendente Zahlen 369.1 Definition: Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.2 Definition: Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.6 Definition: Grad eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.8 Definition: Vielfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.9 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.10 Definition: Algebraische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.11 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II Folgen und Reihen 40
10 Folgen 4010.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.3 Definition: Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.4 Definition: Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.5 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.6 Definition: Nullfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.7 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.10 Definition: Beschranktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
321
10.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.13 Rechenregeln fur konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . 4410.14 Beispiele fur die Anwendung der Rechenregeln . . . . . . . . . 4510.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.16 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.17 Einschließungskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.18 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.19 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.20 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.21 Das Wurzelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.22 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.23 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.24 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.25 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11 Das Cauchy-Kriteriumund der Satz von Bolzano/Weierstraß 5011.1 Definition: Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.6 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.9 Satz von Bolzano/Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.10 Hauptsatz uber konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.11 Definition: Limes superior/inferior . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.12 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
12 Unendliche Reihen 5612.1 Definition: Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.7 Cauchysches Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.8 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.9 Beispiel: Harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.10 Beispiel: Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6112.11 Vergleichskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
322
12.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.13 Definition: Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.15 Leibnizsches Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.16 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.17 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.18 Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.19 Cauchysches Verdichtungskriterium . . . . . . . . . . . . . . . 6412.20 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.21 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.22 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13 Dezimalbruche und b-adische Entwicklungen 6813.1 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6813.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
III Stetige Funktionen und Potenzreihen 71
14 Topologie von R und C 7114.1 Definition: offen↔abgeschlossen, Topologie . . . . . . . . . . . 7114.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7114.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7114.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.6 Definition: Beruhrungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.9 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.10 Definition: Haufungspunkt↔isolierter Punkt . . . . . . . . . . . 7414.11 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7414.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7414.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7514.14 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7514.15 Satz von Bolzano/Weierstraß fur Mengen . . . . . . . . . . . . 75
15 Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit 7615.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.6 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.7 Definition: Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
323
15.8 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7815.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7815.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915.13 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8015.14 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8015.15 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8015.16 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.17 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.18 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.19 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
16 Eigenschaften stetiger Funktionen 8316.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8316.2 Konsequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8316.3 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8316.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.8 Definition: Beschranktheit bei Funktionen . . . . . . . . . . . . 8416.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.10 Definition: Absolute Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.12 Zwischenwertsatz in 2. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.13 Zwischenwertsatz in 3. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . 8616.14 Definition: Monotonie bei Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 8616.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8616.16 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8716.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8816.18 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8816.19 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
17 Potenzreihen 8917.1 Abelsches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8917.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.5 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.6 Cauchy-Hadamardsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.7 Definition: Cauchyprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.9 Multiplikationssatz fur Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . 93
324
17.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9417.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
18 Die Exponentialfunktion 9618.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9618.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9618.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9818.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9818.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
19 Logarithmus und allgemeine Potenz 10019.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10019.2 Eigenschaften des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10019.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10019.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10119.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10119.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10219.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10219.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10319.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10319.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
20 Winkelfunktionen 10420.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420.2 Definition: Sinus, Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420.3 Eulersche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.6 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.10 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10620.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10620.12 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10720.13 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10720.14 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10720.15 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.16 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.17 Satz: Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.18 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10920.19 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
325
20.20 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.21 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.22 Definition: Tangens, Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.24 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
IV Differentialrechnung 112
21 Differenzierbare Funktionen 11221.1 Definition: Differenzierbarkeit, Ableitung . . . . . . . . . . . . 11221.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11221.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11421.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11421.8 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11421.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11521.10 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11621.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
22 Lokale Extrema, Satz von Rolle, Mittelwertsatz 11722.1 Definition: lokales Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.3 Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.4 Verallg. Mittelwertsatz: Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.5 Mittelwertsatz: LaGrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.7 Definition: Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11922.9 Die Differentialgleichung von exp(x) . . . . . . . . . . . . . . 11922.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11922.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12022.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
23 Die Regel von de l’Hospital 12223.1 Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12223.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
24 Konvexe Funktionen 12524.1 Definition: Konvexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12524.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12524.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
326
24.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12624.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12624.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12724.7 Definition: Wendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12824.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12824.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
25 Taylorsche Formel 13025.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13025.2 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13025.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13125.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13125.5 Logarithmus-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13225.6 Binomial-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13225.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
V Integralrechnung 134
26 Das Riemannsche Integral 13426.1 Definition: Obersumme, Untersumme, Zwischensumme . . . . . 13426.2 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13426.3 Definition: Ober- und Unterintegral . . . . . . . . . . . . . . . . 13526.4 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13526.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13526.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13626.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13626.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13626.9 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13726.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13726.11 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13826.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13826.13 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13926.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13926.15 Definition: Gleichmaßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 13926.16 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14026.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14026.18 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14026.19 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14126.20 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
27 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 14227.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 14227.2 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung . . . . . . . . 142
327
27.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14327.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14327.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14427.6 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14527.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14527.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14527.9 Wallissches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14527.10 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14627.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14727.12 Satz von Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14727.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
28 Die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel und die Ungleichung von Holder und Minkowski14928.1 Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel 14928.2 Definition: p-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15028.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15028.4 Holdersche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15028.5 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 15128.6 Minkowskische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15128.7 Dreiecksungleichung im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15128.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15228.9 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15228.10 Holdersche Ungleichung fur Integrale . . . . . . . . . . . . . . 15228.11 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung fur Integrale . . . . . . . . . 15228.12 Minkowskische Ungleichung fur Integrale . . . . . . . . . . . . 15328.13 Dreiecksungleichung fur Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 153
29 Naherungsweise Berechnung von Integralen 15429.1 Sehnenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15429.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15529.3 Tangentenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15629.4 Korollar (Allgemeine Tangentenregel) . . . . . . . . . . . . . . 15729.5 Keplersche Fassregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15729.6 Simpsonsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
30 Uneigentliche Integrale 16230.1 Definition: Uneigentliche Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . 16230.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16230.3 Satz: Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16330.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16330.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16430.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16430.7 Integralvergleichskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16530.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
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30.9 Definition: Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 16630.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16630.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16730.12 Zusatz zu 30.4, 30.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
31 Die Gamma-Funktion 16831.1 Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16831.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16831.3 Definition: logarithmisch konvex . . . . . . . . . . . . . . . . . 16831.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16931.5 Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16931.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17131.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17131.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17131.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17231.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
32 Stirlingsche Formel 17432.1 Stirlingsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17432.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
VI Funktionenfolgen 177
33 Gleichmaßige Konvergenz, Vertauschungssatze 17733.1 Definition: Punktweise Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . 17733.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17833.3 Definition: Gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . 17933.4 Folgerungen und Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17933.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17933.6 Cauchy-Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . 18033.7 Weierstraß’scher Majorantentest . . . . . . . . . . . . . . . . . 18033.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18133.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18133.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18233.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18333.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18333.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18533.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
34 Potenzreihen und Taylorreihen 18734.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18734.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18734.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
329
34.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18834.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18834.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18934.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18934.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18934.9 Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19134.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.11 Definition: Reelle Analytizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.12 Definition: Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.15 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19334.16 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19334.17 Satz von Emile Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19434.18 Analytizitatskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19434.19 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19534.20 Satz von Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19534.21 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19634.22 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
35 Fourier-Reihen 19735.1 Definition: Trigonometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . 19735.2 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19835.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19835.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19935.5 Definition: Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 20035.6 Satz von Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20035.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20135.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20235.9 Satz: Cesaro-Mittel, Fejer-Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20335.10 Satz von Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20435.11 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20635.12 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20635.13 Definition: Trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . . . . 20635.14 Korollar: Weierstraßscher Approximationssatz fur trigonometrische Polynome20635.15 Weierstraßscher Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . 20735.16 Vollstandigkeit des trigonometrischen Systems . . . . . . . . . . 20735.17 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20835.18 Beispiel: Partialbruchzerlegung des Cotangens und des reziproken Sinus20935.19 Sinusprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21035.20 Konvergenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21135.21 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21235.22 Konvergenzsatz fur stetige und stuckweise stetig differenzierbare Funktionen21235.23 Definition: Skalarprodukt von Funktionen . . . . . . . . . . . . 213
330
35.24 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21335.25 Definition: Norm, orthogonal, Orthonormalsystem . . . . . . . . 21435.26 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21435.27 Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21435.28 Besselsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21535.29 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21535.30 Vollstandigkeitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21635.31 Parsevalsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21635.32 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
VII Metrische Raume, Topologie des Rn 217
36 Metrische Raume, normierte Raume, Topologie des Rn 21736.1 Definition: Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21736.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21736.3 Definition: Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21836.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21836.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21936.6 Definition: Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21936.7 Definition: Umgebung im metrischen Raum . . . . . . . . . . . 21936.8 Satz: Hausdorffsches Trennungsaxiom . . . . . . . . . . . . . . 21936.9 Definition: Offenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22036.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22036.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22036.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22036.13 Definition: Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22136.14 Definition: Abgeschlossenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22136.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22136.16 Definition: Umgebung im topologischen Raum . . . . . . . . . 22136.17 Definition: Beruhrungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22236.18 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22236.19 Definition: Innerer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22236.20 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22236.21 Definition: Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22336.22 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22336.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
37 Konvergenz und Vollstandigkeit 22437.1 Definition: Konvergenz im Hausdorff-Raum . . . . . . . . . . . 22437.2 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22437.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22437.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22437.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
331
37.6 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22537.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22537.8 Definition: Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22637.9 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22637.10 Definition: Vollstandigkeit, Banach- und Hilbertraum . . . . . . 22637.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22637.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22637.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22737.14 Definition: Durchmesser, Beschranktheit . . . . . . . . . . . . . 22737.15 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22737.16 Definition: Haufungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22837.17 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22837.18 Definition: Haufungspunkt, Isolierter Punkt . . . . . . . . . . . 22837.19 Satz von Bolzano/Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22837.20 Hauptsatz fur konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 22937.21 Schachtelungsprinzip von Georg Cantor . . . . . . . . . . . . . 229
38 Limites und Stetigkeit 23138.1 Definition: Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23138.2 ε-δ-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23138.3 Folgenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23138.4 Definition: Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23138.5 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23238.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23238.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23238.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23338.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23338.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23338.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23438.12 Definition: Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23438.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
39 Kompaktheit 23639.1 Definition: Offene Uberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 23639.2 Definition: Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23639.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23639.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23639.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23739.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23739.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23839.8 Satz von Ernst Heine und Emile Borel . . . . . . . . . . . . . . 23939.9 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23939.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24039.11 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
332
39.12 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24039.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24039.14 Definition: Gleichmaßige Stetigkeit im metrischen Raum . . . . 24139.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24139.16 Satz von Ulysses Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
VIII Differentialrechnung im Rn 243
40 Partielle Differenzierbarkeit 24340.1 Definition: Partielle Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . 24340.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24440.3 Definition: Gradient, Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24440.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24540.5 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24540.6 Definition: Mehrfach partielle Differenzierbarkeit . . . . . . . . 24540.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24640.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24740.9 Definition: Laplace-Operator, harmonische Funktionen . . . . . 24740.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
41 Totale Differenzierbarkeit 24941.1 Definition: Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . 24941.2 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24941.3 Definition: Funktionalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25041.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25041.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25141.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25241.7 Definition: Stetige Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 25341.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25341.9 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25341.10 Definition: Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25441.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25441.12 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
42 Mittelwertsatz und Taylorsche Formel 25642.1 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25642.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25742.3 Definition: (Polygon-)zusammenhangend . . . . . . . . . . . . 25842.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25842.5 Definition: Multiindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25842.6 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25942.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
333
43 Lokale Extrema 26143.1 Definition: Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26143.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26143.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26143.4 Definition: Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26243.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26243.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26243.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26343.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26343.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26443.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
44 Differentiation unter dem Integralzeichen 26844.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26844.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
45 Kurven- und Bogenlangen 27045.1 Definition: Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27045.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27045.3 Definition: Tangentenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27045.4 Definition: Rektifizierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27145.5 Definition: Beschrankte Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . 27145.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27145.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27245.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27245.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27245.10 Definition: Stuckweise stetige Differenzierbarkeit . . . . . . . . 27345.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27445.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
IX Umkehrsatz und Satz uber implizite Funktionen 276
46 Der Kontraktionssatz 27646.1 Definition: Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27646.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27646.3 Kontraktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27646.4 Zusatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27746.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
47 Der Umkehrsatz 27847.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27847.2 Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27847.3 Zusatz zum Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
334
47.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28247.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
48 Der Satz uber implizite Funktionen 28348.1 Satz uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28348.2 Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28548.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28548.4 Beispiel: ”Achterbahn“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28748.5 Beispiel: ”Vierblattriges Kleeblatt“ . . . . . . . . . . . . . . . . 288
49 Extrema mit Nebenbedingungen 28949.1 Satz: Notwendige Bedingung fur ein Extremum mit Nebenbedingung28949.2 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29149.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29249.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29349.5 Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren . . . . . . . . . . . 29349.6 Zusatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29549.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29549.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
X Gewohnliche Differentialgleichungen 297
50 Grundbegriffe, Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard und Lindelof29750.1 Definition: Gewohnliche Differentialgleichung . . . . . . . . . . 29750.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29850.3 Geometrische Deutung im Fall n = 1 . . . . . . . . . . . . . . 29950.4 Existenzsatz von Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29950.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29950.6 Definition: Lipschitz-Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 29950.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30050.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30150.9 Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard und Lindelof . . . . 30250.10 Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30450.11 Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur explizite Differentialgleichungen30550.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
51 Elementare Losungsmethoden 307
52 Lineare Differentialgleichungen 30852.1 Definition: Lineare Differentialgleichungssysteme . . . . . . . . 30852.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30852.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30952.4 Definition: Hauptsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31052.5 Wronskische Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
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52.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31252.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31352.8 Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . 314
53 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 31553.1 Definition: Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung . . . . 31553.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31553.3 Basissatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
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