11.11.2013

Fachdidaktisches Hauptseminar

Anwendungsbeispiele für LGS in der Sek II

Marek Mandel Stephanie Schindler

Stefanie Walter

Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Wintersemester 2013/2014 Dozent: Prof. Dr. Filler

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Gliederung

1. Einstieg

2. Zahlenmauern

3. Gruppenarbeitsphase

4. Besprechung der Ergebnisse

5. Die Computer-Tomographie (C.T.)

6. Die Kryptographie

7. Zusammenfassung

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Quelle: Filler, Henn (2014); S. 20 f

• zwei verschiedene Herangehensweisen an LGS: Schwerpunkt

auf (analytischer) Geometrie, oder auf (linearer) Algebra

• geometrische Auffassung im Vordergrund:

• LGS u. Lösungsmengen als geom. Schnitte von Geraden und

Ebenen

• Lösungsmenge von LGS mit 2 oder 3 Lösungsvariablen

führen zur Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen

• Arithmetisch-algebraische Sicht im Vordergrund:

• Anwendungen durchaus reichhaltig und interessant

• Vom Modellbildungskreislauf bleibt nur Mathematisieren

Einstieg

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• erfolgreiches Übungsformat aus der Grundschule

• auch in Sek II bewährt

• Spiralprinzip nach Bruner

• einfache dreireihige Zahlenmauern:

• Summe zweier nebeneinanderliegender Steine ergibt

darüberlegenden Stein

• kann beliebig erweitert werden

Quelle: Filler, Henn (2014); S.56

Zahlenmauern – allgemein

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• Zahlenmauer lässt sich auch als LGS angeben:

Zugehöriges LGS: Lösung:

x + y = 36 x = 25

y + z = 20 y = 11

z + x = 34 z = 9

Quelle: Filler, Henn (2014); S. 57

Zahlenmauern – Beispiel

36 20 34

x y z x

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• allgemeiner LGS-Ansatz:

Zugehöriges LGS: Lösung:

x + y = a x = ½ (a - b + c)

y + z = b y = ½ (a + b - c)

z + x = c z = ½ (-a + b + c)

Quelle: Filler, Henn (2014); S. 57

Zahlenmauern – Verallgemeinerung

a b c

x y z x

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• Operative Prinzipien: Transitivität, Reversibilität

• attraktiv, da bereits bekannt, niedrige Schwelle

• Sachrechnen (n. Winter): Lernprinzip

• innere Differenzierung gut möglich

(z.B.: unterschiedliche Ebenenwahl)

• prozessbezogene Kompetenzen: Problemlösen,

Mathematisieren

• eignet sich auch für Gruppenarbeit

• Zahlenmauern eignen sich zum Einstieg ins Thema

Didaktische/Methodische Überlegungen

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Untersuchen Sie nun die Aufgaben hinsichtlich der Kriterien

des Thesenpapiers und ergänzen Sie sie um weitere, wenn

nötig.

Gruppenarbeitsphase

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Quelle: Tietze, Klika, Wolpers (2000); S. 57, S. 172

Ströme in Netzen

Die Aufgabe:

Eine Verteilerstation eines Wasserversorgungsnetzes besteht

aus 4 Knoten. Gegeben sind die Volumenströme der Zu- und

Abflüsse (in m3/s).

Welchen Durchmesser müssen die einzelnen Rohrabschnitte

zwischen den Knoten besitzen, wenn zugleich die Baukosten

minimal gehalten werden sollen?

Der Abschnitt zwischen den Knoten B und C soll für

Reparaturarbeiten stillgelegt werden. Wie müssen nun die

Rohre dimensioniert werden?

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Ströme in Netzen – didaktische Überlegungen

• Sachrechnen als Lernziel: Modellierung von Strömungen,

insb. Interpretation der Daten …

• geeignet für GK und LK

• Innere Differenzierung: Vorgabe und Bezeichnung der

Strömungsrichtungen in den Rohrabschnitten

• Kompetenzen: Modellieren, Argumentieren, Darstellen,

Problemlösen

• operatives Üben: Zerlegung in Teilschritte, Übertragung der

Strategien auf andere Sachverhalte, Variationsfähigkeit

• Attraktivität: kann übertragen werden auf Stromkreise,

Verkehrsnetze aller Art (Straße, Pipeline …), Geld- und

Warenbewegungen

Physik, Logistik

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Ströme in Netzen – methodische Überlegungen

• Gruppenarbeit

• als reales Modell nachbauen und „messen”

• Einsatz im Unterricht: Vertiefen/ Modellieren/ Interpretation

• als Prüfungsfrage zu umfangreich

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Quelle: Kuypers, Lauter (1988); S. 109

Lebenswelt

Die Aufgabe:

Ein Rechenkünstler lässt sich zum „gemütlichen Abend“

eines Mathematiker-Kongresses einladen, er denkt sich

einen „schwierigen Trick“ aus und hofft, dabei nicht

durchschaut zu werden. Von vier gedachten Zahlen sollen

jeweils drei addiert und die vierte subtrahiert werden. Ein

Zuschauer ruft ihm die Ergebnisse 2, 4, 8 und 10 zu.

Ermittle die vier gedachten Zahlen.

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Lebenswelt – didaktische Überlegungen

• Sachrechnen als Lernprinzip

• als Wiedereinstieg um die bekannten Lösungsverfahren zu

üben

• innere Differenzierung:

Aufgabe auf drei Variablen herunter brechen, Finden des

eigentlich genannten „Tricks“, kombinatorische

Überlegungen

• Kompetenzen: Problemlösen, Argumentieren

• operatives Üben: Assoziativiät (Bilden benachbarter

Aufgaben)

• Aufgabenstellung lehnt sich an Knobelaufgabe an

Steigerung des Attraktivitätsgrades

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Lebenswelt – methodische Überlegungen

• Lösen der Aufgabe auf symbolischer Ebene

• Partnerarbeit mit Ausdenken einer analogen

„Knobelaufgabe“

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Mischungsaufgaben

Die Aufgabe:

Ein Apotheker bietet ein Desinfektionsmittel in drei unter-

schiedlichen Wirkstoffkonzentrationen an:

● 10%-ige, davon hat er 3 Liter,

● 30%-ige, ebenfalls 3 Liter Vorrat und

● 90%-ige, von dieser hat er 6 Liter.

Ein Kunde bestellt eine Menge von 10 Litern Desinfektionsmittel

mit einer Konzentration von 60%. Kann der Apotheker diese

Menge in der gewünschten Konzentration durch Mischen aus

seinen Vorräten herstellen?

Quelle: Bigalke, Köhler (1999); S. 133

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Mischungsaufgaben – didaktische Überlegungen

• Sachrechnen als Lernprinzip • eignet sich zum Festigen und Üben, als Klausurfrage geeignet • innere Differenzierung: Engpassorientierung • Kompetenzen: Argumentieren, Mathematisieren • operative Prinzipien: Transitivität, Kompositionsfähigkeit • attraktiv, da Mischungsthematik sich übertragen lässt • Bezüge zur Chemie

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Mischungsaufgaben – methodische Überlegungen

• selbst Mischen mit Substanzen unterschiedlicher Dichte • auch als frontale Arbeitsphase denkbar

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• Grundlage der Computer Tomographie Röntgenstrahlen

• werden durch den Körper geschickt und schwärzen

anschließend Fotopapier

• je nach Masse des Gegenstands werden sie abgeschwächt

unterschiedliche Schwärzung auf dem Fotopapier

Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 75

C.T.

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• Strahlenquelle sendet Röntgenstrahl aus, der die gewählte

Schicht des Körpers durchquert u. wieder aus dem Körper austritt

• Röntgenstrahl trifft auf einen Strahlenempfänger

misst, wie stark er jetzt noch ist

• Reale Messung: Aussendung von parallelen Strahlen

• Drehung der Apparatur für mehrere Messungen

C.T. – Durchführung

Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 76

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• Angenommen: Röntgenstrahl hat beim Verlassen der Quelle

eine Stärke von 20 Einheiten

• jedes Quadrat schwächt ihn um einen gewissen Betrag

(unbekannt!)

1. Strahl: x1 + x2 + x3 = 18

2. Strahl: x4 + x5 + x6 = 14

3. Strahl: x7 + x8 + x9 = 18

C.T. – Aufstellen des LGS

Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 80 f

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C.T. – Aufstellen des LGS

Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 82

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C.T. – Aufstellen des LGS

● So entsteht folgendes LGS ● Lösung (6, 7, 5, 5, 2, 7, 6, 7, 5)

Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 83

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• Sachrechnen als Lernziel: schwierig allerdings durch die

Verkürzung des Modells

• viertiefendes Beispiel zur Anwendung von LGS

• Differenzierung

• äußere: freie oder vorgegebene Drehung der Strahlen

• innere: selbstständige Einteilung des Bildes in beliebig

viele Quadrate

• Kompetenzen: Modellieren

• operative Prinzipien: Transitivität

• Interesse an der Aufgabe wird durch Lebensnähe gesteigert

• Bezug zur Physik/Biologie – Was sind eigentlich

Röntgenstrahlen? Gefahren?

Didaktische Überlegungen

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• ikonische Herangehensweise an die Aufgabe um das Prinzip

des C.T. zu verdeutlichen, Übergang zur symbolischen Ebene

bei der Rechnung

• ggf. Bearbeitung der Aufgabe in Gruppen

• Klärung von Verständnisfragen zum Prinzip des C.T.

• Absprache über sinnvolle Drehungen

Methodische Überlegungen

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Chiffrierung:

• verwende die normale Buchstabenverschlüsslung

• als Schlüssel wird eine (m x m)-Matrix verwendet

• erstelle aus deinem Text mehrere (m x m)-Matrizen

(Klartextmatrizen), gehe zeilenweise vor

• multipliziere die Klartextmatrizen mit dem Schlüssel

Dechiffrierung:

• multipliziere eine Variablenmatrix mit dem Schlüssel, das

Ergebnis ist die Geheimtextmatrix

• löse das LGS nach den Variablen auf

• forme die entstandenen Klartextmatrizen in einen Text um,

gehe zeilenweise vor

Vorgehen zur De-/Chiffrierung

Quelle: Petsch, 2004; S. 2 f

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• kritische Auseinandersetzung mit Chiffrierungsverfahren

• im LK nach Matrizenrechnung einsetzbar

• innere Differenzierung: kürzere Sätze/Wörter verwenden,

einsetzen von Schlüsseln mit m > 3

• Kompetenzen: Argumentieren, Kommunizieren

• operatives Üben: Zerlegung in Teilschritte, Umkehren

(Reversibilität), Variationsfähigkeit

• Attraktivität: „Interesse am Ungewissen”

• Bezug zur Informatik

Didaktische Überlegungen

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• Schüler können als HA beliebige Sätze verschlüsseln und

anschließend gegenseitig entschlüsseln

• Matrizenrechnung und Lösen von LGS wird geübt

Methodische Überlegungen

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Besprochene Anwendungen von LGS:

• Ströme in Netzen

• Knobelaufgaben

• Mischungsprobleme

Mathematisierungsmuster

Weitere Anwendungen (nicht alle für Sek II geeignet):

• Beschreibung von Geraden, Ebenen, Schnittmengen

• Verflechtungsaufgaben, innerbetriebliche Leistungsverrechnung

• Markoff-Ketten

• lineares Optimieren, Transportprobleme

• Diskretisierungen v. Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Quelle: Tietze, Klika, Wolpers (2000); S. 58

Literatur

Bigalke, A., Köhler, N. (1999): Mathematik 12.2 - Grundkurs; Berlin, Cornelsen

Filler, A., Henn, H.-W. (2014): Didaktik der Analytischen Geometire und Linearen Algebra; Heidelberg, Springer-Spektrum

Kirchgraber, U., Hartmann, W. (1995): Lineare Gleichungssysteme - Ein Leitprogramm in Mathematik; Eidgenössische Technische Hochschule Zürich http://www.educ.ethz.ch/unt/um/mathe/aa/lin_gleich/lingl.pdf (08.11.2013)

Kuypers, W., Lauter, J. (1988): Mathematik Sekundarstufe II. Analytische Geometrie und lineare Algebra; Bielefeld, Cornelsen

Petsch, S. (2004): Einfache Codierverfahren; Technische Universität Darmstadt https://wwwdid.mathematik.tu-darmstadt.de/mathezirkel/content/download/codierverfahren.pdf (08.11.2013)

Tietze, U.-P., Klika, M., Wolpers, H. (2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 2; Braunschweig/Wiesbaden, Vieweg