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27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Algebraische Schleifen und Strukturelle Singularitäten
• Der bisher aufgezeigte Sortieralgorithmus funktioniert nicht immer so reibungslos, wie dies in den bisher gezeigten Beispielen den Anschein machte.
• In dieser Vorlesung werden die Probleme der sogenannten algebraischen Schleifen und der singulären Strukturen behandelt.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Übersicht
• Algebraische Schleifen
• Strukturdiagramme
• Strukturelle Singularitäten
• Ableitung
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Algebraische Schleifen: Ein BeispielKomponentengleichungen:
U0 = f(t) u3 = R3· i3
u1 = R1· i1uL = L· diL/dt
u2 = R2· i2
Knotengleichungen:
i0 = i1 + iLi1 = i2 + i3
Maschengleichungen:
U0 = u1 + u3 uL = u1 + u2
u3 = u2
Das Netzwerk enthält 5 Komponenten
Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Horizontales Sortieren IU0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
1. U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
2.
3. 4. U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Horizontales Sortieren II
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
Eine solche Situation deutet immer auf das Vorhandensein algebraischer Schleifen hin.
Bei den sechs noch a-kausalen Gleichungen (d.h. den Gleichungen ohne rote Variable) enthält jede Gleichung mindestens zwei Unbe-kannte, und jede Unbekannte taucht in mindestens zwei Gleichungen auf.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Algebraische Schleifen I1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. 2.
3. 4.
Wir wählen eine Variable in einer Gleichung, z.B. Variable i1 in Gleichung 4. Wir nehmen diese Variable nun als bekannt an und fahren fort wie bis anhin.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Algebraische Schleifen II
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2i2 i1 u1
u3i3u2 U0
4.
4.
1.
2.
3.
5.
6.
Algebraische Schleifen
Strukturdiagramm
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Auflösen algebraischer Schleifen I
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. i2 = u2 / R2
3. i3 = u3 / R3
4. i1 = i2 + i3
5. u3 = U0 - u1
6. u2 = u3
i1 = i2 + i3
= u2 / R2 + u3 / R3
= u3 / R2 + u3 / R3
= ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · u3
= ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - u1 )
= ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - R1· i1 )
i1 =R2 + R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
· U0
Gleichung 4. wird durch die neue Gleichung ersetzt.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Auflösen algebraischer Schleifen II
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
i1 =R2 + R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
· U0
Die algebraischen Schleifen sind jetzt aufgelöst, und es kann mit dem Sortieralgorithmus in der üblichen Weise fortgefahren werden.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Horizontales Sortieren III
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
i1 =R2 + R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
· U0
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
i1 =R2 + R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
· U0
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Mehrere gekoppelte Schleifen
1. a = b + 12. b = 3·f3. c = b + d4. d = h5. e = a6. f = e + g7. g = 2·c8. h = g
4.
6.
1.
2.
3.
5.
c d
hg
b
f
a
e
3.
6.
7.
8.
1. a = b + 12. b = 3·f3. c = b + d4. d = h5. e = a6. f = e + g7. g = 2·c8. h = g
1. a = b + 12. b = 3·f3. c = b + d4. d = h5. e = a6. f = e + g7. g = 2·c8. h = g
c = b + d= 3·f + h= 3·f + g= 3·f + 2·c
f = e + g= a + 2·c= b + 2·c + 1= 3·f + 2·c + 1
c + 3·f = 02·c + 2·f = -1 c = - 0.75
f = + 0.25
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Strukturelle Singularität: Ein Beispiel
16 Gleichungen16 Unbekannte
Das gemischt rotatorische und translatorische System weist drei Körper auf: die Träg-heiten J1 und J2 sowie die Masse m. Somit würden wir erwarten, dass es sich um ein System 6er Ordnung handelt.
3 Körper 6 Differentialgleichungen + 3 algebraische Gleichungen (D’Alembert)3 Reibungen 3 algebraische Gleichungen (Reibungskräfte)2 Federn 2 algebraische Gleichungen (Federkräfte)1 Getriebe 2 algebraische Gleichungen (Übertragung)
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Modellieren des Getriebes
= r · Fx = r ·
Wir schneiden das Getriebe auf. Dafür wird die Schneidekraft F eingeführt.
Das Drehmoment ist proportional zur Schneidekraft F, und der Weg x ist proportional zum Drehwinkel .
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Aufschneiden des Systems (t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
x = r · 2
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
16 Gleichungen16 Unbekannte
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Horizontales Sortieren I (t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
x = r · 2
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
Diese Gleichung kann nicht verwendet werden, da sie keine Unbekannte enthält.
Idee: Wenn eine Gleichung für alle Zeiten gilt, dann gilt auch jede Ableitung davon.
Man ersetze die unverwend-bare Gleichung durch ihre Ableitung.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Ableiten I (t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
v = r · 2
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
Die Gleichung ist leider immer noch nicht verwendbar, da sie immer noch keine Unbekannte enthält.
Man leite die unverwend-bare Gleichung nochmals ab.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Ableiten II (t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt
Die Gleichung ist jetzt verwend-bar geworden, da jetzt beide der darin erwähnten Variablen unbekannt sind. Die beiden Ableitungen waren bisher rot, da beide nur einmal im Gleichungssystem auftauchten. Jetzt sind sie aber zweimal vorhanden und müssen darum wieder schwarz gemacht werden.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Horizontales Sortieren II (t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt
(t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Horizontales Sortieren III (t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt
Es bleiben immer noch 6 Gleichungen in 6 Unbekannten.
Jede der Gleichungen enthält min-destens zwei der Unbekannten.
Jede Unbekannte taucht in mindestens zwei der Gleichungen auf.
Wir haben es wieder mit mindestens einer algebrai-schen Schleife zu tun.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Algebraische Schleife (t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt
Wahl
(t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Horizontales Sortieren IV (t) = T1 + B1 + B3
B1 = T2 + k1 + G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
T1 = J1·d1
dtd1
dt= 1
T2 = J2·d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt
T1= (t) - B1 - B3
T2= B1 - k1 - G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
= T1 / J1
d1
dtd1
dt= 1
= T2 / J2
d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Auflösen der algebraischen Schleife I d2
dt= T2 / J2
= (B1 - k1 - G ) / J2
= (B1 - k1 ) / J2 - G /J2
= (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · FG
T1= (t) - B1 - B3
T2= B1 - k1 - G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
= T1 / J1
d1
dtd1
dt= 1
= T2 / J2
d2
dtd2
dt= 2
FI = m·dvdt
dxdt
= v
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt = (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · (FI + Fk2 + FB2 + m·g)
= (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g)
- (r /J2 ) · FI
= (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g)
- (m·r /J2 ) · dv/dt
= (B1 - k1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g)
- (m·r2 /J2 ) · d2 /dt
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Auflösen der algebraischen Schleife IIT1= (t) - B1 - B3
T2= B1 - k1 - G
FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g
G = r · FG
B1 = B1· (1 – 2 )
B3 = B3· 1
FB2 = B2· v
k1 = k1· 2
Fk2 = k2· x
dvdt
= r ·d2
dt
= T1 / J1
d1
dtd1
dt= 1
d2
dt= 2
FI = m·dvdtdx
dt= v
d2
dt=
B1 - k1 – r · (Fk2 + FB2 ) – m·g·r
J2 + m·r2
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Anmerkungen
• Das Problem der strukturellen Singularität trat auf, weil die Masse m und die Trägheit J2 nicht unabhängig voneinander bewegt werden können.
• Eigentlich hätte das System deshalb durch 4 Differentialgleichungen beschrieben werden können.
• Die hier angebotene Lösung zeigt diese mögliche Einsparung der Anzahl Zustände nicht auf.
• Eine bessere Lösung wird nächste Woche gezeigt.
27. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Referenzen
• Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), “Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling,” IEEE Control Systems, 13(2), pp. 28-38.