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12. Januar, 2005Anfang Präsentation

Konvektive Massenflüsse III

• In dieser Vorlesung wollen wir uns nochmals mit den konvektiven Massenflüssen befassen, da uns immer noch ein umfassendes Bild der Physik solcher Vorgänge fehlt.

• Wir wollen damit beginnen, uns den kapazitiven Feldern nochmals zuzuwenden.

• Wir werden uns sodann mit der inneren Energie der Materie befassen.

• Schliesslich werden wir diese Erkenntnisse auf allgemeine Transportphänomene ausdehnen, bei welchen Massen-flüsse einen integralen Bestandteil der Energieflüsse ausmachen.


Übersicht

• Kapazitive Felder• Die innere Energie der Materie• Der Bus-bond und die Bus-verknüpfung• Wärmeleitung• Volumenarbeit• Das allgemeine Austauschelement• Mehrphasensysteme• Verdunstung und Kondensation• Mischungsthermodynamik• Multielementsysteme


Kapazitive Felder III

• Betrachten wir kurz die folgende elektrische Schaltung:

C1

C2

C3

i1 i2i3

i1-i3 i2+i3u1 u2

i1 – i3 = C1 · du1 /dt

i2 + i3 = C3 · du2 /dt

i3 = C2 · (du1 /dt – du2 /dt )

i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt

i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt

0 0 1 0 0

C1 C2 C3

i1

i2

i3

i3 i3

i1-i3i2+ i3

u1 u1

u1

u2

u2

u2u1-u2


Kapazitive Felder IV

i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt

i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt

i1

i2

=( C1 + C2 ) – C2

– C2 ( C2 + C3 )

·du1 /dt

du2 /dt

i1

i2

=

( C2 + C3 ) C2

C2 ( C1 + C2 ) ·du1 /dt

du2 /dt C1 C2 + C1 C3 + C2 C3

Symmetrische Kapazitätsmatrix

0 0 1 0 0

C1 C2 C3

i1

i2

i3

i3 i3

i1-i3i2+ i3

u1 u1

u1

u2

u2

u2u1-u2 0 CF

i1

u1 0i2

u2


Volumen- und Entropiespeicher• Sehen wir uns nochmals die Situation der letzten Vorlesung

an.

0 1 0

C

I

CCth

0 SF 0

CthS/V

Es war kein Zufall, dass ich die beiden Kapazitäten so nahe beieinander ge-zeichnet habe. In Wirklichkeit handelt es sich um zwei Ports desselben kapazitiven Feldes. Schliesslich sind ja Wärme und Volumen nur zwei verschiedene Eigenschaften derselben Materie.


Die innere Energie der Materie I

• Wie wir bereits gesehen haben, gibt es drei verschiedene Speichergrössen der Materie:

• Diese drei Speichergrössen sind verschiedene Speicher-eigenschaften desselben Mediums.

• Somit handelt es sich um ein Speicherfeld.• Dieses Speicherfeld ist kapazitiver Natur.• Das kapazitive Feld speichert die innere Energie der

Materie.

Masse Volumen Wärme


Innere Energie II

• Die Änderung der inneren Energie in einem System, d.h. der Gesamtleistungsfluss in das kapazitive Feld hinein, kann wie folgt geschrieben werden:

• Dies ist die Gibbs’sche Gleichung.

U = T · S - p · V + i · Nii

· · · ·

Wärmefluss Massenfluss

Volumenfluss

Fluss der inneren Energie

Chemisches Potential

Molarer Massenfluss


Innere Energie III

• Die innere Energie ist proportional zur Gesamtmasse n.

• Durch Normierung mit n können wir alle extensiven Variablen intensiv machen.

• Somit:

u = Un s = S

n v = Vn ni =

Nin

id

dt(n·u) = T · d

dt (n·s) - p · ddt

(n·v) + i · (n· ni )d

dt

id

dt(n·u) - T · d

dt (n·s) + p · ddt

(n·v) - i · (n· ni ) = 0ddt


Innere Energie IV

id

dt(n·u) - T · d

dt (n·s) + p · ddt

(n·v) - i · (n· ni ) = 0ddt

i

dudt - T · + p · - i · n ·[ ds

dtdvdt

dni

dt ]

= 0+dndt ·[u - T · s + p · v - i ·

ni

i ]

Diese Gleichung muss gelten unabhängig von der Menge n, somit:

= 0u - T · s + p · v - i · ni

i

i

dudt - T · + p · - i ·

dsdt

dvdt

dni

dt = 0Fluss der inneren Energie

Innere Energie

Hier nun endlich die Erklärung, warum mit „merkwürdigen“ Ab-leitungen gerechnet werden durfte.


Innere Energie V

U = T · S - p · V + i ·Nii

U = T · S - p · V + i · Ni + T · S - p · V + i · Ni i

· · · ·i

· · ·

= T · S - p · V + i · Nii· · ·

T · S - p · V + i · Ni = 0· · ·

Dies ist die Gibbs-Duhem Gleichung.


Das kapazitive Feld der Materie

C C

C

GY

GY GY

TS·

pq

i i

Vp·

p·VT·

T·

S

S

i·

i· nini

CF


Vereinfachung• Für den Fall, dass keine chemischen Reaktionen stattfinden,

ist es möglich, die molaren Massenflüsse durch gewöhn-liche Massenflüsse zu ersetzen.

• In diesem Fall wird das chemische Potential durch das Gibbs’sche Potential ersetzt.

MgVpSTdt

dU


Bus-Bond und Bus-0-Verknüpfung• Die drei äusseren Beine des CF-Elements können zusammen-

gebunden werden.

pq

TS

g

M

.

.

0

0 0

CFCF

C C

C

3Ø CF


Nochmals Wärmeleitung

CFCF CFCF

11

T

2T

S.

T

1

1

1 S.

1

S.

1

2

0 mGSmGS

2T

Ø Ø

TT S

.1

2

S.

12

S.

1x S.

2xT1

3 3

CFCF1CFCF2

3 3HE


Die Volumenarbeit

pq q11

1 p2

0 GSGS

2T1T

Ø Ø33

CFCF1 CFCF2

pq

p p

2q

2q

S1x

. S2x

.

CFCF1CFCF2

3 3PVE

Druck wird ausgeglichen. Es wird hier angenommen, dass die Trägheit vernachlässigt werden darf (relativ kleine Massen und/oder Geschwin-digkeiten), und dass beim Ausgleich Reibung im Spiel ist.

Das Modell ist sinnvoll, wenn der Ausgleich lokal erfolgt, d.h. wenn das Medium nicht sehr stark bewegt wird.


Allgemeines Austauschelement I

pq

11

GS

0

1 pq

211

GS

11 11

0

mGS

0

mGS

TS. 1 T

S. 2

1 2

g

M. 1 g

M. 2

SwSw

Die drei Flüsse sind über die RS-Elemente miteinander gekop-pelt.

Schaltelement in Bond-graphennotation. Dieses wurde noch nicht vor-gestellt.


Allgemeines Austauschelement II

• Beim allgemeinen Austauschvorgang werden gleichzeitig die Temperaturen, die Drücke und die Gibbs’schen Potentiale ausgeglichen.

• Es handelt sich dabei um ein Widerstandsfeld.

Ø Ø3RF

3

33

CFCF1 CFCF2

, S1 1 , S2 2


Mehrphasensysteme

• Wir müssen nun auch Phänomene wie Verdunstung und Kondensation berücksichtigen.

CFCFgas

3

ØHE, PVE,

Verdunstung(und Kondensation)

3

CFCFfl

3

Ø3


Verdunstung (Verdampfung)• Der Massen- und Energieaustausch zwischen kapazitiven

Materiespeichern (CF-Elementen), die verschiedene Phasen repräsentieren, wird durch spezielle Widerstands-felder (RF-Elemente) bewerkstelligt.

• Die Massenflüsse werden als Funktion des Drucks und des entsprechenden Sättigungsdrucks berechnet.

• Die Volumenflüsse werden als Produkt der Masseflüsse mit dem Sättigungsvolumen bei der gegebenen Temperatur berechnet.

• Die Entropieflüsse werden überlagert mit der Verdunstungsenthalpie (bei der Verdunstung wird dem thermischen Bereich Wärme entzogen latente Wärme).


Kondensation an kalten Oberflächen• Hier muss die Grenzschicht berücksichtigt werden.

CFCFfl

CFCFGas

CFCFOberfläche

3

3

Ø

Ø

Rand-schicht

3

3

Wärmeleitung (HE)Volumenarbeit (PVE)

Kondensation und Verdunstung

3 3HEPVERF

3 3HEPVERF

CFCFfl

CFCF Gas

3

3

Ø

Ø

3

3TS

.

Wärmeleitung (HE)Volumenarbeit (PVE)

Kondensation und Verdunstung

HE

gas

s

T S

HE

fl

s

.

Grenzschicht

Ø 3


Mischungsthermodynamik• Beim Mischen von Flüssigkeiten oder Gasen entsteht

zusätzliche Entropie.

• Diese Mischungsentropie muss unter den teilnehmenden Komponenten verteilt werden.

• Die Verteilung ist eine Funktion der Massenanteile.

• Normalerweise sollten CF-Elemente nichts voneinander wissen. Beim Mischen ist dies unvermeidbar. Die benötigte Information wird ausgetauscht.

CF1 CF2MIMI

{M1}

{x1

{M2}

{x2


Mischungsentropie• Die Mischungsentropie wird dem Gibbs’schen Potential

entzogen.TS.

pq 11

1

1

11

g1(T,p)11M

.1

TS.

pq

1

1

g1 (T,p)

M.

1

mix

TRSM.

1

g1

Sid

mix

1

CFCF11 CFCF12

TS.

pq 11

2

2

11

g2(T,p)11M

.2

TS.

pq

2

2

g2 (T,p)

M.

2

mix

TRSM.

2

g2

Sid

mix

2

CFCF21 CFCF22

MIMI

x21

x11

M21

M11

HEPVE.

.

Es wurde hier ange-nommen, dass die zu mischenden Liquide dieselben Temperaturen und Drücke aufweisen.


T2

S.

p2

q 112

2

11

g2(T2,p2) 11M.

2

T2mix

S.

p2mix

q

2

2

g2 (T2,p2)

M2

.mix

CFCF 21 CFCF 22

MIMI HEPVE

RS

M.

2g2

S2

.RS mRS

0

p2

T2

q2

S2

.

T2mix

T1

S.

p1

q 111

1

11

g1 (T1,p1) 11M.

1

T1mix

S.

p1mix

q

1

1g1 (T1,p1)

M1

.mix

CFCF 11

RS

M.

1

g1

S1

.RS mRS

0

p1

T1

q1

S1

.

T1mix

CFCF 12

Die zu mischenden Liquide können auch unterschiedliche Tem-peraturen oder Drücke aufweisen.


Konvektion in Multielementsystemen

CF12

CF13

CF11

Ø

3

3

3

3

3

Ø

Ø

3

PVEHE

3

3

HEPVE CF22

CF23

CF21

3

3

3

3

3

Ø

Ø

Ø

3

PVEHE

3

3PVEHE

3

HEPVE

3

PVEHE

3RF

PVEHE

3

3 3RFPVEHE

3 3RFPVEHE

horizontalerAustausch(Transport)

vertikalerAustausch

(Mischung)


Zweielement-, Zweiphasen-, Zweiunterteilungs-konvektives System

Gas

CF11

Fl.

CF11

Fl.

CF21

Gas

CF21

Ø

3

3

3

3

3

Ø

Ø

Ø

3

PVEHE

3

HEKondensation/Verdunstung

PVE

3

3

3

3


PVE

Gas

CF12

Fl.

CF12

Fl.

CF22

Gas

CF22

Ø3

3

3

3

3

3

Ø

Ø

Ø

3

PVEHE

3


PVE

3

3

3PVEHE

3


PVE

3

PVEHE

3RF

PVEE

3

3 3

3 3

HEPVERF

HEPVERF

3 3RF

PVEHE

Phasen-grenze

3

PVEHE

3

3

PVEHE

3

3

PVEHE

3

3

PVEHE

3

MIMI{x21, S

E

21, VE

21}

{M21, T21, p 21} MIMI1 2

+

Vge

s

+

Vge

s

{M11, T

11, p

11}

{x21,

SE

21,

VE

21}

{M12, T

12, p

12}

{x12,

SE

12,

VE

12}

{M22, T22, p 22}

{x22, SE

22, VE

22}


Konzentrationenaustausch

• Es mag sein, dass verschiedene Unterteilungen nicht völlig homogen sind. Dann müssen auch Konzentrationen aus-getauscht werden.

CFCFii

3

Ø 3 3HEPVECE

3

Ø

CFCFi+1i+1

33... ...


Referenzen I

• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 9.

• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling convective flows using bond graphs,” Proc. ICBGM’01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 276 – 284.


Referenzen II

• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multi-phase systems using bond graphs,” Proc. ICBGM’01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 285 – 291.

• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multi-element systems using bond graphs,” Proc. ESS’01, European Simulation Symposium, Marseille, France, pp. 758 – 766.

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