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Hochschule Merseburg (FH) Fachbereich Ingenieur- und Naturwissenschaften

Modularer Kurs

PHYSIK I

Praktikumsanleitung

Fehlerrechnung Thermodynamik

Mechanik

Hochschule Merseburg Fachbereich Ingenieur- und Naturwissenschaften Fachgruppe Physik Prof. Dr. rer. nat. habil. Albrecht Rost 2014

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften

Empfohlene Literatur

L

Physikalisches Grundpraktikum

Dieter Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, 12. Aufl. B. G. Teubner Verlag Stuttgart-Leipzig-Wiesbaden, 2001 ISBN 3-519-10206-4 J. Becker, H.-J. Jodl: Physikalisches Praktikum für Naturwissenschaftler und Ingeni-

eure VDI-Verlag GmbH, Düsseldorf, 1991 ISBN 3-18-400939-4 E. Hering, R. Martin, M. Stohrer: Physik für Ingenieure, 7. Aufl. Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1999 ISBN 3-540-66135-2 A. Rost: Einführungen und Anleitungen zum Physikalischen Praktikum http://www.inw.hs-merseburg.de/~viuser/Rost-index-Dateien/Page382.html

3


Praktikumsordnung

PO


1. Das Praktikum beginnt pünktlich zu der im Stundenplan festgelegten Zeit. 2. Im Rahmen der Einführung zum Praktikum erfolgt eine Arbeitsschutzbelehrung. Diese ist als Teil

der Praktikumsordnung zu beachten und einzuhalten. Jeder Praktikant bestätigt durch Unterschrift seine Teilnahme an dieser Belehrung.

3. Die Praktikanten arbeiten in der Regel in Zweiergruppen. 4. Der Zeitplan und alle durchzuführenden Versuche werden im Praktikumsplan bekannt gegeben. 5. Der Praktikant ist verpflichtet, sich auf die Versuche gründlich vorzubereiten. Dazu erhält er recht-

zeitig die Versuchsanleitungen mit Literaturhinweisen. Diese sind genau zu studieren. Hinweise zur Versuchsdurchführung und zur Bedienung der Geräte sind unbedingt zu beachten. Die Vorbe-reitung hat schriftlich zu erfolgen und wird zu Beginn des Versuches in einem Antestat kontrolliert.

6. Bei den Versuchen liegende Unterlagen gehören zur Ausstattung des Arbeitsplatzes; sie dürfen nicht entfernt werden. Ebenso sind alle einem Versuch zugeordneten Geräte, Zubehörteile und Leitungen am Versuchsplatz zu belassen.

7. Mängel an Geräten und Zubehör sind umgehend dem Betreuer zu melden. 8. Die Geräte stellen einen erheblichen Wert dar. Gehen Sie damit sorgsam um! Achten Sie unbe-

dingt auf die richtige Wahl von Betriebsart und Messbereich! 9. Erforderliche elektrische Schaltungen sind übersichtlich aufzubauen und müssen vor Inbetrieb-

nahme vom Betreuer abgenommen werden. 10. Während des Versuches ist ein ordnungsgemäßes Messprotokoll zu führen, in dem alle Messer-

gebnisse, Hilfsdaten, Berechnungen und notwendigen Hinweise einzutragen sind. 11. Nach Beendigung des Versuches wird der Arbeitsplatz aufgeräumt. Hinterlassen Sie ihn so, wie

Sie ihn selbst vorfinden möchten! 12. Nach Abschluss der Messungen ist eine vorläufige Auswertung vorzunehmen. Das Protokoll mit

Messwerten und vorläufigen Ergebnissen ist dem Betreuer vorzulegen und wird von diesem ge-gengezeichnet.

13. Das vollständige Protokoll (s. Pkt.14) mit allen Auswertungen muss am nächsten Praktikumstag vorgelegt und vom Betreuer abgezeichnet sein. Versuchsdurchführung und Protokoll werden be-wertet. Ein Versuch ist ungültig, wenn kein ordnungsgemäßes Protokoll vorgelegt wird.

14. Das Protokoll ist nach folgendem Schema anzufertigen: Versuchsbezeichnung und Datum, Name des Protokollführer und der Arbeitsgruppe, Versuchsvorbereitung einschließlich Schaltungen und Messprinzip, soweit nicht in der Versu-

chanleitung enthalten, Messwerte, Auswertung: vollständige Berechnungen und Ergebnisse / grafische Darstellungen, Diskussion der Ergebnisse / Fehlerbetrachtung.

15. Das Praktikum endet mit einem Abtestat. Das Praktikum gilt als erfolgreich abgeschlossen (Schein!), wenn die erforderliche Anzahl von Versuchen durchführt worden sind und das Abtestat erfolgreich abgelegt worden ist.

16. Praktikanten, die durch Krankheit oder ähnliche Gründe einen oder mehrere Praktikumstage ver-säumen, haben sich mit dem Betreuer und dem verantwortlichen Fachlehrer in geeigneter Weise zu verständigen.

4


Laborordnung

LO

Physikalisches Grundpraktikum 1. Allgemeines Verhalten Die Praktikanten haben sich in den Praktikumsräumen so zu verhalten, dass Personen nicht gefährdet sowie Einrichtungen, Geräte und Versuchsaufbauten nicht beschädigt werden! Die von den betreuenden Assistenten, vom Praktikumspersonal sowie die in den Versuchs-anleitungen gegebenen Hinweise zur Handhabung der Geräte und Versuchsanordnungen sind unbedingt zu beachten. Auftretende Störungen und Unregelmäßigkeiten bei der Durchführung der Versuche, Be-schädigungen und Funktionsstörungen an Geräten und Einrichtungen sowie Unfälle müssen dem zuständigen Dozenten gemeldet werden. Es ist nicht zulässig, Geräte selbst zu reparie-ren! Für fahrlässig verursachte Schäden an Geräten und Arbeitsmaterialien können die Prakti-kanten zur Verantwortung gezogen werden. Dem Praktikanten steht jeweils nur die an seinem Arbeitsplatz befindliche Ausrüstung zur Verfügung. Es ist nicht gestattet, Geräte von fremden Arbeitsplätzen zu benutzen. Nach Beendigung des Versuches ist der Arbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu verlassen. Haben Sie einen PC benutzt, so müssen Sie Ihre erstellten Dateien löschen. Das Essen, Trinken und Rauchen ist in den Praktikumsräumen nicht erlaubt. Die Benutzung von Handys ist in den Praktikumsräumen untersagt! Das Praktikum beginnt pünktlich zu der im Stundenplan angegebenen Zeit. Später als 15 Minuten nach Praktikumsbeginn können keine Versuche mehr begonnen werden. Für einen erfolgreichen Abschluss müssen Sie alle Praktikumstermine wahrnehmen. In sehr dringenden Fällen sowie bei Krankheit können mit dem Praktikumspersonal Ersatztermine vereinbart werden. 2. Verhalten beim Arbeiten mit elektrischen Schaltungen Der Auf- und Abbau elektrischer Schaltungen hat stets im spannungslosen Zustand zu erfol-gen (Stromversorgungsgeräte aus, Batterien und Steckernetzteile nicht angeschlossen). Die Schaltungen sind übersichtlich aufzubauen. Bei elektrischen Messgeräten ist auf die richtige Polung, auf die Einstellung des richtigen Messbereiches und die Verwendung der richtigen Messeingänge zu achten. (Überlastungs-gefahr!) Elektrische Schaltungen müssen vor der Inbetriebnahme vom zuständigen Dozenten über-prüft werden! Spannungsführende Teile dürfen nicht berührt werden. Lebensgefährliche Spannungen (> 42 V) sind in jedem Fall durch Schutzvorrichtungen vor Berührung gesichert. Es ist untersagt, solche Schutzvorrichtungen außer Betrieb zu setzen!

5

Bei Unfällen ist die Spannung sofort abzuschalten (Hauptschalter). Der Unfall muss unverzüglich gemeldet werden. 3. Verhalten beim Arbeiten mit Chemikalien Bei der Arbeit mit Chemikalien ist auf größtmögliche Sauberkeit zu achten. Verwenden Sie Trichter zum Umfüllen und Fließpapierunterlagen beim Abwiegen von Chemikalien aller Art (dazu zählen z.B. auch Zucker oder Kochsalz)! Mit dem Versuchszubehör ausgegebene Arbeitsschutzmittel müssen benutzt werden! Bei Unfällen oder beim Verschütten gefährlicher Substanzen (z. B. Quecksilber) muss sofort ein Dozent verständigt werden! Es sind keine eigenständigen Beseitigungsversuche zu un-ternehmen! Alle Chemikalien befinden sich in Gefäßen mit eindeutiger Kennzeichnung des Inhaltes. Dies ist besonders zu beachten, wenn Chemikalien nach der Verwendung in die Aufbewahrungs-gefäße zurückgegossen werden müssen. Nach Beendigung des Versuches sind alle verwendeten Gefäße (außer Vorratsgefäßen) sorgfältig auszuspülen. 4. Verhalten beim Arbeiten mit radioaktiven Präparaten Die radioaktive Präparate zum Versuch "Radioaktivität" sind für Schülerversuche bauartzu-gelassen. Die Strahlenbelastung während eines Versuches ist 100...1000 Mal geringer als bei einer Röntgenaufnahme. Vermeiden Sie trotzdem jede unnötige Bestrahlung. Abstand ist der beste Strahlenschutz! Halten Sie radioaktive Präparate nicht unnötig in der Hand. Halten Sie während der Messung einen Abstand von 0.5 m zum Präparat ein. Es ist untersagt, die Präparate aus ihren Schutzhüllen zu entfernen. 5. Verhalten zum Brandschutz Elektrische Heizgeräte und Lichtstrahler sind so aufzustellen, dass sich keine benachbarten Gegenstände entzünden können. Eingeschaltete Heizgeräte und Strahler müssen ständig beaufsichtigt werden! Vorsicht beim Umgang mit brennbaren Flüssigkeiten (z. B. Ethanol)! Sie sind von offenen Flammen fernzuhalten. Wird ein Brand bemerkt, so ist dies sofort einem Dozenten zu melden und es sind nach Mög-lichkeit Löschmaßnahmen einzuleiten. Jeder Praktikant hat sich über die Lage und Funktionsweise der Handfeuerlöscher sowie über die vorhandenen Fluchtwege zu informieren.

6

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Arbeitsblatt 1

Absoluter und relativer Größtfehler A1


s. a. Einführung / Auswertung von Messdaten / Fehlerfortpflanzung, absoluter Größtfehler Mathematisches Pendel Fehlerrechnung, Erdbeschleunigung

Für die Erdbeschleunigung gilt 2

24T

lg .

Größen mit Messunsicherheit sind: Pendellänge l, Periodendauer T.

absoluter Größtfehler:

T

T

ll

Tg 2

42

2

relativer Größtfehler:

T

T

l

l

g

gg 2

Verwenden Sie als Messunsicherheit für die Periodendauer den Fehler des Mittelwertes T (i. d. R. das Dreifache der Standardabweichung) und schätzen Sie die Messunsicherheit der Pendellänge. Geben Sie sowohl den absoluten als auch den relativen Fehler der Erdbe-schleunigung an. Thermische Ausdehnung

Für die Ausdehnungskoeffizienten gilt: Tl

l

1

0

(Länge),

TV

V

1

0

(Volumen) .

Größen mit Messunsicherheit sind: Anfangslänge 0l , Längenänderung l bzw. Anfangsvo-

lumen 0V , Volumenänderung V und Temperaturänderung T .

relativer Größtfehler: )T(l)l(T

)T(

l

l

l

)l(

0

00

0

0

)T(V)V(T

)T(

V

V

V

)V(

0

00

0

0

Bestimmen Sie bzw. sowie Längenänderung l , Volumenänderung V und Tempera-turänderung T mittels linearer Regression (z. B. mit Excel – Ausgleichsgerade) aus allen Messpunkten. Schätzen Sie die Messunsicherheiten ab und bestimmen Sie damit den relativen und absoluten Größtfehler der Ausdehnungskoeffizienten.

7

Kalorimeter Spezifische Wärmekapazität Für die spezifische Wärmekapazität des Kalorimeters gilt bei diesem Experiment (Energiezu-fuhr durch elektrische Heizung)

WWm

cmTT

tIUK

1

.

Größen mit Messunsicherheit sind: Spannung U, Strom I, Zeit t, Masse des Wassers Wm und

Temperaturdifferenz 1TTT m .

absoluter Größtfehler: W

WWW m

mcm

T

)T(

t

t

I

I

U

U

T

tIUK

WWW mcm)T(tIUT

tIU

Schätzen Sie die Messunsicherheiten ab und berechnen Sie damit den absoluten und relativen Größtfehler der spezifischen Wärmekapazität des Kalorimeters. Für die weiteren Ergebnisse des Experiments (Bestimmung spezifischer Wärmen) können Sie annehmen, dass die relative Messunsicherheit in der gleichen Größenordnung liegt. Kalorimeter Spezifische Umwandlungswärmen Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität des Kalorimeters Für die spezifische Wärmekapazität des Kalorimeters gilt bei diesem Experiment (Energie-austausch mit einer bekannten Masse von kaltem Wasser)

1

1122

TT

)TT(cm)TT(cmK

m

mWWmWW

.

Größen mit Messunsicherheit sind: Anfangsmasse Wasser 1Wm im Kalorimeter, Anfangstem-

peratur 1T im Kalorimeter vor der Mischung, Mischungstemperatur mT , Anfangstemperatur 2T

des kalten Wassers, Masse 2Wm des kalten Wassers.


21

22

1

21 T

TT

cmm

TT

TTcmcK

m

WWW

m

mWWW

mmm

mWW T

)TT(

TTT

)TT(

TTcm

21

2112

1

22

Schätzen Sie die Messunsicherheiten ab und berechnen Sie damit den absoluten und relativen Größtfehler der spezifischen Wärmekapazität des Kalorimeters. Für die weiteren Ergebnisse des Experiments (Bestimmung spezifischer Umwandlungswär-men) können Sie annehmen, dass die relative Messunsicherheit in der gleichen Größenord-nung liegt.

8

Adiabatenexponent Messmethode nach Clement-Desormes Für den Adiabatenexponent gilt in erster Näherung

21

1

hh

h

.

Größen mit Messunsicherheit sind die Höhen h1 und h2, abgelesen am Manometer. Für den absoluten Größtfehler von gilt

221

12212

21

1 hh

hhhhh

hh

h

.

Schätzen Sie die die Messunsicherheiten von h1 und h2 ab und ermitteln Sie den absoluten Größtfehler und daraus den relativen Größtfehler von .

Schallgeschwindigkeit nach Quincke und Adiabatenexponent Bei der Ermittlung der Schallgeschwindigkeit sind Größen mit Messunsicherheit die Frequenz f und der Knotenabstand Δd, wobei vor allem letzterer eine große Unsicherheit aufweist, so dass man die der Frequenz vernachlässigen kann. Bestimmen Sie aus Ihren Messwerten den Mittelwert der Schallgeschwindigkeit, die Stan-dardabweichung dieses Mittelwertes und daraus die Messunsicherheit der Schallgeschwin-digkeit. Für den absoluten Größtfehler der Schallgeschwindigkeit c0 unter Normalbedingungen gilt

)T()T(

cc

c

cc oo

o

,

da auch die Temperatur eine Messunsicherheit aufweist. Damit ergibt sich für die relative Messunsicherheit der Schallgeschwindigkeit c0

)()1(2

1

0

00 TTc

c

cc

.

Man erkennt, dass bei der Berechnung der relativen Messunsicherheit δc0 der Schallge-schwindigkeit unter Normalbedingungen die der Raumtemperatur in der Regel vernachlässigt werden kann. Schließlich gilt für den absoluten Größtfehler des Adiabatenexponenten

00

00

2 cRT

Mcc

c o

und für die relative Messunsicherheit δκ

02 c .

Schätzen Sie die Messunsicherheit für die Raumtemperatur ab und berechnen Sie den relati-ven Größtfehler des Adiabatenexponenten.

.

9

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Arbeitsblatt 2

Auswertung, absoluter und relativer

Größtfehler

A2


s. a. Einführung / Auswertung von Messdaten / Fehlerfortpflanzung, absoluter Größtfehler Schraubenfeder Bestimmung der Federkonstanten Für die Federkonstanten gilt . Größen mit Messunsicherheit sind die Kraft F und die Längenänderung l. Schätzen Sie die Messunsicherheiten von F und Dl ab und schätzen Sie damit den relativen Größtfehler von D für je ein Wertepaar aus den verschiedenen Messungen ab: . Ermitteln Sie daraus die absoluten Größtfehler Bestimmen Sie den mittleren Fehler entsprechend der Aufgabe 5 (verwenden Sie dazu mindes-tens 10 Messwerte aus einer Messreihe) und vergleichen Sie diesen Wert mit dem zuvor be-stimmten Größtfehler. Trägheitsmoment

2 Punktmassen, symmetrisch im Abstand r 22mrJ homogener Zylinder, Rotation um Zylinderachse 2

2

1mrJ

Hohlzylinder, Rotation um Zylinderachse )(

2

1 22ia rrmJ

Satz von Steiner (s: Abstand der Drehachsen) 2msJJ s

Für das Trägheitsmoment, bestimmt aus der Schwingungsdauer einer Drehschwingung, gilt

2

2

4TD

J

.

Größen mit Messunsicherheit sind: Direktionsmoment D, Periodendauer T.

absoluter Größtfehler: TTD

DT

J

22

2

4

2

4

,

relativer Größtfehler: TDJ 2 . Verwenden Sie als Messunsicherheit für die Periodendauer den Fehler des Mittelwertes T (i. d. R. das Dreifache der Standardabweichung, dividiert durch n ) und schätzen Sie die

l

FD

lFl

l

F

FD

D

D

DDD

10

Messunsicherheit des Direktionsmoments. Geben Sie den relativen Größtfehler der in Aufga-be 2 gemessenen Trägheitsmomente an. Torsion 1. Torsion statisch Bei der statischen Messung wird die Verdrillung eines Stabes mittels eines äußeren Drehmo-mentes untersucht. Dabei greift an einer Scheibe mit dem Radius R eine Kraft Fs an und be-wirkt eine Verdrehung um einen Winkel .

Für den Torsionsmodul, bestimmt aus dem Mittelwert der gemessenen Verhältnisse

sF

, gilt

44

22

r

Rl

r

FRlG s ;

wird dabei als Mittelwert aus allen Messungen bestimmt. Größen mit Messunsicherheit sind: Länge l und Radius r des Stabes, Radius R der Scheibe und die Messgröße .

absoluter Größtfehler: 5444

8222

r

Rl

r

RlR

r

ll

r

RG

,

relativer Größtfehler: rRlG

GG 4 .

Verwenden Sie als Messunsicherheit für den Mittelwert des Verhältnisses aus Kraft und Aus-lenkwinkel den Fehler des Mittelwertes (i. d. R. das Dreifache der Standardabweichung, dividiert durch n ). Geben Sie den relativen Fehler des gemessenen Torsionsmoduls an. 2. Torsion dynamisch Bei der dynamischen Messung wird die Periodendauer T einer Drehschwingung gemessen. Da das Trägheitsmoment des an dem Draht befestigten Körpers und damit das Direktions-moment der Messanordnung nicht bekannt ist (s. Versuchsanleitung), müssen zwei voneinan-der unabhängige Messungen durchgeführt werden: Messung von T0 mit dem Standardkörper mit Aufhängung (Trägheitsmoment J0) und Messung von T1 mit einem zusätzlichen Körper, dessen Trägheitsmoment J1 berechnet werden kann. Damit gilt für das Direktionsmoment

20

21

222

TT

RmD

und für den Torsionsmodul

)(

42

02

14

2

TTr

RmlG

.

Größen mit Messunsicherheit sind: Länge l und Radius r des Drahtes, Masse m und Radius R der Zusatzscheibe und die Periodendauern T1 und T0.

11


)()(

8

)(

16

)(

8

)(

4

)(

4001122

02

14

2

20

21

5

2

20

21

420

21

4

2

20

21

4

2

TTTTTTr

lmRr

TTr

lmRR

TTr

mRm

TTr

lRl

TTr

mRG

relativer Größtfehler: 2

02

1

0011242TT

TTTTrRmlG

Verwenden Sie als Messunsicherheit für die Periodendauern die Fehler der Mittelwerte (i. d. R. das Dreifache der Standardabweichung, dividiert durch n ). Geben Sie den relativen Fehler des gemessenen Torsionsmoduls an. Sonometer (schwingende Saite)

Für die Frequenz einer schwingenden Saite gilt

A

F

l

nf s

n 2 .

Größen mit Messunsicherheit sind: Saitenlänge l, Spannkraft gmFs (durch die Unsicher-

heit der Massebestimmung) und die lineare Dichte A .


)(4

1

42 32

A

A

F

l

nF

AFl

nl

A

F

l

nf s

ss

sn

relativer Größtfehler: )(2

1

2

1 AFlf sn

Berechnen Sie für alle untersuchten Anordnungen die Frequenz fn und deren relativen Größt-fehler und vergleichen Sie diese Werte mit den Messwerten. Stellen Sie die Messwerte fn in Abhängigkeit von dem jeweiligen Parameter (Fs, A, n) in ei-nem Regressionsdiagramm dar. Resonanz Bei einer gedämpften Schwingung gilt für aufeinander folgende Amplituden

Tnn eAA

1 .

Daraus folgt für das so genannte logarithmische Dekrement

TA

A

n

n 1

ln

und damit

TiA

A

i

0ln , i = 1,2,3... ,

bzw.

0lnln ATiAi

Messen Sie die aufeinander folgenden Amplituden Ai. Bestimmen Sie die Dämpfung und ihren Fehler aus der grafischen Darstellung von lnAi gegen i mittels linearer Regression.

12

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Federschwingung

Fehlerrechnung, Federkonstante FS


Einführung: Messunsicherheit Gemessen wird die Abhängigkeit der Schwingungsdauer T einer Schraubenfeder von der angehängten Masse m durch Messung von mindestens zehn Perioden für fünf verschie-dene Massen (jede Messung ist zehnmal zu wiederholen). Auswertung: a) Bestimmung aus der Einzelmessung

Berechnung des Mittelwertes T und des statistischen Fehlers T , als Grundfehler der Massebestimmung (mit Digital-Tafelwaage) wird m g 1 ange-nommen. Bestimmen Sie für jeden Wert der Masse m die Federkonstante k und deren Größtfeh-ler.

b) Bestimmung aus der Gesamtheit der Messwerte Bestimmen Sie die Federkonstante k aus allen Messungen durch linearisierte Regres-sion.

Auswertung:

Federkonstante: Tm

kk

m

T 2 4 2

2

Fehlerrechnung: Berechnung des relativen Größtfehlers:

absoluter Größtfehler kk

mm

k

TT

Tm

m

TT

4 22

2 T

m

2

24

relativer Größtfehler kk

k

m

m

T

T

2

linearisierte Regression: Tk

m b m a224

( )

13

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Mathematisches Pendel

Fehlerrechnung, Erdbeschleunigung F

Physikalisches Grundprakti-kum

Aufgabenstellung:

1. Messen Sie mindestens 100-mal die Periodendauer eines einfachen Fadenpendels!

2. Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Einzelmessung und

den Fehler des Mittelwertes! Um welche Fehlerart handelt es sich?

3. Teilen Sie die Messergebnisse in eine geeignete Anzahl von Intervallen ein und zeich-nen Sie ein Histogramm (Häufigkeitsverteilung). Vergleichen Sie die Verteilung Ihrer Messwerte mit einer Gauß-Verteilung.

4. Messen Sie die Pendellänge und schätzen Sie den Messfehler ab. Welche Fehlerart

haben Sie für diese Messung bestimmt?

5. Bestimmen Sie aus Ihren Messwerten die Erdbeschleunigung g und geben Sie deren Fehler mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes an.

Physikalische Grundlagen: Mathematisches Pendel; systematischer und zufälliger Fehler; Fehlerfortpflanzung; Häu-figkeitsverteilung; Gauß-Verteilung

Literatur:

Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 20 – 31

Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, S. 2 – 5

Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 350 – 351

Hinweise zur Versuchsdurchführung: Messen Sie stets die Zeit für nur eine Schwingungsperiode. Arbeiten Sie mit einer hinrei-chend kleinen Auslenkung ( o5 ). Stellen Sie die Gleichung für die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels nach der Erdbeschleunigung g um. Das Pendel und die Aufgabenstellung sind nicht geeignet, die Erdbeschleunigung genau zu bestimmen. Die Messwerte dienen vor allem einer prinzipiellen Fehlerbetrachtung!

14


Thermische Ausdehnung

TA


Aufgabenstellung 1. Ermitteln Sie den linearen Ausdehnungskoeffizienten für ein Metallrohr mit dem Hebel-

verfahren über eine grafische Auswertung (Anstiegsbestimmung, Ausgleichsrechnung). 2. Bestimmen Sie unter Verwendung eines einfachen Dilatometers (Glaskolben mit Steig-

rohr) den kubischen Ausdehnungskoeffizienten von Glycerin (grafische Darstellung, An-stiegsbestimmung).

3. Vergleichen Sie die erhaltenen Ergebnisse unter Einbeziehung einer Fehlerrechnung mit

Literaturwerten (um welchen Werkstoff handelt es sich bei dem Metallrohr?). Physikalische Grundlagen: Definition der thermischen Längen- und Volumenausdehnungskoeffizienten; Abhängigkeit der Ausdehnungskoeffizienten von den Anfangsbedingungen ( 000 l,t,V ); atomtheoretische

Deutung der thermischen Ausdehnung; Anomalie des Wassers; thermische Ausdehnung von Gasen; Wirkungsweise von Thermostaten; Temperaturabhängigkeit des Hohl-raumvolumens; mögliche Fehler des Experiments Literatur Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 110 – 111 Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 147 - 148 Zubehör: Grundgerät mit Metallrohr und Dilatometer 1 Messuhr 1 Lineal 1 Thermostat Vorsicht vor Verbrennungen und Verbrühungen! Die Schlauchverbindungen zwischen Thermostaten und Messuhr müssen durch Schlauch-

klemmen abgesichert sein!

15

Versuchsdurchführung: Vor Beginn des Versuches ist der ausreichende Wasserfüllstand im Thermostaten zu über-prüfen. Achtung: Nachfüllung nur mit destillierten Wasser (ggf. erfragen!). Die Messungen mit dem Thermostaten sind im Temperaturbereich zwischen Raumtempera-tur und etwa Co70 in einem Abstand von etwa K5 durchzuführen. Bei jeder Messung ist das Temperaturgleichgewicht abzuwarten. zu 1.) Zur Ermittlung des linearen Ausdehnungskoeffizienten wird das Metallrohr an einer

Stelle fest eingespannt. Am freien Ende ist ein Hebel angebracht, der an einer Messuhr anliegt. Das Rohr wird mittels Thermostat bei konstanter Einspannlänge stufenweise temperiert.

zu 2.) Zur Ermittlung des Volumenausdehnungskoeffizienten einer Flüssigkeit wird ein Di-

latometer verwendet, welches aus einem Glaskolben mit einem aufgesetztem Steig-rohr [Innendurchmesser mm1,00,4 ] besteht. Das eigentliche Ausdehnungsvolu-men des Kolbens befindet sich im Wasserbad des Thermostaten. Das Anfangsvolu-

men V0 beträgt bei C, o520

mlV 21320 .

Die zugehörige Steighöhe ist durch eine Markierung angezeigt. Schätzen Sie den Einfluss der Ausdehnung der Glasgefäße (Kolben, Steigrohr) auf den ermittelten Ausdehnungskoeffizienten ab!

(Ausdehnungskoeffizient von Glas: 16108 KKGlas )

16

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Kalorimeter

Spezifische Wärmekapazität KA


Aufgabenstellung: 1. Bestimmen Sie die Wärmekapazität K (den so genannten Wasserwert) der Kalorime-

teranordnung. Benutzen Sie dazu eine elektrische Heizvorrichtung. 2. Bestimmen Sie die spezifischen Wärmekapazitäten von Aluminium, Kupfer und Eisen!

Führen Sie eine ausführliche Fehlerrechnung durch! Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit Literaturwerten!

3. Überprüfen Sie die Regel von DULON und PETIT anhand der erhaltenen Werte für die

spezifische Wärmekapazität und diskutieren Sie auftretende Abweichungen. Literatur: Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 131 – 136 Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 156 - 164 Physikalische Grundlagen: 1. Hauptsatz der Wärmelehre; spezifische innere Energie; Enthalpie und Wärmekapazität; Regel von DULON und PETIT; Zusammenhang zwischen cp und cV; Temperaturabhängig-keit der spezifischen Wärmekapazität; Bestimmungsmöglichkeiten des Wasserwertes; Messmethoden der spezifischen Wärmekapazität von Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern; Temperatur-Zeit-Diagramm Zubehör: 1 Kalorimeteranordnung einschließlich Deckel mit Heberührer und Heizwiderstand 1 elektrische Kochplatte 1 Stromversorgungsgerät 12 V, 5 A ~ 1 Voltmeter, 1 Amperemeter, Messleitungen 1 Quecksilberthermometer 1 Siedegefäß 2 Bechergläser 3 Probekörper mit Haltedraht Waage

ACHTUNG!

Vorsicht vor Verbrühungen und Verbrennungen!

17

Versuchsdurchführung: zusätzliche Hinweise zum Computereinsatz: Die Durchführung der Messungen unter Einsatz des Computers wird im Anhang ausführlich beschrieben. Machen Sie sich damit vor Beginn der Experimente vertraut! Vor Beginn eines jeden Teilexperimentes ist zu gewährleisten, dass das Kalorimeter na-hezu Raumtemperatur besitzt. zu 1. Zuerst werden in das Kalorimetergefäß 300 g kaltes Wasser eingewogen. Bauen Sie

danach eine elektrische Schaltung für die Heizung auf. Vor deren Inbetriebnahme muss eine Kontrolle durch den Betreuer erfolgen! Die Heizung muss mindestens 2 cm in das Wasser eintauchen! Die vom Strom verrichtete Arbeit ( tIUWel ) kann vollständig in Wärmeenergie

umgewandelt werden. Die erzeugte Wärmemenge wQ bewirkt eine Temperaturerhö-

hung ∆T der Kalorimeterflüssigkeit (Masse m, spezifische Wärmekapazität c) und des Kalorimeters (Wärmekapazität K), welche bei vollständig eingetauchtem Heizwider-stand und unter Vernachlässigung von Wärmeverlusten der Beziehung

TKmcQW wel

genügt. Die Messung des Temperatur-Zeitverlaufs erfolgt mittels eines KTY-Temperatursensors über ein Cassy-Interface (s. Anhang Bild 1) durch den Computer. Der gesamte Prozess des Wärmeaustausches besteht aus drei Abschnitten: Vorperiode: Wärmeaustausch des Kalorimeters mit der Umgebung vor Einschal-

ten der elektrischen Heizung, Hauptperiode: Temperaturverlauf im Kalorimeter während der Energiezufuhr; die

Temperaturänderung sollte etwa T = 10 K betragen, Nachperiode: Wärmeaustausch des Kalorimeters mit der Umgebung nach Ab-

schalten der elektrischen Heizung. Der Ablauf der Messung des Temperatur-Zeitverlaufs und die Auswertung sind im An-hang beschrieben. Lesen Sie während des Heizvorganges die Werte für die Spannung und die Stromstärke mehrfach ab, bestimmen Sie daraus die Mittelwerte und verwen-den Sie diese zur Berechnung von Wel.

zu 2. Wiegen Sie den zu untersuchende Metallkörper und erhitzen ihn dann in einem Gefäß

mit siedendem Wasser (Temperatur messen!). Um zu verhindern, dass der Körper ei-ne höhere Temperatur als die Wassertemperatur annimmt, darf er den Gefäßboden nicht berühren! In das Kalorimetergefäß werden für diesen Versuchsteil 300 g kaltes Wasser eingewogen. Nach etwa 10 Minuten ist der erhitzte Körper rasch in das Kalo-rimetergefäß zu überführen. Benutzen Sie für diesen Versuchsteil einen Kalorimeter-deckel ohne Heizung! Nehmen Sie analog zu Aufgabe 1 das Temperatur-Zeit-Diagramm auf und ermitteln Sie die zur Auswertung benötigten Temperaturen. Diskutieren Sie als Fehlerquelle das am Probekörper haftende heiße Wasser, den Hal-tedraht sowie den Wärmeverlust bei der Überführung des Probekörpers in das Kalori-meter!

zu 3. Zur Überprüfung der Regel von DULON und PETIT wird das Produkt aus der relativen

Atommasse rA und der spezifischen Wärmekapazität gebildet, welches annähernd

einen Wert von 25 Jg-1K-1 besitzen soll ( rA : Al: 27, Cu: 63.5, Fe: 55.9). Ermitteln Sie für alle Ergebnisse den absoluten Größtfehler.

18

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Kalorimeter

Spezifische Umwandlungswärmen UW


Aufgabenstellung:

1. Bestimmen Sie zu Beginn des Versuches die spezifische Wärmekapizität K (den sog. Wasserwert) des Kalorimeters nach der Mischungsmethode.

2. Bestimmen Sie die spezifische Kondensationswärme qd von Wasserdampf! 3. Bestimmen Sie die spezifische Schmelzwärme qs von Eis! 4. Ermitteln Sie für alle experimentellen Endwerte (K, qd, qs) den relativen Maximalfehler

unter Verwendung von geschätzten Einzelfehlern. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse für die spezifischen Umwandlungswärmen mit den Literaturwerten!

Grundlagen: Wärmeaustausch; Temperatur-Zeit-Diagramm; Phasenumwandlungen und Phasendia-gramm von Wasser; 1. Hauptsatz der Wärmelehre; Bestimmungsmöglichkeiten für Um-wandlungswärmen und Wärmekapazitäten Literatur:

Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 131 – 139 Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, S. 56 - 64 Versuchszubehör: 1 Kalorimeter mit Deckel und integriertem Heberührer 1 Dampferzeuger 2 Bechergläser 1 Temperaturmessfühler für KTY-Steckmodul Eis (Praktikumsvorbereitung)

ACHTUNG! Vorsicht vor Verbrühungen und Verbrennungen!

19

Versuchsdurchführung: zusätzliche Hinweise zum Computereinsatz: Die Durchführung der Messungen unter Einsatz des Computers wird im Anhang ausführlich beschrieben. Machen Sie sich damit vor Beginn der Experimente vertraut! Vor Beginn eines jeden Teilexperimentes ist zu gewährleisten, dass das Kalorimeter na-hezu Raumtemperatur besitzt. Das Siedegefäß muss genügend destilliertes Wasser enthalten. zu 1. Bestimmen Sie nach der so genannten Mischungsmethode die spezifische Wärmeka-

pazität K des Kalorimetergefäßes. Füllen Sie dazu etwa 175 g auf 40°C erwärmtes Wasser in das Kalorimeter, warten Sie das thermische Gleichgewicht ab und nehmen Sie die Vorperiode etwa 60 s lang auf. Der Mischungsprozess beginnt mit dem Eingießen der gleichen Menge kalten Was-sers in das Kalorimeter. Danach ist mindestens 60 s lang die Nachperiode zu verfolgen.

zu 2. Bringen Sie das Wasser im Siedegefäß zum Kochen und warten Sie die Einstellung

eines Temperaturgleichgewichts in der Dampfleitung ab. Der Kondensatfänger in der Zuleitung soll verhindern, dass bereits kondensierter Dampf in das Kalorimeter ge-langt. In das Kalorimeter sind etwa 250 g kaltes Wasser einzuwiegen. Die Temperatur des ausströmenden Dampfes ist mit einem Thermometer zu messen, ehe das Glas-rohr durch den Kalorimeterdeckel in die Kalorimeterflüssigkeit eingetaucht wird. Die Dampfzufuhr wird unterbrochen, wenn sich die Wassertemperatur um ca. 25 K erhöht hat. Die Nachperiode sollte hier ca. 90 s andauern. Die Masse des kondensierten Dampfes wird durch Wägung ermittelt. Während des Versuches ist mit dem Heberührer für gute Durchmischung zu sorgen.

zu 3. Geben Sie das zerkleinerte und mit Fließpapier abgetrocknete Eis in etwa 200 g Was-

ser von ca. 40°C. Die Masse des Eises kann nachträglich durch eine Wägung be-stimmt werden. Sorgen Sie für eine gute Durchmischung während des Schmelzvor-ganges.

Vorsicht vor Verbrühungen und Verbrennungen!

20

Anhang: Kalorimetrie — zur experimentellen Bestimmung der Mischungstemperatur mit CASSY

Die Mischungskalorimetrie beruht auf dem Energie-satz und bilanziert den Austausch von Wärmemen-gen. Dazu werden in einem geeigneten Gefäß – dem Kalorimeter – zwei Stoffmengen unterschiedlicher Temperatur miteinander gemischt. Die Bilanz aus abgegebener und aufgenommener Wärmemenge ergibt sich aus der Wärmekapazität Ckal des Kalorime-ters, den Stoffmengen m1 und m2, ihren spezifischen Wärmen c1 und c2 , den Anfangstemperaturen T1 und T2 sowie der Mischungstemperatur Tm:

mmmkal TTcmTTcmTTC 2221111 .

Da das Kalorimeter aber kein abgeschlossenes Sys-tem ist, tritt während der Mischung ein Wärmeaus-tausch mit der Umgebung auf, was die korrekte Be-stimmung der Mischungstemperatur erschwert. Um eine möglichst gute Näherung für die richtige Mi-schungstemperatur zu erhalten, wird der Temperatur-Zeit-Verlauf über ein größeres Zeitin-tervall sowohl vor als auch nach dem Mischungsvorgang gemessen. Durch Extrapolation des Temperaturverlaufs vor der Mischung (der Vorperiode) und nach der Mischung (der Nachpe-riode) kann man die Mischungstemperatur für einen unendlich schnellen Wärmeaustausch, d.h., ohne Wärmeverlust an die Umgebung, ermitteln. Für die Praktikumsversuche Kalorimeter bzw. Umwandlungswärmen wird der Temperatur-Zeit-Verlauf im Kalorimeter mittels eines Temperatursensors über ein Cassy-Interface (Bild 1 und 3) vom Computer erfasst. Verwendet wird das aktuelle Cassy-Modell der Fa. Leybold. Das Interface, welches über eine Einsteckkarte mit dem PC verbunden ist, kann mit ver-schiedenen Messboxen bestückt werden. Bei diesen Experimenten wird ein KTY-Sensor zur Temperaturmessung verwendet. Die Auswertung wird mittels des Programms „EasyCalo“ vom PC übernommen.

In Bild 2 ist der ausgewertete Temperatur-Zeit-Verlauf für die Mischung von warmem und kaltem Wasser im Kalorimeter zu sehen. Dabei symbolisiert die gestrichelte Senkrech-te den unendlich schnellen Wärmeenergie-austausch, der in der Natur zwar nicht mög-lich ist, hier aber extrapoliert wird. Deshalb liegen die berechneten Temperaturen an den Kreuzungspunkten der eingezeichneten Ge-raden (extrapolierte Vor- bzw. Nachperiode) und nicht auf der Messkurve. Die Senkrechte schließt mit der Temperatur-Zeit-Kurve jeweils gleiche Flächen ein, die für die abgegebene und die aufgenommene Wärmeenergie ste-hen. Damit wird die Grundannahme des Ex-periments (Qab = Qauf) befriedigt.

Bild 1: Mischungskalorimeter mit Tem-

peratursensor und Cassy-Interface

Bild 2: Temperatur-Zeit-Verlauf eines Mischungs-vorgangs mit Extrapolation der Mischungs-temperatur

21

Messung und Auswertung mit „CASSYlab“ und EasyCalo“

Bild 3: CASSY-Interface Gehen Sie bei dem Experiment in folgenden Schritte vor:

Starten Sie CASSYlab Aktivieren Sie die KTY-Sensorbox (Messung der Temperatur ϑA1) Setzen Sie die Messwerterfassung auf „gemittelte Werte“ und schließen Sie das

Fenster Geben Sie bei Messparameter 300 s Messzeit ein und schließen Sie das Fenster Starten Sie die Messung mit F9 (oder Uhrsymbol) Messen Sie ausreichend lange die Temperatur des kalten Wassers (Vorperiode ca.

60 s) Füllen Sie das erwärmte Wasser oder die Metallprobe in das Kalorimeter und warten

Sie das thermische Gleichgewicht ab Messen Sie eine ausreichend lange Nachperiode (mind. 60 s) Speichern Sie die Messwerte nach Ablauf der gesamten Messung im Verzeichnis

„Studenten“ Starten Sie das Auswerteprogramm „EasyCalo“ und laden Sie die Messwerte Positionieren Sie die entsprechenden Cursorpunkte zur Markierung der Vor- und

Nachperiode und lassen Sie sich die Regressionsgeraden anzeigen Bestimmen Sie die zur Auswertung benötigten Temperaturen durch das Integrations-

programm (Rechnersymbol) Für Ihr Protokoll können Sie die grafische Auswertung ausdrucken Nach Abschluss der Auswertung muss „EasyCalo“ geschlossen werden

22

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Adiabatenexponent

Spezifische Wärme von Gasen AD


Aufgabenstellung 1. Begründen Sie aus der Theorie idealer Gase und dem 1. Hauptsatz den Unterschied

zwischen der spezifischen Wärme bei konstantem Druck und konstantem Volumen. Be-rechnen Sie die entsprechenden molaren Wärmen.

2. Leiten Sie die Gleichungen der Regressionsgeraden zur Bestimmung des Adiabatenex-

ponenten und zur Berechnung seines relativen Fehler her. 3. Bestimmen Sie den Adiabatenexponenten Vp cc von Luft nach der Methode von

Clément-Désormes. 4. Ermitteln Sie den relativen und den absoluten Fehler von und begründen Sie eventuell

auftretende größere Abweichungen des Messergebnisses vom Standardwert. Physikalische Grundlagen: Zustandsgleichungen und Zustandsänderungen idealer Gase, 1. Hauptsatz der Wärmelehre, spezifische Wärme bei konstantem Druck und konstantem Volumen, kinetische Gastheorie, Freiheitsgrade Literatur Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 123 – 127

Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 159 – 171 Zubehör: Versuchsanordnung nach Clément-Désormes Versuchsdurchführung: Machen Sie sich mit Aufbau und Funktionsweise der Apparatur vertraut! Durch vorsichtiges Pumpen bei geschlossenem Auslassventil wird in dem Gasgefäß ein Überdruck erzeugt (maximal 200 mm am Flüssigkeitsmanometer), danach wird der Dreiwe-gehahn um 180o gedreht. Da sich durch die Kompression die Temperatur im Gasgefäß er-höht, muss der Temperaturausgleich mit der Umgebung abgewartet werden, der durch

consth 1 am Manometer angezeigt wird (ca. 2 min; Punkt A im pV-Diagramm).

23

Vor dem Öffnen des Auslassventils zum Entspannen des Gases ist der Dreiwegehahn zwi-schen Gasbehälter und Manometer für alle Richtungen zu schließen (Drehen um 45o nach rechts). Anschließend wird das Auslassventil kurzzeitig (durch Drehen um 180o) geöffnet; das Gas entspannt sich dadurch adiabatisch und kühlt sich dabei ab (Punkt B im pV-Diagramm). Nachdem das Auslassventil geschlossen ist, muss der Dreiwegehahn wieder in die ursprüngliche Stellung zurück gedreht werden, damit der Gasbehälter wieder mit dem Manometer verbunden wird. Dann wird wieder das thermische Gleichgewicht mit der Umge-bung abgewartet, das durch consth 2 angezeigt wird (ca. 2 min: Punkt C im pV-Diagramm). Ermitteln Sie für etwa 20 verschiedene Werte von 1h im Bereich zwischen 100 und 200 mm

die jeweiligen Werte von 2h . Achten Sie bei jeder Messung auf den richtigen Druck- und Temperaturausgleich! Prinzip und theoretische Grundlagen des Versuchs

Abb.1: pV-Diagramm und prinzipielle Versuchsanordnung zur Messung des Adiabatenexponenten

nach Clément-Désormes 1A ghp , 2C ghp

Zustandsänderung von A nach B: adiabatisch, Zustandsänderung von A nach C: isotherm Zustandsänderung von B nach C: isochor Zur Beschreibung der Vorgänge bei dem Experiment benötigt man die Zustandsgleichung idealer Gase nRTpV mit p Druck des Gases, V Volumen des Gases, n Anzahl der Mole des Gases, R allge-

meine Gaskonstante ( 11318 molJK,R ) und T absolute Temperatur und den 1. Hauptsatz der Thermodynamik pdVdQdWdQdU

h2

h1

24

mit mdTcdU v Änderung der inneren Energie des Gases, dQ zu- oder abgeführte

Wärme und pdVdW vom Gas oder am Gas verrichtete Arbeit. Man unterscheidet folgende Zustandsänderungen:

die isotherme Zustandsänderung bei constT , d.h. 0dT ; aus dem 1. Hauptsatz folgt pdVdQ , aus der Gasgleichung constpV (Boyle-Mariottesches Gesetz);

die isochore Zustandsänderung bei constV , d.h. 0dV ; aus der Gasgleichung

folgt constTp (Gesetz von Gay-Lussac);

die isobare Zustandsänderung bei constp , d.h. 0dp ; aus der Gasgleichung

folgt constTV und

die adiabatische (isentrope) Zustandsänderung, bei der kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet, d.h. 0dQ ; aus dem 1. Hauptsatz folgt dafür

pdVdWmdTcdU v .

Überdies gilt die 1. Poissonsche Gleichung constpV mit Vp cc ( pc und Vc

sind die spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck p bzw. konstantem Volumen V).

Für die molaren Wärmekapazitäten gilt RCC Vp .

Auswertung Für den Adiabatenexponenten gilt

21

1

hh

h

.

Die Bestimmungsgleichung für kann so umgestellt werden, dass eine Geradengleichung 12 hfh entsteht:

12

1hh

,

also in der Form axby mit 2hy , 1hx ,

1b und 0a .

Bestimmen Sie für jedes Wertepaar (h1, h2) den Adiabatenexponenten . Berechnen Sie für

alle Werte von den Mittelwert und mittels der Standardabweichung von die absolute

und relative Unsicherheit von . Stellen Sie )h(fh 12 grafisch dar und berechnen Sie mittels linearer Regression den An-stieg dieser Geraden und daraus den Wert von . Hinweis: Bei der linearen Regression sollten stark von der Geraden abweichende Werte

nicht berücksichtigt werden!

25

Anhang 1. Zur Bestimmung des Adiabatenexponenten nach Clément-Désormes (s. pV-Diagramm) Wir beginnen die Betrachtung im Punkt A des pV-Diagramms, d.h. nach dem Einlassen des Gases und Einstellen des thermischen Gleichgewichts (s. Versuchsdurchführung). Danach wird das Gas adiabatisch (isentrop) entspannt. Für diese Zustandsänderung gilt (mit

0ppB ):

BAA VpVpp 00 (1)

Dabei kühlt sich das Gas ab (Punkt b des pV-Diagramms). Anschließend erwärmt es sich isochor bis zum Temperaturausgleich (Punkt C des pV-Diagramms). Dieser Punkt liegt auf einer Isotherme ausgehende vom Punkt A; also gilt das Boyle-Mariottesche Gesetz:

CCAA VppVpp 00 C

A

CA V

pp

ppV

0

0 (2)

(2) in (1) einsetzen liefert:

CCA

A

CA VppV

pp

pppp

0

0

00

0000 ppppppp ACA (3)

Mit 10 ghpp A und 20 ghppC folgt aus (3)

0102010 pghpghpghp

0

2

0

1

0

1 111p

gh

p

gh

p

gh (4)

Da 10

1 p

gh und 1

0

2 p

gh ist, erhält man aus (4) in 1. Näherung

0

21

0

2

0

1

0

1 1111p

hhg

p

gh

p

gh

p

gh

und daraus schließlich

121 hhh (5) und

21

1

hh

h

. (6)

26

2. Zusammenhang zwischen Molwärmen und Gaskonstante Für eine isobare Zustandsänderung muss die Wärmemenge dTnCdQ p

Aufgewendet werden. Damit gilt für den 1. Hauptsatz pdVdtnCdWdQdU p . (7)

Für eine beliebige Zustandsänderung gilt nach dem 1. Hauptsatz dTnCdU V . (8)

Da die innere Energie U eine Zustandsgröße ist, können die beiden Ausdrücke aus (7) und (8) gleichgesetzt werde: dTnCpdVdTnC Vp . (9)

Aus der Zustandsgleichung idealer Gase folgt

Rp

n

dT

dV

und damit aus (9) RCC Vp . (10)

27

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Schallgeschwindigkeit

Bestimmung durch Laufzeitmessung zu QU


Aufgabenstellung 1. Messen Sie die Schallgeschwindigkeit

a) mit einem Mikrophon über die Laufzeitänderung bei Veränderung der Position des Mikrophons;

b) mit zwei Mikrophonen durch Bestimmung der Laufzeitdifferenz zwischen den beiden Signalen.

2. Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung für alle Messwerte der Schallgeschwindigkeit und berechnen Sie den Messunsicherheit.

3. Machen Sie Annahmen zu den Messunsicherheiten der Positionsdifferenz ∆l und der

Laufzeitdifferenz ∆t und bestimmen Sie damit den Größtfehler für die Schallgeschwin-digkeit. Vergleichen und diskutieren Sie die beiden Aussagen zur Messunsicherheit von c.

4. Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit für Normalbedingungen und damit den Adia-

batenexponenten. Physikalische Grundlagen Die Bestimmung der Geschwindigkeit über eine Laufzeitmessung beruht direkt auf der Defi-nition der Geschwindigkeit als

∆∆

zurück. Die Positionsdifferenz kann auf dem Maßstab an der optischen Bank abgelesen werden, die Laufzeitdifferenz wird mittels eines Zweikanal-Oszillografs gemessen (s. Abb.1: Versuchsanordnung). Als Schallsignal wird ein Schallimpuls verwendet, der über einen speziellen Verstärker mit Lautsprecher aus dem elektrischen Impuls eines Impulsgenerators (HM 8035) erzeugt wird. Die von den Mikrophonen aufgenommenen Signale werden dem Oszillograf zugeführt und als elektrische Signale auf der Zeitbasis dargestellt, wo die Zeitdifferenzen direkt abgelesen werden können. Versuchsdurchführung Die Betriebsspannung für den Schallimpulsgeber wird von einem Netzgerät HM 8040.2 er-zeugt und soll Ub = 20 V betragen. Als Impulsquelle steht Ihnen ein Pulsgenerator HM 8035 zur Verfügung. Folgende Einstel-lungen sind zu wählen:

Pulsfrequenz fp = 10...20 Hz, Pulsdauer τp = 200 μs, Pulsamplitude Up = 2...3 V.

Am Oszillografen sind folgende Einstellungen zu wählen: Y-Empfindlichkeit: 0,2 V, Zeitbasis: 0,1 oder 0,2 ms/cm getriggert Triggerquelle: extern (vom Triggerausgang des Pulsgenerators)

28

Abb. 1: Versuchsanordnung zur Messung mit einem Mikrophon (ein Verschieben des Mikrophons führt zu einer Verschiebung des Messsignals auf der Zeit achse; ∆l und ∆t können direkt abgelesen werden) Die Mikrophone werden über spezielle Verbindungskabel mit den Eingängen des Oszillogra-fen verbunden (Mikrophon 1: Eingang YA, Mikrophon 2: Eingang YB). Die Mikrophone werden durch Batterien mit der erforderlichen Betriebsspannung versorgt. Achten Sie darauf, dass die Mikrophone zu Beginn der Messungen eingeschaltet und nach Beendigung ausgeschaltet werden! Drehen Sie in Messpausen die Amplitude des Pulsgenerators zurück! Führen Sie für die Aufgaben 1a) und 1b) so viele Messungen durch, dass Sie insgesamt we-nigstens zehn Werte für die Schallgeschwindigkeit ermitteln können. Hinweise zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit unter Normalbedingungen und des Adiabatenexponenten finden Sie in der Anleitung zu Versuch „Quincke 1“. Zubehör Optische Bank mit Schallimpulsgeber und zwei Mikrophonen Zweikanal-Oszillograf Hameg-Grundgerät mit Netzgerät HM 8040.2 und Pulsgenerator HM 8035 Verbindungskabel und Netzkabel Literatur

Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 159 – 171, S. 490 - 495

Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, S. 51 – 52, S. 64 - 68

29


Schallgeschwindigkeit nach Quincke (1)

und Adiabatenexponent

QU 1


Aufgabenstellung 1. Messen Sie mit dem Interferenzrohr nach Quincke die Schallwellenlänge in Luft im Fre-

quenzbereich von 3000 Hz bis 10000 Hz (mindestens 20 Werte). 2. Berechnen Sie daraus den Mittelwert der Schallgeschwindigkeit und ermitteln Sie des-

sen Messungenauigkeit. 3. Berechnen Sie daraus die Schallgeschwindigkeit unter Normalbedingungen und damit

den Adiabatenexponenten sowie dessen Messunsicherheit. Vergleichen Sie Ihr Ergeb-nis mit dem Wert aus der Literatur.

Physikalische Grundlagen: Longitudinal- und Transversalwellen, Schallwellen in Gasen, Interferenz, fortschreitende und stehende Wellen, Zustandsgleichungen und Zustandsänderungen idealer Gase, spezifische Wärme bei konstantem Druck und konstantem Volumen, kinetische Gastheorie, Freiheits-grade Literatur Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 123 – 127


Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, S. 51 – 55, S. 64 - 68 Zubehör: Versuchsanordnung nach Quincke mit Generator, Lautsprecher, Messmikrophon und Digi-talmultimeter, Messschieber, Thermometer Physikalische Grundlagen:

30

(s. a. Anleitung zum Versuch AD – Adiabatenexponent) Mittels eines Lautsprechers wird in den Eingang A eine harmonische Schallwelle einge-speist, die durch die zwei Arme a und b des Quinckeschen Resonanzrohres (s. Abb.1) in

zwei kohärente Komponenten 1A und 2A unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung aufgeteilt werden, die sich auf unterschiedlichen Wegen zum Messpunkt B ausbreiten und dort überla-gern zu

)kxt(j)kxt(jr eAeAAAA 2121

tj)kx(jjkx eeAeA 21

222

21

jtj

kxjkxj

eeeAeA

( T/ 2 Kreisfrequenz, /k 2 Wellenzahl und Phasenverschiebung von 2A

gegen 1A ). Mit weiteren Umformungen folgt

)t(j)kx(j)kx(j)kx(j)kx(jr eeeAeAeAA 222

22

22

1

)t(j)kx(j)kx(j)kx(j

eeeAeAA 2222

221

und schließlich

)t(j)kxt(j

r e)kxcos(Ae)AA(A 2221 2

2

.

Dabei beschreibt der erste Term eine fortlaufende und der zweite eine stehende Welle. Wenn man im Überlagerungspunkt x = 0 setzt und annimmt, dass die beiden Amplituden A1 und A2 annähernd gleich sind, verschwindet die fortlaufende Welle, und in der Umgebung von B existiert allein die stehende Welle. Diese und damit der Schalldruck hat Minima für

2

12

2

n

(n = 0,1,2... ganze Zahl). Für die Phasenverschiebung gilt

Abb.1: Geometrie des Quinc-keschen Rohres

31

dx

2

22 ,

wobei d der Auszug des Quinckeschen Rohres ist (s. Abb.1), d.h., es gilt

2

122

2

nd

und schließlich

22

12

nd .

Für aufeinander folgende Minima erhält man also

21

ddd nn

und die gesuchte Schallgeschwindigkeit ergibt sich damit direkt aus der Gleichung

fc . Schallwellen in Gasen sind elastische Longitudinalwellen, d.h., sie bestehen aus einer perio-dischen Folge von Kompressionen und Dilatationen, die so schnell aufeinander folgen, dass kein Wärmeaustausch erfolgt. Der Prozess ist also adiabatisch (isentrop) und führt zu ent-sprechenden Erwärmungen (bei Kompression) bzw. Abkühlungen (bei Dilatation) des Gases. Damit gilt für die Schallgeschwindigkeit c nicht die von Newton unter der Annahme eines

isothermen Prozesses abgeleitete Beziehung pc (p Druck, Dichte), sondern die

von Laplace hergeleitete Beziehung

p

c

mit dem Adiabatenexponenten

v

p

c

c

(cp, cv spezifische Wärme bei konstantem Druck bzw. konstantem Volumen). Mit Hilfe der allgemeinen Zustandsgleichung pro Mol eines Gases RTpV kann man für den Druck

M

RT

V

RTp

schreiben und erhält damit für die Schallgeschwindigkeit

M

RT

c

cc

v

p

(M Molmasse; für Luft unter Normalbedingungen: 102896440 molkg,M ). Die Schallge-schwindigkeit ist also temperaturabhängig; sie steigt mit der Wurzel aus der Temperatur an. (Die Schallgeschwindigkeit hängt außerdem von der Luftfeuchtigkeit ab, was eine zusätzli-che Messunsicherheit bedingt.) Den Wert unter Normalbedingungen (d.h. bei CT o00 ) er-

hält man daher aus

T

Tcco

1

)(

( )K,/( 162731 Volumenausdehnungskoeffizient, oTTT Temperaturdifferenz), wo-

bei c(T) die Schallgeschwindigkeit bei der Raumtemperatur T und co die bei

CK,T oo 016273 ist.

32

Versuchsdurchführung und Auswertung

Die Versuchsanordnung zeigt Abb. 2. Schalten Sie alle Geräte (Generator – Netzschalter hinten; Messmikrophon – Taster drücken, Multimeter) ein. Das Messmikrophon wird auf die Betriebsart „Gleichrichter“, das Multimeter auf die Betriebsart „20V DC“ geschaltet. Den Ge-neratorausgang schalten Sie auf „1W ~“. Die Amplitude der Schallwelle muss so eingestellt werden (mit dem Amplitudenregler am Generator und dem Verstärkungsregler am Messmik-rophon), dass sie im Maximum der stehenden Welle im Bereich

V,UV, mess 5251

liegt. Messen Sie bei verschiedenen Frequenzen im Bereich von 3 kHz bis 10 kHz den Abstand ∆d der Knoten der stehenden Welle (= Minima des Schalldrucks) aus. Dabei müssen Sie die Position des Knotens möglichst genau bestimmen, was nicht ganz einfach ist, da durch die überlagerte fortschreitende Welle das Minimum nicht sehr scharf ist. Messen Sie bei jeder Frequenz möglichst die Position mehrerer Knoten aus (Achtung: Der Auszug des Interferenz-rohres sollte 0,30m nicht überschreiten!), und bestimmen Sie daraus jeweils den Knotenab-stand ∆d , die Wellenlänge λ und die Schallgeschwindigkeit c(T) .

Abb.2: Interferenzrohr nach Quincke (Versuchsaufbau)

Messen Sie die Raumtemperatur vor, während und nach Abschluss des Experiments; für die Auswertung verwenden Sie den Mittelwert. Schalten Sie nach Abschluss des Experiments alle Geräte aus (das Messmikrophon schaltet sich nach einer gewissen Zeit selbständig aus!). Stellen Sie den Kehrwert der Wellenlänge als Funktion der Frequenz grafisch dar. Überprü-fen Sie die Linearität dieser Funktion und bestimmen Sie aus deren Anstieg die Schallge-schwindigkeit. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem gemäß Aufgabe 2 berechneten Mittel-wert.

33


Schallgeschwindigkeit nach Quincke (2)

und Adiabatenexponent

QU 2


Aufgabenstellung 1. Messen Sie mit dem Resonanzrohr nach Quincke die Schallwellenlänge in Luft im Fre-

quenzbereich von 0,5 Hz bis 2 kHz (mindestens 20 Werte). 2. Berechnen Sie daraus den Mittelwert der Schallgeschwindigkeit und ermitteln Sie des-

sen Messunsicherheit. 3. Berechnen Sie daraus die Schallgeschwindigkeit unter Normalbedingungen und damit

den Adiabatenexponenten sowie dessen Messunsicherheit. Vergleichen Sie Ihr Ergeb-nis mit dem Wert aus der Literatur.

Physikalische Grundlagen: Longitudinal- und Transversalwellen, Schallwellen in Gasen, Interferenz, fortschreitende und stehende Wellen, Zustandsgleichungen und Zustandsänderungen idealer Gase, spezifische Wärme bei konstantem Druck und konstantem Volumen, kinetische Gastheorie, Freiheits-grade Literatur Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 123 – 127


Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, S. 51 – 55, S. 64 - 68 Zubehör: Resonanzrohr nach Quincke mit Ortsmesseinrichtung, Lautsprecher und Tongenerator Digitalmultimeter DT-4000 ZC mit Temperaturfühler Digitalmultimeter DT-9065 zur Frequenzmessung

34

Physikalische Grundlagen: (s. a. Anleitung zum Versuch AD – Adiabatenexponent und QU 1 – Quincke (1))

Mittels eines Lautsprechers wird in den Eingang A des Resonanzrohres (offenes Ende einer

Luftsäule, s. Abb. 1) eine harmonische Schallwelle einge-speist, die an der Oberfläche der Wassersäule (geschlosse-nes Ende einer Luftsäule) reflektiert wird. Im Resonanzrohr kommt es zur Überlagerung von hin- und rücklaufender Welle. Wenn man eine ideale, verlustfreie Reflexion am geschlosse-nen Ende annimmt, gilt für die resultierende Welle

cos cos

2 cos cos

(k = 2π/λ Wellenvektor, ω = 2π/T Kreisfrequenz, T Perioden-dauer). Dieser Ausdruck beschreibt eine stehende Welle (s. Abb. 2), die zwar über zeitlich verschiedene Zustände, aber dabei ortsfeste sogenannte Knoten und Bäuche verfügt. Der Abstand von zwei aufeinander folgenden Knoten beträgt λ/2.

Die stehende Welle bildet sich aus, wenn für die Länge l der Luftsäule

2 14

gilt (n ganze Zahl). Durch Heben und Senken des Vorratsge-fäßes lässt sich die Länge der Luftsäule verändern und da-durch können unterschiedliche Anregungszustände der ste-henden Welle eingestellt werden (s. Abb. 3). Daraus lässt sich die Wellenlänge und damit schließlich die Schallge-schwindigkeit ermitteln. Zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit unter Normalbedingungen und des Adiabaten-exponenten s. Anleitung zum Versuch Quincke (1).

Abb. 2: verschiedenen zeitliche Zustände einer stehenden Welle

Abb.1: Resonanzrohr nach Quicke (schematisch)

Abb. 3: drei aufeinander folgende Anregungszustände mit den Längen l = λ/4, 3λ/4 und 5λ/4

35

Abb. 4: Versuchsaufbau

Versuchsdurchführung und Auswertung

Die Versuchsanordnung zeigt Abb. 4. Der Ausgang „Sinus“ wird mit dem Lautsprecher verbunden. Schalten Sie den Tongenerator ein. Als „Nachweisgerät“ dient Ihr Ohr. Die Amplitude der Schallwelle muss so eingestellt werden (mit dem Amplitudenregler am Gene-rator), dass das Schallsignal gut zu hören ist, aber die anderen Gruppen bei der Arbeit nicht zu sehr gestört werden. Zur Messung der Frequenz wird ein digitaler Vielfachmesser DT-9065 verwendet, der an den Ausgang „Rechteck“ des Generators angeschlossen wird (Uaus >= 1 V). Ändern Sie durch Heben bzw. Senken des Vorratsgefäßes die Länge der Luftsäule und hören Sie dabei auf das Schallsignal: Sie hören in Abhängigkeit von der Länge der Luftsäule deutliche Maxima und Minima der Lautstärke. Dabei bemerkt man, dass die Lautstärkemaxima (Resonanz, stehende Welle) relativ breit sind im Vergleich zu den Lautstärkeminima (Auslöschung der Schallwelle durch destruktive Interferenz). Neben der charakteristischen Ortabhängigkeit der Schallamplitude trägt dazu auch die an-nähernd logarithmische Empfindlichkeit des

Gehörs bei (Gesetz von Weber-Fechner). Daher kann man die Lautstärkeminima wesentlich genauer ermitteln; die bilden sich aus, wenn bei dieser Anordnung für die Länge l der Luft-säule

2

gilt, d.h., aufeinander folgende Lautstärkeminima treten auf, wenn sich die Länge l der Luft-säule um ∆l = λ/2 ändert. Messen Sie bei verschiedenen Frequenzen im Bereich zwischen 0,5 kHz bis 2 kHz die Posi-tionen lmin der Luftsäule aus, für die Minima der Lautstärke (= Minima des Schalldrucks) auf-treten. Bestimmen Sie dabei bei einer Frequenz möglichst viele Minima (insgesamt mindes-tens 20), ermitteln Sie aus aufeinander folgenden Minima jeweils den Abstand ∆l und daraus die Wellenlänge λ und die Schallgeschwindigkeit c(T).

Beachten Sie: Wegen des sogenannten Öffnungsfehlers kann aus der Position des 1. Mini-mums die Wellenlänge nur sehr ungenau bestimmt werden!

Messen Sie die Raumtemperatur vor, während und nach Abschluss des Experiments; für die weitere Auswertung verwenden Sie den Mittelwert.

Bestimmen Sie aus allen Messungen den Mittelwert von c(T) und daraus die Schallge-schwindigkeit co unter Normalbedingungen und den Adiabatenexponenten к. Schätzen Sie Ihre Messunsicherheiten, bestimmen Sie die Messunsicherheit des Mittelwer-tes von c(T) und berechnen Sie den Größtfehler für co und к.

36


Schraubenfeder

SF Physikalisches Grundpraktikum

Aufgabenstellung: 1. Ermitteln Sie für zwei Federn einzeln die Federkonstante, indem Sie den Zusammen-

hang zwischen Dehnung und Kraft messen.

2. Stellen Sie die Funktionen x (F) für die untersuchten Federn in einem Diagramm grafisch

dar und bestimmen Sie daraus die Federkonstanten.

3. Berechnen Sie die Federkonstanten für die Reihen- und die Parallelschaltung und über-

prüfen Sie das Ergebnis experimentell, indem Sie wie unter 1 für die Reihen- und Paral-

lelschaltung beider Federn den Zusammenhang zwischen Dehnung und Kraft messen.

4. Stellen Sie auch hierfür die Funktionen x (F) in einem Diagramm grafisch dar und be-

stimmen Sie daraus die resultierenden Federkonstanten.

5. Fehlerrechnung:

Ermitteln Sie die Ungenauigkeit, indem Sie am Beispiel einer Messreihe für unterschied-

liche Wertepaare x(F) die Federkonstante berechnen (mindestens 10) und dafür die

Standardabweichung und daraus die Messunsicherheit des Mittelwertes ermitteln.

Grundlagen:

Federkraft, Elastizität, Hooke’sches Gesetz, Materialkenngrößen (Elastizitätsmodul, Torsi-

onsmodul), Reihen- und Parallelschaltung von Federn

Literatur:

Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 67 - 70

Zubehör:

1 Grundgerät

1 Kraftsensor

Auswahl von Federn

Versuchsdurchführung:

37

Bild 1: Versuchsvorrichtung - Die Federn sind entsprechend der Aufgabenstellung einzeln oder paarweise zwischen

dem beweglichen Kraftsensor und dem feststehenden Teil der Vorrichtung einzuspan-

nen.

- Vor Beginn der Messung müssen die Federn leicht gespannt sein (sie dürfen nicht

durchhängen) und der Kraftsensor sollte mittels der Taste Tara auf null gesetzt werden.

- Achtung: Als Kraftsensor wird eine Waage eingesetzt, die das Ergebnis in kg anzeigt.

Wir benötigen aber die Kraft direkt und müssen daher die Anzeige in Newton umrechnen

(1kg 9,81 N).

- Durch Drehen der Spindel werden die Federn gedehnt. Nach jeweils 25 mm ist der Sen-

sor abzulesen.

Achtung: Der Sensor darf maximal bis zu 50 N (Anzeige ca. 5 kg) belastet werden.

38


Trägheitsmoment

TM Physikalisches Grundpraktikum

Aufgabenstellung: 1. Bestimmen Sie für die Versuchsanordnung „Stab mit zwei Massen“ die Abhängigkeit des

Trägheitsmomentes J vom Abstand r der Massen bzgl. der Drehachse! Vergleichen Sie mit dem theoretischen Ergebnis für „masselosen Stab mit zwei Punktmassen“.

2. Messen Sie die Trägheitsmomente zweier Voll- und eines Hohlzylinders etwa gleicher

Masse und vergleichen Sie die Werte mit den berechneten! 3. Bestätigen Sie den Satz von Steiner mittels der Rotation (Drehschwingung) einer Schei-

be um verschiedene, im Abstand s zur Schwerpunktachse (Mittelpunktachse) parallele Drehachsen. Vergleichen Sie die experimentellen mit theoretischen Werten.

4. Bestimmen Sie für die Experimente von Aufgabe 2 den relativen Größtfehler. Versuchszubehör: Grundgerät (Drehteller; Richtmoment D der Schneckenfeder: Der Wert steht an der Vorrich-tung) Stab mit Kerben im Abstand von 5 cm (60 cm lang) 2 Massen 1 Vollzylinder (h = 90 mm, d = 90 mm) 1 Hohlzylinder (h = 90 mm, da = 90 mm, di = 86,6 mm) 1 Vollzylinder/Scheibe (h = 15 mm, d = 225 mm) 1 Aufnahmeteller (d = 100 mm) 1 kreisrunde Scheibe (d = 400 mm; s = 0, 2, 4, 6, 8, … mm) Stoppuhr (ausleihen) alle Massen sind selbst zu bestimmen! Physikalische Grundlagen: Rotation eines starren Körpers, Massenträgheitsmoment, kinetische Energie Literatur: Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, S. 19 – 23 Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 64 – 67 Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 70 – 73

39

Hinweise zur Versuchsdurchführung:

Bitte die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt und nicht aufgebogen wird!

Die Anfangsauslenkung soll nicht mehr als ca. 90° betragen!

Das Trägheitsmoment der Drillachse (nicht zu verwechseln mit dem Stab!) selbst liegt in der Größenordnung von 10-5 kgm². Es beeinflusst daher die Messergebnisse kaum und kann vernachlässigt werden! zu 1. Bestimmen Sie zuerst das Massenträgheitsmoment des Stabes ohne Massen. Mes-

sen Sie dazu und in allen weiteren Experimenten mehrfach (mindestens 10-mal) die Periodendauer jeweils für 5 volle Schwingungen und bestimmen sie daraus den Mit-telwert der Periodendauer. Variieren Sie nun die Position der Massen auf dem Stab (der Abstand der Kerben von der Drehachse wächst um jeweils 5 cm, die beiden Massen haben jeweils den glei-chen Abstand zur Drehachse). Fertigen Sie eine grafische Darstellung J = J(r²) für die experimentellen und die theo-retischen Werte an! Diskutieren Sie das Ergebnis.

zu 2. Ersetzen Sie den Stab durch den Aufnahmeteller für die beiden Zylinder. Hier muss

der Einfluss des Tellers berücksichtigt werden! Den flachen Zylinder (Scheibe) kön-nen Sie direkt auf die Achse stecken. Zur Bestimmung der Periodendauer gehen Sie wie unter 1. vor.

Vergleichen Sie die Werte mit den theoretisch berechneten, indem Sie für die expe-rimentellen Ergebnisse den absoluten Größtfehler berechnen und überprüfen, ob die experimentellen Werte innerhalb der Fehlergrenzen mit den theoretischen überein stimmen.

zu 3. Lassen Sie die Kreisscheibe zuerst um ihre Mittelpunktachse (Schwerpunktachse)

rotieren und variieren Sie die Drehachse dann in Schritten von je 2cm (die Abstände ab 10 cm sollten nicht benutzt werden, da dann das auftretende Kippmoment zu groß wird, wodurch die Messergebnisse sehr stark verfälscht werden). Achten Sie während des Experiments darauf, dass die Messanordnung stets korrekt horizontal justiert ist.

Fertigen Sie eine grafische Darstellung J = J(s2) für die experimentellen und theoreti-schen Werte an! Diskutieren Sie das Ergebnis!

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HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Sonometer

Schwingende Saite SON


Aufgabenstellung: 1. Messen Sie die Grundfrequenz f0 einer Gitarrensaite in Abhängigkeit von der Saitenspan-

nung (eingestellt durch die Gewichtskraft F) jeweils für 30 cm und 60 cm Saitenlänge. Stellen Sie das Ergebnis geeignet grafisch dar. Welcher Zusammenhang ergibt sich für

)F(ff 00 ?

2. Messen Sie die Grundfrequenzen f0 von 4 Gitarrensaiten verschiedener Dicke bei kon-

stanter Spannkraft (d.h., bei F = const). Bestimmen Sie die Abhängigkeit der Grundfre-quenz vom Querschnitt )A(ff 00 .

3. Messen Sie für eine Saite die Frequenzen fn der Oberschwingungen und überprüfen Sie

den Zusammenhang 01 f)n(f n .

Zubehör: 4 Gitarrensaiten verschiedener Dicke 1 Sonometer (Grundgerät) 1 HF-Generator 1 Erreger-Spule 1 Empfänger-Spule 1 Hängevorrichtung mit Gewichtssatz 1 Zweistrahl-Oszillograph Physikalische Grundlagen: Gleichung einer Sinus-Welle; Saitenschwingung; Grund- und Oberschwingungen; Überlage-rung von Schwingungen und Wellen; stehende Wellen; Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen; Materialabhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit; Spannung und Dehnung; Oszillograf Literatur: Alfred Recknagel: Physik – Schwingungen und Wellen (5. Aufl.), S. 48 - 53 Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, Kap. 5: Schwingungen und Wellen

41

Durchführung: Stellen Sie den Versuchsaufbau schematisch entsprechend der Abbildung her.

Legen Sie die Länge der schwingenden Saite mit den beiden Stegen fest und positionieren Sie Erreger- und Empfänger-Spule geeignet (Erregung außerhalb der Mitte, Abstand zuei-nander mindestens 10 cm). Spannen Sie die Saite durch Anhängen der entsprechenden Masse in eine Kerbe des Hebels rechts und justieren Sie diesen horizontal durch Drehen an der Stellschraube links (Gewichtskraft = horizontale Spannkraft). Die 5 Kerben sind äquidis-tant und lassen die Spannkraft mit den Faktoren 1 ... 5 eingehen. Zum Auswechseln der Saite lockern Sie die Stellschraube links. Am Oszillografen werden die Erregerfrequenz und die Schwingungsfrequenz dargestellt. Stellen Sie am Generator die entsprechende Grundfrequenz (Eigenfrequenz der Saite) ein, so dass Resonanz entsteht. Machen Sie sich mit der Skalierung der Frequenz am Generator vertraut und ändern Sie die Frequenz nur langsam. Überprüfen Sie optisch die Grundfre-quenz (ein Schwingungsbauch!). Stellen Sie dabei je nach verwendeter Dicke der Saite die Generatorspannung (Schwingungsamplitude) geeignet ein. Für die verschiedenen Saiten ist die so genannte lineare Dichte A angegeben. Diese

ergibt sich als Produkt aus der Dichte des Materials und der Querschnittsfläche A der Saite.

Saite lineare Dichte A in (g/m)

grün 0,78

gelb 1,12

blau 1,50

violett 1,80

F

42

HS Merseburg (FH) FB Ingenieur- und Naturwissenschaften Resonanz

Masse-Federschwinger RES


Aufgabenstellung: 1. Skizzieren Sie qualitativ das Amplitudenverhältnis (x0/x0Err) und die Phasenlage in

Abhängigkeit von der Erregerfrequenz fErr, wie sie in den Gleichungen (3) und (5) (s. An-hang) theoretisch dargestellt und im Experiment zu erwarten sind (Vorbereitung!).

2. Machen Sie sich mit der Funktionsweise der Versuchsapparatur "DRIVEN HARMONIC

MOTION ANALYZATOR" vertraut und überprüfen Sie die Justage (s. Anhang). 3. Bestimmen Sie für das vorliegende schwingungsfähige Masse-Federsystem die Reso-

nanzfrequenz f0 bzw. ω0, die Periodendauer T0, die Federkonstante k, die Dämpfung und den Reibungskoeffizient bR.

4. Nehmen Sie für die in Aufgabe 3 eingestellten Versuchsbedingungen die Auslenkungen

und Phasenlagen in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz auf. 5. Überprüfen Sie die Eigenfrequenz f0 und die Dämpfung für die freie Schwingung. Versuchszubehör: Grundgerät Zusatzmasse 50 g Stoppuhr (ausleihen) Physikalische Grundlagen: ungedämpfte und gedämpfte Schwingung; freie und erzwungene Schwingung; Amplitude und Phasenverschiebung der erzwungenen Schwingung; Resonanz; Literatur: Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, Versuch 7 Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 365 – 370

43

Hinweise zur Versuchsdurchführung:

zu 1. Dargestellt werden soll )f(yx

xErr

Err

0

0 und )f(y Err ; die Dämpfung ist dabei der

Parameter. zu 2. siehe Anhang!

Der maximale Spitze-Spitzewert der Amplitude sollte 100 mm nicht überschreiten! zu 3. Am Grundgerät ist eine Erregeramplitude von 6 mm eingestellt. Die so genannte Güte

des schwingungsfähigen Systems (s. Anhang Gleichung (4)) sollte zwischen 6 und 10 liegen. Suchen Sie die Resonanzstelle – dann muss die Phase o90 und Amplitu-de x0Res ca. 50 mm betragen. Letztere lässt sich über die Dämpfung regulieren (Ver-änderung des beidseitigen Abstandes der Magnete vom Aluminium-Schwinger). Achtung: Die digitale Anzeige gibt den Spitze-Spitzewert der Amplitude an, also den doppelten Amplitudenwert! Die Masse von Skala + Aluminiumschwinger beträgt 50 g. Das Messing-Zu-satzgewicht wiegt ebenfalls 50 g.

zu 4. Behalten Sie die Grundeinstellungen der Aufgabe 3 bei und variieren Sie die Erreger-

frequenz der erzwungenen Schwingung etwa zwischen 20 ... 200 % der Resonanz-frequenz. Ändern Sie dabei die Frequenz in Resonanznähe in kleinen Schritten. Stel-len Sie die Messwerte grafisch dar und vergleichen Sie diese mit den theoretischen Kurven nach Gleichung (3) und (5) aus dem Anhang.

zu 5. Lenken Sie den Schwinger maximal aus und lassen ihn freie, gedämpfte Schwingun-

gen ausführen. Dabei bleibt die vorher mittels der Magnete eingestellte Dämpfung unverändert. Zur Bestimmung der Dämpfung registrieren Sie während der freien Schwingung die aufeinander folgenden Amplituden. Tragen Sie diese logarithmisch über der Zeit auf und bestimmen Sie aus dem Anstieg die Dämpfung.

Bestimmen Sie die Eigenfrequenz über die Messung der Periodendauer (Mehr-fachmessung über 10 ... 20 Perioden). Nur für diesen Teil der Messung (am Ende des Experiments!) ist die Dämpfung durch Wegdrehen der Magnete sehr klein zu wählen.

44

Anhang Am Masse-Federschwinger (betrachtet als harmonischer Oszillator) können vier Kräfte an-greifen:

ErregungFederibungReTrägheit FFFF

)tcos(kxkxdt

dxb

dt

xdm ErroErrR

2

2

(m Masse; bR Reibungskoeffizient; k Federkonstante; oErrx , Err und Amplitude, Kreis-

frequenz und Phasenwinkel der äußeren periodischen Kraft ErregungF ). Nach Division durch

die Masse m lautet die Bewegungsgleichung der erzwungenen Schwingung

)tcos(xxdt

dx

dt

xdErroErroo 22

2

2

2

mit

oo Tm

k 2 , (1)

m

bR2 (2)

( o Eigenkreisfrequenz des Masse-Federschwingers, Dämpfung des Schwingers). Die

Lösungen der Bewegungsgleichung zeigen, dass nach einiger Zeit (für 010,)texp( ) der Einschwingvorgang abgeklungen ist und sich der uns hier interessierende stationäre Zustand eingestellt hat, d.h., der Masse-Federschwinger schwingt mit konstanter Amplitude und Pha-senverschiebung und mit der Frequenz der äußeren Erregung. Dann gilt

2222

2

2 ErrErro

o

oErr

o

x

x

(3)

2

0oErr

sonanzReo

x

x (4)

22

2

Erro

Errtan

(5) osonanzRe 90 (6)

Gleichung (3) stellt die so genannte Resonanzkurve dar und Gleichung (5) beschreibt die Phasenverschiebung zwischen Masse-Federschwinger und äußerem Erreger; die Gleichun-gen (4) und (6) gelten nur im Falle der Resonanz.

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Versuchsanleitung zum Federschwinger An der Feder hängt an einer Öse ein durchsichtiger Polystyrolstreifen (s. Abb.) mit einer Ska-la für die digitale Amplitudenmessung und einer Skala für die Phasenmessung. Die Skalen werden durch zwei Lichtschranken abgetastet. An dem Polystyrolstreifen hängt ein Alumini-umstreifen, der sich in einem Magnetfeld bewegt und dadurch die geschwindigkeitsabhängi-ge Dämpfung bewirkt.

Justierung: Der vierkantige Polystyrolstab bewegt sich durch ein metallenes Rechteck, in dem die Lichtschranken untergebracht sind. Wichtig ist, dass der Polystyrolstab 1. mittig in dem metallenem Rechteck liegt (regu-lierbar durch die beiden Schrauben am Boden der Versuchsanordnung) und 2. auch nicht verdreht in dem Rechteck liegt (regu-lierbar durch geringfügige Verdrehung der Öse zur Feder) und 3. die richtige Höhe hat, d.h., bei Nulllage von Fe-der und Motor muss die Hell-Dunkelgrenze der Phasenskala genau in der Höhe der Lichtschranke sein. Eine außen angebrachte Leuchtdiode zeigt an, ob die Phasenlichtschranke im Hellen oder im Dunkeln liegt. Diese Leuchtdiode sollte nur schwach glimmen. Die richtige Höhe kann grob über die Fadenlänge zur Feder und fein durch die Stellschraube an der höchsten Stelle der Ver-suchsanordnung reguliert werden. Die Nulllage des Erregers (motorgetriebene Scheibe an der Rücksei-te der Versuchsanordnung) ist eingestellt, wenn die schwarze Skala an der Scheibe waagerecht liegt und der gelbe Zeiger nach oben zeigt. Funktionsweise: Die Phasenlichtschranke gibt ei-nen Impuls an die Elektronik, wenn die Schwingung durch die Nulllage nach unten geht (von dunkel nach hell), also einmal pro Periode. Dieser Impuls startet und stoppt

1. die Zählung der Impulse von der Amplitudenlichtschranke, so dass nach jeder Periode der Amplitudenwert Spitze-Spitze angezeigt werden kann,

2. die Zeitmessung, so dass nach jeder Periode die Periodendauer der Schwingung ange-zeigt werden kann und

3. die Phasenmessung nach jeder Periode, indem beim Nulldurchgang des Schwingers eine Leuchtdiode kurz aufblitzt, die beim Erreger in Höhe des Nulldurchgangs, d.h., in Höhe des gelben Zeigers mit der Scheibe im Inneren des Gerätes mitläuft. Beim Aufblit-zen der Leuchtdiode kann an der Vorderseite des Gerätes abgelesen werden, welchen Phasenvorsprung der Erreger gegenüber dem Schwinger hat.

Nach dem Versuch bitte Feder entlasten (Aluminiumstab auf die Magnethalterung stellen) und das Gerät ausschalten (Netzschalter an der Rückseite).

46


Torsionsmodul TO Physikalisches Grundpraktikum

Aufgabenstellung: 1. Bestimmen Sie den Torsionsmodul G eines Drahtes aus der Periodendauer von Dreh-

schwingungen (dynamische Methode). 2. Ermitteln Sie den Schubmodul G mit der statischen Messmethode für einen Metallstab

(Stahl oder Messing oder Aluminium). 3. Führen Sie zu allen Messungen eine ausführliche Fehlerrechnung durch. Physikalische Grundlagen: Materialkonstanten E, G, K Beziehungen zwischen den Konstanten; Elastizität und Torsion; HOOKE’sches Gesetz; Spannungs-Dehnungs-Diagramm; Bewegungsgleichung für Dreh-schwingung; Trägheitsmomentberechnung; Ableitung der Berechnungsformeln Literatur: Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 67 – 76 Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 84 - 94 Versuchszubehör: Belastungsgewichte 1 Feinmessschraube 1 Stoppuhr Versuchsdrähte Stäbe (Stahl, Messing, Aluminium) Hinweise zur Versuchsdurchführung: zu 1. (Dynamische Methode) Liegt das Material als dünner Draht vor, dann ist die dynamische Methode zur Bestimmung des Torsionsmoduls besser geeignet. Sie basiert auf einer Drehschwingung, bei der das Di-rektionsmoment aus der elastischen Verdrillung des Drahtes resultiert. Aus dem Direktions-

47

moment D und dem Trägheitsmoment J des am Draht befestigten Körpers (Bild 1) folgt die PeriodendauerT :

D

JT 2 .

1 Nullpunkteinstellung

2 Oberes Spannfutter

3 Draht

4 Unteres Spannfutter mit Scheibe

5 Zusatzscheibe

6 Magnet

Bild 1

Bild 2 Bei der Durchführung des Experimentes mit der Versuchsapparatur nach Bild 1 ergibt sich das Problem, dass das Trägheitsmoment J im Allgemeinen nicht bekannt ist. Da die Ein-spannvorrichtung für den Draht eine komplizierte Form hat, lässt sich diese auch nicht mit ausreichender Genauigkeit berechnen, so dass das Trägheitsmoment J eliminiert werden muss. Das erfordert die Durchführung einer zweiten Messung. Man befestigt dazu an die vorhan-dene Scheibe einen zylinderförmigen Körper (s. Bild 1 und 2), für den man das Trägheits-

1 Draht mit Direktionsmoment D

2 Einspannvorrichtung für den Draht

3 Zusatzscheibe mit Trägheitsmoment

2

1 2

1RmJ

4 Scheibe und Einspannvorrichtung mit

unbekanntem Trägheitsmoment J

48

moment 1J nach 21 2

1RmJ berechnen kann. Dann kann man mittels Gl. (8) das Träg-

heitsmoment J eliminieren und gelangt schließlich zu Gleichungen für das Direktionsmo-ment D und den TorsionsmodulG , die das unbekannte Trägheitsmoment nicht mehr ent-halten (vgl. Gln. (10) und (11). Messgrößen: Länge des Drahtes l Radius des Drahtes r Radius der Scheibe R Periodendauer ohne Zusatzscheibe T Periodendauer mit Zusatzscheibe 1T zu 2. (Statische Methode) Der Schermodul unterschiedlicher Materialien soll ermittelt wer-den. Für die statische Methode ist die Verwendung von Stäben vorteilhaft, weil für diese der Zusammenhang zwischen dem Drehwinkel und den angreifenden Moment M gegeben ist. Die Versuchsapparatur (Bild 3) besteht im Wesentlichen aus einer drehbar gelagerten Scheibe mit dem Radius R , welche fest mit dem einen Ende des Stabes verbunden wird und einer gegenüber liegenden Aufnahmevorrichtung, in welche das andere Ende des Sta-bes fest eingespannt wird.

1 Nullpunkteinstellung 2 Obere Halterung 3 Stab 4 Skala 5 Laser 6 Untere Halterung mit Spiegel 7 Drehscheibe 8 Lagerung 9 Gewichtaufnahme 10 Gewicht

Bild 3

49

Über einen Seilzug greift eine Kraft F tangential an der Scheibe an, so dass ein Moment entsteht (Bild 4 und 5). Die Verdrillung des Stabes kann auf einer Skala abgelesen werden. Beachten Sie, dass der abgelesene Winkel infolge der Reflexion des Lichtstrahls am Spiegel dem doppelten Torsi-onswinkel entspricht. Messgrößen: Länge des Stabes l Radius (Durchmesser der Scheibe) R Masse des Gewichtes am Seilzug m

Bild 4

Bild 5

Für 10 unterschiedliche Massen ist das Verhältnis F

zu bestimmen und anschließend der

Mittelwert zu bilden. Mit diesem Mittelwert ist nach Gleichung (7) der Schermodul zu berech-nen. Hinweise: Um die volle Länge der Winkelskala nutzen zu können, ist für die Messung ohne Zu-satzgewichte der Lichtstrahl auf die Position „0“ einzustellen. Hierfür befindet sich an der oberen Stabaufnahme ein Stellrad. zu 3. Berechnen Sie den absoluten Größtfehler (Fehlerfortpflanzung) sowie den relativen

Maximalfehler unter Verwendung abgeschätzter Messunsicherheiten.

1 Laser

2 Umlenkrolle

3 Drehscheibe

4 Drehachse

1 Laser

2 Skala

3 Spiegel

50

Anhang: Grundlagen

Die elastische Verdrillung eines festen Körpers wird durch den Torsionsmodul G gekenn-zeichnet. Dieser lässt sich für Stäbe mit einem kreisförmigen Querschnitt leicht bestimmen. Hierzu wird ein Stabelement der Länge l , das um einen Winkel verdrillt wird, betrachtet (Bild 6). Gibt man den Torsionswinkel in Bogenmaß an, so gilt

'rs . (1)

Für den Zylindermantel der Dicke dr’ kann die Deformation als Scherung aufgefasst werden. Es gilt dann für die Bogenlänge s

ls , (2) wobei der Scherwinkel ist. Für hinreichend kleine Scherwinkel ist die Schubspannung dem Scherwinkel proportional:

G . (3) Der Proportionalitätsfaktor ist der Schub- oder Torsionsmodul. Multipliziert man die Schub-spannung mit der Querschnittsfläche des Hohlzylinders, so erhält man aus den Gleichungen (1) bis (3) die Schubkraft

l

'rG'dr'rdFs 2 . (4)

Bild 6

51

Für die Torsion ist das Drehmoment entscheidend, welches man durch Multiplikation der Schubkraft mit dem Hebelarm r’ erhält:

'drl

G'rdM 32 . (5)

Die Integration über dr’ liefert das Gesamtdrehmoment M:

l

rG'dr'r

l

GM

r

2

2 4

0

3 . (6)

Gleichung (6) führt zu zwei unterschiedlichen Methoden zur Bestimmung von G: a) Statische Methode Diese beruht auf der direkten Messung des Torsionswinkels in Abhängigkeit von dem angrei-fenden Drehmoment M. Hierzu wird über einen bekannten Hebelarm R mit einer veränderli-chen Kraft Fs ein bestimmtes Drehmoment M erzeugt, welches zu einer messbaren Torsion führt. Die Umstellung von Gl. (6) liefert dann den Torsionsmodul

4

2

r

FRlG s . (7)

b) Dynamische Methode Die dynamische Methode verwendet eine Drehschwingung. Die Periodendauer T dieser Schwingung ist durch das Trägheitsmoment J und das Direktionsmoment D gegeben:

D

JT 2 . (8)

Das Direktionsmoment D steht mit Gl. (6) durch

DM (9)

im Zusammenhang. Demnach ist

l

rGD

2

4 (10)

und zusammen mit Gl. (8) schließlich

42

8

rT

lJG

. (11)

52

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