Analytische Berechnung thermischer Vorgänge in...

Analytische Berechnung thermischer Vorgänge in permanentmagneterregten

Synchronmaschinen

Von der Fakultät für Elektrotechnik der

Helmut-Schmidt-Universität Universität der Bundeswehr Hamburg

zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs genehmigte

DISSERTATION

von

Burghard Kipp aus Soest

Hamburg 2008

Erstgutachter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Bolte Helmut-Schmidt-Universität Universität der Bundeswehr Hamburg Zweitgutachter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Dieter Gerling Universität der Bundeswehr München Tag der mündlichen Prüfung: 20.März 2008

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter

am Institut für Elektrische Maschinen und Antriebe an der

Helmut Schmidt Universität / Universität der Bundeswehr Hamburg.

Mein Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. E. Bolte für die Anregung zu dieser Arbeit. Er hat durch

seine Anleitung, wertvolle Ratschläge sowie die ständige Bereitschaft zur Unterstützung mei-

ner Tätigkeit wesentlich zum Gelingen beigetragen.

Auch den Mitarbeitern des Instituts danke ich für ihre ständige Hilfsbereitschaft, die stets sehr

freundschaftliche Zusammenarbeit und auch für die moralische Unterstützung.

Ich danke Herrn Prof. Dr.-Ing. D. Gerling für die bereitwillige Übernahme des Koreferates.

Ein abschließender Dank sei meiner Familie und meinen Freunden gewidmet. Sie haben mich

stets unterstützt, wo immer es ihnen möglich war.

Hamburg im April 2008 Burghard Kipp

Inhaltsverzeichnis 5

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 11

2. Aufstellen eines RC-Netzwerkes für die Wärmeflussberechnung 13

2.1 Verlustquellen der Maschine 13

2.2 Ableiten der Netzwerkelemente aus der Einkörpernäherung 14

2.3 Thermisches Ersatzschaltbild für die Mehrkörpernäherung 16

3. DGL-System für das Wärmeflussnetzwerk und dessen Lösung 23

3.1 Knotenpunktgleichungen 23

3.2 Lösung der Temperaturverlaufs-DGL für den homogenen Körper 24

3.3 Aufstellen der Lösungsmatrix 26

4. Analytische Bestimmung der Wärmekapazitäten 38

4.1 Spezifische Wärmekapazitäten der Teilkörper 38

4.1.1 Spezifische Wärmekapazität des Luftspaltes gδ 39

4.1.2 Spezifische Wärmekapazität des Kühlmittels im Gehäuse 40

4.2 Bestimmung der Teilkörpermassen 41

4.2.1 Wicklung in der Nut 41

4.2.2 Wicklung am Stirnkopf 42

4.2.3 Statorzähne 43

4.2.4 Statorjoch 44

4.2.5 Permanentmagnete 44

4.2.6 Rotoreisen 45

4.2.7 Rotorwelle 45

4.2.8 Gehäuse 46

4.3 Beispielrechnungen für die Wärmekapazität 47

5. Analytische Berechnung der Wärmeübergangswiderstände 49

5.1 Methoden zur Bestimmung der Wärmeübergangskoeffizientenα für un-terschiedliche Geometrien und Anströmzustände

49

5.1.1 Wärmeübergang durch Wärmeleitung in einer Grenzschicht zwischen Teilkörpern

50

5.1.2 Wärmeübergang durch Strahlung 52

5.1.3 Wärmeübergang durch Konvektion 58

5.2 Analytische Berechnung der Wärmeübergangswiderstände 61

5.2.1 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut zu dem Kühlmittel im Ge-häuse ( ,1KW )

61

5.2.2 Wärmeübergang des Stirnkopfes auf das Kühlmittel im Gehäuse ( ,2KW ) 61

5.2.2.1 Thermisch wirksame Oberflächen 61

5.2.2.2 Wärmeübergangskoeffizient und Wärmeübergangswiderstand 66

5.2.3 Wärmeübergang von den Statorzähnen zum Kühlmittel im Gehäuse 71


( ,3KW )



5.2.4 Wärmeübergang vom Statorjoch zum Kühlmittel im Gehäuse ( ,4KW ) 74

5.2.4.1 Thermisch wirksame Oberfläche 74


5.2.5 Wärmeübergang von der Luft im Luftspalt auf das Kühlmittel im Gehäuse ( ,5KW )

77



5.2.6 Wärmeübergang von den Permanentmagneten auf das Kühlmittel im Gehäuse ( ,6KW )

79



5.2.7 Wärmeübergang vom Rotorjoch zu dem Kühlmittel im Gehäuse ( ,7KW ) 80



5.2.8 Wärmeübergang von der Rotorwelle auf das Kühlmittel im Gehäuse ( ,8KW )

82



5.2.9 Wärmeübergang von den Wicklungen in den Nuten auf den Wickelkopf ( ,9KW )

83

5.2.10 Wärmeübergang vom Wickelkopf auf die Wicklungen am Stirnkopf ( ,10KW )

83



5.2.10.3 Einstrahlzahl zwischen den Statorzähnen und der Gesamtoberfläche des Wickelkopfes

91

5.2.11 Wärmeübergang von den Statorzähnen zum Statorjoch ( ,11KW ) 91

5.2.12 Wärmeübergang vom Statorjoch zum Luftspalt ( ,12KW ) 92

5.2.13 Wärmeübergang von den Permanentmagneten zum Luftspalt ( ,13KW ) 92



5.2.14 Wärmeübergang von den Permanentmagneten zum Rotorjoch ( ,14KW ) 95

5.2.15 Wärmeübergang vom Rotorjoch zur Welle ( ,15KW ) 97

5.2.16 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut zu den Statorzähnen ( ,16KW )

97


5.2.17 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut zum Statorjoch ( ,17KW ) 98

5.2.18 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut zum Luftspalt ( ,18KW ) 99



5.2.19 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut zu den Permanentmagne-ten ( ,19KW )

101



5.2.20 Wärmeübergang vom Wickelkopf auf das Statorjoch ( ,20KW ) 102



5.2.20.3 Einstrahlzahl zwischen dem Statorjoch und der Gesamtoberfläche des Wickelkopfes

107

5.2.21 Wärmeübergang von den Statorzähnen auf den Luftspalt ( ,21KW ) 108



5.2.22 Wärmeübergang von den Statorzähnen zu den Permanentmagneten ( ,22KW )

110



5.2.23 Wärmeübergang vom Statorjoch zu den Permanentmagneten ( ,23KW ) 111

5.2.24 Wärmeübergang vom Kühlmittel im Gehäuse zur Umgebung ( ,24KW ) 112

5.2.25 Wärmeübergang vom Gehäuse zur Umgebung ( ,25KW ) 112

5.2.26 Wärmeübergang vom Kühlmittel im Gehäuse zum Gehäuse ( ,26KW )

112

5.2.27 Wärmeübergang vom Statorjoch zum Gehäuse und vom Wickelkopf zum Gehäuse ( ,27 ,28/K KW W )

113

5.2.27.1 Berechnung der Einstrahlzahlen 113

5.2.27.2 Wärmeübergangskoeffizienten und Wärmeübergangswiderstände 115

5.2.28 entfällt

5.2.29 Wärmeübergang von der Rotorwelle zur Umgebung ( ,29KW ) 117


5.2.29.2 Wärmeübergangskoeffizient und Wärmeübergangswiderstand

118

5.2.30 Wärmeübergänge von Teilkörpern innerhalb des Gehäuses auf die Um-gebung ( ,30KW - ,36KW )

119

5.2.31 Wärmeübergang vom Rotorjoch auf das Gehäuse 119




6. Matlabprogramm zur Berechnung der Temperaturverläufe 121

6.1 Berechnung der Temperaturverläufe 121

6.2 Verlustberechnung / Schaltzeitpunkte 124

6.3 Starttemperaturen 125

6.4 Wärmeübergangswiderstände 126

6.5 Übergangsschichten bei Wärmeleitung 128

6.6 Strahlungsemissionsverhältnisse der Teilkörper 129

6.7 Eingabe und Berechnung der Wärmekapazitäten 130

6.8 Spezifische Wärmekapazitäten der Teilkörper 131

6.9 Einstrahlzahlen am Wickelkopf 132

7. Analytische Berechnung der Verlustleistungen in der Maschine 133

7.1 Stromwärmeverluste in den Wicklungen 133

7.2 Eisenverluste 135

7.2.1 Magnetische Flussdichte im betrachteten Eisenabschnitt 136

7.2.1.1 Magnetische Flussdichte im Statorzahn 136

7.2.1.2 Magnetische Flussdichte im Statorjoch 140

7.3 Eisenverlustberechnung 145

7.3.1 Vorgabe von spezifischen Verlusten getrennt nach Hystereseverlusten und Wirbelstromverlusten

145

7.3.2 Vorgabe von spezifischen Verlusten für Hysterese und Berechnung der Wirbelstromverluste

146

7.3.3 Vorgabe von spezifischen Gesamtverlusten

146

7.3.4 Vorgabe von spezifischen Verlusten getrennt nach Hystereseverlusten und Wirbelstromverlusten und Vorgabe der Exponenten für Frequenzab-hängigkeit der Wirbelströme und Flussdichteabhängigkeit

147

7.3.5 Berechnung der Eisenverluste gemäß [27] 148

7.3.6 Unterprogramm zur Berechnung der Eisenverluste 149

7.4 Reibungsverluste 150

8. Beispielrechnungen und Vergleich mit Messungen 151

8.1 Beispielrechnungen für den Modellmotor mit Gleichstromspeisung 151

8.1.1 Temperaturverläufe bei Gleichstromeinprägung ohne Rotor 152

8.1.2 Temperaturverläufe bei Gleichstromeinprägung mit Rotor 157

8.2 Beispielrechnungen für den Modellmotor mit Wechselstromspeisung und Rotation

162

9. Zusammenfassung und Ausblick 168

10. Literaturverzeichnis

169


A1 Geometrie- und Werkstoffdaten des Modellmotors und des Versuchsauf-baus

173

A1.1 Zeichnungen des Statorblechpaketes 173

A1.2 Geometrie- und Werkstoffdaten des Statorblechpaketes 175

A1.3 Geometrie- und Werkstoffdaten der Statorwicklung 178

A1.4 Geometrie- und Werkstoffdaten der Permanentmagnete 182

A1.5 Geometrie- und Werkstoffdaten des Rotorblechpaketes und der Rotor-welle

188

A1.6 Vorgabewerte und berechnete Werte der Temperatursimulation 190

A2 Berechnung des mittleren thermischen Luftspaltes einer PM-Maschine 196

A2.1 Definition des mittleren thermischen Luftspaltes 196

A2.2 Geometrische Ersatzanordnungen zur Bestimmung des mittleren thermi-schen Luftspaltes

197

A2.3 Berechnung des mittleren geometrischen Luftspaltes 200

A2.3.1 Berechnung des Ersatzwinkels *PMϕ 201

A2.3.2 Berechnung der Fläche des Kreissegments 202

A2.3.3 Berechnung der Ersatzmagnetbreite *Magnetb 202

A2.3.4 Berechnung der Winkel α und β 202

A2.3.5 Berechnung von ,g Verschiebungδ 202

A2.3.6 Berechnung der linearisierten Kreisbogenlänge a 203

A2.3.7 Berechnung der Fläche des Trapezes 203

A2.3.8 Berechnung der Fläche des Dreieckspaltes zwischen den Magnetseg-menten

203

A2.3.9 Berechnung der Gesamtfläche 204

A2.3.10 Berechnung des mittleren geometrischen Luftspaltes ,g mittelδ 204

A2.4 Berechnung des mittleren geometrischen Luftspaltes für die Maschine gemäß Anhang A1

204

A3 Messtechnische Bestimmung von Verlusten 206

A3.1 Versuchsanordnung 206

A3.2 Bestimmung von Reibverlusten und Eisenverlusten 209

A3.2.1 Reibverluste durch Wälzlager und Quecksilberspannungsübertragung 210

A3.2.2 Reibverluste durch Wälzlager, Quecksilberspannungsübertragung und Luftreibung im Luftspalt

213

A3.2.3 Reibverluste durch Wälzlager, Quecksilberspannungsübertragung, Luft-reibung im Luftspalt und Eisenverluste im Statorblech durch das Erreger-feld

214

A3.3 Separation der Einzelverlustquellen 216


A3.4 Berechnung der Eisenverluste für die Maschine gemäß A1 220

A4 Verwendete Formelzeichen 223

A5 Lebenslauf

Einleitung 11

1. Einleitung

Die permanentmagneterregten Maschinen haben in den vergangenen Jahren aufgrund der

Entwicklung leistungsfähigerer Magnetwerkstoffe stark an Bedeutung gewonnen. Aufgrund

ihrer hervorragenden Eigenschaften bezüglich Wirkungsgrad, Wartungsfreiheit und Positio-

nierbarkeit werden permanentmagneterregte Maschinen nunmehr für Anwendungsgebiete mit

großen Leistungen oberhalb von 1 MW interessant. Als Beispiele seien hier Windkraftanlagen

und die Unterseeboote der Klasse 212 der Deutschen Bundesmarine genannt.

Bild 1.1: Unterseeboot der Klasse 212 der Deutschen Bundesmarine mit permanenterregtem

Antrieb

Hierdurch rückt der Aspekt der thermischen Belastbarkeit in den Fokus. Die Grenzen der

thermischen Belastbarkeit müssen bereits bei der Auslegung und Dimensionierung von Ma-

schinen beachtet und in die Berechnungsalgorithmen einbezogen werden.

In dieser Arbeit wird die analytische Berechnung der Temperaturverläufe anhand eines Mo-

dells zur Berechnung des transienten thermischen Verhaltens von permanentmagneterregten

Motoren thematisiert. Der Fokus liegt dabei auf Innenläufermotoren mit konzentrierten bzw.

verteilten Statorwicklungen und Permanentmagnetblöcken auf dem Rotor.

Schwerpunkte dieser Arbeit bilden zum einen das Aufstellen eines geeigneten Berechnungs-

algorithmus sowie zum anderen die analytische, temperaturabhängige Berechnung der einzel-

Einleitung 12

nen Netzwerkelemente. Bei der Berechnung der Wärmeübergangswiderstände wird, im Ge-

gensatz zu anderen Lösungsansätzen (siehe z.B. [37]) die Problematik des Wärmeübergangs

über den Luftspalt durch die Anwendung der Theorie des konvektiven Wärmeübergangs im

zylindrischen Ringspalt unter Einbeziehung der Nutschlitzöffnungen gelöst. Desweiteren

werden die Wärmeübergänge durch Strahlung ausgehend vom Wickelkopf sowie der Wärme-

übergang durch Strahlung über den Luftspalt einbezogen.

Zur Einbeziehung der Eisenverluste werden verschiedene etablierte Berechnungsmethoden

vorgestellt, die im Berechnungsprogramm zur Auswahl stehen. Die Wertigkeit dieser Berech-

nungsmethoden wird über eine messtechnische Bestimmung der Eisenverluste geprüft.

Die Umsetzung der Theorie in ein Simulationsprogramm auf Matlabbasis ist nicht direkter

Bestandteil dieser Dokumentation, es wird aber anhand von berechneten Verläufen sowie

Programmfenstern immer wieder Bezug auf diese praktische Umsetzung der aufgestellten

Theorie genommen. Gleiches gilt für die praktische Verifizierung des Simulationsmodells

anhand von Temperaturmessungen am im Anhang A1 beschriebenen Motor. Die praktische

Umsetzung der Temperaturmessungen ist [25] zu entnehmen. Auf die gemessenen Verläufe

wird in dieser Arbeit Bezug genommen. Sie verifizieren das aufgestellte Berechnungsmodell.

Die entwickelte Theorie der Berechnung des thermischen Verhaltens soll nicht in Konkurrenz

zu bereits verbreiteten kommerziellen Programmen zur numerischen Berechnung stehen, son-

dern diese um Vorteile und Möglichkeiten eines analytischen Formelwerks ergänzen.

Die analytische Berechnung bietet zum einen die Möglichkeit der separaten Betrachtung ein-

zelner Wärmeübergänge in der Maschine. Dies erlaubt Aussagen darüber, inwieweit bestimm-

te Wärmeübergangswiderstände berücksichtigt werden müssen oder, abhängig von der Geo-

metrie, vernachlässigt werden können.

Ein weiterer Vorteil liegt in der physikalischen Anschaulichkeit des Formelwerks, wodurch

direkte Analysen und Rückschlüsse für die Maschinendimensionierung möglich sind.

Desweiteren erlaubt die analytische Umsetzung der in dieser Arbeit vorgestellten Theorie in

ein Rechenprogramm auf Matlab-Basis die direkte Einbindung thermischer Aspekte in am

Institut bereits vorhandene Programme zur analytischen Feldberechnung und analytischen

Maschinendimensionierung, die einen Forschungsschwerpunkt am Institut darstellen.

Aufstellen eines RC-Netzwerks für die Wärmeflussberechnung 13

2. Aufstellen eines RC-Netzwerkes für die Wärmefluss-berechnung

Um die vielfältigen Wärmeübergänge in einer elektrischen Maschine einer analytischen Be-

rechnung zugänglich zu machen, ist eine Zerlegung der Maschine in Teilkörper notwendig.

Innerhalb dieser Teilkörper wird eine konstante Temperatur angenommen. Jeder Teilkörper

kann Energie speichern und tauscht über Wärmeübergangswiderstände mit anderen Teilkör-

pern Energie aus. Es sind somit Wärmeübergangswiderstände und Wärmekapazitäten zu be-

rücksichtigen. Die Verlustquellen in der Maschine werden durch Leistungsquellen modelliert.

Im Folgenden wird das auf permanentmagneterregte Maschinen spezialisierte RC-Netzwerk

abgeleitet.

2.1 Verlustquellen in der Maschine

Als Quellen im Wärmeflussmodell sind folgende Verlustarten in der Maschine zu erfassen:

- Stromwärmeverluste in den Wicklungen

- Eisenverluste im Stator

- Eisenverluste im Rotor

- Luftreibungsverluste im Luftspalt

- Verluste in den Permanentmagneten

- Reibungsverluste in den Lagern

Die Berechnung der einzelnen Verlustquellen erfolgt in Kapitel 6.

Im Folgenden werden im Netzwerk auch Verlustquellen im Kühlmittel sowie im Gehäuse

berücksichtigt, obwohl in diesen Teilkörpern keine realen Verlustquellen zu finden sind.

Diese werden für eine spätere Einbeziehung axialer Leistungsflüsse in der Maschine benö-

tigt.


2.2 Ableiten der Netzwerkelemente aus der Einkörpernäherung

Die Theorie zum Einkörperproblem ist [1] entnommen und dort nachzulesen.

Wird in einem homogenen Körper die Verlustleistung ( ),1VP t wirksam, so wird im Zeit-

intervall 2 1t t tΔ = − die Wärmemenge ( )2

1

,1

t

Vt

P t dt∫ zugeführt.

Der Körper speichert bei einer Temperaturerhöhung von ϑΔ in der Zeit tΔ die Wärmemen-

ge wc m ϑ⋅ ⋅ Δ .

wc bezeichnet die spezifische Wärmekapazität. Sie ist eine Stoffeigenschaft.

m bezeichnet die Masse des Körpers.

Der Körper gibt entsprechend seiner Übertemperatur

Körper Uϑ ϑ ϑ= − (2.1)

die Wärmemenge ( )2

1

t

efft

O t dtα ϑ⎡ ⎤⋅ ⋅⎣ ⎦∫ an die Umgebung ab.

α ist der Wärmeübergangskoeffizient zwischen dem Körper und der Umgebung. Auf seine

Ableitung wird in späteren Kapiteln intensiv eingegangen.

effO ist die für die Wärmeabgabe maßgebliche Oberfläche des Körpers.

Eine Leistungsbilanz führt auf

( ) ( )2 2

1 1

1

t t

eff wt t

P t O t dt c mα ϑ ϑ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅Δ⎣ ⎦∫ ∫ . (2.1a)

Der Grenzübergang

t dtΔ → und dϑ ϑΔ → liefert durch Polygonannäherung der unbekannten Zeitfunktion

( )1P t (in [1] nachzulesen) die Differentialgleichung

( ) ( ),11

Vw

eff eff

P tc m d tO dt O

ϑ ϑα α

⋅⋅ + =

⋅ ⋅ (2.2)


für den Temperatur-Zeit-Verlauf.

Thermische Ersatzschaltbilder führen Methoden zur Berechnung elektrischer Netzwerke in

die Temperaturberechnung ein.

Die Analogien zwischen thermischen und elektrischen Größen können aus dem Vergleich

von (2.2) mit der DGL für den Spannungsanstieg an einer Parallelschaltung aus Kondensator

und Ohmschem Widerstand abgeleitet werden.

Bild 2.1: Elektrisches Ersatzproblem

Die Lösung der Differentialgleichung für ( )1i t für die Schaltung nach Bild 2.1 führt auf

( ) ( ) ( )1 1 1dRC u t u t R i tdt

⋅ + = ⋅ . (2.3)

Die Umformung von (2.2a)

( ) ( ) ( ) ( )11 1

weff eff

dm c t t P tO dt O

ϑ ϑα α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.2a)

führt durch Vergleich mit (2.3) auf

( ) ( ) ( )1K K KdW C t t W P tdt

ϑ ϑ⋅ ⋅ + = ⋅ . (2.4)


Hierbei werden die folgenden Analogien / Definitionen zugrundegelegt:

( )1

elektrische SpannungP t elektrischer Stromϑ• ↔

• ↔

1K

eff

WOα

⎛ ⎞• = ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

(thermischer Widerstand) (2.5)

K wC c m• = ⋅ . (Wärmekapazität) (2.6)

Im Gegensatz zur elektrischen Kapazität ist die Wärmekapazität nur gegenüber einer festzule-

genden Bezugstemperatur im Netzwerk definiert. Als Bezugstemperatur wird im Folgenden

die konstante Außentemperatur Uϑ angenommen.

2.3 Thermisches Ersatzschaltbild für die Mehrkörpernäherung

Für die Aufstellung des Ersatzschaltbildes sowie die Berechnung der Temperatur-Zeit-

Verläufe wird die Maschine in Abschnitte konstanter Temperatur eingeteilt.

Im vorliegenden Modell wird die Maschine in folgende Teilkörper eingeteilt:

- Wicklungsteile in den Nuten

- Wicklungsteile an den Stirnköpfen

- Statorjoch

- Statorzähne

- Luftspalt

- Magnete

- Rotorjoch

- Rotorwelle

- Kühlmittel innerhalb des Gehäuses

- Gehäuse/Anbauteile/Lüfter/Kühlkörper

Die folgenden Zeichnungen zeigen schematisiert den Aufbau eines Innenläufermotors mit

Permanentmagneterregung sowie die Aufteilung in Teilkörper. Bei der Stirnansicht ist als


Beispiel die Geometrie eines Motors mit konzentrierten Wicklungen mit Zwischenzähnen

gewählt worden.

Bild 2.2: Seitenansicht des Modells für die Wärmeübergangsberechnung mit farblicher Kennzeichnung der Teilkörper des Mehrkörpermodells

Bild 2.3: Stirnansicht des Modells für die Wärmeübergangsberechnung mit farblicher Kenn-zeichnung der Teilkörper des Mehrkörpermodells (Stirnverbindungen nicht eingezeichnet)

In Schwarz ist das Gehäuse dargestellt, welches das Innere der Maschine vollständig von der

Umgebung trennt. Im Inneren des Gehäuses ist in Gelb das Kühlmittel innerhalb des Gehäu-

ses dargestellt. Dieses wird im Regelfall Luft sein. In Grün ist das Statorjoch mit den Stator-

zähnen dargestellt. Die Wicklungen in den Nuten sind in violett dargestellt. Die Wicklungen

an den Stirnköpfen (ebenfalls violett) sind als separater Teilkörper zu betrachten. Auf dem

Rotoreisen (helles Lila) sind die Permanentmagnete angeordnet.


Die Möglichkeit des direkten Kontaktes zwischen Statorjoch und Gehäuse wird schematisch

durch die roten Stege dargestellt. Diese stellen keinen eigenen Teilkörper da, sondern sind

zum Gehäuse zu zählen.

Der Flächenanteil des direkten Kontaktes zwischen Statorjoch und Gehäuse ist im Programm

als prozentualer Anteil an der Zylindermantelfläche des Stators als Eingabewert vorgesehen,

da die Ausführungsformen vielfältig sind. Der Einfluss dieser Stege auf Konvektion und

Strahlung wird vernachlässigt.

Die Möglichkeit, dass kein Gehäuse vorhanden ist, ist als Spezialfall des obigen Modells er-

fasst (siehe die entsprechenden Unterkapitel des Kapitels 5.

Die Möglichkeit, dass ein Motor ohne Rotor behandelt wird, ist als Spezialfall des obigen

Modells erfasst.

Ein direkter Stoffaustausch zwischen Kühlmittel im Gehäuse (bisher nur Luft vorgesehen,

aber Erweiterung auf allgemeine Kühlmittel möglich) und der Außenluft ist bisher nicht im-

plementiert, stellt aber eine mögliche Erweiterung des Modells dar.

Die Wärmeabfuhr durch einen Kühlkreislauf ist über die Anpassung der Leistungsbilanz für

den gekühlten Teilkörper mit in das Modell einbeziehbar. Diese Möglichkeit ist im Programm

bisher nicht implementiert, stellt aber eine mögliche Erweiterung des Modells dar.

Der erzwungene Stoffaustausch zwischen Kühlmittel im Gehäuse und der Außenluft durch

einen aktiven Lüfter ist aufgrund der erzwungenen Konvektion im Gehäuse und der sich dar-

aus ergebenen Strömungsverhältnisse schwer einzubeziehen. Die Strömungsverhältnisse sind

dann analytisch nicht mehr zu erfassen.

Bei der International Conference On Electrical Machines im Jahr 2006 vorgestellte analyti-

sche Modelle für die Wärmeflussberechnung schließen aus diesem Grunde die aktive Belüf-

tung aus.

Für jeden Teilkörper sind die Wärmekapazität gegenüber einer festzulegenden Bezugstempe-

ratur sowie die Wärmeübergangswiderstande zu anderen Teilkörpern zu bestimmen.

Der Aufbau des Innenläufermotors führt damit auf das folgende thermische Ersatzschaltbild:


WK30

CK,Cu,Nut

P1

WK31

CK,Cu,Stirn

P2

WK32

CK,St,Zahn

P3

WK33

CK,St,Joch

P4

WK34

CK

P5

WK35

CK,PM

P6

WK36

CK,R,Joch

P7

WK29

CK,Welle

P8

WK24

CK,Kühl

P9

WK25

CK,G

P10

PCu,Nut

PCu,Stirn

PSt, Zahn

PSt, Joch

PPM

PR,Joch

PWelle

WK9

P1,2

WK10

P2,3

WK11

P3,4

WK12

P4,5

WK13

P5,6

WK14

P6,7

WK15

P7,8

WK8

P8,9

WK26

P9,10

P1,9

WK1

WK2

P2,9

WK3

P3,9

WK4

P4,9

WK5

P5,9

WK6

P6,9

WK7

P7,9

P1,3

WK16

P1,4

WK17

P1,5

WK18

P1,6

WK19

P2,4

WK20

P3,5

WK21

P3,6

WK22

P4,6

WK23

P4,10

WK27

P2,10

WK28

,Cu Nutϑ

,Cu Stirnϑ

,St Zahnϑ

,St Jochϑ

δϑ

PMϑ

,R Jochϑ

Welleϑ

Gϑ

Kϑ

Uϑ

P

PK

PG

WK37

P7,10

Bild 2.4: Thermisches RC-Netzwerk für einen permanentmagneterregten

Innenläufermotor


Die folgende Tabelle beschreibt die Elemente des Netzwerks:

,CU NutP Stromwärmeverluste in den Wicklungen innerhalb der Nutung und axial

zugeführte Leistung

,CU StirnP Stromwärmeverluste in den Wicklungen an den Wickelköpfen und axial

zugeführte Leistung

,St ZahnP Eisenverluste in den Statorzähnen und axial zugeführte Leistung

,St JochP Eisenverluste im Statorjoch und axial zugeführte Leistung

Pδ Luftreibungsverluste im Luftspalt

PMP Verluste in den Permanentmagneten und axial zugeführte Leistung

,R JochP Eisenverluste im Rotorjoch und axial zugeführte Leistung

WelleP Reibungsverluste in den Lagern und axial zugeführte Leistung

KühlP

Verluste im Kühlmittel; Im Kühlmittel gibt es real keine Ver-

lustquellen. Die Annahme von Verlustquellen innerhalb des Kühlmittels

ist für die Einbeziehung des axialen Leistungsflusses sowie bei Annah-

me eines externen Kühlkreislaufes notwendig.

GP Verluste im Gehäuse; Im Gehäuse gibt es real keine Verlustquellen. Die

Annahme von Verlustquellen innerhalb des Luftspaltes ist für die Einbe-

ziehung des axialen Leistungsflusses notwendig.

KW 1 Wärmeübergangswiderstand der Wicklung in der Nut zum Kühlmittel

KW 2 Wärmeübergangswiderstand der Wicklung am Wickelkopf zum Kühl-

mittel

KW 3 Wärmeübergangswiderstand des Eisens der Statorzähne zum Kühlmittel

KW 4 Wärmeübergangswiderstand des Statorjoches zum Kühlmittel

KW 5 Wärmeübergangswiderstand der Luft im Luftspalt zum Kühlmittel

KW 6 Wärmeübergangswiderstand der Permanentmagneten zum Kühlmittel

KW 7 Wärmeübergangswiderstand des Rotorjoches zum Kühlmittel

KW 8 Wärmeübergangswiderstand der Rotorwelle zum Kühlmittel

KW 9 Wärmeübergangswiderstand zwischen Wicklung in der Nut und Wick-


lung an den Wickelköpfen

KW 10 Wärmeübergangswiderstand zwischen der Wicklung am Wickelkopf

und den Statorzähnen

KW 11 Wärmeübergangswiderstand zwischen Statorzähnen und Statorjoch

KW 12 Wärmeübergangswiderstand zwischen Statorjoch und Luft im Luftspalt

KW 13 Wärmeübergangswiderstand zwischen Luft im Luftspalt und den Per-

manentmagneten

KW 14 Wärmeübergangswiderstand zwischen den Permanentmagneten und

dem Rotorjoch

KW 15 Wärmeübergangswiderstand zwischen Rotorjoch und Welle

KW 16 Wärmeübergangswiderstand zwischen der Wicklung in der Nut und den

Statorzähnen

KW 17 Wärmeübergangswiderstand zwischen der Wicklung in der Nut und dem

Statoreisen

KW 18 Wärmeübergangswiderstand zwischen der Wicklung in der Nut und der

Luft im Luftspalt

KW 19 Wärmeübergangswiderstand zwischen der Wicklung in der Nut und den

Permanentmagneten

KW 20 Wärmeübergangswiderstand zwischen der Wicklung am Stirnkopf und

dem Statorjoch

KW 21 Wärmeübergangswiderstand zwischen den Statorzähnen und der Luft im

Luftspalt

KW 22 Wärmeübergangswiderstand zwischen den Statorzähnen und den Per-

manentmagneten

KW 23 Wärmeübergangswiderstand zwischen dem Statorjoch und den Perma-

nentmagneten

KW 24 Wärmeübergangswiderstand zwischen dem Kühlmittel im Gehäuse und

der Umgebung

KW 25 Wärmeübergangswiderstand zwischen dem Gehäuse und der Umgebung

KW 26 Wärmeübergangswiderstand zwischen dem Kühlmittel und dem Gehäu-

se

KW 30 Wärmeübergangswiderstand vom Kupfer in der Nut zur Umgebung


KW 31 Wärmeübergangswiderstand vom Kupfer am Stirnkopf zur Umgebung

KW 32 Wärmeübergangswiderstand von den Statorzähnen zur Umgebung

KW 33 Wärmeübergangswiderstand vom Statorjoch zur Umgebung

KW 34 Wärmeübergangswiderstand vom Luftspalt zur Umgebung

KW 35 Wärmeübergangswiderstand von den Permanentmagneten zur Umge-

bung

KW 36 Wärmeübergangswiderstand vom Rotorjoch zur Umgebung

KW 37 Wärmeübergangswiderstand vom Rotorjoch zum Gehäuse

, ,K CU NutC Wärmekapazität der Wicklungen innerhalb der Nut

, ,K CU StirnC Wärmekapazität der Wicklungen am Stirnkopf

, ,K Fe ZahnC Wärmekapazität der Statorzähne

, ,K Fe StC Wärmekapazität des Statorjoches

,KC δ Wärmekapazität der Luft im Luftspalt

,K PMC Wärmekapazität der Permanentmagnete

, ,K Fe RC Wärmekapazität des Rotorjoches

,K WelleC Wärmekapazität der Rotorwelle

,K KühlC Wärmekapazität des Kühlmittels

,K GC Wärmekapazität des Gehäuses

Tabelle 2.1: Netzwerkelemente des Modells und ihre Bezeichnungen

Lösung des DGL-Systems für das Wärmeflussnetzwerk 23

3. DGL-System für das Wärmeflussnetzwerk und dessen Lösung

Im Folgenden wird aus Gründen der Übersichtlichkeit auf die Kennzeichnung von zeitabhän-

gigen Größen als solche weitgehend verzichtet.

3.1 Knotenpunktgleichungen

Der Ansatz zur Lösung erfolgt über die Leistungssumme, die für jeden Knoten gebildet wird.

Hierbei wird von beliebiger Zeitabhängigkeit der Leistungen ausgegangen.

Knoten 1 ( ,Cu Nutϑ ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 16 15 14 13 12 19 1 0Cu NutP t P t P t P t P t P t P t P t− − − − − − − = (3.1)

Knoten 2 ( ,Cu Stirnϑ ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 24 23 12 2,9 2,10 2 0Cu StirnP t P t P t P t P t P P t− − + − − − = (3.2)

Knoten 3 ( ,St Zahnϑ ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 36 35 13 34 39 23 3 0St ZahnP t P t P t P t P t P t P t P t− − + − − + − = (3.3)

Knoten 4 ( ,St Jochϑ ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 4,10 46 24 14 4,9 34 45 4 0St JochP t P t P t P t P t P t P t P t P t− − + + − + − − = (3.4)

Knoten 5 ( δϑ ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )35 15 45 56 5 0P t P t P t P t P t+ + − − = (3.5)

Knoten 6 ( PMϑ ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )46 36 16 56 67 6,9 6 0PMP t P t P t P t P t P t P t P t+ + + + − − − = (3.6)


Knoten 7 ( ,R Jochϑ ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 79 67 78 7,10 7 0Fe RP t P t P t P t P P t− + − − − = (3.7)

Knoten 8 ( Welleϑ ):

( ) ( ) ( ) ( )78 8,9 8 0WelleP t P t P t P t+ − − = (3.8)

Knoten 9 ( Kϑ ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,9 2,9 3,9 4,9 5,9 6,9 7,9 8,9 9,10 9 0P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t+ + + + + + + − − =

(3.9)

Knoten 10 ( Gϑ ):

( ) ( ) ( ) ( )4,10 2,10 7,10 9,10 10 0P t P t P P t P t+ + + − = (3.10)

3.2 Lösung der Temperaturverlaufs-DGL für den homogenen Teilkörper

Ausgegangen wird von der DGL nach (2.4).

( ) ( )K K KdW C t t W Pdt

ϑ ϑ⋅ ⋅ + = ⋅ (2.4)

mit der zeitunabhängigen Störfunktion P .

Der Lösungsansatz für diese DGL erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten führt auf

( ) 0 1K K K K

t tW C W C

Kt e P W eϑ ϑ− −

⋅ ⋅⎛ ⎞

= ⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.12)

mit

KW Pϑ∞ = ⋅ (3.13)

1K

K K

TW C

=⋅

. (3.14)


Die Lösung der DGL (2.4) nach (3.12) gilt nur für den Fall, dass P, WK und CK nicht zeitab-

hängig sind. Im Allgemeinen werden aber sowohl die Leistungen im Netzwerk als auch die

Netzwerkgrößen von den Knotenpunkttemperaturen abhängen und somit auch von der Zeit.

Gleichung (3.12) ist daher nur in einem hinreichend kleinen Zeitintervall tΔ gültig, in dem

mit konstanten Werten für P , KW und KC gerechnet werden darf.

Diese Einschränkung ist notwendig, da für ( )P t , ( )KW t und ( )KC t beliebige Zeitabhängig-

keiten zugelassen werden müssen und somit eine analytische Lösung von (2.4) im gesamten

Zeitbereich nicht möglich ist.

Die Intervallgrenzen werden berechnet gemäß

( )1t tν ν= − ⋅ Δ (3.15)

mit

1t t tν ν+Δ = − . (3.16)

Bild 3.1 zeigt den Berechnungsalgorithmus.

Pi,ν

Ci,ν

Wi,ν

ν ν+1 ν+2 Intervallzählung

Intervallgrenzenttν+2tν+1tν

f( (tϑ ))i ν

f( (tϑ ))i ν+1

f( (tϑ ))i ν+2

t

t

ϑi,ν

Start-werte

Endtemperaturen im Zeitintervallwerden als Lösung eines Gleich-ungssystems berechnet

f(P(t Ci ν), )i i(t W(tν ν), )

f(P(t Ci ν+1), )i i(t W(tν+1 ν+1), )

f(P(t Ci ν+2), )i i(t W(tν+2 ν+2), )

Bild 3.1: Ablauf des Berechnungsalgorithmus zur Bestimmung der Temperaturverläufe im Wärmeflussnetzwerk


Aus Gleichung (3.12) folgt jetzt die Temperatur im Intervall ν mit der Anfangs-

übertemperatur ( )tνϑ gemäß (3.14).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1K K

t t t tT t T t

Kt e P t W t eν ν

ν νν ν ν νϑ ϑ

− −− −⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.17a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1K K

t tT t T t

Kt t e P t W t eν νν ν ν ν νϑ ϑ

Δ Δ− −

+

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.17b)

In der weiteren Berechnung sind alle Größen als zeitabhängige Größen anzusehen. Auf die

Indizierung der Zeitabhängigkeit wird aus Gründen der Übersichtlichkeit weitgehend verzich-

tet.

3.3 Aufstellen der Lösungsmatrix

In den Gleichungen (3.1) bis (3.10) sind die Übertemperaturen im Berechnungsintervall bis-

her durch Leistungssummen ausgedrückt.

Um die Annahme konstanter Leistungen im Netzwerk im Berechnungsintervall zu realisieren,

sind die Leistungsflüsse über die Koppelwiderstände zwischen zwei RC-Teilkörpern für jedes

Berechnungsintervall mittels der Teilkörpertemperaturen zu Beginn des Berechnungsinter-

valls zu berechnen. Die praktische Umsetzung dieses Berechnungsalgorithmus zeigte aller-

dings, dass dieses Vorgehen zu Instabilitäten bei der Berechnung der Temperaturverläufe

führt, insbesondere dann, wenn Elemente des Netzwerks gegen unendlich bzw. gegen Null

gehen. Diese Instabilitäten treten auch für sehr kleine Werte des Berechnungsintervalls tΔ

auf.

Um eine stabile Berechnung der Temperaturverläufe für beliebige Parameterkombinationen

gewährleisten zu können, werden die Leistungsflüsse über die Koppelwiderstände tempera-

turabhängig in die DGL (3.12) eingesetzt. Durch dieses Vorgehen wird der Gültigkeitsbereich

der DGL verlassen. Die praktische Umsetzung zeigt allerdings die Gültigkeit dieser Näherung

für die in einer elektrischen Maschine vorkommenden Parameterkombinationen bei hinrei-

chend kleinen Werten für die Intervallänge tΔ .


Näheres hierzu ist Kapitel 6.1 zu entnehmen. Die praktische Umsetzung zeigt außerdem einen

stabilen Berechnungsverlauf für beliebige Parameterkombinationen. Deshalb wird im Weite-

ren dieser Weg einer mathematischen Näherung gewählt.

Die Leistungsflüsse über die Koppelwiderstände zwischen den RC-Teilkörpern werden somit

im Folgenden durch die Temperaturen im Netzwerk sowie durch die Netzwerkelemente aus-

gedrückt.

Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird auf die Intervallindizierung in den Gleichungen ver-

zichtet. Sie ist analog zu Gleichung (3.13) gültig.


, , , , , , , , ,30 30 30 1, , ,0 , 30

19 18 17 16 9 1

1K K K K

t tCU Nut PM CU Nut CU Nut Fe St CU Nut Fe Zahn CU Nut Cu Stirn CU Nut KW C W C

CU Nut Cu Nut CU Nut KK K K K K K

e P W eW W W W W W

δϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ

Δ Δ− −

⋅ ⋅⎛ ⎞− − − − − −⎛ ⎞

= ⋅ + − − − − − − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.18)

, , , , , , , ,31 2 31 2, , ,0 , 31

20 10 28 2 9

1K K K K

t tCU Stirn Fe St CU Stirn Fe Zahn CU Stirn G CU Stirn K CU Nut Cu StirnW C W C

CU Stirn Cu Stirn CU Stirn KK K K K K

e P W eW W W W W

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ

Δ Δ− −

⋅ ⋅⎛ ⎞− − − − −⎛ ⎞

= ⋅ + − − − − + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.19)

, , , , , , , , ,32 3 32 3, , ,0 , 32

22 21 16 11 3 10

1K K K K

t tSt Zahn PM St Zahn CU Nut St Zahn St Zahn St JOch St Zahn K CU Stirn St ZahnW C W C

St Zahn St Zahn St Zahn KK K K K K K

e P W eW W W W W W

δϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ

Δ Δ− −

⋅ ⋅⎛ ⎞− − − − − −⎛ ⎞

= ⋅ + − − + − − + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.20)

, , , , , , , , , ,33 4 33 4, , ,0 , 33

27 23 20 17 11 12 4

1K K K K

t tSt Joch G St Joch PM CU Stirn St Joch CU Nut St Joch St Zahn St Joch St Joch St Joch KW C W C

St Joch St Joch St Joch KK K K K K K K

e P W eW W W W W W W

δϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ

Δ Δ− −

⋅ ⋅⎛− − − − − − −⎛ ⎞

= ⋅ + − − + + + − − ⋅ ⋅ −⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎜ ⎟⎠

(3.21)

, , ,34 5 34 5,0 34

21 18 12 13 5

1K K K K

t tSt Zahn CU Nut St JochW C W CPM K

KK K K K K

e P W eW W W W W

δ δ δ δ δδ δ δ

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑΔ Δ

− −⋅ ⋅

⎛ ⎞− − −⎛ ⎞− −= ⋅ + + + + − − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.22)


, , , ,35 6 35 6,0 35

23 22 19 13 14 6

1K K K K

t tSt Joch PM St Zahn PM CU Nut PM PM R JochW C W CPM PM K

PM PM PM KK K K K K K

e P W eW W W W W W

δϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑΔ Δ

− −⋅ ⋅

⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞− −= ⋅ + + + + + − − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.23)

, , , ,36 7 36 7, , ,0 , 36

14 37 15 7

1K K K K

t tPM R Joch R Joch G R Joch Welle R Joch KW C W C

R Joch Fe R R Joch KK K K K

e P W eW W W W

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ

Δ Δ− −

⋅ ⋅⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞

= ⋅ + + − − − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.24)

, ,29 8 29 8,0 29

15 8

1K K K K

t tR Joch Welle R Joch KW C W C

Welle Welle Welle KK K

e P W eW W

ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ

Δ Δ− −

⋅ ⋅⎛ ⎞− −⎛ ⎞

= ⋅ + + − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.25)

, , , , ,24 9 24 9,0 24

1 2 3 4 5 6 7 8 26

1K K K K

t tCu Nut K Cu Stirn K St Zahn K St Joch K R Joch KW C W CK Welle K K GPM K

K K K KK K K K K K K K K

e P W eW W W W W W W W W

δϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑϑ ϑΔ Δ

− −⋅ ⋅

⎛ ⎞− − − − −⎛ ⎞− − −−= ⋅ + + + + + + + + + − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.26)

, , ,25 10 25 10,0 25

27 28 37 26

1K K K K

t tSt Joch G Cu Stirn G R Joch GW C W CK G

G G G KK K K K

e P W eW W W W

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑΔ Δ

− −⋅ ⋅

⎛ ⎞− − −⎛ ⎞−= ⋅ + + + + + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.27)


Die elementare Umformung der Gleichungen (3.14) bis (3.21) führt auf folgendes Glei-

chungssystem:

30 1 30 1, ,0 , 30

31 31 31, ,0 , 31

,

,

,

,

,

1

1

K K K K

K K K

t tW C W C

CU Nut CU Nut K

t tW C W C

CU Stirn CU Stirn K

CU Nut

CU Stirn

St Zahn

St Joch

PM

R Joch

Welle

K

G

e P W e

e P W e

A δ

ϑ

ϑ

ϑϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑϑ

Δ Δ− −

⋅ ⋅

Δ Δ− −

⋅ ⋅

⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⋅ + ⋅ ⋅ −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2

32 3 32 3, ,0 , 32

33 4 33 4, ,0 , 33

34 5 34 5,0 34

35 6,0

1

1

1

K

K K K K

K K K K

K K K K

K K

t tW C W C

St Zahn St Zahn K

t tW C W C

St Joch St Joch K

t tW C W C

K

tW C

PM PM

e P W e

e P W e

e P W e

e P

δ δ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

Δ Δ− −

⋅ ⋅

Δ Δ− −

⋅ ⋅

Δ Δ− −

⋅ ⋅

Δ−

⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⋅ + 35 635

36 7 36 7, ,0 , 36

29 8 29 8,0 29

24 9 24 9,0 24

,0

1

1

1

1

K K

K K K K

K K K K

K K K K

tW C

K

t tW C W C

R Joch R Joch K

t tW C W C

Welle Welle K

t tW C W C

K K K

tW

G

W e

e P W e

e P W e

e P W e

e

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

Δ−

⋅

Δ Δ− −

⋅ ⋅

Δ Δ− −

⋅ ⋅

Δ Δ− −

⋅ ⋅

Δ−

⎛ ⎞⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ 25 10 25 1025 1K K K K

tC W C

G KP W eΔ

−⋅ ⋅

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.28)

mit


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4

a a a a a a a a a ab b b b b b b b b bc c c c c c c c c cd d d d d d d d d de e e e e e e e e e

Af f f f f f f f f fg g g g g g g g g gh h h h h h h h h hi i i i i i i i i ij j j j j

=

5 6 7 8 9 10j j j j j

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.29)

mit

30 130 30 30 30 30 301

19 18 17 16 9 1

1 1 K K

tW CK K K K K K

K K K K K K

W W W W W Wa eW W W W W W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + + + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.30)

30 1302

9

1 K K

tW CK

K

Wa eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.31)

30 1303

16

1 K K

tW CK

K

Wa eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.32)

30 1304

17

1 K K

tW CK

K

Wa eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.33)

30 1305

18

1 K K

tW CK

K

Wa eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.34)

30 1306

19

1 K K

tW CK

K

Wa eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.35)

7 0a = (3.36)

8 0a = (3.37)

30 1309

1

1 K K

tW CK

K

Wa eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.38)

10 0a = (3.39)


31 2311

9

1 K K

tW CK

K

Wb eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.40)

31 231 31 31 31 312

20 10 28 9 2

1 1 K K

tW CK K K K K

K K K K K

W W W W Wb eW W W W W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.41)

31 223

10

1 K K

tW CK

K

Wb eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.42)

31 224

20

1 K K

tW CK

K

Wb eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.43)

5 0b = (3.44)

6 0b = (3.45)

7 0b = (3.46)

8 0b = (3.47)

31 2319

2

1 K K

tW CK

K

Wb eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.48)

31 23110

28

1 K K

tW CK

K

Wb eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.49)

32 3321

16

1 K K

tW CK

K

Wc eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.50)

32 332

10

1 K K

tW CK

K

Wc eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.51)

32 332 32 32 32 32 323

22 21 16 11 10 3

1 1 K K

tW CK K K K K K

K K K K K K

W W W W W Wc eW W W W W W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + + + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.52)

32 3324

11

1 K K

tW CK

K

Wc eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.53)

32 3325

21

1 K K

tW CK

K

Wc eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.54)


32 3326

22

1 K K

tW CK

K

Wc eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.55)

7 0c = (3.56)

8 0c = (3.57)

32 3329

3

1 K K

tW CK

K

Wc eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.58)

10 0c = (3.59)

33 4331

17

1 K K

tW CK

K

Wd eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.60)

33 4332

20

1 K K

tW CK

K

Wd eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.61)

33 4333

11

1 K K

tW CK

K

Wd eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.62)

33 433 33 33 33 33 33 334

27 23 20 4 17 11 12

1 1 K K

tW CK K K K K K K

K K K K K K K

W W W W W W Wd eW W W W W W W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + + + + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.63)

33 4335

12

1 K K

tW CK

K

Wd eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.64)

33 4336

23

1 K K

tW CK

K

Wd eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.65)

7 0d = (3.66)

8 0d = (3.67)

33 4339

4

1 K K

tW CK

K

Wd eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.68)

33 43310

27

1 K K

tW CK

K

Wd eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.69)


34 5341

18

1 K K

tW CK

K

We eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.70)

2 0e = (3.71)

34 5343

21

1 K K

tW CK

K

We eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.72)

34 5344

12

1 K K

tW CK

K

We eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.73)

34 534 34 34 34 345

5 21 18 12 13

1 1 K K

tW CK K K K K

K K K K K

W W W W We eW W W W W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.74)

34 5346

13

1 K K

tW CK

K

We eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.75)

7 0e = (3.76)

8 0e = (3.77)

34 5349

5

1 K K

tW CK

K

We eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.78)

10 0e = (3.79)

35 6351

19

1 K K

tW CK

K

Wf eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.80)

2 0f = (3.81)

35 6353

22

1 K K

tW CK

K

Wf eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.82)

35 6354

23

1 K K

tW CK

K

Wf eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.83)

35 6355

13

1 K K

tW CK

K

Wf eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.84)


35 635 35 35 35 35 356

6 23 22 19 13 14

1 1 K K

tW CK K K K K K

K K K K K K

W W W W W Wf eW W W W W W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + + + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.85)

35 6357

14

1 K K

tW CK

K

Wf eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.86)

8 0f = (3.87)

35 6359

6

1 K K

tW CK

K

Wf eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.88)

10 0f = (3.89)

1 0g = (3.90)

2 0g = (3.91)

3 0g = (3.92)

4 0g = (3.93)

5 0g =

36 7366

14

1 K K

tW CK

K

Wg eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.94)

36 736 36 367

7 14 15

1 1 K K

tW CK K K

K K K

W W Wg eW W W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.95)

36 7368

15

1 K K

tW CK

K

Wg eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.96)

36 7369

7

1 K K

tW CK

K

Wg eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.97)

36 73610

37

1 K K

tW CK

K

Wg eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.98)

1 0h = (3.99)

2 0h = (3.100)


3 0h = (3.101)

4 0h = (3.102)

5 0h = (3.103)

6 0h =

29 8297

15

1 K K

tW CK

K

Wh eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.104)

29 829 298

15 8

1 1 K K

tW CK K

K K

W Wh eW W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (3.105)

29 8299

8

1 K K

tW CK

K

Wh eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (3.106)

10 0h = (3.107)

24 9241

1

1 K K

tW CK

K

Wi eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.108)

24 9242

2

1 K K

tW CK

K

Wi eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.109)

24 9243

3

1 K K

tW CK

K

Wi eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.110)

24 9244

4

1 K K

tW CK

K

Wi eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.111)

24 9245

5

1 K K

tW CK

K

Wi eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.112)

24 9246

6

1 K K

tW CK

K

Wi eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.113)

24 9247

7

1 K K

tW CK

K

Wi eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.114)


24 9248

8

1 K K

tW CK

K

Wi eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.115)

24 924 24 24 24 24 24 24 24 249

1 2 3 4 5 6 7 8 26

1 1 K K

tW CK K K K K K K K K

K K K K K K K K K

W W W W W W W W Wi eW W W W W W W W W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + + + + + + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .

(3.116)

24 92410

26

1 K K

tW CK

K

Wi eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.117)

1 0j = (3.118)

25 10252

28

1 K K

tW CK

K

Wj eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.119)

3 0j = (3.120)

25 10254

27

1 K K

tW CK

K

Wj eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.121)

5 0j = (3.122)

6 0j = (3.123)

25 10257

37

1 K K

tW CK

K

Wj eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.124)

8 0j = (3.125)

25 10259

26

1 K K

tW CK

K

Wj eW

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.126)

25 1025 25 2510

26 27 28

1 1 K K

tW CK K K

K K K

W W Wj eW W W

Δ−

⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.127)

Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt durch ein Matlabprogramm. Dieses löst (3.24) für

jedes Zeitintervall tΔ und stellt die Temperaturverläufe über der Zeit dar.

Analytische Bestimmung der Wärmekapazitäten 38

4. Analytische Bestimmung der Wärmekapazitäten

Gemäß dem vorstehend aufgestellten Berechnungsmodell haben die Wärmekapazitäten der

Teilkörper entscheidenden Einfluss auf die Zeitverläufe der Temperaturen in der Maschine.

Die Wärmekapazitäten der Teilkörper können wahlweise als fester temperaturunabhängiger

Wert im Programm eingegeben werden oder automatisch während des Berechnungszyklus

bestimmt werden.

Es wird von einer konstanten Temperatur innerhalb eines Teilkörpers ausgegangen.

Unter Vorgabe der temperaturabhängigen spezifischen Wärmkapazität ( ),p ic ϑ des Werk-

stoffs berechnet sich die Wärmekapazität des Teilkörpers i gemäß (2.6) mit

( ) ( ),p i iiC c mϑ ϑ= ⋅ . (2.6)

Zu bestimmen ist zunächst die Masse im des Teilkörpers. Dies erfolgt über die Berechnung

aus vorliegenden Geometriedaten sowie Werkstoffdaten, die Vorgabewert sind. Die Berech-

nung der Massen der Teilkörper ist dem Unterkapitel 4.2 zu entnehmen.

4.1 Spezifische Wärmekapazitäten der Teilkörper

Die spezifische Wärmekapazität der Teilkörper ist material- und temperaturabhängig. Sie

wird angegeben in der Einheit Jkg K⋅

.

In [3] Abschnitt DEA 4 sind für viele Stoffe die spezifischen Wärmekapazitäten für unter-

schiedliche Temperaturen aufgelistet. Die Eingabe im Programm erfolgt über die Eingabe-

maske gemäß Bild 4.1.


Bild 4.1: Eingabe der temperaturabhängigen spezifischen Wärmekapazitäten

im Berechnungsprogramm

Für die temperaturabhängige Bestimmung der Wärmekapazitäten im Intervall tΔ wird zwi-

schen den eingegebenen Wertepaaren linear interpoliert.

4.1.1 Spezifische Wärmekapazität im Luftspalt gδ

Die Berechnung der Wärmekapazität der Luft im Luftspalt ist durch den Stoffaustausch zwi-

schen Luft im Luftspalt und Außenluft problematisch. In [3] Abschnitt DB 15 sind für die

spezifische Wärmekapazität von trockener Luft folgende Werte aufgelistet:

0°C 1,006 JKg K⋅

200°C 1,026 JKg K⋅


Der Vergleich mit den spezifischen Wärmekapazitäten der anderen Teilkörper sowie die Be-

rücksichtigung der geringen spezifischen Dichte von Luft, die auf ein sehr geringes Gewicht

führt, erlauben somit die Annahme

( ) 0Cδ δϑ ≈ . (4.1)

Bei Berücksichtigung von erzwungener Strömung im Luftspalt durch Belüftung ist die spezi-

fische Wärmekapazität bei der Bestimmung des Wärmeübergangswiderstandes jedoch nicht

mehr zu vernachlässigen. Diese mögliche Erweiterung des Berechnungsmodells ist jedoch

nicht mehr Bestandteil dieser Arbeit.

4.1.2 Spezifische Wärmekapazität des Kühlmittels im Gehäuse

Das Kühlmittel im Gehäuse wird im Regelfall Luft sein. Daher ist die gleiche Argumentation

wie in 4.1.2 zulässig und führt auf

( ) 0Cδ δϑ ≈ . (4.2)

Bei Berücksichtigung von erzwungener Strömung im Gehäuse durch Belüftung ist die spezifi-

sche Wärmekapazität bei der Bestimmung der Wärmeübergangswiderstände aufgrund des

Stoffaustausches nicht mehr zu vernachlässigen und muss berücksichtigt werden. Diese mög-

liche Erweiterung des Berechnungsmodells ist jedoch nicht mehr Bestandteil


4.2 Bestimmung der Massen der Teilkörper

Gemäß (2.6) muss zur Berechnung der Wärmekapazität eines Teilkörpers dessen Masse be-

kannt sein. Die Massen der Teilkörper werden im Berechnungsprogramm aus den Geometrie-

und Werkstoffdaten bestimmt und stehen dem Unterprogramm Temperaturberechnung über

Speicherung in der globalen Variable ‚maschine’ zur Verfügung. Im Folgenden ist die Be-

rechnung der Massen der Teilkörper dokumentiert.

Hierbei ist grundsätzlich zwischen Maschinen mit verteilten Wicklungen und Maschinen mit

konzentrierten Wicklungen zu unterscheiden. Die Beschreibung der Maschinentheorie der

Maschinen mit konzentrierten Wicklungen ist [11] zu entnehmen.

Die im Folgenden verwendeten Bezeichnungen und Formelzeichen sind in [11] bzw.

[12]/[13] definiert sowie dem Anhang zu entnehmen.

4.2.1 Wicklungen in der Nut

Berechnung für verteilte Wicklungen:

Für den Querschnitt einer Spule der Statorwicklung gilt

,CU Spule DrahtA N A= ⋅ . (4.3)

Die Anzahl der Spulen der Statorwicklung ergibt sich zu

11 22 WAS K q m p= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (4.4)

Es folgt

, 1 ,2CU Nut WA S CU Spule CUm K q m p l A ρ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (4.5)


Berechnung für konzentrierte Wicklungen:

Für den Querschnitt einer Spule der Statorwicklung gilt

,CU Spule DrahtA N A= ⋅ . (4.6)

Die Anzahl der Spulen ergibt sich zu

1WAS m K p= ⋅ ⋅ . (4.7)

Es folgt

, 1 ,2CU Nut WA S CU Spule CUm m K p l A ρ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (4.8)

4.2.2 Wicklung am Stirnkopf

Die folgende Berechnung erfolgt für die Summe beider Wickelköpfe.


,CU Kopf DrahtA N A= ⋅ . (4.9)

Die Anzahl der Spulen ergibt sich zu

11 22 WAS K q m p= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (4.10)

Die effektive Stirnkopflänge ergibt sich zu

( )41

1

21 2

2Z

ST

r ll h

p m qπ ε⋅ ⋅ + ⎛ ⎞

= ⋅ − + ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠. (4.11)

Es folgt

, 1 ,2CU Kopf WA ST CU Kopf CUm K q m p l A ρ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (4.12)



( )41

2n ZWA

r lm K p

πτ = ⋅ +⋅ ⋅

. (4.13)

Aus der Nutteilung nτ ergibt sich unmittelbar die effektive Spulenweite

N ZWZy bτ= − . (4.14)

Unter Beachtung der Stirnkopfhöhe 1h ergibt sich für die effektive Stirnkopflänge

12STl y h= + ⋅ . (4.15)

Es folgt für beide Stirnköpfe

1 ,2CU WA ST CU Spule CUm K m p l A ρ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (4.16)

4.2.3 Statorzähne


Die Gesamtmasse aller Statorzähne ergibt sich zu

( ) 1 , ,Z Z S Z VN VN Fe St Fe Stm b l l h m Z K ρ= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ . (4.17)

mit

( )4 1, ,

1

2S VN SVornut Fe St Fe St

l h r Z bm K

Zπ

ρ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ . (4.18)


Berechnung für konzentrierte Wicklungen (hier nur mit parallelflankigen Zähnen):

Die Gesamtmasse der Statorzähne ergibt sich zu

( ) ( ) 1, ,Z Z ZWZ Z VN S Vornut Fe St Fe St

ZWZ

Zm b b l h l m KK

ρ= + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.19)

mit

( )4 1, ,

1

2S VN SVornut Fe St Fe St

l h r Z bm K

Zπ

ρ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ . (4.20)

Sollte die Geometrie der Vornut der Zwischenzähne von der Vornut der bewickelten Zähne

abweichen, ist eine weitere Anpassung der Berechnung notwendig.

4.2.4 Statorjoch

Die Gesamtmasse des Statorjoches ergibt sich zu

( )( )22, , 6 4 , ,Fe St J S Z Fe St Fe Stm l r r l Kπ ρ= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ (4.21)

4.2.5 Permanentmagnete

Die Gesamtmasse der Permanentmagnetblöcke ergibt sich zu

( )2 22 2 2

360PM

PM s m PMm l r d r p απ ρ°⎡ ⎤= ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ . (4.22)

Die Schrägung der Magnete wird vernachlässigt.

Die Dichte PMρ ist über den Datensatz des Permanentmagnetwerkstoffs verfügbar.


4.2.6 Rotoreisen

Die Gesamtmasse des Rotoreisens berechnet sich zu

( )2 2, 2 1 ,Fe R S Fe R Fem l r r Kπ ρ= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ . (4.23)

4.2.7 Rotorwelle

Die Rotorwelle wird als massiver Vollzylinder angenommen.

Als zusätzliche Eingabewerte sind im Berechnungsprogramm die Längen einzugeben, um die

die Welle an den Enden des Blechpaketes übersteht.

2

1Welle Welle Wellem l rπ ρ= ⋅ ⋅ ⋅ (4.24)

mit

1 2Welle S ueber ueberl l l l= + + . (4.25)

Die überstehenden Anteile der Welle gehen mit in die thermische Betrachtung ein.

Das Unterprogramm ‚Maschinendaten’ wurde um ein zusätzliches Eingabefenster für die Da-

ten der Rotorwelle ergänzt. Dieses Fenster ist dem Bild 4.2 zu entnehmen.


Bild 4.2: Eingabefenster Daten Rotorwelle

4.2.8 Gehäuse

Aufgrund der sehr unterschiedlichen Ausführungsformen von Motorgehäusen ist eine analyti-

sche Berechnung der Wärmekapazität des Motorgehäuses im Berechnungsprogramm nicht

möglich. Die Wärmekapazität des Motorgehäuses ist daher ein Vorgabewert für die Berech-

nung.


4.3 Beispielrechnungen für die Wärmekapazitäten

Bild 4.3 zeigt die berechneten Massen der Teilkörper für die Versuchsmaschine gemäß An-

hang A1. Die spezifischen Dichten der Werkstoffe werden für die Berechnung so angepasst,

dass die berechneten Massen mit den gemessenen Massen der Maschine gemäß Anhang A1

übereinstimmen. Dies ist notwendig, da die Versuchsmaschine gemäß Anhang A1 zwei End-

bleche an den Stirnseiten des Statorblechpaketes hat, die die Berechnung der Wärmeübergän-

ge über den Luftspalt nicht beeinflussen, wohl aber die Wärmekapazität des Statorblechpake-

tes (siehe auch Bild A2.1). Um diese Eigenart zu erfassen, ist eine Anpassung der spezifi-

schen Masse des Statoreisens sinnvoll.

In die Berechnung gehen die folgenden spezifischen Massen ein:

Kupfer: 38920 kgm

flussführendes Eisen: 38165 kgm

Permanentmagnete: 38300 kgm

Rotorwelle (Stahl) 37450 kgm

Bild 4.3: Massen der Teilkörper der Versuchsmaschine gemäß Anhang A1


Die Berechnung der Wärmekapazitäten bei 20°C führt unter Verwendung der in Bild 4.1 dar-

gestellten spezifischen Wärmekapazitäten auf die in Bild 4.4 dargestellten Werte.

Bild 4.5: Wärmekapazitäten der Teilkörper bei 20°C für die Versuchsmaschine gemäß

Anhang A1

Analytische Berechnung der Wärmeübergangswiderstände 49

5. Analytische Berechnung der Wärmeübergangswiderstände

Die Wärmeübergangswiderstände zwischen den homogenen Teilkörpern des Wärmeflussmo-

dells sind unter Einbeziehung von Geometrie- und Werkstoffdaten gemäß (2.5)

definiert mit

,,

1K i

i thermisch i

WOα

=⋅

(5.1)

Zu bestimmen sind jeweils die thermisch wirksame Oberfläche sowie der Wärmeübergangs-

koeffizient.

5.1 Methoden zur Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten α für unterschiedliche Geometrien und Anströmzustände

Der Wärmeübergangskoeffizient α setzt sich aus drei Anteilen zusammen, aus Sα für den

Wärmeübergang durch Strahlung, Kα für den Wärmeübergang durch Konvektion und Lα für

den Wärmeübergang durch Wärmeleitung.

S K Lα α α α= + + (5.2)

Sα , Kα und Lα lassen sich rechnerisch nur näherungsweise bestimmen. In den meisten Fäl-

len, vor allem bei komplizierten Geometrien, ist eine Bestimmung mit ausreichender Ge-

nauigkeit nur empirisch im Experiment möglich. Im Folgenden soll dennoch versucht werden,

eine möglichst genaue analytische Berechnung durchzuführen, um den Einfluss der Erwär-

mung der Maschine schon bei der Dimensionierung der Maschine in automatisierten Berech-

nungsalgorithmen berücksichtigen zu können. Inwieweit diese analytische Berechnung die

realen Verhältnisse abbildet, wurde im Experiment untersucht (siehe Kapitel 8).


5.1.1 Wärmeübergang durch Wärmeleitung in einer Grenzschicht zwischen Teil-körpern

Ausgehend vom Wärmetransportgesetz von Fourier

( ) ( )q x T xλ= − ∇r r r& (5.3)

mit

( )q xr r& als Vektorfeld der Wärmestromdichte,

λ als Wärmeleitfähigkeit des Materials und

( )T xr als Vektorfeld der sich einstellenden Temperaturverteilung

folgt unter Annahme einer konstanten Wärmequellendichte ω& die fourier´sche Differential-

gleichung in kartesischen Koordinaten für die Temperaturverteilung in einem beliebigen Vo-

lumenelement mit

pT T T Tc

x x y y z z tλ λ λ ω ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠& . (5.3)

Für den hier betrachteten Fall, dass sich zwei Festkörper direkt berühren bzw. durch eine de-

finierte Grenzschicht (z.B. Kleber oder Wärmeleitpaste) in direktem Kontakt stehen, muss

(5.3) für diese Grenzschicht ausgewertet werden.

Es können dabei folgende Annahmen gemacht werden:

1. keine Wärmequellen in der Grenzschicht 0ω⇒ =&

2. zu vernachlässigende Wärmespeicherkapazität in der Grenzschicht 0pc⇒ =

3. aufgrund der geringen Dicken der Grenzschichten wird von einem eindimensionalen

Wärmestrom ausgegangen.

Das zu behandelnde Problem zeigt Bild 5.1:


λ

Othermisch

T2

T1

s

x

Q

Bild 5.1: Eindimensionale Wärmeleitung durch eine Grenzschicht, entnommen aus [14]

Es folgt mit (5.3)

0Tx x

λ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ . (5.4)

Die Integration führt auf

( ) 1 2T x C x C= ⋅ + . (5.5)

Mit

2 11

T TCs−

= , (5.6)

2 1C T= (5.7)

und

xdTqdx

λ= −& (5.8)

folgt für den Wärmestrom

( )1 2thermischQ O T Tsλ

= ⋅ ⋅ −& . (5.9)


Für den Wärmedurchgangskoeffizienten und den Wärmeübergangswiderstand folgt direkt

L sλα = (5.10)

und

1 1K

thermisch

W sOλ

= ⋅ ⋅ . (5.11)

Die Wärmeleitfähigkeit λ , die Schichtdicke der Übergangsschicht s sowie die thermisch

wirksame Oberfläche bestimmen somit den Wärmeübergangswiderstand durch Leitung bei

direktem Kontakt.

Näheres zur Berechnung aus Geometrie- und Werkstoffdaten ist den Unterkapiteln von 5.2 zu

entnehmen.

5.1.2 Wärmeübergang durch Strahlung

Der Wärmeübergangskoeffizient der Strahlung von einem Festkörper in die umgebende Luft

ist in der Literatur, siehe z.B. [4], angegeben mit

( ) ( )44

1Fest Luft

SFest Luft

T TC

T Tα

−= ⋅

− . (5.12)

Die Temperaturen sind als absolute Temperaturen in Grad Kelvin einzusetzen. Zur Unter-

scheidung wird daher der Formelbuchstabe T verwendet.

1C ist die Strahlungszahl der Oberfläche mit

1 S SC Cε= ⋅ . (5.13)

SC ist die Strahlungszahl eines idealen Schwarzkörpers mit


48

25,67 10SW KC

m− ⋅

= ⋅ . (5.14)

Sε ist das Emmissonsverhältnis eines Körpers im Bezug auf den schwarzen Körper.

Werte für Sε sind für unterschiedliche Werkstoffe in Tabellen in der Literatur zu finden.

Es werden sich aufgrund der Blechung des Eisens sowie möglicher Korrosion der Werkstoffe

sowie nicht genau definierter Beschaffenheit der Oberflächen Unsicherheiten bei der genauen

Bestimmung von Sε ergeben. Hier ist auf Erfahrungswerte zurückzugreifen. Näheres zur

praktischen Bestimmung von Strahlungsemissionskoeffizienten ist [25] zu entnehmen.

Tabellen in der Literatur enthalten vorwiegend Werte für die Abstrahlung in Normalenrich-

tung. Für den Schwarzkörper und in guter Näherung auch für Graustrahler kann der Wert des

Emissionsverhältnisses in Normalenrichtung auch für die Abstrahlung in die anderen Rich-

tungen übernommen werden mit S Nε ε= .

Für die verwendeten Werkstoffe ist diese Näherung zulässig.

Tabelle 5.1 zeigt wichtige Emmissionsverhältnisse für Materialien, die in elektrischen Ma-

schinen Verwendung finden.


Oberfläche Emmissionsverhältnis Nε

Kupfer, poliert 0,03

Kupfer, leicht angelaufen 0,037

Kupfer, oxidiert 0,76

Kupfer, schwarz oxidiert 0,78

Kupfer, geschabt 0,07

Stahl, leicht oxidierte Oberfläche 0,27

reines Eisen 0,42

Eisenblech, Walzhaut 0,657

Eisenblech, poliert 0,144

Eisenblech, geschmirgelt 0,242

Aluminium, walzblank 0,039

Papier, Pappe 0,96

Lacke (verschiedene Farben) 0,90 – 0,95

Tabelle 5.1: Emmissionsverhältnisse verschiedener Werkstoffe, entnommen aus [3], Ab-schnitt KA3

Der Übergang der Strahlung von Festkörper zu Festkörper wird berechnet mit

( ) ( )4 41 2

1,21 2

Fest FestS

Fest Fest

T TC

T Tα

−= ⋅

− (5.15)

mit

1,2,1

1 ,2 2

11 1 1

Sthermisch

thermisch

C COOε ε

=⎛ ⎞

+ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.16)

für Wärmeabstrahlung eines konvexen Körpers im geschlossenen Raum (Körper 2 umgibt

Körper 1 somit vollständig) und


1,2

1 2

11 1 1

SC C

ε ε

=+ −

(5.17)

für Wärmeabstrahlung zwischen ebenen parallelen Wänden mit unendlicher Ausdehnung.

,1thermischO und ,2thermischO bezeichnen die effektiven Strahlungsflächen der Körper, 1ε und 2ε

die Emmissionsverhältnisse der entsprechenden Oberflächen.

Der Index 1 bezeichnet immer den Teilkörper, dessen Oberfläche für die Berechnung des

Wärmeübergangswiderstandes als Bezugsfläche verwendet wird.

In den oben aufgeführten Fällen trifft die gesamte Strahlungsenergie, die der Körper 1 emit-

tiert, auf den Körper 2 auf und umgekehrt.

In elektrischen Maschinen sind sehr viel kompliziertere Geometrien für den Strah-

lungsübergang auszuwerten als mit der Berechnung nach (5.15-5.17) erfasst ist, wobei zu-

meist nur ein Teil der emittierten Strahlung des Körpers 1 den Körper 2 erreicht. In diesen

Fällen sind über geometrische Winkelbetrachtungen die Einstrahlzahlen 1,2ϕ und 2,1ϕ zu be-

stimmen.

Bild 5.2 zeigt die geometrische Definition der Einstrahlzahl.


z

a2

b2

A2

c2

b0

c0a0

d0

d2

0ΔA1

c1

b1a1

d1

x

y

Bild 5.2: geometrische Definition der Einstrahlzahl, entnommen aus [3]

Das Verhältnis der schraffierten Fläche zur Fläche des Kreises, der durch Schnitt der Halbku-

gel mit der xy-Ebene entsteht, ist gleich der gesuchten Einstrahlzahl des Flächenelements 1AΔ

auf die Fläche 2A .

Gemäß [3] gilt abgeleitet aus der geometrischen Definition nach Bild 5.2

1 2

1 21,2 1 22

1 1 2

cos cos1

A A

dA dAA s

θ θϕπ −

⋅=

⋅ ∫ ∫ (5.18)

und

12,1 1,2

2

AA

ϕ ϕ= ⋅ (5.19)

mit den Winkeldefinitionen gemäß Bild 5.3.

Analytis

1A und

Die Flä

Bezugsf

Eine we

KA6 fü

umschli

1

n

ikϕ =∑

ergibt.

Unter B

[3] KA

1,2 1C =

sche Berech

Bild 5.3: Al

2A entsprec

äche 1A ist f

fläche ist fr

eitere wicht

ür den Strah

ießenden Ra

1=

Berücksichti

A6 (11b) im

( ) (1

11 1SC ε

ε⋅

− − ⋅

nung der Wä

llgemeine G

chen den th

für die kom

ei, im Rege

tige Beziehu

lungsaustau

aumes, die s

igung wech

allgemeinen

)2 1,2

2 1,21ε ϕε ϕ ϕ

⋅ ⋅− ⋅ ⋅

ärmeübergan

Geometriean

entn

hermisch wi

mplette Bere

elfall wird d

ung ist die

usch einer F

sich aus dem

selseitiger R

n Fall für di

2,1ϕ.

ngswiderstän

nordnung z

nommen aus

rksamen Ob

echnung als

die kleinere

Summation

Fläche i mit

m Energieer

Reflexionen

ie Strahlung

nde

zur Bestimm

s [17]

berflächen g

s Bezugsfläc

Fläche als B

nsbeziehung

allen ander

rhaltungssa

n der strahle

gsaustausch

mung der Ei

gemäß (5.16

che festzule

Bezugsfläch

g der Einstra

ren Flächen

atz zu

enden Fläch

hzahl 1,2C

nstrahlzahl

6).

egen. Die W

he gewählt.

ahlzahlen n

n k des i vol

hen gilt dann

57

l,

Wahl der

nach [3],

llständig

(5.20)

n gemäß

(5.21)


Mit (5.12) folgt dann der Wärmeübergangskoeffizient für eine beliebige Geometrieanord-

nung.

Die Gleichung (5.18) ist im Allgemeinen nur für einfache Geometrieanordnungen analytisch

auswertbar. In [3] KB6/KB7 sind die Lösungen für einige einfache Geometrieanordnungen

angegeben. In [15] und [16] sind weitere analytische Lösungen zu finden. In [17] findet sich

ein Katalog mit analytischen Lösungen für eine Vielzahl von Geometrien, auf den im Folgen-

den mehrfach Bezug genommen wird. Die Matlabfunktionen zur numerischen Lösung und

Auswertung von Integralen werden an den Stellen genutzt, wo ein analytisches Aufstellen des

Integrals zwar möglich ist, das Integral aber nicht analytisch lösbar ist.

Ziel ist es im Folgenden, die komplizierten Geometrieanordnungen in elektrischen Maschinen

(z.B. am Stirnkopf) durch einfache Geometrieanordnungen anzunähern, die auf analytisch

lösbare Rechenvorschriften für die Einstrahlzahlen führen.

Näheres ist den jeweiligen Unterkapiteln von 5.2 zu entnehmen.

5.1.3 Wärmeübergang durch Konvektion

Der Wärmeübergangskoeffizient Kα der Konvektion beschreibt den Wärmeübergang vom

Festkörper auf ein Fluid an einer Grenzschicht unter Berücksichtigung der Strömungsverhält-

nisse.

Kα hängt in komplizierter Weise von sehr verschiedenen Einflussgrößen ab, die durch die

physikalischen Eigenschaften und den Strömungsverlauf des Fluids sowie durch die geomet-

rische Form der thermisch wirksamen Oberflächen bestimmt sind.

Eine experimentelle Ermittlung von Kα ist daher notwendig.

Die experimentelle Ermittlung führt für verschiedene Geometrieanordnungen dazu, dass ex-

perimentelle Ergebnisse auf ähnliche Geometrien umgerechnet werden können.

Die sich ergebenden Gesetzmäßigkeiten sind in der Ähnlichkeitstheorie von Nußelt zusam-

mengefasst und ausgewertet.

Die Nußeltzahl berechnet sich nach empirisch gefundenen Gesetzmäßigkeiten und Näherun-

gen für ähnliche Geometrien.


Die Ermittlung der Nußeltzahl Nu führt mit

KNu

lλα ⋅

= (5.22)

auf den Wärmeübergangskoeffizienten.

λ bezeichnet dabei die Wärmeleitfähigkeit des Fluids (im Regelfall Luft), die temperaturab-

hängig ist und der Literatur, z.B. [3], zu entnehmen ist.

l bezeichnet die für die Bestimmung der Nußeltzahl genutzte spezifische Länge der Anord-

nung.

Die dimensionslose Nußeltzahl hängt wiederum von anderen dimensionslosen Kenngrößen

ab, die die Strömungs- und Wärmeleitungsvorgänge kennzeichnen. Es sind mehr als 20 di-

mensionslose Größen zur Erfassung der Wärme- und Stoffübertragung definiert, ein Teil da-

von verknüpft lediglich bereits festgelegte Größen miteinander. Für den stationären Wärme-

übergang ohne Phasenänderung des Fluids, wie er in dem Zeitintervall tΔ vorliegt, werden

die folgenden benötigt:

Reynoldszahl: Re w lν⋅

= Fluid

ηνρ

= (5.23) / (5.24)

Pécletzahl: w lPea⋅

= ,Fluid p Fluid

ac

λρ

=⋅

(5.25) / (5.26)

Prandltzahl: ,PrRe

p FluidcPe ηλ

⋅= = (5.27)

Grashofzahl: ( ) 3

2Fluid Feststoffg l

Grγ ϑ ϑ

ν⋅ ⋅ − ⋅

= (5.28)

Rayleighzahl ( ) 3

Pr Fluid Feststoffg lRa Gr

aγ ϑ ϑ

ν

⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ =

⋅ (5.29)


mit

l charakteristische Länge der Anordnung

λ Wärmeleitfähigkeit des Fluids, temperaturabhängig

w Geschwindigkeit des Fluids

ν kinetische Viskosität des Fluids

η dynamische Viskosität des Fluids

Fluidρ Dichte des Fluids

pc spezifische Wärmekapazität des Fluids bei konstantem Normaldruck

a Temperaturleitfähigkeit des Fluids

γ Volumenausdehnungskoeffizient des Fluids, bei idealem Gas gilt

1

FluidTγ = (5.30)

g Fallbeschleunigung

Als Fluid wird im Folgenden von trockener Luft bei Normaldruck ausgegangen.

Tabelle 5.2 quantifiziert die benötigten Werkstoffeigenschaften trockener Luft temperaturab-

hängig nach den in [3] Abschnitt Db vorgegebenen Werten.

Kennzahl Wert

λ 30,00688 5,6 10FluidT WK m K

−⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

η 20,0443 5, 29FluidT kg

K m s⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

( )Pas

Fluidρ 20,0027 1, 275FluidT kg

K m⎛ ⎞− ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

pc 0,0001 1,006FluidT J

K kg K⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

γ 1

FluidT

g 29,806 m

s

Tabelle 5.2: Werkstoffdaten trockene Luft, entnommen aus [3], Abschnitt KA3


5.2 Analytische Berechnung der Wärmeübergangswiderstände

Im Folgenden werden die Wärmeübergangswiderstände zwischen den Teilkörpern des Motors

analytisch berechnet.

Um mit dem vorliegenden Berechnungsmodell auch Motoren ohne Gehäuse berechnen zu

können (wie es im Rahmen dieser Arbeit ausschließlich der Fall ist), wird in diesem Fall von

einem fiktiven Gehäuse ausgegangen, dessen thermische Eigenschaften so festgelegt werden,

dass es keinen Einfluss auf die berechneten Temperaturverläufe hat. Näheres hierzu ist den

Unterkapiteln zur Berechnung der Wärmeübergangswiderstände zu entnehmen, auf die dieses

zutrifft.

5.2.1 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut auf das Kühlmittel im Gehäuse ( 1KW )

Der direkte Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut auf das Kühlmittel erfolgt aus-

schließlich über die Wickelköpfe, da die Luft im Luftspalt als eigener Teilkörper definiert ist.

Der Wärmeübergangswiderstand der Wicklung in der Nut auf das Kühlmittel im Gehäuse

kann somit unendlich groß angenommen werden.

5.2.2 Wärmeübergang des Wickelkopfes auf das Kühlmittel im Gehäuse ( 2KW )

Der Wärmeübergang von der Wicklung am Stirnkopf auf das Kühlmittel im Gehäuse findet

ausschließlich durch Konvektion statt.

5.2.2.1 Thermisch wirksame Oberflächen

Für die Spulenanordnung am Stirnkopf ist eine sinnvolle Ersatzanordnung für die Bestim-

mung des Wärmeübergangs zu bestimmen. Dies ist dadurch erschwert, dass die Spulenaus-

führung am Stirnkopf sehr unterschiedlich ausfallen kann.


Sinnvoll ist die Einteilung des Wickelkopfes in zwei Bereiche

1. Verbindungen entlang der Stirnkopfhöhe (im folgenden Stege genannt)

2. Querverbindungen über dem Stirnkopf

Die folgende Grafik zeigt die reale Anordnung und die Ersatzanordnung.

Steg (zylinderförmig)

Querverbindung über dem Stirnkopf (zylinderförmig, nur Berücksichtigungder Mantelfläche)

h1 ls

Ersatzanordnung reale Anordnung

Bild 5.3b: Ersatzgeometrie für die Berechnung der Konvektion am Stirnkopf

Für die Stege wird als Ersatzgeometrie ein waagerechter Vollzylinder mit

Draht

CU

N ArK π

⋅=

⋅ (5.31)

angenommen.


Für die weitere Berechnung ist zu unterscheiden zwischen verteilten Wicklungen und kon-

zentrierten Wicklungen. An den entsprechenden Stellen der Berechnung sind die Formeln für

beide Fälle separat angegeben.

Für die thermisch wirksame Oberfläche aller Stege eines Wickelkopfes gilt somit

Berechnung für verteilte Wicklungen

( ),2,1 1 02 2 Drahtthermisch WA

CU

N AO p q m K h rK

ππ

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ (5.32)

Berechnung für konzentrierte Wicklungen

( ),2,1 1 1 02 2 Draht

thermisch ZWZ WAZWZ CU

N AO K K m p h rK K

ππ

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅

( )1 1 02 2 DrahtWA

CU

N AK m p h rK

ππ

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ . (5.33)

Die Querverbindungen am Stirnkopf sind bei verteilten Wicklungen zumeist zu einem Lei-

terbündel zusammengefasst. Als Ersatzgeometrie für die Querverbindungen kann somit ein

Kreisring mit kreisförmigem Querschnitt angenommen werden:


Der Radius des Querschnitts hängt ab vom Umfang des Kreisringes mit

( ), 412 22Kreisring Kreisring Umfang VN Z VNU r r h l hπ π ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ + + ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.34)

sowie von der Gesamtlänge aller Querverbindungen am Stirnkopf mit


, 1 112Stirn gesamt WA WAl y K Z y K q m p= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (5.35)

mit

( )41

12 12Zy r l

p m qεπ γ

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

. (5.36)

Somit ergibt sich für den Radius des Querschnitts des Kreisringes

,,

Stirn gesamt DrahtKreisring Querschnitt

Kreisring CU

l N ArU K π

⋅= ⋅

⋅ . (5.37)

Es folgt für die Oberfläche des Kreisrings

, ,

2, ,

2 2

4Kreisring Kreisring Querschnitt Kreisring Umfang

Kreisring Querschnitt Kreisring Umfang

O r r

r r

π π

π

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ . (5.38)

Von dieser Fläche sind die Flächenanteile der Verbindungen entlang der Stirnkopfhöhe mit

12 DrahtStirnkopfhöhe WA

CU

N AA p q m KK

ππ

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ (5.39)

abzuziehen.

Es folgt somit für die thermisch wirksame Oberfläche des Kreisrings eines Wickelkopfes

,2,2thermisch Kreisring StirnkopfhöheO O A= − . (5.40)

Die so berechnete Oberfläche ist kleiner als die reale Oberfläche, da die Annahme glatter

Oberflächen in der Realität nicht zutrifft. Diesem Effekt wirkt die Tatsache entgegen, dass

nicht die gesamte reale Oberfläche freien Zugang zur Umgebungsluft hat. Diese Tatsache ist

quantitativ analytisch nicht zu erfassen. Hierfür, sowie für abweichende Wickelkopfanord-

nungen sind ggf. empirisch zu bestimmende Korrekturfaktoren einzuführen.



Bei Motoren mit konzentrierten Wicklungen können die Querverbindungen am Wickelkopf

als Zylinderabschnitte aufgefasst werden. Für den Radius des Querschnitts gilt

DrahtZylinder

CU

N ArK π

⋅=

⋅ . (5.41)

Für die Gesamtlänge der Querverbindungen eines Stirnkopfes gilt

, 1 11

Querverbindung gesamt WAZWZ

l y Z y p K mK

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (5.42)

mit

12N ZWZ ZWZ Sy b K bτ= − − ⋅ (5.43)

mit

41

12NWA

rK p m

τ π= ⋅ ⋅⋅ ⋅

. (5.44)

Es ergibt sich somit für die Oberfläche aller Querverbindungen eines Stirnkopfes

, ,2 DrahtZylinder Stirnkopf Querverbindung gesamt

CU

N AO lK

ππ

⋅= ⋅ ⋅

⋅ . (5.45)

Von dieser Fläche sind die Flächenanteile der Verbindungen entlang der Stirnkopfhöhe mit

12 DrahtStirnkopfhöhe WA

CU

N AA K m pK

ππ

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ (5.46)

abzuziehen.

Es folgt somit für die thermisch wirksame Oberfläche der Querverbindungen eines Wickel-

kopfes für beide Wicklungsarten


,2,2 ,thermisch Zylinder Stirnkopf StirnkopfhöheO O A= − . (5.47)

Für die Gesamtoberfläche der Wicklung eines Wickelkopfes gilt somit

,2,1 ,2,2Wickelkopf thermisch thermischO O O= + (5.48)


Nußeltzahl und Wärmeübergangskoeffizient sind für Stege und Querverbindungen über dem

Wickelkopf separat zu berechnen.

Zur Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten der Konvektion für die Stege ist eine

Ersatzgeometrie einzuführen.

Für die Berechnung der Nußeltzahl ist die Verwendung des Modells des waagerechten Zylin-

ders zweckmäßig.

Es ergibt sich sowohl für verteilte als auch für konzentrierte Wicklungen gemäß [6]

21

6

2,1 169 9

16

10,752 0,387

0,5591Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.49)

mit der spezifischen Länge

Draht

CU

N AlK

ππ

⋅= ⋅

⋅. (5.50)


Insgesamt ergibt sich somit für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten der Verbindun-

gen entlang der Stirnkopfhöhe

2,12,1

Draht

CU

NuN AK

λα

ππ

⋅=

⋅⋅

⋅

. (5.51)

Die Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten der Konvektion für die Querverbindun-

gen am Stirnkopf muss für verteilte und konzentrierte Wicklungen separat berechnet werden.


Zur Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten der Konvektion für die Querverbindun-

gen am Stirnkopf wird als Ersatzgeometrie ein Kreisring mit kreisförmigem Querschnitt an-

genommen.

Da der Kreisring eine immer noch zu komplizierte Geometrie für die Berechnung darstellt,

wird aufgrund der Anordnung der Wicklungen am Wickelkopf der Kreisring in vier Bereiche

eingeteilt, die jeweils näherungsweise als Zylinder aufgefasst werden. Bild 5.4 zeigt die Auf-

teilung in vier Abschnitte.

Bild 5.4: Ersatzanordnung für die Berechnung des konvektiven Wärmeübergangskoeffizien-

ten an den Querverbindungen der Wicklungen über den Stirnkopf bei verteilten Wicklungen


Der rechte und der linke Abschnitt sollen als senkrechte Zylinder aufgefasst werden.

Die mittlere Höhe wird aus Kenntnis der Oberfläche sowie des Radius bestimmt zu

,1 ,2,21 14m thermisch

Kreisring

l OU

= ⋅ ⋅ . (5.52)

Für die Berechnung der Nußeltzahl für die senkrechten Teilabschnitte ergibt sich somit gemäß

[6], Seite 368ff.

21

6

,12,2,1 16

9 ,916

10,825 0,387 0,872

0,4921Pr

m

Kreisring Querschnitt

lNu Ra

r

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.53)


,1ml l= . (5.54)

Der obere und der untere Abschnitt sollen als waagerechte Zylinder aufgefasst werden.

Der mittlere Ersatzradius der Abschnitte wird aus Kenntnis der Oberfläche sowie der Um-

fangslänge bestimmt zu

,2,2142

thermisch

mKreisring

Or

Uπ

⋅=

⋅. (5.55)

Für die Berechnung der Nußeltzahl für den waagerechten Teilabschnitt ergibt sich somit ge-

mäß [6], Seite 368ff.


216

2,2,2 169 9

16

10,752 0,387

0,5591Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.56)

mit der Überströmlänge als spezifischer Länge

ml rπ= ⋅ . (5.57)

Insgesamt ergibt sich somit für die Querverbindungen

2,2,1 2,2,2

2,2 2m m

Nu Nul r

λ λ

α

⋅ ⋅+

= . (5.58)


Für die Betrachtung der konzentrierten Wicklungen kann das vorstehende Modell des Kreis-

rings nicht angewendet werden. Hier werden die Querverbindungen über den Stirnkopf als

Zylinder angenähert, die gleichmäßig am Kreisumfang verteilt sind. Der Wärmeübergangs-

koeffizient ergibt sich angenähert aus dem Mittelwert der Betrachtung für horizontalen und

vertikalen Zylinder.

Für die Berechnung der Nußeltzahl für den senkrechten Zylinder ergibt sich gemäß [6], Seite

368ff.

21

6

2,2,1 169 9

16

10,825 0,387 0,8720,4921

Pr

Draht

CU

l

yNu RaN AK π

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤ ⋅⎜ ⎟⎛ ⎞ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥+⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.59)



l y= . (5.60)

Für die Berechnung der Nußeltzahl für den waagerechten Zylinder ergibt sich gemäß [6], Sei-

te 368ff.

21

6

2,2,2 169 9

16

10,752 0,387

0,5591Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.61)


Draht

CU

N AlK

ππ

⋅= ⋅

⋅. (5.62)

Insgesamt ergibt sich somit für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten der Querverbin-

dungen

2,2,1 2,2,2

2,2 2

Draht

CU

Nu Nuy N A

K

λ λ

ππ

α

⋅ ⋅+

⋅⋅

⋅= . (5.63)

Für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten der Gesamtanordnung folgt sowohl für ver-

teilte als auch für konzentrierte Wicklungen mit Gewichtung nach den thermisch wirksamen

Oberflächen

,2,1 ,2,22, 2,1 2,2

,2,1 ,2,2 ,2,1 ,2,2

thermisch thermischgesamt

thermisch thermisch thermisch thermisch

O OO O O O

α α α= ⋅ + ⋅+ +

. (5.64)


Für den gesamten Wärmeübergangswiderstand folgt somit

( )22, ,2,1 ,2,2

1K

gesamt thermisch thermisch

WO Oα

=⋅ +

. (5.65)

5.2.3 Wärmeübergang von den Statorzähnen zum Kühlmittel im Gehäuse ( 3KW )

Der Wärmeübergang von den Statorzähnen auf das Kühlmittel im Gehäuse findet ausschließ-

lich über die Stirnkopfflächen der Zähne durch Konvektion statt. Es wird von freier Konvek-

tion ausgegangen.


Die thermisch wirksame Oberfläche ist hier die Fläche der Statorzähne im Blechschnitt.

Bild 5.5 zeigt einen typischen Blechschnitt.

Bild 5.5 typischer Statorblechschnitt


Für die gesamte thermisch wirksame Oberfläche der Statorzähne an einem Stirnkopf ergibt

sich:


( ),3 1 4 1122thermisch Z Z VN VN VN sO Z b l h h r h Z bπ⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(5.66)


( ) ( )

( ) ( )

1,3 4 1

14 1

122

122

thermisch Z Z VN VN VN ZWZ s ZWZZWZ

ZWZ Z VN VN VN ZWZ s ZZWZ

ZO b l h h r h Z K b bK

Z b l h h r h Z K b bK

π

π

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(5.67)

Die Betrachtung von Motoren mit konzentrierten Wicklungen ist hier beschränkt auf Motoren

mit parallelflankigen Statorzähnen. Mögliche Zwischenzähne sind einbezogen.


Die in der Literatur angeführten Ersatzgeometrien nach der Ähnlichkeitstheorie des Wärme-

übergangs sind nur bedingt auf die Stirnfläche der Statorzähne anzuwenden.

Eine mögliche Näherung ist die Annahme des Statorzahnes als senkrechte ebene Platte. Der

Einfluss des Wickelkopfes auf die freie Konvektion ist analytisch nicht zu erfassen und wird

hier vernachlässigt.

Gemäß [6] S.368ff. gilt für die Nußeltzahl einer senkrechten Platte bei freier Konvektion


216

3 169 9

16

10,825 0,387

0, 4921Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.68)

Als spezifische Länge l ist die Höhe der senkrechten Platte einzusetzen. Da die Statorzähne

gleichmäßig am Umfang verteilt sind, wird der Mittelwert aus den Nußeltzahlen für Zahnlän-

ge ( Zl l= ) und Zahnbreite ( Zl b= ) eingesetzt.

Berechnung für verteilte Wicklungen und konzentrierte Wicklungen ohne Zwischenzähne:

( )312 Z Zl l l b

Nu Nu Nu= =

= + . (5.69)

Für den Wärmeübergangswiderstand der Statorzähne an beiden Stirnköpfen folgt

( )

1

3 ,314

K thermisch

Z Z

NuW Ol b

λ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⋅

= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

. (5.70)

Berechnung für konzentrierte Wicklungen mit Zwischenzähnen:

Die Berechnung der Nußeltzahl ist für bewickelte Zähne und Zwischenzähne separat durchzu-

führen.

( )3,112 Z Zl l l b

Nu Nu Nu= =

= + . (5.71)

( )3,212 Z ZWZl l l b

Nu Nu Nu= =

= + . (5.72)


Es folgt für den Wärmeübergangswiderstand der Statorzähne an beiden Stirnköpfen sowohl

für verteilte Wicklungen als auch für konzentrierte Wicklungen

( ) ( )

1

3,1 3,23 ,3 ,31 1

4 4

ZWZZK thermisch thermisch

Z ZWZ Z ZWZZ Z Z ZWZ

Nu Nu bbW O Ob b b bl b l b

λ λ

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

. (5.73)

5.2.4 Wärmeübergang vom Statorjoch zum Kühlmittel im Gehäuse ( 4KW )

Der Wärmeübergang vom Statorjoch auf das Kühlmittel im Gehäuse findet ausschließlich

durch Konvektion statt. Es wird von freier Konvektion ausgegangen.


Das Statorjoch wird als Hohlzylinder aufgefasst. Für die thermisch wirksame Oberfläche gilt

somit für die Mantelfläche

( ),4,1 62 100 /100thermisch S KontaktO r l Fπ= ⋅ ⋅ ⋅ − (5.74)

mit KontaktF als Faktor, der in Prozent angibt, welcher Anteil der Zylindermantelfläche in direk-

tem Kontakt zum Gehäuse steht und somit einem separat zu berechnenden Wärmeübergangs-

widerstand zuzuordnen ist.

Für den Kreisring am Stirnkopf gilt

( )( )22,4,2 6 4thermisch ZO r r lπ= ⋅ − + . (5.75)



Für die Nußeltzahl der Mantelfläche des horizontalen Zylinders gilt nach [6], Seite 368ff.

21

6

4,1 169 9

16

10,752 0,387

0,5591Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.76)

mit der Überströmlänge als spezifischer Länge.

6l rπ= ⋅ . (5.77)

Für den Kreisring am Wickelkopf lässt sich analytisch nur eine Näherung angeben.

In erster Näherung wird der Kreisring als senkrechte Platte aufgefasst. Dies wird zu einem zu

kleinen Wert für die Nußeltzahl führen. Allerdings ist zusätzlich zu beachten, dass die freie

Konvektion ohnehin durch die Wicklung am Stirnkopf beeinträchtigt wird. Möglicherweise

einzuführende Korrekturfaktoren sind durch Experimente zu bestimmen.


21

6

4,2 169 9

16

10,825 0,387

0, 4921Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.78)

Als spezifische Länge l ist die mittlere Höhe des Kreisrings einzusetzen. Diese lässt sich aus

der Fläche des Kreisrings bestimmen. Die Fläche des Kreisrings ist mit (5.75) bestimmt.


Für die mittlere Höhe des Kreisringes und somit für die einzusetzende spezifische Länge gilt

somit

,4,24,2

62thermischO

lr

=⋅

. (5.79)

Die nachfolgende Grafik veranschaulicht die Konvektion über den Kreisring:

Bild 5.6: freie Konvektion am Kreisring

Für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten der Mantelfläche folgt

4,14,1

4,1

Nul

λα

⋅= . (5.79a)

Es folgt somit für den thermischen Widerstand der Mantelfläche

,4,14,1 ,4,1

1K

thermisch

WOα

=⋅

. (5.80a)

Für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten der Kreisringfläche an einem Stirnkopf folgt

4,24,2

4,2

Nul

λα

⋅= . (5.80b)


Es folgt somit für den thermischen Widerstand der Kreisringfläche an einem Stirnkopf

4,24,2 ,4,2

1K

thermisch

WOα

=⋅

. (5.80c)

Für den gesamten Wärmeübergangswiderstand an beiden Stirnköpfen folgt

,4

,4,1 ,4,2

11 2K

K K

W

W W

=+

(5.80d)

5.2.5 Wärmeübergang von der Luft im Luftspalt auf das Kühlmittel im Gehäuse ( 5KW )

Der Wärmeübergang von der Luft im Luftspalt auf das Kühlmittel im Gehäuse ist durch die

analytisch nicht zu erfassenden (bei Rotation stark turbulenten) Strömungsverhältnisse im

Luftspalt und durch den Stoffaustausch an den Wickelköpfen analytisch schwer zu berechnen.

Der Wärmeübergang findet ausschließlich über die Stirnköpfe statt.

Ein Wärmeübergang durch Strahlung findet nicht statt.

Der Wärmeübergang wird durch einen konvektiven Wärmeübergang angenähert. Die Theorie

des konvektiven Wärmeübergangs gilt eigentlich nur für den Wärmeübergang von einem

Festkörper auf ein Fluid. Der hier berechnete konvektive Wärmeübergang zwischen zwei

Fluiden soll den Stoffaustausch simulieren, der quantitativ analytisch nicht zu erfassen ist.

Die analytische Berechnung dieses Wärmeübergangswiderstandes ist als kritisch anzusehen.

Der Vergleich von Berechnungen und Messungen zeigt, dass die Annahme von Konvektion

anstelle von Stoffaustausch zu sinn vollen Ergebnissen führt.


5.2.5.1 Thermisch wirksame Oberfläche

Die thermisch wirksame Oberfläche des Kreisspaltes am Stirnkopf folgt aus den Geometrie-

daten der Maschine. Zu beachten ist, dass in den Bereichen der Nutöffnung der Luftspalt um

die Höhe der Vornut erweitert ist. Die Oberfläche der Kreisspalte soll aber weiterhin als

Kreisring betrachtet werden, um die Berechnung der Nußeltzahl zu ermöglichen.

Für die thermisch wirksame Oberfläche an einem Stirnkopf folgt somit

( ) ( )( ) ( )( ),5 4 1 4 2 1 4 22 2thermisch S M S M VNO r b Z r r d b Z r r d hπ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − + +⎣ ⎦ . (5.81)

Die Berechnung des mittleren thermischen Luftspaltes gemäß Anlage A2 ist hier in die Be-

trachtung mit einzubeziehen.


Es wird von freier Konvektion ausgegangen. Die Berechnung der Nußeltzahl für den Kreis-

ringabschnitt geschieht analog zu Kapitel 5.2.4 und führt auf folgende Formeln:


21

6

5 169 9

16

10,825 0,387

0, 4921Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.82)

Für die mittlere Höhe des Kreisringes und somit für die einzusetzende spezifische Länge gilt

,5

42thermischO

lr

=⋅

. (5.83)


Es folgt für den Wärmeübergangskoeffizienten

55

5

Nul

λα ⋅= . (5.84)

Für den Wärmeübergangswiderstand an beiden Stirnköpfen folgt somit

55 ,5

12K

thermisch

WOα

=⋅ ⋅

.

(5.85)

Die Diffusion der Luft zwischen Luftspalt und Gehäuseinnenraum ist erst in einem nächsten

Bearbeitungsschritt sinnvoll einzubeziehen, wenn die axiale Temperaturverteilung sowie eine

mögliche axiale Belüftung mit in das Berechnungsmodell integriert werden. Diese Erweite-

rung ist aber nicht mehr Gegenstand dieser Arbeit.

5.2.6 Wärmeübergang von den Permanentmagneten auf das Kühlmittel im Ge-häuse ( 6KW )

Der Wärmeübergang von den Permanentmagneten auf das Kühlmittel im Gehäuse findet aus-

schließlich durch Konvektion über die Stirnköpfe statt. Im Folgenden wird von freier Konvek-

tion ausgegangen.


Die Stirnflächen der Permanentmagnete werden als Kreisring angenähert. Die Schrägung der

PM-Segmente wird vernachlässigt.

Für die thermisch wirksame Oberfläche an einem Stirnkopf gilt somit

( )2 2,6 2 2thermisch MO r d rπ ⎡ ⎤= ⋅ + −⎣ ⎦ . (5.86)



Die Berechnung der Nußeltzahl findet analog zu 5.2.4 statt und führt auf

21

6

6 169 9

16

10,825 0,387

0, 4921Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.87)

Die einzusetzende spezifische Länge berechnet sich analog zu 5.2.4 mit

( ),6

22thermisch

M

Ol

r d=

⋅ +.

(5.88)

Es folgt somit für den thermischen Widerstand an beiden Stirnköpfen

( )

( )

1

166 ,6 6 2

,6

2

1 42

2

K thermisch Mthermisch

M

NuW O Nu r dOr d

λ λ

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ +⎝ ⎠

. (5.89)

5.2.7 Wärmeübergang vom Rotorjoch auf das Kühlmittel im Gehäuse ( 7KW )

Der Wärmeübergang vom Rotorjoch auf das Kühlmittel im Gehäuse findet ausschließlich

durch Konvektion über die Stirnköpfe statt. Es wird von freier Konvektion ausgegangen.



Die Stirnflächen werden als Kreisring angenähert.

Für die thermisch wirksame Oberfläche an einer Stirnseite gilt somit

2 2

,7 2 1thermischO r rπ ⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ . (5.90)


Die Berechnung der Nußeltzahl findet analog zu 5.2.4 statt und führt auf

21

6

7 169 9

16

10,825 0,387

0, 4921Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.91)

Die einzusetzende spezifische Länge berechnet sich analog zu 5.2.4 mit

,7

22thermischO

lr

=⋅

. (5.92)

Es folgt somit für den Wärmeübergangswiderstand an beiden Stirnköpfen

[ ]

1

177 ,7 7 2

,7

2

1 42

2

K thermischthermisch

NuW O Nu rOr

λ λ

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

. (5.93)


5.2.8 Wärmeübergang von der Rotorwelle auf das Kühlmittel im Gehäuse ( 8KW )

Der Wärmeübergang von der Rotorwelle auf das Kühlmittel im Gehäuse findet ausschließlich

durch Konvektion statt. Im Folgenden wird zunächst von freier Konvektion ausgegangen.

Die Längen der Abschnitte der Rotorwelle zwischen Austritt aus dem Rotorjoch und Durch-

führung des Gehäuses sind im Berechnungsprogramm als Eingabewerte vorgesehen.


Die Rotorwelle wird in der Modellbildung als waagerechter Zylinder angenähert.

Für die thermisch wirksame Oberfläche an beiden Stirnseiten gilt somit

( ),8 1 , 1 , 22thermisch Welle innen Welle innenO r l lπ= ⋅ ⋅ + . (5.94)


Die Berechnung der Nußeltzahl für den horizontalen Zylinder wird durchgeführt mit

21

6

8 169 9

16

10,752 0,387

0,5591Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.95)

Für die einzusetzende spezifische Länge gilt

1l rπ= ⋅ . (5.96)

Es folgt somit für den Wärmeübergangswiderstand

1

88 ,8

1K thermisch

NuW Orλ

π

−⎛ ⎞⋅

= ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠. (5.97)


5.2.9 Wärmeübergang von den Wicklungen in den Nuten auf die Wicklungen am Stirnkopf ( 9KW )

Der Wärmeübergang von den Wicklungen in den Nuten auf die Wicklungen am Stirnkopf

findet durch direkten Stoffkontakt statt.

Aufgrund der sehr guten Wärmeleitfähigkeit von Kupfer wird zunächst von einem unendlich

großen Wärmeübergangskoeffizienten ausgegangen.

5.2.10 Wärmeübergang von den Wicklungen am Stirnkopf auf die Statorzähne 10KW

Es wird im Folgenden davon ausgegangen, dass es keinen direkten Kontakt zwischen den

beiden Teilkörpern gibt.

Der Wärmeübergang von den Wicklungen am Wickelkopf auf die Statorzähne findet somit

ausschließlich durch Wärmestrahlung statt.

Da der Strahlungsübergang von der Wicklung am Stirnkopf nicht nur auf einen anderen Teil-

körper geschieht und es sich um recht komplizierte Geometrien handelt, muss unter Zuhilfe-

nahme der Gleichung (5.18) die Einstrahlzahl berechnet werden.

Zu bestimmen sind zunächst die thermisch wirksamen Oberflächen.


Die hier wirksame thermische Oberfläche der Statorzähne entspricht der im Kapitel 5.2.3.1

berechneten Oberfläche der Statorzähne am Stirnkopf. Diese ist für die Berechnung des Wär-

meübergangskoeffizienten durch die Anzahl der Zähne 1Z zu teilen, um die Fläche eines

Zahnes zu erhalten. Die Fläche der Vornut wird ebenfalls mit in die Rechteckfläche umge-

rechnet. Es folgt



( ) 4 11

1 122Zahn Z Z VN VN VN sO b l h h r h Z b

Zπ⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(Bezugsfläche) (5.98)


( ) ( )4 11

1 1 122Zahn Z Z VN VN VN ZWZ s ZWZ ZWZ Z

ZWZ

O b l h h r h Z K b b b lK Z

π⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

(Bezugsfläche) (5.99)

Für die hier thermisch wirksame Oberfläche der Wicklung am Stirnkopf ist zu klären, welche

Fläche der Wicklung ein Statorzahn in welchem Sichtwinkel „sieht“. Für die anzuwendenden

Ersatzgeometrien ist es sinnvoll, analog zu 5.2.2.1 eine Aufteilung des Wickelkopfes in Stege

entlang der Stirnkopfhöhe und Querverbindungen vorzunehmen.

Ausgegangen wird daher von der in Kapitel 5.2.2 genutzten Ersatzgeometrie für den Wickel-

kopf.

Für die thermisch wirksame Fläche der Stege folgt bezogen auf einen Zahn:

, 12Wicklung Steg ZO l h= ⋅ ⋅ (5.100)

Die Querverbindung am Stirnkopf wird gemäß 5.2.2 als Zylinder angenähert. Der Ersatzra-

dius wird gemäß (5.37)/(5.41) berechnet. Um die Lösbarkeit von (5.18) zu gewährleisten,

muss eine Ersatzgeometrie gefunden werden, für die eine Berechnung der Einstrahlzahlen

analytisch möglich ist. Die beste Annäherung bietet die Anordnung zwischen einem Zylinder

und einer parallel angeordneten endlichen Rechteckfläche, deren Breite der Zylinderlänge

entspricht. Bild 5.7 zeigt diese Ersatzanordnung:


A1

ac

br

Bild 5.7: geometrische Ersatzanordnung

Es muss somit als Länge des Zylinderelements abweichend von 5.2.2 eine mittlere Zahnbreite

,Z mb angenommen werden mit

,Zahn

Z mZ

Obl

= . (5.102)

Sowohl für verteilte Wicklungen als auch für konzentrierte Wicklungen ist diese Annäherung

in den meisten Fällen zulässig und führt im Vergleich mit der Berechnung gemäß 5.2.2 nur zu

geringen Abweichungen.

Für die thermisch wirksame Fläche des Zylinderabschnitts der Querverbindung folgt für einen

Zahn:



, , ,2Wicklung Querverbindung Z m Kreisring QuerschnittO b rπ= ⋅ ⋅ ⋅ (5.103)

mit (5.37).


, , 2Wicklung Querverbindung Z m ZylinderO b rπ= ⋅ ⋅ ⋅ (5.104)

mit (5.41) .


Betrachtung der Stege entlang der Stirnkopfhöhe:

Der Wärmeübergang von den flankierenden Stegen auf die Zahnfläche wird in der Ersatz-

anordnung als Wärmeübergang zwischen zwei senkrecht zueinander stehenden Rechteckplat-

ten mit einer gemeinsamen Kante angenähert. Anders als beim konvektiven Wärmeübergang,

wo die Stege als Zylinder angenähert wurden, trägt hier nur die dem Zahn zugewandte Seite

zum Wärmeübergang bei und wird als Rechteckfläche angenähert.

Bild 5.8 zeigt die Ersatzanordnung nach [3], Kb7


Bild 5.8: geometrische Ersatzanordnung

Für die Geometriegrößen der Ersatzanordnung folgt aus den berechneten Oberflächen

Za l= , (5.105)

1b h= , (5.106)

Zahn

Z

Ocl

= . (5.107)

Für die Berechnung wird zusätzlich

bBa

= und (5.108)

cCa

= (5.109)

eingeführt.

Die Lösung von (5.18) führt gemäß [3], KB6 auf


( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2 22

2 2 21,2

2 2 2 2 22

2 2 2 2 2

1 1 1arctan arctan arctan

11 ln11

4 1 1ln ln1 1 1

B C B CB C B C

B C BB

B C BB

B C C B CCB C C B C

ϕπ

⎧ ⎫⋅ + ⋅ − + ⋅⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤+ + ⋅⎪ ⎪⎢ ⎥⋅ += ⎨ ⎬+ ⋅ +⎢ ⎥⋅ ⎪ ⎪+ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ + ⋅⎢ ⎥+ +⎪ ⎪⋅ −⎢ ⎥⎪ ⎪+ ⋅ + + ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

. (5.110)

Es folgt gemäß Kapitel 5.1

2,1, 1,2,

,12

ZahnSteg Steg

Wicklung Steg

O

Oϕ ϕ= ⋅

⋅ , (5.111)

( ) ( )1 2 1,2,

1,21 2 1,2, 2,1,1 1 1

S Steg

Steg Steg

CC

ε ε ϕε ε ϕ ϕ

⋅ ⋅ ⋅=

− − ⋅ − ⋅ ⋅ , (5.112)

( ) ( )44,

, 1,2,

Zahn Wicklung KopfS Steg

Zahn Wicklung Kopf

T TC

T Tα

−= ⋅

− . (5.113)

Für den gesamten Wärmeübergangswiderstand der Stege an beiden Stirnköpfen folgt somit

,10,1, 1

14K

S Steg Zahn

WO Zα

=⋅ ⋅ ⋅

. (5.114)

Betrachtung der Querverbindungen des Wickelkopfes:

Der Wärmeübergang von den Querverbindungen auf die Zahnfläche wird in der Ersatzanord-

nung als Wärmeübergang zwischen einem Zylinder und einer parallelen endlichen Rechteck-

fläche angenähert. Bild 5.7 zeigt die Ersatzanordnung nach [3], Kb7.

Für die Geometriegrößen der Ersatzanordnung folgt

für verteilte Wicklungen

r gemäß (5.37) , (5.115)


für konzentrierte Wicklungen

r gemäß (5.41) , (5.116)

1a h= , (5.117)

Zb l= , (5.118)

,Z mc b= . (5.119)

Die Auswertung von (5.18) führt auf

( )2

1,2,0

2B

quer f g dgB

ϕ = ∫ (5.120)

mit

( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1arccos2

14 arccos arcsin

2

YX C

A A Yf g X C YA g A g X A g A g

X

π

π

⎧ ⎫− ⋅⎪ ⎪⋅⎪ ⎪⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⋅ + ⎢ ⎥⋅ + +⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⋅⎢ ⎥⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(5.121)

mit

aAr

= , (5.122)

bBr

= , (5.123)

cCr

= , (5.124)

2 2 2 1X A C g= + + − , (5.125) 2 2 2 1Y C A g= − − + . (5.126)


Die Lösung von (5.120) ist nur über numerische Integration bestimmbar. Die numerische In-

tegration wird in Matlab mittels der Integrationsfunktion QUAD durchgeführt.


2,1, 1,2,,

Zahnquer quer

Wicklung Querverbindung

OO

ϕ ϕ= ⋅ , (5.127)

( ) ( )1 2 1,2

1,21 2 1,2 2,11 1 1SC

Cε ε ϕ

ε ε ϕ ϕ⋅ ⋅ ⋅

=− − ⋅ − ⋅ ⋅

, (5.128)

( ) ( )44,

, 1,2,

Zahn Wicklung KopfS Querverbindung

Zahn Wicklung Kopf

T TC

T Tα

−= ⋅

− . (5.129)

Für den Wärmeübergangswiderstand der Querverbindungen an beiden Stirnköpfen folgt somit

,10,2, 1

12K

S Querverbindung Zahn

WO Zα

=⋅ ⋅ ⋅

. (5.130)


,10

,10,1 ,10,2

11 1K

K K

W

W W

=+

(5.131)


5.2.10.3 Einstrahlzahl zwischen den Statorzähnen und der Gesamtoberfläche des Wickelkopfes

Für die Berechnung weiterer Wärmeübergangswiderstände ( ,20 ,27 ,28, ,K K KW W W ) ist die Ein-

strahlzahl zwischen den Statorzähnen und der Gesamtoberfläche der Wicklung am Stirnkopf

zu bestimmen.

Zu berechnen ist zunächst die mittlere Einstrahlzahl für den Wärmeübergang von den Stator-

zähnen auf die Wicklung am Stirnkopf ausgehend von (5.111) und (5.127) mit

, 1,2, 1,2,2Z W quer Stegϕ ϕ ϕ= + ⋅ . (5.132)

Die Einstrahlzahl von der Wicklung am Stirnkopf auf das Statoreisen am Stirnkopf bezogen

auf die Gesamtflächen der Teilkörper folgt mit

1, ,

ZahnW Z Z W

Wickelkopf

Z OO

ϕ ϕ ⋅= ⋅ (5.133)

mit

WickelkopfO gemäß (5.48).

5.2.11 Wärmeübergang von den Statorzähnen zum Statorjoch ( 11KW )

Der Wärmeübergang von den Statorzähnen auf das Statorjoch findet durch direkten Stoffkon-

takt statt. Es wird von einem unendlich großen Wärmeübergangskoeffizienten ausgegangen.

11 0KW = . (5.135)


5.2.12 Wärmeübergang vom Statorjoch zum Luftspalt ( 12KW )

Bei den hier betrachteten Maschinen findet kein Wärmeübergang vom Statorjoch auf die Luft

im Luftspalt statt. Der zugeordnete Wärmeübergangswiderstand wird deshalb als unendlich

groß angenommen.

12KW → ∞ (5.136)

5.2.13 Wärmeübergang von den Permanentmagneten zum Luftspalt ( 13KW )

Der Luftspalt kann in der Ersatzgeometrie durch einen konzentrischen Ringspalt dargestellt

werden. Behandelt wird hierbei die Wärmeübertragung zwischen einem Fluid im Ringspalt

(hier Luft) und den Wänden von Innen- und Außenzylindern. Da hier nur der Wärmeübergang

zwischen Innenzylinder (PM-Magnete) und Luftspalt zu berechnen ist, wird der Außenzylin-

der als ideal wärmegedämmt angesehen.

Kennzeichnende charakteristische Abmessung zur Berechnung der dimensionslosen Kenn-

größen ist der hydraulische Durchmesser

h a id d d= − . (5.137)

In den Kreisabschnitten unter den Zahnköpfen ist mit einem anderen hydraulischen Durch-

messer zu rechnen als in den Bereichen der Nutöffnung, da in letzteren die Höhe der Vornut

als zusätzlicher Luftspalt nicht vernachlässigt werden kann. In diese Betrachtung ist Anlage

A2.1 einzubeziehen.

Angewendet auf die Geometriegrößen des Motormodells folgt

( )1 4 22 2h Md r r d= ⋅ − ⋅ + unter den Zahnköpfen (5.138a)

sowie

( ) ( )2 4 22 2h VN Md r h r d= ⋅ + − ⋅ + unter der Nutöffnung. (5.138b)



Unter Vernachlässigung der Schrägung der Magneten wird die thermisch wirksame Oberflä-

che bestimmt mit

( ),13 22thermisch M SO r d lπ= ⋅ + ⋅ . (5.139)


Für die Bestimmung der Nußeltzahl ist festzulegen, ob im Luftspalt von laminarer oder turbu-

lenter Strömung ausgegangen werden soll.

Entscheidend hierfür ist der Wert der Reynoldszahl, die definiert ist mit

1/ 2Re w lν⋅

= , 1 2/h hl d d= (5.23)

gemäß Kapitel 5.1.2.

Bis zu einem Wert von Re 2300= kann von rein laminarer Strömung ausgegangen werden.

Ab Re 10000= muss von rein turbulenter Strömung ausgegangen werden. Zwischen diesen

Grenzwerten liegt ein Übergangsbereich, in dem laminare und turbulente Strömung parallel

auftreten. Dieser Bereich ist analytisch nicht zu erfassen.

Die geringe Breite des Luftspaltes begünstigt die Ausbildung einer laminaren Strömung.

Für einen Luftspalt mit einer Breite von 0,6 mm wird der Grenzwert von Re 2300= erst für

eine Strömungsgeschwindigkeit von 29,9 mws

= erreicht. Diese Geschwindigkeit wird auch

bei axialer Belüftung des Motors nicht erreicht werden. Die Drehbewegung des Rotors hat

keinen Einfluss auf die Konvektion, da im Luftspalt eine homogene Temperaturverteilung

angenommen werden kann und somit die Effekte der erzwungenen Konvektion nicht vorlie-

gen. Inwieweit die Rotation des Rotors, insbesondere aufgrund des nicht gleichmäßigen Luft-

spaltes, die Ausbildung einer turbulenten Strömung im Luftspalt erzwingt, soll hier nicht nä-

her betrachtet werden. Die analytische Betrachtung des Wärmeübergangs unter Annahme

turbulenter Strömung durch die Bewegung des Rotors ist nicht ohne weiteres möglich, da die

für turbulente Strömung abgeleiteten Formeln nur für Re 10000≥ Gültigkeit besitzen (dies


würde bei einem Luftspalt einer Breite von 0,6 mm eine Fließgeschwindigkeit von mindestens

130 mws

= erfordern).

Für die Nußeltzahl ergibt sich für die vorliegenden Bedingungen nach den in [3] aufgeführten

Formeln folgende Bestimmungsgleichung für laminare Strömung:

1

3 3130,11 0,8 0,53

2 21 1

4 4

Pr 3,66 1,2 1,615 1 0,14 Re PrPr

hM M

W S

dr d r dNur r l

− −⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

(5.140a) 1

3 3130,11 0,8 0,53

2 22 2

4 4

Pr 3,66 1,2 1,615 1 0,14 Re PrPr

hM M

W VN VN S

dr d r dNur h r h l

− −⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ (5.140b)

mit

PrW als der bei Wandtemperatur (hier Temperatur der Permanentmagneten) berechneten

Prandltzahl.

Die Formel zeigt, dass für kleine Werte des Verhältnisses

2

Re h h h h

S S S

d w d d dwl l lν ν

⋅⋅ = ⋅ = ⋅ (5.141)

die Reynoldszahl und somit auch die Fließgeschwindigkeit des Fluids an Einfluss stark ab-

nehmen. Die Fließgeschwindigkeit hat also aufgrund der geringen Breite des Luftspaltes auf

die Konvektion im Luftspalt nur geringen Einfluss.


Für den Wärmeübergangskoeffizienten folgt

113,1

1h

Nud

λα ⋅= und (5.142a)

213,2

2h

Nud

λα ⋅= . (5.142b)

Für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten folgt

4

113 13,1 13,2

4 4

1 1

2

2 2

SS

r bbZ

r rZ Z

π

α α απ π

⋅−

= ⋅ + ⋅⋅ ⋅ . (5.142c)

Für den Wärmeübergangswiderstand folgt

,1313 ,13

1K

thermisch

WOα

=⋅

(5.143)

5.2.14 Wärmeübergang von den Permanentmagneten zum Rotorjoch ( 14KW )

Der Wärmeübergang findet gemäß 5.1.1.1 durch direkten Kontakt über eine Grenzschicht

statt. Die Beschaffenheit der Grenzschicht ist im Programm durch Eingabe von Schichtdicke

s und Wärmeleitfähigkeit λ zu definieren. Das entsprechende Eingabefenster ist in der fol-

genden Grafik zu sehen. Die aus Messungen gewonnen Werte für s und λ , die den folgenden

Beispielrechnungen zugrundeliegen, sind dem Kapitel 8 zu entnehmen.


Bild 5.9: Eingabefenster für Dicke und Wärmeleitfähigkeit möglicher Zwischenschichten bei

direktem Stoffkontakt

Für die thermisch wirksame Oberfläche gilt

,14 22thermisch SO r lπ= ⋅ ⋅ . (5.144)

Es folgt dann gemäß 5.1.1.1

14,14

14d s

λα = (5.145)

und

14 1414 ,14

1 1K

thermisch

W sOλ

= ⋅ ⋅ . (5.146)


5.2.15 Wärmeübergang vom Rotorjoch zur Welle ( 15KW )

Der Wärmeübergang findet gemäß 5.2.14 statt.


,15 12thermisch SO r lπ= ⋅ ⋅ . (5.147)


15,15

15d s

λα = (5.148)

und

15 1515 ,15

1 1K

thermisch

W sOλ

= ⋅ ⋅ . (5.149)

5.2.16 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut zu den Statorzähnen ( 16KW )

Der Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut auf die Statorzähne findet durch direkten

Stoffkontakt über eine Grenzschicht statt. Die Nutisolierung ist in diese Grenzschicht mit ein-

zubeziehen. Werte für die Wärmeleitfähigkeit sowie die Dicke der Grenzschicht sind durch

Experimente gewonnen worden. Näheres hierzu ist [25] zu entnehmen.

Der Wärmeübergang findet somit gemäß Kapitel 5.2.14 statt.


( ),16 1 2thermisch Z VN SO Z l h l= ⋅ ⋅ − ⋅ . (5.150)



16,16

16d s

λα = (5.151)

und

16 1616 ,16

1 1K

thermisch

W sOλ

= ⋅ ⋅ . (5.152)

5.2.17 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut zum Statorjoch ( 17KW )

Der Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut auf das Statorjoch findet durch direkten

Stoffkontakt über eine Grenzschicht statt. Die Nutisolierung ist in diese Grenzschicht mit ein-

zubeziehen. Werte für die Wärmeleitfähigkeit sowie die Dicke der Grenzschicht wurden

durch Experimente gewonnen. Näheres hierzu ist [25] zu entnehmen.

Der Wärmeübergang findet somit gemäß Kapitel 5.2.14 statt.


Verteilte Wicklungen:

( ),17 4 12thermisch Z Z SO r l Z b lπ= ⋅ + − ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ (5.153)

Konzentrierte Wicklungen:

( ),17 4 12 Z ZWZthermisch Z S

ZWZ

b bO r l Z lK

π⎡ ⎤+

= ⋅ + − ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.154)


17,17

17d s

λα = (5.155)


und

17 1717 ,17

1 1K

thermisch

W sOλ

= ⋅ ⋅ . (5.156)

5.2.18 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut zum Luftspalt ( 18KW )

Der Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut auf den Luftspalt erfolgt durch Konvekti-

on. Angewendet wird hier die Theorie des konvektiven Wärmeübergangs im Ringspalt. In

Kapitel 5.2.13 wurde die Theorie für den Wärmeübergang vom Innenzylinder auf den Ring-

spalt dargestellt. Hier handelt es sich um einen Wärmeübergang vom Außenzylinder auf den

Ringspalt. Da der Wärmeübergang nur über Ausschnitte der Zylinderfläche geschieht, gibt die

Theorie des konvektiven Wärmeübergangs im Ringspalt nur eine Näherungslösung. Diese

Näherung erscheint aber zulässig, da die Richtung der Längsausdehnung der Zylinderelemen-

te mit der Fließrichtung der Strömung des Fluids im Luftspalt zusammenfällt.

Es wird zunächst der Wärmeübergang für den Vollzylinders berechnet und anschließend der

Wärmeübergangswiderstand anteilig auf die tatsächlich zu betrachtende Fläche umgerechnet.

Die Annahme laminarer Strömung ist in Kapitel 5.2.13 begründet.

Zwischen Wicklung und Luft im Luftspalt befindet sich zumeist eine Nutisolierung, die nach

Werkstoff und Strahlungsemissionsgrad variieren kann. Es wird in diesem Modell angenom-

men, dass diese Nutisolierung stets die Temperatur der Wicklung in der Nut aufweist.



h a id d d= − . (5.157)


( ) ( )4 22 2h VN Md r h r d= ⋅ + − ⋅ + . (5.158)



,18 1thermisch S SO Z b l= ⋅ ⋅ . (5.159)


Re w lν⋅

= , hl d= (5.23)


Für die Nußeltzahl ergibt sich für die vorliegenden Bedingungen nach den in [3] Gb2 aufge-

führten Formeln folgende Bestimmungsgleichung für laminare Strömung:

1

3 31130,11 0,533

2 2

4 4

Pr 3,66 1,2 1,615 1 0,14 Re PrPr

hM M

W S

dr d r dNur r l

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

(5.160)

mit

PrW als der bei Wandtemperatur (hier Temperatur der Statorzähne) berechneten Prandltzahl.

Die Formel zeigt, dass für kleine Werte des Verhältnisses

2

Re h h h h

S S S


⋅⋅ = ⋅ = ⋅ (5.161)






18 1818

h

Nud

λα ⋅= . (5.162)


,1818 ,18

1K

thermisch

WOα

=⋅

. (5.163)

5.2.19 Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut zu den Permanentmagneten ( 19KW )

Der Wärmeübergang von der Wicklung in der Nut auf die Permanentmagnetsegmente erfolgt

durch Wärmestrahlung über die Fläche des Nutschlitzes. Zu beachten ist, dass die Nutisolie-

rung die Strahlungsemission beeinflusst. Es wird in der gesamten Modellbildung davon aus-

gegangen, dass die Nutisolierung stets die gleiche Temperatur aufweist wie die Wicklung in

der Nut.

Der Emissionsgrad der Nutisolierung ist Vorgabewert.

Aufgrund des geringen Abstandes zwischen den Strahlungsflächen kann davon ausgegangen

werden, dass die gesamte Strahlung über die Nutschlitze auf die Permanentmagnetsegmente

übergeht. Die Strahlung ausgehend von den Permanentmagnetsegmenten dagegen teilt sich

gleichmäßig auf die Fläche der Statorzähne am Innenzylinder sowie auf die Fläche der Nut-

schlitze auf. Aufgrund der einfachen Aufteilung muss keine Einstrahlzahl berechnet werden.

Die wirksame Strahlenaustauschkonstante 1,2C wird über das Flächenverhältnis angepasst.


,19,1 1thermisch S SO Z b l= ⋅ ⋅ , (5.164)

( ),19,2 22thermisch M SO r d lπ= ⋅ + ⋅ . (Bezugsfläche)

(5.165)

,19,3 42thermisch SO r lπ= ⋅ ⋅ (5.166)


Die Schrägung der Magneten wird vernachlässigt.


Der Wärmeübergangskoeffizient bei Übergang der Strahlung von Festkörper zu Festkörper im

Doppelrohr wird berechnet mit

,19,11,2

,19,3 ,19,3

1 ,19,2 2

11 1 1

thermischS

thermisch thermisch

thermisch

OC C

O OOε ε

= ⋅⎛ ⎞

+ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (5.166a)

Für den Wärmeübergangskoeffizienten folgt somit

( ) ( )4 4

,1,2

,

Magnete Wicklung NutS

Magnete Wicklung Nut

T TC

T Tα

−= ⋅

− . (5.167)

Für den Wärmeübergangswiderstand folgt somit

,19,19 ,19,2

1K

S thermisch

WOα

=⋅

. (5.168)

5.2.20 Wärmeübergang vom Wickelkopf auf das Statorjoch ( 20KW )

Der Wärmeübergang findet ausschließlich durch Strahlung statt. Für die Berechnung der Ein-

strahlzahlen ist die geometrische Anordnung des Kupfers am Wickelkopf durch Geometrien

zu ersetzen, die eine analytische Auswertung von (5.18) zulassen. Die Aufteilung des Wickel-

kopfes in Stege parallel zur Motorachse und einen Kreisring, der parallel zu der Stirnfläche

von Statorzähnen und Statorjoch liegt, erscheint sinnvoll. Diese geometrische Annäherung

wurde bereits bei der Berechnung anderer Wärmeübergangswiderstände angewendet (siehe

z.B. 5.2.2)

Der Einfluss von Stegen und Kreisring ist getrennt zu betrachten.


Der Wärmeübergang des Kreisrings der Querverbindungen auf das Statorjoch ist aufgrund der

komplexen Geometrie analytisch nicht zu erfassen. Aufgrund des größeren Abstandes des

Kreisrings zum Statorjoch wird der Einfluss dieses Teilwärmeübergangswiderstandes gerin-

ger eingeschätzt als der Einfluss der Stege und hier vernachlässigt.


Die thermisch wirksamen Oberflächen der Stege werden durch Rechteckflächen angenähert.

Beim Wärmeübergang von den Stegen auf das Statorjoch ist zunächst die Fläche eines Steges,

angrenzend an den Nutgrund zu bestimmen mit

( ) ( )4,20,1 1

1

2 1Zthermisch Z ZWZ

ZWZ

r lO b b h

Z Kπ ⋅ +⎡ ⎤

= − ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

. (Bezugsfläche)

(5.169)

Als Anteil des Stators, auf den diese Fläche effektiv abstrahlt, wird eine Umfangslänge von

zwei Nutteilungen angenommen. Für die hier thermisch wirksame Oberfläche des Statorjochs

ergibt sich somit

( )22,20,2 6 4

1

22thermisch ZO r r lZπ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − +⎣ ⎦ .

(5.170)

Die Seitenflächen der Stege an den Zahnflanken sind zu bestimmen mit

( ),20,3 1thermisch Z VNO l h h= − ⋅ . (Bezugsfläche) (5.171)

Als Anteil des Stators, auf den diese Fläche effektiv abstrahlt, wird eine Umfangslänge von

einer Nutteilung angenommen. Für die hier thermisch wirksame Oberfläche des Statorjochs

ergibt sich somit


,20,4 ,20,112thermisch thermischO O= ⋅ . (5.172)

Bei im Verhältnis zu ihrer Länge sehr dünnen Zähnen kann es zu genaueren Ergebnissen füh-

ren, statt einer Nutteilung nur die Zahnbreite als thermisch wirksame Fläche des Stators zu

berücksichtigen.

Für die weitere Betrachtung wird die Krümmung des Jochs vernachlässigt.

Die Gesamtoberfläche der Wicklung am Wickelkopf ist mit (5.48) berechnet.


Die Annahme einer Ersatzgeometrie durch senkrecht aufeinander stehende Flächen mit einer

gemeinsamen Kante ist hier um die Tatsache zu erweitern, daß die Seitenlängen der Flächen

an der gemeinsamen Kante nicht gleich sind.

Es wird daher vom allgemeinen Fall zweier Flächen, die eine parallele Kante haben, ausge-

gangen. Bild 5.10 zeigt diesen allgemeinen Fall.

Bild 5.10: Ersatzgeometrie für die Bestimmung der Einstrahlzahl zweier rechteckiger Flächen

mit einer parallelen Kante


Die Einstrahlzahl wird durch Lösung von (5.8c) bestimmt mit

(5.173)

Die Lösung von G ist nur über numerische Integration zu bestimmen. Die numerische Integra-

tion wird in Matlab mittels der Funktion QUAD durchgeführt.

Für den Wärmeübergang von der Fläche des Steges am Nutgrund auf das Statorjoch sind die

Geometriewerte wie folgt anzusetzen:

( ) ( )

( )

( )

1

2 1

1

2 6 4

41 4

1 1

42 1

1

1

2 1 41

0

0

21 2 122

2 1

022

90

Z

Z Z ZWZZWZ

Z ZWZZWZ

Z

xx h

r r l

ry r l b bZ Z K

ry y b bZ K

r lZ

ξξ

ππ

π

ηπη η

α

==== − −

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + − − ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞⋅

= + − ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= + ⋅ ⋅ +

= °

Es folgt 1,2,Nutgrundϕ gemäß (5.173).

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2 2 2

1,21 1 1 11

2 2

1/ 2 1/ 22 2 2 2 2

1 222 22

2 2

1 1 , , ,

mit

sin cos cos sinarctan

2 2 cos sin 2 cos

cos cossin arctansin sin

i j k li j k l

i j k lG x y

A

y x yGx x x x

xyy

+ + +

= = = =

ξ

⎡ ⎤ϕ = − η ξ ⎦⎣

⎛ ⎡ ⎤η − α − ξ α α − ξ α η −⎜ ⎢ ⎥= − ⎜ ⎢ ⎥π ⎜ − ξ α + ξ α − ξ α + ξ⎢ ⎥⎝ ⎣ ⎦

α − ξ α⎡ ⎤+ ξ α + η −⎣ ⎦η − α ξ

∑∑∑∑

∫

( )

( )( )

1 22

22 2

2 2

cossin arctansin

2 cosln

2 2 cos

x

y

x x yd

y x x

⎧ ⎫− ξ α⎪ ⎪⎛ ⎞− ξ α ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟α⎝ ⎠⎡ ⎤⎪ ⎪α + η −⎣ ⎦⎩ ⎭

⎞⎡ ⎤− ξ α + ξ + η −ξ ⎟+ ξ⎢ ⎥⎟η − − ξ α + ξ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎠


Für den Wärmeübergang von der Fläche des Steges an der Zahnflanke auf das Statorjoch sind

die Geometriewerte wie folgt anzusetzen:

( )

( )

1

2 1

1

2 4 6 41

1

2

1 2

2 1 6 4

0

02 1

20

90

Z Z

Z VN

Z

xx h

r l r r lZ

yy l h

yr r l

ξπξ

ηη ηα

===

⎛ ⎞= ⋅ + + ⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

== −=

= + − −

= °

Es folgt 1,2,Zahnflankeϕ gemäß (5.173).


,20,12,1, 1,2,

,20,2

thermischNutgrund Nutgrund

thermisch

OO

ϕ ϕ= ⋅ , (5.174)

,20,32,1, 1,2,

,20,4

thermischZahnflanke Zahnflanke

thermisch

OO

ϕ ϕ= ⋅ , (5.175)

( ) ( )1 2 1,2,

1,2,1 2 1,2, 2,1,1 1 1

S NutgrundNutgrund

Nutgrund Nutgrund

CC

ε ε ϕε ε ϕ ϕ

⋅ ⋅ ⋅=

− − ⋅ − ⋅ ⋅ , (5.176)

( ) ( )1 2 1,2,

1,2,1 2 1,2, 2,1,1 1 1

S ZahnflankeZahnflanke

Zahnflanke Zahnflanke

CC

ε ε ϕε ε ϕ ϕ

⋅ ⋅ ⋅=

− − ⋅ − ⋅ ⋅ . (5.177)

Für die Wärmeübergangskoeffizienten folgt somit

( ) ( )4 4

,, 1,2,

,

Statorjoch Wicklung KopfS Nutgrund Nutgrund

Statorjoch Wicklung Kopf

T TC

T Tα

−= ⋅

− (5.178)


und

( ) ( )4 4

,, 1,2,

,

Statorjoch Wicklung KopfS Zahnflanke Zahnflanke

Statorjoch Wicklung Kopf

T TC

T Tα

−= ⋅

− . (5.179)

Für den Wärmeübergangswiderstand der Stege auf das Statorjoch an beiden Stirnköpfen folgt

somit

,20,1, ,20,1 1

1 12K

S Nutgrund thermisch

WO Zα

= ⋅⋅ ⋅

. (5.180)

,20,2, ,20,3 1

1 12 2K

S Zahnflanke thermisch

WO Zα

= ⋅⋅ ⋅ ⋅

. (5.181)

Der zusätzliche Faktor 12

ergibt sich dadurch, daß beide Stirnköpfe zu beachten sind.


,20

,20,1 ,20,2

11 1K

K K

W

W W

=+

. (5.182)

Die direkte Eingabe eines Wärmeübergangskoeffizienten im Programm ist möglich. Bezugs-

fläche ist dann die Gesamtoberfläche der Wicklung am Wickelkopf für beide Stirnköpfe.

5.2.20.3 Einstrahlzahl zwischen dem Statorjoch und der Gesamtoberfläche des Wi-ckelkopfes

Für die Berechnung weiterer Wärmeübergangswiderstände ( ,27 ,28,K KW W ) ist die Einstrahlzahl

zwischen dem Statorjoch und der Gesamtoberfläche der Wicklung am Stirnkopf zu bestim-

men.

Zu berechnen ist zunächst die mittlere Einstrahlzahl für den Wärmeübergang vom Statoreisen

auf die Wicklung am Stirnkopf (zu betrachten ist eine Nutteilung) mit


2,1, ,20,2 2,1, ,20,4,

,20,2

212

Nutgrund thermisch Zahnflanke thermischE W

thermisch

O O

O

ϕ ϕϕ

⋅ + ⋅ ⋅=

⋅ . (5.183)

Die mittlere Einstrahlzahl von der Wicklung am Wickelkopf auf das Statoreisen am Stirnkopf

folgt mit

1,2, 1 ,20,1 1,2, 1 ,20,3,

2Nutgrund thermisch Zahnflanke thermischW E

Wickelkopf

Z O Z OO

ϕ ϕϕ

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅= . (5.184)

5.2.21 Wärmeübergang von den Statorzähnen auf den Luftspalt ( 21KW )

Der Wärmeübergang vom Eisen der Statorzähne auf die Luft im Luftspalt erfolgt durch Kon-

vektion. Anzuwenden ist hier die Theorie des konvektiven Wärmeübergangs im Ringspalt.

Die Begründung hierfür ist Kapitel 5.2.18 zu entnehmen.



h a id d d= − . (5.185a)


( )4 22 2h Md r r d= ⋅ − ⋅ + . (5.185b)


( ),18 4 12thermisch S SO r Z b lπ= ⋅ − ⋅ ⋅ (5.185c)



Re w lν⋅

= , hl d= (5.23)


Für die Nußeltzahl ergibt sich für die vorliegenden Bedingungen nach den in [3] Gb2 aufge-

führten Formeln folgende Bestimmungsgleichung für laminare Strömung:

1

3 31130,11 0,533

2 2

4 4

Pr 3,66 1,2 1,615 1 0,14 Re PrPr

hM M

W S

dr d r dNur r l

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

(5.160)

mit

PrW als der bei Wandtemperatur (hier Temperatur der Statorzähne) berechneten Prandltzahl.

Die Formel zeigt, daß für kleine Werte des Verhältnisses

2

Re h h h h

S S S


⋅⋅ = ⋅ = ⋅ (5.161)





18 1818

h

Nud

λα ⋅= . (5.162)



,1818 ,18

1K

thermisch

WOα

=⋅

. (5.163)

5.2.22 Wärmeübergang von den Statorzähnen zu den Permanentmagneten ( 22KW )

Der Wärmeübergang erfolgt durch Wärmestrahlung über die Flächen der Zähne an der Stato-

rinnenseite.

Aufgrund des geringen Abstandes zwischen den Strahlungsflächen kann davon ausgegangen

werden, daß die gesamte Strahlung ausgehend von den Flächen der Zähne auf die Perma-

nentmagneten übergeht. Die Strahlung ausgehend von den Permanentmagneten dagegen teilt

sich gleichmäßig auf die Fläche der Statorzähne an der Statorinnenseite sowie auf die Fläche

der Nutschlitze auf. Aufgrund der einfachen Aufteilung muss keine Einstrahlzahl berechnet

werden. Die wirksame Strahlungsaustauschkonstante 1,2C wird über das Flächenverhältnis

angepasst.

Parallel ist Kapitel 5.2.19 zu beachten.


,22,1 4 12thermisch S S SO r l Z b lπ= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ , (5.186)

( ),22,2 22thermisch M SO r d lπ= ⋅ + ⋅ , (Bezugsfläche) (5.187)

,22,3 42thermisch SO r lπ= ⋅ ⋅ . (5.188)

Die Schrägung der Magneten wird vernachlässigt.



Der Wärmeübergangskoeffizient beim Übergang der Strahlung von Festkörper zu Festkörper

im Doppelrohr wird berechnet mit

,22,11,2

,22,2 ,22,3

1 ,22,3 2

11 1 1

thermischS

thermisch thermisch

thermisch

OC C

O OOε ε

= ⋅⎛ ⎞

+ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (5.189)

Für den Wärmeübergangskoeffizienten folgt somit

( ) ( )4 4

,,22 1,2

,

Magnete Eisen ZahnS

Magnete Eisen Zahn

T TC

T Tα

−= ⋅

− . (5.15)

Für den Wärmeübergangswiderstand folgt somit

,22,22 ,22,2

1K

S thermisch

WOα

=⋅

. (5.190a)

5.2.23 Wärmeübergang vom Statorjoch zu den Permanentmagneten ( 23KW )

Zwischen Statorjoch und den Permanentmagnetsegmenten findet kein direkter Wärmeüber-

gang statt.

Es folgt

23 0α = ,

,23KW → ∞ .


5.2.24 Wärmeübergang vom Kühlmittel im Gehäuse zur Umgebung ( 24KW )

Der Wärmeübergang vom Kühlmittel auf die Umgebung ist abhängig von der Beschaffenheit

des Motorgehäuses. Eine analytische Berechnung ist im Regelfall nicht möglich. Die direkte

Eingabe des Widerstandwertes nach empirischer Bestimmung ist notwendig. Soll in der Be-

rechnung davon ausgegangen werden, daß kein Gehäuse vorhanden ist, so muss

,24 0KW =

gesetzt werden.

5.2.25 Wärmeübergang vom Gehäuse zur Umgebung ( 25KW )

Der Wärmeübergang vom Gehäuse auf die Umgebung ist stark abhängig von der Beschaffen-

heit des Motorgehäuses. Eine analytische Berechnung ist im Regelfall nicht möglich. Die di-

rekte Eingabe des Widerstandwertes nach empirischer Bestimmung ist notwendig. Soll in der

Berechnung davon ausgegangen werden, daß kein Gehäuse vorhanden ist, so muss

,25 0KW =

gesetzt werden.

5.2.26 Wärmeübergang vom Kühlmittel im Gehäuse zum Gehäuse ( 26KW )

Der Wärmeübergang vom Kühlmittel im Gehäuse auf das Gehäuse ist stark abhängig von der

Beschaffenheit des Motorgehäuses. Eine analytische Berechnung ist im Regelfall nicht mög-

lich. Die direkte Eingabe des Widerstandwertes ist notwendig. Soll in der Berechnung davon

ausgegangen werden, daß kein Gehäuse vorhanden ist, so muss

,26 0KW =

gesetzt werden.


5.2.27 Wärmeübergang vom Statorjoch zum Gehäuse und vom Wickelkopf zum Gehäuse ( 27 28/K KW W )

Die Berechnung dieser beiden Wärmeübergangswiderstände ist nicht unabhängig voneinander

durchführbar.

Die Berechnung ist außerdem im Zusammenhang mit 5.2.10 und 5.2.20 zu sehen.

Die Wärmeübergänge von Rotorjoch und Rotorwelle auf das Gehäuse werden entkoppelt be-

trachtet. Diese Entkopplung ist notwendig, um eine analytische Berechenbarkeit der Wärme-

übergangswiderstände zu ermöglichen. Der Wärmeübergang vom Gehäuse auf die Statorzäh-

ne wird vernachlässigt. Diese Näherung ist notwendig, um die analytische Berechenbarkeit

der anderen Wärmeübergangswiderstände zu ermöglichen. Diese Näherung ist zulässig, da

die Statorzähne zumeist durch den Wickelkopf abgedeckt sind.

Der Wärmeübergang findet ausschließlich durch Strahlung statt. Er ist trotz nicht bekannter

Beschaffenheit des Gehäuses analytisch bestimmbar, da durch das Gehäuse eine geschlossene

Hüllfläche geschaffen wird.

Aufgrund dieser geschlossenen Hüllfläche kann über eine Energiebilanz gemäß (5.20) der

Wärmeübergang auf das Gehäuse berechnet werden. Dies führt dazu, dass die Wärmeüber-

gangswiderstände 10KW , 20KW , 27KW und 28KW nicht unabhängig voneinander berechnet wer-

den können.

5.2.27.1 Berechnung der Einstrahlzahlen

Bild 5.8 zeigt schematisch den Wärmeübergang durch Strahlung zwischen den Teilkörpern

am Stirnkopf und definiert die Einstrahlzahlen und Bezugsflächen.


,G Gϕ,W Wϕ

,G Wϕ

,W Gϕ

,E Wϕ

,W Eϕ,G Eϕ

,E Gϕ

,W Zϕ

,Z Wϕ

Bild 5.11: Wärmeübergang durch Strahlung zwischen den Teilkörpern am Stirnkopf und

Definition der entsprechenden Einstrahlzahlen

Am Stirnkopf ist gemäß 5.2.20/5.2.10 bekannt, welche Einstrahlzahlen zwischen Statorjoch

und Wicklung am Stirnkopf sowie zwischen Statorzähnen und Wicklung am Stirnkopf vorlie-

gen (die entsprechenden Pfeile sind im Diagramm grün markiert).

Die Einstrahlzahlen von Gehäuse und Wicklung am Stirnkopf auf sich selbst ( ,G Gϕ und ,W Wϕ )

sind aufgrund der Geometrie nicht zu vernachlässigen. Diese Werte sind analytisch im Regel-

fall schwer zu erfassen und deshalb im Berechnungsprogramm Vorgabewert. Sie sind abzu-

schätzen oder empirisch zu bestimmen. Für die Beispielrechnungen verwendete Werte sind

dem Anhang A1 zu entnehmen.

Ebenso ist das Verhältnis ,

,

G W

G E

Vϕ

ϕϕ

= ein Vorgabewert, da die Aufteilung der Strahlung des

Gehäuses auf Wickelkopf und Statorjoch am Stirnkopf nicht analytisch zu erfassen ist.


Für die weiteren Einstrahlzahlen folgt dann

, , , ,1W G W W W E W Zϕ ϕ ϕ ϕ= − − − , (5.191)

, ,1E G E Wϕ ϕ= − , (5.192)

( ), ,11 11

G W G G

Vϕ

ϕ ϕ= − ⋅+

, (5.193)

und

( ), ,11

1G E G G Vϕ

ϕ ϕ= − ⋅+

. (5.194)

5.2.27.2 Wärmeübergangskoeffizienten und Wärmeübergangswiderstände

Für die Strahlungsaustauschzahl folgt gemäß Kapitel 5.1.2

( ) ( )1 2 ,

27,11 2 , ,1 1 1

S E G

E G G E

CC

ε ε ϕε ε ϕ ϕ

⋅ ⋅ ⋅=

− − ⋅ − ⋅ ⋅ . (5.195)

( ) ( )1 2 ,

281 2 , ,1 1 1

S W G

W G G W

CC

ε ε ϕε ε ϕ ϕ

⋅ ⋅ ⋅=

− − ⋅ − ⋅ ⋅ . (5.196)

Für die Wärmeübergangskoeffizienten folgt somit

( ) ( )4 4

27,1 27,1Statorjoch Gehäuse

Statorjoch Gehäuse

T TC

T Tα

−= ⋅

− (5.197)

( ) ( )4 4,

28 28Wicklung Wickelkopf Gehäuse

Wickelkopf Gehäuse

T TC

T Tα

−= ⋅

− (5.198)


Mit den entsprechenden Bezugsflächen folgt für beide Stirnköpfe

( ),27,1 22

27,1 6 4

1 12K

Z

Wr r lα π

= ⋅⎡ ⎤⋅ ⋅ + +⎣ ⎦

(5.199)

und

,2828

1 12K

Wickelkopf

WOα

= ⋅⋅

. (5.200)

Zusätzlich ist der Wärmeübergang zwischen der Zylinderfläche des Statorjoches und dem

Gehäuse einzubeziehen. Hierbei kann ein vollständiger Strahlungsaustausch zwischen diesen

Flächen angenommen werden. Eine mögliche Strahlung des Gehäuses auf sich selbst wird

hier vernachlässigt. Daher folgt direkt

27,2

1 2

11 1 1

SC C

ε ε

=+ −

. (5.17)

Es folgt

( ) ( )4 4,

27,2 27,2,

Eisen Stator Gehäuse

Eisen Stator Gehäuse

T TC

T Tα

−= ⋅

− . (5.201)

und

( ),27,2,127,2 6

1002 100K

S Kontakt

Wr l Fα π

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

(5.202)

mit KontaktF als Faktor, der in Prozent angibt, welcher Anteil der Zylinderfläche in direktem

Kontakt zum Gehäuse steht.

Zusätzlich ist ein möglicher direkter Kontakt zwischen Statorjoch und Gehäuse zu berück-

sichtigen gemäß


27,27

27d s

λα = (5.202a)

und

27,27,2,2

17 6

1002K

S Kontakt

sWr l Fλ π

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

(5.202b)

Es folgt

,27,2

,27,2,1 ,27,2,2

11 1K

K K

W

W W

=+

(5.203c)

Für den Gesamtwiderstand (beide Stirnköpfe berücksichtigt) folgt somit

,27

,27,1 ,27,2

11 1K

K K

W

W W

=+

. (5.203d)

Soll ein fiktives Gehäuse ohne Einfluss auf die Berechnung genutzt werden (real kein Gehäu-

se vorhanden), so ist

2 1Gehäuseε ε= =

zu setzen.

5.2.29 Wärmeübergang von der Rotorwelle zur Umgebung ( 29KW )

Der Wärmeübergang von der Rotorwelle auf die Umgebung findet durch Konvektion und

Strahlung statt. Der Strahlungsübergang von der Rotorwelle auf das Gehäuse wird vernach-

lässigt.



Die Rotorwelle außerhalb des Gehäuses wird als horizontaler Zylinder aufgefasst. Die Stirn-

flächen werden nicht berücksichtigt. Für die Gesamtlänge an beiden Stirnköpfen folgt mit den

Vorgabewerten Wellenüberhang 1 (Kupplungsseite) , ,1Welle aussenl und Wellenüberhang 2 (Mo-

torrückseite) , ,2Welle aussenl

, , ,1 , ,2Welle aussen Welle aussen Welle aussenl l l= + . (5.204)

Mit dem Wellenradius folgt somit

,29 1 ,2thermisch Welle aussenO r lπ= ⋅ ⋅ . (5.205)


Es wird davon ausgegangen, daß die Strahlung komplett auf den Umgebungsraum abgestrahlt

wird. Es folgt somit gemäß 5.1.2 direkt

( ) ( )4 4

29, 1Welle U

S SWelle U

T TC

T Tα ε

−= ⋅ ⋅

− . (5.206)

Für die Berechnung der Nußeltzahl ist die Verwendung des Modells des horizontalen Zylin-

ders zweckmäßig mit 21

6

29 169 9

16

10,752 0,387

0,5591Pr

l

Nu Ra

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.207)

mit 1l rπ= ⋅ . (5.208)


Insgesamt ergibt sich somit für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten der Verbindun-

gen entlang der Stirnkopfhöhe

2929,

1K

Nur

λαπ

⋅=

⋅ . (5.209)

Für den Wärmeübergangswiderstand beider Stirnköpfe folgt somit

( ),2929, 29, ,29

1K

S K thermisch

WOα α

=+ ⋅

. (5.210)

5.2.30 Wärmeübergänge von Teilkörpern innerhalb des Gehäuses auf die Umge-bung ( 30 36K KW W− )

Es findet kein direkter Wärmeübergang von Teilkörpern innerhalb des Gehäuses auf die Um-

gebung statt. Die entsprechenden Wärmeübergangswiderstände gehen somit gegen unendlich.

Im Programm ist keine Eingabemöglichkeit für diese Widerstände vorgesehen.

5.2.31 Wärmeübergang vom Rotorjoch auf das Gehäuse ( 37KW )

Der Wärmeübergang vom Rotorjoch auf das Gehäuse findet ausschließlich durch Strahlung

statt. Näherungsweise wird davon ausgegangen, daß die gesamte Strahlung der Stirnseiten des

Rotorjochs auf das Gehäuse übergeht. Ein möglicher Strahlungsaustausch mit der Wicklung

am Stirnkopf wird vernachlässigt, da diese analytisch nur sehr ungenau erfassbar ist und einen

geringen Einfluss auf die Temperaturverteilung haben dürfte. Desweiteren wird davon ausge-

gangen, daß keine Strahlung vom Gehäuse auf das Rotorjoch übergeht. Diese Annahmen er-

möglichen eine Entkopplung der Berechnung von 37KW von den Strahlungsübergängen der

Teilkörper des Stators auf das Gehäuse (siehe Kapitel 5.2.27). Diese Annahmen sind durch

Vergleich von Beispielrechnungen mit Messungen unter Verwendung eines Gehäuses zu veri-

fizieren.


Mit obigen Annahmen folgt für die Einstrahlzahl vom Rotorjoch auf das Gehäuse

, 1R Gϕ = (5.211)

und für die Einstrahlzahl des Gehäuses auf das Rotorjoch

, 0G Rϕ = . (5.212)


Die thermisch wirksame Oberfläche entspricht den Stirnflächen des Rotorjochs und kann so-

mit als Kreisring berechnet werden.

Für die Oberfläche beider Stirnseiten gilt

( )2 2,37 2 12thermischO r rπ= ⋅ ⋅ − . (5.213)


Mit obigen Annahmen folgt gemäß 5.1.2 direkt

( ) ( )4 4,

37 ,,

Rotor Joch GehäuseS Rotor Joch

Rotor Joch Gehäuse

T TC

T Tα ε

−= ⋅ ⋅

− . (5.214)

Es folgt somit für den Wärmeübergangswiderstand

,37,37 37

1K

thermisch

WO α

=⋅

. (5.215)

Matlabprogramm zur Berechnung der Temperaturverläufe 121

6. Matlabprogramm zur Berechnung der Temperaturverläufe

Die gemäß den Kapiteln 3 bis 5 aufgestellte Theorie zur Berechnung der Wärmeflüsse in der

Maschine kann aufgrund ihrer Komplexität nur durch ein Rechenprogramm ausgewertet wer-

den. Dieses Programm wurde mit Matlab als Unterprogramm des interaktiv zu nutzenden

Programmpakets PM4 entwickelt. Die folgenden Unterkapitel zeigen die Funktionalitäten

dieses Unterprogramms.

6.1 Berechnung der Temperaturverläufe

Bild 6.1 zeigt das interaktiv nutzbare Programmfenster.

Bild 6.1: Hauptfenster des Programms zur Berechnung der Temperaturverläufe in den Teil-

körpern der Maschine (hier für fiktive Parameter)

Im linken oberen Teil des Fensters werden die Länge des Berechnungsintervalls ν in tΔ und

die Gesamtzeit eingegeben. Diese Parameter haben starken Einfluss auf die Berechnungszeit


sowie auch auf die Berechnungsgenauigkeit des Berechnungsalgorithmus. Deshalb soll an

dieser Stelle anhand von Beispielrechnungen dokumentiert werden, inwieweit die Näherungs-

lösung des DGL-Systems gemäß Kapitel 3.3 Einfluss auf die Genauigkeit der Berechnung

hat. Bild 6.1a zeigt eine Beispielrechnung für ein Zweikörperproblem. Die Grafik zeigt in

Grün die exakte Lösung des DGL-Systems, die schwarzen und roten Verläufe zeigen die Nä-

herungsrechnungen gemäß Kapitel 3.3 mit Zeitintervallen von 50 Sekunden und 0,1 Sekun-

den. Die Grafik zeigt, dass sich die Verläufe fast decken.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Zeit in min →

Tem

pera

tur i

n °C

→

T1 (PM4, delta t = 50 sec)T2 (PM4, delta t = 50 sec)T1 (PM4, delta t = 0,1 sec)T2 (PM4, delta t = 0,1 sec)T1 (exakte Lösung)T2 (exakte Lösung)

Bild 6.1a: Vergleich der exakten Lösungen des DGL-Systems mit der Näherungslösung ge-

mäß Kapitel 3.3 für ein Zweikörperproblem

Die folgende Grafik zeigt nur die ersten zehn Minuten des Berechnungszeitraums.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0

5

10

15

20

25

Zeit in min →

Tem

pera

tur i

n °C

→

T1 (PM4, delta t = 50 sec)T2 (PM4, delta t = 50 sec)T1 (PM4, delta t = 0,1 sec)T2 (PM4, delta t = 0,1 sec)T1 (exakte Lösung)T2 (exakte Lösung)

Bild 6.1b: Vergleich der exakten Lösungen des DGL-Systems mit der Näherungslösung ge-

mäß Kapitel 3.3 für ein Zweikörperproblem (hier Zoom)

Die Grafik zeigt für den sich schnell erwärmenden Teilkörper eine geringe Abweichung von

der exakten Lösung für die Näherungsberechnung mit einem Zeitintervall von 50 Sekunden.

Für ein Zeitintervall von 0,1 Sekunden (wie auch in den Beispielrechnungen verwendet) zeigt

die Berechnung gemäß Kapitel 3.3 nur eine minimale Abweichung von der exakten Lösung.

Diese geringen Abweichungen der Näherungslösung sowie die in Kapitel 3.2 angesprochenen

Vorteile der Näherungslösung in der praktischen Umsetzung der Theorie führten zu dem

Schluss, die in Kapitel 3.3 dokumentierte Näherungslösung zu verwenden. Für Temperaturbe-

rechnungen mit sehr viel höheren Temperaturgradienten ist die Gültigkeit der Näherungslö-

sung ggf. erneut nachzuweisen.


6.2 Verlustberechnung / Schaltzeitpunkte


Bild 6.2: Fenster des Programms zur Eingabe bzw. Berechnung der Verlustleistungen in der

Maschine sowie zur Eingabe der Schaltzeitpunkte

In diesem Programmfenster wird festgelegt, ob die Verlustleistungen, die in den Teilkörper

auftreten, für jedes Zeitintervall berechnet werden sollen oder ob konstante Werte eingegeben

werden sollen.

Die Eingabe der Schaltzeitpunkte legt fest, zu welchen Zeiten im Berechnungszeitraum die

Verlustquellen ab- bzw. angeschaltet werden. Sie beziehen sich jeweils auf alle Verlustleis-

tungen. Schaltzeitpunkte, die jenseits des Berechnungszeitraumes liegen, haben keinen Ein-

fluss auf die Berechnung.


6.3 Starttemperaturen


Bild 6.3: Fenster des Programms zur Eingabe der Starttemperaturen der Teilkörper zu Be-

ginn des ersten Berechnungsintervalls

In diesem Fenster werden die konstante Umgebungstemperatur der Maschine sowie die mög-

licherweise von dieser abweichenden Temperaturen der Teilkörper zu Beginn des ersten Be-

rechnungsintervalls eingegeben.


6.4 Wärmeübergangswiderstände

Die Bilder 6.4 und 6.5 zeigen die interaktiv nutzbaren Programmfenster.

Bild 6.4: Fenster des Programms zur Eingabe bzw. Berechnung der Wärmeübergangskoeffi-

zienten und Wärmeübergangswiderstände 1-15


Bild 6.5: Fenster des Programms zur Eingabe bzw. Berechnung der Wärmeübergangskoeffi-

zienten und Wärmeübergangswiderstände 16-29

In diesen Fenstern wird für jeden Wärmeübergangswiderstand festgelegt, ob ein fester Wert

vorgegeben werden soll, ein Wärmeübergangskoeffizient vorgegeben werden soll oder ob der

Wärmeübergangswiderstand gemäß Kapitel 5 unter Einbeziehung der Geometrie- und Werk-

stoffdaten der Maschine temperaturabhängig berechnet werden soll.

Die numerischen Angaben für Wärmeübergangswiderstand sowie Wärmeübergangskoeffi-

zient beziehen sich bei Berechnung auf eine Temperaturverteilung von 20°C für den Teilkör-

per 1 sowie 40°C für den Teilkörper 2.

Bei Vorgabe des Wärmeübergangswiderstandes ist der angezeigte Wert des Wärmeüber-

gangskoeffizienten ohne Bedeutung.


6.5 Übergangsschichten bei Wärmeleitung


Bild 6.6: Fenster des Programms zur Eingabe von Schichtdicke sowie Wärmeleitfähigkeit der

Wärmeübergangsschichten bei direktem Kontakt zwischen Teilkörpern

In diesem Fenster werden Schichtdicke und Wärmeleitfähigkeit von Zwischenschichten bei

direktem Kontakt von Teilkörpern festgelegt. Gemäß Kapitel 5.1.1 berechnet sich mit diesen

Parametern sowie der Kontaktfläche der entsprechende Wärmeübergangswiderstand.

Zusätzlich wird in diesem Fenster der Faktor KontaktF eingegeben, der angibt, wieviel Prozent

der Zylinderfläche des Statorjochs in direktem Kontakt zum Gehäuse stehen.


6.6 Strahlungsemissionsverhältnisse der Teilkörper


Bild 6.7: Fenster des Programms zur Eingabe der Strahlungsemissionsverhältnisse

Die Strahlungsemissionsverhältnisse der Teilkörper zur Berechnung der strahlungsbedingten

Wärmeübergangswiderstände sind experimentell zu bestimmen bzw. angenähert der Literatur

zu entnehmen.


6.7 Eingabe und Berechnung der Wärmekapazitäten


Bild 6.8: Fenster des Programms zur Eingabe bzw. Berechnung der Wärmekapazitäten

In diesem Fenster ist festzulegen, ob die Wärmekapazitäten der Teilkörper als fester Wert

eingegeben werden oder ob sie gemäß Kapitel 4 für jedes Berechnungsintervall temperaturab-

hängig berechnet werden.

Angezeigt wird die eingegebene Wärmekapazität oder die für 20°C berechnete Wärmekapazi-

tät des Teilkörpers.


6.8 Spezifische Wärmekapazitäten der Teilkörper


Bild 6.9: Fenster des Programms zur Eingabe der temperaturabhängigen spezifischen Wär-

mekapazität der Teilkörper

Die Wärmekapazitäten werden im Programmablauf temperaturabhängig berechnet. Dies be-

dingt die Vorgabe der temperaturabhängigen spezifischen Wärmekapazität.

Dieses Fenster ermöglicht die Eingabe von beliebig vielen Wertepaaren bestehend aus Tem-

peratur in °C und der zugeordneten spezifischen Wärmekapazität. Im Programmablauf wird

abhängig von der Temperatur des Teilkörpers zwischen den angrenzenden Wertepaaren linear

interpoliert.


6.9 Einstrahlzahlen am Wickelkopf


Bild 6.10: Fenster des Programms zur Eingabe der vorzugebenden Einstrahlzahlen

Gemäß Bild 5.8 müssen die Eigeneinstrahlzahlen von Gehäuse und Wickelkopf sowie das

Verhältnis von Abstrahlung des Gehäuses auf den Wickelkopf sowie des Gehäuses auf die

Stirnfläche des Statorjochs als Werte vorgegeben werden, da eine analytische Berechnung im

Regelfall nicht möglich ist. Diese Werte sind in diesem Fenster einzugeben.

Analytische Berechnung der Verlustleistungen in der Maschine 133

7. Analytische Berechnung der Verlustleistungen in der Maschine

Die gemäß den Kapiteln 3 bis 5 aufgestellte Theorie zur Berechnung der Wärmeflüsse in der

Maschine bedingt die Kenntnis der Verlustleistungen in der Maschine.

Die Verlustleistungen werden für die Temperaturberechnung entweder direkt als fester Wert

vorgegeben oder gemäß der Maschinentheorie für jeden Zeitschritt temperaturabhängig be-

rechnet.

Bei Berechnung von Temperaturverläufen einer bekannten Maschine ist die Vorgabe bekann-

ter Verlustdaten sinnvoll. Bei Berechnung einer fiktiven Maschine ist die Berechnung aus den

Geometrie- und Werkstoffdaten der Maschine notwendig. Die folgenden Unterkapitel zeigen

die Theorie zur Berechnung der einzelnen Verlustquellen.

7.1 Stromwärmeverluste in den Wicklungen

Die Stromwärmeverluste in den Statorwicklungen stellen die stärkste Verlustquelle im Motor

dar. Da die Wicklungsabschnitte in der Statornut und die Wicklungen am Stirnkopf separat

als Teilkörper betrachtet werden, ist auch eine getrennte Berechnung der Verlustquellen not-

wendig.

Das Berechnungsprogramm bietet die Möglichkeit der Vorgabe eines festen Stromwertes

(Gleichstrom oder symmetrisches Drehstromsystem).

Bei Stromwertvorgabe gilt für die Verluste im Ankerkreis:

( ) ( )2, , , ,Cu Nut Cu Nut A Cu Nut Cu NutP I Rϑ ϑ= ⋅ (7.1)

bzw.

( ) ( )2, , , ,Cu Stirn Cu Stirn A Cu Stirn Cu StirnP I Rϑ ϑ= ⋅ . (7.2)

( ) ( ) ( ), , , , , ,,Cu Nut Cu Nut Cu Stirn Cu Stirn Str Cu Nut Cu StirnR R Rϑ ϑ ϑ ϑ+ = (7.3)

Zu bestimmen ist somit der temperaturabhängige Strangwiderstand der Wicklung, aufgeteilt

auf Nut und Stirnkopf.



Gemäß [13] gilt für den Strangwiderstand einer verteilten Wicklung

( ) ( ) ( )2,

1

1 11 20 2A Cu CU temp cu Cu S StCu

R w l lp q A

ϑ ρ α ϑ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⋅ (7.4)

mit

Cu WA DrahtA K N A= ⋅ ⋅ , (7.5)

1WA

p qw N Ka⋅

= ⋅ ⋅ , (7.6)

( )41

12 12St Zl r l

p m qεπ γ

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

. (7.7)

γ ist ein Erfahrungsfaktor, der die Längenabweichungen vom Idealmaß aufgrund der Wickel-

technik berücksichtigt.

Die Aufteilung auf Nut und Stirnkopf erfolgt gemäß

( ) ( ), , ,S

Cu Nut Cu Nut A Cu NutS St

lR Rl l

ϑ ϑ= ⋅+

(7.8)

( ) ( ), , ,St

Cu Stirn Cu Stirn A Cu StirnS St

lR Rl l

ϑ ϑ= ⋅+

(7.9)


Gemäß [11] gilt für den Strangwiderstand einer konzentrierten Wicklung

( ) ( ) ( )2,

1

11 20 2A Cu CU temp cu Cu S StWa Cu

aR w l lK p A

ϑ ρ α ϑ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⋅ (7.10)

mit

Cu DrahtA N A= ⋅ , (7.11)


1WA

pw N Ka

= ⋅ ⋅ , (7.12)

41

2 12N ZWZ ZK r l

Zπτ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ , (7.13)

12N ZWZ ZWZ Sy b K bτ= − − ⋅ ⋅ ,

Stl y γ= ⋅ . (7.14)

γ ist ein Erfahrungsfaktor, der die Längenabweichungen vom Idealmaß aufgrund der Wickel-

technik berücksichtigt.

Die Aufteilung auf Nut und Stirnkopf erfolgt gemäß

( ) ( ), , ,S

Cu Nut Cu Nut A Cu NutS St

lR Rl l

ϑ ϑ= ⋅+

(7.15)

( ) ( ), , ,St

Cu Stirn Cu Stirn A Cu StirnS St

lR Rl l

ϑ ϑ= ⋅+

. (7.16)

7.2 Eisenverluste

Eisenverluste setzen sich aus Hystereseverlusten, Wirbelstromverlusten und sonstigen Eisen-

verlusten zusammen.

Eine analytische Berechnung der Eisenverluste ist nur näherungsweise möglich. Notwendig

ist im Regelfall die Kenntnis von spezifischen Verlusten in Abhängigkeit von magnetischer

Flussdichte und Ummagnetisierungsfrequenz. Desweiteren sind Korrekturfaktoren einzube-

ziehen, die der Literatur zu entnehmen sind.

Da die Bestimmung eines analytischen Verfahrens zur Berechnung der Eisenverluste nicht

Schwerpunkt dieser Arbeit ist, wird auf gebräuchliche Verfahren aus der Literatur zurückgeg-

riffen. Diese Verfahren werden im Rahmen dieser Arbeit nicht näher verifiziert. Sie werden

dem Programmnutzer zur Auswahl angeboten.

In der Literatur [32 - 35] sind unterschiedliche analytische Verfahren zur Berechnung der Ei-

senverluste aufgeführt.


Alle Berechnungsverfahren bedingen die Kenntnis des Verlaufes der magnetischen Flussdich-

te im betrachteten Eisenabschnitt.

7.2.1 Magnetische Flussdichte im betrachteten Eisenabschnitt

Die Berechnung der magnetischen Flussdichte kann numerisch mit kommerziellen Program-

men oder analytisch durchgeführt werden.

In [28] ist ein Verfahren zur zweidimensionalen analytischen Berechnung magnetischer Fel-

der in permanentmagneterregten Maschinen aus Geometrie- und Werkstoffdaten beschrieben.

Der Algorithmus ist in Matlab programmiert und kann somit in die automatisierte Berechnung

der Temperaturverläufe in PM4 Thermo eingebunden werden.

7.2.1.1 Magnetische Flussdichte im Statorzahn

Für die Berechnung der Eisenverluste in den Zähnen wird mit [28] die Flussdichteverteilung

am Radius 4r berechnet. Hierbei werden sowohl Ankerfeld als auch Erregerfeld berücksich-

tigt. Berücksichtigt werden nur die Grundwellen. Bild 7.1 zeigt für den Modellmotor bei einer

Ankerspeisung von 2A die Flussdichteverteilung bei auf dem Statorbohrungsradius 4r .


0 1 2 3 4 5 6 7-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

statorfester Winkel phi1 in rad

mag

netis

che

Flus

sdic

hte

Ankerfeld ortsfestErregerfeld ortsfest ohne Rotation

Bild 7.1: mit [28] analytisch berechnete Flussdichteverteilung bei r4 für einen festen Zeit-

punkt über dem statorfesten Winkel 1ϕ dargestellt, nur Grundwellenbetrachtung

Für das in Bild 7.1 dargestellte Erregerfeld gilt

( )( )1ˆ cosf f fB B p ϕ ϑ= ⋅ −

mit 0ϑ = .

Die dargestellte Verteilung des Ankerfeldes ergibt sich durch Gleichstromeinprägung in den

Statorsträngen mit

1

2

3

ˆ

ˆ0,5ˆ0,5

ˆ 2 3

I I

I I

I I

I A

= −

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Bild 7.1 zeigt, daß die Flussdichteamplitude des Erregerfeldes sehr viel größer ist als die des

Ankerfeldes.

Die Rotation des Rotors führt dazu, daß Erregerfeld und Ankerfeld im Stator gleichfrequent

schwingen mit der Frequenz

Fe elektrischf f= . (7.17)


Somit hat auch das Gesamtfeld aus Erregerfeld und Ankerfeld einen sinusförmigen Verlauf.

Der Einfluss des Nutenfeldes des Ankerfeldes wird vernachlässigt.

Für die gesamte radiale Flussdichte bei 4r gilt somit allgemein

( ) ( ) ( )4 1 2cos cosr A EB t A b t A c tω ω ϕ ω ϕ= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + . (7.18)

1A ist die Flussdichteamplitude des Ankerfeldes bei 4r , 2A ist die Flussdichteamplitude des

Erregerfeldes bei 4r .

Aϕ ist der Verschiebungswinkel des Ankerfeldes bezogen auf 1ϕ , Eϕ ist der Verschiebungs-

winkel des Erregerfeldes bezogen auf 1ϕ .

Eine unmittelbare Berechnung der Zahnflussdichten mit [28] ist nicht möglich, da die Zähne

in dieser Theorie nur durch den Carterfaktor berücksichtigt sind.

Wenn davon ausgegangen wird, daß der gesamte Radialfluss von den Zähnen geführt wird,

kann die Zahnflussdichte durch Integration des Radialflusses bei 4r berechnet werden. Es gilt

somit mit

1

2Z Z

πϕ = (hier nur ohne Zwischenzähne) (7.19)

( )1Zφ ϕ ( )1

1

2

4 40

2

ZS

Z

l

rr B t d t dz

ϕϕ

ϕϕ

ω ω+

−

= ⋅ ∫ ∫

( ) ( )1 1

1 1

2 2

4 1 2

2 2

cos cos

Z Z

Z Z

S A Er l A b t d t A c t d t

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ω ϕ ω ω ϕ ω+ +

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( )1 1

1 1

2 24 1 2

2 2

1 1sin sinZ Z

Z ZS A Er l A b t A c tb c

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕω ϕ ω ϕ

+ +

− −

⎧ ⎫= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎩ ⎭

4 1 1 11 sin sin

2 2Z Z

S A Ar l A b bb

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + − ⋅ − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

4 2 1 11 sin sin

2 2Z Z

S E Er l A c cc

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + − ⋅ − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦. (7.20)


Für die weitere Betrachtung wird vorausgesetzt, daß es keine Phasenverschiebung zwischen

Ankerfeld und Erregerfeld gibt. Dies entspricht einem Polradwinkel von 0UPϕ = °.

Diese Annahme ist im Leerlauf zulässig. Für Belastungsfälle ist ggf. eine Erweiterung der

Theorie in Erwägung zu ziehen. Da allerdings gemäß Bild 7.1 die Erregerflussdichte sehr viel

größer ist als die Ankerfeldflussdichte, führt die Näherung auch bei Belastungsfällen zu ak-

zeptablen Fehlerabweichungen.

Es gilt somit

A iϕ ϕ π= = (Annahme, da der Stromwinkel keinen Einfluss auf die resultierende Ampli-

tude des Feldes hat) (7.21)

und

0E UPϕ ϕ= = ° . (7.22)

Weiterhin gilt

1

f

b pc p

==

(7.23)

Mit diesen Annahmen folgt für den Zahnfluss

( )1Zφ ϕ 4 1 1 1 1 11

1 sin sin2 2Z Z

Sr l A p pp

ϕ ϕϕ ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

4 2 1 11 sin sin

2 2Z Z

S f ff

r l A p pp

ϕ ϕϕ ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦. (7.24)

Mit dem Additionstheorem

( ) ( )sin sin 2 cos sin2 2

α β α βα β + −− = ⋅ ⋅ (7.25)


folgt

( )1Zφ ϕ ( )4 1 1 1 11

2 sin cos2Z

Sr l A p pp

ϕ ϕ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( )4 1 11

2 sin cos2Z

S f fr l A p pp

ϕ ϕ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.26)

Zusätzlich ist die mechanische Rotation des Rotors mit einzurechnen. Diese führt dazu, daß

das Erregerfeld im Bezug auf den statorfesten Winkel 1ϕ mit derselben Winkelgeschwindig-

keit rotiert wie das Ankerfeld. Aus (7.26) folgt direkt

( )1Zφ ϕ ( )4 1 1 1 11

2 sin cos2Z

Sr l A p pp

ϕ ϕ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( )4 1 1 11

2 sin cos2Z

S fr l A p pp

ϕ ϕ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

. (7.27)

Es folgt somit für die Amplituden der Zahnflussdichte

4, 1 1

1

2ˆ sin2Z

Z AZ

rB A pp b

ϕ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.28)

4, 2

1

2ˆ sin2Z

Z E fZ

rB A pp b

ϕ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.29)

7.2.1.2 Magnetische Flussdichte im Statorjoch

Der Zugang zur Berechnung der magnetischen Flussdichte im Statorjoch sind die Zahnflüsse.

Für die Bestimmung der Jochflüsse ist die Kenntnis der mittleren Flussdichte in jedem Zahn

notwendig. Mit (7.28) folgt für den Zahn i

( )1Zφ ϕ ( )4 1 1 1 11

2 sin cos2Z

Sr l A p pp

ϕ ϕ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( )4 1 1 11

2 sin cos2Z

S fr l A p pp

ϕ ϕ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

. (7.30)


Für den Winkel der Zahnmitte folgt

( )1, 11

2 1 ,1i i i ZZπϕ = ⋅ − ≤ ≤ . (7.31)

Ein Verschiebungswinkel ist nicht zu berücksichtigen, da für jede beliebige Rotorstellung der

gesamte Radialfluß durch Zähne und Statorjoch geführt wird. Somit ist auch im Statorjoch

eine sinusförmige Flussverteilung über 1ϕ anzunehmen. Die Amplitude dieser Flussdichtever-

teilung ist nicht vom Rotorstellungswinkel abhängig.

Zur Ermittlung der Flussdichte im Statorjoch ist das Statorjoch in Abschnitte zu unterteilen, in

denen konstante Flussdichte angenommen wird. Die Flussdichten werden dann über das Kno-

tenpotentialverfahren berechnet. Bild 7.2 zeigt die Bezeichnung der Flüsse und führt Vorzei-

chen für die Flüsse ein. Der Statorabschnitt links vom Knoten i ist der Statorabschnitt i, der

unterhalb des Knotens i liegende Zahn ist der Zahn i.

Bild 7.2: Flussknoten und Vorzeicheneinführung für Zahn- und Statorjochflüsse


Gesucht ist die maximal auftretende Flussdichte im Statorjoch. Diese tritt in den sich an den

Zahn anschließenden Statorjochsegmenten auf, wenn Zahn und Magnetsegment sich optimal

überlagern. Ohne Verschiebungswinkel ist dies für den Zahn 1 der Fall.

Zur Bestimmung der Flussdichte in den benachbarten Statorsegmenten ist die Auswertung des

Flussnetzwerks gemäß Bild 7.2 notwendig.

Für den Knoten i gilt

, , 1 ,J i J i Z iφ φ φ+− = − . (7.32)

Dies führt auf folgendes lineares Gleichungssystem, hier beispielhaft für i = 5:

,1 ,1

,2 ,2

,3 ,3

,4 ,4

,5 ,5

1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 11 0 0 0 1

J Z

J Z

J Z

J Z

J Z

φ φφ φφ φφ φφ φ

−− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⋅ =−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.33)

Das Gleichungssystem zeigt eine einfache Symmetrie. Die Lösung erfolgt in einem Matlabp-

rogramm für beliebige i.

Es folgt

,1 ,1,

1J J

S J S

Bl h

φ= ⋅⋅

(7.34)

mit

( ), 6 4J S Zh r r l= − + . (7.35)

Für den im Anhang beschriebenen Motor ergeben sich für einen Stromeffektivwert von 2A

bei 100Hz die folgenden Flussdichten. Zum Vergleich und zur Verifikation der vorstehenden

Berechnung sind die mit einem FEM-Programm berechneten Flussdichten mit aufgeführt.


Abschnitt mittlere magnetische

Flussdichte gemäß (7.28)

mittlere magnetische

Flussdichte gemäß FEM

Zahn 1 0,828 T 0,82 T

Zahn 2 -0,414 T -0,4 T

Zahn 3 -0,414 T -0,4 T

Zahn 4 0,828 T 0,82 T

….

Jochabschnitt 1 0,166 T 0,164 T

Jochabschnitt 2 -0,166 T -0,164 T

Jochabschnitt 3 0 0

Jochabschnitt 4 0,166 T 0,164 T

….

Tabelle 7.1: Vergleich der berechneten Flussdichten mit FEM-Berechnung

Die folgenden Bilder zeigen die Zahnflussdichte über 1ϕ sowie die Feldverteilung des Erre-

gerfeldes bei 4r als Ergebnis der FEM-Berechnung.

0 50 100 150 200 250 300 350-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

statorfester Winkel phi1

Zahn

fluss

dich

te b

ei r=

35m

m

Bild 7.3: Mit FEM berechnete Flussdichteverteilung in den Statorzähnen

Analytis

B

Die Bild

der mag

liegt.

sche Berechn

Bild 7.4: Er

der 7.3 und

gnetischen F

nung der Ver

rregerfluss d

7.4 zeigen

Flussdichten

rlustleistunge

des Modellm

in Verbindu

n in Zähnen

en in der Ma

motors ber

ung mit Tab

n und Statorj

schine

rechnet mit F

belle 7.1, da

rjoch sehr na

FEM

aß die analy

ah an der FE

ytische Bere

EM-Berech

144

echnung

hnung


7.3 Eisenverlustberechnung

Im Folgenden werden verschiedene Berechnungsverfahren vorgestellt, für die unterschiedli-

che Werkstoffdaten vorliegen müssen. Diese Berechnungsverfahren werden dem Programm-

nutzer im Berechnungsprgramm interaktiv zur Verfügung gestellt. Die quantitative Berech-

nung der Eisenverluste sowie ein Vergleich mit gemessenen Werten für die Versuchsmaschi-

ne ist Anhang A3 zu entnehmen. Zur Verifizierung des Modells zur Temperaturberechnung

wird auf die direkte Eingabe von messtechnisch bestimmten Eisenverlusten zurückgegriffen.

Die im folgenden dargestellten Berechnungsverfahren haben somit keine direkte Relevanz für

diese Arbeit, vervollständigen aber die Berechnungsmöglichkeiten des Programms und erlau-

ben die direkte Berechnung der Eisenverluste aus Geometrie- und Werkstoffdaten.

7.3.1 Vorgabe von spezifischen Verlusten getrennt nach Hystereseverlusten und Wirbelstromverlusten

Bei bekannten spezifischen Verlusten für Hysterese Hσ und Wirbelströme Wσ können die

Eisenverluste berechnet werden gemäß

22 ˆ

50 50 1,5Fe Fe Fe

Fe H H W W Fef f BP k k mHz Hz T

σ σ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ . (7.36)

Näheres zur Ableitung dieser Formel ist in [31,32,35] nachzulesen.

Die spezifischen Verluste müssen für den Betriebspunkt 50Hz/1,5T vorliegen. Die Angabe

der spezifischen Verluste für diesen Betriebspunkt ist üblich.

Den größten Einfluss auf den Korrekturfaktor Hk hat die rotierende Magnetisierung, aber

auch nicht sinusförmige Verläufe der Induktion sowie sind hier berücksichtigt.

Den größten Einfluss auf den Korrekturfaktor Wk hat die nicht gleichmäßige Verteilung der

magnetischen Flussdichte in Joch und Zahn. Ausserdem ist hier der Einfluss von Oberwellen

bei nicht sinusförmiger Induktion erfasst. Ausserdem gehen Bearbeitungseffekte der Bleche in

den Korrekturfaktor ein. Der Einfluss der rotierenden Magnetisierung ist hier nicht so stark

wie bei der Hysterese.


Gemäß [31] S.341 sind in Einklang mit [36] S.174ff. und [32] S.25ff bei Synchronmaschinen

für sinusförmige magnetische Flussdichte folgende Korrekturfaktoren anzusetzen:

,

,

,

,

2,01,512,0 2,3

H Zahn

H Joch

W Zahn

W Joch

kkkk

=

=

=

= −

(7.37)

Die Korrekturfaktoren sind ggf. an die zu berechenende Maschine anzupassen. Sie können im

Allgemeinen nur empirisch erfasst werden, da sie einer Berechnung nur sehr bedingt zugäng-

lich sind.

7.3.2 Vorgabe von spezifischen Verlusten für Hysterese und Berechnung der Wirbelstromverluste

In Abwandlung zu 7.3.1 können die Wirbelstromverluste gemäß [31] S.342 ff. näherungswei-

se berechnet werden mit

( )22 2,

1 ˆ224

FeFe W Blech Fe Fe Fe

Fe

P d f B mχ πρ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (7.38)

Feχ bezeichnet die elektrische Leitfähigkeit des Eisenmaterials.

2

,

ˆ

50 1,5Fe Fe

Fe H H Fe Fe Wf BP k m PHz T

σ⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

. (7.39)

Im Übrigen gelten die unter 7.3.1 gemachten Angaben.


7.3.3 Vorgabe von spezifischen Gesamtverlusten

In Abwandlung zu 7.3.1 werden oftmals nur spezifische Gesamtverluste für den Eisenwerk-

stoff angegeben. Bei Vorliegen von Verlustkennlinien kann durch Bestimmen einer Aus-

gleichsfunktion bestehend aus einem frequenzproportionalen Anteil (Hysterese) und einem

quadratischen Anteil (Wirbelstrom) die Aufsplittung in spezifische Hystereseverluste und

spezifische Wirbelstromverluste gelingen. Näheres hierzu ist auch in [31] S.32 f. nachzulesen.

Bei Angabe der spezifischen Gesamtverluste für den Arbeitspunkt 50Hz/1,5T gelingt diese

Aufteilung nicht. Die Eisenverluste sind näherungsweise berechenbar mit

2ˆ

1,5Fe

Fe G G FeBP k m

Tσ

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ . (7.40)

Für die spezifischen Gesamtverluste Gσ ist eine Referenzfrequenz anzugeben, im Regelfall

50Hz. Nur in einem festzulegenden Bereich um diese Referenzfrequenz gibt (7.40) ausrei-

chend genaue Ergebnisse.

Der Gesamtkorrekturfaktor Gk ist aus den Einzelverlustfaktoren gemäß 7.2.1 abzuschätzen.

Für stark abweichende Frequenzen ist eine Abschätzung vorzunehmen, in welchem Verhältnis

sich die spezifischen Verluste auf Hysterese und Wirbelstrom aufteilen. Mit dieser Abschät-

zung kann dann (7.36) genutzt werden.

7.3.4 Vorgabe von spezifischen Verlusten getrennt nach Hystereseverlusten und Wirbelstromverlusten und Vorgabe der Exponenten für Frequenzabhängig-keit der Wirbelströme und Flussdichteabhängigkeit

Bisher wurde stets angenommen, daß die Wirbelstromverluste eine quadratische Abhängig-

keit von der Frequenz haben. Dies trifft aber in hohen Frequenzbereichen sowie bei nichtsi-

nusförmigen Flussdichteverläufen nicht zu. Deshalb kann eine Anpassung des Exponenten

sinnvoll sein.

Auch die quadratische Abhängigkeit der Verluste von der magnetischen Flussdichte ist nicht

für alle Frequenzen gültig. Deshalb kann auch hier eine Anpassung des Exponenten sinnvoll

sein.


Desweiteren bietet die flexible Anpassung der Exponenten die Möglichkeit, genaue Aus-

gleichsfunktionen für vorhandene Verlustkennlinien zu bestimmen.

In Abwandlung zu 7.3.1 folgt somit

21 ˆ

50 50 1,5

xxFe Fe Fe


σ σ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦. (7.41)

im Übrigen gelten die in 7.3.1 gemachten Angaben.

7.3.5 Berechnung der Eisenverluste gemäß [27]

In [27] ist ein Berechnungsverfahren zur Berechnung der Eisenverluste über die Verlustziffer

( ),Fe FeB fν beschrieben.

Die Berechnung ist allerdings auf den Werkstoff HF20 der Firma EBG spezialisiert und resul-

tiert aus den Verlustkennlinien dieses Werkstoffs.

Für die Eisenverluste eines homogenen Eisenabschnitts gilt

( ),Fe Fe Fe FeP B f mν= ⋅ (7.42)

Die Verlustziffer ist abhängig von Frequenz und Flussdichteamplitude. Für das Eisenblech

HF20 EBG wurde in [30] experimentell folgende Abhängigkeit der Verlustziffer von Fre-

quenz und Flussdichteamplitude abgeleitet:

1000 ˆ200,066 500Zahn

d fBα χ

βν ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (7.43)

mit


10000.09 0.27 log0.066

dα ⋅= + ⋅ (7.44)

( )41,68 1000 10 0,62d fβ −= + ⋅ ⋅ ⋅ + (7.45)

0,6 45,54 0,18 log500

fdχ = + ⋅ + ⋅ . (7.46)

Mögliche Gültigkeitsgrenzen obiger Formel sind jeweils zu betrachten und ggf. experimentell

bestimmte Werte für die Eisenverluste anzugeben.

7.3.6 Unterprogramm zur Berechnung der Eisenverluste

Die Berechnung der Eisenverluste erfolgt unabhängig vom Algorithmus der Temperaturbe-

rechnung in einem eigenen Unterprogramm. In die Berechnung der Temperaturverläufe gehen

die Eisenverluste als konstante temperaturunabhängige Werte ein.

Bild 7.5 zeigt das Programmfenster.

Bild 7.5: Unterprogramm zur Berechnung der Eisenverluste in PM4 Thermo


7.4 Reibungsverluste

Bei Rotation entstehen in den Wellenlagern Reibungsverluste. Eine analytische Berechnung

der Lagerverluste ist im Regelfall nicht möglich. Die messtechnische Bestimmung der Rei-

bungsverluste ist Anhang A3 zu entnehmen.

Beispielrechnungen und Vergleich mit Messungen 151

8. Beispielrechnungen und Vergleich mit Messungen

Ziel dieses Kapitels ist es, das aufgestellte Wärmeflussmodell durch Beispielrechnungen und

deren Vergleich mit Messungen zu verifizieren.

Alle Beispielrechnungen wurden mit einem Berechnungsintervall von 0.1 Sekunden durchge-

führt.

8.1 Beispielrechnungen für den Modellmotor mit Gleichstromspeisung

Der Modellmotor ist ein permanentmagneterregter Innenläufermotor. Seine Geometrie- und

Werkstoffdaten gemäß genutztem Datensatz im Berechnungsprogramm sind dem Anhang A1

zu entnehmen. Bild 8.1 zeigt Stator und Rotor des Modellmotors eingespannt in einer Halte-

vorrichtung, die möglichst viel freie Konvektion am Motor zulässt. Nähere Informationen zur

Haltevorrichtung sind [25] zu entnehmen.

Bild 8.1 Versuchsanordnung für Temperaturmessungen am Modellmotor gemäß [25]

Im Folgenden wird zunächst nur der Stator mit eingelegter Wicklung betrachtet, der Rotor

wurde entfernt, ein Gehäuse ist nicht vorhanden.


Die Beschreibung der Versuchsanordnung sowie die Messwerterfassung und -verarbeitung

sind [25] zu entnehmen.

Da zwischen dem Kupfer in der Nut und dem Kupfer am Wickelkopf ein zu vernachlässigen-

der Wärmeübergangswiderstand angenommen wurde, ergibt die Berechnung identische Tem-

peraturverläufe für diese Teilkörper. Gleiches gilt für das Eisen der Statorzähne und das Eisen

des Statorjochs. Die Berechnung gemäß vorstehender Theorie berücksichtigt außerdem keine

Temperaturunterschiede innerhalb eines Teilkörpers. In der Messung wurden die Temperatur-

unterschiede zwischen Unter- und Oberseite der Maschine sowie zwischen Kupfer unten und

Kupfer oben erfasst. Näheres hierzu sowie zur genauen Lage der Messfühler ist [25] zu ent-

nehmen.

Vorzugebene Werte für Strahlungsemissionskoeffizienten und den Wärmeübergang von der

Wicklung in der Nut auf Statorjoch und Statorzahn, die analytisch nicht berechenbar sind und

somit im Berechnungsprogramm Vorgabewerte sind, sind messtechnisch ermittelt worden

und in [25] dokumentiert und sind dem Anhang A1 zu entnehmen. Mit den in Anhang A1

dokumentierten Vorgabewerten ist die Reproduzierbarkeit der im Folgenden dokumentierten

Berechnungen sichergestellt.

8.1.1 Temperaturverläufe bei Gleichstromeinprägung ohne Rotor

Die Gleichstromeinprägung stellt gegenüber der Wechselstromeinprägung den weniger komp-

lexen Fall dar, da hier keine Eisenverluste auftreten und somit nur die Stromwärmeverluste in

den Statorwicklungen als Verlustquellen in Erscheinung treten.

Die Verifikationsmessung wurde zunächst ohne Rotor durchgeführt.

Messung und Berechnung wurden für unterschiedliche Effektivwerte des Stromes durchge-

führt.

In den folgenden Grafiken sind die berechneten Verläufe für Wicklung und Eisen rot darges-

tellt, wobei die Wicklung stets die höhere Temperatur aufweist.

Die Temperaturverläufe eines Teilkörpers auf Ober- und Unterseite der Maschine sind in

gleicher Farbe dargestellt, wobei auf der Oberseite der Maschine erwartungsgemäß stets die

höheren Temperaturen auftreten.


Bild 8.2: Berechnete und gemessene Temperaturverläufe für 2A DC

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,520

30

40

50

60

70

80

90

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur i

n G

rad

Cels

ius

Messung Kupfer obenMessung Kupfer untenMessung Eisen obenMessung Eisen untenBerechnung KupferBerechnung Eisen


0 1 2 3 4 5 620

30

40

50

60

70

80

90

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur i

n G

rad

Cels

ius


Bild 8.3: Berechnete und gemessene Temperaturverläufe für 2A DC mit Stromunterbrechung


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.520

40

60

80

100

120

140

160

180

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur i

n G

rad

Cels

ius




0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.420

40

60

80

100

120

140

160

180

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur i

n G

rad

Cels

ius




Die Abweichung der gemessenen und berechneten Werte nimmt mit zunehmendem Strom zu.

Alle Grafiken zeigen, daß die berechneten Werte recht nah an den gemessenen Werten liegen.

Ungenauigkeiten ergeben sich in der Berechnung durch vereinfachte Annahmen in der Theo-

rie sowie durch Abweichungen bei der Vorgabe von Werten. Hierfür seien zwei Beispiele

genannt:

Die Einstrahzahl des Wickelkopfes auf sich selbst WK WKϕ ↔ kann analytisch nicht berechnet

werden, sondern muss abgeschätzt werden. Der obigen Berechnung liegt ein Wert von 0,1

zugrunde. Bei Reduzierung dieses Wertes auf 0,05 ergibt sich bei der berechneten Endtempe-

ratur des Kupfers bei 2A DC eine Abweichung von 1,5K.

Als weiteres Beispiel seien die Strahlungsemissionskoeffizenten genannt. Aufgrund unter-

schiedlicher Materialeigenschaften ergeben sich hier große Streuungen. Bei der messtechni-

schen Bestimmung des Wertes für das Statoreisen wurde ein Bereich von 0,39 bis 0,45 be-

stimmt (siehe [25]). Der obigen Berechnung liegt ein Wert von 0,45 zugrunde. Eine Änderung

des Wertes auf 0,39 führt bei 2A DC zu 1K Abweichung bei der Endtemperatur des Statorei-

sens.

Diese Beispiele sowie die Anzahl der Eingabewerte, die fehlerbehaftet sind, zeigen die Unsi-

cherheiten in der Berechnung. Vor diesem Hintergrund sind die erzielten Ergebnisse als abso-

lut zufriedenstellend anzusehen.

8.1.2 Temperaturverläufe bei Gleichstromeinprägung mit Rotor

Die Messung wurde für die unter 8.1.1 beschriebenen Messbedingungen durchgeführt, aller-

dings mit nicht rotierendem Rotor. Zusätzlich zu 8.1.1 wurden die Temperaturverläufe der

Teilkörper im Rotor aufgenommen (außer Rotorwelle) und mit der Berechnung verglichen.

Die folgenden Grafiken zeigen die berechneten und gemessenen Temperaturverläufe für ver-

schiedene Stromwerte.


0 1 2 3 4 5 6 720

30

40

50

60

70

80

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur i

n G

rad

Cel

sius

Messung Kupfer obenMessung Kupfer untenMessung Eisen obenMessung Eisen untenMessung PM-MagneteMessung Eisen RotorMessung UmgebungstemperaturBerechnung KupferBerechnung Eisen Stator/ZähneBerechnung PM-MagneteBerechnung Eisen RotorBerechnung Umgebungstemperatur

Bild 8.6: Berechnete und gemessene Temperaturverläufe für 2A DC (mit Rotor im Stillstand)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.520

30

40

50

60

70

80

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur i

n G

rad

Cel

sius




0 1 2 3 4 5 6 720

40

60

80

100

120

140

160

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur i

n G

rad

Cel

sius





0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.4520

40

60

80

100

120

140

160

180

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur

in G

rad

Cel

sius

Messung Kupfer obenMessung Kupfer untenMessung Eisen obenMessung Eisen untenMessung PM-MagneteMessung Eisen RotorMessung WelleMessung UmgebungstemperaturBerechnung KupferBerechnung Eisen Stator/ZähneBerechnung PM-MagneteBerechnung Eisen Rotor


Der Vergleich von Berechnung und Messung zeigt, daß auch nach Einsetzen des Rotors die

Temperaturverläufe in den Teilkörpern des Motors gut berechnet werden können. Auch die

Berechnung der Wärmeübergänge über den Luftspalt auf den Rotor liefert gute Ergebnisse.

Die Modellierung des Luftspaltes als konzentrischer Ringspalt sowie die Annäherung des

Wärmeübergangs vom Luftspalt auf das Kühlmittel im Gehäuse durch einen konvektiven

Wärmeübergang ist offensichtlich eine gute Annäherung der realen Verhältnisse.

8.2 Beispielrechnungen für den Modellmotor mit Wechselstromspeisung und Rotation

Ein Vergleich von Berechnungen mit freier Konvektion gemäß Kapitel 5 mit Messungen am

rotierenden Motor soll Aufschluss darüber geben, inwieweit die Annahme freier Konvektion

auch bei rotierendem Rotor gerechtfertigt ist.

Bei Wechselstromspeisung werden zusätzlich zu den Stromwärmeverlusten in den Wicklun-

gen Ummagnetisierungsverluste und Wirbelstromverluste im Statoreisen wirksam.

Die Berechnung dieser Verluste ist im Kapitel 7.2 sowie im Anhang A3 beschrieben.

Es wurden für die Messung die unter 8.1 beschriebenen Messbedingungen hergestellt und

Effektivwerte des Stromes eingestellt, die einen direkten Vergleich mit der Gleichstrommes-

sung erlauben.

Die folgenden Grafiken zeigen berechnete und gemessene Temperaturverläufe für verschie-

dene Frequenzen und Stromeffektivwerte.


1 2 3 4 5 6 720

30

40

50

60

70

80

90

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur i

n G

rad

Cel

sius

Messung Kupfer obenMessung Kupfer untenMessung Eisen obenMessung Eisen untenMessung PM-MagneteMessung Eisen RotorMessung WelleMessung UmgebungstemperaturBerechnung KupferBerechnung Eisen Stator/ZähneBerechnung PM-MagneteBerechnung Eisen RotorBerechnung WelleBerechnung Umgebungstemperatur

Bild 8.10: Berechnete und gemessene Temperaturverläufe für 2A AC mit 30Hz Speisefrequenz (mit Rotation)


0 1 2 3 4 5 6 720

40

60

80

100

120

140

160

Zeit in Stunden

Tem

pera

tur i

n G

rad

Cel

sius




Der Vergleich der Messungen mit Rotation zeigt, dass die Temperaturen der Teilkörper mit

steigender Frequenz größer werden. Dies liegt an unterschiedlichen Verlusten.

Zudem haben die folgenden Ursachen Einfluss:

1. Einfluss der erzwungenen Rotation auf die Wärmeübergangswiderstände

2. Änderung der Strömungsverhältnisse im Luftspalt

Der Vergleich der berechneten Temperaturverläufe mit den gemessenen Temperaturverläufen

zeigt, dass auch für Messungen mit rotierendem Rotor die Annahme von freier Konvektion zu

sehr guten Ergebnissen führt.

Die messtechnische Verifizierung zeigt, dass das aufgestellte analytische Modell ausreichend

genaue Vorhersagen für die Dimensionierung von Maschinen liefern kann.

Zusammenfassung und Ausblick 167

9. Zusammenfassung und Ausblick

In den vorstehenden Kapiteln wurde ein analytisches Verfahren zur Berechnung von thermi-

schen Vorgängen in permanentmagneterregten Maschinen entwickelt. Im ersten Teil wird ein

mathematischer Algorithmus entwickelt, der eine Auswertung des DGL-Systems der Teilkör-

pertemperaturen für temperaturabhängige Koeffizienten (Wärmeübergangswiderstände,

Wärmekapazitäten, Leistungen) mittels eines Matlabprogramms ermöglicht. Im zweiten Teil

werden die Wärmekapazitäten und die Wärmeübergangswiderstände zwischen den Teilkör-

pern des Motors berechnet. Allein die analytische Annäherung der Geometrie stellt hier eine

große Herausforderung dar und führt häufig zu notwendigen Vereinfachungen der Geometrie.

Die Berechnung der Wärmeübergangswiderstände zeigt das komplexe Zusammenspiel zwi-

schen Konvektion, Wärmeleitung und Strahlung auf.

Die Beispielrechnungen zeigen, dass die Theorie des konvektiven Wärmeübergangs im Luft-

spalt mit Einbeziehung der Nutschlitzöffnungen sinnvolle Ergebnisse liefert.

Desweiteren belegen die Vergleiche mit Temperaturmessungen, dass die Annahme laminarer

Strömung auch bei Rotation gerechtfertigt ist und zu zufriedenstellenden Ergebnissen führt.

Im weiteren Verlauf der Arbeit werden Verfahren zur Berechnung der Eisenverluste aus be-

kannten Werkstoffdaten vorgestellt. Der Vergleich mit Messungen der Eisenverluste zeigt

allerdings, dass die berechneten Werte noch stark von den gemessenen Werten abweichen.

Parallel zur Erarbeitung des theoretischen Modells wurde ein Matlabprogramm zur Auswer-

tung des Algorithmus entwickelt. Dieses Programm ermöglicht im dritten Teil der Arbeit den

Vergleich von berechneten Temperaturverläufen mit gemessenen Temperaturverläufen für

einen Beispielmotor. Die Ergebnisse zeigen, dass die berechneten Temperaturverläufe trotz

zahlreicher notwendiger Vereinfachungen im Rechenalgorithmus nah an den gemessenen

Werten liegen und zu sinnvollen Ergebnissen führen. Die Vergleichsmessungen belegen somit

die Nutzbarkeit des aufgestellten Modells.

Die Messungen der Temperaturverläufe am Beispielmotor sowie die detailierte Beschreibung

der Programmierung des Berechnungsprogramms sind nicht Teil dieser Arbeit, können aber

in den im Literaturverzeichnis aufgeführten Schriften nachgelesen werden.

Der jetzige Stand dieser Arbeit bietet vielfältige Möglichkeiten der Fortführung. So ist z.B.

die Berechnung der Eisenverluste in der Maschine ein Faktor, der einer tiefergehenden Be-

trachtung bedarf.

Die Einbeziehung des Maschinengehäuses ist im Rechenprogramm implementiert, wurde aber

nicht im Rahmen der Verifikationsmessungen mit einbezogen.

Zusammenfassung und Ausblick 168

Die weitere Verifikation des Berechnungsmodells mit Temperaturmessungen und –

berechnungen für weitere Motoren ist anzustreben.

Auch die axiale Temperaturverteilung in einer elektrischen Maschine ist ein Punkt, der im

nächsten Bearbeitungsschritt einbezogen werden sollte. Entsprechende theoretische Ansätze

sind im Rahmen dieser Arbeit vorangetrieben worden (werden hier aber nicht dokumentiert)

und zeigen einen Weg zur sinnvollen Fortsetzung dieser Arbeit auf.

Literaturverzeichnis 169

10. Literaturverzeichnis

[1] E.Bolte, Vorlesungsskipt EMA I-III, Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Ham-

burg, März 2008 [2] E.Bolte, J.Halfmann, Transiente thermische Analyse eines Permanetmagnetmotor-

Antriebs mit integriertem elektronischen Kommutator Philips Research, Laborbericht Nr. 1001/93 [3] VDI-Gesellschaft Verfahrenstechnik und Chemieingenieurwesen, VDI-Wärmeatlas –

Berechnungsblätter für den Wärmeübergang, 8.Auflage, Springer-Verlag, 1997 [4] G.Gotter, Erwärmung und Kühlung elektrischer Maschinen, Springer-Verlag, Berlin, 1954 [5] H.Herwig, Wärmeübertragung A-Z – systematische und ausführliche Erläuterungen wichtiger Größen und Konzepte, Springer-Verlag, Heidelberg, 2000 [6] G.Cerbe, G.Wilhelms, Technische Thermodynamik – theoretische Grundlagen und praktische Anwendungen, Hanser Verlag, München, 2005 [7] H.Baehr, S.Kabelac, Wärme- und Stoffübertragung, 5.Auflage, Springer-Verlag, Heidelberg, 1994 [8] F.Incropera, D.de Witt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 2.Edition, Viley Verlag, New York, 1981 [9] O.Schepp, Simulations- und Messmethoden zur Bestimmung der Temperatur von Leistung-MOSFET´s, Fortschrittsberichte VDI Reihe 9 Nr.282, München, 1998 [10] B.Baier, Untersuchung von Rissbildungen in der Synchronmaschine des Maschinen satzes E1 im Umformerwerk der DB Energie GmbH in Hamburg-Harburg, Studien arbeit, EMA-Professur Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Hamburg, 2005

[11] E.Bolte, B.Kipp, Bestimmung der Maschinenparameter einer permanentmagneterreg ten Maschine mit konzentrierten Wicklungen, Technischer Bericht Nr.34, EMA- Pro fessur Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Hamburg, 2005


[12] B.Kipp, Software zur Dimensionierung und Simulation von permanentmagneterregten Synchronmaschinen, Diplomarbeit, EMA-Professur Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Hamburg, 2003 [13] E.Bolte, Auslegung von permanentmagneterregten Maschinen mit radialer Flussorien tierung, Technischer Bericht Nr.27, EMA-Professur Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Hamburg, 2006 [14] W.Polifke, J.Kopitz, Wärmeübertragung - Grundlagen, analytische und numerische Methoden, Pearson Studium, München, 2005 [15] R.Siegel, J.Howell, Thermal Radiation Heat Transfer, McGraw-Hill, New York, 1972 [16] R.Siegel, J.Howell, J.Lohrengel, Wärmeübertragung durch Strahlung Teil 2: Strahlungsaustausch zwischen Oberflächen und in Umhüllungen, Springer-Verlag, Berlin, 1991 [17] J.Howell, Online Catalog of Radiation Heat Transfer Configuration Factors

http://www.me.utexas.edu/~howell/index.html? [18] G.Merker, Konvektive Wärmeübertragung, Springer-Verlag, Berlin, 1987 [19] M.Kaviany, Principles of Convective Heat Transfer, Mechanical Engineering Series, Springer-Verlag, New York, 2001 [20] B.Hanel, Einführung in die konvektive Wärme- und Stoffübertragung, Verl. Technik, 1.Auflage, Berlin, 1990 [21] M.Jaletzky, Über die Stabilität von thermisch getriebenen Strömungen im rotierenden konzentrischen Ringspalt, Dissertation, Universität Bayreuth, 1999 [22] R.Richter, Elektrische Maschinen - Band 1: Allgemeine Berechnungselemente – Die Gleichstrommaschinen, 3. erw. Auflage, Birkhäuser, Basel, 1967 [23] G.Müller, B.Ponick, Grundlagen elektrischer Maschinen, 9.Auflage, Wiley-VCH, Weinheim, 2006


[24] T.Leifke, Entwurf eines Motors mit Dauermagneterregung, Studienarbeit, EMA- Pro- fessur Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Hamburg, 2006 [25] T.Leifke, Thermisches Verhalten von permanentmagneterregten Maschinen, Diplom- arbeit, EMA-Professur Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Hamburg, 2007 [26] E.Bolte, E. Bolte, N. Landskron, K.Schlüter, F.Schmidtke, F.Schwieger, Modellmotor II, Technischer Bericht Nr.38, EMA-Professur Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Hamburg, 2008 [27] E.Bolte, Konzeptstudie und Entwurfsauslegung eines Asynchronmotors für die Ver- wendung als elektrischer Hilfslader (ETV), Technischer Bericht Nr.22,

EMA-Professur Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Hamburg, 2001 [28] J.Peschke, Analytische Berechnung magnetischer Felder in permanentmagneterregten Maschinen, Dissertation, EMA-Professur Helmut-Schmidt-Universität Hamburg, Hamburg, 2006 [30] G.Konstas, Entwicklung einer Asynchron-Klein-Maschine für Drehzahlen bis 315.000 1min− , Dissertation, Universität Stuttgart, Stuttgart, 1980 [31] K.Vogt, Berechnung elektrischer Maschinen, VCH, Weinheim, 1996 [32] Z. Neuschl, Rechnerunterstützte experimentelle Verfahren zur Bestimmung der last- unabhängigen Eisenverluste in permanentmagnetisch erregten elektrischen Maschinen mit additionalem Axialfluss, Dissertation, Brandenburgische Technische Universität Cottbus, Hannover, 2007 [33] G.Bertotti, General Properties of Power Losses in Soft Ferromagnetic Materials, IEEE Transactions On Magnetics, Vol. 24.1 S.621ff., 1988 [34] D.Lin, P. Zhou,W. Fu, Z. Badics, Z.Cendes, A Dynamic Core Loss Model for Soft Ferromagnetic and Power Ferrite Materials in Transient Finite Element Analysis, IEEE Transactions On Magnetics, Vol. 40.2 S.1318ff., 2004 [35] K. von Dobbeler, Wirkungsweise, Berechnen und Bemessen von Elektromaschinen Band 1: Magnetischer Kreis, Wicklungen, Westermann Verlag, Braunschweig, 1953 [36] W.Schuisky, Berechnung elektrischer Maschinen, Springer Verlag, Wien, 1960


[37] P.Puranen, Dynamic thermal analysis of an induction servomotor with a coupled elec tromagnetic-thermal model, International Conference On Electrical Mashines 2006 PTA 5.3

Geometrie- und Werkstoffdaten des Modellmotors und des Versuchsaufbaus 173

Anhang A1 Geometrie- und Werkstoffdaten des Modellmotors

und des Versuchsaufbaus

Im Folgenden sind die im Berechnungsprogramm genutzten Geometrie- und Werkstoffdaten

des verwendeten Motors sowie weitere relevante Daten für die Temperaturberechnungen

(Kapitel 8) dokumentiert. Näheres zur praktischen Temperaturmessung ist [25] zu entnehmen.

A1.1 Zeichnungen Statorblechpaket

Bild A1.1: Maßangaben des Statorblechpakets


Bild A1.2: Statorblechpaket mit eingelegten Wicklungen (technische SolidWorks-Zeichnung)


A1.2 Geometrie- und Werkstoffdaten des Statorblechpakets

Die für die Berechnungen relevanten Geometrie- und Werkstoffdaten des Statorblechpakets

sind im Folgenden in Tabellenform aufgeführt. Soweit nicht anders angegeben, sind alle Wer-

te in SI-Einheiten angegeben. Die Beschreibung der Formelzeichen ist dem Anhang A4 zu

entnehmen. Bezeichnung Zahlenwert in SI-Einheit

Zb 0,0072m

Sb 0,0039m

ZWZb 0 m (keine Zwischenzähne)

Blechd 0,0005m

VNh 0,0012m

RFeK , 0,99

,Fe SK 0,99

Hk : 2:1,5

ZahnJoch

Wk :1: 2,1

ZahnJoch

sl 0,05 m

Zl 0,012m

4r 0,03m

6r 0,06 m

1Z 12

gδ 0,00091m

Feρ 28165 kg

m

σ 0

Hσ 2, 25 Wkg

Wσ 0, 25 Wkg

Tabelle A1.1: Geometrie- und Werkstoffdaten des Statorblechpakets


Tabelle A1.2: Epsteinprotokoll der Eisenbleche


Um ein Zurechtfinden im Programm zu erleichtern, werden im Folgenden die relevanten

Programmfenster mit den Eingabewerten aufgeführt:

Bild A1.4: Programmfenster " Blechpaket"


Bild A1.5: Programmfenster " Statornut"

A1.3 Geometrie- und Werkstoffdaten der Statorwicklung

Die für die Berechnungen relevanten Geometrie- und Werkstoffdaten der Statorwicklung sind

im Folgenden in Tabellenform aufgeführt. Soweit nicht anders angegeben, sind alle Werte in

SI-Einheiten angegeben. Die Beschreibung der Formelzeichen ist dem Anhang A4 zu ent-

nehmen.


Bezeichnung Zahlenwert in SI-Einheit

DrahtA 7 23,96 10 m−⋅

e 0,007 m

h 10000

1h 0,008m

VNh 0,0012m

AI variabel

CUK 0,4

WAK 1

ZWZK 1

m 3

N 65

1p 4

q 1

0r 0,0045m

AR 1,967Ω (bei 20°C)

γ 1,89

)( DichteCuρ 28920 kg

m

( . .)CU spez Widerstρ 60,017 10 m−⋅ Ω

Tabelle A1.2: Geometrie- und Werkstoffdaten der Statorwicklung


Programmfenster mit den Eingabewerten sowie Definitionen einiger Geometriewerte aufge-

führt:


Bild A1.6: Definition der Geometriegrößen des Wickelkopfes und vereinfachte Darstellung

des magnetischen Feldes am Wickelkopf


Bild A1.7: Programmfenster "Wicklung im Stator"

Bild A1.8: Programmfenster "Wickelkopf"


A1.4 Geometrie- und Werkstoffdaten der Permanentmagnete

Die für die Berechnungen relevanten Geometrie- und Werkstoffdaten sind im Folgenden in

Tabellenform aufgeführt. Soweit nicht anders angegeben, sind alle Werte in SI-Einheiten an-

gegeben. Die Beschreibung der Formelzeichen ist dem Anhang A4 zu entnehmen.


RB 1,06T

md 0,00309 m

CH 790000 Am

fp 8

2r 0,026m

fb ,α 0,8°

pmα 22,5°

,r magμ 1,32

magρ 28300 kg

m

fp ,τ 22,5°

Tabelle A1.3: Geometrie- und Werkstoffdaten der Permanentmagnete


Programmfenster sowie das Datenblatt der Permanentmagnete mit weiteren Daten aufgeführt.

Desweiteren wird das Datenblatt des Klebers aufgeführt, der zum Aufkleben der Magnete auf

den Rotor verwendet wurde:


Bild A1.9: Programmfenster "Geometrie Permanentmagnete"

Bild A1.10: Programmfenster "Werkstoffdaten Permanentmagnete" Seite 1


Bild A1.11: Programmfenster "Werkstoffdaten Permanentmagnete" Seite 2


Bild A1.12: Datenblatt des Werkstoffs der Permanentmagnete


Bild A1.13: Datenblatt des Klebers, mit dem die Permanentmagnete befestigt wurden


A1.5 Geometrie- und Werkstoffdaten des Rotorblechpaketes und der Ro-torwelle

Die für die Berechnungen relevanten Geometrie- und Werkstoffdaten sind im Folgenden in

Tabellenform aufgeführt. Soweit nicht anders angegeben, sind alle Werte in SI-Einheiten an-

gegeben. Die Beschreibung der Formelzeichen ist dem Anhang A4 zu entnehmen.

Tabelle A1.4: Geometrie- und Werkstoffdaten des Rotorblechpaketes und der Rotorwelle


RFeK , 0,99

sl 0,05 m

, ,1Welle innenl 0

, ,2Welle innenl 0

, ,1Welle aussenl 0,05 m

, ,2Welle aussenl 0,05 m

1r 0,006m

2r 0,026m


Bild A1.14: Prinzipieller Aufbau von Rotorblechpaket, PM-Segmenten und Rotorwelle


A1.6 Vorgabewerte und berechnete Werte der Temperatursimulation

Die vielfältigen Vorgabewerte für einzelne thermische Werkstoffeigenschaften der Teilkörper

und Verlustquellen lassen sich ebenso wie die berechneten Wärmeübergangswiderstände und

Wärmekapazitäten nur schwerlich in Tabellenform darstellen. Sie sind (hier für 2A/30Hz, mit

Rotation) den folgenden Programmfenstern zu entnehmen.

In die Berechnung eingehende Werte der Verlustquellen sind zusätzlich dem Anhang A3 zu

entnehmen.

Bild A1.15: Programmfenster Verlustberechnung/Schaltzeitpunkte


Bild A1.16: Programmfenste Starttemperaturen der Teilkörper

Bild A1.17: Programmfenster Wärmeübergangswiderstände, Fenster1


Bild A1.18: Programmfenster Wärmeübergangswiderstände, Fenster2

Bild A1.18: Programmfenster Übergangsschichten bei Wärmeleitung


Bild A1.19: Programmfenster Strahlungsemissionskoeffizenten

Bild A1.20: Programmfenster Wärmekapazitäten


Bild A1.21: Programmfenster spezifische Wärmekapazitäten

Bild A1.22: Programmfenster Einstrahlzahlen am Wickelkopf


Bild A1.23: Programmfenster Arbeitspunkt

Zusätzlich geht der messtechnisch ermittelte Wärmeübergangskoeffizient für den Wärme-

übergang von den Wicklungen in der Nut auf Statoreisen und Statorzähne in die Berechnung

ein mit

, 2 2 20,108 54,1769d Cu FeW WT

K m Kmα − = ⋅ + .

Näheres zur Bestimmung dieses Wärmeübergangskoeffizienten im Experiment ist [25] zu

entnehmen.

Berechnung des mittleren thermischen Luftspaltes einer PM-Maschine 196

Anhang A2 Berechnung des mittleren thermischen Luftspaltes

einer PM-Maschine

A2.1 Definition des mittleren thermischen Luftspaltes

Der Vergleich von Beispielrechnungen mit verschiedenen Luftspaltweiten zeigt, daß geringe

Änderungen der Luftspaltweite von 0,1 mm bereits zu Änderungen der Temperaturen auf dem

Rotor von mehreren Grad führen können. Die Abschätzung eines mittleren Luftspaltes ist für

Flussverkettungsberechnungen und Berechnung der Induktivitäten ausreichend, da sich für

diese Berechnungen die Magnete wie Luft verhalten und somit den Großteil des effektiven

Luftspaltes ausmachen.

Für thermische Betrachtungen entspricht der effektive Luftspalt dem geometrischen Luftspalt.

Bild A2.1 zeigt die Beschaffenheit des Luftspaltes für die Maschine gemäß A1.

Bild A2.1: Beschaffenheit des Luftspaltes für die Maschine gemäß Anhang A1


Durch die geraden Kanten der Magnetsegmente entsteht ein Luftspalt, dessen Weite über dem

Umfang nicht regelmäßig ist.

Durch die nicht von den Wicklungen ausgefüllten Nutschlitze entsteht außerdem im Bereich

der Nutschlitze ein abweichender Luftspalt. Dieser Einfluss wird in den entsprechenden Un-

terkapiteln des Kapitels 5 gesondert berechnet und wird deshalb hier zur Berechnung des mitt-

leren thermischen Luftspaltes nicht weiter betrachtet.

Desweiteren sind die Lücken zwischen den Magnetsegmenten mit einzubeziehen. Diese sind

in der realen Anordnung teilweise durch Kleber ausgefüllt. Der Berechnung ihres Einflusses

wird daher zusätzlich ein Korrekturfaktor beigefügt.

A2.2. Geometrische Ersatzanordnungen zur Bestimmung des mittleren thermischen Luftspaltes

Die folgenden Grafiken zeigen die geometrische Ersatzanordnung zur Berechnung des mittle-

ren thermischen Luftspaltes ,g mittelδ im Bereich eines Magnetsegmentes.


r4

r2

Magnetsegment dM

δg,max

δg,min

δg,Verschiebung

b∗Magnet

bMagnet

ϕPM

Bild A2.2: Ersatzanordnung zur Berechnung des mittleren geometrischen Luftspaltes vor Ver-

schiebung des Magnetsegments

α

β

δg,Verschiebung

δg,min

a

Bild A2.3: Vergrößerter Ausschnitt der Ersatzanordnung zur Berechnung des mittleren geo-

metrischen Luftspaltes vor Verschiebung des Magnetsegments


r4

r2

Magnetsegment dM

δg,max-δg,Verschiebung

δg,Verschiebung

b∗Magnet

bMagnet

ϕ∗PM

Bild A2.4: Ersatzanordnung zur Berechnung des mittleren geometrischen Luftspaltes nach

Verschiebung des Magnetsegments


PM-SegmentPM-Segment

dm dm

cαdm αdm

γ

Aspalt

Bild A2.5: Ersatzanordnung zur Bestimmung des Luftspaltanteils zwischen den Magnetseg-

menten

A2.3 Berechnung des mittleren geometrischen Luftspaltes

Die Berechnung des mittleren geometrischen Luftspaltes erfolgt unter Zugrundelegung fol-

gender Vorgabewerte, die aufgrund der Konstruktion bekannt sind oder gemessen werden:

,maxgδ ist Ausgangswert der Konstruktion

,mingδ aus Messung am Objekt

md ist Ausgangswert der Konstruktion

PMϕ aus der Anzahl der Magnetsegmente am Umfang

4r ist Ausgangswert der Konstruktion

Mit diesen Vorgabewerten folgt die Berechnung gemäß obiger Ersatzanordnung:


A2.3.1 Berechnung des Ersatzwinkels *PMϕ

Die Berechnung des mittleren thermischen Luftspaltes erschließt sich über die Berechnung

der Fläche über dem Magnetsegment gemäß Bild A2.1.

Diese Fläche teilt sich auf in eine Trapezfläche und ein Kreissegment.

Zuerst ist ,g Verschiebungδ zu berechnen als der Wert, um den das Magnetsegment in der Ersatz-

anordnung nach oben verschoben werden muss, damit als Fläche nur noch das Kreissegment

übrigbleibt. Da die Berechnung von ,g Verschiebungδ aber wiederum vom Winkel *PMϕ abhängt,

wird hier zunächst die Näherung

, ,ming Verschiebung gδ δ= (A2.1)

gemacht.

Diese Näherung ist später anhand des berechneten Wertes für ,g Verschiebungδ zu verifizieren.

Aus der Geometrie am Kreissegment folgt *

2,max , 42 sin

2PM

g g Verschiebung r ϕδ δ⎛ ⎞

− = ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=>

,max ,*

4

4 arcsin2

g g VerschiebungPM r

δ δϕ

⎛ ⎞−= ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

. (A2.2)


A2.3.2 Berechnung der Fläche des Kreissegments

Für die Berechnung der Fläche des Kreissegments folgt

( )2 * *4

1 sin2Kreissegment PM PMA r ϕ ϕ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ −⎣ ⎦ (A2.3)

A2.3.3 Berechnung der Ersatzmagnetbreite *Magnetb

Aus der Geometrie am Kreissegment folgt

( )*

*4 ,2 sin

2PM

Magnet g Verschiebungb r ϕδ⎛ ⎞

= ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (A2.4)

A2.3.4 Berechnung der Winkel α und β

*

2PMϕα = (A2.5)

2πβ α= − (A2.6)

A2.3.5 Berechnung von ,g Verschiebungδ

( )( )

2

, ,min 2

sin1

sing Verschiebung g

αδ δ

β= ⋅ + (A2.7)

Diese Formel ist abgeleitet aus den Grundgleichungen des Kreissegments. Auf die Herleitung

wird hier verzichtet.


A2.3.6 Berechnung der linearisierten Kreisbogenlänge a

2 2, ,ming Verschiebung ga δ δ= − . (A2.8)

Aufgrund des im Regelfall großen Biegeradius im Vergleich zu a ist die Linearisierung des

Kreisbogens zulässig.

A2.3.7 Berechnung der Fläche des Trapezes

*

, ,minTrapez Magnet g Verschiebung gA b aδ δ= ⋅ + ⋅ (A2.9)

A2.3.8 Berechnung der Fläche des Dreieckspaltes zwischen den Magnetsegmen-ten

Gemäß Bild A2.5 folgt

( )( )

sinsinm

dm

c dγ

α= ⋅ (A2.10)

mit

122 fp

γ π= ⋅⋅

, (A2.11)

2dmπ γα −

= . (A2.12)

Es folgt

2 21 44Spalt m SpaltA c d c K= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ (A2.13)

SpaltK ist der Korrekturfaktor, der mögliche Kleberrückstände im Spalt zwischen den PM-

Segmenten berücksichtigt.


A2.3.9 Berechnung der Gesamtfläche

gesamt Kreissegment Trapez SpaltA A A A= + + (A2.14)

A2.3.10 Berechnung des mittleren geometrischen Luftspaltes ,g mittelδ

, *

1g mittel gesamt

Magnet

Ab

δ = ⋅ (A2.15)

A2.4 Berechnung des mittleren geometrischen Luftspaltes für die Ma- schine gemäß Anhang A1

Vorgabewerte:

,max 1, 00g mmδ =

,min 0,59g mmδ =

3md mm=

2 0,026r m=

4 0,03r m=

22,5 0,3927PM radϕ = ° =

Aus der Berechnung gemäß 3) folgt * 0,01193Magnetb m=

* 19,105 0,333345PM radϕ = ° =

6 22,7653 10KreissegmentA m−= ⋅

11, 25 0,19635radα = ° =

78,75 1,37445radβ = ° = 4

, 6,0156 10g Verschiebung mδ −= ⋅


41,17 10a m−= ⋅ 6 27, 247 10TrapezA m−= ⋅

6 21,722 10Spalt SpaltA m K−= ⋅ ⋅

0SpaltK =

5 21,0013 10gesamtA m−= ⋅

=>

, 0,839g mittel mmδ = für 0SpaltK =

, 0,983g mittel mmδ = für 1SpaltK =

, 0,911g mittel mmδ = für 0,5SpaltK =

Die Magnetdicke ist so angepasst, dass sich die gewünschte Luftspaltweite im Berechnungs-

modell ergibt. Dies ist dadurch legitimiert, daß eine geringfügig abgeänderte Magnetdicke

keinen Einfluss auf das thermische Verhalten hat, sehrwohl aber eine geringfügig abgeänderte

Luftspaltweite.

Den Beispielrechnungen des Kapitels 8 liegt ein Luftspaltwert von 0,911 mm zugrunde. Dies

bedeutet, daß der Einfluss der Spalte zwischen den Magneten zur Hälfte berücksichtigt wird.

Dies entspricht der Realität, da die Spalte zum Teil durch Kleber gefüllt sind.

Messtechnische Bestimmung von Verlusten 206

Anhang A3 Messtechnische Bestimmung von Verlusten

Die folgende messtechnische Untersuchung der in der Maschine gemäß A1 auftretenden Rei-

bungsverluste und Eisenverluste soll zeigen, wie diese für die Simulation der Temperaturver-

läufe berücksichtigt werden müssen. Ausserdem erlaubt die Quantifizierung der Reibungsver-

luste eine Separation dieser von den in der Maschine auftretenden Eisenverlusten und somit

eine Βewertung der Genauigkeit der Berechnung der Eisenverluste gemäß Kapitel 7.

A3.1 Versuchsanordnung

Die folgende Grafik zeigt den Aufbau zur Messung des Reibmomentes der Wälzlager. Die

Welle wird über eine Drehmomentenmesswelle (2 Nm) mit einer Asynchronmaschine gekop-

pelt, die die Welle mit der erforderlichen Drehzahl antreibt. Genutzt wird die Welle der Ma-

schine gemäß A1 mit bereits eingelaufenen Lagern.

Die Welle ist in jedem der zwei Lagerböcke mit zwei Wälzlagern vom Typ 61903 ZZ (

17 , 30 , 7d mm D mm b mm= = = ) gelagert. Dies entspricht der Versuchsanordnung gemäß A1.

Bild A3.1a: Versuchsanordnung zur Bestimmung von Reibmomenten (hier nur Wälzlager)


Bild A3.1b: Versuchsanordnung zur Bestimmung von Reibverlusten und Eisenverlusten (hier

Wälzlager, Luftreibung und ggf. Eisenverluste des Erregerfeldes)

Bild A3.2: Abmessungen des Wälzlagers 61903 ZZ

17 , 30 , 7d mm D mm B mm= = =


Bild A3.3: Wälzlager 61903 ZZ

Die Erfassung des Reibmomentes über der Drehzahl wurde in einer zweiten Messung um den

Einfluss der angekoppelten Quecksilberspannungsübertragung erweitert, die ein zusätzliches

Reibmoment in die Anordnung bringt. In einer dritten Messung wurde der Einfluss der Luft-

reibung im Luftspalt untersucht, indem die Versuchsanordnung um das Statorblechpaket mit

eingelegten Wicklungen erweitert wurde (Bild A3.1b) und ein Rotor mit entmagnetisierten

PM-Segmenten verwendet wurde. In einer vierten Messung wurde der Originalrotor mit mag-

netisierten PM-Segmenten verwendet. Diese Messung erlaubt Rückschlüsse auf die vom Er-

regerfeld erzeugten Eisenverluste.


A3.2 Messtechnische Bestimmung von Reibverlusten und Eisenverlusten

Um die Verlustquellen voneinander separieren zu können, werden vier Messungen durchge-

führt. Die folgende Tabelle beschreibt den jeweiligen Messaufbau und die gemessenen Ver-

lustquellen. Im Anschluss ist durch Differenzbildung eine Separation der Verlustquellen mög-

lich. In den nächsten Unterkapiteln werden die Messergebnisse dargestellt und Ausgleichs-

funktionen abgeleitet.

Messung Komponenten Verluste Ausgleichs-

funktion

1 Welle PLager 1

2 Welle + Rotor (magnetisiert) + PB PLager + PPB 2

3 Welle + Rotor (nicht magnetisiert)

+ PB + Stator PLager + PPB + PLuft 3

4 Welle + Rotor (magnetisiert) + PB

+ Stator PLager + PPB + PLuft + PEisen 4

Tabelle A3.1: Messungen zur Separation der Verlustquellen in der Maschine


A 3.2.1 Reibverluste durch Wälzlager und Quecksilberspannungsübertragung

Die Messung des Reibmomentes über der Drehzahl für die Anordnung gemäß Bild A3.1a

führt auf folgende Verläufe:

Bild A3.4: Reibmomente über der Drehzahl für die Versuchsanordnung gemäß Bild A3.1a

Für die Ausgleichsfunktionen wurde ein doppelter Exponentialansatz gewählt gemäß b x d xy a e c e⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ .

Ausgleichsfunktion 1:

5

0,056066,363 10

0,056730,002872

abcd

−

=

= ⋅= −= −


Ausgleichsfunktion 2:

4

0,068521,126 10

0,068060,002875

abcd

−

=

= ⋅= −= −

Dies führt auf folgende Reibverlustleistungen abhängig von der Drehzahl (berechnet mit den

Ausgleichsfunktionen 1 und 2):

Bild A3.6: Reibverluste über der Drehzahl

Für die in Kapitel 8 betrachteten Frequenzen ergeben sich somit folgende Reibverluste (Lager

+ Quecksilberspannungsübertragung):

30 Hz 225 U/min 0,82 W

80 Hz 600 U/min 3,85 W

Die Temperaturabhängigkeit der Lagerreibung wird hier vernachlässigt. Die folgenden Grafi-

ken zeigen informativ die Temperaturen der Lager bei unterschiedlichen Drehzahlen:


Sp1

23.6

44.9 °C

30

40

Meßpunkt: 42.6 °C Drehzahl: 4000 U/min

Sp1

23.3

44.9 °C

30

40

Sp1

23.4

44.8 °C

30

40

Meßpunkt: 35.4 °C Meßpunkt: 34.1 °C Drehzahl: 3000 U/min Drehzahl: 2000 U/min

Sp1

23.2

44.8 °C

30

40

Sp1

23.4

44.8 °C

30

40

Meßpunkt: 29.3 °C Meßpunkt: 26.6 °C Drehzahl: 1000 U/min Drehzahl: 450 U/min


A 3.2.2 Reibverluste durch Wälzlager, Quecksilberspannungsübertragung und Luftreibung im Luftspalt

Die Messung des Reibmoments über der Drehzahl für die Anordnung gemäß Bild A3.1b mit

entmagnetisierten Magnetsegmenten führt auf folgende Verläufe:

Bild A3.4: Reibmoment über der Drehzahl für die Versuchsanordnung gemäß Bild A3.1b oh-

ne Permanentmagneterregung


Ausgleichsfunktion 3 :

5

0,11294,001 10

0,10860,001674

abcd

−

=

= ⋅= −= −

Dies führt auf folgende Reibverlustleistungen abhängig von der Drehzahl (berechnet mit der

Ausgleichsfunktion 3):


Bild A3.6: Reibverluste über der Drehzahl

Für die betrachteten Frequenzen ergeben sich somit folgende Reibverluste (Lager + Quecksil-

berspannungsübertragung + Luftreibung im Luftspalt):

30 Hz 225 U/min 0,93 W

80 Hz 600 U/min 4,78 W

A 3.2.3 Reibverluste durch Wälzlager, Quecksilberspannungsübertragung, Luftrei-bung im Luftspalt und Eisenverluste im Statorblech durch das Erregerfeld

Die Messung des Reibmoments über der Drehzahl für die Anordnung gemäß Bild A3.1b mit

magnetisierten Magnetsegmenten führt auf folgenden Verlauf. Der Einfluss der Rastmomente

führt in unteren Drehzahlbereichen dazu, daß der Motor so stark abgebremst wird, daß Haft-

reibung in den Lagern auftritt. Eine sinnvolle Bestimmung der Verlustleistungen im Motor ist

deshalb erst ab einer Drehzahl von 100 U/min möglich.


200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Drehzahl in U/min

Rei

bmom

ent i

n N

m

Ausgleichsfunktion 4

Bild A3.4: Reibmoment über der Drehzahl für die Versuchsanordnung gemäß Bild A5.1b mit

Erregung ohne Kupferwicklungen


Ausgleichsfunktion 4 :

5

0, 25011,135 100,19870,001131

abcd

−

=

= − ⋅= −= −

Dies führt auf folgende Reibverlustleistungen abhängig von der Drehzahl (berechnet mit der

Ausgleichsfunktion 4):


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 22000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Drehzahl in U/min

Verlu

stle

istu

ng in

Wat

t

Verlustleistung (Lager + Quecksilberspannungsübertragung + Luftreibung im Luftspalt+ Eisenverluste im Stator durch das Erregerfeld

Bild A3.6: Reib- und Eisenverluste über der Drehzahl

Für die betrachteten Frequenzen ergeben sich somit folgende Reibverluste (Lager + Quecksil-

berspannungsübertragung + Luftreibung im Luftspalt + Eisenverluste durch das Erregerfeld

im Statoreisen):

30 Hz 225 U/min 2,25 W

80 Hz 600 U/min 9,27 W

A 3.3 Separation der Einzelverlustquellen

Die Messungen gemäß Kapitel A3.2 lassen eine Separation der einzelnen Verlustquellen zu.

Die folgende Grafik zeigt die Einzelverluste über der Drehzahl, berechnet über die Aus-

gleichsfunktionen 1-4:


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 22000

5

10

15

20

25

Drehzahl in U/min

Ver

lust

leis

tung

in W

att

Verlustleistung vier WälzlagerVerlustleistung QuecksilberspannungsübertragungVerlustleistung Luftreibung im LuftspaltVerlustleistung Eisenverluste

Bild A3.7: Reibverluste und Eisenverluste separiert nach Verlustquellen

Die folgende Grafik zeigt die Einzelverluste im Bereich der beiden betrachteten Arbeitspunk-

te der Maschine:

0 100 200 300 400 500 6000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Drehzahl in U/min

Verlu

stle

istu

ng in

Wat

t

Verlustleistung vier WälzlagerVerlustleistung QuecksilberspannungsübertragungVerlustleistung Luftreibung im LuftspaltVerlustleistung Eisenverluste

Bild A3.8: Reibverluste und Eisenverluste separiert nach Verlustquellen


Die folgende Tabelle zeigt die Auswertung der Leerlaufmessungen in zwei Arbeitspunkten:

Verlustkomponente 225 U/min (30Hz) 600 U/min (80Hz)

Reibverluste vier Wälzlager 0,64 W 3,02 W

Reibverluste Quecksilberspan-

nungsübertragung 0,18 W 0,83 W

Luftreibung im Luftspalt 0,11 W 0,93 W

Eisenverluste (durch Erregerfeld

erzeugt) 1,32 W 4,49 W

Summe 2,25 W 9,27 W

Tabelle A3.2: Werte der Verlustkomponenten im Arbeitspunkt

Die folgende Tabelle zeigt die während der Temperaturmessungen am Modellmotor ohne

Rotation und mit Rotation auftretenden Verluste (für 3A). Aufgrund der Stromregelung sind

die Effektivwerte der Strangströme während der Messung konstant. Dies erlaubt einen Ver-

gleich der Verluste bei Betrieb ohne Rotation (hier treten ja nur Stromwärmeverluste auf) mit

den Verlusten bei Betrieb mit Rotation (hier treten alle zuvor aufgeführten Verlustquellen

auf). Die Differenzbildung erlaubt die Bestimmung der Summe der Verluste, die bei Rotation

neben den Stromwärmeverlusten auftreten. Diese Berechnung soll an dieser Stelle aber nur

zur Kontrolle der zuvor aufgeführten genauen Separation der Verlustquellen dienen. In die

Beispielrechnungen gemäß Kapitel 8 gehen die in Tabelle A3.2 aufgeführten Eisenverluste

ein.


Meßwertnummer (0 Hz) 7 28 46 88 157 244 347 474 641 884 1301 3585

Kupfertemperatur (0 Hz) in °C 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 148,7Leistung gesamt (0 Hz) 53,04 56,29 57,99 60,14 62,35 64,55 66,55 66,99 70,53 72,59 74,61 76,45


Kupfertemperatur (30 Hz) in °C 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 148,7Wirkleistung Strang 1 (30 Hz) 20,02 20,68 21,32 21,93 22,58 23,23 23,81 24,46 25,19 25,80 26,34 26,93Wirkleistung Strang 2 (30 Hz) 18,57 19,27 19,94 20,55 21,21 21,91 22,54 23,13 23,88 24,58 25,12 25,69Wirkleistung Strang 3 (30 Hz) 18,76 19,53 20,22 20,83 21,53 22,56 22,84 23,49 24,23 24,90 25,38 25,99Wirkleistung gesamt (30 Hz) 57,35 59,48 61,48 63,31 65,32 67,7 69,19 71,08 73,30 75,28 76,84 78,61

Reibverluste Lager + Quecksilberspan-nungsübertragung + Luftreibung (gemäß

Tabelle A3.2) 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93

Eisenverluste (30 Hz) 3,38 2,26 2,56 2,24 2,04 2,22 1,71 3,16 1,84 1,76 1,30 1,23


Kupfertemperatur (80 Hz) in °C 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 148,7Wirkleistung Strang 1 (80 Hz) 23,18 24,25 24,86 25,43 26,07 26,62 27,17 27,89 28,30 28,82 29,72 30,14Wirkleistung Strang 2 (80 Hz) 19,36 21,93 21,80 22,33 22,97 23,49 24,16 24,87 25,29 25,99 26,78 27,28Wirkleistung Strang 3 (80 Hz) 20,29 21,80 22,45 23,14 23,64 24,25 24,89 25,54 26,00 26,58 27,51 27,98Wirkleistung gesamt (80 Hz) 62,83 67,98 69,11 70,90 72,68 74,36 76,22 78,30 79,59 81,39 84,01 85,40

Reibverluste Lager + Quecksilberspan-nungsübertragung + Luftreibung (gemäß

Tabelle A3.2) 4,78 4,78 4,78 4,78 4,78 4,78 4,78 4,78 4,78 4,78 4,78 4,78

Eisenverluste (80 Hz) 5,01 6,91 6,34 5,98 5,55 5,03 4,89 6,53 4,28 4,02 4,62 4,16

Tabelle A3.3: Verlustleistungen in der Maschine verglichen für Messung mit Rotatio und ohne Rotation, sowie Quantisierung der Eisenverluste

über eine Leistungsbilanz, wobei die Reibungsverluste gemäß Tabelle A3.2 eingehen.


Der Vergleich zeigt, daß die aus der Leistungsbilanz berechneten Eisenverluste nah an den

Werten liegen, die durch meßtechnische Separation der Verlustquellen bestimmt wurden.

A3.4 Berechnung der Eisenverluste für die Versuchsmaschine

Die Berechnung der Eisenverluste wird gemäß Kapitel 7.3.4 durchgeführt, da die dort aufge-

führte Formel die höchste Flexibilität aufweist. Die Berechnung der Verluste wird getrennt für

Stator und Rotor durchgeführt.

21 ˆ

50 50 1,5

xxFe Fe Fe


σ σ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦. (7.41)

Die Auswertung des Epsteinprotokolls (Bild A3.8) führt für den Exponenten 2x auf

2 2,137x = .

Desweiteren wird

1 2x =

angenommen.

Die Herstellerangabe beinhaltet nur die Angabe der spezifischen Gesamtverluste mit

2,575GWkg

σ = bei 1,5 T.

Die Aufteilung in spezifische Verluste für Hysterese und Wirbelströme gelingt durch Zerle-

gung des Verlaufs der Eisenverluste über der Maschinendrehzahl (Bild A3.8) in einen fre-

quenzproportionalen Anteil und einen Anteil, der quadratisch von der Frequenz abhängig ist.


Es folgt

89,68% 2,31H GWkg

σ σ= ⋅ =

10,32% 0, 27W GWkg

σ σ= ⋅ = .

Die für Zähne und Joche unterschiedlichen Korrekturfaktoren werden für diese Aufteilung

näherungsweise vernachlässigt. Die gewonnenen Werte entsprechen der allgemein üblichen

Aufteilung der Verlustarten.

Die Berechnung mit Korrekturfaktoren gemäß Kapitel 7.3.1 führt auf folgende Eisenverluste

in Zahn und Joch:

Verlustkomponente 225 U/min (30Hz) 600 U/min (80Hz)

FeP Statorzähne (berechnet) 0,316 W 0,89 W

FeP Statorjoch (berechnet) 0,037 W 0,15 W

FeP Stator gesamt (berechnet) 0,353 W 1,04 W

FeP aus Separation der Verlust-

quellen gemäß A3.3 1,32 4,49

Tabelle A3.4: berechnete Eisenverluste für die betrachteten Arbeitspunkte

Der Vergleich zeigt, daß die Berechnung noch um den Faktor 3-4 unterhalb der gemessenen

Werte liegt. Dies kann unterschiedliche Ursachen haben:

1. Nichtberücksichtigung von Randeffekten durch Grate an den Eisenblechen

2. schlechte Isolierung der Eisenbleche gegeneinander

3. falsche Korrekturfaktoren

4. zweifelhafte Gültigkeit der Formeln für sehr geringe Flussdichten

5. Klammerung der Bleche der Versuchsmaschine


Für die Berechnung der Temperaturverläufe im Kapitel 8 wird deshalb auf die aus der Separa-

tion der Verlustquellen gewonnenen Werte zurückgegriffen. Nur dies erlaubt einen Vergleich

von gemessenen und berechneten Temperaturverläufen.

Die Berechnung der Eisenverluste ohne Verwendung von Messwerten mit den in Kapitel 7

vorgestellten Berechnungsverfahren bedarf weitergehender Studien, die nicht mehr Teil dieser

Arbeit sind.

Verwendete Formelzeichen 223

Anhang A4 Verwendete Formelzeichen

Die folgende Tabelle enthält alle in dieser Arbeit verwendeten Formelzeichen, soweit sie

nicht ausschließlich unmittelbar an der Stelle ihrer Einführung verwendet werden. Die in der

Tabelle aufgeführten physikalischen Größen werden sowohl in dieser Arbeit als auch im

Programm, soweit nicht anders aufgeführt, in SI-Grundeinheiten verwendet. Zu beachten ist

die teilweise sehr unterschiedliche Schreibweise zwischen Dokumentation und Programm.

Diese begründet sich durch den begrenzten Zeichensatz, der in Matlab zur Bezeichnung von

Variablen zur Verfügung steht.

Bezeichnung

Dokumentation Bezeichnung

in Matlab Beschreibung

a a Anzahl der parallelen Zweige eines Stranges

NcuA , / CuA A_cu gesamte Kupferfläche einer Spule

DrahtA A_Draht Querschnitt des verwendeten Kupferdrahtes

WFA A_wf geometrische Fläche des Wickelfensters

fb b_f Polübergangsbreite der Magnetsegmente in m

FeB B_fe Maximalwert der magnetischen Flussdichte im betrachteten

Eisenabschnitt

RjB , B_jr maximal zulässige magnetische Flussdichte im Rotorjoch

SjB , B_js maximal zulässige magnetische Flussdichte im Statorjoch

isoNb , b_Niso Dicke der gleichmäßigen Nutisolation

RB B_r Remanenzinduktion des Magnetmaterials

Sb bs Nutschlitzbreite

BV BV Verhältnis der Flussdichte im Luftspalt zur Remanenzinduk-

tion

ZB B_z maximal zulässige magnetische Flussdichte im Nutzahn

Zb b_z Nutzahnbreite des bewickelten Zahns

ZWZb b_z Nutzahnbreite des Zwischenzahns

,K TKC C_K Wärmekapazität des Teilkörpers

SC C_S Strahlungszahl des idealen Schwarzkörpers

pc c_p spezifische Wärmekapazität


Blechd d_blech Blechdicke im Blechpaket (für Stator und Rotor gleich ange-

nommen)

hd d_h Hydraulischer Durchmesser

md d_m radiale Magnetdicke

e e Abstand der Stirnverbindungsmittellinie von einem Zylinder

in Luftspaltmitte

1f f1 Zusammenfassung eines mathematischen Ausdrucks

elektrischf f_elektrisch Frequenz der Netzspannung

Fef f_Fe Frequenz der magnetischen Flussdichte zur Berechnung von

Eisenverlusten

thI max, I_max_thermisch thermischer Grenzstrom

magI max, I_max_magnetisch Entmagnetisierungsstrom

GWFM GWFM Grundwellenfaktor der Fourierreihenentwicklung der Magne-

tisierung der Magnetanordnung

h h Maß für die Verdrehung der Magnetsegmente am Umfang

1h h1 Abstand der Stirnverbindungsmittellinie zum Blechpaket

CH H_c Koerzitivfeldstärke des Magnetmaterials

RJh , h_jr Rotorjochhöhe

SJh , h_js Statorjochhöhe

VNh h_vn Höhe der Vornut

AI Ia Effektivwert des Strangstromes

j j 1−

NJ J_n erforderliche Bemessungsstromdichte zum Erreichen eines

vorgegebenen Luftspaltmomentes

RotorJ J_Rotor Massenträgheitsmoment des Rotors

CK K_c Karterfaktor

CUK K_cu Kupferfüllfaktor (Nutisolation mit eingerechnet)

RFeK , K_fe_r Eisenfüllfaktor des Rotorblechpaketes

,Fe SK K_fe_r Eisenfüllfaktor des Statorblechpakets

lK K_l Korrekturfaktor für die eindimensionale Induktivitätsberech-

nung

Nkν k_n_v Nutschlitzbreitenfaktor der ν -ten Oberwelle

Skν k_s_v Sehnungsfaktor der ν -ten Oberwelle


Wkν k_w_v Wicklungsfaktor der ν -ten Oberwelle

Zkν k_z_v Zonungsfaktor der ν -ten Oberwelle

Hk k_h Korrekturfaktor Hystereseverluste

Wk k_w Korrekturfaktor Wirbelstromverluste

Gk k_g Korrekturfaktor Gesamteisenverluste

WAK K_wa Index für die Unterscheidung von Einschichtwicklung

( )1=WAK und Zweischichtwicklung ( )2=WAK

ZWZK K_wa

Index für die Unterscheidung von konzentrierten Wicklungen

mit Zwischenzähnen ( )2ZWZK = und konzentrierten Wick-

lungen ohne Zwischenzähne ( )1ZWZK =

aL la Stranginduktivität

sl l_s Statorblechpaketlänge

Stl l_st Stirnkopflänge

Zl l_z Zahnlänge = Nuthöhe einschließlich Vornut

, ,1Welle innenl l_welle_innen_1 Länge des freien Wellenabschnittes im Gehäuse auf „Rück-

seite“ des Motors

, ,2Welle innenl l_welle_innen_2 Länge des freien Wellenabschnittes im Gehäuse auf Seite der

Kupplung

, ,1Welle aussenl WU1 Länge des freien Wellenabschnittes außerhalb des Gehäuses

auf „Rückseite“ des Motors

, ,2Welle innenl WU2 Länge des freien Wellenabschnittes außerhalb des Gehäuses

auf der Seite der Kupplung

,1überl l_ü1

Länge des Wellenabschnitts auf der Kupplungsseite,der über

das Blechpaket hinausragt (innerhalb und ausserhalb des

Gehäuses)

,2überl l_ü1

Länge des Wellenabschnitts auf der Motorrückseite,der über

das Blechpaket hinausragt (innerhalb und ausserhalb des

Gehäuses)

M M Magnetisierung des Magnetmaterials

NM M_n Luftspaltmoment im stationären Arbeitspunkt

m m Strangzahl

Cum m_cu Gewicht des Kupfermaterials der Windungen

RFem , m_fe_r Gewicht des Rotoreisenkerns

SFem , m_fe_s Gewicht des Statoreisenkerns (mit Zähnen)


,Fe Zm m_fe_z Gewicht der Statorzähne

gesamtm m_gesamt Gesamtgewicht der Maschine (ohne Welle und Anbauteile)

Magnetm m_m Gewicht des Magnetmaterials

Zm m_z Gewicht eines Nutzahns (mit Vornut)

nM M_n zu erreichendes Luftspaltmoment im Arbeitspunkt

N N Anzahl der Windungen einer Spule

nn n mechanische Drehzahl im Arbeitspunkt

Nu Nu Nußeltzahl zur Berechnung des Wärmeübergangswiderstands

durch Konvektion

ThermischO O_thermisch

thermisch wirksame Oberfläche zur Berechnung von Wär-

meübergangswiderständen, meist mit Index zur Bezeichnung

des zugehörigen Wärmeübergangswiderstand

1p p1 Polpaarzahl der Statorwicklung

fp p_f Polpaarzahl der PM-Anordnung auf dem Rotor

,V TKP P_v_TK Verlustleistung erzeugt durch Verlustquellen im Teilkörper

TK

, , ,( 1)axial TK n nP ν ± → axialer Leistungsfluss im Teilkörper TK im Berechnungs-

intervall ν zwischen benachbarten axialen Teilscheiben

q q Lochzahl

q& Wärmestrom

0r r0 fiktiver Radius der Stirnverbindungen einer Spule

1r r1 Bohrungsradius für die Rotorwelle

2r r2 Rotorblechaußenradius

4r r4 Statorinnenradius

5r r5 Nutaußenradius

6r r6 Statoraussenradius

AR ra Strangwiderstand

s s Breite der Streuschlitzöffnung der Statornut

S Scheiben Anzahl der axialen Teilscheiben der Maschine bei Einbezie-

hung axialer Leistungsflüsse

strombelag strombelag

erforderlicher Strombelag zum Erreichen des vorgegebenen

Luftspaltmomentes (eigentlich a, aber a ist ja schon verge-

ben)

gesamtt t_gesamt Gesamtzeit, für die die Berechnung der Temperaturverläufe

durchgeführt wird


aU Ua Effektivwert der sinusförmigen Ankerspannung im Arbeits-

punkt

pU U_p Effektivwert der Grundwelle der Polradspannung

RFeV , V_fe_r Volumen des Rotoreisenkerns

SFeV , V_fe_s Volumen des Statoreisenkerns (mit Nutzähnen)

ZV V_z Volumen eines Nutzahnes (mit Vornut)

w w Serienwindungszahl

KW W_k Wärmeübergangswiderstand

1WÜ WU1 Überhang der Welle außerhalb des Gehäuses an der Kupp-

lungsseite

2WÜ WU2 Überhang der Welle außerhalb des Gehäuses an der Rücksei-

te

fy y_f effektive Polbreite eines Magnetsegmentes in m

1Z Z1 Nutanzahl im Stator

fb ,α alpha_bf Polübergangsbreite in Grad

pmα alpha_pm Magnetsegmentwinkel

Kα WUEK_K Wärmeübergangskoeffizient für Wärmeübergang durch Kon-

vektion

Lα WUEK_L Wärmeübergangskoeffizient für Wärmeübergang durch

Wärmeleitung

Sα WUEK_S Wärmeübergangskoeffizient für Wärmeübergang durch

Wärmestrahlung

,temp Cuα alpha_temp_cu Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes

fy ,α alpha_yf effektive Polbreite in Grad

γ gamma Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der Wickeltechnik bei

der Berechnung der Stirnkopflänge

gδ delta_g geometrische Luftspaltweite in radialer Richtung

tΔ delta_t

Berechnungsintervall in der Temperaturberechnung, inner-

halb dessen die Netzwerkelemente als zeitlich nicht veränder-

lich angenommen werden

ϑΔ Temperaturunterschied

ε epsilon Schrittverkürzung der Wicklung in Nutteilungen

TKε eps Emissionsverhältnis der Oberfläche des Teilkörpers

TKϑ Übertemperatur des Teilkörpers TK

λ lambda Induktivität bezogen auf das Quadrat der Serienwindungszahl


TKλ lambda Wärmeleitfähigkeit des Teilkörpers

μ my Oberwellenzahl

0μ my_0 magnetische Feldkonstante

magr ,μ my_mag relative magnetische Permeabilität des Magnetmaterials

Rr ,μ my_rr relative magnetische Permeabilität im Rotoreisen

Sr ,μ my_rs relative magnetische Permeabilität im Statoreisen

ν etha Oberwellenzahl

π pi Kreiszahl

)( DichteCuρ rho_cu spezifische Dichte des Kupfermaterials

Feρ rho_fe spezifische Dichte des Eisenmaterials (ohne Eisenfüllfaktor)

Magnetρ rho_magnet spezifische Dichte des Magnetmaterials

CUρ ro_cu spezifischer Widerstand des Kupfermaterials

σ streuziffer Streuung des Flusses beim Übergang über den Luftspalt

Hσ sigma_h spezifische Verluste im Arbeitspunkt 50Hz/1,5T für die Hys-

terese

Wσ sigma_w spezifische Verluste im Arbeitspunkt 50Hz/1,5T für die Wir-

belströme

Gσ sigma_g spezifische Gesamtverluste im Arbeitspunkt 50Hz/1,5T

pτ tau_p Polteilung am Stator in Meter

Feχ kappa_elektrisch elektrische Leitfähigkeit des Eisenwerkstoffs

Nτ tau_n Nutteilung am Stator

fp ,τ tau_pf Polteilung der Permanentmagnetsegmente in Grad

upϕ phi_up Polradwinkel

iϕ phi_i Stromwinkel

1, 2TK TKϕ phi_12 Einstrahlzahl vom Teilkörper 1 auf den Teilkörper 2

Zϕ phi_z Winkel einer Zahnteilung der Statornutung

1ϕ phi_z ortsfester Statorwinkel

fψ psi_f Grundfeldflussverkettung eines Stranges

ω omega_elektrisch elektrische Kreisfrequenz

ω& Wärmestromdichte

Ω omega_mech mechanische Kreisfrequenz

Lebenslauf Name: Burghard Kipp Geboren: 07.09.1978 in Soest Eltern: Friedrich-Wilhelm Kipp Margarete Elisabeth Kipp, geb. Lüsse Familienstand: ledig Schulbildung: 1985 – 1989 Hellweg-Grundschule Soest-Ampen 1989 – 1998 Conrad-von-Soest -Gymnasium Soest Abschluss: Abitur Berufliche Laufbahn: 1998 – 1999 allgemeine Ausbildung zum Luftwaffenoffizier 1999 – 2003 Hochschulstudium der Elektro- technik an der Universität der Bundeswehr Hamburg Abschluss: Dip.- Ing. 2003 – 2005 Ausbildung zum Flugabwehrrake- tenoffizier Patriot und Verwendung als Zugführer in Oldenburg 2005 – 2008 Wissenschaftlicher Mitarbeiteroffi- zier am Institut für Elektrische Maschinen und Antriebe an der Helmut-Schmidt-Universität/ Universität der Bundeswehr Hamburg Abschluss: Dr.-Ing.

Analytische Berechnung thermischer Vorgänge in...

Documents

Transcript of Analytische Berechnung thermischer Vorgänge in...