Anhang A. Kommutationszahlen

A.1. Einleitung

In dies em Anhang solI eine Einftihrung in die Technik der Kommutations­zahlen gegeben werden. Dieses aus dem 18. Jahrhundert stammende Hilfs­mittel hat sich in der Vergangenheit einer groBen Beliebtheit erfreut, und dies vor allem aus zwei Griinden:

Grund 1: Anhand von Kommutationszahlentabellen kannen die numeri­schen Werte von gewissen versicherungstechnischen GraBen einfach berech­net werden.

Grund 2: Erwartungswerte, wie zum Beispiel NEP, kannen mit einem deterministischen Ansatz hergeleitet werden, welcher mit den Kommuta­tionszahlen Hand in Hand geht.

Beide Griinde haben an Gewicht verloren, der erste, weil die numerische Berechnung auf einem Computer erfolgen kann, und der zweite, weil das wahrscheinlichkeitstheoretische Modell (welches das Versicherungsgeschehen vollstandiger erkliirt) von breiten Kreisen verstanden wird. Es darf also angenommen werden, daB die Bliitezeit der Kommutationszahlen der Ver­gangenheit angehart.

A.2. Das deterministische Modell

Bei dies em Ansatz stellt man sich eine Gruppe gleichaltriger Leben vor, wobei Ix (die sogenannte "Zahl der Lebenden") das Alter x erreichen. Demnach ist dx = Ix -Ix+ 1 die Zahl der zwischen Alter x und x + 1 Sterben­den.

Aus diesem Ansatz kannen Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte durch Prozentrechnungen abge1eitet werden. Zum Beispiel ist

(2.1)

der Bruchteil der im Alter x Lebenden, welche das Alter x + t erreichen, oder die einjlihrige Sterbewahrscheinlichkeit des x-jahrigen wird erhalten als

(2.2)

A.3. Leibrenten 115

In Kapitel 2 haben wir die gestutzte Lebenserwartung des x-jahrigen (einen Erwartungswert) betrachtet. Wenn wir in Formel (4.3) kI'x durch Ix+Jlx ersetzen, so erhalten wir

Ix + lx+ 1 + lx+ 2 + ... ex I (2.3)

x

Hier ist der Zahler die Anzahl ganzer Jahre, die von der Gruppe ab Alter x "verlebt" wird; dementsprechend ist ex als Durchschnitt zu interpretieren.

A.3. Leibrenten

Wir betrachten zuerst die am Anfang von Abschnitt 4.2 eingefUhrte vor­schiissige Leibrente mit konstanten Zahlungen von je 1, deren NEP wir mit ax bezeichnet haben. Wenn wir in Formel (2.5) kI'x durch Ix+Jlx ersetzen, so ergibt sich, daB

(3.1)

d.h., daB (3.2)

Dieses Resultat, auch Aquivalenzgleichung genannt, hat im deterministi­schen Modell eine einleuchtende Interpretation: Man stellt sich vor, daB jede der im Alter x lebenden Personen gegen eine einmalige Pramie von ax eine Rente vom oben beschriebenen Typ kauft; Gleichung (3.2) besagt dann, daB die Summe aller Pramien (links) gleich dem Barwert aller Leistungen (rechts) ist.

Wenn wir in Formel (3.1) Zahler und Nenner mit VX multiplizieren, so erhalten wir

(3.3)

Mit den Notationen

Dx=vx lx, Nx=Dx+ Dx+l +Dx+2 + ... (3.4)

gilt also die einfache Formel

(3.5)

welche bei einer "manuellen" Berechnung von ax niitzlich ist, falls die Kommutationszahlen Dx und Nx tabellarisch vorliegen; Dx heiBt iibrigens die "Diskontierte Zahl der Lebenden".

Auf ahnliche Weise erhalt man Formeln fUr die NEP von temporaren Renten,

(3.6)

116 A. Kommutationszahlen

von nachschiissigen Renten,

(3.7)

und von allgemeinen Renten mit jahrlicher Zahlung: Formel (4.2) des Kapi­tels 4 kann natiirlich umgeschrieben werden als

E(Y) rODX+rlDx+l+r2Dx+2+ .... Dx

1m Spezialfall rk=k+ 1 ergibt sich daraus die Formel

(J"") = Sx ax D'

x

wobei die Kommutationszahl Sx definiert ist als

Sx=Dx+ 2Dx+l +3Dx+2+ ...

=Nx+Nx+1 +NX+2+ ....

A.4. Kapitalversicherungen

Zusatzlich zu (3.4) und (3.10) ftihrt man hier die Kommutationszahlen

Cx=vx+1dx' Mx=Cx+CX+1 +Cx+z + ... ,

Rx= Cx+2 Cx + 1 +3 Cx+2 + .. .

=Mx+Mx+l +Mx+z+ .. .

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(4.1)

ein. Indem wir in Formel (2.3) des Kapitels 3 die Wahrscheinlichkeit kPxqx+k durch den Ausdruck dx+,,/Ix ersetzen, erhalten wir

vdx+vzdx+1 +v3dx+3+ ... Ax Ix

Cx+CX+l+Cx+Z+··· Mx

Auf analoge Weise erhalt man

(IA)x=Vdx+2vZdx+1I+3v3dx+3+ ... x

Dx Dx

(4.2)

(4.3)

Natiirlich konnen diese Formeln auch mit dem deterministischen Ansatz, d.h. mit der Aquivalenzgleichung, hergeleitet werden. Der Ausgangspunkt zur Bestimmung von Ax beispielsweise ist die Bedingung, daB

(4.4)

A.S. Nettojahrespramien und Deckungskapitel 117

Hier stellt man sich vor, daB Ix Personen gegen eine Einmalpdimie eine lebenslangliche Todesfallversicherung der Hohe 1 kaufen.

Fur tempo rare Kapitalversicherungen gelten Formeln wie etwa

Mx-Mx+n Mx-Mx+n+Dx+n AXiil

Dx Dx

Cx+2Cx+2+3Cx+2+ ... +nCx+n_!

Dx

Mx+Mx+l +Mx+2+ ... +Mx+n_l-nMx+n

Dx

welche keines Kommentares bedurfen.

(4.5)

Die in (4.1) definierten Kommutationszahlen konnen durch die in Ab­schnitt 3 eingefrihrten Kommutationszahlen ausgedruckt werden: Wegen dx

= Ix -lx+ 1 gilt

Durch Summation erhalt man dann die Formeln

Mx=vNx-(Nx-Dx)=Dx-dNx und

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Indem wir diese beiden Gleichungen durch Dx dividieren, erhalten wir altbekannte Identitaten,

Ax=l-dax'

(lA)x = ax -d(l a)x,

siehe die Formeln (2.8) und (5.2) des Kapitels 4.

A.5. Nettojahrespramien und Deckungskapital

(4.9) (4.10)

Wir betrachten die lebensIangliche Todesfallversicherung (versichertes Kapi­tall, zahlbar am Ende des Todesjahres), welche durch jii.hrliche Nettopra­mien von ~ finanziert wird. Aufgrund von (3.5) und (4.2) erhalten wir

p=Ax=Mx . x ax Nx

Naturlich frihrt uns der deterministische Ansatz, d.h. die Bedingung

(5.1)

~/x+v~lx+l +v2 ~/x+2+ ... =vdx+v2dx+1 +v3 dx+2+ ... , (5.2)

auf das gleiche Resultat.

118 A. Ko=utationszahlen

Das Deckungskapital am Ende des J ahres kist dann

Dieses Resultat kann auch aus dem deterministischen Ansatz

k Vx lx+k + p" lX+k + V p" lx+k+ 1 + v 2 p" 'x+k+ 2 + ... =VdX+k+V2dx+k+l +v3 d x +k+ 2 + ...

(5.3)

(5.4)

gewonnen werden (man stellt sich vor, daB jeder der zum Zeitpunkt k lebenden Personen der Betrag kv" zugeordnet ist; (5.4) ist dann die Bedin­gung, daB das totale Deckungskapital ::':usammen mit dem Barwert der zuklinftigen Pramien gleich dem Barwert der zuklinftigen Leistungen ist).

Dem interessierten Leser sollte es klar sein, wie diese Technik in allge­meineren Situationen angewendet werden kann !

Anhang B. Einfacher Zins

In der Praxis wird gelegentlich flir den Aufzinsfaktor eines Zeitintervalls der Lange h die Approximation

(1)

benlitzt. Man gelangt zu dieser Approximation, indem man die linke Seite nach Potenzen von i entwickelt und die resultierende Reihe nach dem linearen Glied abbricht; man beachte, daB die rechte Seite auch erhalten werden kann durch lineares Interpolieren zwischen h = 0 und h = 1. Auf ahnliche Weise erhalt man eine Approximation flir den Abzinsfaktor eines Intervalls der Lange h:

(2)

1m Zeitalter der Taschenrechner muten die Naherungen (1) und (2) eher belanglos an.

Manchmal wird ein Konto nach dem folgenden System geflihrt. Wird ein Betrag r zu einem unterjahrigen Zeitpunkt u (0 < u < 1) liberwiesen, beziehungsweise abgehoben, so ist sein Wert per Anfang Jahr (d.h. zum Zeitpunkt 0)

rvU~r(1-ud).

Entsprechend ist sein Wert per Ende Jahr (zum Zeitpunkt 1)

r(1 + i)1-u = r(1 + i) VU ~ r(1 + i)(1 -u d)

=r{l+(1-u)i}.

(3)

(4)

Bei dieser Technik wird also anhand von (1) vom Zeitpunkt u auf den Zeitpunkt 1 aufgezinst, beziehungsweise anhand von (2) vom Zeitpunkt u auf den Zeitpunkt 0 abgezinst. Dieses Vorgehen ist librigens exakt, wenn wir eine geeignet gewahlte variable Zinsintensitat t5(t) annehmen. Sie kann aus der Gleichheit der Aufzinsfaktoren bestimmt werden:

1 +(1-u)i=exp (l t5(t)dt). (5)

120 B. Einfacher Zins

Ableiten des Logarithmus ergibt

b(u) 1 +(1-u) i

d l-ud

(6)

fUr O<u<l. Die Zinsintensitat wachst also innerhalb des Jahres von b(O)=d auf b(l)=i.

Bei dieser Technik wurde angenommen, daB der Aufzinsfaktor des Inter­valles von u bis 1 eine lineare Funktion von u sei; man beachte die Analogie zur Annahme c des Abschnittes 2.6 betreffend die unterjahrige Sterblichkeit. Insbesondere ist auch die Ahnlichkeit von (6) mit Formel (6.10) des Kapitels 2 augenfallig.

Literatur

Dem Leser, der sich eingehender mit der Zinsrechnung (Kapitel I) befassen will, sei das Buch von Butcher-Nesbitt [3] empfohlen. Der Text von Bowers-Gerber-Hickman-Jones-Nesbitt [2], wohl die nattirliche Referenz flir Kapitel 2-10, enthiilt auch zahlreiche Illustrationen und Ubungsaufgaben. Die "klassische Losung" des Kapitels 11 ist in Batten's Fibel [1] dokumen­tiert und wird von Hoem [7] ins richtige Licht gertickt. Der Leser mag sich in diesem Zusammenhang auch anhand des Textes von Elandt-Johnson [6] orientieren.

Die Arbeit von Wolthuis-van Hoeck [14] enthiilt eine reichhaltige Literaturtibersicht. Die Bticher von Zwinggi [15], Saxer [12] und Jordan [9] gelten aIs Klassiker; das spiiter

erschienene Werk von Wolff [13] beeindruckt durch sein Ftille. Die Monographien von Isenbart-Mtinzner [8] und von Neill [10] sind recht traditionell, wobei die erstere dem Nichtmathematiker empfohlen werden kann. Demgegentiber ist die dreiteilige Reihe von Rei­chel [11] unkonventionell und spricht den Mathematiker an. Die Bticher von De Vylder [4] und De Vylder-Jaumain [5] sind von bestechender Eleganz.

1. Batten, R.W.: Mortality Table Construction. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall 1978. 2. Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.e., Jones, D.A., Nesbitt, C.J.: Actuarial Mathema­

tics. Itasca, IL: Society of Actuaries 1987. (zur Zeit als "study notes" erhiilt1ich). 3. Butcher, M.V., Nesbitt, C.J.: Mathematics of Compound Interest. Ann Arbor, MI: Ulrich's

Books 1971. 4. De Vylder, Fl.: Theorie generale des operations d'assurances individuelles de capitalisation.

Bruxelles: Office des Assureurs de Belgique 1973. 5. De Vylder, Fl., Jaumain, e.: Expose moderne de la theorie mathematique des operations

viageres. Bruxelles: Office des Assureurs de Belgique 1976. 6. Elandt-Johnson, R.C., Johnson, N.L.: Survival models and data analysis. New York­

London-Sidney: John Wiley & Sons 1980. 7. Hoem, J.M.: A Flaw in Actuarial Exposed-to-Risk Theory. Scandinavian Actuarial Journal

1984 (3), 187-194 (1984). 8. Isenbart, F., Mtinzner, H.: Lebensversicherungsmathematik flir Praxis und Studium. Wies­

baden: Gabler 1977. 9. Jordan, C.W.: Life Contingencies. 2. Auflage. Chicago IL: Society of Actuaries 1967. (auch

in Blindenschrift erhiiltlich). 10. Neill, A.: Life Contingencies. London: William Heinemann 1977. 11. Reichel, G.: Mathematische Grundlagen der Lebensversicherung. Heft 3, 5 und 9 der

Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik der DGVM. Karlsruhe: Verlag Versi­cherungswirtschaft E.V. 1975, 1976, 1978.

12. Saxer, W.: Versicherungsmathematik. 1. und 2. Teil. Berlin-Gottingen-Heide1berg: Springer 1955 und 1958.

13. Wolff, K.-H.: Versicherungsmathematik. Wien-New York: Springer 1970. 14. Wolthuis, H., van Hoek, I.: Stochastic Models for Life Contingencies. Technical Report.

Amsterdam: Faculty of Actuarial Science & Econometrics 1985. 15. Zwinggi, E.: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Basel-Stuttgart: Birkhiiuser 1958.

Index

AbschluBkosten 100 Abzinsungsfaktor 2 Aquivalenz 57 Aquivalenzgleichung 115 Aggregattafel 22 Allgemeine Leistung 28, 39, 54, 59, 63, 69,

75 Annahme a 22, 29, 38, 40, 63 - b 22,29, 106, 111 - c 23, 105, 120 Anzah} der Jahresrisiken 105 - Todesfalle 105, 111 Asymmetrische Versicherungen 88 Aufgeschobene Leistung 26, 53 Aufzinsungsfaktor 2, 3 Ausreichend 101, 102 Ausscheideintensitat 74, 111 Ausscheideursachen 73, 111 Ausscheidewahrscheinlichkeit 73, 112

Balducci 23 Barwert 4, 35 Bayes'sches Verfahren 110,112 Bernoulli 25 Betaverteilung 112 Brnttopramie 102

Dauer der Priimienzahlung 48 Deckungskapital 57,76,117 De Moivre 18, 49, 58 Deterministisches Modell 114 Differentialgleichung 4, 33, 43, 70, 71, 72, 78 Differenzenoperator 86 Diskontierte Zahl der Lebenden 115 Diskontierungsfaktor 2 Dispersion 92

Effektive Zinsrate 1, 5 Einfacher Zins 119 Einschalt-Ausschalt-Formel 83 Einseitige Uberlebensrente 88 endowment 25, 26

Erlebensfallversichernng 25, 52, 68, 89 Erzeugende Funktion 87, 94, 96 Esscher Methode 92 Exponentiell steigende Leistung 9,29,41 exposure 105, 111 Exzedentenriickversichernng 97

Falten 56, 92, 97 Fixkosten 101 flexible life 66 Frequenz der Schaden 95

Gammaverteilung 108, 110, 112 Gebrochener Zeitpunkt 63 Gemischte Versichernng 26,27, 53, 57, 66,

81, 101 Generationensterbetafel 113 Gesamtschaden 91 - im Selbstbehalt 97 Gestutzte Lebensdauer 19 Gewichtetes Mittel 46, 63 Gewinnbeteiligung 68 Gompertz 19, 81, 89

Hattendorff 64, 77

Indikator 36, 86 Inkassokosten 100 Invaliditat 73 Invarianzprinzip 107 Inventar 102, 103 Jensen 43, 44 joint life status 80

Kollektives Modell 95 Kommutationszahlen 114 Konfidenzintervall 108, 109 Kontinuierliche Zahlungen 3, 40, 69 Konversionsperiode 1 Kredibilitatstheorie 111

Laplace-Transformierte 44 last survivor status 82

124 Index

Lebenserwartung 17, 18, 20, 115 Lebensliingliche Todesfallversicherung 24,

51, 61, 117 Leibrente 35 Leistung 48, 57 Lexisdiagra= 104 life insurance 24 Likelihoodfunktion 107, 111

Makeham 19, 82 Maximum Likelihood 107,111 Modus der Priimienzahlung 48 Momentenmethode 107

N achschiissig 6 Nesbitt 84, 86 Nettoeinmalpriimie (NEP) 24, 35, 114 Nettopriimien 48 Nominelle Zinsrate 2, 5 normal power approximation 92 Normalverteilung 56, 91 Nutzenfunktion 50

Obligation 15

Panjer 96 Pensionskasse 94 Periodensterbetafel 113 Perzentil 110 Poissonverteilung 87, 94, 107 Portefeuille 91 Priimien 48, 57 Priimiendifferenzenformel 62 Priimienfrei 66 Priimienintensitiit 69, 78 Priimienriickgewiihr 55 Priimienzahlungsdauer 48, 101 Prospektiv 12

Rechnungsgrundlagen 1, 51 Rekursion 32, 42, 59, 96, 99 Renditezinssatz 13 Restschuld 12 Retrospektiv 12 reversionary annuity 88 Risikoaversion 50 Risikokomponente 70, 78 Risikopriimie 60, 67, 77 Risikosu=e 60 Rohe Sterbewahrscheinlichkeiten 109 Riickversicherung 51, 91, 97 Runden 92

Schadenhohenverteilung 95 SchluBtafel 21

Schuette 84, 86 Schuld 12, 52 Selbstbehalt 97, 98 Selektionsperiode 21 Selektionssterbetafel 21 Shift-Operator 86 Sicherheitszuschlag 49, 51 Sparkomponente 70, 78 Sparkonto 63, 67 Sparpriimie 60, 67, 76 standard decreasing 11, 30, 42 - increasing 11, 30, 41 Standardtyp 7, 10, 30,41 Sterbetafel 21, 109, 113 Sterbewahrscheinlichkeit 16, 104 Sterblichkeitsgewinn 67, 70, 71 Sterblichkeitsintensitiit 17, 81, 107 Sterblichkeitsquotient 109 Stochastischer Zins 56 Stop-loss 98 Symmetrische Summe 83

Technischer Gewinn 67, 78 - ZinsfuB 24, 56, 68, 78 Temporiire Todesfallversicherung 25, 27, 49,

52, 58, 66, 89 term insurance 25 Thielesche Differentialgleichung 70, 78 Todesfallversicherung 24, 51 Tontinen 71 Totaler Verlust 48, 64, 77, 78

Uberlebensrisiko 61 Uberlebenswahrscheinlichkeit 16 Umwandlung einer Versicherung 66 Ungleichung 14,43 universal life 66 un tetjiihriger Beginn 46 unterjiihrige Priimien 53 - Sterblichkeit 22, 29 - Zahlungen 6, 37

Verbindungsrenten 81 Verbleibzeit 73, 74 Verlust 64, 77 Versicherung 48 Vertauschte Briefe 87 Verursacherprinzip 71 Verwaltungskosten 100, 102 Vorschiissig 6, 35

Waisenrente 88 Waring 87 Weibull 19

whole life 24 Witwenrente 88

Zahl der Lebenden 114 Zeitrenten 9, 35 Zillmer 103 Zinsgewinn 67, 70, 71

Zinsintensitat 3, 119 Zinsrate 1 Zins zum voraus 4

Index 125

Zukiinftige Lebensdauer 16 Zusammengesetzte Poissonverteilung 94 Zustand der verbundenen Leben 80 - des letzten Lebens 82