Anlagen: Grundlagen zur Versuchsvorbereitung – LEV (Stand 2013)

Übersicht relevanter Fahrwiderstände

Auf jedes Fahrzeug wirkt eine Kraft, welche entgegengesetzt der Fahrtrichtung, die Fortbewegung

hemmt. Sie wird durch sogenannte Fahrwiderstände verursacht, welche überwunden werden

müssen, um ein Fahrzeug auf eine bestimmte Geschwindigkeit zu beschleunigen und diese auch

anschließend konstant halten zu können. Im Allgemeinen wird zwischen den Fahrwiderständen

unterschieden, die während des Geradeauslaufs wirken und jene, die zusätzlich in Kurvenfahrten

auftreten. Bei Zweirädern ist es jedoch üblich, die zusätzlichen Widerstände bei der Kurvenfahrt zu

vernachlässigen. Sie fallen im Vergleich zu den auftretenden Fahrwiderständen im Geradeauslauf nur

geringfügig ins Gewicht. Somit liegt der Fokus auf den Fahrwiderständen der Längsbewegung des

Zweirads (Abbildung 1).

Abbildung 1: Einteilung der Fahrwiderstände

Es wird im Allgemeinen zwischen den stationären und den instationären Fahrwiderständen

unterschieden. Die Stationären treten bei konstanter Geschwindigkeit auf und können noch weiter

konkretisiert werden. Wie in Abbildung 1 zu sehen, bestehen sie aus dem Roll-, Luft- und

Steigungswiderstand. Ebenso ist die Einteilung der instationären Fahrwiderstände in der Abbildung 1

dargestellt. Diese treten während der Beschleunigung des Fahrzeuges auf und können in

translatorische und rotatorische Widerstände aufgeteilt werden. Alle Fahrwiderstände ergeben in

ihrer Summe den gesamten Fahrwiderstand des Fahrzeugs, den der Antrieb überwinden muss, um

den Vortrieb zu gewährleisten.

Rollwiderstand

Bei geringen Geschwindigkeiten überwiegt der Rollwiderstand, auch Reibungswiderstand genannt,

gegenüber den anderen stationären Fahrwiderständen. Dieser setzt sich wiederum aus mehreren

Teilwiderständen zusammen. Der überwiegende Anteil entsteht, wenn sich der Luftreifen in seiner

Aufstandsfläche unter dem Fahrzeuggewicht verformt. Neben diesen Walkwiderständen entsteht

zusätzlich in den Lagern und allen bewegten Teilen des Antriebstranges Reibung. Durch die Rotation

der Räder, etc. entstehen zusätzliche Ventilationsverluste, beispielsweise hervorgerufen durch

Luftverwirbelungen bei rotierenden Speichenrädern. Zusammengefasst wird die Kraft, verursacht

durch den Rollwiderstand, wie folgt berechnet:

(1)

Die Gesamtmasse setzt sich aus der Fahrzeugmasse und dem Gewicht des Fahrers zusammen.

Multipliziert mit der Erdbeschleunigung , erhält man die Gewichtskraft des kompletten Fahrzeugs.

Der Rollwiderstandsbeiwert enthält zusammengefasst alle auftretenden Rollwiderstände sowie

alle anderen Einflussfaktoren der Reibung. Auf befestigter ebener Fahrbahn liegt er zwischen 0,015 …

0,02 und kann während der Fahrt als konstant angenommen werden. Für eine genauere Betrachtung

müsste er in aufwendigen Versuchen ermittelt und berechnet werden. Eine einfache und hinreichend

genaue Bestimmung des Rollwiderstandsbeiwerts kann mithilfe von Schleppversuchen in der Ebene

realisiert werden. Dazu wird bei geringer konstanter Geschwindigkeit das Fahrzeug inklusive dem

Fahrer gezogen und die dafür notwendige Kraft experimentell ermittelt. Durch Umstellen der

Gleichung (1) nach Gleichung (2) ist es möglich, auf den Rollwiderstandsbeiwert zu schließen.

Vorausgesetzt, die Gesamtmasse des Fahrzeugs ist bekannt.

(2)

Luftwiderstand

Erst bei höheren Geschwindigkeiten ist der größte Anteil des Fahrwiderstands der zu überwindende

Luftwiderstand . Aus Gleichung (3) ist ersichtlich, dass mit zunehmender Geschwindigkeit der

Luftwiderstand quadratisch ansteigt.

(3)

Neben der Geschwindigkeit spielen die Luftdichte ρ sowie die Projektionsfläche und der

Luftwiderstandsbeiwert eine Rolle. Aufgrund der quadratischen Abhängigkeit des Luftwiderstands

von der Geschwindigkeit können bereits geringe Toleranzen einen großen Fehler hervorrufen.

Deshalb ist eine möglichst exakte Bestimmung der Geschwindigkeit notwendig. Ebenso muss evtl.

auftretender Gegen- bzw. Rückenwind mitberücksichtigt werden.

Steigungswiderstand

Um eine Höhendifferenz im Streckenprofil, also eine Steigung, überwinden zu können, muss jedes

Fahrzeug einen zusätzlichen Fahrwiderstand kompensieren. Der Steigungswiderstand, verursacht

durch die Hangabtriebskraft, ist nicht von der Geschwindigkeit abhängig, sondern wird allein von der

Fahrzeuggesamtmasse und dem Steigungswinkel beeinflusst.

In der Gleichung (4) ist der mathematische Zusammenhang zur Berechnung des

Steigungswiderstands dargestellt.

(4)

Die Steigung wird im Allgemeinen in Prozent angegeben und berechnet sich aus der vertikalen

Fahrbahnkomponente dividiert durch die horizontale Fahrbahnkomponente. Somit entspricht die

Steigung dem Tangens des Steigungswinkels . Abbildung 2 soll die Winkelbeziehungen und den

Sachverhalt veranschaulichen.

Abbildung 2: Winkelbeziehungen des Steigungswiderstands

Die zulässige Steigung auf deutschen Straßen liegt bei maximal 10 %. Als Sonderfall gilt für

Alpenstraßen eine maximale Steigung von 30 %. Selbst diese Steigung entspricht nur einem

Steigungswinkel von 17°. Aufgrund dieser geringen Winkelgrößen wird folgende Näherung für die

Berechnung der Steigung vereinbart:

(5)

Mit dieser Vereinfachung lässt sich der Steigungswiderstand mit folgender Gleichung (6)

berechnen.

(6)

Beschleunigungswiderstände

Zum beschleunigen eines Fahrzeugs müssen Kräfte überwunden werden. Diese Kräfte entstehen,

weil die Massenträgheiten des Fahrzeugs der Geschwindigkeitsänderung entgegenwirken. Diese

instationären Fahrwiderstände lassen sich in translatorische und rotatorische Fahrwiderstände

aufteilen. In Gleichung (7) ist der Zusammenhang zur Berechnung des translatorischen

Fahrwiderstands dargestellt.

(7)

Der translatorische Fahrwiderstand beschreibt die Widerstandskraft, welche überwunden werden

muss, um ein Fahrzeug mit einer Gesamtmasse mit einer Beschleunigung zu beschleunigen.

Die einzelnen rotatorischen Fahrwiderstände entstehen während dem Beschleunigen aller

rotierenden Massen im Fahrzeug. Zu diesen, sich drehenden Massen, gehören neben den Rädern des

Fahrzeugs auch alle Teile des Antriebstrangs. Das dazu notwendige Drehmoment müsste für jedes

Teil einzeln berechnet werden aufgrund der unterschiedlichen Massenträgheitsmomente und

Winkelbeschleunigungen. Es ist jedoch möglich, Massenträgheitsmomente, in Hinsicht auf eine

Bezugsachse, unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Winkelbeschleunigungen,

zusammenzufassen. Das dadurch entstehende Ersatzträgheitsmoment ergibt multipliziert mit

der Ersatzwinkelbeschleunigung das Ersatzdrehmoment auf der neu definierten

Bezugsachse.

(8)

Praktischerweise sollte die neu definierte Bezugsachse auf der Hinterradachse des Zweirads liegen.

Um anschließend von dem Drehmoment auf eine Kraft schließen zu können, wird es durch den

dynamischen Hinterradradius geteilt. Somit erhält man, wie in Gleichung (9) zu sehen, den

rotatorischen Beschleunigungs-widerstand des Antriebstrangs.

(9)

Der gesamte rotatorische Beschleunigungswiderstand setzt sich aus der Summe der einzelnen

Beschleunigungswiderstände der Räder und sowie des Antriebstrangs zusammen.

(10)

Durch einsetzen aller Größen in Gleichung (10), ergibt sich für die Berechnung des rotatorischen

Beschleunigungswiderstands Gleichung (11).

(11)

Unter Berücksichtigung der dynamischen Radien der einzelnen Widerstände kann das gleiche

Bezugssystem, die Fahrbahnoberfläche, an dem die Beschleunigungswiderstände wirken

angenommen werden. Mit der einfachen allgemeinen Beziehung zwischen Winkelbeschleunigung

und translatorischer Beschleunigung aus Gleichung (12) kann Gleichung (11) zu Gleichung (13)

vereinfacht werden.

(12)

(13)

Diese Vereinfachung erlaubt es den translatorischen Beschleunigungs-widerstand mit dem

Rotatorischen zu addieren, um den gesamten Beschleunigungswiderstand zu erhalten. Die

Gleichung (14) zeigt die aufgestellte Formel.

(14)

Durch Einsetzen der einzelnen Formeln kann der Beschleunigungswiderstand wie in Gleichung (15)

zu sehen berechnet werden.

(15)

Auswirkung der Fahrwiderstände

Nachdem alle relevanten Fahrwiderstände bekannt sind, kann die benötige Antriebsleistung und die

daraus schließende Motorleistung definiert werden. Bei geradliniger Fahrt mit konstanter

Geschwindigkeit muss der Motor am Hinterrad eine Kraft aufbringen, welche der Summe aller

Fahrwiderstände entspricht.

(16)

Der Fahrwiderstand aus Gleichung (16) ist aufgrund des Luftwiderstands

geschwindigkeitsabhängig und kann, wie in Abbildung 3 zusehen, grafisch dargestellt werden. Bei

geringen Geschwindigkeiten überwiegt der über den ganzen Bereich konstante Rollwiderstand .

Erst mit zunehmender Geschwindigkeit dominiert, aufgrund des quadratischen Einflusses, der

Luftwiderstand. Der geschwindigkeitsunabhängige Steigungswiderstand wird als konstante Größe zu

den wirkenden Fahrwiderständen aufaddiert.

Abbildung 3: Beispiel-Fahrwiderstandsdiagramm

Mithilfe des dynamischen Hinterradradius kann aus dem am Antriebsrad verfügbaren

Drehmoment die Zugkraft den Fahrzeugs in Gleichung (17) berechnet werden.

(17)

Die Zugkraft eines Fahrzeugs wird in erster Linie zur Überwindung der Fahrwiderstände benötigt.

Der Zugkraftüberschuss kann für Bergfahrten bzw. zur Beschleunigung des Fahrzeugs verwendet

werden. Ein typischer Elektroantrieb leistet zu Beginn sein maximales Drehmoment, welches mit

steigender Drehzahl stetig absinkt. Die daraus folgende Zugkraftkennlinie für ein elektrisches Zweirad

ist zusammen mit dem Fahrwiderstand in Abbildung 4 exemplarisch dargestellt.

Abbildung 4: Zugkraftdiagramm mit eingetragenen Fahrwiderständen

Mit zunehmender Geschwindigkeit nähern sich Zugkraftkennlinie und Fahrwiderstand einander an

(Abbildung 4). Im Schnittpunkt der Kurven hat das Fahrzeug seine Höchstgeschwindigkeit erreicht. Es

stehen keine Drehmomentreserven mehr zur Verfügung, um es weiter zu beschleunigen.

In der Regel weicht das aufgebrachte Motordrehmoment von dem am Antriebsrad abrufbaren

Drehmoment ab. Im Falle einer verbauten Getriebestufe zwischen Motor und Antriebsrad

findet eine, durch das Übersetzungsverhältnisses bestimmte, Drehmomentwandlung statt.

Radnabenmotoren stellen mit einem Übersetzungsverhältnis von 1:1 eine Ausnahme dar. Die in

jedem Fall auftretenden mechanischen Antriebsverluste setzen sich aus allen zwischen Motorwelle

und Antriebsrad auftretenden Reibungswiderständen zusammen. Aufgrund der fehlenden

Getriebestufe entstehen bei Radnabenmotoren lediglich Lagerreibungsverluste. Dadurch haben sie

erwartungsgemäß die geringstmöglichen Antriebsverluste. Das Motordrehmoment lässt sich,

unter Berücksichtigung des Übersetzungsverhältnisses und Antriebwirkungsgrads , mithilf der

Gleichung (18) berechnen.

(18)

Die Motorleistung ist von dem Motordrehmoment und der dazugehörigen

Motordrehzahl abhängig. Sie lässt sich durch die einfache Beziehung aus Gleichung (19)

berechnen.

(19)

Analog verhält sich die Radleistung in Gleichung (20), welche sich direkt mit der

Raddrehzahl berechnen lässt oder über das Übersetzungsverhältnis mithilfe der

Motordrehzahl .

(20)

Vergleich zwischen E-Antrieb und Verbrennungskraftmaschine

Eine Verbrennungskraftmaschine (VKM) weist prinzipbedingt ein Grundlegen anderes Verhalten auf

als ein Elektromotor. Sie benötigen eine Mindestdrehzahl, um genügend Drehmoment zur

Eigenerhaltung aufbringen zu können (Standgas). Ebenso baut sich das abrufbare Drehmoment erst

mit steigender Drehzahl auf. Aus diesen Gründen benötigen Fahrzeuge mit Verbrennungsmotor eine

Kupplung und eine mehrgängige Getriebeübersetzung. Ein exemplarisches Zugkraftdiagramm für

sechs Getriebestufen ist auf der rechten Seite in Abbildung 5 zusammen mit den wirkenden

Fahrwiderständen dargestellt.

Abbildung 5: Zugkraftdiagramm E-Fahrzeug (links) und VKM

Für einen Beschleunigungsvorgang über alle Getriebestufen beschreibt das Zugkraftdiagramm eines

Fahrzeugs mit VKM im Idealfall eine fallende progressive Kurve. Auf der linken Seite in Abbildung 5 ist

zum direkten Vergleich das Zugkraftdiagramm eines elektrisch betriebenen Fahrzeugs dargestellt.

Wie zu erkennen ist, beschreibt der Verlauf des E-Antriebs das ideale Verhalten einer Antriebseinheit

mit VKM. Aus diesem Grund sind Elektromotoren bestens für den Einsatz als Fahrzeugantriebe

geeignet. Bei richtiger Dimensionierung, fallen zusätzlich Verschleißteile wie Getriebe und Kupplung

zur Kraftübertragung weg.

Die spezifische Zugkraft

Um das Beschleunigungsvermögen der Fahrzeuge vergleichen zu können reicht es nicht aus die

Leistungs- bzw. Drehmomentverläufe übereinander zu legen. Hierfür muss sich der spezifischen

Zugkraft bedient werden, welche die absolute Zugkraft des Antriebs auf die Fahrzeugmasse bezieht.

Somit ergibt sich ein Prozentwert der das Beschleunigungsvermögen des gesamten Fahrzeugs incl.

Fahrer bescheibt und es ermöglicht Fahrzeuge untereinander zu vergleichen. Aufgrund der einfachen

Normierung entspricht der grafische Verlauf den der absoluten Zugkraft. In der Abbildung 6 ist die

spezifische Zugkraft exemplarisch dargestellt.

Abbildung 6: spezifische Zugkraft

Um eine Vorstellung der Größenordnung zu bekommen soll folgendes Beispiel dienen:

Ein Fahrzeug mit einer spez. Zugkraft von 100 % beschleunigt mit exakt 1 g, vorausgesetzt die Reifen

besitzen soviel Traktion. Der Fahrer wird also mit der einfachen Erdbeschleunigung von 9,81 m/s²

beschleunigt.

Rollenleistungsprüfstand: Funktion und Messmethodik

Ein Rollenleistungsprüfstand ist eine stationäre Prüfvorrichtung für motorbetriebene Fahrzeuge. In

erster Linie dient er zur Erfassung der Fahrleistungen eines zwei-, drei- oder vierrädrigen

Kraftfahrzeugs. Der Fokus liegt jedoch auf der Prüfung von motorisierten Zweirädern mit

Heckantrieb. Diese Fahrzeugkategorie wird standardisiert auf einem Prüfstand mit nur einer Rolle

getestet. Sie ist über eine Welle im Unterbau drehend gelagert, wie in Abbildung 7 zu sehen ist.

Darauf wird das Antriebsrad des Prüffahrzeugs gesetzt, um die Rolle antreiben zu können. Zur

Stabilisierung dient eine spezielle Halterung, in der das Vorderrad fixiert wird.

Abbildung 7: Rollenleistungsprüfstand

Dieser Prüfstandstyp arbeitet nach dem Trägheitsprinzip zur Messung der Fahrleistungen. Dabei

wirkt die Massenträgheit der Rolle in Form eines Bremsmoments dem beschleunigenden Fahrzeug

entgegen. Der dadurch generierte künstliche Fahrwiderstand muss vom Antrieb überwunden

werden, um eine Geschwindigkeitszunahme ausüben zu können.

Die Berechnung der Fahrleistungen des Zweirads kann indirekt über die Dynamik der Rolle erfolgen.

Für eine Drehzahländerung der Rolle muss ihre Massenträgheit durch ein Drehmoment

überwunden werden. Vereinfacht lässt sich die Trägheit eines Vollzylinders wie in Gleichung (1)

berechnen.

(1)

Aufgrund der statischen Masse und des festen Radius eines Metallzylinders ist dessen

Massenträgheit als konstant anzunehmen. Dieser Sachverhalt kann auch auf die Massenträgheit

der Prüfstandsrolle übertragen werden. Somit ist laut Gleichung (2) die Winkelbeschleunigung die

einzige Variable zur Bestimmung des Drehmoments .

(2)

Als Analogie ist der translatorische Beschleunigungswiderstand zu nennen. Die

Winkelbeschleunigung in Gleichung (3) steht für eine Winkelgeschwindigkeitsänderung

innerhalb einer bestimmten Zeit .

(3)

Zusammengefasst bedeutet dies für die Fahrleistung, umso schneller die Rolle beschleunigt wird,

desto größer ist das Drehmoment, welches der Antrieb des Fahrzeugs aufbringen muss.

Die Leistung wird wie in Gleichung (4) durch Multiplikation von Drehmoment und momentaner

Winkelgeschwindigkeit berechnet.

(4)

Die daraus bestimmbaren Fahrleistungen beziehen sich auf die Radleistung des Fahrzeugs. Der

entstehende Schlupf zwischen Rad und Rolle wird im Allgemeinen vernachlässigt, aufgrund der

geringen Auswirkung in Relation zu dem damit verbundenen hohen messtechnischen Aufwand.

Zur Realisierung einer Leistungsmessung mit diesem Systemaufbau wird lediglich ein Drehzahlsensor

benötigt. Aus der gemessenen Rollendrehzahl können softwareseitig, mithilfe der Zeitmessung, das

Drehmoment und die Leistung eines Fahrzeugs, wie beschrieben, bestimmt werden.

Die Leistungs-/Drehmomentkennlinie

Wie in der Abbildung 8 zu sehen ist, wird im Allgemeinen das Drehmoment zusammen mit der

Leistung in einem Graphen abgebildet. Die horizontale Achse besteht wahlweise aus Motor-,

Rollendrehzahl oder Geschwindigkeit. Die Kennlinien geben Auskunft über das maximal mögliche

Drehmoment und der maximalen Leistung in Abhängigkeit der Drehzahl. Neben den Maximalwerten

geben die Messungen auch Aufschluss über die Leistungsentfaltung innerhalb des gesamten

Drehzahlbandes des Antriebstrangs. Somit können subjektive Eindrücke messtechnisch erfasst und

ausgewertet werden.

Abbildung 8: repräsentative Drehzahl-/Drehmomentkennlinie eines E-Rollers