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Anhang A

Herleitung wichtiger Ergebnisse aus

Kapitel3

A.I Bestimmung der optimalen Lieferantenentschei

dung

(Vgl. Abschnitt 3.2.1)

Erwartete Kosten des Lieferanten:

vb-~ ---c- 1

E(CB ) = -p·b+p· J (b-a·c,,+t>')·f(a)da+h· J (a.Cv+~-b)·f(a)da+w.~

Substitution:

o vb-6 ---c-

d:= (1 - a)C; b := C - vb +~; f(d) := f(Ced)

Folgende Zusammenhange sind bei der Substitution zu beachten:

• Wegen 0 ::; a ::; 1 gilt 0 ::; d::; C .

• Die Entscheidungsvariable b ist immer positiv, da im Fall b < O({? C + ~ < vb)

ein Teil der Nachfrage des Herstellers mit Sicherheit nicht befriedigt werden kann.

Wegen der Voraussetzung vw ::; p kann diese Entscheidung niemals optimal sein.

252 Anhang A. Herleitung wichtiger Ergebnisse aus Kapitel 3

• Veriinderung der Integralgrenzen:

o ::; a ::; vb;,6. ¢} C;::: (1 - a)C ;::: b

¢} C;:::d;:::b

vb - ,6. -C- ::; a::; 1 ¢} C +,6. - vb;::: (1- a)C;::: 0

¢} b;:::d;:::O

Die Substitution fiihrt auf die vereinfachte Darstellung der erwarteten Kosten:

c Ii

E(CB) = -p. b + ~ . / (d - b) . 1(d) dd + ~ . / (b - d) . 1(d) dd + w . b Ii 0

c Ii

-p . b + ~ . / (d - b) . f(d) dd + h: p . / (b - d) . f(d) dd + w . b o 0

Folgende Terme lassen sich weiter vereinfachen:

c c c • J(d - b)· 1(d) dd = J d· 1(d) dd - b· J 1(d) dd = E(d) - b

o 0 0

Ii - b Ii • J(b - d) . f(d) dd = (b - d) .H(d)]~ + J H(d) dd = J H(d) dd 000

Damit lassen sich die erwarteten Kosten nach Substitution darstellen als:

b

E(cB(b)) = -p. b + E. (E(d) - b) + h + p . /H(d) dd + w· b v v

o

b Da die Verteilungsfunktion H monoton wachsend ist, ist J H(d) dd beziiglich b konvex

o und folglich ist auch E(CB(b)) eine konvexe Funktion. Wegen der Konvexitat erhalten

wir die Minimalstelle bopt durch Nullsetzen der 1. Ableitung:

A.2. Bestimmung der optimalen Bestellmenge 253

Die Optimalentscheidung !lopt ergibt sich durch Aufiosen der Substitution und Beruck-bopt

sichtigung der Beziehung H(hopt ) = J f(d) dd. -00

Hierbei ist die Veranderung der Integralgrenzen zu beachten:

-00 ::; d::; hopt ¢} -00::; (1 - o:)C ::; C - vb + !lopt (A.I)

¢} > vb - !lopt oo?:o:_ C '

Damit ergibt sich die folgende Beziehung:

bapt 00

H(hopt ) = / f(d) dd = / f(o:) do: = 1 - <I> (Vb -c!lopt) -00 vb-Aopt

C

1m Optimum muE also gelten:

1 _ <I> (Vb - !lopt) = p - vw C p+h'

q.e.d.

A.2 Bestimmung der optimalen Bestellmenge

(Vgl. Abschnitt 3.3)

Die optimale Bestellmenge des Herstellers bei Antizipation der Lieferantenentscheidung

ergibt sich aus der folgenden Beziehung:

bopt = argoptE(CT(AF(b)). b?d

Fur den Fall der Gleichverteilung lautet die Antizipationsfunktion AF(b) (vgl. (3.8)):

AF(b) = !lopt(b) = vb _ C vw(a - ~) + ah + PfJ. +p

Die erwarteten Kosten E(cr) des Herstellers haben fUr den Fall der Gleichverteilung

folgende Gestalt:


y(Ll.opt )

+-g_. a-g

/ (d- a.C:~oPt)da Q:

x(b,Ll.oPt )

/ (a' C + ~opt d)d b - d ---...:::=- a+g' =----

v a-g

a

/ y(Ll.opt) x(b,Ll.opt )

+-p_. a-g

x(b,Ll.opt)

/ a.C+~oPtd p·b a+-

v a-g

a

/ Ida

x(b,Ll.opt )

Ida

Setzt man die antizipierte Optimalentscheidung ~opt aus (3.8) in die erwarteten Kosten

E(cr) des Herstellers ein, so erhiilt man die erwarteten Kosten des Herstellers in Ab

hiingigkeit seiner Bestellmenge b. Nach Auflosen der Integrale und einigen Umformun

gen, auf die an dieser Stelle verzichtet wird, ergibt sich:

v(d - b)Zg + (b - d)g(p - vw) + ....:.bp--=(p_-_v_w--,-) 2C(a-g) p+h p+h +p[(h + vw)(2bv(p + h) - Ch(a - g) - vCw(a - g)]

2v(p + h)2 + 7r[v(p + h)(b - d) - Ch(a - g) - vCw(a - g)]2

2vC(p + h)2(a - g)

Leitet man den Term nach b ab, so erhalten wir:

8E(cr) 8b

(d - b)vg g(p - vw) p(p - vw) p(h + vw) - + + + + C(a - g) p + h p + h p + h 7r(v(p + h)(b - d) - C(h + vw)(a - g)

C(p + h)(a - g) (g + p)(p - vw) - (7r - p)(h + vw) + v---'(----:7r::c-;+-=..cg)'--'-(b---,-,-d--'...)

p+h C(a-g)

Fur die zweite Ableitung gilt weiter:

8E(cr) 82b

v(7r+g) >0 C(a - g)

Damit erhiilt man die kostenminimale Bestellmenge durch Nullsetzen der ersten Ab

leitung. Wie man leicht sieht, ergibt sie sich als:

b -d C(a-g). (7r-p)(h+vw)-(g+p)(p-vw) opt- + v (p+h)(7r+g)'

Beachten wir weiter, daB o.B.d.A. nur der Fall b 2:: d betrachtet wurde, so ergibt sich

die Beziehung (3.13). q.e.d.

A.3. Kostenaufteilung

A.3 Kostenaufteilung in Abbangigkeit von Pramie und

Konventionalstrafe

(Vgl. Ab6chnitt 3.5.2)

Bebauptung:

Sci o.B.d.A. It = 9 (vgl. Abschnitt 3.5.1)

Fur af = (d,A""",,).ar == (bm..>:,O),af = (d, K,....., ), mit

KIfI4!Z = 'II' - P

gilt

Beweis:

Fallunterscheidung

FaU 1: ~>d . -Die Gesamtkosten im kooperativen Fall betragen dann C,u = g(9C/ll - d) + w6, da

keiue Fehlmengen auftreten.

Fall 1.1: net'" ;:: brnu(;?: d)

Rea]isierte Kosten des Hen;tellen; fUr af : cr(af) == pd + A.....,

Realislerte Kosten des Hen;tellers fUr ar : C'"(o;) = pb_+g(b,_-d)=pd+(p+g)(b=.-d)

= pd + (p + g)e(' - P)(oh -:,. ~(.w + h) (p+ h) = pd + A=.

ReaJisierte K06len des Herstellers fUr af : C"l'(af) == pel

~ QT(af) = cr(~) ~ cr(afj = pd


Fall 1.2: bmax ~ aC;tll. (~ d)

Realisierte Kosten des Herstellers fUr af : cr (an = pd + Amax

Realisierte Kosten des Herstellers fUr ar : o:G+~ (o:G+~ d) d (p )(o:G+~ d) p. +g - =p + +g -

v v v :::; pd + (p + g) (bmax - d) = pd + Amax

Realisierte Kosten des Herstellers fUr af : GT(af) = pd

=? GT(an ~ cr(aI) ~ GT(af) = pd

Fall 2: d > aC±ll. - v

Die Gesamtkosten im kooperativen Fall betragen dann Gges = 7r(d - aC;;ll.) + w~, da

keine Kosten aus Uberkapazitat auftreten.

Realisierte Kosten des Herstellers fUr af :

cr(af) = pac;;ll. + 7r(d - aCtll.) = pd + (7r - p)(d - aCv±ll.)

Realisierte Kosten des Herstellers fUr ar : CT (an = pd + (7r - p) (d _ aC;;ll. )

Realisierte Kosten des Herstellers fiir af : CT(af) = pd

Da in Fall 2 keine Pramie gezahlt wird und die Bestellmenge keine Auswir

kung auf die Kosten des Herstellers hat stimmen die Kosten fUr af und ar iiberein.

q.e.d.

Anhang B

Algorithmus zur Berechnung der

Kosten aus den Lieferkonsequenzen

fiir den Hersteller

*** Initialisierung der Daten ***

LK:=

TK:= 0

UEK:= 0

GK :=0

*** Lagerhaltungskosten *** *** Kosten fiir Terminuberschreitung *** *** Uberstundenkosten *** *** Gesamtkosten ***

*** Einlesen der Daten *** HKONV: Strafkosten fur Hersteller bei Terminuberschreitung [GE/ZEI

KUEB: Uberstundenkosten [GE/ZEI

HKL: Lagerkosten des Zulieferteils bei Hersteller [GE/MEI

EP: Zu zahlender Betrag an Lieferanten [GEl

Fur t := 1, """' T Do

kap[t]: eingeplante Kapazitat des Herstellers

lI[t]: Liefermenge von Produkt 1 in t

12[t]: Liefermenge von Produkt 2 in t

258 Anhang B. Algorithmus zur Berechnung der Kosten aus Lieferkonsequenzen

Fur j:= 1, ... ,NJ Do

start[j): eingeplanter Startzeitpunkt von j

dU): Dauer von j

T JU): Anzahl zu j aggregierter Jobs

q1U]: Benotigte Mengen Produkt 1 fUr Job aus j

q2U]: Benotigte Mengen Produkt 2 fUr Job aus j

*** Bestimme Bedarfsmatrix B *** Fur t := 1 bis NT DO

For j := 1 bis N J DO

Falls startU] = t, dann

b1[t,j] := T JU] * q1U]

b2[t, j] := T JU] * q2[j]

*** Berechnung der Kosten ***

Fur t := 1, ... , T

Begin

*** Fur jede Periode t ***

Fur j:= 1, ... ,J

Begin

*** Fur jeden aggregierten Job j ***

*** a) Priife, wieviel Jobs uberhaupt ausfiihrbar sind *** ausf:= min{ll1 [t]/q1 U]j, lI2[t]/q2U]j,b1[t,j]/q1U]}

*** b) Berechnung der Kapazitatsbelastung *** Fur r := 0 bis dU]- 1 DO bkap[t + 7] := bkap[t + 7J + ausf * BKUJ

*** c) Berechnung der Konventionalstrafe *** Falls t + dUJ > EUJ, dann TK:= TK + HKONV * (t + dUJ - EU]) uusf

*** d) Verbleibende Liefermengen in dieser Periode berechnen *** lI[t] := lI[t]- au sf * q1U]

12[t] := 12[t]- ausf * q2U]

Anhang B. Algorithmus zur Berechnung der Kosten aus Lieferkonsequenzen 259

*** e) Berechnung der Auswirkungen auf beni:itigte Menge in Folgeperiode und Nach

folger ***

fehl := bl[t,jl/qlb]- ausf (= b2[t,j]/q2[j]- ausf)

bl[t + l,j] := bl[t + l,j] + fehl * ql[j]

b2[t + l,j] := b2[t + l,j] + fehl * q2[j]

Fiir k:= 1 bis NJ DO:

Wenn V[k] = j, dann ** betrachte aile Nachfolger von j ** Begin

End

Falls t + Db] = ST ART[K], dann

** in diesem Fall existiert kein Puffer

Fiir T := NT - 1 bis ST ART[k] DO:

Falls bl[T, k] =I- 0 und bl[T + 1, k] = 0, dann

bl[T + 1, k] := fehl * ql[k]

bl[T, k] := bl[T, k]- fehl * ql[k]

Falls b2[T, k] =I- 0 und b2[T + 1, k] = 0, dann

b2[T + 1, k] := fehl * q2[k]

b2[T, k] := b2[T, k]- fehl * q2[k]

END *** Ende von Schleife j ***

*** Lagerbestand in t wird zur Liefermenge in t + 1 hinzuaddiert *** l1[t + 1, j] := l1[t + 1, j] + ll[t] l2[t + 1, j] := l2[t + 1, j] + l2[t]

*** Berechnung der Uberstundenkosten in t *** Falls bkap[t] > KAP[t], dann UEK := UEK + (bkap[t]- KAP[t]) * KUEB

END *** Ende von Schleife t ***

*** Berechnung der Lagerhaltungskosten ***

260 Anhang B. Algorithmus zur Berechnung der Kosten aus Lieferkonsequenzen

Fiir t:= 1 bis T DO LK := LK + (l1[t] + l2[t]) * HKL

*** Berechnung der Gesamtkosten ***

GK:= EP+LK +TK +UEK

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AUS DER REIHE Gabler Edition Wissenschaft

"Produktion und Logistik" Herausgeber: Prof. Dr. Wolfgang Domschke, Prof. Dr. Andreas Drexl, Prof. Dr. Bernhard Fleischmann, Prof. Dr. Hans-Otto Gunther, Prof. Dr. Christoph Haehling von Lanzenauer, Prof. Dr. Karllnderfurth, Prof. Dr. Klaus Neumann, Prof. Dr. Christoph SchneeweiB, Prof. Dr. Hartmut Stadtler, Prof. Dr. Horst Tempelmeier, Prof. Dr. Gerhard Wascher

zu/etzt erschienen:

Dirk Biskup Ablaufplanung mit gemeinsamen Due-Dates Modelle, Liisungsverfahren und komplexitatstheoretische Klassifizierungen 2001. X, 189 S., 16 Abb., 4 Tab., Br. DM 89,00 ISBN 3-8244-7378-X

Gabriela Mayer Strategische Logistikplanung von Hub&Spoke-Systemen 2001. XX, 349 S., 51 Abb., 37Tab., Br. DM 118,00 ISBN 3-8244-7320-8

Norbert Trautmann Anlagenbelegungsplanung in der Prozessindustrie 2001. XVIII, 105 S., 26 Abb., 11 Tab., Br. DM 89,00 ISBN 3-8244-7335-6

Kirstin Zimmer Koordination im Supply Chain Management Ein hierarchischer Ansatz zur Steuerung der unternehmensubergreifenden Planung 2001. XXIV, 270 S., 57 Abb., 16 Tab., Br. DM 98,00 ISBN 3-8244-7396-8

Jurgen Zimmermann Ablauforientiertes Projektmanagement Modelle, Verfahren und Anwendungen 2001. XVI, 210 S., 52 Abb., 31 Tab., Br. DM 98,00 ISBN 3-8244-7365-8

www.duv.de Anderung vorbehalten. Stand: Mai 2001.

Deutscher Universitats-Verlag Abraham-Lincoln-Str. 46

65189 Wiesbaden

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